二叉排序树的创建、删除、插入等操作

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数据结构平衡二叉树的操作演示

平衡二叉树操作的演示1.需求分析本程序是利用平衡二叉树，实现动态查找表的基本功能：创建表，查找、插入、删除。

具体功能：（1）初始，平衡二叉树为空树，操作界面给出创建、查找、插入、删除、合并、分裂六种操作供选择。

每种操作均提示输入关键字。

每次插入或删除一个结点后，更新平衡二叉树的显示。

（2）平衡二叉树的显示采用凹入表现形式。

（3）合并两棵平衡二叉树。

（4）把一棵二叉树分裂为两棵平衡二叉树，使得在一棵树中的所有关键字都小于或等于x，另一棵树中的任一关键字都大于x。

如下图：2．概要设计平衡二叉树是在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个新结点时，首先检查是否因插入新结点而破坏了二叉排序树的平衡性，若是则找出其中的最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。

具体步骤：（1）每当插入一个新结点，从该结点开始向上计算各结点的平衡因子，即计算该结点的祖先结点的平衡因子，若该结点的祖先结点的平衡因子的绝对值不超过1，则平衡二叉树没有失去平衡，继续插入结点；（2）若插入结点的某祖先结点的平衡因子的绝对值大于1，则找出其中最小不平衡子树的根结点；（3）判断新插入的结点与最小不平衡子树的根结点个关系，确定是那种类型的调整；（4）如果是LL型或RR型，只需应用扁担原理旋转一次，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；如果是LR型或RL型，则需应用扁担原理旋转两次，第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在子树，第二次再调整最小不平衡子树，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；（5）计算调整后的平衡二叉树中各结点的平衡因子，检验是否因为旋转而破坏其他结点的平衡因子，以及调整后平衡二叉树中是否存在平衡因子大于1的结点。

流程图3.详细设计二叉树类型定义：typedef int Status;typedef int ElemType;typedef struct BSTNode{ElemType data;int bf;struct BSTNode *lchild ,*rchild;} BSTNode,* BSTree;Status SearchBST(BSTree T,ElemType e)//查找void R_Rotate(BSTree &p)//右旋void L_Rotate(BSTree &p)//左旋void LeftBalance(BSTree &T)//插入平衡调整void RightBalance(BSTree &T)//插入平衡调整Status InsertAVL(BSTree &T,ElemType e,int &taller)//插入void DELeftBalance(BSTree &T)//删除平衡调整void DERightBalance(BSTree &T)//删除平衡调整Status Delete(BSTree &T,int &shorter)//删除操作Status DeleteAVL(BSTree &T,ElemType e,int &shorter)//删除操作void merge(BSTree &T1,BSTree &T2)//合并操作void splitBSTree(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2)//分裂操作void PrintBSTree(BSTree &T,int lev)//凹入表显示附录源代码：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>//#define TRUE 1//#define FALSE 0//#define OK 1//#define ERROR 0#define LH +1#define EH 0#define RH -1//二叉类型树的类型定义typedef int Status;typedef int ElemType;typedef struct BSTNode{ElemType data;int bf;//结点的平衡因子struct BSTNode *lchild ,*rchild;//左、右孩子指针} BSTNode,* BSTree;/*查找算法*/Status SearchBST(BSTree T,ElemType e){if(!T){return 0; //查找失败}else if(e == T->data ){return 1; //查找成功}else if (e < T->data){return SearchBST(T->lchild,e);}else{return SearchBST(T->rchild,e);}}//右旋void R_Rotate(BSTree &p){BSTree lc; //处理之前的左子树根结点lc = p->lchild; //lc指向的*p的左子树根结点p->lchild = lc->rchild; //lc的右子树挂接为*P的左子树lc->rchild = p;p = lc; //p指向新的根结点}//左旋void L_Rotate(BSTree &p){BSTree rc;rc = p->rchild; //rc指向的*p的右子树根结点p->rchild = rc->lchild; //rc的左子树挂接为*p的右子树rc->lchild = p;p = rc; //p指向新的根结点}//对以指针T所指结点为根结点的二叉树作左平衡旋转处理，//本算法结束时指针T指向新的根结点void LeftBalance(BSTree &T){BSTree lc,rd;lc=T->lchild;//lc指向*T的左子树根结点switch(lc->bf){ //检查*T的左子树的平衡度，并做相应的平衡处理case LH: //新结点插入在*T的左孩子的左子树，要做单右旋处理T->bf = lc->bf=EH;R_Rotate(T);break;case RH: //新结点插入在*T的左孩子的右子树上，做双旋处理rd=lc->rchild; //rd指向*T的左孩子的右子树根switch(rd->bf){ //修改*T及其左孩子的平衡因子case LH: T->bf=RH; lc->bf=EH;break;case EH: T->bf=lc->bf=EH;break;case RH: T->bf=EH; lc->bf=LH;break;}rd->bf=EH;L_Rotate(T->lchild); //对*T的左子树作左旋平衡处理R_Rotate(T); //对*T作右旋平衡处理}}//右平衡旋转处理void RightBalance(BSTree &T){BSTree rc,ld;rc=T->rchild;switch(rc->bf){case RH:T->bf= rc->bf=EH;L_Rotate(T);break;case LH:ld=rc->lchild;switch(ld->bf){case LH: T->bf=RH; rc->bf=EH;break;case EH: T->bf=rc->bf=EH;break;case RH: T->bf = EH; rc->bf=LH;break;}ld->bf=EH;R_Rotate(T->rchild);L_Rotate(T);}}//插入结点Status InsertAVL(BSTree &T,ElemType e,int &taller){//taller反应T长高与否if(!T){//插入新结点，树长高，置taller为trueT= (BSTree) malloc (sizeof(BSTNode));T->data = e;T->lchild = T->rchild = NULL;T->bf = EH;taller = 1;}else{if(e == T->data){taller = 0;return 0;}if(e < T->data){if(!InsertAVL(T->lchild,e,taller))//未插入return 0;if(taller)//已插入到*T的左子树中且左子树长高switch(T->bf){//检查*T的平衡度，作相应的平衡处理case LH:LeftBalance(T);taller = 0;break;case EH:T->bf = LH;taller = 1;break;case RH:T->bf = EH;taller = 0;break;}}else{if (!InsertAVL(T->rchild,e,taller)){return 0;}if(taller)//插入到*T的右子树且右子树增高switch(T->bf){//检查*T的平衡度case LH:T->bf = EH;taller = 0;break;case EH:T->bf = RH;taller = 1;break;case RH:RightBalance(T);taller = 0;break;}}}return 1;}void DELeftBalance(BSTree &T){//删除平衡调整BSTree lc,rd;lc=T->lchild;switch(lc->bf){case LH:T->bf = EH;//lc->bf= EH;R_Rotate(T);break;case EH:T->bf = EH;lc->bf= EH;R_Rotate(T);break;case RH:rd=lc->rchild;switch(rd->bf){case LH: T->bf=RH; lc->bf=EH;break;case EH: T->bf=lc->bf=EH;break;case RH: T->bf=EH; lc->bf=LH;break;}rd->bf=EH;L_Rotate(T->lchild);R_Rotate(T);}}void DERightBalance(BSTree &T) //删除平衡调整{BSTree rc,ld;rc=T->rchild;switch(rc->bf){case RH:T->bf= EH;//rc->bf= EH;L_Rotate(T);break;case EH:T->bf= EH;//rc->bf= EH;L_Rotate(T);break;case LH:ld=rc->lchild;switch(ld->bf){case LH: T->bf=RH; rc->bf=EH;break;case EH: T->bf=rc->bf=EH;break;case RH: T->bf = EH; rc->bf=LH;break;}ld->bf=EH;R_Rotate(T->rchild);L_Rotate(T);}}void SDelete(BSTree &T,BSTree &q,BSTree &s,int &shorter){if(s->rchild){SDelete(T,s,s->rchild,shorter);if(shorter)switch(s->bf){case EH:s->bf = LH;shorter = 0;break;case RH:s->bf = EH;shorter = 1;break;case LH:DELeftBalance(s);shorter = 0;break;}return;}T->data = s->data;if(q != T)q->rchild = s->lchild;elseq->lchild = s->lchild;shorter = 1;}//删除结点Status Delete(BSTree &T,int &shorter){ BSTree q;if(!T->rchild){q = T;T = T->lchild;free(q);shorter = 1;}else if(!T->lchild){q = T;T= T->rchild;free(q);shorter = 1;}else{SDelete(T,T,T->lchild,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = RH;shorter = 0;break;case LH:T->bf = EH;shorter = 1;break;case RH:DERightBalance(T);shorter = 0;break;}}return 1;}Status DeleteAVL(BSTree &T,ElemType e,int &shorter){ int sign = 0;if (!T){return sign;}else{if(e == T->data){sign = Delete(T,shorter);return sign;}else if(e < T->data){sign = DeleteAVL(T->lchild,e,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = RH;shorter = 0;break;case LH:T->bf = EH;shorter = 1;break;case RH:DERightBalance(T);shorter = 0;break;}return sign;}else{sign = DeleteAVL(T->rchild,e,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = LH;shorter = 0;break;case RH:T->bf = EH;break;case LH:DELeftBalance(T);shorter = 0;break;}return sign;}}}//合并void merge(BSTree &T1,BSTree &T2){int taller = 0;if(!T2)return;merge(T1,T2->lchild);InsertAVL(T1,T2->data,taller);merge(T1,T2->rchild);}//分裂void split(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2){ int taller = 0;if(!T)return;split(T->lchild,e,T1,T2);if(T->data > e)InsertAVL(T2,T->data,taller);elseInsertAVL(T1,T->data,taller);split(T->rchild,e,T1,T2);}//分裂void splitBSTree(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2){ BSTree t1 = NULL,t2 = NULL;split(T,e,t1,t2);T1 = t1;T2 = t2;return;}//构建void CreatBSTree(BSTree &T){int num,i,e,taller = 0;printf("输入结点个数:");scanf("%d",&num);printf("请顺序输入结点值\n");for(i = 0 ;i < num;i++){printf("第%d个结点的值",i+1);scanf("%d",&e);InsertAVL(T,e,taller) ;}printf("构建成功，输入任意字符返回\n");getchar();getchar();}//凹入表形式显示方法void PrintBSTree(BSTree &T,int lev){int i;if(T->rchild)PrintBSTree(T->rchild,lev+1);for(i = 0;i < lev;i++)printf(" ");printf("%d\n",T->data);if(T->lchild)PrintBSTree(T->lchild,lev+1);void Start(BSTree &T1,BSTree &T2){int cho,taller,e,k;taller = 0;k = 0;while(1){system("cls");printf(" 平衡二叉树操作的演示 \n\n");printf("********************************\n");printf(" 平衡二叉树显示区 \n");printf("T1树\n");if(!T1 )printf("\n 当前为空树\n");else{PrintBSTree(T1,1);}printf("T2树\n");if(!T2 )printf("\n 当前为空树\n");elsePrintBSTree(T2,1);printf("\n********************************************************************* *********\n");printf("T1操作：1.创建 2.插入 3.查找 4.删除 10.分裂\n");printf("T2操作：5.创建 6.插入 7.查找 8.删除 11.分裂\n");printf(" 9.合并 T1,T2 0.退出\n");printf("*********************************************************************** *******\n");printf("输入你要进行的操作：");scanf("%d",&cho);switch(cho){case 1:CreatBSTree(T1);break;case 2:printf("请输入要插入关键字的值");scanf("%d",&e);InsertAVL(T1,e,taller) ;break;case 3:printf("请输入要查找关键字的值");scanf("%d",&e);if(SearchBST(T1,e))printf("查找成功！\n");elseprintf("查找失败！\n");printf("按任意键返回87"); getchar();getchar();break;case 4:printf("请输入要删除关键字的值"); scanf("%d",&e);if(DeleteAVL(T1,e,k))printf("删除成功！\n");elseprintf("删除失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 5:CreatBSTree(T2);break;case 6:printf("请输入要插入关键字的值"); scanf("%d",&e);InsertAVL(T2,e,taller) ;break;case 7:printf("请输入要查找关键字的值"); scanf("%d",&e);if(SearchBST(T2,e))printf("查找成功！\n");elseprintf("查找失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 8:printf("请输入要删除关键字的值"); scanf("%d",&e);if(DeleteAVL(T2,e,k))printf("删除成功！\n");elseprintf("删除失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 9:merge(T1,T2);T2 = NULL;printf("合并成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 10:printf("请输入要中间值字的值"); scanf("%d",&e);splitBSTree(T1,e,T1,T2) ;printf("分裂成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 11:printf("请输入要中间值字的值"); scanf("%d",&e);splitBSTree(T2,e,T1,T2) ;printf("分裂成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 0:system("cls");exit(0);}}}main(){BSTree T1 = NULL;BSTree T2 = NULL;Start(T1,T2);}。

二叉排序树

②若*p结点只有左子树，或只有右子树，则可将*p的左子树或右子树直接改为其双亲结点*f的左子树，即： f->1child=p->1child(或f->1child=p->rchild); free(p)； *f
F *p P P1
*f
F
*f
F *p P
*f
F
Pr
P1
Pr
③若*p既有左子树，又有右子树。则：
-1 0
47
-1
47
47
0
31 69
69
25
0
47
0
25
0
47
-1 0
31
0
69
0
40
69
40
69
0
25 76
40
76
(a)
AL、BL、BR 都是空树
(b) AL、BL、BR 都是非空树
LR型调整操作示意图
2
A
-1
0
C
AR C BL CL CR AR
0 0
B BL CL S
B
A
CR
(a) 插入结点*s后失去平衡
31
0 0 -1
31
0 1
28
0
25
0 0
47
0
25
-1
47
0
25
0
31
0
16 0
28
16
28
0
16 30
30
47
(c) LR(R)型调整
RL型调整操作示意图
A B C A BR CR B BR
AL
C
AL
CL CR

《数据结构》实验指导书

四、实验说明
1.单链表的类型定义
#include <stdio.h>
typedef int ElemType；//单链表结点类型
typedef struct LNode
{ElemType data;
struct LNode *next;
2.明确栈、队列均是特殊的线性表。
3.栈、队列的算法是后续实验的基础（广义表、树、图、查找、排序等）。
六、实验报告
根据实验情况和结果撰写并递交实验报告。
实验四串
一、预备知识
1.字符串的基本概念
2.字符串的模式匹配算法
二、实验目的
1.理解字符串的模式匹配算法（包括KMP算法）
typedef struct
{ElemType *base；
int front,rear；
} SqQueue；
4.单链队列的类型定义
typedef struct QNode
{QElemType data;
typedef struct list
{ElemType elem[MAXSIZE];//静态线性表
int length; //顺序表的实际长度
} SqList;//顺序表的类型名
五、注意问题
1.插入、删除时元素的移动原因、方向及先后顺序。
4.三元组表是线性表的一种应用，通过它可以更好地理解线性表的存储结构。同时矩阵又是图的重要的存储方式，所以这个实验对更好地掌握线性表对将来对图的理解都有极大的帮助。
六、实验报告
根据实验情况和结果撰写并递交实验报告。
实验六树和二叉树
一、预备知识
1.二叉树的二叉链表存储结构

2013《805软件基础与技术综合(数据结构、软件工程、数据库)》考试大纲

《软件基础与技术综合》考试大纲一、考试内容数据结构70分 + 数据库40分 + 软件工程40分（一）数据结构部分1. 数据结构基本概念(1) 数据结构的基本概念：数据、数据元素、数据结构、数据的逻辑结构、物理结构、算法等。

(2) 算法时间复杂度和空间复杂度的分析方法。

2. 线性表(1) 线性表的定义。

(2) 线性表的顺序存储结构和主要算法实现，如查找、插入和删除算法。

(3) 线性表的链式存储结构和主要算法实现，如查找、插入和删除算法。

(4) 循环链表、双向链表的特点。

(5) 从时间和空间复杂度的角度比较两种存储结构的不同特点及其适用场合。

(6) 线性表的应用，如线性表的合并算法。

3. 栈和队列(1) 栈的定义及特点，栈的顺序存储和链接存储结构，进栈出栈算法，顺序栈栈满和栈空的条件。

(2) 栈的应用，如表达式求值算法，借助栈深入理解递归算法。

(3) 队列的定义及特点，队列的顺序存储(循环队)和链接存储结构，进队出队算法，循环队列中队满及队空的条件。

4. 串和数组(1) 串的定义。

(2) 串的古典模式匹配算法。

(3) 数组地址的计算方法。

(4) 特殊矩阵的压缩存储方法。

5. 树和二叉树(1) 二叉树的定义和性质。

(2) 二叉树的两种存储结构：顺序存储和链式存储。

(3) 二叉树的创建和三种不同遍历算法，利用遍历算法实现二叉树的其他操作，如计算二叉树结点个数、叶子结点个数、二叉树的高度等算法。

(4) 线索二叉树的特性及构造方法。

(5) 树和森林的定义、存储结构与二叉树的转换方法。

(6) 树的应用，哈夫曼树及哈夫曼编码的构造算法、带权路径长度的计算。

6. 图(1) 图的定义和性质。

(2) 图的两种存储结构：邻接矩阵和邻接表。

(3) 图的两种遍历策略：深度优先搜索算法和广度优先搜索算法。

(4) 图的基本应用，包括拓扑排序算法、求解最短路径的迪杰斯特拉算法、构造最小生成树的两种算法（普里姆算法和克鲁斯卡尔算法）。

二叉排序树

二叉排序树1．二叉排序树定义二叉排序树（Binary Sort Tree）或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。

（2）左右子树也都是二叉排序树，如图6-2所示。

2．二叉排序树的查找过程由其定义可见，二叉排序树的查找过程为：（1）若查找树为空，查找失败。

（2）查找树非空，将给定值key与查找树的根结点关键码比较。

（3）若相等，查找成功，结束查找过程，否则：①当给值key小于根结点关键码，查找将在以左孩子为根的子树上继续进行，转（1）。

②当给值key大于根结点关键码，查找将在以右孩子为根的子树上继续进行，转（1）。

3．二叉排序树插入操作和构造一棵二叉排序树向二叉排序树中插入一个结点的过程：设待插入结点的关键码为key，为将其插入，先要在二叉排序树中进行查找，若查找成功，按二叉排序树定义，该插入结点已存在，不用插入；查找不成功时，则插入之。

因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。

构造一棵二叉排序树则是逐个插入结点的过程。

对于关键码序列为：｛63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58｝，则构造一棵二叉排序树的过程如图6-3所示。

4．二叉排序树删除操作从二叉排序树中删除一个结点之后，要求其仍能保持二叉排序树的特性。

设待删结点为*p（p为指向待删结点的指针），其双亲结点为*f，删除可以分三种情况，如图6-4所示。

（1）*p结点为叶结点，由于删去叶结点后不影响整棵树的特性，所以，只需将被删结点的双亲结点相应指针域改为空指针，如图6-4（a）所示。

（2）*p结点只有右子树或只有左子树，此时，只需将或替换*f结点的*p子树即可，如图6-4（b）、（c）所示。

（3）*p结点既有左子树又有右子树，可按中序遍历保持有序地进行调整，如图6-4（d）、（e）所示。

设删除*p结点前，中序遍历序列为：① P为F的左子女时有：…，Pi子树，P，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…。

二叉排序树的实验报告

二叉排序树的实验报告二叉排序树的实验报告引言：二叉排序树（Binary Search Tree，简称BST）是一种常用的数据结构，它将数据按照一定的规则组织起来，便于快速的查找、插入和删除操作。

本次实验旨在深入了解二叉排序树的原理和实现，并通过实验验证其性能和效果。

一、实验背景二叉排序树是一种二叉树，其中每个节点的值大于其左子树的所有节点的值，小于其右子树的所有节点的值。

这种特性使得在二叉排序树中进行查找操作时，可以通过比较节点的值来确定查找的方向，从而提高查找效率。

二、实验目的1. 理解二叉排序树的基本原理和性质；2. 掌握二叉排序树的构建、插入和删除操作；3. 验证二叉排序树在查找、插入和删除等操作中的性能和效果。

三、实验过程1. 构建二叉排序树首先，我们需要构建一个空的二叉排序树。

在构建过程中，我们可以选择一个节点作为根节点，并将其他节点插入到树中。

插入节点时，根据节点的值与当前节点的值进行比较，如果小于当前节点的值，则将其插入到当前节点的左子树中；如果大于当前节点的值，则将其插入到当前节点的右子树中。

重复这个过程，直到所有节点都被插入到树中。

2. 插入节点在已有的二叉排序树中插入新的节点时，我们需要遵循一定的规则。

首先，从根节点开始，将新节点的值与当前节点的值进行比较。

如果小于当前节点的值，则将其插入到当前节点的左子树中；如果大于当前节点的值，则将其插入到当前节点的右子树中。

如果新节点的值与当前节点的值相等，则不进行插入操作。

3. 删除节点在二叉排序树中删除节点时，我们需要考虑不同的情况。

如果要删除的节点是叶子节点，即没有左右子树，我们可以直接删除该节点。

如果要删除的节点只有一个子树，我们可以将子树连接到要删除节点的父节点上。

如果要删除的节点有两个子树，我们可以选择将其右子树中的最小节点或左子树中的最大节点替代该节点，并删除相应的替代节点。

四、实验结果通过对二叉排序树的构建、插入和删除操作的实验，我们得到了以下结果：1. 二叉排序树可以高效地进行查找操作。

数据结构-二叉排序树

二叉排序树操作一、设计步骤1）分析课程设计题目的要求2）写出详细设计说明3）编写程序代码，调试程序使其能正确运行4）设计完成的软件要便于操作和使用5）设计完成后提交课程设计报告（一）程序功能：1）创建二叉排序树2）输出二叉排序树3）在二叉排序树中插入新结点4）在二叉排序树中删除给定的值5）在二叉排序树中查找所给定的值（二）函数功能：1） struct BiTnode 定义二叉链表结点类型包含结点的信息2） class BT 二叉排序树类，以实现二叉排序树的相关操作3） InitBitree() 构造函数，使根节点指向空4) ~BT () 析构函数，释放结点空间5) void InsertBST(&t,key) 实现二叉排序树的插入功能6) int SearchBST(t,key) 实现二叉排序树的查找功能7) int DelBST(&t,key) 实现二叉排序树的删除功能8) void InorderBiTree (t) 实现二叉排序树的排序（输出功能）9) int main() 主函数，用来完成对二叉排序树类中各个函数的测试二、设计理论分析方法（一）二叉排序树定义首先，我们应该明确所谓二叉排序树是指满足下列条件的二叉树：（1）左子树上的所有结点值均小于根结点值；（2）右子数上的所有结点值均不小于根结点值；（3）左、右子数也满足上述两个条件。

根据对上述的理解和分析，我们就可以先创建出一个二叉链表结点的结构体类型（struct BiTNode）和一个二叉排序树类（class BT），以及类中的构造函数、析构函数和其他实现相关功能的函数。

（二）插入函数（void InsertBST(&t,key)）首先定义一个与BiTNode<k> *BT同一类型的结点p，并为其申请空间，使p->data=key,p->lchild和p->rchild=NULL。

数据结构课程教学大纲

《数据结构》教学大纲课程编号：课程名称：数据结构适用专业：软件工程学时/学分：64/4先修课程：C语言程序设计后续课程：算法分析与设计，操作系统一、课程说明《数据结构》是软件工程专业的专业基础课，也是计算机类专业的必修核心课程。

通过本课程的学习，学生能够理解数据结构的基本概念、理论，掌握常用数据结构及其操作，能够通过分析研究数据对象的特征，在软件开发过程中选择适当的逻辑结构、存储结构及相应算法，并分析算法的时间与空间复杂度，提高解决复杂工程问题的能力。

二、课程目标1．本课程可以使学生具备以下能力：（1）理解数据结构与算法的基本概念，掌握常用基本数据结构的逻辑结构、存储结构及其操作的实现，能进行算法的时间、空间复杂性分析；（2）掌握常用查找和排序算法，并能够理解不同算法的适用场景；（3）能够针对问题进行数据对象的抽象、分析、建模，并选择、构建合适的数据结构；（4）能够在软件开发过程中，针对特定需求综合应用数据结构、算法复杂性分析等知识设计算法。

2．课程目标与毕业要求关系三、教学内容与要求1．理论部分2．实验部分四、课程目标考核评价方式及标准1．成绩评定方法及课程目标达成考核评价方式（1）成绩评定方法成绩评定依据期末考试成绩、平时成绩（实验、作业、测试、课堂互动、自主学习等）进行核定。

期末考试成绩占总评成绩的60%，平时成绩占总评成绩的40%。

（2）课程目标达成考核评价方式2．课程目标与考核内容3．考核标准（1）课程考试考核与评价标准（2）实验考核标准（3）作业考核标准五、参考书目[1]李春葆. 数据结构C语言版(第2版)[M]. 北京: 清华大学出版社. 2017.[2]严蔚敏, 吴伟民. 数据结构C语言版[M]. 北京: 清华大学出版社. 2012.[3]Weiss M.Allen. 数据结构与算法分析：C语言描述(原书第2版). 北京: 机械工业出版社. 2017.[4]陈越. 数据结构(第2版)[M]. 北京: 高等教育出版社. 2016.[5](美)Bruno R.Preiss著; 胡广斌等译. 数据结构与算法: 面向对象的C++设计模式[M].北京: 电子工业出版社. 2003.[6](美)Thomas H.Cormen, Charles E.Leiserson, Ronald L.Rivest, et al.著; 王刚, 邹恒明, 殷建平等译. 算法导论(原书第3版)[M]. 北京: 机械工业出版社. 2013.[7]殷人昆. 数据结构: 用面向对象方法与C++语言描述(第2版)[M]. 北京: 清华大学出版社. 2016.课程负责人：专业负责人：教学院长：。

二叉排序树删除节点详解

⼆叉排序树删除节点详解⼆叉排序树删除节点详解说明1. ⼆叉排序树有着⽐数组查找快，⽐链表增删快的优势，⽐较常见2. ⼆叉排序树要删除节点，⾸先要找到该节点和该节点对应的⽗节点，因为只根据当前节点是不能删除节点本⾝的，因此需要找到⽗节点3. ⼆叉排序树删除节点，根据节点所在的位置不同，需要分为三种情况4. 即要删除的节点是叶⼦节点，要删除的节点只有⼀颗⼦树的情况和要删除的节点有两颗⼦树的情况5. 考虑第⼀种情况，即要删除的节点是叶⼦节点6. 直接找到要删除节点的⽗节点，然后置空即可7. 考虑第⼆种情况，即要删除的节点有⼀颗⼦树8. 先找到该节点和该节点的⽗节点，根据该节点是⽗节点的左⼦节点还是右⼦节点和该节点有左⼦节点还是有有⼦节点，应该分为四种情况讨论，每种情况改变⽗节点的引⽤即可实现删除9. 考虑第三种情况，即要删除的节点有两颗⼦树10. 这种情况删除思路应该为找到当前节点右⼦树的的最⼤值节点或者找到当前节点左⼦树的最⼩值节点，先将这个节点删除，再⽤这个节点替换当前节点11. 实质操作先记录删除⼦树的最⼤最⼩值节点的值，然后删除这个节点，最后⽤记录的这个值替换掉要删除的节点，实现删除有左右⼦树节点的思路12. 源码及思路见下源码及分析package algorithm.tree.bst;/*** @author AIMX_INFO* @version 1.0*/public class BinarySortTree {public static void main(String[] args) {int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};BST bst = new BST();//循环添加节点for (int i = 0; i < arr.length; i++) {bst.add(new Node(arr[i]));}//中序遍历查看System.out.println("中序遍历");bst.infixOrder();System.out.println("删除叶⼦节点");bst.delNode(7);bst.infixOrder();}}//⼆叉排序树class BST {private Node root;//中序遍历public void infixOrder() {if (root != null) {root.infixOrder();} else {System.out.println("树是空的");}}//添加节点public void add(Node node) {if (root == null) {root = node;} else {root.add(node);}}//查找某⼀节点public Node search(int value) {if (root == null) {return null;} else {return root.search(value);}}//查找某⼀节点的⽗节点public Node searchParent(int value) {if (root == null) {return null;} else {return root.searchParent(value);}}//删除节点public void delNode(int value) {//先判断是否为空树if (root == null) {return;} else {//如果树不为空，再判断树是否只有⼀个空节点if (root.left == null && root.right == null && root.value == value) { root = null;return;}//否则先查找要删除的节点Node target = search(value);//判断要删除节点是否存在if (target == null) {return;}//如果存在则再找到要删除节点的⽗节点Node parent = searchParent(value);//然后根据要删除的节点分情况删除//如果要删除的节点是叶⼦节点if (target.left == null && target.right == null) {//判断target是⽗节点的左⼦节点还是右⼦节点//如果是左⼦节点if (parent.left != null && parent.left.value == value) {parent.left = null;}//如果是左⼦节点if (parent.right != null && parent.right.value == value) {parent.right = null;}//如果要删除的节点有两个⼦节点} else if (target.left != null && target.right != null) {int minVal = delRightNodeMin(target.right);target.value = minVal;//否则要删除的节点只有⼀个⼦节点} else {//判断要删除的节点有左⼦节点还是右⼦节点//target的左⼦节点不为空if (target.left != null){//判断target是⽗节点的左⼦树还是右⼦树//左⼦树if (parent != null) {if (parent.left.value == value) {parent.left = target.left;} else {//右⼦树parent.right = target.left;}}else {root = target.left;}//target的右⼦节点不为空}else {//同理if (parent != null) {if (parent.left.value == value) {parent.left = target.right;} else {parent.right = target.right;}}else {root = target.right;}}}}}/*** 查找当前⼆叉排序树的最⼩节点并删除* @param node 当前⼆叉排序树* @return 返回最⼩节点的值*/public int delRightNodeMin(Node node){//辅助变量⽤于遍历⼆叉排序树Node target = node;//循环查找最⼩节点while (target.left != null){target = target.left;}//循环结束时已经找到//删除当前节点delNode(target.value);//返回当前节点的值return target.value;}}//节点class Node {int value;Node left;Node right;public Node(int value) {this.value = value;}//查找某⼀节点/*** @param value 要查找的节点的值* @return 返回查找的结果*/public Node search(int value) {//如果要查找的节点就是当前节点，直接返回if (value == this.value) {return this;}//判断要查找的节点的value与当前节点的value的⼤⼩关系 //向左递归查找if (value < this.value) {//判断左⼦树是否为空if (this.left == null) {return null;}return this.left.search(value);} else {//向右递归查找//判断右⼦树是否为空if (this.right == null) {return null;}return this.right.search(value);}}//查找要删除节点的⽗节点/*** @param value 要删除的节点的值* @return 返回查找的结果*/public Node searchParent(int value) {//判断当前节点是不是要查找节点的⽗节点if ((this.left != null && this.left.value == value) ||(this.right != null && this.right.value == value)) {return this;} else {//如果不是则向左向右递归查找//向左递归if (value < this.value && this.left != null) {return this.left.searchParent(value);//向右递归} else if (value >= this.value && this.right != null) {return this.right.searchParent(value);} else {//否则没有找到return null;}}}//递归添加节点的⽅法public void add(Node node) {//数据校验if (node == null) {return;}//根据要添加的节点的值和当前节点值的⼤⼩判断节点要添加的位置 if (node.value < this.value) {//如果当前左⼦节点为空，则直接添加if (this.left == null) {this.left = node;} else {//否则递归添加this.left.add(node);}} else {//同理if (this.right == null) {this.right = node;} else {this.right.add(node);}}}//中序遍历public void infixOrder() {if (this.left != null) {this.left.infixOrder();}System.out.println(this);if (this.right != null) {this.right.infixOrder();}}@Overridepublic String toString() {return "Node{" +"value=" + value +'}';}}。

数据结构 -第12周查找第3讲-二叉排序树.pdf

以二叉树或树作为表的组织形式，称为树表，它是一类动态查找表，不仅适合于数据查找，也适合于表插入和删除操作。

常见的树表：二叉排序树平衡二叉树B-树B+树9.3.1 二叉排序树二叉排序树（简称BST）又称二叉查找（搜索）树，其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质（BST性质）的二叉树：❶若它的左子树非空，则左子树上所有节点值（指关键字值）均小于根节点值；❷若它的右子树非空，则右子树上所有节点值均大于根节点值；❸左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。

注意：二叉排序树中没有相同关键字的节点。

二叉树结构满足BST性质：节点值约束二叉排序树503080209010854035252388例如:是二叉排序树。

66不试一试二叉排序树的中序遍历序列有什么特点？二叉排序树的节点类型如下：typedef struct node{KeyType key;//关键字项InfoType data;//其他数据域struct node*lchild,*rchild;//左右孩子指针}BSTNode;二叉排序树可看做是一个有序表，所以在二叉排序树上进行查找，和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。

1、二叉排序树上的查找Nk< bt->keybtk> bt->key 每一层只和一个节点进行关键字比较！∧∧p查找到p所指节点若k<p->data，并且p->lchild=NULL，查找失败。

若k>p->data，并且p->rchild=NULL，查找失败。

查找失败的情况加上外部节点一个外部节点对应某内部节点的一个NULL指针递归查找算法SearchBST()如下（在二叉排序树bt上查找关键字为k的记录，成功时返回该节点指针，否则返回NULL）：BSTNode*SearchBST(BSTNode*bt,KeyType k){if(bt==NULL||bt->key==k)//递归出口return bt;if(k<bt->key)return SearchBST(bt->lchild,k);//在左子树中递归查找elsereturn SearchBST(bt->rchild,k);//在右子树中递归查找}在二叉排序树中插入一个关键字为k的新节点，要保证插入后仍满足BST性质。

树与二叉树二叉树的基本操作课件-浙教版(2019)高中信息技术选修1

所以 n_0 = n_2 + 1
树
二叉树
·二叉树的性质
性质4、具有 n 个结点的完全二叉树的深度 log2 n 1
性质5、如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点i（1<=i<=n）有
(1).如果i=1，则节点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲节点为[i/2]，向下取整 (2).如果2i>n那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为2i (3).如果2i+1>n那么节点没有右孩子，否则右孩子为2i+1
2、链表实现需要三个域：一个数值域和两个指针域。头指针
A
A
B
C
D
E
F
G
B
^C^
^D^
E
^F^
^G^
二叉树的基本操作
·二叉树的建立
3、列表实现
List1=[‘A’,[‘B’,None,None], [‘C’,[‘D’,[‘F’,None,None], [‘G’,None,None]], [‘E’,[‘H’,None,None], [‘I’,None,None]]]]
求其前序遍历顺序？
A-B-D-H-E-C-F-I-G-J-K
计算表达式：中序遍历顺序逆波兰式：后序遍历顺序
树
+
-
4
8
/
+
5
3
*
2
6
树
二叉树的基本操作
·二叉树的唯一性
通过二叉树任二种遍历方式能否确定一颗唯一的二叉树呢？
有唯一二叉树：前序遍历+中序遍历后序遍历+中序遍历
前序遍历+后序遍历 -----没有唯一二叉树

数据结构实验三——二叉树基本操作及运算实验报告

《数据结构与数据库》实验报告实验题目二叉树的基本操作及运算一、需要分析问题描述：实现二叉树（包括二叉排序树）的建立，并实现先序、中序、后序和按层次遍历，计算叶子结点数、树的深度、树的宽度，求树的非空子孙结点个数、度为2的结点数目、度为2的结点数目，以及二叉树常用运算。

问题分析：二叉树树型结构是一类重要的非线性数据结构，对它的熟练掌握是学习数据结构的基本要求。

由于二叉树的定义本身就是一种递归定义，所以二叉树的一些基本操作也可采用递归调用的方法。

处理本问题，我觉得应该：1、建立二叉树；2、通过递归方法来遍历（先序、中序和后序）二叉树；3、通过队列应用来实现对二叉树的层次遍历；4、借用递归方法对二叉树进行一些基本操作，如：求叶子数、树的深度宽度等；5、运用广义表对二叉树进行广义表形式的打印。

算法规定：输入形式：为了方便操作，规定二叉树的元素类型都为字符型，允许各种字符类型的输入，没有元素的结点以空格输入表示，并且本实验是以先序顺序输入的。

输出形式：通过先序、中序和后序遍历的方法对树的各字符型元素进行遍历打印，再以广义表形式进行打印。

对二叉树的一些运算结果以整型输出。

程序功能：实现对二叉树的先序、中序和后序遍历，层次遍历。

计算叶子结点数、树的深度、树的宽度，求树的非空子孙结点个数、度为2的结点数目、度为2的结点数目。

对二叉树的某个元素进行查找，对二叉树的某个结点进行删除。

测试数据：输入一：ABC□□DE□G□□F□□□（以□表示空格）,查找5,删除E预测结果：先序遍历ABCDEGF中序遍历CBEGDFA后序遍历CGEFDBA层次遍历ABCDEFG广义表打印A（B（C,D（E（,G）,F）））叶子数3 深度5 宽度2 非空子孙数6 度为2的数目2 度为1的数目2查找5，成功，查找的元素为E删除E后，以广义表形式打印A（B（C,D（,F）））输入二：ABD□□EH□□□CF□G□□□（以□表示空格）,查找10,删除B预测结果：先序遍历ABDEHCFG中序遍历DBHEAGFC后序遍历DHEBGFCA层次遍历ABCDEFHG广义表打印A（B(D,E(H)),C(F(,G))）叶子数3 深度4 宽度3 非空子孙数7 度为2的数目2 度为1的数目3查找10，失败。

《数据结构》课程标准

01
分支限界策略
类似于回溯法，但在搜索过程中通过剪枝等操作来减少搜索空间，提高效率。
05
03
贪心策略
每一步都采取当前状态下最好或最优的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的。
04
回溯策略
通过探索所有可能的解来求解问题，当发现当前路径无法得到解时，回溯到上一步重新选择。
05
排序与查找算法专题
《数据结构》课程标准
目录
• 课程概述与目标 • 基本数据类型与操作 • 复杂数据类型与操作 • 算法设计与分析基础 • 排序与查找算法专题 • 文件组织与处理技术 • 实验环节与项目实践指导
01
课程概述与目标
数据结构定义及重要性
数据结构定义
数据结构是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
01
02
03
时间复杂度
衡量算法执行时间随问题规模增长的速度，常用大 O表示法。
空间复杂度
衡量算法执行过程中所需额外空间的数量级，也常用大O表示法。
其他指标
包括算法的稳定性、可读性、可维护性等。
典型算法设计策略
分治策略
将原问题分解为若干个子问题，分别求解后再合并结果。
02
动态规划
通过保存子问题的解，避免重复计算，提高效率。
06
文件组织与处理技术
文件概念及分类方法
文件定义
文件是存储在外部介质上的数据集合，通常以记录为单位进行组织。
文件分类
根据文件的性质和记录的组织方式，文件可分为顺序文件、索引文件、散列文件和链式文件等。
顺序文件组织方式
顺序文件的定义
顺序文件是按照某种顺序（如记录的逻辑顺序或物理顺序）进行组织的文件。

数据结构设计说明书

摘要数据结构是研究与数据之间的关系，我们称这一关系为数据的逻辑结构，简称数据结构。

当数据的逻辑结构确定以后，数据在物理空间中的存储方式，称为数据的存储结构。

相同的逻辑结构可以具有不同的存储结构，因而有不同的算法。

本次课程设计，程序中的数据采用“树形结构”作为其数据结构。

具体采用的是“二叉排序树”，并且使用“一维数组”来作为其存储结构。

一维数组顺序表存储结构是用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左而右存储完全二叉树上的结点元素；本课程设计实现了二叉排序树的创建、中序遍历、计算二叉排序树的平均查找长度和删除二叉排序树中某个结点。

本课程主要介绍了本课题的开发背景，所要完成的功能和开发的过程。

重点说明了系统的设计思路、总体设计、各个功能模块的设计与实现方法。

关键词：二叉排序树的实现；C语言；数据结构；线性表；顺序表；中序遍历。

目录摘要 (I)1 课题背景的介绍 (3)1.1 课题背景 (3)1.2 目的 (3)2 需求分析 (3)课程设计题目、任务及要求 (3)课程设计思想 (4)3 系统总体设计 (5)3.1 系统模块划分 (5)3.2 二叉排序树的生成过程 (5)3.3 主要功能模块设计 (5)4 系统详细设计 (7)4.1 主函数菜单模块 (7)4.2 查找模块 (8)4.3 插入模块 (9)4.4 中序遍历模块 (10)删除模块 (11)5 系统连编与运行 (13)6 总结 (14)参考文献 (15)附录 (14)A）课题背景的介绍课题背景随着经济的迅速发展，各行各业纷纷应用电脑数据信息管理。

当然数据信息是一个很笼统的概念，随着现代信息的大量增加，其处理难度也越来越大，如何对各个数据信息进行更好的树立，这就是我们研究这个课题的目的。

在电脑迅速发展的今天，将电脑这一信息处理器应用于实际数据问题问题的信息计算已是势必所然，而且这也将数据信息处理带来前所未有的改变。

采用电脑对数据的信息处理是信息科学化和现代化的重要标志，它也给各行各业带来了明显的经济效益。

第四章二叉树_2

9
二叉搜索树插入操作
利用插入操作可以构造一棵二叉搜索树首先给出结点序列: 首先给出结点序列 13、8、23、5、18、37 、、、、、
Φ13
8 5 5 18
83 18 5 2 37 23 37 37 18
10
template<class T> void BST<T>::insertNodeHelper(const T& el) { BSTNode<T> *p = root, *prev = 0; while (p != 0) { prev = p; if( p->data < el ) p = p->rchild; else p = p->lchild; } if( root == 0 ) root = new BSTNode<T>(el); else if( prev->data < el ) p = prev->rchild = new BSTNode<T>(el); else p = prev->lchild = new BSTNode<T>(el); } //find a place for inserting new node; //插入节点插入节点
20
课堂练习
4.14 对于3个关键码值A、B、C，有多少个不同的二叉搜索树？画出相应二叉树。
21
平衡的二叉搜索树(AVL)
BST受输入顺序影响受输入顺序影响
最好O(log n) 最好最坏O(n) 最坏
怎样使得BST始终保持始终保持O(log n)级的平衡状态？级的平衡状态怎样使得始终保持级的平衡状态？ Adelson-Velskii和Landis发明了AVL树发明了AVL Adelson-Velskii和Landis发明了AVL树

头歌二叉排序表的基本操作

头歌二叉排序表的基本操作一、概述二叉排序树，也称为二叉搜索树（Binary Search Tree, BST），是一种特殊的二叉树，其中每个节点都满足以下性质：对于任意节点，其左子树中所有节点的值都小于该节点的值，而其右子树中所有节点的值都大于该节点的值。

这种特性使得二叉排序树成为一种非常有效的数据结构，用于在各种算法中实现快速查找、插入和删除操作。

二、基本操作1. 插入操作插入操作是二叉排序树中最常用的操作之一。

其基本步骤如下：（1）创建一个新节点，并将要插入的值赋给该节点。

（2）如果二叉排序树为空，则将新节点作为根节点。

（3）否则，从根节点开始比较新节点的值与当前节点的值。

如果新节点的值小于当前节点的值，则将新节点插入到当前节点的左子树中；否则，将新节点插入到当前节点的右子树中。

（4）重复步骤3，直到找到一个空位置来插入新节点。

2. 删除操作删除操作是二叉排序树中比较复杂的操作之一。

其基本步骤如下：（1）找到要删除的节点。

如果找不到要删除的节点，则无法进行删除操作。

（2）如果找到要删除的节点，则将其从树中删除。

如果该节点只有一个子节点，则直接删除该节点；如果该节点有两个子节点，则可以选择将其中的一个子节点“提升”到该节点的位置，然后删除该子节点。

在提升子节点时，需要考虑子节点的值与要删除的节点的值之间的关系，以确保二叉排序树的性质不变。

（3）如果被提升的子节点仍然包含要删除的节点，则需要重复步骤2，直到找到要删除的节点并将其删除。

3. 查找操作查找操作用于在二叉排序树中查找指定的值。

其基本步骤如下：（1）从根节点开始，比较当前节点的值与要查找的值。

如果它们相等，则查找成功，返回当前节点的位置。

（2）如果当前节点的值大于要查找的值，则进入当前节点的左子树中进行查找；否则进入当前节点的右子树中进行查找。

（3）重复步骤2，直到找到要查找的值或者搜索路径上的所有节点都已访问过。

如果最终没有找到要查找的值，则返回空指针。

数据结构实训范文

数据结构实训范文一、实训目标本次数据结构实训的目标是了解和掌握常见的数据结构及其应用，并通过实践运用学习到的知识解决实际问题。

具体目标如下：1.了解线性表、栈、队列、树、图等数据结构的特点和基本操作；2.能够分析和设计合适的数据结构来解决实际问题；3.能够实现常见数据结构的基本操作，包括插入、删除、查找等；4.能够对数据结构进行合理的选择和应用。

二、实训内容1.线性表在实训中，我实现了使用数组和链表两种方式来实现线性表的基本操作。

通过对数组和链表操作的比较分析，我了解到数组在随机访问和插入、删除操作上的优势，而链表在插入、删除操作上相对复杂，但在内存分配利用上更灵活。

2.栈和队列针对实际问题，我实现了栈和队列的应用。

通过编程实践，我感受到栈和队列在解决问题时的强大性能。

在栈的应用中，我学会了如何判断表达式的合法性，并转化为后缀表达式进行求值。

在队列的应用中，我掌握了利用队列来模拟实际情景，如银行排队、消息传递等。

3.树在实训中，我实现了二叉树、二叉排序树、平衡二叉树和哈夫曼树等的基本操作及应用。

通过实践，我学会了树的遍历算法，如前序遍历、中序遍历和后序遍历。

同时，我了解到不同类型的树在解决问题时的适用性和效率，并学会了根据问题需求选择合适的树结构。

4.图我了解了图的基本概念及其存储方式，并实现了图的基本操作，包括深度优先和广度优先算法。

通过实践，我了解到图在解决一些现实问题时的重要性，如地图导航、网络拓扑分析等。

三、实训体会通过本次数据结构实训，我对数据结构的概念和应用有了更深入的理解。

在实践中，我不仅掌握了数据结构的基本操作，还学会了根据实际问题选择合适的数据结构进行解决。

此外，通过与同学的合作，我进一步培养了团队合作精神和解决问题的能力。

在实训中，我遇到了一些困难和挑战。

比如，在实现链表的结点删除操作时，我需要注意指针操作的正确性，否则容易导致内存泄漏或指针异常。

在实现树的平衡功能时，我需要考虑到平衡算法的复杂性和效率。

树、二叉树、查找算法总结

树、⼆叉树、查找算法总结树的定义形式化定义树：T={D，R }。

D是包含n个结点的有限集合（n≥0）。

当n=0时为空树，否则关系R满⾜以下条件:l 有且仅有⼀个结点d0∈D，它对于关系R来说没有前驱结点，结点d0称作树的根结点。

l 除根结点外，每个结点有且仅有⼀个前驱结点。

l D中每个结点可以有零个或多个后继结点。

递归定义树是由n（n≥0）个结点组成的有限集合（记为T）。

其中：l 如果n=0，它是⼀棵空树，这是树的特例；l 如果n>0，这n个结点中存在⼀个唯⼀结点作为树的根结点（root），其余结点可分为m （m≥0）个互不相交的有限⼦集T1、T2、…、Tm，⽽每个⼦集本⾝⼜是⼀棵树，称为根结点root的⼦树。

ð 树中所有结点构成⼀种层次关系！树的基本术语度结点的度：⼀个结点的⼦树的个数树的度：各节点的度的最⼤值。

通常将度为m的树成为m次树或m叉树结点分⽀结点：度不为0的结点（也称⾮终端结点）度为1的结点成为单分⽀结点，度为2的结点称为双分⽀结点叶结点：度为0的结点路径与路径长度路径：两个结点di和dj的结点序列（di，di1，di2，…，dj）。

其中<dx，dy>是分⽀。

路径长度：等于路径所通过的结点数⽬减1（即路径上的分⽀数⽬）结点的层次和树⾼度层次：根结点层次为1，它的孩⼦结点层次为2。

以此类推。

树的⾼度（深度）：结点中的最⼤层次；有序树和⽆序树有序树：若树中各结点的⼦树是按照⼀定的次序从左向右安排的，且相对次序是不能随意变换的⽆序树：和上⾯相反森林只要把树的根结点删去就成了森林。

反之，只要给n棵独⽴的树加上⼀个结点，并把这n棵树作为该结点的⼦树，则森林就变成了⼀颗树。

树的性质性质1：树中的结点数等于所有结点的度数之和加1。

证明：树的每个分⽀记为⼀个度，度数和=分⽀和，⽽再给根节点加个分⽀性质2：度为m的树中第i层上⾄多有mi-1个结点（i≥1）。

性质3 ⾼度为h的m次树⾄多有个结点。