第十三章 轴对称单元测试卷
人教版八年级数学上册 第13章 《轴对称》单元测试 (含解析)
第13章 《轴对称》单元测试一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．书法是我国传统文化的重要组成部分，被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐．下列是用小篆书写的“魅力宁德”四个字，其中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，是线段的垂直平分线，垂足为点，，是上两点．下列结论不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．将长方形纸片沿AC 折叠后点B 落在点E 处，则线段BE 与AC 的关系是（ ）A ．B ．C ．且D ．且平分4．在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，1）与点B （0，1）关于某条直线成轴对称，这条直线是（ ）AB CD G E F AB EC CD =EC ED =CF DF =CG DG=AC BE =AC BE ⊥AC BE ⊥AC BE =AC BE ⊥AC BEA ．轴B ．轴C ．直线（直线上各点横坐标均为1）D ．直线（直线上各点纵坐标均为1）5．一副三角板和如图摆放，，，若，，则下列结论错误的是（ ）A ．平分B ．平分C ．D ．6．如图，在中，点O 是内一点，连接、，垂直平分，若，，则点A 、O 之间的距离为（ ）A ．4B ．8C ．2D ．67．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，中，，是边上的高，是延长线上一点，平分，若，，，则下列等式一定成立的是（）x y 1x =1y =ABC DEF 45BAC ∠=︒60EDF ∠=︒GA FD ∥AB EF ∥EC FED ∠CB FCE ∠BC DE ∥30GAB ∠=︒ABC ABC OB OC OD AB OBC OCB ∠=∠4OC =ABCD AC ABC AC ABC 2B C ∠=∠AD BC E BA AC DAE ∠AB m =BC p =BD q =A ．B ．C ．D ．9．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，和是两个等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，，，下列三个结论：①；②；③点在线段的中垂线上；④；⑤；⑥．其中正确的结论的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．若点与点关于x 轴对称，则 ．12．如图，在平面直角坐标系中，是由经过平移和关于坐标轴对称等变换得到的，m q p +=2m q p +=2m q p +=12q m p +=P O ∠A B O ∠PAB ∆O ∠APB ∠2O APB∠=∠2O APB ∠=∠180O APB ∠+∠=︒2180O APB ∠+∠=︒ABP CDP △APD △AD AC BC BD APC BPD △≌△ABD BCA △≌△P BC 15PBC ∠=︒AD BC ∥PC AB ⊥()12A a -，()21B b -，a b +=A B C ''' ABC其中点P 与是变换前后图形上的一对对应点．若点P 的坐标为，则点的坐标为 （用含a 、b 的代数式表示）．13．如图，在一张纸片上将翻折得到三角形，并以为边作等腰，其中，且E ，A ，C 三点共线，，则的度数是 ．14．如图，，，，，若，，且长为奇数，则的长为 ．15．如图，是等腰三角形，，且B ，C ，D 三点共线．连接，分别交于点M ，N ，连接，则＝ ．16．如图，A 是直线外的一点，于点H ，，P 是上一动点，是等边三角形，连接，则线段的最小值是 ．P '(),a b P 'BED AED AB ABC AB AC =42EBC ∠=︒BAC ∠AE BD =CE CD =E D ∠=∠60DCE ∠=︒52BD =32CD =AB AB ,ABC ECD 60ACB ECD ∠=∠=︒,BE AD ,AC EC MN NMC ∠︒MN AH MN ⊥4AH =MN APQ △HQ HQ17．如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角，等题直角做了一个探究活动：将的直角顶点M 放在的斜边的中点处，设，猜想此时重叠部分四边形的面积为 ．18．如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P 在线段上，则的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）已知如图所示，（1）画出中边上的高线，在内部作射线使得，交边于点，请你依题意补全图形；MNK △ACB △MNK △ACB △AB AC BC a ==CEMF ABC A B C ''△B C B '，，A C 'AP BP +ABC ABC BC AD ADC ∠DE EDC C ∠=∠AC E（2）判断与之间的关系，并说明理由．20．（8分）如图，，．求证：直线是线段的垂直平分线．DAE ∠ADE ∠AB AC =MB MC =AM BC21．（10分）如图，为等腰直角三角形，，点D 在上，点E 在的延长线上，且．（1）求证：；（2）若，求的度数．22．（10分）如图，，，垂足分别为D 、C ，，且．连接．（1）求证：．（2）若，，求的度数．ABC 90BCA ∠=︒CA BC BD AE =BCD ACE ≌△△80BAE ∠=︒DBA ∠ED AB ⊥FC AB ⊥AE BF ∥AE BF =CE AC BD =CD DE =25A ∠=︒AEC ∠23．（10分）如图，在中，， ，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于．（1）当时， ， ；点从向的运动过程中，逐渐变 （填“大”或“小”）；（2）当等于多少时，，请说明理由．（3）在点的运动过程中，与的长度可能相等吗？若可以，请直接写出的度数，请说明理由．24．（12分）解答题（1）问题发现如图1，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，发现与始终相等的角是 ，与线段相等的线段是；ABC 2AB AC ==40B C ∠=∠=︒D BC D B C AD 40ADE ∠=︒DE AC E 115BDA ∠=︒EDC ∠=︒DEC ∠=︒D B C BDA ∠DC ABD DCE △△≌D DA DE BDA ∠AB BC =90ABC ∠=︒U A B C 90D E ∠=∠=︒DAB ∠AD（2）拓展探究如图2，在中，点在边上，并且，．求证：．（3）能力提升如图3，在等边中，，分别为、边上的点，，连接，以为边在内作等边，连接，当时，请直接写出的长度．ABC D BC DA DE =B ADE C ∠=∠=∠ADB DEC △≌△DEF A C DE DF 4AE =AC AC DEF ABC BF 30CFB ∠=︒CD答案一、单选题1．C【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．【详解】解：C 选项是轴对称图形，A 、B 、D 选项都不是轴对称图形；故选：C ．2．A【分析】根据垂直平分线的性质分析选项即可．【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴，，故D 选项结论正确，不符合题意；在和中，∴，∴，故B 选项结论正确，不符合题意；同理可知：，∴，故C 选项结论正确，不符合题意；利用排除法可知选项A 结论不正确，符合题意．故选：A3．D【分析】由翻折得到AE=AB ，CE=CB ，再根据线段的垂直平分线的判定即可得到答案．【详解】解：∵ACE 是由ABC 翻折得到，∴AE=AB,CE=CB∴AC ⊥BE 且AC 平分BE ，AB CD 90∠==︒CGE DGE CG DG =ECG EDG △CGE DGE CG DGEG EG ∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩()≌ECG EDG SAS △△EC ED =()≌FCG FDG SAS △△FC FD =故选D ．4．C【分析】利用成轴对称的两个点的坐标的特征，即可解题．【详解】根据A 点和B 点的纵坐标相等，即可知它们的对称轴为．故选：C ．5．B【分析】根据三角形板各角的特点，平行线的判定和性质即可求解．【详解】解：∵，，，∴，则，∴平分，故选项正确；∵，，如图所示，设与交于点，∴，由选项正确可得，∴在中，，在中，，∴，∴，∴平分错误，故选项错误；由上述证明可得，，∴，故选项正确；根据上述证明可得，，∵，且，∴，∴，20122A B x x x ++===90DEF ∠=︒45BAC ∠=︒AB EF ∥45BAC FEC ∠=∠=︒90904545DEC FEC ∠=︒-∠=︒-︒=︒EC FED ∠A 90B Ð=°AB EF ∥BC EF H 90EHC B ∠=∠=︒A 45FEC ∠=︒Rt CEH △45ECH ∠=︒Rt FCH △30EFC ∠=︒60FCH ∠=︒ECH FCH ∠≠∠CB FCE ∠B 60FCH EDF ∠=︒=∠BC DE ∥C 4560105ECF ECH FCH ∠=∠+∠=︒+︒=︒GA FD ∥45BAC ∠=︒180GAC ECF ∠+∠=︒180********GAC ECF ∠=︒-∠=︒-︒=︒∴，故选项正确；故选：．6．A【分析】连接，由垂直平分线的性质可得，由等角对等边可得，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴，故选：A ．7．B【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在中，，∴，即，当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；若时，为等腰三角形，故选：B ．8．B【分析】过点C 作于点F ，易证（AAS ），得到，，，进而得到，因此．由于得到，又，得到，因此，所以．由得，变形得到．754530GAB GAC BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒D B OA OA OB =4OB OC ==OA OD AB OA OB =OBC OCB ∠=∠4OC =4OB OC ==4OA OB OC ===04AC <<ACD 2AD CD ==2222AC -<<+04AC <<4AC BC ==ABC 3AC AB ==ABC CF BE ⊥ACF ACD ≌CF CD BC BD p q ==-=-AD AF =DCA FCA ∠=∠22BCF BCA B ∠=∠=∠BF CF p q ==-90DAC CAF BCA ∠=∠=︒-∠()180121802902BAD BCA BCA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠=∠2B BCA ∠=∠BAD B =∠∠AD BD =AF BD q ==FB CF =m q p q +=-2m q p +=【详解】如图，过点C 作于点F是高，平分在和中（），，∵在中，，又，，即CF BE ⊥AD CF BE⊥90ADC AFC ∴∠=∠=︒AC DAF∠12∴∠=∠ADC △AFC △12ADC AFC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACF ACD ∴ ≌AAS AD AF ∴=CD CF =DCA FCA∠=∠Rt ACD △190ACD ∠=︒-∠12∠=∠()18012180211802902BAD ACD ACD∴∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠2B ACD∠=∠ BAD B∴∠=∠AD BD q∴==AF AD q ∴==BF AB AF m q=+=+CD BC BD p q=-=- CF CD p q∴==-DCA FCA∠=∠ 2BCF DCA FCA DCA∴∠=∠+∠=∠2B DCA∠=∠ B BCF∴∠=∠BF CF∴=m q p q ∴+=-2m q p+=故选：B9．D【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称的性质可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称性质可知：，，，，，，，即，故选：D ．10．C【分析】利用等边三角形和等腰直角三角形的性质得到PA ＝PB ＝PD ＝PC ，∠APB ＝∠DPC ＝∠PAB ＝∠PDC ＝60°，∠APD ＝90°，∠PAD ＝∠PDA ＝45°，则根据“SAS ”可证明△APC ≌△BPD ，则可对①进行判断；根据线段垂直平分线的判定可对③进行判断；计算出∠BPC ＝150°，再利用PB ＝PC 和三角形内角和可计算出∠PBC ＝15°，则可对④进行判断；由于∠ABC ＝75°，∠BAD ＝105°加上BD ＝CA ，则可判断△ABD 与△BCA 不全等，从而可对②进行判断；求出∠ABC ＋∠BAD ＝75°＋105°＝180°，根据平行线的判定方法可对⑤进行判断；延长CP 交AB 于H ，计P OM P 'P ON P ''P P '''OM A ON B PAB ∆P P '''OP P '''2P OP AOP '''=∠180180222P OP AOB P P '''︒-∠︒-∠'''∠=∠==1802APB P P AOB '''∠=∠+∠=︒-∠P OM P 'P ON P ''OP 'OP ''P P '''P P '''OM A ON B PAB ∆P P '''OP OP '=OP OP ''=AOP AOP '∠=∠BOP BOP ''∠=∠2P OP AOP '''∴∠=∠180180222P OP AOB P P '''︒-∠︒-∠'''∴∠=∠==1802APB P P AOB '''∴∠=∠+∠=︒-∠2180O APB ∠+∠=︒算出∠CHB ＝90°，则可对⑥进行判断．【详解】解：∵△ABP 和△CDP 是两个等边三角形，△APD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，∴PA ＝PB ＝PD ＝PC ，∠APB ＝∠DPC ＝∠PAB ＝∠PDC ＝60°，∠APD ＝90°，∠PAD ＝∠PDA ＝45°，∴∠APC ＝∠BPD ＝150°，在△APC 和△BPD 中，，∴△APC ≌△BPD （SAS ），所以①正确；∵PB ＝PC ，∴点P 在线段BC 的中垂线上，所以③正确；∵∠BPA ＝∠CPD ＝60°，∠APD ＝90°，∴∠BPC ＝150°，∵PB ＝PC ，∴∠PBC ＝15°，所以④正确；∵∠ABC ＝60°＋15°＝75°，∠BAD ＝∠PAB ＋∠PAD ＝60°＋45°＝105°，BD ＝AC ，∴∠ABC ≠∠BAD ，∴△ABD 与△BCA 不全等，所以②错误；∵∠ABC ＋∠BAD ＝75°＋105°＝180°，∴AD ∥BC ，所以⑤正确；延长CP 交AB 于H ，如图，∵∠PCB ＝15°，∠ABC ＝75°，∴∠ABC ＋∠PCB ＝90°，∴∠CHB ＝90°，∴PC ⊥AB，所以⑥正确．PA PB APC BPD PC PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩正确的有5个，故选：C ．二、填空题11．2【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．【详解】解：∵点与点关于轴对称，∴，解得，∴．故答案为：2．12．【分析】根据点B 和的位置判断出平移方式和对称变换方式，继而求解．【详解】解：由图中可以看出，点只有向右平移2个单位才能和点的纵坐标相等，翻折可得到两点关于轴对称，此时两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．那么点也是如此转换得到．点的坐标为，向右平移2个单位后变为这点关于轴的对称点是．故答案为：．13．【分析】根据折叠得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形外角的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可．【详解】解：根据折叠可知，，∴，∵，∴，∵，∴，x ()12A a -，()21B b -，x 1212a b -=-=-，31，==-a b 312a b +=-=()2,a b +-B 'B B 'x P P ' P (,)a b (2,)a b +x (2,)a b +-(2,)a b +-152︒EA EB =EAB EBA ∠=∠A ABC CB =∠∠42EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒14ACB ABC ∠=∠=︒EA EB =EAB EBA ∠=∠AB AC =A ABC CB =∠∠EAB ABC ACB ∠=∠+∠2EBA EAB ABC ∠=∠=∠∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．14．3【分析】由已知条件得，进而得出，，再根据得到为等边三角形，进而得到，最后根据三角形的三边关系即可求出．【详解】解：在和中，，，，，，为等边三角形，，，，，即，,长为奇数，，故答案为3．15．6042EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒242ABC ABC ∠+∠=︒14ABC ∠=︒14ACB ABC ∠=∠=︒180152BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒152︒AEC BDC ≌△△BC AC =BCD ACE ∠=∠60ACB DCE ︒∠=∠=ABC AB BC AC ==AEC △BCD △AE BD E DCE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS AEC BDC ∴ ≌BC AC ∴=BCD ACE ∠=∠DCE BCD ECB ∠=∠+∠ ACB ACE ECB ∠=∠+∠60ACB DCE ∴∠=∠=︒ABC ∴ AB BC AC ∴==52BD = 32CD =BD CD BC BD CD ∴-<<+14BC <<14AB ∴<<AB 3AB ∴=【分析】根据已知证明都是等边三角形，得到，即可证明，推出，进一步证明，可得，求出，证明是等边三角形，可得结果．【详解】解：∵都是等腰三角形，且，∴都是等边三角形，∴，∵，∴．在与中，，∴，∴．∵，∴．在与中，，∴，∴．∵，∴是等边三角形，∴，故答案为：60．16．2【分析】以为边作等边，连接，证明，得出，说明当最,ABC ECD ,AC BC CD CE ==()SAS ACD BCE △≌△CAN CBM ∠=∠(ASA)ACN BCM △≌△CM CN =MCN ∠MCN △,ABC ECD 60ACB ECD ∠=∠=︒,ABC ECD ,AC BC CD CE ==ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠ACD BCE ∠=∠ACD BCE AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ACD BCE △≌△CAN CBM ∠=∠60ACB ECD ∠=∠=︒60MCN ∠=︒ACN △BCM CAN CBM AC BCACN BCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)ACN BCM △≌△CM CN =6,0MCN CM CN ︒∠==MCN △60NMC ∠=︒AH AEH △PE AEP AHQ ≌HQ EP =EP小时，最小，根据垂线段最短，过点E 作于点B ，当点P 在点B 时，最小，即最小，根据含角的直角三角形的性质求出．【详解】解：以为边作等边，连接，如图所示：∴，，∴，∵为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴当最小时，最小，∵垂线段最短，∴过点E 作于点B ，当点P 在点B 时，最小，即最小，∵，，∴．故答案为：2．17．18．8【分析】连接，根据和都是边长为4的等边三角形，证明，可得，所以，进而可得当点P 与点C 重合时，的值最小，正好等于的长，即可求解．HQ EB MN ⊥EP HQ 30︒122EB EH ==AH AEH △PE 4AE EH AH ===60EAH AHE ∠=∠=︒906030EHM ∠=︒-︒=︒APQ △AP AQ =60PAQ ∠=︒PAQ EAH ∠=∠EAH HAP HAP PAQ ∠+∠=∠+∠EAP HAQ ∠=∠AEP AHQ ≌HQ EP =EP HQ EB MN ⊥EP HQ 906030EHM ∠=︒-︒=︒90EBH ∠=︒122EB EH ==214a PE ABC A B C ''△ACP B CP '△≌△AP B P '=AP BP BP B P '+=+AP BP +BB '【详解】解：如图，连接，∵和都是边长为4的等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴当点P 与点C 重合时，点A 与点关于对称，的值最小，正好等于的长，∴的最小值为，故答案为：8．三、解答题19．（1）解：如图：先作交于点，作的垂直平分线与交于点，即为所求．（2）解：，理由如下：∵，即，∴，PB 'ABC A B C ''△60AC B C ACB A CB '''=∠=∠=︒，60ACA '∠=︒ACA A CB '''∠=∠ACP △B CP '△AC B C ACA A CB CP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪='''⎩'()SAS ACP B CP '△≌△AP B P '=AP BP BP B P '+=+B 'A C 'AP BP +BB 'AP BP +448+=AD BC ⊥BC D CD AC E D AE AD E ∠=∠AD BC ⊥90ADC ∠=︒90C DAE +=︒∠∠∵，且，∴．20．证明：，点在线段的垂直平分线上．，点在线段的垂直平分线上．直线是线段的垂直平分线．21．（1）解：∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，∴；（2）∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．22．（1）证明：∵，，∴，∵，∴，在△ADE 与中，90EDC ADE ∠+∠=︒EDC C ∠=∠D AE AD E ∠=∠ AB AC =∴A BC MB MC =∴M BC ∴AM BC ABC AC BC =90BCA ∠=︒90ACE ∠=︒Rt BCD Rt ACE BC AC BD AE=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL BCD ACE ≌△△ABC 45CAB CBA ∠=∠=︒80BAE ∠=︒35CAE BAE CAB ∠=∠-∠=︒BCD ACE ≌△△35CAE CBD ∠=∠=︒10DBA CBA CBD ∠=∠-∠=︒ED AB ⊥FC AB ⊥90ADE BCF ∠=∠=︒AE BF ∥A B ∠=∠BCF △，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴．23．（1）解：，，，，，，，，点从向的运动过程中，逐渐增大，逐渐变小，故答案为：；；小；（2）解：当时，，理由如下：，，又，，，，当时，ADE BCF A BAE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ADE BCF ≌△△AD BC =AC BD =CD DE =90CDE ∠=︒45DCE CED ∠=∠=︒25A ∠=︒452520AEC DCE A ∠=∠-∠=︒-︒=︒115BDA ∠=︒ 18011565ADC ∴∠=︒-︒=︒40ADE ∠=︒ 25EDC ADC ADE ∴∠=∠-∠=︒40C ∠=︒ 180115DEC EDC C ∴∠=︒-∠-∠=︒180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒ 180BDA BAD B ∴∠=︒-∠-∠ D B C BAD ∠BDA ∴∠251152DC =ABD DCE △△≌40B C ∠=∠=︒ 180140DEC EDC C ∴∠+∠=︒-∠=︒40ADE ∠=︒ 180ADB ADE EDC ∠+∠+∠=︒140ADB EDC ∴∠+∠=︒ADB DEC ∴∠=∠2DC =，，在和中，，，即当时，，；（3）解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下：，，，，，，，，．24．（1）解：，，，，在和中，，，，故答案为：，；（2），，2AB AC == AB DC ∴=ABD △DCE △B C ADB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABD DCE ∴≌ 2DC =ABD DCE △△≌D DA DE DA DE = DAE DEA ∴∠=∠40ADE ∠=︒ ()1180702DEA ADE ∴∠=︒-∠=︒AED C EDC ∠=∠+∠ 40C ∠=︒30EDC DEA C ∴∠=∠-∠=︒70ADC ADE EDC ∴∠=∠+∠=︒180110BDA ADC ∴∠=︒-∠=︒90D ABC ∠=∠=︒ 90DAB ABD ∴∠+∠=︒90ABD EBC ∠+∠=︒BAD EBC ∴∠=∠ABD △BCE D E DAB EBC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABD BCE ∴ ≌AD BE ∴=EBC ∠BE ADC ADE CDE B BAD ∠=∠+∠=∠+∠ B ADE ∠=∠，在和中，，；（3）如图，过点作交于点，、是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，CDE BAD ∴∠=∠ADB DEC B C BAD CDE AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ADB DEC ∴ ≌3B BM EF ∥DF M DEF ABC DE DF ∴=AC BC =60D DFE ACB ∠=∠=∠=︒30CFB ∠=︒ BM EF ∥603030BFE MBF ∴∠=︒-︒=︒=∠MBF CFB ∴∠=∠60CMB MBF CFB ∠=∠+∠=︒BM FM ∴=60D ACB ∠=∠=︒ 120DAC ACD ∴∠+∠=︒120ACD BCM ∠+∠=︒DAC BCM ∴∠=∠ACD CBM D CMB DAC BCM AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACD CBM ∴ ≌CD BM FM ∴==AD CM =22DF CD CM FM CD CM CD AD ∴=++=+=+DE AD AE DF =+=，，．2AE CD ∴=4AE = 2CD ∴=。
人教版八年级数学上册 第13章 轴对称 单元测试题精选(附答案)
八年级数学 第十三章《轴对称》 单元检测试题完卷时间：90分钟 满分：100分 姓名 成绩 一、选择题。
（每小题3分，共30分）细心择一择，你一定很准！ 1、下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)中为轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2、一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像，此时，它所看到的全身像是（ ）3、在平面直角坐标系中,已知点A （m, 3）与点B （4, n ）关于y 轴对称,那么（m ＋n ）2017的值为（ ） A. －1 B. 1 C. －72015 D. 720154、 如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（ ）5、已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为（ ） A. 42° B.69° C.69°或84° D.42°或69°6、如图，∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）A. 90°B. 75°C. 70°D. 60°7、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形 的底角是（ ）A. 75°或15°B. 75°C. 15°D. 75°和30°8、如图，DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC 的周长为（ ）A. 16cmB. 18cmC. 26cmD. 28cm9、如图所示的是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）A. 1号袋B. 2号袋C. 3号袋D. 4号袋10、如图，在第1个△A 1BC 中，∠B=30°，A 1B=CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2=A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3=A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是（ ）A ．(21) n •75° B ．(21) n -1•65° C ．(21) n -1•75° D ．(21) n •85°二、填空题。
人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷含答案
人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷含答案一．选择题（共10小题）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC ＝6，则DC为（）A．5B．8C．9D．103．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，若∠BAC＝100°，则∠ADC的度数为（）A．60°B．50°C．65°D．70°5．下列命题中：①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC一定与△A′B′C′全等；④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，则三角形周长为（）A．10B．11C．12D．10或117．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（）A．6B．4C．3D．28．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1B．2C．3D．49．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC是钝角．点D在底边BC上，连接AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°10．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（）A．4B．1.5或2C．2D．4或2二．填空题（共8小题）11．等边三角形的两条中线所成的锐角的度数是度．12．已知点P（1﹣a，3+2a）关于x轴的对称点落在第三象限，则a的取值范围是．13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则顶角为．14．如图，等腰三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝40°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2的度数为度．15．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是．16．如图，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点M，且过点M的直线DE∥BC，分别交AB、AC于D、E两点，若AB ＝12，AC＝10，则△ADE的周长为．17．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是秒．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为．三．解答题（共7小题）19．△ABC在直角坐标系内的位置如图所示：（1）分别写出点A，C的坐标：A的坐标：，C的坐标：；（2）请在这个坐标系内画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（3）求△A1B1C1的面积．20．已知一个三角形的两条边长分别为4cm，8cm．设第三条边长为x cm．（1）求x的取值范围．（2）若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长．21．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE．（1）求∠EDC的度数；（2）若AD＝2，求△AED的面积．22．如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形．23．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°．（Ⅰ）求∠CAE的度数；（Ⅱ）求∠FDC的度数．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线MF交AC 于F，交BC于M．（1）求∠BDE的度数；（2）证明△ADF是等边三角形；（3）若MF的长为2，求AB的边长．参考答案一．选择题（共10小题）1．B．2．A．3．：D．4．A．5．B．6．D．7．A．8．C．9．B．10．C．二．填空题（共8小题）11．60．12．a＞1．13．48°或132°．14．250．15．15．16．22．17．4．18．10．三．解答题（共7小题）19．解：（1）A（0，3），C（﹣2，1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；点B1（﹣4，﹣4）；故答案为：（﹣4，﹣4）；（3）△A1B1C1的面积＝．20．解：（1）根据三角形三边关系得，8﹣4＜x＜8+4即4＜x＜12；（2）∵三角形是等腰三角形，等腰三角形两条边长分别为4cm，8cm，且4＜x＜12∴等腰三角形第三边只能是8cm∴等腰三角形周长为4+8+8＝20cm．21．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝60°AB＝AC＝BC∵AD为中线∴AD⊥CD∵AD＝AE∴∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°；（2）解：过D作DH⊥AC于H∴∠AHD＝90°∵∠CAD＝30°∴∵AD＝AE＝2∴．22．证明：∵AB∥CD∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE．∵DC平分∠ACE∴∠ACD＝∠DCE∴∠B＝∠A∴AC＝BC∴△ABC为等腰三角形．23．解：（Ⅰ）∵三角形ABC为等边三角形∴∠BAE＝60°∵∠BAD＝15°∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°∵∠DAE＝80°∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE∴∠ADE＝（180°﹣80°）＝50°∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°又∵∠ADE＝50°∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．24．（1）证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C∵FE⊥BC∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°∴∠F＝∠BDE∵∠BDE＝∠FDA∴∠F＝∠FDA∴AF＝AD∴△ADF是等腰三角形；（2）解：∵DE⊥BC∴∠DEB＝90°∵∠F＝30°∴∠BDE＝30°∵BD＝4∴∵AB＝AC∴△ABC是等边三角形∴AC＝AB＝BE+EC＝825．（1）解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠BAC）＝30°在△BDE中，BD＝BE∴∠BDE＝∠BED＝×（180°﹣∠B）＝75°；（2）证明：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M ∴DF＝CF，∠FMC＝90°∴∠FDC＝∠C＝30°∴∠AFD＝∠FDC+∠C＝60°在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°∴∠CAD＝∠AFD＝60°∴△ADF是等边三角形；（3）在Rt△FMC中，∠C＝30°，MF＝2∴CF＝2MF＝4∴DF＝CF＝4由（2）可知：△ADF是等边三角形∴AF＝DF＝4∴AB＝AC＝AF+CF＝4+4＝8．。
RJ人教版八年级上册第十三章《轴对称》单元测试卷内有答案与解析
第十三章《轴对称》单元测试卷（时间：120 分钟满分：120 分）第Ⅰ卷选择题（共42 分）一、选择题（本大题共16个小题，1～6小题，每小题2 分；7～16 小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将答案填入后面的括号里）1.下列图形中，不是轴对称图形的是【】2.点（3，-2）关与x 轴的对称点的坐标为【】A.（-3，-2）B.（3，2）C.（-3，-2）D.（3，-2）3.等腰三角形的一个外角为60°，则底角为【】A.120°B.30°C.30°或120°D.30°或60°4.如图，直角三角形ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线交AC于D，则AD与BC 的大小关系是【】A.AD＜BCB.AD＝BCC.AD＞BCD.不能确定第4题图第6题图5.等腰三角形的周长为13，其中一边的长为5，则其他两边的长可能是【】A.5 和3B.4 和4C.5和3 或4 和4D.不能确定6.如图，梯形ABCD 与梯形EFGH 成轴对称，则它们组成的图形的对称轴有【】A.1 条B.2 条C.3 条D.4条7.如图，公路BC 所在的直线恰为书店与学校连线AD 的垂直平分线，小花家与小梅家住在公路边，则下列说法中正确的是【】①小梅从家到书店与小花从家到书店的距离一样远；②小梅从家到书店与从家到学校一样远；③小花从家到书店与从家到学校一样远；④小梅从家到学校与小花从家到学校一样远.A.①②B.②③C.③④D.①④第7题图第8题图第9题图8.如图，在△ABC 中，CD⊥AB，∠A=30°，AB=6，△ACB 的面积为6，则AC的长为【】A.2B.4C.12D.169.如图，四边形ABCD 中,AC 垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是【】A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DEC10.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC点于D，E，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，若BC=4，则△AEG的周长为【】A.12 B.10 C.8 D.4第10题图第11 题图11.如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO 的大小为【】A.70°B.110°C.140°D.150°12.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D 作DE∥AB交AC于点E，则△CDE 的周长为【】A.20 B.12 C.14 D.13第12 题图第13题图13.如图，小华把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，重叠部分为△EBD，那么以下四种说法：①△EBD 是等腰三角形，EB＝ED；②折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④△EBA 和△EDC 一定是全等三角形.其中正确的有【】A.1 个B.2 个C.3个D.4 个14.将一张等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是【】15.如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的每一个小正方形的边长均为1个单位长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有【】A.4 个 B.6 个 C.7个 D.9 个第15题图第16 题图16.如图，在直角坐标系中，点A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A、B、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是【】A.（0，0）B.（0，1）C.（0，2）D.（0，3）第Ⅱ卷非选择题（共78分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案填入题内的横线上）17.在十二地支“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”这12 个字中，可以看作接近于轴对称图形的有个.18.等腰三角形的对称轴有条.19.将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，EF、EG 是折痕，且使AE与BE 折叠后所对应的边EA´和EB´重合在同一条直线上.如果∠CFE＝110°，那么∠AEG＝°.第19题图第20题图20.在三角形纸片ABC 中，AB=10 cm，BC=7 cm，AC=6 cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD（如图），则△AED 的周长为__________.三、解答题（本大题共6个小题，共66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.（本小题满分9 分）如图，∠A =90°，BD 是△ABC 的角平分线，DE 是BC 的垂直平分线，请分别求∠CDE 和∠ABC 的度数.22.（本小题满分10 分）找出下图中的轴对称图形，并画出它们的对称轴.23.（本小题满分10 分）如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面AB边放一行球，参赛者从起点C 起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D 点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利.如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？24.（本小题满分11 分）将一个等腰三角形沿对称轴对折后，剪掉一个60°的角，展开后得到如图所示形状.若∠B=15°，求∠A 的度数.25.（本小题满分12 分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC，垂足为D.（1）请写出图中所有等腰三角形；（2）请判断AD与BE 是否垂直？为什么？（3）请比较AB垣AE与BC 的大小，并说明理由.26.（本小题满分14 分）如图，△ABC 是边长为6 的等边三角形，P是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A、C 不重合），Q 是CB 延长线上一动点，与点P 同时以相同的速度由B 沿CB 延长线方向运动（Q 不与B重合），过P 作PE⊥AB于E，连接PQ 交AB于D.（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE 的长；如果发生改变，请说明理由答案第十三章《轴对称》达标检测一、1.A 点拨：判断是否为轴对称图形关键是找对称轴，选项A 无对称轴，故不是轴对称图形.2.B 点拨：点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（x，-y），关于y 轴对称的点的坐标为（-x，y）.3.B 点拨：60°的外角只能是顶角的外角，故底角=12×60°=30°.4.C 点拨：连接BD，则BD=AD，又在直角三角形BDC 中，BD>BC，故AD>BC.5.C 点拨：本题应分情况讨论：当长为5 的边为腰时，另两条边的长为5 和3；当长为5的边为底边时，另两条边的长为4 和4.6.A7.B 点拨：∵BC 垂直平分AD，∴AB=BD，AC=CD，但AB 不一定等于AC，BD不一定等于CD.8.B 点拨：∵∠A =30°，∠CDA =90°，∴AC=2CD. 又∵S△ACB=12CD·AB=6，AB=6，∴CD=2.∴AC=2CD=2×2=4.9.C 点拨：由中垂线定理，知AB＝AD，故A 正确，由三线合一知B正确，且有BC＝CD，故D也正确，只有C 不一定成立.10.D 点拨：本题主要考查线段垂直平分线的性质，△AEG 的周长等于BC的长.11.D 点拨：因为OA=OB=OC，∴∠BAO=∠ABO，∠CBO=∠BCO，∴∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°，∴∠DAO+∠DCO=360°-∠ABC-（∠BAO+∠BCO）-∠ADC=150°.12.C 点拨：由AB＝AC及AD 平分∠BAC得BD=CD= 12BC=4.由DE∥AB及AD平分∠BAC得∠ADE=∠EAD，∴AE=DE.故△CDE 的周长=CE+DE+CD=CE+AE+CD=AC+CD=14.13.C 点拨：①③④正确，②中两角不一定相等.14.A 点拨：通过两次对折后，得到的三角形仍是等腰直角三角形.对于这个题目，可以通过动手操作解决问题，也可以利用轴对称的性质进行分析.15.C 点拨：解：如图所示，∵根据题意可知：以4 为腰的等腰三角形有2 个，以5 为腰的三角形有4 个，以5 为底边的等腰三角形有1个，∴符合要求的新三角形有2+4+1=7 个.第15 题图16.D 点拨：本题考查最短路线问题. 作B 点关于y 轴对称点B´点，连接AB´，交y 轴于点C，此时△ABC 的周长最小，∵点A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B´点坐标为：（-3，0），点C 的坐标是（0，3），故选D.二、17.4 点拨：“寅、未、申、酉”可以看作接近于轴对称图形.18.1 或3 点拨：本题应分类讨论，当等腰三角形底与腰不相等时，其对称轴只有1 条；当等腰三角形底与腰相等，即为等边三角形时，其对称轴有3 条.考虑问题不全面时，易漏掉其中的一种情况.19.20 点拨：由折叠易知∠GEF=90°，∠FEB=180°-110°=70°，∴∠AEG=90°-70°=20°.20.9 cm 点拨：由折叠易知BE=BC=7，DE=CD.故△AED 的周长=AD+DE+AE=AC+（AB-BE）=AC+（AB-BC）=6+（10-7）=9（cm）.三、21.解：因为DE 垂直平分BC,所以DB=DC.所以∠C=∠DBC.又因为BD 平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC. 所以∠C=∠ABD=∠DBC=13×（180°-90°）=30°.所以∠CDE=90°-30°=60°，∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°.22.解：第1个和第4个为轴对称图形.图略.23.解：作点D 关于AB 的对称点M，连接CM交AB于点P，则点P所在的球就是选取的球.利用了轴对称的知识.24.解：∠A＝30°.25.解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△CDE都是等腰三角形；（2）AD与BE互相垂直.理由是：因为BE 平分∠ABC，DE⊥BC，AE ⊥AB，所以AE＝DE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等），所以∠DAE＝∠ADE，从而∠BAD＝∠BDA，所以AB＝BD，所以BE⊥AD（“三线合一”）；（3）AB+AE＝BC.理由如下：因为△ABC 是等腰直角三角形，所以∠C＝45°，因为∠CDE＝90°，所以∠DEC ＝45°，所以CD＝DE（等角对等边），由（2）知AB=BD，BE⊥AD.所以AF=DF，∠AFE=∠DFE=90°.又EF=EF.所以△AFE≌△DFE.所以AE=DE.所以AE＝CD，所以AB+AE＝BD+DC＝BC.26.解：（1）过P 作PF∥QC 交AB 于点F，则△AFP是等边三角形.因为P，Q 同时出发，速度相同，即BQ＝AP，所以BQ＝PF，所以△DBQ≌△DFP，所以BD＝DF.因为∠BQD＝∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝30°，所以BD＝DF＝FP＝AF＝13AB＝13×6＝2，所以AP＝2.（2）由（1）知BD＝DF，而△APF是等边三角形，PE⊥AF，因为AE＝EF，又DE+（BD+AE）＝AB＝6，所以DE+（DF+EF）＝6，即DE+DE＝6，所以DE＝3 为定值，即DE 的长不变.。
人教版八年级数学上《第13章轴对称》单元测试题(含答案解析)
2018年秋人教版八年级上册数学《第13章轴对称》单元测试题一．选择题（共10小题）1．下列图形中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC ＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．14B．16C．18D．204．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）A．（5，1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，1）D．（﹣5，﹣1）5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB ＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．9D．10二．填空题（共8小题）11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为．13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是．14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝°．15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为．16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于°．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．三．解答题（共7小题）19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．2018年秋人教版八年级上册数学《第13章轴对称》单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°【分析】首先根据对称的两个图形全等求得∠C的度数，然后在△ABC中利用三角形内角和求解．【解答】解：∠C＝∠C'＝30°，则△ABC中，∠B＝180°﹣105°﹣30°＝45°．故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，理解轴对称的两个图形全等是关键．3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC ＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．14B．16C．18D．20【分析】由AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，继而可得△ACD的周长为：AC+BC，则可求得答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵AC＝6，BC＝10，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．故选：B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．4．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）A．（5，1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，1）D．（﹣5，﹣1）【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P1的坐标，再根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．【解答】解：∵将点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，∴点P1的坐标是（5，1），∴点P1关于x轴的对称点P2的坐标是（5，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：①6cm为腰，2cm为底，此时周长为14cm；②6cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．∴其周长是14cm．故选：A．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB ＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°【分析】分两种情况：∠BAC为锐角，∠BAC为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出AE＝BE，然后根据三角形内角和定理即可解答．【解答】解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAC＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAC＝∠ABE＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°如图2，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAE＝∠EBA＝50°，∴∠BAC＝130°∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝25°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°故选：C．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形【分析】分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．【解答】解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．9D．10【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．二．填空题（共8小题）11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝5【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度．【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∵BC＝9，AD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为14．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14，故答案为：14．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是（1，2）．【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点P坐标．【解答】解：∵P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），∴点P坐标是（1，2）．故答案是：（1，2）．【点评】此题主要．考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝35°．【分析】根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质求得两个底角即可确定答案．【解答】解：∵等腰三角形中，∠A＝110°＞90°，∴∠B＝＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解钝角只能是等腰三角形的顶角．15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为40°．【分析】设顶角的度数为x，表示出底角的度数．根据三角形内角和定理列方程求解．【解答】解：设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°．根据题意，得x+2（x+30）＝180，解得x＝40．故答案为：40°．【点评】此题考查等腰三角形性质和三角形内角和定理，属基础题．16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于45°．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；【解答】解：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝15°，∴∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠ECD＝∠A+∠CDB＝15°+30°＝45°，故答案为45．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝45°．【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF ＝EF；根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF；∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故答案为：45°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是9.6．【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．＝BC•AD＝AC•BQ，∵S△ABC∴BQ＝＝＝9.6．故答案为：9.6．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．【分析】连接PB，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：PA＝PC．理由：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，∴PA＝PB，PC＝PB，∴PA＝PC．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．【分析】利用线段垂直平分线的性质计算．【解答】解：已知DE垂直且平分AB⇒AE＝BE⇒∠EAB＝∠B又因为∠CAE＝∠B+30°故∠CAE＝∠B+30°＝90°﹣2∠B⇒∠B＝20°∴∠AEB＝180°﹣20°×2＝140°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识，注意角与角之间的转换．21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）、（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（3）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点C1的坐标为（4，3）；（3）△ABC的面积＝3×5﹣×3×1﹣×3×2﹣×5×2＝．【点评】本题考查了作图﹣对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．【分析】分两种情况：①设AB＝AC＝5，②设BC＝5，根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∴不妨设AB＝AC，又∵一边长为5，①设AB＝AC＝5，∵△ABC的周长为22，∴BC＝22﹣5﹣5＝12；∵5+5＜12，∴不成立（舍）；②设BC＝5，∵△ABC的周长为22，∴AB＝AC＝（22﹣5）÷2＝8.5，∵8.5+5＞8.5，符合题意，∴△ABC另两边长分别为8.5，8.5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．【分析】根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论．【解答】解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABF+∠AFB＝∠CBF+∠BED＝90°，∴∠AFB＝∠BED，∵∠AEF＝∠BED，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．【点评】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．【分析】先利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠1＝∠2，所以DB＝DO，同理可得EO＝CE，利用等线段代换得到△ADE的周长＝AB+AC，然后利用△ABC的周长为15得到AB+AC＝9，从而得到△ADE的周长．【解答】解：∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，∴∠1＝∠3，∵DE∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DB＝DO，同理可得EO＝CE，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DO+AE+OE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC，∵△ABC的周长为15，∴AB+AC+BC＝15，而BC的长为6，∴AB+AC＝9，∴△ADE的周长为9．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．【分析】①如图1，连接PA，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；②连接PA ，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）如图2，连接PA ，根据三角形的面积列方程即可得到结论；如图3，过点C 作CG ⊥PE 于G ，根据矩形的性质和全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）CD ＝PE +PF ，理由：如图1，连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAB +S △PAC∴AB ×CD ＝AB ×PE +AC ×PF ，∵AB ＝AC∴CD ＝PE +PF ；（2）①中关系还成立，理由：连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAB +S △PAC∴AB ×CD ＝AB ×PE +AC ×PF ，∵AB ＝AC∴CD ＝PE +PF ；（3）结论：PE ﹣PF ＝CD 或PF ﹣PE ＝CD ，如图2，连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAC ﹣S △PAB∴AB ×CD ＝AC ×PF +AB ×PE ，∵AB ＝AC ，∴CD ＝PF ﹣PE ；如图3，过点C 作CG ⊥PE 于G ，∵PE ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°．∴四边形CGED为矩形．∴CD＝GE，GC∥AB．∴∠GCP＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP．在△PFC和△PGC中，，∴△PFC≌△PGC（AAS），∴PF＝PG．∴PE﹣PF＝PE﹣PG＝GE＝CD；【点评】本题考查了等腰三角形的性质；在解决一题多变的时候，基本思路是相同的；注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用．。
第13章 轴对称 人教版数学八年级上册单元测试卷(含答案)
第十三章 轴对称时间:60分钟 满分:100分一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.(2022·辽宁盘锦双台子区期末)下列由黑白棋子摆成的图案中,是轴对称图形的是( ) A B C D2.(2022·福建福州鼓楼区期中改编)在平面直角坐标系中,若点(2,m)与点(n,3)关于x 轴对称,则(m+n)2 023的值为( )A.0B.-1C.1D.32 0233.如图是3×3的正方形网格,其中已有2个小方格被涂成了黑色.现在要从编号为①—④的小方格中选出1个也涂成黑色,使黑色部分依然是轴对称图形,不能选择的是( )A.①B.②C.③D.④4.(2022·四川遂宁期末)若等腰三角形的一个外角等于70°,则它的底角的度数为( ) A.35° B.70° C.110° D.55°5.(2022·河南周口期末)元旦联欢会上,同学们玩抢凳子游戏,在与A,B,C三名同学距离相等的位置放一个凳子,谁先抢到凳子谁获胜.如果将A,B,C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点,那么凳子应该放在△ABC的( )A.三边中线的交点处B.三边垂直平分线的交点处C.三边上高的交点处D.三条角平分线的交点处6.(2022·山东菏泽期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,BE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ABE的度数为( ) A.20° B.35° C.40° D.70°(第6题) (第7题)7.如图,直线a,b相交形成的夹角中,锐角为52°,交点为O,点A在直线a上,直线b 上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的点B有( )A.4个B.3个C.2个D.1个8.(2022·广东广州天河区期末)在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,若按如图所示的尺规作图方法作出线段BD,则下列结论错误的是( )A.AD=BDB.∠BDC=72°C.S△ABD∶S△BCD=BC∶ACD.△BCD的周长=AB+BC9.(2022·山东烟台期末)如图,∠AOB=60°,点P在射线OA上,OP=22,点M,N在射线OB上(点M在点N的左侧),且PM=PN.若MN=4,则OM的长为( ) A.7 B.8 C.9 D.11(第9题) (第10题) 10.(2022·辽宁大连期末)如图,∠ABC=30°,点D是∠ABC内部的一点,连接BD.若BD=1m,点E,F分别是边BA,BC上的动点,则△DEF的周长的最小值为( )A.0.5mB.1mC.1.5mD.2m二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11.新风向开放性试题汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性,黑体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形,请再写出两个这样的汉字: .12.(2022·安徽合肥庐阳区期末改编)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE.若CE=3,则AE= .(第12题) (第13题)13.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,若∠BAD=24°,则∠C的度数为 .14.新风向新定义试题(2021·江苏苏州期末)定义:等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k(k>1)称为这个等腰三角形的优美比.若在等腰三角形ABC中,∠A=36°,则它的优美比为 .15.(2022·河南济期末)在平面直角坐标系中,对△ABC进行如图所示的轴对称变换.若原来点A的坐标是(a,b),则经过第2 023次变换后,点A所对应的坐标是 .16.(2021·北京西城区期末)如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于三、解答题(共6小题,共52分)17.(6分)(2022·湖北十堰期末节选)如图,△ABC的顶点A,B,C都在小正方形的格点上,利用网格线按下列要求画图.(1)画出△A1B1C1,使它与△ABC关于直线l成轴对称;(2)在直线l上找一点P,使点P到点A,B的距离之和最短.(要求:不写作法,保留作图痕迹)18.(8分)(2022·湖北十堰郧阳区期中改编)某市发生地震后,为了抢救伤员,一架救援直升机从该市A地起飞,运送一批地震伤员沿正北方向到机场N,如图.上午8时,直升机从A地出发,以200 km/h的速度向正北方向飞行,9时到达B地,此时,机场的导航站传来信息:在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80 km内能见度低,飞行时会遇到危险.经测量得∠NAC=15°,∠NBC=30°.问该直升机继续向机场N飞行是否有危险,请说明理由.19.(8分)新风向开放性试题(2022·江苏南京鼓楼区期中)证明:有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知:如图,在△ABC中, .求证: .证明:20.(8分)如图,在等边三角形ABC的外侧作直线AP,点C关于直线AP的对称点为点D,连接AD,BD,其中BD交直线AP于点E.(1)依题意补全图形;(2)若∠PAC=15°,求∠AEB的度数;21.(10分)新风向探究性试题(2022·河北石家庄裕华区期末)【问题】如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,BD=BA.EF垂直平分AC,交AC 于点E,交BC于点F,连接AD,AF.若∠B=30°,∠BAF=90°,求∠DAC的度数.【探究】如果把【问题】中的条件“∠B=30°”去掉,其他条件不变,那么∠DAC的度数会变吗?请说明理由.22.(12分)如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N 第一次到达点B时,M,N同时停止运动.(1)当点M,N运动几秒时,M,N两点重合?(2)当点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN?(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如果能,请求出此时M,N运动的时间.第十三章 轴对称选择填空题答案速查12345678910D B D A B B A C C B11.甲,本(答案不唯一)12.613.39°14.215.(-a,b)16.181.D高分锦囊判断一个图形是不是轴对称图形,关键看能否找到这样一条直线,使这个图形沿这条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合.2.B ∵点(2,m)与点(n,3)关于x轴对称,∴m=-3,n=2,∴(m+n)2 023=(2-3)2 023=-1.3.D 图示速解如图,将编号为④的小方格涂成黑色,黑色部分不是轴对称图形.4.A 由题意可得,与等腰三角形的这个外角相邻的内角等于110°.∵三角形的内×(180°-110°)=35°.角和为180°,∴底角不可能等于110°,∴底角度数为125.B ∵三角形的三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等,∴凳子应放在△ABC的三边垂直平分线的交点处.6.B ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,【关键】等腰三角形的“三线合一”∴∠CAB=2∠CAD=40°,∴∠ABC=1×(180°-40°)=70°.∵BE是△ABC的角平分线,2∴∠ABE=1∠ABC=35°.2一题多解∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,∴AD⊥BC,∴∠C=90°-20°=70°,∴∠ABC=∠C=70°.又BE是△ABC的角平分线,∴∠ABE=1∠ABC=35°.27.A 图示速解如图,要使△OAB为等腰三角形,应分三种情况讨论:①当OB=AB时,作线段OA的垂直平分线,与直线b的交点为B1;②当OA=AB时,以点A为圆心,OA 的长为半径作圆,与直线b交于点B2;③当OA=OB时,以点O为圆心,OA的长为半径作圆,与直线b交于点B3,B4.故选A.8.C ∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.由作图痕迹可知BD平分∠ABC∴∠DBC=∠ABD=∠A=36°,【关键】由尺规作图可以得出BD平分∠ABC∴AD=BD,∠BDC=72°.故A,B选项不符合题意.由以上可知∠C=∠BDC,∴BD=BC,∴AD=BC.∵S△ABD∶S△BCD=AD∶CD,∴S△ABD∶S△BCD=BC∶CD.【关键】两三角形同高不同底故C选项符合题意.∵BD=AD,△BCD的周长=BC+CD+BD,∴△BCD的周长=BC+CD+AD=BC+AC=AB+BC.故D选项不符合题意.7.C 如图,过点P作PC⊥OB于点C,∵∠AOB=60°,∴∠OPC=90°-∠AOB=30°.∵OP=22,∴OC=1OP=11.∵2MN=2,∴OM=OC-MC=11-2=9.PM=PN,MN=4,∴MC=1210.B (转化思想)如图,作点D关于AB的对称点G,作点D关于BC的对称点H,连接GH交AB于点E,交BC于点F,此时△DEF的周长有最小值,连接GB,BH.由线段垂直平分线的性质可得,GE=ED,DF=FH,由轴对称的性质得BG=BD,BD=BH,∴ED+DF+EF=GE+EF+FH=GH,此时△DEF的周长最小值为GH.∵∠GBA=∠ABD,∠DBC=∠CBH,BD=m,∴∠GBH=2∠ABC=2×30°=60°,∴△GBH是等边三角形,∴GH=BG=BD=m,∴△DEF的周长的最小值为m.【关键】发现△GBH是等边三角形11.甲,本(答案不唯一,只要是轴对称图形即可)12.6 ∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠CBA=60°.∵DE是线段AB的垂直平分线,∴BE=AE,∴∠ABE=∠A=30°,∴∠CBE=60°-30°=30°.∵∠C=90°,CE=3,∴BE=2CE=2×3=6,∴AE=6.13.39° ∵AB=AD,∠BAD=24°,∴∠B=∠ADB=1×(180°-24°)=78°.2又AD=DC ,∴∠C=∠CAD=12∠ADB=12×78°=39°.14.2 (分类讨论思想)当∠A 为顶角时,则底角∠B=∠C=72°,此时,优美比=72°36°=2;当∠A 为底角时,则顶角为108°,此时,优美比=36°108°=13(不合题意,舍去).15.(-a ,b ) 第1次变换后,点A 在第四象限;第2次变换后,点A 在第三象限;第3次变换后,点A 在第二象限;第4次变换后,点A 在第一象限,回到原始位置,…,以此类推,每4次变换为一组循环.因为2 023÷4=505……3,所以第2 023次变换后,点A 在第二象限,坐标为(-a ,b ).16.18 ∵△ABC 是等边三角形,∴∠C=∠BAC=60°.∵AD ⊥BC ,∴BD=CD ,∠DAC=12∠BAC=30°.∵AD=12,∴DE=12AD=6.∵DE ⊥AC ,∴∠EDC=90°-∠C=90°-60°=30°,∴EC=12DC ,∴BC=4EC.∵S △EDC =12ED ·EC=12×6×EC=3EC ,S △ABC =12AD×BC=12×12×BC=6BC=24EC ,∴S △EDCS △ABC =3EC24EC =18.17.【参考答案】(1)如图,△A 1B 1C 1即为所求作.(3分)(2)如图,点P 即为所求作.(6分)18.【参考答案】该直升机继续向机场N 飞行无危险.(1分)理由:如图,过点C 作CD ⊥AN 于点D ,∵∠NAC=15°, ∠NBC=30°,∴∠ACB=15°,CD=12BC ,∴∠ACB=∠NAC ,∴BC=AB.(5分)由题意可得,AB=200 km,∴BC=200 km,∴CD=100 km.∵100>80,∴该直升机继续向机场N飞行无危险.(8分)19.【参考答案】已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.(2分)求证:△ABC是等腰三角形.(4分)证明:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.(8分)20.【参考答案】(1)补全图形如图所示. (3分) (2)在等边三角形ABC中,AC=AB ,∠BAC=60°.由对称可知AD=AC ,∠PAD=∠PAC=15°,∴∠BAD=90°,AB=AD ,∴∠ABD=∠D=45°,∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°.(8分)21.思路导图【参考答案】【问题】∵AB=BD ,∠B=30°,∴∠BAD=∠ADB=180°―30°2=75°.∵∠BAF=90°,∴∠AFB=90°-30°=60°.∵EF 垂直平分AC ,∴∠CAF=∠C.∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C ,∴∠C=∠CAF=12∠AFB=30°,∴∠CAD=∠ADB-∠C=75°-30°=45°.(5分)【探究】不变.(6分)理由:∵AB=BD ,∴∠BAD=∠ADB=180°―∠B 2=90°-12∠B.∵∠BAF=90°,∴∠AFB=90°-∠B.∵EF 垂直平分AC ,∴∠CAF=∠C.∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C ,∴∠C=∠CAF=12∠AFB=45°-12∠B ,∴∠CAD=∠ADB-∠C=90°-12∠B-(45°-12∠B )=45°.(10分)22.【参考答案】(1)设当点M ,N 运动x s 时,M ,N 两点重合,由题意,可得x×1+12=2x ,解得x=12.故当点M ,N 运动12 s 时,M ,N 两点重合.(2分)(2)设当点M ,N 运动t s 时,可得到等边三角形AMN ,此时AM=t ,AN=AB-BN=12-2t ,∴t=12-2t ,解得t=4.(4分)故当点M ,N 运动4 s 时,可得到等边三角形AMN.(5分)(3)当点M ,N 在BC 边上运动时,能得到以MN 为底边的等腰三角形.(6分)若△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形,则AN=AM ,∴∠AMN=∠ANM ,∴∠AMC=∠ANB.∵在△ABC 中,AB=BC=AC ,∴△ACB 是等边三角形,∴∠C=∠B=60°.(8分)在△ACM 和△ABN 中,∠AMC =∠ANB ,∠C =∠B ,AC =AB ,∴△ACM ≌△ABN ,∴CM=BN.(10分)设当点M ,N 运动时间为y s 时,△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形,∴CM=y-12,NB=36-2y ,∴y-12=36-2y ,解得y=16.故能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ,此时M ,N 运动的时间为16 s .(12分)。
人教版八年级数学上册第13章轴对称单元测试题含答案
第十三章 轴对称 单元测试题一、选择题1.已知点A 与点(-4,5)关于y 轴对称,则A 点坐标是( ) A.(4,-5)B.(-4,-5)C.(-5,-4)D.(4,5)2.如果点P(a,2 015)与点Q(2 016,b)关于x 轴对称,那么a+b 的值等于( ) A.-4 031B.-1C.1D.4 0313.图,在已知的△ABC 中,按以下步骤作图:①分别以B,C 为圆心,以大于BC 的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN 交AB 于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB 的度数为( )A.90°B.95°C.100°D.105°4．如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）．A 、90°B 、 75°C 、70°D 、 60°FE DCBA5.已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ ） A 、PA+PB ＞QA+QB B 、PA+PB ＜QA+QB D 、PA+PB ＝QA+QBD 、不能确定6．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）．B MN P 1AP 2OPA 、4B 、5C 、6D 、77．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样剪得的三角形中（ ）．N MDC HE BAA 、AD DH AH ≠=B 、AD DH AH ==C 、DH AD AH ≠= D 、AD DH AH ≠≠8、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）． A ．11cm B ．7.5cm C ．11cm 或7.5cm D ．以上都不对 9．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是( )．10．如图所示，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于点E.当∠B ＝30°时，图中一定不相等的线段有( )．A ．AC ＝AE ＝BEB ．AD ＝BDC ．CD ＝DE D ．AC ＝BD 二、填空题（每小题4分，共16分）11.如图,在△ABC 中,AB,AC 的垂直平分线交BC 于点E,G,若∠B+∠C=40°,则∠EAG= .12.如图,分别作出点P 关于OA,OB 的对称点P 1,P 2,连接P 1P 2,分别交OA,OB 于点M,N,若P 1P 2=5 cm,则△PMN 的周长为.13. 平面直角坐标系中，点A （2，0）关于y 轴对称的点A ′的坐标为___________．14.如图,现要利用尺规作图作△ABC 关于BC 的轴对称图形△A'BC.若AB=5 cm,AC=6 cm,BC=7 cm,则分别以点B,C 为圆心,依次以 cm, cm 为半径画弧,使得两弧相交于点A',再连接A'C,A'B,即可得△A'BC.15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是___________．16. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．三、解答题：17.(6分)如图所示,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接EF,EF与AD交于点G,求证:AD垂直平分EF.18．（7分）如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，•且到∠AOB的两边的距离相等．19.(8分)如图,AD 是△ABC 的角平分线,BE ⊥AD 交AD 的延长线于点E,EF ∥AC 交AB 于点F,求证:AF=FB.20. （7分）已知：如图，ABC ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D. 求证：DCB 2BAC ∠=∠。
八年级上册《第13章 轴对称》2021年单元测试卷(江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校)
人教新版八年级上册《第13章轴对称》2021年单元测试卷（江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校）试题数：29，总分：01.（单选题，0分）如图，图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）A.B.C.D.2.（单选题，0分）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A=50°，∠C′=30°，则∠B的度数为（）A.30°B.50°C.90°D.100°3.（单选题，0分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB 上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A.40°B.30°C.20°D.10°4.（单选题，0分）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（）A.点AB.点BC.点CD.点D5.（单选题，0分）把一个长方形的纸按如图所示的方式折叠后，C，D两点落在C′，D′点处，若∠OGC′=125°，则∠AOD′的度数是（）A.50°B.60°C.70°D.80°6.（单选题，0分）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm7.（单选题，0分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A.24°B.30C.36°D.48°8.（单选题，0分）如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A.20°B.40°C.50°D.60°9.（单选题，0分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（）B.6cmC.12cmD.16cm10.（单选题，0分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是斜边AB的中点，DE⊥AB，且∠CAD：∠BAD=5：2，则∠BAC=（）A.60°B.70°C.80°D.90°11.（单选题，0分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；① 分别以B，C为圆心，以大于12② 作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为（）A.90°B.95°C.100°D.105°12.（单选题，0分）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为（）A.18B.12C.613.（单选题，0分）将△ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以-1，则所得图形（）A.与原图形关于x轴对称B.与原图形关于y轴对称C.与原图形关于原点对称D.向y轴的负方向平移了一个单位14.（单选题，0分）在平面直角坐标系中，点P（-20，a）与点Q（b，13）关于x轴对称，则a+b的值为（）A.33B.-33C.-7D.715.（单选题，0分）如图，在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）A.（1，2）B.（2，2）C.（3，2）D.（4，2）16.（单选题，0分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于直线m=1对称，点M、N分别是这两个三角形中的对应点，如果点M的横坐标是a，那么点N的横坐标是（）A.-aB.-a+1C.a+2D.-a+217.（单选题，0分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）、B （1，-1）、C（-1，-1）、D（-1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1，作P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作P5关于点B的对称点P6，……，按如此操作下去，则点P2018的坐标为（）A.（0，2）B.（2，0）C.（0，-2）D.（-2，0）18.（填空题，0分）在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有___ 个．19.（填空题，0分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，-3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是___ ．20.（填空题，0分）平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点B（-4，0），直线l经过点A且与x轴垂直．若点B关于y轴的对称点是B1，点B1关于直线l的对称点是B2，则点B2的坐标是___ ．21.（填空题，0分）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（-1，0）表示，右下角方子的位置用（0，-1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是___ ．A．（-2，1）B．（-1，1）C．（1，-2）D．（-1，-2）22.（填空题，0分）在平面直角坐标系中，有一只青蛙位于（-2，3）的位置，它先跳到关于x轴对称位置上，接着跳到关于y轴对称的位置上，最后再跳到关于x轴对称的位置上，则此时它的位置可由坐标表示为___ ．23.（问答题，0分）如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△A BD的周长为13cm，则△ABC的周长为___ cm．24.（问答题，0分）如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CF；（2）若AB=a，AC=b，求AE，BE的长．25.（问答题，0分）如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．26.（问答题，0分）如图，在∠AOB外有一点P，先作点P关于直线OA的对称点P1，再作点P关于直线OB的对称点P2．（1）试猜想∠P1OP2与∠AOB的数量关系，并加以证明；（2）当点P在∠AOB内部时，上述结论是否成立？画图加以证明．27.（问答题，0分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．（1）写出点A、B、C的坐标；（2）写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的顶点A1、B1、C1的坐标；（3）求S△AB C．28.（问答题，0分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（-a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．29.（问答题，0分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出它们的坐标：B′___ 、C′___ ；归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（m，n）关于第一、三象限的角平分线L的对称点P′的坐标为___ ．人教新版八年级上册《第13章轴对称》2021年单元测试卷（江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校）参考答案与试题解析试题数：29，总分：01.（单选题，0分）如图，图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对常见的安全标记图形进行判断．【解答】：解：A、有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选：A．【点评】：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.（单选题，0分）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A=50°，∠C′=30°，则∠B的度数为（）A.30°B.50°C.90°D.100°【正确答案】：D【解析】：先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C=∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】：解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A=50°，∠C′=30°，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=30°，∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-50°-30°=100°．故选：D．【点评】：本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．3.（单选题，0分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB 上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A.40°B.30°C.20°D.10°【正确答案】：D【解析】：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D-∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°-∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．【解答】：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°-50°=40°，∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，∴∠A′DB=∠CA'D-∠B=50°-40°=10°．故选：D．【点评】：本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．4.（单选题，0分）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（）A.点AB.点BC.点CD.点D【正确答案】：D【解析】：要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反射路线即可得出答案．【解答】：解：可以瞄准点D击球．故选：D．【点评】：本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下．5.（单选题，0分）把一个长方形的纸按如图所示的方式折叠后，C，D两点落在C′，D′点处，若∠OGC′=125°，则∠AOD′的度数是（）A.50°B.60°C.70°D.80°【正确答案】：C【解析】：根据OD′ || C′G，两直线平行，同旁内角互补即可求得∠D'OG，则∠DOG即可求得，进而求得∠AOD'．【解答】：解：∵OD′ || C′G，∴∠D'OG+∠OGC'=180°，∴∠D'OG=180°-125°=55°，∴∠DOG=∠D'OG=55°，∴∠AOD'=180°-∠DOG-∠D'OG=70°．故选：C．【点评】：本题考查了图形的折叠，正确利用平行线的性质是关键．6.（单选题，0分）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm【正确答案】：C【解析】：首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．【解答】：解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN=BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7-4=3（cm）．故选：C．【点评】：此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：① 垂直平分线垂直且平分其所在线段．② 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③ 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．7.（单选题，0分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A.24°B.30C.36°D.48°【正确答案】：D【解析】：根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．【解答】：解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°-60°-24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°-24°=48°，故选：D．【点评】：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．8.（单选题，0分）如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A.20°B.40°C.50°D.60°【正确答案】：B【解析】：由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，进而可得∠PAQ的大小．【解答】：解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，∴∠BAP+∠CAQ=70°，∴∠PAQ=∠BAC-∠BAP-∠CAQ=110°-70°=40°故选：B．【点评】：本题考查了线段垂直平分线的性质；要熟练掌握垂直平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题．9.（单选题，0分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（）A.3cmB.6cmC.12cmD.16cm【正确答案】：AAC，求出AB+BC+AC=19cm，【解析】：根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE= 12AB+BD+AD=AB+BC=13cm，即可求出AC，即可得出答案．【解答】：解：∵DE是AC的垂直平分线，AC，∴AD=DC，AE=CE= 12∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，∴AC=6cm，∴AE=3cm，故选：A．【点评】：本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．10.（单选题，0分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是斜边AB的中点，DE⊥AB，且∠CAD：∠BAD=5：2，则∠BAC=（）A.60°B.70°C.80°D.90°【正确答案】：B【解析】：根据DE是AB的垂直平分线可得，AD=BD，即可求出∠BAD=∠ABD，再根据∠CAD：∠BAD=5：2及直角三角形两锐角的关系解答即可【解答】：解：∵△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，即∠BAD=∠ABD，∵∠CAD：∠BAD=5：2，设∠BAD=2x，则∠CAD=5x，∵∠BAD+∠CAD+∠ABD=90°，即2x+5x+2x=90°，解得：x=10°，∴∠BAC=70°．故选：B．【点评】：本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．11.（单选题，0分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；① 分别以B，C为圆心，以大于12② 作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为（）A.90°B.95°C.100°D.105°【正确答案】：D【解析】：利用线段垂直平分线的性质得出DC=BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．【解答】：解：由题意可得：MN垂直平分BC，则DC=BD，故∠DCB=∠DBC=25°，则∠CDA=25°+25°=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠CDA=50°，∴∠ACB=180°-50°-25°=105°．故选：D．【点评】：此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠A=∠CDA=50°是解题关键．12.（单选题，0分）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为（）A.18B.12C.6D.4【正确答案】：C【解析】：由DE是BC边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，BD=CD，又由△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可得EC+ED+CD=24 ① ，BE+CD-ED=12 ② ，继而求得答案．【解答】：解：∵DE是BC边的垂直平分线，∴BE=CE，BD=CD，∵△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴EC+ED+CD=24 ① ，（AB+AC+BC）-（AE+ED+CD+AC）=（AE+BE+2CD）-（AE+ED+CD）=BE+CD-ED=12 ② ，① - ② 得：2ED=12，解得：ED=6．故选：C．【点评】：此题考查了线段垂直平分线的性质．注意根据题意求得EC+ED+CD=24 ① ，BE+CD-ED=12 ② 是关键．13.（单选题，0分）将△ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以-1，则所得图形（）A.与原图形关于x轴对称B.与原图形关于y轴对称C.与原图形关于原点对称D.向y轴的负方向平移了一个单位【正确答案】：A【解析】：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解答】：解：∵△ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以-1，∴△ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标变为相反数，∴所得图形与原图形关于x轴对称．故选：A．【点评】：本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14.（单选题，0分）在平面直角坐标系中，点P（-20，a）与点Q（b，13）关于x轴对称，则a+b的值为（）A.33B.-33C.-7D.7【正确答案】：B【解析】：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，进而得到a+b．【解答】：解：∵点P（-20，a）与点Q（b，13）关于x轴对称，∴b=-20，a=-13，∴a+b=-20+（-13）=-33，故选：B．【点评】：此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．15.（单选题，0分）如图，在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）A.（1，2）B.（2，2）C.（3，2）D.（4，2）【正确答案】：C【解析】：先求出点P到直线x=1的距离，再根据对称性求出对称点P′到直线x=1的距离，从而得到点P′的横坐标，即可得解．【解答】：解：∵点P（-1，2），∴点P到直线x=1的距离为1-（-1）=2，∴点P关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为2，∴点P′的横坐标为2+1=3，∴对称点P′的坐标为（3，2）．故选：C．【点评】：本题考查了坐标与图形变化-对称，根据轴对称性求出对称点到直线x=1的距离，从而得到横坐标是解题的关键，作出图形更形象直观．16.（单选题，0分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于直线m=1对称，点M、N分别是这两个三角形中的对应点，如果点M的横坐标是a，那么点N的横坐标是（）A.-aB.-a+1C.a+2D.-a+2【正确答案】：D【解析】：根据对应点的中点在对称轴上，可得点N与M点的关系，根据解方程，可得答案．【解答】：解：设N点的横坐标为b，由△ABC与△DEF关于直线m=1对称，点M、N分别是这两个三角形中的对应点，得a+b=1，2解得b=2-a．故选：D．【点评】：本题考查了坐标与图形变化-对称，利用对应点的中点在对称轴上是解题关键．17.（单选题，0分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）、B （1，-1）、C（-1，-1）、D（-1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1，作P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作P5关于点B的对称点P6，……，按如此操作下去，则点P2018的坐标为（）A.（0，2）B.（2，0）C.（0，-2）D.（-2，0）【正确答案】：C【解析】：首先求出点P1，P2，P3，P4的坐标，从而发现点的坐标以4为周期，作循环往复的周期变化，即可解决问题．【解答】：解：∵点P坐标为（0，2），点A坐标为（1，1），∴点P关于点A的对称点P1的坐标为（2，0），点P1关于点B（1，-1）的对称点P2的坐标（0，-2），点P2关于点C（-1，-1）的对称点P3的坐标为（-2，0），点P3关于点D（-1，1）的对称点P4的坐标为（0，2），即点P4与点P重合了；∵2018=4×504+2，∴点P2018的坐标为（0，-2），故选：C．【点评】：此题主要考查了坐标与图形的变化以及正方形的性质，根据图形的变化得出点P2018的坐标与P1坐标相同是解决问题的关键．18.（填空题，0分）在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有___ 个．【正确答案】：[1]3【解析】：根据轴对称图形的概念求解．【解答】：解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形．故答案为：3．【点评】：此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有3种画法．19.（填空题，0分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，-3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是___ ．【正确答案】：[1]（-4，3）【解析】：分别利用x轴、y轴对称点的性质，得出A′，A″的坐标进而得出答案．【解答】：解：∵点A的坐标是（4，-3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，∴A′的坐标为：（4，3），∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″，∴点A″的坐标是：（-4，3）．故答案为：（-4，3）．【点评】：此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质．关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．20.（填空题，0分）平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点B（-4，0），直线l经过点A且与x轴垂直．若点B关于y轴的对称点是B1，点B1关于直线l的对称点是B2，则点B2的坐标是___ ．【正确答案】：[1]（-2，0）【解析】：根据网格结构找出点B关于y轴的对称点B1，再找出点B1关于直线l的对称点B2的位置，然后写出坐标即可．【解答】：解：如图所示，B2（-2，0）．故答案为：（-2，0）．【点评】：本题考查了坐标与图形变化-对称，熟练掌握数轴与网格结构，准确确定出对称点的位置是解题的关键．21.（填空题，0分）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（-1，0）表示，右下角方子的位置用（0，-1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是___ ．A．（-2，1）B．（-1，1）C．（1，-2）D．（-1，-2）【正确答案】：[1]B【解析】：首先确定x轴、y轴的位置，然后根据轴对称图形的定义判断．【解答】：解：棋盘中心方子的位置用（-1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，右下角方子的位置用（0，-1），则这点所在的纵线是y轴，则当放的位置是（-1，1）时构成轴对称图形．故答案为：B．【点评】：本题考查了轴对称图形和坐标位置的确定，正确确定x轴、y轴的位置是关键．22.（填空题，0分）在平面直角坐标系中，有一只青蛙位于（-2，3）的位置，它先跳到关于x轴对称位置上，接着跳到关于y轴对称的位置上，最后再跳到关于x轴对称的位置上，则此时它的位置可由坐标表示为___ ．【正确答案】：[1]（2，3）【解析】：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”和“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．【解答】：解：（-2，3）关于x轴对称的点的坐标为（-2，-3），（-2，-3）关于y轴对称的点的坐标为（2，-3），（2，-3）关于x轴对称的点的坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．23.（问答题，0分）如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△AB D的周长为13cm，则△ABC的周长为___ cm．【正确答案】：19【解析】：要求周长，就要求出三角形各边长，利用垂直平分线的性质即可求出．【解答】：解：∵DE是AC的垂直平分线．∴AD=CD，AC=2AE=6cm．又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm．∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm．∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．故答案为19．【点评】：解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等．24.（问答题，0分）如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CF；（2）若AB=a，AC=b，求AE，BE的长．【正确答案】：【解析】：（1）连接BD，CD．利用垂直平分线的性质得出DB=DC，证得Rt△DCF≌Rt△DBE，得出结论；（2）首先证得Rt△AED≌Rt△AFD，得到AE=AF，然后利用（1）结论，根据线段的和与差得出答案即可．【解答】：（1）证明：连接BD，CD，∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC，∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．在Rt△DCF与Rt△DBE中，，{DE=DFDB=DC∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE；（2）解：∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．在Rt△AED与Rt△AFD中，，{DE=DFAD=AD∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵AB=a，AC=b，CF=BE，AE=AF=AC+CF=AC+BE，∴AE-BE=AC=b，∵AE+BE=AB=a，（a-b），∴BE= 12（a+b）．∴AE= 12【点评】：此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．25.（问答题，0分）如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．【正确答案】：【解析】：不同的对称轴，可以有不同的轴对称图形，所以可以按照找出的不同的对称轴，再思考如何画轴对称图形．【解答】：解：【点评】：考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．基本作法：① 先确定图形的关键点；② 利用轴对称性质作出关键点的对称点；③ 按原图形中的方式顺次连接对称点．26.（问答题，0分）如图，在∠AOB外有一点P，先作点P关于直线OA的对称点P1，再作点P关于直线OB的对称点P2．（1）试猜想∠P1OP2与∠AOB的数量关系，并加以证明；（2）当点P在∠AOB内部时，上述结论是否成立？画图加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）利用轴对称图形的性质得出相等的角，进而得出∠P1OP2=∠3+∠4=∠1+∠2+2∠3=2∠2+2∠3=2（∠2+∠3）即可得出答案；（2）利用轴对称图形的性质得出相等的角，进而得出∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠3）即可得出答案．【解答】：解：（1）∠P1OP2=2∠AOB，理由：如图1，∵点P关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P2，∴∠1=∠2，∠POB=∠BOP2，则∠1+∠2+∠3=∠4，∴∠P1OP2=∠3+∠4=∠1+∠2+2∠3=2∠2+2∠3=2（∠2+∠3）=2∠AOB；（2））∠P1OP2=2∠AOB，理由：如图2，∵点P关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P2，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠3）=2∠AOB．【点评】：此题主要考查了轴对称图形的性质，利用对称得出相等的角是解题关键．27.（问答题，0分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．（1）写出点A、B、C的坐标；（2）写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的顶点A1、B1、C1的坐标；（3）求S△ABC．【正确答案】：【解析】：（1）根据点的坐标的确定方法写出点A、B、C的坐标；（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求解；（3）利用面积的和差计算△ABC的面积．【解答】：解：（1）A（1，3），B（-1，2），C（2，0）；（2）A1（1，-3），B1（-1，-2），C1（2，0）；（3）S△ABC=3×3- 12 ×2×3- 12×1×3- 12×2×1= 72．【点评】：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）；点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．也考查了三角形面积公式．28.（问答题，0分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（-a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．【正确答案】：【解析】：（1）根据关于y轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A1B1C1各点坐标，又关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A2B2C1的三个顶点的坐标；（2）P与P1关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P1的坐标，再由直线l的方程为直线x=3，利用对称的性质求出P2的坐标，即可PP2的长．【解答】：解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；（2）如图1，当0＜a≤3时，∵P与P1关于y轴对称，P（-a，0），∴P1（a，0），又∵P1与P2关于l：直线x=3对称，=3，即x=6-a，设P2（x，0），可得：x+a2∴P2（6-a，0），则PP2=6-a-（-a）=6-a+a=6．如图2，当a＞3时，∵P与P1关于y轴对称，P（-a，0），∴P1（a，0），又∵P1与P2关于l：直线x=3对称，=3，即x=6-a，设P2（x，0），可得：x+a2∴P2（6-a，0），则PP2=6-a-（-a）=6-a+a=6．【点评】：本题考查学生“轴对称”与坐标的相关知识的试题，尤其是第（2）小题设置的问题既具有一定的开放性又重点考查了分类的数学思想，使试题的考查有较高的效度．29.（问答题，0分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出它们的坐标：B′___ 、C′___ ；归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（m，n）关于第一、三象限的角平分线L的对称点P′的坐标为___ ．【正确答案】：（3，5）; （5，-2）; （n，m）。
人教版初中数学第13章《轴对称》单元测试题(含答案)
第13章 轴对称单元测试题一、选择题1.下列图形中，对称轴的条数最少的图形是A. B. C. D.2．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E .若AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为( )A ． 5cmB ． 6cmC ． 7cmD ． 8cm3．已知等腰△ABC 的周长为18 cm ，BC ＝8 cm ，若△ABC 与△A ′B ′C ′全等，则△A ′B ′C ′的腰长等于( )．A ． 8 cmB ． 2 cm 或8 cmC ． 5 cmD ． 8 cm 或5 cm 4. 已知等腰三角形的一个内角为︒70，则另两个内角的度数是（ ）A.︒55，︒55B.︒70，︒40C.︒55，︒55或︒70，︒40 ;D. 以上都不对 5.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A '处，若︒='∠20BC A ，则BD A '∠的度数为（ ）A.︒30B.︒25C.︒20D.︒156．如图，△ABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于D ，E 两点，并连接BD ，DE .若∠A ＝30°，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为( ) A ．45° B ．52.5° C ．67.5° D ．75°7．如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC 的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC 成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形(不包含△ABC 本身)共有( )A．1个B．3个C．2个D．4个8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE 和△ACD，且∠EDC＝45°，则∠ABC的度数为()A．75°B．80°C．70°D．85°9．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为()A．90°B．75°C．70°D．60°10.在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC上，AD=AE，∠CDE=20°，则∠BAD的度数为（）A.36°B.40°C.45°D.50°11.△ABC中，AB=AC≠BC，在△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP、△ACP、△BCP 均为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A.1个B.4个C.6个D.8个12．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为()A．4.5 cm B．5.5 cm C．6.5 cm D．7 cm二、填空题13．矩形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是(0，0)、(-5，0)、(-5，-2)，则D点的坐标是________，D点关于x轴的对称点的坐标是_________．14．已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为7cm，则它的周长为_________________cm.15.如图，在△PAB中，∠A=∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=53°，则∠P=______°.16.如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是______度.17.轴对称是指______ 个图形的位置关系，轴对称图形是指______ 个具有特殊形状的图形．18．如图，AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是___三角形，△ABC 的周长＝___cm.19．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线相交于点D，垂足为点P，连接BD，CD，若∠BAC＝84°，则∠BDC＝________．20.等腰三角形两内角度数之比为1：2，则它的顶角度数为______ ．三、解答题21.如图：的周长为30cm，把的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若，求的周长．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．23．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．（1）在AB边上求作点P，使PC＋PD最小；（2）求出（1）中PC＋PD的最小值．24. 如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D .（1）若设x AP =，则=PC ；=QC .（用含x 的式子表示）（2）当︒=∠30BQD 时，求AP 的长；（3）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长，如果变化请说明理由.参考答案1. B2.B . 3．D 4.C 5..B 6.C 7.B 8.A 9．D 10.B 11.C 12.A 13. （0，-2） （ 0，-2）14． 15或18 15.53°16.20 17. 两；一 18． 等边， 24 19．96° 20.或21. 解：由图形和题意可知：，，则，故的周长，答：的周长为22cm ．22．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△DBE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△DBE ≌△ECF ，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形．(2)解：如图，由(1)可知△DBE ≌△ECF ，∴∠1＝∠3.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝12(180°－40°)＝70°，∴∠1＋∠2＝110°，(10分)∴∠3＋∠2＝110°，∴∠DEF ＝70°.23. 解：（1）作D 点关于AB 的对称点D ′，连接CD ′交AB 于P ，P 即为所求，此时PC +PD =PC +PD ′=CD ′，根据两点之间线段最短可知此时PC +PD 最小．（2）作D ′E ⊥BC 于E ，则EB =D ′A =AD ， ∵CD =2AD ，∴DD ′=CD ，∴∠DCD ′=∠DD ′C ， ∵∠A =∠B =90°，∴四边形ABED ′是矩形， ∴DD ′∥EC ，D ′E =AB =4，∴∠D ′CE =∠DD ′C ， ∴∠D ′CE =∠DCD ′，∵∠C =60°，∴∠D ′CE =30°， ∴D ′C =2D ′E =2AB =2×4=8； ∴PC +PD 的最小值为8． 24. 解：（1）x -6；x +6；（2）∵△ABC 是边长为6的等边三角形，（3）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变。
人教版八年级上册第13章《轴对称》单元测试含答案
人教版八年级上册第13章《轴对称》单元测试考试分值：120分；考试时间：100分钟；姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共7小题，满分35分，每小题5分）1．（5分）下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．12．（5分）在平面直角坐标系中，点（1，1）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）3．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数为（）A．30°B．40°C．20°D．25°4．（5分）已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB=20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm5．（5分）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）个．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个6．（5分）△ABC中，AD是中线，点D到AB，AC的距离相等，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．（5分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3评卷人得分二．填空题（共7小题，满分35分，每小题5分）8．（5分）一个三角形可被剖成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36度，求原三角形最大内角的所有可能值．9．（5分）在Rt△ABC中，若∠C=90°，AB=，∠A=30°，则BC=．10．（5分）如图所示，一排数字是球衣数字在镜中的像，则原数是．11．（5分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围是．12．（5分）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为．13．（5分）如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，垂足为E，D 在BC上，已知∠CAD=32°，则∠B=度．14．（5分）图中的正五角星有条对称轴，图中与∠A的2倍互补的角有个．评卷人得分三．解答题（共7小题，满分50分）15．（6分）用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）如图，点A，B在直线l的同侧．（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．16．（6分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x ﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2．（1）求A1、A2的坐标；（2）证明：O为线段A1A2的中点．17．（7分）已知：如图，BD=DE=EF=FG．（1）若∠ABC=20°，∠ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线（如DE、EF、FG）共有几条？若∠ABC=10°呢？试一试，并简述理由．（2）若∠ABC=m°（0＜m＜90），你能找出一个折线条数n与m之间的关系吗？若有，请找出来；若无，请说明理由．18．（6分）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．（1）试判断B′E与DC的位置关系；（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．19．（7分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，且BD=CE，BD与CE相交于点O，连接AO．求证：AO垂直平分BC．20．（8分）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE=CA；（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．21．（10分）已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：BE+CF=EF．参考答案与试题解析一．选择题（共7小题，满分35分，每小题5分）1．（5分）下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据轴对称图形的概念：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．求解【解答】解：（1）（2）（4）都不是轴对称图形，只有（3）是轴对称图形．故选：B．【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．2．（5分）在平面直角坐标系中，点（1，1）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得到点（1，1）关于y轴对称的点的坐标．【解答】解：点（1，1）关于y轴的对称点的坐标是（﹣1，1），故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．3．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数为（）A．30°B．40°C．20°D．25°【分析】根据等腰三角形的性质就可以求出∠ABC和∠C的度数，由角平分线的性质就可以求出∠ABD的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=20°．故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，此题比较简单．4．（5分）已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB=20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到GA=GB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DG是AB的垂直平分线，∴GA=GB，∵△AGC的周长为31cm，∴AG+GC+AC=BC+AC=31cm，又AB=20cm，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=51cm，故选：C ．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．（5分）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC ，则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形共有（ ）个．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】解答此题首先找到△ABC 的对称轴，EH 、GC 、AD ，BF 等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．【解答】解：与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG 、△CDF 、△AEF 、△DBH ，△BCG 共5个，故选：C ．【点评】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．6．（5分）△ABC 中，AD 是中线，点D 到AB ，AC 的距离相等，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【分析】根据中线的性质得出S △ABD =S △ACD ，再由点D 到AB ，AC 的距离相等，得出AB=AC ，从而得出△ABC 一定是等腰三角形．【解答】解：∵AD是中线，=S△ACD，∴S△ABD∵D到AB，AC的距离相等，∴AB=AC，∴△ABC一定是等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．7．（5分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG，再求出∠BDF=∠CDG，然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB，根据等角对等边可得BD=DE，判断②正确，再求出B，C，E三点在以D 为圆心，以BD为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE，判断③正确．【解答】解：∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°，∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣60°=120°，故①正确；如图，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，∴AD为∠BAC的平分线，∴DF=DG，∴∠FDG=360°﹣90°×2﹣60°=120°，又∵∠BDC=120°，∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°，∴∠BDF=∠CDG，∵在△BDF和△CDG中，，∴△BDF≌△CDG（ASA），∴DB=CD，∴∠DBC=（180°﹣120°）=30°，∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠BAC=30°，根据三角形的外角性质，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE，故②正确；∵DB=DE=DC，∴B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，∴∠BDE=2∠BCE，故③正确；综上所述，正确的结论有①②③共3个．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．二．填空题（共7小题，满分35分，每小题5分）8．（5分）一个三角形可被剖成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36度，求原三角形最大内角的所有可能值．【分析】分为以下情况：①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况；②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况；③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况；④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况；⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况．【解答】解：①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况如图所示：∠ABC=∠ACB=72°，∠A=36°，AD=BD=BC；②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况如图所示：∠ABC=90°，∠A=36°，AD=CD=BD；③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况如图所示：④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况如图所示：∠ABC=126°，∠C=36°，AD=BD=BC；⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况如图所示：∠C=132°，∠ABC=36°，AD=BD，CD=CB．综上，原三角形最大内角的所有可能值为72°，90°，108°，132°，126°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；分情况讨论是解决本题的关键，本题有一定的难度．9．（5分）在Rt△ABC中，若∠C=90°，AB=，∠A=30°，则BC=5．【分析】根据含30度角的直角三角形的性质推出BC=AB，代入求出即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=10，∴BC=AB=×10=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查对含30度角的直角三角形的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．10．（5分）如图所示，一排数字是球衣数字在镜中的像，则原数是251．【分析】易得所求的号码与看到的号码关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．【解答】解：由题意得：251|125．故答案为：251．【点评】考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2．11．（5分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围是m＜．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出M点位置，进而得出答案．【解答】解：∵点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，∴点M在第四象限，∴，解得：m＜．故答案为：m＜．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质以及不等式组的解法，正确解不等式是解题关键．12．（5分）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为12．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：分情况讨论：①当三边是2，2，5时，2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应舍去；②当三角形的三边是2，5，5时，符合三角形的三边关系，此时周长是12．故填12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．13．（5分）如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，垂足为E，D 在BC上，已知∠CAD=32°，则∠B=29度．【分析】利用中垂线和三角形外角性质计算．【解答】解：∠C=90°，∠CAD=32°⇒∠ADC=58°，DE为AB的中垂线⇒∠BAD=∠B又∠BAD+∠B=58°⇒∠B=29°故填29°【点评】本题涉及中垂线和三角形外角性质，难度中等．14．（5分）图中的正五角星有5条对称轴，图中与∠A的2倍互补的角有10个．【分析】正五角星经过角的顶点和中心点的直线都是它的对称轴，有5条对称轴，且五角星的五个角相等，从而求得答案．【解答】解：正五角星经过角的顶点和中心点的直线都是它的对称轴，所以有5条对称轴．与∠A的2倍即是∠AIE，与该角互为补角的角有∠AIC和∠DIE共两个，同理可得出其他八个符合条件的角．故答案为：5，10．【点评】本题考查了轴对称的性质，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形，这条直线是它的对称轴．三．解答题（共7小题，满分50分）15．（6分）用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）如图，点A，B在直线l的同侧．（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，再连接解答即可；（2）连接BA，延长BA交直线l于N，当N即为所求；【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示；理由：∵NB﹣NA≤AB，∴当A、B、N共线时，BN﹣NA的值最大．【点评】此题主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题中的作图步骤，是此类问题的基础，需熟练掌握．16．（6分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x ﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2．（1）求A1、A2的坐标；（2）证明：O为线段A1A2的中点．【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求出x、y的值，从而得到点A的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”写出点A1的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”写出点A2的坐标；（2）设经过OA1的直线解析式为y=kx，利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式，再求出点A2在直线上，然后利用勾股定理列式求出OA1=OA2，最后根据线段中点的定义证明即可．【解答】（1）解：∵点A（2x+y﹣3，x﹣2y）与A1（x+3，y﹣4）关于x轴对称，∴，解得，所以，A（8，3），所以，A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）；（2）证明：设经过O、A1的直线解析式为y=kx，易得：y OA1=﹣x，又∵A2（﹣8，3），∴A2在直线OA1上，∴A1、O、A2在同一直线上，由勾股定理知OA1=OA2==，∴O为线段A1A2的中点．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．17．（7分）已知：如图，BD=DE=EF=FG．（1）若∠ABC=20°，∠ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线（如DE、EF、FG）共有几条？若∠ABC=10°呢？试一试，并简述理由．（2）若∠ABC=m°（0＜m＜90），你能找出一个折线条数n与m之间的关系吗？若有，请找出来；若无，请说明理由．【分析】（1）由已知可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠EDF，∠FEG，∠AFG，∠AMG分别与∠B的关系，再根据三角形内角和定理即可求解．（2）结合第（1）题，根据三角形内角和定理可知，需满足mn＜90°，从而不难求解．【解答】解：（1）有4条，若∠ABC=10°，有8条．当∠ABC=20°，∵BD=DE=EF=FG=GM，∴∠DEB=∠B，∠EDF=∠EFD，∠FEG=∠FGE，∠GFM=∠FMG∵∠EDF=2∠B=40°，∠FEG=3∠B=60°，∠AFG=4∠B=80°，∠AMG=5∠B=100°，∴同理：∠AMG将成为下一个等腰三角形的底角∵100°+100°＞180°∴不会再由下一条折线∴共有四条拆线，分别是：DE、EF、FG，GM．同理：当∠ABC=10°，有8条符合条件的折线．（2）由（1）可知∠EDF=2∠B=2m°，∠FEG=3∠B=3m°，∠AFG=4∠B=4m°，∵根据三角形内角和定理可知，需满足mn＜90°，∴n＜的整数．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角和性质及三角形内角和定理的综合运用．18．（6分）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．（1）试判断B′E与DC的位置关系；（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．【分析】（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，所以∠AB′E=∠B=∠D=90°，∴B′E ∥DC；（2）利用平行线的性质和全等三角形求解．【解答】解：（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，∠AB′E=∠B=∠D=90°，∴B′E∥DC；（2）∵折叠，∴△ABE≌△AB′E，∴∠AEB′=∠AEB，即∠AEB=∠BEB′，∵B′E∥DC，∴∠BEB′=∠C=130°，∴∠AEB=∠BEB′=65°．【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD边上的B′点，则△ABE≌△AB′E，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．19．（7分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，且BD=CE，BD与CE相交于点O，连接AO．求证：AO垂直平分BC．【分析】欲证明AO垂直平分BC，只要证明AB=AC，BO=CO即可；【解答】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，∴Rt△BEC≌Rt△CDB （HL），∴∠ABC=∠ACB，∠ECB=∠DBC，∴AB=AC，BO=OC，∴点A、O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（8分）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE 交直线a于点E，且∠ADE=60°．（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE=CA；（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．【分析】（1）实际上也就是求两条线段相等，在AC上取一点F，使CF=CD，然后求证△ADF≌△EDC即可．（2）归根究底仍是求两条线段的问题，通过求证全等，最终得出几条边之间的关系．【解答】（1）证明：在AC上取点F，使CF=CD，连接DF．∵∠ACB=60°，∴△DCF为等边三角形．∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°．∴∠3=∠5．∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE，∴∠1=∠2．在△ADF和△EDC中，，∴△ADF≌△EDC（AAS）．∴CE=AF．∴CD+CE=CF+AF=CA．（2）解：CD、CE、CA满足CE+CA=CD；证明：在CA延长线上取CF=CD，连接DF．∵△ABC为等边三角形，∴∠ACD=60°，∵CF=CD，∴△FCD为等边三角形．∵∠1+∠2=60°，∵∠ADE=∠2+∠3=60°，∴∠1=∠3．在△DFA和△DCE中，∴△DFA≌△DCE（ASA）．∴AF=CE．∴CE+CA=FA+CA=CF=CD．注：证法（二）以CD为边向下作等边三角形，可证．证法（三）过点D分别向CA、CE作垂线，也可证．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．21．（10分）已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：BE+CF=EF．【分析】根据角平分线定义和平行线性质求出∠EDB=∠EBD，推出DE=BE，同理得出CF=DF，即可求出答案．【解答】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，同理CF=DF，∴EF=DE+DF=BE+CF，即BE+CF=EF．【点评】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边．。
【人教版】八年级上册数学：第13章《轴对称》单元测试(含答案)
第十三章轴对称单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、下列图形中一定是轴对称图形的是( )A、梯形B、直角三角形C、角D、平行四边形2、如图所示几何图形中，一定是轴对称图形的有几个（）A、2B、3C、4D、53、点A（3，4）关于x轴对称的点B的坐标为（）。
A、(6，4)B、(-3，5)C、(-3，-4)D、( 3，-4)4、已知两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是（）A、作已知角的平分线B、作已知线段的垂直平分线C、过一点作已知直线的高D、作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段5、已知等腰三角形的一边长为5，另两边的长是方程x2﹣6x+m=0的两根，则此等腰三角形的周长为（）A、10B、11C、10或11D、11或126、如图，直线l：y=﹣x+b，点M（3，2）关于直线l的对称点M1落在y轴上，则b的值等于（）A、3B、2C、1或2D、2或37、把经过点（﹣1，1）和（1，3）的直线向右移动2个单位后过点（3，a），则a的值为（）A、1B、2C、3D、48、点N（a，﹣b）关于y轴的对称点是坐标是（）A、（﹣a，b）B、（﹣a，﹣b）C、（a，b）D、（﹣b，a）9、若等腰三角形的两边长分别是3和6，则这个三角形的周长是（）A、12B、15C、12或15D、910、下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A、等腰三角形B、正三角形C、平行四边形D、正方形二、填空题（共8题；共24分）11、一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，则该大等腰三角形顶角的度数是________。
12、已知等腰三角形的一边长等于4cm，另一边长等于9cm，则此三角形的周长为 ________cm。
13、如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长为________14、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，若AC=9cm，BC=5cm，则△BCE的周长为________ cm。
《第十三章 轴对称》单元测试卷含答案(共6套)
《第十三章轴对称》单元测试卷（一）时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列瑜伽动作中，可以看成轴对称图形的是( )2．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是( ) A．12 B．15 C．18 D．203．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为( )A．40海里 B．60海里C．70海里 D．80海里4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是( )A．DE＝DC B．AD＝DBC．AD＝BC D．BC＝AE5．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为( )A．30° B．36°C ．54° D．72°6．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用(－1，0)表示，右下角方子的位置用(0，－1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是( ) A ．(－2，1) B ．(－1，1) C ．(1，－2) D ．(－1，－2)7．如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝6，BD 是∠ABC 的平分线，延长BC 到E ，使CE ＝CD ，则BE 的长为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．108．如图，∠A ＝80°，点O 是AB ，AC 垂直平分线的交点，则∠BCO 的度数是( ) A ．40° B．30° C．20° D．10°9.如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4……若∠A ＝70°，则∠A n－1A nB n －1的度数为( )A.70°2nB.70°2n ＋1C.70°2n －1D.70°2n ＋210．已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有( )A．3条 B．5条 C．7条 D．8条二、填空题(每小题3分，共24分)11．一个正五边形的对称轴共有________条．12．如图，等边△ABC中，AD为高，若AB＝6，则CD的长度为________．13．已知点P(3，－1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a＋b，1－b)，则ab的值为________．14．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则计算出树的高度是________米．15．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．16．如图，小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是__________．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，以点C为圆心、BC的长为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠ABE的大小为________．18．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线相交于点D，垂足为点P.若∠BAC＝84°，则∠BDC的度数为________．三、解答题(共66分)19．(7分)如图，已知AB＝AC，AE平分∠BAC的外角，那么AE∥BC吗？为什么？20．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC于点E，D为AB上一点，△BDE 是正三角形．求∠C的度数．21.(9分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．(1)求出△ABC的面积；(2)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；(3)写出点A1，B1，C1的坐标．22．(10分)如图，从①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CDA；③AB＝DC；④BE＝CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形(写出一种即可)．23．(10分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC 于点E，且BD＝DE，连接AE.(1)若∠BAE＝40°，求∠C的度数；(2)若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．24．(10分)如图，△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点，以AD为一边向右侧作等边△ADE.(1)如图①，点D在线段BC上移动时，直接写出∠BAD和∠CAE的大小关系；(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，猜想∠DCE的大小是否发生变化．若不变，请求出其大小；若变化，请说明理由．25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边向下侧作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边向下侧作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.(1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；(2)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？参考答案与解析1．A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C8．D 解析：如图，连接OA，OB.∵∠BAC＝80°，∴∠ABC＋∠ACB＝100°.∵O 是AB，AC垂直平分线的交点，∴OA＝OB，OA＝OC，∴OB＝OC，∠OAB＝∠OBA，∠OCA ＝∠OAC ，∴∠OBA ＋∠OCA ＝80°，∴∠OBC ＋∠OCB ＝100°－80°＝20°.∴∠BCO ＝∠CBO ＝10°，故选D.9．C 解析：在△ABA 1中，∠A ＝70°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1A ＝70°.∵A 1A 2＝A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角，∴∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A 2＝35°.同理可得∠B 2A 3A 2＝∠B 1A 2A 12＝17.5°＝70°22，∠B 3A 4A 3＝12×17.5°＝70°23，∴∠A n －1A n B n －1＝70°2n －1.故选C. 10．C 解析：分别以AB ，AC 为腰的等腰三角形有4个，如图①所示，分别为△ABD ，△ABE ，△ABF ，△ACG ，∴满足条件的直线有4条；分别以AB ，AC ，BC 为底的等腰三角形有3个，如图②所示，分别为△ABH ，△ACM ，△BCN ，∴满足条件的直线有3条．综上可知满足条件的直线共有7条，故选C.11．5 12.3 13.－10 14.10 15.13 16.10：4517．21° 解析：∵AB ＝AC ，∠A ＝32°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝74°.依题意可知BC ＝EC ，∴∠BEC ＝∠EBC ＝53°，∴∠ABE ＝∠ABC －∠EBC ＝74°－53°＝21°. 18．96° 解析：如图，过点D 作DE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F .∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF .∵DP 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD .在Rt△DEB 和Rt△DFC 中，⎩⎨⎧DB ＝DC ，DE ＝DF ，∴Rt△DEB ≌Rt△DFC (HL)．∴∠BDE ＝∠CDF ，∴∠BDC ＝∠EDF .∵∠DEB ＝∠DFA ＝90°，∠BAC ＝84°，∴∠BDC ＝∠EDF ＝360°－90°－90°－84°＝96°.19．解：AE ∥BC .(1分)理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .由三角形外角的性质得∠DAC ＝∠B ＋∠C ＝2∠B .(4分)∵AE 平分∠DAC ，∴∠DAC ＝2∠DAE ，∴∠B ＝∠DAE ，∴AE ∥BC .(7分)20．解：∵△BDE 是正三角形，∴∠DBE ＝60°.(2分)∵BE ⊥AC ，∴∠BEA ＝90°，∴∠A ＝90°－60°＝30°.(4分)∵∠ABC ＋∠C ＋∠A ＝180°，∠C ＝∠ABC ，∴∠C ＝180°－30°2＝75°.(8分)21．解：(1)依题意，S △ABC ＝12×5×3＝152.(3分)(2)△A 1B 1C 1如图所示．(6分)(3)A 1(1，5)，B 1(1，0)，C 1(4，3)．(9分)22．解：选择的条件是：①∠B ＝∠C ；②∠BAD ＝∠CDA (或①③，①④，②③)．(2分)证明：在△BAD 和△CDA 中，∵⎩⎨⎧∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CDA ，AD ＝DA ，∴△BAD ≌△CDA (AAS)，∴∠ADB ＝∠DAC ，(8分)∴AE ＝DE ，∴△AED 为等腰三角形．(10分)23．解：(1)∵AD ⊥BE ，BD ＝DE ，EF 垂直平分AC ，∴AB ＝AE ＝EC ，∴∠AED ＝∠B ，∠C ＝∠CAE .∵∠BAE ＝40°，∴∠AED ＝180°－∠BAE 2＝70°，(3分)∴∠C ＝12∠AED ＝35°.(5分)(2)∵△ABC 的周长为14cm ，AC ＝6cm ，∴AB ＋BE ＋EC ＝8cm ，(8分)即2DE ＋2EC ＝8cm ，∴DC ＝DE ＋EC ＝4cm.(10分) 24．解：(1)∠BAD ＝∠CAE .(2分)(2)∠DCE ＝60°，不发生变化．(3分)理由如下：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴∠DAE ＝∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴∠ACD ＝120°，∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE .(6分)在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS)，∴∠ACE ＝∠B ＝60°，∴∠DCE ＝∠ACD －∠ACE ＝120°－60°＝60°.(10分)25．解：(1)△OBC ≌△ABD .(1分)证明：∵△AOB ，△CBD 都是等边三角形，∴OB ＝AB ，CB ＝DB ，∠ABO ＝∠DBC ＝60°，∴∠OBC ＝∠ABD .(3分)在△OBC 和△ABD中，⎩⎨⎧OB ＝AB ，∠OBC ＝∠ABD ，CB ＝DB ，∴△OBC ≌△ABD (SAS)．(5分)(2)由(1)知△OBC ≌△ABD ，∴∠BOC ＝∠BAD ＝60°.又∵∠OAB ＝60°，∴∠OAE ＝180°－60°－60°＝60°，∴∠EAC ＝120°，∠OEA ＝30°，∴以A ，E ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，AE 和AC 是腰．(8分)∵在Rt△AOE 中，OA ＝1，∠OEA ＝30°，∴AE ＝2，(9分)∴AC ＝AE ＝2，∴OC ＝1＋2＝3，∴当点C 的坐标为(3，0)时，以A ，E ，C 为顶点的三角形是等腰三角形．(12分)《第十三章 轴对称》单元测试卷（二）一、选择题（每小题4分，共24分）1．下列图形中不是轴对称图形的是 ……… （ ）A B C D2．在下列说法中，正确的是……… （ ）A ．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形;B ．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形;C ．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形;D ．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形3．在平面直角坐标系中，点P （2，-3）关于Y 轴的对称点在… （ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限4. 等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是………（）A、70°B、50°或70°C、40°或70°D、40°5. 点M（-5，3）关于直线x=1的对称点的坐标是………（）A．(-5，-3) B．(6，-3) C．(5，3) D．(6，3)6．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=12cm,BC=10cm,则△BCD的周长为（）A．22 cm B．16cm C．26cm D．25cm二、填空题（每小题4分，共40分）1. 若三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，则这个三角形是三角形。
第13章《轴对称》单元测试题
DCBA第13章《轴对称》单元测试题班别 姓名 成绩一、选择题：（每小题4分，共20分。
）1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）第1题图2. 如图，ABC △是等腰直角三角形，90ACB ∠=，AC BC =，若CD AB ⊥，DE BC ⊥，垂足分别是D E ，．则图中全等的三角形共有（ ）。
A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对 3．在平面直角坐标系中，点(25)A ，与点B 关于x 轴对称，则点B 的坐标是（ ）。
A ．(25)--，B ．(25)，C. (25)-，D ．(25)-，4、已知等腰三角形两边长为7和5，则它的周长为（ ）。
A 、17 B 、19 C 、17或19 D 、无法确定 5．下列三角形：①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④二、填空题（每小题4分，共20分）6．如图，若P 是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则 （1）ΔP AC ≌_____ ； （2）P A ＝_____ ；（3）∠APC ＝_____ ； （4）∠A ＝_____ ．7．在平面直角坐标系中，点(12)A -，关于y 轴对称的点B 的坐标是 . 8．等腰三角形的顶角为50度，则底角是__________度．ABC E 第2题图ODCBADBC9、如图在△BCD 中，∠BDC ＝090，且∠B ＝600，BC ＝8cm ，则BD ＝ 。
10．等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是_______________________________．三、解答题:（本大题有7小题,共60分）11、如图，已知△ABC 和直线l ，作出△ABC 关于直线l 对称的图形。
2020年秋人教版 八年级上册第13章《轴对称》单元测试卷
人教版2020年八年级上册第13章《轴对称》单元测试卷满分100分姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列各图是选自历届世博会会徽中的图案，其中是轴对称图形的个数为（）A．3B．2C．1D．02．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图是小明在镜子中看到的钟表的图象，此时的真实时间是（）A．4：40B．4：20C．7：40D．7：204．到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点5．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB边的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，△BEC的周长是14cm，BC＝5cm，则AB的长是（）A．14cm B．9cm C．19cm D．12cm6．如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝15，DE ＝6，则CE的长为（）A．3.5B．4.5C．5D．5.58．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A．8B．9C．10或12D．11或139．点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，则（a+b）2010的值为（）A．0B．﹣1C．1D．7201010．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为P n，则P n﹣P n﹣1的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）11．我国国旗上的每一个五角星的对称轴有条．12．在直角坐标系中，点（2，﹣3）与它关于x轴的对称点的距离是．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于cm．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD是△ABC的中线，且AD＝5cm，则△ABC 的面积为．15．△ABC在如图所示的平面直角坐标系中，将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1，再画出△A1B1C1关于y轴对称的图形△A2B2C2，则四边形A1A2B2B1的面积为．16．如图，直线a∥b，∠1＝30°，∠2＝40°，且AD＝AC，则∠3的度数是．17．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，分别过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N．则EF+GH+MN的值为．三．解答题（共7小题，满分49分）18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．19．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM＝2BM．20．（6分）用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）如图，点A，B在直线l的同侧．（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．21．（7分）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5．（1）求线段QM、QN的长；（2）求线段QR的长．22．（7分）如图，在△ABC中，∠BAD＝∠C，BE平分∠ABC．（1）求证：AE＝AF；（2）若AC＝BC，∠C＝32°，求∠AEF的度数．23．（7分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE 交AC于F，AD交CE于H．（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：FH∥BD．24．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N 第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：根据轴对称图形的定义，第2个和第4个不是轴对称图形，第1个、第3个都是轴对称图形．故选：B．2．解：∵点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点是（3，﹣2），∴A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在第四象限．故选：D．3．解：根据镜面对称的性质可得，真实时间是4：40，故选：A．4．解：三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．故选：D．5．解：∵DE是AB边的垂直平分线，∴AE＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵△BEC的周长＝BE+BC+CE＝AE+CE+BC＝AC+BC＝14cm，BC＝5cm，∴AC＝14﹣5＝9cm，∵AB＝AC，∴AB的长是9cm．故选：B．6．解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3＝90°，∵∠3＝30°，∴∠2＝60°，∴∠1＝60°．故选：C．7．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵BC＝15，DE＝6，∴BD+CE＝9，∴CE＝4.5，故选：B．8．解：①腰长为3，则底边长为5，周长＝3+3+5＝11；②腰长为5，底边长为3，则周长＝5+5+3＝13．则三角形的周长是11或13．故选：D．9．解：∵点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，∴a＝3，b＝﹣4，∴（a+b）2010＝1，故选：C．10．解：P1＝1+1+1＝3，P2＝1+1+＝，P3＝1+++×3＝，P4＝1+++×2+×3＝，…∴p3﹣p2＝﹣＝＝，P4﹣P3＝﹣＝＝，则Pn﹣Pn﹣1＝＝．故选：C．二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）11．解：我国国旗上的每一个五角星的对称轴有5条．故答案为：5．12．解：∵点（2，﹣3）到x轴的距离为|﹣3|＝3，∴点（2，﹣3）与它关于x轴的对称点的距离是2×3＝6，故答案为6．13．解：∵AB的垂直平分线交AC于点N，∴NA＝NB，又∵△BCN的周长是5cm，∴BC+BN+NC＝5cm，∴BC+AN+NC＝5cm，而AC＝AN+NC＝3cm，∴BC＝2cm．故答案为：2．14．解：∵在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴△ABC的面积＝，故答案为：15cm2．15．解：根据题意，画图如下：由图形特点可知，梯形A1A2B2B1的面积为：＝16．16．解：如图，∵∠4＝∠1+∠2＝70°，∵AD＝AC，∴∠5＝180°﹣2∠4＝40°，∵直线a∥b，∴∠3＝∠5＝40°，故答案为：40°．17．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵EF∥AB，GH∥BC，MN∥AC，∴四边形AMPE，BFPG，CHPN都是平行四边形，△MGP，△PHE，△PFN均为等边三角形，∴MP＝AE，PE＝AM，GP＝BF，PF＝BG，PH＝CN，PN＝CH，∵EF＝PE+PF，GH＝GP+PH，MN＝MP+PN，∴EF+GH+MN＝2AB，∵AB＝4cm，∴EF+GH+MN＝8cm．故答案为8cm．三．解答题（共7小题，满分49分）18．解：△A1B1C1如图所示，点C1（﹣1，﹣1）．19．证法1：如答图所示，连接AM，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵MN是AB的垂直平分线，∴BM＝AM，∴∠BAM＝∠B＝30°，∴∠MAC＝90°，∴CM＝2AM，∴CM＝2BM．证法二：如答图所示，过A作AD∥MN交BC于点D．∵MN是AB的垂直平分线，∴N是AB的中点．∵AD∥MN，∴M是BD的中点，即BM＝MD．∵AC＝AB，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵∠BAD＝∠BNM＝90°，∴AD＝BD＝BM＝MD，又∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝DC，BM＝MD＝DC，∴CM＝2BM．20．解：（1）如图所示：（2）如图所示；理由：∵NB﹣NA≤AB，∴当A、B、N共线时，BN﹣NA的值最大．21．解：（1）∵P，Q关于OA对称，∴OA垂直平分线段PQ，∴MQ＝MP＝4，∵MN＝5，∴QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1．（2）∵P，R关于OB对称，∴OB垂直平分线段PR，∴NR＝NP＝4，∴QR＝QN+NR＝1+4＝5．22．（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠BAD＝∠C，∴∠ABE+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABE+∠BAD，∠AEB＝∠CBE+∠C，∴∠AFE＝∠AEB，∴AE＝AF；（2）解：∵∠C＝32°，∴∠CBA+∠CAB＝180°﹣∠C＝148°，∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB＝＝74°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝ABC＝37°，∴∠AEF＝∠C+∠CBE＝32°+37°＝69°．23．证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴在△BCE和△ACD中，∵，∴△BCE≌△ACD（SAS）．（2）由（1）知△BCE≌△ACD，则∠CBF＝∠CAH，BC＝AC又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，∴∠ACH＝180°﹣∠ACB﹣∠HCD＝60°＝∠BCF，在△BCF和△ACH中，∵，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF＝CH，又∵∠FCH＝60°，∴△CHF为等边三角形∴∠FHC＝∠HCD＝60°，∴FH∥BD．24．解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，x×1+12＝2x，解得：x＝12；（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t＝12﹣2t，解得t＝4，∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N 运动的时间为16秒．。
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第十三章 轴对称单元测试卷
（本卷满分100分
测验时间：一课时）
班级 姓名 学号 评分
一、选择题（每题5分
共 30 分）
1. 和点P （－3，2）关于y 轴对称的点是（ ）
A.（3，2）
B.（－3，2）
C.（3，－2）
D.（－3，－2）
2. 下列图案是几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（ ）
.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3. 下列命题中，不正确的是( ).
A ．关于直线对称的两个三角形一定全等
B ．两个大小一样的圆形纸片随意平放在水平桌面上构成轴对称图形
C ．若两图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线
D ．等腰三角形一边上的高、中线及这边对角平分线重台
4. 如下图，直线L 是一条河，P,Q 是两个村庄.欲在L 上的某处修建一个水泵站M ，向P,Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
.
5. 如图1,在△ABC 中，AB=AC=BC,CD 是∠ACB 的平分线,过D 作DE ∥BC 交AC 于E,若△ABC 的边长为a,则△ADE 的周长是( ). A.2a B.
34a C.2
3
a D.a E
D
C B
H
F
图1 图2
6. 如图2，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ）. A ．∠ACD=∠B B ．CH=HD C ．CH=CE=EF D ．AC=AF
二、填空题（每题5分
共 30 分）
7.在英文大写字母A,E,M,S,U,P中是轴对称图形的是.
8. 等腰三角形的一个角为40o,那么另外两个角的度数为_____________.
9. 等腰三角形的一边长为6cm，周长为30cm，另外两边长为_______.
10. 如图3,四边形ABCD沿直线l对折后互相重合,如果AD∥BC,有下列结论:
①AB∥CD; ②AB=CD; ③AB⊥BC; ④AO=OC.
其中正确的结论是_______________.
(把你认为正确的结论的序号都填上)
11.桌面上有A,B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图4所示8个点中，可以瞄准的点有个.
12.如图5，已知△AMN的周长为18，∠B,∠C的平分线相交于点O,过O点的直线MN∥BC交AB,AC于点M,N.则AB+AC= .
三、解答题（每小题8分，共40分）
13.图6中是由一个圆和一个三角形所组成的图案，其中三角形三个顶点分别为A，B，C，圆的圆心为D．（1）分别写出A，B，C，D的坐标；
（2）画出图案关于y轴的对称图形，并写出其对应点A′，B′，C′，D′的坐标；
（3）画出（2）中的图案关于x轴的对称图形，并写出其对应点A″，B″，C″，D″的坐标．
图6
14. 在△ABC中，三个内角的度数分别为α，β，γ，且满足等式│α-β│-（α-γ）2=0，问这个三角形是什么三角形？
15．把一张对边平行的纸条，如图7所示折叠，重合部分是什么形状？并说明理由．
图7
16如图8，AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．•
求证：AF⊥CD.
17.如图9所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC•的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．
图9
第十三章轴对称单元测试卷答案1.A. 2. C. 3. D. 4. D. 5.C． 6. B.
7. A,M,U.
8.40°,100°或70°,70°.
9.12㎝,12㎝.
10. ①②④.
11. 2.
12. 18.
13．（1）A（-5，3），B（-3，0），C（-1，3），D（-3，4）;
（2）画图略，
A′（5，3），B′（3，0），C′（1，3），D′（3，4）;
（3）画图略，
A″（5，-3），B″（3，0），C″（1，-3），D″（3，-4）．
14. 由题意,可知
0,
0,αβ
αγ
-=⎧
⎨
-=⎩
∴α=β且α=γ，∴α=β=γ,
∴△ABC是等边三角形．
15．重合部分是等腰三角形．
由折叠可知，∠CBD=∠C′BD，
又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠C′BD，
∴△BED是等腰三角形．
16．如图所示:
连接AC,AD .
在△ABC和△AED中,
()
()
()
AB AE
ABC AED
BC ED
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
已知
已知
已知
,
∴△ABC≌△AED（SAS）,
∴AC=AD.
又∵△ACD中AF是CD边的中线,
∴AF⊥CD.
17. ∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．。