2020届高考高三理科数学第二次模拟考试(一 )(附答案)

2020届高考高三理科数学第二次模拟考试（一 ）（附答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则等于（ ） A ． B ． C ．D ．2．复数（为虚数单位），则等于（ ） A ．3 B ． C ．2D ．3．已知，，，若，则等于（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．64．设，，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）{}23100A x x x =--<{}16B x x =-≤<A B I {}15x x -<<{}15x x -≤<{}26x x -<<{}25x x -<<2i1iz =-i z 222(1,3)=a (2,2)=b (,1)n =-c ()-⊥a c b n 1tan 2α=4cos(π)((0,π))5ββ+=-∈tan(2)αβ-724-524-524724A ．B ．4C ．D ．6．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ） A．B ．C ．D ．7．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差， 且，若，则的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．118．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ． 19325413222122:1x y C a b-=22222:1y x C b a -=1S 2S 12S S 1C 5232232[]3,3-x 301xx -≥-{}n a 264a a +=-0n a >n ()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩R a ()4y f x kx =--k 1(,0)2-1(2,)2-(1,1)-1(,1)29．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，，，现将沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）4π35π32π23+2π43+()2sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<5=AB A (1,2)-()f x (0)m m >ym 121π3π290C ∠=︒6BD =ABD △45︒A．B ．C ．D ．12．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．展开式中的系数的和大于8而小于32，则 ．14．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式 ．15．实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为 ．16．已知是抛物线上一点，是圆关于直线对称的曲线上任意一点，则的最小值为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知在中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且．（1）求角A 的值；332232233321()(0)3f x ax x a =+>0(1,0)x ∈-012x ≠-01()()2f x f =-2(,5)32(,3)(3,5)3U 18(,6)718(,4)(4,6)7U (1)n x +n ={}n a 11a =1k k i a a a +-=,1,2,i k k ≤=（3,,1)n -L {}n a {}n a n a =x y 121y y x x y m≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩z x y =-2-y x M 22y x =N 22(2)1x y +-=0x y -=C MN ABC △sin sin sin sin a A c Cb B C-=-（2）若，设角，周长为y ，求的最大值．18．（12分）如图，已知三棱柱中，是全等的等边三角形， （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值．3a =B θ=ABC △()y f θ=111ABC A B C -1ABC B BC △与△1BC AB ⊥11cos 4BB A ∠=1B B C A --19．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望．（参考公式：（其中）22⨯22⨯XX ()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++20．（12分）已知椭圆()的离心率为，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线相切． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点，已知Q 点坐标为，求的值．21．（12分）已知函数．2222:1x a C y b +=0a b >>2220x y +-=5,04（）QA QB ⋅u u u r u u u r2()22ln f x bx ax x =-+（1）若曲线在处的切线为，试求实数，的值；（2）当时，若有两个极值点，，且，，若不等式 恒成立，试求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】过点作倾斜角为的直线与曲线相交于M 、N 两点． （1）写出曲线C 的一般方程； （2）求的最小值．()y f x =(1,(1))f 24y x =+a b 1b =()y f x =1x 2x 12x x <52a ≥12()f x mx ≥()1,0P -α()3cos 2s n :i x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数PM PN ⋅23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数． （1）解不等式；（2）若函数存在零点，求的求值范围理科数学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】由， 所以． 2．【答案】D 【解析】，所以，． 3．【答案】C【解析】由题可知，因为，所以有，得．()1621f x x =--()2f x x ≤+()y f x a =-a {}{}{}23100(2)(5)025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<{}15A B x x =-≤<I 2i 2i(1i)i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===+=-+--+1i z =--2z =(1,4)n -=-a c ()-⊥a c b (1)2240n -⨯+⨯=5n =4．【答案】D 【解析】，，，， ，，， ． 5．【答案】A【解析】程序运行过程如下：，；，；，；，；，； ，；，，退出循环，输出结果为． 6．【答案】D【解析】四个顶点形成的四边形的面积， 四个焦点连线形成的四边形的面积， 所以， 当取得最大值时有，，离心率． 7．【答案】D【解析】由题意，本题符合几何概型，区间长度为6，使得成立的的范围为，区间长度为2， 1tan 2α=22tan 4tan 21tan 3ααα==-4cos(π)cos 5ββ+=-=-((0,π)β∈4cos 5β∴=3sin 5β=3tan 4β=43tan 2tan 734tan(2)431tan 2tan 24134αβαβαβ---===++⨯3x =0M =23x =23M =12x =-16M =3x =196M =23x =236M =12x =-103M =3x =1943M =>193112222S a b ab =⨯⨯=2212222S c c c =⨯⨯=1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+12S S a b =2c a =2c e a==[]3,3-301xx -≥-x (]1,3使得成立的概率为， 又，，， 令，则有，故的最小值为11． 8．【答案】A【解析】由于为上的减函数，则有，可得，所以当最小时，，函数恰有两个零点等价于方程有两个实根，等价于函数与的图像有两个交点． 画出函数的简图如下，而函数恒过定点， 数形结合可得的取值范围为．9．【答案】B【解析】由三视图可知其是由半个球及半个倒立的圆柱拼接而成， 其中球的半径为1，其体积为， 半圆柱的体积为， 所以总体积． 10．【答案】B∴301x x -≥-2163d ==26442a a a +=-=42a ∴=-1102(4)333n na n ∴=-+-⨯=-+0n a >10n >n ()f x R 10017(1)4a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≤-+⎩112a ≤<a 12a =()4y f x kx =--()4f x kx =+()y f x =4y kx =+()f x 4y kx =+(0,4)k 102k -<<31142π1π233V =⨯⨯=221π12π2V =⨯⨯⨯=5π3V =【解析】由于，函数最高点与最低点的高度差为， 所以函数的半个周期，所以， 又，，则有，可得， 所以， 将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数， 所以的最小值为1． 11．【答案】A【解析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知，，所以， 过A 作于点O ，连接DO ，则， 所以即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，所以，可得， 在中可得， 又，即点O 与点C 重合，此时有， 过C 作与点F ，又，所以，所以， 从而角即为直线AC 与平面ABD 所成角的平面角，． 12．【答案】D【解析】，令，得，． 其单调性及极值情况如下：5=AB 4()f x 32T=2ππ63T ωω==⇒=(1,2)A -0πϕ<<π2sin(1)23ϕ-⨯+=5π6ϕ=π5πππππ()2sin()2sin()2cos (1)363323f x x x x =+=++=+()f x m y m AE BD ⊥CE BD ⊥BD AEC ⊥平面AO CE ⊥AO BDC ⊥平面ADO ∠2sin 2AOADO AD∠==32AO =AOE △3OE =132OC BD ==AC BCD ⊥平面CF AE ⊥BD AEC ⊥平面BD CF ⊥CF ABD ⊥平面CAE ∠33sin 333CE CAE AE ∠===2()2f x ax x '=+()0f x '=10x =22x a=-x 0+ 0 _ 0 +极大值极小值若存在，使得，则（如图1）或（如图2）．（图1）（图2）于是可得．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】4【解析】，．14．【答案】【解析】因为，所以，因为是等比数列，所以数列的公比为2．2(,)a-∞-2a-2(,0)a-(0,)+∞()f x'()f x Z]Z11(1,)(,0)22x∈---U1()()2f x f=-212211(1)()2aaf f⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩3122a a-<-<-18(,4)(4,6)7a∈U018C C C232n nn n n<++⋅⋅⋅=<Q4n∴=12n-211a a a-=212a a={}na{}na又，所以当时，有．这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以．15．【答案】【解析】先做的区域如图可知在三角形ABC 区域内，由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，此时直线为，作出直线，交于A 点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A 点，由，得，代入，得，所以点C 的坐标为．等价于点与原点连线的斜率，所以当点为点C 时，取得最小值，最小值为．16．【答案】【解析】假设圆心关于直线对称的点为，则有，解方程组可得，所以曲线的方程为，圆心为， 设，则，又，所以，1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-L （i k =12k k a a +=12n n a -=17121y y x ≥⎧⎨≤-⎩z x y =-y x z =-z 2(2)y x x -=-=+2y x =+21y x =-x y m +=212y x y x =-⎧⎨=+⎩35x y =⎧⎨=⎩x y m +=358m =+=()7,1y x (,)x y yx1731-(0,2)0x y -=00(,)x y 0000212022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩0020x y =⎧⎨=⎩C 22(2)1x y -+=(2,0)C (,)(0)M x y x >222(2)MC x y =-+22y x =22222(2)=24(1)3MC x y x x x =-+-+=-+，即，所以．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由已知可得，结合正弦定理可得，∴， 又，∴． （2）由，及正弦定理得， ∴，， 故，即， 由，得，∴当，即时，． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）取BC 的中点O ，连接，，由于是等边三角形，所以有，，且，所以，，所以． （2）设，是全等的等边三角形， 所以， 又，由余弦定理可得，在中，有，所以以，，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，2min3MC∴=min 3MC =min 31MN =-π3max 33y =sin sin sin sin a A c Cb B C-=-sin sin sin sin b B b c a A c C -=-222b c a bc +=+2221cos 22b c a A bc +-==(0,π)A ∈π3A =3a =π3A =2sin sin sin b c aB C A===2sin 2sin b B θ==2π2π2sin 2sin()2sin()33c C B θ==-=-2π32sin 2sin()3y a b c θθ=++=++-π23sin()36y θ=++2π03θ<<ππ5π666θ<+<ππ62θ+=π3θ=max 33y =55AO 1B O 1ABC B BC △与△AO BC ⊥1B O BC ⊥1AO B O O =I 1BC B AO ⊥平面11AB B AO ⊂平面1BC AB ⊥AB a =1ABC B BC △与△11BB AB BC AC B C a =====11cos 4BB A ∠=2222113242AB a a a a a =+-⋅⨯=1AB C △22211AB AO B O =+OA OB 1OB则，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，又平面的一个法向量为， 所以二面角的余弦值为．19．【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，． 【解析】（1）根据题意及列联表可得完整的列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上 合计使用移动支付 40 10 50 不使用移动支付10 40 50 合计5050100根据公式可得， 所以在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关．（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人， 所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为， 则的可能为1，2，3，且3(,0,0)2A a (0,,0)2a B 13(0,0,)2B 1ABB (,,)x y z =n 1310022033022ax ay AB AB ax az ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎪⎩u u u ru u u r n n 1x =(1,3,1)=n 1BCB (1,0,0)=m 1B B C A --5cos 5θ⋅==⋅n m n m 125EX =22⨯22⨯()2250510004040101036 6.6035055k ⨯⨯=>⨯⨯-⨯=X X，，， 其分布列为1 2 3． 20．【解析】（1）；（2）． 【解析】（1）由离心率为，可得，，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆的方程为， 因与直线相切，则有，即，，， 故而椭圆方程为． （2）①当直线l 的斜率不存在时，，， 由于； ②当直线l 的斜率为0时，，，则； ③当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为，，，由及， 1282310C C 8(1)C 120P X ===2182310C C 56(2)C 10P X ===38310C 56(3)C 120P X ===X P8120561205612085656121231201201205EX =⨯+⨯+⨯=2212x y +=716-2222c e a ==22c a ∴=222x y a +=20x y +-=22a =2a =1c =1b ∴=2212x y +=21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭21,2B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭525271,1,424216⎛⎫⎛⎫-⋅--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2,0A ()2,0B -5572,02,04416⎛⎫⎛⎫-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x ty =+()11,A x y ()22,B x y 1x ty =+2212x y +=得，有，∴，， ，，∴ ， 综上所述：．21．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题可知，，，联立可得．（2）当时，，，有两个极值点，，且，，是方程的两个正根，，， 不等式恒成立，即恒成立，，由，，得，， 令，，22(2)210t y ty ++-=0Δ>12222t y y t +=-+12212y y t =-+111x ty =+Q 221x ty =+2112212121212551111(,)(,)()()(1)()4444416x y x y ty ty y y t y y t y y -⋅-=--+=+=-++22222211212217(1)242162(2)1616t t t t t t t t --+=-++⋅+=+=-+++716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 6a b ==-9ln 28m ≤--(1)21462f b a =⨯+==-2()22f x bx a x'=-+(1)2222f b a '∴=-+=6a b ==-1b =2()22ln f x x ax x =-+222(1)()22x ax f x x a x x-+'∴=-+=()f x Q 1x 2x 12x x <1x ∴2x 210x ax -+=1252x x a ∴+=≥121x x ⋅=12()f x mx ≥12()f x m x ≤232321111111111211122()22ln 22ln 2()2ln f x x ax x x ax x x x x x x x x x x -+∴==-+=-++3111122ln x x x x =--+1252x x a ∴+=≥121x x ⋅=11152x x +≥1102x ∴<≤31()22ln ,(0)2h x x x x x x =--+<≤2()32ln 0h x x x '=-+<在上是减函数，，故．22．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由曲线C 的参数方程，可得，即曲线C 的一般方程为．（2）直线MN 的参数方程为（t 为参数），将直线MN 的参数方程代入曲线，得，整理得， 设M ，N 对应的对数分别为，，则，当时，取得最小值为． 23．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）有题不等式可化为， 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得，不满足，舍去； 当时，原不等式可化为，解得， 所以不等式的解集为． ()h x ∴1(0,]219()()ln 228h x h ∴≥=--9ln 28m ≤--22132x y +=433cos (2sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）2222cos sin 132x y θθ+=+=22132x y +=1cos sin x t y t αα=-+⋅⎧⎨=⋅⎩22132x y +=222(1cos )3(sin )6t t αα-++=22(3cos )4cos 40t t αα-⋅-⋅-=1t 2t 12243cos PM PN t t α⋅=⋅=-cos 0α=PM PN ⋅4317|53x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或16a ≤22116x x ++-≥2x ≤-22116x x ---+≥173x ≤-122x -<≤22116x x +-+≥13x ≤-12x >22116x x ++-≥5x ≥17|53x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或（2）因为，所以若函数存在零点则可转化为函数与的图像存在交点， 数形结合可知1172,2()1152,2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩()y f x a =-()y f x =y a =16a ≤。