高考数学一轮复习第三章3_5函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件理新人教A版
高考一轮数学复习课件：第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
1． (2014· 高考安徽卷)若将函 数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x 的图
自主探究
π cos2x－4，将其图象向右平移
φ 个单位，
象向右平移 φ 个单位，所得 得到的函数图象对应的解析式为 y＝ 2 图象关于 y 轴对称，则 φ 的
π cos2x－φ－4＝ π 2cos2x－2φ－4， 要使
π π 10－2sin t＋ ＞11， 12 3
π π 1 sin12t＋3 ＜－ . 2
7π π π 11π 又 0≤t＜24，因此 ＜ t＋ ＜ ，即 6 12 3 6 10＜t＜18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温．
考点三
师生互动
实际问题转化为三角函数后，通过研究三角函数性质来解决 实际问题．
值求 k，再求最大值． 根据图象得函数的最小值为 2，有－3＋k＝2，k＝5，最大 值为 3＋k＝8.
段时间水深(单位：m)的最大值为( C )
A．5 C．8
B．6 D．10
考点三
解析
2． (2014· 高考湖北卷 )某实验室一天 (1) 因 为 的温度(单位：℃)随时间 t(单位：h) 的变化近似满足函数关系：
自主探究
1 纵坐标不变，横坐标变化为原来的ω倍，简称为周期变换；φ 所 φ 起的作用是将函数图象左右平移 ω 简称为相位变换． 进 个单位， 行左右平移时是针对“x”而言，先变周期与后变周期所平移的单 位数不同．
师生互动
考点一
[能力题组]
1． (2014· 高考安徽卷)若将函 数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x 的图
师生互动
1；再向下平移 1 个单位长度得 y3 ＝cos(x＋1)．令 x＝0，得 y3>0.令 x π ＝ －1，得 y3＝0.观察图象知，A 2 项正确．
高考数学一轮复习 第三章三角函数 解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型
_
_______．
π 解析：函数 y＝sin2x 的图象向右平移 个单位后得到 y＝sin2(x 4 π π － )＝sin(2x－ )＝－cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位可以 4 2 得到 y＝－cos2x＋1 的图象，由二倍角公式知 y＝2sin2x.
1 法二：将 y＝sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍， 2 纵坐标不变，得到 y＝sin2x 的图象； π π 再将 y＝ sin2x 的图象向左平移 个单位，得到 y＝ sin2(x＋ )＝ 6 6 π π sin(2x＋ )的图象；再将 y＝sin(2x＋ )的图象上每一点的横坐标保 3 3 π 持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝2sin(2x＋ )的图象． 3
1 π 解：(1)y＝3sin( x－ )的周期 T＝4π. 2 4 π 振幅为 3，初相为－ . 4
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点列表：
x 1 π x－ 2 4 1 π 3sin( x－ ) 2 4 0 － － π 4 π 2 0 0 3π 2 π 2 3 5π 2 π 0 7π 2 3π 2 4π
π (3)法一：把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 y＝ 3 π π sin(x＋ )的图象， 再把 y＝sin(x＋ )的图象上的点的横坐标缩短到原 3 3 1 π 来的 倍(纵坐标不变)， 得到 y＝sin(2x＋ )的图象，最后把 y＝sin(2x 2 3 π ＋ )上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 3 π ＝2sin(2x＋ )的图象． 3
答案：0
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx 振幅 ＋φ)(A>0， ω>0)，
第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
)
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2π 解析：最小正周期为 ＝ 解析：最小正周期为T＝ π ＝6； ； 3 1 π 由2sin φ＝1，得sin φ＝2，φ＝6. ＝ ， ＝ ＝
答案： 答案： A
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3．将函数y＝sin x的图象向左平移 ≤φ＜2π)个单位后，得到函 ．将函数 ＝ 的图象向左平移φ(0≤ ＜ 个单位后 个单位后， 的图象向左平移 π － 的图象， 数y＝sin x－6的图象，则φ等于 ＝ 等于 ( ) 11π π B. 6 A.6 7π 5π C. 6 D. 6
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2．平移变换中的平移量 ． |φ| 从y＝sin ωx(ω>0)到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的变换中平移量为 ω ＝ 到 ＝ ＋ 的变换中平移量为 (φ>0时，向左；φ<0时，向右 而不是 平移的距离是针对 的 时 向左； 而不是|φ|.平移的距离是针对 时 向右)而不是 平移的距离是针对x的 变化量而言的． 变化量而言的．
解析： ＝ 解析：y＝cos
π 2x＋ ＝cos ＋6
π 2x＋ 的图象，只需将函数 ＋ 6 的图象，
( π B．向右平移12个单位 ． π D．向左平移12个单位 ．
π ＋ 2x＋12.
)
答案： 答案： D
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2．(2011·北京西城区期末 函数 f(x)＝sin xcos ． 北京西城区期末)函数 北京西城区期末 ＝
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一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 ＝ ＋ 的有关概念 y＝Asin(ωx ＝ ＋φ)(A>0， ， ω>0)， ， x∈[0，＋ ∈ ，＋ ，＋∞) 表示一个振 动量时 A
2π T＝ ω ＝
ω 1 f＝ T ＝ 2π ωx＋φ ＝
高考数学一轮总复习 3.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件
4.将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到
函数y＝sinx－6π的图象，则φ等于(
)
π
11π
A.6
B. 6
7π
5π
C. 6
D. 6
a
16
解析 依题意得y＝sin x－6π ＝sin x－π6＋2π ＝sin x＋116π ，
故将y＝sinx图象向左平移
11π 6
个单位后得到y＝sin
a
26
【思维启迪】 (1)由振幅、周期、初相的定义即可解决． (2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点． (3)只要看清由谁变换得到谁即可．
a
27
听课记录
(1)y＝2sin
2x＋3π
的振幅A＝2，周期T＝
2π 2
＝
π，初相φ＝π3.
(2)令X＝2x＋3π，则y＝2sin2x＋3π＝2sinX.
(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸 缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋ωφ 来确定平移单位．
a
32
变式思考 1 (1)(2014·浙江卷)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x
的图象，可以将函数y＝ 2cos3x的图象( )
A．向右平移4π个单位
B．向左平移4π个单位
C．向右平移1π2个单位
答案 π6，0 23π，1 76π，0 53π，－1 163π，0
a
13
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝ __________.
a
14
解析 由题意设函数周期为T，则T4＝23π－π3＝3π，故T＝43π. ∴ω＝2Tπ＝32.
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第六讲函数y=Asinωx+φ的图象及应用课件
【题后反思】函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的 作法
(1)五点法：用“五点法”作 y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是 通过变量代换，令 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π 来求出相 的 x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图象.
(2)图象变换法：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝ A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后 平移”.
第六讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
课标要求
考情分析
结合具体实例，了解y ＝A sin (ωx＋φ)的实际 意义；能借助图象理解 参数ω，φ，A的意义， 了解参数的变化对函数 图象的影响
1.从近几年的高考试题来看，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图 象确定A，ω，φ的值等问题是高考的热点， 复习时，应抓住“五点法”作图和图象的变 换以及性质的应用，通过适量的训练，掌握 解决问题的通法. 2.题型一般是选择题或填空题
故 f(x)的单调递增区间为－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z).
答案：－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z)
2.已知函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图 3-6-4 所示，则 y＝fx＋π6取得最小值时 x 的集合为__________.
图 3-6-4
解析：根据题干所给图象，周期 T＝4×172π－π3＝π， 故 π＝2ωπ，∴ω＝2，因此 f(x)＝sin (2x＋φ)，另外图象经过点
图 3-6-6
由图象得，当 22≤a<1 时，方程 cos 2x－π4＝a 恰好有三个不 同的实数根.
2019年高考数学一轮复习 第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应
2019年高考数学一轮复习 第三章 第四节 函数y ＝Asin （ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用演练知能检测 文[全盘巩固]1．(xx·烟台模拟)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象，此函数的解析式可为( )、A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选B 由题图可知A ＝2， T 2＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π2， ∴T ＝π，ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2， 即－π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )，结合选项知选B.2．(xx·宁波模拟)设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 解析：选 C 将f (x )的图象向右平移π3个单位长度得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω，则－π3ω＝2k π(k ∈Z )，即ω＝－6k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴k ＜0.∴当k ＝－1时，ω有最小值6.3．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析：选A 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝cos x ＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝cos(x ＋1)的图象，故选A.4.如图所示，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3解析：选C 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B 、D.又函数周期是60秒且秒针按顺时针旋转，即T ＝2π|ω|＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移π6个单位长度后得到函数y ＝f (x )的图象，则函数y ＝f (x )的图象( )A ．关于点(0,0)对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称 D ．关于直线x ＝π对称解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再把所得图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1.所以x ＝π3为其对称轴．6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4解析：选A 根据正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|≤π2的图象的性质可得T ＝2×|6－(－2)|＝16，故ω＝2πT ＝π8，又根据图象可知f (6)＝0，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×6＋φ＝0.由于|φ|≤π2，故只能π8×6＋φ＝π，解得φ＝π4，即y ＝A sin π8x ＋π4，又由f (2)＝－4，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋π4＝－4，解得A ＝－4，故f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4. 7．(xx·台州模拟)函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：依题意πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0. 答案：08．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω＞0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________． 解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6ω，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4ω， 由题意知，当5π6ω－π4ω＝π3时，ω最小，解得ω＝74.答案：749.已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，C ＝90°，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．解析：依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12cos(πx ＋φ)．又函数f (x )是奇函数，于是有φ＝k π＋π2，其中k ∈Z .由0＜φ＜π，得φ＝π2，故f (x )＝－12sin πx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12sin π2＝－12.答案：－1210．(xx·安徽高考)设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以当x ＋π6＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝2k π－2π3，k ∈Z 时，f (x )取最小值－ 3.此时x 的取值集合为xx ＝2k π－2π3，k ∈Z .(2)先将y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图象；再将y ＝3sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得y ＝f (x )的图象．11．设x ∈R ，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(3)若f (x )＞22，求x 的取值范围． 解：(1)∵函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，且－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3. (2)由(1)知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π，列表如下： 2x －π3 －π3 0 π2π 3π2 5π3 x 0 π6 5π12 2π311π12πf (x )121 0 －1 012图象如图：(3)∵f (x )＞22，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＞22， ∴2k π－π4＜2x －π3＜2k π＋π4，k ∈Z ，则2k π＋π12＜2x ＜2k π＋7π12，k ∈Z ，即k π＋π24＜x ＜k π＋7π24，k ∈Z .∴x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π24＜x ＜k π＋7π24，k ∈Z .12．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡ ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋⎦⎥⎤π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.[冲击名校]1. 已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，，在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6解析：选A由E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，在x 轴上的投影为π12，知OF＝π12，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数图象可以看作是由y ＝sin ωx 的图象向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.2．已知直线y ＝b (b ＜0)与曲线f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b 的值是________．解析：设三个横坐标依次为x 1，x 2，x 3，由图及题意有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝π，x 2＋x 3＝2π，x 22＝x 1x 3，解得x 2＝2π3，所以b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－12. 答案：－12[高频滚动]1．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有fx ＋π4＝f (－x )成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3解析：选C 由f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，所以b ＝－1或b ＝3.2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24解析：选 A 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，则y ＝sin(2x ＋φ)．又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，代入可得φ＝π6，因此函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令x ＝0，可得y ＝12.T 24305 5EF1 廱 33066 812A 脪32089 7D59 絙21988 55E4 嗤21542 5426 否r38509 966D 陭H20287 4F3F 伿22881 5961 奡€。
高考理科数学一轮函数y=asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
1.已知函数 y=sin2x + 3cos2x(x∈R).
(1)作出此函数在一个周期上的简图; (2)写出该函数的振幅、周期、初相、最值.
【解】(1)y=sin2x +
3cos2x=2
1 2
������������������
������ 2
+
3 2
������������������
x 2
=2sin
第 4 讲 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
考纲展示
考纲解读
1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理 意义;能画出函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象;了解参数 A,ω,φ 对函数 图象变化的影响. 2.会 用 三 角 函 数 解 决一 些 简 单 实际问题 ,了解三 角函数 是描述 周期变化现象的重要函数模型.
振 幅 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞) 表 示 一个振动量时 A
周期 频率
初 相位
相
2������
T= ω
f=
1 T
=
ω
ωx+φ
φ
2������
2.用五点法画函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找
五个特征点.如下表所示.
x
0-φ ω
������ 2
π 6
,因此选 D.
5.(2013 届·重庆摸底考试)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,
则 ω=
.
【答案】3
2
【解析】由题意设函数周期为
高三数学一轮复习 第3章 第5课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 文
.
考点突破 考点一 y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)(y＝
题型透析
Acos(ωx＋φ))的变换
先将 y＝sin x 按照题目中相反的方向变换可得函数 f(x)的表达式，再求 fπ6 的值． 将 y＝sin x 的图象向左平移6π个单位长度可得 y＝sinx＋π6的图象，保持纵 坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍可得 y＝sin12x＋π6的图象， 故 f(x)＝sin12x＋π6. 所以 fπ6＝sin21×6π＋π6＝sin π4＝ 22.
)
A
.
教材梳理 基础自测
二、图象变换
[自测 6] (课本精选)要得到函数 y＝3sin2x＋π4的图象，只需将函数 y＝
3sin 2x 的图象向________平移______个单位．
左
π 8
.
考点突破 考点一 y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)(y＝
题型透析
Acos(ωx＋φ))的变换
{突破点1} y＝sin x 与 y＝Asin(ωx＋φ)间的平移方向 当 ω>0 时，由 y＝sin x→y＝sin(x＋φ)＋h 利用“左加右减”，“上加下减”； 由 y＝sin(x＋φ)→y＝sin x 时要逆向平移．
一、五点法作图
1．用五点法画 y＝Asin (ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点，
如下表所示.
ωx＋φ
0
π 2
π
32π
2π
x
0－φ π2－φ π－φ 32π－φ 2π－φ
ωωω
ω
ω
y＝Asin (ωx＋φ) 0
A
0
－A 0
.
教材梳理 基础自测
一、五点法作图
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件 文
【解】 (1)f(8)＝10－ 3cos1π2×8－sin1π2×8＝10－ 3 cos23π－sin23π
＝10－ 3×－12－ 23＝10. 故实验室这一天上午 8 时的温度为 10 ℃.
(2)因为 f(t)＝10－2122s3inco1πs21tπ2t＋＝10－2sin1π2t＋π3， 又 0≤t<24，所以π3≤1π2t＋π3<73π，－1≤sin1π2t＋π3≤1. 当 t＝2 时，sin1π2t＋π3＝1； 当 t＝14 时，sin1π2t＋π3＝－1. 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12，取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差 为 4 ℃.
则 A＝3－2－1＝2， b＝3＋2－1＝1. 又 T＝223π－π6＝π，ω＝2Tπ＝2ππ＝2， 所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.
将 x＝π6，y＝3 代入上式，得 sinπ3＋φ＝1.所以π3＋φ＝π2＋2kπ， k∈Z，即 φ＝π6＋2kπ，k∈Z.
因为|φ|<π2，所以 φ＝π6，所以 f(x)＝2sin2x＋π6＋1. (2)由 2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得 kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈ Z)， 所以函数 f(x)的单调递增区间是 kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．
解析：(1)将 y＝sin(x＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵 坐标不变)，得到函数 y＝sin(2x＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长 度，得到函数 y＝sin[2(x－π3)＋π6]＝sin(2x－π2)，故 x＝－π2是其图象 的一条对称轴方程．
(2)把 y＝12sinx＋π3的图象向左平移 m 个单位长度后得到函数 y＝12sinx＋m＋π3＝12sinx＋m＋π3的图象，由题意得 m＋π3＝kπ ＋π2，k∈Z，即 m＝kπ＋π6，k∈Z，又 m>0，取 k＝0，得 m 的最 小值为π6.
高考数学一轮总复习 第三章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用课件
[解] (1)f(x)＝sin ωx＋ 3cos ωx
＝2(12sin
ωx＋
3 2 cos
ωx)＝2sin(ωx＋π3)，
又∵T＝π，∴2ωπ＝π，即 ω＝2.
∴f(x)＝2sin(2x＋π3)．
∴函数 f(x)＝sin ωx＋ 3cos ωx 的振幅为 2，初相为π3.
(2)令 X＝2x＋π3，则 y＝2sin(2x＋π3)＝2sin X. 列表，并描点画出图像：
活学活用 1 (2015·潍坊模拟)已知函数 f(x)＝2sin(2x＋π4)． (1)求 f(x)的最小正周期和最大值． (2)画出函数 y＝f(x)在[0，π]上的图像，并说明 y＝f(x)的图 像是由 y＝sin 2x 的图像怎样变换得到的．
[解] (1)f(x)＝2sin(2x＋π4) 则 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π 当 2x＋π4＝2kπ＋π2(k∈Z) 即当 x＝kπ＋π8 (k∈Z)时 f(x)max＝2(k∈Z)．
拓展提高 (1)五点法作简图：用“五点法”作 y＝Asin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2， π，32π，2π 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描 点后得出图像．
(2)图像变换：由函数 y＝sin x 的图像通过变换得到 y＝ Asin(ωx＋φ)的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与 “先伸缩后平移”．
法二：将 y＝sin x 的图像上每一点的横坐标 x 缩短为原来 的12倍，纵坐标不变，得到 y＝sin 2x 的图像；再将 y＝sin 2x 的 图像向左平移π6个单位，得到 y＝sin 2(x＋π6)＝sin(2x＋π3)的图像； 再将 y＝sin(2x＋π3)的图像上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 伸长为原来的 2 倍，得到 y＝2sin(2x＋π3)的图像．
山东高考数学一轮总复习学案设计-第三章第五讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用含答案解析
第五讲函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象及应用知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 用五点法画y ＝A sin (ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin (ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表如示. x__－φω____－φω＋π2ω__ __π－φω__ __3π2ω－φω__ __2π－φω__ ωx ＋φ __0__ __π2__ __π__ __3π2__ __2π__ y ＝A sin (ωx＋φ)A－A知识点三 简谐振动y ＝A sin (ωx ＋φ)中的有关物理量 y ＝A sin (ωx ＋φ) (A >0，ω>0)， x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2π__ωx ＋φ__ φ重要结论1．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的单调区间的“长度 ”为T2.2．“五点法”作图中的五个点：①y ＝A sin (ωx ＋φ)，两个最值点，三个零点；②y ＝A cos (ωx ＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位即得余弦曲线y ＝cos x .双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列命题不正确的是( BD )A ．y ＝sin (x －π4)的图象是由y ＝sin (x ＋π4)的图象向右平移π2个单位长度得到的B ．将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin (ωx －φ)的图象C ．函数y ＝A cos (ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2D ．函数y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x题组二 走进教材2．(必修4P 55T2改编)(1)把y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，得__y ＝sin (x －π3)__的图象．(2)把y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)得__y ＝12sin x __的图象．(3)把y ＝sin (x －π3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得__y ＝sin (2x－π3)__的图象． (4)把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，得__y ＝sin (2x －π3)__的图象．3．(必修4P 70T16改编)函数y ＝sin (2x －π3)的区间[－π2，π]上的简图是( A )[解析] 当x ＝0时，y ＝sin (－π3)＝－32，排除B ，D ，当x ＝π6时，y ＝0，排除C ．故选A ．4．(必修4P 70T18改编)函数y ＝2sin (2x －π4)的振幅、频率和初相分别为( C )A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4C ．2，1π，－π4D ．2，12π，－π4[解析] 由题意得A ＝2，T ＝2π2＝π，∴f ＝1T ＝1π，φ＝－π4.故选C ． 题组三 考题再现5．(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( A )A ．2B ．32C ．1D ．12[解析] 依题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2×(3π4－π4)＝π，解得ω＝2，选A ．6．(2019·天津)已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (π4)＝2，则f (3π8)＝( C )A ．－2B ．－2C ．2D ．2[解析] 因为f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且其最小正周期为π，所以φ＝0，ω＝2，f (x )＝A sin 2x ，g (x )＝A sin x ．又g (π4)＝A sin π4＝2，所以A ＝2，故f (x )＝2sin 2x ，f (3π8)＝2sin 3π4＝2，故选C ． 7．(2016·课标全国Ⅱ)函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( A )A ．y ＝2sin (2x －π6)B ．y ＝2sin (2x －π3)C ．y ＝2sin (x ＋π6)D ．y ＝2sin (x ＋π3)[解析] 由图易知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π3－(－π6)，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.由x ＝π3时，y ＝2可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，结合选项可知函数解析式为y＝2sin (2x －π6)．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 “五点法”作y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象——师生共研例1 (2020·湖北黄冈元月调考)已知函数f (x )＝－3cos (2x ＋π2)＋1－2sin 2x .用“五点作图法”在坐标系中画出函数f (x )在[0，π]上的图象．[解析] f (x )＝－3cos (2x ＋π2)＋1－2sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6)．列表如下：x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f (x )12－21函数f (x )在[0，名师点拨 ☞用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤(1)将原函数化为y ＝A sin (ωx ＋φ)或y ＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的形式． (2)确定周期．(3)确定一个周期或给定区间内函数图象的最高点和最低点以及零点． (4)列表． (5)描点．(6)连线：用平滑曲线连接各点得函数在一个周期(或给定区间)内的图象．注意用“五点法”作图时，表中五点横坐标构成以－φω为首项，公差为π2ω的等差数列．〔变式训练1〕设函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<0)的最小正周期为π，且f (π4)＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． [解析] (1)因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2，又因为f (π4)＝cos (2×π4＋φ)＝cos (π2＋φ)＝－sin φ＝32且－π2<φ<0，所以φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos (2x －π3)．列表2x －π3－π3 0 π2 π 3π2 5π3 x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f (x )121－112考点二 三角函数图象的变换——多维探究角度1 给定图象变换，确定函数解析式例2 (2020·四川德阳三校联考)先将函数f (x )＝sin 2x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为( C )A ．g (x )＝sin (x －π6)B ．g (x )＝sin (x ＋π6)C ．g (x )＝sin (4x －2π3)D ．g (x )＝sin (4x －π6)[解析] 先将函数f (x )＝sin 2x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变，得到函数y ＝sin 4x 的图象，再将所得图象向右平移π6个单位长度后得到g (x )＝sin [4(x －π6)]＝sin(4x －2π3)的图象．[易错警示] 混淆先平移变换还是先伸缩变换的差异致错将函数f (x )＝sin 2x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变，误认为得到y ＝sin x 的图象，就会误选A 或B ；将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π6个单位长度后误认为得到g (x )＝sin (4x －π6)的图象而错选D ．由函数y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)(ω>0)的图象，两种变换的区别：先平移变换(相位变换)再伸缩变换(周期变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩变换(周期变换)再平移变换(相位变换)，平移的量是|φ|ω个单位长度．原因在于平移变换和伸缩变换都是针对自变量而言．角度2 给定变换前后函数解析式、确定图象间变换例3 (多选题)(2020·福建漳州八校联考改编)若函数f (x )＝cos (2x －π6)，为了得到函数g (x )＝sin x 的图象，则只需将f (x )的图象( AC )A ．先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π3个单位长度B ．先向右平移π3个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍C ．先向右平移π6个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍D ．先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π6个单位长度[解析] 函数f (x )＝cos (2x －π6)＝sin (π2＋2x －π6)＝sin (2x ＋π3)，为了得到函数g (x )＝sin x 的图象，则只需将f (x )的图象，先横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin(x ＋π3)，再向右平移π3个单位长度即可．或者，先将f (x )的图象向右平移π6得到y ＝sin 2x 的图象，再横坐标伸长为原来的2倍得到y ＝g (x )图象，故选A 、C ．角度3 图象变换与性质的综合问题例4 已知函数f (x )＝2sin (2x ＋π6)，现将y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度；再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )在[0，5π24]上的值域为( A )A ．[－1,2]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,0][解析] 把函数f (x )＝2sin (2x ＋π6)的图象向左平移π12个单位长度，可得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π12)＋π6＝2sin (2x ＋π3)的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )＝2sin (4x＋π3)的图象， 在⎣⎡⎦⎤0，5π24上，4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 故当4x ＋π3＝7π6时，g (x )取得最小值－1；当4x ＋π3＝π2时，g (x )取得最大值2.故函数g (x )的值域为[－1,2]． 故选A ． 名师点拨 ☞图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(伸缩即用xω代换原式中的x ；平移即用x ±|φ|代换原式中的x ，规则是“左加、右减”)注意两种途径平移单位的不同，前者是|φ|个单位，后者是|φω|个单位．温馨提醒：(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数．(2)不同名函数一般先利用诱导公式cos x ＝sin (x ＋π2)转化为正弦型函数．(3)伸缩变换比较周期即可，平移变换的确定：①由C 1：y ＝sin (ωx ＋φ1)，变换为C 2：y ＝sin (ωx ＋φ2)，分别求出“五点法”中的第一个零点x 1＝－φ1ω、x 2＝－φ2ω.比较－φ1ω、－φ2ω即可；②由C 1：y ＝cos (ωx ＋φ1)变换为C 2：y ＝sin (ωx ＋φ2)，分别求出“五点法”中第一个“峰点”横坐标x 1＝－φ1ω、x 2＝π2－φ2ω.比较－φ1ω、π2－φ2ω即可．〔变式训练2〕(1)(角度1)把函数y ＝2sin (2x ＋π4)的图象向右平移π8，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，则所得图象的解析式是( C )A ．y ＝2sin (4x ＋3π8)B ．y ＝2sin (3x ＋π8)C ．y ＝2sin 4xD ．y ＝2sin x(2)(角度2)(2017·全国)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin (2x ＋2π3)，则下面结论正确的是( D )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(3)(角度3)(2018·天津，6)将函数y ＝sin (2x ＋π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( A )A ．在区间[－π4，π4]上单调递增B ．在区间[－π4，0]上单调递减C ．在区间[π4，π2]上单调递增D ．在区间[π2，π]上单调递减[解析] (1)y ＝2sin (2x ＋π4)――→右移π8个单位用x －π8代换x y ＝2sin 2x ――――――――――→各点横坐标缩短为原来的12用2x 代换xy ＝2sin 4x ，故选C ． (2)解法一：C 2：y ＝sin [(2x ＋π6)＋π2]＝cos (2x ＋π6)＝cos 2(x ＋π12)．∴C 1：y ＝cos x――→各点横坐标缩短到原来的12倍用2x 代换xy ＝cos 2x――→图象左移π12个单位用x ＋π12代换xC 2：y ＝cos 2(x ＋π12)，故选D ．解法二：C 1：y ＝cos x ＝sin (x ＋π2)――→各点横坐标缩短到原来的12倍用2x 代换xy ＝sin (2x ＋π2)――→向左平移π12个单位用x ＋π12代换xy ＝sin [2(x ＋π12)＋π2]即C 2：y ＝sin (2x ＋2π3)，故选D ．解法三：(对点法)y ＝cos x 的周期T 1＝2π，y ＝sin (2x ＋2π3)的周期T 2＝π，故由C 1变换到C 2横坐标缩短到原来的12倍．y ＝cos 2x 的第一个峰点是(0,1)，y ＝sin (2x ＋2π3)的峰点是(－π12，1)，对比两峰点可知需再把曲线左移π12个单位，故选D ．(3)本题主要考查三角函数图象的变换及三角函数的性质．将y ＝sin (2x ＋π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝sin [2(x －π10)＋π5]＝sin 2x ，当2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )时，y ＝sin 2x 单调递增，令k ＝0，在x ∈[－π4，π4]，所以y ＝sin 2x 在[－π4，π4]上单调递增，故选A ．考点三 已知函数图象求解析式——师生共研例5 (1)已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图①所示，则φ＝__－5π6__.(2)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋φ)(M >0，|φ|<π2)的部分图象如图②所示，其中A (2,3)(点A 为图象的一个最高点)，B (－52，0)，则函数f (x )＝__3sin(π3x －π6)__.[解析] (1)由题设图象知，A ＝2，可得f (x )＝2sin (ωx ＋φ)．由函数图象过点(0，－1)，可得2sin φ＝－1，即sin φ＝－12，则φ＝2k π－π6(k ∈Z )或φ＝2k π－5π6(k ∈Z )．因为3T 4<5π6<T ，所以5π6<T <10π9，所以95<ω<125①. 由函数图象过点(5π6，0)，得sin (5π6ω＋φ)＝0，则5π6ω＋φ＝2k π＋π(k ∈Z ) ②.由①②得φ∈(2k π－π，2k π－π2)(k ∈Z )，又－π<φ<0，所以φ＝－5π6.(2)由题意得M ＝3，34T ＝2＋52，所以T ＝6＝2πω，所以ω＝π3，所以f (x )＝3sin (π3x ＋φ)，将A (2,3)代入可得3＝3sin (2π3＋φ)，因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝3sin (π3x －π6)．名师点拨 ☞确定y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π. 〔变式训练3〕(2020·河北涞水波峰中学期中)已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，φ∈[π2，π])的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝52，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式是( A )A ．g (x )＝2cos π3xB ．g (x )＝2sin (π3x ＋2π3)C ．g (x )＝2sin (2π3x ＋π3)D ．g (x )＝－2cos π3x[解析] 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图及|MN |＝52，得T 4＝32，则T ＝6，ω＝π3.又由f (0)＝1，φ∈[π2，π]得sin φ＝12，φ＝5π6.所以f (x )＝2sin (π3x ＋5π6)．则g (x )＝2sin [π3(x －1)＋5π6]＝2cosπ3x .故选A ． 考点四 三角函数图象与性质的综合应用——师生共研例6 (2020·厦门模拟)已知向量a ＝(2cos x ，3sin x )，b ＝(cos x,2cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋m ，m ∈R ，且当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)先将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )－4在区间[0，π2]上的所有零点之和．[解析] f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋m ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋m ＋1 ＝2sin (2x ＋π6)＋m ＋1.因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )min ＝2×(－12)＋m＋1＝2，解得m ＝2，所以f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋3，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)将函数y ＝f (x )的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，得到f (x )＝2sin (4x ＋π6)＋3，再把所得的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象， 所以g (x )＝2sin [4(x －π12)＋π6]＋3＝2sin (4x －π6)＋3，又g (x )＝4，得sin (4x －π6)＝12，解得4x －π6＝2k π＋π6或4x －π6＝2k π＋5π6，k ∈Z .即x ＝k π2＋π12或x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，因为x ∈[0，π2]，所以x ＝π12或π4，故所有零点之和为π12＋π4＝π3. 名师点拨 ☞三角函数图象与性质的综合问题的求解思路先将y ＝f (x )化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B 的形式，再借助y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．〔变式训练4〕若函数f (x )＝sin (ωx ＋π6)(ω>0)满足f (0)＝f (π3)，且函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为__π__.[解析] 因为f (0)＝f (π3)，所以x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，所以f (π6)＝±1，所以π6ω＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z ，所以T ＝π3k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在[0，π2]上有且只有一个零点，所以π6≤T 4≤π2－π6，所以2π3≤T ≤4π3，所以2π3≤π3k ＋1≤4π3(k ∈Z )，所以－112≤k ≤16，又因为k ∈Z ，所以k ＝0，所以T ＝π.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升三角函数中有关参数ω的求解问题一、三角函数的周期T 与ω的关系例7 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( B )A ．98πB ．1972πC ．1992πD ．100π[解析] 由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以(4914)T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π，故选B ．名师点拨 ☞这类三角函数试题直接运用T 与ω的关系T ＝2πω，再结合条件，一般可以轻松处理．二、三角函数的单调性与ω的关系例8 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[π3，π2]上单调递减，则ω的取值范围是( D )A ．[0，23]B ．[0，32]C ．[23，3]D ．[32，3][解析] 令π2＋2k π≤ωx ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在[π3，π2]上单调递减，所以⎩⎨⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3.又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32≤4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0.从而32≤ω≤3，故选D ．名师点拨 ☞根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f (x )的单调递减区间，根据函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[π3，π2]上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．三、三角函数最值与ω的关系例9 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，求ω的取值范围．[解析] 显然ω≠0.若ω>0，当x ∈[－π3，π4]时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32.若ω<0，当x ∈[－π3，π4]时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2.所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．〔变式训练5〕(1)若函数f (x )＝2cos (ωx ＋π3)的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值为__6__.(2)若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( B )A ．2B ．12C ．3D ．13[解析] (1)因为1<T ＝2πω<3，所以2π3<ω<2π，又因为ω为正整数，所以ω的最大值为6.(2)由y ＝2cos ωx 在[0，2π3]上是递减的，且有最小值1，则有2×cos (ω×23π)＝1⇒cos 2π3ω＝12.检验各数据，得出B 项符合．故选B ．。
【高考领航】高三数学一轮复习 第3章 第5课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型
【高考领航】2016高三数学一轮复习 第3章 第5课时 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用课时训练 文 新人教版A 级 基础演练1．(2015·兰州高三联考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R )的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12(x ∈R )B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12(x ∈R )C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π12(x ∈R ) D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π24(x ∈R ) 解析：选B.原函数图象向左平移π4个单位后得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12(x ∈R )的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋5π12(x ∈R )的图象．2．(2015·郑州高三预测卷)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为y ＝2sin 2x ，则函数f (x )的表达式可以是( ) A ．f (x )＝2sin x B ．f (x )＝2cos x C ．f (x )＝cos 2x D ．f (x )＝sin 2x解析：选D.由题意可知f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin 2x .3．(2015·大连模拟)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的周期是π，将函数f (x )的图象沿x轴向左平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4B ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．g (x )＝sin 2xD ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3解析：选C.由题知2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝sin 2x .4.(2015·贵阳监测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2 )的图象如图所示，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：选A.由图象可知A ＝1，且14T ＝14×2πω＝7π12－π3＝π4，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x＋φ)．把⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入，得－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ.∵|φ|<π2，∴7π6＋φ＝3π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.5.(2015·忻州市高三联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( ) A.π3 B.23π C.43π D.π3或43π 解析：选D.要使方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x ＝π6或关于x ＝2π3对称，因此x 1＋x 2＝2×π6＝π3或x 1＋x 2＝2×2π3＝4π3.6.若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝__________．解析：由函数的图象可得T 2＝12·2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4－x 0＝π4，解得ω＝4.答案：47．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为__________℃. 解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.答案：20.58.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是__________．解析：由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT＝2，又函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案：629.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解析：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.B 级 能力突破1．函数h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与函数f (x )的图象关于点(0，1)对称，则函数f (x )的图象可由h (x )的图象经过( )的变换得到．( ) A ．向上平移2个单位，向右平移π4个单位B ．向上平移2个单位，向左平移π4个单位C ．向下平移2个单位，向右平移π4个单位D ．向上平移2个单位，向左平移π4个单位解析：选A.依题意，设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )的图象上任意一点，则P (x 0，y 0)关于(0，1)对称的点P ′(－x 0，2－y 0)在y ＝h (x )的图象上，∴2－y 0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 0＋π4， ∴y 0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π4＋2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2.2．(2015·保定调研)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 D ．关于直线x ＝5π12对称 解析：选D.易求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，分别代入x ＝π12，5π12验证知，x ＝5π12为f (x )图象的一条对称轴．3．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析：选A.把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝cos x ＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝cos(x ＋1)的图象．4．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于__________．解析：由题意知π3为函数f (x )＝cos ωx (ω>0)周期的正整数倍，所以π3＝k ·2πω(k ∈N *)，ω＝6k ≥6，故ω的最小值为6. 答案：65．(2015·洛阳模拟)为了得到函数f (x )＝2cos x (3sin x －cos x )＋1的图象，需将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，则φ的最小值为__________．解析：f (x )＝2cos x (3sin x －cos x )＋1 ＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1＝3sin 2x －cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，因此只要把函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π12＋2k π(k ∈Z )个单位长度，即可得到函数f (x )的图象．因为φ>0，显然φ的最小值为π12.答案：π126．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0.将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式；(2)是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，使得f (x 0)，g (x 0)，f (x 0)·g (x 0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x 0的个数；若不存在，说明理由． 解析：(1)∵T ＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝0，0<φ<π，∴φ＝π2，所以f (x )＝cos 2x . 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，所以g (x )＝sin x .(2)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4时，12＜sin x ＜22，0＜cos 2x ＜12，所以sin x ＞cos 2x ＞sin x cos 2x . 问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin x cos 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4内是否有解．设G (x )＝sin x ＋sin x cos 2x －2cos 2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4， 则G ′(x )＝cos x ＋cos x cos 2x ＋2sin 2x (2－sin x )．因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4， 所以G ′(x )＞0，G (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π6，π4内单调递增．又G ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－14＜0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22＞0，且函数G (x )的图象连续不断，故可知函数G (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4内存在唯一零点x 0，即存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4满足题意．。
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π 12
时，g(x)＝cos
－π2
＝0，故C项正确；当0≤x≤π2时，－3π≤2x－3π≤23π，g(x)＝cos2x－π3 有增
有减，故D项错误。故选C。 答案 C
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的 图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相 关问题。
y＝
6，所以6＝sin
π2＋φ
＋6，结合表中数据得
π 2
＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－
π2，所以y＝sinπ2x－2π＋6＝6－cos2πx。 答案 y＝6－cos2πx
二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin 2x＋23π ，则下 面结论正确的是( )
解析
把函数y＝sin
2x＋π5
的图象向右平移
π 10
个单位长度得函数g(x)
＝sin2x－1π0＋π5＝sin2x的图象，由－2π＋2kπ≤2x≤2π＋2kπ(k∈Z)得－π4＋
kπ≤x≤4π＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得
3π 4
≤x≤ 54π
，即函数g(x)＝sin2x的一个单
x ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ)
－ωφ －ωφ＋2πω
π
0
2
0
A
π－φ ω
π 0
23ωπ －ωφ
2π－φ ω
3π
2π
2
－A
0
2.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下
3．简谐振动 y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量
y＝Asin(ωx＋φ)
振幅 周期
频率
方向2：三角函数零点(方程的根)问题 【例4】 已知关于x的方程2sin2x－ 3 sin2x＋m－1＝0在π2，π 上有两 个不同的实数根，则m的取值范围是________。
解析 方程2sin2x－ 3sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋ 3sin2x
＝cos2x＋
3
一、走进教材
1．(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y＝2sin 2x－π3 的图象，可以将函 数y＝2sin2x的图象( )
A．向右平移π6个单位长度 B．向右平移3π个单位长度 C．向左平移6π个单位长度 D．向左平移π3个单位长度
答案 A
2．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生 猪收购价格每四个月会重复出现。下表是今年前四个月的统计情况：
解析 根据函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象，且A π2，1 ， B(π，－1)，可得从点A到点B正好经过了半个周期，即12×2ωπ＝π－2π，所以 ω＝2。再把点A，B的坐标代入函数解析式可得2sin 2×π2＋φ ＝－2sinφ＝ 1,2sin(2×π＋φ)＝2sinφ＝－1，所以sinφ＝－12，所以φ＝2kπ－π6或φ＝2kπ－ 56π，k∈Z。再结合“五点作图法”，可得φ＝－56π。
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的 曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的 曲线向左平移1π2个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1 2
倍，纵坐标不变，再把得到的
曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1 2
倍，纵坐标不变，再把得到的
曲线向左平移1π2个单位长度，得到曲线C2
解析
把曲线C1：y＝cosx各点的横坐标缩短为原来的
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，纵坐标不
变，得曲线y＝cos2x，再向左平移1π2个单位长度，得曲线y＝cos2x＋1π2＝
cos2x＋π6＝sinπ2＋2x＋π6＝sin2x＋23π。故选D。 答案 D
kπ 3
，k∈Z，又0<φ<
π 2
，所以φ＝
π 3
，所以g(x)＝cos
2x－π3
。当－
π 12
≤x≤
π 3
时，－π2≤2x－
π 3
≤3π，cos2x－π3
∈[0,1]，故A项错误；f(x)＝1＋2cosxcos(x
＋π)＝1－2cos2x＝－cos2x，显然B项错误；当x＝－
(A＞0，ω＞0)，x∈ [0，＋∞)表示一个振 A 动量时
T＝2ωπ f ＝T1＝2ωπ
相位 ωx＋φ
初相 φ
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”。
2．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移
φ ω
个单位长
度而非φ个单位长度。
π 6
个单位长度即可。
故选A。
答案 A
(2)(2019·景德镇测试)已知函数f(x)＝4cosx·sinx＋π6＋a的最大值为2。
①求a的值及f(x)的最小正周期； ②画出f(x)在[0，π]上的图象。
(2)解 ①f(x)＝4cosxsinx＋6π＋a
＝4cosx·
解析
由题意知当x＝
π 3
时，函数取得最大值，所以有sin
ωπ 3
＝1，所以
ω3π＝π2＋2kπ(k∈Z)，所以ω＝23＋6k(k∈Z)，又0<ω<2，所以ω＝32。
答案
3 2
7．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|<2π 的图象经过点(0,1)，则该简谐 运动的初相φ为________。
月份x
1234
收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5
选用一个函数来近似描述收购价格与相应月份之间的函数关系为
____________。
解析 设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝
4，因为T＝
2π ω
，所以ω＝
π 2
，所以y＝sin
π2x＋φ
＋6。因为当x＝1时，
A．向右平移π6个单位长度 B．向右平移3π个单位长度 C．向左平移6π个单位长度 D．向左平移π3个单位长度
(1)解析 函数f(x)＝cos2x－π6＝sinπ2＋2x－6π＝sin2x＋π3，为了得到
函数g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象向右平移
调递增区间为34π，54π。故选A。 答案 A
考点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 【例2】 (1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图 象如图①所示，则φ＝________。
解析 (1)由题设图象知，A＝2，可得f(x)＝2sin(ωx＋φ)。由函数图象
23sinx＋12cosx＋a
＝ 3sin2x＋2cos2x＋a
＝ 3sin2x＋cos2x＋1＋a
＝2sin2x＋π6＋1＋a的最大值为2， 所以a＝－1，最小正周期T＝22π＝π。
②由①知f(x)＝2sin2x＋π6，列表：
x
2x＋π6 f(x)＝2sin2x＋π6 画图如下：
必考部分
第三章 三角函数、解三角形
第五节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的 图象及三角函数模型的简单应用
微知识·小题练 微考点·大课堂
2019考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下 表所示。
解析 将点(0,1)代入函数表达式可得2sinφ＝1，即sinφ＝
1 2
。因为
|φ|<2π，所以φ＝6π。
答案
π 6
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考点例析 对点微练
考点一 “五点法”作图及图象变换
【例1】 (1)(2019·福建漳州八校联考)若函数f(x)＝cos2x－π6 ，为了得 到函数g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象( )
解析 (2)由题意得M＝3，34T＝2＋52，所以T＝6＝2ωπ，所以ω＝π3，所
以f(x)＝3sinπ3x＋φ
，将A(2,3)代入可得3＝3sin23π＋φ
，因为|φ|<
π 2
，所以φ
＝－6π，所以f(x)＝3sinπ3x－π6。 答案 (2)3sinπ3x－π6
②。
由①②得φ∈2kπ－π，2kπ－π2(k∈Z)，又－π<φ<0，所以φ＝－56π。 答案 (1)－56π
(2)已知函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)M>0，|φ|<π2的部分图象如图②所示，其 中A(2,3)(点A为图象的一个最高点)，B－25，0，则函数f(x)＝________。
过点(0，－1)，可得2sinφ＝－1，即sinφ＝－
1 2
，则φ＝2kπ－
π 6
(k∈Z)或φ＝
2kπ－56π(k∈Z)。因为34T<56π<T，所以56π<T<190π，所以95<ω<152 ①。由函
数图象过点56π，0
，得sin
56πω＋φ
＝0，则
5π 6
ω＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)
利用图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式主要从以下三个 方面考虑：
1．根据最大值或最小值求出A的值。 2．根据周期求出ω的值。 3．根据函数图象上的某一特殊点求出φ的值。
【变式训练】 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如 图所示，且Aπ2，1，B(π，－1)，则φ值为________。