自动控制原理状态空间法共78页
控制系统状态空间法
控制系统状态空间法控制系统状态空间法是现代控制理论中常用的一种方法，它描述了控制系统的动态行为，并通过状态变量来表示系统的内部状态。
在这篇文章中，我们将详细介绍控制系统状态空间法的基本概念、理论原理以及应用。
一、控制系统状态空间法的基本概念状态空间法是一种描述动态系统的方法，通过一组一阶微分方程来表示系统的动态行为。
在这个方法中，我们将控制系统看作是一个黑盒子，输入和输出之间的关系可以用状态方程和输出方程来描述。
1. 状态方程状态方程描述了系统的内部状态随时间的演化规律。
它是一个一阶微分方程组，通常用向量形式表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)其中，x(t)表示系统的状态向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，u(t)是输入向量。
2. 输出方程输出方程描述了系统的输出与内部状态之间的关系。
它通常用线性方程表示：y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，y(t)表示系统的输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
3. 状态空间表示将状态方程和输出方程合并，可以得到系统的状态空间表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)在状态空间表示中，状态向量x(t)包含了系统的所有内部状态信息，它决定了系统的行为和性能。
二、控制系统状态空间法的理论原理控制系统状态空间法基于线性时不变系统理论，通过分析系统的状态方程和输出方程，可以得到系统的稳定性、可控性和可观测性等性质。
1. 系统稳定性系统稳定性是判断系统是否能够在有限时间内达到稳定状态的重要指标。
对于线性时不变系统，当且仅当系统的所有状态变量都是稳定的，系统才是稳定的。
通过分析状态方程的特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 系统可控性系统可控性表示是否可以通过选择合适的输入来控制系统的状态。
一个系统是可控的，当且仅当存在一组输入矩阵B的列向量线性组合可以使得系统的状态从任意初始条件变为目标状态。
通过分析状态转移矩阵的秩，可以判断系统的可控性。
自动控制原理 状态空间法
y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
• • • • 其中: y y (t ) 是m×1维向量,(t ) R m1 , C (t ) 是m×n维向量, (t ) R mn , C D(t ) 是m×r维向量, (t ) R mr , D
3.状态空间表达式
定义2.状态变量
状态变量是确定系统状态的最小一组变量,如果以 最少的n个变量 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 可以完全描述系统的行为 (即当t≥ t0 时输入和 在t= t0 初始状态给定后,系统的状态完全可以确定), 那么
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )
结论 --对研究内容的界定和限制
所以对于一个多输入/输出系统来说:
1、采用在时域内进行建模，且由于是对实际
物理系统进行模型描述，因而模型中的所有变量
n 和函数均假定为实数 x R 。
2、数学描述的主要手段是微分方程，并应充 分利用系统的内部描述法来建立微分方程，以充分 表述系统的内部特性. 3、适用于非初始松驰或非零初始条件的系统 状态. 4、主要研究线性连续时不变系统.
自动控制原理Ⅱ
第一章 状态空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性
1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述
，时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理 论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下, 才能采用传递函数.
1.状态方程
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t )
• • • • x(t)是n×1维向量,x(t ) R n1 A(t)是n×n维向量,A(t ) R nn B(t)是n×r维向量,B(t ) R nr u(t)是r×1维向量,u(t ) R r1
状态空间模型及标准形——自动控制原理
•
状态方程： x(t) Ax t Bu t , x t0 x0
输出方程（观测方程）：
yt Cxt Bt
x1 t
x
t
x2
t
M
xn
t
状态矢量
u1 t
u
t
u2
t
M
ur
t
输入或控制矢量
y1 t
y
t
y2 t
M
ym
t
输出矢量
a11 L a1n
y
a n 1
➢对角标准型和约当标准型 以上两种标准形的传递函数G(s)有相同阶数的分 子和分母。G(s)可以看成由一个比例环节和一个分 母阶数n总是大于分子阶数m的有理传递函数G′(S)。
N(s)为特征多项式或极点多项式；Z(s)为零 点多项式。N(s)=0的根不同，则有不同的对 角标准型和约当标准型。
•
x t Ax t , x t0 x0
它表达了系统的固有特性称为自制系统。系统矩阵A反映系统固有特性的全 部信息，控制矩阵B反映系统受外部激励。
状态方程和输出方程构成了系统的空间状态 表达式，它是一个n节线性时不变的动态系统。 是一个具有r个输入和m个输出的多变量系统。
状态空间表达的系统方框图
A
M
M
an1 L ann
b11 L b1r
B
M
M
bn1 L bnr
为n× n系统矩阵
为n× r输入或控制矩阵
c11 L c1n
C
M
M
cm1 L cmn
为m× n输出或观测矩阵
d11 L
D
M
dm1 L
自动控制原理课件8状态空间分析法
目录
• 状态空间分析法概述 • 线性系统的状态空间分析 • 非线性系统的状态空间分析 • 状态空间分析法的应用
01
状态空间分析法概述
Chapter
状态空间的概念
状态变量
描述系统动态行为的内部变量， 通常选取系统的输入、输出及内 部变量作为状态变量。
状态方程
描述系统内部状态变量之间关系 的数学模型，通常采用微分方程 或差分方程形式表示。
故障隔离和定位
结合状态空间方法和故障诊断算法，可以隔离和 定位故障源，提高故障处理的效率和准确性。
3
故障预测和预防
利用状态空间方法和数据挖掘技术，可以对控制 系统的故障进行预测和预防，降低故障发生的概 率。
THANKS
感谢观看
在控制系统仿真制系统的动态行为，验证 控制策略的有效性。
系统分析和调试
通过仿真实验，分析系统的性能指标，对系统进行调 试和优化。
多目标优化
利用状态空间方法，可以对多个性能指标进行优化， 实现多目标控制。
在控制系统故障诊断中的应用
1 2
故障检测和诊断
通过状态空间方法，可以检测和诊断控制系统的 故障，及时采取措施进行修复和维护。
状态方程定义
描述系统内部状态变量随时间变化的数学模型，通常表示为dx/dt = Ax + Bu，其中x是状态向量，u是输入向量，A 和B是系统矩阵。
建立状态方程
根据系统的物理特性和输入输出关系，通过适当的方法建立状态方程。
状态方程解法
通过求解状态方程，可以得到系统的状态响应。
线性系统的稳定性
稳定性的定义
极点配置的方法
通过求解线性矩阵不等式或优化问题，找到合适的 控制输入u(t)，使得系统的极点配置在期望的位置 上。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态空间表达式的建立
+ (b0 − an−1hn−1 − an−2hn−2 −− a1h1 − a0h0 )u
选择 h0 , h1, hn−1 ，使得上式中u的各阶导
的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导
数项，可以选择如下的一组状态变量。
设
bn
0
，选取： x1 = y − h0u
xi = xi−1 − hi−1u， i = 2,3,, n
其中h0, h1, , hn−1是n个待定系数
x• • •
xi = xi−1 − hi−1u • • •
x1
+
1 L
u ( t)
x2 0
y=0
x1
1
x2
令 x=x 1x2T 为状态向量
则： x • =−
R−
L
1 L
x+
1
L u ( t)
1 c
0
0
y=0 1 x
补充：
• 由（A,B,C,D) 画状态变量图 • 由电路→基本方程→状态变量图→(A,B,C,D) • 状态变量选取不唯一 • D0的解释 • 充放电过程的解释 • 状态方程的稳态求解
（1）求其状态空间表达式 （2）画出其状态变量图
解：选 x1 = y
.
x2 = y
..
x3 = y
则： x1 = x2 x2 = x3
x3 = −6x1 − 8x2 − 5x3 + 3u
y = x1
状态空间表达式为
自动控制原理课件：状态空间分析
C CA =n rankP = rank n −1 CA
必要性: 设rankP<n,则存在x(0), 使得Px(0)=0, 即
我们有
10 X 1 (s) = X 2 (s) s+5
状态空间方程的可控性和可观测性
定义 2.1 如果在一个有限的时间内施加一个无约束的控制向量, 使 系统由初始状态x(t0)转移到任一状态, 则称该系统在时间t0时 为状态可控的。 定义 2.2 如果系统的状态x(t0)在有限时间内可由输出的观测值确定, 那么称系统在时刻t0是状态可观测的。 控制系统的状态完全可控性 设状态方程为:
y1 (t ) = g1 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
y2 (t ) = g 2 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
ym (t ) = g m ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
定义:
x(t ) = [ x1 (t ), , xn (t )]
A(t)称为状态矩阵, B(t)称为输入矩阵 C(t)称为输出矩阵, D(t)称为直接传输矩阵
D(t )
u (t )
B(t )
+
x(t )
•
+
∫ dt
A(t )
x(t )
C (t )
+
+
y (t )
如果向量函数f和g不显含时间t, 则称该系统定常系统：
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
自动控制原理ppt课件8状态空间分析法
将方程组改成矩阵微分方程的形式：
同理得输出方程
二、传递矩阵
零初始条件时,用拉氏变换的形式表示输出与输入关系如下:
用矩阵方程表示为：
可以写成：
G(s) 即为双输入双输出系统的传递矩阵
r 个输入量和 m个输出量的 系统传递矩阵 G(s)为：
三、系统状态空间表达式与传递矩阵的关系 设系统的状态空间表达式为 ： 对上式进行 拉氏变换： 若 X(0) = 0, 则 X(s)=(sI -A)-1BU(s)
状态方程是计算动态特性的线性定常系数矩阵 微分方程,输出方程是用来计算所观察参数的 线性代数方程。
表 8.1 经典和现代控制理论对比
时间 数学模型 数学工具 应用范围
应用情况
经典 1940-1960年
传递函数、微分方程
常微分方程、复变函 数、Laplace变换等 单输入单输出线性定 常连续、离散时变集 中参数系统
一、基本概念
1. 状态：系统的状态就是系统过去、现在和将来 的状况。系统的状态可以定义为信息的集合， 表征系统运动的信息。
2. 状态变量：指可以完全表征系统状态的最少个数的
一组变量 x1、x2、…、xn , 并且满足下列两个条件: (1)在任何时刻 t = t0 , 这组变量的值：
(2)
x1(t0)、x2(t0) 、…、xn(t0)
试判别该系统的可控性 解:
所以 因为rank M = 1, 所以该系统是不可控的
例 设系统为
试判别该系统的可控性 解:
所以 因为 rank M = 2 , 所以该系统是可控的
例 设系统为
试判别系统的可控性
解:
MM T 非奇异, 故 M 满秩 , 系统是
可控的
几点结论:
状态空间方法与控制系统
状态空间方法与控制系统状态空间方法是现代控制理论中一种重要且广泛应用的方法。
它以状态变量为基础，将控制系统描述为一组微分或差分方程，通过对这组方程进行求解和分析，实现对控制系统行为的全面理解和精确控制。
本文将对状态空间方法与控制系统进行详细介绍和分析。
一、状态空间方法的基本原理状态空间方法是现代控制理论的核心方法之一，它基于系统的状态变量来描述和分析控制系统的动态行为。
在状态空间方法中，系统的状态由一组变量来表示，这些变量可以是物理量或逻辑变量，其个数与系统的自由度一致。
通过对状态变量的描述和分析，可以全面了解系统的行为，进而设计出合适的控制策略。
在状态空间方法中，系统的动态行为可以通过一组微分或差分方程来描述。
这组方程通常称为状态方程，它是由系统的物理模型或传递函数转化而来。
状态方程的一般形式为：【公式】其中x是系统的状态向量，u是输入向量，y是输出向量，A、B、C、D是系统的状态空间矩阵。
通过对状态方程进行求解和分析，可以得到系统的时间响应、频率响应等重要信息。
同时，状态空间方法还可以结合控制理论的相关概念和方法，如可控性、可观性、稳定性等，对系统进行全面而深入的分析。
二、状态空间方法的应用状态空间方法具有广泛的应用领域，包括控制系统设计、系统辨识、故障检测与诊断等。
以下将从几个方面介绍状态空间方法的具体应用。
2.1 控制系统设计状态空间方法为控制系统设计提供了基础和工具。
通过建立系统的状态方程，可以分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质，并设计出合适的控制器。
其中，状态反馈控制是状态空间方法中常用且有效的控制策略之一。
通过对状态量的测量和反馈，可以实现对系统的精确控制。
2.2 系统辨识系统辨识是指通过一系列的试验或观测数据，从中提取出系统的数学模型，以便系统的建模和控制。
状态空间方法在系统辨识中起到重要作用。
通过对系统的输入-输出数据进行处理和分析，可以确定状态方程中的矩阵参数，进而建立系统的数学模型。
自动控制原理状态空间法共78页文档
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路
自动控制原理第九章状态空间分析方法资料
,A
,B
xn
0 0 0 1 a0 a1 a2 an1
0
（9-19）
系统结构图如图所示
图9-3
例9-3
考虑用下列常微分方程描述的系统 y 2 y 2 y 2u
⑧ 正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响, 正确理解 状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。
⑨ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌 握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状 态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。
⑩ 正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的 概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO 稳定的方法。
基本要求
① 掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统动态 结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模 型的方法。
② 熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域 和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态 方程计算传递函数的公式。
③ 正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换 前、后动态方程各矩阵的关系。
2!
k!
其中
0 A 0
1 0
, A2 A3
(t )
1 0
0 1
0 0
An
0 0
0 0
t 0
1 0
t 1
可以写出方程解为
x1 x2
(t) (t)
1 0
t 1
x1 x2
物理状态空间分析法自动控制理论
MIMO系统
传递函数矩阵为： T s = C sI - A 1 B+ D
T11 s T12 s L
T
s
T21
s
M
T22 s L
MO
T1r s
T2r
s
M
Tm1 s Tm2 s L Tmr s mxr
例3: 已知系统的动态方程为
T (s) c(sI A)1b d
0 1 0 0
MO
a1r
a2
r
L
am1 am2 L
amr
am1
am2
L
amr
x
x1 x2 L
xn T
x&1 t a11x1 t a12x2 t L a1n xn t b1u t x&2 t a21x1 t a22x2 t L a2nxn t b2u t
x& x&1 x&2 L x&n T M
C 称为系统的输出矩阵，d 是输入直接影响输出的传输系数。
多输入多输出-MIMO (Multiple Input Multiple Output)
状态空间表达式
其中：
x1
x
x2
xn
n维
状态向
量
u1
u
u2
ur
r 维输
入向量
y1
y
y2
ym
m 维输 出向量
A-系数矩阵 nn B-控制矩阵 nr C-输出矩阵 mn D-直接传递矩阵 mr
s | sI A | 0
1 s
0 1 s(s 1)(s 3) 0
0 3 s4
作业：pp470 9-7 (2)
2.由传递函数列写动态方程
第 控制系统的状态空间表达式PPT课件
（2）MIMO
x1
a11 a12
a1n
b11 b12
b1r
x
x2
,
A
a21
a22
a2
n
,
B
b21
b22
b2
r
xn
an1 an2
ann
bn1 bn2
bnr
u1
y1
c11 c12
u
u2
,
y
y2
,C
c21
c22
ur
ym
cm1 cm2
第98页/共88页
第165页/共88页
1.3 状态空间表达式的建立（一）
例1.3-1 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式
例题 1.3-1 【解答】 求解步骤： 1 选择状态变量 2 列写状态方程 3 列写输出方程 4 写成状态空间表达式
第176页/共88页
1.3 状态空间表达式的建立（一）
例1.3-1 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式
第54页/共88页
1.1 状态变量及状态空间表达式
例题 1.1-1 【解答】
2 列写一阶微分方程
C duC i dt
L
di dt
Ri uC
u
uC
1 C
i
i
1 L
uC
R L
i
1 L
u
3 列写状态方程和输出方程 x1(t) uC ,x2(t) iL i,y(t) uC x1
（1）状态方程
4 整理成状态空间表达式
x
x1
x2
0
k
m
y 1
状态空间法
状态空间法
状态空间法：是现代控制理论中建立在状态变量描述基础上的对控制系统分析和综合的方法。
状态变量是能完全描述系统运动的一组变量。
如果系统的外输入为已知，那么由这组变量的现时值就能完全确定系统在未来各时刻的运动状态。
通过状态变量描述能建立系统内部状态变量与外部输入变量和输出变量之间的关系。
反映状态变量与输入变量间因果关系的数学描述称为状态方程，而输出变量与状态变量和输入变量间的变换关系则由量测方程来描述。
状态空间法的主要数学基础是线性代数。
在状态空间法中，广泛用向量来表示系统的各种变量组，其中包括状态向量、输入向量和输出向量。
自动控制原理第九章状态空间分析方法资料
xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bnpu p
x1 , x2 , , xn 为状态变量；
u1 , u 2 , , u p
y1 , y2 , , yq
为输入量； 为输出变量。
矩阵形式：
x Ax Βu
1 C
i(t)dt
图9-2 RLC网络
选择状态变量
x1(t) i(t) x2 (t) i(t)dt
则有
x1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e
x2 x1
写成 输出
R
x
L
1 CL
x
1 L
u
1 0 0
y (t )
c(t )
返回子目录
一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
已知 t0 时状态，t t0 时的输入，可确定 t t0
时任一变量的运动状况。
： 状态变量 确定动力学系统状态的最小一组变
量
x。1(t),, xn (t)
状态向量：
x1 t
x2
t
如果完全描述一个给定系统的动 态行为需要n个状态变量，那么状态 向量定义为X(t)
式中
a11 a12 a1n
b11 b12 b1p
A a21
a22
a2n
B b21
b22
b2
p
自动控制原理状态空间法PPT文档78页
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
自动控制原理状态空间法
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
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6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
自动控制原理ห้องสมุดไป่ตู้态空间法
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克