1.1.2导数的概念
§1.1.2导数的概念
＝ lim Δ x→ 0
f（x0－Δx）－f（x0） －Δx
或
f
′(x0)＝
lim
x x0
f（x）x－－fx（0 x0）.
§1.1.2 导数的概念
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导
数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
思考：已知物体作变速直线运动，其运动方程
为s＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物体在
t0 时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0，在时刻
2、把分式化简后令△x=0（一般分母中不含△x）， 所求之值就是函数y=f(x)在x=xo处的导数。
例1、已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
定义法,
Δy Δx
―Δx―→→0
极限
―→
导数
解：(1)因为ΔΔyx＝f1＋ΔΔxx－f1
探究三、求函数y=f(x)在x=xo处的导数步骤：
1.求函数增量： Dy f ( x0 Dx) f ( x0 )
2.算比值（平均变化率）：Dy f ( x0 Dx) f ( x0 )
Dx
Dx
3.取极限：
简记为：一差、二比、三极限
注意：1、取极限前，要注意化简Δy，保证使Δx→0 时，分母不为 0. Δx
2.求运动物体瞬时速度的三个步骤 第一步：求时间改变量Δt 和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度 v ＝Δs；
Δt 第三步：求瞬时速度，当Δt 无限趋近于:
人教新课标A版高二数学《选修2-2》1.1.2 导数的概念
＝
Δt
65 ht0＋Δt－ht0 －4.9 ＋Δt＋6.5＝0 ∴Δ lim ＝Δ lim → t→0 t 0 Δt 49
65 即运动员在 t0＝98 s 时的瞬时速度为 0 m/s. 说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．
点评：运动物体瞬时速度问题实际上是函数平均变化率在物理知识上 的一个深入的应用．事实上，瞬时速度就是位移函数相对于时间的瞬 Δs 时 变 化 率 ． 这 里 需 强 调 的 是 ： 依 题 意 在 求 完 平 均 变 化 率 Δt ＝ st0＋Δt－st0 Δs Δs 后需对 求极限，只有当 Δ lim 为一个常数时，此常数 → t 0 Δt Δt Δt 才称为物体在 t＝t0 时的瞬时速度．
Δy 点评： 的最终结果要先化简约分，再令 Δx＝0 代入求出导数值． Δx
变式探究 2
若函数 y＝x ＋ax 在 x＝2 处的导数为 8，求 a 的值．
2
f2＋Δx－f2 解：f′(2)＝Δ lim x→0 Δx 2＋Δx ＋a2＋Δx－2 ＋2a ＝Δ lim x→0 Δx ＝Δ lim (Δx＋4＋a) x→0 ＝4＋a. 由题意知 f′(2)＝8， ∴4＋a＝8. 解得 a＝4.
【答案】C
知识讲解： 1.了解导数的概念需注意 (1)Δx 是自变量 x 在 x0 处的改变量， 所以 Δx 可正、 可负， 但不能为零． 当 Δx＞0(或 Δx＜0)时， Δx→0 表示 x0＋Δx 从右边(或从左边)趋近于 x0， Δy 是相应函数的改变量，Δy 可正、可负，也可以为零． (2)导数是一个局部概念，它只与函数 y＝f(x)在 x＝x0 处及其附近的函 数值有关，与 Δx 无关． fx0＋Δx－fx0 (3)f′(x0)是一个常数，即当 Δx→0 时，存在一个常数与 Δx Δy 无限接近．如果当 Δx→0 时，Δ lim 不存在，则称函数 f ( x ) 在 x ＝ x 处 0 → x 0Δx 不可导．
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.2 导数的概念同步课件 新人教A版选
(3)求极限，得导数 f′(x0)＝
Δy Δx.
[变式训练] (1)设 f(x)＝ax3＋2，若 f′(－1)＝3，则 a ＝( )
A．－1 B.12 C．1 D.13 (2)求函数 y＝x42在 x＝2 处的导数． (1)解析： 因为 f′(－1)＝ f（－1＋ΔxΔ）x－f（－1）＝
a（ΔxΔ－x1）3＋a＝3a，所以 3a＝3，解得 a＝1. 答案：C
两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.在求解此类问题时要
严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
[正确解答] 因为
f（x0－3ΔΔx）x －f（x0）＝
[f（x0－3－Δx3） Δ－ x f（x0）·(－3)]＝－3f′(x0)＝1，
所以 f′(x0)＝－13.
归纳升华 根据已知条件，利用导数定义求函数 y＝f(x)在某一 点 x0 处的导数，关键是牢记导数定义利用已知条件拼凑 出导数定义的形式，从而得到 f′(x0)．
所以
ΔΔst＝
12Δt＋2＝2.
答案：A
类型 2 利用导数的定义求导数
[典例 2] (1)求函数 y＝3x2 在 x＝1 处的导数； (2)求函数 f(x)＝x－1x在 x＝1 处的导数． 解：(1)因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6 Δx＋3(Δx)2， 所以ΔΔxy＝6＋3Δx，
1．瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的 路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率f（t0＋ΔtΔ）t－f（t0） 趋近于常数，
我们就把这个常数叫做 t0 时刻的瞬时速度．即 v＝
．故瞬时速度就是位移函数对时 间的瞬时变化率．
1.1.2导数的概念
例3．火箭竖直向上发射，熄火时向上的 ．火箭竖直向上发射， 速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火 速度达到 ， 箭向上的速度为0？ 箭向上的速度为 ？
按规律s(t)=at2+1作直线运动， 作直线运动， 例4．质点 按规律 ．质点M按规律 作直线运动 若质点M在 时的瞬时速度为 时的瞬时速度为8m/s，求常 若质点 在t=2时的瞬时速度为 ， 的值。 数a的值。 的值 解：因为△s=a(t+△t)2+1－(at2+1) 因为△ △ － =2at△t+a(△t)2， △ △ 所以
2
∆s 25∆t + 3(∆t ) = lim(25 + 3∆t ) = 25 析：v = lim = lim ∆x →0 ∆t ∆x →0 ∆x →0 ∆t
2
1 1 2 E = mv = ×10 × 252 = 3125( J ) 2 2
1 2 火箭的运动方程为h(t)=100t－ gt ， 解：火箭的运动方程为 － 2 在t附近的平均变化率为 附近的平均变化率为 1 1 2 2 [100(t + ∆t ) − g(t + ∆t ) ] −[100t − gt ] 1 2 2 － － △ =100－gt－ g△t 2 ∆t 当△t→0时，上式趋近于 －gt。 时 上式趋近于100－ 。 可见t时刻的瞬时速度 时刻的瞬时速度h’(t)=100－gt。 可见 时刻的瞬时速度 － 。 100 100 ≈ ≈ 10.2( s ) 令h’(t)=100－gt=0，解得 t = － ， g 9.8 所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为 向上的速度变为0. 所以火箭熄火后约 向上的速度变为
∆ =[ 1 x +2 −( +2 =2 x+(∆ ) f ( +∆ ) ] 1 ) ∆ x
课件4：1.1.2导数的概念
(3)ΔS＝S(0.5)－S(0) ＝3×0.5－0.52－0＝1.25， Δt＝0.5－0＝0.5. ∴－v ＝ΔΔSt ＝10.2.55＝2.5. ∴从 t＝0 到 t＝0.5 的平均速度为 2.5.
(4)物体在 t＝0 的平均变化率
ΔΔSt ＝SΔtΔ－t S0＝3×ΔtΔ－t Δt2＝3－Δt.
∴lim
Δt→0
ΔΔSt ＝Δlit→m0
(3－Δt)＝3.
即物体在 t＝0 的瞬时速度为 3.
[规律技巧] 物体在 t＝0 时的瞬时速度也叫做物体的初 速度，当 t＝0 时，初速度 v0 不一定为 0.
【变式训练1】 求函数y＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上
的平均变化率，并分别求函数在x0＝1,2,3，附近Δx取
(3)取极限，得导数：f′(x0)＝ lim Δx→0
Δy Δx.
典例剖析
题型一 平均变化率与瞬时速度 【例1】 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S ＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度； (3)求t＝0到t＝0.5的平均速度； (4)求在t＝0时的瞬时速度．
当这段时间很短，即 Δt 很小时，这个平均速度就接近时
刻 t0 的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻 t0 的速度，当 Δt→0
时，这个平均速度的极限
v＝lim Δt→0
ΔΔSt ＝Δlit→m0
St0＋ΔΔtt－St0就
是物体在时刻 t0 的速度即为________．
3．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 lim Δx→0
当 x0＝2，Δx＝12时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为 k2 ＝6×2＋3×0.5＝13.5；
1.1.2导数的概念
,
1 运动员在这段时间里是 静止的吗 ? 2你认为用平均速 度描述 运动员运 动状态有什么问
题吗 ? 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段 时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状 态。
思考：什么是瞬时速度呢？如何求瞬时速度呢？
1 运动员在这段时间里是静止的吗 ? 2 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
状态有什么问题吗 ?
h t2 h t1 h v t t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 65 的图像，结合图形可知， h( ) h(0) ， 49 所以， h
例 2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原 油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f x x 2 7 x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f ' 2
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得:
__
s
v 2.005g 20.05m / s.
从而平均速度 v 的极限为：
__
__
( 3)当t 0,2 t 2,
s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t
s
65 探究 : 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度 49 并思考下面的问题 :
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051 当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
人教a版数学【选修2-2】1.1.2《导数的概念》ppt课件
常数 叫做t0时刻的瞬时速度．即 常数 ，我们就把这个______ 于______
st0＋Δt－st0 Δs lim Δt Δt→0 v＝ lim ＝ ______________________. → Δt
Δt 0
故瞬时速度就是运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的 单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为( ) A．3m/s B．2m/s C．1m/s D．0m/s [答案] D
Δx 0
典例探究学案
瞬时速度
1 2 已知自由落体的运动方程为s＝2gt ，求： (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； (2)落体在t0时的瞬时速度； (3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度； (4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．
[分析] 平均速度 v 即平均变化率，而瞬时速度即是平均 速度 v 在Δt→0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出 平均速度，再求 v 当Δt→0时的极限值．
)
f1＋Δx－f1 1 1 [解析] 原式＝3 lim ＝3f ′(1)． Δx Δx→0
4．(2013· 揭阳一中段考)若f(x)＝x3，f ′(x0)＝3，则x0的值 为( ) A．1 C．± 1 [答案] C B．－1 D．3 3
fx0＋Δx－fx0 [解析] ∵f ′(x0)＝ lim Δx Δx→0 x0＋Δx3－x3 0 ＝ lim Δx Δx→0
3．对导数定义的理解要注意： 第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但 Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0； 第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自 变量改变量之___的极限．因此，它是一个常数而不是变量 ； 比
第1章 1.1.2 瞬时变化率——导数
1.1.2 瞬时变化率——导数1．结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点)2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点)3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点)[基础·初探]教材整理1 曲线上一点处的切线阅读教材P8～P9“例1”以上部分，完成下列问题．设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q 沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P 时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P 处的切线．判断正误：(1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．( )【答案】 (1)× (2)×教材整理2 瞬时速度与瞬时加速度阅读教材P11～P12，完成下列问题．(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．1．判断正误：(1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负但不能为零．( )(2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( )【答案】 (1)√ (2)×2．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为________．【解析】 ＝＝18＋3 ”t，当Δt→0时，＝18＋3×0＝18.∴质点A在t＝3时的瞬时速度为18.【答案】 18教材整理3 导数阅读教材P13～P14，完成下列问题．1．函数在一点处的导数及其几何意义(1)导数设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．(2)导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．1．判断正误：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．( )(3)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．( )(4)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在．( )【解析】 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．已知f(x)＝2x＋5，则f(x)在x＝2处的导数为________．【解析】 ”y＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2 ”x，∴＝2，∴f′(2)＝2.【答案】 23．函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，若P点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________.【解析】 由导数的几何意义，f′(4)＝－2.又f(4)＝－2×4＋9＝1.故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1.【答案】 －1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型]求瞬时速度、瞬时加速度 (1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是__________．【精彩点拨】 先求出，再求瞬时速度．【自主解答】 (1)∵”s＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0”t－gt0”t－g( ”t)2，∴＝v0－gt0－g”t，∴当Δt→0时，→v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋( ”t)3＋3 ”t＋3( ”t)2]－2＝2＋2( ”t)3＋6 ”t＋6( ”t)2－2＝2( ”t)3＋6( ”t)2＋6 ”t，∴＝＝2( ”t)2＋6 ”t＋6，∴当Δt→0时，→6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.【答案】 (1)v0－gt0 (2)6求运动物体瞬时速度的三个步骤：(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度＝；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．[再练一题]1．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度.【导学号：01580003】【解】 (1)＝＝＝(3－Δt)，当Δt→0时，3－Δt→3即物体的初速度为3 m/s.(2)＝＝＝＝－Δt－1，当Δt→0时，－Δt－1→－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反．(3)＝＝＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.求函数在某点处的导数 求函数y＝在x＝2处的导数．【精彩点拨】 求Δy→计算→当Δx→0，得导数【自主解答】 令f(x)＝，则Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－1＝，∴＝，当Δx→0时，→－1，∴函数y＝在x＝2处的导数为－1.由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3) ”x→0，得导数f′(x0)．[再练一题]2．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．【解】 ∵”y＝(1＋Δx)－－＝”x＋1－＝Δx＋，∴＝＝1＋，当Δx→0时，1＋→2∴函数在x＝1处的导数等于2.[探究共研型]导数的几何意义及其应用探究10P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？【提示】 根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．探究2 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点．【提示】 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．探究3 函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系．【提示】 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值． 已知曲线f(x)＝.(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．【精彩点拨】 (1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程．【自主解答】 (1)＝＝，当Δx→0时，→－.设过点A(1,0)的切线的切点为P，①则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.因为点A(1,0)，P在切线上，所以＝－，②解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.(2)设斜率为－的切线的切点为Q，由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.所以切点坐标为或.故满足斜率为－的曲线的切线方程为y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．[再练一题]3．已知抛物线y＝2x2，则抛物线在点(1,2)处的切线方程为________.【导学号：01580004】【解析】 因为＝＝＝4＋2 ”x，当Δx→0时，4＋2 ”x→4，所以f′(1)＝4.所以切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.【答案】 4x－y－2＝0[构建·体系]1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是________．【解析】 ∵＝＝5＋Δt，∴”t→0，＝(5＋Δt)→5(m/s)．【答案】 5 m/s2．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.【解析】 因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4a”t＋a( ”t)2，所以＝4a＋a”t，故当t＝2时，瞬时速度为Δt→0时→4a，所以4a＝8，所以a＝2.【答案】 23．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．【解析】 ＝＝＝，令Δx→0时，→－.∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.【答案】 x＋2y＋4＝04．已知f′(1)＝－2，则当Δx→0时，→________.【解析】 ＝2·当Δx→0时，→f′(1)，∴2·→2f′(1)＝2×(－2)＝－4.【答案】 －45．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．【解】 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx→0时，2a＋Δx→2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所以所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
导数知识点总结大全
导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。
导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。
导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。
1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。
对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。
对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。
类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。
因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。
1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。
它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。
二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。
如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。
对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。
2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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导数的概念本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。
2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验;5．通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法;2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：复习准备理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．体会模型感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．应用概念理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．小结作业通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计5分钟1．复习准备设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系,感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．（2)提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？(3）高台跳水的例子中，在时间段]4965,0[里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态。
《导数的概念》教学设计
《导数的概念》教学设计一、教材分析《导数的概念》是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2》（人教A版）第一章1.1.2的内容，是在学生学习了变化率的内容后，通过实例探究，从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，并抽象概括出导数的概念。
它为即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的奠定了基础，更是我们研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化等问题的有力工具。
教学重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵。
教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，可以通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点。
二、学习目标1.知识与技能目标①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.2.过程与方法目标3.情感、态度与价值观目标①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度.②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观.三、教学程序（一）创设情境，引入新课[课件投影]播放一段视频林跃在2022年北京奥运会10米跳台夺冠的视频，给出一个思考题：假如在比赛过程中，林跃相对水面的高度h（m）与起跳后的时间t（）存在这样一个函数关系：.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）林跃在这段时间里是静止的吗？（2）你認为用平均速度来描述他的运动状态有什么问题吗？[设计意图]林跃是和我们的学生年纪相仿的国家优秀运动员，他夺冠的经历无疑能让我们的学生感到振奋，这无形中激发了学生的爱国热情。
更重要的是，以此实例能激发学生求知的欲望，从而使学生从“要我学”变成了“我要学”。
通过数值与现实矛盾的产生，使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
[设计意图]通过引导使学生进一步体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力，通过亲自动手算、动脑思，让学生初步感受到逼近的趋势。
最新1.1.2导数的概念
1.1.2导数的概念选修2－2导学案（2）§1．1．2导数的概念学习目标与要求：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数。
自主学习过程：一、复习与思考：1、函数平均变化率的定义是什么？它有什么几何意义或物理意义？2、已知一物体的运动规律是«Skip Record If...»，如何求该物体在某一时刻的速度？二、学习探究：探究一：瞬时速度：问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，在上节课的高台跳水问题中，对于«Skip Record If...»来说，当«Skip Record If...»趋近于0时，平均速度«Skip Record If...»有什么样的变化趋势？运动员在«Skip Record If...»时的瞬时速度是多少？参考教材，你能用一个适当的式子表示运动员在«Skip Record If...»时的瞬时速度吗？思考1：运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？思考2：函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？探究二：导数的定义：问题2：运动物体的瞬时速度是平均速度«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»趋近于0时的。
新知：导数的定义：一般地，函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的瞬时变化率是«Skip Record If...»，我们称它为函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数，记作«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»= «Skip Record If...»。
导数的概念及几何意义
（1）求物体在时间区间[t0 , t0 t] 上所经过的路程 :
S S(t0 t) S(t0 ) ，
（2）求物体在时间区间[t0 , t0 t] 上的平均速度:
v S S(t0 t) S(t0 ) ，
t
t
（3）求 t0
时刻 的速度: v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
S(t0
x0 点的导数，记作
f ( x0 ) ，或 y xx0
，
或 dy dx
x x0
，即
f ( x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f ( x0 )
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
x x0
7
1.1 导数的概念与导数的几何意义
若极限 lim y 不存在，则称函数 f x0 x
f( x0 )
lim
x0
y x
lim x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
lim f ( x) f ( x0 ) ；
x x0
x x0
9
1.1 导数的概念与导数的几何意义
若极限 lim y 存在，则称此极限为 f ( x) 在 x0 x
点 x0 处的右导数，记为 f( x0 ) ，即
f (t) f ( x0 ) 。 t x0
（2）由导数定义可得， v(t0 ) s(t0 ) （导数的物理意义）；
k f ( x0 ) （导数的几何意义）；
8
1.1 导数的概念与导数的几何意义
（2）单侧导数
定义 2 若极限 lim y 存在，则称此极限为 f ( x) x0 x
导数的概念
求函数y=x2在x=1处的导数 处的导数; 例2:(1)求函数 求函数 处的导数 (2)求函数 求函数y=x+1/x在x=2处的导数 处的导数. 求函数 在 处的导数
速度v就无限趋近于t = 时的瞬时速度.因此, 运动 员在t = 时的瞬时速度是 − . m / s. h ( 2 + ∆t ) − h ( 2 ) 为了表述方便, 我们用 lim = −13.1 ∆t →0 ∆t 表示 Байду номын сангаас当t = 2, ∆t 趋势处于0时, 平均速度 v 趋处于确
处的 − 13.1".
y |x= x0 表示函数 y关于自变量x在x0处的导数.
'
注意
lim （1） ∆x 为平均变化率，加上符号 ∆x →0 表示 ∆x 趋于 0，则 ） 为平均变化率， ，
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y f ( x0 ) = lim = lim . ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆y
h(t ) = −4.9t 2 + 6.5t + 10 ∆ h h (2) − h (2 + ∆ t ) ∆ t < 0时 ， = v = = −4.9∆t − 13.1 ? ∆t 2 − (2 + ∆ t ) 通过表格中的数据观察， 趋于0时 通过表格中的数据观察h，当△t趋于 时，平 趋于 ∆ h h (2 + ∆ t ) − (2) ∆ t > 0时 ， = v = = −4.9∆t − 13.1 均速度处什么样的变化趋势？ 均速度处什么样的变化趋势？ ? ∆t (2 + ∆ t ) − 2
h(t ) = −4.9t + 6.5t + 10
五年级【数学】1.1.2《导数的概念》课件(人教A版选修2-2)---初版
t 0
t
lim 4.9(t)2 (9.8t0 6.5)t
t 0
t
lim (4.9t
t 0
9.8t0
6.5)
9.8t0 6.5
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 Δx) f (x0 ) f
x 0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0 )
)
x
lim
x0
f x
.
x
一差、二化、三极限
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单
位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
课堂练习:
如果质点A按规律 s 2t3 则在t=3s
时的瞬时速度为
A.6
B.18
C.54 D.81
练习：
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说 明它们的意义.
f (2)和 f (6).
根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x)2 7x x 3
1.1.2-1导数的概念
f ( x0 + V x ) - f ( x 0 ) lim V x® 0 Vx
数学上, 函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 叫做函数f(x)在x＝x0处导数, 记作 f ( x0 ) 或 y ' x=x 0
Vy f ( x0 + V x ) - f ( x 0 ) = lim ( x0 ) y ' x=x = lim 即f¢ V x® 0 V x 0 V x® 0 Vx
13.1
表示“当t=2, △t趋近于0时, 平均速度v趋近于定值－13.1”
h(2 t ) h(2) 当△t趋近于0 (3)运动员在某一时刻 ?时的极限. 我们称定值－ 13.1是 t0的瞬时速度如何表示 t h2 tt t0 t hh 2 0 lim 13.1 瞬时速度: t 0 tt 思考: (1)如何求瞬时速度? 先求平均速, 然后取极限, 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值. (2) lim是什么意思? 在其下面的条件下求右面的极限值.
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是: (1)求函数增量: y f ( x0 x ) f ( x0 );
f ( x 0 x ) f ( x0 ) y (2)求平均变化率: ; 2.函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率怎么表示 x x ? 3x Δ x) － Δ x0 ) f ( x0 + V x ) - ＋ f( (3)取极限,得导数 lim : V x® 0 Vx － Δ x 3Δ x 数学上, 函数f一差、二比、三极限 (x)在x＝x0处的瞬时变化率
三. 典例分析 题型二: 求函数在某处的导数 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=－x2＋x在x=－1附近的平均变化率, 并求出在该点处的导数. (3)质点运动规律为s=t2＋3,求质点在t=3的瞬时速度.