材料力学第10章压杆稳定

Fcr l 2
1.52
277.2 kN
压缩屈服的轴向压力为
a) b)
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Fs

d
4
4

s


0.050 2 235 4
10 6

461 .4 103 N

461 .4
kN

Fcr
细长压杆的承压能力是由稳定性要求，而不是由
强度要求确定的。
§10.2 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
EI
令
Fcr k 2 EI
Fcr
则
y k 2 y 0
x
§10.2 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
通解
y Asin kx B cos kx
Fcr
边界条件
y(0) 0
由 y(0) 0 ，得 B 0
y(l) 0
y
y Asin kx
x l
y
由 y(l) 0 ，得 Asin kl 0
的确定方法。
M0 Fcr
C
EI
D
M0
压杆失稳后的挠曲线
l
Fcr
x截面处的弯矩为
M M o Fcr y
M0 Fcr
Fcr y
M
x
根据挠曲线近似微分方程，应有
EIy M 0 Fcr y
引入记号
k 2 Fcr EI
y k 2 y M0 EI
§10.3 不同端部约束细长压杆临界力
Fcr
一、一端固定、一端自由
l 2l
2 EI
Fcr (2 l )2
Fcr
二、两端固定
C
l 0.5l l 0.7l
Fcr

2EI
(l /2)2
(a)
Fcr
D
三、一端固定、一端铰支
Fcr

2EI
(0.7l )2
(b)
C
(c)
§10.3 不同端部约束细长压杆临界力
细长压杆临界力公式可统一写成
面直径d = 50 mm，如图10-6a所示。材料为Q235钢，弹
性模量E=206GPa，试确定其临界力。
解 压杆横截面对任一轴的惯性矩为
I d 4 0.054 0.307 108 m4
64 64
临界力为
l
2EI 2 206109 0.307 108
等不利因素，压杆的失稳试验曲线略如图中曲线
OH所示。
F
(1)当F低于Fcr时，压杆就已 经开始弯曲，但增长缓慢。
D
EC
A
B
H
Fcr
(2)当压力接近于Fcr时，挠度
增长骤快，直至弯断。
O
y max
§10.2 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
例10-1 一钢质细长压杆，两端铰支，长l = 1.5m，横截
二阶非齐次线性微分方程，其全解为
y

C1
cos kx

C2
sin
kx

M0 Fcr
一阶导数为 y C1k sin kx C2k coskx
两端固定压杆的边界条件是
x 0处，y 0, y' 0; x l处，y 0, y' 0
当干扰力撤消后杆件仍能恢 复到原来的直线平衡状态
2. 不稳定平衡
F a)
3. 临界力
F<Fcr
F>Fcr
F<Fcr b)
F>Fcr c)
使压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时 的轴向压力称为临界力，用Fcr表示。
§10.1 压杆稳定的概念
其他形式的工程构件的失稳问题
(1) 狭长矩形截面梁在横向 力超过一定数值时，会突 然发生侧向弯曲和扭转。
D
EC
A
B
H
(2)当F > Fcr时，压杆既可以 Fcr 处于直线平衡状态(如D点所
示)，又可在曲线状态下保持
平衡(如E点所示)。
O
y max
A点是压杆的直线状态从稳定平衡向不稳定平衡的 转折点，称为平衡的分岔点，与分岔点对应的载荷 即为临界载荷。
§10.2 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
实际的压杆难免有初曲率、压力偏心和材料不均匀
压杆的临界力与横截面面积无关，而与横截面的惯 性矩有关。
(1)对于同样长度的杆，用相同截面积的材料做成空 心截面形状(图c，d)，其临界力可以增加很多。
(2)在各个方向约束相同(如球形铰) 的情况下，压杆的弯曲发生在刚 度最小的平面内，因此欧拉公式 中的I应取截面的最小惯性矩。
l
a) b)
c)
d)
§10.3 不同端部约束细长压杆临界力
(2)承受外压的薄壁圆筒当 外压达到一定数值时，会 突然失稳变成椭圆形 。
F
a)
q
b)
§10.2 两端铰支细长压杆临界力的欧
拉公式
x
一、欧拉公式
Fcr
x l
压杆在临界力Fcr作用下保持微弯的平衡状态
弯矩为
M (x) Fcr y
y
挠曲线近似微分方程
y
y M (x) Fcr y
EI
上式即为两端铰支细长压杆临界力的计算公式，通 常称为欧拉公式。
§10.2 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
二、临界力作用下的挠曲线方程
k n l 代入 y Asin kx y Asin nx
l Fcr A为曲线的最大挠度ymax n为正弦半波的数目
Fcr
Fcr
当n = 1，2，3时对应挠 曲线如图
第10章 压杆稳定
§10.1 压杆稳定的概念 §10.2 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式 §10.3 不同端部约束细长压杆的临界力 §10.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 §10.5 压杆的稳定条件与合理设计
§10.1 压杆稳定的概念
1. 稳定平衡
F
压杆在轴向压力F作用 下处于直线的平衡状态。 F1
Fcr
由于压杆处于微弯的平衡状态，A≠0，故有
得
sin kl 0
kl n (n 0,1, 2,3L )
§10.2 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
kl n (n 0,1, 2,3L )
由于临界力是使压杆失稳的最小压力，取n=1
代入
Fcr k 2 EI
Fcr

2EI
l2
Fcr

2EI (l)2
式中μ称为长度系数，与杆端的约束情况有关。
μl称为压杆的相当长度。
表10−1 各种支承条件下细长压杆的长度系数
支承情况 两端铰支 一端固定，一端自由 一端固定，一端铰支 两端固定
长度系数 μ=1 μ=2 μ=0.7 μ=0.5
§10.3 不同端部约束细长压杆临界力
下面以两端固定的压杆为例，说明挠曲线“拐点”
相应的临界力分别
Fcr
n=1
Fcr
n=2
2EI / l2 4 2EI / l 2
Fcr
n=3
9 2EI / l 2
§10.2 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
最大挠度ymax与轴向压力F之间的理论关系，如图中的
OAC所示。
F
(1)当F < Fcr时，压杆的直线 平衡状态(ymax=0)是稳定的；