高中数学人教A版必修四 第一章《三角函数》6 正弦函数、余弦函数的图象 含解析答案

学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2
，3π2的简图是( )
【解析】 可以用特殊点来验证．x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A 、C ；当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π
2＝1，排除B ．
【答案】 D
2．在[0，2π]内，不等式sin x <－3
2的解集是( )
【导学号：00680017】
A ．(0，π)
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，4π3
C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫4π3，5π3
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π3，2π
【解析】 画出y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的草图如下：
因为sin π3＝3
2， 所以sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫π＋π3＝－32，
sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2π－π3＝－32.
即在[0，2π]内，满足sin x ＝－3
2的是x ＝4π3或x ＝5π3. 可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫
4π3，5π3.
【答案】 C
3．将余弦函数y ＝cos x 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数y ＝－sin x 的图象，则m ＝( )
A ．π
2
B ．π
C ．3π2
D ．3π4
【解析】 根据诱导公式得，y ＝－sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x
＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
x －3π2，故欲得到y ＝－sin x 的图象，需将y ＝cos x 的图象向右至少平移3π
2个单位长度．
【答案】 C
4．函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝－1
2的交点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
【解析】 在[0，2π]内使sin x ＝－1
2的角x 为7π6和11π6，所以y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝－1
2有2个交点，故选B ．
【答案】 B
5．(2016·武汉高一检测)函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0，2π]的大致图象为( )
【解析】 由题意得
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2或3
2π≤x ≤2π，0，π2＜x ＜32π.
显然只有D 合适． 【答案】 D 二、填空题
6．利用余弦曲线，写出满足cos x >0，x ∈[0，2π]的x 的区间是_________．
【解析】 画出y ＝cos x ，x ∈[0，2π]上的图象如图所示． cos x >0的区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤
3π2，2π
. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π
7．函数y ＝
log 12
sin x 的定义域是__________． 【解析】 由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图象知2k π<x <2k π＋
π，k ∈Z .
【答案】 {x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z } 三、解答题
8．用五点法作出函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 【解】 列表：
描点连线，如图．
9．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形(如图1－4－1)，求这个封闭图形的面积．
图1－4－1
【解】 观察图可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4.
因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC 的面积．
∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. ∴所求封闭图形的面积为4π.
[能力提升]
1．在(0，2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，3π4
B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π4
，π2∪⎝
⎛⎦⎥⎤
5π4，3π2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，π2
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π4，7π4
【解析】 ∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4
，3π4.
【答案】 A
2．求函数y ＝2cos x －2
2sin x －1的定义域．
【解】 若保证函数有意义，则保证： ⎩⎨⎧2cos x －2≥0，2sin x －1≠0，
即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥2
2，
sin x ≠12，
⎩⎪⎨⎪⎧x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤2k π－π4，2k π＋π4，x ≠2k π＋π6且x ≠2k π＋5π
6，(k ∈Z ) 所以，函数定义域为
⎣
⎢⎡
⎭⎪⎫2k π－π4，2k π＋π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋π4(k ∈Z )．。