2019大连市二模测试卷数学(文科)试题及参考答案(请用含公式编辑器的电脑打开文件).doc

2019年大连市高三第二次模拟测试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1.C2.A3.B4.D5.C6.D7.A8.B9.C 10.B 11.D 12.A 二．填空题13.3π14.2 15.21n -16.,33⎡-⎢⎣⎦三．解答题17. 解：（Ⅰ）()cos cos cos cos f x x x x x x x x =ωω-ω++ω=ω-+=ω-ω21212122212222sin x π⎛⎫=ω- ⎪⎝⎭26……………………………………4分又因为x x -21的最小值为π2，所以22T π=,即22T ππω==，所以1ω=，即()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭……………………………6分（Ⅱ）123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………7分()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以5sin 13β=，…………………8分 又因为,(,)παβ∈02 所以412sin ,cos 513αβ==，…………………10分所以()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ-=+=⨯+⨯=.…………………12分18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图易知：07080x <<，所以()00.01100.015100.02100.03700.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=解得021571.73x =≈∴40名学生的测验成绩的中位数为71.7 ……………6分2240(164146)30102218χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯400.135 6.635297=≈<.……………10分 故没有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关. ………12分19.（Ⅰ）证明：取AB 中点M ,连接CM MD ，,有//MD AB 1,因为AC=BC ，所以CM AB ⊥,又因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以ABC ABB A ⊥11平面平面, 又因为=ABCABB A AB 11平面平面,所以CM ABB A ⊥11平面，……………2分 又因为11DE ABB A ⊂平面 所以CM DE ⊥又因为,DE CD CD MD D ⊥=,CD ⊂平面CMD ,CM ⊂平面CMD , 所以DE CMD ⊥平面，又因为MD ⊂平面CMD , 所以DE MD ⊥, 因为//MD AB 1，所以DE AB ⊥1,……………4分 连接A B 1,设A BAB O =11，因为ABB A 11为正方形，所以A B AB ⊥11,又因为,,DE AA B B A B AA B B ⊂⊂平面平面11111 所以//DE A B 1,又因为D 为BB 1的中点， 所以E 为OB 1的中点, 所以EB AB =1114.……………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）可知CDM ∠=45, 因为AB =2,所以AB =1所以DM CM ==……………7分可求得,C D CD DE C E ====1122,由余弦定理可得cos C ED ∠=1,所以sin C ED ∠=1所以C ED S ∆=112,……………8分连接CE ,连接AD ,在三棱锥1C C ED -及三棱锥1A CC D -中，因为C C ED E CC D A CC D ABC A B C V V V V ----====⨯⨯=1111111111224121226,……………11分 点C 到平面EDC 1的距离为h ，又C C ED C ED V hS -∆=111，所以h =C到平面EDC 1.……………12分20.解：（Ⅰ）焦点到准线的距离为2，即2p =.……………3分 （Ⅱ）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=……………4分 设()11,A x y ，()22,B x y ，()21111:42x x l y x x -=- ()22222:42x x l y x x -=-由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =-……………6分设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx m x y=+⎧⎨=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，12124,44x x k x x m +==-=-，所以1m =……………7分即:1l y kx =+ 联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得21x ky =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k -……………8分M 点到直线l的距离d ==……………9分()241AB k ==+……………10分所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥……………11分 当0k =时，MAB ∆面积取得最小值4. ……………12分21.解：（Ⅰ）因为x ax x f ln 212)('--=，且1=x 是极值点， 所以0212)1('=-=a f ，所以41=a .……………1分此时x x x f ln 212)('--=，设)(')(x f x g =，则xx x x g 22121)('-=-=.则当20<<x 时，0)('<x g ，)(x g 为减函数. 又()g =10,02ln 21)2(<-=g ， 所以在10<<x 时，0)(>x g ，)(x f 为增函数；21<<x 时，0)(<x g ，)(x f 为减函数.所以x =1为)(x f 的极大值点，符合题意. ……………4分 （Ⅱ）当2>x 时，0)('>x g ，)(x g 为增函数，且02ln 223)4(>-=g ，()g <20 所以存在(),x x ∈=（）,00240g 当02x x <<时，0)(<x g ，)(x f 为减函数；x x >0时，0)(>x g ，)(x f 为增函数，所以函数)(x f 存在唯一的极小值点0x .……………6分又03ln 1)3(<-=g ，所以430<<x ，……………8分且满足0ln 21200=--x x . 所以)430(4ln 24)(020000200，∈+-=-+=x x x x x x x f .……………12分 (其中0)(0>x f 也可以用如下方式证明：)ln 214(ln 241)(2x x x x x x x x f -+=-+=，设x x x h ln 214)(-+=， 则xx x x h 44141)('-=-=. 则当40<<x 时，0)('<x h ，)(x h 为减函数；当4>x 时，0)('>x h ，)(x h 为增函数. 所以02ln 223)4()(>-=≥h x h 所以在0)(>x f ，所以0)(0>x f ) (其中43)(0<x f 也可以用如下方式证明： 当2>x 时，0)('>x g ，)(x g 为增函数，且02ln 223)4(>-=g ， 所以存在）（4,20∈x ，当02x x <<时，0)(<x g ，所以当01x x <<时，0)(<x g ，所以)(x f 在01x x <<时为减函数，所以43)1()(0=<f x f ) 22. 解：（Ⅰ）法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=， 设曲线C 2上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ，所以x yy x=⎧⎨=⎩00……………2分又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线C 2的极坐标方程为：2sin ρθ=……………5分 法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ= ()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ=()R ρ∈的对称点为()00,ρθ，所以ρ=ρ⎧⎪⎨θ+θπ=⎪⎩0024……………2分 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线C 2的极坐标方程为：2sin ρθ=……………5分（Ⅱ）直线l 1的极坐标方程为：θα=，直线l 2的极坐标方程为：3πθα=+,设(),A ρθ11，(),B ρθ22，所以cos θ=α⎧⎨ρ=θ⎩2解得12cos ρα=，sin π⎧θ=α+⎪⎨⎪ρ=θ⎩32解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………7分 所以，sin AOB S ∆π=ρ⋅ρ12123sin π⎛⎫=α⋅α+ ⎪⎝⎭3sin ⎛⎫=α⋅α+α ⎪ ⎪⎝⎭122=αα+22π⎛⎫=α+ ⎪⎝⎭23因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin π⎛⎫α+= ⎪⎝⎭213，AOB S ∆34……………10分23.解：（Ⅰ）1a =-时，2,1()2,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时， 22x x -> 即0x <所以1x <-； 当11x -≤≤时 22x > 即1x <所以11x -≤<； 当1x >时， 22x x > 无解综上，()f x x >2的解集为(,1)-∞………………………………5分 （Ⅱ）解法一(1) 当1a -<-，即1a >时，21,()1,121,1x a x a f x a a x x a x ---<-⎧⎪=--≤≤-⎨⎪++>-⎩，由函数单调性可知11a ->，解得2a >； 当1a -=-，即1a =时，()21f x x =+最小值为0，所以()1f x >的解集不为全体实数，所以1a =不符合题意 当1a ->-即1a <时，21,1()1,121,x a x f x a x a x a x a ---<-⎧⎪=--≤≤-⎨⎪++>-⎩由函数单调性可知11a ->，解得0a <；综上，0a <或2a >…………………………………………10分解法二：因为11x x a a +++≥-，（当1a -≤-，即1a ≥时, 1a x -≤≤-时等号成立；当1a ->-，即1a <时, 1x a -≤≤-时等号成立） 所以()f x 的最小值为1a -即11a ->，所以0a <或2a >……………………………10分。