必修2第一章高效整合

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一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示的三视图对应的几何体是( )
A ．圆锥
B ．圆柱
C ．长方体
D ．三棱柱 解析： 由三视图的定义及画法规则易得A 正确． 答案： A
2．右图是某几何体的直观图，其三视图正确的是( )
解析： 由三视图知识可知A 正确． 答案： A
3．如图所示，可能是四棱柱的侧面展开图的是( )
解析： 结合四棱柱的特征易得C 正确，A 还原后不能构成规则几何体，B 还原后构成四棱锥，D 还原后构成四棱台．
答案： C
4．正方体的每条棱都增加1 cm ，它的体积扩大为原来的8倍，则正方体原来的棱长为( )
A.1
2
cm B ．1 cm C ．2 2 cm D ．2 cm
解析： V 原＝a 3，V 变＝(a ＋1)3＝8a 3
∴a ＝1. 答案： B
5.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示
的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝3
2
，那么原△ABC
是一个( )
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．三边中有两边相等的等腰三角形
D ．三边互不相等的三角形 解析： 依据斜二测画法的原则可得，
BC ＝B ′C ′＝2，OA ＝2×
3
2
＝3， ∴AB ＝AC ＝2，故△ABC 是等边三角形． 答案： A
6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为( )
A ．2
B.12 C ．1 D.3
2
解析： 结合正视图、俯视图和侧视图可知侧视图是等腰三角形，其底边长为3，高
为3，所以侧视图的面积为12×3×3＝3
2
，故选D.
答案： D
7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．3 解析： S 侧面积＝π(r ＋3r )l ＝84π，r ＝7. 答案： A
8．正方体的表面积为24，一个球的直径与该正方体的棱长相等，那么这个球的表面积为( )
A ．π
B ．2π
C ．4π D.4
3
π
解析： 由正方体的表面积可求得正方体棱长为2，即球的直径为2，即半径为1，所以球的表面积为S ＝4πr 2＝4π.
答案： C
9.如图，一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3.则该组合体的表面积等于( )
A ．15π
B ．18π
C ．21π
D ．24π
解析： 由三视图可知，该几何体是圆锥与等底面的圆柱组合而成的组合体，所以该几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积的和，所以该几何体的表面积为S ＝π×23×23＋2π×3×3＋π×(3)2＝21π，故选C.
答案： C
10．用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图，根据三视图得此立体模型的正方体个数为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析： 此立体模型由5个小正方体组成，摆放形式如图所示，数字为相应位置正方体个数．
答案： B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h ＝________ cm.
解析： 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个直角三角形，两直
角边长分别为5 cm,6 cm ，三棱锥的高是h cm ，又该几何体的体积是20 cm 3，则可得13×
1
2
×5×6×h ＝20，所以h ＝4.
答案： 4
12．底面直径和高都是4 cm 的圆柱的体积为________cm 3. 解析： V ＝Sh ＝π×22×4＝16π 答案： 16π
13．如图所示，截去一角的长方体，它的正视图为________．
答案：
14．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是________．
解析：
剩余几何体的体积为V 正方体－8V 三棱锥＝1－8×13×12×12×12×12＝5
6
.
答案： 5
6
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个正方形．
(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；
(2)求这个几何体的体积． 解析： (1)直观图如图．
(2)这个几何体是一个四棱锥． 它的底面边长为2，高为2，
所以体积V ＝13×22×2＝42
3
.
16．(本小题满分12分)如下图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．
解析： 设圆柱的底面半径为r ，高为h ′. 圆锥的高h ＝42－22＝23，
h ′＝12h .∴r 2＝23－323
，∴r ＝1.
∴S 表面积＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πrh ′ ＝2π＋2π×3＝2π(1＋3)．
17.(本小题满分12分)如图所示，三棱锥P －ABC 的侧棱的长度均
为1，且侧棱间的夹角均为40°，动点M 在棱PB 上移动，动点N 在棱PC 上移动，求AM ＋MN ＋NA 的最小值．
解析： 三棱锥P －ABC 的展开图如图所示，则AM ＋MN ＋NA ＝A 1M ＋MN ＋AN . 又∵A 1M ＋MN ＋AN ≥AA 1， ∴
当A ，M ，N 三点共线时，取到最小值．在图中， ∵∠A 1PB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝40°， ∴在图中∠AP A 1＝120°.
在△AP A 1中，AP ＝P A 1＝1， AA 1＝2·cos 60°＝ 3.
∴A 1M ＋MN ＋NA 的最小值为3， 即AM ＋MN ＋NA 的最小值为 3.
18.(本小题满分14分)如图所示是从上下底面处在水平状态下的棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中分离出来的．
(1)∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，对吗？
(2)设BC ＝1，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？
解析： (1)对．因为四边形DD 1C 1C 是正方形，且是正对的后面，即恰好是正投影．所以∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°.
(2)如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛水的体积等于三棱锥C 1－CB 1D 1的体积，
VC 1－CB 1D 1＝13S △B 1C 1D 1·CC 1＝16，所以最多能盛水的体积为1
6
.。