八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理勾股定理(第1课时)重难点突破素材新版北师大版

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北师版八年级数学上册第一章勾股定理1 探索勾股定理

式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表方法
伽菲尔德总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75，求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2，则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)．所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.

北师大版初中数学八年级(上)第一章勾股定理1-3勾股定理的应用教学详案

第一章勾股定理3 勾股定理的应用教学目标1.利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.教学重难点重点：构建直角三角形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.难点：从实际问题中合理抽象出数学模型.教学过程导入新课游乐场有一个圆柱形的大型玩具,如图所示,现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子,正好到达A点的正上方B点,已知圆柱形玩具的底面周长是12米,高AB为5米,那么梯子的长度是多少米?探究新知一、合作探究【探究1】确定立体物体表面上两点之间的最短距离.【例1】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？(2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？∵AB2 = 122+92，∴AB = 15(cm).答：蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.变式训练：如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q,那么所用细线最短需要_________cm.答案：13【探究2】应用勾股定理解决实际问题【例2】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.【解】设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC = 90°，由勾股定理得AE2+CE2 = AC2，即(x-1)2+32 = x2，解得x = 5.故滑道AC的长度为5 m.变式训练：在一次消防演习中,消防员架起一架25米长的云梯,如图所示那样斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.(1)这架云梯的顶端距地面有多高?(2)如果消防员接到命令,要把云梯的顶端下降4米(云梯长度不变),那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米?解：(1)由题图可以看出云梯、墙、地面可围成一个直角三角形,即云梯为斜边,云梯底部到墙的线段为一条直角边,云梯顶端到地面的线段为另一条直角边.根据题意252-72 = 242，所以云梯顶端距地面有24米.(2)当云梯顶端下降4米后,云梯顶部到地面的距离为20米.因为252-202 = 152,且15-7 = 8(米)，所以云梯底部应水平滑动8米.课堂练习1.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，则问这根铁棒应有多长？2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为____.m=0.33m)的正方形.在水池正中央3.有一个水池，水面是一个边长为10尺(1尺=13有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？4.如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂的吗？参考答案1.解：如图，由题意得当铁棒在B处：AC = 1.5米，BC = 2米.∵AB2 = AC2+CB2 = 2.52，∴AB = 2.5米.∵油桶外的部分是0.5米，∴AD = 2.5+0.5 = 3(米).当铁棒垂直进入，得出油桶中的长度1.5米+桶外的0.5米= 2米.答：这根铁棒的长度范围是2米到3米.2.253.解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺.根据题意得x²+5² =（x+1）².解得x =12.x+1=12+1=13（尺）.答：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺和13尺.4.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由题意得x2+82 = (16-x)2,解得x = 6米.答：旗杆在离底部6米的位置断裂.课堂小结确定立体物体表面上两点之间的最短距离的方法：将其转化为平面上两点间的距离，利用两点之间，线段最短来求解.布置作业习题1.4第1，2，3，4题板书设计3 勾股定理的应用1.确定立体物体表面上两点之间的最短距离例1 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？2.应用勾股定理解决实际问题例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.。

北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理(教案)

1. 探究勾股定理1.经历用测量法和数格子的方法探究勾股定理的过程,开展合情推理才能,体会数形结合的思想.2.会解决直角三角形的两边求另一边的问题.1.经历“测量—猜测—归纳—验证〞等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜测、归纳、验证等过程中培养语言表达才能和初步的逻辑推理才能.3.在探究过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.通过让学生参加探究与创造,获得参加数学活动成功的经历.【重点】勾股定理的探究及应用.【难点】勾股定理的探究过程.【老师准备】分发给学生打印的方格纸.【学生准备】有刻度的直尺.导入一:展示教材P2开头的情境.如下图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,假如这条钢索在地面的固定点间隔电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.[设计意图]创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.导入二:如下图,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?【师生活动】在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边确定吗?为什么?在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探究吧!一、用测量的方法探究勾股定理思路一【学生活动】1.画一个直角三角形,使直角边长分别为3 cm和4 cm,测量一下斜边长是多少.2.画一个直角边长分别是6 cm和8 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.3.画一个直角边长分别是5 cm和12 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.【问题】你能观察出直角三角形三边之间的关系吗?[设计意图]帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探究欲望.思路二任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.直角三角形直角边长直角边长斜边长123【师生活动】师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很准确,他用了很接近这个词,非常棒!有哪些数据得到了a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……师:哪些数据没得到a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?二、验证直角三角形三条边长度存在的特殊关系,用数格子的方法探究勾股定理1.探究等腰直角三角形的情况.思路一展示教材P2图1 - 2局部图.探究问题:(1)这个三角形是什么样的三角形?(2)直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足怎样的数量关系?(学生通过数格子的方法可以得出S A+S B=S C)[设计意图]通过三个正方形面积的关系,得到直角三角形三边的关系.思路二展示教材P2图1 - 2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜测的数量关系吗?你是如何计算的?【师生活动】师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜测如何实现?生:用正方形A,B,C刻画的,就是证A+B=C.师:再准确点说呢?生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.(学生交流面积C的求法,老师巡视点评)生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.师:你用什么方法得到正方形C的面积为18个单位面积?生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算) 生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法)师:方法不错,你们很擅长动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到C的面积,还有什么方法可以得到吗?生:在正方形C的外侧画一个大正方形,用大正方形的面积减去4个三角形的面积.(学生板演,口述面积求法)师:很好,他采用了补形的方法计算面积,我们能得到什么结论?生1:S A+S B=S C.生2:a2+b2=c2.师:我们看到上面的三角形具有特殊性,是等腰直角三角形,一般三角形能验证吗?2.探究边长为3,4,5的直角三角形的情况.展示教材P2图1 - 3局部图.对于一般的直角三角形是否也有这样的关系?你是如何计算的?【问题】(1)正方形A的面积是多少个方格?正方形B的面积是多少个方格?(2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格?(3)三个正方形的面积之间有什么关系?同桌交流、小组讨论,共同讨论如何求正方形的面积,找到三边平方之间的关系.【提示】在正方形C的四周再补上三个相等的直角三角形,变成一个新的大正方形.【拓展】假如直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜测的数量关系还成立吗?说明你的理由.学生考虑、交流,老师请学生口答,并板书,指出这就是这节课要学习的勾股定理.【学生总结】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.[考虑](1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?(3)由(2)知直角三角形中,只要知道条边,就可以利用求出.[设计意图]让学生经历“独立考虑——小组讨论——合作交流〞的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.[知识拓展]1.由勾股定理的根本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).2.在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,假设c为最大边长,那么有a2+b2<c2,在锐角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,假设c为最大边长,那么有a2+b2>c2.1.勾股定理的由来.2.勾股定理的探究方法:测量法和数格子法.3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,那么ΔABC的斜边AB的长是()C.9.6D.8解析:BC2=122=144,AC2=162=256,AB2=AC2+BC2=400=202.应选A.2.直角三角形两直角边长分别是6和8,那么周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶7解析:利用勾股定理求出斜边的长为10.应选B.3.(2021·温州模拟)如下图,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,假设BC=10,AD=12,那么AC=.解析:根据等腰三角形三线合一,判断出ΔADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.4.如下图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,那么S1+S2的值等于.解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆的面积.所以S1+S2=1πAB2=12.5π.故填12.5π.8第1课时1.概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.表示法:假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.一、教材作业【必做题】教材第3页随堂练习第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第2题.二、课后作业【根底稳固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,那么AC=.2.假设三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,那么此三角形的周长为,面积为.3.(2021·凉山中考)直角三角形的两边长分别是3和4,那么第三边长为.4.假如梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【才能提升】5.如下图,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c6.如下图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如下图,阴影局部是一个正方形,它的面积为.8.如下图,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中程度飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机间隔这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如下图,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如下图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,那么BD=.13.如下图,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的间隔是.【答案与解析】1.8(解析:AC2=BC2-AB2=64.)2.3030(解析:由题意得此直角三角形的斜边长为13.)3.5或√74.12米5.D(解析:两个正数比拟大小,可以按照下面的方法进展:假如a>0,b>0,并且a2>b2,那么a>b.可以设每一个小正方形的边长为1,在直角三角形BDC中,根据勾股定理可以求出a2=10,同理可以求出b2=5,c2=13,因为a>0,b>0,c>0,且b2<a2<c2,所以b<a<c.)6.5∶8(解析:可以设每个小正方形的边长为1,那么正方形ABCD的面积就是4×4=16,斜放的小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边长,另外两条直角边长分别是1和3,根据勾股定理可以求出小正方形的面积是10.所以以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.)7.64 cm2(解析:设阴影局部的边长为x,那么它的面积为x2=172-152=64(cm2).)8.7(解析:根据正方形的面积公式和勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积,由勾股定理可知A=16-9=7.故A的面积为7.)9.解:根据题意可以先画出符合题意的图形.如下图,在ΔABC中,∠C=90°,AC=4000米,AB=5000米,欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道飞机在20秒的时间里飞行的路程,即图中的CB长,由于RtΔABC的斜边AB=5000米=5千米,AC=4000米=4千米,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,即BC=3千米.飞机20秒飞行3千米,那么它1小时飞行×3=540(千米).答:飞机每小时飞行540千米.的间隔为36002010.解:连接AC,在RtΔABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5.又因为2.22=4.84<5.所以AC>木板的宽,所以木板可以从门框内通过.11.解:在RtΔABD中,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=252-242=49,所以BD=7.在RtΔADC中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=302-242=324,所以CD=18.所以BC=BD+DC=7+18=25.12.2(解析:∵在RtΔABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,∵以点A为圆心,AC 长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC,∴AD=3,∴BD=AB-AD=5-3=2.)13.15(解析:解此题时要求出A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6等各线段的长,再利用勾股定理求解.)从本节课教案的思路设计看,始终贯彻以学生为主体,充分运用各种手段调动学生参与探究活动的积极性.课前的导入利用生活中的问题,唤起学生带着问题进入本节课的学习.在探求直角三角形三边平方关系时,遵循了发现问题、证实问题到推导问题的认识过程.在引导学生进展探究的过程中,对学生的指导过多,不敢放手让学生自己进展尝试.比方在利用教材第2页下面的两幅图的时候,要求学生选取与教材一致的数据.在这里应该放手让学生自己选取数据.在总结勾股定理的时候,可以让学生自己总结勾股定理的数学表达式.在利用教材给出的例如进展勾股定理结论探究的时候,一定要立足于“面积相等〞这个探究的立足点,这样才能保证学生找准探究活动的方向.随堂练习(教材第3页)1.解:字母A代表的正方形的面积=225+400=625,字母B代表的正方形的面积=225-81=144.2.解:不同意他的想法,因为29 in的电视机是指屏幕长方形的对角线长为29 in,由屏幕的长为58 cm,宽为46 cm,可知屏幕的对角线长的平方=(46025.4)2+(58025.4)2,所以对角线长≈29 in.习题1.1(教材第4页)1.解:①x2=62+82=100,x=10.②y2=132-52=144,y=12.2.解:172-152=64,所以另一条直角边长为8 cm.面积为12×8×15=60(cm2).3.解:此题具有一定的开放性,现给出4种方案:如下图,设①的面积为g,③的面积为e,④的面积为f,⑦的面积为a,⑨的面积为b,⑧的面积为d ,⑩的面积为c ,那么(1)a +b +c +d =g ,(2)a +b +f =g ,(3)e +c +d =g ,(4)e +f =g.4.解:过C 点作CD ⊥AB 于D ,因为CA =CB =5 cm,所以AD =BD =12AB =3 cm .在Rt ΔADC 中,CD 2=AC 2-AD 2,所以CD =4 cm,所以S ΔABC =12AB ·CD =12×6×4=12(cm 2).(2021·淮安中考)如左下列图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A ,B 都是格点,那么线段AB 的长度为( )C .7D .25〔解析〕此题考察勾股定理的知识,解答此题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用,建立格点三角形.如下图,利用勾股定理求解AB 的长度即可.由图可知AC =4,BC =3,那么由勾股定理得AB =5.应选A .如下图,直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,假设a ,c 的面积分别为3和4,那么b 的面积为 .〔解析〕 ∵∠ACB +∠ECD =90°,∠DEC +∠ECD =90°,∴∠ACB =∠DEC.∵∠ABC =∠CDE ,AC =CE ,∴ΔABC ≌ΔCDE ,∴BC =DE.根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,∴b的面积=3+4=7.故填7.。

《探索勾股定理》教学设计

《探索勾股定理》教学设计一、教学分析（一）教学内容分析本节课是北师大版数学八年上册第一章《勾股定理》第一节第1课时的内容，勾股定理是几何中极重要的一个定理, 它揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将数与形密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用.本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数、学习三角函数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性和连续性.此外，历史上勾股定理的发现反映了人类的杰出智慧，其中蕴含着丰富的科学和人文价值.本节课内容渗透了数形结合、转化、从特殊到一般等数学思想方法，教材中关于勾股定理的多种验证及勾股定理的推广等，都可供学生探究与挖掘，是渗透研究性学习，培养学生探究能力和创新精神的极好素材.（二）教学对象分析本节课所教学生是沈阳市博才中学八年级四班学生，学生数学基础较好，思维活跃，自主学习和小组合作的能力较强；学生对多媒体大屏幕环境下的课堂环境非常熟悉，对数学上常用的几何画板比较了解；学生已经掌握了直角三角形的有关性质，并且已经对图形的探索、验证有了一定的推理能力，因此学生对勾股定理的学习会有较浓厚的兴趣.（三）教学环境分析选择多媒体教室进行授课.使用相关的教学软件：FLASH、几何画板等来完成各种图形的制作.二、教学目标（一）知识与技能1.使学生在探索勾股定理的过程中，掌握直角三角形三边之间的数量关系.2.学会初步运用勾股定理进行简单的计算，并解决实际问题.（二）过程与方法让学生经历用面积法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程.（三）情感、态度与价值观1.通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习热情．2.在探索勾股定理的过程中体验获得成功的快乐.三、教学重点难点（一）教学重点探索和验证勾股定理及简单应用.（二）教学难点通过计算面积的方法探索勾股定理及简单应用.四、教法与学法分析（一）教法分析我采用探究发现式的教学方法，安排了两探究活动，通过方格纸为学生设计一个合适的学习铺垫，通过观察、计算、多媒体辅助演示，使学生在教师的引导下达到知识的顺利迁移和综合内化.（二）学法分析在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动口、动脑的能力，使学生真正成为学习的主体.五、教学过程根据新课程改革的教学理念，本节课我采用如下的教学模式来组织教学，力求着眼于学生探究能力和创造性思维能力的培养.“创设情境引入新课----师生互动探究新知----验证结论得到定理----回归生活应用新知----感悟收获巩固拓展---归纳总结布置作业”至此，使各个教学目标在整个教学过程中，逐步得到落实.(五)感悟收获巩固拓展1.如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？2.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1尺红莲被风一吹，花朵刚好与水面平齐，已知红莲移动的水平距离是2尺问这里水深是多少？讲练结合法为了检验学生是否完成了学习目标，及时反馈学生掌握知识情况，给出以上两题进一步体会勾股定理在实际生活中的应用，还渗透了方程思想.设计意图这两题立足于巩固，着眼于发展，使学生进一步巩固所学内容，增强学生学数学、用数学的意识.图片演示，立体直观.（六）归纳总结布置作业归纳总结1.这节课你学到了什么知识？2.运用“勾股定理”应注意什么问题？3.你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？作业1.探索勾股定理还有那学方法？2.查找有关勾股定理相关的历史知识.送给同学们一副对联（flash）.设计意图反思总结、布置作业学生们对本节课的知识认真的加以梳理，并为学习新知做好准备.内化知识，培养能力.与情境引入交相呼应，也为下节课学习做好铺垫 .视频对联4米3米六、教学过程反思1.本节课的教学流程体现了知识发生,形成和发展过程,让学生体会到观察,猜想,归纳,验证的思想和数形结合的思想.2.本节课最大的亮点是：始终把学生的探索与验证活动放在首位，整个教学过程我采用动画、几何画板、图片等多媒体形式引导学生主动参与课堂活动，借助信息技术手段适时呈现问题情境，以丰富学生的感性认识，增强直观效果，提高课堂教学效率，建立平等、民主、和谐的师生关系，意在创设一种学生乐学的课堂气氛，让学生真正成为课堂的主体，最终实现知识的建构.七、板书设计。

八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时课件新版北师大版.ppt

第一章勾股定理 1 探索勾股定理第1课时勾股定理（1）
情景导入我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关系？
思考探究，获取新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
2.观察与发现观察图形，正方形A中有 9 个小方格，即A的面积为 9 个
面积单位。
正方形B中有 9 个小方格，即B的面积为 9 个面积单位。正方形C中有 18 个小方格，即C的面积为 18 个面积单位。
你发现A、B、C的面积之间有什么关系？
归纳得出结论：A+B=C
观察下图，A、B、C之间是否还满足关系式： Aห้องสมุดไป่ตู้B=C.
随堂练习 1.求下图中字母所代表的正方形的面积。
A
（1）
（2）
解:A 所代表的正方形的面积是625； B 所代表的正方形的面积是144．
3.思考
如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，前面所猜想的数量关系式还成立吗？
你发现了吗？
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有a2+b2=c2.
c a
b
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来。

《探索勾股定理》第一课时说课稿

《研究勾股定理》第一课时讲课稿《研究勾股定理》第一课时讲课稿1一、教材剖析（一）教材地位这节课是九年制义务教育初级中学教材北师大版八年级第一章第一节《研究勾股定理》第一课时，它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着宽泛的作用。

学生经过对勾股定理的学习，能够在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

（二）教课目的知识与能力：掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单实质问题 .过程与方法：经历研究及考证勾股定理的过程, 认识利用拼图考证勾股定理的方法，发展学生的合情推理意识、主动研究的习惯，感觉数形联合和从特别到一般的思想 .感情态度与价值观：激发学生爱国热忱，让学生体验自己努力获得结论的成就感，体验数学充满研究和创建，体验数学的美感, 进而认识数学 , 喜爱数学 .（三）教课要点：经历研究及考证勾股定理的过程，并能用它来解决一些简单的实质问题。

教课难点：用面积法（拼图法）发现勾股定理。

突出要点、打破难点的方法：发挥学生的主体作用 , 经过学生着手实验，让学生在实验中研究、在研究中意会、在意会中理解.二、教法与学法剖析：学情剖析: 八年级学生已经具备必定的察看、归纳、猜想和推理的能力．他们在小学已学习了一些几何图形的面积计算方法（包含割补、拼接）, 但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够 . 此外，学生广泛学习踊跃性较高，讲堂活动参加较主动，但合作沟通的能力还有待增强．教法剖析 : 联合八年级学生和本节教材的特色 , 在教课中采纳“问题情境 ---- 成立模型 ---- 解说应用 --- 拓展稳固” 的模式 ,选择指引研究法。

把教课过程转变为学生亲自察看，勇敢猜想，自主研究，合作沟通，归纳总结的过程。

学法剖析 : 在教师的组织指引下，学生采纳自主研究合作交流的 ' 商讨式学习方式 , 使学生真实成为学习的主人.三、教课过程设计1.创建情境，提出问题2.实验操作，模型建立3.回归生活，应用新知4. 知识拓展，稳固深入5. 感悟收获，部署作业( 一) 创建情境提出问题(1)图片赏识勾股定理数形图 1955 年希腊刊行漂亮的勾股树 20__ 年国际数学的一枚纪念邮票大会会标设计企图 : 经过图形赏识 , 感觉数学美 , 感觉勾股定理的文化价值 .(2)某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，认识到每层楼高3 米，消防队员取来 6.5 米长的云梯，假如梯子的底部离墙基的距离是 2.5 米，请问消防队员可否进入三楼灭火?设计企图 : 以实质问题为切入点引入新课，反应了数学________于实质生活，产生于人的需要，也表现了知识的发生过程，解决问题的过程也是一个“数学化”的过程，进而引出下边的环节 .二、实验操作模型建立1.等腰直角三角形 ( 数格子 )2.一般直角三角形 ( 割补 )问题一 : 对于等腰直角三角形，正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积有何关系？设计企图 : 这样做利于学生参加研究，利于培育学生的语言表达能力，领会数形联合的思想 .问题二 : 对于一般的直角三角形，正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积也有这个关系吗？ ( 割补法是本节的难点 , 组织学生合作沟通 )设计企图 : 不单有利于打破难点，并且为归纳结论打下基础，让学生的剖析问题解决问题的能力在无形中获得提升.经过以上实验归纳总结勾股定理.设计企图 : 学生经过合作沟通，归纳出勾股定理的雏形，培育学生抽象、归纳的能力，同时发挥了学生的主体作用，体验了从特别——一般的认知规律 .三. 回归生活应用新知让学生解决开头情形中的问题，前呼后应，增强学生学数学、用数学的意识，增添学致使用的乐趣和信心 .四、知识拓展稳固深入基础题 , 情境题 , 研究题 .设计企图: 给出一组题目，分三个梯度，由浅入深层层练习，照料学生的个体差别，关注学生的个性发展 . 知识的运用获得升华.基础题 : 直角三角形的向来角边长为 3，斜边为 5，另向来角边长为 X，你能够依据条件提出多少个数学识题？你能解决所提出的问题吗？设计企图 : 这道题立足于双基．经过学生自己创建情境，锻炼了发散思想．情境题 : 小明妈妈买了一部 29 英寸（ 74 厘米）的电视机 . 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58 厘米长和 46 厘米宽，他感觉必定是售货员搞错了 . 你赞同他的想法吗？设计企图 : 增添学生的生活知识，也表现了数学源于生活，并用于生活。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理探索勾股定理(第1课时)

答：斜边AB的长度为13厘米.
方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.
巩固练习
变式训练
求下列图形中未知边的长度：
解：由勾股定理得： 62+x2=102 ,
所以x2=64, 所以x=8.
探究新知
素养考点 2 利用勾股定理求面积问题
1.寻求图形面积之间的关系
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
b
c
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169，所以AB=13厘米.
12AB×CD.
所以CD=
15 2.
C
4
B
课堂检测
能力提升题
如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为
S1、S2、S3,则S1、S2、S3的关系是（ A）
A. S1+S2=S3 B. S12+S22=S32 C. S1+S2>S3 D. S1+S2<S3
课堂检测
拓广探索题
如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第 2个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰Rt△ADE，…，依此类
a
b
c
a2,b2,c2之间关系
探究新知问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?

北师版八年级数学上册第一章勾股定理教案

第一章勾股定理1．1 探索勾股定理第1课时探索勾股定理1．会用数格子(或割、补、拼等)的办法体验勾股定理的探索过程、理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系．2．学会运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．(重难点)阅读课本P1～3，完成预习内容．(一)知识探究1．观察下面两幅图：2．填表：(1)两图中三个正方形A，B，C的面积有什么关系？解：A的面积＋B的面积＝C的面积．(2)两图中三个正方形A，B，C围成的直角三角形的三边有什么关系？解：A的边长的平方＋B的边长的平方＝C的边长的平方．3．阅读课本第3页知识并牢记勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2．(二)自学反馈1．下列说法中正确的是(C)A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2＋b2＝c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，则a2＋b2＝c22．若Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝8，则AC的值是(B)A．5 B．6C．7 D．83．如图，字母B所代表的正方形的面积是(C)A．12B．13C．144D．194活动1 小组讨论例1 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度．解：左边未知正方形的面积为225，右边x＝8.例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.①若a＝3，b＝4，则c2＝25，c＝5；②若a＝6，b＝8，则c2＝100，c＝10；③若a＝40，b＝9，则c＝41；④若a＝15，b＝8，则c＝17．活动2 跟踪训练1．在△ABC中，∠C＝90°.若 a＝5，b＝12，则 c＝13；若c＝41，a＝9，则b＝40．2．等腰△ABC的腰长AB＝10 cm，底BC为16 cm，则底边上的高为6，面积为48．3．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为(C)A．42 B．32C．42或 32 D．37 或 33活动3 课堂小结1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流．第2课时验证勾股定理及其计算1．学会用拼图法、等积法验证勾股定理的正确性．2．学会用勾股定理解决实际问题．(重难点)阅读课本P4～6，完成预习内容．(一)知识探究求出下列未知边的长度．解：y＝102－62＝64＝8.(二)自学反馈1．在△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，c＝10，则b＝8．2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，木板的长为2.5m.活动1 小组讨论例1 你能利用图中的正方形和直角三角形验证勾股定理吗？用割补的方法验证勾股定理：(画图说明理由)方法一：方法二：例2我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车与他相距500 m，你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？解：由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2，即5002＝BC2＋4002，所以BC＝300.敌方汽车10 s行驶了300 m，那么它1 h行驶的距离为300×6×60＝108 000(m)，即敌方汽车的速度为108 km/h.活动2 跟踪训练1．等腰三角形的腰长为13 cm ，底边长为10 cm ，则它的面积为(D)A ．30 cm 2B ．130 cm 2C ．120 cm 2D ．60 cm 22．直角三角形两直角边长分别为5 cm ，12 cm ，则斜边上的高为6013cm.3．你能利用这种方法证明勾股定理吗？解：梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式得：12(a ＋b)(b ＋a)＝2·12ab ＋12c 2.化简即为a 2＋b 2＝c 2.4．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达地点B200 m ，结果他在水中实际游了520 m ，该河流的宽度为多少？解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB ＝AC 2－BC 2＝5202－2002＝480(m)．答：该河流的宽度为480 m. 活动3 课堂小结通过本节的学习你有何收获呢？1.2 一定是直角三角形吗1．学会用勾股定理逆定理判断三角形是不是直角三角形．(重点)2．理解勾股数的概念，并准确的判断一组数是不是勾股数．(重点)3．能对直角三角形的判别条件进行一些综合运用．(难点)阅读课本P9～10，完成预习内容．(一)知识探究下列各组数是一个三角形的三边长a、b、c.3、4、5；5、12、13；6、10、12.(1)这三组数都满足a2＋b2＝c2吗？(2)分别以每组数为边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？(单位：cm)(3)请你说说三角形三边符合什么条件才是直角三角形呢？(4)请你举出几组勾股数．解：(1)前面两组满足，最后一组不满足．(2)前面两组数构成的三角形是直角三角形，最后一组数构成的三角形不是直角三角形．(3)满足a2＋b2＝c2才是直角三角形．(4)比如9，40，41；7，24，25；6，8，10等．(二) 自学反馈1．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是(A)A．a＝1.5，b＝2，c＝3B．a＝7，b＝24，c＝25C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝3，b＝4，c＝52．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(A)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对活动1 小组讨论例1判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．(1)a＝15，b＝8，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15.解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，152＋82＝172，所以这个三角形是直角三角形．(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，132＋142≠152，所以这个三角形不是直角三角形．例2一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？图1 图2解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．因此，这个零件符合要求．活动2 跟踪训练1．如果三条线段长a 、b 、c 满足a 2＝c 2－b 2，那么这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？解：是．因为a 2＝c 2－b 2，所以a 2＋b 2＝c 2，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形． 2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(C) A ．5，6，7 B ．10，8，4 C ．7，25，24 D ．9，17，153．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2－1，c ＝m 2＋1，那么a 、b 、c 为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？解：对．因为a 2＋b 2＝(2m)2＋(m 2－1)2＝4m 2＋m 4－2m 2＋1＝m 4＋2m 2＋1＝(m 2＋1)2，而c 2＝(m 2＋1)2，所以a 2＋b 2＝c 2，即a 、b 、c 是勾股数．m ＝2时，勾股数为4、3、5；m ＝3时，勾股数为6、8、10；m ＝4时，勾股数为8、15、17. 4．如图，AB ＝3，CB ＝4，∠ABC ＝90°，CD ＝13，AD ＝12.求该图形的面积．解：连接AC.因为在Rt △ACB 中，AB ＝3，CB ＝4，所以AC ＝32＋42＝5. 在△ACD 中，因为AC 2＋AD 2＝52＋122＝132＝DC 2，所以△ADC 为直角三角形．所以该图形的面积为S △ADC －S △ACB ＝12×5×12－12×3×4＝24.活动3 课堂小结1．勾股定理的逆定理． 2．互逆命题． 3．互逆定理． 4．勾股数．5．勾股定理的应用：(1)判断三角形的形状；(2)用于求角的度数；(3)用于求边长；(4)用于求面积；(5)用于证垂直.1.3 勾股定理的应用1．学会用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题．(重点) 2．在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法的理解．阅读课本P13～14，完成预习内容． (一)知识探究如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？容易得出四种方案：情形(1) 情形(2) 情形(3) 情形(4)易算出：情形(1)中A →B 的路线长为：AA ′＋d ，情形(2)中A →B 的路线长为：AA ′＋πd2.所以情形(1)的路线比情形(2)要短．在情形(3)和(4)的比较中出现困难，可用剪刀沿母线AA ′剪开圆柱得到矩形，情形(3)A →B 是折线，而情形(4)是线段，故根据两点之间线段最短可判断(4)较短，最后通过计算比较(1)和(4)即可． (1)中A →B 的路线长为：AA ′＋d.(2)中A →B 的路线长为：AA ′＋A ′B ＞AB. (3)中A →B 的路线长为：AO ＋OB ＞AB. (4)中A →B 的路线长为：AB.得出结论：利用展开图中两点之间线段最短解决问题．沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来怎样计算AB?解：在Rt △AA ′B 中，利用勾股定理可得AB 2＝AA ′2＋A ′B 2，若已知圆柱体高为12 cm ，底面半径为3 cm ，π取3，则AB 2＝122＋(3×3)2，所以AB ＝15. (二) 自学反馈一根垂直于地面的电线杆AC ＝16 m ，因特殊情况，在点B 处折断，顶端C 落在地面上的C ′处，测得A C ′的长是8 m ，求底端A 到折断点B 的长．解：设电线杆底端A 到折断点B 的长为x m ，则斜边为长(16－x)m ，根据勾股定理，得x 2＋82＝(16－x)2.解得x ＝6.故底端A 到折断点B 的长为6 m.活动1 小组讨论例1 李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺． (1)你能替他想办法完成任务吗？(2)李叔叔量得AD 长是30厘米，AB 长是40厘米，BD 长是50厘米，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？解：(1)能．(2)因为AD2＋AB2＝302＋402＝2 500，BD2＝2 500，所以AD2＋AB2＝BD2.所以AD和AB垂直．例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高CE＝3 m，CD＝1 m，试求滑道AC的长．解：设滑道AC的长为x m，则AB的长为x m，AE的长为(x－1)m.在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，由勾股定理得AE2＋CE2＝AC2，即(x－1)2＋32＝x2，解得x＝5.故滑道AC的长度为5 m.活动2 跟踪训练1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？解：如图，已知A是甲、乙的出发点，10：00甲到达B点，乙到达C点．则AB＝2×6＝12(km)，AC＝1×5＝5(km)．在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132.所以BC＝13 km.故甲、乙两人相距13 km.2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．解：利用展开图中两点之间线段最短可知，AB2＝152＋202＝625＝252，所以蚂蚁走的最近距离为25.3．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近桶边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒的长在什么范围内？解：设伸入油桶中的长度为x m.则伸入长度最长时：x2＝1.52＋22.x＝2.5.所以这根铁棒最长是2.5＋0.5＝3(m)．伸入长度最短时：x＝1.5.所以这根铁棒最短是1.5＋0.5＝2(m)．答：这根铁棒的长应在2～3 m之间．活动3 课堂小结你会应用勾股定理解决问题了吗？。

北师大版-数学-八年级上册-第一章第1节探索勾股定理(1) 教案

北师大版八年级上第一章第1节探索勾股定理（1）教案教学目标：(一)教学知识点1. 经历用计算和数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

.2.掌握勾股定理的内容，能应用勾股定理解决简单的实际问题.(二)能力训练要求通过探索直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

(三)情感与价值观通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；了解勾股勾股定理的历史，体会它的重大意义和文化价值教学重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。

教学难点：勾股定理中数量关系的发现的发现课堂导入：我们生活的这个世界，蕴涵着无穷的秘密，人们不断去发现它，探索它，促使人类社会不断发展进步，可以说，人类不断发展的历史就是我们不断认识自然、发现自然规律的过程，其中有一些重要的发现对人类的历史进程产生了重大的影响。

我们今天所要研究的就是这样一个伟大的发现，无论是我国古代科技所代表的东方文明还是毕达哥拉斯学派所代表的西方文明，先后都发现了这个规律，有的科学家建议把这个规律作为地球人和外星文明交流的工具。

教学过程：1、知识准备谁能有办法得到下面几个格点图形的面积在网格图形中，简单的图形可以通过数格子的方法得到面积，复杂的图形总可以利用长方形和直角三角形的和或差得到面积。

1观察图1，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。

正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。

正方形C 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。

1、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：2、图2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C 。

2、做一做出示投影提问：1、图3中，A,B,C 之间有什么关系？2、图4中，A,B,C 之间有什么关系?1、从图1， 2， 3， 4中你发现什么？学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。

八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理数学家故事毕达哥拉斯素材北师大版

数学家故事·毕达哥拉斯无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。

以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。

后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。

毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC-497 BC)古希腊数学家、哲学家。

毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。

例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28，496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数。

他们还发现了“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，西方人称之为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。

当今数学上又有“毕达哥拉斯三元数组”的概念，指的是可作为直角三角形三条边的三数组的集合。

在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

毕达哥拉斯学派认为数最崇高，最神秘，他们所讲的数是指整数。

“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。

但是，有一个名叫希帕索斯的学生发现，边长为1的正方形，它的对角线()却不能用整数之比来表达。

这就触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在 (即无理数)的秘密。

天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。

但很快就引起了数学思想的大革命。

科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。

北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1.2 探索勾股定理(教案)

1.1.2 探索勾股定理1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜测、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.培养学生大胆探索,不怕失败的精神.【重点】经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.【难点】用拼图法验证勾股定理.【教师准备】教材图1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的图片.【学生准备】4个全等的直角三角形纸片.导入一:【提问】直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!导入二:上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?学生思考(测量、数格子).一、勾股定理的验证思路一【师生活动】师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.生:割补法进行验证.师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?生:讨论交流.师总结:图1 -5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 -6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 - 5采用的是“补〞的方法,而图1 - 6采用的是“割〞的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.(1)动笔操作,独立完成.师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流. (2)分组讨论面积的不同表示方法.ab+c2两种方法.生:得出(a+b)2,4×12(3)板书学生讨论的结果.【提问】你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?生:根据刚刚讨论的情况列出等式进行化简.师:化简之后能得到勾股定理吗?生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?独立完成.师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.思路二教师出示教材图1 - 4及“做一做〞,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)【思考】“做一做〞的三个问题.教师讲评验证勾股定理的方法.二、勾股定理的简单应用思路一：出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.【问题】(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?(学生独立完成,教师指名板演)出示教材P8图1 - 8.【提问】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)思路二我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A 表示小王所在位置,点C ,点B 表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C 是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB 2=BC 2+AC 2,也就是5002=BC 2+4002,所以BC =300. 敌方汽车10 s 行驶了300 m,那么它1 h 行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h .[知识拓展] 利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意局部面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏. 曾任美国总统的伽菲尔德在?新英格兰教育日志?上发表了他提出的一个勾股定理证明,如下图,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a +b )(a +b ),又可以表示为12(2ab +c 2),所以可得12(a +b )(a +b )=12(2ab +c 2),化简可得a 2+b 2=c 2.1.勾股定理的验证方法{测量法数格子法面积法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题. 1.以下选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( )解析:A,B,C 都可以利用图形面积得出a ,b ,c 的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C 选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.应选D .2.用四个边长均为a ,b ,c 的直角三角板,拼成如下图的图形,那么以下结论中正确的选项是 ( )A.c 2=a 2+b 2B.c 2=a 2+2ab +b 2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)2解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,ab×4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.里面的小四边形也为正方形,边长为b-a,那么有c2=12应选A.3.如下图,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.ab+c2,即(a+b)2=4×解析:如下图,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×121ab+c2,化简得a2+b2=c2.2ab+c2a2+b2=c2答案:(a+b)24×124.操作:剪假设干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c 之间有什么关系?解析:根据图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.1.1.21.勾股定理的验证.2.勾股定理的简单应用.一、教材作业【必做题】教材第6页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2第3题.二、课后作业【根底稳固】1.我国古代数学家赵爽的?勾股圆方图?是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如下图).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是 ()A.1B.2C.12D.132.历史上对勾股定理的一种证法采用了如下图的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是()A.SΔEDA =SΔCEBB.SΔEDA+SΔCEB=SΔCDEC.S四边形CDAE =S四边形CDEBD.SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如下图.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书?周髀算经?中就有“假设勾三,股四,那么弦五〞的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,那么矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如下图,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,假设大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,那么a4+b4的值为()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如下图的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如下图,在平面内,把矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB =a ,BC =b ,BD =c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图〞,后人称其为“赵爽弦图〞(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2,S 3.假设S 1+S 2+S 3=16,那么S 2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法〞给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法〞来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC ,其中∠DAB =90°,求证a 2+b 2=c 2.证明:连接DB ,过点D 作BC 边上的高DF ,那么DF =EC =b-a. ∵S 四边形ADCB=S ΔACD+S ΔABC=12b 2+12ab ,又∵S 四边形ADCB =S ΔADB+S ΔDCB=12c 2+12a (b-a ),∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB =90°,连接BE. 验证a 2+b 2=c 2.证明:连接 , ∵S 五边形ACBED= , 又∵S 五边形ACBED= ,∴a 2+b 2=c 2. 【答案与解析】1.A(解析:根据勾股定理可得a 2+b 2=13,四个直角三角形的面积和是12ab ×4=13-1=12,即2ab =12,那么(a-b )2=a 2-2ab +b 2=13-12=1.应选A.) 2.D(解析:由S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD,可知12ab +12c 2+12ab =12(a +b )2,∴c 2+2ab =a 2+2ab +b 2,整理得a 2+b 2=c 2,∴证明中用到的面积相等的关系是S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD.应选D .)3.解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c 2=4×12ab +(a-b )2=a 2+b 2. (2)如下图. (3)∵2ab =(a +b )2-(a 2+b 2)=196-100=96,∴ab =48,∴S =12ab =12×48=24.4.440(解析:如下图,延长AB 交KL 于P ,延长AC 交LM 于Q ,那么ΔABC ≌ΔPFB ≌ΔQCG ,∴PB =AC =8,CQ =AB =6,∵图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∴IP =8+6+8=22,DQ =6+8+6=20,∴矩形KLMJ 的面积=22×20=440.故答案为440.)5.D(解析:依题意有:a 2+b 2=大正方形的面积=13,2ab =四个直角三角形的面积和=13-1=12,ab =6,那么a 4+b 4=(a 2+b 2)2-2a 2b 2=(a 2+b 2)2-2(ab )2=132-2×62=169-72=97.应选D .)6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c 2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a 2+b 2,∵它们的面积都等于边长为a +b 的正方形的面积-4个直角边分别为a ,b 的直角三角形的面积和,∴a 2+b 2=c 2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.7.解:连接D'D ,依题意,图中的四边形DAC'D'为直角梯形,ΔDBD'为等腰直角三角形,Rt ΔDAB 和Rt ΔBC'D'的形状和大小完全一样,设梯形DAC'D'的面积为S ,那么S =12(a +b )(a +b )=12(a 2+b 2)+ab ,又S =S Rt ΔDBD'+2S Rt ΔABD =12c 2+2×12ab =12c 2+ab ,∴12(a 2+b 2)+ab =12c 2+ab ,因此a 2+b 2=c 2.8.163(解析:∵八个直角三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形,∴CG =NG ,CF =DG =NF =GK ,∴S 1=(CG +DG )2=CG 2+DG 2+2CG ·DG =GF 2+2CG ·DG ,S 2=GF 2,S 3=(NG-NF )2=NG 2+NF 2-2NG ·NF ,∴S 1+S 2+S 3=GF 2+2CG ·DG +GF 2+NG 2+NF 2-2NG ·NF =3GF 2=16,∴GF 2=163,∴S 2=163.故答案为163.)9.证明:连接BD ,过点B 作DE 边上的高BF ,那么BF =b-a ,∵S 五边形ACBED =S ΔACB +S ΔABE +S ΔADE =12ab +12b 2+12ab ,又∵S 五边形ACBED =S ΔACB +S ΔABD +S ΔBDE =12ab +12c 2+12a (b-a ),∴12ab +12b 2+12ab =12ab +12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回忆,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定理作为“千古第一定理〞,其魅力在于其历史价值和应用价值,因此充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生的积极性,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了学生收集、整理资料的能力.在教学过程中,过于让学生发散思维,而导致课堂秩序略有松散.勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,可以设计拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究,最后由学生独立探究,这样学生较容易突破本节课的难点.随堂练习(教材第6页)解:因为OM 2=MN 2+NO 2=302+402=502,所以OM =50 km .因为OQ 2=OP 2+PQ 2=502+1202=1302,所以OQ =130 km .所以该沿江高速公路的造价预计是(50+130)×5000=900000(万元).答:该沿江高速公路的造价预计是900000万元.习题1.2(教材第6页)1.解:因为42+32=52,所以旗杆折断之前的高为5+3=8(m).2.解:因为S 梯形=12(a +b )·(a +b )=12(a 2+2ab +b 2)=12a 2+ab +12b 2,S 梯形=12ab +12ab +12c 2=ab +12c 2,所以12a 2+ab +12b 2=ab +12c 2,所以a 2+b 2=c 2.(这个方法与本节探索的方法思路一样,都是构造一个图形,利用两种方法计算该图形的面积,从而得到a 2+b 2=c 2)3.解:箱子能放进储藏室,因为0.82+0.52<1.22.古诗中的数学题请你先欣赏下面一首诗:平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边;渔人观看忙向前,花离原位两尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅?你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗?〔解析〕要解决诗中提出的问题,关键是将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形,如下图.在Rt ΔBCD 中,由勾股定理建立方程求线段的长.解:如下图,AD 表示莲花的高度,CD 是水的深度,CB 是莲花吹倒后离原位的距离.设CD =x 尺,那么AD =BD =(x +12)尺. 在Rt ΔBCD 中,∠BCD =90°,由勾股定理得BD 2=CD 2+BC 2,即(x +12)2=22+x 2. 解得x =3.75.所以所求的湖水深度为3.75尺.[方法总结]建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求线段的长.。

初中数学八年级上册重要考点汇总(直接打印每生一份复习用)

八年级数学上册重要考点汇总第一章勾股定理1、探索勾股定理①勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c22、一定是直角三角形吗①如果三角形的三边长abc满足a2+b2=c2，那么这个三角形一定是直角三角形3、勾股定理的应用第二章实数1、认识无理数①有理数：总是可以用有限小数和无限循环小数表示②无理数：无限不循环小数2、平方根①算数平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算数平方根②特别地，我们规定：0的算数平方根是0③平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a。

那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做二次方根④一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根⑤正数有两个平方根，一个是a的算数平方，另一个是—，它们互为相反数，这两个平方根合起来可记作±⑥开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数3、立方根①立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫三次方根②每个数都有一个立方根，正数的立方根是正数;0立方根是0；负数的立方根是负数。

③开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数4、估算①估算，一般结果是相对复杂的小数，估算有精确位数5、用计算机开平方6、实数①实数：有理数和无理数的统称②实数也可以分为正实数、0、负实数③每一个实数都可以在数轴上表示，数轴上每一个点都对应一个实数，在数轴上，右边的点永远比左边的点表示的数大7、二次根式①含义：一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数②=（a≥0，b≥0），=（a≥0，b>0）③最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式④化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式时最简二次根式第三章位置与坐标1、确定位置①在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据2、平面直角坐标系①含义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系②通常地，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》教案

第一章勾股定理1 探索勾股定理第1课时勾股定理（1）1.经历测量和用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边长.4.在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.5.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识.6.通过对勾股定理历史的了解，感受数学变化，激发学习热情.7.在探究活动中，体现解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.【教学重点】探索勾股定理.【教学难点】用测量和数格子的方法探索勾股定理.一、创设情境，导入新课我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边.对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系.那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理.出示投影1（章前的图文P1），介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号.【教学说明】通过复习旧知识，引入新课.出示投影，介绍与勾股定理有关的背景，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知勾股定理做一做：1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流.【教学说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质.2.观察教材图1—2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位.正方形B中有个小方格.即B的面积为个面积单位.正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位.你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问.教材图1—2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？【教学说明】通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾股定理.归纳得出结论：S A+S B=S C.3.教材图1—3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？【教学说明】通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对勾股定理的理解.4.如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.【教学说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高.议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？【教学说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力和语言表达能力.【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定理”.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来.三、运用新知，深化理解1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5,b=12，则c= .2.在直角三角形的ABC中，它的两边长的比是3∶4，斜边长是20，则两直角边长分别是.【教学说明】学生的完成，加深对勾股定理的理解和检测对勾股定理的简单运用，对学生的疑惑或出现的错误及时指导，并进行强化.【答案】1.13；2.12，16四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有什么困惑？【教学说明】教师引导学生回顾新知识，加强对勾股定理的理解，进一步完善了学生对知识的梳理.完成练习册中本课时相应练习.本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流.适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广.第2课时勾股定理（2）1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.掌握勾股定理和它的简单应用.3.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法.4.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.5.在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.一、创设情境，导入新课我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证及简单运用做一做：1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.2.为了计算教材图1—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P51—5、1—6图.（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；（2）教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.（3）你能分别利用教材图1—5、1—6验证勾股定理吗？【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解.【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.三、运用新知，深化理解1.一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从一个长2m，宽1m的门框内通过，为什么？2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去.【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中△ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9（km2）即BC=3千米飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20×3=540（千米/时）答：飞机每小时飞行540千米.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.完成练习册中本课时相应练习.了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.2 一定是直角三角形吗1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用.3.敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】探索并掌握直角三角形的判别条件.【教学难点】运用直角三角形判别条件解题.一、创设情境，导入新课展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作.甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结.乙：握住第四个结.丙：握住第八个结.拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角.发现这个角是多少度？古埃及人曾经用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？怎样的三角形才能成为直角三角形呢？这就是我们今天要研究的内容.【教学说明】利用古埃及人得到直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究问题.既进行了数学史的教育，又锻炼了学生的动手实践、观察探究的能力.二、思考探究，获取新知直角三角形的判别做一做：下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c.5、12、137、24、258、15、171.这三组数都满足a2+b2=c2吗？2.分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？3.如果三角形的三边长为a、b、c，并满足a2+b2=c2.那么这个三角形是直角三角形吗？【教学说明】鼓励学生大胆发言，让他们体验通过实际的计算和探究得到结论的乐趣，增强了他们勇于探索的精神.【归纳结论】如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.大家可以想这样的勾股数是很多的.今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2时，三角形为直角三角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法.三、运用新知，深化理解1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.（1）9,12,15;（2）15,36,39;（3）12,35,36;（4）12,18,22.2.已知△ABC中BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为三角形，是最大角.3.四边形ABCD中已知AB=3，BC=12，CD=13，DA=4，且∠DAB=90°，求这个四边形的面积.【教学说明】学生独立完成，能够加深判断一个三角形是直角三角形的条件的理解，帮助学生答疑解惑，及时指导，矫正强化.在完成上述题目后，引导学生完成《创优作业》中本课时的“课堂自主演练”部分.【答案】1.（1）（2）两组能作为直角三角形的三边长.∵92+122=152，152+362=392.∴这两个三角形都是直角三角形.2.直角，∠A3.解：连结BD，在△ABD中，∠DBA=90°，BD2=AB2+AD2=32+42，BD=5.在△DBC中，∵52+122=132，即DB2+BC2=DC2，∴△DBC为直角三角形，∠DBC=90°，∴S四边形ABCD=S△DAB+S△DBC=12×3×4+12×5×12=36.四、师生互动，课堂小结1.判断一个三角形是直角三角形的条件.2.今天的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？与同学交流.【教学说明】及时反馈教与学双边活动的结果，查漏补缺，让学生养成系统整理知识的好习惯.1.教材P10-11习题1.3第2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.这是勾股定理的逆向应用.大部分同学只要能正确掌握勾股定理的话，都不难理解.当然勾股定理的理解是关键.3勾股定理的应用1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.2.学生观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.3.在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.4.在不同条件，不同环境中反复运用勾股定理及直角三角形的判定条件，使学生达到熟练、灵活运用的程度.在解决问题的过程中，培养学生的空间观念，提高学生建立数学模型的能力.5.通过解决实际问题，提高了学生应用数学的意识和锻炼了学生与他人交流合作的意识，再次感悟勾股定理和直角三角形判定的应用价值.【教学重点】探索发现给定事物中隐含的勾股定理及直角三角表判定条件，并用它们解决生活中的实际问题.【教学难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的判定，解决实际问题.一、创设情境，导入新课勾股定理的应用前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？日常生活当中，我们还会遇到下面的问题.【教学说明】回忆勾股定理，巩固旧知识，解决实际问题，完成知识的过渡，为学生学习新知识又一次打下了坚实的基础.二、思考探究，获取新知蚂蚁怎么走最近？出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的取值3）.（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？【教学说明】让学生经历把曲面上两点之间的距离转化为平面上两点之间线段最短更为直观，再次利用勾股定理解决生活中较为复杂的实际问题，使所学的知识得到充分运用.【归纳结论】我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开（如下图）.我们不难发现，刚才几位同学的走法：哪条路线是最短呢？你画对了吗？第（4）条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.三、运用新知，深化理解1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北进行，上午10∶00，甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？【教学说明】学生独立解决，把生活中的实际问题转化为解直角三角形，对学生所学的知识进行强化，以利于教师及时纠正.【答案】1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12（千米）；乙到达C点，则AC=1×5=5（千米）.在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.（1）x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5所以最长是2.5+0.5=3（米）.（2）x=1.5，最短是1.5+0.5=2（米）.答：这根铁棒的长应在2～3米之间（包含2米、3米）.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？【教学说明】学生梳理知识，加强教与学的互通，进一步提高课堂教学的效果.1.教材P14~15第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.这节课的内容综合性比较强，可能有些同学掌握得不是太好，今后要继续加强这方面的训练.本章归纳总结1.掌握勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形，能灵活运用它们解决实际问题.2.通过梳理本章知识点，回顾解决实际问题中所涉及的数形合的思想和逆向思维思考问题，以便能熟练灵活运用.3.让学生养成把已有的知识建立联系的思维习性，积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流和合作，激发他们的求知欲望.4.用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形解决简单问题.【教学难点】能理解运用勾股定理解题的基本过程；掌握在复杂图形中确定相应的直角三角形，根据勾股定理建立方程.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，构建知识结构框架，让学生比较系统地了解本章知识及它们之间的相互联系.二、释疑解惑，加深理解1.勾股定理的证明勾股定理的证明方法有多种，一般是采用剪拼的方法，它把“数与形”巧妙地联系起来，是几何与代数沟通的桥梁，同时也为后面的四边形、圆、圆形变换、三角函数等知识的学习提供了方法和依据.说明：利用面积相等是证明勾股定理的关键所在.2.勾股定理中的分类讨论在勾股定理的实际运用中，如果不明给出直角三角形中有两条边的长，要求第三条边的长就需要分两种情况讨论，即第一种情况是告诉两条直角边长求斜边，第二种情况是告诉一条直角边和斜边长求另一条直角边.3.曲面两点间的距离问题在解决曲面中两点间的距离时，往往是要将曲面问题转化为同一平面内两点之间的距离，这是解决问题的关键.三、典例精析，复习新知例1 一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE（如图所示），求CD的长.【分析】设CD为x，∵AD=BD，∴AD=8-x. ∴在△ACD中，根据勾股定理列出关于x的方程即可求解.解：由折叠知，DA=DB.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，若设CD=xcm，则AD=DB=（8-x）cm，代入上式得62+x2=（8-x）2，解得x=7/4=1.75(cm)，即CD的长为1.75cm.例2有一个立方体礼盒如图所示，在底部A处有一只壁虎，C′处有一只蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.（1）试确定壁虎所走的最短路线；（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，则壁虎如果想在半分钟内捕捉到蚊子，每分钟至少要爬行多少厘米？（保留整数）【分析】求几何表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形.解：（1）若把礼盒上的底面A′B′C′D′竖起来，如图所示，使它与立方体的正面（ABB′A′）在同一平面内，然后连接AC′，根据“两点间线段最短”知线段AC′就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.（2）由（1）得，△ABC′是直角三角形，且AB=20，BC′=40.根据勾股定理，得AC′2=AB2+BC′2=202+402,AC′≈44.7（cm）,44.7÷0.5≈90（cm/min）.所以壁虎要想在半分钟内捕捉到蚊子，它每分钟至少爬行90厘米（只入不舍）.【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，对于例题中需要注意的事项教师可以适当点评，便于学生熟练加以运用.四、复习训练，巩固提高1.已知在△ABC中，∠B=90°，一直角边为a，斜边为b，则另一条直角边c满足c2= .2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，c-b=8，则b= ，c= .3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1，BC=2.8.求：（1）△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）斜边AB上的高CD的长；（4）斜边被分成的两部分AD和BD的长.【答案】1.b2-a2；2.5，13；3.解：（1）S△ABC=12AC×BC=12×2.1×2.8=2.94.（2）AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.5,∴AB=3.5.（3）由三角形的面积公式得12AC×BC=12AB×CD，所以12×2.1×2.8=12×3.5×CD，解得CD=1.68.（4）在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2，∴AD2=AC2-CD2=2.12-1.682=（2.1+1.68）(2.1-1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.214×0.21.∴AD=2×3×0.21=1.26.∴BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.五、师生互动，课堂小结本节复习课你能灵活运用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形的解决问题吗？还有哪些不足？【教学说明】教师引导学生归纳本章主要的知识点，对于遗漏或需要强调的地方，教师应及时补充和点拨.1.复习题4.5第11、12题.2.完成练习册中本课时相应练习.勾股定理是解决线段计算问题的主要依据，它单独命题比较少见，更多时候是与其他知识综合应用，在综合题中如何找到适当的直角三角形是解题的关键.。

北师大版初中数学八年级上册《1 探索勾股定理探索勾股定理》公开课教案_1

第一章勾股定理
1．探索勾股定理（第一课时）
一、教学目标
知识目标：用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
能力目标：让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．
情感目标：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习．
二、教学重难点
重点：掌握勾股定理并能利用它来解决实际问题。

难点：探索勾股定理。

三、教法学法
教学方法：引导—探究—发现法．
学习方法：自主探究与合作交流相结合．
四、教学准备
多媒体课件和几何画板等
五、教学过程
第一环节：创设情境，引入新课
1.观看视频：勾股定理的历史
2.预备知识
（1）直角三角形的两个锐角有什么关系？怎样求直角三角形的面积?
（2）正方形的面积公式是什么？
第二环节：探索发现勾股定理
1．探究活动一：
内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：
（2）引导学生从面积角度观察图形：
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
学生分小组动手操作实践并验证
∵c2= 4× a2
∴c2=2a2
2．探究活动二：
由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？。

八年级上册数学各章节知识梳理

八年级上册数学各章节知识梳理八年级上册数学各章节知识梳理【一】整体分析1、掌握勾股定理及其逆定理，会利用它们解决一些实际问题。

2、正确理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本运算，并能熟练地进行二次根式的化简。

3、掌握二次根式加、减、乘、除的运算法则，能够进行二次根式的运算。

掌握二次根式的化简，进一步提高学生的运算能力。

4、理解二元一次方程组，会正确求解。

能利用二元一次方程组解决实际问题。

5、理解相似一次函数的概念，掌握一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。

【二】教材分析本学期教学内容共计六章：《勾股定理》、《实数》、《位置与坐标》、《一次函数》、《二元一次方程组》、《数据的分析》。

第一章：《勾股定理》的主要内容是勾股定理的探索和应用。

其中勾股定理的应用是本章教学的重点。

《实数》：主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运算。

本章的内容虽然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位。

本章的教学重点是平方根和算术平方根的概念和求法，教学难点是算术平方根和实数两个概念的理解。

《位置与坐标》：主要内容是生活中一些简单几何图形的平移和旋转。

简单几何图形的平移是本章教学的重点，简单图案的设计是本章的难点。

《一次函数》：的主要内容是介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。

其中一次函数的图像的表达式是本章的重点和难点。

《二元一次方程组》：要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的问题。

第六章《数据的分析》主要讲述平均数和中位数、众数的概念，会求平均数和能找出中位数及众数。

【三】重要时间节点第一次月考一般在九月底，考试内容为前两章，勾股定理和实数；期中考试一般在十月底，考试前四章内容，主要内容是实数计算和一次函数。

探索勾股定理教学设计.1-探索勾股定理(第1课时)教学设计

第一章勾股定理
1. 探索勾股定理（第1课时）
一．教学目标与要求：
1．经历探索勾股定理过程，发展合情推理能力，体会由特殊到一般及数形结合思想。

2．了解利用拼图验证勾股定理的方法。

3．了解勾股定理的历史，了解勾股定理的广泛应用，体会勾股定理的文化价值。

二. 重点与难点
（一）重点
1. 了解并掌握勾股定理，知道利用拼图验证勾股定理的方法。

2. 运用所学勾股定理解决一些问题。

（二）难点
1. 掌握好勾股定理并能运用勾股定理解决遇到的相关实际问题。

2. 掌握好勾股定理的逆定理。

3. 能熟练的区分勾股定理和勾股定理的逆定理。

4. 能把勾股定理和勾股定理的逆定理运用于实际，解决实际问题。

三、学情分析
八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了
一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识
和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股
定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作
交流能力和探究能力有待加强．
四、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现
勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．
第一环节：创设情境，引入新课
内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议
用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同
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勾股定理重难点突破第1课时
1．发现直角三角形三边之间的关系
突破建议
1．教科书首先让学生探索发现解直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方，然后证明上述关系成立，最后让学生运用勾股定理解决问题．学生直接发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，有一定的难度，因此，教学时，先让学生发现以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积之间的关系．从等腰直角三角形入手，容易发现数量关系．
2．结合毕达哥拉斯的传说故事，可以提高学生学习的兴趣，另外，其中的图案对学生发现规律也有一定的提示作用．教学时，要引导学生先观察地砖中等腰直角三角形与周边直角三角形、正方形的关系，两看看等腰直角三角形三边所在的正方形的面积之间的关系，然后得出猜想．
3．让学生探究几个一般的直角三角形，这几个直角三角形是在正方形网格背景下的，看看是否有相同的数量关系．在这个“探究”栏目中，关键是计算以斜边为边长的正方形的面积．图中以斜边为边长的两个正方形的面积可以如下求出：
也可以由四个直角三角形的面积加上一个小正方形的面积求出：
2．勾股定理的探究与证明
突破建议
1．在地板图案中，由于等腰直角三角形都是全等的，利用面积相等的思路比较容易观察出等腰直角三角形两直角边的平方和等于以斜边的平方．要注意引导学生观察、猜想，得出结论．
2．在一般情况下直角三角形还有上述关系吗？为在得到结论。

需要在网格背景下，进行实验操作，利用割补法，也能探索发现，比较特殊（主要是网格背景下直角三角形边长取整数）
的直角三角形的三边之间也有相同的数量关系．从而说明猜想的正确性．
3．实验方法得到的结论是否可靠，需要理论证明．勾股定理的证明方法很多，教科书介绍的是我国古代数学家赵爽的证法，这是一种面积证法．在前面正方形网格中比较容易发现等腰直角三角形及一般直角三角形的三边关系．由于以前没有系统地讲过面积理论，学生对面积证法的推理根据会感觉不太明确．教学时，先要说明赵爽的证明思路：两直角边所在的正方形的面积之和等于斜边所在的正方形的面积．所以，要先作一个直角三角形，再将两直角边所在的正方形面积拼在一起，图形在经过适当的切割后再另拼接后，新图形的面积与原图形的面积是相等的．由赵爽弦图可知，以斜边为边长的正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．由此考虑以直角边为边长的两个正方形连在一起的图形是否也由四个全等的直角三角形和一个正方形组成．教科书中图17．1-6展示了图形切割拼接的过程，从而由图形的面积关系得到了勾股定理的证明．。