矩阵运算
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念之一，在数学和计算机科学中广泛运用。
它是由数个数按矩形排列而成的矩形阵列，可以表示向量、方程组以及线性变换等。
一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数按一定顺序排列而成，通常用大写字母表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11, a12;a21, a22;a31, a32]其中的aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的行数m和列数n分别称为其维度，m×n为矩阵的规模。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法若矩阵A和B的维度相等（均为m行n列），则它们可以相加。
矩阵相加的结果为一个新的维度相同的矩阵C，其元素由对应位置的矩阵A和B的元素相加得到。
即：C = A + B = [a11 + b11, a12 + b12;a21 + b21, a22 + b22;a31 + b31, a32 + b32]2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，只需将相应位置上的元素相减即可。
例如：C = A - B = [a11 - b11, a12 - b12;a21 - b21, a22 - b22;a31 - b31, a32 - b32]3. 矩阵的数乘矩阵的数乘指的是将矩阵的每个元素乘以一个常数k。
结果仍为同一维度的矩阵。
记为：C = kA = [ka11, ka12;ka21, ka22;ka31, ka32]4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B相乘得到一个m行p列的矩阵C。
矩阵乘法的运算规则如下：C = AB = [c11, c12, ..., c1p;c21, c22, ..., c2p;...cm1, cm2, ..., cmp]其中，cij表示矩阵C中第i行第j列的元素，计算公式为：cij = a1i * b1j + a2i * b2j + ... + ani * bnj5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对调。
矩阵的四则运算
矩阵的四则运算
矩阵的四则运算指的是矩阵之间的加法、减法、乘法和除法运算。
1. 加法：两个矩阵的加法定义为将对应元素相加。
要求两个矩阵的行数和列数相等。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A +
B = [1+5 2+6
3+7 4+8]
= [6 8
10 12]
2. 减法：两个矩阵的减法定义为将对应元素相减。
同样要求两个矩阵的行数和列数相等。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A -
B = [1-5 2-6
3-7 4-8]
= [-4 -4
-4 -4]
3. 乘法：两个矩阵的乘法定义为将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行内积运算。
要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A *
B = [1*5+2*7 1*6+2*8
3*5+4*7 3*6+4*8]
= [19 22
43 50]
4. 除法：矩阵的除法没有直接定义，但可以通过矩阵的乘法和逆矩阵来实现。
要求被除矩阵的逆矩阵存在且除数矩阵的行数等于被除矩阵的列数。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A /
B = A * B^(-1)
其中 B^(-1) 是矩阵 B 的逆矩阵。
这些运算规定了矩阵之间的加减乘除运算法则，能够在很多领域中被广泛应用，如线性代数、图像处理、机器学习等。
矩阵的运算规律总结
矩阵的运算规律总结矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
矩阵的运算规律是研究矩阵相加、相乘等运算规律的重要内容，下面我们来总结一下矩阵的运算规律。
1. 矩阵的加法。
矩阵的加法是指同型矩阵之间的相加运算。
对于两个m×n的矩阵A和B来说，它们的和记作A + B，要求A和B的行数和列数都相同，即m和n相等。
矩阵的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 矩阵的数乘。
矩阵的数乘是指一个数与矩阵中的每个元素相乘的运算。
对于一个m×n的矩阵A和一个实数k来说，它们的数乘记作kA，即矩阵A中的每个元素都乘以k。
矩阵的数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA。
3. 矩阵的乘法。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的运算。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B来说，它们的乘积记作AB，要求A的列数和B的行数相等，即n相等。
矩阵的乘法不满足交换律，即AB一般不等于BA。
另外，矩阵的乘法满足结合律，即A(BC) = (AB)C。
4. 矩阵的转置。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵A来说，它的转置记作AT，即A的第i行第j列的元素变成AT的第j行第i列的元素。
矩阵的转置满足(A + B)T = AT + BT，(kA)T = kAT，(AB)T = BTAT。
5. 矩阵的逆。
矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A来说，存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是n阶单位矩阵。
如果矩阵A存在逆矩阵，则称A是可逆的。
可逆矩阵的逆是唯一的，记作A-1。
非奇异矩阵是指行列式不为0的矩阵，非奇异矩阵一定是可逆的。
6. 矩阵的行列式。
矩阵的行列式是一个重要的概念，它是一个标量，可以用来判断矩阵是否可逆。
对于一个n阶方阵A来说，它的行列式记作|A|，如果|A|不等于0，则A是可逆的，否则A是不可逆的。
矩阵的简单运算公式
矩阵的简单运算公式矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机等各个领域。
矩阵的运算涉及到加法、减法、数乘和乘法等操作，下面将介绍一些简单的矩阵运算公式。
1. 矩阵加法矩阵加法是指两个矩阵按照相同位置的元素进行相加的运算。
设矩阵A和矩阵B分别为m行n列的矩阵，其加法公式为：C = A + B其中C为相加后的结果矩阵，C的每个元素等于A和B对应位置元素的和。
2. 矩阵减法矩阵减法是指两个矩阵按照相同位置的元素进行相减的运算。
设矩阵A和矩阵B分别为m行n列的矩阵，其减法公式为：C = A - B其中C为相减后的结果矩阵，C的每个元素等于A和B对应位置元素的差。
3. 数乘数乘是指将矩阵的每个元素乘以一个常数。
设矩阵A为m行n列的矩阵，k为常数，其数乘公式为：C = kA其中C为数乘后的结果矩阵，C的每个元素等于k乘以A相应位置的元素。
4. 矩阵乘法矩阵乘法是指两个矩阵按照一定规律进行的乘法运算。
设矩阵A为m行p列的矩阵，矩阵B为p行n列的矩阵，其乘法公式为：C = AB其中C为乘法的结果矩阵，C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。
以上是矩阵的几种简单运算公式，在实际运用中可以通过这些公式进行各种复杂的矩阵运算。
矩阵运算在线性代数、图像处理、数据分析等领域具有广泛的应用，依靠这些运算公式可以很方便地对矩阵进行操作和计算。
需要注意的是，在进行矩阵运算时，要确保参与运算的矩阵具有相同的行列数，否则运算无法进行。
此外，矩阵运算具有交换律、结合律和分配律等基本性质，可以根据需要灵活运用。
总之，矩阵的简单运算公式包括加法、减法、数乘和乘法等操作，这些公式可以帮助我们对矩阵进行各种运算和计算。
掌握这些运算公式，并善于应用，将会对求解复杂问题起到很大的帮助作用。
矩阵常见运算
矩阵的基本运算公式加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。
1、矩阵的加法满足A+B=B+A；(A+B)+C=A+(B+C)。
在两个数的加法运算中，在从左往右计算的顺序，两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
A+B+C=A+C+B。
加法定理一个是指概率的加法定理，讲的是互不相容事件或对立事件甚至任意事件的概率计算方面的公式；另一个是指三角函数的加法定理。
2、把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置。
设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i 行j 列的元素是a(i,j)，即：A=a(i,j)定义A的转置为这样一个n×m阶矩阵B，满足B=b(j,i)，即a(i,j)=b (j,i)（B的第i行第j列元素是A的第j 行第i列元素），记A'=B。
3、矩阵乘法是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算。
二元运算属于数学运算的一种。
二元运算需要三个元素：二元运算符以及该运算符作用的两个变量。
如四则运算的加、减、乘、除均属于二元运算。
如在运算1 + 2之中，二元运算符为“+”，而该运算符作用的操作数分别为1与2。
二元运算只是二元函数的一种，由于它被广泛应用于各个领域，因此受到比其它函数更高的重视。
矩阵运算
即
A× B = C.
注意：
( ai1
ai 2
b1 j b2 j L ais ) M b sj
= ai1b1 j + ai 2b2 j + L + ais bsj
= ∑aikbkj = cij
k= 1 s
例1.求矩阵
1 0 3 −1 A = 2 1 0 2
所 以 0 17 T ( AB) ＝ 14 13 － 10 3
解法2：
( AB )
T
= B A
T
T
1 4 2 2 1 = 7 2 0 0 3 −1 3 1 −1 2
0 17 = 14 13. − 3 10
0 0 = 0 0
2. 运算律 1) 矩阵的乘法一般不满足交换律 2) （AB）C = A（BC） 3) λ (AB) = (λA) B = A(λ B), 4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA ( 其中λ为数 );
3. 设E为单位矩阵
T T T
= E − 4XX + 4X( X X) X
T T
T
= E − 4XX + 4XX
T
T
=E
五、方阵的 行列式 1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵A的行列式， 记作 |A| 或 detA 。
2、运算律
T
1 A ).
= A;
n
2). λA = λ A;
例8 设
1 1 2,β 1 α = = 2 3 1 3
矩阵的运算
解： ||A|A|= |2A| =(2)3|A| =(2)3(2) =16
1 1 3
例：已知f(A)= A 2E
(A) = A + 5E
(A) f (A) = f (A)(A)?
4、方阵的多项式：
设 f (x) = am xm +L + a1x + a0
为x的m次多项式，则称
f ( A) = am Am +L a1A + a0E
为方阵A的m次多项式。
若A为n阶方
阵，则 f ( A)
2、A是对称阵 AT = A
例如
12 A= 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
说明： 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等
例 设A,B为对称阵，判断下列矩阵是否为对称阵？
A+B，A-B ，AB, kA
例2 设列矩阵 X = x1, x2 , , xn T满足 X T X = 1,
E为n阶单位矩阵, H = E 2XX T ,证明H是对称矩
(只要有意义)结果不变
类似于数1在数的乘法中的作用。
3、方阵的幂：
对于方阵A及自然数k
只有方阵 才能自乘
记 Ak=AA A (k个A相乘)
规定 ( Ann )0 = En
性质：(1) ArAs=Ar+s (2) (Ar)s=Ars
思考：下列等式在什么时候成立？
( AB)k = Ak Bk ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ( A + B)( A B) = A2 B2
也为n阶方阵
性质：
矩阵的运算的所有公式
矩阵的运算的所有公式矩阵是数学中一个重要的概念，研究矩阵的运算公式对于理解线性代数和计算机图形学等领域都至关重要。
以下是矩阵的运算公式的详细介绍：1.矩阵的加法：对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法定义为：C=A+B，其中C的元素等于A和B对应元素的和。
2.矩阵的减法：对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的减法定义为：C=A-B，其中C的元素等于A和B对应元素的差。
3.矩阵的数乘：对于一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘定义为：B=k*A，其中B的元素等于A的对应元素乘以k。
4.矩阵的乘法：对于两个矩阵A和B，它们的乘法定义为：C=A*B，其中C的元素等于A的行向量与B的列向量的内积。
5.矩阵的转置：对于一个矩阵A，它的转置定义为：B=A^T，其中B的行等于A的列，B的列等于A的行，且B的元素和A的对应元素相同。
6.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，它的逆定义为：A^{-1}，使得A*A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。
7.矩阵的行列式：对于一个方阵A，它的行列式定义为：，A，是A的元素的代数余子式之和。
8.矩阵的迹：对于一个方阵A，它的迹定义为：tr(A)，是A的主对角线上元素之和。
9.矩阵的转置乘法：对于两个矩阵A和B，它们的转置乘法定义为：C=A^T*B，其中C的元素等于A的列向量与B的列向量的内积。
10.矩阵的伴随矩阵：对于一个方阵A，它的伴随矩阵定义为：adj(A)，是A的代数余子式构成的矩阵的转置。
11.矩阵的秩：对于一个矩阵A，它的秩定义为：rank(A)，是A的线性无关的行或列的最大数量。
12.矩阵的特征值和特征向量：对于一个方阵A，它的特征值是满足方程det(A - λI) = 0的λ值，特征向量是对应于特征值的非零向量。
13.矩阵的奇异值分解（SVD）：对于一个矩阵A，它的奇异值分解定义为：A=U*Σ*V^T，其中U和V 是正交矩阵，Σ是一个对角线上元素非负的矩阵。
14.矩阵的广义逆矩阵：对于一个矩阵A，它的广义逆矩阵定义为：A^+，使得A*A^+*A=A，其中A*A^+和A^+*A均为投影矩阵。
高等数学矩阵的运算
解法1: 因为
AB
2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
311 170
14 13
130,
所以
AB
T
0 14 3
111703.
解法2: (AB)T=BTAT
1 7 1
4 2 3
021
2 0 1
231
0 14 3
111703.
12
由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:
16 8
?
32 16
22
例2:
1 2 3
123
1 3 2 2 3 1 10.
4
例3: 求AB, 其中
A
1 1 0
0 1 5
1 3
1
402,
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4111.
C
AB
1 1 0
0 1 5
1 3
1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
41 11
5 10 2
(3)
A
a11 a21
am1
称为矩阵A的负矩阵.
a12
a22
am1
a1n a2n
amn
aij
.
(4) A+(–A) = O, A–B = A+(–B).
2
二、数与矩阵相乘
定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作 A 或A, 简称为数乘. 即
A
A
0 0
1
0
0
1
3
0 0
32 3
0
3
32 3
8
由此归纳出
矩阵的运算
( AB)k Ak Bk AB BA.
k
k Z
0 a1k 0 a1 , k Z . (4) k 0 0 a a n n
高 等 代 数
2 方阵的行列式
定义：由n阶方阵A的元素构成的行列式（各元素的位置不
变），称为方阵A的行列式.记做 | A | 或 det
高 等 代 数
（3） 单位矩阵
主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的 n n 矩阵
1 0 0
0 0 1 0 0 1
称为 n 阶单位矩阵，记为 En，或者在不致引含混
的时候简单写为 E 或者I.
高 等 代 数
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地 位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. 如 EA = AE = A .
3 1 2 4 5 1 A.
高 等 代 数
2．矩阵乘法的运算规律
(1) (2) ( AB )C A( BC ) A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
(结合律) （分配律)
(3)
k ( AB ) ( kA) B A( kB )
2．性质
(1) ( ) A ( A) ; (2) (3) ( ) A A A ;
( A B) A B ;
(4) 1 A A ;
注: 矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的 线性运算.
高 等 代 数
例1
例题2.2.1
4 3 1 1 1 0 设 A ,B ,求3 A 2 B . 3 0 1 5 1 3
a1n b1n a2 n b2 n amn bmn
矩阵的运算的所有公式
矩阵的运算的所有公式矩阵是线性代数中非常重要的一种数学工具，它广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
矩阵的运算包括加法、减法、乘法、转置以及求逆等操作。
下面将详细介绍这些矩阵运算的公式。
一、矩阵的加法和减法设有两个矩阵A和B，它们都是m行n列的矩阵，即A和B的大小相同。
矩阵的加法和减法操作定义如下：1.加法：A+B=C，其中C是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：C(i,j)=A(i,j)+B(i,j)，其中i表示矩阵的行数，j表示矩阵的列数。
2.减法：A-B=D，其中D是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：D(i,j)=A(i,j)-B(i,j)。
二、矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵。
矩阵的乘法操作定义如下：1.乘法：A×B=C，其中C是一个m行p列的矩阵。
计算C的方法如下：C(i,j)=A(i,1)×B(1,j)+A(i,2)×B(2,j)+...+A(i,n)×B(n,j)，其中i表示C的行数，j表示C的列数。
需要注意的是，两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
三、矩阵的转置给定一个矩阵A，它是m行n列的矩阵。
矩阵的转置操作定义如下：1.转置：A'，表示矩阵A的转置。
即将A的行变为列，列变为行。
例如，如果A是一个3行2列的矩阵，那么A的转置A'是一个2行3列的矩阵。
四、矩阵的求逆对于一个非奇异的n阶矩阵A，它的逆矩阵记作A^{-1}。
求逆的公式如下：1.A×A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。
即矩阵A与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
需要注意的是，只有方阵（行数等于列数）并且满秩的矩阵才有逆矩阵。
五、矩阵的幂运算给定一个n阶矩阵A，A的幂运算定义如下：1.A^k=A×A×...×A（共k个A相乘），其中A^k表示A的k次幂，k是一个正整数。
矩阵的运算
例如
1 0 − 1 0 4 0 1 −1 0 3
0 0
0 0
0 0
1 0
−3 0
６ 矩阵的标准形
对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0．
例如
1 0
0 0
0 1 0 0
−1 −1 0 0
0 0 1 0
~ 4
3
cc4+3↔c1+cc4 2
− 1 − 1 − 1 0 0 1 − 1 − 1 − 1 0 0 1
r3+r1 1 1
2
0
1
0
r
+
2
r
3
1
1
2
0
1
0
~ 0 2 −1 1 0 0 ~ 0 2 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1
r1+(−2)×r3 1 1 0 0 − 1 − 2
~ 0 2 0 1 1 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1 0 0 1 − 2 0
6
−5
1
0 0 0
0 0 0
− 5 6 1 6 7 6 1 6 − 5 6 1 6 0 0 0 0
由此可知R( A) = R(B) = 3 ，而方程组(1)中未知 量的个数是n = 4，故有一个自由未知量.
令自由未知量 x4 = k,可得方程组(1)的通解是
以 E m (ij(k))左乘矩阵A,相当于把A的第j行乘 以k加到第i行上(r i + k r j);
以 E n (ij(k))右乘矩阵A,相当于把A的第i列乘 以k加到第j列上(c j + k ci).
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则矩阵是数学中的一种重要工具，用于表示数字和符号的矩形阵列。
矩阵由m行n列的数字或符号排列组成，每个数字或符号称为矩阵的元素。
矩阵通常用大写字母表示，例如A，B，C等。
矩阵的大小由它的行数和列数决定，并用m×n表示。
矩阵的运算规则包括加法、减法、数乘和乘法四种运算。
1.加法：对应位置上的元素相加对于相同大小的两个矩阵A和B，它们的加法定义如下：A+B=C其中C的元素由对应位置上的两个矩阵元素相加得到。
2.减法：对应位置上的元素相减对于相同大小的两个矩阵A和B，它们的减法定义如下：A-B=D其中D的元素由对应位置上的两个矩阵元素相减得到。
3.数乘：矩阵的每个元素与一个标量相乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘定义如下：kA=E其中E的元素由矩阵A的每个元素与k相乘得到。
4.乘法：矩阵的行与列的对应元素相乘后求和对于两个矩阵A（m×n）和B（n×p），它们的乘法定义如下：AB=F其中F是一个m×p的矩阵，F的每个元素由矩阵A的其中一行与矩阵B的对应列的元素相乘后求和得到。
矩阵的运算满足以下一些基本性质：1.加法的交换律：A+B=B+A2.加法的结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3.加法的零元素：存在一个零矩阵O，满足A+O=A4.减法的定义：A-B=A+(-B)5.数乘的结合律：(k1k2)A=k1(k2A)6.数乘的分配律：(k1+k2)A=k1A+k2A7.数乘的分配律：k(A+B)=kA+kB8.乘法的结合律：(AB)C=A(BC)9.乘法的分配律：A(B+C)=AB+AC和(A+B)C=AC+BC10.乘法的分配律：k(AB)=(kA)B=A(kB)矩阵的运算在应用中具有广泛的应用，包括线性代数、计算机图形学、优化、概率论等。
通过矩阵的运算规则，可以对线性方程组进行求解、描述线性变换、优化问题、图像处理等。
矩阵的运算规则是学习线性代数和其他数学领域的重要基础知识。
矩阵的运算
( )
( )
ik
( )
ij
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ais bsj =
∑a b
k =1
skjຫໍສະໝຸດ (i = 1,2,L m; j = 1,2,L, n ),
并把此乘积记作
C = AB .
例１：
4 − 2 4 2 C = = 1 − 2 2× 2 − 3 − 6 2× 2
12 3 − 5 1 8 9 1 − 9 0 + 6 5 4 3 6 8 3 2 1
12 + 1 3 + 8 − 5 + 9 = 1+ 6 − 9+ 5 0+ 4 3+ 3 6+ 2 8+1
13 11 4 = 7 − 4 4 . 6 8 9
负矩阵： 负矩阵：
− a11 − a21 − A= L − a m1
− a12 − a22 L − am 1
L − a1 n L − a2 n = (− aij ) L L L − amn
3. 数与矩阵相乘
数乘: 数乘
数 k与矩阵 A 的乘积记作 kA,规定为
ka11 ka21 kA = L ka m1
ka12 ka22 L kam1
L ka1n L ka2 n . L L L kamn
1 3 2 2 6 4 2 = 0 5 2 0 10 4
3 (1 2 3) 2 = (1 × 3 + 2 × 2 + 3 × 1) = (10 ). 1
矩阵运算公式
矩阵运算公式矩阵运算是线性代数的重要组成部分。
矩阵运算的核心是矩阵乘法，矩阵乘法可以描述线性变换和线性方程组。
矩阵乘法的定义是：设矩阵A为m×n的矩阵，矩阵B为n×p的矩阵，求得矩阵C为m×p的矩阵。
矩阵C的第i行第j列元素为矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的元素对应相乘的和。
我们可以用数学公式表示为：C_ij=sum(A_ik*B_kj) (k从1到n)其中，sum代表求和，A_ik表示矩阵A第i行第k列的元素，B_kj表示矩阵B第k行第j列的元素。
矩阵乘法是一种不满足交换律的运算，即A×B不等于B×A，但是满足结合律，即A×(B×C)=(A×B)×C。
除了矩阵乘法，还有几种常见的矩阵运算：1. 矩阵加法矩阵加法是指将同阶矩阵中对应元素相加，得到一个新矩阵。
例如，对于两个2×2的矩阵A和B：A=[1 2;3 4] B=[5 6;7 8]它们的和C为：C=A+B=[6 8;10 12]2. 矩阵数乘矩阵数乘是指将一个元素与矩阵中的所有元素相乘，得到一个新矩阵。
例如，对于一个2×2的矩阵A和数k：A=[1 2;3 4] k=2它们的积C为：C=kA=[2 4;6 8]3. 转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，得到一个新矩阵。
例如，对于一个2×3的矩阵A：A=[1 2 3;4 5 6]它的转置矩阵B为：B=[1 4;2 5;3 6]矩阵运算在数学和工程领域有广泛的应用，如图像处理、信号处理、控制理论等。
矩阵运算的复杂度取决于矩阵的大小和计算机的性能，因此在实际应用中需要谨慎选择算法和优化矩阵计算过程以提高效率。
矩阵与矩阵的运算
矩阵与矩阵的运算矩阵是现代数学中的一个重要概念，也是线性代数的基础内容之一。
矩阵与矩阵的运算是研究线性代数中的一个重要分支。
本文将介绍矩阵与矩阵的加法、减法、数乘、乘法等运算，并探讨其基本性质。
一、矩阵加法矩阵加法是指两个矩阵对应元素相加的运算。
设有两个m×n矩阵A=(aij)和B=(bij)，它们的和A+B定义为C=(cij)，其中cij=aij+bij。
即C的第i行第j列的元素等于矩阵A和B对应位置的元素相加。
矩阵加法具有如下性质：1. 加法满足交换律，即A+B=B+A。
2. 加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。
3. 存在零矩阵0n×m，对任意矩阵A，有A+0n×m=0n×m+A=A，其中0n×m为全0矩阵。
二、矩阵减法矩阵减法是指两个矩阵对应元素相减的运算。
设有两个m×n矩阵A=(aij)和B=(bij)，它们的差A-B定义为D=(dij)，其中dij=aij-bij。
即D 的第i行第j列的元素等于矩阵A和B对应位置的元素相减。
矩阵减法与加法类似，满足交换律和结合律。
与矩阵加法不同的是，减法没有类似于零矩阵的元素。
三、数乘数乘是指实数与矩阵的相乘运算。
设有实数k和一个m×n矩阵A=(aij)，则k与A的乘积记为kA=(kaij)，即将A的每个元素乘以k。
数乘具有如下性质：1. 结合律，即(kl)A=k(lA)。
2. 数乘满足分配律，即(k+l)A=kA+lA。
3. 数乘满足分配律，即k(A+B)=kA+kB。
4. 数乘满足单位元律，即1A=A。
其中1为实数1。
四、矩阵乘法矩阵乘法是指两个矩阵之间的乘积运算。
设有一个m×n矩阵A=(aij)和一个n×p矩阵B=(bij)，则矩阵A和B的乘积定义为C=(cij)，其中cij=∑(aij×bij)，即C的第i行第j列的元素为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则
矩阵运算的基本运算规则是：相同的矩阵可以相加或相减，矩阵和它的逆矩阵可以相乘。
一、矩阵的加法
矩阵的加法遵循以下规则：
1.两个矩阵必须维数相同，即它们的行和列要相同；
2.将两个矩阵中对应的元素相加，就得到了矩阵的和；
3.若两个矩阵不符合加法规则，不能进行加法运算。
二、矩阵的减法
矩阵的减法也遵循以下规则：
1.两个矩阵必须维数相同，即它们的行和列要相同；
2.将两个矩阵中对应的元素相减，就得到了矩阵的差；
3.若两个矩阵不符合减法规则，不能进行减法运算。
三、矩阵的乘法
矩阵乘法的规则如下：
1.矩阵A的列数，必须等于矩阵B的行数，才能进行乘法运算；
2.矩阵A，B和C的维数必须满足：n×m的A乘以m×p的B，得到n×p的C；
3.将两个矩阵中的元素相乘，再加和，就可以求得C的元素了。
四、矩阵的除法
矩阵除法规则也是：
1.矩阵A，B和C的维数必须满足：n×m的A对m×p的B除以，得到n×p的C；
2.将两个矩阵中的元素相除，就可以求得C的元素了。
3.若两个矩阵不符合除法规则，不能进行除法运算。
以上就是矩阵的运算及其运算规则，矩阵的运算对于深入理解线性代数有着重要的意义。
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源代码:matrix.h:[cpp]view plaincopy1.#ifndef _MATRIX_H2.#define _MATRIX_H3.4.//头文件5.#include <stdio.h>6.#include <stdlib.h>7.8.//矩阵数据结构9.//二维矩阵10.struct _Matrix11.{12.int m;13.int n;14.float *arr;15.};16.17.//矩阵方法18.//设置m19.void matrix_set_m(struct _Matrix *m,int mm);20.//设置n21.void matrix_set_n(struct _Matrix *m,int nn);22.//初始化23.void matrix_init(struct _Matrix *m);24.//释放25.void matrix_free(struct _Matrix *m);26.//读取i,j坐标的数据27.//失败返回-31415,成功返回值28.float matrix_read(struct _Matrix *m,int i,int j);29.//写入i,j坐标的数据30.//失败返回-1,成功返回131.int matrix_write(struct _Matrix *m,int i,int j,float val);32.33.//矩阵运算34.//成功返回1,失败返回-135.int matrix_add(struct _Matrix *A,struct _Matrix *B,struct _Matrix *C);36.//C = A - B37.//成功返回1,失败返回-138.int matrix_subtract(struct _Matrix *A,struct _Matrix *B,struct _Matrix *C);39.//C = A * B40.//成功返回1,失败返回-141.int matrix_multiply(struct _Matrix *A,struct _Matrix *B,struct _Matrix *C);42.//行列式的值,只能计算2 * 2,3 * 343.//失败返回-31415,成功返回值44.float matrix_det(struct _Matrix *A);45.//求转置矩阵,B = AT46.//成功返回1,失败返回-147.int matrix_transpos(struct _Matrix *A,struct _Matrix *B);48.//求逆矩阵,B = A^(-1)49.//成功返回1,失败返回-150.int matrix_inverse(struct _Matrix *A,struct _Matrix *B);51.52.#endifmatrix.c:[cpp]view plaincopy1.#include "matrix.h"2.3.//矩阵方法4.//设置m5.void matrix_set_m(struct _Matrix *m,int mm)6.{7. m->m = mm;8.}9.10.//设置n11.void matrix_set_n(struct _Matrix *m,int nn)12.{13. m->n = nn;14.}15.16.//初始化17.void matrix_init(struct _Matrix *m)18.{19. m->arr = (float *)malloc(m->m * m->n * sizeof(float));20.}21.22.//释放23.void matrix_free(struct _Matrix *m)24.{25. free(m->arr);26.}27.28.//读取i,j坐标的数据29.//失败返回-31415,成功返回值30.float matrix_read(struct _Matrix *m,int i,int j)31.{32.if (i >= m->m || j >= m->n)33. {34.return -31415;35. }36.37.return *(m->arr + i * m->n + j);38.}39.40.//写入i,j坐标的数据41.//失败返回-1,成功返回142.int matrix_write(struct _Matrix *m,int i,int j,float val)43.{44.if (i >= m->m || j >= m->n)45. {46.return -1;47. }48.49. *(m->arr + i * m->n + j) = val;50.return 1;51.}52.53.//矩阵运算54.//成功返回1,失败返回-155.int matrix_add(struct _Matrix *A,struct _Matrix *B,struct _Matrix *C)56.{57.int i = 0;58.int j = 0;59.60.//判断是否可以运算61.if (A->m != B->m || A->n != B->n || \62. A->m != C->m || A->n != C->n)63. {64.return -1;65. }66.//运算67.for (i = 0;i < C->m;i++)68. {69.for (j = 0;j < C->n;j++)70. {71. matrix_write(C,i,j,matrix_read(A,i,j) + matrix_read(B,i,j));72. }73. }74.75.return 1;76.}77.78.//C = A - B79.//成功返回1,失败返回-180.int matrix_subtract(struct _Matrix *A,struct _Matrix *B,struct _Matrix *C)81.{82.int i = 0;83.int j = 0;84.85.//判断是否可以运算86.if (A->m != B->m || A->n != B->n || \87. A->m != C->m || A->n != C->n)88. {89.return -1;90. }91.//运算92.for (i = 0;i < C->m;i++)93. {94.for (j = 0;j < C->n;j++)95. {96. matrix_write(C,i,j,matrix_read(A,i,j) - matrix_read(B,i,j));97. }98. }99.100.return 1;101.}102.103.//C = A * B104.//成功返回1,失败返回-1105.int matrix_multiply(struct _Matrix *A,struct _Matrix *B,struct _Matrix *C) 106.{107.int i = 0;108.int j = 0;109.int k = 0;110.float temp = 0;111.112.//判断是否可以运算113.if (A->m != C->m || B->n != C->n || \114. A->n != B->m)115. {116.return -1;117. }118.//运算119.for (i = 0;i < C->m;i++)120. {121.for (j = 0;j < C->n;j++)122. {123. temp = 0;124.for (k = 0;k < A->n;k++)125. {126. temp += matrix_read(A,i,k) * matrix_read(B,k,j); 127. }128. matrix_write(C,i,j,temp);129. }130. }131.132.return 1;133.}134.135.//行列式的值,只能计算2 * 2,3 * 3136.//失败返回-31415,成功返回值137.float matrix_det(struct _Matrix *A)138.{139.float value = 0;140.141.//判断是否可以运算142.if (A->m != A->n || (A->m != 2 && A->m != 3))143. {144.return -31415;145. }146.//运算147.if (A->m == 2)148. {149. value = matrix_read(A,0,0) * matrix_read(A,1,1) - matrix_read(A,0,1 ) * matrix_read(A,1,0);150. }151.else152. {153. value = matrix_read(A,0,0) * matrix_read(A,1,1) * matrix_read(A,2,2 ) + \154. matrix_read(A,0,1) * matrix_read(A,1,2) * matrix_read(A,2,0 ) + \155. matrix_read(A,0,2) * matrix_read(A,1,0) * matrix_read(A,2,1 ) - \156. matrix_read(A,0,0) * matrix_read(A,1,2) * matrix_read(A,2,1 ) - \157. matrix_read(A,0,1) * matrix_read(A,1,0) * matrix_read(A,2,2 ) - \158. matrix_read(A,0,2) * matrix_read(A,1,1) * matrix_read(A,2,0 );159. }160.161.return value;162.}163.164.//求转置矩阵,B = AT165.//成功返回1,失败返回-1166.int matrix_transpos(struct _Matrix *A,struct _Matrix *B)167.{168.int i = 0;169.int j = 0;170.171.//判断是否可以运算172.if (A->m != B->n || A->n != B->m)173. {174.return -1;175. }176.//运算177.for (i = 0;i < B->m;i++)178. {179.for (j = 0;j < B->n;j++)180. {181. matrix_write(B,i,j,matrix_read(A,j,i));182. }183. }184.185.return 1;186.}187.188.//求逆矩阵,B = A^(-1)189.//成功返回1,失败返回-1190.int matrix_inverse(struct _Matrix *A,struct _Matrix *B)191.{192.int i = 0;193.int j = 0;194.int k = 0;195.struct _Matrix m;196.float temp = 0;197.float b = 0;198.199.//判断是否可以运算200.if (A->m != A->n || B->m != B->n || A->m != B->m) 201. {202.return -1;203. }204.205./*206. //如果是2维或者3维求行列式判断是否可逆207. if (A->m == 2 || A->m == 3)208. {209. if (det(A) == 0)210. {211. return -1;212. }213. }214. */215.216.//增广矩阵m = A | B初始化217. matrix_set_m(&m,A->m);218. matrix_set_n(&m,2 * A->m);219. matrix_init(&m);220.for (i = 0;i < m.m;i++)221. {222.for (j = 0;j < m.n;j++)223. {224.if (j <= A->n - 1)225. {226. matrix_write(&m,i,j,matrix_read(A,i,j)); 227. }228.else229. {230.if (i == j - A->n)231. {232. matrix_write(&m,i,j,1);233. }234.else235. {236. matrix_write(&m,i,j,0);237. }238. }239. }240. }241.242.//高斯消元243.//变换下三角244.for (k = 0;k < m.m - 1;k++)245. {246.//如果坐标为k,k的数为0,则行变换247.if (matrix_read(&m,k,k) == 0)248. {249.for (i = k + 1;i < m.m;i++)250. {251.if (matrix_read(&m,i,k) != 0)252. {253.break;254. }255. }256.if (i >= m.m)257. {258.return -1;259. }260.else261. {262.//交换行263.for (j = 0;j < m.n;j++)264. {265. temp = matrix_read(&m,k,j);266. matrix_write(&m,k,j,matrix_read(&m,k + 1,j)); 267. matrix_write(&m,k + 1,j,temp);268. }269. }270. }271.272.//消元273.for (i = k + 1;i < m.m;i++)274. {275.//获得倍数276. b = matrix_read(&m,i,k) / matrix_read(&m,k,k); 277.//行变换278.for (j = 0;j < m.n;j++)279. {280. temp = matrix_read(&m,i,j) - b * matrix_read(&m,k,j); 281. matrix_write(&m,i,j,temp);282. }283. }284. }285.//变换上三角286.for (k = m.m - 1;k > 0;k--)287. {288.//如果坐标为k,k的数为0,则行变换289.if (matrix_read(&m,k,k) == 0)290. {291.for (i = k + 1;i < m.m;i++)292. {293.if (matrix_read(&m,i,k) != 0)294. {295.break;296. }297. }298.if (i >= m.m)299. {300.return -1;301. }302.else303. {304.//交换行305.for (j = 0;j < m.n;j++)306. {307. temp = matrix_read(&m,k,j);308. matrix_write(&m,k,j,matrix_read(&m,k + 1,j)); 309. matrix_write(&m,k + 1,j,temp);310. }311. }312. }313.314.//消元315.for (i = k - 1;i >= 0;i--)316. {317.//获得倍数318. b = matrix_read(&m,i,k) / matrix_read(&m,k,k);319.//行变换320.for (j = 0;j < m.n;j++)321. {322. temp = matrix_read(&m,i,j) - b * matrix_read(&m,k,j);323. matrix_write(&m,i,j,temp);324. }325. }326. }327.//将左边方阵化为单位矩阵328.for (i = 0;i < m.m;i++)329. {330.if (matrix_read(&m,i,i) != 1)331. {332.//获得倍数333. b = 1 / matrix_read(&m,i,i);334.//行变换335.for (j = 0;j < m.n;j++)336. {337. temp = matrix_read(&m,i,j) * b;338. matrix_write(&m,i,j,temp);339. }340. }341. }342.//求得逆矩阵343.for (i = 0;i < B->m;i++)344. {345.for (j = 0;j < B->m;j++)346. {347. matrix_write(B,i,j,matrix_read(&m,i,j + m.m));348. }349. }350.//释放增广矩阵351. matrix_free(&m);352.353.return 1;354.}main.c:(测试代码)[cpp]view plaincopy1.#include <stdio.h>2.#include "matrix.h"3.4.//打印2维矩阵5.void printf_matrix(struct _Matrix *A)6.{7.int i = 0;8.int j = 0;9.int m = 0;10.int n = 0;11.12. m = A->m;13. n = A->n;14.for (i = 0;i < m;i++)15. {16.for (j = 0;j < n;j++)17. {18. printf("%f\t",matrix_read(A,i,j));19. }20. printf("\n");21. }22.}23.24.int main()25.{26.int i = 0;27.int j = 0;28.int k = 0;29.struct _Matrix m1;30.struct _Matrix m2;31.struct _Matrix m3;32.33.//初始化内存34. matrix_set_m(&m1,3);35. matrix_set_n(&m1,3);36. matrix_init(&m1);37. matrix_set_m(&m2,3);38. matrix_set_n(&m2,3);39. matrix_init(&m2);40. matrix_set_m(&m3,3);41. matrix_set_n(&m3,3);42. matrix_init(&m3);43.44.//初始化数据45. k = 1;46.for (i = 0;i < m1.m;i++)47. {48.for (j = 0;j < m1.n;j++)49. {50. matrix_write(&m1,i,j,k++);51. }53.54.for (i = 0;i < m2.m;i++)55. {56.for (j = 0;j < m2.n;j++)57. {58. matrix_write(&m2,i,j,k++);59. }60. }61.62.//原数据63. printf("A:\n");64. printf_matrix(&m1);65. printf("B:\n");66. printf_matrix(&m2);67.68. printf("A:行列式的值%f\n",matrix_det(&m1));69.70.//C = A + B71.if (matrix_add(&m1,&m2,&m3) > 0)72. {73. printf("C = A + B:\n");74. printf_matrix(&m3);75. }76.77.//C = A - B78.if (matrix_subtract(&m1,&m2,&m3) > 0)79. {80. printf("C = A - B:\n");81. printf_matrix(&m3);82. }83.84.//C = A * B85.if (matrix_multiply(&m1,&m2,&m3) > 0)86. {87. printf("C = A * B:\n");88. printf_matrix(&m3);89. }90.91.//C = AT92.if (matrix_transpos(&m1,&m3) > 0)93. {94. printf("C = AT:\n");95. printf_matrix(&m3);97.98.if (matrix_inverse(&m1,&m3) > 0)99. {100. printf("C = A^(-1):\n"); 101. printf_matrix(&m3);102. }103.104. getchar();105.return 0;106.}。