2018高中数学(北师大版)必修2 阶段质量检测(一) word版含解析
2018年高一北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章章末检测 Word版含解析
第一章章末检测一、选择题(本大题10个小题，每小题5分，共50分)1．若a、b为异面直线，直线c∥a，c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交答案：D2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直答案：A解析：因为A1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又E，F，A1，B四点都在平行四边形A1BCD1上，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，故选A.3．如图为一零件的三视图，根据图中所给数据(单位：cm)可知这个零件的体积为() A．(64－π)cm3B．(64－4π)cm3C．(48－π)cm3D．(48－4π)cm3答案：B解析：由三视图，可知这个零件是一个棱长为4的正方体，中间挖去了一个底面半径为1、高为4的圆柱所形成的几何体，其体积为43－π×12×4＝(64－4π)cm3.4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为() A．1：2：3 B．2：3：4C．3：2：4 D．3：1：2答案：D5．已知正方体的棱长为2，则外接球的表面积和体积分别为()A．48π，32 3πB．48π，4 3πC．12π，4 3πD．12π，32 3π答案：C6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么正方体的过P、Q、R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案：D7．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是()A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m β，且α⊥β，则m ⊥αD ．若m ⊥β，且α∥β，则m ⊥α 答案：D解析：A 中可能n α；B 中m ，n 还可能相交或异面；C 中m ，α还可能平行或斜交；一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，所以D 正确．8．四面体S －ABC 中，各个面都是边长为2的正三角形，E ，F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成角等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 答案：C9．设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和④ 答案：A10．直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是( )A ．[4 2－52，4 2＋52]B ．[2 2－2,2 2＋2]C ．[3－2 22，3＋2 22]D ．[3 2－2,3 2＋2] 答案：B 解析：由题意，直线BC 与动点O 的空间关系： 点O 是以BC 为直径的球面上的点，所以O 到AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离， 最大距离为AD 到球心的距离(即BC 与AD 的公垂线)＋半径＝2 2＋2. 最小距离为AD 到球心的距离(即BC 与AD 的公垂线)－半径＝2 2－2.∴点O 到直线AD 的距离的取值范围是：[2 2－2,2 2＋2]． 二、填空题(本大题5个小题，每小题5分，共25分)11．已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．答案： 212．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B －B 1EF 的体积为________．答案：1313．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为BB 1和CD 的中点，则直线AM 和D 1N 所成的角为________.答案：90° 14．如图，梯形A ′B ′C ′D ′是水平放置的四边形ABCD 的用斜二测画法画出的直观图．若A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝O ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积为________．答案：5 解析：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D ′＝1，OC ＝O ′C ′＝2.过点D 作y 轴的平行线，并在平行线上截取DA ＝2D ′A ′＝2.过点A 作x 轴的平行线，并在平行线上截取AB ＝A ′B ′＝2.连接BC ，即得到了四边形ABCD .可知四边形ABCD 是直角梯形，上、下底边分别为AB ＝2，CD ＝3，高AD ＝2，所以四边形ABCD 的面积S ＝2＋32×2＝5.15．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下四个结论：①直线D 1C ∥平面A 1ABB 1； ②直线A 1D 1与平面BCD 1相交； ③直线AD ⊥平面D 1DB ； ④平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1.其中正确结论的序号为________． 答案：①④解析：因为平面A 1ABB 1∥平面D 1DCC 1，D 1C平面D 1DCC 1，所以D 1C ∥平面A 1ABB 1，①正确；直线A 1D 1在平面BCD 1内，②不正确；显然AD 不垂直于BD ，所以AD 不垂直于平面D 1DB ，③不正确；因为BC ⊥平面A 1ABB 1，BC 平面BCD 1，所以平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1，④正确．三、解答证明题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：x cm,3x cm. 延长AA 1交OO 1的延长线于S ， 在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°， ∴SO ＝AO ＝3x ，∴OO 1＝2x ，又S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，∴x ＝7.故圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝ 2O 1O ＝14 2 cm ，两底面半径分别为7 cm,21 cm.17．(12分)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点．(1)求证：SA ∥平面PCD ； (2)求圆锥SO 的表面积． 解：(1)连接PO ，∵P ，O 分别为SB ，AB 的中点，∴PO ∥SA .又PO 平面PCD ，SA 平面PCD ，∴SA ∥平面PCD .(2)设母线长为l ，底面圆半径为r ，则r ＝2，l ＝SB ＝22， ∴S 底＝πr 2＝4π，S 侧＝πrl ＝42π， ∴S 表＝S 底＋S 侧＝4(2＋1)π.18．(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分PC ，且分别交AC ，PC 于D ，E 两点，PB ＝BC ，P A ＝AB .(1)求证：PC ⊥平面BDE ；(2)试确定线段P A 上点Q 的位置，使得PC ∥平面BDQ . 解：(1)∵PB ＝BC ，E 为PC 的中点，∴PC ⊥BE . ∵DE 垂直平分PC ，∴PC ⊥DE .又BE 平面BDE ，DE 平面BDE ，且BE ∩DE ＝E ，∴PC ⊥平面BDE .(2)不妨令P A ＝AB ＝1，则有PB ＝BC ＝2，计算得AD ＝33＝13AC . ∴点Q 在线段P A 上靠近点A 的三等分点处，即AQ ＝13AP 时，PC ∥QD ，从而PC ∥平面BDQ .19．(13分)如图，在直三棱柱ADF －BCE 中，AB ＝AD ＝DF ＝a ，AD ⊥DF ，M ，G 分别是AB ，DF 的中点．(1)求该直三棱柱的体积与表面积；(2)在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．解：(1)由题意，可知该直三棱柱的体积为12×a ×a ×a ＝12a 3，表面积为12a 2×2＋2a 2＋a 2＋a 2＝(3＋2)a 2.(2)当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC . 取FC 的中点H ，连接GH ，GA ，MH .∵G 是DF 的中点，∴GH 綊12CD .又M 是AB 的中点，AB 綊CD ，∴AM 綊12CD .∴GH ∥AM 且GH ＝AM ，∴四边形GHMA 是平行四边形， ∴GA ∥MH .∵MH 平面FMC ，GA 平面FMC ， ∴GA ∥平面FMC ，即当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .20．(13分)如图①，有一个等腰直角三角板ABC 垂直于平面α，BC α，AB ＝BC ＝5，有一条长为7的细线，其两端分别位于B ，C 处，现用铅笔拉紧细线，在平面α上移动．(1)图②中的PC (PC <PB )的长为多少时，CP ⊥平面ABP ？并说明理由． (2)在(1)的情形下，求三棱锥B －APC 的高． 解：(1)当CP ＝3时，CP ⊥平面ABP .证明如下：若CP ＝3，则BP ＝4，而BC ＝5， 所以三角形BPC 为直角三角形，且CP ⊥PB . 又平面ABC ⊥平面α，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面α，于是CP ⊥AB .又PB 平面ABP ，AB 平面ABP ，PB ∩AB ＝B ， 所以CP ⊥平面ABP .(2)解法一：如图，过点B 作BD ⊥AP 于点D ，由(1)，知CP ⊥平面ABP ，则CP ⊥BD .又AP 平面APC ，CP 平面APC ，AP ∩CP ＝P ， 所以BD ⊥平面APC ，即BD 为三棱锥B －APC 的高． 由于PB ＝4，AB ＝5，AB ⊥平面α，所以AP ＝AB 2＋PB 2＝25＋16＝41，由AP ·BD ＝AB ·PB ，得BD ＝4×541＝204141.即三棱锥B －APC 的高为204141.解法二：由(1)，知CP ⊥平面ABP ，所以CP ⊥AP . 又CP ＝3，BP ＝4，AB ＝5，AB ⊥BP ， 所以AP ＝AB 2＋PB 2＝25＋16＝41，所以S △APC ＝12·CP ·AP ＝3412.设三棱锥B －APC 的高为h ，则V B －APC ＝13·S △APC ·h ＝412h .又V A －PBC ＝13·S △PBC ·AB ＝13×12×CP ×BP ×AB ＝10，而V B －APC ＝V A －PBC ，得412h ＝10，所以h ＝204141.即三棱锥B －APC 的高为204141.21．(13分)已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且AM ＝FN ＝x ，设AB ＝a(1)求证：MN ∥平面CBE ； (2)求证： MN ⊥AB ；(3)当x 为何值时，MN 取最小值？并求出这个最小值．证明：(1)在平面ABC 中，作MG ∥AB ，在平面BFE 中，作NH ∥EF ，连接GH ，∵AM ＝FN ，∴MC ＝NB ，∵MG AB ＝MC NC ＝NBEF∴MG ∥NH ，∴MNHG 为平行四边形，∴MN ∥GH又∵GH ⊆面BEC ，MN 面BEC ，∴MN ∥面BEC (2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥BE ，∴AB ⊥面BEC ，∵GH ⊆面GEC ，∴AB ⊥GH ，∵MN ∥GH ，∴MN ⊥AB (3)∵面ABCD ⊥面ABEF ，∴BE ⊥面ABCD ，∴BE ⊥BC∵BG ＝x2，BH ＝2a －x 2∴MN ＝GH ＝BG 2＋BH 2＝x 2＋x 2－22ax ＋2a 22＝x 2－2ax ＋a 2(0<a <2a )＝⎝⎛⎭⎫x －22a 2＋a 22≤22a当且仅当x ＝22a 时，等号成立；∴当x ＝22a 时，MN 取最小值22a .。
2017_2018学年高中数学阶段质量检测一推理与证明北师大版选修2_2
阶段质量检测(一) 推理与证明[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3,5,9,17,33，…的通项a n ＝( ) A ．2nB ．2n＋1 C ．2n －1D ．2n ＋12．用反证法证明命题“若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈Z )有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是奇数B ．假设a ，b ，c 都不是奇数C ．假设a ，b ，c 至多有一个奇数D ．假设a ，b ，c 至多有两个奇数3．因为奇函数的图像关于原点对称(大前提)，而函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋1 ， x >0，0， x ＝0，x x －1 ， x <0是奇函数(小前提)，所以f (x )的图像关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错4．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“ ”：★ ★ ★ ★ ★ ★……依此规律继续打下去，那么在前2 014个图形中的“★”的个数是( )A ．60B ．61C ．62D.635．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )A ．各正三角形内的任一点B ．各正三角形的中心C ．各正三角形边上的任一点D ．各正三角形的某中线的中点6．已知函数f (x )＝5x，则f (2 014)的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625 D ．8 1257．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)”时，第一步应验证( )A ．1＋12≤12＋1B ．1≤12＋1C ．1＋12＋13＋14≤12＋2D ．1＜12＋18．用数学归纳法证明等式：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋19．对于函数f (x )，g (x )和区间D ，如果存在x 0∈D ，使|f (x 0)－g (x 0)|≤1，则称x 0是函数f (x )与g (x )在区间D 上的“友好点”．现给出下列四对函数：①f (x )＝x 2，g (x )＝2x －3； ②f (x )＝x ，g (x )＝x ＋2； ③f (x )＝e －x，g (x )＝－1x ； ④f (x )＝ln x ，g (x )＝x －12.其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 10．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值一定( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零 D ．正负都有可能答 题 栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.12．已知点A (x 1，3x 1)，B (x 2，3x 2)是函数y ＝3x的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论3x 1＋3x 22>3x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <0的图像上任意不同两点，则类似地有____________________成立．13．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．14．(福建高考)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .16.(本小题满分12分)已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B 为锐角．17．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ∈(0,1)．。
2017-2018学年高中数学北师大版 必修二学业分层测评：
章末分层突破[自我校对]①简单多面体②直观图③点与直线④直线与直线⑤确定平面⑥画相交平面的交线⑦球的表面积和体积从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，主视图反映它的长和高，左视图反映它的宽和高.某四棱锥的三视图如图1-1所示，该四棱锥最长棱的棱长为()【导学号：39292060】图1-1A.1B. 2C. 3D.2【精彩点拨】通过三视图得到几何体的结构，再利用三视图中的数据求解.【规范解答】根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V-ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.【答案】 C[再练一题]1.一个几何体的三视图如图1-2所示，其中左视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________.图1-2【解析】 由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积V ＝43×π×23×34＝8π.【答案】 8π1.2.证明线线平行的依据：(1)平面几何法(常用的有三角形中位线定理、平行线分线段成比例的逆定理、平行四边形的性质)；(2)公理4；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理.3.证明线面平行的依据：(1)定义；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质定理. 4.证明面面平行的依据：(1)定义；(2)面面平行的判定定理；(3)线面垂直的性质定理；(4)面面平行的传递性.如图1-3所示，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点.图1-3(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?(2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC 的值.【精彩点拨】 (1)先利用线面平行的性质，分析出BC 1∥平面AB 1D 1时，线线平行，得线段比，在解答时，可以利用已知A 1D 1D 1C 1的比，利用线面平行判定求解.(2)利用面面平行得到线线平行，得对应线段成比例，从而得到比值. 【规范解答】 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点.在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，所以OD 1∥BC 1.又因为OD 1平面AB 1D 1，BC 1⊆/平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1，所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.(2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O 得BC 1∥D 1O ，所以A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，又由题可知A 1D 1D 1C 1＝DCAD ，A 1O OB ＝1，所以DC AD ＝1，即ADDC ＝1.[再练一题]2.如图1-4，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ，EF ∥AB ，H 为BC 的中点，求证：FH ∥平面EDB .【导学号：39292061】图1-4【证明】 连接AC 交BD 于点G ，则G 为AC 的中点. 连接EG ，GH ， ∵H 为BC 的中点， ∴GH ═∥12AB . 又EF ═∥12AB ， ∴EF ═∥GH ，∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG ∥FH ，∵EG 平面EDB ，FH ⊆/平面EDB ， ∴FH ∥平面EDB .1.2.两条异面直线相互垂直的证明方法： (1)定义；(2)线面垂直的性质定理. 3.直线和平面垂直的证明方法： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理.4.平面和平面相互垂直的证明方法： (1)定义；(2)面面垂直的判定定理.如图1-5，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证：图1-5(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【精彩点拨】(1)利用面面垂直性质定理可得P A⊥底面ABCD；(2)可证BE∥AD，从而得BE∥平面P AD；(3)利用面面垂直的判定定理证明.【规范解答】(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A⊥AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊆/平面P AD，AD平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.又AD∩P A＝A，所以CD⊥平面P AD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.[再练一题]3.如图1-6，△ABC是边长为2的正三角形.若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.求证：图1-6(1)AE ∥平面BCD ； (2)平面BDE ⊥平面CDE .【证明】 (1)取BC 的中点M ，连接DM ， 因为BD ＝CD ，且BD ⊥CD ，BC ＝2. 所以DM ＝1，DM ⊥BC . 又因为平面BCD ⊥平面ABC ， 所以DM ⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ，所以AE ∥DM .又因为AE ⊆/平面BCD ，DM 平面BCD ，所以AE ∥平面BCD . (2)由(1)已证AE ∥DM ，又AE ＝1，DM ＝1，所以四边形DMAE 是平行四边形， 所以DE ∥AM .连接AM ，易证AM ⊥BC ，因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ， 所以DE ⊥平面BCD .又CD 平面BCD ，所以DE ⊥CD .因为BD ⊥CD ，BD ∩DE ＝D ，所以CD ⊥平面BDE . 因为CD 平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的折叠与展开是高考的一个热点.折叠与展开是互逆过程，在此过程中，要注意几何元素之间数量关系与位置关系是变化了，还是不变，这是解题的关键所在.如图1-7(1)，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，F 为AD 中点，E 在BC 上，且EF∥AB ，已知AB ＝AD ＝CE ＝2，现沿EF 把四边形CDFE 折起如图1-7(2)，使平面CDFE ⊥平面ABEF .图1-7(1)求证：AD∥平面BCE；(2)求证：AB⊥平面BCE；(3)求三棱锥C-ADE的体积.【精彩点拨】观察折叠前后的平面图形与立体图形，弄清折叠前后哪些元素间的位置关系及数量关系发生了变化，哪些没有发生变化，依据未变化的已知条件求解.【规范解答】(1)证明：由题意知，AF∥BE，DF∥CE，又∵AF⊆/平面BCE，BE平面BCE，∴AF∥平面BCE.同理可证DF∥平面BCE.又∵AF∩DF＝F，∴平面ADF∥平面BCE.又AD平面ADF，∴AD∥平面BCE.(2)证明：在直角梯形ABCD中，∵EF⊥BC，∴折起后，EF⊥EC，EF⊥EB.又∵EF∥AB，∴AB⊥EC，AB⊥EB，EC∩EB＝E，∴AB⊥平面BCE.(3)∵平面CDFE⊥平面ABEF，EF⊥AF，∴AF⊥平面CDFE，∴AF为三棱锥A-CDE的高，且AF＝1.又∵AB＝CE＝2，∴S△CDE ＝12×2×2＝2，∴V C -ADE ＝V A -CDE ＝13S △CDE ·AF ＝23. [再练一题]4.如图1-8所示，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝2AB ＝2a ，BD ＝3a ，AC ∩BD ＝E ，将其沿对角线BD 折成直二面角.求证：(1)AB ⊥平面BCD ； (2)平面ACD ⊥平面ABD .【导学号：39292062】图1-8【证明】 (1)在△ABD 中，AB ＝a ，AD ＝2a ，BD ＝3a ， ∴AB 2＋BD 2＝AD 2， ∴∠ABD ＝90°，AB ⊥BD . 又∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB 平面ABD ， ∴AB ⊥平面BCD .(2)∵折叠前四边形ABCD 是平行四边形，且AB ⊥BD ， ∴CD ⊥BD .由(1)知AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD . ∵AB ∩BD ＝B ，∴CD ⊥平面ABD . 又∵CD 平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABD .系；所谓方程的思想，就是把函数解析式看成一个方程，将变量间的等量关系表达为方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题得以解决.如图1-9所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切.(1)求两球半径之和；(2)球的半径为多少时，两球体积之和最小？图1-9【精彩点拨】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，一般应作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图(2)的截面图，在图(2)中，观察R与r和棱长间的关系即可.【规范解答】(1)如题图(2)，球心O1和O2在AC上，过O1，O2分别作AD，BC的垂线交于E，F.设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R.则由AB＝1，AC＝3，得AO1＝3r，CO2＝3R.∴r＋R＋3(r＋R)＝3，∴R＋r＝33＋1＝3－32.(2)设两球体积之和为V，则V＝43π(R3＋r3)＝43π3－32[(R＋r)2－3rR]＝43π3－32⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫3－322－3R⎝⎛⎭⎪⎫3－32－R＝43π·3－32⎣⎢⎡⎦⎥⎤3R2－3(3－3)2R＋⎝⎛⎭⎪⎫3－322.当R＝3－34时，V有最小值，∴当R＝r＝3－34时，体积之和有最小值.[再练一题]5.已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱.(1)画出圆锥及其内接圆柱的轴截面；(2)求圆柱的侧面积；(3)x为何值时，圆柱的侧面积最大？【解】 (1)圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示.(2)设所求的圆柱的底面半径为r ，它的侧面积S ＝2πr ·x ，因为r R ＝h －x h ，所以r ＝R －R h ·x ，所以S ＝2πRx －2πR h ·x 2，即圆柱的侧面积S 是关于x 的二次函数，S ＝－2πR h x 2＋2πRx .(3)因为S 的表达式中x 2的系数小于0，所以这个二次函数有最大值，这时圆柱的高x ＝－2πR －2·2πR h＝h 2，即当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.1.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【解析】 n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能.【答案】 B2.如图1-10，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()图1-10A.17πB.18πC.20πD.28π【解析】 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图.设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.【答案】 A3.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD.若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α【解析】 A 选项m 、n 也可以相交或异面，C 选项也可以n ⊂α，D 选项也可以n ∥α或n 与α相交.根据线面垂直的性质可知选B.【答案】 B4.某工件的三视图如图1-11所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为( )⎝⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积图1-11A.89πB.827πC.24(2－1)3π D.8(2－1)3π【解析】 由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为1，母线长为3，则高为32－12＝22，设其内接正方体的棱长为x ，则2x 2＝22－x 22，∴x ＝223. ∴V 新工件＝x 3＝16227. 又V 原工件＝13π×12×22＝22π3，∴V 新工件V 原工件＝1622722π3＝89π.故选A. 【答案】 A5.如图1-12，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .图1-12(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积.【解】 (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以AB ⊥PD .因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE .因为PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PED ，故AB ⊥PG .又由已知可得，P A ＝PB ，所以G 是AB 的中点.(2)在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F即为E 在平面P AC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC .又P A ∩PC ＝P ，因此EF⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影.连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝23CG.由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝23PG，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.。
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()(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．观察图中的四个几何体，其中判断正确的是( )．()是圆台．()是棱台．()不是棱柱．()是棱锥解析：图()不是由棱锥截得的，图()的上、下两个面不平行，图()的前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以，，都不正确．答案：．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )．棱台．棱柱．圆台．圆锥解析：先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除，，由正视图和俯视图都是等腰梯形可排除，故选.答案：．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．．．解析：先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解．由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为，下底长为，高为，故面积为＝＝.又棱柱的高为，所以体积＝＝×＝.答案：．分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是( )．异面．相交．相交或异面．平行解析：当过其中一条直线上同一点时，共面相交；相交的交点没有重合情况时，异面．答案：．如图，⊥矩形，下列结论中不正确的是( )．⊥．⊥．⊥．⊥解析：∵⊥面，∴⊥，故正确；∵⊥，∴⊥面，∴⊥，故正确；又⊥面，∴⊥，故正确．只有不正确．答案：．(·长沙高一检测)已知等边三角形的边长为，那么它的平面直观图面积为( )．．解析：底边长为，高为×× °＝，∴＝.答案：．如图，是△的斜边，⊥平面，⊥于点，则图中共有直角三角形的个数是( )．个．个．个．个解析：因为⊥平面，所以⊥.。
北师大版2018-2019学年高中数学必修2全册习题含解析
北师大版高中数学必修二全册同步习题含解析目录第1章立体几何初步 1.1.1习题第1章立体几何初步 1.1.2习题第1章立体几何初步 1.2习题第1章立体几何初步 1.3.1习题第1章立体几何初步 1.3.2习题第1章立体几何初步 1.4.1习题第1章立体几何初步 1.4.2习题第1章立体几何初步 1.5.1.1习题第1章立体几何初步 1.5.1.2习题第1章立体几何初步 1.5.2习题第1章立体几何初步 1.6.1.1习题第1章立体几何初步 1.6.1.2习题第1章立体几何初步 1.6.2习题第1章立体几何初步 1.7.1习题第1章立体几何初步 1.7.2习题第1章立体几何初步 1.7.3习题第1章立体几何初步习题课习题第1章立体几何初步检测习题第2章解析几何初步 2.1.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.2习题第2章解析几何初步 2.1.3习题第2章解析几何初步 2.1.4习题第2章解析几何初步 2.1.5.1习题第2章解析几何初步 2.1.5.2习题第2章解析几何初步 2.2.1习题第2章解析几何初步 2.2.2习题第2章解析几何初步 2.2.3.1习题第2章解析几何初步 2.2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.1-2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.3习题第2章解析几何初步检测习题模块综合检测习题北师大版2018-2019学年高中数学必修2习题01第一章立体几何初步§1简单几何体1.1简单旋转体1.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心答案:D2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析:选项B中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项C中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;选项D中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体.答案:A3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是()A.圆锥B.圆柱C.球D.圆台答案:C4.AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过AB和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是()A.三角形B.矩形C.梯形D.以上都不对解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过AB和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面的交线CD 必过上底面圆心,且CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接A,C(或B,D)两点的线是曲线,不可能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选D.答案:D5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析:如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.答案:D6.点O1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A.13B.23C.14D.19解析:如图所示,由题意知SO1∶SO=1∶3,∴O1B∶OA=1∶3,∴S☉O1∶S☉O=1∶9,故选D.答案:D7.下列说法中错误的是.①过圆锥顶点的截面是等腰三角形;②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形;③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个.答案:②8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面的面积为.解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高为r,所以S=12×2r2=r2.答案:r29.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为30°,母线的长为2,则其底面面积为.解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面ABC,设圆锥的底面半径为r,底面圆心为O.∵△ABC为等腰三角形,∴△ABO为直角三角形.又∠BAO=30°,∴BO=r=1AB=2.∴底面圆O的面积为S=πr2=π2.答案:π10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是1∶4,母线长是10 cm,求这个圆锥的母线长.分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间的关系.解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面的半径分别为x cm,4x cm.作圆锥过轴的截面如图所示.在Rt△SOA中,O'A'∥OA,则SA'SA =O'A'OA,即y-10y =x4x,解得y=403.故圆锥的母线长为40cm.11.圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底面圆周上有一点A,求一个动点P自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程.解:沿圆锥的母线SA将侧面展开,如图所示.则线段AA1就是所求的最短路程.∵弧A1A的长为2πr,SA=3r,设弧A1A所对的圆心角为α,∴απ·3r=2πr,∴α=120°.∴AA1=SA·cos30°×2=3r×3×2=33r,即所求最短路程是33r.1.2简单多面体1.关于棱柱,下列说法正确的是()A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,侧棱也互相平行解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确.答案:D2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长.答案:D3.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图.答案:C5.下列说法正确的个数为()①存在斜四棱柱,其底面为正方形;②存在棱锥,其所有面均为直角三角形;③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析:①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B.答案:B6.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3cm.答案:D7.有下列四个结论:①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③三棱锥的所有面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中正确的有(填正确结论的序号).答案:③④8.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.解析:如图所示,假设以AB边固定进行倾斜,则几何体BB2C2C-AA2D2D一定为棱柱.答案:棱柱9.在侧棱长为23的正三棱锥P−ABC中,∠APB=40°,E,F分别是PB,PC上的点,过点A,E,F作截面AEF,则△AEF周长的最小值是.解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示.则当E,F为AA1与PB,PC的交点时,△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos30°=2×23×3=6.答案:610.把右图中的三棱台ABC-A1B1C1分成三个三棱锥.解:如图所示,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.(本题答案不唯一)11.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).★12.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为设这条最短路线与CC1的交点为N.求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)求PC和NC的长.解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为92+42=97.(2)如图所示,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,则点P旋转到点P1的位置,连接MP1交CC1于点N,则MP1的长等于由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长.设PC=x,则P1C=x.在Rt△MAP1中,由勾股定理,得(3+x)2+22=29,解得x=2,所以PC=P1C=2,又NCMA =P1CP1A=25,所以NC=45.§2直观图1.关于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:根据斜二测画法的规则知,正方形的直观图为平行四边形.答案:B2.水平放置的△ABC,有一条边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析:根据斜二测画法的规则,可知△ABC中有一个角是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:C3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()答案:C4.对于一条边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的()A.2倍B.2C.2D.1解析:由于平行于y轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x'O'y'=45°,设原三角形的面积为S,其直观图的面积为S',则S'=1×2S=2S.答案:B5.一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'B'O',如图所示,若O'B'=1,那么原△ABO的面积是()A.12B.22C.2D.22解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O'A'=22,∴S△AOB=12×1×22= 2.故选C.答案:C6.已知△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,如图所示,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析:由斜二测画法,可知原图形为直角三角形.AC为斜边,D为BC的中点,故AC>AD,故最长线段为AC.答案:D7.一个平面图形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形,如图,则其平面图形的面积为.答案:48.已知正三角形ABC的边长为a,则水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为.解析:图①、图②分别为实际图形和直观图.由图可知A'B'=AB=a,O'C'=1OC=3a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=2O′C′=6a.所以S△A'B'C'=12A′B′·C'D'=12×a×68a=616a2.答案:616a29.在等腰梯形ABCD中,上底边CD=1,AD=CB=2,下底边AB=3,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的面积为.解析:等腰梯形ABCD的高为1,且直观图A'B'C'D'仍为梯形,其高为1sin45°=2,故面积为1×(1+3)×2= 2.答案:2210.画出如图所示放置的直角三角形的直观图.解:画法:(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示);(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示);(3)在x'轴上截取O'A'=OA,O'D'=OD,在y'轴上截取O'C'=12OC,过D'作B'D'∥y'轴,使D'B'=1BD;(4)连线成图(擦去辅助线)(如图③所示).11.用斜二测画法得到一水平放置的Rt△ABC,AC=1,∠ABC=30°,如图所示,试求原三角形的面积.解:如图所示,作AD⊥BC于点D,令x'轴与y'轴的交点为E,则DE=AD,在Rt△ABC中,由∠ABC=30°,AC=1,可知BC=2,AB= 3.由AD⊥BC,AD=DE,可知AD=32,AE=62,由斜二测画法可知,原三角形A'B'C'中,B'C'=BC=2,A'E'=2AE=6,且A'E'⊥B'C',所以S△A'B'C'=1B′C′·A'E'=1×2×6= 6.★12.画水平放置的圆锥的直观图.分析用斜二测画法画水平放置的圆锥的直观图,由于圆锥底面可以看作是水平放置的,因此,只需先画轴,再画底面和高即可.解:(1)画轴,如图所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;(2)画圆锥的底面,画出底面圆的直观图,与x轴交于A,B两点;(3)画圆锥的顶点,在Oz上截取点P,使得PO等于圆锥的高;(4)连线成图,连接P A,PB,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.§3三视图3.1简单组合体的三视图1.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是()解析:截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B.答案:B2.下列各几何体的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①中正方体的三视图均相同;②中圆锥的主视图和左视图相同;③中三棱台的三视图各不相同;④中正四棱锥的主视图和左视图相同.答案:D3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()解析:D选项的主视图为,故不可能是D选项.答案:D4.如图所示,若△A'B'C'为正三角形,与底面不平行,且CC'>BB'>AA',则多面体的主视图为()解析:因为△A'B'C'为正三角形,面A'B'BA向前,所以主视图不可能是A,B,C三个选项,只能是D.答案:D5.“牟台方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是()答案:B6.如图所示,画出四面体AB1CD1三视图中的主视图,若以面AA1D1D为投影面,则得到的主视图为()解析:显然AB1,AC,B1D1,CD1分别投影得到主视图的外轮廓,B1C为可见实线,AD1为不可见虚线.故A正确.答案:A★7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,且F是棱DD1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图应选C.答案:C8.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是,图②是,图③是(填写视图名称).解析:由三视图可知,①为主视图,②为左视图,③为俯视图.答案:主视图左视图俯视图9.如图(a)所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体的中心,则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是图(b)中的(把可能的序号都填上).图(a)图(b)解析:要考虑△P AC在该正方体各个面上的射影,在上、下两个面上的射影是①,在前后左右四个面上的射影是④.答案:①④10.(1)画出如图①所示组合体的三视图;(2)图②所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.图①图②解(1)该组合体是由一个四棱柱和一个圆锥拼接而成,其三视图如图所示.(2)作出三视图如图所示.★11.如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.3.2由三视图还原成实物图1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱台答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.棱台B.棱柱C.棱锥D.以上均不对解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点.答案:A3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析:由俯视图排除B,C选项;由主视图、左视图可排除A选项,故选D.答案:D4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B.答案:B5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.答案:B6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直=2,这就是做成的最大球的半径.三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r=6+8-102答案:B7.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为.解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三.角形,所以左视图的面积为12答案:18.用n个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则n的最大值与最小值之差是.解析:由主视图、左视图可知,正方体个数最少时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;个数最多时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个.故n的最大值与最小值之差是6.答案:69.下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.解由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体构成的组合体,结合左视图和主视图,可知该几何体是由上面一个圆柱、下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.★10.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解由三视图可知其几何体是底面边长为2,高为3的正六棱锥,其直观图如图所示.§4空间图形的基本关系与公理第1课时平面性质1.两个平面重合的条件是()A.有四个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线解析:由两条相交直线确定一个平面知D选项正确.答案:D2.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是()A.l⫋αB.直线l在平面α内C.直线l上只有这两个点在平面α内D.直线l上所有的点都在平面α内答案:C3.有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定1个平面,三条平行直线确定1个或3个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上,故③错误.答案:B4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⫋α;②a∩b=P,b⫋β⇒a⫋β;③a∥b,a⫋α,P∈b,P∈α⇒b⫋α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案:D5.三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在直线与平面BCC'B'之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.答案:A6.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD解析:由题意知,平面ABC与平面β有公共点C,根据公理3,这两平面必定相交,有且只有一条经过C的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内,而点D又在直线l上,所以它又在平面β内,所以点D也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC 与平面β的交线是直线CD.答案:D7.已知点P在平面α外,点A,B,C在平面α内且不共线,A',B',C'分别在P A,PB,PC上,若A'B',B'C',A'C'与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知D,E,F三点共线,故选D.答案:D8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.同理延长PQ交CD延长线于点N,连接NG交DD1于F,连接QF.所以截面PQFGRE为六边形.故选D.答案:D9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线时,能得到一个平面图形.解析:由公理1,2知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形.答案:相交10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交11.过已知直线a外的一点P,与直线a上的四个点A,B,C,D分别画四条直线,求证:这四条直线在同一平面内.证明:如图所示,因为点P在直线a外,所以过直线a及点P可作一平面α,因为A,B,C,D均在a上,所以A,B,C,D均在α内,所以直线P A,PB,PC,PD上各有两个点在α内,由公理2可知,直线P A,PB,PC,PD均在平面α内,故这四条直线在同一平面内.12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体下底面相交于直线l.试画出直线l的位置,并说明理由.解:如图所示,连接DM并延长,交D1A1的延长线于点P',连接NP',则直线NP'即为所求直线l.理由如下: 如图所示,连接DN,∵P'=DM∩D1A1,且DM⫋平面DMN,D1A1⫋平面A1B1C1D1,∴P'∈平面DMN∩平面A1B1C1D1.又N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1,∴由公理3知,直线NP'为平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.第2课时 异面直线所成的角1.若直线a ∥b ,b ∩c=A ,则直线a 与c 的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交答案:D2.在三棱锥A-BCD 中,E ,F ,G 分别是AB ,AC ,BD 的中点,如果AD 与BC 所成的角是60°,那么∠FEG 为( ) A .60° B .30°C .120°D .60°或120° 解析:异面直线AD 与BC 所成的角可能等于∠FEG ,也可能等于∠FEG 的补角.答案:D3.若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( ) A .l 1⊥l 4 B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定解析:因为l 2∥l 3,所以l 1⊥l 3,l 3⊥l 4.实质上就是l 1与l 4同垂直于一条直线,所以l 1⊥l 4,l 1∥l 4,l 1与l 4既不垂直也不平行都有可能成立,故l 1与l 4的位置关系不确定. 答案:D4.如图,在某个正方体的表面展开图中,l 1,l 2是两条面对角线,则在正方体中,l 1与l 2( ) A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为60° D.相交且夹角为60°解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B ,C 两点重合.故l 1与l 2相交,连接AD ,△ABD 为正三角形,所以l 1与l 2的夹角为60°. 答案:D5.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若点E ,F 分别在AB ,AC 上,且AE=13AB ,AF=13AC ,则下列说法正确的是( ) A.EF ⊥BB 1 B.EF ∥A 1B 1 C.EF ∥B 1C 1D.EF ∥AA 1解析:∵AE=1AB ,AF=1AC ,∴EF ∥BC.又ABC-A1B1C1为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1.答案:C6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥cD.分别在两个平面内的直线是平行直线解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:90°9.如图所示,在四棱锥C-ABED中,底面ABED是梯形.若AB∥DE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,∵P,F分别是CE,CD的中点,∴PF∥ED,且PF=1ED.2又AB∥ED,且DE=2AB,∴AB∥PF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,∴BP∥AF.答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E是PC上不重合的两点,F,H分别是P A,PB上的点,且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线.证明∵P A∩PC=P,∴P A,PC确定一个平面α.∵E∈PC,F∈P A,∴E∈α,F∈α,∴EF⫋α.∵D∈PC,∴D∈α,且D∉EF.又PB∩α=P,H∈PB,且点H与点P不重合,∴H∉α,DH∩α=D,且DH与EF不相交,于是直线EF和DH是异面直线.★11.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且AE=BF=1,EF=5,求AB和CD所成的角的大小.解如图所示,过点E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,所以AEED =BOOD,所以BOOD=BFFC,所以OF∥CD.所以∠EOF或其补角是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=2AB=2,OF=1CD=1,又EF=5,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.★12.在梯形ABCD中(如图①所示),AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.。
2018秋新版高中数学北师大版必修2习题模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).点()与点()的中点坐标是().() .().() .()解析:由中点坐标公式得,中点坐标为,即(),故选.答案.直线与直线垂直,则实数().解析:因为两直线垂直,所以×,即,故选.答案.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.那么能保证该直线与平面垂直的是().①③.①②.②④.①④解析:根据线面垂直的判定定理可知①③满足,故选.答案.已知直线⊥平面α,直线⫋平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒⊥;②α⊥β⇒∥;③∥⇒α⊥β;④⊥⇒α∥β.其中正确的有().①②.③④.②④.①③解析:①正确,因为⊥α,α∥β⇒⊥β,又⫋β,故⊥;②错误,直线与的关系不确定;③正确,因为⊥α∥⇒⊥α,又⫋β,故由面面垂直的判定定理可知命题正确;④两平面也可能相交.故选.答案.过点()且与直线平行的直线方程为()解析:设所求直线方程为,因为点()在直线上,所以×()×,解得,故所求直线方程为,故选.答案.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()ππππ由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为×××π××π.故选.答案.已知是空间不共面的四个点,且⊥⊥,则直线与().垂直.平行.相交.位置关系不确定过点作⊥面,垂足为,连接并延长,分别交与于点,连接.因为⊥⊥,所以⊥平面,所以⊥,同理⊥.所以为△的垂心,所以⊥,所以⊥.故选.答案.圆与圆的位置关系是().相离.外切.内切.相交解析:圆,即()(),表示以()为圆心,以为半径的圆.圆,即()(),表示以()为圆心,以为半径的圆.两圆的圆心距<<,故两圆相交,故选.答案.将直线λ沿轴向左平移个单位长度,所得直线与相切,则实数λ的值为()或或或或解析:将直线平移后得到()λλ,由题意可知,该圆圆心为(),则,解得λ或λ,故选.。
2017-2018学年北师大版高中数学必修2全册同步检测试题【含解析】
2017-2018学年北师大版高中数学必修2全册同步检测试题一、选择题1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2 D．32．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成()A．一个圆台和两个圆锥B．两个圆台和一个圆锥C．两个圆柱和一个圆锥D．一个圆柱和两个圆锥3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()4．以下几何体中符合球的结构特征的是()A．足球B．篮球C．乒乓球D．铅球5．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题6．直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成．7．给出下列四个命题：①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．其中正确命题的序号是________．8．圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是310 cm，则它的轴截面的面积是______．三、解答题9．如图，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD∥AE，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．答案1. 解析：选B根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．2. 解析：选D把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体．3. 解析：选A图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．4. 解析：选D因为球包括球面及球体内部(即实心)．而足球、篮球、乒乓球都是中空的，可视为球面，铅球是球体，符合球的结构特征．5. 解析：选D轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)．6. 解析：所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的．答案：两个圆锥7. 解析：①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)．②正确，如图(2)．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．答案：②8. 解析：画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)， ∴S 四边形ABCD ＝(4＋10)×92＝63(cm 2)． 答案：63 cm 29. 解：将直线段AB ，BC ，CD 及曲线段DE 分别绕AE 所在的直线旋转，如下图中的左图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．10. 解：②是圆锥，圆面AOB 是圆锥的底面，SO 是圆锥的高．SA ，SB 是圆锥的母线． ③是圆柱，圆面A ′O ′B ′和圆面AOB 分别为上、下底面．O ′O 为圆柱的高，A ′A 与B ′B 为圆柱的母线．①不是圆柱，④不是圆锥．一、选择题1．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．观察图中四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)是棱台B．(2)是圆台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱5．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是()A．底面为平行四边形的四棱柱B．五棱锥C．无平行平面的六面体D．斜三棱柱二、填空题6．在正方体上任意选择四个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．7．下列四个命题：(1)棱柱的两底面是全等的正多边形；(2)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(3)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(4)四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确的序号是________．8．用铁丝作一个三角形，在三个顶点分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也可用铁丝连成一个三角形，从而获得一个几何模型，如果筷子长度相等，那么这个几何体可能是____________．三、解答题9．指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成．10．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．答案1. 解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．2. 解析：选D解答本题要看所给的四种棱锥中能否使所有的棱长都相等．3. 解析：选D如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．4. 解析：选C图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．5. 解析：选D如图，正三棱锥A-BEF和正四棱锥B-CDEF的一个侧面重合后，面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱．6. 解析：如图所示，①显然可能；②不可能；③如四面体A′AB′D′满足条件；④如四面体A′BC′D满足条件；⑤如四面体A′ABC满足条件．答案：①③④⑤7. 解析：(1)棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形；(2)，(3)都不能保证侧棱与底面垂直；(4)易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确．答案：(4)8. 解析：在该模型中已知一面为三角形，则根据筷子的位置情况，判断即可．答案：三棱柱或三棱台9. 解：分割原图，使它们每一部分都是简单几何体．(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体．(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体．10. 解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.一、选择题1．下列说法中正确的个数是()①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1B．2C．3 D．42．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是如图所示中的()3．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是()A．16B．64 C．16或64D．都不对4．如图，直观图所表示(A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.24a2 B.433a2C.34a2D．22a2二、填空题5．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．8．如图所示是水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原△ACB中，∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．三、解答题9．画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm、2 cm，高为2 cm)．10.用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形ABC，AC＝1，∠ABC＝30°，如图所示，试求原图的面积．答案1. 解析：选B只有③④正确．2. 解析：选D正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3. 解析：选C当其中在x′轴上的边长为4时，正方形面积为16；当其中在y′轴上的边长为4时，正方形面积为64.4. 解析：选D由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′，∠A′C′B′＝45°知对应的平面图形为直角三角形．5. 解析：选D 由题意知，平行四边形的直观图为对应在直角坐标系下的图形为：∴平行四边形的面积为S ′＝2×12×a ×22a ＝22a 2.6. 解析：在直观图中，A ′B ′C ′O ′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，∴B ′到x ′轴的距离为22. 答案：227. 解析：由于直观图中，∠A ′C ′B ′＝45°，则在原图形中∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边AB ＝5，故斜边AB 上的中线长为2.5. 答案：2.58. 解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD 长度相等的线段，把△ABC 还原后为直角三角形，则D 为斜边AC 的中点，∴AD ＝DC ＝BD .答案：29. 解：(1)画轴，以底面△ABC 的垂心O 为原点，OC 所在直线为y 轴，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以上底面△A ′B ′C ′的垂心O ′与O 的连线为z 轴，建立空间坐标系． (2)画下底面，在xOy 平面上画△ABC 的直观图，在y 轴上量取OC ＝33 cm ，OD ＝36cm.过D 作AB ∥x 轴，且AB ＝2 cm ，以D 为中点，连接AC 、BC ，则△ABC 为下底面三角形的直观图．(3)画上底面，在z 轴上截取OO ′＝2 cm ，过O ′作x ′轴∥x 轴，y ′轴∥y 轴，在y ′轴上量取O ′C ′＝36 cm ，O ′D ′＝312cm ，过D ′作A ′B ′∥x ′轴，A ′B ′＝1 cm ，且以D ′为中点，则△A ′B ′C ′为上底面三角形的直观图．(4)连线成图，连接AA ′，BB ′，CC ′，并擦去辅助线，则三棱台ABC －A ′B ′C ′，即为所要画的三棱台的直观图(如图)．10. 解：如图(1)所示，作AD ⊥BC 于D ，在BD 上取一点E 使DE ＝AD ，由AC ＝1，可知BC ＝2，AD ＝32，AE ＝62， 由斜二测画法(如图(2))可知B ′C ′＝BC ＝2，A ′E ′＝2AE ＝6， ∴S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′E ′＝12×2×6＝ 6.(1) (2)一、选择题1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为()A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台2．(湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.32B．1C.2＋12 D. 23．三棱柱ABC-A1B1C1，如下图所示，以BCC1B1的前面为正前方画出的三视图，正确的是()4．(福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱5．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为( )A.32B.23 C ．12 D ．6 二、填空题6．如图所示，为一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．8．如图(1)，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1和面BCC 1B 1的中心，则四边形BED 1F 在该正方体的面上的射影可能是图(2)中的________(要求：把可能的图的序号都填上)．三、解答题9．如图所示，图②是图①中实物的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的左视图．10．某建筑由若干个面积相同的房间组成，其三视图如下，其中每一个小矩形表示一个房间．(1)该楼有几层？共有多少个房间？ (2)画出此楼的大致形状．答 案1. 解析：选D 由主视图和左视图可以判断一定为棱台或圆台，又由俯视图可知其一定为棱台且为四棱台．2. 解析：选D 由已知，正方体的正视图与侧视图都是长为2，宽为1的矩形，所以正视图的面积等于侧视图的面积，为 2.3. 解析：选A 正面是BCC 1B 1的矩形，故主视图为矩形，左侧为△ABC ，所以左视图为三角形，俯视图为两个有一条公共边的矩形，公共边为CC 1在面ABB 1A 1内的投影．4. 解析：选D 球的三视图是三个相同的圆；当三棱锥为正三棱锥时其三视图可能是三个全等的三角形；正方体的三视图可能是三个相同的正方形；不论圆柱如何放置，其三视图形状都不会完全相同．5. 解析：选A 由主视图、左视图、俯视图之间的关系可以判断该几何体是一个底面为正六边形的正六棱锥．∵主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，此三角形的高为3，∴左视图的高为 3.俯视图中正六边形的边长为1，其小正三角形的高为32，∴左视图的底为32×2＝3， ∴左视图的面积为12×3×3＝32.6. 解析：由三视图可知该几何体图示为所以，其上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．答案：圆锥圆柱7. 解析：其俯视图如图所示时为小正方体个数最多情况(其中小正方形内的数字表示小正方体的个数)共需7个小正方体.答案：78. 解析：根据平行投影的理论，从正方体的上下、前后、左右三个角度分别投影，从上往下投影，选择②，从前往后投影，选择②，从左往右投影，选择③.答案：②③9. 解：图①是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误．俯视图应该画出不可见轮廓(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．10. 解：(1)由主视图和左视图可知，该楼共3层，由俯视图可知，该楼一楼有5个房间，结合主视图与左视图，易知二楼和三楼分别有4个，1个房间，故共10个房间．(2)此楼的大致形状如图：一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作()A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβC．A b，bβD．A b，b∈β3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR4．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4 C．5 D．65．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上二、填空题6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE 是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．答案1. 解析：选B若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB 与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．2. 解析：选B∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A ∈b，bβ.3. 解析：选C∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.4. 解析：选C如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5. 解析：选A因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．6. 解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．答案：1或47. 解析：观察图形可知①③错误，②④正确．答案：②④8. 解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④9. 证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10. 证明：①无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．一、选择题1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交2．如图所示，在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有()A．2对B．3对C．4对D．6对3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是()A．5 B．10 C．12 D．不能确定5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是() A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交二、填空题6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相反．7．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则直线a 与直线c 的位置关系是________． 8．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线 ②直线AM 与BN 是平行直线 ③直线BN 与MB 1是异面直线 ④直线AM 与DD 1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)． 三、解答题9．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点．(1)求证：D 1E ∥BF ； (2)求证：∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF ，HG ，AC 交于一点．答案1. 解析：选D a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A 矛盾，而a与c异面、相交都有可能．2. 解析：选B据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC，CP与AB，BP与AC.3. 解析：选B由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4. 解析：选B如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 12BD，FG12BD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5. 解析：选D若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．6. 解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17. 解析：如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8. 解析：由异面直线的定义知③④正确． 答案：③④9. 证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM A 1B 1，∵A 1B 1C 1D 1，∴EMC 1D 1，∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MBC 1F ，∴四边形BFC 1M 为平行四边形， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10. 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ＝λ，故EHλBD .同理FGμBD .由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交． 设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .一、选择题1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交2．空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．平行或相交3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是()A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交4．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列结论中正确的个数是()①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βA．1 B．2C．3 D．45．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．相交或平行二、填空题6．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．7．三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD 的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.三、解答题9．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B的中点，求证：ME∥平面A′CD.10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点．求证：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.答案1. 解析：选D若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.2. 解析：选A如图所示，在平面ABC内，因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以AC∥EF.又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，所以AC∥平面DEF.3. 解析：选A作出如图所示的正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.4. 解析：选A①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n 确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．5. 解析：选D当M与D 1重合时，∵DD1∥A1A，DD1面AA1C1C，AA1面AA1C1C，∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交．6. 解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.答案：27. 解析：如图，取BC中点F，连SF.∵G为△ABC的重心，∴A，G，F共线且AG＝2GF.又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.又SF 平面SBC，EG平面SBC，∴EG∥平面SBC.答案：EG∥平面SBC8. 解析：∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段FH9. 证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG，GD，∵M ，G 分别是A ′B ，A ′C 的中点，∴MG 12BC ， 同理DE12BC ，∴MG DE ，∴四边形DEMG 是平行四边形， ∴ME ∥DG . 又ME平面A ′CD ，DG 平面A ′CD ，∴ME ∥平面A ′CD .10. 证明：(1)如图所示，连接SB .∵E ，G 分别是BC ，SC 的中点， ∴EG ∥SB .又∵SB平面BDD 1B 1，EG 平面BDD 1B 1，∴EG ∥平面BDD 1B 1.(2)∵F ，E 分别是DC ，BC 的中点，∴FE ∥BD .又∵BD平面BDD 1B 1，FE 平面BDD 1B 1，∴FE ∥平面BDD 1B 1.又EG ∥平面BDD 1B 1，且EG 平面EFG ，EF平面EFG ，EF ∩EG ＝E ，∴平面EFG∥平面BDD 1B 1.一、选择题1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，aβ，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b 的位置关系是()A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行3．下列说法正确的个数为()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1 B．2C．3 D．44．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC 于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()A．2∶5B．3∶8C．4∶9 D．4∶255．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α，则()A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与α相交二、填空题6．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．7．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.8．如图所示，直线a ∥平面α，点A 在α另一侧，点B ，C ，D ∈a .线段AB ，AC ，AD 分别交α于点E ，F ，G .若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.三、解答题9．如图，棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．10．在底面是平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，如图，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ，证明你的结论．答 案1. 解析：选C a ∥α，a 与α内的直线没有公共点，所以，a 与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b 平行的直线与a 平行，α内与b 相交的直线与a 异面．2. 解析：选D 如图：∵a ∥b ，且a γ，b γ，∴a ∥γ， ∵a α且α∩γ＝c ，∴a ∥c ，∴b ∥c .3. 解析：选B 易知①④正确，②不正确；③若α∥β、a β，则a 与α平行，故③不正确．4. 解析：选D 由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ， 从而S △A ′B ′C ′S △ABC＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝⎝⎛⎭⎫252＝425. 5. 解析：选B 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故 △ABC 中至少有一边平行于α.6. 解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.答案： 27. 解析：∵MN ∥平面AC ，PQ ＝平面PMN ∩平面AC ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3.答案：22a 38. 解析：A ∉a ，则点A 与直线a 确定一个平面，即平面ABD . 因为a ∥α，且α∩平面ABD ＝EG ， 所以a ∥EG ，即BD ∥EG .所以AF AC ＝AE AB ，又EG BD ＝AE AB ，所以AF AC ＝EG BD .于是EG ＝AF ·BD AC ＝5×45＋4＝209.答案：2099. 解：设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，。
高中数学(北师大版)必修2 阶段质量检测(二) Word版含解析
阶段质量检测（二）（时间90分钟 满分120分）一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．方程x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0表示的圆的圆心为( )A ．(2,4)B ．(－2，－4)C ．(－1，－2)D ．(1,2)2．当m 为何值时，经过A (m,1)，B (－1，m )的直线与过P (1,2)，Q (－5,0)的直线平行( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－23．(陕西高考)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定4．方程x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0表示的图形是( )A ．一个圆B ．只有当a ＝0时，才表示一个圆C ．一个点D ．a 、b 不全为0时，才表示一个圆5．(辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是 ( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝06．如图，在正方体OABC O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1)B.⎝⎛⎭⎫2，2，23 C.⎝⎛⎭⎫2，2，13 D.⎝⎛⎭⎫2，2，437．不论a 为何实数，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于 ( )A ．3 3B ．23 C. 3 D ．19．两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．过直线x ＝－72上一点P 分别作圆C 1：x 2＋y 2＝1和圆C 2：(x －1)2＋y 2＝9的切线，切点分别为M 、N ，则|PM |与|PN |的大小关系是( )A ．|PM |＞|PN |B ．|PM |＜|PN |C ．|PM |＝|PN |D ．不能确定二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．经过点(m,3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．12．(北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________．13．圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝________.14．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________．三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0.求：(1)直线l 的方程；(2)直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .16．(本小题满分12分)△ABC 的顶点A 的坐标为(1,4)，∠B ，∠C 平分线的方程分别为x －2y ＝0和x ＋y －1＝0，求BC 所在直线的方程．17．(本小题满分12分)已知直线l 1：x －y －1＝0，直线l 2：4x ＋3y ＋14＝0，直线l 3：3x ＋4y ＋10＝0，求圆心在直线l 1上，与直线l 2相切，截直线l 3所得的弦长为6的圆的方程．18．(本小题满分14分)圆C ：x 2＋y 2－x －6y ＋F ＝0与直线l ：x ＋2y －3＝0交于两点P 、Q ，且OP ⊥OQ ，求F 的值．答案1．解析：选C 方程x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0配方后可化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4，∴圆心为(－1，－2)，半径为2.2．解析：选A 由斜率公式得k PQ ＝2－01－(－5)＝13， k AB ＝1－m m －(－1)＝1－m 1＋m . ∵AB ∥PQ ，∴k AB ＝k PQ ，∴1－m 1＋m ＝13，解得m ＝12. 3．解析：选B 由点M 在圆外，得a 2＋b 2＞1，∴圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＜1＝r ，则直线与圆O 相交． 4．解析：选D 原方程配方后可化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2＋b 2.当a ＝b ＝0时，它表示(0,0)点；当a 、b 不全为零时，表示以(－a,0)为圆心，半径为a 2＋b 2的圆．5．解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．6．解析：选D 易知B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，∴E 点的竖坐标z ＝23×2＝43， ∴E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，2，43. 7．解析：选D 由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，6－3x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， ∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．8．解析：选B 圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝1，圆的半径为2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.9．解析：选B 由x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0，得(x －3)2＋(y ＋8)2＝121.圆心(3，－8)，半径11.由x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0，得(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，圆心(－2,4)，半径8，圆心矩d ＝25＋144＝169＝13，3＜d ＜19，∴两圆相交，公切线条数为2.10．解析：选C 由圆的性质可知点P 、C 1、M 与点P 、C 2、N 分别构成直角三角形，设P ⎝⎛⎭⎫－72，y 0， ∴|PM |＝|PC 1|2－r 21＝ ⎝⎛⎭⎫－722＋y 20－12＝ y 20＋454， |PN |＝|PC 2|2－r 22＝ ⎝⎛⎭⎫－72－12＋y 20－32＝ y 20＋454， 显然|PM |＝|PN |.11．解析：由题意知直线l 的斜率存在设为k ，由斜率公式k ＝m －32－m，l 与斜率为－4的直线垂直， ∴－4·k ＝－1，即－4·m －32－m ＝－1，解得m ＝145. 答案：14512．解析：圆心(0,2)到直线y ＝x 的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径为2，所以所求弦长为222－(2)2＝2 2.答案：2213．解析：由题意得直线kx －y ＋4＝0经过圆心C ，由x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0可知圆心为C ⎝⎛⎭⎫－12，3， 所以－k 2－3＋4＝0. 解得k ＝2.答案：214．解析：圆心为(－1,2)．设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0，由点到直线的距离公式，得 |3×(－1)＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2， 解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0.答案：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝015．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2. 则点P 的坐标是(－2,2)，由于所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2.故所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)由直线l 的方程知它在x 轴，y 轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1. 16．解：该题求直线方程的条件不明显，如果能联想到初中平面几何有关角平分线的知识，就可以发现点A 关于∠B ，∠C 平分线的对称点都在BC 所在直线上，所以只要求出这两个对称点，利用两点式即可求出BC 所在直线的方程．过点A 与直线x －2y ＝0 垂直的直线的斜率为－2，所以其方程为y －4＝－2(x －1)，将它和x －2y ＝0联立成方程组可求得垂足的坐标为⎝⎛⎭⎫125，65， 该垂足是点A 与点A 关于直线x －2y ＝0的对称点A ′的中点，所以可得点A ′的坐标⎝⎛⎭⎫195，－85. 同理可求得点A 关于直线x ＋y －1＝0的对称点A ″的坐标为(－3，0)．由于点A ′⎝⎛⎭⎫195，－85，点A ″(－3,0)均在BC 所在的直线上， ∴直线BC 的方程为y －0－85－0＝x ＋3195＋3， 即4x ＋17y ＋12＝0，∴BC 所在直线的方程为4x ＋17y ＋12＝0.17．解：设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ，则点C 到直线l 2的距离d 1＝|4a ＋3(a －1)＋14|5＝|7a ＋11|5. 点C 到直线l 3的距离d 2＝|3a ＋4(a －1)＋10|5＝|7a ＋6|5. 由题意，得⎩⎨⎧ |7a ＋11|5＝r ，⎝⎛⎭⎫|7a ＋6|52＋32＝r 2.解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25.18．解：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立题目中圆和直线的方程并消去y ，有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －6y ＋F ＝0，y ＝3－x 2，⇒5x 2＋2x ＋4F －27＝0. 根据根与系数的关系，有⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－25，x 1·x 2＝4F －275，根据题意，有PO ⊥OQ⇒y 1x 1·y 2x 2＝－1⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0 ⇒x 1x 2＋3－x 12·3－x 22＝0 ⇒5x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝0⇒5×4F －275－3×⎝⎛⎭⎫－25＋9＝0 ⇒F ＝215.。
2017_2018学年高中数学学业分层测评1含解析北师大版选修2_12017100321
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列语句不是命题的有()①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗？②2x－1＞3.③7＋6＝14.④两直线平行内错角相等．A．①②B．①③C．②④D．①②③【答案】 A2．若命题p的逆命题是假命题，则下列判断一定正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题【解析】一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B.【答案】 B3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形【解析】此命题可改为“若一个四边形是平行四边形则它的对角线互相平分，也互相垂直”，故结论为选项C.【答案】 C4．在下列命题中，真命题是()A．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．若x∈R，则x2＋3＜0D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题【解析】“相似三角形的对应角相等”是真命题，又因为原命题与逆否命题为等价命题，故选D.1【答案】 D5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．【答案】 C二、填空题6．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题．【导学号：32550002】【解析】根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．【答案】否7．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况既可)【解析】该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用各部分的知识．部分可能情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x,2x－3等．【答案】x轴－3－log2x8．给定下列命题：①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．【解析】①Δ＝4＋4k∵k＞0，∴Δ＞0方程有实根，故①为真命题．②，④易判断为真命题．③对角线相等的四边形有可能是梯形．【答案】①②④三、解答题9．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称．【解】(1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．2(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题．10．分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；(2)四条边相等的四边形是正方形．【解】找出原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题．(1)逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0；否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除；逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.逆命题和否命题是假命题，原命题和逆否命题是真命题．(2)原命题可以改写成：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等．原命题和逆否命题是假命题，逆命题和否命题是真命题．[能力提升]1．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④【解析】①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等”，是假命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；④“不等边三角形的三个内角相等”是假命题，其逆否命题是假命题．【答案】 C2．若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是() A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定【解析】p，q互为逆否命题，又q的逆命题是r，故p、r为互否命题．3【答案】 B3．下列说法正确的是________．①“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y全不为零”．②“正多边形都相似”的逆命题是真命题．1③“若x－3 是有理数，则x是无理数”的逆否命题是真命题．2【解析】①中否命题：“若x2＋y2≠0则x，y不全为0”，故是错误的．②中逆命题：“若两个多边形相似，则这两个多边形是正多边形”，是假命题，故此说法错误．1③中逆否命题：“若x不是无理数，则x－3 不是有理数”，是真命题，故说法正确．2【答案】③14．若方程x2＋2px－q＝0(p，q是实数)没有实数根，则p＋q< .4(1)判断上述命题的真假，并说明理由．(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．【解】(1)上述命题是真命题，由题意，得方程的判别式Δ＝4p2＋4q<0，得q<－p2，1 1 1(p－2 )2＋≤，∴p＋q<p－p2＝－4 41∴p＋q< .41(2)逆命题：如果p，q是实数，p＋q< ，则方程x2＋2px－q＝0没有实数根．逆命题是假41命题，如当p＝1，q＝－1时，p＋q< ，但原方程有实数根x＝－1.44。
2017-2018学年北师大版高中数学必修二课时作业检测模块提升卷(A)Word版含答案
化工企业述职报告1500字10篇精选栏目推选：“化工企业述职报告”。
光阴不待人，匆匆不回头。
对于职场人来说，撰写述职报告并不陌生，述职报告一定要树立一个明确的鲜明的主题。
如何让自己的岗位的述职报告看起来条理清晰呢？编辑经过搜集和处理，为你提供化工企业述职报告，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
化工企业述职报告【篇1】20xx年x月xx日，这是一个不一样的日子，从此我正式进入xx 集团xx化工厂聚合干燥分厂，开始了自己真正意义上成为一个产业工人的日子。
这里对于刚出校门初涉世事的我来说，一切都是那么好奇、新鲜。
如今半年转瞬离去，我已经成为这里的正式员工，为生产的正常运行出着自己的绵薄之力。
下面对这半年的工作进行一下总结，并计划一下明年的工作。
一、学习方面这里和学校是完全不同的，学生时代，我们可以一知半解，这里绝对不行。
学校的学习是以应付考试为主要目的的，你可以不太懂，但必须要记住，因为你要把它填在试卷上才能得到分数。
而这里，你必须达到百分之一百的理解，任何一个操作有问题，都是关乎生产，关乎安全甚至关乎生命的大事，不可有半点差错。
学员的学习期为三个月，这期间我学到了很多。
在师傅的带领和指导下，我认识了很多新事物，这包括理论知识，工艺流程以及设备的用途和工作原理，弥补了在学校时一知半解的知识。
最重要的是交给了我很多学校学不到的知识——实际操作，这是我走的收获。
我认识了各种不同的阀门，了解了不同类型的离心泵，知道了水环式压缩机的工作原理，认识了现场和远传压力表，液位计，温度计。
了解了压缩岗位的重点设备和巡检注意事项，这些都是弥足珍贵的。
安全是关乎自己和他人生命和财产的，安全知识就像一剂汤药，有病治病，无病防身，这是最重要的。
我学会了三不伤害，设备检修禁令，动火操作禁令，个人安全防护设备的使用方法等。
同时我也明白了一个道理——“山外有山、人外有人”，所以不能满足于现状，应该时刻鞭策自己努力奋进，不断学习新的知识，才不会故步自封。
2017-2018学年高中数学北师大必修1：阶段质量检测(二)+函+数+Word版含解析
阶段质量检测（二） 函 数(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是( )A ．{0,2,3}B ．{1,2,3}C ．{－3,5}D ．{－3,5,9}解析：选D 注意到题目中的对应关系，将A 中的元素－1代入得－3,3代入得5,5代入得9，故选D.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＜1，－2x ＋3，x ≥1，则f (f (2))＝( )A ．－7B ．2C ．－1D ．5解析：选B f (2)＝－2×2＋3＝－1， f (f (2))＝f (－1)＝(－1)2＋1＝2.3．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )f (－x )是奇函数 B ．f (x )|f (－x )|是奇函数 C ．f (x )－f (－x )是偶函数D ．f (x )＋f (－x )是偶函数解析：选D 由函数奇、偶性的定义知D 项正确． 4．函数y ＝x 12－1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )解析：选B y ＝x 12的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y＝x 12－1的图像可看作由y ＝x 12的图像向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝x 12－1的图像关于x 轴对称后即为选项B.5．函数f (x )＝9－x 2x 的图像关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称解析：选B f (x )的定义域为[－3,0)∪(0,3]关于原点对称，且f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图像关于原点对称．6．下列表示函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈(0，1]的图像正确的是( )解析：选A 当x ＝－1时，y ＝0，即图像过点(－1,0)，显然D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图像过点(0,1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图像过点(1,2)，B 错，所以选A.7．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，则有( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．c ≥0D ．c ≤0解析：选A 作出函数y ＝x 2＋bx ＋c 的简图，对称轴为x ＝－b2.因该函数在[0，＋∞)上是单调函数，故对称轴只要在y 轴及y 轴左侧即可，故－b2≤0，所以b ≥0.8．对于定义域为R 的奇函数f (x )，下列结论成立的是( ) A ．f (x )－f (－x )＞0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )·f (－x )＞0解析：选C f (－x )＝－f (x )， 则f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0.9．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98解析：选A 由f (x ＋4)＝f (x )，得f (7)＝f (3)＝f (－1)．又∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2.∴f(7)＝－2.故选A.10．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，那么() A．f(2)＜f(1)＜f(4) B．f(1)＜f(2)＜f(4)C．f(2)＜f(4)＜f(1) D．f(4)＜f(2)＜f(1)解析：选A由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函数f(x)的对称轴为x＝2.由二次函数f(x)开口方向，可得f(2)最小，又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)．在x＜2时，y＝f(x)为减函数，∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．11．若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(3)＝0，则f(x)＋f(－x)2x＜0的解集为()A．(－3,3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：选C∵f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)，故f(x)＋f(－x)2x＜0可化为f(x)x＜0，而f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(3)＝0，故当x＞3时，f(x)＜0，当－3＜x＜0时，f(x)＞0，故f(x)x＜0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．12.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0＜a＜12)、4 m，不考虑树的粗细．现在用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图像大致是()解析：选C 设CD ＝x m ，则AD ＝(16－x )m ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧16－x ＞a ，x ＞4，解得4＜x ＜16－a ，矩形花圃的面积S ＝x (16－x )，其最大值f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧64， 0＜a ＜8，－a 2＋16a ，8≤a ≤12，故其图像为C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知二次函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是________．解析：由题意知，m －2＝0，即m ＝2. 答案：214．已知函数满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R)，则下列各式恒成立的是________． ①f (0)＝0；②f (3)＝3f (1)；③f ⎝⎛⎭⎫12＝12f (1)； ④f (－x ) ·f (x )＜0.解析：①令x ＝y ＝0，则f (0)＝0成立； ②f (2)＝2f (1)，f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1) ＝3f (1)恒成立；③f ⎝⎛⎭⎫12＋12＝2f ⎝⎛⎭⎫12.∴f ⎝⎛⎭⎫12＝12f (1)成立． ④当x ＝0时不成立． 答案：①②③15.设函数y ＝f (x )是偶函数，它在[0,1]上的图像如图，则它在[－1,0]上的解析式为________．解析：∵函数y ＝f (x )过(1,1)，(0,2)，y ＝f (x )是偶函数，∴函数y ＝f (x )过(0,2)，(－1,1)．设y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝b ，1＝－k ＋b .∴k ＝1.∴y ＝x ＋2.答案：f (x )＝x ＋2(－1≤x ≤0)16．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝________.解析：f(x)的图像的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)的图像的顶点坐标为(a－2，－4a ＋12)，并且f(x)与g(x)的图像的顶点都在对方的图像上，如图所示，所以A－B＝－4a－4－(－4a＋12)＝－16.答案：－16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(－1,0)上的单调性并加以证明．解：(1)函数f(x)是偶函数．定义域是R，∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．(2)函数f(x)在(－1,0)上单调递增．证明：当x∈(－1,0)时，f(x)＝x2＋2x.设－1＜x1＜x2＜0，则x1－x2＜0，且x1＋x2＞－2，即x1＋x2＋2＞0.∵f(x1)－f(x2)＝(x21－x22)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)在(－1,0)上单调递增．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4x2－kx－8.(1)若函数y＝f(x)在区间[2,10]上单调，求实数k的取值范围；(2)若y ＝f (x )在区间(－∞，2]上有最小值－12，求实数k 的值． 解：易得函数f (x )＝4x 2－kx －8的图像的对称轴为x ＝k8.(1)若y ＝f (x )在区间[2,10]上单调递增，则k8≤2，解得k ≤16；若y ＝f (x )在区间[2,10]上单调递减，则k8≥10，解得k ≥80.所以实数k 的取值范围为(－∞，16]∪[80，＋∞)． (2)当k8≤2，即k ≤16时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫k 8＝－12， 解得k ＝8或k ＝－8，符合题意；当k8＞2，即k ＞16时，f (x )min ＝f (2)＝－12， 解得k ＝10，不符合题意． 所以实数k 的值为8或－8.19．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，对任意a ，b ∈[－1,1]，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b＞0.(1)若a ＞b ，试比较f (a )与f (b )的大小； (2)解不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12＜f ⎝⎛⎭⎫2x －14. 解：(1)若a ＞b ，则a －b ＞0，依题意有f (a )＋f (－b )a ＋(－b )＞0成立．∴f (a )＋f (－b )＞0.又∵f (x )是奇函数，∴f (a )－f (b )＞0，即f (a )＞f (b )． (2)由(1)可知f (x )在[－1,1]上是增函数，则不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －12≤1，－1≤2x －14≤1，x －12＜2x －14，解得－14＜x ≤58.20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)，满足条件f (1＋x )＝f (1－x )，且方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的值域． 解：(1)∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴－b2a＝1，又方程f (x )＝x 有等根⇔ax 2＋(b －1)x ＝0有等根， ∴Δ＝(b －1)2＝0⇒b ＝1⇒a ＝－12，∴f (x )＝－12x 2＋x .(2)由(1)知f (x )＝－12(x －1)2＋12.显然函数f (x )在[1,2]上是减函数， ∴x ＝1时，y max ＝12，x ＝2时，y min ＝0，∴x ∈[1,2]时，函数的值域是⎣⎡⎦⎤0，12. 21．(本小题满分12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13＜2. 解：(1)在f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1， 则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13＜2＝f (6)＋f (6)，∴f (3x ＋9)－f (6)＜f (6)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＜f (6)．∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＞0，x ＋32＜6，解得－3＜x ＜9.即不等式的解集为(－3,9)．22．(本小题满分12分)小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3 h 后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s (单位：km)与离家的时间t (单位：h)的函数关系式为s (t )＝－5t (t －13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h 的速度沿原路返回．(1)求这天小张的车所走的路程s (单位：km)与离家时间t (单位：h)的函数解析式； (2)在距离小张家60 km 处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间． 解：(1)依题意得，当0≤t ≤3时，s (t )＝－5t (t －13)，∴s (3)＝－5×3×(3－13)＝150.即小张家距离景点150 km ，小张的车在景点逗留时间为16－8－3＝5(h)．∴当3＜t ≤8时，s (t )＝150，小张从景点回家所花时间为15060＝2.5(h)，故s (10.5)＝2×150＝300.∴当8＜t ≤10.5时，s (t )＝150＋60(t －8)＝60t －330.综上所述，这天小张的车所走的路程s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－5t (t －13)，0≤t ≤3，150，3＜t ≤8，60t －330，8＜t ≤10.5.(2)当0≤t ≤3时，令－5t (t －13)＝60得t 2－13t ＋12＝0，解得t ＝1或t ＝12(舍去)，当8＜t ≤10.5时，令60t －330＝2×150－60＝240，解得t ＝192.故小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17点30分．。
2018高中数学学业分层测评18北师大版2-1Word版
学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C ．2 2D ．2 3【解析】 双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，点P (2,0)到渐近线的距离为|2b |a 2＋b 2＝2，所以a 2＝b 2，所以双曲线的离心率为2，故选A. 【答案】 A2．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3【解析】 设A ，B 两点的坐标分别为(x ，y A )，(x ，y B )，将x ＝c ＝2代入渐近线方程y ＝±3x 得到y A ，y B ，进而求|AB |.由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.【答案】 D3．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1【解析】 由双曲线的性质利用排除法求解．由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A 、B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C.【答案】 C4．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m ＞0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2【解析】 分别表示出e 1和e 2，利用作差法比较大小． 由题意e 1＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ，离心率e 2＝a ＋m2＋b ＋m 2a ＋m 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2.因为b ＋m a ＋m －b a ＝m a －ba a ＋m，且a ＞0，b ＞0，m ＞0，a ≠b ， 所以当a ＞b 时，m a －b a a ＋m ＞0，即b ＋m a ＋m ＞ba.又b ＋m a ＋m ＞0，ba＞0， 所以由不等式的性质依次可得⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2,1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，即e 2＞e 1；同理，当a ＜b 时，m a －ba a ＋m＜0，可推得e 2＜e 1.综上，当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2.【答案】 D5．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C.3＋12D ．5＋12【解析】 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，不妨设一个焦点为F (c,0)，虚轴端点为B (0，b )，则k FB ＝－b c .又渐近线的斜率为±b a，所以由直线垂直关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ·b a＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－ba显然不符合，即b 2＝ac ，又c 2－a 2＝b 2，所以c 2－a 2＝ac ，两边同除以a 2，整理得e2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)． 【答案】 D 二、填空题6．过双曲线x 24－y 23＝1的左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为________．【解析】 |MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝|MF 2|＋|NF 2|－(|MF 1|＋|NF 1|)＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|)＝2a ＋2a ＝4a ＝8.【答案】 87．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点．若C 上存在点P, 使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．【解析】 根据题意建立a ，c 间的联系，再利用离心率公式计算．不妨设F (－c,0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c,2b )．又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝ca＝ 5. 【答案】58．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为3，则a ＋b ＝________.【导学号：32550089】【解析】 由于点P (a ，b )在右支上，所以a －b >0. 又∵|a －b |2＝3，∴a －b ＝6，又∵a 2－b 2＝1，∴a ＋b ＝a 2－b 2a －b ＝16＝66.【答案】66三、解答题9．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．【解】 (1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1，所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝6， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝|PF 1|－|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积． 【解】 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.[能力提升]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点为F 1，F 2，且C 上的点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5 【解析】 由双曲线的定义可得2a ＝||PF 2→|－|PF 1→||＝1，所以a ＝12；因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以(2c )2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝25，解得c ＝52.所以此双曲线的离心率为e ＝c a＝5.故D 正确．【答案】 D2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.【答案】 D3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，y 2b 2－x 2a 2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．【解析】 由已知得e 1＝a 2＋b 2a ，e 2＝a 2＋b 2b ，则e 1＋e 2＝a 2＋b 2a ＋a 2＋b 2b＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝2 2.【答案】 2 24．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4105，3105在双曲线的右支上，且|PF 1|＝3|PF 2|，PF 1→·PF 2→＝0，求双曲线的标准方程．【解】∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝3|PF2|，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a . 又PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －4105，－3105，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －4105，－3105， ∵PF 1→·PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41052－c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31052＝0， ∴c 2＝10.又|PF 2|＝a ，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －41052＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31052＝a 2.∴a 2＝4， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 26＝1.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
2017-2018学年高中数学必修2阶段质量检测一 含答案 精
阶段质量检测（一）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．下列命题中，正确的是( )A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱答案：D2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A．(1)是棱台B．(2)是圆台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱答案：C3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形为( )答案：A4．下列说法正确的是( )A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线答案：C5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A．16πB．20πC．24πD．32π答案：C6．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12 D ．1答案：A7.如图所示是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图所示；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图所示；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图所示．其中命题正确的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：A8．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3答案：B9．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．1∶3 D ．1∶4答案：B10．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.答案：412．(四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案：3313．圆台的母线长扩大到原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n，那么它的侧面积为原来的______倍．答案：114.一块正方形薄铁片的边长为 4 cm ，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm 3.答案：153π 三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ′.圆锥的高h ＝ 42－22＝23，又∵h ′＝3， ∴h ′＝12h .∴r 2＝23－323，∴r ＝1.∴S 表面积＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πrh ′ ＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π.16．(本小题满分12分)有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一个圆台体，问容器中水的高度为多少．解：作出圆锥和球的轴截面(如右图所示)，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则r ＝Rtan 30°＝3R ，l ＝2r ＝23r ， h ＝3r ＝3R ，∴V 水＝π3r 2h －4π3R 3＝π3·3R 2·3R －4π3R 3＝5π3R 3. 球取出后，水形成一个圆台，设圆台上底面半径为r ′，高为h ′，则下底面半径r ＝3R ，h ′＝(r ′－r ′) tan 60°＝3(3R －r ′)，∴5π3R 3＝π3h ′(r 2＋r ′2＋rr ′)， ∴5R 3＝3(3R －r ′)(r ′2＋3Rr ′＋3R 2)， ∴5R 3＝3(33R 3－r ′3)， 解得r ′＝343R ＝6163R ，∴h ′＝(3－312)R .17．(本小题满分12分)将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成底面为长方形的棱柱，如图，设这个长方体底面的一条边长为x ，对角线长为2，底面的面积为A .(1)求面积A 以x 为自变量的函数式． (2)求出截得棱柱的体积的最大值．解：(1)横截面如图，由题意得A＝x·4－x2(0＜x＜2)．(2)V＝x·4－x2·1＝－x2－2＋4，由(1)知0＜x＜2，∴当x2＝2，即x＝2时，V max＝2.18．(本小题满分12分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体．(1)画出该几何体的三视图；(2)求出该几何体的表面积．解：(1)(2)下底圆面积S1＝25π，台体侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，锥体侧面积S3＝π×2×22＝42π，故表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋42)π.19．(本小题满分12分)如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．S半球＝8π，S 圆台侧＝35π，S 圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为68π cm 2. 由V 圆台＝13×(π×22＋π×22π×52＋π×52)×4＝52π，V 半球＝43π×23×12＝163π，所以，所求几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)． 20．(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及其相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为： h 2＝ 42＋42＝4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2.(B 卷 能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．给出下列命题：①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；③有两个面互相平行，其余各个面都是梯形的多面体是棱台；④圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B ①错误．如将两个三棱锥叠放在一起就可以构成一个各面都是三角形的几何体，但不是三棱锥；②中的棱锥若为六棱锥，那么它的各条棱长均相等，底面是正六边形，是正六棱锥，而正六棱锥的侧棱长必定大于底面边长，矛盾，所以②不正确；棱台的各条侧棱延长后必交于一点，而③中的多面体未必具有此特征，所以③不正确；④正确．故选B.2．将右图所示的一个直角三角形ABC (∠C ＝90°)绕斜边AB 旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的( )解析：选B 由题目可知，旋转的图形为两个圆锥的组合体，且同底面，故其正视图为B 选项所对应的图形．3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且它的体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )解析：选C 由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体为柱体，且其高为1，设其底面积为S ，则由V ＝Sh ＝12得S ＝12，所以选C.4．已知水平放置的△ABC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A. 3 B ．2 2 C.32D.34解析：选A 可知△ABC 中，BC ＝2，高AO ＝ 3.∴S ＝12×2×3＝3，故选A.5．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的全面积是( ) A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2解析：选A ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于22a ， ∴S 全＝34a 2＋3×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝3＋34a 2. 6．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A ．120° B ．150° C ．180°D ．240°解析：选C 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，依题意，πrl ＋πr 2＝3πr 2，∴l ＝2r ，∴侧面展开图扇形的弧度数为θ＝2πr l ＝2πr2r＝π.故选C.7．作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱的半径之比是( )A ．2∶1B ．2∶3 C.2∶1D.3∶2解析：选A 实质是正三角形外接圆半径与其内切圆半径之比，如图，R r ＝RR sin 30°＝2. 8．已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 的高与球O 直径相等，则它们的体积之比V 圆柱∶V 球＝( )A.12 B ．1 C.32D.43解析：选C 设圆柱的高为h ，底面圆半径为r ，球的半径为R .由题意，r ＝R ，h ＝2R ，所以V 圆柱＝h πR 2＝2πR 3，V 球＝43πR 3.则V 圆柱：V 球＝32.9.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C．菱形D．一般的平行四边形解析：选C 将直观图还原得▱OABC，∵O′D′＝2O′C′＝2 2 cm，OD＝2O′D′＝4 2 cm，C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cm，OC ＝CD2＋OD2＝22＋422＝6(cm)，OA＝O′A′＝6 cm＝OC，故原图形为菱形．10．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是( )解析：选B 由三视图可知该几何体为下面是圆柱、上面为圆台的组合体，当向容器中匀速注水后，容器中水面的高度h先随时间t匀速上升，当充满圆柱后变速上升且越来越快．故选B.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆的面积为2π，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为3，体积为33π.答案：3 3π12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个侧放的圆柱，底面半径为1，高为5，则该几何体的体积V ＝Sh ＝πr 2h ＝5π.答案：5π13．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是________；表面积是________．解析：由三视图可得其中一个四棱锥S ABCD 的直观图如图所示，则该几何体的体积为V ＝2×13×2×2×2＝823，由OE ＝1，SO ＝2得SE ＝3，则三角形SBC 的面积为3，所以该几何体的表面积为8 3.答案：8238 314．如图已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析： 在该几何体的上面，再补一个倒立的同样几何体，则构成底面半径为r ，高为a ＋b 的圆柱．∴其体积为12πr 2(a ＋b )．答案：πr2a ＋b2三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)已知正三棱锥V ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解： (1)直观图如图所示：(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.16．(本小题满分12分)一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2，求：(1)圆台的体积；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图)．由已知可得上底半径O 1A＝2 cm ，下底半径OB ＝5 cm.又因为腰长为12 cm ， 所以高为AM ＝122－－2＝315(cm)．∴V ＝3915π cm 3.(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，∴l ＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.17．(本小题满分12分)据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比．解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h ， 圆锥的底面半径为r ，高为h ，则V 圆锥＝13πr 2h ，球的半径为r ，所以V 球＝43πr 3.又h ＝2r ，所以V 圆锥∶V 球∶V 圆锥＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13πr 2h ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3∶()πr 2h＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23πr 3∶⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3∶(2πr 3)＝1∶2∶3. 18．(本小题满分12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积．解：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图如图，其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，所以该平面图形的面积为S ＝12·3a ·3a ＝3a 22.(3)设这个正六棱锥的底面积是S ，体积为V ， 则S ＝6×34a 2＝332a 2， 所以V ＝13×332a 2×3a ＝3a32.19．(本小题满分12分)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内过点C 作l ⊥CB ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积和体积．解：在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°， ∴CD ＝BC －ADcos 60°＝2a ，AB ＝CD sin 60°＝3a ， ∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a .由于以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a ，底面半径2a ，圆锥的母线长2a ，底面半径a ， ∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2， 圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2， 圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2， 圆锥的底面积S 4＝πa 2，∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋2S 3－S 4＝43πa 2＋2πa 2＋4πa 2×2－πa 2＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh ＝π(2a )2·3a ＝43πa 3.V 锥＝13S ′h ＝13π·a 2·3a ＝33πa 3. ∴旋转体的体积V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3. 20．(本小题满分12分)如图，正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′BC′D的体积．解：(1)∵ABCDA′B′C′D′是正方体，∴六个面都是正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝2a，∴S三棱锥＝4×34×(2a)2＝23a2，S正方体＝6a2，∴S三棱锥S正方体＝33.(2)显然，三棱锥A′ABD，C′BCD，DA′D′C′，BA′B′C′是完全一样的，∴V三棱锥A′BC′D＝V正方体4V A′ABD＝a3－4×13×a22×a＝a3 3.。
2018秋新版高中数学北师大版必修2习题：模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是()A.(4,2,2)B.(2,-1,2)C.(2,1,1)D.(4,-1,2)解析:由中点坐标公式得,中点坐标为(1+32,4-22,-3+52),即(2,1,1),故选C.答案:C2.直线y=kx与直线y=2x+1垂直,则实数k=()A.2B.-2C.12D.-12解析:因为两直线垂直,所以k×2=-1,即k=-12,故选D.答案:D3.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.那么能保证该直线与平面垂直的是()A.①③B.①②C.②④D.①④解析:根据线面垂直的判定定理可知①③满足,故选A.答案:A4.已知直线l⊥平面α,直线m⫋平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确的有()A.①②B.③④C.②④D.①③解析:①正确,因为l⊥α,α∥β⇒l⊥β,又m⫋β,故l⊥m;②错误,直线l与m的关系不确定;③正确,因为l⊥α,l∥m⇒m⊥α,又m⫋β,故由面面垂直的判定定理可知命题正确;④两平面也可能相交.故选D.答案:D5.过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0平行的直线方程为()A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0解析:设所求直线方程为2x-3y+m=0,因为点(-1,2)在直线上,所以2×(-1)-3×2+m=0,解得m=8,故所求直线方程为2x-3y+8=0,故选D.答案:D6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为1×22×4×π+2×2×4=16+8π.故选A.2答案:A7.已知A,B,C,D是空间不共面的四个点,且AB⊥CD,AD⊥BC,则直线BD与AC()A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定过点A作AO⊥面BCD,垂足为O,连接BO,CO并延长,分别交CD与BD于F,E点,连接DO.因为AB⊥CD,AO⊥CD,所以CD⊥平面AOB,所以BO⊥CD,同理DO⊥BC.所以O为△BCD的垂心,所以CO⊥BD,所以BD⊥AC.故选A.答案:A8.圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是()A.相离B.外切C.内切D.相交。
高中数学(北师大版)必修2 阶段质量检测(一) Word版含解析
阶段质量检测（一）（时间：分钟满分：分）一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)．(陕西高考)将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为( )．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )．异面．相交．相交或异面．平行或异面．如图，在正方体-中，若是的中点，则直线垂直于( )．．．．．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )．π．π ．π．π．设，是两条直线，α、β是两个平面，则下列命题正确的是( )．若∥，∥α，则∥α．α∥β，∥α，则∥β．若α⊥β，⊥β，则⊥α．若⊥，⊥α，⊥β，则α⊥β．如图，设是正方形外一点，且⊥平面，则平面与平面、平面的位置关系是( )．平面与平面、平面都垂直．它们两两垂直．平面与平面垂直，与平面不垂直．平面与平面、平面都不垂直．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为，体积为，则这个球的表面积是( ) ．π ．π．π ．π．如图，在上、下底面对应边的比为∶的三棱台中，过上底面一边作一个平行于对棱的平面，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为( )．∶．∶．∶．∶．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )．如图，平面α⊥平面β，∈α，∈β，与两平面α、β所成的角分别为和，过、分别作两平面交线的垂线，垂足为′、′，则∶′′＝( )．∶．∶．∶．∶二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上)．过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有个．．(安徽高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．。
(北师大版)高中数学必修2检测2 阶段质量评估 Word版含解析
()(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．过两点(－，)，()的直线倾斜角是°，则的值是( )．．－．－．解析：由＝＝°＝，解得＝.答案：．以()和(－)为端点，线段的中垂线方程是( )．＋＋＝．－＋＝．＋＋＝．－－＝解析：的中点(－)，＝＝，中垂线的斜率＝－.的中垂线方程为－＝－(＋)，即＋＋＝.答案：．若以点(－)为圆心的圆与直线－＋＝没有公共点，则圆的半径的取值范围为( )．．()．(，) 解析：设圆心到直线的距离为，则＝＝.若直线与圆没有公共点，则＜＜，故选.答案：．若直线：＝＋(＜)与圆：(＋)＋(－)＝相切，则直线与圆：(－)＋＝的位置关系是( )．相切．相交．相离．不确定解析：依题意，直线与圆相切，则＝，解得＝±.因为＜，所以＝－，于是直线的方程为＋－＝.圆心()到直线的距离＝＝＜，所以直线与圆相交，故选.答案：．点在圆：＋(＋)＝上，点在圆：(＋)＋(－)＝上，则的最大值为( )．．．．解析：可得(，－)，＝，(－)，＝＝＝.∴的最大值为＋＋即.答案：．过原点且倾斜角为°的直线被圆＋－＝所截得的弦长为( )．．解析：由题意得直线方程＝，即－＝.圆方程＋(－)＝.圆心到直线的距离是＝＝.∴弦长＝＝.答案：．圆(－)＋(＋)＝关于直线＝对称的圆的方程是( )．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(－)＋(－)＝．(＋)＋(－)＝解析：∵(，－)关于＝对称的点为()，∴所求圆的方程为(－)＋(－)＝.答案：．已知点(，)是直线＝－上一动点，与是圆：＋(－)＝的两条切线，，为切点，则四边形的最小面积为( )．．解析：由题意知，圆的圆心为()，半径为，故＝＋.又四边形＝×××＝，故当最小时，四边形的面积最小，此时最小，又的最小值即为点到直线的距离＝＝，此时＝，故四边形面积的最小值为.故选.答案：．在平面直角坐标系中，圆的方程为＋(－)＝，若直线＋＋＝上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是( )．．解析：依题意，圆的圆心为()，半径＝.若直线＋＋＝上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则存在∈，使得≤＋成立，即≤，解得≤，故选.答案：．一束光线从点(－)出发，经轴反射到圆：(－)＋(－)＝上的最短路程是( )．．－．．解析：关于轴的对称点′(－，－)，则′＝＝.∴所求最短路程为－＝.答案：二、填空题(本大题共个小题，每小题分，共分．请把正确答案填在题中横线上)．如图，长方体－′′′′中，＝，＝，′＝，′′与′′交于，则点的坐标为．。
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修2 模块综合检测
模块综合检测(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·临沂高一检测)过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为( ) A．6 B．1 C．2 D．42．(2016·温州高一检测)直线y－2＝mx＋m经过一定点，则该点的坐标为( )A．(－1,2) B．(2，－1)C．(1,2) D．(2,1)3．在空间直角坐标系中，点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于( )A.14B.13 C．2 3 D.114．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．x－2y＋3＝05．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交6．动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( )A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝167．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A．72π B．48π C．30πD．24π8．(2015·浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.( ) A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m9．设长方体的长，宽，高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( ) A.285 B.125 C.85 D.2511．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0 12．(2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2016·宁波高一检测)若直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.14．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．15．(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ，有如下三个结论． ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角． 说法正确的命题序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l1与l2相交于点(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.18．(本小题满分12分)(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1 E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．19．(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a>0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0, 4)，设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；(2)设点P在⊙E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在？若存在求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG . 22．(本小题满分12分)(2015·广东高考)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．答案1．解析：选A 由题意知k AB ＝m ＋4－2－3＝－2，∴m ＝6.2．解析：选A 将直线方程化为y －2＝m (x ＋1)，则当x ＝－1时，y ＝2，即直线过定点(－1,2)． 3．解析：选B 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影为B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13.4．解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.5．解析：选D 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交． 6．解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得： 2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.7．解析：选C 根据三视图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π.8．解析：选A A 中，由面面垂直的判定，故正确；选项B 中，当α⊥β时，l ，m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，l ∥β时，α、β可以相交；选项D 中，α∥β时，l ，m 也可以异面，故选A.9．解析：选B 由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R ＝4a 2＋a 2＋a 2，解得R ＝62a ，所以球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2. 10．解析：选B 直线l 1的斜率k ＝－a3，l 1∥l ，又l 过P (－2,4)，∴l 的直线方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0.又直线l 与圆相切， ∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4，∴l 1与l 的距离为d ＝125.11．解析：选A 圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0，故选A. 12．解析：选B 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为12×4πr 2＋πr ×2r ＋πr 2＋2r ×2r ＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，解得r ＝2，故选B.13．解析：由两直线平行的条件A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，3a －2a ≠0，得a ＝±1.答案：±114．解析：直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，当切点为(2，－1)时，半径最大为(2－1)2＋(－1－0)2＝2，此时圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝215．解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为r2，∴|5|32＋42＝r2，∴r ＝2. 答案：2 16．解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC 是直二面角A -BD -C 的平面角，∴∠AEC＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．答案：①②17．解：(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)，所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×(－1)－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1，所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.18．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝⎛⎭⎫79也正确. 19．证明：(1)∵B 1C 1CB 为正方形，∴E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1中点，∴DE 为△B 1AC 的中位线，∴DE ∥AC ，又DE ⊄平面A 1C 1CA ，AC ⊂平面A 1C 1CA ，∴DE ∥平面AA 1C 1C .(2)在直三棱柱中，平面ACB ⊥平面B 1C 1CB ，又平面ACB ∩平面B 1C 1CB ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，且AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面B 1C 1CB ， ∴AC ⊥BC 1，又B 1C 1CB 为正方形， ∴B 1C ⊥BC 1，AC ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面ACB 1，又AB 1⊂平面ACB 1，∴BC 1⊥AB 1.20．解：(1)直线CD 的方程为y ＝x ＋4，圆心E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，半径r ＝22a . 由题意得⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋42＝22a ，解得a ＝4. (2)∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，需⊙E 的半径2a2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50. 21．解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD -EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG .又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ， 于是四边形BCHE 为平行四边形， 所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH . 又BE ∩BG ＝B ， 所以平面BEG ∥平面ACH .(3)证明：连接FH ，与EG 交于点O ，连接BD . 因为ABCD -EFGH 为正方体， 所以DH ⊥平面EFGH .因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG .又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面BFH D. 又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG . 同理DF ⊥BG . 又EG ∩BG ＝G ， 所以DF ⊥平面BEG .22．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴＝0.又∵＝(3－x ，－y )，＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．(3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C 的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，化简得(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0， 其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2， 其中53<x ≤3.若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝⎛⎦⎤53，3，∴k ＝±34满足条件． 当Δ>0时，①若x ＝3是方程的解，则f (3)＝0⇒k ＝0⇒另一根为x ＝0<53，故在区间⎝⎛⎦⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．②若x ＝53是方程的解，则f ⎝⎛⎭⎫53＝0⇒k ＝±257⇒另外一根为x ＝6423，53<6423≤3，故在区间⎝⎛⎦⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．③若x ＝3和x ＝53均不是方程的解，则方程在区间⎝⎛⎭⎫53，3上有且仅有一个根，只需f ⎝⎛⎭⎫53·f (3)<0⇒－257<k <257.故在区间⎝⎛⎦⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． 综上所述，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪－257，257时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点．。
2017_2018学年高中数学时期质量检测二北师大版必修1
14．已知f(x)是概念在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝1＋ ，那么f(x)的解析式为________．
三、解答题(本大题共4小题，总分值50分．解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤)
15．(本小题总分值12分)已知函数f(x)＝x2＋2(1－2a)x＋6在(－∞，－1)上为减函数．
6．(山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x) ＝x2＋ ，那么f(－1)＝( )
A．2 B．1 C．0 D．－2
7．min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，那么f(x)的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8．设函数f(x)＝ 若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，那么关于x的方程f(x)＝x的解的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．函数y＝f(x)在(0,2)上是减函数，且关于x的函数y＝f(x＋2)是偶函数，那么( )
A．f ＜f(3)＜f
B．f ＜f(3)＜f
C．f(3)＜f ＜f
D．f(3)＜f ＜f
10．国家规定个人稿费纳税方法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部份的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一书共纳税420元，那个人的稿费为( )
A．(1,3)B．(1,1)
C．(3,1)D.
3．假设函数f(x)＝ 则f(f(1))等于( )
A．2 B．4 C．1 D．3
4．函数f(x)＝ 的概念域是( )
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
北师大版数学高一必修2检测2阶段质量评估
(A)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，则m 的值是( ) A ．－1 B ．3 C ．1D ．－3解析： 由k AB ＝m －4－2－m ＝tan 45°＝1，解得m ＝1.答案： C2．以A (1,3)和B (－5,1)为端点，线段AB 的中垂线方程是( ) A ．3x －y ＋8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0解析： AB 的中点(－2,2)，k AB ＝3－11＋5＝13，中垂线的斜率k ＝－3. AB 的中垂线方程为y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0. 答案： B3．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，255 B ．⎝⎛⎭⎫0，355C ．(0，5)D ．(0,25) 解析： 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0＜r ＜255，故选A. 答案： A4．若直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：依题意，直线l与圆C相切，则|－2k－1＋1|k2＋1＝2，解得k＝±1.因为k＜0，所以k＝－1，于是直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝|2＋0－1|2＝22＜3，所以直线l与圆D相交，故选A.答案： A5．点P在圆C1：x2＋(y＋3)2＝4上，点Q在圆C2：(x＋3)2＋(y－1)2＝9上，则|PQ|的最大值为()A．5 B．10C．7 D．8解析：可得C1(0，－3)，r1＝2，C2(－3,1)，r2＝3.|C1C2|＝32＋42＝5.∴|PQ|的最大值为5＋r1＋r2即10.答案： B6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A. 3 B．2C. 6 D．2 3解析：由题意得直线方程y＝3x，即3x－y＝0.圆方程x2＋(y－2)2＝4.圆心到直线的距离是d＝23＋1＝1.∴弦长|AB|＝24－1＝2 3.答案： D7．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝2关于直线y＝0对称的圆的方程是()A．(x＋3)2＋(y－4)2＝2 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝2C．(x＋4)2＋(y－3)2＝2 D．(x－3)2＋(y－4)2＝2解析：∵(3，－4)关于y＝0对称的点为(3,4)，∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.答案： D8．已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上一动点，PM与PN是圆C：x2＋(y－1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为()A.43B．23C.53D．56解析： 由题意知，圆C 的圆心为C (0,1)，半径为1，故|PC |2＝|PN |2＋1.又S 四边形PMCN ＝2×12×|PN |×1＝|PN |，故当|PN |最小时，四边形PMCN 的面积最小，此时|PC |最小，又|PC |的最小值即为点C 到直线的距离d ＝5(22)2＋1＝53，此时|PN |＝43，故四边形PMCN 面积的最小值为43.故选A.答案： A9．在平面直角坐标系中，圆M 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－34，0 B ．⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤0，34 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，34 解析： 依题意，圆M 的圆心为M (0,4)，半径r ＝2.若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则存在x ∈R ，使得|MP |≤2＋2成立，即|4m ＋2|m 2＋1≤4，解得m ≤34，故选D.答案： D10．一束光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程是( )A ．32－1B ．2 6C ．4D ．5解析： A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)， 则|A ′C |＝(2＋1)2＋(3＋1)2＝5.∴所求最短路程为5－1＝4. 答案： C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．如图，长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝4，|OD ′|＝5，B ′D ′与A ′C ′交于P ，则点P 的坐标为________．解析： 由已知可得B ′的坐标为(3,4,5)， D ′的坐标为(0,0,5)，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，2，5. 答案： ⎝⎛⎭⎫32，2，512．两圆x 2＋y 2＝1，(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________. 解析： 由a 2＋16＝6，得a ＝±2 5.由a 2＋16＝4，得a ＝0.答案： 0，±2 513．如果直线ax ＋3y ＋2＝0与直线3ax －y －2＝0垂直，那么a ＝________. 解析： 若两直线垂直，则3a 2－3＝0，∴a ＝±1. 答案： ±114．若圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0的过点P (－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n ＝________.解析： 圆方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25， ∴圆心C 为(2，－3)，∴过点P 的最大弦长为直径10.当弦垂直于CP 时弦长最短， |CP |＝32＋32＝3 2.∴最短弦长为225－(32)2＝27，即m ＝10，n ＝27， ∴m －n ＝10－27. 答案： 10－27三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程；(2)对角线BD所在直线的方程．解析：(1)k BC＝2，∵AD∥BC，∴k AD＝2.∴直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0.(2)k AC＝－65，∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴k BD＝5 6，而AC中点(1,1)，也是BD的中点，∴直线BD的方程为y－1＝56(x－1)，即5x－6y＋1＝0.16．(本小题满分12分)(1)求平行于直线3x＋4y－12＝0，且与它的距离是7的直线的方程；(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1,0)的距离是3510的直线的方程．解析：(1)由题意可设所求直线的方程为3x＋4y＋m＝0由两平行线间的距离得|m＋12|5＝7，解得m＝23或m＝－47，故所求直线的方程为3x＋4y＋23＝0或3x＋4y－47＝0.(2)由题意可设所求直线的方程为3x－y＋n＝0，由点到直线的距离得|n－3|10＝3105，解得n＝9或n＝－3.故所求直线的方程为3x－y－3＝0或3x－y＋9＝0.17．(本小题满分13分)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线I交圆C 于A、B两点．(1)当I经过圆心C时，求直线I的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线I的方程．解析：(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1,0)，因直线过点P、C，所以直线I的斜率为2，直线I的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)当弦AB被点P平分时，I⊥PC，直线I的方程为y－2＝－12(x－2)，即x＋2y－6＝0.18．(本小题满分13分)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解析： (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x p ，y p )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x p ＝x ，y p ＝5y4，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝25， 即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，整理得x 2－3x －8＝0， ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴线段AB 的长度为 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1625(x 1－x 2)2 ＝4125×41＝415. (B)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析： 过点(1,2)，(4,2＋3)的直线的斜率k ＝(2＋3)－24－1＝33，由k ＝tan α得直线的倾斜角α＝30°.答案： A2．直线l 过点P (－1,2)，且倾斜角为45°，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析： 直线l 的斜率为k ＝tan 45°＝1，则由直线的点斜式方程得直线l 的方程为y －2＝1×[x －(－1)]，化为一般式方程为x －y ＋3＝0.答案： D3．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B ． 2 C. 3D ．2解析： l 1与l 2之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2＝|1－(－1)|2＝2，故选B.答案： B4．若点(1，a )到直线x －y ＋1＝0的距离是322，则实数a 为( ) A ．－1 B ．5 C ．－1或5 D ．－3或3解析： 由已知得|1－a ＋1|12＋(－1)2＝322，则a ＝5或－1. 答案： C5．若直线(m －2)x ＋y －4＝0的倾斜角α是钝角，则m 的取值范围是( ) A ．m >－2 B ．m >2 C ．m <－2D ．m <2解析： ∵直线倾斜角为钝角， ∴斜率小于零， ∴2－m <0， ∴m >2. 答案： B6．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0解析：设直线方程为x－2y＋m＝0，把(－1,3)代入得－1－2×3＋m＝0，∴m＝7.故直线方程为x－2y＋7＝0.答案： A7．在同一坐标系中，能正确表示直线y＝ax＋b和y＝bx＋a的图像的是()解析：在选项A中，一条直线的斜率与在y轴上的截距均大于零，即ab>0，而另一条直线的斜率大于零，但在y轴上的截距小于零，即ab<0，这与ab>0矛盾，所以A可以排除．同理可知，在选项B中，一条直线的斜率与在y轴上的截距均小于零，即ab>0，而另一条直线的斜率大于零，但在y轴上的截距等于零，即ab＝0，这与ab>0矛盾，所以B可以排除．在选项C中，一条直线的斜率与在y轴上的截距均小于零，即ab>0，而另一条直线的斜率大于零，但在y轴上的截距小于零，即ab<0，这与ab>0矛盾，所以C可以排除．答案： D8．点M(4，－3,5)到x轴的距离为()A．4 B．34C．5 2 D．41解析：如下图所示，MA⊥面xOy，AB⊥x轴，则|MB|＝52＋(－3)2＝34.答案： B9．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x20＋y20＝4，连线中点坐标为(x，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案： B10．圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆方程为x 2＋y 2－1＝0，则实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．±2解析： 即两圆的圆心C 1⎝⎛⎭⎫a 2，－1与C 2(0,0)关于直线x －y －1＝0对称，∴a ＝2. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上) 11．从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向这个圆引切线，则切线长为________． 解析： 圆心Q (1,1)，∴切线长l ＝|PQ |2－12＝(2－1)2＋(3－1)2－1＝2.答案： 212．在经过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程为________．解析： 经过A (－3,1)所有直线中，与原点的距离最远的是与OA 垂直的直线，k OA ＝－13，所以k ＝3，故所求直线方程为y －1＝3(x ＋3)，即3x －y ＋10＝0.答案： 3x －y ＋10＝013．若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a 的值为________．解析： 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则有a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，原方程变为2x 2＋2y 2＋2x ＋1＝0，配方得2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋2y 2＝－12，不表示圆；当a ＝－1时，原方程变为x 2＋y 2－2x －1＝0，配方得(x －1)2＋y 2＝2，它表示以(1,0)为圆心，2为半径的圆．答案： －114．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积等于________．解析： 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－32(x －2)2＋(y ＋3)2＝9可得5x 2－10x －11＝0，∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x 1x 2＝－115 ∴|EF |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4又由点到直线距离公式，得d O －EF ＝35， ∴S △OEF ＝655. 答案：655三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求经过直线l 1：2x ＋3y －5＝0，l 2：3x －2y －3＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，3x －2y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝1913，y ＝913，由平行于2x ＋y －3＝0可得直线的斜率为－2， ∴直线方程为y －913＝－2⎝⎛⎭⎫x －1913， 即26x ＋13y －47＝0.16．(本小题满分12分)已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)．求(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．解析： (1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－32，k AC ＝1.∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0， x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B (7，－7)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0得C (－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程为2x ＋3y ＋7＝0.(2)∵|BC |＝117，A 点到BC 边的距离d ＝1513， ∴S △ABC ＝12×d ×|BC |＝12×1513×117＝452. 17．(本小题满分13分)求过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与y ＝x 相切的圆的方程．解析： 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xx 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0 得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0，因为圆与y ＝x 相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，则λ＝3，故所求圆的方程为x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝0.18．(本小题满分13分)已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．解析： 设圆B 的半径为r .∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.①∵圆A 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，②∴②－①得两圆的公共弦方程为(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理，得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋215≥215.∴当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215.。
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阶段质量检测（一）
（时间：90分钟满分：120分）
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)
1．(陕西高考)将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为( )
2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A．异面B．相交
C．相交或异面D．平行或异面
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE 垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A．9πB．10πC．11πD．12π
5．设a，b是两条直线，α、β是两个平面，则下列命题正确的是( ) A．若a∥b，a∥α，则b∥α
B．α∥β，a∥α，则a∥β
C．若α⊥β，a⊥β，则a⊥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
6．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB 与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16πB．20π。