高中数学北师大版必修三第2章 1 算法基本思想
高中数学北师大版必修3第二章《算法初步》(算法的基本思想)word教案
算法的基本思想一、教学内容：新课程高中数学（北师大版）必修3第二章《算法初步》第一节：算法的基本思想。
二、教学目标：1、通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义及其基本特征；2、通过分析具体问题，抽象出算法的过程，培养抽象概括能力、语言表达能力和逻辑思维能力；3、通过算法的学习，进一步让学生体验到数学与现实世界的关系、数学与计算机技术的关系、提高学生学习数学的兴趣。
三、教学重点：1、了解算法的含义及其基本特征；2、掌握算法的表示形式。
四、教学难点：算法的表示形式。
五、教学方法：任务驱动法。
六、教学过程：（一）情景导入：在与学生的寒暄中引入今天的课题，并让学生来猜猜老师衣服的价格，提出问题：“怎样才能在有限的次数范围内猜中衣服的价格呢？”师：采用对半价格区间去猜数比较合理，在数学上我们称这种方法为“二分法”下节课我们要重点学习这种方法的应用。
师：可见我们在处理一个问题时，若是有一个好的指导思想，我们在具体行动中就不会显得很盲目，按照既定的策略，在有限的步骤内就可以达到目的。
今天我们这节课的课题就是研究有关解决问题的基本思想方法，在数学上，我们称之为“算法”。
这里的“算法”不是指狭义上的计算方法，而是广义范围内一切解决问题的思想方法。
下面我们再通过几个实例来体会一下算法的基本思想及其算法具有哪些特征。
（二）新课：师：我们先看一下书上的例子例：请设计算法，将936分解成素因素的乘积。
师：请同学们在最短的时间内分解好，提问。
=⨯⨯⨯⨯⨯生：9362223313师：请用语言描述你的思路过程。
若是学生很难用语言描述，老师要及时引导。
解：算法步骤如下：1. 判断936是否为素数：否=⨯2. 确定936的最小素因数：2. 93624683. 判断468是否为素数：否=⨯⨯4. 确定468的最小素因数：2. 936222345. 判断234是否为素数：否=⨯⨯⨯6. 确定234的最小素因数：2. 9362221177. 判断117是否为素数：否=⨯⨯⨯⨯8. 确定234的最小素因数：3. 9362223399. 判断39是否为素数：否=⨯⨯⨯⨯⨯10.确定234的最小素因数：3. 936222331311. 判断13是否为素数：是素数,分解结束 .师：以上就是分解素因数的一个算法，其实算法就是解决问题的一系列步骤，依照这些步骤，按部就班就可以完成任务。
北师大版高中数学必修三2.1算法的基本思想
§1 算法的基本思想
[读教材·填要点]
1．算法的概念
在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这一系列步骤来解决问题，我们把这一系列步骤称为解决这个问题的一个算法．
2．算法的作用
现代算法的作用之一是使计算机能代替人完成某些工作，这是学习算法的重要原因之一．
3．排序问题
(1)排序的定义：
为了便于查询和检索，根据某种要求把被查询的对象用数字(或者符号)表示出来，并把数字按大小排列，是信息处理中的一项基本工作，通常叫排序．
(2)有序列：
按顺序排列的数据列为有序列．
(3)有序列的排序方法：
有序列的排序方法有直接插入排序法和折半插入排序法两种．
[小问题·大思维]
1．是不是任何一个算法都有明确结果？
提示：是，因为算法的步骤是明确的和有限的，有时可能需大量重复的计算，但只要按部就班地去做，总能得到确定的结果．
2．一个具体问题的算法唯一吗？
提示：解决一个具体问题的算法可有多个，但我们可以选择其中最优的、最简单的、步。
2024-2025学年高中数学第2章算数初步§1算法的基本思想(教师用书)教案北师大版必修3
-时间复杂度：评估算法执行时间与输入规模之间的关系。
-空间复杂度：评估算法执行过程中所需存储空间与输入规模之间的关系。
5.算法实例分析
-冒泡排序：通过相邻元素的比较和交换，实现数组的升序或降序排列。
-欧几里得算法：利用递推关系求解最大公约数。
-斐波那契数列：通过递推法求解斐波那契数列的第n项。
教师活动：
-发布预习任务：通过学校课程管理系统，发布关于算法基本概念的预习资料，明确预习目标和要求。
-设计预习问题：围绕算法的特征和描述方法，设计问题如“什么是算法？它有哪些基本特征？”引导学生自主思考。
-监控预习进度：通过系统跟踪和学生的反馈，确保学生按时完成预习任务。
学生活动：
-自主阅读预习资料：学生按照要求阅读预习资料，理解算法的定义和基本特征。
举例：通过分析不严谨的算法可能导致的问题，如重复计算、无法终止等，使学生体会严谨性的重要性。
（2）算法的时间复杂度与空间复杂度：学生在分析算法效率时，往往难以理解时间复杂度和空间复杂度的概念，以及它们对算法性能的影响。
举例：比较不同排序算法的时间复杂度，如冒泡排序、快速排序等，让学生了解复杂度对算法效率的影响。
核心素养目标分析
本节课的核心素养目标旨在培养学生的逻辑推理能力、数学建模能力以及数据分析能力。通过学习算法的基本思想，学生能够：
1.逻辑推理能力：学生能够运用逻辑思维分析问题，设计合理的算法步骤，理解算法的正确性与效率，从而提高解决问题的逻辑推理能力。
2.数学建模能力：学生能够将现实生活中的问题抽象为数学模型，运用算法思想对模型进行求解，从而培养数学建模的能力。
5.算法的应用
-排序算法
-查找算法
-图算法
高中数学 2.1 算法的基本思想课件 北师大版必修3
【解题(jiě tí)探究】1.题(1)相当于哪个变量为-1,执行哪一点? 2.题(2)按照算法的步骤一步一步进行下去,得出一个怎样的函 数?输入值与输出值相等说明什么? 【探究提示】1.本题相当于x=-1,执行y=-x. 2.按照算法一步一步进行下去,发现该算法给出一个分段函数;输 入值与输出值相等说明函数式中的x与y相等.
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【要点探究】 知识点 算法的含义与作用 1.算法与解法的区别与关系(guān xì)
(1)区别
解法:解决某一个问题的一种(yī zhǒnɡ)方法,有局限性.
(2)关系(guān xì):一般与特殊,抽象与具体.
算法:解决某一类问题的步骤,有普遍性.
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2.算法的五个特征 (1)确定性:算法中每一步都是确定的,并且能有效地执行且得到确定的 结果. (2)有限性:一个算法的步骤是有限的,不能无限地进行下去,它能在有限 步的操作(cāozuò)后解决问题. (3)有序性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每个步骤只能有 一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进 行下一步.
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【即时练】 1.下列说法正确的是 ( ) A.算法就是某个问题的解题过程 B.算法执行后可以产生不同(bù tónɡ)的结论 C.解决某一个具体问题,算法不同(bù tónɡ)所得的结果不同(bù tónɡ) D.算法执行步骤的次数不可以很大,否则无法实施
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【解析】选B.如判断(pànduàn)一个整数是否为偶数,结果为 “是偶数”和“不是偶数”两种,所以B对.而A项算法不等同于 解法,故不正确.C项,解决某一个具体问题,算法不同所得的结果 应该相同,否则算法不正确.D项,算法可以为很多次,但不可以为 无限次. 2.选C.只有C项能按一定的程序或步骤完成,故选C.
高中数学 第二章 算法初步 2.1 算法的基本思想素材 北师大版必修3(2021年最新整理)
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1算法的基本思想分治算法一、基本概念在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。
字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换（快速傅立叶变换）……任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
例如,对于n个元素的排序问题,当n=1时，不需任何计算。
n=2时，只要作一次比较即可排好序。
n=3时只要作3次比较即可，…。
而当n较大时，问题就不那么容易处理了.要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
二、基本思想及策略分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破,分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小)则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
北师大版数学必修三课件：第2章§1 算法的基本思想
4、如果水未开，重复过程 “3”，直至水开.
小结：
1、其实大部分事情都是按照一定的程序执行的，因此
要理清事情的每一步. 2、判断水是否烧开与是否继续烧火的过程是一个反馈 与判断的过程，因此有必要不断重复过程“3”.
事实上，我们完成任何事，都要有步骤，合理安排步
骤，会达到事半功倍的效果.从我们数学的意义来讲，在解
解：具体算法步骤如下： （1）首先确定最小的满足除以3余2的正整数：2. （2）依次加3就得到所有除以3余2的正整数：2，5，8， 11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47， 50，53，56„„
（3）在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8.
（4）然后依次加上15，得到8，23，38，53„„，显然这 些数既满足除以3余2，又满足除以5余3.
例3
设计一个算法，求840与1764的最大公因数.
解：算法步骤如下： 1.先将840进行素因数分解：840 23 3 5 7；
2.然后将1764进行素因数分解： 1764 22 32 72 ； 3.确定他们的公共素因数2,3,7； 4.确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,7的指数分别为 2,1,1; 5.最大公约数为: 22 31 71 84.
5.判断234是否为素数：否.
6.确定234的最小素因数：2. 936=2×2×2×117
7.判断117是否为素数：否. 8.确定117的最小素因数：3. 9.判断39是否为素数：否. 10.确定39的最小素因数：3. 936=2×2×2×3×3×13 936=2×2×2×3×39
判断13是否为素数：13是素数，所以分解结束. 分解结果是： 936=2×2×2×3×3×13
北师大版高中数学必修3《二章 算法初步 1 算法的基本思想 1.1算法案例分析》优质课教案_6
1.1 算法案例分析教材分析算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。
比如，一元二次方程根的求法，求两个数的最大公约数等问题的解决步骤都可以用算法来表示。
教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固.在数学中，现代意义上的“算法”是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序必须是明确的和有效的，而且能够在有限步之内完成。
学生分析1、正确对待学生认知结构大量实验研究表明，学生在程序编制和分析问题的方式上存在着较大的个体差异。
德国著名的认知心理学和数学教学法专家施万克认为认知结构区分为特征性结构和功能性结构。
特征性思维者在认知上主要看到的是构成问题的特点与形状；功能性思维者在认知上主要看到的构成问题的众要素的功能。
在个体编制程序、分析问题等算法思维中，由于学生的算法思维类型不同，对相同的外在表达方式的理解和应用也各不相同，他们选择有助于自己思考问题的各种不同手段，提高行动效率。
徐斌艳教授所做的大量实验进一步表明学生在建构和分析算法时表现出来的这种个性化行为差异处于相对稳定状态，而且学生在解决算法问题时存在明显的性别差异。
因此，进行教学设计时应正确对待学生的认知结构的差异。
2、学习兴趣的调查在对与其他数学内容相比是否更感兴趣的调查中，差不多的有64%，更感兴趣的有 19%，兴趣不浓的有 17%。
在喜欢学习算法的调查中，态度一般的有 73%，很喜欢的有 17%，不喜欢的有 10%。
因此，在算法教学设计中，设置算法问题时要增加其趣味性，激发学生学习算法的兴趣。
教学目标1、知识与技能目标（1）通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义。
（2）体会同一个问题可能存在的多种算法，并学会区分这些算法的优劣。
（3）体会算法学习的必要性。
（4）在应用中加深对数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系，培养更高的数学学习兴趣，形成对数学全面的认识。
2、过程与方法目标通过实例，发展对解决问题具体问题的过程与步骤进行分析的能力。
新北师大高中数学必修3第二章 §1 算法的基本思想
考点一 算法的概念
[典步骤，而不能是无限的
B．算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完
整的解题步骤
(4)不唯一性：求解某一个问题的算法不是唯一 的，对于一个问题可以有不同的算法．
(5)普遍性：很多具体的问题都可以设计合理的算 法去解决．
三、基本技能·素养培优
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)算法就是某个问题的解题过程．
( ×)
(2)解决某一个具体问题时，算法不同，结果不同． ( × )
C．3 个
D．4 个
解析：选 C ①中说明了从广州到北京的行程安排，完成任务； ②中给出了一元一次方程这一类问题的解决方式；④中给出了 求 1＋2＋3＋4 的一个过程，最终得出结果；对于③，并没有 说明如何去算，故①②④是算法，③不是算法．
3．下列各式中S值不可以用算法求解的是
A．S＝10＋20＋30＋40
考点二 算法的设计
[典例]
写出解方程组24xx＋＋y5＝y＝7，11
① ② 的一个算法．
[解] (加减消元法)：算法步骤如下：
1．①×5－②得(2×5－4)x＝7×5－11； ⑤
2．解⑤得x＝4；
3．①×2－②得(1×2－5)y＝7×2－11； ⑥
4．解⑥得y＝－1；
5．得到方程组的解为xy＝＝－4，1.
2．算法的主要特征 (1)有穷性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作 之后停止，而不能是无限的． (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执 行和得到确定的结果，而不应当模棱两可． (3)有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤， 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前 提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都要准确 无误，才能解决问题．