概率论与数理统计浙大四版 第一章 第一章1讲
概率论与数理统计(浙大版)第一章课件
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品 、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 积 事 件 ;
事件 A 发生 事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包 含，则称这两个事件相等， 记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）
理学概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤概率论部分
例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
9
§2 样本空间·随机事件
(一)样本空间
定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}，
例：
➢ ➢
称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
第十二章 平稳随机过程
• 12.1 平稳随机过程的概念 • 12.2 各态历经性 • 12.3 相关函数的性质 • 12.4 平稳过程的功率谱密度
5
概率论
第一章概率论的基本概念
6
第一章 概率论的基本概念
关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性
7
§1 随机试验
确定性现象
解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次 试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由 怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者， 即认为其接待时间是有规定的。
概率论与数理统计(浙大_第四版简明本--盛骤) 第一章
解：
S={1,2,…,8} A={1,2,3}
P
A
3 8
22
例2：从上例的袋中不放回的摸两球，
记A={恰是一红一黄}，求P(A)．
解：
P( A)
C31C51
/ C82
15 28
53.6%
例3：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件，
记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)．
解：P(
• 7.1 参数的点估计 • 7.2 估计量的评选标准 • 7.3 区间估计
第八章
假设检验
• 8.1 假设检验 • 8.2 正态总体均值的假设检验 • 8.3 正态总体方差的假设检验 • 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 • 8.5 样本容量的选取 • 8.6 分布拟合检验 • 8.7 秩和检验
自然界与社会生活中的两类现象
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定
明天天气状况
——不确定
买了彩票会中奖 ——不确定
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概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
第九章 方差分析及回归分析
• 9.1 单因素试验的方差分析 • 9.2 双因素试验的方差分析 • 9.3 一元线性回归 • 9.4 多元线性回归
5
概率论
第一章概率论的基本概念
6
第一章 概率论的基本概念
关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性
概率论与数理统计 浙江大学第四版 课后习题答案 word 完整版
概率论与数理统计浙江大学第四版课后习题答案word 完整版完全版概率论与数理统计课后习题答案第四版盛骤浙江大学浙大第四版(高等教育出版社)第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一] 1),n表小班人数(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。
([一] 2)S10,11,12,………,n,………(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。
([一] 3)S00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,2.[二] 设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。
(1)A发生,B与C不发生。
表示为: 或A- AB+AC或A- B∪C(2)A,B都发生,而C不发生。
表示为: 或AB-ABC或AB-C(3)A,B,C中至少有一个发生表示为:A+B+C(4)A,B,C都发生,表示为:ABC(5)A,B,C都不发生,表示为:或S- A+B+C或(6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生相当于中至少有一个发生。
故表示为:。
(7)A,B,C中不多于二个发生。
相当于:中至少有一个发生。
故表示为:(8)A,B,C中至少有二个发生。
相当于:AB,BC,AC中至少有一个发生。
故表示为:AB+BC+AC6.[三] 设A,B是两事件且P A0.6,P B0.7. 问1在什么条件下P AB取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P AB取到最小值,最小值是多少?解:由P A 0.6,P B 0.7即知AB≠φ,(否则AB φ依互斥事件加法定理, PA∪BP A+P B0.6+0.71.31与P A∪B≤1矛盾).从而由加法定理得P ABP A+P B-P A∪B*(1)从0≤PAB≤PA知,当ABA,即A∩B时PAB取到最大值,最大值为PABPA0.6,(2)从*式知,当A∪BS时,PAB取最小值,最小值为PAB0.6+0.7-10.3 。
概率论与数理统计浙大第四版
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
浙江大学《概率论与数理统计》第1章
1。 P( A) 0
2。 P(S) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
称P(A)为事件A的概率。
性质：1 P() 0
证：令 An (n 1, 2,...),
例： 由n个部件组成的系统，记
n
• 串联系统： A Ai
i 1
n
• 并联系统： A Ai
i 1
Ai {第i个部件没有损坏}，i=1,2, ,n,
A＝{系统没有损坏}
1-3 频率与概率
(一)频率
定义：记
fn
(
A)
nA n
；
其中 n A —A发生的次数(频数)；
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
10 3 0.6 31 0.62
n =500 nH fn(H) 251 0.502 249 0.498 256 0.512 253 0.506 251 0.502 246 0.492 244 0.488 258 0.516 262 0.524 247 0.494
实验者 德·摩根
蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
1i jk n
例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率 均为0.4，其中至少有两人参加的概率为 0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至 少有一人参加的概率。
(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a， b)。 分布函数为
x
F (x) f (x)dx
0，
xa, ba
1，
x<a， a≤x≤b x>b。
指数分布
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（ x1, x2 ）内的概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a
。
f (x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b] 的概率。
分布函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F(x2) ；
An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独 立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P(A) 0 ，则有
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
（ 14 ） 独 立性
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都 相互独立。
n
A Bi
2°
i1 ， P( A) 0 ，（已经知道结果 求原因
则
3 / 33
（ 17 ） 伯 努利概型
P(Bi / A)
P(Bi )P( A / Bi )
n
，i=1，2，…n。
P(Bj )P(A/ Bj )
(浙大四版)概率论与数理统计知识点总结
5 / 28
泊松分布
设随机变量 X 的分布律为
k
P( X k )
e，
k!
0 ， k 0,1,2 ，
则称随 机变 量 X 服从 参数为 的泊 松分 布， 记为
X ~ ( ) 或者 P( ) 。
超几 何分 布
泊松分布为二项分布的极限分布（ np=λ，n→∞）。
P( X
k)
C
k M
C
n N
C
n N
k M
1 e ， 2 2
4 / 28
（4）分 布函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 F (x) P( X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F (b) F (a) 可以得到 X 落入区间 (a,b] 的概率。
分布函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（–∞， x] 内的概率。
（ 15）全 概公式
（ 16）贝 叶斯公式
定义设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条 P( A)
件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P( B / A) P( AB) 。 P ( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P( AB) P( A) P( B / A)
分布函数具有如下性质：
1° 0 F ( x) 1,
x
；
2° F ( x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F (x1) F (x2) ；
3° F ( ) lim F ( x) 0 ， F ( ) lim F ( x) 1 ；
(完整word版)(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结详解
（7）概率 的公理化 定义
Ai Ai
德摩根率： i1
i1
AB AB，AB AB
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：
件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A) 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
An 1) 。 ①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独 立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P(A) 0 ，则有
A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
1
概率论与数理统计 公式（全）
知识点总结
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同
时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不 相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示
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概率论与数理统计 公式（全）
知识点总结
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
(浙大第四版)概率论与数理统计
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F (x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
5° P(X x) F(x) F(x 0) 。
n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
（3）一些 常见排列
重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题
（4）随机 试验和随 机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。
常称为可列（完全）可加性。
则称 P(A)为事件 A 的概率。
（8）古典 概型
1° 1, 2 n ，
2°
P(1 )
P( 2
)
P( n
)
1 n
。
设任一事件 A ，它是由1, 2 m 组成的，则有
P(A)=(1 ) (2 ) (m ) = P(1 ) P(2 ) P(m )
m n
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
（15）全概 公式
设事件 B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
P( X
k)
Pn(k )
C
k n
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# 频率 反映了事件A发生的频繁程度。
15
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
i1
i1
i1
i1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来}
都不来}
A BAB{甲、乙至少有一人不来}
14
§3 频率与概率
例：
称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
S={0,1,2,…}； 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 记录一批产品的寿命x S={ x|a≤x≤b }
10
(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且 仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
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第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…} S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ 为不可能事件，Φ 不包含
《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案
概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。
表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C（4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。
相当于：C B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
浙大四版《概率论与数理统计》第一章内容提要及课后习题解答
第一章概率论的基本概念内容提要考试要求1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法.一、古典概型与几何概型1．随机试验，样本空间与事件.2．古典概型：设样本空间为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则3．几何概型：设为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则二事件的关系与概率的性质1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有：（1）A与B互斥（互不相容）（2）A与B互逆（对立事件）,（3）A与B相互独立P（AB）=P（A）P（B）.P（B|A）=P（B）（P（A）>0）.（0<P（A）<1）.P（B|A）=P（B|）（0 < P（A）< 1 ）注: 若（0<P（B）<1）,则独立P（A|B）=P（A）（P（B）>0）（0<P（B）<1）.P（A|B）=P（A|）（0<P（B）<1）P（|B）=P（|）（0<P（B）<1）（4）A, B, C两两独立⇔P（AB）=P（A）P（B）;P（BC）=P（B）P（C）;P（AC）=P（A）P（C）.（5）A, B, C相互独立⇔P（AB）=P（A）P（B）;P（BC）=P（B）P（C）;P（AC）=P（A）P（C）;P（ABC）=P（A）P（B）P（C）.2. 重要公式（1）（2）（3）（4）若A1, A2,…,A n两两互斥, 则.（5）若A, …, A相互独立, 则..（6） 条件概率公式: （P （A ）>0）三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式1． 乘法公式：2． 全概率公式：3．Bayes 公式：11(|)()(|),,,.(|)()j j j i j i i i ii P B A P A P A B A i j A P B A P A ∞∞====Φ≠=Ω∑ A 4．二项概率公式:,课后习题解答随机试验与随机事件1. 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1），n 表小班人数（2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
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二、概率论的发展（四个阶段）
第一阶段：古典概率 这个定义是法国数学家拉普拉斯1812年给出的。 它讨论的对象仅限于随机试验中所有可能结果为 有限多且等可能的情形（如掷硬币、抽签、摸球 等）。随着概率论中各个领域获得大量成果，以 及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用， 由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露 了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此 可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念， 诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个 数学分支，缺乏严格的理论基础。
• 第二阶段：几何概率.它是利用几何图形的点的个 数，长度、面积、体积等的比来刻画。它包含古 典概率，有更大的适用范围。（转盘问题、投点 问题、等候问题） • 第三阶段：概率的频率定义.在大量重复进行同一 试验时， 事件 A 发生的频率m/n 总是接近于某 个常数C，在它附近摆动,这时就把这个C常数叫做 事件 A 的概率记作P(A)= C。 • 第四阶段：概率的公理化定义。为概率论确定严 密的理论基础的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫。 1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》， 用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展 史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展 奠定了基础。
• 19世纪末，俄国数学家P.L.切比雪夫、 A.A.马尔可夫、A.M.李亚普诺夫等人用分 析方法建立了大数定律及中心极限定理的 一般形式，科学地解释了为什么实际中遇 到的许多随机变量近似服从正态分布。20 世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随 机过程。这方面A.N.柯尔莫哥洛夫、N.维 纳、A.A.马尔可夫、A.R辛钦、P.莱维及W. 费勒等人作了杰出的贡献。
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帕斯卡和费马以“赌金分配问题”开始 的通信形式讨论，开创了概率论研究的先河. 后来荷兰数学家惠更斯（1629－1695）也参 加了这场讨论,并写出了关于概率论的第一 篇正式论文《赌博中的推理》.帕斯卡、费 马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人. • 随着18、19世纪科学的发展，人们注意 到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏 之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的 概率论被应用到这些领域中；同时这也大大 推动了概率论本身的发展。
下面我简要地从三个方面介绍“概率论” 的相关知识 ：
一、概率论的起源
二、概率论的发展 三、概率论的应用
概率论的起源
促使概率论产生的强大动力来自社会实 践．首先是保险事业．文艺复兴后，随着航海事 业的发展，意大利开始出现海上保险业务．16世 纪末，在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其它 工商业上，保险的对象都是偶然性事件．为了保 证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保 险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析， 去创立保险的一般理论．于是，一种专门适用于 分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了．
• 使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞 士数学家伯努利，在他写的概率论的第一本 专著《推测术》中，他建立了概率论中第一 个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事 件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和 P.S.拉普拉斯 又导出了第二个基本极限定 理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯 在系统总结前人工作的基础上写出了《分析 的概率理论》，明确给出了概率的古典定义， 并在概率论中引入了更有力的分析工具，将 概率论推向一个新的发展阶段。
概率论 与数理统计
Probability and Mathematical Statistics 授 课 人： 张学梅
张学梅简况
学位：博士 教研室：高等数学教研室 办公地点：主楼C625 办公电话：61772874 E-mail: zhxuem@
学习要求
• 期末考试成绩70％，平时成绩30％
不过，作为数学科学之一的概率论，其基础并 不是在上述实际问题的材料上形成的．因为这些问 题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干 扰，使它难以呈“自然的随机状态”。
概率论的起源与赌博问题有关。 1494年意大利 数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术 技术的书.书中叙述了这样的一个问题:在一场赌博 中,某一方先胜6局便算赢家,那么,当甲方胜了4局, 乙方胜了3局的情况下,因出现意外,赌局被中断,无 法继续,此时,赌金应该如何分配?
• 平时成绩由出勤、作业完成情况、课堂 表现等决定 • 不能无故缺席课堂，缺课1在社会生产活动中，人们常常在不确定的情况下 做出决策。比如：许多人希望通过抽彩票中大奖，你 们参与过吗？ 2008年2月22日，美国佐治亚州波特尔镇54岁的铁 厂工人罗伯特·哈里斯和47岁妻子唐娅·哈里斯用6个 孙儿的生日数字作为“幸运号码”购买了两张“兆彩” 彩票，当中奖号码开出后，哈里斯夫妇购买的一张彩 票竟然一举中了2.7亿美元的头奖！据统计，美国“兆 彩”头奖的中奖概率只有1.76亿分之一，这一中奖概率 比遭雷击的概率还小。
此类现象都可归类于概率问题，概率属于“不确 定性”数学，它探求社会生活中这些不确定现象的规 律性（必然性）---是对“可能性”的量化； 19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生 活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题”。 可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的， 只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身， 归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概 率论的基础之上。
• 帕西奥尼的答案是:应当按照4:3的比 例把赌金分给双方.当时,许多人都认 为帕西奥尼的分法不是那么公平合理. 因为,已胜了4局的一方只要再胜2局就 可以拿走全部的赌金,而另一方则需要 胜3局.
但是,人们又找不到更好的解决方法.在这以后 100多年中,先后有多位数学家研究过这个问题, 但均未得到过正确的答案.直到1654年一位经验 丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡 请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数 学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数 学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信, 他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了 这个问题.