认识平行四边形;特殊四边形的关系
长方形.正方形和平行四边形的认识
长方形是轴对称图形， 具有两条对称轴。
长方形的性质
长方形的对角线相等。 长方形的四个内角都是直角，即每个角都是90度。
长方形的相对边相等，即长度和宽度相等。
长方形的面积和周长计算
面积计算公式
长方形面积 = 长 × 宽
周长计算公式
长方形周长 = 2 × (长 + 宽)
03
正方形的认识
正方形的定义
平行四边形的性质
01
02
03
04
对边平行
平行四边形的两组对边分别平 行。
对角相等
平行四边形的相对角相等，即 ∠1=∠3，∠2=∠4。
对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分 ，将平行四边形分成两个相等
的三角形。邻边ຫໍສະໝຸດ 相垂直平行四边形的邻边互相垂直， 这是矩形和正方形特有的性质
。
平行四边形的面积和周长计算
正方形是四边相等且四个角都 是直角的四边形。
正方形的所有边长相等，所有 内角都是直角，即每个角都是 90度。
正方形是特殊的长方形，当长 方形的长和宽相等时，即为正 方形。
正方形的性质
对角线相等且互相平分
正方形对角线相等，并且互相平分， 将正方形分成四个相等的等腰直角三 角形。
邻边互相垂直
轴对称性
正方形具有轴对称性，可以通过两条 对角线或两条中垂线进行对称。
学习目标
掌握长方形、正方形和平行四边 形的定义和性质，理解它们的几
何特征。
学会识别不同图形，能够区分长 方形、正方形和平行四边形。
理解长方形、正方形和平行四边 形在日常生活和数学中的应用，
培养几何思维和空间观念。
02
长方形的认识
长方形的定义
四年级数学平行四边形知识点
生活中垂直的例子：三角尺上的两条直角边互相垂直......
④三条直线的特殊关系：
a//b，b//c,那么a//c：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
ab，bc，那么a//c：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。
2、垂线的画法和性质
⑤画高时注意：所画的高要用虚线表示;一定要画垂足符号。
四年级数学平行四边形知识点
一、填空。
1、我们学过的四边形有( )、( )、( )和( )边形具有( )。
4、长方形相邻的两条边互相( )。相对的两条边互相( )。
5、以平行四边形的一条边为底，能作出( )条高，这些高的长度都( )。
6、在同一平面内，( )的两条直线叫做平行线。
7、( )和( )都是特殊的平行四边形。
8、等腰梯形( )一组对边平行。
9、平行四边形( )轴对称图形。
10、任意四边形的内角和都是( )度。
二、选择。
1、从平行四边形的一条边上的一点到对边可以引( )垂线。
A、一条 B、两条 C、无数条
2、两个完全一样的三角形一定可以拼成一个( )。
相同点：都是四边形;都有平行的对边
不同点：平行四边形的两组对边平行且相等;梯形有且只有一组对边平行，且平行的这组对边不相等
2、平行四边形的特征：平行四边形容易变形，具有不稳定性。
生活中平行四边形不稳定的应用：校园电动推拉门，商店面铺推拉门等
3、平行四边形和梯形各部分名称及高的画法
①为平行四边形和梯形各条边命名
①过直线上和直线外一点怎样画这条直线的垂线：把三角尺的一条直角边与已知直线重合;沿着直线移动三角尺，使三角尺的顶点和直线上的已知点重合;从直角的顶点起，沿着另一条直角边画出一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。
四边形之间的关系
巩固提升
判断：对的打 “√”，错的打 “×”。 1、两组对边分别平行的图形是平行四边形。（ ） 反例 ：
怎样改？
2、有一组对边平行的四边形是梯形。（ ） 怎样改？ 只有一组。
3、平行四边形的两组对边分别平行并且相等。（ ）
4、长方形、正方形都是特殊的平行四边形。（ ） 5、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形（ ）
平行四边形和梯形
四边形之间的关系复习Fra bibliotek入1、你认识这些图形吗？
2、以上图形有什么共同点呢？
学习目标
1、进一步掌握平行四边形和梯形的特征。
2、认识各种四边形之间的关系。
自学指导（一）
1、说说平行四边形的特征。 两组对边分别平行且相等，两对角分别相等。 2、说说梯形的特征。 只有一组对边平行的四边形 3 、说说长方形的特征。 两组对边平行且相等，四个角都是直角。 4、说说正方形的特征。 两组对边平行，四条边相等，四个角都是直角。
自学指导（二）
1、请把这些四边形分分类。说说你为什么这样分 ？
2、小组内交流你的分类方法。 A：①②⑥⑧ B：④⑤ C：③⑦
自学指导（三）
自学书66页例4，对照集合图说一说： 1、长方形、正方形、平行四边形之间的关系。 2、长方形、正方形、平行四边形、梯形、四边形之 间的关系。
你还能用其他的方式表示各种四边形时间的关系吗？
课堂小结
这节课同学们学会了什么？说说你收获。
北师大版初中数学九年级上册知识讲解 巩固练习 第4讲《特殊平行四边形》全章复习和巩固(基础)
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；高底平行四边形⨯=S（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】宽＝长矩形S类型一、平行四边形1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【答案与解析】∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2019•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCA MA MCAMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN ＝MA ＝MC ，∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6，又∵ 在Rt △ADC 中，．∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若10AC ==222(8)4x x -=+AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案．【答案与解析】探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形,∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形，222DC FC DF +=85DEF 1=DE AB 2S ⨯△12∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE,∴△AHE≌△ECF （ASA）,∴AE＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】（2018•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于．【答案】65°。
特殊四边形的性质和判定定理
特殊四边形的性质和判定定理名称 性质判定平行四边形1、对边平行且相等。
2、对角相等。
3、对角线互相平分。
4、是中心对称图形。
5、S=a b （a 、b 分别表示底和这一底上的高）推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边.并且等于第三边的一半。
1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（定义）2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。
矩形矩形除了具有平行四边形的所有性质外.还有以下性质：1、四个角都是直角。
2、对角线相等。
3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。
4、S= a b （a 、b 分别表示长和宽）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形菱形除了具有平行四边形的所有质外.还有以下性质：1、四条边都相等。
2、两条对角线互相垂直。
并且每一条对角线平分一组对角。
3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。
4、S= a b （a 、b 分别表示两条对角线长。
）1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、边相等到的四边形是菱形。
正方形除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外.还有以下性质： 1、对角线和边的夹角是45º。
2、S= a ²（a 表示两边长。
） 1、一组邻边相等的矩形是正方形。
2、有一个是直角的菱形是正方形。
3、对角线相垂直的矩形是正方形。
4、对角线相等的菱形是正方形。
等腰梯形1、两腰相等。
2、同一底上的两个角相等。
3、对角线相等。
4、轴对称图形1、对角线相等的梯形是等腰梯形。
2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
梯形中常见辅助线AB CDABCDABC DABCD A BCD例1 如图.E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点.AM ⊥EF.垂足为M.若AM=AB.求证：EF=BE+CF例2 已知：如图.正方形ABCD 中.延长AD 到E.使DE=AD.再延长DE 到F.使DF=BD.连接BF 交CD 于Q.交CE 于P 。
平行四边形复习课件
一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形 。
02
平行四边形的特殊形式
矩形
01 定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
02 性质
矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。
03 判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相 等的平行四边形是矩形。
菱形
01 定义
矩形、菱形、正方形的判定方法与证明思路
正方形的判定方法与证明思路
正方形是特殊的长方形和菱形，其判 定方法有五种。
正方形的判定方法主要有五种，一是 有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形是正方形；二是有一个角 是直角的菱形是正方形；三是有一个 角是直角的矩形是正方形；四是有一 组邻边相等的矩形是正方形；五是有 一个角是直角的等腰梯形是正方形。 在证明过程中，需要结合已知条件， 通过全等三角形、平行线的性质等定 理进行证明。
2. 举例说明：例如，我们要证明四边形ABCD是平行 四边形，那么我们需要证明AB//CD且AB=CD。
总结词：如果一个四边形的一组对边平行且相 等，那么这个四边形是平行四边形。
1. 介绍利用一组对边平行且相等证明平行四边形 的方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形。
06
典型例题解析与拓展
矩形、菱形、正方形的判定方法与证明思路
01
菱形的判定方法与证明思路
02
菱形是平行四边形的一个特例，其判定方法有三种。
03
菱形的判定方法主要有三种，一是有一组邻边相等的平行 四边形是菱形；二是有一个角是直角的菱形是菱形；三是 有一组邻边相等的矩形是菱形。在证明过程中，需要结合 已知条件，通过全等三角形、平行线的性质等定理进行证 明。
初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》简介
初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》简介平行四边形是特殊的四边形。
本章我们在平行线、三角形和四边形的基础上进一步研究平行四边形；并通过平行四边形角、边的特殊化，研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形，认识这些概念之间的联系与区别，明确它们的内涵与外延；探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理，进一步明确命题及其逆命题的关系，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力。
本章教学时间约需14课时，具体分配如下（仅供参考）：18.1 平行四边形6课时18.2 特殊的平行四边形6课时数学活动小结2课时一、教科书内容和本章学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容平行四边形是常见的几何图形，既有丰富的性质，又在现实生活中具有广泛的应用，尤其是矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的性质更加丰富、应用更加广泛。
学生在第一学段已经学习过平行四边形，本学段七年级下册“三角形”一章中研究了多边形及其内角和等内容，包括四边形及其内角和；八年级上册“全等三角形”一章又研究了三角形全等的判定及全等三角形的性质。
这些内容是学习本章的重要基础。
本章引言直接进入特殊的四边形——平行四边形：两组对边分别平行的四边形的学习，在平行四边形的基础上，学习矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形。
“18.1 平行四边形”主要研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理；在平行四边形概念和性质的基础上，介绍两条平行线间距离的概念；作为性质定理和判定定理的一个应用，探究并证明三角形中位线定理。
“18.2 特殊的平行四边形”首先研究特殊的平行四边形：矩形和菱形，它们分别是有一个角是直角，或有一组邻边相等的特殊的平行四边形。
18.2.1和18.2.2分别研究矩形和菱形的概念、性质定理和判定定理，在矩形和菱形的基础上，再研究它们的特殊情况：同时具有两个特殊条件的平行四边形：正方形，它是有一个角是直角的特殊菱形，或者是有一组邻边相等的特殊矩形。
四年级数学平行四边形和梯形知识点大全
四年级数学平行四边形和梯形知识点大全四年级数学平行四边形和梯形知识点一垂直与平行1认识平行和垂直①同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交和不相交。
相交又有成直角的和不成直角的两种情况。
_“同一平面”是确定两条直线平行关系的前提，如果不在同一平面内，即便不相交，也不能称为互相平行。
②平行线：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
平行的表示方法：a//b，读作a平行于b。
生活中平行的例子：窗户相对的框，黑板相对的两条边，公路上的斑马线......③垂直：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
垂直的表示方法：ab生活中垂直的例子：三角尺上的两条直角边互相垂直......④三条直线的特殊关系：a//b，b//c,那么a//c：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行ab，bc，那么a//c：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。
2垂线的画法和性质①过直线上和直线外一点怎样画这条直线的垂线：把三角尺的一条直角边与已知直线重合;沿着直线移动三角尺，使三角尺的顶点和直线上的已知点重合;从直角的顶点起，沿着另一条直角边画出一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。
②过直线外一点怎样画这条直线的垂线：把三角尺的一条直角边与已知直线重合;沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边与直线外的一点重合;沿着三角尺的另一条直角边画一条直线③垂线的性质：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
3平行线的画法及运用①平行线的画法：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线;用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺;再沿第一步中的直角边画出另一条直线。
②检验两条直线是否平行的方法：把三角尺的一条直角边与其中的一条直线重合;用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺;如果第一步的三角尺的直角边与另一条直线完全重合，这两条直线就互相平行，如果不完全重合，这两条直线就不平行。
【人教版】初中数学八下数学第18章《平行四边形》全章教学案(含解析)
第十八章平行四边形1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系.2.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理,并能运用它们进行证明和计算.3.了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离.4.探索并证明中位线定理.1.通过经历平行四边形与各特殊平行四边形之间的联系与区别,使学生进一步认识一般与特殊的关系.2.通过经历平行四边形和特殊的平行四边形的性质和判定的探索、证明及相关计算的过程,以及相关问题证明和计算的过程,进一步培养和发展学生合情推理、演绎推理的能力.1.通过几何问题的证明和计算,体验证法和解法的多样性,渗透转化思想.2.通过动手实践,积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲.平行四边形是特殊的四边形,它与三角形一样,既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域主要的研究对象.本章内容也是在已经学过的多边形、平行线、三角形的基础上学习的,也可以说是在已有知识的基础上做出的进一步较系统的整理和研究,它是以后我们继续学习其他几何知识的基础.本章内容主要包括:平行四边形、特殊的平行四边形.其中平行四边形主要探索平行四边形的性质和判定,特殊的平行四边形主要介绍了矩形、菱形、正方形,并根据定义探索它们的性质和判定.【重点】理解和掌握平行四边形、特殊的平行四边形的定义、性质和判定,掌握三角形的中位线定理,会应用平行四边形和特殊的平行四边形的相关知识以及三角形中位线定理解决一些简单的实际问题.【难点】分清平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系和区别,能够灵活运用平行四边形、特殊平行四边形的定义、性质和判定方法进行推理论证.1.关于平行四边形及特殊的平行四边形概念之间从属、种差、内涵与外延之间的关系.本章概念比较多,概念之间联系非常密切,关系复杂.由于平行四边形和各种特殊平行四边形的概念之间重叠交错,容易混淆,因此弄清它们的共性、特性及其从属关系非常重要.实际上,有时学生掌握了它们的特殊性质,而忽略了共同性质.如有的学生不知道正方形既是矩形,又是菱形,也是平行四边形,应用时常犯多用或少用条件的错误.教学时,不仅要讲清矩形、菱形、正方形的特殊性质,还要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质.也就是在讲清每个概念特征的同时,强调它们的属概念,弄清这些概念之间的关系.在原有属概念基础上附加一些条件(种差),通过扩大概念的内涵、减少概念的外延的方式引出新的种概念;同时在原有属概念的性质和判定方法的基础上,来研究种概念的性质和判定方法.弄清这些关系,最好是用图示的办法.在弄清这些图形之间关系的基础上,还要进一步向学生说明概念的内涵与外延之间的反变关系,即内涵越小,外延越大;反之外延越小,内涵越大.例如,正方形的性质中,包含四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的特征,它的外延很小,而平行四边形的外延很大.弄清了各种特殊平行四边形的概念,各种平行四边形之间的从属关系也就清楚了,它们的性质定理、判定定理也就不会用错了.2.进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力.从培养学生的推理论证能力的角度来说,本章处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上,进一步巩固和提高的阶段.本章内容比较简单,证明方法相对比较单一,学生前面已经进行了一些推理证明的训练.但这种训练只是初步,要进一步巩固和提高.教学中同样要重视推理论证的教学,进一步提高学生的合情推理能力和演绎推理能力.在推理与证明的要求方面,除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外,还要求学生直接由已有的结论对有些图形的性质通过推理论证得出.另外,为了巩固并提高学生的推理论证能力,本章定理证明中,除了采用严格规范的证明方法外,还有一些采用了探索式的证明方法.这种方法不是先有了定理再去证明它,而是根据题设和已有知识,经过推理,得出结论.另外也有一些文字叙述的证明题,要求学生自己写出已知、求证,再进行证明.这些对学生的推理能力要求较高,难度也有增加,但能激发学生的学习兴趣,活跃学生的思维,对发展学生的思维能力有好处.教学中要注意启发和引导,使学生在熟悉“规范证明”的基础上,推理论证能力有所提高和发展.18.1 平行四边形18.1.1平行四边形的性质(2课时)5课时18.1.2平行四边形的判定(3课时)18.2 特殊的平行四边形18.2.1矩形(2课时)5课时18.2.2菱形(2课时)18.2.3正方形(1课时)单元概括整合1课时18.1平行四边形1.理解平行四边形的概念,探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.2.理解并掌握平行四边形的判定条件,能利用平行四边形的判定条件证明四边形是平行四边形.3.掌握三角形的中位线的概念和定理.1.在运用平行四边形的性质和平行四边形的判定方法及三角形的中位线定理的过程中,进一步培养和发展学生自主学习能力及应用数学的意识,通过对平行四边形判定方法的探究,提高学生解决问题的能力.2.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动,进一步培养学生动手能力及合情推理能力,使学生会将平行四边形的问题转化成三角形的问题,渗透转化与化归意识.通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形的性质与判定方法的探究和运用,以及三角形中位线定理的理解和应用.【难点】平行四边形的判定与性质定理的综合运用.18.1.1平行四边形的性质1.理解平行四边形的概念.2.探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.3.利用平行四边形的性质来解决简单的实际问题.通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形的概念和性质的探索.【难点】平行四边形性质的运用.第课时1.理解平行四边形的定义及有关概念.2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.3.了解平行线间距离的概念.1.经历利用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象思维和抽象思维.2.在进行性质探索的活动过程中,发展学生的探究能力.3.在性质应用的过程中,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,培养学生的推理能力和逻辑思维能力.在性质应用过程中培养独立思考的习惯,让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形边、角的性质探索和证明.【难点】如何添加辅助线将平行四边形问题转化成三角形问题解决的思想方法.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题的投影图片.【学生准备】方格纸,量角器,刻度尺.导入一:[过渡语]前面我们已经学习了许多图形与几何知识,掌握了一些探索和证明几何图形性质的方法,本节开始,我们继续研究生活中的常见图形.我们一起来观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏,它们是什么几何图形的形象?学生观察,积极踊跃发言,教师从实物中抽象出平行四边形.本节课我们主要研究平行四边形的定义及有关概念,探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.[设计意图]通过图片展示,让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型,进而从实际背景中抽象出平行四边形,让学生经历将实物抽象为图形的过程.导入二:(出示本章农田鸟瞰图)观察章前图,你能从图中找出我们熟悉的几何图形吗?学生自由说出图中的几何图形,教师结合学生说到的图中包含长方形、正方形等,明确本章主要研究对象——平行四边形.[过渡语]下面我们来认识特殊的四边形——平行四边形.[设计意图]以农田鸟瞰图作为本章的章前图,学生可以见识各种四边形的形状,通过查找长方形、正方形、平行四边形等,为进一步比较系统地学习这些图形做准备,并明确本章的学习任务.1.平行四边形的定义思路一提问:你知道什么样的图形叫做平行四边形吗?教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性质,又可以作为判定平行四边形的依据.追问:平行四边形如何好记好读呢?画出图形,教师示范后,学生结合图练习,并提醒学生注意字母的顺序要按照顶点的顺序记.平行四边形用“▱”表示,平行四边形ABCD,记作“▱ABCD”.如右图所示,引导学生找出图中的对边,对角.对边:AD与BC,AB与DC;对角:∠A与∠C,∠B与∠D.进一步引导学生总结:四边形中不相邻的边,也就是没有公共顶点的边叫做对边;没有公共边的角,叫做对角.[设计意图]给出定义,强调定义的作用,让学生结合图形认识“对角”“对边”,为学习性质做好准备.思路二请举出你身边存在的平行四边形的例子.学生举出生活中常见的例子.如小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏……教师点评,画出图形,如右图所示.提问:(1)你能说出平行四边形的定义吗?(2)你能表示平行四边形吗?(3)你能用符号语言来描述平行四边形的定义吗?学生阅读教材第41页,点名学生回答以上问题,教师进一步讲解:(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.概念中有两个条件:①是一个四边形;②两组对边分别平行.(2)指出表示平行四边形错误的情况,如▱ACDB.(3)作为性质:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.作为判定:∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.[设计意图]学生结合实例和教材中的图片,师引导学生归纳这些四边形的共同特征,即:两组对边分别平行.2.平行四边形边、角的性质思路一[过渡语]同学们回忆我们的学习经历,研究几何图形的一般思路是什么?一起回顾全等三角形的学习过程,得出研究的一般过程:先给出定义,再研究性质和判定.教师进一步指出:性质的研究,其实就是对边、角等基本要素的研究.提问:平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?教师画出图形,如右图所示,引导学生通过观察、度量,提出猜想.猜想1:四边形ABCD是平行四边形,那么AB=CD,AD=BC.猜想2:四边形ABCD是平行四边形,那么∠A=∠C,∠B=∠D.追问:你能证明这些结论吗?学生讨论,发现不添加辅助线可以证明猜想2.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=∠D.同理可得∠A=∠C.在学生遇到困难时,教师引导学生构造全等三角形进行证明.[过渡语]我们知道,利用全等三角形的对应边、对应角都相等是证明线段相等、角相等的一种重要方法.学生尝试,连接平行四边形的对角线,并证明猜想,如右图所示.证明:连接AC.∵AD∥BC,AB∥CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边,∴△ABC≌△CDA.∴AD=CB,AB=CD.∠B=∠D.∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠BAD=∠DCB.引导学生归纳平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.追问:通过证明,发现上述两个猜想正确.这样得到平行四边形的两个重要性质.你能说出这两个命题的题设与结论,并运用这两个性质进行推理吗?教师引导学生辨析定理的题设和结论,明确应用性质进行推理的基本模式:∵四边形ABCD是平行四边形(已知),∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).[设计意图]让学生领悟证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的方法,而图形中没有三角形,只有四边形,我们需要添加辅助线,构造全等三角形,将四边形问题转化为三角形问题来解决,突破难点.进而总结、提炼出将四边形问题化为三角形问题的基本思路.[知识拓展](1)运用平行四边形的这两条性质可以直接证明线段相等和角相等.(2)四边形的问题,常常通过连接对角线转化成三角形的问题解决.(教材例1)如图所示,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证AE=CF.引导学生分析:要证明线段AE=CF,它不是平行四边形的对边,无法直接用平行四边形的性质证明,考虑证明△ADE≌△CBF.由题意容易得到∠AED=∠CFB=90°,再根据平行四边形的性质可以得出∠A=∠C,AD=CB.在此基础上,引导学生写出证明过程,并组织学生进行点评.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD=CB.又∠AED=∠CFB=90°,∴△ADE≌△CBF.∴AE=CF.[设计意图]应用性质进行推理,体会得到证明思路的方法.思路二1.提问:根据定义画一个平行四边形ABCD,并观察这个四边形除了“两组对边分别平行”外,它的边、角之间还有哪些关系?度量一下,是不是和你的猜想一致?AB=BC=CD=AD=猜想:∠A=∠B=∠C=∠D=猜想:小组合作完成,交流自己的猜想.教师强调平行四边形的对边、邻边、对角、邻角等概念,再引导学生归纳:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.2.你能证明你发现的上述结论吗?已知:如图(1)所示,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证:(1)AD=BC,AB=CD;(2)∠B=∠D,∠BAD=∠DCB.小组讨论,发现:需要连接对角线,将平行四边形的问题转化成两个三角形全等的问题来解决.证明:(1)连接AC,如图(2)所示.∵AD∥BC,AB∥CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边,∴△ABC≌△CDA.∴AD=CB,AB=CD.(2)∵△ABC≌△CDA(已证),∴∠B=∠D.∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠BAD=∠DCB.一组代表发言后,另一小组补充,我们发现不作辅助线也可以证明平行四边形的对角相等.∵AB∥CD,∴∠BAD+∠D=180°,∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,∴∠B=∠D.同理可得∠BAD=∠DCB.教师根据学生的证明情况进行评价、总结.证明线段相等或角相等时,通常证明三角形全等,图中没有三角形怎么办?一般是连接对角线将四边形的问题转化为三角形的问题.引导学生将文字语言转化为符号语言表述,并进行笔记.∵四边形ABCD是平行四边形(已知),∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).(补充)如图,在▱ABCD中,AC是平行四边形ABCD的对角线.(1)请你说出图中的相等的角、相等的线段;(2)对角线AC需添加一个什么条件,能使平行四边形ABCD的四条边相等?学生认真读题、思考、分析、讨论,得出有关结论.因为平行四边形的对边相等,对角相等.所以AB=CD,AD=BC,∠DAB=∠BCD,∠B=∠D,又因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC.教师根据学生回答,板书有关正确的结论.解决第(2)个问题时,学生思考、交流、讨论得出:只要添加AC平分∠DAB即可.说明理由:因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DCA=∠BAC,而∠DAC=∠BAC,所以∠DCA=∠DAC,所以AD=DC,又因为平行四边形的对边相等,所以AB=DC=AD=BC.[设计意图]学生通过亲自动手,提出猜想,验证猜想,得出结论,并初步应用.3.平行线间的距离[过渡语]距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离,那么平行线间的距离又是怎样的呢?思路一提问:在教材的例1中,DE=BF吗?学生思考,都容易发现:由△ADE≌△CBF,容易得到DE=BF.追问:如图所示,直线a∥b,A,D为直线a上任意两点,点A到直线b的距离AB和点D到直线b的距离DC 相等吗?为什么?学生讨论,发现容易证明AB∥CD,由已知得AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD.教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.学生结合图指出:a∥b,点A是a上的任意一点,AB⊥b,B是垂足,线段AB的长就是a,b之间的距离.教师点评,并强调:任意两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在两条平行线之间的最短的线段的长度.[设计意图]结合例1的进一步追问,自然引出平行线间距离的概念.思路二请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线.老师边看边指导学生画图.追问:请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平行线间的所有垂线段的长度,你发现了什么现象?学生发现:平行线间的所有垂线段的长度相等.教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.如右图所示,用符号语言表述为:∵l1∥l2,AB⊥l2,CD⊥l2,∴AB=CD.教师进一步强调:两平行线l1,l2之间的距离是指什么?指在一条直线l1上任取一点A,过A作AB⊥l2于点B,线段AB的长度叫做两平行线l1,l2间的距离.引导学生归纳:两平行线之间的距离、点与直线的距离、点与点之间的距离的区别与联系.两平行线间的距离⇒点到直线的距离⇒点与点之间的距离.l1,l2间的距离转化为点A到l2间的距离,再转化为点A到点B的距离.追问:如果AB,CD是夹在两平行线l1,l2之间的两条平行线段,那么AB和CD仍相等吗?教师引导学生思考:(出示教材第43页图18.1-5)如图所示,a∥b,c∥d,c,d与a,b分别相交于A,B,C,D四点.由平行四边形的概念和性质可知,四边形ABDC是平行四边形,AB=CD.说明:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.[设计意图]借助学生熟悉的方格纸引出平行线间距离的概念,浅显易懂,并注重两平行线间的距离、点到直线的距离、点与点间的距离之间的知识整合.[知识拓展](1)当两条平行线确定后,两条平行线之间的距离是一定值,不随垂线段位置的变化而改变.(2)平行线之间的距离处处相等,因此在作平行四边形的高时,可以灵活选择位置.4.例题讲解(补充)在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,试求▱ABCD的周长.引导学生根据题意作图分析,教师根据学生考虑不周全的问题进行引导,明确思路后学生写解答过程.〔解析〕本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的应用,解题的关键是分别画出符合题意的图形.设BC边上的高为AE,分AE在▱ABCD的内部和AE在▱ABCD的外部两种情况计算.解:在▱ABCD中,AB=CD=5,AD=BC.设BC边上的高为AE.(1)若AE在▱ABCD的内部,如图①所示,在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,根据勾股定理,得:BE====3;在Rt△ACE中,AC=2,AE=4,根据勾股定理,得:CE== ==2.∴BC=BE+CE=3+2=5.∴▱ABCD的周长为2×(5+5)=20.(2)若AE在▱ABCD的外部,如图②所示,同理可得BE=3,CE=2,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴▱ABCD的周长为2×(5+1)=12.综上,▱ABCD的周长为20或12.[解题策略]本题相当于已知一个三角形的两条边以及第三条边上的高,求第三条边的长度,因为三角形的高可能在三角形的内部、也可能在三角形的外部,所以作图时应分两种情况讨论,如下图所示.本节课我们主要学习了平行四边形的定义,探索了平行四边形的两个特征,同时还学习了平行线间的距离,平行线的一些特征.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.平行线间的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.平行线间的距离相等,两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.1.已知▱ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是()A.100°B.160°C.80°D.60°解析:∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°,又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.2.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,则图中共有平行四边形的个数为()A.6B.7C.8D.9解析:图中的平行四边形有:平行四边形AEOG、平行四边形BHOE、平行四边形CHOF、平行四边形OFDG、平行四边形ABHG、平行四边形CHGD、平行四边形AEFD、平行四边形BEFC、平行四边形ABCD.故选D.3.如图所示,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()A.4B.3C.D.2解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB,∵AD=2AB=2CD,CD=DE,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.4.如图所示,在▱ABCD中,△ABC和△DBC的面积的大小关系是.解析:∵两平行线AD,BC间的距离相等,∴△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形,∴它们的面积相等.故填相等.5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F.(1)求∠EDF的度数;(2)若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C=60°,∴∠C+∠B=180°.∵∠C=60°,∴∠B=180°-∠C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°.(2)在Rt△ADE和Rt△CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF=30°,∴AD=2AE=8,CD=2CF=14,∴平行四边形ABCD 的周长为2×(8+14)=44.第1课时1.平行四边形的定义2.平行四边形边、角的性质例1例23.平行线间的距离4.例题讲解例3一、教材作业【必做题】教材第43页练习第1,2题;教材第49页习题18.1第1,2题.【选做题】教材第50页习题18.1第8题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F等于()A.110°B.30°C.50°D.70°2.如图所示,l 1 ∥l 2,BE ∥CF ,BA ⊥l 1 于点A ,DC ⊥l 2于点C ,有下面的四个结论;(1)AB =DC ;(2)BE =CF ;(3)S △ABE =S △DCF ;(4)S 四边形ABCD =S 四边形BCFE .其中正确的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个3.如图所示,点E 是▱ABCD 的边CD 的中点,AD ,BE 的延长线相交于点F ,DF =3,DE =2,则▱ABCD 的周长为 ( )A.5B.7C.10D.144.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AB =4,∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ,与DC 交于点F ,且点F 为边DC 的中点,DG ⊥AE ,垂足为G ,若DG =1,则AE 的长为 ( ) A.2 B.4 C.4 D.85.如图所示,▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等,且∠BAD =60°,∠F =110°,则∠DAE 的度数为 .【能力提升】6.如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD 的顶点A ,B ,C 的坐标分别是(0,0),(3,0),(4,2),则顶点D 的坐标为 .7.如图所示,在▱ABCD 中,DE 平分∠ADC ,AD =6,BE =2,则▱ABCD 的周长是 .。
一-四边形与特殊四边形的关系
（二）选择题：
1.下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ D ）。 (A)一组对边平行，另一组对边也平行；(B)一组对角相等，另一组对角也相等；
(C )一组对边平行，一组对角相等； (D)一组对边平行，另一组对边相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ B ）。
(A)对角线互相平分。
(B)对角线相等。
10.等腰梯形在同一底上的两个角 相 等 ，对角线 相 等 。
11.如图(1)， ABCD中，∠1 = ∠B =50°,则∠2 = 80° 。
A
D
A
D
B
1
2 C
O
(1)
B
C
(2)
12.如图（2），菱形有一个内角是120°，有一条对角线长是8㎝， 那么菱形边长是 8㎝ 或 38√3 ㎝ 。
13.已知：正方形的边长是4㎝，则它的对角线的长是 4√2 ㎝ ，
C
5.作梯形的中位线
A E B
D F C
7.构建三角形
E
6.构建大平行四边形
A
D
F
O
B
C
E
A
D
B
C
面积是 16 ㎝ 2
。
14.已知，正方形的对角线的长是6 ㎝，则它的边长是 3√2 ㎝ ， 面积是 18 ㎝2 。
15.已知：正方形的面积是12 ㎝2，则它的边长是 2√3 ㎝ ， 对角线的长是 2√6 ㎝ 。
九、几种常见的平行四边形辅助线的画法：
1.对角线
A
D
A
D
B
C
B
C
2.构建新的平行四边形
D A
四、对角线与特殊四边形的关系
1.对角线互相平分的四边形是平行四边形
新北京课改版五年级数学上册《第三单元平行四边形、梯形和三角形》知识清单、单元知识点总结
三平行四边形、梯形和三角形一、平行四边形1.平行四边形的定义。
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
2.平行四边形的基本特征。
平行四边形的两组对边分别平行且相等。
3.长方形、正方形和平行四边形之间的关系。
长方形和正方形同平行四边形一样,都是两组对边分别平行且相等,长方形和正方形具有平行四边形的一切特征,所以长方形和正方形都是特殊的平行四边形。
正方形不仅具备长方形的所有特征,并且四条边都相等,所以正方形是特殊的长方形。
4.平行四边形的特性。
平行四边形具有不稳定性,容易变形。
5.平行四边形的面积。
(1)认识平行四边形的底和高。
从平行四边形一条边上的任意一点向对边引垂线,这点到垂足间的线段叫作平行四边形的高,垂足所在的边叫作平行四边形的底。
平行四边形有无数条高,一般能画出两种长度的高。
(2)平行四边形的面积。
通过剪拼发现:长方形的面积与平行四边形的面积相等,平．重点提示:在拉动长方形的过程中,长方形的形状改变,但两组对边的长度不变。
易错题:平行四边形的对边一定相等,邻边一定不相等。
( )错解分析:此题错在对平行四边形的特征理解不准确,平行四边形一定具备对边相等的特征,但对邻边没有要求,所以平行四边形的邻边也可以相等。
正确答案:✕重点提示:平行四边形的底和高是一组相互依存且对应的概念(底边上的高,高所对应的底)。
易错题:周长相等的两行四边形的底等于长方形的长．．．．．．．．．．．．．;．平行四边形的高等于长方形的．．．．．．．．．．．．．宽．。
长方形的面积=长×宽平行四边形的面积=底×高如果用S表示平行四边形的面积,a和h分别表示平行四边形的底和高,那么平行四边形的面积的字母公式为S=ah。
二、梯形1.梯形的定义。
只有一组对边平行的四边形叫作梯形。
2.平行四边形和梯形的异同点。
相同点:都是四边形;都有平行的对边。
不同点:平行四边形的两组对边分别平行且相等;梯形只有一组对边平行,且平行的这组对边不相等。
初中数学：《特殊平行四边形》大单元教学设计
矩形被对 角线分成 几个等腰 三角形？ 是否全等？
面积是否 相等？
学习活动设计
活动一: 说说生活中的矩形 【活动步骤】1.结合图，回顾矩形定义
2.举出几个生活中矩形的例子.
学习活动设计
活动二：探索矩形的一般性质（即平行四边形所有性质） 【活动步骤】 1. 小组合作，矩形的边、角、对角线有什么特点？ 2. 个人思考：矩形的一般性质？ 小组交流，形成共识．
命题: 有三个角是直角的四边形是矩形.
已知: 求证:
在 四四 边边 形形ABACBDC是D中矩形，。∠A=∠B=∠C=90A°
∟
D
证明: ∵ ∠A=∠B=90°
∴ ∠A+∠B=180° ∴AD∥BC 同理可证: AB∥CD
∟
B
C
判定方法3: 有三个角是直角的四边形是矩形
∟
∴四边形ABCD是平行四边形 几何语言
能否把一个平行 一个 中长直角边为 积
四边形转化为菱 四边 长对角线的— 有
形？
形是 —，短直角边 几
能否把一个四边 形转化为菱形？
菱形？
为短对角线 的——，斜边 为菱形的——.
种 算 法？
学习活动设计
活动3: 感受生活 【活动步骤】 1．说一说生活中的菱形 2．教师展示部分图片
【技术应用】在PPT中动态演示菱形
学习活动设计
【活动步骤】 1.提出问题：菱形的性质有对边平行且相等，四条边都相等.那么什么样 的平行四边形是菱形 2.提出问题：菱形的性质有对角线互相平分且垂直，那么什么样的平行 四边形是菱形？ 3.指导学生探究，交流。 4.FJ进一步提出问题：四边形能转化成菱形吗？ 5.指导学生探究，交流.
定义法:
平行四边形特殊平行四边形的关系与性质探索
平行四边形、特殊平行四边形的关系与性质探索一、教学目标：知识与技能1.理解平行四边形、特殊平行四边形的定义及其关系.2.初步理解平行四边形、特殊平行四边形的基本性质.3.熟练运用测量、剪拼、折叠、旋转等合情推理方式探索平行四边形、特殊平行四边形的关系、性质。
过程与方法1.通过合情推理探索平行四边形、特殊平行四边形的关系与性质，体会整合后概念之间、性质之间的紧密联系，明确概念之间、性质之间的逻辑关系，发展学生几何直观、推理能力和模型思想。
2.体验探索平行四边形、特殊平行四边形的关系与性质的过程，领会由一般到特殊的思想方法、分类思想等。
情感与态度1.在多种形式的合情推理活动中，发展学生动手能力，培养学生的学习兴趣和自主参与学习活动的热情。
2.在学生探索概念之间、性质之间的关系过程和建构知识体系中，激发学生主动探究学习的动机和兴趣。
二、教学重点、难点：1.重点探索平行四边形、特殊平行四边形之间的联系与区别，掌握平行四边形、特殊平行四边形的关系和性质（暂不要求逻辑推理证明），发展学生自主学习和自我建构知识的能力。
2.难点引导学生探索平行四边形与特殊平行四边形的性质，自主建构知识框架。
三、教法学法：1.教学方法主要采用问题驱动法、探究法、合作交流法等。
通过设置适当的问题情境，引导学生借助学具自主探究、小组合作互助，完成知识框架的自我建构。
2.学法指导在学法上，引导学生进行自主预习、课上合作学习、交流展示，老师通过提问的层次性，评价的及时性与发展性，让学生经历知识框架构建的过程，进一步培养学生观察、实验、猜测、验证、推理与交流的能力。
3.教具准备平行四边形、矩形、菱形、正方形纸片，直尺、量角器、剪刀，磁铁。
四、教学过程：学生课前自主预习课本98—100、108、112、114页一.引入新课前面我们学习了三角形的有关知识，从这节课开始我们一起来研究四边形的相关知识。
我们先做一个与四边形有关的游戏，请看游戏规则。
理解平行四边形与各种特殊的平行四边形的区别和联系
教学设计内容要求课程说明（信息技术与学科教学内容结合方面的指导思想与理论依据）：《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实中、探索性的数学活动中去。
教师在教学中要善于运用信息技术为学生创造图文并茂，丰富多彩、人机交互，及时反馈的学习环境，使学生在这一环境中多种感官协同活动，充分调动自我的学习积极性，发挥主动性和自主性。
建构主义学习理论认为，学习活动要以学习者为中心，学习过程不是学习者被动地接受知识，而是积极地建构知识的过程。
利用几何画板的功能可以将数学知识和某些过程直观化，变静态图形为动态图形，使学生在活动中主动参与、主动思考、积极探索，逐渐完善对特殊四边形有关知识的意义建构。
信息技术环境软硬件要求及搭建环境情况教室内有多媒体教学设备，电脑上安装《几何画板》软件教学背景分析在知识掌握上，学生已经学习了三角形、四边形、平行四边形和特殊的平行四边形，积累了一定的几何图形学习的经验，特别是在学习平行四边形时已经体会过一般到特殊的数学方法，也具有类比学习的经验，这为本节课学习打下了良好的基础．本班学生的数学学习基础参差不齐，差距较大，在设计例题和习题时必须考虑不同层次学生的需求。
教学目标教学目标：知识与技能:理解平行四边形与各种特殊的平行四边形的区别和联系能够运用平行四边形与各种特殊的平行四边形的定义、性质、判定进行推理证明过程与方法经历对图形的观察、分析和探究解答的过程，加深对平行四边形性质和判定的理解与掌握，积累解题经验，提高解题能力。
情感、态度与价值观通过观察图形、探究思路、解答问题的过程，养成善于观察、勤于思考的良好学习习惯，严谨的思维品质以及与他人合作交流的能力。
教学重点：综合运用平行四边形及各种特殊四边形的定义、性质、判定、证明教学难点：证明中添加辅助线问题教学过程教学阶段教师活动学生活动设置意图技术应用时间安排一、复习导入1.平行四边形与特殊平行四边形的从属关系检查各小组学案的完成情况 对不准确的进行指出和辅导在课前独立完成学案课上先在小组内交流，完善、改正错误之处，形成统一的结果后,以小组为单位展示结合图形回忆并回答让学生对平行四边形的知识有一个系统完整的认识， 强化和加强对平行四边形及几种特殊四边形的性质判定的理解 和记忆为接下来的解题探究做好知识准备实物展台8分钟二、课上探究探究1：如图：平行四边形ABCD 中，BD 是对角线，E 、F 是 BD 上两点 BE=DF 。
平行四边形复习课件2022——2023学年人教版八年级下册数学
3.(2021•云南20题8分)如图，四边形ABCD是矩形，E，F分别 是线段AD，BC上的点，O是EF与BD的交点．若将△BED沿 直线BD折叠，则点E与点F重合． (1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若ED＝2AE，AB•AD＝3 3 ，
求EF•BD的值．
(1)证明：由折叠的性质可知△BED ≌△BFD， ∴BE＝BF, DE＝DF, ∠EBD＝∠FBD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠FBD， ∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE. ∵BE＝BF，DE＝DF， ∴BE＝BF＝DE＝DF， ∴四边形BEDF是菱形．
（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形是什么形状？为 什么？
走进中考
1.(2019•云南20题8分)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求
两条平行线中，一条直线
D H C b 上任意一点到另一条直线的距
离叫做两条平行线之间的距离.
a 平行线之间的距离处处相等。
2.三角形的中位线定理：
A
D
E
B
C
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于 第三边的一半．
3.直角三角形斜边上的中线：
A
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
五、中点四边形（拓展）
∠ADO的度数．
(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又 ∵∠AOB ＝ 2∠OAD ， ∠AOB ＝ ∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC ＝ AO ＋ OC ＝ 2AO ， BD ＝ BO ＋ OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
人教版八年级数学下册《特殊的平行四边形》复习课件
A.4
）
B. 3
C.10
D.12
A
D
F
G
B
E
C
例
如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别
在正方形ABCD的边上，且AH=2，连接CF.
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形。
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积。
D
G
C
F
H
A
A
C
O
B
N
）
矩形的探究性问题
A
例 如图，在△ABC中，DE分别是AB，
AC的中点，连接DE并延长至点F，使
E F = D E ， 连 接 C F.
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形。
（2）探究：当△ABC满足什么条件时，
B
四边形ADCF是矩形，并说明理由。
D
E
F
C
N
A
B
如图，已知AD//BC，AB//CD，∠B=∠BCD.
4、正方形既是矩形，又是菱形；
5、理解矩形、菱形、正方形的关系。
框架
矩形
正方形
平行四边形
菱形
定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（特殊在角）
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。（特殊在边）
正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形。
点PQ分别在BD，AD上，则PA+PQ的最小值为_______。
Q
A
D
P
E
B
C
CD在∠MON的内部，顶点A,B分别在射
平行四边形的外角与内角关系
平行四边形的外角与内角关系平行四边形是一种特殊的四边形，具有许多独特的性质。
在平行四
边形中，外角和内角之间有着特定的关系，通过了解这些关系，我们
可以更好地理解和运用平行四边形的性质。
首先，我们来看一下平行四边形内角的性质。
在任意一个四边形中，内角之和等于360度。
对于平行四边形来说，由于其相邻边平行，对
应角相等，因此平行四边形的内角和也等于360度。
也就是说，平行
四边形的内角之和是一个定值，为360度。
接下来，我们来探讨平行四边形的外角和内角之间的关系。
首先，
我们知道平行四边形的相邻内角互补，也就是说相邻内角的和为180度。
而外角与其相对的内角是同补角，即外角等于其相对的内角。
因此，平行四边形的任意一个外角与其相对的内角之和也等于180度。
在平行四边形中，外角与内角之间的关系可以帮助我们求解各种问题，例如计算平行四边形中的某个角度，或者证明一个四边形是平行
四边形等。
通过了解平行四边形的外角和内角之间的关系，我们可以
更好地理解和运用平行四边形的性质。
综上所述，平行四边形的外角与内角之间有着特定的关系，外角等
于其相对的内角，外角与其相对的内角之和为180度。
通过掌握这些
关系，我们可以更好地理解和运用平行四边形的性质，解决各种与平
行四边形相关的问题。
平行四边形是几何学中非常重要的一个概念，
掌握好其性质对于几何学的学习至关重要。
愿以上内容能够帮助您更
好地理解平行四边形的外角与内角关系。
平行四边形的认识教案
平行四边形的认识教案(总4页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--四年级下册第四单元第四课时平行四边形的认识段芦头中心小学张福生一、教材分析和学情分析:数学课程标准将课程内容划分为四个领域，本节课属于“图形与几何”的范畴。
这部分内容是在学生直观认识了平行四边形，初步掌握了长方形和正方形的特征，认识了垂直与平行的基础上进行教学的，学好这一部分内容，有利于提高学生动手能力，增强创新意识，而且进一步发展了学生对“空间与图形”的兴趣，因此，本节课在小学数学中起着承前启后的重要作用。
二年级下册直观认识平形四边形初步掌握了长方形和正方形的特征。
四年级上学期认识了垂直与平行，掌握了画垂线的方法。
已有的这些知识基础为这节课打下了坚实的知识基础。
在丰富多彩的现实生活中，学生经常接触一些立体或平面图形为本节课的学习提供生活经验。
二、教学目标：1．在观察、操作、讨论等活动中，经历认识平行四边形及总结特殊四边形关系的过程。
2．了解平行四边形具有不稳定性，知道平行四边形对边平行、对角相等。
知道长方形、正方形都是特殊的平行四边形。
3.了解平行四边形特性在现实生活中的应用，体会长方形、正方形、平行四边形的内在联系，发展空间观念。
4.教学重点:进一步认识平行四边形，发现平行四边形的基本特征，会画高。
5.教学难点：体会长方形、正方形、平行四边形的内在联系，发展空间观念。
三、教学准备：1.学生需要准备好:量角器、直尺、三角板、教课书及练习本。
2.教师需要准备好：用四根细木条钉成的一个长方形，多媒体教室及配套多媒体课件。
四、教学过程：（一）体验图形特性1．让学生观察教材中的三幅图片，先分别说一说图片中物体的特点，再提出兔博士的问题让学生讨论，使学生认识到，这些物体上都有若干个平行四边形，都能够变形。
教师介绍：平行四边形具有不稳定性。
2．提出说一说的要求，让学生举出生活中平行四边形的不稳定性的事例。
平行四边形长宽高的关系
平行四边形长宽高的关系平行四边形是一种特殊的四边形，它的两对边分别平行。
在学习和研究平行四边形时，我们经常会遇到关于其长、宽和高的问题。
本文将从这三个方面来探讨平行四边形的特点和关系。
一、平行四边形的定义和性质平行四边形是指具有两对边分别平行的四边形。
它的特点是相邻两边相等，对角线互相平分。
根据定义，平行四边形的两对边分别为长边和短边，而高则是与底边垂直的线段。
二、平行四边形的长和宽在平行四边形中，长边和短边是两对平行边中的一对。
长边一般指与底边平行的那条边，而短边则是与顶边平行的那条边。
根据平行四边形的性质，长边与短边的长度是相等的。
三、平行四边形的高平行四边形的高是指与底边垂直的线段，它连接了底边和顶边之间的垂直距离。
由于平行四边形的两对边都是平行的，所以高的长度是与底边和顶边之间的距离相等的。
在平行四边形中，长、宽和高之间存在一定的关系。
根据平行四边形的定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 长边和短边的长度相等；2. 高的长度与底边和顶边之间的距离相等；3. 面积可以通过底边和高的乘积来计算，即面积等于底边乘以高；4. 周长可以通过底边和顶边的和再乘以2来计算，即周长等于底边加上顶边的和再乘以2。
五、应用举例为了更好地理解平行四边形长宽高的关系，我们可以通过一些例子来加深印象。
例一：已知一个平行四边形的底边长度为10cm，高的长度为6cm，求其面积和周长。
解：根据上述结论，我们可以直接利用底边和高来计算面积和周长。
面积等于底边乘以高，即10cm×6cm=60cm²；周长等于底边加上顶边的和再乘以2，即（10cm+10cm）×2=40cm。
例二：已知一个平行四边形的周长为24cm，高的长度为8cm，求其底边和顶边的长度。
解：根据上述结论，我们可以利用周长和高来计算底边和顶边的长度。
周长等于底边加上顶边的和再乘以2，即（底边+顶边）×2=24cm，由此可得底边+顶边=12cm。