高考数学小题强化专练2
2022版优化方案高考数学(山东专用·理科)二轮复习小题分类练(二) Word版含答案
小题分类练(二) 推理论证类(建议用时：50分钟)1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x2．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2021·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称4．若a >b >0，c <d <0，则肯定有( ) A.a d >b c B.a d <b c C.a c >b d D.a c <b d5．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·AB →＝|AB →|2，则( ) A ．△ABC 是锐角三角形 B ．△ABC 是直角三角形 C ．△ABC 是钝角三角形 D ．△ABC 的外形不能确定6．(2021·济南质量监测)若tan (α＋45°)<0，则下列结论正确的是( ) A ．sin α<0 B ．cos α<0 C ．sin 2α<0 D ．cos 2α<0 7．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论肯定正确的是( ) A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定8．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．(2021·潍坊调研)观看等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°·cos 45°＝34，…，由此得出以下推广命题，不正确的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin 2(α－15°)＋cos 2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3410．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数；②若log m 3＜log n 3＜0，则0＜n ＜m ＜1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2，log 3（x －1），x ＞2，则方程f (x )＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可推断乙去过的城市为________．12．数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，A n 表示{a n }的前n 项之积，则A 2 016的值为________． 13．(2021·东营模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g (x )的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称．而函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称．若f (m )＝－1，则m 的值是________．14．(2021·安丘模拟)观看下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，依据上述规律，第n 个等式为________．15．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出全部正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.小题分类练(二) 推理论证类1．解析：选D.对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ，由于 f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以 y ＝e x－e －x 为奇函数，故选D.2．解析：选D.特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0 ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0 a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．3．解析：选B.由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4，所以A ，C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，所以B 正确，D 错误．4．解析：选B.法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，bd ＝－1，排解选项C ，D ； 又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <b c， 所以选项A 错误，选项B 正确．故选B.法二：由于c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1－c>0.又a >b >0，所以a －d >b －c，所以a d <bc .故选B.5．解析：选B.依题意得，(CA →＋CB →)·(CB →－CA →)＝|AB →|2，即CB →2－CA →2＝|AB →|2，|CB →|2＝|CA →|2＋|AB →|2，CA ⊥AB ，因此△ABC 是直角三角形，故选B.6．解析：选D.由于tan (α＋45°)<0，所以k ·180°－135°<α<k ·180°－45°，所以k ·360°－270°<2α<k ·360°－90°，所以cos 2α<0，故选D.7．解析：选D.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排解选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排解选项B.故选D.8．解析：选A.依据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20.若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20>r 2，d <r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20<r 2，d >r ，相离，故只有①正确． 9．解析：选A.观看已知等式不难发觉，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A 中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.10．解析：选C.命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中不等式等价于0＞log 3m ＞log 3n ，故0＜n ＜m ＜1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)的图象是把y ＝f (x )的图象向右平移一个单位得到的，由于函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，故函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 312＜2，当log 3(x －1)＝12时，x ＝1＋3＞2，故方程f (x )＝12有2个实数根，④正确．11．解析：由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.答案：A12．解析：由a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝a n －1a n ，所以a 2＝3－13＝23，a 3＝－12，a 4＝3，所以{a n }是以3为周期的周期数列，且a 1a 2a 3＝－1.又2 016＝3×672，所以A 2 016＝(－1)672＝1.答案：113．解析：由题意知g (x )＝ln x ，则f (x )＝ln(－x )，若f (m )＝－1，则ln(－m )＝－1，解得m ＝－1e.答案：－1e14．解析：由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；其次个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2；由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）2215．解析：由于 AB →2＝4|a |2＝4，所以 |a |＝1，故①正确；由于 BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC为等边三角形，所以 |BC →|＝|b |＝2，故②错误；由于 b ＝AC →－AB →，所以 a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；由于 BC →＝b ，故④正确；由于 (AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0，所以 (4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案：①④⑤。
(高考题 模拟题)高考数学 基础巩固练(二)理(含解析)-人教版高三全册数学试题
基础巩固练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·高考)已知复数z＝2＋i，则z·z＝( )A. 3B. 5 C．3 D．5答案 D解析解法一：∵z＝2＋i，∴z＝2－i，∴z·z＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.解法二：∵z＝2＋i，∴z·z＝|z|2＝5.故选D.2．(2019·某某高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0，1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝( )A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}答案 A解析∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴∁U A＝{－1，3}．又∵B＝{－1,0,1}，∴(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.3．(2019·某某二模)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 B解析由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．4．(2019·某某呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为 ( )A ．9B ．27C ．54D ．81 答案 B解析 根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若2a 2为3a 1和a 3的等差中项，则有2×2a 2＝3a 1＋a 3，变形可得4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3；又a 2－a 1＝2，即a 1(q －1)＝2，则q ＝3，a 1＝1，则a n ＝3n －1，则有a 4＝33＝27.故选B.5．(2019·某某市适应性试卷)函数f (x )＝(x 3－x )ln |x |的图象是( )答案 C解析 因为函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝－(x 3－x )ln |x |＝－f (x )，∴函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，函数的定义域为{x |x ≠0}，由f (x )＝0，得(x 3－x )ln |x |＝0，即(x 2－1)ln |x |＝0，即x ＝±1，即函数f (x )有两个零点，排除D ，f (2)＝6ln 2>0，排除A.故选C.6．(2019·某某省内江二模)如果执行下面的程序框图，输出的S ＝110，则判断框处为( )A ．k <10?B ．k ≥11? C．k ≤10? D．k >11? 答案 C解析 由程序框图可知，该程序是计算S ＝2＋4＋…＋2k ＝k (2＋2k )2＝k (k ＋1)，由S ＝k (k ＋1)＝110，得k ＝10，则当k ＝10时，k ＝k ＋1＝10＋1＝11不满足条件，所以条件为“k ≤10？”．故选C.7．(2019·某某二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.2π－332(π－3)B.32(π－3)C.32(π＋3)D.2π－332(π＋3)答案 B解析 如题图，设BC ＝2，以B 为圆心的扇形的面积为π×226＝2π3，又∵△ABC 的面积为12×32×2×2＝3，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为2π3×3－23＝2π－23，故在勒洛三角形中随机取一点，此点取自等边三角形的概率为32π－23＝32(π－3)，故选B.8．(2019·某某一模)已知M (－4,0)，N (0,4)，点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，则MP →·NP →的最小值为( )A.25B.425 C ．－19625 D ．－ 5 答案 C解析 由点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，作出可行域如图中阴影部分，则MP →·NP →＝(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为点A (－2,2)到直线3x －4y ＋12＝0的距离的平方再减8，由d ＝|3×(－2)－4×2＋12|5＝25，可得(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为－19625.故选C.9．(2019·某某一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得asin A＝bsin B，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∴a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝cos B cos π6－sin B sin π6＝32cos B －12sin B ，∴tan B ＝33，又B ∈(0，π)，∴B ＝π6.∵在△ABC 中，a ＝3，c ＝23，由余弦定理得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋12－2×3×23×32＝ 3.故选C. 10．(2019·某某某某高三3月模拟)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A.23B.34C.43D.32 答案 A解析 ∵0≤x ≤π，∴－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，而f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，发现f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，∴π2≤ωπ－π6≤7π6，整理得23≤ω≤43.则ω的最小值为23.故选A.11．(2019·某某模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线右支上一点，线段AF 1交左支于点B ，若AF 2⊥BF 2，且|BF 1|＝13|AF 2|，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.655C.355D ．3 答案 B解析 因|BF 1|＝13|AF 2|，设|AF 2|＝3t ，则|BF 1|＝t ，t >0，由双曲线的定义可得|BF 2|＝|BF 1|＋2a ＝t ＋2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝3t ＋2a ， 则|AB |＝|AF 1|－|BF 1|＝2t ＋2a ，由AF 2⊥BF 2，可得(2a ＋2t )2＝(3t )2＋(t ＋2a )2，解得t ＝23a ，则在直角三角形ABF 2中，cos A ＝3t 2t ＋2a ＝2a 103a ＝35，在△AF 1F 2中，可得cos A ＝(3t )2＋(3t ＋2a )2－(2c )22·3t ·(3t ＋2a )＝4a 2＋16a 2－4c 216a 2＝35，化为c 2＝135a 2，则e ＝c a＝135＝655.故选B. 12．(2019·高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③ 答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·某某一模)已知(a －x )(2＋x )5的展开式中x 3的系数为40，则实数a 的值为________．答案 3解析 ∵(a －x )(2＋x )5＝(a －x )(32＋80x ＋80x 2＋40x 3＋10x 4＋x 5)的展开式中x 3的系数为40a －80＝40，∴a ＝3.14．(2019·揭阳一模)在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________．答案 x －y －1＝0解析 由f (x )＝sin x －cos x ，得f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，∴x ＋π4＝π4，即x ＝0.∴切点为(0，－1)，切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0.15．(2019·某某一模)在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AC ＝2，且AD ⊥CD ，该四面体外接球的表面积为________．答案 2π解析 如图，∵AB ＝BC ＝1，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AD ⊥CD ，∴AC 的中点即为外接球的球心，外接球的半径为22，∴S 球＝4π×12＝2π.16．(2019·某某省十所名校高三尖子生第二次联考)若函数y ＝f (x )的图象存在经过原点的对称轴，则称y ＝f (x )为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有________．(填写所有正确结论的序号)①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ；③y ＝ln (e3x＋1)．答案 ①②解析 对于①，y ＝e x(x ≤0)的反函数为y ＝ln x (0<x ≤1)，所以函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)关于直线y ＝x 对称，故①是“旋转对称函数”．对于②，令y ＝f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ，则f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1－x 1＋x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 1＋x 1－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ＝f (x )，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x 是偶函数，它的图象关于y 轴对称，故②是“旋转对称函数”．对于③，y ＝ln (e 3x＋1)>ln e 3x＝3x ，当x →＋∞时，y →3x ，则函数y ＝ln(e3x＋1)的图象只可能关于直线y ＝3x 对称，又y ＝ln (e3x＋1)>ln 1＝0，当x →－∞时，y →0，这与函数y ＝ln (e 3x＋1)的图象关于直线y ＝3x 对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·某某某某高三第二次统考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n－a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝14a n －1，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)当n ≥2时，由于a n －a n －1＝2n －1，a 1＝1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2， 又a 1＝1满足上式，故a n ＝n 2(n ∈N *)． (2)b n ＝14a n －1＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 18．(本小题满分12分)(2019·某某质量检测)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，A 1C ＝BC .(1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)若∠ABB 1＝60°，∠CBA ＝∠CBB 1，AC ⊥B 1C ，求二面角B －AC －A 1的余弦值． 解 (1)证明：因为侧面ABB 1A 1为菱形， 所以A 1B ⊥AB 1，记A 1B ∩AB 1＝O ，连接CO ， 因为A 1C ＝BC ，BO ＝A 1O ， 所以A 1B ⊥CO ，又AB 1∩CO ＝O ， 所以A 1B ⊥平面AB 1C .(2)解法一：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ，所以△CBA ≌△CBB 1，所以AC ＝B 1C . 又O 是AB 1的中点，所以CO ⊥AB 1， 又A 1B ⊥CO ，A 1B ∩AB 1＝O ， 所以CO ⊥平面ABB 1A 1.令BB 1＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，AC ⊥B 1C ，O 为AB 1的中点， 所以CO ＝1.如图，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OB 1所在的直线为y 轴，OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系．则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,0,1)，A 1(－3，0,0)， 所以AB →＝(3，1,0)，AC →＝(0,1,1)，AA 1→＝(－3，1,0)，A 1C →＝(3，0,1)． 设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，则n 1＝(1，－3，3)，同理可得平面A 1AC 的一个法向量为n 2＝(1，3，－3)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－57，由图知二面角B －AC －A 1为钝角， 所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.解法二：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ， 所以△CBA ≌△CBB 1， 所以AC ＝B 1C .设AB ＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，所以AA 1＝AB 1＝2，OA ＝OB 1＝1，OB ＝OA 1＝ 3.又AC ⊥B 1C ，所以CO ＝1，AB ＝B 1C ＝2，又A 1C ＝BC ，O 为A 1B 的中点，所以BC ＝A 1C ＝2，所以△ABC 为等腰三角形，△A 1AC 为等腰三角形．如图，取AC 的中点M ，连接BM ，A 1M ，则∠BMA 1为二面角B －AC －A 1的平面角．在△BMA 1中，可得BM ＝A 1M ＝142，A 1B ＝23， 所以cos ∠BMA 1＝BM 2＋A 1M 2－A 1B 22BM ·A 1M ＝－57，所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.19．(本小题满分12分)(2019·某某一模)已知F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交直线x ＝4于点M .证明：直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．解 (1)因为点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴，所以c ＝2，设椭圆C 的左焦点为E ，连接EP ，则|EF |＝2c ＝4，|PF |＝2，在Rt △EFP 中，|PE |2＝|PF |2＋|EF |2＝18，所以|PE |＝3 2.所以2a ＝|PE |＋|PF |＝42，a ＝22， 又b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 令x ＝4，得M 的坐标为(4,2k )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝k (x －2)得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8(k 2－1)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8(k 2－1)2k 2＋1. ①记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 从而k 1＝y 1－2x 1－2，k 2＝y 2－2x 2－2，k 3＝2k －24－2＝k －22. 因为直线l 的方程为y ＝k (x －2)，所以y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－2x 1－2＋y 2－2x 2－2＝y1x1－2＋y2x2－2－2⎝⎛⎭⎪⎫1x1－2＋1x2－2＝2k－2·x1＋x2－4x1x2－2(x1＋x2)＋4. ②①代入②，得k1＋k2＝2k－2·8k22k2＋1－48(k2－1)2k2＋1－16k22k2＋1＋4＝2k－2，又k3＝k－22，所以k1＋k2＝2k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．20．(本小题满分12分)(2019·某某一模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973.解 (1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40.(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．(ⅰ)∵P (x ＞μ－σ)＝12＋0.68272≈0.8414，∴μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元．(ⅱ)由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，得每个农民年收入不少于12.14千元的概率为0.9773，记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (1000，p )，其中p ＝0.9773.于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的概率是P (ξ＝k )＝C k1000p k(1－p )1000－k，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1001－k )×pk (1－p )＞1，得k ＜1001p ，而1001p ＝978.233，∴当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)＜P (ξ＝k )， 当979≤k ≤1000时，P (ξ＝k －1)＞P (ξ＝k )．由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978. 21．(本小题满分12分)(2019·某某三模)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x＋a ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若x ＝2是f (x )的极值点，且曲线y ＝f (x )在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<6)处切线平行，在y 轴上的截距分别为b 1，b 2，求b 1－b 2的取值X 围．解 (1)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x2，①当a ≤0时，f ′(x )<0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减；②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 时，f ′(x )<0，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增．(2)∵x ＝2是f (x )的极值点， ∴由(1)可知2a＝2，∴a ＝1.设在P (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋ln x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 21＋1x 1(x －x 1)，在Q (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋ln x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 22＋1x 2(x －x 2)，∵这两条切线互相平行， ∴－2x 21＋1x 1＝－2x 22＋1x 2，∴1x 1＋1x 2＝12. ∵1x 2＝12－1x 1，且0<x 1<x 2<6， ∴16<12－1x 1<1x 1，∴14<1x 1<13，∴x 1∈(3,4)． 令x ＝0，则b 1＝4x 1＋ln x 1－1，同理，b 2＝4x 2＋ln x 2－1.解法一：∵1x 2＝12－1x 1，∴b 1－b 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－12－ln 1x 1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫12－1x1.设g (x )＝8x －2－ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13，∴g ′(x )＝8－1x －112－x ＝16x 2－8x ＋12x 2－x ＝(4x －1)22x 2－x<0， ∴g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递减， ∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， 即b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法二：∵x 2＝2x 1x 1－2， ∴b 1－b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝8x 1－2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12－1. 令g (x )＝8x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2，其中x ∈(3,4)，∴g ′(x )＝－8x 2＋1x －2＝x 2－8x ＋16x 2(x －2)＝(x －4)2x 2(x －2)>0，∴函数g (x )在区间(3,4)上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法三：∵x 1x 2＝2(x 1＋x 2)，∴b 1－b 2＝4x 1－4x 2＋ln x 1－ln x 2＝4(x 2－x 1)x 1x 2＋ln x 1x 2＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1x 21＋x 1x 2＋ln x 1x 2.设g (x )＝2(1－x )1＋x ＋ln x ，则g ′(x )＝－4(1＋x )2＋1x ＝(1－x )2x (1＋x )2.∵x 1x 2＝x 12－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴g ′(x )>0， ∴函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] (2019·某某模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．(1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．解 (1)将曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θsin 2θ化为ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，得到曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故曲线C 是顶点为O (0,0)，焦点为F (1,0)的抛物线．(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．若直线l 经过点(1,0)，则α＝3π4，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 3π4＝－22t ，y ＝1＋t sin 3π4＝1＋22t (t 为参数)．将其代入y 2＝4x ，得t 2＋62t ＋2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－62)2－4×2＝8.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·某某模拟)已知函数f (x )＝ |x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R . (1)某某数m 的取值X 围；(2)若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b ＝n 时，求7a ＋4b 的最小值．解 (1)∵函数的定义域为R ， ∴|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值， 又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， 即函数g (x )的最小值为4，∴m ≤4. (2)由(1)知n ＝4，∴7a ＋4b ＝14(6a ＋2b ＋a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋b ＋1a ＋2b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2(3a ＋b )a ＋2b ＋2(a ＋2b )3a ＋b ≥ 14⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×23a ＋b a ＋2b ·a ＋2b 3a ＋b ＝94， 当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝310时取等号．∴7a ＋4b 的最小值为94.。
2023高考数学基础强化专题训练(二)
2023高考数学基础强化专题训练（二）解析几何直线与圆1．若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线y＝ 有两个交点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．{b |－2 ＜b ＜2 } B ．{b |2＜b ＜2 } C ．{b |2≤b ＜2 } D ．{b |b ＝±2}2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （－3，0）在圆C ：x 2＋y 2＋2mx －4y ＋m 2－12＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（3－2 ，1]∪[5，3＋2 ）B ．[1，5]C ．（3－2 ，3＋2 ）D ．（－∞，3－2 ）∪（3＋2 ，＋∞）3．（多选题）下列说法中，正确的有（ ） A ．直线y ＝ax ＋2a ＋3（a ∈R ）必过定点（2，3） B ．直线y ＝2x －1在y 轴上的截距为－1 C ．直线 x －y ＋2＝0的倾斜角为60°D ．点（1，3）到直线y －2＝0的距离为14．（多选题）已知圆M ：（x ＋2）2＋y 2＝2，直线l ：x ＋y －2＝0，点P 在直线l 上运动，直线P A ，PB 分别于圆M 切于点A ，B ．则下列说法正确的是（ ） A ．四边形PAMB 的面积最小值为 B ．|P A |最短时，弦ABC ．|P A |最短时，弦AB 直线方程为x ＋y －1＝0D ．直线AB 过定点（ ， ） 5. 在直线l ：2x －y ＋1＝0上一点P 到点A （－3，0），B （1，4）两点距离之和最小，则点P 的坐标为 ▲ .6．在平面直角坐标系xOy 中，点A （－2，2），B （－1，1），若直线x ＋y －2m ＝0上存在点P 使得P A ＝ PB ，则实数m 的取值范围是 ▲ ．7.已知直线:1l ax by +=是圆22220x y x y +--=的一条对称轴，则ab 的最大值为______．222224x -333333323-2128.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．9.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为____________．10.11.已知直线l ：kx －y ＋2＋k ＝0(k ∈R )．（1）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值和此时直线l 的方程．12.已知⊙C 的圆心在直线3x －y －3＝0上，点C 在y 轴右侧且到y 轴的距离为1，⊙C 被直线l ：x －y ＋3＝0截得的弦长为2． （1）求⊙C 的方程；（2）设点D 在⊙C 上运动，且点T 满足→DT =2→TO ，(O 为原点)记点T 的轨迹为Γ． ①求Γ的方程；②过点M （1，0）的直线与Γ交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．圆锥曲线1.2.3.4.在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于原点对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于34-． （1）求动点P 的轨迹方程，并注明x 的范围;（2）设直线AP 与BP 分别与直线3x =交于M ，N ，问是否存在点P 使得PAB △与PMN △面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2＝30°，(1，32)在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P (－2，0)，Q (2，0)．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQ S △NPQ 的值． 6.7.已知双曲线)0,(1:2222>=-Γb a by a x ，经过双曲线Γ上的点)1,2(A 作互相垂直的直线AN AM 、分别交双曲线Γ于N M 、两点．设线段AN AM 、的中点分别为C B 、，直线OC OB 、O (为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.41-(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点A 作D MN AD (⊥为垂足），请问：是否存在定点E ，使得||DE 为定值？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.8.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ，使得TA →·TB →为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．函数与导数1.若直线4y x m =+是曲线313y x nx =-+与曲线22ln y x x =+的公切线, 则n m -=A. 11B. 12C. -8D. -72.已知3151log 2,log 10,sin 2a b c ===, 则A. b c a >>B. a c b >>C. a b c >>D. b a c >>【类题训练】1.若a ＝sin1＋tan1，b ＝2，c ＝ln4＋12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a 2.3.设1.1ln =a ，11.0-=eb ，1.0tan =c ，π4.0=d ，则A ．d c b a <<<B ．d b c a <<<C ．c d b a <<<D ．b d c a <<<4.（多选题）已知0＜x ＜y ＜π，e y sin x ＝e x sin y ，则( )A ．sin x ＜sin yB ．cos x ＞－cos yC ． sin x ＞cos yD ．cos x ＞sin y 5.2022高考三类“比大小”问题的出题背景及应用举例文/刘蒋巍第1类 出题背景1变形得：x xx e x e<+<+11)0(>x注：该不等式也可运用“移项，构造函数”的高中方法证明。
2022高考数学(文)二轮复习高考小题标准练(二) Word版含答案
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高考小题标准练(二)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x ∈Z|2<2x+2≤8}，B={x ∈R|x 2-2x>0}，则A ∩(R B)所含的元素个数为( )A.0B.1C.2D.3【解题提示】求出A 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A ，求出B 中不等式的解集，确定出B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集，即可确定出元素个数.【解析】选C.由集合A 中的不等式变形得：21<2x+2≤23，得到1<x+2≤3， 解得：-1<x ≤1，且x 为整数，所以A={0，1}；由集合B 中的不等式变形得：x(x-2)>0，解得：x>2或x<0，即B=(-∞，0)∪(2，+∞)，所以R B=[0，2]，所以A ∩(R B)={0，1}，即元素有2个.2.设i 是虚数单位，a 为实数，复数z=1+ai i为纯虚数，则z 的共轭复数为( )A.-iB.iC.2iD.-2i 【解析】选B.由于z=1+ai i=(1+ai)i i 2=−a+i −1=a-i ，由于z 为纯虚数，故a=0，所以z=-i ， 则z ̅=i.3.甲乙两人在一次赛跑中，从同一地点动身，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先动身B.乙比甲跑的路程多C.甲，乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点【解析】选D.由图形可知甲，乙两人从同一时间动身，且路程相同，甲用的时间短，故甲比乙先到达终点.4.某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参与笔试，再按笔试成果择优选出100人参与面试.现随机调查了24名笔试者的成果，如表所示：分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90)人数234951据此估量允许参与面试的分数线大约是( )A.75B.80C.85D.90【解析】选B.由于参与笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P=100400=14，由于随机调查24名笔试者，则估量能够参与面试的人数为24×14=6，观看表格可知，分数在[80，85)有5人，分数在[85，90)的有1人，故面试的分数线大约为80分，故选B.5.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则a10−a12a6−a8的值为( )A.2B.4C.8D.16【解题提示】结合已知条件得到q4=4，再利用等比数列的性质即可. 【解析】选B.由于a3=2，a4a6=16，所以a4a6=a32q4=16，即q4=4，则a10−a12 a6−a8=q4(a6−a8)a6−a8=q4=4.6.当m=6，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.6B.30C.120D.360【解题提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=3时，满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120.【解析】选C.模拟执行程序框图，可得m=6，n=3，k=6，S=1，不满足条件k<m-n+1=4，S=6，k=5；不满足条件k<m-n+1=4，S=30，k=4；不满足条件k<m-n+1=4，S=120，k=3；满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120. 7.实数x，y满足{x≥1,y≤a,a>1,x−y≤0,若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为( )A.4B.3C.2D.32【解析】选C.画出可行域得直线y=-x+z过(a，a)点时取得最大值，即2a=4，a=2.8.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A.83B.43C.4√3D.2√3【解析】选A.结合三视图，借助正方体想象该棱锥的直观图，如图所示.该棱锥是四棱锥P-ABCD.其底面ABCD为一个底边长为2√2和2的矩形，面积S=4√2，高是P点到底面ABCD的距离，即h=√2，故此棱锥的体积V=13Sh=83.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x-3，则f(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【解题提示】先由函数f(x)是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x>0时的函数f(x)的解析式等于0转化成两个函数，转化为推断两函数交点个数问题，最终依据奇函数的对称性确定答案.【解析】选C.由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，所以0是函数f(x)的一个零点.当x>0时，令f(x)=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在x>0时有一个零点，又依据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3，故选C.【加固训练】函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为( )A.0B. 1C.2D.4 【解析】选B.由于f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)，由f′(x)>0，得x>2或x<0；由f′(x)<0得0<x<2.所以函数f(x)在(0，2)上是减函数，而f(0)=7>0，f(2)=-1<0，由零点存在定理可知，函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为1.10.已知二次函数y=ax2+bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为(−b2a,−14a)，与x轴的交点P，Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于F1(0，4)和F2(0，-4)，则点(b，c)所在曲线为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.结合二次函数的顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a)，依据题意可得Δ=b 2-4ac=1，①，二次函数图象和x轴的两个交点分别为(−b+12a,0)和(−b−12a,0)，利用射影定理即得：-(−b+12a×−b−12a)=16 1-b2=64a2，结合①先求出a和c之间的关系，代入①可得到，(b，c)所在的曲线为b2+c24=1，表示椭圆.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知a=(1，2)，b=(4，2)，设a，b的夹角为θ，则cosθ= .【解析】由平面对量的夹角公式得，cosθ==1212√x1+y1·√x2+y2=√5×√20=45.答案：45【加固训练】已知向量a=(1，√3)，b=(3，m).若向量b在a方向上的投影为3，则实数m= .【解析】依据投影的定义：|b|·cos<a，b>==3+√3m2=3；解得m=√3. 答案：√312.已知函数f(x)={x 3+1,x ≥0,x 2+2,x <0,若f(x)=1，则x= .【解析】若x ≥0则x 3+1=1，所以x=0，若x<0则x 2+2=1无解，所以x=0.答案：013.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b-c)(sin B+ sin C)=(a-√3c)·sinA ，则角B 的大小为 .【解题提示】由正弦定理化简已知等式可得c 2+a 2-b 2=√3ac ，由余弦定理可求 cos B ，结合B 的范围即可得解.【解析】由正弦定理，可得sinB=b2R，sin C=c2R，sinA=a2R， 所以由(b-c)(sin B+sin C)=(a-√3c)·sin A 可得(b- c)(b+c)=a(a-√3c)，即有c 2+a 2-b 2=√3ac ，则cos B=a 2+c 2−b 22ac=√32，由于0°<B<180°，则B=30°. 答案：30°14.已知三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=π3，则球O 的表面积为 .【解析】三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，由于SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，所以BC=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，所以∠ABC=90°. 所以△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=12AC=1，所以球O 的半径R=√12+(2√32)2=2，所以球O 的表面积S=4πR 2=16π. 答案：16π15.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)，则b 的值为 . 【解题提示】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a ，b ，k 的方程，再求出在点(1，3)处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最终解方程组即可得，从而问题解决.【解析】由于直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)， 所以{k +1=3,1+a +b =3,①又由于y=x 3+ax+b ，所以y ′=3x 2+a ，当x=1时，y ′=3+a 得切线的斜率为3+a ，所以k=3+a ， ②所以由①②得：b=3. 答案：3关闭Word 文档返回原板块。
2022年高考数学第一轮复习-第2章不等式专练2 基本不等式(1) (1)
第二章专练2—基本不等式（1）一、单选题1．已知实数3x >，则943x x +-的最小值是( ) A ．24B ．12C ．6D ．32．若正数x ，y 满足220x y xy +-=，则2x y +的最小值为( ) A ．9B ．8C ．5D ．43．当1x >时，2()4xf x x =+的最大值为( ) A ．14B ．12C ．1D ．24．已知102a <<，则14212a a+-的最小值是( ) A ．6B ．8C ．4D ．95．已知0a >，0b >且31a b +=，则28a b +的最小值为( )A ．B ．C ．6D ．86．设x ，y 均为正实数，且33122x y+=++，则x y +的最小值为( ) A ．8B ．16C ．9D ．67．设实数x 满足0x >，函数4231y x x =+++的最小值为( )A ．1B ．2C ．1D ．68．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y+的最小值为( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8二、多选题9．已知0a >，0b >，1a b +=，则下列等式不可能成立的是( ) A ．221a b +=B ．1ab =C ．212a b +=D ．2212a b -=10．已知0a >，0b >，231a b +=，下列结论正确的是( ) A ．22a b +的最小值为112B ．2424log log a b +的最大值为1-C ．11ab+的最小值为 D ．48a b +的最小值为11．下列函数中，最小值是4的函数有( ) A ．224()f x x x=+ B ．4()cos (0)cos 2f x x x x π=+< C ．2()f x =D ．4()33x x f x =+12．已知实数a ，b 满足20(1)a ab b a -+=>，下列结论中正确的是( ) A ．4b B ．28a b + C ．111a b+>D ．274ab三、填空题13．已知0a >，0b >且25a b +=，则21ab a b++的最小值为 ． 14．已知正实数x ，y 满足1x y +=，则2y x xy+的最小值为 ． 15．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为 ． 16．若正实数x ，y 满足114x xy y ++=，则11x x y++的最小值为 ． 四、解答题17．（Ⅰ）若a ，0b >，且3ab a b =++，求ab 的最小值； （Ⅱ）若a ，0b >，且ab a b =+，求4a b +的最小值． 18．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求a ，b 的值； （2）若当f （1）2=，且0a >，1b >-，求41a b ab a+++的最小值． 第二章专练2—基本不等式（1）答案1．解：3x >，30x ∴->，9944(3)121224(2433x x x x +=-+++=--， 当且仅当94123x x -=-时，取得最小值24． 故选：A ．2．解：由220x y xy +-=，得22x y xy +=， 所以1112y x+=， 所以112(2)1(2)()2224222x y x x y x y y x y x y +⋅=+⋅+=+++，当且仅当22x y y x=时取等号， 故选：D ． 3．解：因为1x >， 故2111()44442x f x x x x x===++⋅， 当且仅当4x x=，即2x =时取等号， 故2()4x f x x =+的最大值为14． 故选：A ．4．解：因为102a <<，所以20a >，120a ->，14141281()[2(12)]145292122122122a a a a a a a a a a --+=++-=++++---， 当且仅当128212a aa a-=-，即16a =时取等号， 所以14212a a+-的最小值是9． 故选：D ．5．解：因为0a >，0b >且31a b +=， 则28228a b a b +⋅=，当且仅当132a b ==即12a =，16b =时取等号， 故选：A ．6．解：因为x ，y 均为正实数且33122x y+=++， 则3322[(2)(2)]()22x y x y x y +++=++++++， 223(2)3(22)1222y x x y++=+++=++， 所以8x y +，当4x y ==时取等号． 故选：A ．7．解：0x >，10x ∴+>，4442323(1)33(1)123(1)11111y x x x x x x x ∴=++=++-+=++-+=+++，当且仅当43(1)1x x +=+，即23103x =->时等号成立， ∴函数4231y x x =+++的最小值为431-． 故选：A ．8．解：0x >，0y >，∴2224()()224248x y x xy y x y xy+=++=++++=， 当且仅当421xy xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴2()8min x y+=．故选：D ．9．解：选项A ：因为1a b +=，所以222()21a b a b ab +=++=， 则22121a b ab +=-<，(0,0)a b >>，故A 不成立； 选项B ：因为2a b ab +，所以21()24a b ab +=，当且仅当a b =时取等号， 此时ab 的最大值为14，故B不成立；选项C ：因为22213311()2442a b a a a +=-+=-+>，当且仅当12a =时取等号，故C 不成立； 选项D ：若221()()2a b a b a b a b -=+-=-=，又1a b +=， 所以解得31,44a b ==，显然满足条件，故D 成立， 故选：ABC ．10．解：0a >，0b >，231a b +=，1203ab -∴=>， 故102a <<，故22222121341()39a a a ab a --++=+=， 当213a =时，上式取得最小值113，A 错误；因为12326a b ab =+，当且仅当1232a b ==，即14a =，16b =时取等号， 解得，124ab， 242424log log log 1a b ab +=-，即最大值1-，B 正确；112323325526a b a b b aa b a b a b+++=+=+++，当且仅当32b a a b =时取等号，此时取得最小值5+C 错误；48248a b a b +⋅=当且仅当23a b =且231a b +=，即14a =，16b =时取等号，此时取得最小值D 正确． 故选：BD ．11．解：:()A f x 的定义域为{|0}x x ≠，20x >，222244()24f x x x x x ∴=+⋅，当且仅当224x x =即x ± ()f x ∴的最小值为4．A ∴正确．:02B x π<，0cos 1x ∴<，4()cos 2cos 4cos f x x x x ∴=+⋅，当且仅当4cos cos x x= 即cos 2x =时取等号． cos (0x ∈，1]，∴等号取不到，()f x ∴最小值不能为4．B ∴不正确． :()C f x 的定义域为R ，2()244x f x ===，当且仅当 即x =时取等号，()f x ∴的最小值为4．C ∴正确． :()D f x 的定义域为R ，30x >，44()323433x x xx f x ∴=+⋅，当且仅当433x x = 即23log x =时取等号， ()f x ∴的最小值为4．D ∴正确．综上所述：故答案为A ，C ，D ． 故选：ACD ．12．解：实数a ，b 满足20(1)a ab b a -+=>，A ．2211111122(1)241111a a b a a a a a a a-+===++=-++-=----，当且仅当2a =时取等号，因此正确；11.2213(1)423(1)4411B a b a a a a a a +=+++=-++-=--，当且仅当1a =+取等号，因此不正确；C．1a >，∴1(0,1)a∈，2221111121(1)11a abaaaaa-+=+=-+=--+<，因此不正确；D ．2311a a ab a a a =⋅=--，令3()1x f x x =-，(1)x >．2232()2()(1)x x f x x -'=-， 可得32x =时，函数()f x 取得极小值，即最小值．33()3272()32412f ==-，27()4f x ∴，即274ab ，因此正确．故选：AD ．13．解：0a >，0b >，且25a b +=， 则212552b a ab ab ab ababab ab ab+++=+=+⋅ 当且仅当5ab ab=时取等号， 故21ab ab ++的最小值为． 故答案为：．14．解：正实数x ，y 满足1x y +=，1y x ∴=-，(0,1)x ∈，∴21212311(1)(1)(1)y x x x xy x x x x x x x x --+=+=-++=-+---， 令3(2,3)t x =-∈， 则22111111546(3)(2)655()5y t t xxyt tt t t t+=-+=-+=-+-+-+++----+-+-，当且仅当t 时取“=”， 故答案为：4+15．解：因为22221a b +=， 所以2222(1)3a b ++=， 则22222214114()[22(1)]131a b a b a b+=+++++，222212281(10)(106313b a a b +=+++=+， 当且仅当22222281b a a b+=+且22221a b +=，即0b =，212a =时取等号， 则22141a b ++的最小值6． 故答案为：6． 16．解：由114x xy y ++=可得：11414x x y x x+-=-=, 所以(1)41x x y x +=-, 则11141(1)x x x xy x x x -++=+++ 14155(1)1(1)11x x x x x x x x x ++-=+=+=++-+++2(1)11x +=, 当且仅当511x x +=+,即1x =时取等号，此时11x xy++的最小值为1,故答案为：1．17．解：()I a ，0b >，323ab a b ab =+++， 当且仅当a b =时取等号， 3ab ，所以9ab ，即ab 的最小值9，()II a ，0b >，且ab a b =+，∴111a b+=， 1144(4)()5529b a b a b a b a b a b a +=++=+++⋅，当且仅当4b aa b=且111a b +=，即32a =，3b =时取等号，此时4a b +取得最小值9．18．解：（1）由不等式()0f x >的解集为(1,3)-可得：2(2)3ax b x +-+的两根为1-，3且0a <， 由根与系数的关系可得：213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩．可得1a =-，4b =， （2）若f （1）232a b =+-+=， 则1a b +=，0a >，10b +>，∴1[(1)]12a b ++=， ∴41141141149[(1)]()[5]121212a b b a a b ab a a b a b a b +++=+=+++=++++++，当且仅23a =，13b =时式中等号成立，∴41a b ab a +++的最小值为92．。
2023年高考数学微专题专练2含解析文
专练2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词命题范围：逻辑联结词、复合命题的真假判断、量词及其否定．[基础强化]一、选择题1．[2022·安徽省蚌埠市高三质检]已知命题p ：∃x 0＜－1，2x 0－x 0－1＜0，则¬p 为( ) A ．∀x ≥－1，2x－x －1≥0 B ．∀x ＜－1，2x－x －1≥0 C ．∃x 0＜－1，2x 0－x 0－1≥0 D ．∃x 0≥－1，2x 0－x 0－1≥0 2．下列命题中假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0<0B ．∀x ∈(－∞，0)，e x>x ＋1 C ．∀x >0，5x >3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0<sin x 03．已知命题p ：∃x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图像过点(2，0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真4．如果命题“¬(p ∨q )”为假命题，则( ) A ．p ，q 均为真命题 B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ．p ，q 中至多有一个为真命题5．已知命题p ：∀x >0，ln (x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )6．已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0，4]C ．[4，＋∞) D．(0，4)7．若命题“∃x 0∈R ，x 20 ＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1，3]B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．[2022·山西省高三模拟]已知命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：∀a ∈R ，f (x )＝log (a 2＋2)x 在定义域内是增函数，则下列命题中的真命题是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．¬(p ∨q )9．[2022·广东汕头测试]已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0，均有2x－a >0.若“¬p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，1]C ．(1，2)D ．(1，＋∞)二、填空题10．命题“∃x ∈(0，π2)，tan x >sin x ”的否定是________．11．[2022·江西省南昌市高三月考]若命题“∃x 0∈R ，使得3x 20 ＋2ax 0＋1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．12．[2022·衡水中学高三测试]已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________．[能力提升]13．[2022·四川省成都市高三“二诊模拟”]已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －1≤0，x ≥0构成的平面区域为D .命题p ：对∀(x ，y )∈D ，都有3x －y ≥0；命题q ：∃(x ，y )∈D ，使得2x －y ＞2.下列命题中，为真命题的是( )A ．(¬p )∧(¬q )B ．p ∧qC ．(¬p )∧qD ．p ∧(¬q )14．下列四个结论：①若x >0，则x >sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”． 其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．415．[2022·江西省赣州市3月(一模)]斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD (其中AB BC ＝5－12)中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ︵；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ︵；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧BE ︵，EG ︵，GI ︵的长度分别为l ，m ，n ，给出以下两个命题：p ：l ＝m ＋n ，q ：m 2＝l ·n .则下列选项为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )16．[2022·江西省临川高三模拟]命题“∃x ∈R ，e x＋1＜a －e －x ”为假命题，则实数a 的取值范围为________．专练2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．B 因为命题p ：∃x 0＜－1，2x 0－x 0－1＜0，则¬p ：∀x ＜－1，2x－x －1≥0. 2．D 令f (x )＝sin x －x (x >0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )<f (0)，即f (x )<0，即sin x <x (x >0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x <x ，所以D 为假命题．3．A 由x 3<x 2，得x 2(x －1)<0，解得x <0或0<x <1，在这个范围内没有自然数，∴命题p 为假命题．∵对任意的a ∈(0，1)∪(1，＋∞)，均有f (2)＝log a 1＝0，∴命题q 为真命题． 4．C 由¬(p ∨q )为假命题知p ∨q 为真命题，∴p ，q 中至少有一个为真命题． 5．B ∵当x >0时，x ＋1>1，∴ln (x ＋1)>0，故命题p 为真命题，当a ＝－1，b ＝－2时，a 2<b 2，故q 为假命题，故p ∧q 为假命题．p ∧(¬q )为真命题，(¬p )∧q 为假命题，(¬p )∧(¬q )为假命题．6．D 由题意得，4x 2＋(a －2)x ＋14>0恒成立，∴Δ＝(a －2)2－4×4×14<0，得0<a <4.7．D ∵命题“∃x 0∈R ，x 20 ＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题等价于x 20 ＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.8．B 对于命题p ，取x ＝0，y ＝5π3，则sin x ＝0＞sin y ＝－32，但x ＜y ，p 为假命题；对于命题q ，∀a ∈R ，a 2＋2≥2，则函数f (x )＝log (a 2＋2)x 在定义域内为增函数，q 为真命题．所以p ∧q 、p ∧(¬q )、¬(p ∨q )均为假命题，(¬p )∧q 为真命题．9．C 若方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2，即p ：－2<a <2. ∀x >0，2x－a >0则a <2x，当x >0时，2x>1，则a ≤1，即q ：a ≤1. ∵¬p 是假命题，∴p 是真命题． ∵p ∧q 是假命题，∴q 是假命题，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2.10．答案：∀x ∈(0，π2)，tan x ≤sin x11．答案：[－3，3]解析：命题“∃x 0∈R ，使得3x 20 ＋2ax 0＋1＜0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.12．答案：(－∞，－1)解析：由“p 或q ”为真命题，得p 为真命题或q 为真命题． 当p 为真命题时，设方程x 2＋mx ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m >0，x 1x 2＝1>0，解得m <－2；当q 为真命题时，有Δ′＝16(m ＋2)2－16<0， 解得－3<m <－1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，－1).13．B 不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分(包含边界)所示．根据不等式组表示的平面区域结合图形可知，命题p 为真命题，命题q 也为真命题，所以根据复合命题真假判断结论可得ACD 错误，B 选项正确．14．C 对于①，令y ＝x －sin x ， 则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，则当x >0时，x －sin x >0－0＝0，即当x >0时，x >sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真，即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真，即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误． 综上，正确结论的个数为3.15．A 根据题意可得圆弧BE ︵，EG ︵，GI ︵对应的半径分别为AB ，BC －AB ，AB －DG ，也即AB ，BC －AB ，2AB －BC ，则弧长l ，m ，n 分别为π2AB ，π2(BC －AB )，π2(2AB －BC )，则m ＋n ＝π2(BC －AB )＋π2(2AB －BC )＝π2AB ＝l ，故命题p 为真命题；ln ＝π24(2AB 2－AB ×BC )＝π24BC 2(2×AB 2BC 2－AB BC )＝π28BC 2(7－35)，而m 2＝π24BC 2(1－AB BC )2＝π28BC2(7－35)，故ln ＝m 2，命题q 为真命题．则p ∧q 为真命题，p ∧(¬q )，(¬p )∧q ，(¬p )∧(¬q ) 均为假命题． 16．答案：(－∞，3]解析：若命题“∃x ∈R ，e x ＋1＜a －e －x ”为假命题，则命题“∀x ∈R ，e x ＋1≥a －e －x”为真命题，即a ≤e x ＋e －x＋1在R 上恒成立，则a ≤(e x ＋e －x＋1)min ，因为e x＋e －x＋1≥2e x ·e －x ＋1＝3，当且仅当e x ＝e －x，即x ＝0时，等号成立，所以(e x＋e－x＋1)min＝3，所以a≤3.。
2021高考数学二轮复习专题练二基础小题练透热点专练2不等式含解析
高考数学二轮复习专题练：热点专练2 不等式一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A.ac 2<bc 2 B.1a <1b C.b a >a bD.a 2>ab >b 2解析 c ＝0时，A 不成立； 1a －1b ＝b －a ab>0，B 错； b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab<0，C 错； 由a <b <0，∴a 2>ab >b 2，D 正确. 答案 D2.已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A.2B.－2C.－12D.12解析 依题意，－1与－12是(ax －1)(x ＋1)＝0的两根，且a <0，∴－1×⎝⎛⎭⎫－12＝ (－1)×1a ，则a ＝－2.答案 B3.若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A.2B.12C.4D.14解析 因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号). 又因为2a ＋b ＝4， ∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2，∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). 答案 B4.(2020·日照检测)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最大值是( ) A.－4B.－2C.2D.4解析 由题意得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当x ＝y ＝－1时取等号)，∴1≥22x ＋y ，∴14≥2x ＋y ，∴2－2≥2x ＋y ，∴x ＋y ≤－2.∴x ＋y 的最大值为－2. 答案 B5.(2020·菏泽模拟)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53C.2D.54解析 由x >0，y >0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，当且仅当x ＝3，y ＝233时取等号，∴xy 的最大值为2.答案 C6.(2020·滨州模拟)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则（x ＋1）（2y ＋1）xy 的最小值为( )A.2 2B.2 3C.4 2D.4 3解析 ∵x >0，y >0，∴xy >0.∵x ＋2y ＝5，∴（x ＋1）（2y ＋1）xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy≥212＝43， 当且仅当2xy ＝6xy， 即x ＝3，y ＝1或x ＝2，y ＝32时取等号.∴（x ＋1）（2y ＋1）xy的最小值为4 3.答案 D7.设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A.16B.9C.4D.2解析 在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋ax －1＋1≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号).由题意知2a ＋1≥5.所以a ≥4. 答案 C8.(2020·宜昌模拟)若对任意的x ∈[1，5]，存在实数a ，使2x ≤x 2＋ax ＋b ≤6x (a ∈R ，b >0)恒成立，则实数b 的最大值为( ) A.9B.10C.11D.12解析 已知当x ∈[1，5]时，存在实数a ，使2x ≤x 2＋ax ＋b ≤6x 恒成立，则－x 2＋2x ≤ax ＋b ≤－x 2＋6x ，令f (x )＝－x 2＋2x (1≤x ≤5)，g (x )＝－x 2＋6x (1≤x ≤5)，作出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，要使b 最大，且满足－x 2＋2x ≤ax ＋b ≤－x 2＋6x (1≤x ≤5)，则直线y ＝ax ＋b 必过(1，5)，且与函数y ＝f (x )的图象相切于点B .易得此时b ＝5－a ，此时的直线方程为y ＝ax ＋5－a .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋5－a ，y ＝－x 2＋2x ，得x 2＋(a －2)x ＋5－a ＝0.∴Δ＝(a －2)2－4(5－a )＝0，解得a ＝－4或a ＝4(舍去)，∴b max ＝5－(－4)＝9.故选A. 答案 A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.(2020·德州模拟)对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是( ) A.若a >b ，则ac <bc B.若a <b <0，则a 2>ab >b 2 C.若c >a >b >0，则a c －a >bc －bD.若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0解析 若c >0，则由a >b 得ac >bc ，A 错；若a <b <0，则a 2>ab ，ab >b 2，a 2>ab >b 2，B 正确；若c >a >b >0，则c －b >c －a >0，∴1c －a >1c －b >0，∴a c －a >bc －b ，C 正确；若a >b ，且a ，b 同号，则有1a <1b ，因此由a >b ，1a >1b 得a >0，b <0，D 正确.故选BCD.答案 BCD10.(2020·石家庄一模)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋b ＋c ≤ 3 B.(a ＋b ＋c 2)≥3 C.1a ＋1b ＋1c≥2 3D.a 2＋b 2＋c 2≥1解析 由基本不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )＝2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＝b ＝c ＝±33时，等号成立.∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc＋ca )≥3，∴a ＋b ＋c ≤－3或a ＋b ＋c ≥ 3.若a ＝b ＝c ＝－33，则1a ＋1b ＋1c＝－33<2 3.因此，A ，C 错误，B ，D 正确.故选BD. 答案 BD11.(2020·济南一中期中)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最小值4 B.ab 有最小值12C.a ＋b 有最大值 2D.a 2＋b 2有最小值12解析 对于A ，因为a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，所以有1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4(当且仅当a ＝b 时取等号)，故A 正确；对于B ，因为a ，b 是正实数，所以有1＝a ＋b ≥2ab ，即ab ≤12(当且仅当a ＝b 时取等号)，故B 不正确；对于C ，因为a ，b 是正实数，所以有a ＋b2≤（a ）2＋（b ）22＝12，即a ＋b ≤2(当且仅当a ＝b 时取等号)，故C 正确；对于D ，因为a ，b 是正实数，所以有a ＋b2≤a 2＋b 22，即a 2＋b 2≥12(当且仅当a ＝b 时取等号)，故D 正确.故选ACD. 答案 ACD12.(2020·烟台模拟)下列说法正确的是( ) A.若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4 B.若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1C.若x ，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1D.函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为9解析 对于A ，取x ＝32，y ＝12，可得2x ＋2y ＝32>4，A 错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD. 答案 BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥22a ·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.答案 1414.(2020·深圳统测)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则xy 的最小值为________，实数m 的取值范围为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，∴2x ＋1y ＝1，∴1＝2x ＋1y ≥22x ·1y，∴xy ≥8，当且仅当x ＝4，y ＝2时取等号，∴x ＋2y ＝xy ≥8，∴m 2＋2m <8，解得－4<m <2. 答案 8 (－4，2)15.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________.解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案 416.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 解析 法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.法二 设x 2＋y 2＝t ＞0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1， 所以4y 4－5ty 2＋1＝0.由Δ＝25t 2－16≥0，解得t ≥45⎝⎛⎭⎫t ≤－45舍去. 故x 2＋y 2的最小值为45.答案 45。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与方程)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1， 而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ， 因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0； 当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0， 综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ， 所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3， 则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立， 解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ， 则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|， 所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一 点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二 由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解 由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1）， 得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。
备战2022年高考数学小题满分练8+4+4word版带解析42
小题满分练(二)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{x |y ＝8－4x }，B ＝{x |(3x ＋5)(2x －7)≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，2D [∵A ＝{x |8－4x ≥0}＝{x |x ≤2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53≤x ≤72，A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，2.故选D ．]2．在复数范围内，已知p ，q 为实数，1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则p ＋q ＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－1C [因为1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则1＋i 是方程x 2＋px ＋q ＝0的另一个根，由根与系数的关系可得1＋i ＋(1－i)＝－p ，(1＋i)(1－i)＝q ，解得p ＝－2，q ＝2，所以p ＋q ＝0.故选C ．]3．雅言传承文明，经典浸润人生，某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某班级三人参赛，则三人参加项目均不相同的概率为( )A ．34 B ．89 C ．38D ．827C [某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类： “诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某班级三人参赛，基本事件总数n ＝43＝64(种)，三人参加项目均不相同的基本事件数为m ＝4×3×2＝24(种), ∴三人参加项目均不相同的概率为P ＝m n ＝2464＝38.故选C ．]4．《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等．书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长( )A ．47尺B ．1631尺C ．1629尺D ．815尺C [由题意可得：女子每日织布数成等差数列{a n }，公差为d ，其前n 项和为S n .其中：a 1＝5，S 30＝390，化为：30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629(尺)，故选C ．] 5．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，则下列结论中正确的是( ) A ．1x ＋1y 有最小值4 B ．xy 有最小值14 C ．2x ＋2y 有最大值 2D ．x ＋y 有最大值2A [∵x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，对于A ，1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋y )＝2＋x y ＋yx ≥4，故A 正确；对于B ，∵x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14，故B 错误；对于C,2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22，故C 错误；对于D ，(x ＋y )2＝x ＋y ＋2xy ＝1＋2xy ，∵xy 有最大值14，故(x ＋y )2有最大值2，故D 错误，故选A ．]6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．919B ．1021C ．1819D ．2021B [∵14i 2－1＝1(2i －1) (2i ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12i －1－12i ＋1， 由程序框图可知，输出的S 的值为S ＝14×12－1＋14×22－1＋…＋14×102－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋119－121＝1021.故选B ．] 7．设m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则“α∥β”⇒“m ∥β且n ∥α”，反之不成立．∴“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的充分不必要条件．故选A ．]8．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，AB ＝BD ＝2，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC ＝( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4B [如图所示，取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，则EF ∥AC ． 所以∠BEF 为异面直线AC 与BE 所成的角，∴∠BEF ＝60°.设BC ＝x ，则BE ＝EF ＝x 2＋42，BF ＝ 2.∴△BEF 为等边三角形，则x 2＋42＝2，解得x ＝2.故选B ．]9．若将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象向右平移a (a ＞0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为( )A ．π4 B ．5π4 C ．π12D ．5π12C [将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象向右平移a (a ＞0)个单位长度，可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3a ＋π4的图象，根据所得图象关于坐标原点对称， 可得－3a ＋π4＝k π，k ∈Z ， 则a 的最小值为π12，故选C ．]10．已知三棱锥A -BCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 都在半径为3的球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BD ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则该三棱锥的体积为( )A ．153B ．2153C ．156D ．15A [由题意，AC ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴AC ⊥BC ，∵BD ＝3，BC ＝2，CD ＝5，∴BC 2＋CD 2＝BD 2，∴BC ⊥CD ，∵AC ∩CD ＝C ，AC ⊂平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，∴BC ⊥平面ACD ，∴三棱锥A -BCD 可以扩充为以AC ，BC ，DC 为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，∴4R 2＝AC 2＋BC 2＋CD 2＝AC 2＋4＋5＝12， ∴AC ＝3，∴该三棱锥的体积为：V A -BCD ＝13×AC ×S △BCD ＝13×3×12×2×5＝153.故选A ．]11．已知函数f (x )＝x 4－tan x ＋2x 4＋2的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 的值为( )A ．0B ．2C ．4D ．6B [f (x )＝x 4－tan x ＋2x 4＋2＝x 4＋2x 4＋2－tan x x 4＋2＝1－tan xx 4＋2，令g (x )＝－tan xx 4＋2，函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ，且g (－x )＝－tan (－x )(－x )4＋2＝tan xx 4＋2，则g (x )为定义域中的奇函数，设其最大值为S ，则有最小值为－S ，∴f (x )的最大值M ＝S ＋1，最小值为m ＝1－S ， ∴M ＋m ＝1＋S ＋1－S ＝2.故选B ．]12．瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形(如图①)开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形(如图②)，所得六角形共有12条边．再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段．反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线．已知点O 是六角形的对称中心，A ，B 是六角形的两个顶点，动点P 在六角形上(内部以及边界)．若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是( )图① 图②A ．[－3,3]B ．[－4,4]C ．[－5,5]D ．[－6,6]C [设OA →＝a ，OB →＝b ，求x ＋y 的最大值，只需考虑图中以O 为起点，6个顶点分别为终点的向量即可，讨论如下：当点P 在A 处时，x ＝1，y ＝0，故x ＋y ＝1；当P 在B 处时，x ＝0，y ＝1，故x ＋y ＝1；当P 在C 处时，OC →＝OA →＋AC →＝a ＋2b ，故x ＋y ＝3；当P 在D 处时，OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋BC →＝2OC →－OB →＝2a ＋3b ，故x ＋y ＝5； 当P 在E 处时，OE →＝OA →＋AE →＝a ＋b ，故x ＋y ＝2； 当P 在F 处时，OF →＝OA →＋AF →＝a ＋3b ，故x ＋y ＝4. 于是x ＋y 的最大值为5.根据对称性，可得x ＋y 的最小值为－5，故x ＋y 的取值范围是[－5,5]，故选C ．]二、填空题：本题共4小题，满分20分，每小题5分．13．某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学用餐平均用时为________分钟．7.5 [因为有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，所以平均用时为7×6＋14×7＋15×8＋4×107＋14＋15＋4＝7.5.]14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线x ＝a2与C 交于A ，B 两点，若∠AFB ＝120°，则椭圆C 的离心率为________．45 [如图，F 可能在直线x ＝a 2的左侧，也可能在x ＝a2的右侧，把x ＝a 2代入椭圆方程，可得y 2＝34b 2， 即|AB |＝2|y |＝3b ，由∠AFB ＝120°， 得|AB |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －a 2·tan 60°＝23|c －a 2|，则3b ＝23⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －a 2，两边平方得4⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 22＝b 2，又b 2＝a 2－c 2，∴5c 2＝4ac ，得e ＝c a ＝45.]15．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2，x ＋y ≥1，y ≥2(x －2)，若z ＝x ＋ty (t ＞0)的最大值为11，则实数t ＝________.4 [作出不等式组对应的平面区域如图， 由z ＝x ＋ty 得y ＝－1t x ＋zt ， 平移直线y ＝－1t x ＋zt ，由图象知当直线y ＝－1t x ＋zt 经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大为11，由⎩⎨⎧y ＝2，y ＝2(x －2)，得A (3,2)， 则3＋2t ＝11，得2t ＝8，t ＝4.]16．已知函数f (x )＝x 3－3x ＋1，求曲线y ＝f (x )过点(1，－2)处的切线方程________．y＝－3x＋1或y＝154x－234[显然点(1，－2)不在曲线y＝f(x)上，设切点为(m，m3－3m＋1)，由f(x)＝x3－3x＋1的导数f ′(x)＝3x2－3，可得切线的斜率k＝3m2－3，切线的方程为y－(m3－3m＋1)＝(3m2－3)(x－m)，代入点(1，－2)，可得－2－(m3－3m＋1)＝(3m2－3)(1－m)，化为2m3＝3m2，解得m＝0或m＝3 2，则切线的方程为y＝－3x＋1或y＝154x－234.]。
高考数学二轮复习专练三高档小题(二)
高档小题(二)1．已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，若存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素之和为28，则实数a 的取值范围是( )A ．[9，10)B ．[7，8)C ．(9，10)D ．[7，8]2．(2013·济南市高考模拟考试)一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A.203B.403C ．20D ．403．已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax 的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝－4xD ．y 2＝8x 或y 2＝－8x4．(2013·河南省洛阳市高三年级统一考试)设F 1、F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(2013·石家庄市高三模拟考试)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2013·山西省高三上学期诊断考试)已知一个数列{a n }的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1和第(k ＋1) 个1之间有(2k －1)个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，则前2 012项中1的个数为( )A ．44B ．45C ．46D ．477．(2013·河北省普通高中高三教学质量检测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 100＝－1，S 100＝5B ．a 100＝－3，S 100＝5C ．a 100＝－3，S 100＝2D ．a 100＝－1，S 100＝28．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，已知f (x ＋1)是偶函数，(x －1)f ′(x )<0.若x 1<x 2，且x 1＋x 2>2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．不确定9．(2013·安徽省“江南十校”高三联考)对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合{π2，5π6，7π6}相对a 0的“正弦方差”为( ) A.12 B.13C.14 D ．与a 0有关的一个值10．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－1f （x ），且f (x )是偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．[14，13)B ．(0，12) C ．(0，14] D ．(13，12) 11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1y ≤2x －1x ＋y ≤m，如果目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．12．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．13．(2013·福建省普通高中毕业班质量检查)观察下列等式：13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； …则当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 14．(2013·高考福建卷)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①A ＝N ，B ＝N *；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}；③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 备选题1．如图所示，等边三角形ABC 的边长为2，D 为AC 的中点，且△ADE 也是等边三角形．在△ADE 以点A 为中心向下转动到稳定位置的过程中，BD →·CE →的取值范围是( )A ．[12，32]B ．[13，12] C ．(12，43) D ．(14，53) 2．(2013·郑州市高中毕业年级第一次质量检测)设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－12)B ．(－12，0)C ．(－12，12)D ．(0，12) 3．(2013·安徽省“江南十校”高三联考)已知△ABC 的内角A 、B 、C 成等差数列，且A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列命题中正确的有________(把所有正确的命题序号都填上)．①B ＝π3； ②若a 、b 、c 成等比数列，则△ABC 为等边三角形；③若a ＝2c ，则△ABC 为锐角三角形；④若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则3A ＝C ； ⑤若tan A ＋tan C ＋3>0，则△ABC 为钝角三角形．4．(2013·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)对于定义在区间D 上的函数f (x )，若满足对∀x 1，x 2∈D 且x 1<x 2时都有f (x 1)≥f (x 2)，则称函数f (x )为区间D 上的“非增函数”．若f (x )为区间[0，1]上的“非增函数”且f (0)＝1，f (x )＋f (1－x )＝1，又当x ∈[0，14]时，f (x )≤－2x ＋1恒成立．有下列命题：①∀x ∈[0，1]，f (x )≥0；②当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)；③f (18)＋f (511)＋f (713)＋f (78)＝2； ④当x ∈[0，14]时，f (f (x ))≤f (x )． 其中你认为正确的所有命题的序号为________．答案：高档小题(二)1．【解析】选B.注意到不等式x 2＋a ≤(a ＋1)x ，即(x －a )(x －1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a .要使集合A 中所有整数元素之和为28，必有a >1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为7×（7＋1）2＝28，因此由集合A 中所有整数元素之和为28得7≤a <8，即实数a 的取值范围是[7，8)．2．【解析】选B.该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示．其体积为13×12×(1＋4)×4×4＝403.3．【解析】选D.抛物线的焦点坐标是(a 4，0)，直线l 的方程是y ＝2(x －a 4)，令x ＝0，得y ＝－a 2，故A (0，－a 2)，所以△OAF 的面积为12×|a 4|×|－a 2|＝a 216，由题意，得a 216＝4，解得a ＝±8.故抛物线方程是y 2＝8x 或y 2＝－8x .故选D.4．【解析】选D.连接PF 2、OT (图略)，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)，|MT |＝12|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－a 2＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝(12|PF 1|－3)－(12|PF 1|－4)＝1，故选D.5．【解析】选B.作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有2个不同的交点，故选B.6．【解析】选B.依题意得，第k 个1和它后面(2k －1)个2的个数之和为2k ，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n 项和等于n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)．注意到2 012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2 012项中共有45个1，故选B.7．【解析】选A.依题意a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故数列{a n }是以6为周期的数列，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0.注意到100＝6×16＋4，因此有a 100＝a 4＝－a 1＝－1，S 100＝16(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝a 2＋a 3＝a 2＋(a 2－a 1)＝2×3－1＝5，故选A.8．【解析】选C.由题可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，由x 1<x 2且x 1＋x 2>2，可知x 2>1，x 2>2－x 1.若2－x 1>1，则f (x 2)<f (2－x 1)＝f (x 1)；若2－x 1<1，即x 1>1，此时x 1<x 2可得f (x 1)>f (x 2)；若x 1＝1，根据函数性质x ＝1时函数取得最大值，也有f (x 1)>f (x 2)．9．【解析】选 A.集合{π2，5π6，7π6}相对a 0的“正弦方差”ω＝sin 2（π2－a 0）＋sin 2（5π6－a 0）＋sin 2（7π6－a 0）3＝cos 2a 0＋sin 2（π6＋a 0）＋sin 2（π6－a 0）3＝cos 2a 0＋（12cos a 0＋32sin a 0）2＋（12cos a 0－32sin a 0）23＝cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 03＝32（sin 2a 0＋cos 2a 0）3＝12. 10．【解析】选C.由f (x ＋1)＝－1f （x ）得，f (x ＋2)＝－1f （x ＋1）＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．令g (x )＝f (x )－k (x ＋1)＝0，得函数f (x )＝k (x ＋1)，令函数y ＝k (x ＋1)，显然此函数过定点(－1，0)，作出函数f (x )和函数y ＝k (x ＋1)的图象，如图，当直线y ＝k (x ＋1)过点C (3，1)时与函数f (x )的图象有4个交点，此时直线y ＝k (x ＋1)的斜率为k ＝1－03－（－1）＝14，所以要使函数g (x )＝f (x )－k (x ＋1)有4个零点，则直线的斜率k 满足0<k ≤14.11．【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，变换目标函数为y ＝x －z ，当z最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大时．当z ＝－1，即直线y ＝x ＋1时，点A 的坐标是(2，3)，此时m ＝2＋3＝5；当z ＝－2，即直线y ＝x ＋2时，点A 的坐标是(3，5)，此时m ＝3＋5＝8.故m 的取值范围是[5，8]．因为目标函数的最大值在点B (m －1，1)处取得，所以z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数的最大值的取值范围是[3，6]．【答案】[3，6]12．【解析】如图，设球O 的半径为R ，则由AH ∶HB ＝1∶2得HA ＝13·2R ＝23R ， ∴OH ＝R 3. ∵截面面积为π＝π·(HM )2，∴HM ＝1.在Rt △HMO 中，OM 2＝OH 2＋HM 2，∴R 2＝19R 2＋HM 2＝19R 2＋1， ∴R ＝324. ∴S 球＝4πR 2＝4π·(324)2＝92π. 【答案】92π 13．【解析】由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1，1＝12－02； 由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4，12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8，39＝82－52. …依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2. 【答案】n 2－m 214．【解析】①取f (x )＝x ＋1，符合题意．②取f (x )＝92x －72，符合题意．③取f (x )＝tan π⎝⎛⎭⎫x －12，符合题意．【答案】①②③备选题1．【解析】选A.如图所示，在△ADE 转动的过程中，设∠BAD ＝θ，则∠CAE ＝θ，θ∈[0，π3]，所以BD →·CE →＝(BA →＋AD →)·(CA →＋AE →)＝|BA →|·|CA →|cos 60°＋|AD →|·|AE →|cos 60°＋BA →·AE →＋AD →·CA →＝－2cos θ＋52，又cos θ∈[12，1]，所以BD →·CE →的取值范围为[12，32]． 2．【解析】选A.对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，即2mx －12mx ＋2m (x －1x)<0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－（1＋4m 2）2mx<0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m <0，因为8m 2x 2－(1＋4m 2)>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以x 2>1＋4m 28m 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以1>1＋4m 28m 2，解得m <－12或m >12(舍去)，故m <－12. 3．【解析】∵内角A 、B 、C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B .又A ＋B ＋C ＝π.∴B ＝π3，故①正确；对于②，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2－ac .又b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝π3， ∴△ABC 为等边三角形；对于③，∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4c 2＋c 2－2c 2＝3c 2，∴b ＝3c ，此时满足a 2＝b 2＋c 2，说明△ABC 是直角三角形；对于④，c 2＝bc cos A ＋ac cos B＋ab cos C ＝12ac ＋b (c cos A ＋a cos C )＝12ac ＋b 2＝12ac ＋a 2＋c 2－ac ，化简得c ＝2a ，又b 2＝a 2＋c 2－ac ＝3a 2，∴b ＝3a ，此时有a 2＋b 2＝c 2，∴C ＝π2，B ＝π3，A ＝π6，∴3A ＝C 成立；对于⑤，tan A ＋tan C ＝tan(A ＋C )·(1－tan A tan C )，∵A ＋C ＝2π3，∴tan A ＋tan C ＝－3＋3tan A tan C ，∵tan A ＋tan C ＋3＝3tan A tan C >0，又在△ABC 中，A 、C 不能同为钝角，∴A 、C 都是锐角，∴△ABC 为锐角三角形．【答案】①②④4．【解析】f (0)＝1，f (x )＋f (1－x )＝1，令x ＝1得，f (1)＝0，即0＝f (1)≤f (x )≤f (0)＝1，①正确；令x ＝12得，f (12)＝12，令x ＝34，得f (34)＝1－f (14)≤f (14)，得f (14)≥12，又f (x )≤－2x ＋1在x ∈[0，14]上恒成立，所以f (14)≤－12＋1＝12，所以f (14)＝12，结合“非增函数”的定义可知，当x ∈[14，12]时，f (x )＝12，即②错；对于③，显然f (18)＋f (78)＝1，又当x ∈[14，12]时，f (x )＝12，所以f (511)＝f (613)＝12，又f (613)＋f (713)＝1，所以f (713)＝12，即③正确；对于④，令f (x )＝t ，不等式左边为f (t )，右边为f (x )，当x ∈[0，14]时，t ＝f (x )∈[12，1]，f (t )∈[0，12]，f (t )≤f (x )，即④正确． 【答案】①③④。
高考数学一轮总复习练习数列小题综合练 (2)
1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．92．在等比数列{a n }中，a 5a 7＝6，a 2＋a 10＝5，则a 18a 10等于( )A ．－23或－32B.23C.32D.23或323．已知等差数列{a n }(n ∈N *)的公差为d ，前n 项和为S n ，若a 1>0，d <0，S 3＝S 9，则当S n 取得最大值时，n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．(2020·绍兴柯桥区调研)已知等比数列{a n }中有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且a 7＝b 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．165．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，(n ＋1)S n ＝(6n ＋18)T n .若a nb n ∈Z ，则n的取值集合为( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3,5}D ．{1,2,3,6}6．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99·a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 99·a 101－1>0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④7．(2019·杭州期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，S 50＝0.设b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则当数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时，n 的值为( ) A ．23 B ．25 C ．23或24D ．23或258．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，a 2n ＋1＝a 2n ＋3n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2 017项的和为( ) A ．31 003－2 005 B ．32 016－2 017 C ．31 008－2 017D ．31 009－2 0189．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3a n ＋2n －3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 10．(2019·舟山期末)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝5，a n ＋1＝3S n ＋1，n ∈N *，则a 2＝________，S 4＝______.11．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．10012．已知a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，又函数F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝2n C ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n 2－2n ＋313．已知函数f (x )＝x 2＋2x (x >0)，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2 019(x )在[1,2]上的最大值是( ) A ．42 018－1 B ．42 019－1 C ．92 019－1D ．322 019－114．(2020·杭州市学军中学质检)已知数列{a n }满足a 1＝－12，a n ＋1＝a 2n ＋3a n ＋1，若b n ＝1a n ＋2，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则使得|S 2 019－k |最小的整数k 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．315．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }，又记数列{c n }满足c 1＝b 1，c 2＝b 2，c n ＝b n －b n －1(n ≥3，n ∈N *)，则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 019的值为______．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1且a n ＋1－2a n －1＝0，若(－1)n λ≤S n ＋2n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是__________．答案精析1．A 2.D 3.C 4.C 5.D 6.B 7.D 8．D 9.2－⎝⎛⎭⎫32n10.4 8511．D [由于f (n )＝sin n π25的周期T ＝50，由正弦函数的图象可知a 1，a 2，…，a 24>0，a 25＝0，a 26，a 27，…，a 49<0，a 50＝0， 且sin 26π25＝－sin π25，Sin 27π25＝－sin 2π25，….但是f (n )＝1n 单调递减，a 26，…，a 49都为负数，但是|a 26|<a 1，|a 27|<a 2，…，|a 49|<a 24.∴S 1，S 2，…，S 25都为正，且S 26，S 27，…，S 50都为正， 同理S 1，S 2，…，S 75都为正，且S 75，…，S 100都为正， 即正数个数为100.]12．C [F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1在R 上为奇函数， 故F (－x )＝－F (x )，代入得f ⎝⎛⎭⎫12－x ＋f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝2，x ∈R ， 当x ＝0时，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，令t ＝12－x ， 则12＋x ＝1－t ，上式即为f (t )＋f (1－t )＝2， 当n 为偶数时，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1) ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1n ＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝2×n2＋1＝n ＋1，当n 为奇数时，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋…＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －12n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋12n＝2×n ＋12＝n ＋1，综上所述，a n ＝n ＋1.]13．D [∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )>0， ∴f 1(x )＝f (x )＝x 2＋2x 在[1,2]上为增函数， 即f 1(x )max ＝8＝32－1，且f 1(x )>0，同理f 2(x )max ＝f (f 1(x )max )＝f (32－1＋1)2－1＝34－1＝322－1，且f 2(x )>0， 同理f 3(x )max ＝f (f 2(x )max )＝f (34－1＋1)2－1＝38－1＝323－1，且f 3(x )>0， 依此类推f 2 019(x )max ＝f (f 2 018(x )max )＝322 019－1.] 14．C [因为a n ＋1＝a 2n ＋3a n ＋1，所以a n ＋1－a n ＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n＋1)2≥0， 所以{a n }为递增数列，而a n ＋1＋1＝a 2n ＋3a n ＋2 ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，所以1a n ＋1＋1＝1(a n ＋1)(a n ＋2)＝1a n ＋1－1a n ＋2， 所以b n ＝1a n ＋2＝1a n ＋1－1a n ＋1＋1，因为数列{b n }的前n 项和为S n ，a 1＝－12，所以S 2 019＝1a 1＋1－1a 2＋1＋1a 2＋1－1a 3＋1＋…＋1a 2 019＋1－1a 2 020＋1＝2－1a 2 020＋1.而a 2＋1＝(a 1＋1)(a 1＋2)＝34，a 3＋1＝(a 2＋1)(a 2＋2)＝2116，所以a 2 020＋1>a 3＋1＝2116，从而得到2－1a 2 020＋1∈⎝⎛⎭⎫2621，2， 所以|S 2 019－k |要取最小，k 的整数值为2.] 15．3解析 记“兔子数列”为{a n }，则数列{a n }每个数被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，…，可得数列{b n }构成一个周期为6的数列，由题意得数列{c n }为1,1,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1，1,0,1,1，－2，－1，…，观察数列{c n }可知该数列从第三项开始后面所有的数列构成一个周期为6的数列，且每一个周期的所有项的和为0，所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 019＝(c 1＋c 2)＋(c 3＋…＋c 2 018)＋c 2 019＝1＋1＋1＝3. 16．[－3,8]解析 因为a n ＋1－2a n －1＝0， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，公比为2的等比数列， 所以a n ＋1＝2n ，a n ＝2n －1. 因此S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .所以(－1)n λ≤S n ＋2n 对任意n ∈N *恒成立，可化为(－1)n λ≤2n ＋1＋n －2对任意n ∈N *恒成立． 当n 为奇数时，－λ≤(2n ＋1＋n －2)min ， 所以 －λ≤3，即λ≥－3；当n 为偶数时，λ≤(2n ＋1＋n －2)min ， 解得λ≤8.综上，实数λ的取值范围是[－3,8]．。
《最高考》聚焦小题强化训练50练（提升版）（含详细解答）
(第 7 题) 6.已知函数 f(x)＝sinx(x∈[0，π])和函数 g(x)＝12tanx 的图象交于 A，B，C 三点，则△ABC 的面 积为________． 7.如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则VV12的值是________． 8.已知函数 f(x)＝mx3x＋＋x22＋，mx>，1，0≤x≤1，若函数 f(x)有且只有两个零点，则实数 m 的取值范围是 ________．
11.(本小题满分 16 分) 某农场有一块农田，如图，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温 室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求 A，B 均在 线段 MN 上，C，D 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 θ. (1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sinθ 的取值范围； (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值 之比为 4∶3.求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
小题强化训练二
一、填空题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分． 1.已知复数 z 满足(z－2)i＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位 于第________象限． 2.设集合 A＝{x|y＝ln(x2－3x)}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则 A∪B＝____________． 3.若 θ∈(0，π4)，且 sin2θ＝14，则 sin(θ－π4)＝________． 4.已知一个正方体的外接球体积为 V1，其内切球体积为 V2，则VV12的值为________. 5.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝3，且数列{ Sn }也为等差数列，则 a11＝________． 6.在▱ABCD 中，∠BAD＝60°，E 是 CD 上一点，且A→E＝12A→B＋B→C，|A→B|＝λ|A→D|.若A→C·E→B＝12A→D 2，则 λ＝________． 7.设函数 f(x)＝lnx＋mx ，m∈R，若对任意 x2＞x1＞0，f(x2)－f(x1)＜x2－x1 恒成立，则实数 m 的 取值范围是__________． 8.已知实数 x，y 满足 x2＋y2＝1，则（x－1y）2＋（x＋1y）2的最小值为________． 二、解答题：本大题共 4 小题，共 60 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤． 9.(本小题满分 14 分) 在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求 cos∠ADB 的值； (2)若 DC＝2 2，求 BC 的值．
高考数学真题练习二
B．y=|x|C．y=-x3D．y=e x+e-x A．12B．0D．-1（2023•海淀区校级三模）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）题型：计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．答案：A思路：根据奇偶函数的定义，可得结论．解析：解：根据奇偶函数的定义，可得B，D为偶函数，C为奇函数，A既不是奇函数也不是偶函数．故选：A．总结：本题考查奇偶函数的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．（2023•红山区模拟）已知函数f（x）的定义域为R，f（2x+2）为偶函数，f（x+1）为奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=ax+b.若f（4）=1，则3i=1f(i+12)=（ ）题型：函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．答案：C思路：由f（2x+2）为偶函数，f（x+1）为奇函数得到f（x+5）=f（x+1），故函数f（x）的周期T=4，结合f（4）=1得到b=1，由f（-x+1）=-f（x+1）得f（1）=0，从而求出a=-1，采用赋值法求出f(32)=−12，f(32)=f(52)=−12，再使用求出的f（x）的周期T=4，赋值法得到f(72)=12．解析：解：因为f（2x+2）为偶函数，所以f（-2x+2）=f（2x+2），用12x+12代替x得：f（-x+1）=f（x+3），因为f（x+1）为奇函数，所以f（-x+1）=-f（x+1），故f（x+3）=-f（x+1）①，用x+2代替x得：f（x+5）=-f（x+3）②，由①②得：f（x+5）=f（x+1），所以函数f（x）的周期T=4，所以f（4）=f（0）=1，即b=1，因为f（-x+1）=-f（x+1），令x=0得：f（1）=-f（1），故f（1）=0，f（1）=a+b=0，解得：a=-1，所以x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，因为f（-x+1）=-f（x+1），令x=12，得f(12)=−f(32)，A．C．6D．10其中f(12)=−12+1=12，所以f(32)=−12，因为f（-2x+2）=f（2x+2），令x=14得：f(−2×14+2)=f(2×14+2)，即f(32)=f(52)=−12，因为T=4，所以f(72)=f(72−4)=f(−12)，因为f（-x+1）=-f（x+1），令x=32得：f(−12)=−f(52)=12，故f(72)=12，3i=1f(i+12)=f(32)+f(52)+f(72)=−12−12+12=−12．故选：C．总结：本题主要考查了抽象函数的对称性和周期性，考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题．（2023春•浙江月考）已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）为奇函数．若函数g(x)=ln(x2−2x+2−x+1)与函数f（x）图像有5个交点，其横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，则5i=1x i=（ ）√题型：整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：B思路：由题意可得，函数g（x）与函数f（x）的图像都关于点（1，0）对称，有x1+x5=2，x2+x4=2，x3=1，可求和．解析：解：∵f（x+1）为奇函数，函数图像关于原点对称，且f（x+1）是由f（x）向左平移1个单位长度得到，∴f（x）的图像关于点（1，0）对称，对于函数h(x)=ln(x2+1−x)，定义域为R，有h(−x)+h(x)=ln(x2+1+x)+ln(x2+1−x)=ln1=0，∴函数h（x）为奇函数，其图像关于原点对称，∴函数g(x)=h(x−1)=ln[(x−1)2+1−(x−1)]的图像关于点（1，0）对称，∴x1+x5=2，x2+x4=2，x3=1，∴5i=1x i=5．故选：B．√√√√总结：本题主要考查了函数的奇偶性及对称性在函数求值中的应用，属于中档题．B．4C．-4D．−32 A．f（x）为偶函数B．f（x）周期为2C．f(92)=1（2023•喀什地区模拟）已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）为奇函数且f（6-x）=f（x），当x∈[1，3]时，f（x）=2x-2x2，则f（2023）=（ ）题型：转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：A思路：类似于正弦函数的图象，相邻的对称轴与对称中心之间的距离为T4，由此确定周期，即可求值．解析：解：f（x+1）为奇函数，则f（x）的对称中心为（1，0），又f（6-x）=f（x），则f（x）的对称轴为x=3，则f（x）的周期为T=4×（3-1）=8，f（x+1）为奇函数，则f（x+1）=-f（-x+1）则f（2023）=f（-1）=-f（3）=10．故选：A．总结：本题考查函数的周期性，对称性，属于中档题．（2023春•广东期末）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x-1）关于（1，0）中心对称，f（x+1）是偶函数，且f(−32)=1．则下列选项中说法正确的有（ ）题型：转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：D思路：由函数的对称性和奇偶性的定义，可判断A；由奇偶性和周期性的定义，求得f（x）的周期，可判断B；由周期性和奇偶性的定义，计算可判断C；由周期性和奇偶性的定义，可判断D．解析：解：由f（x-1）关于（1，0）中心对称，可得f（x-1）+f（2-x-1）=0，即为f（x-1）+f（1-x）=0，即有f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数，故A错误；由f（x+1）是偶函数，可得f（-x+1）=f（x+1），即为f（-x）=f（x+2），所以f（x+2）=-f（x），则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期为4，故B错误；由f（92）=f（92-4）=f（12）=f（32）=-f（-32）=-1，故C错误；A．-5B．2C．由f（x-2）=f（x+2）=-f（-x-2），可得f（x-2）为奇函数，故D正确．故选：D．总结：本题考查函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．（2023春•科左中旗校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=5且f（x+3）=-f（x），则f （2022）+f（2023）=（ ）题型：整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：D思路：由题意可得函数的周期为6，然后利用周期和f（0）=0，f（1）=5可求得结果．解析：解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，因为f（x+3）=-f（x），所以f（x+6）=-f（x+3），所以f（x+6）=f（x），所以f（x）的周期为6，所以f（2022）+f（2023）=f（6×337）+f（6×337+1）=f（0）+f（1）=0+5=5．故选：D．总结：本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于基础题．（2023•甲卷）若y=（x-1）2+ax+sin（x+π2）为偶函数，则a=2．题型：计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：2．思路：根据题意，由偶函数的定义可得f（-x）=x2+2x-ax+1+cosx=x2-2x+ax+1+cosx=f（x），变形分析可得答案．解析：解：根据题意，设f（x）=（x-1）2+ax+sin（x+π2）=x2-2x+ax+1+cosx,其定义域为R，若f（x）为偶函数，则f（-x）=x2+2x-ax+1+cosx=x2-2x+ax+1+cosx=f（x），变形可得（a-2）x=0，必有a=2．故答案为：2．总结：本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数奇偶性的定义，属于基础题．A．-53B．-13D．53 A．-2B．-1C．1（2021•甲卷）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）=f（-x）．若f（-13）=13，则f（53）=（ ）题型：转化思想；定义法；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理．答案：C思路：由已知f（-x）=-f（x）及f（1+x）=-f（x）进行转化得f（2+x）=f（x），再结合f（-13）=13从而可求．解析：解：由题意得f（-x）=-f（x），又f（1+x）=f（-x）=-f（x），所以f（2+x）=f（x），又f（-13）=13，则f（53）=f（2-13）=f（-13）=13．故选：C．总结：本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，属于基础题．（2023•乙卷）已知f（x）=xexeax−1是偶函数，则a=（ ）题型：转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：D思路：根据偶函数的性质，运算即可得解．解析：解：∵f（x）=xexeax−1的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴−xe−xe−ax−1=xexeax−1，∴xeax−xeax−1=xexeax−1，A．y=sinxC．y=x3D．y=2x ∴ax-x=x,∴a=2．故选：D．总结：本题考查偶函数的性质，化归转化思想，属基础题．（2023•上海）下列函数是偶函数的是（ ）题型：函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．答案：B思路：根据偶函数的定义逐项分析判断即可．解析：解：对于A，由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y=x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y=2x为非奇非偶函数．故选：B．总结：本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题．（2023•全国）f（x）为R上奇函数，f（x+4）=f（x），f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=6，f（-3）= 6．题型：转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．答案：6．思路：根据已知条件，结合奇函数的性质，以及函数的周期性，即可求解．解析：解：f（x+4）=f（x），则函数f（x）的周期为4，f（x）为R上奇函数，f（0）=f（4）=0，令x=-2，则f（-2+4）=f（2）=f（-2）=-f（2），解得f（2）=0，令x=-3，则f（1）=f（-3）=-f（3），f（1）=f（5）=f（-3），所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=-f（3）+f（2）+f（3）+f（4）+f（-3）=f（-3）=6．故答案为：6．总结：本题主要考查奇函数的性质，以及函数的周期性，属于基础题．A．-2B．2D．4 A．恒为正数B．恒等于零D．可能大于零，也可能小于零（2023春•烟台期末）已知定义在R上的奇函数f(x)=V WX4−2x+2，x≥0g(x)，x<0，则f(g(lo g245))的值为（ ）题型：整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：C思路：根据函数的奇偶性以及自变量的取值范围，即可代入求解．解析：解：由于log245<0，所以g(log245)=f(log245)，由于f（x）为奇函数，所以f(log245)=−f(−log245)=−f(log254)，f(lo g254)=4−2log254+2=4−4×2log254=4−4×54=−1，所以g(lo g245)=f(lo g245)=−f(lo g254)=1，f(g(log245))=f(1)=4−23=−4，故选：C．总结：本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．（2023春•邹平市期末）已知函数f（x）=-x-x3，α，β，γ∈R，且α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，则f（α）+f （β）+f（γ）的值（ ）题型：转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．答案：C思路：根据函数的解析式可得函数是奇函数，并且根据函数解析式可得函数是减函数，所以根据题意α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，可得α＞-β，β＞-γ，γ＞-α，进而结合函数的奇偶性与函数的单调性即可得到答案．解析：解：由题意可得：函数f（x）=-x-x3，所以函数的定义域为R，并且有f（-x）=x+x3=-f（x），所以函数f（x）是定义域内的奇函数．A．2B．-1D．2 A．54C．56D．57因为-x是减函数，-x3也是减函数，所以函数f（x）=-x-x3在R上是减函数．因为实数α、β、γ满足α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，所以α＞-β，β＞-γ，γ＞-α，所以f（α）＜f（-β）=-f（β）…①，f（β）＜f（-γ）=-f（γ）…②，f（γ）＜f（-α）=-f（α）…③，①+②+③并且整理可得：f（α）+f（β）+f（γ）＜0．故选：C．总结：本题主要考查函数的值，属于中档题．（2023春•南京月考）已知函数f（x）=V Y YW YY Xlog2x,x≥0，−12sinx,x<0.，则f（f（-π6））=（ ）√题型：对应思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．答案：C思路：根据分段函数的解析式求函数值即可．解析：解：由条件可得f（-π6）=-12sin（-π6）=14，则f（f（-π6）=f（14）=log214=-2．故选：C．总结：本题考查分段函数求值问题，属于基础题．（2023•河南模拟）已知f（x）是定义域为R的单调递增的函数，∀n∈N，f（n）∈N，且f（f（n））=3n,则f （28）=（ ）题型：整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：B思路：由f（f（n））=3n,所以f（f（1））=3因为x∈N，f（x）∈N，且f（x）单调递增，所以f（1）=2，f（f（1））=f（2）=3．然后推理求解即可．解析：解：因为n∈N有f（f（n））=3n,令f（1）=a＞f（0），则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．从而a＞1，由f（f（1））=3．即得f（a）=3，A．-1B．1D．4 A．1−3B．−1+3D．1+3 f（a）＞f（1）=a,即a＜3，于是1＜a＜3，且a∈N．所以a=2，所以f（1）=2，f（f（1））=f（2）=3．因为f（f（2））=f（3）=6所以f（f（3））=f（6）=9，于是f（4）=7，f（5）=8．因为f（f（4））=f（7）=12所以f（f（7））=f（12）=21．因为f（f（6））=f（9）=18所以f（10）=19，f（11）=20．因为f（f（9））=f（18）=27，f（f（10））=f（19）=30，所以f（f（18））=f（27）=54，f（f（19））=f（30）=57，所以f（28）=55，f（29）=56．故选：B．总结：本题主要考查了函数的单调性在函数求值中的应用，属于中档题．（2023春•炎陵县期末）已知函数f（x）满足f（2x）=log2x,则f（16）=（ ）题型：整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：C思路：根据16=24，代入求解即可．解析：解：∵函数f（x）满足f（2x）=log2x,且f（16）=f（24），∴f（16）=f（24）=log24=2，故选：C．总结：本题主要考查函数值的求解，考查计算能力，属于基础题．（2023春•亳州期末）已知f(x)=V WX lg(−x)，−1≤x<02x，0≤x≤1，则f(−110)−f(lo g43)=（ ）√√√题型：整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：C思路：由已知函数解析式代入即可直接求解．解析：解：因为f(x)=V WX lg(−x)，−1≤x<02x，0≤x≤1，所以f(−110)−f(log43)=lg110−2log43=−1−3．√A．2C．1D．-1 A．12B．18C．18或−12故选：C．总结：本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．（2023•琼海校级模拟）已知将函数f（x）的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，若f（x+3）+f（-x-2）=0，且f（2023）=2，则f（2）=（ ）题型：转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．答案：B思路：由题意得函数关于x=1对称，即f（1-x）=f（1+x），结合f（x+3）+f（-x-2）=0，可得函数f（x）的周期为2，再根据f（2023）=2，求出f（2）的值．解析：解：因为将函数f（x）的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，所以函数f（x）关于x=1对称，即f（1-x）=f（1+x），即f（x+4）=f（-x-2）；又因为f（x+3）+f（-x-2）=0，所以f（x+3）+f（x+4）=0，即f（x）+f（x+1）=0，所以f（x+2）+f（x+3）=0，因为f（x+3）+f（-x-2）=0，所以f（-x-2）=f（x+2），即f（-x）=f（x），所以由f（1-x）=f（1+x），得f（x-1）=f（1+x），即f（x）=f（x+2），所以函数f（x）的周期为2，则f（2023）=f（2022+1）=f（1）=2，由f（x）+f（x+1）=0，得f（2）=-f（1）=-2．故选：B．总结：本题主要考查函数值的求解，属于中档题．（2023春•沈阳期末）已知函数f(x)=V WX x−1，x>0，4x,x≤0，，若f(a)=−12，则实数a的值为（ ）题型：整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：D思路：由已知结合函数解析式对a的范围进行分类讨论，结合已知等式可求．解析：解：当a＞0时，f(a)=a−1=−12，可得a=12；当a≤0时，由f(a)=4a=−12，可得得a=−18，A．0B．1C．2A．-1B．D．π故a=12或-18．故选：D．总结：本题主要考查了分段函数中，由函数值求解变量的值，属于基础题．（2022•岳普湖县一模）已知函数f（x）=V WX f(x−1)，x>0−x+3，x≤0，则f（2）的值为（ ）题型：计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：D思路：由分段函数代入化简即可．解析：解：由题意得，f（2）=f（1）=f（0）=-0+3=3，故选：D．总结：本题考查了分段函数的应用，属于基础题．（2022秋•五家渠期中）设f（x）=V Y YW YY Xx−2，x>0π，x=00，x<0，则f{f[f（-2）]}=（ ）题型：计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：C思路：根据分段函数及自变量的值代入化简即可．解析：解：∵-2＜0，∴f（-2）=0，∴f[f（-2）]=f（0）=π，∴f{f[f（-2）]}=f（π）=π-2，故选：C．总结：本题考查了分段函数的应用，属于基础题．（2021秋•宁乡市期末）已知函数f(x)=V WX x+1，x≤1−x+3，x>1，则f[f（2）]=（ ）A．0B．1D．3答案：C思路：根据x=2＞1符合f（x）=-x+3，代入求出f（x），因为f（x）=1≤1，符合f（x）=x+1，代入求出即可．解析：解：∵x=2＞1，∴f（x）=-x+3=-2+3=1，∵1≤1，∴f[f（x）]=x+1=1+1=2，即f[f（x）]=2，故选：C．总结：本题考查了分段函数的应用，注意：要看x的取值在x＞1范围内还是x≤1范围内，再代入相应的函数解析式中，求出即可．（2022秋•门头沟区期末）已知f(x)=V Y YW YY X12x+1，x≤0−(x−1)2，x>0，则f（f（2））=12．题型：计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：12．思路：由里向外，算出f（2），再算f（-1）即可．解析：解：由已知得f（2）=-（2-1）2=-1，故f（f（2））=f（-1）=−12+1=12．故答案为：12．总结：本题考查分段函数函数值的计算，属于基础题．（2022秋•潍坊月考）已知函数f(x)=V Y WY X2x−1−2，x≤1log2(x+1)，x>1，试举出一个a的值，使得f(a)+f(6−a)=54成立，则a可以为-1或7（写出一个即可）.（写出一个即可）题型：函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．答案：-1或7（写出一个即可）．思路：讨论a≤1和a＞5时，写出f（a）+f（6-a）的值，求解实数a的值．A．20C．3D．1 "（2022秋•鼓楼区校级期末）若函数f（x）和g（x）分别由下表给出：x1234f（x）2341x1234g（x）2143则满足g（f（x））=1的x值是（ ）A．4B．3C．2D．1【考点】函数的值．解析：解：因为函数f(x)=V Y WY X2x−1−2，x≤1log2(x+1)，x>1，当a≤1时，6-a≥6-1=5，所以f（a）=2a-1-2，f（6-a）=log2（6-a+1）=log2（7-a），又因为f（a）+f（6-a）=54，所以2a-1-2+log2（7-a）=54，即2a-1+log2（7-a）=134，解得a=-1；当a＞5时，6-a＜1，所以f（6-a）=26-a-1-2=25-a，f（a）=log2（a+1），又因为f（a）+f（6-a）=54，所以25-a-2+log2（a+1）=54，即25-a+log2（a+1）=134，解得a=7；所以a的值可以是-1或7．故答案为：-1或7（写出一个即可）．总结：本题考查了根据函数解析式求函数值的应用问题，是中档题．（2023春•龙岗区校级期末）已知函数f（x）=x2+x,那么f（1）=（ ）题型：转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．答案：B思路：由题意，根据函数的解析式求出f（1）的值．解析：解：∵函数f（x）=x2+x,∴f（1）=12+1=2．故选：B．总结：本题主要考查根据函数的解析式求函数的值，属于基础题．函数的最值题型：函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．答案：D思路：根据表中的对应关系，可以得出g （f （x ））=1的f （x ）的值，从而找出x 的值．解析：解：因为g （f （x ））=1，所以f （x ）=2，所以x=1．故选：D ．总结：本题考查了函数的对应关系应用问题，是基础题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练2(附解析)
强化训练2 复数、平面向量一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·北京卷]若复数z 满足i·z ＝3－4i ，则|z |＝( )A ．1B ．5C ．7D ．252．[2022·山东潍坊三模]已知复数z 满足(i －1)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为( )A.－1 B ．1 C ．0 D ．23．[2022·山东淄博一模]若复数z ＝2＋i a ＋i的实部与虚部相等，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．34．[2022·河北保定二模]已知向量AB → ＝(2，－1)，BC → ＝(1，－3)，则|AC → |＝( )A ．3B ．4C ．5D ．65．[2022·山东临沂三模]向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，0)，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π4C ．3π4D ．2π36．[2022·福建福州三模]已知向量a ，b 为单位向量，且a ⊥b ，则b ·(4a －3b )＝( )A ．－3B ．3C ．－5D ．57．如图，在▱ABCD 中，M 为BC 的中点，AC → ＝mAM → ＋nBD → ，则m ＋n ＝( )A ．1B ．43C ．53D ．2 8．[2022·湖南师大附中一模]在△ABC 中，已知∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB → ·PC → 的最大值为( )A ．165B ．365C ．465D ．565二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·山东日照二模]已知向量m ＝(2，0)，n ＝(1，1)，则( )A ．m ∥nB ．(m －n )⊥nC ．m ⊥nD ．|m |＝2 |n |10．[2022·广东广州三模]若z ＋|z |＝8－4i ，其中i 为虚数单位，则下列关于复数z 的说法正确的是( )A ．|z |＝5B ．z 的虚部为－4iC ．z̅＝－3＋4iD ．z 在复平面内对应的点位于第四象限11．[2022·山东淄博三模]已知复数z 1，z 2，满足|z 1|·|z 2|≠0，下列说法正确的是( )A ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21 ＝z 22B ．|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|C ．若z 1z 2∈R ，则z 1z 2∈R D ．|z 1z 2|＝|z 1||z 2|12．[2022·山东聊城三模]在平面四边形ABCD 中，|AB → |＝|BC → |＝|CD → |＝DA → ·DC → ＝1，BA → ·BC → ＝12，则( ) A.|AC → |＝1B ．|CA → ＋CD → |＝|CA → －CD → |C ．AD → ＝2BC →D ．BD → ·CD → ＝2＋32三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·辽宁鞍山二模]已知i 为虚数单位，则3＋i 1－i＝________(写成最简形式). 14．[2022·河北张家口一模]已知向量a ＝(－1，－2)，b ＝(－x ，3)，若a ∥b ，则x ＝________．15．[2022·广东茂名二模]已知向量a ＝(t ，2t )，b ＝(－t ，1)，若(a －b )⊥(a ＋b )，则t ＝________．16．[2022·山东师范大学附中模拟]边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM → ·PN→ 的取值范围是________．强化训练2 复数、平面向量1．解析：方法一 由i·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ＝（3－4i ）·（－i ）i·（－i ）＝－3i ＋4i2－i2＝－4－3i ，所以|z|＝（－4）2＋（－3）2 ＝5.故选B. 方法二 由i·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ，所以|z|＝|3－4i i |＝|3－4i||i| ＝32＋（－4）202＋12＝5.故选B. 答案：B2．解析：∵（i －1）z ＝1＋i ， ∴z ＝1＋i －1＋i ＝（1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝－2i 2 ＝－i ， ∴z ＝i ，即z 的虚部为1.答案：B 3．解析：z ＝2＋i a ＋i ＝（2＋i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ） ＝2a ＋1＋（a －2）i a2＋1， 因为复数z ＝2＋i a ＋i的实部与虚部相等， 所以2a ＋1＝a －2，解得a ＝－3，故实数a 的值为－3.答案：A4．解析：由题意可得AC→ ＝AB → ＋BC → ＝（3，－4），所以|AC → |＝32＋（－4）2 ＝5.答案：C5．解析：由题意得：cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b| ＝－12＝－22 ，则a 与b 的夹角为3π4 . 答案：C6．解析：由题意可得，|a|＝1，|b|＝1，a·b ＝0，则b·（4a －3b ）＝4a·b －3b2＝－3b2＝－3.答案：A7．解析：AM → ＝AB → ＋12 BC → ＝AB → ＋12AD → ，而BD → ＝AD → －AB → ， 故AC → ＝m （AB → ＋12 AD → ）＋n （AD → －AB → ）＝（m －n ）AB → ＋（m 2＋n ）AD → ，而AC → ＝AB → ＋AD → 且AB → ，AD → 不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1m 2＋n ＝1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝43n ＝13⇒m ＋n ＝53 . 答案：C8．解析：设AD 为斜边BC 上的高，则圆A 的半径r ＝AP ＝2×44＋16＝455 ， 设E 为斜边BC 的中点，〈PA → ，AE → 〉＝θ，因为|PA → |＝455，|AE → |＝ 5 ， 则PB → ·PC → ＝（PA → ＋AB → ）·（PA→ ＋AC → ） ＝PA → 2＋PA → ·（AB→ ＋AC → ） ＝165 ＋PA → ·2AE →＝165 ＋2×455 ×5 cos θ＝165 ＋8cos θ，所以PB → ·PC → 的最大值为165 ＋8＝565 .答案：D9．解析：由m ＝（2，0），n ＝（1，1），m －n ＝（1，－1），对于A ，若m ∥n ，由2×1≠0×1，故A 错误；对于B ，若（m －n ）⊥n ，则1×1＋（－1）×1＝0，符合题意，故B 正确； 对于C ，若m ⊥n ，由m·n ＝2×1＋0×1＝2≠0，故C 错误；对于D ，|m|＝2，|n|＝12＋12 ＝ 2 ，故D 正确．答案：BD10．解析：设z ＝a ＋bi ，则|z|＝a2＋b2 ，z ＋|z|＝a ＋bi ＋a2＋b2 ＝8－4i ，则⎩⎨⎧a ＋a2＋b2＝8b ＝－4，即得⎩⎨⎧a ＝3b ＝－4 ，即z ＝3－4i ， |z|＝9＋16 ＝5，A 正确；z 的虚部为－4，B 错误；z ̅＝3＋4i ，C 错误；z 在复平面内对应的点为（3，－4），位于第四象限，D 正确．答案：AD11．解析：对选项A ，设z1＝1＋i ，z2＝ 2 i ，则|z1|＝|z2|＝ 2 ，z 21 ＝（1＋i ）2＝2i ，z 2 ＝（ 2 i ）2＝－2，不满足z 21 ＝z 2 ，故A 错误． 对选项B ，设z1，z2在复平面内表示的向量分别为z1，z2，且z1，z2≠0， 当z1，z2方向相同时，|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|，当z1，z2方向不相同时，|z1＋z2|<|z1|＋|z2|，综上|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，故B 正确．对选项C ，设z1＝1＋i ，z2＝1－i ，z1z2＝（1＋i ）（1－i ）＝2∈R ，z1z2 ＝1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ） ＝i ∉R ，故C 错误．对选项D ，设z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di ，a ，b ，c ，d≠0，z1z2＝（a ＋bi ）（c ＋di ）＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ，则|z1z2|＝（ac －bd ）2＋（ad ＋bc ）2 ＝（ac ）2＋（bd ）2＋（ad ）2＋（bc ）2 ，|z1||z2|＝a2＋b2 ·c2＋d2 ＝（ac ）2＋（bd ）2＋（ad ）2＋（bc ）2 ＝|z1z2|，故D 正确．答案：BD12．解析：因为|AB → |＝|BC → |＝|CD → |＝1，BA → ·BC → ＝|BA → ||BC → |cos B ＝12，可得B ＝π3 ，所以△ABC 为等边三角形，则|AC→ |＝1 ，故A 正确； 因为|CD → |＝1，所以CD → 2＝1，又DA → ·DC → ＝1，所以CD → 2＝DA → ·DC→ ， 得DC → 2－DA → ·DC → ＝DC → ·（DC → －DA → ）＝DC → ·AC→ ＝0， 所以AC ⊥CD ，则|CA→ ＋CD → |＝|CA → －CD → |，故B 正确； 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则B （－12 ，0），C （12 ，0），D （1＋32 ，12 ），BD → ＝（2＋32 ，12 ），CD → ＝（32 ，12）， 所以BD → ·CD → ＝2＋32，故D 正确． 答案：ABD13．解析：3＋i 1－i ＝（3＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝3＋3i ＋i ＋i22 ＝1＋2i. 答案：1＋2i14．解析：因为a ∥b ，所以2x ＝－3，解得x ＝－32. 答案：－3215．解析：因为（a －b ）⊥（a ＋b ），所以（a －b ）·（a ＋b ）＝0，所以a2－b2＝0，则|a|＝|b|，所以t2＋4t2＝t2＋1，所以t ＝±12 .答案：±1216．解析：如图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，PM → ·PN → ＝（PO → ＋OM → ）·（PO → －OM → ）＝|PO → |2－|OM → |2＝|PO → |2－14， 当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，|OP → |min ＝12 ，当P 与正方形ABCD 的顶点重合时，|OP → |max ＝22， 即12 ≤|OP → |≤22 ，因此，PM → ·PN → ＝|PO → |2－14 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 . 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14。
2022年新高考数学压轴小题专项训练 专题2 三角函数压轴小题(原卷版+解析版)
专题2三角函数压轴小题一、单选题1．（2021·上海市吴淞中学高三期中）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，12l l //，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于点E 、D ，设弧FG 的长为x (0)x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ） A ．27πB ．25π C ．2π D ．23π3．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数f (x x +4cos x )+2sin x ，则f (x )的最大值为（ ）A ．B ．172C ．6D ．4．（2021·江苏扬州·高三月考）已知△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sinsin 2B Cb a B +=，且△ABC 内切圆面积为9π，则△ABC 面积的最小值为（ ）AB ．C ．D ．5．（2021·四川绵阳·高三月考（理））函数()()3sin x x f ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），已知||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．56．（2021·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣7．（2021·四川·绵阳中学实验学校模拟预测）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰PMN 的顶点P 在半径为20m 的大⊙O 上，点M ，N 在半径为10m 的小⊙O 上，点O ，点P 在弦MN 的同侧.设2(0)2MON παα=<<∠，当PMN 的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时cos α=（ ）A ．12B C D 8．（2021·北京八中高三月考）已知()()3sin 2f x x ϕ=+（ϕ∈R ）既不是奇函数也不是偶函数，若()y f x m =+的图像关于原点对称，()y f x n =+的图像关于y 轴对称，则m n +的最小值为（ ） A ．πB ．2πC ．4π D ．8π 9．（2021·吉林·梅河口市第五中学高三月考（理））已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω且，*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ϕ=（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．23π 10．（2021·浙江·高三专题练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值是（ ）.（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）A 5B C D 11．（2021·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B b a c=+，则△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形12．（2021·河北·石家庄一中高三月考）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．C ．D ．13．（2021·贵州遵义·高三月考（文））已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,314．（2021·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且22CD BD ==，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（ ）A ．14B C D 15．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数()()sin 02f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图象，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（ ）A ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭16．（2021·全国·高三专题练习（理））已知2()2sin 1(0)3f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，给出下列结论：①若f (x 1)=1，f (x 2)=﹣1，且|x 1﹣x 2|min =π，则ω=1；②存在ω∈(0，2)，使得f (x )的图象向左平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若f (x )在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④若f (x )在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤⎥⎝⎦.其中，所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④17．（2021·浙江·高三专题练习）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．318．（2021·天津市天津中学高三月考）函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图，把函数()f x 的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，下列结论中： ①3πϕ=；②函数()g x 的最小正周期为π；③函数()g x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④函数()g x 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称其中正确结论的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．119．（2021·山西太原·三模（理））在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且2CD BD =，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（ ）A ．14BC D ．(3620．（2021·山西太原·一模（理））已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=-对称，且06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 在11,324ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的所有取值的个数是（ ） A ．3B ．4C ．1D ．221．（2021·江西鹰潭·一模（理））函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．18522．（2021·山东·模拟预测）函数()sin 24cos f x x x =-的最大值为（ ）A B ．C D二、多选题23．（2021·全国·模拟预测）已知函数()44sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+-⎭+在区间(),88t t t R ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，令()()()h t M t m t =-，则下列结论中正确的是（ ）A ．2h π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()h tC ．()h t 的最小值为1D ．当()1h t =时，()5Z 6t k k ππ=+∈ 24．（2021·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD ，()AE AB λλ=∈R ，P 为以A 为圆心、AB 为半径的四分之一圆弧上的任意一点，设向量AC xDE y AP =+，x y +，则λ可取（ ）A B C ．3 D ．2+25．（2021·湖北·石首市第一中学高三月考）已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中错误的是（ ）A ．若f （x ）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f （x ）在[0，2π]有且仅有2个极小值点B ．若f （x ）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f （x ）在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．若f （x ）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若f （x ）图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为1126．（2021·江苏扬州·高三月考）已知函数()|||cos |f x x x =+，下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 在27[,]36ππ上单调递减 B ．函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数C ．若12m <<，则方程()=f x m 在区间[0,]π内，最多有4个不同的根D ．函数()f x 在区间[10,10]-内，共有6个零点27．（2021·江苏·南京市第二十九中学高三月考）已知ABC 中，角A ，B 满足cos sin 2A A B B π⎛⎫+<+- ⎪⎝⎭，则下列结论一定正确的是（ ） A ．sin cos B A <B ．sin cos A B >C ．sin sin A C >D ．sin sin C B >28．（2021·重庆八中高三月考）设函数()cos()f x x =+ωϕ（ω，ϕ是常数，0>ω，02πϕ<<），若()f x 在区间5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且511242424f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的周期为πB ．()f x 的单调递减区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的对称轴为()122k x k Z ππ=+∈ D ．()f x 的图象可由()sin g x x ω=的图象向左平移512π个单位得到 29．（2021·山东省平邑县第一中学高三开学考试）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos c b b A -=，则下列结论正确的有（ ）A ．2AB =B ．B 的取值范围为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．ab的取值范围为)2D ．112sin tan tan A B A -+的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭30．（2021·辽宁实验中学二模）设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（ ）． A ．若sin sin sin a b cA B C==，则ABC 是等边三角形 B ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 是等边三角形 C ．若tan tan tan a b cA B C==，则ABC 是等边三角形 D ．若a b cA B C==，则ABC 是等边三角形 31．（2021·江苏扬州·模拟预测）在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（ ） A ．3cos34cos 3cos x x x =-B ．存在1x ≤时，使得3431x x ->C ．给定正整数n ，若1i x ≤，()1,2,,i n =，且310n i i x ==∑，则13ni i nx =∑≤D ．设方程38610x x --=的三个实数根为1x ，2x ，3x ，并且123x x x <<，则()2232312x x x x -=-32．（2021·湖北·黄冈中学三模）已知sin 21()sin cos 2x f x x x +=++，则（ ）A ．()f x 的图像关于直线4x π=对称B ．()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增C ．()f x的值域是[0,2D ．若方程8()3f x =在450,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有实根按从小到大的顺序分别记为12,,,n x x x ，则1231222115n n x x x x x π-+++++=33．（2021·全国全国·模拟预测）已知点(,0)6π是函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的图象的一个对称中心，且()f x 的图象关于直线3x π=对称，()f x 在[0,]3π单调递减，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为23π B ．函数()f x 为奇函数C ．若()[]()10,23f x x π=∈的根为()1,2,,i x i n ==⋅⋅⋅，则16ni i x π==∑D ．若()()2f x f x >在(),a b 上恒成立，则b a -的最大值为29π三、双空题34．（2021·浙江·舟山中学高三月考）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AC CB ==，P 是ABC 内一动点，120BPC ∠=︒，则ABC 的外接圆半径r =______，AP 的最小值为____________．35．（2021·浙江浙江·模拟预测）如图，已知四边形ABCD 的面积为6，点O 为BD 的中点，AB AD >，2AO CO ==2tan 3ABD ∠=，则CD =______，sin CBD ∠=______.36．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知向量2cos ,2cos 12B m C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(),4n b c a =-且0m n ⋅=.D 为AC 边上一点，BD =2AD CD =.则cos B =_______，ABC 面积的最大值为________.37．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 分别为三角形的三个内角，且sin sin BC A=，则6B π+的取值范围是______，sin sin sin sin C AA C+的取值范围是______． 38．（2021·全国·高三专题练习（理）（文））已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．四、填空题39．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在ABC 中，120A ∠=︒，以AB 、BC 、AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O 、2O 、3O ，若123O O O 的面积为ABC 的周长的取值范围为__________．40．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象相交，若自左至右的三个相邻交点．．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数m =______.41．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知函数()sin ||cos |f x x x =-，则下列说法正确的有________．（将所有正确的序号填在答题卡横线上） ①π是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；③()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减④()f x 的值域为[1,2]-．42．（2021·山西吕梁·高三月考（理））为了创建全国文明城市，吕梁市政府决定对市属辖区内老旧小区进行美化改造，如图，某小区内有一个近似半圆形人造湖面，O 为圆心，半径为一个单位，现规划在OCD 区域种花，在OBD 区域养殖观赏鱼，若AOC COD ∠=∠，且使四边形OCDB 面积最大，则cos AOC ∠=____________.43．（2021·辽宁实验中学高三期中）在锐角ABC 中，1cos 4A =，若点P 为ABC 的外心，且AP xAB y AC =+，则x y +的最大值为___________.44．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设0>ω.若函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点，则ω的取值范围是___________.45．（2021·广西南宁·模拟预测（理））已知函数()sin 2sin 3f x a x x b πωω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的图象的相邻两个对称轴之间的距离为2π，且x R ∀∈恒有()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若存在()()()123123,,0,,2x x x f x f x f x π⎡⎤∈+≤⎢⎥⎣⎦成立，则b的取值范围为________．46．（2021·四川成都·高三月考（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ､N 两点，且M 在y 轴上，圆的半径为512π，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.47．（2021·浙江丽水·高三月考）如图，在ABC 中，12BM MC =，1AB AC ==，BM =点D 在线段BM 上运动，沿AD 将ADB △折到ADB '，使二面角B AD C '--的度数为60︒，若点B '在平面ABC 内的射影为O ，则OC 的最小值为_______．48．（2021·全国·高三专题练习）已知32cos 263a m ππα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32cos 263m ππββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则cos()αβ+=____________.49．（2021·宁夏中卫·一模（理））在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______50．（2021·四川·成都实外高三开学考试（文））在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90C ∠=︒，BC CD ==则四边形ABCD 的对角线AC 的最大值为______.51．（2021·吉林·白城一中模拟预测（文））已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为__________． 52．（2021·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）=cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤2π），x =-4π为f （x ）的零点，x =4π为y =f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（18π，6π）上单调，则ω的最大值为______．专题2三角函数压轴小题一、单选题1．（2021·上海市吴淞中学高三期中）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，12l l //，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于点E 、D ，设弧FG 的长为x (0)x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据给定条件求出函数()y f x =的解析式，再借助函数性质即可判断作答. 【详解】依题意，正ABC 的高为1，则其边长BC =如图，连接OF ，OG ，过O 作ON ⊥l 1于N ，交l 于点M ，过E 作EH ⊥l 1于H ，因OF =1，弧FG 的长为x (0)x π<<，则FOG x ∠=，又12////l l l ，即有1122FON FOG x ∠=∠=，于是得cos cos 2x OM OF FON =⋅∠=，1cos 2x EH MN ON OM ==-=-，2cos )sin 6032EH xEB ==-，因此，2cos )22x xy EB BC CD EB BC =++=+=-+=，即()2xf x=，0πx<<，显然()f x在(0,)π上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，而2312432fππ+⎛⎫==<=⎪⎝⎭⎭，C选项不满足，D选项符合要求，所以函数()y f x=的图像大致是选项D.故选：D【点睛】方法点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．2．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin,A y y n n Zωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（）A．27πB．25πC．2πD．23π【答案】A【分析】利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在ϕ符合题意即可.【详解】解：对A，当2=7πω，27siny nϕπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期为22727Tπππω===在一个周期内，对n赋值当0n=时，sinyϕ=；当1n=时，27sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当2n=时，47sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当3n=时，67sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当4n=时，867s n si7i nyϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；当5n=时，10s4n7i n7siyππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭；当6n=时，12s2n7i n7siyππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭；令2ϕπ=时，sin sin12πϕ==sin sin cos27722227πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos 47724247πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos 67726267πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在ϕ使得1n =时的y 值等于6n =时的y 值，2n =时的y 值等于5n =时的y 值，3n =时的y 值等于4n =时的y 值.但是当n 等于0、1、2、3时，不存在ϕ使得这个y 值中的任何两个相等 所以当2=7πω时，集合A 中至少有四个元素，不符合题意，故A 错误； 对B ，当2=5πω，25sin y n ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为22525T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，25sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 当2n =时，45sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当3n =时，645s n si 5i n y ϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-； 当4n =时，825s n si 5i n y ϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-； 令2ϕπ=，sin 12π= sin sin cos 25522225πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos 45524245πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当2=5πω时，符合题意，故B 正确； 对C ，当=2πω，2sin y n πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为2242T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值 当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，sin cos 2y πϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；当2n =时，()sin sin y ϕπϕ=+=-； 当3n =时，sin os 3c 2y πϕϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭； 令0ϕ=，则sin0sin00=-=，cos01=，cos01-=-所以当=2πω时，符合题意，故C 正确；对D ，当32=πω，23sin y n ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为22323T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，23sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 当2n =时，43sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 令0ϕ=，sin00=，2sin 3π=4sin 3π= 所以当32=πω时，符合题意，故D 正确.故选：A. 【点睛】方法点睛：本题一共有三个变量：ω，n ，ϕ.属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量，再对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可.3．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数f (xx +4cos x )+2sin x ，则f (x )的最大值为（ ） A ．B ．172C ．6D ．【答案】B 【分析】先将sin 2x 展开，提公因式并结合拼凑法可得())()21sin 24f x x x =++-，结合22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭放缩，联立辅助角公式化简，即可求解. 【详解】()))sin 24cos 2sin 2sin cos 4cos 2sin f x x x x x x x x ++=++()())()sin 22sin 2421sin 24x x x x x =+++-=++-，由sin 20x +>可知，要求()f x最大值，只需10x +>即可，结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得())()222sin 3321sin 242442x f x x x π⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-≤⋅-=-⎝⎭172≤，当且仅当1sin 2sin 13x x x π+=+⎨⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，即62,x k k Z ππ=+∈时等号成立，因此当62,x k k Z ππ=+∈时()f x 的最大值为172. 故选：B4．（2021·江苏扬州·高三月考）已知△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sinsin 2B Cb a B +=，且△ABC 内切圆面积为9π，则△ABC 面积的最小值为（ ）AB．C．D．【答案】D 【分析】根据已知条件及正弦定理可得3A π=，由内切圆的面积可得内切圆半径3r =，最后根据()1sin 22ABCr a b c Sbc A ++==及余弦定理，并结合基本不等式求bc 的范围，进而求△ABC 面积的最小值. 【详解】 由题设，sin sin sin sin 2B C B A B +=，而sin 0B ≠且222B C Aπ+=-， ∴cos sin 2sin cos 222A A A A ==，022A π<<，则1sin 22A =，∴3A π=，由题设△ABC 内切圆半径3r =，又()1sin 22ABCr a b c Sbc A ++==，∴)a b c bc ++=，而222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，即a ≥∴bc ≥108bc ≥，当且仅当a b c ===.∴1sin 2ABCSbc A =≥故选：D5．（2021·四川绵阳·高三月考（理））函数()()3sin x x f ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），已知||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ．5【答案】D 【分析】结合正弦函数的最值，对称性求ϕ的值，再结合单调性确定ω的最大值. 【详解】∵||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()3sin x x f ωϕ=+，∴32k ππωϕπ+=+，k Z ∈，又对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴6m πωϕπ-+=，m Z ∈，∴3(2)2k m πϕπ=++，又2πϕ<，∴6π=ϕ或6πϕ=-， 当6π=ϕ时， 31w k =+，k Z ∈且61w m =-+， 当7w =时，()3sin 76f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭+，若52,369x，则4131736618x πππ≤+≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 错误， 当6πϕ=-时， 32w k =+，k Z ∈且61w m =--，当11w =时，()3sin 116f x x π⎛⎫ ⎪⎝-⎭=，若52,369x，则49411136618x πππ≤-≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，A 错误， 当5w =时，()3sin 56f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-，若52,369x ，则1917536618x πππ≤-≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，D 正确， 故选：D. 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质求函数解析式的关键在于转化为正弦函数的问题.6．（2021·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣【答案】A 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案. 【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π= ∴cos cos sin sin sin B C AB b c C⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos B C b c +=由正弦定理化简得∴cos cos c B b C ⋅+⋅==∴sin cos cos sin C B C B +=∴sin()sin B C A +==∴b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin )326a c A C A A A A A ππ+=+=+-==+203A π<<∴5666A πππ<+<)6A π+≤a c <+≤故选：A . 【点睛】方法点睛：边角互化的方法 （1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边： ①利用正弦定理：sin 2aA r =，sin 2b B r=，sin 2cC r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7．（2021·四川·绵阳中学实验学校模拟预测）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰PMN 的顶点P 在半径为20m 的大⊙O 上，点M ，N 在半径为10m 的小⊙O 上，点O ，点P 在弦MN 的同侧.设2(0)2MON παα=<<∠，当PMN 的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时cos α=（ ）A ．12 B C D ．2【答案】C 【分析】用α表示出PMN 的面积为()S α，求导()S α'，令()0S α'=求得极值点，从而求得PMN 面积最大时对应的cos α值. 【详解】如图所示，等腰PMN 中，2(0)2MON παα=<<∠设PMN 的面积为()S α，则()2OPNOMNS SSα=⨯+1122010sin()1010sin 222παα⎡⎤=⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦200sin 50sin 2,(0)2πααα=+<<求导()200cos 250cos 2200cos 100cos 2S ααααα'=+⨯=+ 22200cos 100(2cos 1)100(2cos 2cos 1)αααα=+-=+-令()0S α'=，即22cos 2cos 10αα+-=，解得：1cos 2α=-（舍去负根）记01cos 2α=-+， 00,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()00,αα∈，()0S α'>，函数单调递增；当 0,2παα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0S α'<，函数单调递减；故当0αα=时，即1cos 2α=-， ()S α取得极大值，即最大值.故选：C8．（2021·北京八中高三月考）已知()()3sin 2f x x ϕ=+（ϕ∈R ）既不是奇函数也不是偶函数，若()y f x m =+的图像关于原点对称，()y f x n =+的图像关于y 轴对称，则m n +的最小值为（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 【答案】C 【分析】结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可. 【详解】可设0ϕ满足00,22ππϕπ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，, 且02t ϕπϕ=+（t Z ∈）,则()()03sin 2f x x ϕ=+,注意到五点作图法的最左边端点为0,02ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭,而22T π=,44T π=,故有0000min ,min ,2222m ϕπϕϕπϕ--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭,002244n ϕππϕ-=-+=, 当002πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，02m ϕ=，024n πϕ-=，此时4m n π+=；当0,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，02m πϕ-=，024n ϕπ-=，此时002244m n πϕϕππ--+=+=, 故选：C ．9．（2021·吉林·梅河口市第五中学高三月考（理））已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω且，*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ϕ=（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【分析】由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出ω的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得ω，利用对称轴即可求出ϕ. 【详解】∵()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，3662T πππ∴-=≤，得1226ππω⨯≥，所以06ω<≤ ∵24x π=是函数()()cos f x x ωϕ=+的零点，直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴6248πππ-=，若84T π=，则2T π=，此时22ππω=，得4ω=，满足条件，若384T π=，则6T π=，此时26ππω=，得12ω=，不满足条件， 综上可知，函数()()cos 4f x x ϕ=+， ∵6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴4,6k k Z πϕπ⨯+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， ∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和ω是解决本题的关键，属于一般题.10．（2021·浙江·高三专题练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值是（ ）.（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）A 5B C D 【答案】D 【分析】由题可得，20BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，连接'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，分类讨论，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，可求出PP '和'AP ，从而可得出2320tan 225x x θ-=+，利用函数的单调性，可得出0x =时，取得最大值；若P '在CB 的延长线上，同理求出PP '和'AP ，可得出220tan 225x x θ+=+，可得当454x =时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论． 【详解】 解：15,25AB cm AC cm ==，AB BC ⊥，由勾股定理知，20BC =，过点P 作PP BC '⊥交BC 于P '，连结'AP ，则tan PP AP θ'='， 设(0)BP x x '=>，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，由30BCM ∠=︒，得tan30)PP CP x ''=︒-，在直角ABP '△中，AP '220tan 225x x θ-∴+令y ，则函数在[0x ∈，20]单调递减，0x ∴=若P '在CB 的延长线上，tan30)PP CP x ''=︒+，在直角ABP '△中，AP '220tan 225x x θ+∴+令22(20)225x y x +=+，则0y '=可得454x =.．11．（2021·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ， 法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】 设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一： ∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②. ①÷②，得：p b a a cp a b c b -+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+． 于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形， （1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD 上，12ABCS AB CD c =⋅=△，从而得2S r a b c ==++． 又()1122p a b c a c -=+-=()22a abc a ca c c ==+++⋅a a c=+， 上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c =．即△ABC 直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c=+-．代入②式，得()()1212a b c ba c a cb +-=++-，此式恒成立，综上，△ABC 为直角三角形． 法二： 利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos sin sin A A A B C=++①，sin sin 1cos sin sin B B B A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,A B 为三角形内角， ∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=． （1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A B C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+． 变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=， 即()()sin cos sin cos 10A A A A ---=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠． ∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形． （2）若π2A B +=，即π2C =，此时③④恒成立， 综上，△ABC 为直角三角形． 故选：B12．（2021·河北·石家庄一中高三月考）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（ ） A．)+∞ B．C．(6D．6【答案】C 【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、C 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围． 【详解】∵22a c bc -=，∴所以22cos 2cos sin 2sin cos sin ,b bc A bc b c A c B C A C -=∴-=∴-= sin()2sin cos sin ,sin()sin ,2A C C A C A C C A C C A C +-=∴-=∴-==因此22111111tan 1tan 3sin =3sin 3sin 3sin tan tan tan tan 2tan 2tan 2tan C CA A A A C A C C C C C-+-+-+=-+=+113sin 3sin 2sin cos sin A A C C A=+=+设sin A t =，∵ABC 是锐角三角形，∴(0,),(0,),(0,)22222A A A C B A ππππ∈=∈=--∈，∴(,)32A ππ∈∴sin A t =∈，1+3t t 在t ∈上单调递增，∴1113sin +34)tan tan A t C A t -+=∈， 故选：C13．（2021·贵州遵义·高三月考（文））已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,3【答案】C 【分析】本题首先可根据函数()f x 是偶函数得出33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过计算得出1a =-，然后通过转化得出()2sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，通过图像变换得出()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数对称性得出52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，通过求出此时()g x 的值域即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数，所以33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22cos 00cos 33a a ππ⎛⎫⎛⎫+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1322a a =--，解得1a =-，()cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()1cos 2cos 33323f x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=---⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 32sin 62x x πππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则()22sin 22y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度后，得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 向上平移1个单位长度，得到()2sin 213y g x x π⎛⎫- ⎝=+⎪⎭=，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数对称性易知，()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，此时()[)2,3g x ∈，实数m 的取值范围是[)2,3， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出1a =-是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.14．（2021·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且22CD BD ==，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（ ）A ．14BCD【答案】B 【分析】根据()sin sin sin A B B C -+=，利用两角和与差的正弦公式化简得到sin 2cos sin B A B =，进而求得A ，根据点D 在边BC 上，且2CD BD =，得到sin 3sin ABD AD AD k BAD BD BC∠===∠，再由余弦定理结合2133AD AB AC =+两边平方，得到2222242421c b c b bc b c k c b c b bc b c ++++==+-+-，令c t b =，得到()222142421111t t t t k f t t t t t++++===-++-，用基本不等式法或者导数法求得最大值时a ，b ，c 的关系，再利用正弦定理求解. 【详解】因为()sin sin sin A B B C -+=，所以()()sin sin sin A B B A B -+=+，即sin 2cos sin B A B =， 因为()0,B π∈， 所以sin 0B ≠，1cos 2A =， 因为()0,A π∈， 所以3A π=，因为点D 在边BC 上，且2CD BD =， 所以sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，设,,AB c AC b BC a ===，则13AD ak =，在ABC 中，由余弦定理得222222cos a c b bc A c b bc =+-=+-，()121333AD AB BD AB BA AC AB AC =+=++=+， 所以222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22221414cos 9999a k cb bc BAC =++∠， 即222242a k c b bc =++，所以222222224242421c bc b bc c b bc b c k c b a c b bc b c++++++===+-+-，令c t b =，得()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，下面采用基本不等式和导数两种方法求解： 方法一：利用基本不等式求解：222211426()4212411311()24t t t t t k t t t t t ++-++===+-++--+，要使k 最大，需2k 最大，当2k 取最大值时，必有102t ->，2216()6244441313()()12424()2t k t t t -=+=+≤+=+-+-+-当且仅当13124()2t t -==-t =所以t =时，2224211t t k t t ++=-+有最大值4+k的最大值为1c b =所以)1b c =，解得a =，在ABC 中，由正弦定理得sin sin a cA C=，解得sin sin c A C a ==即sin ACD ∠=下面采用导数的方法求解： 求导得()()2226631t t f t tt -++'=-+，令()0f t '=，解得t =当0t <<()0f t '>，当t >时，()0f t '<，所以当t =()f t取得最大值，此时c b =所以)1b c =，解得a =， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin a cA C=，解得sin sin c A C a ==即sin ACD ∠=故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，然后利用余弦定理表示BC ，利用平面向量表示AD 而得解.15．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数()()sin 02f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图象，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（ ）A ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】由函数图象的平移可得()πcos 3g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知1<，即可得解. 【详解】由条件可得，()πcos 3g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出两个函数图象，如图：A ，B ，C 为连续三交点，(不妨设B 在x 轴下方)，D 为AC 的中点，.由对称性可得ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，2π2AC T CD ω===，由πcos cos 3x x ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得cos x x ωω=，得cos x ω=则C B y y =-=2B BD y == 要使ABC 为钝角三角形，只需π4ACB ∠<即可，由tan 1BD ACB DC ∠==<，所以0ω<<. 故选：D.【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于ω的不等式，运算即可.16．（2021·全国·高三专题练习（理））已知2()2sin 1(0)3f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，给出下列结论： ①若f (x 1)=1，f (x 2)=﹣1，且|x 1﹣x 2|min =π，则ω=1；②存在ω∈(0，2)，使得f (x )的图象向左平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称；③若f (x )在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ④若f (x )在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 其中，所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④【答案】D【分析】 对函数()f x 化简可得()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】 ∵22()2sin 1cos 2sin 2336f x x x x πππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期为22ππωω=. 对于① ：因为f (x 1)=1，f (x 2)=﹣1，且|x 1﹣x 2|min =π，所以()f x 的最小正周期为T =2π，122ππωω∴=⇒=. 故① 错误； 对于② ：图象变换后所得函数为sin 236y x ωππω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 若其图象关于y 轴对称，则362k ωππππ+=+，k ∈Z ，解得ω=1+3k ，k ∈Z ，。
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高考数学小题强化专练(02)(满分：80分 时间：45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A ＝{x ∈R|3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R|x 2－2x －3＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x ∈R|x ＜－1}B ．{x ∈R|x ＞3}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R|－23＜x ＜3D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R|－1＜x ＜－23解析：选B ∵A ＝{x ∈R|3x ＋2＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R|x ＞－23， B ＝{x ∈R|x ＜－1或x ＞3}，∴A ∩B ＝{x ∈R|x ＞3}．故选B ．2．如果复数2－b ii (b ∈R)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－2B ．－ 2C ． 2D ．2 解析：选A ∵复数2－b ii＝－b－－＝－b －2i ，由题复数2－b ii(b ∈R)的实部和虚部互为相反数，∴b ＝－2.故选A ．3．下图是2017年1～11月汽油、柴油价格走势图(单位：元/吨)，据此下列说法错误的是( )A ．从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B ．从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C ．92#汽油与95#汽油价格成正相关D ．2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌解析：选D 由价格折线图，不难发现4月份到5月份汽油价格上涨，而柴油价格下跌，故选D ．4．下列四个命题中，正确的是( )A ．“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题B ．“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的充要条件C ．“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0＞1”D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题解析：选C “若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为：“若tan x ＝1，则x ＝π4”显然是假命题，故A 错误；当a ＝1，b ＝0时，a ＞b 成立，但ln a ＞ln b 不成立，故B 错误；命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0＞1”；满足命题的否定形式，C 正确；若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个假命题，一假即假，故D 错误；故选C ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，则角C ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C △ABC 中，(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ， 由余弦定理可得：2ab cos C (a cos B ＋b cos A )＝abc ， ∴2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， ∴2cos C sin(A ＋B )＝sin C,2cos C sin C ＝sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos C ＝12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°．6．若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( ) A ．－23B ．23C ．－43D ．43解析：选A 由题：sin θ－cos θ＝43⇒1－2sin θcos θ＝169，于是2sin θcos θ＝－79＜0，由于θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，sin (π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－θ＋cos θ2＝－1＋2sin θcos θ＝－23． 7．执行如图所示的程序框图，为使输出s 的值大于11，则输入的正整数n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C 该程序框图的功能是：当输入n ，输出s ＝1＋1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n ＋22，要使s ＞11，n 至少是6.故选C ．8．某几何体的三视图如图所示，若图中的小正方形的边长为1，则该几何体外接球的表面积为( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π解析：选B 根据三视图，可得该几何体的直观图如下：利用补形法，外接球半径R ＝3a2＝3，进而几何体外接球的表面积为12π． 9．将函数f (x )＝3sin x 2－cos x2的图象向左平移 m (m ＞0)的单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是( )A ．π3B ．2π3 C ．4π3D ．7π3解析：选C ∵f (x )＝3sin x 2－cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6将函数f (x )＝3sin x 2－cos x 2的图象向左平移m (m ＞0)的单位后，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋m－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋m 2－π6，由题所得图象对应的函数为偶函数，则m 2－π6＝k π＋π2，∴m ＝2k π＋4π3，k ∈Z, 又m ＞0，所以m的最小值是4π3. 故选C ．10．如图，将半径为1的圆周分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)，现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A ．4π－1 B ．1π C ．1－1πD ．2π解析：选A 由题意空白部分的面积为4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫14π－12×1×1＝2π－4，则阴影部分的面积为π×12－(2π－4)＝4－π，由几何概型的概率公式可得此点落在星形区域内的概率为4－ππ＝4π－1． 11．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线恰好是曲线C 2：x 2＋y 2－2x －22y ＝0在原点处的切线，且双曲线C 1的顶点到渐近线的距离为263，则曲线C 1的方程为( )A ．x 212－y 28＝1 B ．x 216－y 28＝1 C ．x 216－y 212＝1 D ．x 28－y 24＝1解析：选D 曲线C 2：x 2＋y 2－2x －22y ＝0化为标准形式：(x －1)2＋(y －2)2＝3，圆心C 2坐标为(1，2)，∴kOC 2＝2，又双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线恰好是曲线C 2：x 2＋y 2－2x －22y ＝0在原点处的切线，∴b a ＝22，∵双曲线C 1的顶点到渐近线的距离为263，∴|ba －0|b 2＋a 2＝263，即a 2b 2b 2＋a 2＝83，又b ＝22a ，∴a ＝22，b ＝2，∴曲线C 1的方程为x 28－y 24＝1，故选D ． 12．定义：如果函数f (x )的导函数为f ′(x )，在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a ＜x 1＜x 2＜b )，使得f ′(x 1)＝f b －f a b －a ，f ′(x 2)＝f b －f ab －a，则称f (x )为区间[a ，b ]上的“双中值函数”．已知函数g (x )＝13x 3－m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D ．(－∞，＋∞)解析：选B 由题意可知，g (x )＝13x 3－m 2x 2，∵g ′(x )＝x 2－mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0＜x 1＜x 2＜2)，满足g ′(x 1)＝g ′(x 2)＝g－g2－0＝43－m ，所以方程x 2－mx ＋m －43＝0在区间(0,2)有两个不相等的解，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎪⎫m －43＞0，0＜m2＜2，m －43＞0，4－2m ＋m －43＞0解得43＜m ＜83，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83，故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．正方形ABCD 中，AC →＝λBD →＋μBC →，其中λ，μ∈R ，则λμ＝________．解析：由AC →＝λBD →＋μBC →得，AB →＋AD →＝λ(AD →－AB →)＋μAD →，根据平面向量基本定理得λ＝－1，μ＋λ＝1，于是λμ＝－12．答案：－1214．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≤0，y ≥2则x 2＋(y －3)2的最小值________．解析：作出不等式组对应的平面区域，x 2＋(y －3)2的几何意义是区域内的点到点D (0,3)的距离的平方，则由图象知D 到直线AC ：x －y ＋2＝0的距离最小，此时最小值d ＝|－0－3＋2|2＝12，则x 2＋(y ＋3)2的最小值为d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12．答案：1215．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (2,1)，且在点A 处的切线方程为2x －y ＋a ＝0，则a ＋b ＋c ＝________．解析：由题意得：2×2－1＋a ＝0⇒a ＝－3，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3x 2－6x ＋b ，∴f ′(2)＝12－12＋b ＝2⇒b ＝2，而f (2)＝8－12＋4＋c ＝1⇒c ＝1，∴a ＋b ＋c ＝0．答案：016．已知抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，O 为坐标原点，A ，B 为抛物线上的点，若△OAB 为等边三角形，且面积为483，则p 的值为________．解析：设B (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)， ∵|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22． 又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， ∴x 22－x 21＋2p (x 2－x 1)＝0， 即(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2p )＝0． 又x 1、x 2与p 同号，∴x 1＋x 2＝2p ≠0.∴x 2－x 1＝0，即x 1＝x 2．根据抛物线对称性可知点B ，A 关于x 轴对称，由△OAB 为等边三角形，不妨设直线OB 的方程为y ＝33x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y 2＝2px解得B (6p,23p )，∴|OB |＝p2＋3p2＝43p ．∵△OAB 的面积为483， ∴34(43p )2＝483，解得p 2＝4，∴p ＝2． 答案：2。