二叉排序树用于动态查找
数据结构第五章 查找 答案
数据结构与算法上机作业第五章查找一、选择题1、若构造一棵具有n个结点的二叉排序树，在最坏情况下，其高度不超过 B 。
A. n/2B. nC. (n+1)/2D. n+12、分别以下列序列构造二叉排序数（二叉查找树），与用其他3个序列所构造的结果不同的是 C ：A. (100, 80, 90, 60, 120, 110, 130)B. (100, 120, 110, 130, 80, 60, 90)C. (100, 60, 80, 90, 120, 110, 130)D. (100, 80, 60, 90, 120, 130, 110)3、不可能生成下图所示的二叉排序树的关键字的序列是 A 。
A. 4 5 3 1 2B. 4 2 5 3 1C. 4 5 2 1 3D. 4 2 3 1 54、在二叉平衡树中插入一个结点造成了不平衡，设最低的不平衡点为A，并已知A的左孩子的平衡因子为0，右孩子的平衡因子为1，则应作 C 型调整使其平衡。
A. LLB. LRC. RLD. RR5、一棵高度为k的二叉平衡树，其每个非叶结点的平衡因子均为0，则该树共有 C 个结点。
A. 2k-1-1B. 2k-1+1C. 2k-1D. 2k+16、具有5层结点的平衡二叉树至少有 A 个结点。
A. 12B. 11C. 10D. 97、下面关于B-和B+树的叙述中，不正确的是 C 。
A. B-树和B+树都是平衡的多叉树B. B-树和B+树都可用于文件的索引结构C. B-树和B+树都能有效地支持顺序检索D. B-树和B+树都能有效地支持随机检索8、下列关于m阶B-树的说法错误的是 D 。
A. 根结点至多有m棵子树B. 所有叶子结点都在同一层次C. 非叶结点至少有m/2（m为偶数）或m/2+1(m为奇数)棵子树D. 根结点中的数据是有序的9、下面关于哈希查找的说法正确的是 C 。
A. 哈希函数构造得越复杂越好，因为这样随机性好，冲突小B. 除留余数法是所有哈希函数中最好的C. 不存在特别好与坏的哈希函数，要视情况而定D. 若需在哈希表中删去一个元素，不管用何种方法解决冲突都只要简单地将该元素删去即可10、与其他查找方法相比，散列查找法的特点是 C 。
二叉树的优点和缺点
⼆叉树的优点和缺点
⼆叉排序树是⼀种⽐较有⽤的折衷⽅案。
数组的搜索⽐较⽅便，可以直接⽤下标，但删除或者插⼊某些元素就⽐较⿇烦。
链表与之相反，删除和插⼊元素很快，但查找很慢。
⼆叉排序树就既有链表的好处，也有数组的好处。
在处理⼤批量的动态的数据是⽐较有⽤。
⽂件系统和数据库系统⼀般都采⽤树（特别是B树）的数据结构数据，主要为排序和检索的效率。
⼆叉树是⼀种最基本最典型的排序树，⽤于教学和研究树的特性，本⾝很少在实际中进⾏应⽤，因为缺点太明显了（看看教科书怎么说的）。
就像冒泡排序⼀样，虽然因为效率问题并不实⽤，单不失⼀种教学例⼦的好⼿段。
平衡⼆叉树都有哪些应⽤场景
⼆叉树⽀持动态的插⼊和查找，保证操作在O(height)时间，这就是完成了哈希表不便完成的⼯作，动态性。
但是⼆叉树有可能出现worst-case，如果输⼊序列已经排序，则时间复杂度为O(N)
平衡⼆叉树/红⿊树就是为了将查找的时间复杂度保证在O(logN)范围内。
所以如果输⼊结合确定，所需要的就是查询，则可以考虑使⽤哈希表，如果输⼊集合不确定，则考虑使⽤平衡⼆叉树/红⿊树，保证达到最⼤效率
平衡⼆叉树主要优点集中在快速查找。
如果你知道SGI/STL的set/map底层都是⽤红⿊树（平衡⼆叉树的⼀种）实现的，相信你会对这些树⼤有兴趣。
缺点：
顺序存储可能会浪费空间(在⾮完全⼆叉树的时候)，但是读取某个指定的节点的时候效率⽐较⾼O(0)
链式存储相对⼆叉树⽐较⼤的时候浪费空间较少，但是读取某个指定节点的时候效率偏低O(nlogn)。
二叉排序树
二叉排序树1．二叉排序树定义二叉排序树（Binary Sort Tree）或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。
（2）左右子树也都是二叉排序树，如图6-2所示。
2．二叉排序树的查找过程由其定义可见，二叉排序树的查找过程为：（1）若查找树为空，查找失败。
（2）查找树非空，将给定值key与查找树的根结点关键码比较。
（3）若相等，查找成功，结束查找过程，否则：①当给值key小于根结点关键码，查找将在以左孩子为根的子树上继续进行，转（1）。
②当给值key大于根结点关键码，查找将在以右孩子为根的子树上继续进行，转（1）。
3．二叉排序树插入操作和构造一棵二叉排序树向二叉排序树中插入一个结点的过程：设待插入结点的关键码为key，为将其插入，先要在二叉排序树中进行查找，若查找成功，按二叉排序树定义，该插入结点已存在，不用插入；查找不成功时，则插入之。
因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。
构造一棵二叉排序树则是逐个插入结点的过程。
对于关键码序列为：｛63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58｝，则构造一棵二叉排序树的过程如图6-3所示。
4．二叉排序树删除操作从二叉排序树中删除一个结点之后，要求其仍能保持二叉排序树的特性。
设待删结点为*p（p为指向待删结点的指针），其双亲结点为*f，删除可以分三种情况，如图6-4所示。
（1）*p结点为叶结点，由于删去叶结点后不影响整棵树的特性，所以，只需将被删结点的双亲结点相应指针域改为空指针，如图6-4（a）所示。
（2）*p结点只有右子树或只有左子树，此时，只需将或替换*f结点的*p子树即可，如图6-4（b）、（c）所示。
（3）*p结点既有左子树又有右子树，可按中序遍历保持有序地进行调整，如图6-4（d）、（e）所示。
设删除*p结点前，中序遍历序列为：① P为F的左子女时有：…，Pi子树，P，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…。
二叉排序树在动态检索中的应用研究
１３ 构 造 实 例 ．
上所有结点的值均大于它的根结点的值； ③它的左 、 右子
树也 分别 为二 叉排 序树 。 作 用 于二 叉排 序 树上 的基本 操 作 的时 间 与树 的 高度 成 正 比． 对一 棵 含 ｎ个 节点 的完全 二 叉树 ． 些操 作 的最 这 坏 情 况 运 行 时 间为 Ｏ（ ｇｎ ， 如 果 树 是 含 ｎ个 节 点 的 １ ）但 ｏ 线 性链 ． 则这 些操 作 的最 坏情 况运 行 时 间为 Ｏ（ ） ｎ。 １２ 二 叉排 序树 的构 造 方法 －
根 据数 据 表 中 的信 息 。 们 可 以建立 二 叉排 序树 ． 我 表 中 的每 行记 录看 成 一 个 包 含若 干数 据 项 的数 据结 点 ． 为
这 个 结 点 设 置 Ｉ （ 点 编 号 ）Ｎ ＭＥ （ 点名 称 ）Ｆ Ｄ 结 、Ａ 结 、Ａ． Ｔ Ｒ Ｎ Ｏ（ 点 的 父 结 点信 息 ）Ｓ ＮＩ Ｆ 结 点 与 父 结 ＨＥ Ｉ Ｆ 结 、Ｏ Ｎ Ｏ（
根据 超 市管 理 系统 中商 品信 息表 里 的数 据 ．我 们选 用毛巾、 皂 、 香 卡通 书 、 电饭 锅 、 球 、 摩 器 六 件 商 品 为 篮 按 例 来 说 明 构 造 过 程 把 以 上 六 种 商 品 的 信 息 补 充 到
Ｃ ＭＭＯ ＩＹ ＲＥＥ 中 ． 得 到 表 ２ 其 中 Ｆ ＨＥ ＮＦ Ｏ ＤＴ Ｔ 可 ． ＡＴ ＲＩ Ｏ
第１ ９卷 第 ３期
２１ ０ ０年 ５ 月
重 庆 电子 工 程 职 业 学 院 学报
ｏ ｕｍ ａ ｆＣｈｏ ｇ ｉ ｇ Ｃｏ ｅ ｅｏ ｅ ｔｏ ｉ ｇｎｅ ｆｎｇ ｌｏ ｎ ｑｎ ｎ ｇ ｆＥｌｃｒ ｎ ｃＥｎ ｉ ｅ ｉ
数据结构_查找原理及典型的查找算法
3.对非线性(树)结构如何进行折半查找？ 可借助二叉排序树来查找（属动态查找表形式）。
9.1.2 有序表的查找
折半查找过程可以描述为一棵二叉树
折半查找的判定树 如：（a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11）
总之：
二叉排序树既有类似于折半查找的特性，又采用了链 表存储，它是动态查找表的一种适宜表示。
一、二叉排序树
（3）构造过程: 例：输入序列{45，12，37，3，53，100，24}
45
12
53
3
37
100
24
一、二叉排序树
（2）非递归查找过程 BiTree SearchBST(BiTree T,KeyType key){
CH9 查找
查找的基本概念 9.1 静态查找表
9.1.1 顺序查找 9.1.2 有序表的查找 9.1.3 索引顺序表的查找
9.2 动态查找表
9.2.1 二叉排序树和平衡二叉树 9.2.2 B－和B＋树
9.3 哈希表
查找的基本概念
1.查找表 2.查找
关键字 主关键字 次关键字
}
9.2.1 二叉排序树和平衡二叉树
一、二叉排序树 二、平衡二叉树
一、二叉排序树
1.定义、特点、构造过程
（1）定义 二叉排序树或者是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：
若左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于它的 根结点的值。
若右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于它的 根结点的值。
有序/无序表 有序表
顺序/链式存 储
顺序存储
分块查找 介于二者之间 表中元素逐段有序 顺序/链式存储
介绍二叉排序树的结构和特点
介绍二叉排序树的结构和特点二叉排序树，也称为二叉搜索树或二叉查找树，是一种特殊的二叉树结构，其主要特点是左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点。
在二叉排序树中，每个节点都存储着一个关键字，而且所有的关键字都不相同。
二叉排序树的结构如下：1.根节点：二叉排序树的根节点是整个树的起始点，其关键字是最大的。
2.左子树：根节点的左子树包含着小于根节点关键字的所有节点，且左子树本身也是一个二叉排序树。
3.右子树：根节点的右子树包含着大于根节点关键字的所有节点，且右子树本身也是一个二叉排序树。
二叉排序树的特点如下：1.有序性：二叉排序树的最重要特点是有序性。
由于左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点，所以通过中序遍历二叉排序树，可以得到一个有序的序列。
2.快速查找：由于二叉排序树是有序的，所以可以利用二叉排序树进行快速查找操作。
对于给定的关键字，可以通过比较关键字与当前节点的大小关系，逐步缩小查找范围，最终找到目标节点。
3.快速插入和删除：由于二叉排序树的有序性，插入和删除操作比较简单高效。
插入操作可以通过比较关键字的大小关系，找到合适的位置进行插入。
删除操作可以根据不同情况，分为三种情况处理：删除节点没有子节点、删除节点只有一个子节点和删除节点有两个子节点。
4.可以用于排序：由于二叉排序树的有序性，可以利用二叉排序树对一组数据进行排序。
将数据依次插入二叉排序树中，然后再通过中序遍历得到有序序列。
二叉排序树的优缺点如下：1.优点：(1)快速查找：通过二叉排序树可以提供快速的查找操作，时间复杂度为O(log n)。
(2)快速插入和删除：由于二叉排序树的有序性，插入和删除操作比较简单高效。
(3)可以用于排序：通过二叉排序树可以对一组数据进行排序，时间复杂度为O(nlog n)。
2.缺点：(1)受数据分布影响：如果数据分布不均匀，可能导致二叉排序树的高度增加，从而降低了查找效率。
(2)不适合大规模数据：对于大规模数据，二叉排序树可能会导致树的高度过高，从而影响了查找效率。
武汉商学院软件工程专业大二2017-2018数据结构与算法第十一单元测试
武汉商学院软件工程专业大二2017-2018数据结构与算法第十一单元测试您的姓名： [填空题] *_________________________________1.边查找，边改变集合内的元素的查找表是（）。
[单选题] *A.静态查找表B.动态查找表(正确答案)C.混合查找表D.都不对2.二叉排序树的叶子结点个数为5个，则度为2的结点的数目是（）。
[单选题] *A.6B.5C.4(正确答案)D.33.根据二叉排序树的特点，查找过程类似于（）。
[单选题] *A.顺序查找B.折半查找(正确答案)C.随机查找D.都不对4.二叉排序树是否可能是一棵完全二叉树（）。
[单选题] *A.不可能B.可能(正确答案)C.不确定能不能D.都不对5.二叉排序树的第3层多有多少个结点（）。
[单选题] *A.2B.4(正确答案)C.8D.16.二叉排序树[]经常使用的方式。
（）。
[单选题] *A.动态查找(正确答案)B.静态查找C.随机查找D.都不对7.二叉排序树的()上结点的值都小于根结点的值（）。
[单选题] *A.左子树(正确答案)B.右子树C.左子树和右子树D.都不对8.二叉排序树的()上结点的值都大于根结点的值（）。
[单选题] *A.左子树B.右子树(正确答案)C.左子树和右子树D.都不对9.二叉排序树的定义具有（）。
[单选题] *A.反复性B.递归性(正确答案)C.回溯性D.都不对10.二叉排序树()为空二叉排序树（）。
[单选题] *A.可以(正确答案)B.不可以C.为空或不空都可以D.都不对11.先序遍历一颗二叉排序树的顺序（）。
[单选题] *A.左子树根结点右子树B.根结点左子树右子树(正确答案)C.左子树右子树根结点D.都不对12.只查找不改变集合内的元素的查找表是（）。
[单选题] *A.静态查找表(正确答案)B.动态查找表C.不确定D.都不对13.静态查找表是指（）。
[单选题] *A.只查找不改变集合内的元素。
数据结构：第9章 查找2-二叉树和平衡二叉树
return(NULL); else
{if(t->data==x) return(t);
if(x<(t->data) return(search(t->lchild,x));
else return(search(t->lchild,x)); } }
——这种既查找又插入的过程称为动态查找。 二叉排序树既有类似于折半查找的特性，又采用了链表存储， 它是动态查找表的一种适宜表示。
注：若数据元素的输入顺序不同，则得到的二叉排序树形态 也不同！
讨论1：二叉排序树的插入和查找操作 例：输入待查找的关键字序列=（45，24，53，45，12，24，90）
二叉排序树的建立 对于已给定一待排序的数据序列,通常采用逐步插入结点的方 法来构造二叉排序树,即只要反复调用二叉排序树的插入算法 即可，算法描述为： BiTree *Creat (int n) //建立含有n个结点的二叉排序树 { BiTree *BST= NULL;
for ( int i=1; i<=n; i++) { scanf(“%d”,&x); //输入关键字序列
– 法2：令*s代替*p
将S的左子树成为S的双亲Q的右子树，用S取代p 。 若C无右子树，用C取代p。
例：请从下面的二叉排序树中删除结点P。
F P
法1:
F
P
C
PR
C
PR
CL Q
CL QL
Q SL
S PR
QL S
SL
法2:
F
PS
C
PR
CL Q
QL SL S SL
数据结构 -第12周查找第3讲-二叉排序树.pdf
以二叉树或树作为表的组织形式，称为树表，它是一类动态查找表，不仅适合于数据查找，也适合于表插入和删除操作。
常见的树表：二叉排序树平衡二叉树B-树B+树9.3.1 二叉排序树二叉排序树（简称BST）又称二叉查找（搜索）树，其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质（BST性质）的二叉树：❶若它的左子树非空，则左子树上所有节点值（指关键字值）均小于根节点值；❷若它的右子树非空，则右子树上所有节点值均大于根节点值；❸左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
注意：二叉排序树中没有相同关键字的节点。
二叉树结构满足BST性质：节点值约束二叉排序树503080209010854035252388例如:是二叉排序树。
66不试一试二叉排序树的中序遍历序列有什么特点？二叉排序树的节点类型如下：typedef struct node{KeyType key;//关键字项InfoType data;//其他数据域struct node*lchild,*rchild;//左右孩子指针}BSTNode;二叉排序树可看做是一个有序表，所以在二叉排序树上进行查找，和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。
1、二叉排序树上的查找Nk< bt->keybtk> bt->key 每一层只和一个节点进行关键字比较！∧∧p查找到p所指节点若k<p->data，并且p->lchild=NULL，查找失败。
若k>p->data，并且p->rchild=NULL，查找失败。
查找失败的情况加上外部节点一个外部节点对应某内部节点的一个NULL指针递归查找算法SearchBST()如下（在二叉排序树bt上查找关键字为k的记录，成功时返回该节点指针，否则返回NULL）：BSTNode*SearchBST(BSTNode*bt,KeyType k){if(bt==NULL||bt->key==k)//递归出口return bt;if(k<bt->key)return SearchBST(bt->lchild,k);//在左子树中递归查找elsereturn SearchBST(bt->rchild,k);//在右子树中递归查找}在二叉排序树中插入一个关键字为k的新节点，要保证插入后仍满足BST性质。
二叉树
平衡树——特点：所有结点左右子树深度差≤1排序树——特点：所有结点―左小右大字典树——由字符串构成的二叉排序树判定树——特点：分支查找树（例如12个球如何只称3次便分出轻重）带权树——特点：路径带权值（例如长度）最优树——是带权路径长度最短的树，又称Huffman树，用途之一是通信中的压缩编码。
1.1 二叉排序树：或是一棵空树；或者是具有如下性质的非空二叉树：（1）若左子树不为空，左子树的所有结点的值均小于根的值；（2）若右子树不为空，右子树的所有结点均大于根的值；（3）它的左右子树也分别为二叉排序树。
例：二叉排序树如图9.7：二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。
中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。
每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。
搜索,插入,删除的复杂度等于树高，期望O(logn),最坏O(n)(数列有序,树退化成线性表).虽然二叉排序树的最坏效率是O(n),但它支持动态查询,且有很多改进版的二叉排序树可以使树高为O(logn),如SBT,AVL,红黑树等.故不失为一种好的动态排序方法.2.2 二叉排序树b中查找在二叉排序树b中查找x的过程为：1. 若b是空树，则搜索失败，否则：2. 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功；否则：3. 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树；否则：4. 查找右子树。
[cpp]view plaincopyprint?1.Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p){2. //在根指针T所指二叉排序樹中递归地查找其关键字等于key的数据元素，若查找成功，3. //则指针p指向该数据元素节点，并返回TRUE，否则指针P指向查找路径上访问的4. //最好一个节点并返回FALSE，指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL5. if(!T){ p=f; return FALSE;} //查找不成功6. else if EQ(key, T->data.key) {P=T; return TRUE;} //查找成功7. else if LT(key,T->data.key)8. return SearchBST(T->lchild, key, T, p); //在左子树继续查找9. else return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子树继续查找10.}2.3 在二叉排序树插入结点的算法向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法，过程为：1. 若b是空树，则将s所指结点作为根结点插入，否则：2. 若s->data等于b的根结点的数据域之值，则返回，否则：3. 若s->data小于b的根结点的数据域之值，则把s所指结点插入到左子树中，否则：4. 把s所指结点插入到右子树中。
中级软件设计师上午模拟试题及答案解析(7)
B.
C.
D.
上一题下一题
(5/75)选择题
第5题
______是由权值集合{8,5,6,2}构造的哈夫曼树(最优二叉树)。
A.
B.
C.
D.
上一题下一题
(6/75)选择题
第6题
在______中，任意一个结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。
A.完全二叉树
B.二叉排序树
下面关于图(网)的叙述，正确的是______。
A.连通无向网的最小生成树中，顶点数恰好比边数多1
B.若有向图是强连通的，则其边数至少是顶点数的2倍
C.可以采用AOV网估算工程的工期
D.关键路径是AOE网中源点至汇点的最短路径
上一题下一题
(31/75)选择题
第31题
______的邻接矩阵是一个对称矩阵。
C.完全图适合采用邻接矩阵存储
D.完全图适合采用邻接表存储
上一题下一题
(26/75)选择题
第26题
无向图中一个顶点的度是指图中与该顶点相邻接的顶点数。若无向图G中的顶点数为n，边数为e，则所有项点的度数之和为______。
A.n*e
B.n+e
C.2n
D.2e
上一题下一题
(27/75)选择题
第27题
设一个包含N个顶点、E条边的简单无向图采用邻接矩阵存储结构(矩阵元素A[i][j]等于1/0分别表示顶点i与顶点j之间有/无边)，则该矩阵中的非零元素数据为______。
A.2n
B.2n-1
C.2n+1
D.2n+2
上一题下一题
(10/75)选择题
第10题
用关键字序列10、20、30、40、50构造的二叉树排序(二叉查找树)为______。
中级数据库系统工程师上午模拟试题及答案解析(5)
中级数据库系统工程师上午模拟试题及答案解析（5）(1/65)选择题第1题计算机感染特洛伊木马后的典型现象是_______ 。
A.程序异常退出B.有未知程序试图建立网络连接C.邮箱被垃圾邮件填满D.Windows系统黑屏下一题(2~3/共65题)选择题运行Web浏览器的计算机与网页所在的计算机要建立(2) 连接，采用(3) 协议传输网页文件。
第2题A.UDPB.TCPC.IPD.RIP第3题A.HTTPB.HTMLC.ASPD.RPC上一题下一题(4/65)选择题第4题“三网合一”的三网是指______。
A.电信网、广播电视网、互联网B.物联网、广播电视网、电信网C.物联网、广播电视网、互联网D.物联网、电信网、互联网上一题下一题(5/65)选择题第5题栈(Stack)是限定仅在_______进入插入或删除操作的线性表。
对栈来说，表尾端称为_______；表头端称为_______。
A.表头栈顶(top)，栈底(bottom)B.表头，栈底(bottom) 栈顶(top)C.表尾，栈顶(top) 栈底(bottom)D.表尾，栈底(bottom) 栈顶(top)上一题下一题(6/65)选择题第6题针对分布式事务，要求提供参与者状态的协议是_______。
A.一次封锁协议B.两段锁协议C.两阶段提交协议D.三阶段提交协议上一题下一题(7/65)选择题第7题一个B类网络的子网掩码为255.255.224.0，则这个网络被划分成了_______个子网。
A.2B.4C.6D.8上一题下一题(8/65)选择题第8题_______是计算机辅助软件工程技术的简称。
A.SDEB.GDIC.SAD.CASE上一题下一题(9/65)选择题第9题在下列进程调度算法中，可能引起进程长时间得不到运行的算法是_______。
A.时间片轮转法B.不可抢占式静态优先数法C.可抢占式静态优先数法D.不可抢占式动态优先数法上一题下一题(10/65)选择题第10题关于ARP表，以下描述中正确的是_______。
数据结构_第9章_查找2-二叉树和平衡二叉树
F
PS
C
PR
CL Q
QL SL S SL
10
3
18
2
6 12
6 删除10
3
18
2
4 12
4
15
15
三、二叉排序树的查找分析
1) 二叉排序树上查找某关键字等于给定值的结点过程，其实 就是走了一条从根到该结点的路径。 比较的关键字次数＝此结点的层次数; 最多的比较次数＝树的深度（或高度），即 log2 n+1
-0 1 24
0 37
0 37
-0 1
需要RL平衡旋转 (绕C先顺后逆）
24
0
-012
13
3573
0
01
37
90
0 53 0 53
0 90
作业
已知如下所示长度为12的表：
（Jan, Feb, Mar, Apr, May, June, July, Aug, Sep, Oct, Nov, Dec）
(1) 试按表中元素的顺序依次插入一棵初始为空的二叉 排序树，画出插入完成之后的二叉排序树，并求其在 等概率的情况下查找成功的平均查找长度。
2) 一棵二叉排序树的平均查找长度为：
n i1
ASL 1
ni Ci
m
其中：
ni 是每层结点个数； Ci 是结点所在层次数； m 为树深。
最坏情况：即插入的n个元素从一开始就有序， ——变成单支树的形态！
此时树的深度为n ; ASL= (n+1)/2 此时查找效率与顺序查找情况相同。
最好情况：即：与折半查找中的判ห้องสมุดไป่ตู้树相同（形态比较均衡） 树的深度为：log 2n +1 ； ASL=log 2(n+1) –1 ；与折半查找相同。
动态查找树表
平衡二叉树
结点旳平衡因子：该结点旳左子树旳深度减去 它旳右子树旳深度 平衡二叉树全部结点旳平衡因子只可能为： -1，0，1。
平衡二叉树
2
5
2
0
4
8
1
2
0
1
平衡因子 >1
1
5
1
0
4
8
0
2
平衡因子 <=1
非平衡树
平衡树
平衡二叉树旳构造
1）新结点插在平衡因子值为0旳结点左或右都不会
造成不平衡。
平衡结点
2)将BCA向右旋转90度，把C旳右孩子变为A旳左孩子，A变为
C旳右孩子；C带替A旳位置。
2
A
A
0C
2
C B
AR h-1
C 0B
-1 A AR h-1
CL h-2 CR h-1 BL h-1
X
CL h-1 BL h-1
h-2 CR
AR h-1
X
平衡二叉树旳构造
3.RR型 新结点插在右重结点a（ a是离新结点插入位置近来旳右重 结点地址）旳右孩子旳右分支上。如下图棕色代表新结点， 称 RR型。
动态查找树表—平衡二叉树
平衡二叉树旳定义
怎样构造平衡二叉树 平衡二叉树旳查找性能分析 课堂练习 程序讲解 小结和作业
动态查找树表—平衡二叉树
造成不平衡旳原因 LL型 LR型 RR型
RL型 总结 应用举例
平衡二叉树
由关键字序列 1，2，3，4， 由关键字序列 3，1，2，5，
5构造而得旳二叉排序树， 4构造而得旳二叉排序树
4.RL型调整过程-----①：
1)将CB向右旋转90度，把CR变为B旳 左子树，把B变为C
数据结构与算法试题
一、选择题1.在逻辑上可以把数据结构分成（A）A.线性结构和非线性结构B.动态结构和静态结构C.紧凑结构和非紧凑结构D.内部结构和外部结构2.单链表中各结点之间的地址（C）A.必须连续B.部分必须连续C.不一定连续D.以上均不对3.在一个长度为n的顺序表中向第i个元素（0<i<=n+1）之前插入一个新元素时，需向后移动（B）个元素。
A、n-iB、n-i+1C、n-i-1D、i4. 插入和删除操作只能在一端进行的线性表，称为（C）。
A.队列B.线性表C.栈D.循环队列5、队列是仅允许在（）进行插入，而在（）进行删除。
(A)A.队尾，队首B.队尾，队尾C.队首，队尾D.队首，队首6.链表适合于（A）查找。
A.顺序B.二分C.随机D.顺序或二分7.数据的基本单位是（A）。
A.数据元素B.数据结构C.数据项D.数据对象8.下列哪个不是算法的特性（B）。
A.有穷性B.可数性C.可行性D.确定性9.在表长为n的顺序表中进行线性查找，它的平均查找长度为（B）。
A.ASL=nB.ASL=(n+1)/2C.ASL=n+1D.ASL=log2n10. 一个线性表第一个元素的存储地址是320，每个元素的长度为3，则第五个元素的地址是(C）。
A.311B.328C.332D.31311.设front、rear分别为循环双向链表结点的左指针和右指针，则指针P所指的元素是双循环链表L的尾元素的条件是（D）。
A.P==LB.P->front==LC.P==NULLD.P->rear==L12. 已知P为单链表中的非首尾结点，删除P结点的后继结点Q的语句为（A）。
A.P->NEXT=Q->NEXT;FREE(Q);B.Q->NEXT=P; FREE(Q);C.Q->NEXT=P->NEXT;FREE(Q);D.P->NEXT=S;S->NEXT=P;13.循环队列SQ队满的条件是（B）。
二叉排序树与平衡二叉排序树基本操作的实现 文本文档
10 设计说明书（论文）质量 30 综述简练完整，有见解；立论正确，论述充分，结论严谨合理；实验正确，分析处理科学。
11 创新 10 对前人工作有改进或突破，或有独特见解。
成绩
指导教师评语
指导教师签名： 年 月 日
摘要及关键字
本程序中的数据采用“树形结构”作为其数据结构。具体采用的是“二叉排序树”。
1.2.5 平衡二叉树( AVL树 )
①平衡二叉树(Balanced Binary Tree)是指树中任一结点的左右子树的高度大致相同。 ②任一结点的左右子树的高度均相同(如满二叉树)，则二叉树是完全平衡的。通常，只要二叉树的高度为O(1gn)，就可看作是平衡的。 ③平衡的二叉排序树指满足BST性质的平衡二叉树。 ④AVL树中任一结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。在最坏情况下，n个结点的AVL树的高度约为1.44lgn。而完全平衡的二叉树高度约为lgn，AVL树是最接近最优的。
1.2.4平均查找长度…………………………………………………………… 6
1.2.5平均二叉树（AVL树）…………………………………………………… 6
1.2.6平衡因子………………………………………………………………… 7
1.2.7平衡二叉树的调整方法…………………………………………………… 7
攀枝花学院本科学生课程设计任务书
题 目 二叉排序树与平衡二叉树的实现
1、课程设计的目的
使学生进一步理解和掌握课堂上所学各种基本抽象数据类型的逻辑结构、存储结构和操作实现算法，以及它们在程序中的使用方法。
使学生掌握软件设计的基本内容和设计方法，并培养学生进行规范化软件设计的能力。
3） 使学生掌握使用各种计算机资料和有关参考资料，提高学生进行程序设计的基本能力。
二叉排序树与堆的区别
⼆叉排序树与堆的区别
在⼆叉排序树中，每个结点的值均⼤于其左⼦树上所有结点的值，⼩于其右⼦树上所有结点的值，对⼆叉排序树进⾏中序遍历得到⼀个有序序列。
所以，⼆叉排序树是结点之间满⾜⼀定次序关系的⼆叉树；
堆是⼀个完全⼆叉树，并且每个结点的值都⼤于或等于其左右孩⼦结点的值（这⾥的讨论以⼤根堆为例），所以，堆是结点之间满⾜⼀定次序关系的完全⼆叉树。
具有n个结点的⼆叉排序树，其深度取决于给定集合的初始排列顺序，最好情况下其深度为log n（表⽰以2为底的对数），最坏情况下其深度为n；
具有n个结点的堆，其深度即为堆所对应的完全⼆叉树的深度log n 。
在⼆叉排序树中，某结点的右孩⼦结点的值⼀定⼤于该结点的左孩⼦结点的值；在堆中却不⼀定，堆只是限定了某结点的值⼤于（或⼩于）其左右孩⼦结点的值，但没有限定左右孩⼦结点之间的⼤⼩关系。
在⼆叉排序树中，最⼩值结点是最左下结点，其左指针为空；最⼤值结点是最右下结点，其右指针为空。
在⼤根堆中，最⼩值结点位于某个叶⼦结点，⽽最⼤值结点是⼤根堆的堆顶（即根结点）。
⼆叉排序树是为了实现动态查找⽽设计的数据结构，它是⾯向查找操作的，在⼆叉排序树中查找⼀个结点的平均时间复杂度是O(log n)；
堆是为了实现排序⽽设计的⼀种数据结构，它不是⾯向查找操作的，因⽽在堆中查找⼀个结点需要进⾏遍历，其平均时间复杂度是
O(n)。
厦门理工数据结构期末复习题9(I)
单元练习9一．判断题（下列各题，正确的请在前面的括号内打√；错误的打╳）（√）（1）二分查找法要求待查表的关键字值必须有序。
（ㄨ）（2）对有序表而言采用二分查找总比采用顺序查找法速度快。
（ㄨ）（3）在二叉排序树中，根结点的值都小于孩子结点的值。
（√）（4）散列存储法的基本思想是由关键字的值决定数据的存储地址。
（√）（5）哈希表是一种将关键字转换为存储地址的存储方法。
（ㄨ）（6）选择好的哈希函数就可以避免冲突的发生。
（ㄨ）（7）在有序的顺序表和有序的链表上，均可以采用二分查找来提高查找速度。
（√）（8）采用分块查找，既能实现线性表所希望的查找速度，又能适应动态变化的需要。
（√）（9）哈希法的查找效率主要取决于哈希表构造时选取的哈希函数和处理冲突的方法。
（ㄨ）（10）在二叉排序树上删除一个结点时，不必移动其它结点，只要将该结点的父结点的相应的指针域置空即可。
二．填空题（1）顺序查找法，表中元素可以任意存放。
（2）在分块查找方法中，首先查找索引，然后再查找相应的块。
（3）顺序查找、二分查找、分块查找都属于静态查找。
（4）静态查找表所含元素个数在查找阶段是固定不变的。
（5）对于长度为n的线性表，若进行顺序查找，则时间复杂度为 O（n）。
（6）对于长度为n的线性表，若采用二分查找，则时间复杂度为： O（log2n）。
（7）理想情况下，在散列表中查找一个元素的时间复杂度为： O（1）。
（8）在关键字序列（7，10，12，18，28，36，45，92）中，用二分查找法查找关键字92，要比较 4 次才找到。
（9）设有100个元素，用二分查找时，最大的比较次数是 7 次。
（10）对二叉排序树进行查找的方法是用待查的值与根结点的键值进行比较，若比根结点小，则继续在左子树中查找。
（11）二叉排序树是一种动态查找表。
（12）哈希表是按散列存储方式构造的存储结构（13）哈希法既是一种存储方法，又是一种查找方法。
（14）散列表的查找效率主要取决于散列表造表时选取的散列函数和处理冲突的方法。
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• 选择排序： Procedure selectsort (var r:arraytype);
begin for i:=1 to n-1 do Begin k:=i; for j:=i+1 to n do begin if r[j]<r[k] then k:=j end; if k<>i then begin temp:=r[i]; r[i]:=r[k]; r[k]:=temp; end; end; end;
procedure search(num:longint); var top,end1,mid:longint;
begin top:=0;end1:=n; if end-top<=1 then mid:=end1; while (end1-top>1)and(a[top]<>num) do begin mid:=(top+end1) div 2; if num<=a[mid] then top:=mid
软硬件等环境因素，有时容易掩盖算法本 身的优劣性。
事先分析估算的方法
• A）依据的算法选用何种策略； • B）问题的规模。例如求100以内还是
10000以内的素数； • C）书写程序的语言。对于同一个算法，实
现语言的级别越高，执行效率就越低； • D）编译程序产生的机器代码的质量； • E）机器执行指令的速度。
• 时间复杂度：
• 一个算法中的语句执行次数称为语句频度 或时间频度。记为T(n)。
例如在如下所示的两个N*N矩阵相乘的算法 中,“乘法”运算时“矩阵相乘问题”的基本 操作。 for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin c[i,j]:=0; for k:=1 to n do c[i,j]:=c[i,j]+a[i,k]*b[k,j] end;
整个算法的执行时间与该基本操作（乘法） 重复执行的次数N³成正比，记T(N)=O(N³)。
“O”的形式定义为：若f(n)是正整数n的一个 函数，则xn=O(f(n))表示存在一个正的常数 M，使得当n>=n0时都满足|xn|<=M|f(n)|
空间复杂度
• 是程序运行所以需要的额外消耗存储空间, 一般的递归算法就要有o(n)的空间复杂度了, 简单说就是递ห้องสมุดไป่ตู้集算时通常是反复调用同 一个方法，递归n次，就需要n个空间。 （这个空间到底多大？我们姑且把它当作 每次调用时分配的内存大小，到底多大， 它自己确定）
procedure search2(num:longint); var i,j:longint; begin for i:=1 to n do
if a[i]=num then writeln(i); end;
二分查找法
若中间项的值等于 x ，则说明查到，查找结束。 若 x 小于中间项的值，则在线性表的前半部分 （即中间项以前的部分）以相同的方法进行查找； 若 x 大于中间项的值，则在线性表的后半部分 （即中间项以后的部分）以相同的方法进行查找； 这个过程一直进行到查找成功或子表长度为 0 （说明线性表中没有这个元素）为止。
• 一个算法是由控制结构（顺序、分支和循 环）和原操作（指固有数据类型的操作） 构成的，则算法时间取决于两者的综合效 果。
• 为了便于比较同一问题的不同算法，通常 的做法是，从算法中选取一种对于所研究 的问题（或算法类型）来说是基本运算的 原操作，以该基本操作重复执行的次数作 为算法的时间量度。
时间复杂度
• 显然，同一个算法用不同的语言实现，或 者用不同的编译程序进行编译，或者在不 同的计算机上运行时，效率均不相同。
• 这表明使用绝对的时间单位衡量算法的效 率是不合适的。撇开这些与计算机硬件、 软件有关的因素，可以认为一个特定算法 “运行工作量”的大小，只依赖于问题的 规模（通常用整数量n表示），或者说，它 是问题规模的函数。
• 一般情况下，算法中基本操作重复执行的 次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示， 若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷 大时，T(n)/f (n)的极限值为不等于零的常数， 则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复 杂度，简称时间复杂度。
• 例:给出一个还有n个数的有序序列，要求查给定 的一个数x是否在序列中，若在则给出所在序列中 所处的位置。
输入：第一行输入两个数n和x 第二行为n个数
输出：x在序列中所处的位置的序号 样例：input： 6 61
12 35 58 60 61 100 output： 5
顺序查找
• 从线性表的第一个元素开始，依次将线 性表中的元素被查元素进行比较，若相等 则表示找到（即查找成功）；若线性表中 所有的元素都与被查元素进行比较但都不 相等，则表示线性表中没有要找的元素 （即查找失败）。
• 我们在判读算法的优劣时，往往是综合考 虑时间复杂度和空间复杂度两个因素，一 般是希望能够找到两个都省的方法，但事 实上我们往往需要牺牲时间复杂度来成全 空间，或牺牲空间来节省时间。因此我们 需要根据题目要求，选择侧重节省的因素。
• 更多的时候由于空间的耗费我们一般可以 容忍，所以我们会更关注时间复杂度对算 法的影响。
else end1:=mid; end; if a[top]=num then writeln(top); end;
显然，当有序线性表为顺序存储时才采
用二分法查找，并且，二分查找的效率要 比顺序查找高得多。可以证明，对于长度 为 n 的有序线性表，在最坏情况下，二分 查找只需要比较 log 2 n 次，而顺序查找需 要比较 n 次。
时间空间复杂度
算法效率的度量
• 算法执行时间需要通过依据该算法编制的 程序在计算机上运行时所消耗的时间来度 量。而度量一个程序的执行时间通常有两 种方法：
事后统计的方法
• 可以利用计算机的内部计时功能，先把程 序编写好运行一下进行计时。不过这种方 法有两个缺陷：
• 一是必须先编制好程序并运行； • 二是所得出的时间统计量依赖于计算机的