2018年探索勾股定理第二课时评课稿-推荐word版 (13页)

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勾股定理经典例题含答案(2)(K12教育文档)

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勾股定理经典例题含答案11页勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²，若a、b、c都是正整数，（a，b,c)叫做勾股数组。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。

“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。

远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。

古埃及人也应用过勾股定理。

在中国，西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°（1）已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3）已知c=25，b=15，求a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析:(1）在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，b=（2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3）在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13， CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，,。

勾股定理教学实录与点评(伍敏)

《勾股定理》课堂实录课堂教学实录与说明以下是成都市石室联中罗玉老师在四川省初中教育教学改革发展研究共同体第二届学术研讨会教学论坛上的一节公开课。

教学内容：华东师大版八年级上册第14章第1节《勾股定理》。

课堂实录：一展示课题你们知道这节课要解决什么问题吗？（学生阅读课题，得出本节课要学习的内容）提示：本课学习的过程分为“阅读——提问——解决”三个步骤。

二展示目标（学生共同阅读）1．通过深入浅出的图形阅读，以产生问题串的形式体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

2．通过勾股定理的探索，体会文字语言、图形语言、符号语言相互转换的奥妙与乐趣。

3．通过阅读勾股定理的相关历史文化，体会世界文明的进步与发展。

三教学过程片断一：情境引入展示图片：从“弦图”到“国际数学家大会会标”问：你从图中能获取到什么信息？这个弦图到底暗藏了什么玄机？（引导学生学习如何阅读图形语言，用问题吸引学生，激发学生探索的欲望。

）片断二：探索勾股定理问1：从图形的构造来看这幅图，你能用一句话来描述这个图形吗？生1：直角三角形拼出正方形。

（开始渗透图形语言与文字语言的转化）问2：你能拼出这个图形吗？小组合作试试看。

（学生以前后两排六人为一小组，用教师事先发放的四个全等的直角三角形卡片尝试拼图，教师巡视全场，拼好的小组发一张小组得分卡，并抽最快拼好的一个小组派三个代表到黑板上展示拼出的图形）（教师深入小组，参与学生交流，关注学生的参与程度、动手能力、合作意识，以及在研究过程中表现出的思维水平。

通过发放小组得分卡的方式，引发学生兴趣。

及时对小组的完成情况及参与度进行评价，提高了学生的积极性，避免小组合作流于形式。

）问3：这幅图中最基本的图形是什么？生2：正方形和三角形。

师：这种说法准确吗？生2：一个小正方形和四个直角三角形拼成一个大正方形。

师：够不够准确？请你再补充。

《勾股定理》评课稿

《勾股定理》评课稿评课稿“勾股定理”是几何中极其重要的一个定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形密切地联系起来。

它可以解决许多直角三角形的计算问题。

本节课的教学内容是探索勾股定理。

因此，我认为孔老师的这节课教学内容把握准确，教学目标设置合理，教学重点突出，难点突破，教学方法选用适当。

在课堂教学中教师所运用的教法符合七年级学生的心理特点，激发了学生的学习兴趣，很好地渗透了学生的德育教育，有利于培养学生的学习能力，调动了学生的学习积极性。

在整堂课中，孔老师的教学语言表达准确、清晰，对学生的评价中肯又不失幽默。

设计的问题层次性强，符合学生的认知规律，在学习知识的同时，特别注重从特殊到一般、数形结合这两种数学思想的渗透。

《数学课程标准》明确指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖于模仿与记忆，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流，以促进学生自主、全面、可持续发展”。

数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程。

孔老师这节课的教学流程是：情境导入——自主探究——典例示范——跟踪练习——拓展提高——课堂小结——课堂检测”。

孔老师根据学生的认知结构采用“观察--猜想--归纳--验证--应用”的教学方法，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。

第一环节——情境导入：孔老师从勾股定理的历史和毕答哥拉斯的发现两个小故事自然地引入了课题，激发学生的学习积极性，抓住学生的好奇心理，巧设悬念，以趣激学，促使学生在有趣的学习环境中探求知识，引发学生学习的欲望，如：“同学们想知道毕达哥拉斯发现了什么有趣的数学定理吗？”来激发学生，为学生对新授知识的学习作了一个很好的铺垫，同时也使学生感受到勾股定理的丰富文化第二环节——自主探究：孔老师采用探究发现式教学，放手让学生去探究，利用课件的直观性，经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，逐步体会数学与现实生活的紧密联系，让学生经历了数学知识的形成过程，感受了从“形”到“数”这一认知过程，有助于培养学生的合情推理能力及数形结合思想。

探索勾股定理公开课优质课教学设计一等奖及点评

1.1探索勾股定理（第1课时）（义务教育课程标准北师大版八年级上册第一章第一节）一、教材内容和内容分析（一）教学内容本节课是北师大版教材《数学八年级（上）》第一章勾股定理第一节的内容，主要学习勾股定理的探究、证明及简单应用．（二）教学内容分析勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把有一个角是直角这个形的特征转化成数量关系，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，体现了数形结合的思想方法. 它也是反映自然界基本规律的一条重要结论，勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了三角学、解析几何学的建立，对数学进一步的发展拓宽了道路．因此，可以这样说，勾股定理是数学发展的重要根基之一．它不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一．教学重点：探究并证明勾股定理二、教学目标和目标解析（一）教学目标1.经历探索，验证勾股定理的过程，初步掌握勾股定理，进一步了解等面积法的应用；2.通过不同证明方法的探究，进一步发展空间观念和推理能力，体会数形结合的数学思想；3.借助勾股定理丰富的文化背景，培养学生的人文底蕴和科学精神的核心素养.（二）教学目标解析达成目标1：学生通过分析以特殊的直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表达勾股定理的结论．通过割补法构造图形验证勾股定理，从而理解直角三角形三边的数量关系．达成目标2：以赵爽弦图和青朱出入图为载体，了解勾股定理各种证明方法之间的内在联系，即实质都是运用等面积法加以证明. 使学生感受多角度分析问题，多种方法解决问题. 同时，在图形的性质转化成数量关系的过程中，感受数形结合的思想．达成目标3：通过了解勾股定理发展史，感受勾股定理所蕴含的厚重文化.同时，增强学生的民族自豪感，感受数学对人类文明的发展所起的积极的推动作用.三、教学问题诊断分析八年级的学生已经具备了一定的分析和归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法.但学生对构造图形的方法证明几何命题的意识和能力还比较弱，对于如何将图形与数量关系相结合的证明方法还比较陌生.因此，在教学中让学生直接发现“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”有一定的难度，这就需要由特殊的个例入手.学生通过特殊的直角三角形三边满足的关系，思考和探究一般的直角三角形是否也满足这样的关系. 学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，课前的实验引入起到了方法启发的作用. 勾股定理其它证明方法的探究对于学生而言存在很大的挑战，教师问题的设置和及时及时的启发尤为关键.学生间的讨论、交流有利于学生自然、合理地发现勾股定理多种证明方法之间的联系. 最后，教师总结等面积法的方式很多，实质都是图形经过截、割、拼、补等.教学难点：构造图形证明勾股定理，探究典型证明方法之间的本质共性.四、教学支持条件分析在七年级，学生一方面，通过《字母表示数》，《整式的运算》等章节的学习，初步形成了符号化的意识，能熟练进行整式的计算和化简；另一方面，通过《三角形》等章节的学习，积累了用割补法求图形面积的基本经验.本课我主要采用教师问题启发，学生自主探究与合作交流相结合的教学方法．通过学生独立思考和互动研讨，充分经历“观察—猜想—归纳—验证—证明”的探索过程，突出教学重点．同时，在探索勾股定理的其它证法时，鼓励学生大胆尝试，注意关注学生思维历程，提升思维水平的深刻性．学生的学法突出自主探究，实践体验，合作交流．五、教学过程设计教学流程示意图结合教材内容和教学目标，以及本班学生的学情，本课的教学环节及时间分配如下：教学过程（一）悟境——初识勾股1.校史引入同学们，马上就是我们学校2160年的校庆了，这节课我们先来了解一下学校的历史.2160年了，身为石室人，我感到无比的骄傲. 其实啊，在漫长的历史长河中，我们还有很多伟大的成就. 单从数学方面来说，就有很多了不起的发现，有同学了解过吗？因为反映定理内容的图形，形象直观，华罗庚曾经甚至建议把它作为与外星人联系的信号.那它到底神奇在哪里呢？设计意图：用学校的历史引入，增加学生的亲切感.同时介绍勾股定理的历史起点，也是本节课暗线的起点，充分借助教材的章前图文激发学生的学习兴趣．2.实验观察在讲个定理之前，我们先来做一个实验，转动沙漏，同学们认真观察.问题1：通过刚才的实验，你观察到了什么？问题2：两个小正方形的面积之和等于大正方形面积，其实可以看成中间直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.那么，是不是所有的直角三角形都满足这样的关系？这就是我们今天主要探究的问题.设计意图：1.用实验引入，首先能吸引学生，激起学生的兴趣，在观察的实验的过程中，初步感受到两个小沙漏的体积之和等于下面大沙漏的体积；2.生生互评，能够使我们对实验现象认识得更清楚，进一步思考，去掉厚度，能得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，如果学生没有进一步的结论，老师可以继续启发，三个正方形的面积，实际也分别是对应直角三角形的三条边的平方，从而获得一个关于直角三角形初步的结论：两直角边的平方和等于斜边的平方，从特殊的现象中提出问题.（二）悟识——探究勾股【教学内容与师生活动1】问题1：对于一般的直角三角形，三边是否也存在这样的关系呢？在数学上，我们通常可以从特殊到一般地来研究问题.据说，毕达哥拉斯到朋友家做客的时候，就是因为偶然地发现了地板砖上的特殊图案，从而总结出了勾股定理. 同学们可以看一下，这就是当时毕达哥拉斯发现的特殊图案.我们今天也从特殊到一般来研究勾股定理.请同学们自己在练习本上任意画一个直角三角形进行验证.学生活动：学生独立作图，绝大部分同学取的两条直角边为整数，个别同学三边取的分数；在验证关系时，只有少部分同学得到两直角边的平方和等于斜边的平方，大部分学生并没有得到同样的结论．追问1：看来有好多同学都发现了矛盾，这个矛盾究竟出在哪里？那么这个结论是否对任意的直角三角形都成立？还有没有更加严谨的方法可以说明？请同学们围绕这些疑惑交流讨论.师生活动：尺规作图难免存在一定的误差，导致我们无法获得准确的判断.追问2：那么我们能不能找到避免测量误差的更好的办法？师生活动：学生通过几何画板，演示构造直角三角形，通过测量三边的长度以及计算两直角边的平方和与斜边的关系，验证确实直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．设计意图：学生独立作图初步感知，从特殊的直角三角形出发，到几何画板进一步获得验证，使学生感受在获得猜想时，及时用数学工具进行验证获得思路是一种非常有效的方式．【教学内容与师生活动2】问题2：即使几何画板也不能一一验证任意结论，但它坚定了我们对结论的猜想，我们必须想办法严谨地证明.历史上的数学家爱好者们已经找到了近五百种勾股定理的证明方法，其中很多都是通过图形的割补完成的.现在同学们手上都有一张方格纸，请在方格纸上任意画一个直角三角形，用割或者补的方法来证明这个结论.设计意图：此时直接让学生去证明三边的平方关系，难度很大，为了降低学生的思考难度，教师及时引导，回到课堂开始的图形，直接提示学生借助方格纸作图，利用面积的割或者补的方法得到边长的平方关系.以此，打开教学突破难点的缺口.请同学们在方格纸上任意地画一个直角三角形，通过割或补的方法来证明它的三边是否满足：两直角边的平方和等于斜边的平方.学生活动：学生独立作图，首先画出直角三角形，在验证三边的平方关系时，绝大部分同学都能以直角三角形的三边分别向外作了三个正方形，通过计算正方形的面积，来验证三边的平方关系. 这个过程中涉及到求方格纸中斜放的正方形的面积问题.请两位同学展示他们不同的验证方法.追问1：你为什么会想到向外作三个正方形来验证？追问2：你是如何求斜放的正方形的面积的？追问3：通过我们在方格纸中任意作的一个顶点在格点的直角三角形，都能验证两直角边的平方和等于斜边的平方，那么我们能不能说对于所有的直角三角形，三边都满足这样的关系？学生活动：学生从刚才自己的验证中能猜想到结论的正确性，但是推广到一般，还不能算严格的证明，因为方格纸具有特殊性，因此，想要获得一般性的结论，还需要弱化条件，在一般的平面上对一般的直角三角形进行说明．设计意图：学生在方格纸上作图进一步验证，用割或者补的方法验证两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，进一步感知猜想的正确性.在这个过程中，学生初步感受构造法是证明问题的一种思路，用面积法验证平方关系，巩固求面积常用的割和补的方法.在不断追问中使学生体会到研究几何问题的一般思路：从特殊到一般，思考并理解怎样才能使问题一般化．【教学内容与师生活动3】问题3：那我还想问一下大家，如果我们把方格纸去掉，会对他们的证明有实质的影响吗？请同学们拿出A4纸，在空白处任意画一个直角三角形，用刚才两位同学的方法，尝试证明结论.学生活动：先学生独立作图，尝试用字母表示数，将直角三角形的三边分别用a ，b ，c 来表示．在验证三边平方关系时，因为有了方格纸中割补法的启发，学生能较快完成作图，并用面积法进行验证，在证明222c b a =+时，绝大部分学生都将以c 为边的大正方形用两种不同的方法表示，通过代数式的化简，得到222c b a =+.从而验证结论的一般性.方法1 将以c 为边的正方形补成更大的正方形. 方法2将以c 为边的正方形割成四个全等的 ()2222S a b a b ab =+=++ 直角三角形和一个边为()a b -的正方形. 又()2221422S a b c ab c ab =+=+⨯=+ ()22142S c ab b a ==⨯+- ab c ab b a 22222+=++∴ 222c b a =+∴.222c b a =+∴.设计意图：有了实验的猜想和方格纸上验证获得的方法，学生对于结论一般性的验证能很快解决，理解把一个问题一般化的方式是用字母表示数，感受用面积的不同表示方法得到等式，通过代数式的c a b c a化简，得到一般的结论的过程．【教学内容与师生活动4】板书：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：如图，在Rt △ABC 中，若=90C ∠︒，有222c b a =+.设计意图：教师板书，既是呈现本节课教学内容的关键，同时，教师板书很重要的目的，就是传授知识的同时引导学生养成良好的书写，绘图，语言表达的习惯.（三）悟度——翼展勾股【教学内容与师生活动1】勾股定理的内容简洁，结构优美，从古到今，无数数学家和数学爱好者都研究过这个定理的证明.刚才我们已经说到，勾股定理的证明方法已经有500多种. 下面请大家欣赏勾股定理的一些经典证法.设计意图：这主要是一组国外的经典证法，一是让学生初步感受从古至今古人对勾股定理的热爱和探究，同时也为引出下一个环节引出中国古代的两种经典证明方法做好对比铺垫.【教学内容与师生活动2】其实，在众多的证明方法中，中国历史上关于勾股定理的证明有两颗璀璨明珠.接下来，我们一起分享中国历史上关于勾股定理的两颗璀璨的明珠.教师直接展示赵爽弦图的证明思路，这个方法被哈佛大学教授库里奇称为“最省力的证明”.展示完赵爽弦图的证明方法外，教师进一步介绍东汉数学家刘徽的“青朱出入图”，以及“青朱出入图”的证明方法.设计意图： 1.通过赵爽弦图和青朱出入图的介绍，再次感受数学文化，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，感悟古人的智慧，增强民族自豪感.2.学生在观察两种证明思路的同时，调动学生思维的积极性，启发学生对接下来的问题做进一步思考.【教学内容与师生活动3】问题：对比刚才呈现的三种证明方法，如果我们从变换的角度看，思考它们有什么共同特点？学生活动：小组讨论，在讨论与碰撞中发现证明方法的本质共性.学生在作图过程中可能会有所发现，如下图所示：设计意图：这个环节可以给学生充分的思考时间，通过再次动手作图，为学生积极创造从事数学活动的机会，调动学生的思维积极性. 通过赵爽弦图以及青朱出入图的介绍，感受数学文化的同时，启发学生站在巨人的肩膀上做进一步的思考，加深对定理的理解，进一步体会等面积法的多样性.【教学内容与师生活动4】勾股定理的发展线就是人类文明发展的一个缩影，教师介绍勾股定理发展的一个历史线：设计意图：使学生充分地感受到数学不仅仅是一门博大精深的科学，更是一种先进的人类文化. 整个数学的发展史就是人类物质文明和精神文明的发展史.cba cb a勾股定理极其深厚的数学文化底蕴是其它定理无法比拟的，学生对勾股定理多种证明方法的探究不仅仅是对基础知识和基本方法的学习，更是科学精神在数学学习中的具体体现.（四）悟道——凝化勾股【教学内容与师生活动】通过今天对勾股定理的探索，你有什么感受？学生活动：学生从知识上，方法上，以及勾股定理历史文化上都可以谈自己的感想.设计意图：让学生从不同角度回顾本节课所学习的内容，反思其中的数学思想方法，引发学生更深层次的思考，促进学生认知结构与思维品质的提高.六、教学目标检测设计为了检测学生课堂学习目标的达成情况，我设计了如下练习.1.下列说法正确的是（）A.若a，b，c是△ABC的三边，则222+=a b cB.若a，b，c是Rt△ABC的三边，则222+=a b cC.若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则222a b c+=D.若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则222+=第2题a b c2.如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长，宽，高分别是1.2m，1m，0.8m 的箱子能放进储藏室吗？3.装修工人买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装.如果电梯的长，宽，高分别是1.5m，2.0m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出工人买的木条至少是多少米吗？设计意图：练习1直接考查学生对勾股定理的掌握情况；练习2考查学生构造直角三角形，灵活运用定理的方法；练习3考查用勾股定理建立模型，解决生活实际问题的能力.七、教学设计思路说明从总体而言本节课的设计实施思路是：在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．教师为学生提供探索和讨论的问题情境和素材，使学生在自主探索和合作交流的基础上经历数学探索问题的一般步骤.整堂课中，创设情境，以实验为背景，充分调动了学生的积极性. 独立探究，师生交流，生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思路，学生的表现超出了我的预期．在教师评价时，关注学生的参与程度和思维水平，关注学生对方法的掌握情况和灵活运用和理解定理的意识和能力.在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的不同思维方式，只要合理都给予鼓励和肯定，充分发挥教学评价的价值，同时为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑，学会互相欣赏，学习和借鉴．1.文化为线，贯穿课堂始终我以探究和证明勾股定理的各种方法为主线，以勾股定理的发现、发展的历史文化背景和数学文化背景为暗线贯穿整堂课始终.2．问题为串，设置层层铺垫精心设计问题串，针对定理证明的重点和难点层层铺垫，引导学生独立探究，合作交流，思维不断地碰撞出火花，充分的体会了数形结合和转化等数学思想.3．学生为本，发展核心素养本节课以学生为本，通过丰富的课堂活动将几何直观、逻辑推理等数学学科核心素养与人文底蕴、科学精神等中学生核心素养紧密联系，体现了数学学科在培养品格健全人的方面的重要价值和作用.八、教学反思1.通过本节课的教学实践，我再次体会到：学生是课堂的主体.在教学过程中，师生一定会有共同的、积极的情感体验.在教学中努力把重心定位在知识形成的过程的探索，更加注重学生学习能力的培养，实践证明这种做法是正确的.今后的教学中，注重挖掘教材的能力生长点，挖掘教材的内涵，着眼于学生终身发展的需要，为学生的终身发展奠定基础.2.数学具有严密的逻辑性和抽象性.而学生学习内容的呈现是从简单到复杂，思维方式是从具体到抽象的一个循序渐进的过程.对一个问题的解决不是教师将现成的方法传授给学生，而是教给学生解决问题的策略，让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，合作交流中获得成功的体验.课例点评本节课邓老师对教材在整个学段的地位和作用理解准确，把控到位，目标定位符合课程标准要求，精准、具体、适合自己学生的认知能力。

人教版八年级数学下册《勾股定理及其逆定理的综合应用》评课稿

人教版八年级数学下册《勾股定理及其逆定理的综合应用》评课稿一、课程背景介绍本课程是八年级数学下册的内容，主要涉及到勾股定理及其逆定理的综合应用。

通过本课程的学习，学生将深入理解和掌握勾股定理的基本概念和运用方法，进一步提高数学思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学目标本课程的教学目标主要包括以下几个方面：1.理解勾股定理的原理和几何意义；2.掌握勾股定理的运用方法；3.能够运用勾股定理解决实际问题；4.了解勾股定理的逆定理及其应用。

三、教学内容概述本课程主要包含以下几个重点内容：1.勾股定理的引入：通过对直角三角形的认识，引出勾股定理的概念和表达方式；2.勾股定理的运用：通过实例的演示，让学生掌握勾股定理的运用方法；3.勾股定理的证明：介绍勾股定理的几种证明方法，培养学生的逻辑思维能力；4.勾股定理综合应用：通过多个实际问题的解决，培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力；5.勾股定理的逆定理：讲解勾股定理的逆定理及其应用，拓展学生的数学知识。

四、教学重点和难点本课程的教学重点主要包括以下几个方面：1.勾股定理的运用方法；2.实际问题的解决；3.勾股定理的逆定理及其应用。

本课程的教学难点主要包括以下几个方面：1.勾股定理的证明方法；2.实际问题的转化和解决；3.勾股定理逆定理的理解和应用。

五、教学方法与教学过程本课程采用课堂讲授和实例演示相结合的教学方法，以下为具体的教学过程：1.引入阶段：–通过对直角三角形的认识，引出勾股定理的概念；–通过一个简单的实例，让学生感受到勾股定理的应用。

2.讲解阶段：–介绍勾股定理的表达方式和运用方法；–演示如何利用勾股定理求解直角三角形的边长；–讲解勾股定理的几种证明方法，引导学生进行思考和讨论。

3.练习阶段：–给学生一些练习题，巩固勾股定理的运用能力；–设计一些实际问题，让学生应用勾股定理解决问题；–引导学生运用勾股定理进行实际问题的转化和解决。

4.拓展阶段：–介绍勾股定理的逆定理及其应用领域；–给学生展示一些勾股定理逆定理的实际应用案例；–引导学生思考勾股定理逆定理的证明和推广。

探索勾股定理—教学设计及点评(获奖版)

1.1探索勾股定理（第1课时）一、教材内容和内容分析（一）教学内容本节课是北师大版教材《数学八年级（上）》第一章勾股定理第一节的内容，主要学习勾股定理的探究、证明及简单应用．（二）教学内容分析勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把有一个角是直角这个形的特征转化成数量关系，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，体现了数形结合的思想方法. 它也是反映自然界基本规律的一条重要结论，勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了三角学、解析几何学的建立，对数学进一步的发展拓宽了道路．因此，可以这样说，勾股定理是数学发展的重要根基之一．它不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一．教学重点：探究并证明勾股定理二、教学目标和目标解析（一）教学目标1.经历探索，验证勾股定理的过程，初步掌握勾股定理，进一步了解等面积法的应用；2.通过不同证明方法的探究，进一步发展空间观念和推理能力，体会数形结合的数学思想；3.借助勾股定理丰富的文化背景，培养学生的人文底蕴和科学精神的核心素养.（二）教学目标解析达成目标1：学生通过分析以特殊的直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表达勾股定理的结论．通过割补法构造图形验证勾股定理，从而理解直角三角形三边的数量关系．达成目标2：以赵爽弦图和青朱出入图为载体，了解勾股定理各种证明方法之间的内在联系，即实质都是运用等面积法加以证明. 使学生感受多角度分析问题，多种方法解决问题. 同时，在图形的性质转化成数量关系的过程中，感受数形结合的思想．达成目标3：通过了解勾股定理发展史，感受勾股定理所蕴含的厚重文化.同时，增强学生的民族自豪感，感受数学对人类文明的发展所起的积极的推动作用.三、教学问题诊断分析八年级的学生已经具备了一定的分析和归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法.但学生对构造图形的方法证明几何命题的意识和能力还比较弱，对于如何将图形与数量关系相结合的证明方法还比较陌生.因此，在教学中让学生直接发现“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”有一定的难度，这就需要由特殊的个例入手.学生通过特殊的直角三角形三边满足的关系，思考和探究一般的直角三角形是否也满足这样的关系. 学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，课前的实验引入起到了方法启发的作用. 勾股定理其它证明方法的探究对于学生而言存在很大的挑战，教师问题的设置和及时及时的启发尤为关键.学生间的讨论、交流有利于学生自然、合理地发现勾股定理多种证明方法之间的联系. 最后，教师总结等面积法的方式很多，实质都是图形经过截、割、拼、补等.教学难点：构造图形证明勾股定理，探究典型证明方法之间的本质共性.四、教学支持条件分析在七年级，学生一方面，通过《字母表示数》，《整式的运算》等章节的学习，初步形成了符号化的意识，能熟练进行整式的计算和化简；另一方面，通过《三角形》等章节的学习，积累了用割补法求图形面积的基本经验.本课我主要采用教师问题启发，学生自主探究与合作交流相结合的教学方法．通过学生独立思考和互动研讨，充分经历“观察—猜想—归纳—验证—证明”的探索过程，突出教学重点．同时，在探索勾股定理的其它证法时，鼓励学生大胆尝试，注意关注学生思维历程，提升思维水平的深刻性．学生的学法突出自主探究，实践体验，合作交流．五、教学过程设计教学流程示意图结合教材内容和教学目标，以及本班学生的学情，本课的教学环节及时间分配如下：提出问题深入探究小结升华教学过程悟度翼展勾股（9分钟）（17分钟）悟识探究勾股（21分钟）悟境初识勾股（4分钟）（1分钟）悟道凝化勾股（6分钟）（17分钟）（一）悟境——初识勾股1.校史引入同学们，马上就是我们学校2160年的校庆了，这节课我们先来了解一下学校的历史.2160年了，身为石室人，我感到无比的骄傲. 其实啊，在漫长的历史长河中，我们还有很多伟大的成就. 单从数学方面来说，就有很多了不起的发现，有同学了解过吗？因为反映定理内容的图形，形象直观，华罗庚曾经甚至建议把它作为与外星人联系的信号.那它到底神奇在哪里呢？设计意图：用学校的历史引入，增加学生的亲切感.同时介绍勾股定理的历史起点，也是本节课暗线的起点，充分借助教材的章前图文激发学生的学习兴趣．2.实验观察在讲个定理之前，我们先来做一个实验，转动沙漏，同学们认真观察.问题1：通过刚才的实验，你观察到了什么？问题2：两个小正方形的面积之和等于大正方形面积，其实可以看成中间直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.那么，是不是所有的直角三角形都满足这样的关系？这就是我们今天主要探究的问题.设计意图：1.用实验引入，首先能吸引学生，激起学生的兴趣，在观察的实验的过程中，初步感受到两个小沙漏的体积之和等于下面大沙漏的体积；2.生生互评，能够使我们对实验现象认识得更清楚，进一步思考，去掉厚度，能得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，如果学生没有进一步的结论，老师可以继续启发，三个正方形的面积，实际也分别是对应直角三角形的三条边的平方，从而获得一个关于直角三角形初步的结论：两直角边的平方和等于斜边的平方，从特殊的现象中提出问题.（二）悟识——探究勾股【教学内容与师生活动1】问题1：对于一般的直角三角形，三边是否也存在这样的关系呢？在数学上，我们通常可以从特殊到一般地来研究问题.据说，毕达哥拉斯到朋友家做客的时候，就是因为偶然地发现了地板砖上的特殊图案，从而总结出了勾股定理. 同学们可以看一下，这就是当时毕达哥拉斯发现的特殊图案.我们今天也从特殊到一般来研究勾股定理.请同学们自己在练习本上任意画一个直角三角形进行验证.学生活动：学生独立作图，绝大部分同学取的两条直角边为整数，个别同学三边取的分数；在验证关系时，只有少部分同学得到两直角边的平方和等于斜边的平方，大部分学生并没有得到同样的结论．追问1：看来有好多同学都发现了矛盾，这个矛盾究竟出在哪里？那么这个结论是否对任意的直角三角形都成立？还有没有更加严谨的方法可以说明？请同学们围绕这些疑惑交流讨论.师生活动：尺规作图难免存在一定的误差，导致我们无法获得准确的判断.追问2：那么我们能不能找到避免测量误差的更好的办法？师生活动：学生通过几何画板，演示构造直角三角形，通过测量三边的长度以及计算两直角边的平方和与斜边的关系，验证确实直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．设计意图：学生独立作图初步感知，从特殊的直角三角形出发，到几何画板进一步获得验证，使学生感受在获得猜想时，及时用数学工具进行验证获得思路是一种非常有效的方式．【教学内容与师生活动2】问题2：即使几何画板也不能一一验证任意结论，但它坚定了我们对结论的猜想，我们必须想办法严谨地证明.历史上的数学家爱好者们已经找到了近五百种勾股定理的证明方法，其中很多都是通过图形的割补完成的.现在同学们手上都有一张方格纸，请在方格纸上任意画一个直角三角形，用割或者补的方法来证明这个结论.设计意图：此时直接让学生去证明三边的平方关系，难度很大，为了降低学生的思考难度，教师及时引导，回到课堂开始的图形，直接提示学生借助方格纸作图，利用面积的割或者补的方法得到边长的平方关系.以此，打开教学突破难点的缺口.请同学们在方格纸上任意地画一个直角三角形，通过割或补的方法来证明它的三边是否满足：两直角边的平方和等于斜边的平方.学生活动：学生独立作图，首先画出直角三角形，在验证三边的平方关系时，绝大部分同学都能以直角三角形的三边分别向外作了三个正方形，通过计算正方形的面积，来验证三边的平方关系. 这个过程中涉及到求方格纸中斜放的正方形的面积问题.请两位同学展示他们不同的验证方法.追问1：你为什么会想到向外作三个正方形来验证？追问2：你是如何求斜放的正方形的面积的？追问3：通过我们在方格纸中任意作的一个顶点在格点的直角三角形，都能验证两直角边的平方和等于斜边的平方，那么我们能不能说对于所有的直角三角形，三边都满足这样的关系？学生活动：学生从刚才自己的验证中能猜想到结论的正确性，但是推广到一般，还不能算严格的证明，因为方格纸具有特殊性，因此，想要获得一般性的结论，还需要弱化条件，在一般的平面上对一般的直角三角形进行说明．设计意图：学生在方格纸上作图进一步验证，用割或者补的方法验证两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，进一步感知猜想的正确性.在这个过程中，学生初步感受构造法是证明问题的一种思路，用面积法验证平方关系，巩固求面积常用的割和补的方法.在不断追问中使学生体会到研究几何问题的一般思路：从特殊到一般，思考并理解怎样才能使问题一般化．【教学内容与师生活动3】问题3：那我还想问一下大家，如果我们把方格纸去掉，会对他们的证明有实质的影响吗？请同学们拿出A4纸，在空白处任意画一个直角三角形，用刚才两位同学的方法，尝试证明结论.学生活动：先学生独立作图，尝试用字母表示数，将直角三角形的三边分别用a ，b ，c 来表示．在验证三边平方关系时，因为有了方格纸中割补法的启发，学生能较快完成作图，并用面积法进行验证，在证明222c b a =+时，绝大部分学生都将以c 为边的大正方形用两种不同的方法表示，通过代数式的化简，得到222c b a =+.从而验证结论的一般性.方法1 将以c 为边的正方形补成更大的正方形. 方法2将以c 为边的正方形割成四个全等的 ()2222S a b a b ab =+=++ 直角三角形和一个边为()a b -的正方形. 又()2221422S a b c ab c ab =+=+⨯=+ ()22142S c ab b a ==⨯+- ab c ab b a 22222+=++∴ 222c b a =+∴.222c b a =+∴.设计意图：有了实验的猜想和方格纸上验证获得的方法，学生对于结论一般性的验证能很快解决，理解把一个问题一般化的方式是用字母表示数，感受用面积的不同表示方法得到等式，通过代数式的化简，得到一般的结论的过程．【教学内容与师生活动4】c a b c a板书：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：如图，在Rt △ABC 中，若=90C ∠︒，有222c b a =+.设计意图：教师板书，既是呈现本节课教学内容的关键，同时，教师板书很重要的目的，就是传授知识的同时引导学生养成良好的书写，绘图，语言表达的习惯.（三）悟度——翼展勾股【教学内容与师生活动1】勾股定理的内容简洁，结构优美，从古到今，无数数学家和数学爱好者都研究过这个定理的证明.刚才我们已经说到，勾股定理的证明方法已经有500多种. 下面请大家欣赏勾股定理的一些经典证法.设计意图：这主要是一组国外的经典证法，一是让学生初步感受从古至今古人对勾股定理的热爱和探究，同时也为引出下一个环节引出中国古代的两种经典证明方法做好对比铺垫.【教学内容与师生活动2】其实，在众多的证明方法中，中国历史上关于勾股定理的证明有两颗璀璨明珠.接下来，我们一起分享中国历史上关于勾股定理的两颗璀璨的明珠.教师直接展示赵爽弦图的证明思路，这个方法被哈佛大学教授库里奇称为“最省力的证明”.展示完赵爽弦图的证明方法外，教师进一步介绍东汉数学家刘徽的“青朱出入图”，以及“青朱出入图”的证明方法.设计意图：1.通过赵爽弦图和青朱出入图的介绍，再次感受数学文化，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，感悟古人的智慧，增强民族自豪感.2.学生在观察两种证明思路的同时，调动学生思维的积极性，启发学生对接下来的问题做进一步思考.【教学内容与师生活动3】问题：对比刚才呈现的三种证明方法，如果我们从变换的角度看，思考它们有什么共同特点？学生活动：小组讨论，在讨论与碰撞中发现证明方法的本质共性.学生在作图过程中可能会有所发现，如下图所示：设计意图：这个环节可以给学生充分的思考时间，通过再次动手作图，为学生积极创造从事数学活动的机会，调动学生的思维积极性. 通过赵爽弦图以及青朱出入图的介绍，感受数学文化的同时，启发学生站在巨人的肩膀上做进一步的思考，加深对定理的理解，进一步体会等面积法的多样性. 【教学内容与师生活动4】勾股定理的发展线就是人类文明发展的一个缩影，教师介绍勾股定理发展的一个历史线：设计意图：使学生充分地感受到数学不仅仅是一门博大精深的科学，更是一种先进的人类文化. 整个数学的发展史就是人类物质文明和精神文明的发展史.勾股定理极其深厚的数学文化底蕴是其它定理无法比拟的，学生对勾股定理多种证明方法的探究不仅仅是对基础知识和基本方法的学习，更是科学精神在数学学习中的具体体现.cbacba（四）悟道——凝化勾股【教学内容与师生活动】通过今天对勾股定理的探索，你有什么感受？学生活动：学生从知识上，方法上，以及勾股定理历史文化上都可以谈自己的感想.设计意图：让学生从不同角度回顾本节课所学习的内容，反思其中的数学思想方法，引发学生更深层次的思考，促进学生认知结构与思维品质的提高.六、教学目标检测设计为了检测学生课堂学习目标的达成情况，我设计了如下练习.1.下列说法正确的是（）A.若a，b，c是△ABC的三边，则222+=a b cB.若a，b，c是Rt△ABC的三边，则222a b c+=C.若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则222+=a b cD.若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则222+=第2题a b c2.如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长，宽，高分别是1.2m，1m，0.8m 的箱子能放进储藏室吗？3.装修工人买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装.如果电梯的长，宽，高分别是1.5m，2.0m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出工人买的木条至少是多少米吗？设计意图：练习1直接考查学生对勾股定理的掌握情况；练习2考查学生构造直角三角形，灵活运用定理的方法；练习3考查用勾股定理建立模型，解决生活实际问题的能力.七、教学设计思路说明从总体而言本节课的设计实施思路是：在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．教师为学生提供探索和讨论的问题情境和素材，使学生在自主探索和合作交流的基础上经历数学探索问题的一般步骤.整堂课中，创设情境，以实验为背景，充分调动了学生的积极性. 独立探究，师生交流，生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思路，学生的表现超出了我的预期．在教师评价时，关注学生的参与程度和思维水平，关注学生对方法的掌握情况和灵活运用和理解定理的意识和能力.在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的不同思维方式，只要合理都给予鼓励和肯定，充分发挥教学评价的价值，同时为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑，学会互相欣赏，学习和借鉴．1.文化为线，贯穿课堂始终我以探究和证明勾股定理的各种方法为主线，以勾股定理的发现、发展的历史文化背景和数学文化背景为暗线贯穿整堂课始终.2．问题为串，设置层层铺垫精心设计问题串，针对定理证明的重点和难点层层铺垫，引导学生独立探究，合作交流，思维不断地碰撞出火花，充分的体会了数形结合和转化等数学思想.3．学生为本，发展核心素养本节课以学生为本，通过丰富的课堂活动将几何直观、逻辑推理等数学学科核心素养与人文底蕴、科学精神等中学生核心素养紧密联系，体现了数学学科在培养品格健全人的方面的重要价值和作用.八、教学反思1.通过本节课的教学实践，我再次体会到：学生是课堂的主体.在教学过程中，师生一定会有共同的、积极的情感体验.在教学中努力把重心定位在知识形成的过程的探索，更加注重学生学习能力的培养，实践证明这种做法是正确的.今后的教学中，注重挖掘教材的能力生长点，挖掘教材的内涵，着眼于学生终身发展的需要，为学生的终身发展奠定基础.2.数学具有严密的逻辑性和抽象性.而学生学习内容的呈现是从简单到复杂，思维方式是从具体到抽象的一个循序渐进的过程.对一个问题的解决不是教师将现成的方法传授给学生，而是教给学生解决问题的策略，让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，合作交流中获得成功的体验.课例点评本节课邓老师对教材在整个学段的地位和作用理解准确，把控到位，目标定位符合课程标准要求，精准、具体、适合自己学生的认知能力。

关于翟老师的《勾股定理》观评课报告

关于翟老师的《勾股定理》观评课报告《勾股定理》这堂课，是我们初中教学中十分重要的一堂课。

因为一方面勾股定理可以看作直角三角形的性质，它揭示了直角三角形的三边的数量关系，它把形的特征（直角三角形的一个角是直角）转化为数量关系，解决了许多直角三角形的计算问题。

另一方面，由于勾股定理在整个数学学科中以及重大科技发现中的地位作用，对学生的发展，尤其是科技观的形成，其影响是重大的。

所以这堂课的内容是给学生的发展有重大影响的优秀资源。

由于，这堂课蕴含了丰富的文化内涵，因此，这堂课与我们数学其他课相比，无论是知识体系，还是教学目标都有很大不同，这也给上课老师很大的挑战。

翟老师能较合理创设教学情景，把教学内容与日常生活有机地联系起来，突出了勾股定理的应用。

能充分利用多媒体等教学资源，较好地使用教具，让学生在演示中形象地理解题意。

能善于启发学生思维，引导学生抓住关键从不同的角度构造直角三角形，把实际问题转化成数学问题，最后得到解决。

翟老师上课给大家的第一印象：教态自然大方，语言、表情亲切，面部表情丰富。

声音抑扬顿挫，充分调动了课堂气氛，引起学生的兴趣和注意。

翟老师上课很有激情，这也充分调动了学生的学习积极性。

在课堂中他的提问切中要点，提示很有启发性，讲解有条不紊，思路清晰明朗。

展示了扎实的教学功底，以及对学生思维的了解，较好的给我们起到示范的作用。

这堂课最大的亮点是让学生通过合作，研究勾股定理的应用，这也是这堂课的难点，“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。

”教学设计时有意识地注重提高学生自主学习能力，培养学生探索精神，创新意识和实践能力。

在翟老师的引导下，学生很好地完成了这一系列的数学活动。

学生主动尝试、主动探索，主动了解和发现知识的产生与发展过程，从而更好地体现了面向全体，因材施教的原则，使每个学生都能在自己原有的基础上得到充分的发展和提高。

本节课的内容蕴含了丰富的文化内涵，因此这堂课设计安排了勾股定理的发展史，勾股定理的名称由来“勾广三，股修四，径隅五”，通过指出我国是最早文献出现勾股定理的国家，培养了学生的爱国主义精神,力求挖掘数学的文化宝藏，培养学生的学习兴趣。

勾股定理—教学设计及点评

《24.1勾股定理》教学设计黑龙江省哈尔滨市第一五六中学校郝金芝一、教学内容及其解析勾股定理是直角三角形特有的一条重要性质，也是平面几何的一个基本定理.它揭示了三角形中一个直角的“形”的特点决定了三边之间的“数”的关系，是用代数思想解决几何问题的重要手段，是解决四边形问题及圆的问题和解三角形的主要依据，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性和连续性.本节课的教学重点是勾股定理的发现和辨析.勾股定理不仅促进了数学的发展，而且在科技进步中也发挥了不可估量的作用.二、教学目标及其解析1.掌握勾股定理的内容；能够使用勾股定理进行简单的几何计算；理解勾股定理的证明方法.2.经历观察，计算，辨析，证明,应用的探究过程，感受知识的发生，发展. 体会数形结合，转化，由特殊到一般的数学思想，并获得研究问题的方法.3.通过亲身参与数学活动，获得成功的体验；在小组探究中学会合作与分享.4.通过了解中国古代在勾股定理研究方面的伟大成就，激发爱国情怀.三、学生学情分析从年龄特点上看，虽然八年级学生不及低学段学生那样活泼富有激情，但他们已经具备了一定的动手能力，对知识的迁移能力，以及理性的分析问题，用多种方法解决问题的能力.能在老师的引导下，针对某一问题展开讨论并归纳总结，但是受年龄特征的影响，他们探索问题的方法和角度还需进一步培养.所以勾股定理的证明是本节课的难点.从知识储备上看，学生已经掌握了直角三角形的一部分性质及三角形全等和轴对称的相关知识；会通过作简单的辅助线解决几何问题.教学中利用学生已有的知识和经验，让学生积极参与到课堂的讨论与探究中来，大胆发表见解，发挥其主动性、积极性，优化课堂效果.四、教学策略分析通过故事，以问题为载体给学生提供思考，研讨，探索的空间，引导学生积极参与课堂活动.教学环节的设计与展开，都以问题的讨论与解决为中心，使教学过程成为在教师指导下学生的一种研讨，探索的学习活动过程，在讨论和交流中逐步发现，辨析，证明，应用勾股定理.五、教学过程设计（一）创设情境引出课题观看PPT，播放沙画还原第24届数学家大会的申办和召开，介绍大会会徽，指出该会徽是我国数学发展史上的伟大成就，代表我国古代对勾股定理的研究成果，从而引出课题和研究内容.【师生活动】共同观看PPT，教师介绍大会会徽的含义.【设计意图】明确学习的知识内容和目标.（二）漫话勾股感知发现1.观看PPT，播放毕达哥拉斯参加政要的餐会，凝视地砖出神，教师引导学生观察，引发学生思考.初步探索等腰直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.【师生活动】共同观看PPT，当学生观察受阻时，教师引导学生观察以等腰直角三角形三边为边向外作的三个正方形，利用正方形所覆盖的等腰直角三角形的个数，探究三个正方形的面积关系：P Q M S S S +=，从而得到三边关系:222AC BC AB +=.【设计意图】初步体会边的关系可以通过研究面积关系获得.2.将生活问题转化为数学问题.在网格中，通过计算进一步探索等腰直角三角形的三边关系.【设计意图】通过数学计算，验证P Q M S S S +=仍然成立，根据三个正方形的面积关系，依然能得到三边关系为：222AC BC AB +=.（三）条件辨析直观验证教师提出问题：“等腰直角三角形是特殊的三角形，它有两个特殊条件，等腰和直角，等腰直角三角形的三边能具有这样特殊的数量关系，这两个特殊条件是否缺一不可呢？如果缺少其中一个条件，或者两个特殊条件都不存在了，那这样的三角形的三边还存在以上特殊的数量关系吗？”【师生活动】教师提出问题，引发学生思考.【设计意图】辨析决定“两条直角边的平方和等于斜边的平方”这一关系的重要条件到底是“等腰”还是“直角”.学生通过思考获得以下争论：争论1：两个条件缺一不可，因为已经验证过等腰直角三角形的三边是满足222+=.AC BC AB争论2：等腰这个特殊条件不能少，因为等腰是边的关系，222+=也AC BC AB是边的关系.争论3：可能与直角关，因为我们曾经学习过“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，这种边的关系就是与30°角有关.由此推断，等腰直角三角形这种特殊的三边关系可能与直角有关.争论4：可能与两个条件都没有关系.争论5：应该分别验证一下.学生总结具体的验证方案：已经验证了同时有两个特殊条件的等腰直角三角形的三边存在特殊的数量关系.接下来，继续验证减少其中一个特殊条件的等腰三角形和直角三角形的三边是否存在以上特殊关系；再验证两个特殊条件都不存在的任意三角形的三边是否也存在以上特殊关系.【师生活动】分别研究直角三角形，等腰三角形，任意三角形的三边是否也具有以上的特殊关系.教师提出问题：“如何验证呢？”学生根据刚刚获得的经验找到解决问题的方法：以三边为边向外作正方形，分别求三个正方形的面积.通过研究正方形的面积关系从而研究三角形三边关系.在研究任意三角形的三边是否存在以上特殊关系时，引导学生思考得到“因为去掉‘直角’这一个条件三边关系已经不存在了，那去掉‘等腰’和‘直角’这两个条件，三边关系就一定不存在”的结论，从而提升学生的思维.【设计意图】引导学生从已有的经验方法出发，确立研究问题的方法.（四）归纳总结猜想结论通过辨析猜想结论，引导学生说出：“如果直角三角形两条直角边分别为a,b，斜边为c，那么a，b，c满足222+=”.a b c（五）动手操作推理证明特殊给我们启示，而一般才具有代表性.我们验证过的直角三角形的三边都是特殊值，那一般的直角三角形的三边是否仍然存在以上特殊的数量关系.方法1观点1：放回网格中.观点2：不行.因为任意三角形的顶点不一定在格点上.观点3：如果三个顶点都在格点上，那边长就又是特殊值了.方法2观点1：以直角三角形的三边为边向外作三个正方形.观点2：无法求出P 、Q 、M 这三个正方形的面积. 观点3：三个正方形的面积分别是222,,a b c .观点4：即使能表示面积，但没有具体数据仍然无法证明222a b c +=. 【师生活动】教师引导学生试一试用以前的方法能否进行证明.学生经历了失败，教师再引导学生思考222a b c +=的特点，继续引导学生由边长的平方想到正方形的面积，在本节课研究面积的方法的启示下，请同学们参考前面解决问题的方法，完成探究任务.在小组活动中，教师参与并指导.【设计意图】教师引导学生采取先独立思考，自主探究、再合作交流的学习方式，让学生的手动起来，思维也动起来.在合作中交换数学方法，升华数学思想.（六）呼应引入升华感情向学生介绍3世纪数学家赵爽通过对图形的分割和拼接，利用面积相等证明勾股定理的方法，以及“勾股弦图”重要的历史意义，紧扣引入环节，升华爱国情怀.（七）应用新知解决问题1.求下列图中字母所代表的正方形的面积.2.直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c .完成下列表格.a6 8 b 8 12 c1317例一个门框的尺寸如图所示，一块长3m ，宽2.5m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？【师生活动】师生共同解决问题.【设计意图】夯实勾股定理的内容，通过书写过程，强化勾股定理的内容和几何语言的表达，并培养学生的说理习惯，树立数形结合解决问题的意识.（八）梳理提升反思小结本节课，我们经历了观察，计算，辨析，猜想，证明，应用的探究过程，从特殊的等腰直角三角形入手，通过减少条件，过渡到一般的直角三角形进行研究；由有网格的直观计算到无网格的逻辑推理，体验了勾股定理的发现和证明，也感受了我国古人的智慧.亲爱的同学们，我们今天研究的勾股定理是一个基本的几何定理，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，它不仅为我们解决生活问题提供了方法，也为科学创新提供了思路.1m2mDCBA【设计意图】梳理本节课学习的过程，以及研究问题的方法，体会“从特殊到一般”，“从有序到无序”，“从直观到抽象”的数学思想.（九）布置作业延伸课堂课本第8页，第1，2，3题.六、课堂教学目标检测1.求下列用字母表示的正方形的面积.2.直角三角形的两条直角边分别为5，12.则斜边长为 .3.直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，另一条直角边长为 .4.直角三角形的两条直角边分别为6，8，则斜边上的高为 .5.如图，等腰三角形ABC中，若AB=AC=17，BC=16.则三角形ABC的面积是多少？B评课——评黑龙江省郝金芝老师《勾股定理》《勾股定理》是义务教育阶段人教版八年级下册第24章第一课时的内容.勾股定理是几何学中重要的基本定理之一，它揭示了直角三角形三边特殊的数量关系，将“形”与“数”紧密的联系起来了纵观郝金芝老师的课堂主要有以下几方面的特点:1.课堂内容的呈现体现了多样性和层次性郝老师能够灵活的把握教材，创造性的使用教材，重点设计了勾股定理的“辨析”和证明的过程.首先从最特殊的等腰直角三角形入手研究，发现三边存在特殊的数量关系，之后，郝老师并没有照搬教材直接验证直角三角形的三边，而是创造性的处理，让学生思考“等腰直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方”这一结论是与“等腰”还是“直角”有关，引发学生的争论，试图通过网格计算分别验证直角三角形，等腰三角形和任意三角形的三边是否具有以上特殊的数量关系.学生在解决问题中也得出“去掉直角这个条件，三边关系已经不存在了，所以去掉等腰和直角两个条件，三边关系就更不存在了”的结论，这样自然而然的课堂生成说明了教师问题的设计引发了学生深刻的思考.这个辨析的环节一下子拓展了课堂的宽度，让学生更深入的认识到勾股定理是直角三角形独具的性质，这样的认识过程和结果的形成过程才是学生最大的收获，而且这样过程教会学生的是一种“去伪存真”的思想，是一种研究问题的方法.在勾股定理一般性证明的环节，郝老师也通过不断的追问引发学生思考，学生从已有经验“放入网格”“以三边为边向外作正方形”出发进行尝试，当学生遇到困难时，教师适时引导学生“借助前面研究面积问题的方法”进行尝试验证.这两处有效的争论，让学生在争论中认识问题，拓展思路，交流思想和方法，让学生受益良多.2.教学活动的设计郝老师在设计课堂活动时也特别用心，从生活现象过渡到数学问题，再从有网格的直观计算到无网格的逻辑推理，让学生的思维经历了“感性具体→理性具体→理性一般”的过程，符合学生认识新知识的过程.教师的教学以学生的认知水平和已有经验为基础，引导学生独立思考，主动探索，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验.3.信息技术与课程内容整合本节课，郝老师合理的使用现代信息技术，作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进了教与学的方式.4.学科德育渗透通过有关数学史料，让学生了解勾股定理在我国数学发展史上的重要意义，激发学生的民族自尊心，增强民族自豪感，对学生进行爱国主义教育.5.课堂节奏的把握本节课在应用勾股定理解决问题这一环节节奏有点儿快，如果能再多给学生思考时间，效果会更好.。

点评《勾股定理》教学设计

完稿时间：2012-01-26.稿件栏目：课例评析设计作者：徐金星湖北省孝感市肖港初中（432131）点评作者：适用版本：人教版八年级下册（第三章18.1节）《勾股定理》教学设计一、教学内容人教版八年级下册第三章18.1节.二.教学目标(一)知识与技能1．经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，掌握勾股定理，并能运用它解简单的计算题和实际问题;2．了解运用数形结合解决数学问题的重要性，进一步提高分析问题和解决问题的能力.(二)过程与方法1.经历探索、发现、猜想、验证等数学过程，获得解决问题的经验;2．学会与他人合作交流，从交流中获益.(三)情感态度与价值观1.经历对勾股定理的探索，体验成功，增强信心;2.发展学生“学教学——用数学——爱数学”的思想，体验数学与生活的紧密联系，树立科学的价值观.点评1:三维教学目标明确，本课的主要内容是对勾股定理的探索和验证、以及简单应用。

但“知识与技能目标”中的第2目标“了解运用数形结合解决数学问题的重要性”可否改为感受数形结合的思想,并位置调整放在“过程与方法”目标。

情感态度与价值观目标1可否改为：通过了解勾股定理的历史，让学生体验古人的伟大，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣。

三.教学重、难点重点：勾股定理及其应用难点：勾股定理的验证关键：制作课件、直观演示、验证面积的变化过程，得到勾股定理，抓住其适用条件，会用它解决一些实际问题。

点评2:重点首先是探索勾股定理及验证勾股定理，其次是简单应用。

突破方法：1、已知两条直角边的长a、b,就可以求出斜边C的长。

2、直角三角形三边的关系的变式，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。

3、对于实际问题，把它转化为几何问题，构建直角三角形，再利用勾股定理来解决。

点评3: 设计难点的突破方法很好，有利于突出教学重点和难点，对教学有指导作用。

但本处好像是只有应用勾股定理的难点突破。

缺少探索及验证勾股定理的难点突破，勾股定理的证明采用了面积法，这是初二学生很少体验过的，难点应如何突破？四、教学过程(一) 创设情境，激趣引新问题1：请同学们认真观察课本封面和本章前图，（2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽），说一说封面和章前彩图中的图形表示什么意思？它们之间有联系吗？问题2：毕达哥拉斯发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们也来观察图1中的地面，看看能发现些什么？图1 图2本节我们一起来解图中的奥秘，从而引入课题.点评4: 通过不同背景但实质相同的问题，能迅速吊起学生探秘的胃口。

勾股定理评课稿

勾股定理评课稿勾股定理评课稿9篇在教学工作者实际的教学活动中，就有可能用到评课稿，评课是对照课堂教学目标，对教师和学生在课堂教学中的活动以及由此所引起的变化进行价值的判断。

那么评课稿应该怎么写才合适呢？以下是小编整理的勾股定理评课稿，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

勾股定理评课稿1听了何老师的勾股定理，感触比较多。

整节课，可以说是化繁为简、重点突出、条理清晰、层次分明。

让我印象最深刻，也是值得我学习的地方，应该是利用正方形的面积来推导勾股定理这一部分，这也是本节课的难点与重点。

从找正方形面积之间的关系，来推导出中间所围的三角形三边之间的关系，无疑是一个很巧妙的思维，在网格中找正方形面积的时候，学生可以充分利用所学过的割补法的知识，用不同的方法，得到面积，思维上得到了发散。

接下来利用了一个有效的设问“对于等腰直角三角形三边所满足的这一关系，是否一般的直角三角形也满足呢？聚拢了发散的思维，并明确了勾股定理。

整个过程条理清晰、层次分明，学生在一步一步的探索中学到了新的`知识。

符合学生的认知水平。

练习分为两部分，第一部分是：蜗牛的行走路径、小鸟飞行路程、轮船航行。

这一部分在课程开始时，以动画的形式吸引学生的注意，并设置了求解的疑问，在勾股定理明确之后，让学生做、学生讲解、老师点拨。

从中加深学生对勾股定理的印象：一是一定要在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，则首先要构造出直角三角形。

二是，得到了三组勾股数，为勾股数的规律做铺垫。

第二部分的练习是给学生们课下练习的。

整个课堂中，教师的教学功底通过对课堂节奏的掌控、教师用语的提炼、PPT技巧的掌握得到了充分的展现。

很值得我学习！勾股定理评课稿2本节课教学目标明确，教学设计合理，通过国际数学家大会的会徽图片激起了学生认识和学习勾股定理的兴趣。

教学过程中，学生通过老师设计的引导题目一步步进行了自主探索，合作交流，得出结论的过程。

在用拼图法证明勾股定理的过程中，动画的设计使学生更直观的掌握定理的内容。

(完整word版)勾股定理知识点+对应类型(良心出品必属精品)

第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；勾股定理和平方根勾股定理平方根立方根实数近似数、有效数字判定直角三角形勾股定理的验证定义、性质开平方运算开立方运算定义、性质（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

(完整word版)第十八章勾股定理教材分析

第十八章勾股定理18．1 勾股定理（一）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

三、课堂引入让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长.你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2. 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？四、例习题分析例1(补充）已知：在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2. 分析：⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明.⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。

例2已知：在△ABC 中，∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证:a 2＋b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。

左边S=4×21ab ＋c 2右边S=（a+b)2左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2化简可证。

六、课堂练习1．勾股定理的具体内容是：。

2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°,（用几何语言表示）A Bbb b b aa⑴两锐角之间的关系: ; ⑵若D 为斜边中点,则斜边中线；⑶若∠B=30°,则∠B 的对边和斜边: ； ⑷三边之间的关系: 。

勾股定理点评课件

LODAING…
人教版《数学》八年级（下）
第十八章第一节《勾股定理》
《勾股定理》第一课时这节课，肖老师设置了情境引入、探索新知、巩固新知、课外阅读、课堂小结、布置作业六个环节，遵循了知识的发生、发展、形成规律，合乎学生的认知特征,整堂课一气呵成.
湖南省教育科学研究院
人教版《数学》八年级（下）
1.巧用多媒体.
2.设计开放式课堂. 3.注重小组成员之间的合作 4.设计首尾呼应.
湖南省教育科学研究院
人教版《数学》八年级（下）
第十八章第一节《勾股定理》
四构建良好氛围，营造和谐情感
肖老师在整个教学过程中始终面带微笑，亲和力强.课上，学生能积极发言，敢于陈述自己的见解，师生配合相当默契，教学进程如行云流水般的自然、流畅.正如肖老师自己所追求的那样，使得学生在轻松的环境中快乐地学习.
湖南省教育科学研究院
人教版《数学》八年级（下）
第十八章第一节《勾股定理》
湖南省教育科学研究院
湖南省教育科学研究院
人教版《数学》八年级（下）
第十八章第一节《勾股定理》
二注重小组合作探究
1.让学生探讨边长不在格线上的图形的面积时小组合作。
2.在验证勾股定理的过程中，小组合作探究不同的拼法和不同的证法。
湖南省教育科学研究院Fra bibliotek人教版《数学》八年级（下）
第十八章第一节《勾股定理》
三追求教学艺术，彰显教学智慧
第十八章第一节《勾股定理》
一
还原课堂本质，明确师生地位
1.课堂引入设计了一个“与外星人相遇，用什么语言进行沟通？”充分的调动学生的学习兴趣，引入新课. 2.在新授中教师以问题为线索，让学生形成自已的知识结构. 3.在证明勾股定理时，让学生分小组形式进行拼图，证明，解决问题.

北师版数学八年级上册第2课时勾股定理(2)教案与反思牛老师

第2课时勾股定理（2）前事不忘，后事之师。

《战国策·赵策》圣哲学校蔡雨欣【知识与技能】1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.掌握勾股定理和它的简单应用.【过程与方法】1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.【情感态度】在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.一、创设情境，导入新课我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证及简单运用做一做：1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.2.为了计算教材图1—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P51—5、1—6图.（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；（2）教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.（3）你能分别利用教材图1—5、1—6验证勾股定理吗？【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解.【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.三、运用新知，深化理解1.一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从一个长2m，宽1m的门框内通过，为什么？2.飞机在空中水平飞行，某一时刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去.【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中△ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9（km2）即BC=3千米飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20×3=540（千米/时）答：飞机每小时飞行540千米.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你学会了哪种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模.完成练习册中本课时相应练习.了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.【素材积累】岳飞应募参军，因功累累不断升职，宋高亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。