广东省阳东一中、广雅中学2015届高三第一次联考数学(理)试题含解析

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广东省阳江市阳东县阳东一中、广雅中学高三理综第一次联考试题(1)

广东省阳江市阳东县阳东一中、广雅中学2015届高三第一次联考理科综合试题2．关于下图的叙述正确的是A．若C代表磷酸，则A是核糖B．在细胞分裂过程中F和H始终保持1∶1的比例关系C．图中由F I共涉及有5种碱基， 8种核苷酸D．F G不需要消耗ATP3．下列样本与斐林试剂水浴加热后不产生砖红色沉淀的是A．发芽小麦研磨液40℃恒温10min之后的上清液 B．煮沸的苹果提取液C．煮沸的蔗糖溶液 D．糖尿病人的尿液4．颜色变化常作为生物实验结果观察的一项重要指标，下面是一些学生在实验中遇到的问题，其中的正确操作或想法是A．用滴管在花生子叶薄片上滴加苏丹III染液，发现满视野都呈现橘黄色，于是滴1-2滴50%盐酸洗去浮色B．取新鲜的菠菜叶，加少许SiO2和丙酮，研磨液呈黄绿色。

于是判断是菠菜叶用量太少导致C．在纸层析法分离叶绿体中色素的结果中，蓝绿色带最宽，可判断为叶绿素在层析液中溶解度最高AB碱基CD脱氧核苷酸E基因 F DNAH染色体G I蛋白质D．用高倍镜观察叶绿体和线粒体时，叶绿体不需染色，线粒体用健那绿染色5．如图是某动物细胞某一分裂时期示意图。

据图推断正确的是A．核糖体只含有C、H、O、N四种元素B．此时期细胞应含有四个中心粒C．该图反映细胞进行基因重组D．该细胞的子细胞可能是极体6．神经系统正常发育过程中神经细胞数量的调节机制如下图所示。

下列说法错误的是A．图示神经细胞的死亡称为细胞凋亡B．生存因子有利于神经系统的正常发育C．神经细胞与靶细胞间通过化学信号传递信息D．图示过程属于神经调节的非条件反射7．生活处处有化学，下列说法正确的是A．青铜、硬铝和碳素钢都是合金B．葡萄糖和蔗糖互为同分异构体C．淀粉、蛋白质和花生油都是天然高分子化合物D．食用植物油在酸性或碱性条件下水解产物相同8．NA代表阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是（C－12 H－1）A．4.0g CH4中含有共价键的数目为NAB．标准状况下，22.4L氨水含有NA个NH3分子C．常温下，0.1mol/L NH4NO3溶液中NO3－的数目为0.1NA D．标准状况下，2.24L Cl2通入足量NaOH溶液中，反应转移电子的数目为0.2NA9．水溶液中能大量共存的一组离子是A．K+、Ca2+、Cl－、SO42－B．Fe2+、H+、CO32－、ClO－C．Mg2+、NH4+、Cl－、SO42－D．H+、Fe3+、NO3－、SCN－10．下列实验装置设计正确的是11．某同学组装了下图所示的电化学装置I和II，下列叙述正确的是A．装置I：铁极会溶解，溶液从蓝色逐渐变成浅绿色B．装置I：电流方向由铁极→A→铜极C．装置II：碳极上有无色气体产生D．装置II：铁极发生还原反应12．HA为酸性略强于醋酸的一元弱酸，室温下，将0.2 mol·L－1的HA和0.2 mol·L－1的NaOH溶液等体积混合，下列说法不正确的是A．混合前0.2 mol·L－1 HA中：c(H+)＝c(OH－) + c(A－)B．混合后溶液中：c(Na +) + c(H+)＝c(A－) + c(OH－)C．混合后溶液中：c(Na +)＞c(OH－)＞c(A－)＞c(H+)D．混合后溶液中：c(A－) + c(HA)＝c(Na+)13、下面哪一组单位属于国际单位制的基本单位（）A．m、N、kg B．m、kg、s C．kg、m/s2、s D．m/s2、kg、N14、关于物体的运动，下列说法不可能的是( )A.加速度在减小，速度在增加B.加速度方向始终改变而速度不变C.加速度变化到最大时速度最小D.加速度方向不变而速度方向变化15．如图，质量为m的物体放置于水平地面上，一劲度系数为k的轻弹簧与之连接，弹簧右端受到拉力F的作用，没有超出弹性限度，下列说法正确的是（）A．若物体静止不动，弹簧的伸长量为kF2B．若物体向右加速运动，弹簧的伸长量大于kFC．只有物体向右匀速运动时，弹簧的伸长量才等于kFFD ．不管物体做何运动，弹簧的伸长量始终等于kF16、如图a ，静止在光滑水平面上O 点的物体，从t =0开始物体受到如图b 所示的水平力作用，设向右为F 的正方向，则物体（）A ．在O 点附近左右运动B ．一直向左运动C ．一直向右运动D ．一直匀加速运动二、双项选择题：在每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求，选对的得6分，只选1个且正确的得3分，有选错或不答的得0分。

2015年广东高考理科数学试题及答案(完整版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C:22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（） A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3a =，1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥； (2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间； (2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分）数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案。

广东省阳江市阳东县阳东一中、广雅中学2015届高三第一次联考理科综合试卷

2．关于下图的叙述正确的是A ．若C 代表磷酸，则A 是核糖B ．在细胞分裂过程中F 和H 始终保持1∶1的比例关系C ．图中由FI 共涉及有5种碱基， 8种核苷酸 D ．F G 不需要消耗ATP3．下列样本与斐林试剂水浴加热后不产生砖红色沉淀的是A ．发芽小麦研磨液40℃恒温10min 之后的上清液B ．煮沸的苹果提取液C ．煮沸的蔗糖溶液D ．糖尿病人的尿液4．颜色变化常作为生物实验结果观察的一项重要指标，下面是一些学生在实验中遇到的问题，其中的正确操作或想法是A ．用滴管在花生子叶薄片上滴加苏丹III 染液，发现满视野都呈现橘黄色，于是滴 1-2滴50%盐酸洗去浮色B ．取新鲜的菠菜叶，加少许SiO 2和丙酮，研磨液呈黄绿色。

于是判断是菠菜叶用量太少导致C ．在纸层析法分离叶绿体中色素的结果中，蓝绿色带最宽，可判断为叶绿素在层析液中溶解度最高D ．用高倍镜观察叶绿体和线粒体时，叶绿体不需染色，线粒体用健那绿染色 5．如图是某动物细胞某一分裂时期示意图。

据图推断正确的是A ．核糖体只含有C 、H 、O 、N 四种元素B．此时期细胞应含有四个中心粒C．该图反映细胞进行基因重组D．该细胞的子细胞可能是极体6．神经系统正常发育过程中神经细胞数量的调节机制如下图所示。

下列说法错误．．的是A．图示神经细胞的死亡称为细胞凋亡B．生存因子有利于神经系统的正常发育C．神经细胞与靶细胞间通过化学信号传递信息D．图示过程属于神经调节的非条件反射7．生活处处有化学，下列说法正确的是A．青铜、硬铝和碳素钢都是合金B．葡萄糖和蔗糖互为同分异构体C．淀粉、蛋白质和花生油都是天然高分子化合物D．食用植物油在酸性或碱性条件下水解产物相同8．N A代表阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是（C－12 H－1）A．4.0g CH4中含有共价键的数目为N AB．标准状况下，22.4L氨水含有N A个NH3分子C．常温下，0.1mol/L NH4NO3溶液中NO3－的数目为0.1N AD．标准状况下，2.24L Cl2通入足量NaOH溶液中，反应转移电子的数目为0.2N A9．水溶液中能大量共存的一组离子是A．K+、Ca2+、Cl－、SO42－B．Fe2+、H+、CO32－、ClO－C．Mg2+、NH4+、Cl－、SO42－D．H+、Fe3+、NO3－、SCN－10．下列实验装置设计正确的是11．某同学组装了下图所示的电化学装置I 和II ，下列叙述正确的是A ．装置I ：铁极会溶解，溶液从蓝色逐渐变成浅绿色B ．装置I ：电流方向由铁极→A →铜极C ．装置II ：碳极上有无色气体产生D ．装置II ：铁极发生还原反应12．HA 为酸性略强于醋酸的一元弱酸，室温下，将0.2 mol·L －1的HA 和0.2 mol·L －1的NaOH溶液等体积混合，下列说法不正确．．．的是 A ．混合前0.2 mol·L －1 HA 中：c (H +)＝c (OH －) + c (A －)B ．混合后溶液中：c (Na +) + c (H +)＝c (A －) + c (OH －)C ．混合后溶液中：c (Na +)＞c (OH －)＞c (A －)＞c (H +)D ．混合后溶液中：c (A －) + c (HA)＝c (Na +)13、下面哪一组单位属于国际单位制的基本单位（）A ．m 、N 、kgB ．m 、kg 、sC ．kg 、m/s 2、sD ．m/s 2、kg 、N14、关于物体的运动，下列说法不可能的是( )A.加速度在减小，速度在增加B.加速度方向始终改变而速度不变C.加速度变化到最大时速度最小D.加速度方向不变而速度方向变化 15．如图，质量为m 的物体放置于水平地面上，一劲度系数为k 的轻弹簧与之连接，弹簧右端受到拉力F 的作用，没有超出弹性限度，下列说法正确的是（A ．若物体静止不动，弹簧的伸长量为kF 2B ．若物体向右加速运动，弹簧的伸长量大于kFC ．只有物体向右匀速运动时，弹簧的伸长量才等于kFD ．不管物体做何运动，弹簧的伸长量始终等于kF16、如图a ，静止在光滑水平面上O 点的物体，从t =0开始物体受到如图b 所示的水平力作用，设向右为F 的正方向，则物体（）A ．在O 点附近左右运动B ．一直向左运动C ．一直向右运动D ．一直匀加速运动二、双项选择题：在每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求，选对的得6分，只选1个且正确的得3分，有选错或不答的得0分。

广东省阳东一中、广雅中学高三数学第一次联考试题理(

广东省阳东一中、广雅中学2015届高三第一次联考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】全面覆盖“双基”的同时，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出．至于实践能力和创新意识方面也在努力体现，，其中，函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法体现得较为突出．有必要增加实际应用和创新意识的题目，以提升试卷的“灵气和亮点”. 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 【题文】1.函数()()111f x lg x x=++-的定义域是( ) A. (),1-∞- B. ()1,+∞ C. ()()1,11,-⋃+∞ D. (),-∞+∞ 【知识点】函数的表示方法 B1 【答案解析】C 解析：解：101110x x x x -=⎧∴>-≠⎨+>⎩Q 且所以C 为正确选项.【思路点拨】由解析式成立的条件可列出条件，进而求出定义域. 【题文】2.若复数z 满足方程220z +=，则3z =( )A. ±B.-C. -D. ± 【知识点】复数的概念 L4【答案解析】D 解析：解：2320z z z +=∴=∴=±Q ,所以D 为正确选项. 【思路点拨】根据复数的概念求出z ，再求出3z .【题文】3．已知a 、b 是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条【知识点】充分必要条件 A2【答案解析】A 解析：解：当a>1，b>2有a+b>3且ab>2，而2,1a b >>，同样有32a b ab +>>且，所以2,1a b >>，是32a b ab +>>且的充分而不必要条件，所以A正确.【思路点拨】根据条件可知题的充分必要性.【题文】4．ABC ∆中，角A B C 、、所对的边a b c 、、，若a =3A π=，cos B =，则b =( )A ．855 B ．255 C ．554 D ．5512 【知识点】正弦定理 C8【答案解析】 C 解析：解：根据正弦定理可知sin sin a bA B=，25345sin 5532525B b =∴=∴=Q ，所以正确选项为C. 【思路点拨】根据三角函数值可直接用正弦定理求值.【题文】5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA ＝( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(1，1)D ．(－1，－1) 【知识点】向量的加减运算 F1 【答案解析】C 解析：解：AC AB BC BC AC AB =+∴=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v Q ()()()DA=-1,11,1BC AC AB =--=---=u u u v u u u v u u u v u u u v而【思路点拨】根据题意可直接进行向量的运算.【题文】6.已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y=-的最小值是( )A ．2-B ．2C ．1-D ．1【知识点】线性规划 E5【答案解析】C 解析：解：由图可知可行域为三角形ABC 上及内部的点，所以目标函数的最小值在A 点取到，A 点的坐标为()0,1代入目标函数可得1Z =-.【思路点拨】根据题意可求出可行域，再由图找到最小值点.【题文】7．已知点P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A 17B 5C ．2D ．92【知识点】抛物线的概念 H7【答案解析】B 解析：解：由题意可知抛物线的焦点坐标为()0,1，由抛物线的概念可知点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值即为M 点到焦点的距离，所以d ==【思路点拨】根据抛物线的概念可知到准线的距离与到焦点的距离相等.【题文】8．对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x A B x A B ⊕=∈∉U I 且，已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+，0ab cd <<，则=⊕N M ( )A (,)(,)a d b c U B.(,][,)c a b d U C. (,][,)a c d b U D.(,)(,)c a d b U【知识点】集合的运算 A1【答案解析】C 解析：解：由新定义的概念可知当a b c d +=+，0ab cd <<时，a c d b <<<再由题意可知M N ⊕=(,][,)a c d b ⋃，根据选项可知应为C. 【思路点拨】根据新定义的集合运算可直接求解.二、填空题：(本大题共7小题，考生作答6小题,每小题5分，满分30分) （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答【题文】9.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生____人.【知识点】分层抽样 I1【答案解析】3700 解析：解：由分层抽样的概念可知，样本是按比例分配的，所以应在高三抽取50人，按比例可知，高一有学生1500人，高二有学生1200人，所以高中部共有学生1500+1200+1000=3700人【思路点拨】由分层抽样的定义可知每一部分应该有学生多少人. 【题文】10．π40cos xdx =⎰【知识点】积分的运算 B13 【答案解析】解析：解：因为cos x 的导数为sin x -，π40cos sin 420xdx x π=-=-⎰【思路点拨】根据函数的积分运算.【题文】11．执行如图3所示的程序框图，输出的=i 【知识点】程序框图 L1【答案解析】3 解析：解：由算法程序可知第一次循环后2,23s i ==需进行第二次循环，第二次循环后221,3552s i s ===<∴Q 输出i 这时i=3 【思路点拨】由程序运行法则可知结果.【题文】12．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_________；【知识点】三视图 G2【答案解析】B 解析：解：由三视图可知几何体为组合体，是由直径为3的球与底面直径为3高为4的圆柱组成，所以它的表面积为球的表面积294494R πππ=⋅=，圆柱的表面积为23992224212242r h r ππππππ⋅+=⋅⋅+⋅=+，所以几何体的表面积为9512122πππ+=【思路点拨】根据三视图与原图的关系可求出表面积. 【题文】13．观察下列等式 212(1)1x x x x ++=++,22234(1)1232x x x x x x ++=++++,2323456(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,242345678(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++, L L由以上等式推测对于n N *∈,若2220122(1)nnn x x a a x a x a x ++=++++L ,则2a = . 【知识点】数列求和 D4 【答案解析】()12n n + 解析：解：根据系数的规律可知2x 的系数在每个式子中分别为1，3，6，10设1231,3,6b b b ===L L 21324312,3,4n n b b b b b b b b n-∴-=-=-=-=L ()11232n n n b n +∴=++++=L L 【思路点拨】根据系数的特点可找出与数列的关系，再根据数列进行求和求出系数（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．【题文】14．（坐标系与参数方程选做题）．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且=BC PB 12，则PABC= ．【知识点】切割线定理 N1 【答案解析】32解析：解：由切割线定理可知2PA PB PC =⋅设PB a =则3,2PC a BC a ==32PA BC ∴= 【思路点拨】由切割线定理可直接求出结果.【题文】15．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos 4πρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方程为。

广东省四校2015届高三上学期期末联考数学(理科)试题参考答案及评分标准

2． z=− 【解析解析】在复平面内，复数解析 4.【解析解析】因为 sin x + cos x = 解析
2 sin( x + ) ≤ 2 ，而 > 2 ，故不存在这样的实数 x ，故 A 错； 4 2 a = 1 时，显然这两直线平行；反过来，若这两直线平行，则 a = ±1 . 因此， a = 1 是这两直线平行的充 x x 分不必要条件，故 B 错；命题“ ∀x > 0 ， e > x + 1 ”的否定应该是“ ∃x > 0 ， e ≤ x + 1 ” ，故 C 错； 1+ x 1 − x −1 1− x = lg( ) = − lg = − f ( x) ，故 f ( x) 在其排除 A、B、C ，答案选 D. 事实上， f (− x) = lg 1− x 1+ x 1+ x 定义域 ( −1, 1) 内是奇函数.
从而 S n =
60° ，以 OA、OB 为邻边作菱形 OACB （边长为 1），由向量加法的几何意义知， | p |=| OC | = 3 .
12.【解析解析】解析由“直径所对的圆周角为直角”知，使 ∠AMB ≥ 90° 的点 M 落在以 AB 为直径的半圆上或半圆内，由几何概型知，所求概率为 P ( A) =
1．【解析解析】集合 A = { x | 0 < x < 2} ， B = { x | x < −1或x > 1} ，则解析
A ∪ ∁U B = { x | 0 < x < 2} ∪ { x | −1 ≤ x ≤ 1} = { x | −1 ≤ x < 2} ，故选 B.
2i 2i (1 + i ) =− = −i (1 + i ) = 1 − i 对应的点的坐标为 (1, −1) ，故选 A. 1− i 2 1 1 2 1 2 1 3．【解析解析】作出可行域是 ∆AOB 及其内部，边界点 A( , ) 、O (0, 0) 、 B ( , ) ，易知当 x = , y = 时，解析 2 2 3 3 3 3 1 5 z = x + y 取得最大值为，故选 C. 2 6

2015年广州一模数学(理科)试题及参考答案

图17432109878侧视图正视图试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．MN B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧 2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 924. 直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. (),1-∞-D. (],1-∞-6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为，则该锥体的俯视图可以是图A. B. D. 7. 已知a 为实数，则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8. 已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R );其中, 具有性质P 的映射的序号为 A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 已知tan 2α=，则tan 2α的值为 .10. 已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x在点()1,e 处的切线斜率为 .11. 已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X > 等于 .12. 已知幂函数()223(mm f x xm --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f 的值为 .13．已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++C k n n ++C (n n n =C 01n -+C 11n -++C 11k n --++C 11)n n --12n n -=⋅，由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++C 2k n n ++C n n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 .图3图4OF ED C B A 图5FE PODB A15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ，使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17. （本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X . （1）求袋子中白球的个数；（2）求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，ACEF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥PABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角--B AP O 的正切值.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值；若不存在, 请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21. （本小题满分14分）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；（2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 43-10. 2e 11. 0.1587 12. 16 13. ()212n n n -+⋅14. 4π⎫⎪⎭15. 说明: 第14题答案可以是2,4k k ππ⎫+∈⎪⎭Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得2,A =， …………………………1分00222T x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， …………………………3分 ∴.T π= …………………………4分由,2πωπ=得2=ω， …………………………5分∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. …………………………6分（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个最高点, ∴ 0262x ππ+=. …………………………7分∴ 06x π=. …………………………8分 ∴0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………9分 sincoscossin6464ππππ=+ …………………………10分12222=⨯+ …………………………11分4=. …………………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，………………………1分即()1127672n n -=⨯，化简得，260n n --=， …………………………2分解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分（2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分()407P X ==， ()3421767P X ==⨯=， ()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分∴X 的分布列为：…………………………11分GH F EPODBA∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥. ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………2分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =， ∴EF ⊥平面POA . …………………………3分∴BD ⊥平面POA . …………………………4分（2）解法1：设AO BD H =，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==……5分在R t △BHO中，BO在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分过H 作⊥HG AP ，垂足为G ，连接BG ，由（1）知⊥BH 平面POA ，且⊂AP 平面POA ， ∴⊥BH AP .∵=HG BH H ，⊂HG 平面BHG ，⊂BH 平面BHG ，∴⊥AP 平面BHG . …………………………8分 ∵⊂BG 平面BHG ，∴⊥AP BG . …………………………9分 ∴∠BGH 为二面角--B AP O 的平面角. …………………………10分在Rt △POA中，AP在Rt △POA 和Rt △HGA 中，90,︒∠=∠=∠=∠POA HGA PAO HAG ， ∴Rt △POA ～Rt △HGA . …………………………11分 ∴=PO PAHG HA.∴⋅===PO HA HG PA …………………………12分A在Rt △BHG中，tan ∠===BH BGH HG . ……………………13分 ∴二面角--B AP O…………………………14分解法2：设AOBD H =，连接BO ，∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==………………………5分在R t △BHO中，BO在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系-O xyz ，则()0,-A，()2,B，(P，()0,H .…………8分∴(=AP，()=AB . 设平面PAB 的法向量为=n (),,x y z ，由⊥n AP ，⊥n AB ，得0,20.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x 令1=y ，得3=-z，=x ∴平面PAB 的一个法向量为=n ()3-. 由（1）知平面PAO 的一个法向量为()2,0,0=-BH ， ……………………11分设二面角--B AP O 的平面角为θ，则cos θ=cos ,n BH⋅=n BH nBH==………………………12分∴sin 13θ==sin tan cos 3θθθ==.………………………13分∴二面角--B AP O 的正切值为3…………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n 项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）（1）解：∵111,1n a a +==，∴2113a ===. …………………………1分（2）解法1：由11n a +=，得11n n S S +-=， …………………………2分故)211n S +=. …………………………3分∵0n a >，∴0n S >.1=. …………………………4分∴数列1=，公差为1的等差数列.()11n n =+-=. …………………………5分 ∴2n S n =. …………………………6分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分又11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分解法2：由11n a +=，得()2114n n a S +-=， …………………………2分当2n ≥时，()2114n n a S --=， …………………………3分 ∴()()()22111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………………４分∴2211220n n n n a a a a ++---=.∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分 ∵ 0n a >，∴12n n a a +-=. …………………………６分 ∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分 ∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分 ∵11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分解法3：由已知及（1）得11a =，23a =，猜想21n a n =-. …………………………2分下面用数学归纳法证明.① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ………3分 ② 假设n k =()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， …………………………4分由已知11k a +=，得()2114k k a S +-=，故()2114k k a S --=.∴()()()22111144k k k k k a a S S a +----=-=. …………………………5分∴22211220k k k k a a a a ++---=.∴()()1120k kk k a a aa +++--=. …………………………6分∵10,0k k a a +>>，∴120k k a a +--=. …………………………7分 ∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分故当1n k =+时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即21n a n =-. …………………………9分（3）解：由(2)知21n a n =-, ()21212n n n S n +-==.假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,则2214k k k S a a -=⋅. …………………………10分即()()()4212181k k k -=-⋅-. …………………………11分 ∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠. ∴ ()32181k k -=-.∴ 328126181k k k k -+-=-.化简得 32460k k k --=. …………………………12分 ∵ 0k ≠,∴ 24610k k --=.解得6384k ±==, 与k 为正整数矛盾. ……………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , ……………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分（2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分即 11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q 对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得 3y -，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (), 22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分 ∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-, 代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或P , 此时点Q对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y -，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =10分x ==………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =∴S =≤=2=. ……12分当且仅当2x =, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得,22,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或22.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分 ∴△ABQ的面积最大值为2, 此时,点Q的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分解法２：由于AB =，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大． (1)０分设与直线AB 平行的直线为0x m +=，由220,25,x m x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得225250y c ++-=，由()223220250m m ∆=--=，解得m =． ………………………1１分若2m =，则2y =-，2x =-；若2m =-，则2y =，2x =．…1２分故当点Q的坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为122S AB ==． ………………………1４分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）（1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<，则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分 ② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=>，当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分（2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分∴2222221212ln 1ln 1ln 1n nn n n n nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分即ln 2222121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由于n ∈N *，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分 ∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. …………………………10分由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分 ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n nn n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………………………12分即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于n ∈N *，则()()32232333363316431611212122n n n n n n n n n n n+-+-+--=≥=. …………………………13分∴12<ln 22212111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.∴22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………14分 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.。

广东省广雅中学2015届高三10月月考数学(理)试题及答案

广东广雅中学2014—2015学年度上学期高三10月月考数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

【注意事项】1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题的答案一律做在答题卡上，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2|20M x Z x x =∈+≤,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =A ． {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2- 2．若复数155z i =+，23z i =-，则12z z = A ．42i + B ．2i + C ．12i + D ．3 3．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ．ln(1)y x =+B．y = C ． 1()2xy =D ．1y x x=+4．已知31sin()23πα+=，则cos 2α= A ．79- B ．79 C ． 13- D ．135．设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是A ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥B ．若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m αC ．若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥D ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥6．巳知双曲线G 的中心在坐标原点，实轴在xG 上一点到G 的两个焦点的距离之差为12，则双曲线G 的方程为A ．192522=-y x B ．193622=-y x C ．193622-=-y x D ．183622=-y x 7．在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则||AM 的最大值为A． B． CD ．38．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下面给出的四个集合τ： ①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，； ②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，； ③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是A. ①B. ②C. ②③D. ②④二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，（一）必做题（9～13题）9. 计算(cos 1)x dx π+=⎰． 10．函数ln ()(0)xf x x x=>的单调递增区间是． 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______.12．曲线x y e =过点(0,0)的切线方程为．13．某同学为研究函数()f x x =＃01)≤≤ 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC 点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=．请你参考这些信息，推知函数()f x 的值域是．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2,(,x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的方程为sin 1ρθ=，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________ ．15． (几何证明选讲选做题)如图所示，圆O 的直径6AB =，C第13题图第15题图ODCBAD 1C 1B 1A 1为圆周上一点， 3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则线段CD 的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图象与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx ．(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若锐角θ满足22(2)33f πθ+=，求)2(θf 的值．17.（本小题满分12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.(1) 求某两人选择同一套餐的概率；(2) 若用随机变量X 表示某两人所获优惠金额的总和，求X 的分布列和数学期望.18.（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD，11D A D D =，底面ABCD 为直角梯形，其中// , BC AD AB AD ⊥，222AD AB BC ===， O 为AD 中点.(1)求证：1//AO 平面1ABC ；(2)求锐二面角C D C A --11的余弦值． 19．（本小题满分14分）第16题图已知数列{}n a 满足0a R ∈，123,(0,1,2,)n n n a a n +=-=(1)设,2nn n a b =试用0,a n 表示n b （即求数列{}n b 的通项公式）； (2)求使得数列{}n a 递增的所有o a 的值．20.（本题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点2-，且椭圆的离心率12e =．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点,A C 及,B D ，设线段AC ，BD 的中点分别为,P Q ．求证：直线PQ 恒过一个定点．21. （本题满分14分）已知函数2()ln f x x x =+.(1)若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，且1a >，3()3x x h x e ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；(3)设2()2()3F x f x x k =--（k ∈R ），若函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.广东广雅中学2014—2015学年度上学期高三10月月考数学（理科）试题参考答案及评分标准命题：杨志明统审：赖淑明一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9.π 10. (0,]e （或(0,)e ） 11. 15 12. y ex = 13. 1] 14. ()1,115.2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 1．A.【解析】易得{}2,1,0M =--,{}0,2N =,所以MN ={}0,故选A ．2．C ．【解析】1222555(1)(3)5(24)123(3)(3)31z i i i i i z i i i ++++====+--++ 3．A ．【解析】B 、C 为减函数，D 为双钩函数，双钩函数在(0,)+∞上先减后增.4．A ．解析：31sin()cos 23παα+=-=，即1cos 3α=-，27cos 22cos 19αα=-=- 5．D ．解析】ABC 是正确命题,选D ．6．B ．【解析】25=e ，122=a ，6=a ，3=b ，则所求双曲线方程为193622=-y x .7．C ．作出可行域D ，由图像知，当点M 的坐标为(0,0)或(0,2)时，||AM8．D. 解析：①不是拓扑，因为{}a τ∈，{}c τ∈，但{}{}a c τ∉；②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；③不是拓扑，因为全集{,,}X a b c τ=∉；④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足．二、填空题： 9．π.解：00(cos 1)(sin )|x dx x x πππ+=+=⎰10．【解析】(0,]e ．'221ln 1ln ()0x xx x f x x x ⋅--==≥，即1l n 0x -≥，ln 1ln x e ≤=，即0x e <≤. 11． 15.解析：第一次循环后:3,2s i ==；第二次循环后:6,3s i ==；第三次循环后:10,4s i ==；第四次循环后:15,5s i ==；故输出15.12．y ex =，解析：设切点为00(,)x x e ，则切线为000()x xy e e x x -=-，把(0,0)代入上式，得01x =，故切线方程为y ex =13．1] 解析：根据图形可知，当12x =时（点P 在BC 中间），min ()f x AF ==当0x =或1x =时（点P 在B 点或C 点），max ()1f x =，∴()f x的值域是1]．14．()1,1.考查极坐标方程.212:,:1C y x C y ==，联立方程很快得出结果 15．2.解：在Rt ABC ∆中，6,3AB BC ==，故1sin 2BC BAC AB ∠==，故30BAC ∠=，AC ==.由l 是圆O 的切线知，A B C A C D ∠=∠，故R t A B C R t A C ∆∆，,CD AC BC AC CD BC AB AB ⋅====. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. 解：（1）由题意可得2=A ，π22=T 即24T ππω==，21=ω …………3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f 由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-=………5分函数)321cos(2)(π-=x x f ． …………6分（2）由于22(2)33f πθ+=，即1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ…………8分A 1B 1C 1D 1A B C DO )2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=…………10分 )233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=．即)2(θf …………12分17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为1111331388228832P =⋅+⋅+⋅=. …………4分(2) 由题意知某两人可获得优惠金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.111(400)8864P X ==⋅=，12136(500)8864P X C ==⋅⋅= 339(600)8864P X ==⋅=，12118(700)8264P X C ==⋅⋅= 121324(800)2864P X C ==⋅⋅=，1116(1000)2264P X ==⋅= …………8分综上可得X…………10分169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 即X 的数学期望为775.…………12分18.(1)证明：如图，连接 , CO AC ，则四边形ABCO 为正方形，所以11OC AB A B ==，且11////OC AB A B ，…………2分故四边形11A B CO 为平行四边形，所以11//AO B C ．…4分又1AO ⊄平面1ABC ，1B C ⊂平面1ABC ，所以1//AO 平面1ABC . ……………6分 (2)因为11 , D A D D O =为AD 的中点，所以1 DO AD ⊥，又侧面11ADD A ⊥底面A B C D ，交线为AD ，故1D O ⊥底面ABCD 。

广东省阳东广雅学校2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案[ 高考]

阳东广雅中学2015～2016学年第一学期高一年级期中考试试卷数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题（共60分）一、(每题5分，共60分)1.已知{}0,1,2,3,4A =,{}1,3,5B =,则A B ⋂为（）A.{}0,2B.{}1,3C.{}0,1,3D.{}2 2.已知函数(){2,012,0xx x x f x >+≤=，则()10f -的值是（）A.14B.4C.2D.-23.函数y = ）A ． 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4.下列集合不是{}1,2,3的真子集的是A. {}1B. {}2,3C. ∅D. {}1,2,3 5.下列函数是奇函数的是（）A.y x =B.22y x =C.2x y =D.[]2,0,1y x x =∈6.化简(122-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得（）A.3-3D.7.指数函数xy a=的图象经过点()2,16，则a的值是（）A.14B.4- C.44-或 D.48. 下列函数中与函数1y x=-相等的是A.2y= B. y=y=()211xyx-=-9. 下列四个图象中，不是函数图象的是（）10.已知定义域为R的偶函数()f x在()0,+∞上为增函数，则（）A.()()43f f> B.()()55f f-> C.()()35f f->- D.()()36f f>-11.已知函数()[]2481,2f x x kx=--在上具有单调性，则k的取值范围是（）A. (][),816,-∞⋃+∞ B. [)8,+∞ C. ()(),816,-∞⋃+∞ D. []8,16 12.已知()(){21,1,1xa x xa xf x-+<≥=，满足对任意12x x≠，都有()()1212f x f xx x->-成立，那么a 的取值范围是（）A. ()1,2 B.31,2⎛⎤⎥⎝⎦C.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.()1,+∞第二部分非选择题（90分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 已知{}231,,1a a∈--，则实数a=_______A. B. C. D.16. 设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如右图，则不等式()0f x <的解集是_____三、解答题（共6道大题，满分70分，其中第17题10分，其余各题12分） 17. 设{}13A x x x =≥≤-或，{}40B x x =-<<，求：（1）A B ⋂ (2)()R A C B ⋃18.已知函数()af x x x=-的图象经过点()2,1 （1）求a 的值；（2）判断()f x 的奇偶性.19.已知()2f x x bx c =-+且()()10,23f f ==-（1）求()f x 的函数解析式；（2）求f 的解析式及其定义域.20. 已知10x -≤≤，求函数2234x x y +=-⋅的最大值和最小值.21. 已知定义域为R 的函数()122x x bf x a+-+=+是奇函数（1）求,a b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.22.设函数2()22f x x tx =-+，其中t R ∈．(1)若1t =，求函数()f x 在区间[]0,4上的取值范围；(2)若1t =-，且对任意的[],2x a a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围． (3)若对任意的[]12,0,4x x ∈，都有12()()8f x f x -≤，求t 的取值范围．阳东广雅中学2015～2016学年第一学期高一年级期中考试数学答案及说明一．选择题（每题5分，共60分）二．填空题（每题5分，共20分）13、4 14、3 15、{}8x x >- 16、(]()2,52,0⋃- 三．解答题（共6道大题，其中17题10分，其余各题12分） 17.解：（1）A=}-3x 1|{≤≥或x x ，B=}04|{<<-x x所以B A =}34|{-≤<-x x ………………………………………………4分（2）由题意可得}0,4{≥≤=x x B C R 或 ………………………………………6分所以}03|{)(≥-≤=x x x B C A R 或 ………………………………………10分 18. 解：（1）由题意可得121)2(=-=af 所以2=a ………………………………2分（2）由（1）得xx x f 2)(-=，则)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ………5分对定义域内每一个x 都有：)(22)()(x f xx x x x f -=+-=---=-………………10分于是，xax x f -=)(在定义域),0()0,(+∞-∞ 上为奇函数………………………12分19. 解：（1）由题意可得f(1)=1-b+c=0f(2)=4-2b+c=-3 联立解得：b=6,c=5 …………………………4分所以56)(2+-=x x x f ………………………………………………………………6分 (2)由（1）得56)(2+-=x x x f 故f =21551x =-+=++…10分f 的定义域为：),1(+∞- ……………………………………………12分20. 解：x x x x y 24)2(343222⋅+⋅-=⋅-=+，……………………………………………2分令t t y t x 43,22+-==则34)32(32+--=t ……………………………………………4分01≤≤-x ，]1,21[1221∈≤≤∴t x 即，………………………………………………7分又∵对称轴]1,21[32∈=t ，…………………………………………………………………8分∴当32=t ，即3432log max 2==y x 时；当1=t 即x=0时，1min =y …………………12分21. 解：（1）因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即102b a -=+，所以1b = 此时()1122xx f x a +-=+又由()()11f f =--知1112241a a --=-++ 2a ∴=……………………………4分（2）由（1）知()1121122221x x xf x +-==-+++ 任取12,x x R ∈且12x x <则()()()()211212121111222212212121x x x x x x f x f x --=-++-=++++12,x x R ∈且12x x <121222,210,210x x x x ∴<+>+>()()21122202121x x x x -∴>++即()()120f x f x ->所以()()12f x f x > ()f x ∴在R 上为减函数…………………………………………………………8分又因()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f k t -<--=-…………………………10分因为()f x 为R 上的减函数，由上式可得2222t t k t ->-即对一切t R ∈有2320t t k -->从而判别式4120k =+<即13k <-……………………………………………12分22. 解：因为f (x )＝x 2－2tx ＋2＝(x －t )2＋2－t 2，所以f (x )在区间(－∞，t ]上单调减，在区间时．f (x )单调减，从而最大值f (0)＝2，最小值f (1)＝1．所以f (x )的取值范围为；②当x ∈时．f (x )单调增，从而最大值f (4)＝10，最小值f (1)＝1．所以f (x )的取值范围为；所以f (x )在区间上的取值范围为． …………………3分 (2)“对任意的x ∈，都有f (x )≤5”等价于“在区间上，max ≤5”．若t ＝-1，则f (x )＝(x +1)2＋1，所以f (x )在区间(－∞，-1]上单调减，在区间max ＝f (a ＋2)＝(a ＋3)2＋1≤5，得－5≤a ≤-1，从而 -2≤a ≤-1．当-1＞a ＋1，即a ＜-2时，由max ＝f (a )＝(a +1)2＋1≤5，得－3≤a ≤1，从而－3≤a ＜-2．综上，a 的取值范围为区间． ……………………7分法二：由()5f x ≤得2225x x ++≤，即2230x x +-≤ 所以：31x -≤≤要使得对任意的[],2x a a ∈+，都有()5f x ≤即3a -≤且21a +≤ 所以a 的取值范围为区间[]3,1--．(3)设函数f (x )在区间上的最大值为M ，最小值为m ，所以“对任意的x 1，x 2∈，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤8”等价于“M －m ≤8”． ①当t ≤0时，M ＝f (4)＝18－8t ，m ＝f (0)＝2．由M －m ＝18－8t －2＝16－8t ≤8，得t ≥1．从而 t ∈∅．②当0＜t ≤2时，M ＝f (4)＝18－8t ，m ＝f (t )＝2－t 2．由M －m ＝18－8t －(2－t 2)＝t 2－8t ＋16＝(t －4)2≤8，得4－22≤t≤4＋22．从而 4－22≤t≤2．③当2＜t≤4时，M＝f(0)＝2，m＝f(t)＝2－t2．由M－m＝2－(2－t2)＝t2≤8，得－22≤t≤22．从而 2＜t≤22．④当t＞4时，M＝f(0)＝2，m＝f(4)＝18－8t．由M－m＝2－(18－8t)＝8t－16≤8，得t≤3．从而t∈ ．综上，a的取值范围为区间．……………………12分。

广东省阳江市阳东县2015届高三第一次联考数学(理)试题及答案

阳东县阳东一中、广雅中学2015届高三第一次联考数学（理）试题3．已知a 、b 是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条4．ABC ∆中，角A B C 、、所对的边a b c 、、，若a =3A π=，cos B =，则b =( ) ABC ．554D ．5512 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则＝( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(1，1)D ．(－1，－1)6.已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y =-的最小值是( )A ．2-B ．2C ．1-D ．17．已知点P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) ABC．D ．928．对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x A B x A B ⊕=∈∉且，已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+， 0ab cd <<，则=⊕N M ( )A (,)(,)a d b c B.(,][,)c a b d C. (,][,)a c d b D.(,)(,)c a d b二、填空题：(本大题共7小题，考生作答6小题,每小题5分，满分30分) （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生____人. 10．π40cos xdx =⎰11．执行如图3所示的程序框图，输出的=i 12．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_________；13．观察下列等式:212(1)1x x x x ++=++,22234(1)1232x x x x x x ++=++++,2323456(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,242345678(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++,由以上等式推测:对于n N *∈,若2220122(1)nn n x x a a x a x a x ++=++++,则2a = .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且=BC PB 12，则PABC= ． 15．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos 4πρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方程19题图15为。

2015年广东省普通高中一模考试答案(理数)

2 2
又 a1 1 适合上式， ∴ an 2 n 1 .
/w
解法 2：由 an1 2 Sn 1 ，得 an 1 1 4Sn ，当 n 2 时， an 1 4Sn 1 ，
2
tp :/
ht
∴ an 1 1 an 1 4 Sn Sn 1 4an . ∴ an1 an 2an1 2an 0 .
∴Rt△ POA ～Rt△ HGA .
PO PA ∴ . HG HA
∴ HG
PO HA 32 3 30 . PA 5 30
3
教 gu an 研 gz tr .e du .c n/
P
3 . ……5 分 G
A
D
E
州
H
O
B
F
…………………………12 分
在 Rt△ BHG 中， tan BGH

Sn 1 .

2
∵ an 0 ，∴ S n 0 . ∴ Sn1 ∴数列
n
Sn 1 .
∴ Sn 1 n 1 n .
州
S 是首项为
2
S1 1 ，公差为 1 的等差数列.
广
∴ Sn n .
ww .
2 2
2
当 n 2 时， an Sn Sn 1 n n 1 2n 1 ，
广
∴ PO BO . …………………………6 分 ∵ PO EF ， EF BO O ， EF 平面 BFED ， BO 平面 BFED ，
AO 2 PO 2 30 ，

在 Rt△ POA 和 Rt△ HGA 中， POA HGA 90 , PAO HAG ， …………………………11 分

广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：三角函数(含答案)

广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编三角函数一、选择题1、（2015届江门市）函数)sin()(ϕ+=x x f 在区间)32, 3(ππ上单调递增，常数ϕ的值可能是A ．0B ．2π C ．π D ．23π2、（2015届汕头市）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6πA =，12πB =，3a =，则c 的值为（）A ．B ．32C ．D ．6 3、（2015届中山市）在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a = （）A ．2B ．6C ．2 或6D ．27选择题参考答案1、D2、A3、D 二、填空题1、（2015届广州市）已知tan 2α=，则tan 2α的值为2、（2015届揭阳市）在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos A =，则b =______ 3、（2015届茂名市）已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，C ＝120º，△ABC 的面积S ，则c 为＿＿＿4、（2015届梅州市）已知,,a b c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若1,a b ==A ＋C ＝2B ，则sinA ＝＿＿＿5、（2015届佛山市）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据:2CD =,CE =45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)填空题参考答案1、43-2、3、74、125三、解答题1、（2015届广州市）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.2、（2015届揭阳市）已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.3、（2015届茂名市）已知函数()sin 2cos cos 2sin (,0)f x x x x R ϕϕϕπ=+∈<<，()4f π= （1）求f （x ）的解析式；（2）若5(),(,)23132f αππαπ-=∈，求sin()4πα+的值。

广东省阳江市阳东一中、广雅中学高三数学上学期第一次联考试卷理(含解析)

广东省阳江市阳东一中、广雅中学2015届高三上学期第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共40分．1．函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是( )A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．解答：解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．点评：本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．2．若复数z满足方程z2+2=0，则z3=( )A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．分析：先求复数z，再求z3即可解答：解：由，故选D．点评：复数代数形式的运算，是基础题．3．已知a、b是实数，则“a＞1，b＞2”是“a+b＞3且ab＞2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：通过不等式的性质判断前者是否推出后者，通过特例判断后者是否推出前者，即可得到结论．解答：解：a、b是实数，则“a＞1，且b＞2”⇒“a+b＞3，且ab＞2”正确，当a=10，b=0.2时，a+b＞3，且ab＞2，所以a＞1，且b＞2不成立，即前者能推出后者，后者推不出前者，所以a、b是实数，则“a＞1，且b＞2”是“a+b＞3，且ab＞2”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查充要条件的应用，考查不等式的基本性质，是基础题．4．△ABC中，角A、B、C所对的边a、b、c，若，，，b=( ) A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用同角三角函数的基本关系求出sinB，再由正弦定理求出b的值．解答：解：由题意可得，△ABC中，sinB==．再由正弦定理可得，即，解得 b=，故选C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题．5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则=( ) A．（2，4）B．（3，5）C．（1，1）D．（﹣1，﹣1）考点：平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：可结合图形，根据向量的加法，及相等向量、相反向量、向量的坐标运算即可求出的坐标．解答：解：=（2，4）﹣（1，3）=（1，1）．故选C．点评：考查向量的加法，以及向量的坐标运算．6．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的最小值是( )A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：已知可行域画可行域不等式组，根据z为目标函数纵截距，画直线0=x ﹣y．平移可得直线，可得z的最值．解答：解：∵不等式组画可行域如图，画直线0=x﹣y，∵z=x﹣y平移直线0=x﹣y过点A（0，1）时z有最小值z min=0﹣1=﹣1；则z=x﹣y的最小值为﹣1，故选A；点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．已知点P是抛物线x2=4y上的一个动点，则点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A．B．C．2D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义，将抛物线x2=4y上的点P到该抛物线准线的距离转化为点P到其焦点F的距离，当F、P、M共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值．解答：解：∵抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F（0，1），作图如下，∵抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1，设点P到该抛物线准线y=﹣1的距离为d，由抛物线的定义可知，d=|PF|，∴|PM|+d=|PM|+|PF|≥|FM|（当且仅当F、P、M三点共线时（P在F，M中间）时取等号），∴点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为|FM|，∵F（0，1），M（2，0），△FOM为直角三角形，∴|FM|=，故选B．点评：本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．8．对于非空集合A，B，定义运算：A⊕B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M={x|a＜x＜b}，N={x|c ＜x＜d}，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，ab＜cd＜0，则M⊕N=( )A．（a，d）∪（b，c）B．（c，a]∪∪∪点评：本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的空间想象能力，是基础题．13．观察下列等式：（1+x+x2）1=1+x+x2，（1+x+x2）2=1+2x+3x2+2x3+x4，（1+x+x2）3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，（1+x+x2）4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8，…由以上等式推测：对于n∈N*，若（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n则a2=．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及指数部分与式子编号之间的关系，易得等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，归纳后即可推断出a2的等式．解答：解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，…根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式中a2为：1+2+3+4+…+n=故答案为：．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．一、选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．（坐标系与参数方程选做题）．14．（坐标系与参数方程选做题）．如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且=，则=．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：首先设PB=x，则BC=2x．根据切割线定理，得到PA2=PB•PC，从而用x表示PA的长，再进一步求出比值．解答：解：由题意，可设PB=x，则BC=2x．根据切割线定理，得到PA2=PB•PC=3x2，PA=x，所以=．故答案为：．点评：此题主要是考查了切割线定理，以及分析问题和解决问题的能力，属于基础题．一、（坐标系与参数方程选做题）15．（坐标系与参数方程选做题）曲线ρ=4cosθ关于直线θ=对称的曲线的极坐标方程为ρ=4sinθ．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：先将原极坐标方程ρ=4cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再结合曲线关于直线的对称性，利用直角坐标方程解决问题．解答：解：将原极坐标方程ρ=4cosθ，化为：ρ2=4ρcosθ，化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，它关于直线y=x（即θ=）对称的圆的方程是x2+y2﹣4y=0，其极坐标方程为：ρ=4sinθ．故答案为：ρ=4sinθ．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，满足a2+c2﹣b2=ac．（1）求角B的大小；（2）设，，求的最小值．考点：余弦定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，把已知的等式代入得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出，并利用二倍角的余弦函数公式化简，配方后得到关于sinA的二次函数，由A的范围，得到sinA的范围，根据二次函数的图象与性质求出此时二次函数的最小值，即为的最小值．解答：解：（1）在△ABC中，a2+c2﹣b2=ac，∴由余弦定理得，…又B∈（0，π），∴；…（2）∵，，∴，…又∵，∴0＜sinA≤1，…当sinA=1时，取最小值﹣5．…点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的图象与性质，以及二次函数的图象与性质，熟练定理及公式是解本题的关键．17．某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为ξ，求ξ的分布列和期望．考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）根据题意，成绩在第一组的为优秀，其频率为0.06，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数；（2）由频率分布直方图知成绩在第三组的频率0.38，因此估计成绩属于第三组的人数约为900×0.38=342人；（3）由题意，ξ的可能取值为1，2，3．根据古典概型的概率计算公式分别计算出概率，即可得到分布列及数学期望．解答：解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，人数为：50×0.06=3所以该样本中成绩优秀的人数为3．…（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，人数为：900×0.38=342所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342．…（3）ξ的可能取值为1，2，3；………∴ξ的分布列为：P 1 2 3ξ1/3 1/2 1/6…∴…点评：本题给出频率分布直方图，求样本中成绩优秀的人数、900名学生中成绩属于第三组的人数的估计值，并求一个随机事件的概率．着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得OD∥AB1，进而由线面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在点P，使得CP⊥面BDC1，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P点不存在．解答：证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．又D是AC的中点，∴OD∥AB1．∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，∴AB1∥面BDC1．解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）设=（x，y，z）是面BDC1的一个法向量，则即，令x=1则=（1，，）．易知=（0，3，0）是面ABC的一个法向量．∴cos＜，＞=．∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值为．（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．则，即∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1．点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得OD∥AB1，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题和线面垂直问题转化为空间向量夹角问题．19．已知a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{a n}是递增的等差数列，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=1﹣b n（n∈N+）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由于a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{a n}是递增的等差数列，可得a2=3，a5=9，利用等差数列的通项公式即可得出a n．对于数列{b n}，S n=1﹣b n（n∈N+）．当n=1时，，解得b1．当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式可得b n．（2）c n=a n b n==，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）解方程x2﹣12x+27=0，可得x=3或9，∵a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{a n}是递增的等差数列，∴a2=3，a5=9，设公差为d，则，解得a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．对于数列{b n}，S n=1﹣b n（n∈N+）．当n=1时，，解得b1=．当n≥2时，b n=S n ﹣S n﹣1=﹣，化为，因此数列{b n}是等比数列，∴b n==．（2）c n=a n b n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+++…++，∴3T n=2++…+，两式相减可得：2T n=+﹣=﹣2﹣=4﹣，∴T n=2﹣．点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．如图，已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的上顶点为A，离心率为，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．考点：恒过定点的直线；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆的解析式得到b=1，再利用椭圆的性质a2+b2=c2列出关系式，与e==联立组成方程组，求出方程组的解得到a与c的值，即可确定出椭圆的解析式；（Ⅱ）由•=0，利用平面斜率数量积为0时两向量垂直得到AP与AQ垂直，可得出AP与坐标轴不垂直，由A的坐标设出直线AP的方程为y=kx+1，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1表示出直线AQ的方程，将y=kx+1代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，表示出P的坐标，将直线AQ方程代入椭圆方程，同理表示出Q的坐标，由P与Q的坐标，表示出直线l的两点式方程，整理后可得出直线l恒过定点N（0，﹣）．解答：解（Ⅰ）依题意有：e==①，a2﹣c2=b2=1②，联立①②解得：a=，c=，则椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）证明：由•=0，得到AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A（0，1）可设直线AP的方程为y=kx+1，得到直线AQ的方程为y=﹣x+1（k≠0），将y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1中，并整理得：（1+3k2）x2+6kx=0，解得：x=0或x=﹣，∴P的坐标为（﹣，﹣+1），即（﹣，），将上式中的k换成﹣，同理可得Q（，），∴直线l的方程为y=（x﹣）+，整理得：直线l的方程为y=x﹣，则直线l过定点N（0，﹣）．点评：此题考查了恒过定点的方程，以及椭圆的标准方程，涉及的知识有：椭圆的基本性质，平面向量的数量积运算，以及直线的两点式方程，其计算性较大，是一道综合性较强的试题．21．已知函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，且图象在点（e，f（e））处的切线斜率为3（e 为自然对数的底数）．（1）求实数a、b的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出f'（x）=a+lnx+1，a+lne+1=3，由此能求出a=1．（Ⅱ）由f（x）=x+xlnx，得k＜对k＜对任意x＞e2恒成立，由此利用构造法结合导数性质能求出整数k的最大值．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，∴f（0）=0，解得b=0，∴f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1…因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，所以，f'（e）=3，即a+lne+1=3，所以，a=1．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x+xlnx，所以，k＜对任意x＞e2恒成立，即k＜对任意x＞e2恒成立．…令g（x）=，则g′（x）=…令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞e2），则h′（x）=1﹣，所以函数h（x）在（e2，+∞）上单调递增…所以h（x）＞h（e2）=e2﹣4＞0，可得g'（x）＞0故函数g（x）=在（e2，+∞）上单调递增．所以g（x）＞g（e）=…∴k≤g（e2）．故整数k的最大值是3．…点评：本题考查实数值的求法，考查整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．。

2015届高三上学期期末四校联考数学(理科)试题

2015届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考数学（理科）命题学校：广东广雅中学本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁. 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U =R ，集合{}|124x A x =<<，{}2|10B x x =->，则U AB =ðA ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -≤<C ．{}|01x x <<D ．{}|01x x <≤ 2．在复平面内，复数21iz i =-（i 为虚数单位）对应的点的坐标为 A ．()1,1- B ．()1,1- C ．()1,1 D ．()1,1--3．已知变量,x y 满足约束条件121y x y x x y ≤⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，则12z x y =+的最大值为A ．14B ．34C ．56D ．534. 下列说法中正确的是A ．x ∃∈R ，使得sin cos 2x x π+=B ．“1a =”是“直线1ax y +=与直线2x ay +=平行”的必要条件C ．命题“0x ∀>，1xe x >+”的否定是“0x ∀>，1xe x ≤+” D ．函数1()lg1xf x x-=+在其定义域内是奇函数5. 已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如下图1所示的程序框图计算该数列的第2015项，则判断框内的条件是A ．2013?n ≤B ．2014?n ≤C ．2015?n ≤D ．2016?n ≤6. 如上图2，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆（包括圆心），则该组合体的表面积等于 A ．15π B ．18π C ．21π D ．24π7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为45，则以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线的渐近线方程是A ．34y x =±B . 43y x =±C . 169y x =±D . 916y x =± 8. 对任意实数,a b ，定义运算“”：(1)(1)b a b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设函数2()[(1)(4)]f x x x k =-++，若函数()f x 恰有三个零点，则实数k 的取值范围是 A ．(1,2]-B ．(2,1)-C ．(0,1)D ．[2,1)-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题） 9．61()2x x-的展开式中2x 的系数是 . （用数字作答） 10. 已知等比数列{}n a 是递增数列，且1418a a +=，2332a a ⋅=，则数列{}n a 的前n 项和n S = .11. 已知a 、b 为非零向量，且a 、b 的夹角为3π，若向量||||=+a bp a b ，则||=p .图2正视图∙侧视图俯视图12. 棱长为2的正方体1111-ABCD A BC D 中，在四边形11ABC D 内随机取一点M ，则90AMB ∠≥︒的概率为 .13. 已知定义在R 上的函数)(x F 满足()()()F x y F x F y +=+，且当0x >时，()0F x <. 若对任意的[0,1]x ∈，不等式组22(2)(4)()(3)F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎪⎨-<-⎪⎩恒成立，则实数k 的取值范围是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点4π⎛⎫-⎪⎝⎭作圆4cos ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 .15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A，且AC =C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D ，若CM MN ND ==，则BD 的长等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且3a =，5b =，23C π=. （1）求c 和sin A 的值；（2）求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．（本小题满分12分）某工厂从一批产品中随机抽出40件进行检测. 下图4是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]. （1）求图中x 的值；（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至少有2件产品的净重在[96,98) 的概率；（3）若产品净重在[98,104)为合格产品，其余为不合格产品. 从这40件抽样产品中任选2件，记ξ 表示选到不合格产品的件数，求ξ的分布列及数学期望. 图3图418．（本小题满分14分）如图5，三棱锥C ABD -中，C 是以AB 为直径的半圆上一点，点E 在直径AB 上，已知10AB =，AC =4CE =，CD =AD DE ==（1）求证：CE ⊥平面ABD ；（2）求直线BC 与平面ACD 所成角的正弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足*131,n n S a n n n +=++∈N ，且218S =，令n n ab n=. （1）求123,,b b b 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）求证：对一切*n ∈N ，有1211112n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）如图6，设P 是抛物线2:16C x y =上异于坐标原点O 的任意一点，过P 作直线:1l y =-的垂线，垂足为A ，直线PO 与l 相交于点B .（1）若定点D 的坐标为1(5,)4，求PA PD +的最小值；（2）证明：以线段AB 为直径的圆恒过某两个定点M N 、，并求出M N 、的坐标；（3）设Q 为线段AB 的中点，试探究直线PQ 与抛物线C 的位置关系，证明你的结论.21．（本小题满分14分）设0k >，函数21()ln 12f x x x k x =++-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当函数()f x 有两个极值点，且0θπ<<时，证明：(21)sin (1)sin[(1)]0k k k θθ-+-->.ECBDA图5D 图6。

广东省阳东一中、广雅中学高三地理第一次联考试题(含解析)新人教版

2015届阳东一中、阳东广雅高三第一次联考试题文综【试卷综析】本试卷是高三联考试卷，其中1——11题选择题，40、41题为综合题。

考查了高中地理的全部内容。

以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查。

本试题重点考查点为地球运动部分知识点、节气判断、太阳直射点的位置和移动方向、降水量差异及原因分析、天气系统、世界地理、中国地理、地形区、河流补给类型及汛期、农业区位、气候类型及成因、降水量特点描述、气候、气象灾害、农业区位等，主要以自然地理为主，题量和难度适中，整体试题质量较好。

本试卷分选择题和非选择题两部分，共9页，满分300分，考试用时150分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题（共140分）一、(每题4分，共35题，共140分)【题文】B2 B3下图是以北极为中心的俯视图，A、B为赤道上的两点，AB直线距离为地球赤道半径，此时地球处于近日点附近。

据此完成1～2题。

图11. 若非阴影部分为1月7日，阴影部分为1月8日，则北京时间为A.7日0时B.8日16时C.7日16时D.8日8时2. 此时，一艘由伦敦驶往上海的海轮正途经北印度洋海区，船员的下列说法正确的是A.这一天，正午桅杆影子朝正南方向B.这一天，船员经历的昼长于夜C.这一天，该地日出地方时晚于6:00D.这一天，船在行驶过程中顺风顺水【知识点】本题考查地球运动部分知识点。

2015年广州一模理科数学试题及参考答案word

图17432109878侧视图正视图2015年广州一模理科数学及参考答案参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．MN B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 924. 直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. (),1-∞-D. (],1-∞-6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为3，则该锥体的俯视图可以是图2A. B. D.7. 已知a 为实数，则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R );其中, 具有性质P 的映射的序号为 A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 已知tan 2α=，则tan 2α的值为 .10. 已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x在点()1,e 处的切线斜率为 .11. 已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X > 等于 .12. 已知幂函数()223(mm f x xm --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f 的值为 .13．已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++C k n n ++C (n n n =C 01n -+C 11n -++C 11k n --++C 11)n n --12n n -=⋅，由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++C 2k n n ++C n n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 .图3O FEDCB A图5FE PODB A15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ，使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17. （本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X .（1）求袋子中白球的个数；（2）求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，ACEF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥PABFED -，且PB （1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角--B AP O 的正切值.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值；若不存在, 请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21. （本小题满分14分）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；（2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2015年广州一模数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 43-10. 2e 11. 0.1587 12. 16 13. ()212n n n -+⋅14. 4π⎫⎪⎭15.说明: 第14题答案可以是2,4k k ππ⎫+∈⎪⎭Z .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得2,A =， …………………………1分00222T x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， …………………………3分 ∴.T π= …………………………4分由,2πωπ=得2=ω， …………………………5分∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. …………………………6分（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个最高点, ∴ 0262x ππ+=. …………………………7分∴ 06x π=. …………………………8分∴0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………9分 sincoscossin6464ππππ=+ …………………………10分12222=⨯+ …………………………11分4=. …………………………12分GPD17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，………………………1分即()1127672n n -=⨯，化简得，260n n --=， …………………………2分解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分（2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分()407P X ==， ()3421767P X ==⨯=， ()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分∴X 的分布列为：…………………………11分∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥. ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………2分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =， ∴EF ⊥平面POA . …………………………3分∴BD ⊥平面POA . …………………………4分（2）解法1：设AO BD H =，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==……5分在R t △BHO中，BO在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分过H 作⊥HG AP ，垂足为G ，连接BG ，由（1）知⊥BH 平面POA ，且⊂AP 平面POA ， ∴⊥BH AP .∵=HG BH H ，⊂HG 平面BHG ，⊂BH 平面BHG ，∴⊥AP 平面BHG . …………………………8分 ∵⊂BG 平面BHG ，∴⊥AP BG . …………………………9分 ∴∠BGH 为二面角--B AP O 的平面角. …………………………10分在Rt △POA中，AP在Rt △POA 和Rt △HGA 中，90,︒∠=∠=∠=∠POA HGA PAO HAG ， ∴Rt △POA ～Rt △HGA . …………………………11分 ∴=PO PAHG HA.∴⋅===PO HA HG PA . …………………………12分在Rt △BHG中，tan ∠===BH BGH HG . ……………………13分 ∴二面角--B AP O…………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n 项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）（1）解：∵111,1n a a +==，∴2113a ===. …………………………1分（2）解法1：由11n a +=，得11n n S S +-=， …………………………2分故)211n S +=. …………………………3分∵0n a >，∴0n S >.1=. …………………………4分∴数列1=，公差为1的等差数列.()11n n=+-=. …………………………5分∴2nS n=. …………………………6分当2n≥时，()221121n n na S S n n n-=-=--=-，…………………………8分又11a=适合上式，∴21na n=-. …………………………9分（3）解：由(2)知21na n=-,()21212nn nS n+-==.假设存在正整数k, 使ka,21kS-,4ka成等比数列,则2214k k kS a a-=⋅. …………………………10分即()()()4212181k k k-=-⋅-. …………………………11分∵k为正整数，∴210k-≠.∴()32181k k-=-.∴328126181k k k k-+-=-.化简得32460k k k--=. …………………………12分∵0k≠,∴24610k k--=.解得k==, 与k为正整数矛盾. ……………………13分∴不存在正整数k, 使ka,21kS-,4ka成等比数列. …………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1：∵双曲线222:12xC y-=的顶点为1(0)F,20)F, …………1分∴ 椭圆1C两焦点分别为1(0)F,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分 ∴2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分（2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分即11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y -，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,2⎫-⎪⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =10分x =+=………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =∴S =≤=2=. ……12分当且仅当2x =时, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩………………………13分 ∴△ABQ此时,点Q的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）（1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<，则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=>，当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分（2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分 ∴2222221212ln 1ln 1ln 1n nn n n n nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分即ln 2222121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由于n ∈N *，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分 ∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. …………………………10分由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分 ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n nn n n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………………………12分即()()()2422212111126ln11122n n nn n n n n n n n++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦.得323222 643112ln11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于n∈N*，则()()3223233336331643161 1212122n n n nn n n nn n n+-+-+--=≥=.…………………………13分∴12<ln22212111nn n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.∴22212111nn n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………14分22212111nn n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e<.。

广东省阳东一中、广雅中学2015届高三数学第一次联考试题文(含解析)新人教A版

广东省阳东一中、广雅中学2015届高三数学第一次联考试题文（含解析）新人教A 版一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50 分）【题文】1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合A={1,2}，B={2，3}，则()U C A B =( )A.{3}B.{4，5} c.{1,2,3} D.{2,3,4,5} 【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为U C A ={3，4，5}，所以()U C A B ={2,3,4,5}，故选D.【思路点拨】根据补集得意义求得U C A ，再根据并集意义求结论. 【题文】2．设复数z 满足2,z i i i ⋅=-为虚数单位，则z=( ) A.-1-2i B.1+2i C.-1+2i D.2-i 【知识点】复数运算. L4【答案解析】A 解析：()222212121i i i i z i i z i i i --+⋅=-⇒====---，故选A. 【思路点拨】根据复数的乘除运算求得结论. 【题文】3．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（）. A ．(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D. (,)-∞+∞【知识点】函数定义域的求法. B1 【答案解析】C 解析：已知函数有意义得101101x x x x -≠≠⎧⎧⇒⎨⎨+>>-⎩⎩，故选C. 【思路点拨】函数的定义域是函数中各式子有意义的x 的取值集合. 【题文】4.在等比数列{}n a 中，11=a ，公比2q =，则4a 的值为（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．16【知识点】等比数列通项公式. D3【答案解析】B 解析：3418a a q ==，故B.【思路点拨】根据等比数列通项公式求解.【题文】5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的侧面积为（）.A.4πB.5πC.12πD.15π【知识点】空间几何体的三视图. G2【答案解析】D 解析：由三视图可知此几何体是底半径3，高4的圆锥，所以此几何体的侧面积为1235152ππ⨯⨯⨯=，故选D. 【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的侧面积. 【题文】6．阅读上图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）. A ．123 B.38 C ．11 D ．3 【知识点】算法与程序框图. L4【答案解析】C 解析：由框图知循环过程是（1）a=3; (2) a=11,由于11<10不成立，所以输出a=11，故选C.【思路点拨】根据程序框图描述的意义得输出结果.【题文】7．已知向量()2,1=→a ，()1,0=→b ，()2,-=→k c ，若（2+→a →b ）⊥→c ，则k = （）. A.2 B. 2- C.8 D.8-【知识点】向量的坐标运算. F2【答案解析】C 解析：因为()2,1=→a ，()1,0=→b ，所以()21,4a b +=，又（2+→a →b ）⊥→c()2,-=→k c ，所以()20808a b c k k +⋅=⇒-=⇒=，故选C.【思路点拨】由向量加法的坐标运算，向量数量积德坐标运算得结论. 【题文】8．将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）.A.sin 2y x =B.cos 2y x =C.2sin(2)3y x π=+D.sin(2)6y x π=- 开始1a =10?a <输出a 结束22a a =+是否第6题第5题【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换. C4【答案解析】D 解析：将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，得: sin 2sin(2)666y x x πππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故选D.【思路点拨】由平移变换法则得平移后函数的解析式.【题文】9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( ) .A.1【知识点】直线与圆. H4【答案解析】B 解析：圆心（0，0）到直线AB 的距离为1，圆的半径为2，由垂径定理及勾股定理得弦AB =，故选B.【思路点拨】因为弦心距、圆半径、半弦长，构成直角三角形，所以由勾股定理求得弦长. 【题文】10．已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则(2013)(2014)f f -+的值为( ) .A.1-B. 2-C. 2D.1 【知识点】函数的奇偶性、周期性. B4【答案解析】A 解析：因为)(x f 是奇函数，且周期为2，所以(2013)(2014)f f -+= -f(2013)+f(2014)=-f(1)+f(0)，又当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ,所以(2013)(2014)f f -+=-1+0=-1，故选A.【思路点拨】由已知得函数)(x f 是周期为2 的奇函数，据此化简所求，再根据当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f 得所求.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题为选做题。

广东省阳江市阳东县广雅学校高三数学上学期8月月考试

2015-2016学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三（上）8月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}，则M∪N=（）A．[﹣，+∞）B．[﹣1，] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[﹣1，+∞）2．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．3．复数z=，则（）A．|z|=2 B．z的实部为1C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i4．函数f（x）=是（）A．偶函数，在（0，+∞）是增函数 B．奇函数，在（0，+∞）是增函数C．偶函数，在（0，+∞）是减函数 D．奇函数，在（0，+∞）是减函数5．如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是（）A．12 B．14 C．16 D．206．已知向量，，则=（）A．1 B．C．2 D．47．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．B．﹣C．5 D．8．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：∃x∈R，sinx=，则下列命题中为真命题的是（）A．￢p∨q B．p∧q C．￢p∧￢q D．￢p∨￢q9．已sin（﹣x）=，则sin2x的值为（）A．B．C．D．±10．等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．﹣24 B．0 C．12 D．2411．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B． +6 C． +5 D． +512．已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域为．14．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．15．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C 的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为．16．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长为．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}中，前n项和S n=kn（n+1）﹣n，k是常数，且首项为1．（1）求k与a n；（2）若数列{b n}满足b1=2，b n﹣b n﹣1=2（n≥2），求b n．18．某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35℃时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助．随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中工作时间范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求频率分布直方图中x的值；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．20．斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB 的长．21．已知函数f（x）=2e x﹣ax﹣2（a∈R）（1）讨论函数的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C：ρ=2cosθ﹣2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与圆C分别交于M、N，点P是圆C上不同于M、N的任意一点．（1）写出C的直角坐标方程和l的普通方程；（2）求△PMN面积的最大值．2015-2016学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三（上）8月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}，则M∪N=（）A．[﹣，+∞）B．[﹣1，] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[﹣1，+∞）【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】解不等式求出集合N，根据集合并集的定义得到答案．【解答】解：∵集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}={x|﹣≤x≤}，∴M∪N={x|x≥﹣}=[﹣，+∞），故选：A【点评】本题考查的知识点是集合的并集及其运算，属于基础题．2．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数N，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：B．【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．3．复数z=，则（）A．|z|=2 B．z的实部为1C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为a+bi的形式，然后判断选项即可．【解答】解：复数z====﹣1﹣i．显然A、B、C都不正确，z的共轭复数为﹣1+i．正确．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力．4．函数f（x）=是（）A．偶函数，在（0，+∞）是增函数 B．奇函数，在（0，+∞）是增函数C．偶函数，在（0，+∞）是减函数 D．奇函数，在（0，+∞）是减函数【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数的定义域为R，然后利用定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，利用2x的单调性判断f（x）单调性．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）==﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；又y=2x为增函数，y=﹣2﹣x为增函数，∴f（x）为增函数；故选B．【点评】本题考查了函数奇偶性的判定以及单调性的判定．5．如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是（）A．12 B．14 C．16 D．20【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，，根据椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，可求点P到另一个焦点F2的距离【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∵椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6∴6+|PF2|=20∴|PF2|=14故选B．【点评】本题的考点是椭圆的定义，主要考查椭圆定义的运用，属于基础题．6．已知向量，，则=（）A．1 B．C．2 D．4【考点】向量的模．【分析】根据向量的加法算出再求模．【解答】解：∵，，∴ =（﹣1，）∴||==2故选C．【点评】本题主要考查向量的加法和模的运算．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．B．﹣C．5 D．【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=2，当n=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=3，当n=3时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=﹣，a=﹣，n=4，当n=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=5，当n=5时，不满足进行循环的条件，故输出的a值为5，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：∃x∈R，sinx=，则下列命题中为真命题的是（）A．￢p∨q B．p∧q C．￢p∧￢q D．￢p∨￢q【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】先判断出p，q的真假，从而判断出其复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：所有有理数都是实数，p是真命题；命题q：∃x∈R，sinx=，q是假命题，则￢p∨q是假命题，p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题，￢p∨￢q是真命题，故选：D．【点评】本题考查了复合命题的判断，是一道基础题．9．已sin（﹣x）=，则sin2x的值为（）A．B．C．D．±【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用角之间的关系将sin2x化为cos2x，再利用二倍角公式求解．【解答】解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（）=1﹣2×=；故选C．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及二倍角公式的运用．10．等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．﹣24 B．0 C．12 D．24【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．【解答】解：由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3，故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，故选A．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B． +6 C． +5 D． +5【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出表面积即可．【解答】解：三视图复原的组合体是下部是棱长为1的正方体，上部是底面边长为1的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为：5×1×1+4××1×=+5，故选：C【点评】本题考查由三视图求表面积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．12．已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，而x=1时：g（x）=a x﹣2a=﹣a＜0，h（x）=﹣（x﹣1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点．【解答】解：令f（x）=0，得：a x﹣2a=﹣（x﹣1）2，令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，x=1时：a x﹣2a=﹣a＜0，﹣（x﹣1）2=0，a＞1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点；0＜a＜1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点，故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域为（，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域满足2x﹣1＞0，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域满足：2x﹣1＞0，解得x＞，∴函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意函数的性质的合理运用．14．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为9 ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x ﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x ﹣y有最大值9．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．15．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为x2﹣=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，可得=，由C的一个焦点到l的距离为1，可得=1，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，∴=，∵C的一个焦点到l的距离为1，∴=1，∴c=2，∴a=1，b=，∴C的方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．【点评】本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，以及点到直线的距离公式的应用．16．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长为8．【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】设出BD=x，利用余弦定理建立方程，整理后求得x，进而利用正弦定理求得BC．【解答】解：在△ABD中，设BD=x，则BA2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠BDA，即142=x2+102﹣2•10x•cos60°，整理得x2﹣10x﹣96=0，解之得x1=16，x2=﹣6（舍去）．在△BCD中，由正弦定理： =，∴BC=•sin30°=8．故答案为：8【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考查对正弦定理和余弦定理的灵活运用．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}中，前n项和S n=kn（n+1）﹣n，k是常数，且首项为1．（1）求k与a n；（2）若数列{b n}满足b1=2，b n﹣b n﹣1=2（n≥2），求b n．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题设得a1=S1=2k﹣1=1，解得k=1，可得S n=n2，a2=S2﹣S1=3，可得d=a2﹣a1，即可得出a n．（2）b n=b n﹣1+2=b n﹣2+2+2=…=b1+2+2+…+2+2．由（1）知2=22n﹣1，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）由题设得a1=S1=2k﹣1=1，∴k=1，∴S n=n（n+1）﹣n=n2，a2=S2﹣S1=22﹣1=3，则d=a2﹣a1=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．（2）b n=b n﹣1+2=b n﹣2+2+2=…=b1+2+2+…+2+2．由（Ⅰ）知2=22n﹣1，又∵b1=2，∴b n=21+23+25+…+22n﹣3+22n﹣1==．明显，n=1时，也成立．综上所述，b n=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35℃时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助．随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中工作时间范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求频率分布直方图中x的值；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图中，各组的累积频率为1，构造关于x的方程，解方程可得答案；（2）设中位数为t，则20×0.0125+（t﹣20）×0.0250=0.5，解得中位数；（3）根据已知数据可得享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%，进而根据抽取的样本容量为25，得到结论．【解答】解：（1）由直方图可得：20×（x+0.0250+0.0065+0.0030+0.0030）=1，解得x=0.0125．…（2）设中位数为t，则20×0.0125+（t﹣20）×0.0250=0.5，得t=30．样本数据的中位数估计为30分钟．…（3）享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%．因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员25×12%=3人，抽取不享受补助人员25×88%=22人．…【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，是统计基本概念的直接考查，难度不大，属于基础题．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，连接DE，则DE∥A1B．由此能证明A1B∥平面ADC1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，从则C到与平面ADC1的距离即为所求．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点E，则点E是A1C及AC1的中点．连接DE，则DE∥A1B．因为DE⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，又点D是BC的中点，点C与B到与平面ADC1的距离相等，则C到与平面ADC1的距离即为所求．…因为AB=AC，点D是BC的中点，所以AD⊥BC，又AD⊥A1A，所以AD⊥平面BCC1B1，平面ADC1⊥平面BCC1B1．作于CF⊥DC1于F，则CF⊥平面ADC1，CF即为所求距离．…在Rt△DCC1中，CF==．所以A1到与平面ADC1的距离为．…【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB 的长．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题．【分析】抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1，由题意可得直线AB的方程为y=x﹣1，联立方程可得x2﹣6x+1=0，根据方程的根与系数的关系可得，x A+x B=6，x A•x B=1（法一）：由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=x A+1+x B+1，代入可求（法二）：由弦长公式可得AB==•代入可求【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1∴直线AB的方程为y=x﹣1联立方程可得x2﹣6x+1=0∴x A+x B=6，x A•x B=1（法一）：由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=x A+1+x B+1=x A+x B+2=8（法二）：由弦长公式可得AB==•==8【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，方程的根系数的关系的应用，其中法（一）主要体现了抛物线的定义的灵活应用．21．已知函数f（x）=2e x﹣ax﹣2（a∈R）（1）讨论函数的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先求函数的定义域，易知x∈R，然后对原函数求导，借助于函数y=2e x的图象，通过变换得到f′（x）=2e x﹣a的图象，解不等式得到原函数的单调区间．（2）这是一道不等式恒成立问题，因此只需当x≥0时，f（x）min≥0即可，再结合（1）中对函数单调性的研究，确定f（x）的最小值，则问题可解．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2e x﹣a．若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；若a＞0，令f′（x）=0得x=ln，易知当x∈（﹣∞，ln）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；当x∈（ln，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在[ln，+∞）上单调递增；综上，a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在ln，+∞）上单调递增．（Ⅱ）注意到f（0）=0．（1）当a≤0时，则当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，只需f（x）min=f（0）=0，显然成立．（2）当a＞0时若ln≤0，即0＜a≤2，则当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，f（x）≥f（0）=0，符合题意．若ln＞0，即a＞2，则当x∈（0，ln）时，f（x）单调递减，又因为f（0）=0，所以此时f（x）＜0，不合题意．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题重点考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立问题．对于此类问题在解不等式时要充分利用数形结合的思想辅助分析，进行讨论；而不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题，再进一步利用导数研究函数的单调性求最值．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C：ρ=2cosθ﹣2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与圆C分别交于M、N，点P是圆C上不同于M、N的任意一点．（1）写出C的直角坐标方程和l的普通方程；（2）求△PMN面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，写出结果即可．（2）求出圆心到直线的距离，求出P到直线MN的距离的最大值，然后求解三角形的面积．【解答】（本小题满分10分）解：（1）圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．直线l的普通方程为．…（2）圆心（1，﹣1）到直线l：的距离为d==，所以，|MN|=2==．而点P到直线MN的距离的最大值为r+d==．S△PMN==…【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，极坐标与直角坐标方程的互化，考查计算能力．。

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广东省阳东一中、广雅中学2015届高三第一次联考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】全面覆盖“双基”的同时，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出．至于实践能力和创新意识方面也在努力体现，，其中，函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法体现得较为突出．有必要增加实际应用和创新意识的题目，以提升试卷的“灵气和亮点”. 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 【题文】1.函数()()111f x lg x x=++-的定义域是( ) A. (),1-∞- B. ()1,+∞ C. ()()1,11,-⋃+∞ D. (),-∞+∞ 【知识点】函数的表示方法 B1 【答案解析】C 解析：解：101110x x x x -=⎧∴>-≠⎨+>⎩且所以C 为正确选项. 【思路点拨】由解析式成立的条件可列出条件，进而求出定义域.【题文】2.若复数z 满足方程220z +=，则3z =( )A. ±B.-C. -D. ± 【知识点】复数的概念 L4【答案解析】D 解析：解：2320z z z +=∴=∴=±,所以D 为正确选项.【思路点拨】根据复数的概念求出z ，再求出3z .【题文】3．已知a 、b 是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条【知识点】充分必要条件 A2【答案解析】A 解析：解：当a>1，b>2有a+b>3且ab>2，而2,1a b >>，同样有32a b ab +>>且，所以2,1a b >>，是32a b ab +>>且的充分而不必要条件，所以A正确.【思路点拨】根据条件可知题的充分必要性.【题文】4．ABC ∆中，角A B C 、、所对的边a b c 、、，若a =3A π=，cos B =，则b =( )【知识点】正弦定理 C8【答案解析】 C 解析：解：根据正弦定理可知sin sin a bA B=，sin 55B b ===，所以正确选项为C. 【思路点拨】根据三角函数值可直接用正弦定理求值.【题文】5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA ＝( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(1，1)D ．(－1，－1) 【知识点】向量的加减运算 F1 【答案解析】C 解析：解：AC AB BC BC AC AB =+∴=-()()()DA=-1,11,1BC AC AB =--=---=而【思路点拨】根据题意可直接进行向量的运算.【题文】6.已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y=-的最小值是( )A ．2-B ．2C ．1-D ．1【知识点】线性规划 E5【答案解析】C 解析：解：由图可知可行域为三角形ABC 上及内部的点，所以目标函数的最小值在A 点取到，A 点的坐标为()0,1代入目标函数可得1Z =-.【思路点拨】根据题意可求出可行域，再由图找到最小值点.【题文】7．已知点P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A B C ． D ．92【知识点】抛物线的概念 H7【答案解析】B 解析：解：由题意可知抛物线的焦点坐标为()0,1，由抛物线的概念可知点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值即为M 点到焦点的距离，所以d ==【思路点拨】根据抛物线的概念可知到准线的距离与到焦点的距离相等.【题文】8．对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x AB x A B ⊕=∈∉且，已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+，0ab cd <<，则=⊕N M ( )A (,)(,)a d b c B.(,][,)c a b d C. (,][,)a c d b D.(,)(,)c a d b【知识点】集合的运算 A1【答案解析】C 解析：解：由新定义的概念可知当a b c d +=+，0ab cd <<时，a c d b <<<再由题意可知M N ⊕=(,][,)a c d b ⋃，根据选项可知应为C. 【思路点拨】根据新定义的集合运算可直接求解.二、填空题：(本大题共7小题，考生作答6小题,每小题5分，满分30分) （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答【题文】9.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生____人.【知识点】分层抽样 I1【答案解析】3700 解析：解：由分层抽样的概念可知，样本是按比例分配的，所以应在高三抽取50人，按比例可知，高一有学生1500人，高二有学生1200人，所以高中部共有学生1500+1200+1000=3700人【思路点拨】由分层抽样的定义可知每一部分应该有学生多少人. 【题文】10．π40cos xdx =⎰【知识点】积分的运算 B13 【答案解析】2-解析：解：因为cos x 的导数为sin x -，π40cos sin 40xdx x π=-=⎰【思路点拨】根据函数的积分运算.【题文】11．执行如图3所示的程序框图，输出的=i 【知识点】程序框图 L1【答案解析】3 解析：解：由算法程序可知第一次循环后2,23s i ==需进行第二次循环，第二次循环后221,3552s i s ===<∴输出i 这时i=3 【思路点拨】由程序运行法则可知结果.【题文】12．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_________；【知识点】三视图 G2【答案解析】B 解析：解：由三视图可知几何体为组合体，是由直径为3的球与底面直径为3高为4的圆柱组成，所以它的表面积为球的表面积294494R πππ=⋅=，圆柱的表面积为23992224212242r h r ππππππ⋅+=⋅⋅+⋅=+，所以几何体的表面积为9512122πππ+=【思路点拨】根据三视图与原图的关系可求出表面积. 【题文】13．观察下列等式 212(1)1x x x x ++=++,22234(1)1232x x x x x x ++=++++,2323456(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,242345678(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++,由以上等式推测对于n N *∈,若2220122(1)nn n x x a a x a x a x ++=++++,则2a = .【知识点】数列求和 D4 【答案解析】()12n n + 解析：解：根据系数的规律可知2x 的系数在每个式子中分别为1，3，6，10设1231,3,6b b b ===21324312,3,4n n b b b b b b b b n-∴-=-=-=-=()11232n n n b n +∴=++++=【思路点拨】根据系数的特点可找出与数列的关系，再根据数列进行求和求出系数（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．【题文】14．（坐标系与参数方程选做题）．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且=BC PB 12，则PABC= ．【知识点】切割线定理 N1 【答案解析】2解析：解：由切割线定理可知2P A P BP C =⋅设PB a =则3,2PC a BC a ==2PA BC ∴=【思路点拨】由切割线定理可直接求出结果.【题文】15．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos 4πρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方程为。

【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化 N3 【答案解析】B 解析：解：将原极坐标方程ρ=4cos θ，化为： ρ2=4ρcos θ，化成直角坐标方程为：x 2+y 2﹣4x=0，它关于直线y=x （即θ=）对称的圆的方程是x 2+y 2﹣4y=0，其极坐标方程为：ρ=4sin θ．故答案为：ρ=4sin θ．【思路点拨】先将原极坐标方程ρ=4cos θ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再结合曲线关于直线的对称性，利用直角坐标方程解决问题三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】16．（本小题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，满足222a c b ac +-=，（1）求角B 的大小；（2）设(sin ,cos 2)m A A =，(6,1)n =--，求m n ⋅的最小值【知识点】余弦定理；向量的运算.C8,F2【答案解析】(1) 3π (2)-5 解析：解：在ABC 中，由余弦定理2221cosB 22a cb ac +-==，又()0,,3B B ππ∈∴=(2) 223116sin cos 22sin 6sin 12sin 22m n A A A A A ⎛⎫⋅=--=--=-- ⎪⎝⎭又20,0sin 13A A π<<∴<≤当sin 1A =时，m n ⋅取最小值5- ……………12分【思路点拨】由已知条件根据余弦定理可直接求出角B ，再由向量的运算求出最小值.P19题图15【题文】17．（本小题满分12分）某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为ξ，求ξ的分布列和期望．【知识点】频率分布直方图;离散型随机变量的分布列与数学期望.I2,K6 【答案解析】(1)3(2)342(3) ξ∴的分布列为∴611)3(3)2(2)1(1==⨯+=⨯+=⨯=ξξξξp p p E解析：解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，人数为：50×0.06=3所以该样本中成绩优秀的人数为3 ……… …………… 3分（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，人数为：900×0.38=342所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342。