数学---福建省南平市2018届高三第一次综合质量检查试题(文)
2018届福建省南平市高三5月质量检查文科数学试题及答
2018年南平市普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的标准差锥体体积公式1ShV=3其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh 24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合={|3}S x x >-，={|6T x x -≤≤≤x≤1}T x x -≤≤，则S T =A ．[6,)-+∞B ．(3,)-+∞C ．[6,1]-D ．(3,1]- 2．在复平面内，复数z i =i12+（i 是虚数单位）对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．cos15cos 45cos 75sin 45︒︒-︒︒=A ．12B C ．-12D ．4．过点()35，且与直线2370x y --=平行的直线方程是 A ．32210x y +-= B ．2310x y --= C ．3290x y --= D ．2390x y -+= 5．在ABC ∆中，“B A <”是“B A sin sin <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件≥ ≤≥6．若变量x ，y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+-，，，5231y x x y x 则z =2x +y 的最大值为A ．-3B ．2C ．3D ．47．若把函数)3π2(cos 3+=x y 的图象上的所有点向右平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A. 23πB. 3πC.6πD.12π 8．已知向量a ，b的夹角为 60，且2=a，1=b，则ba2+=A. 2B. 10C. 22D. 329．设数列{}n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则4321a a a ab b b b +++=A ．15B ．60C．63D ．7210．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，ABC ∆，ACD ∆，ADB ∆的面积分别为10，5，4，则该三棱锥外接球的表面积为 A. π141 B. 5π4 C. π53D. 4π211．利用计算机产生0~3之间的均匀随机数a 、x ，则事件“0log >x a )10(≠>a a 且”发生的概率为 A. 32B. 94C. 91D. 9512．在平面内，曲线C 上存在点P ，使点P 到点A （3，0），B （-3，0）的距离之和为10，则称曲线C为“有用曲线”．以下曲线不是“有用曲线”的是A．5x y+=B．229x y+=C．221 259x y+=D．216x y=二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．13.14输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是 . 15．已知P 是抛物线x y 42=上的一个动点，则P 到直线1l ：1134=+-y x 和2l ：1=+x 的距离之和的最小值是 . 16．关于函数1sin 23)(--⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x，给出下列四个命题：① 该函数没有大于0的零点； ② 该函数有无数个零点；③ 该函数在)0(∞+，内有且只有一个零点； ④ 若0x 是函数的零点，则20<x ．正视图侧视图俯视图224 2 第13题图第14题图其中所有正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）学校开展阳光体育活动，对学生的锻练时间进行随机抽样调查，从中随机抽取男、女生各25名进行了问卷调查，得到了如下列联表：可以认为“锻练时间与性别有关”?(Ⅱ) 从这50名学生中用分层抽样的方法抽取5人为样本，求从该样本中任取2人，至少有1人锻练时间少于1小时的概率.))()()(()(22d b c a d c b abc ad n K ++++-=18．（本题满分12分）已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，且1a ，2a ，23+a 成等比数列.(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若n n n a b 3=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19．（本题满分12分）已知函数()cos cos2,R f x x x x x =-∈，2,R f x x x x x -∈． (Ⅰ) 求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ) 在ABC ∆中，角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C 4f A c π===，4π=C ， ,24f A c π===，求ABC ∆的面积．20．（本题满分12分）如图，已知PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，2=AB ，C是⊙O 上一点，且BC AC =，45PCA ∠=，E 是PC 的中点，F 是PB的中点，G 为线段PA 上（除点P 外）的一个动点.(Ⅰ) 求证：BC ∥平面GEF ； (Ⅱ) 求证：BC⊥GE ；(III) 求三棱锥PAC B -的体积.21．（本题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，短半轴长为2.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 已知斜率为21的直线l 交椭圆C 于两个不同点A ，B ，点M的坐标为)12(，， 设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ．① 若直线l 过椭圆C 的左顶点，求此时1k ，2k 的值； ② 试探究21k k +是否为定值？并说明理由.22．（本题满分14分）AB第20题图己知函数22ln )(x a x x x f -= (R ∈a )， (Ⅰ) 若函数=y )(x f 的图象在点（1，)1(f ）处的切线方程为0=++b y x ，求实数a ，b 的值；(Ⅱ) 若函数)(x f ≤0恒成立，求实数a 的取值范围；(III) 若函数)(x f 有两个不同的极值点分别为1x ，2x ，求证：121>x x .2018年南平市普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考答案及评分标准说明：1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．A； 2．D； 3．A； 4．B； 5．C； 6．C；7．C； 8．D； 9．B； 10．B； 11．D； 12．B．二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．13．4； 14．3； 15．3； 16．②③④.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本题满分12分．解：（Ⅰ）x =15，y =20 …………………(2分)由已知数据得879.7333.825253020)1520105(5022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K …………………(4分)所以有99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关” …………………(6分)（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本, 所以抽取了锻练时间少于1小时2人，不少于1小时3人，分别记作A 1、A 2 ；B 1、B 2、B 3 .从中任取2人的所有基本事件共10个： (A 1, B 1),(A 1, B 2),(A 1,B 3),(A 2, B 1),(A 2, B 2), (A 2, B 3), (A 1, A 2), (B 1, B 2), (B 2, B 3),(B 1, B 3). …………………(8分)其中至少有1人的锻练时间少于1小时的基本事件有7个：(A 1,B 1),(A 1, B 2),(A 1,B 3),(A 2, B 1), (A 2, B 2), (A 2, B 3), (A 1,A 2). ………………… (10分)∴ 从中任取2人，至少有1人的锻练时间少于1小时的概率为107. ………… (12分)解：(Ⅰ)设正项等差数列}{n a 的公差为d , 故0>d1a ，2a ，23+a 成等比数列，则有)2(3122+=a a a ，即)22()(1121++=+d a a d a …………………（1分） 又12223313=⨯+=d a S ，…………………（2分）解得⎩⎨⎧==221d a 或⎩⎨⎧-==481d a （舍去）…………………（4分）∴n n a n 22)1(2=⨯-+=…………………（6分）(Ⅱ)n n n b 32⨯= …………………（7分）n T =n n n b b b 323432221⨯+⋯⋯+⨯+⨯=+⋯⋯++………………（8分） ∴132323)22(34323+⨯+⨯-+⋯⋯+⨯+⨯=n n n n n T ………………（9分）∴13232)3332322+⨯-+⋯⋯++⨯+⨯=-n n n n T （∴13231)31(322+⨯---⨯=-n n n n T ……………………（11分）∴233)121+-=+n n n T （……………………（12分）解：(Ⅰ)∵x x x x f 2cos cos sin 32)(-=，R x ∈()3=x x 2cos 2sin - …………………(1分)∴)62sin(2)(π-=x x f . …………………(3分)由226222πππππ+≤-≤-k x k ，Z k ∈ 解得,36ππππ+≤≤-k x k Zk ∈…………………(5分).∴函数)(x f 的单调递增区间是]3,6[ππππ+-k k Zk ∈. …………………(6分)(Ⅱ)∵在ABC ∆中，2,4,2)(===c C A f π，∴2)62sin(2=-πA 解得3ππ+=k A .Z k ∈…………………(8分) 又π<<A 0， ∴3π=A . …………………(9分)依据正弦定理，有4sin3sin ππc a=，解得6=a …………………(10分)ππ125=--=∴C A B . …………………（11分）2334266221sin 21+=+⋅⋅⋅==∴∆B ac S ABC …………………(12分)证明：(Ⅰ) E 是PC 的中点，F 是PB 的中点，∴EF ∥CB …………………（1分）EF ⊂平面GEF ，点G 不于点P 重合，CB ⊄平面GEF∴BC //平面GEF…………………（3分）(Ⅱ) PA ⊥⊙O 所在的平面，BC ⊂⊙O 所在的平面， ∴BC ⊥PC …………………（5分）又 AB 是⊙O 的直径，∴ BC ⊥AB …………………（6分）PA AC于A ，∴BC ⊥平面PAC …………………（7分）⊂GE 平面PAC ，∴BC⊥GE…………………（8分）(III)在ABC Rt ∆中，2=AB ，CB AB =，所以2==BC AB …………（9分）因为ABC PA 平面⊥，ABC AC 平面⊂，所以AC PA ⊥. 因为 45=∠PCA ，所以2=PA …………………（10分）所以121=⋅=∆AC PA S PAC …………………（11分）AB第20题图由(Ⅱ)知PAC BC 平面⊥，所以3231=⋅=∆-BC S V PAC PAC B .………………（12分）21．本题满分12分． 解：(Ⅰ)由椭圆的离心率为23，23=∴a c ，又2=b ，222c b a +=， 解得2,822==b a ，所以椭圆C 的方程为12822=+y x .…………………(3分)(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是221:+=x y l ， 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12822122y x x y ，解得⎩⎨⎧==2011y x 或⎩⎨⎧=-=02222y x ，故2121--=k ，2122-=k . …………………（6分）②21k k + 为定值，且021=+k k .…………………（7分）证明如下：设直线在y 轴上的截距为m ,所以直线的方程为m x y +=21.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1282122y x m x y , 得042222=-++m mx x . 当0168422>+-=∆m m ，即22<<-m 时，直线与椭圆交于两点………（8分）设),(11y x A .),(22y x B ,则m x x 221-=+，42221-=m x x .…………………（9分）又21111--=x y k ，21222--=x y k 故2121221121--+--=+x y x y k k =)2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y .…………（10分）又m x y +=1121，m x y +=2221， 所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y)2)(121()2)(121(1221--++--+=x m x x m x )1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m故021=+k k .…………………（12分）22．本题满分14分．解：(Ⅰ) 1ln )(+-='ax x x f ，…………………（2分） 因为切线方程为0=++b y x ，所以11)1(-=-='a f ，即2=a ……………（3分） 又12)1(-=-=af 可得切点为（1，-1），代入切线方程得0=b ……………（4分）(Ⅱ))(≤x f 恒成立等价于xx a ln 2≥恒成立，即max )ln 2(xxa ≥……………（5分） 设x xx g ln 2)(=,则2)ln 1(2)(x x x g -='…………………（6分） 当),0(e x ∈时，0)(>'x g ；…………………（7分）当),(+∞∈e x 时，0)(<'x g .…………………（8分） 所以当e x =时，ex g 2)(max =,即e a 2≥ …………………（9分）(III)若函数)(x f 有两个不同的极值点21x x 、， 即01ln )(111=+-='ax x x f ，01ln )(222=+-='ax x x f 即02)(ln ln 2121=++-+x x a x x 且0)(ln ln 2121=---x x a x x即)ln(21x x =2)(21-+x x a =2)(ln ln 212121-+--x x x x x x …………………（10分）要证121>x x ，只要证02)(ln ln 212121>-+--x x x x x x即证2)(ln ln 212121>+--x x x x x x不妨设021>>x x ，只要证212121)(2ln ln x x x x x x +->-成立…………………（11分） 即证1)1(2ln 212121+->x x x x x x …………………（12分）令121>=x x t ，即证1)1(2ln +->t t t令1)1(2ln )(+--=t t t t h ，则0)1()1()1(41)(222>+-=+-='t t t t t t h ……………（13分）所以)(t h 在),1(+∞上是增函数所以0)1()(=>h t h ，原式得证…………………（14分）。
福建省2018届高三毕业班质量检查测试数学试题(文)含答案
14. 若 x ， y 满足约束条件 x y 0
，则 z x y 的取值范围为
．
x 2y 6 0
15. 已知 A ， B 分别为椭圆 C 的长轴端点和短轴端点， F 是 C 的焦点 . 若 ABF 为等腰三角
形，则 C 的离心率等于
．
16. 已知底面边长为 4 2 ，侧棱长为 2 5 的正四棱锥 S ABCD 内接于球 O1 . 若球 O2 在球 O1
D
． 1, 2
2. 已知向量 AB 1,1 ， AC 2,3 ，则下列向量中与 BC 垂直的是（ ）
A． a 3,6
B ． b 8, 6 C ． c 6,8 D ． d 6,3
3. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn 2n 1
，则
（）
A． -2
B
． -1
C
．1
D
．2
4. 如图，曲线 y sin x 3 把边长为 4 的正方形 OABC 分成黑色部分和白色部分 . 在正方形 2
2018 年福建省高三毕业班质量检查测试
文科数学
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的 .
1. 已知集合 A x | x2 2x 3 0 ， B
2, 1,1,2 ，则 A B （ ）
A． 1,2
B
． 2,1
C ． 1,2
低龄
者”为“高龄患者” . 根据表中数据，解决以下问题： （ i ）将以下两个列联表补充完整，并判断“地域” “初次患病年龄”这两个变量中哪个变量 与该疾病的类型有关联的可能性更大 . （直接写出结论，不必说明理由） 表一：
2018年福建省高考数学一模试卷(文科)
2018年福建省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|0}A x x =>，{ln(1)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．[1,)+∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞ 2.已知复数z 满足(12)5i z +=，则复数z 的虚部等于（ ） A ．1 B ．-1 C ． 2 D ．-23.在等差数列{}n a 中，已知37,a a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前9项和等于（ ）A ．-18B ．9C ．18D ．36 4.下列关于命题的说法错误的是（ ） A ．函数1y x x=+的最小值为2 B ．命题“2,13x R x x ∀∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”； C ．“2x >”是“112x <”的充要条件； D ． 1311(0,),()log 32x x x ∀∈<，23x x <5.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．12-B ．12C ．23D ．3 6.已知 f （x ）是R 上的偶函数,且满足(2)()f x f x +=,当3[,0]2x ∈-时, f （x ）=-2x ,则f （-5）=A ．-2B ．2C ．-4D ．4 7.在区间[0,]π上随机取一个x,则y=sinx 在0到12之间的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．2π8.中国古代数学著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为13.5（立方寸），则图中的x 为（ ）A ．2.4B ．1.8C ．1.6D ．1.29.设不等式组104x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，表示的平面区域为M ，若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．(,1][3,)-∞+∞C ．[2,5]D ．(,2][5,)-∞+∞ 10.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC，2PA AB == ）A ．8πB ．16πC ．32πD ．36π11.2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，M是双曲线C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S ∆=，则双曲线C 的实轴长是（ ）A ．32B ．16C ．8D ．412.已知21()[(3)](2)2x f x x a x b =----，当x<0时，f ≤（x ）0，则a 的取值范围为 A ．2a ≥ B ．2a ≤ C ．2a < D ．02a <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．设复数z 满足z•i=2+3i ，则z= ．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，若a=2，则△ABC面积的最大值为．16．在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=2AD，△ABD面积为1，若=，BE⊥CD，则•=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}的前n项和，其中k为常数，a6=13．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，经木兰溪流经河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如表：南岸77928486747681718587北岸72877883838575899095（1）记评分在80以上（包括80）为优良，从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率；（2）根据表中的数据完成茎叶图：（3）分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形为ABCD矩形，E为SA的中点，SA=SB，AB=2，BC=3．（1）证明：SC∥平面BDE；（2）若BC⊥SB，求三棱锥C﹣BDE的体积．20．已知点P（0，﹣2），点A，B分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且=．（1）求E的方程；（2）设过点的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于MN以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．21．已知函数f（x）=2x3﹣3x+1，g（x）=kx+1﹣lnx．（1）设函数，当k＜0时，讨论h（x）零点的个数；（2）若过点P（a，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f（x）相切，求a的取值范围．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）设点P为圆C上的任一点，求点P到直线l距离的取值范围．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）设f（x）的最小值为M，若2x+a≥M的解集包含[0，1]，求a的取值范围．2018年福建省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．设复数z满足z•i=2+3i，则z=3﹣2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z•i=2+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案．【解答】解：由z•i=2+3i，得=．故答案为：3﹣2i．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，则的最大值为．故答案为：3．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，若a=2，则△ABC面积的最大值为．【考点】余弦定理．【分析】由已知化简可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可求cosA=，结合范围A ∈（0，π），可求A=，由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴A=，∵a=2，∴由余弦定理可得：4=b2+c2﹣bc，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，即：bc≤4，当且仅当b=c等号成立，=bcsinA≤=，当且仅当b=c等号成立，则△ABC面积的最∴S△ABC大值为．故答案为：．16．在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=2AD，△ABD面积为1，若=，BE⊥CD，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，设出D，求解相关的坐标，利用向量的数量积求解D的坐标，然后求解即可．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设D（0，a），△ABD面积为1，可得B（，0），则C（，2a），=，则E（.），BE⊥CD，可得：（，a）（，）=0，解得a2=，=（0，﹣a），=（，a），•=﹣a2=﹣．给答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}的前n项和，其中k为常数，a6=13．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1），n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．n=6时，a6=13，解得k．进而得出．（2）===，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+kn﹣[（n﹣1）2+k（n ﹣1）]=2n﹣1+k．∴n=6时，a6=11+k=13，解得k=2．∴n≥2时，a n=2n﹣1+2=2n+1．当n=1时，a1=S1=1+2=3，上式也成立．∴a n=2n+1．（2）===，数列{b n}的前n项和T n=+…+=1﹣=．18．为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，经木兰溪流经河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如表：南岸77928486747681718587北岸72877883838575899095（1）记评分在80以上（包括80）为优良，从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率；（2）根据表中的数据完成茎叶图：（3）分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】（1）利用列举法求出从10段中任取一段的基本事件有10个，用A表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，利用列法求出A包含的基本事件个数，由此能求出在同一段中两岸环保评分均为优良的概率．（2）根据表中数据，能完成茎叶图．（3）分别求出南岸10段的分值数据的中位数、平均数和北岸10段分值数据的中位数、平均数，由此看出北岸保护更好．【解答】解：（1）从10段中任取一段的基本事件有10个，分别为：（77，72），（92，87），（84，78），（86，83），（74，83），（76，85），（81，75），（71，89），（85，90），（87，95），这些基本事件是等可能的，用A表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，则A包含的基本事件为：（92，87），（86，83），（85，90），（87，95），共4个，∴P（A）=．（2）根据表中数据，完成下列茎叶图：（3）南岸10段的分值数据的中位数为：z1==82.5，南岸10段分值数据的平均数为：=81.3，北岸10段分值数据的中位数为：z2=，北岸10段分值数据的平均数：==83.7，由z1＜z2，，可以看出北岸保护更好．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形为ABCD矩形，E为SA的中点，SA=SB，AB=2，BC=3．（1）证明：SC∥平面BDE；（2）若BC⊥SB，求三棱锥C﹣BDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，设AC∩BD=O，由题意可得O为AC的中点，又E为AS 的中点，由三角形中位线定理可得SC∥OE，再由线面平行的判定可得SC∥平面BDE；（2）过E作EH⊥AB，垂足为H，由线面垂直的判定可得BC⊥平面SAB，则EH ⊥BC，又EF⊥AB，得到EH⊥平面ABCD，在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，求得SM=1．进一步可得EH=．再求出三角形BCD的面积利用等体积法求得三棱锥C﹣BDE的体积．【解答】（1）证明：连接AC，设AC∩BD=O，∵四边形ABCD为矩形，则O为AC的中点，在△ASC中，E为AS的中点，∴SC∥OE，又OE⊂平面BDE，SC⊄平面BDE，∴SC∥平面BDE；（2）解：过E作EH⊥AB，垂足为H，∵BC⊥AB，且BC⊥SB，AB∩SB=B，∴BC⊥平面SAB，∵EH⊂平面ABS，∴EH⊥BC，又EF⊥AB，AB∩BC=B，∴EH⊥平面ABCD，在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，∴SM=1．∵EH∥SM，EH=．∴．∴V C﹣BDE =V E﹣BCD=．∴三棱锥C﹣BDE的体积为．20．已知点P（0，﹣2），点A，B分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且=．（1）求E的方程；（2）设过点的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于MN以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由向量共线定理求得Q点坐标，由a=2，将Q代入椭圆方程，即可求得b，求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及△＞0，向量数量积的坐标运算•＞0，即可求得k的取值范围．【解答】解：（1）由题意题意△ABP是等腰直角三角形，a=2，B（2，0），设Q（x0，y0），由，则，代入椭圆方程，解得b2=1，∴椭圆方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，即（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，解得：k2＞，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，由坐标原点O位于MN为直径的圆外，则•＞0，即x1x2+y1y2＞0，则x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）=（1+k2）x1x2﹣2k×（x1+x2）+4=（1+k2）﹣2k×+4＞0，解得：k2＜4，综上可知：＜k2＜4，解得：＜k＜2或﹣2＜k＜﹣，直线l斜率的取值范围（﹣2，﹣）∪（，2）．21．已知函数f（x）=2x3﹣3x+1，g（x）=kx+1﹣lnx．（1）设函数，当k＜0时，讨论h（x）零点的个数；（2）若过点P（a，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f（x）相切，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）分类讨论，求导数，切点函数的单调性，即可讨论h（x）零点的个数；（2）设出切点，由切线方程，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=（2x+1）（x﹣1）2=0，x=﹣或1，∴x=﹣是h（x）的零点；∵g′（x）=k﹣，k＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）的最大值为g（1）=k+1．k＜﹣1，g（1）＜0，g（x）在[1，+∞）上无零点；k=﹣1，g（1）=0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；﹣1＜k＜0，g（1）＞0，g（e1﹣k）=ke1﹣k+k＜0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；综上所述，k＜﹣1时，h（x）有1个零点；﹣1≤k＜0时，h（x）有两个零点；（2）设切点（t，f（t）），f′（x）=6x2﹣6x，∴切线斜率f′（t）=6t2﹣6t，∴切线方程为y﹣f（t）=（6t2﹣6t）（x﹣t），∵切线过P（a，﹣4），∴﹣4﹣f（t）=（6t2﹣6t）（a﹣t），∴4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5=0①由题意，方程①有3个不同的解．令H（t）=4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5，则H′（t）=12t2﹣6t﹣12at+6a=0．t=或a．a=时，H′（t）≥0，H（t）在定义域内单调递增，H（t）不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意；a时，在（﹣），（a，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（，a）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（），极小值为H（a）；a时，在（﹣∞，a），（，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（a，）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（a），极小值为H（）；要使方程①有三个不同解，则H（）H（a）＜0，即（2a﹣7）（a+1）（2a2﹣5a+5）＞0，∴a＞或a＜﹣1．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）设点P为圆C上的任一点，求点P到直线l距离的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由题意求出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）由题意设P（，），由点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的值域求出答案．【解答】解：（1）∵圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，∴圆C的参数方程为（α为参数），∵直线l的极坐标方程为，∴，即ρsinθ+ρcosθ﹣4=0，∴直线l的普通方程是x+y﹣4=0；（2）由题意设P（，），∴点P到直线l距离d===，∵，∴，即，∴点P到直线l距离的取值范围是[0，]．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）设f（x）的最小值为M，若2x+a≥M的解集包含[0，1]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．分x≤2时，；2＜x＜4，x≥4，解f（x）＞2．（2））由|x﹣4|+|x﹣2|≥2，得M=2，由2x+a≥M的解集包含[0，1]，得20+a ≥2，21+a≥2【解答】解：（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．∴当x≤2时，f（x）＞2，6﹣2x＞2，解得x＜2；当2＜x＜4时，f（x）＞2得2＞2，无解；当x≥4时，f（x）＞2得2x﹣6＞2，解得＞4．所以不等式f（x）＞2的解集为（﹣∞，2）∪（4，+∞）．（2））∵|x﹣4|+|x﹣2|≥2，∴M=2，∵2x+a≥M的解集包含[0，1]，∴20+a≥2，21+a≥2，∴a≥1．故a的取值范围为：[1，+∞）2017年3月23日。
2018南平一模】福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查(2月)+数学(理)含答案
2018南平一模】福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查(2月)+数学(理)含答案2018年南平市普通高中毕业班第一次综合质量检查试卷理科数学参考答案及评分标准本解答提供了一种或多种解法，供参考。
如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
对于计算题，如果考生的解答在某一步出现错误，但后继部分的解答未改变该题的内容和难度，则可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，则不再给分。
只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
1）D（2）C（3）B（4）D（5）C（6）B7）D（8）C（9）A（10）D（11）A（12）A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分。
13）-1（14）120°（15）[4,16]（16）12π/3三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17）解：Ⅰ）因为B=π/3，c=4，b=6，所以在△ABC中，由正弦定理得：XXX×3/2=3/6=1/2sinC=3/2又b>c，所以B>C，因此C为锐角，所以cosC=√(1-sin^2C)=√(1-9/4)=1/2则sinA=sin(B+C)=sinB cosC+cosBsinC=√3/2×1/2+1/2×3/2=√3/2所以bcsinA=12×√3/2=6√3因此S△ABC=1/2×bc×sinA=1/2×4×6×√3/2=6√3Ⅱ）设BD=x，则BE=2x，AE=2/3x。
因为B=π/3，c=4，所以在△ABE中，由余弦定理得：12x^2=16+4x^2-2×4×2x×cosB即8x^2=16-8x，解得x=1（取正）则BE=2，AE=2/3，AB=4，所以∠AEB=π/3AD=AE+DE=2/3+1=5/3在直角△ADE中，由勾股定理得：DE^2=AD^2-AE^2=(5/3)^2-(2/3)^2=21/9=7/3因此DE=√(7/3)18）（Ⅰ）证明：因为BA=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC。
福建省南平市2018届高三第一次综合质量检查理科综合试题及答案
南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查理科综合试题一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.单基因遗传病有红绿色盲、白化病、高度近视（600度以上）等，某学校开展“调査人群中高度近视遗传病发病率”活动，相关叙述不正确的是A.收集高度近视相关的遗传学知识了解其症状与表现B.调査时需要调查家庭成员患病情况C.为保证调查群体足够大，应汇总各小组调査数据D.高度近视遗传病发病率=高度近视人数/被调査的总人数×100%2.在干旱环境中，高粱细胞生物膜系统会受到损伤，抗干旱高粱仍能保持细胞正常形态，且叶片保持绿色的时间明显长于普通高梁。
某同学据此提出的假设中，不成立的是A.抗干旱高梁叶肉细胞自由水/结合水的比例高于普通高粱B.抗干旱高梁叶绿体内类囊体受干旱损坏程度小于普通高梁C.抗干旱高梁细胞调节渗透压能力强于普通高粱D.抗干旱高梁根细胞的细胞液浓度高于普通高梁3.下图是DNA转录过程示意图。
当转录形成的mRNA从分子与模板链不易分离时，会形成RNA—DNA杂交链，此时非模板链、RNA-DNA杂交体共同构成三链杂合片段，其中新产生的mRNA与DNA模板链形成了稳定的杂交链，非模板链以单链状态存在。
下列说法正确的是A.图中①正在解螺旋，②正在螺旋B.三链杂合片段中嘌吟碱基总数等于嘧啶碱基总数C.三链杂合片段的形成加快了转录和翻译速度D.非模板链上胞嘧啶若替换为尿嘧啶，经两次DNA复制后将产生突变基因4.鹌鹑体内的Kp是相关神经元分泌的一类多肽类激素，通过调节雌激素含量来调控生殖活动，机制如下图，①是幼年期和非排卵期体内雌激素含量的调节过程，排卵前期启动过程②提高雌激素含量来促进排卵。
下列叙述不正确的是A.Kp由神经元内附着于内质网的核糖体合成B.GnRH神经元的细胞膜上有相应Kp的受体C.A代表下丘脑，过程①与②都体现了反馈调节D.雌激素含量＞促性腺激素含量＞GnRH含量5.下图是某生态系统的碳循环示意图，图中“→”表示碳的流动方向。
2018年福建省南平市高考数学一模试卷(文科)
2018年福建省南平市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设A={x|x2−x−2<0}，B={y|y=2x}，则A∩B=()A.(0, +∞)B.(0, 2)C.(−1, 0)D.(−1, 2)【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】∵A={x|x2−x−2<0}={x|−1<x<2}，B={y|y=2x}={y|y>0}，∴A∩B={x|0<x<2}=(0, 2)．2. 某人到甲、乙两市各7个小区调査空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调査中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的众数之差为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【考点】茎叶图【解析】由茎叶图写出甲的中位数与乙的众数，求它们的差即可．【解答】由茎叶图知，甲的数据按从小到大的顺序排列为60，73，74，79，81，82，91；中位数是79；乙的数据按从小到大的顺序排列为69，74，76，76，82，83，90；众数是76；所以甲的中位数与乙的众数之差为79−76=3．3. 已知复数z满足1+2iz=1−i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.3 2B.32i C.−32D.−32i【答案】A【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由1+2iz =1−i，得z=1+2i1−i=(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−12+32i，∴z的虚部为32．4. 在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，2asinB=b，则角A等于( )A.π3B.π4C.π6D.π12【答案】C【考点】正弦定理【解析】根据题意，由正弦定理分析可得2sinAsinB=sinB，变形可得sinA=12，分析A的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，锐角△ABC中，2asinB=b，b sinB =2a=asinA，即sinA=12，又由△ABC为锐角三角形，则0<A<π2，则A=π6.故选C.5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八厘关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地、”则此人第4天走了（）A.60里B.48里C.36里D.24里【答案】D【考点】等比数列的前n项和数列的应用【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S6＝378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天走的路程，即可得答案．【解答】根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是以12为公比的等比数列，又由S6＝378，得S6=a1(1−q6)1−q =a1(1−126)1−12=378，解可得a1＝192，则a4＝a1×(12)3＝24；6. 已知函数f(x)=lnx，若f(x−1)<1，则实数x的取值范围是（）A.(−∞, e+1)B.(0, +∞)C.(1, e+1)D.(e+1, +∞)【答案】C【考点】对数函数的图象与性质【解析】推导出ln(x−1)<1，从而0<x−1<e，由此能求出实数x的取值范围．【解答】∵函数f(x)=lnx，f(x−1)<1，∴ln(x−1)<1，∴0<x−1<e，解得1<x<e+1，∴实数x的取值范围是(1, e+1)．7. 执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（）A.7B.9C.11D.13【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】由题意，模拟执行程序框图，可得S=0，k=1满足条件S>−1，S=lg13，k=3满足条件S>−1，S=lg13+lg35，k=5满足条件S>−1，S=lg13+lg35+lg57，k=7满足条件S>−1，S=lg13+lg35+lg57+lg79，k=9满足条件S>−1，S=lg13+lg35+lg57+lg79+lg911=lg(13×35×57×79×911)=lg111=−lg11，k=11不满足条件S>−1，退出循环，输出k的值为11．8. 已知某简单几何体的三视图如图所示，若主视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为（）A.√5B.√3C.2√2D.√6【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】三视图知几何体为三棱锥，画出其直观图，结合图形求出棱长，判断即可．【解答】由三视图知几何体为三棱锥，是正四棱柱的一部分，其直观图如图：主视图的面积为1，可知正四棱柱的高为1，BC=2，CD=2，∴BD=2√2，AB=AC=√12+12+22=√6，AD=√2，则该几何体最长的棱的长度为：2√2．9. 函数f(x)=2sin(3x+φ)的图象向左平移动π12个单位，得到的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为（）A.π12B.π4C.π3D.5π12【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】函数f(x)=2sin(3x +φ)，图象向左平移动π12个单位，可得2sin(3x +π4+φ)，得到的图象关于y 轴对称， 则π4+φ=π2+kπ，k ∈Z ． ∴ φ=π4+kπ，当k =0时，可得|φ|的最小值为π4．10. 若函数f(x)=dax 2+bx+c (a, b, c, d ∈R)的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.a >0，b >0，c >0，d >0B.a >0，b >0，c >0，d <0C.a >0，b <0，c >0，d >0D.a >0，b <0，c >0，d <0 【答案】 D【考点】函数的图象变化 【解析】根据图象可先判断出分母的分解析，然后利用特殊点再求出分子即可． 【解答】由图象可知，x ≠1，5，∴ 分母必定可以分解为k(x −1)(x −5)， a =k ，b =−6k ，c =5k ， ∵ 在x =3时有y =2， ∴ d =−8k ，∴ a ，c 同号b ，d 同号；11. 已知直线l:y =kx −√2k 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为1，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2 B.2√2 C.3 D.√2【答案】 D【考点】双曲线的离心率 【解析】根据双曲线的性质和渐近线方程，以及两平行线之间的距离即可求出． 【解答】 双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为y =±ba x ，∵ 直线l:y =kx −√2k 与双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的一条渐近线平行， 且这两条平行线间的距离为1， ∴ ba =|k|，√2k|√1+k 2=1，解得b a =1， ∴ e =c a =√1+b 2a 2=√1+1=√2，12. 已知可导函数f(x)的导函数为f ′(x)，f(0)=2018，若对任意的x ∈R ，都有f(x)>f ′(x)，则不等式f(x)<2018e x 的解集为（ ）A.(0, +∞)B.(1e 2,+∞) C.(−∞,1e 2)D.(−∞, 0)【答案】 A【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】根据题意，设g(x)=f(x)e ，对g(x)求导分析可得g(x)单调性，由f(0)的值可得g(0)=2018；原问题可以转化为g(x)<g(0)，由函数g(x)的单调性分析可得答案． 【解答】根据题意，设g(x)=f(x)e x，其导数g′(x)=f ′(x)∗e x −e x f(x)e 2x=f ′(x)−f(x)e x，又由对任意的x ∈R ，都有f(x)>f ′(x)， 则有g′(x)<0，则函数g(x)在R 上为减函数， 又由f(0)=2018，则g(0)=f(0)e 0=2018，f(x)<2018e x ⇒f(x)e x<2018⇒g(x)<g(0)，又由函数g(x)为减函数，则有x >0， 即不等式的解集为(0, +∞)；二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知x ，y 满足{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0 ，则z =yx+2的最大值为________．【答案】 13【考点】 简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，再由z =yx+2的几何意义，即可行域内的动点与定点P(−2, 0)连线的斜率求解． 【解答】由约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0 作出可行域如图，联立{x −y =0x +y =2，解得A(1, 1)， z =yx+2的几何意义为可行域内的动点与定点P(−2, 0)连线的斜率， ∵ k PA =1−01−(−2)=13， ∴ z =yx+2的最大值为13．已知向量a →=(2sinθ,1),b →=(cosθ,−1),θ∈(π2,π)，且a → // b →，则cosθ等于________．【答案】 −2√55【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】由已知可得−2sinθ−cosθ=0，与sin 2θ+cos 2θ=1联立，结合θ的范围求得cosθ． 【解答】∵ a →=(2sinθ,1),b →=(cosθ,−1),θ∈(π2,π)，且a → // b →， ∴ −2sinθ−cosθ=0，① 又sin 2θ+cos 2θ=1，②联立①②，解得sinθ=√55，cosθ=−2√55．∴ cosθ=−2√55．已知点M 是抛物线C:y 2=8x 上一点，F 为抛物线C 的焦点，则以M 为圆心，|MF|=4为半径的圆被直线x =−1截得的弦长为________． 【答案】2√7【考点】抛物线的求解【解析】=4，x0=2，设弦长为2m，设M(x0, y0)，由抛物线定义可得：|MF|=x0+p2可得m2+(2+1)2=42．可得2m=2√7即可．【解答】=4，x0=2设M(x0, y0)，由抛物线定义可得：|MF|=x0+p2∵以M为圆心，|MF|为半径的圆被直线x=−1截得的弦长为2m，∴m2+(2+1)2=42．m2=7，2m=2√7正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为12π，E为球心，F为C1D1的中点．点M在该正方体的表面上运动，则使ME⊥CF的点M所构成的轨迹的周长等于________．【答案】4+2√5【考点】轨迹方程多面体和旋转体表面上的最短距离问题【解析】利用已知条件画出截面图形，利用外接球的面积求解正方体的棱长，转化求解即可．【解答】正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为12π，正方体的体对角线的长为：2√3；所以正方体的棱长为：2．E为球心，F为C1D1的中点．点M在该正方体的表面上运动，则使ME⊥CF的点M所构成的轨迹是图形中的红色线；点M所构成的轨迹的周长等于：2×2+2×√22+12=4+2√5．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知等差数列{a n}满足a3=6，前7项和为S7=49．（1）求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=(a n−3)∗3n，求{b n}的前n项和T n．【答案】=7a4=49，得a4=7由S7=7×(a1+a7)2∵a3=6，∴d=1，∴a1=4，∴a n=n+3b n=(a n−3)∗3n=n⋅3n，∴T n=1×31+2×32+3×33+...+n×3n，∴3T n=1×32+2×33+3×34+...+n×3n+1，∴−2T n=3+32+33+34+...+3n−n×3n+1=3−3n+1−n×3n+1，1−3∴T n=(2n−1)×3n+1+34【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的性质即可求出，（2）根据错位相减法即可求出．【解答】由S7=7×(a1+a7)2=7a4=49，得a4=7∵a3=6，∴d=1，∴a1=4，∴a n=n+3b n=(a n−3)∗3n=n⋅3n，∴T n=1×31+2×32+3×33+...+n×3n，∴3T n=1×32+2×33+3×34+...+n×3n+1，∴−2T n=3+32+33+34+...+3n−n×3n+1=3−3n+11−3−n×3n+1，∴T n=(2n−1)×3n+1+34三棱锥S−ABC中，侧面SBC⊥底面ABC，BC是等腰直角三角形ABC的斜边，且BC= 2,SA=SB=√2．（1）求证：SA⊥BC；（2）已知平面α // 平面SBC，平面α∩平面ABC=l，A∈α，D∈l，且C、D到平面SAB的距离相等，试确定直线l及点D的位置，并求三棱锥S−ABD的体积．【答案】∵平面α // 平面SBC，平面α∩平面ABC=l，平面SBC∩平面ABC=BC，∴l // BC，∵C、D到平面SAB的距离相等，∴CD // 平面SAB，或CD中点在平面SAB上，又CD⊂平面ABC，平面SAB∩平面ABC=AB，∴CD // AB，或CD中点在AB上，∴ABCD或ACBD为平行四边形，即AD=BC=2．∴过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l，以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点D（或在l上到A距离为2的点即为点D）三棱锥S−ABD的体积V S−ABD=V B−ASD=13×12×BC×AO×SO=16×2×1×1=13．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）法一：在△SCB内作SO⊥BC，交BC于O，连结AO推导出SO⊥OA，SO⊥OB，△SOA≅△SOB，从而AO⊥BO，由此能证明OB⊥平面SAO，从而BC⊥SA．法二：取BC中点O，连结AO，SO，由侧面SBC⊥底面ABC，得AO⊥SO，AO⊥BO，推导出△SAO≅△BAO，从而SO=BO=1，进而SO⊥BO，由此能证明OB⊥平面SAO，从而BC⊥SA（2）推导出l // BC，CD // 平面SAB，或CD中点在平面SAB上，CD // AB，或CD中点在AB上，从而ABCD或ACBD为平行四边形，即AD=BC=2．过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l，从而以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点D （或在l上到A距离为2的点即为点D），由此能求出三棱锥S−ABD的体积V S−ABD=V B−ASD．【解答】∵平面α // 平面SBC，平面α∩平面ABC=l，平面SBC∩平面ABC=BC，∴l // BC，∵C、D到平面SAB的距离相等，∴CD // 平面SAB，或CD中点在平面SAB上，又CD⊂平面ABC，平面SAB∩平面ABC=AB，∴CD // AB，或CD中点在AB上，∴ABCD或ACBD为平行四边形，即AD=BC=2．∴过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l，以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点D（或在l上到A距离为2的点即为点D）三棱锥S−ABD的体积V S−ABD=V B−ASD=13×12×BC×AO×SO=16×2×1×1=13．有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在[59, 101]范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在[71, 89)内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：（1）根据以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答是否有95%以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”？（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数x（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）记甲基地直径在[95, 101]范围内的五个桔柚分别为A、B、C、D、E，现从中任取二个，求含桔柚A的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．【答案】420,390,810,80,110,190,500,500,1000甲基地桔柚的优质品率为420500=84%，乙基地桔柚的优质品率为390500=78%，所以甲基地桔柚的优质品率较高，甲基地的500个桔柚直径的样本平均数为x=1×(62×10+68×30+74×120+80×175+86×125+92×35+98×5)=1.24+4.08+17.76+28.0+21.5+6.44+0.98=80；依题意：记“从甲基地直径在[95, 101]的五个桔柚A，B，C，D，E中任取二个，含桔柚A”为事件N；实验包含的所有基本事件为：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)，(B, C)，(B, D)，(B, E)，(C, D)，(C, E)，(D, E)共10种；事件N包含的结果有：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)共4种；所求事件的概率为：P(N)=410=25．【考点】独立性检验【解析】（1）由题意填写列联表，计算观测值K2，对照临界值得出结论；（2）计算甲、乙基地桔柚的优质品率，求出优质品率较高的样本平均数；（3）用列举法得出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】由以上统计数据填写2×2列联表如下：计算K2=1000×(420×110−390×80)2500×500×810×190=1000171≈5.848>3.841，所以有95%的把握认为：“桔柚直径与所在基地有关”；甲基地桔柚的优质品率为420500=84%，乙基地桔柚的优质品率为390500=78%， 所以甲基地桔柚的优质品率较高，甲基地的500个桔柚直径的样本平均数为x =1500×(62×10+68×30+74×120+80×175+86×125+92×35+98×5) =1.24+4.08+17.76+28.0+21.5+6.44+0.98 =80；依题意：记“从甲基地直径在[95, 101]的五个桔柚A ，B ，C ，D ，E 中任取二个，含桔柚A ”为事件N ；实验包含的所有基本事件为：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)，(B, C)，(B, D)， (B, E)，(C, D)，(C, E)，(D, E)共10种；事件N 包含的结果有：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)共4种； 所求事件的概率为：P(N)=410=25．已知F 1，F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(0<b <a <3)的左、右焦点，P(2,√2)是椭圆C 上一点，且|PF 1|=3|PF 2|．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且|OA →+OB →|=|AB →|，试求点O 到直线l 的距离． 【答案】由|PF 1|=3|PF 2|得：√(2+c)2+2=3√(2−c)2+2， 化简得：c 2−5c +6=0， 解得：c =2或c =3因为c <a <3，所以c =2，|PF 1|=3√2 因为{|PF 1|+|PF 2|=2a|PF 1|=3|PF 2|所以|PF 1|=32a =3√2，则a =2√2，又b 2=a 2−c 2=4， 所以椭圆的标准方程为：x 28+y 24=1；由题意可知，直线l 不过原点，设A(x 1, y 2)，B(x 1, y 2)， ①直线l ⊥x 轴，直线l 的方程x =m ，(m ≠0)，且−2√2<m <2√2，则x 1=m ，y 1=√4−m 22，x 2=m ，y 2=−√4−m 22，由|OA →+OB →|=|AB →|得：OA →⋅OB →=0，x 1x 2+y 1y 2=0 即m 2−(4−m 22)=0，解得：m =±2√63，故直线l 的方程为x =±2√63， ∴ 原点O 到直线l 的距离d =2√63，②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +n ，x 1+x 2=−4kn1+2k 2，x 1x 2=2n 2−81+2k 2，则y 1y 2=(kx 1+n)(kx 2+n)=n 2−8k 21+2k 2，由|OA →+OB →|=|AB →|得OA →⋅OB →=0，所以OA ⊥OB 所以x 1x 2+y 1y 2=0 故2n 2−81+2k +n 2−8k 21+2k =0，整理得：3n 2−8k 2−8=0，即3n 2=8k 2+8 ①原点O 到直线l 的距离d =√1+k2，d 2=3n 23(1+k 2)② 将①代入②，则d 2=8k 2+83(1+k 2)=83，∴ d =2√63，综上可知：原点O 到直线l 的距离d =2√63． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）根据两点之间距离公式求得c 的值，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程； （2）分类讨论，直线l ⊥x 轴，则直线l 的方程：x =m ，根据向量的坐标运算，即可求得m 的值，求得原点O 到直线的距离；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得3n 2=8k 2+8，根据点到直线距离公式，代入即可求得点O 到直线l 的距离． 【解答】由|PF 1|=3|PF 2|得：√(2+c)2+2=3√(2−c)2+2， 化简得：c 2−5c +6=0， 解得：c =2或c =3因为c <a <3，所以c =2，|PF 1|=3√2 因为{|PF 1|+|PF 2|=2a|PF 1|=3|PF 2|所以|PF 1|=32a =3√2，则a =2√2，又b 2=a 2−c 2=4， 所以椭圆的标准方程为：x 28+y 24=1；由题意可知，直线l 不过原点，设A(x 1, y 2)，B(x 1, y 2)， ①直线l ⊥x 轴，直线l 的方程x =m ，(m ≠0)，且−2√2<m <2√2，则x 1=m ，y 1=√4−m 22，x 2=m ，y 2=−√4−m 22，由|OA →+OB →|=|AB →|得：OA →⋅OB →=0，x 1x 2+y 1y 2=0 即m 2−(4−m 22)=0，解得：m =±2√63，故直线l 的方程为x =±2√63， ∴ 原点O 到直线l 的距离d =2√63，②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +n ，x 1+x 2=−4kn1+2k 2，x 1x 2=2n 2−81+2k 2，则y 1y 2=(kx 1+n)(kx 2+n)=n 2−8k 21+2k 2，由|OA →+OB →|=|AB →|得OA →⋅OB →=0，所以OA ⊥OB 所以x 1x 2+y 1y 2=0 故2n 2−81+2k +n 2−8k 21+2k =0，整理得：3n 2−8k 2−8=0，即3n 2=8k 2+8 ①原点O 到直线l 的距离d =√1+k2，d 2=3n 23(1+k 2)② 将①代入②，则d 2=8k 2+83(1+k 2)=83，∴ d =2√63，综上可知：原点O 到直线l 的距离d =2√63．已知函数f(x)=lnx −(a +1)x ，g(x)=2x −ax +a ，其中a ∈R ． (1)试讨论函数f(x)的单调性及最值；(2)若函数F(x)=f(x)−g(x)不存在零点，求实数a 的取值范围． 【答案】解(1)f(x)=lnx −(a +1)x ，函数的定义域是(0, +∞)， f′(x)=1x −(a +1)=1−(a+1)xx，a +1<0即a <−1时，1−(a +1)x >0， 故f′(x)>0，f(x)递增，无最值， a +1≥0即a ≥−1时， 令f′(x)>0，解得：x <1a+1， 令f′(x)<0，解得：x >1a+1，故f(x)在(0, 1a+1)递增，在(1a+1, +∞)递减； 故f(x)min =f(1a+1)=−ln(a +1)−1. (2)F(x)=lnx −(a +1)x −2x +ax −a=lnx −x −2x −a ， F′(x)=1x −1+2x 2=−(x−2)(x+1)x 2，令F′(x)>0，解得：x <2， 令F′(x)<0，解得：x >2，故F(x)在(0, 2)递增，在(2, +∞)递减，故F(x)max =F(2)=ln2−2−1−a =ln2−3−a ， 若F(x)不存在零点，则ln2−3−a <0， 解得：a >ln2−3． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；(2)求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】解(1)f(x)=lnx −(a +1)x ，函数的定义域是(0, +∞)， f′(x)=1x −(a +1)=1−(a+1)xx，a +1<0即a <−1时，1−(a +1)x >0， 故f′(x)>0，f(x)递增，无最值， a +1≥0即a ≥−1时， 令f′(x)>0，解得：x <1a+1， 令f′(x)<0，解得：x >1a+1，故f(x)在(0, 1a+1)递增，在(1a+1, +∞)递减； 故f(x)min =f(1a+1)=−ln(a +1)−1. (2)F(x)=lnx −(a +1)x −2x +ax −a=lnx −x −2x −a ， F′(x)=1x −1+2x 2=−(x−2)(x+1)x 2，令F′(x)>0，解得：x <2， 令F′(x)<0，解得：x >2，故F(x)在(0, 2)递增，在(2, +∞)递减，故F(x)max =F(2)=ln2−2−1−a =ln2−3−a ， 若F(x)不存在零点，则ln2−3−a <0， 解得：a >ln2−3．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为{x =−2+2cosαy =4+2sinα （α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为θ=3π4(ρ∈R)．(1)求圆C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；(2)设C1与C2的交点为P，Q，求△C1PQ的面积．【答案】(ρ∈R),解:(1)∵直线C2的极坐标方程为θ=3π4∴直线C2的直角坐标方程为x+y=0，∵圆C1的普通方程为(x+2)2+(y−4)2=4，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ−8ρsinθ+16=0．(2)将θ=3π代入ρ2+4ρcosθ−8ρsinθ+16=0，4得ρ2−6√2ρ+16=0，解得ρ1=4√2，ρ2=2√2，故ρ1−ρ2=2√2，即|PQ|=2√2．由于圆C1的半径为2，∴△C1PQ的面积为2．【考点】圆的极坐标方程【解析】(1)由直线C2的极坐标方程能求出直线C2的直角坐标方程，由圆C1的普通方程，能求出C1的极坐标方程．(2)将θ=3π代入ρ2+4ρcosθ−8ρsinθ+16=0，得ρ2−6√2ρ+16=0，从而得ρ1=44√2，ρ2=2√2，由此求出|PQ|=2√2．由圆C1的半径为2，能求出△C1PQ的面积．【解答】(ρ∈R),解:(1)∵直线C2的极坐标方程为θ=3π4∴直线C2的直角坐标方程为x+y=0，∵圆C1的普通方程为(x+2)2+(y−4)2=4，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ−8ρsinθ+16=0．(2)将θ=3π代入ρ2+4ρcosθ−8ρsinθ+16=0，4得ρ2−6√2ρ+16=0，解得ρ1=4√2，ρ2=2√2，故ρ1−ρ2=2√2，即|PQ|=2√2．由于圆C1的半径为2，∴△C1PQ的面积为2．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x+1|+3|x−1|．（1）求不等式f(x)<4的解集；（2）若f(x)≥|2m+3|对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】∵ f(x)=|x +1|+3|x −1|={−4x +2,x <−1−2x +4,−1≤x ≤14x −2,x >1∴ ①{x <−1−4x +2<4 ，即{x <−1x >−12 ，此时无解，②{−1≤x ≤1−2x +4<4，解得0<x ≤1，③{x >14x −2<4，解得1<x <32，综上不等式的解集为(0, 32)；由（1）知f(x)=|x +1|+3|x −1|={−4x +2,x <−1−2x +4,−1≤x ≤14x −2,x >1 ，则f(x)min =2，则|2m +3|≤2，解得−52≤m ≤−12， 即实数m 的取值范围是[−52, −12]．【考点】绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．（2）已知条件求出：则f(x)min =2，即可得到|2m +3|≤2，解得即可求解实数m 的取值范围． 【解答】∵ f(x)=|x +1|+3|x −1|={−4x +2,x <−1−2x +4,−1≤x ≤14x −2,x >1∴ ①{x <−1−4x +2<4 ，即{x <−1x >−12 ，此时无解，②{−1≤x ≤1−2x +4<4，解得0<x ≤1，③{x >14x −2<4，解得1<x <32，综上不等式的解集为(0, 32)；由（1）知f(x)=|x +1|+3|x −1|={−4x +2,x <−1−2x +4,−1≤x ≤14x −2,x >1 ，则f(x)min =2，则|2m +3|≤2，解得−52≤m ≤−12， 即实数m 的取值范围是[−52, −12]．。
高三数学-【数学】福建省2018届高三数学一模考试卷(文
厦门市2018年高中毕业班质量检查数学(文科)试题本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分本卷满分150分，考试时间120分钟· 参考公式：锥体的体积公式： 13Sh V=，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：2344,3S r V r ππ==其中r 为球的半径． 第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中一只有一项是符合题目要求的． 1．复数1ii-在复平面内对应的点在 A 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合 {}{}211,30,M x x N x x x MN =-=-≤=则A []1,0-B ．(]1,3-C ．[)0,1D {}1,3- 3．已知α是第二象限角， 1sin sin 22αα=，则等于A ．32 B ．32± C 32- D 34- 4．直角坐标平面内过点P(2，1)且与圆 224x y +=相切的直线A ．有两条B ．有且仅有一条C ．不存在D ．不能确定 5．已知函数 ()()sin ,1f x x Inx f '=+则的值为A ．1cos1-B ．1cos1+C ．cos11-D ．1cos1-- 6已知向量 ()()1,3,2,,2a b m a a b m ==-+若与垂直，则的值为 A ．12 B 1 C 12- D ．一l 7．在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则6等于A ．0．1B ．0．2C 0．25D ．0．38．设0.3,log 3,1,,,a b c a b c ππ===则 的大小关系是 A. ab c B. ac b C. b a c D. b c a9．已知p ：不等式 220x x m++的解集为R ；q ：指数函数()14xf x m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 为增函数．则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．一个几何体的三视图如图1所示(单位长度：cm)，则此 几何体的表面积是A 16cm 2B ． 21042cm + C ．21242cm + D ．2822cm +()()01103111.2log 0x x f x x x x f x =-已知是函数的零点，若则的值满足A ．()10fx B ．()10fxC.()10f x = D ．()()1100f x f x π与均有可能12·若方程()240,,0ax bx a b R a+-=∈有两个实数根，其中一个根在区问(1，2)内，则 a b +的取值范围是A ． (),4-∞B ．()4,+∞C (),4-∞-D ()4,4-第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置 13．在如图2的程序框图中，该程序运行后输出的结果为14．已知 221916x y l F -=是双曲线的一条渐近线，为双曲线的右焦点，则F 点到直线l 的距离为 ．15．如图3，某住宅小区的平面图呈圆心角为1200的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为 米．16．两点等分单位圆时，有相应正确关系为：()sin sin 0απα++=三点等分单位圆时，有相应正24sin sin sin 033ππααα⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由此 可以推知四点等分单位圆时的相应正确关系为：三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把解答过程填写在答题卡的相应位置． 17．(本小题满分12分)已知函数 ()()2sin 22cos f x x x x R =-∈ (I)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)当0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及相应的x 值．18.(本小题满分12分)一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外完全相同，已知蓝色球3个.若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是16． ( I)求红色球的个数；(Ⅱ)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙的大的概率．19．(本小题满分12分)已知四棱柱ABCD —A 1B l C l D l 的侧棱AA 1垂直于底面，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ， AD=AA 1=2，AB=BC=1，E 为A 1D 的中点．(I)试在线段CD 上找一点F ，使EF ∥平面A 1BC ，并 说明理由；(II)求证CD ⊥平面A 1ACC 1，并求四棱锥D —A 1ACC 1 的体积．20．(本小题满分12分)已知数列 {}()11,1, 2.2n n n a a a a n λλ-==+-≥(I)当λ为何值时，数列{}n a 可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式 (Ⅱ)若 {}13,,2n n n b a b λ==+n 令求数列的前n 项和S ‘21(本小题满分12分)()()()22221100,23,2,1,x y a b A B a b FB R F λλλ+==∈≠已知椭圆过点且椭圆的离心率为，、是椭圆上的两点，且不在x 轴上，满足AF 且其中为椭圆的左焦点。
【2018南平一模】福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查(2月)+数学(文)含答案
2018年南平市普通高中毕业班第一次综合质量检查文科数学试题答案及评分参考说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．（1）B （2）B （3）A （4） C （5）D （6） C （7）C （8）C （9）B （10）D （11）D （12）A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．（13）13 （14）（15）（16）4+三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（满分12分）解：（Ⅰ）由17747()=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ……………（2分）因为63=a 所以1=d …………（4分）14,3n a a n ==+所以……………（6分）（Ⅱ）(3)3=3nnn n b a n =-⋅⋅1231323333(1)n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ 所以……………（7分）234+131323333(2)n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ……………（9分）123+1+133(1)(2)233333=313n n n n n T n n +---=++++-⨯-⨯- 由得：…………（11分）+1(21)334n n n T -⨯+=所以……………（12分）（18）（满分12分）解析:（Ⅰ）法一:在SCB ∆内作SO BC ⊥，交BC 于O ，连结AO ，则由侧面SBC ⊥底面ABC ，得SO ⊥底面ABC ……………（2分）,SO OA SO OB ∴⊥⊥又,SA SB SO SO ==，SOA SOB ∴∆≅∆AO BO ∴=，45ABC = ∠，∴AOB ∆为等腰直角三角形，AO BO ⊥，又OA ∩OS =O ,,OB SAO ∴⊥平面…………（5分）SCAB DDOOB SA ∴⊥即BC SA ⊥…………（6分）法二:取BC 中点O ，连结AO ,SO ,由侧面SBC ⊥底面ABC得SBC AO 平面⊥,…………（2分） BO AO SO AO ⊥⊥∴,由已知2,2==SA AB ,BAO SAO ∆≅∆∴1==∴BO SOBO SO SB BO SO ⊥=+∴,222，又OA ∩OS =O ,,OB SAO ∴⊥平面…………（5分）OB SA ∴⊥即BC SA ⊥…………（6分）（Ⅱ）法一:平面α∥平面SBC ,平面α∩平面ABC l =,平面SBC ∩平面ABC l=BC ∴BC l //…………（7分）C D 、到平面SAB 的距离相等∴CD //平面SAB 或CD 中点在平面SAB 上又CD ⊂平面ABC ,平面SAB ∩平面ABC l=AB ∴CD //AB 或CD 中点在AB 上,ABCD ∴或ACBD 为平行四边形,即2==BC AD .…………（9分）所以,过点A 在平面ABC 内作直线平行于BC ，则所作直线即为l ,以A 为圆心BC 长为半径作弧与l 交点即为点D (或在l 上到A 距离为2的点即为点D )…………（10分） 其中31112612131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==--SO AO BC V V ABC S ABD S …………（12分）法二: C D 、到平面SAB 的距离相等ABC S SAB C SAB D ABD S V V V V ----===∴ ABD S ABC S V V --=∴312131=⨯⨯⨯⨯=SO AO BC …………（8分）平面α∥平面SBC ，平面α∩平面ABC l =，平面SBC ∩平面ABC l=BC ∴BC l //ABD S ABC S V V --=又 ABD ABC S S ∆∆=∴∴CD //AB 或CD 中点在AB 上,ABCD ∴或ACBD 为平行四边形,即2==BC AD .……（11分）所以,过点A 在平面ABC 内作直线平行于BC ，则所作直线即为l ,以A 为圆心BC 长为半径作弧与l 交点即为点D (或在l 上到A 距离为2的点即为点D )…………（12分） （19）（满分12分） 解：（Ⅰ）由以上统计数据填写22⨯列联表如下：……………（2分）841.3848.5171100019081050050080390110420100022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=）（K ，所以,有95%的把握认为：“桔柚直径与所在基地有关”． ……………（4分） （Ⅱ）甲基地桔柚的优质品率为%84500420=，乙基地桔柚的优质品率为%78500390=， 所以，甲基地桔柚的优质品率较高，……………（5分） 甲基地的500个桔柚直径的样本平均数)598359212586175801207430681062(5001⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x …（6分）8098.044.65.210.2876.1708.424.1=++++++= …………（8分）（Ⅲ）依题意：记“从甲基地直径在]101,95[的五个桔柚A,B,C,D,E 中任取二个，含桔柚A ”为事件N .实验包含的所有基本事件：（A,B ）,（A,C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ）， （B ，E ）,（C, D ），（C ，E ），（D ，E ）共10种.…………（9分） 事件N 包含的结果有：（A, B ）,（A, C ），（A ，D ），（A ，E ）共4种.…………（10分） 所求事件的概率为：42()105P N == …………（12分） （20）（满分12分）解：（Ⅰ）由123PF PF =得=2560c c -+=， 解得：2c =或3c =…………（2分）因为3c a <<，所以2c =，1PF =3分） 因为121223PF PF aPF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩所以132PF a ==a =，又2224b ac =-=，…………（4分）所以椭圆的标准方程为：22+184x y =；…………（5分）（Ⅱ）由题意可知，直线l不过原点，设1212(,),(,)A x y B x y ， ① 直线l x ⊥轴，直线l的方程,(0),x m m =≠且m -<<则1,x m =1y = 2,x m =2y =由OA OB AB += 得: 0OA OB ⋅= ,12120x x y y +=即22(4)02m m --=，解得：m =故直线l的方程为x =，∴原点O 到直线l的距离d =，…………（7分） ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx n =+，则22+184x y y kx n ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：222(12)4280k x knx n +++-=， 122412kn x x k +=-+，21222812n x x k -=+，…………（8分）则1212()()y y kx n kx n =++=222812n k k -+由OA OB AB += 得0OA OB ⋅=,OA OB ⊥所以 12120x x y y +=所以 故222812n k -++2228012n k k -=+， 整理得：223880n k --=，即88322+=k n ①…………（10分） 原点O 到直线l的距离d =，22233(1)n d k =+②…………（11分）将①代入②，则2228883(1)3k d k +==+，∴d =， 综上可知：原点O 到直线l的距离d =．…………（12分） （21）（满分12分）解：（Ⅰ）由()ln (1)f x x a x =-+ (0)x > 得： ()()()1-+11=-+1= ( 0)a x f x a x x x'> ………2分 ⑴当1a ≤-时, ()0 ()f x f x '>在0+∞（，）单调递增，()f x 没有最大值，也没有最小值.………3分 ⑵若1a >-， 当011x a <<+时, ()0f x '> , ()f x 在101a +（，）单调递增………4分当11x a >+时， ()0f x '<, ()f x 在11a ∞+（,+）单调递减，………5分 所以当11x a =+时，()f x 取到最大值11()ln 1ln(1)111f a a a =-=-+-++ ()f x 没有最小值.………6分 （Ⅱ）22()()()ln (1)()ln F x f x g x x a x ax a x x a x x=-=-+--+=--- (0)x > 由2222122(1)(2)()1x x x x F x x x x x -++-+-'=-+== (0)x >……8分 当02x << 时, ()0F x '> , ()F x 单调递增，当2x >时， ()0F x '< , ()F x 单调递减，所以当2x =时 ，()F x 取到最大值(2)ln 23F a =--, ……10分又0x → 时， 有 ()F x →-∞，所以要使()()()F x f x g x =-没有零点，只需(2)ln 230F a =--< ……11分所以实数a 的取值范围是：ln 23a >- ……12分（22）解:（Ⅰ）直线2C 的直角坐标方程为0=+y x ……………………………2分圆1C 的普通方程为,4)4()2(22=-++y x 因为cos ,sin x y ρθρθ==,所以1C 的极坐标方程为016sin 8cos 42=+-+θρθρρ……………………5分 （Ⅱ）将43πθ=代入016sin 8cos 42=+-+θρθρρ,得016262=+-ρρ,解得241=ρ,222=ρ故2221=-ρρ,即22||=PQ .………………………8分 由于圆1C 的半径为2,所以PQ C 1∆的面积为2………………………10分（23）解：（Ⅰ）3=m…………………………1分 得 ，不合题意，舍去…………………2分 ①② 得 ，10≤<∴x ……………3分③ 得 ，231<<∴x ……………4分⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=∴1241142124)(x x x x x x -x f ，，，⎩⎨⎧<+-<4241x -x ⎪⎩⎪⎨⎧->-<211x x ⎩⎨⎧<+≤≤44211x -x -⎩⎨⎧>≤≤011x x -⎩⎨⎧<->4241x x ⎪⎩⎪⎨⎧<>231x x综上不等式的解集为)230(，…………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知⎪⎩⎪⎨⎧>-<≤-+--<+-=1,2411,421,24)(x x x x x x x f ，则2)]([min =x f …………………7分 则2|32|≤+m ，解得2125-≤≤-m …………………9分 即实数m 的取值范围是].21,25[--…………………10分。
2018年福建省南平市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年福建省南平市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）2．（5分）某人到甲、乙两市各7个小区调査空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调査中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的众数之差为（）A．4B．3C．2D．13．（5分）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．B．C．D．4．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，2a sin B＝b，则角A等于（）A．B．C．D．5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里6．（5分）已知函数f（x）＝lnx，若f（x﹣1）＜1，则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，e+1）B．（0，+∞）C．（1，e+1）D．（e+1，+∞）7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（）A．7B．9C．11D．138．（5分）已知某简单几何体的三视图如图所示，若主视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）＝2sin（3x+φ）的图象向左平移动个单位，得到的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）若函数f（x）＝（a，b，c，d∈R）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0，d＞0B．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0C．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0D．a＞0，b＜0，c＞0，d＜011．（5分）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为1，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．3D．12．（5分）已知可导函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）＝2018，若对任意的x∈R，都有f（x）＞f'（x），则不等式f（x）＜2018e x的解集为（）A．（0，+∞）B．C．D．（﹣∞，0）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x，y满足，则的最大值为．14．（5分）已知向量，且，则cosθ等于．15．（5分）已知点M是抛物线C：y2＝8x上一点，F为抛物线C的焦点，则以M为圆心，|MF|＝4为半径的圆被直线x＝﹣1截得的弦长为．16．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为12π，E为球心，F为C1D1的中点．点M在该正方体的表面上运动，则使ME⊥CF的点M所构成的轨迹的周长等于．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}满足a3＝6，前7项和为S7＝49．（1）求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）三棱锥S﹣ABC中，侧面SBC⊥底面ABC，BC是等腰直角三角形ABC 的斜边，且．（1）求证：SA⊥BC；（2）已知平面α∥平面SBC，平面α∩平面ABC＝l，A∈α，D∈l，且C、D到平面SAB的距离相等，试确定直线l及点D的位置（说明作法及理由），并求三棱锥S﹣ABD的体积．19．（12分）有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在[59，101]范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在[71，89）内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：（1）根据以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答是否有95%以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”？（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）记甲基地直径在[95，101]范围内的五个桔柚分别为A、B、C、D、E，现从中任取二个，求含桔柚A的概率．附：，n＝a+b+c+d．20．（12分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆C上一点，且|PF1|＝3|PF2|．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，且，试求点O到直线l 的距离．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣（a+1）x，g（x）＝﹣ax+a，其中a∈R．（1）试讨论函数f（x）的单调性及最值；（2）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）不存在零点，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；（2）设C1|与C2的交点为P，Q，求△C1PQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+3|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜4的解集；（2）若f（x）≥|2m+3|对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．2018年福建省南平市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}＝（0，2）．故选：B．2．（5分）某人到甲、乙两市各7个小区调査空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调査中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的众数之差为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：由茎叶图知，甲的数据按从小到大的顺序排列为60，73，74，79，81，82，91；中位数是79；乙的数据按从小到大的顺序排列为69，74，76，76，82，83，90；众数是76；所以甲的中位数与乙的众数之差为79﹣76＝3．故选：B．3．（5分）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：由，得z＝，∴z的虚部为．故选：A．4．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，2a sin B＝b，则角A等于（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，锐角△ABC中，2a sin B＝b，则有2sin A sin B＝sin B，变形可得sin A＝；又由△ABC为锐角三角形，则0＜A＜，则A＝；故选：C．5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【解答】解：根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是以为公比的等比数列，又由S6＝378，得S6＝＝＝378，解可得a1＝192，则a4＝a1×（）3＝24；故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝lnx，若f（x﹣1）＜1，则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，e+1）B．（0，+∞）C．（1，e+1）D．（e+1，+∞）【解答】解：∵函数f（x）＝lnx，f（x﹣1）＜1，∴ln（x﹣1）＜1，∴0＜x﹣1＜e，解得1＜x＜e+1，∴实数x的取值范围是（1，e+1）．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（）A．7B．9C．11D．13【解答】解：由题意，模拟执行程序框图，可得S＝0，k＝1满足条件S＞﹣1，S＝lg，k＝3满足条件S＞﹣1，S＝lg+lg，k＝5满足条件S＞﹣1，S＝lg+lg+lg，k＝7满足条件S＞﹣1，S＝lg+lg+lg+lg，k＝9满足条件S＞﹣1，S＝lg+lg+lg+lg+lg＝lg（××××）＝lg ＝﹣lg11，k＝11不满足条件S＞﹣1，退出循环，输出k的值为11．故选：C．8．（5分）已知某简单几何体的三视图如图所示，若主视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，是正四棱柱的一部分，其直观图如图：主视图的面积为1，可知正四棱柱的高为1，BC＝2，CD＝2，∴BD＝2，AB＝AC＝＝，AD＝，则该几何体最长的棱的长度为：2．故选：C．9．（5分）函数f（x）＝2sin（3x+φ）的图象向左平移动个单位，得到的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝2sin（3x+φ），图象向左平移动个单位，可得2sin（3x++φ），得到的图象关于y轴对称，则+φ＝，k∈Z．∴φ＝，当k＝0时，可得|φ|的最小值为．故选：B．10．（5分）若函数f（x）＝（a，b，c，d∈R）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0，d＞0B．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0C．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0D．a＞0，b＜0，c＞0，d＜0【解答】解：由图象可知，x≠1，5，∴分母必定可以分解为k（x﹣1）（x﹣5），a＝k，b＝﹣6k，c＝5k，∵在x＝3时有y＝2，∴d＝﹣8k，∴a，c同号b，d同号；故选：D．11．（5分）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为1，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．3D．【解答】解：双曲线的一条渐近线为y＝±x，∵直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为1，∴＝|k|，＝1，解得＝1，∴e＝＝＝＝，故选：D．12．（5分）已知可导函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）＝2018，若对任意的x∈R，都有f（x）＞f'（x），则不等式f（x）＜2018e x的解集为（）A．（0，+∞）B．C．D．（﹣∞，0）【解答】解：根据题意，设g（x）＝，其导数g′（x）＝＝，又由对任意的x∈R，都有f（x）＞f'（x），则有g′（x）＜0，则函数g（x）在R上为减函数，又由f（0）＝2018，则g（0）＝＝2018，f（x）＜2018e x⇒＜2018⇒g（x）＜g（0），又由函数g（x）为减函数，则有x＞0，即不等式的解集为（0，+∞）；故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x，y满足，则的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣2，0）连线的斜率，∵，∴的最大值为．故答案为：．14．（5分）已知向量，且，则cosθ等于．【解答】解：∵，且，∴﹣2sinθ﹣cosθ＝0，①又sin2θ+cos2θ＝1，②联立①②，解得sinθ＝，cos．∴cosθ＝﹣．故答案为：．15．（5分）已知点M是抛物线C：y2＝8x上一点，F为抛物线C的焦点，则以M为圆心，|MF|＝4为半径的圆被直线x＝﹣1截得的弦长为2．【解答】解：设M（x0，y0），由抛物线定义可得：|MF|＝x0+＝4，x0＝2∵以M为圆心，|MF|为半径的圆被直线x＝﹣1截得的弦长为2m，∴m2+（2+1）2＝42．m2＝7，2m＝2故答案为：16．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为12π，E为球心，F为C1D1的中点．点M在该正方体的表面上运动，则使ME⊥CF的点M所构成的轨迹的周长等于．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为12π，正方体的体对角线的长为：2；所以正方体的棱长为：2．E为球心，F为C1D1的中点．点M在该正方体的表面上运动，则使ME⊥CF的点M所构成的轨迹是图形中的红色线；点M所构成的轨迹的周长等于：2×2＝4+2．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}满足a3＝6，前7项和为S7＝49．（1）求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由，得a4＝7∵a3＝6，∴d＝1，∴a1＝4，∴a n＝n+3（2）＝n•3n，∴T n＝1×31+2×32+3×33+…+n×3n，∴3T n＝1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，∴﹣2T n＝3+32+33+34+…+3n﹣n×3n+1＝﹣n×3n+1，∴T n＝18．（12分）三棱锥S﹣ABC中，侧面SBC⊥底面ABC，BC是等腰直角三角形ABC的斜边，且．（1）求证：SA⊥BC；（2）已知平面α∥平面SBC，平面α∩平面ABC＝l，A∈α，D∈l，且C、D到平面SAB的距离相等，试确定直线l及点D的位置（说明作法及理由），并求三棱锥S﹣ABD的体积．【解答】证明：（1）证法一：在△SCB内作SO⊥BC，交BC于O，连结AO，则由侧面SBC⊥底面ABC，得SO⊥底面ABC∴SO⊥OA，SO⊥OB又SA＝SB，SO＝SO，∴△SOA≌△SOB，∴AO＝BO，∵∠ABC＝45°，∴△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，又OA∩OS＝O，∴OB⊥平面SAO，∴OB⊥SA，即BC⊥SA．证法二：取BC中点O，连结AO，SO，由侧面SBC⊥底面ABC，得AO⊥平面SBC，∴AO⊥SO，AO⊥BO，由已知AB＝，SA＝，∴△SAO≌△BAO，∴SO＝BO＝1，∴SO2+BO2＝SB2，∴SO⊥BO，又OA∩OS＝O，∴OB⊥平面SAO，∴OB⊥SA即BC⊥SA解：（2）∵平面α∥平面SBC，平面α∩平面ABC＝l，平面SBC∩平面ABC＝BC，∴l∥BC，∵C、D到平面SAB的距离相等，∴CD∥平面SAB，或CD中点在平面SAB上，又CD⊂平面ABC，平面SAB∩平面ABC＝AB，∴CD∥AB，或CD中点在AB上，∴ABCD或ACBD为平行四边形，即AD＝BC＝2．∴过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l，以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点D（或在l上到A距离为2的点即为点D）三棱锥S ﹣ABD 的体积V S ﹣ABD ＝V B ﹣ASD ＝＝．19．（12分）有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在[59，101]范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在[71，89）内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：（1）根据以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答是否有95%以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”？（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）记甲基地直径在[95，101]范围内的五个桔柚分别为A 、B 、C 、D 、E ，现从中任取二个，求含桔柚A 的概率． 附：，n ＝a +b +c +d ．【解答】解：（1）由以上统计数据填写2×2列联表如下：计算K2＝＝≈5.848＞3.841，所以有95%的把握认为：“桔柚直径与所在基地有关”；（2）甲基地桔柚的优质品率为＝84%，乙基地桔柚的优质品率为＝78%，所以甲基地桔柚的优质品率较高，甲基地的500个桔柚直径的样本平均数为＝×（62×10+68×30+74×120+80×175+86×125+92×35+98×5）＝1.24+4.08+17.76+28.0+21.5+6.44+0.98＝80；（3）依题意：记“从甲基地直径在[95，101]的五个桔柚A，B，C，D，E中任取二个，含桔柚A”为事件N；实验包含的所有基本事件为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10种；事件N包含的结果有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E）共4种；所求事件的概率为：．20．（12分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆C上一点，且|PF1|＝3|PF2|．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，且，试求点O到直线l 的距离．【解答】解：（1）由|PF1|＝3|PF2|得：，化简得：c2﹣5c+6＝0，解得：c＝2或c＝3因为c＜a＜3，所以c＝2，因为所以，则，又b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知，直线l不过原点，设A（x1，y2），B（x1，y2），①直线l⊥x轴，直线l的方程x＝m，（m≠0），且，则x1＝m，，x2＝m，，由得：，x1x2+y1y2＝0即，解得：，故直线l的方程为，∴原点O到直线l的距离，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+n，则，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8＝0，，，则y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝，由得，所以OA⊥OB所以x1x2+y1y2＝0故+，整理得：3n2﹣8k2﹣8＝0，即3n2＝8k2+8 ①原点O到直线l的距离，②将①代入②，则，∴，综上可知：原点O到直线l的距离．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣（a+1）x，g（x）＝﹣ax+a，其中a∈R．（1）试讨论函数f（x）的单调性及最值；（2）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）不存在零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝lnx﹣（a+1）x，函数的定义域是（0，+∞），f′（x）＝﹣（a+1）＝，a+1＜0即a＜﹣1时，1﹣（a+1）x＞0，故f′（x）＞0，f（x）递增，无最值，a+1≥0即a≥﹣1时，令f′（x）＞0，解得：x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；故f（x）min＝f（）＝﹣ln（a+1）﹣1；（2）F（x）＝lnx﹣（a+1）x﹣+ax﹣a＝lnx﹣x﹣﹣a，F′（x）＝﹣1+＝，令F′（x）＞0，解得：x＜2，令F′（x）＜0，解得：x＞2，故F（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，故F（x）max＝F（2）＝ln2﹣2﹣1﹣a＝ln2﹣3﹣a，若F（x）不存在零点，则ln2﹣3﹣a＜0，解得：a＞ln2﹣3．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；（2）设C1|与C2的交点为P，Q，求△C1PQ的面积．【解答】解：（1）∵直线C2的极坐标方程为．∴直线C2的直角坐标方程为x+y＝0，∵圆C1的普通方程为（x+2）2+（y﹣4）2＝4，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ﹣8ρsinθ+16＝0．（2）将代入ρ2+4ρcosθ﹣8ρsinθ+16＝0，得，解得，，故ρ1﹣ρ2＝2，即|PQ|＝2．由于圆C1的半径为2，∴△C1PQ的面积为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+3|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜4的解集；（2）若f（x）≥|2m+3|对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝|x+1|+3|x﹣1|＝∴①，即，此时无解，②，解得0＜x≤1，③，解得1＜x＜，综上不等式的解集为（0，）；（2）由（1）知f（x）＝|x+1|+3|x﹣1|＝，则f（x）min＝2，则|2m+3|≤2，解得﹣≤m≤，即实数m的取值范围是[﹣，﹣]．。
最新-福建省四地六校2018届高三上学期第一次联考文科数学试题及答案 精品
“四地六校”联考2018-2018学年上学期第一次月考高三数学（文科）试题 （考试时间：120分钟 总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}11≤≤-=x x A ，{}022≤-=x x x B ，则=⋃B A ( ) A. {}01≤≤-x x B. {}21≤≤-x x C. {}21≤≤x x D. {}10≤≤x x 2．在复平面内，复数（-4+5i ）i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知向量)2,1(=a , )1,(m b =,如果向量a 与b 平行,则m 的值为( )A ．21 B ．21- C ．2 D ．2-4、函数x x x y ln +=的单调递增区间是（ ）A.),0(2-eB.),(2+∞-eC. ),(2--∞eD. ),(2+∞-e 5.在△ABC 中，sinB+sin(A-B)=sinC 是sinA=23的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也非必要条件6.已知),,0(,3tan παα∈=则⎪⎭⎫⎝⎛+a 225cos π＝（ ）A.53 B.54C.53-D.54-7.等比数列{}n a 满足31=a ,21531=++a a a ,则62a a = ( )A ．6B ．9C ．36D ．72 8．设命题p ：函数)32sin(π+=x y 的图象向左平移6π个单位长度得到的曲线关于y 轴 对称；命题q ：函数12-=x y 在[)+∞-,1上是增函数．则下列判断错．误．的是（ ） A ．p 为假 B ． q 为真 C ．p ∨q 为真 D.p ∧q 为假 9.若函数)sin(2)(ϕω+=x x f 对任意x 都有)(3x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛+π，则⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝( )A.2或0B.0C.－2或0D.－2或2 10.若偶函数)(x f y =,R x ∈，满足)()2(x f x f -=+，且∈x [0,2]时,x x f 211)(-=，则方程x x f 8log )(=在[-10,10]内的根的个数为（ ）A ．12B ．10C ．9D ．811.设函数)(x f '是奇函数))((R x x f ∈的导函数,且,0)2(=-f 当0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（ ）A.)2,0()2,(⋃--∞B. ),2()0,2(+∞⋃-C. )0,2()2,(-⋃--∞D.),2()2,0(+∞⋃12.已知数列{}n a 满足,2s i n )2c o s 1(,2,122221ππn a n a a a n n ++===+则该数列的前10项和为（ ）A.89B.76C.77D.35二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）. 13.设函数,0,40,log )(2⎩⎨⎧≤>=x x x x f x 则))2((-f f 的值为__________。
(解析版)福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量
福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查（2月）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，则.故选D.2. 已知为虚数单位，若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】复数满足，所以..故选C.3. 等差数列的前项和为，若为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】等差数列的前项和为，若为一个确定的常数，因为，所以为一个确定的常数，又，所以为一个确定的常数.故选B.4. 已知点是圆的内部任意一点，则点满足的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆，即，表示圆心为(1,0)，1为半径的圆，面积为.满足的点为图中阴影部分，面积为，满足的概率是.故选B.点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 5. 已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，由余弦定理得：，得，由,得.的面积为.故选C.6. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面枳，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：，)A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】第1次执行循环体后,S=×6×sin60∘=，不满足退出循环的条件，则n=12，第2次执行循环体后,S=×12×sin30∘=3，不满足退出循环的条件，则n=24，第3次执行循环体后,S=×24×sin15∘≈3.1056，不满足退出循环的条件，则n=48，第4次执行循环体后,S=×48×sin7.5°≈3.132，满足退出循环的条件，故输出的n值为48，本题选择C选项.7. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图事实为该几何体的直观图，左侧为半个圆锥，圆锥底面半径为1，母线长为1，右侧为三棱锥.半个圆锥的侧面积为，半圆锥的底面面积为，，中，，所以.该几何体的表面积为.故选D.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8. 直线与抛物线相交与两点，若(是坐标原点），则面积的最小值为（）A. 32B. 24C. 16D. 8【答案】C【解析】设直线AB的方程为：x=ty+m，点直线AB与x轴的交点为M(m,0)，x=ty+m代入,可得y2−4ty−4m=0，根据韦达定理有⋅=−4m，∵OA⊥OB，∴，∴,从而，∵点A，B位于x轴的两侧，∴=−16，故m=4.不妨令点A在x轴上方,则>0，面积.当且仅当时，面积的最小值为16.故选C.9. 若是自然对数的底数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，排除C，D.由得.故选A.10. 已知函数满足，若函数与图像的交点为，则（）A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】令，函数与图像的交点的横坐标即为方程的根，由于，即关于原点对称.所以..所以.故选D.点睛：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数）11. 已知数列满足，则该数列的前23 项的和为（）A. 4194B. 4195C. 2046D. 2047【答案】A【解析】当为偶数时，，有，即偶数项成等差，所以.当为奇数时，，即奇数项成等比..该数列的前23 项的和为.故选A.12. 已知，且，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，有，所以为奇函数且函数在为增函数.又，即,所以.则.故选A.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中含的系数为50，则的值为__________．【答案】-1【解析】的展开式的通项为：.令得；令得.的展开式中含的项为：，有.解得.故答案为：-1.14. 已知，向量在向量上的投影为，则__________．【答案】【解析】向量在向量上的投影为，所以.又，所以.所以，解得.所以.故答案为：.15. 已知实数满足，求的取值范围__________．【答案】【解析】作出可行域如图所示：令表示可行域内的点到原点的斜率，由图联立直线可得..易知在单调递减，在单调递增.时，，时，，时，，所以.故答案为：.16. 在三棱锥中，,,与平面所成角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为__________．【答案】【解析】如图所示，为三棱锥外接球的球心，为AP的中点，为底面△的外心，.面，,有，有四点共圆，且为圆的直径.由,，知为在平面的射影，射影与平面所成角为.在△中，由余弦定理可得：.由正弦定理：.即三棱锥外接球的半径为表面积为.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中,分别为角的对边，且.（1）若，求及；（2）若在线段上，且，求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）由正弦定理得，结合，知为锐角，得，进而得，利用面积公式求面积即可；（2）设，则，由余弦定理可得，进而得，直角△ADE中求解即可.试题解析：（Ⅰ）∵，，，在△ABC中，由正弦定理，得，又，所以，则C为锐角，所以，则，所以（Ⅱ）设，则，又，，在△ABE中，由余弦定理得，即，解得（取正），则，,所以，在直角△ADE中，．18. 如图，在三棱柱中，平面平面，，为的中点.（1）若，求证：平面；:（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可得平面A1ACC1，进而证得BE A1C，又，所以平面；（2）先证得A1E平面ABC，进而以E点为原点，分别以射线EB，EC，EA1为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求得面和面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值即可.试题解析：（Ⅰ）证明：因为BA=BC，E为AC的中点，所以BE AC，又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABC=AC，平面ABC，所以BE平面A1ACC1，又A1C平面A1ACC1，所以BE A1C，又BC1A1C，BE BC1=B，所以A1C平面C1EB（Ⅱ）连接A1E，因为A1A=A1C，又E为AC的中点，所以A1E AC,又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABC=AC，A1E平面A1ACC1，所以A1E平面ABC，以E点为原点，分别以射线EB，EC，EA1为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以，,，设平面A1BC1的一个法向量得，取得，设平面C1EB的一个法向量为,得，取得，，故所求的二面角A1—BC1—E的余弦值为19. 有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：（1）根据以上统计数据完成下面列联表，并回答是否有以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”？（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)：（3）经计算，甲基地的500个桔柚直径的样本方差，乙基地的500个桔柚直径的样本方差，，并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例.附：，.若，则.，.【答案】（1）见解析；（2）80；（3）.【解析】试题分析：（1）根据表中数据列列联表，根据公式计算,通过查表可下结论；（2））甲基地水果的优质品率为，甲基地水果的优质品率为，甲基地水果的优质品率较高，由计算即可.（3）由参考数据可得，从而得.试题解析：（Ⅰ）由以上统计数据填写列联表如下：，所以,有95%的把握认为：“两个基地采摘的水果直径有差异”．（Ⅱ）甲基地水果的优质品率为，甲基地水果的优质品率为，所以，甲基地水果的优质品率较高，甲基地的500个桔柚直（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，甲基地的桔柚直径，所以，估计甲基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78毫米的桔柚在总体中所占的比例大约为.20. 已知过点的椭圆的离心率为.（1）求椭圆方程；（2）不过坐标原点的直线与椭圆交于两点(异于点，线段的中点为,直线的斜率为1.记直线的斜率分别为.问是否为定值?若为定值，请求出定值.若不为定值，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由离心率及点在椭圆上列方程组，进而得椭圆方程；（2）由题意可设直线方程为,令则由中点坐标和斜率公式得，再由直线与椭圆联立，结合韦达定理得，，韦达定理代入即可证得.试题解析：（Ⅰ）由题意得 ,解得,则椭圆的方程为(Ⅱ)由题意可设直线方程为,令则.直线的斜率为1,,即 (1)则代入(1)式得,因此,则,即为定值21. 已知定义在区间上的函数.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和，根据导数正负得单调性；（2）不等式恒成立，得，结合（1）的单调性，只需即可，当易得满足，当时，，令,,令，通过求导得为减函数，且，进而得，从而得解. 试题解析：（Ⅰ）①当时,.即是上的增函数.②当时, ,令得,则的增区间为减区间为（Ⅱ）由不等式,恒成立,得不等式,恒成立.①当时,由（Ⅰ）知是上的增函数,,即当时, 不等式,恒成立.②当时,,.令,则.要使不等式,恒成立,只要.令.是上的减函数,又,,则,即,解得,故综合①, ②得,即的取值范围是点睛：导数问题经常会遇见恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）设|与的交点为，求的面积.【答案】（1）的极坐标方程为；（2）的面积为.【解析】试题分析：（1）圆消去参数得普通方程，由得圆的极坐标方程，直线为过原点的直线，且斜率为1，从而得方程；（2）将代入圆的极坐标方程得，，，从而得的面积.试题解析：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为圆的普通方程为因为,所以的极坐标方程为（Ⅱ）将代入,得,解得,故,即.由于圆的半径为,所以的面积为23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）不等式的解集为；（2）实数的取值范围是.【解析】试题分析：（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）对任意实数恒成立，只需即可，易知，从而得解. 试题解析：（Ⅰ）①不合题意，舍去②得，③，综上不等式的解集为（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则则，解得即实数的取值范围是。
福建省南平市普通高中2018—2019学年第一学期期末质量检测高三文科数学试题试卷及参考答案附答题卡
文科数学参考答案 第1页（共6页）南平市2018-2019学年高中毕业班第一次综合质量检查文科数学试题答案及评分参考说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．（1）A （2）D （3）B （4） C （5）C （6） D（7）B （8）A （9）C （10）B （11）A （12）D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．（13）2 （14） 12 （15）（16） 1731()443n --- 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法（1）：因为43cos ,2==A A B ， 所以8114321cos 22cos cos 22=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-==A A B ，…………………3分 873cos 1sin 2=-=B B ，…………………5分 法（2）：由于43cos =A ，所以47cos 1sin 2=-=A A …………………2分 87343472cos sin 22sin sin =⨯⨯===A A A B …………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知；B A B A cos ,cos ,sin ,sin 的值所以B A B A B A C cos cos sin sin )cos(cos -=+-= 169814387347=⨯-⨯=…………………7分 1675cos 1sin 2=-=C C …………………8分 由正弦定理B b A a sin sin =即87347b a =可得b a 23=…………………9分文科数学参考答案 第2页（共6页）又已知24=ab ，所以6.4==b a ………10分法（1）：由C c A a sin sin =得54716754sin sin =⨯==A C a c …………………12分 法（2）：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，2516964264222=⨯⨯⨯-+=c …………………11分 所以5=c …………………12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设抽取的40人中，男、女生人数分别为1n ，2n ，则 1401200242000n ⨯==, 240800162000n ⨯== 所以3x =，2y =…………………2分（Ⅱ）列联表如下：…………………4分22240(195115)405850.556 2.70630102416301024169K ⨯⨯-⨯⨯⨯===≈<⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）…………………6分所以没有90%的把握认为“积极参与阳光体育活动与否”与性别有关．…………7分 （Ⅲ）周参加锻炼时间不超过1小时的女生2名记作A 1，A 2；男生3名，记作B 1，B 2，B 3从男生3名和女生2名中任意选出两人共有下列10种选法：{A 1，A 2}， {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}. …………………8分设事件A ：“抽出的两人恰好一男一女”．共有6种选法：文科数学参考答案 第3页（共6页）{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}， {A 2，B 2}，{A 2，B 3}……………9分 故P (A )＝63105=. …………………11分 所以抽到的学生恰有一男一女的概率为35…………………12分 (19) （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得22PD BD +=2BP ，所以PD BD ⊥，即AD BD ⊥………………3分又AD CD ⊥，CD BD D =，………………5分所以AD ⊥平面BCD …………………6分（Ⅱ）设BN x =（20<<x ），则2,22CM x BM x = 因//BC PD ，PD BD ⊥，所以BC BD ⊥…………………8分又AD ⊥平面BCD ，所以B AMN V -=1132A BMN V BM BN AD -=⨯⨯⨯⨯ …………………9分 11(22)232x x =⨯⨯ 2221()2122336x x x --+-==≤…………………11分 所以当22BN =时，三棱锥A BMN -体积的最大值，最大值为61………………12分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）短轴上一个端点与两个焦点构成等腰直角三角形，可知c b =，……………1分实轴长为4，所以2=a …………………2分222c b a +=因为 解得2==c b …………………3分 所以椭圆标准方程为12422=+y x …………………4分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为m x y +=2,),(),,(2211y x B y x A …………………5分 042245,4222222=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=m mx x y y x m x y 得消去 …………………6分文科数学参考答案 第4页（共6页）10100<<->∆m 解得由 ………………………………7分,52421m x x -=+----① 542221-=m x x -----② …………………8分 因为OB OA ⊥,所以02121=+y y x x ; …………………9分221212121)(22)2)(2(m x x m x x m x m x y y +++=++=, 所以0)(2322121=+++m x x m x x ,把①,②代入方程,0585126222=+--m m m ,解得2±=m …………………11分 因为)10,10(2-∈± ，所以当2±=m 时，OB OA ⊥,直线AB 的方程为2222-=+=x y x y 或. …………………12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1m =时，21()ln 2f x x x =+， ∴ xx x x x f 11)(2+=+='． …………………2分 对于∈x []e ,1，有0)(>'x f ，∴ )(x f 在区间[]e ,1上为增函数．∴ )(x f 在区间[]1，e 上的最大值为：2e 1)e (2+=f ，最小值为：21)1(=f ．……5分 （Ⅱ）令21()()()()2ln 2h x f x g x m x mx x =-=--+， 则()h x 的定义域为()+∞,0. ………………………6分 ∵ 1()(21)2h x m x m x '=--+2(21)21m x mx x --+=(1)[(21)1]x m x x---=，……………………7分 （1） 若12m >，令()=0h x '，解得：11=x ，2121x m =- ．文科数学参考答案 第5页（共6页）①当112=>x x ，即112m <<时， 在()2,x +∞上有()0h x '>，此时()h x 在区间()+∞,2x 上是增函数， 并且在该区间上有()2()(),h x h x ∈+∞，不合题意； ……8分 ②当1012=≤<x x ，即1m ≥时，在()1,+∞上有()0h x '>，()h x 在区间()+∞,1上是增函数，并且在该区间上有()()(1),h x h ∈+∞，不合题意； ………9分（2）若12m ≤时，则有210m -≤，此时在区间()+∞,1上恒有()0h x '<， 从而()h x 在区间()+∞,1上是减函数； 要使()0h x <在此区间上恒成立， 只须满足1(1)02h m =--≤12m ⇒≥-， ………11分 综合（1）、（2）可知：m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21. ………12分（22）解：（Ⅰ）由直线l 的极坐标方程3)4πcos(2=+θρ 化简得：03sin cos =--θρθρ θρcos =x ，θρsin =y∴直线l 的直角坐标方程03=--y x .…………………………3分曲线C 的参数方程为为参数）αααα,π0(sin 1cos 2≤≤⎩⎨⎧+=+=y x ， 消去参数α得：)21(,1)1()2(22≤≤=-+-y y x . ……………5分 （Ⅱ）法一 点P 到直线l 距离2)4sin(222|3)sin 1()cos 2(|πααα-+=-+-+=d .…7分 π0≤≤α4π34π4π≤-≤-∴α. 1)4πsin(22≤-≤-∴α. ……………………………8分 ∴当1)4πsin(=-α时，点P 到直线l 距离最大值为12+. ………………9分文科数学参考答案 第6页（共6页） 当22)4πsin(-=-α时，点P 到直线l 距离最小值为22.……………10分 法二 曲线C 的普通方程为)21(,1)1()2(22≤≤=-+-y y x ，是上半圆.圆心（2，1）到直线l 的距离d =22|312|=--. ∴点P 到直线l 距离最大值为=+r d 12+.………8分由图可知，点P 为（3，1）时到直线l 距离最小， 最小值为222|313|=--. ………10分（23）解：（Ⅰ） 1=a ,∴原不等式为6|1||4|>++-x x .当1-≤x 时, 原不等式化简为632>+-x ,即23-<x ； 当41≤<-x 时, 原不等式化简为65>,无解；当4>x 时, 原不等式化简为632>-x ,即29>x . 综上,原不等式的解集为}2923|{>-<x x x 或. ………………5分 （注用图象法也可）（Ⅱ） |1||4|)(a x a x x f ++-= |14|)1()4(|a a a x a x +=+--≥｜, 0=x 时等号会成立. ∴|14|)(aa a g +=. ………………………7分 对任意的非零实数a ，t t a g 3)(2->恒成立,则t t a g 3)(2min ->. |14|)(a a a g +=|1||4|aa += （ 4a 与a 1同号） |1||4|2a a ≥=4,当且仅当21±=a 时等号成立. ∴4)(min =a g . …………………………………9分由t t 342->,解得：41<<-t ，即t 的取值范围为)4,1(-.…………10分。
福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查(2月
理综物理部分参考答案二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14-18题只有一项符合题目要求，第19-21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的三．非选择题：包括必考题和选考题两部分。
第22题～第32题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第33题～第38题为选考题，考生根据要求作答。
22. （1）])()[(212122t dt d x a ∆-∆=（2分），5.00 （2分）。
（2） 0.1kg （2分）23. （1）答案：如右图所示。
（3分） （２） 4.00 V （2分）（３）1.0 kΩ（2分）；25℃（24~26℃范围内均给分）（2分）． 24. 解：（1）设物块经过C 点速度为c v ，物块受到轨道支持力为C F由功能关系得:222212221c mv mgs mv ⨯=-⨯μ （1分） 又C F Rv m mg c 22=- （1分）代入解得：C F =500N （1分） 由牛顿第三定律，物块对轨道压力大小也为500N （1分） （2）设A 与B 碰撞前速度为0v ,由动量守恒得:mv mv 20= 解得,s m v /100= （1分） 则：J mv E E K P 2002120=== （2分） （3）物块不脱离轨道有两种情况①能过轨道最高点，设物块经过半圆环最高点最小速度为1v则 Rmv mg 21=得：s m gR v /21==（1分）物块从碰撞后到经过最高点过程中，由功能关系：21222142221mv mgR mgs mv ⨯≥--⨯μ （1分）代入解得s 满足条件：m s 25.1≤ （1分） ②物块上滑最大高度不超过41圆弧 设物块刚好到达1/4圆弧处速度为2v =0 由功能关系：mgR mgs mv 222212≤-⨯μ （1分） 同时依题意，物块能滑出粗糙面，由功能关系：mgs mv μ22212≥⨯ （1分） 代入解得s 满足条件：m s m 25.625.4<≤ （2分）25．解：（1）速度最大的粒子运动轨迹如图，设粒子在磁场中轨迹半径设为R ,有：Rmv qvB 2= （1分） 得2qB mEqB mv R ==（1分）由几何关系得： R ROO 2sin /==ϕ（1分） 所以P 点坐标为（23qB mE，0）（1分） （2）粒子在磁场中运动时间qB mv R t 32321ππ==（2分） 粒子在OA 段做匀速直线运动， OA 距离R tg Rl 3==ϕ（2分） 运动时间（1分）在电场中做类平抛运动，设运动时间为3t 则： （2分）解得：（1分） 总时间=++=321t t t t qB m3)235(π+ （1分）（3）由题可画出图示运动情况扇形面积S=231R π （1分） P O A '∆面积 （2分）磁场最小面积为PA 连线与最大轨迹圆弧围成的面积S ∆qB m v l t 32==qB mt 3323=32321vt t m qE x y tg //==ϕ204360sin 21R R R S =⋅='422212)334(B q E m S S S -='-=∆π（2分） （二）选考题：共45分。
福建省南平市建阳第三中学2018年高三数学文测试题含解析
福建省南平市建阳第三中学2018年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在正三棱柱中已知，在棱上，且，若与平面所成的角为，则的余弦值为A．B．C．D．参考答案：D2. 公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，则其公比为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C略3. 复数i（i为虚数单位）的模等于A． B． C． D．参考答案：A4. 已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1、a2、a6成等比数列且和为21，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=3n+1 B．a n=3n C．a n=3n﹣2 D．a n=3n﹣5参考答案：C考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：等差数列{a n}的公差不为零，设为d，根据a1、a2、a6成等比数列，且和为21，求出a1与d的值，即可确定出通项公式．解答：解：∵等差数列{a n}的公差不为零，设为d，∴a2=a1+d，a6=a1+5d，∵a1、a2、a6成等比数列，且和为21，∴a22=a1?a6，a1+a2+a6=21，即（a1+d）2=a1（a1+5d），3a1+d+5d=21，解得：a1=1，d=3，则数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，故选：C．点评：此题考查了等差数列的通项公式，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．5. 在平面直角坐标系中，点是由不等式组所确定的平面区域内的动点，是直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：A6. 设集合，，那么“”是“”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件也非必要条件参考答案：【知识点】命题及其关系；A2【答案解析】 B 解析：解:表示实数集R，，所以只有B选项的说法是正确的.【思路点拨】根据条件求出所表达的集合，再根据命题的关系找到正确结果.7. 函数的图象大致是（A）（B）（C）（D）参考答案：C8. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=a，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】F1F2=2c，由题意以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=a，求出|PF2|=3a进而根据勾股定理求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设F1F2=2c，由题意以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=a，则|PF2|=3a，∴|F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2，又根据曲线的定义得：10a2=4c2，e=，∴双曲线的离心率．故选：A．9. 全集且则（）A． B. C. D.参考答案：C略10. 学校高中部共有学生2000名，高中部各年级男、女生人数如下表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为（）解：因为高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，所以，解得x=360．所以高一人数为373+327=700，高三人数为360+340=700，所以高二人数为2000﹣700﹣700=600．所以高一，高二，高三的人数比为700：600：700=7：6：7，所以利用分层抽样从高中部抽取50人，则应在高二抽取的人数为人．故选B．本题的考点是分层抽样的应用，比较基础．11. （5分）（x﹣2）6的展开式中x2的系数为．参考答案：考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．解答：解：（x﹣2）6的展开式的通项公式为 T r+1=?（﹣2）r?x6﹣r，令6﹣r=2，求得r=4，可得（x﹣2）6的展开式中x2的系数为?（﹣2）4=240，故答案为：240．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12. 等比数列的前项和为，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列的公比为____________。
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福建省南平市2018届高三第一次综合质量检查数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设{}{}220,2x A x x x B y y =--<==，则A B ⋂=（ ） A ．()0,+∞ B ．()0,2 C ．()1,0- D ．()1,2-2.某人到甲、乙两市各7个小区调査空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调査中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的众数之差为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13.已知复数z 满足1+2i1i z=-(i 为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．32 B ．3i 2 C ．32- D ．3i 2-4.在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，2sin a B b =，则角A 等于（ ） A ．π3 B ．π4 C ．π6 D ．π125.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地.”则此人第4天走了（ ）A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里6.已知函数()ln f x x =，若()11f x -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(),e 1-∞+ B ．()0,+∞ C ．()1,e 1+D ．()e 1,++∞7.执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（ ）A ．7B ．9C ．11D ．138.已知某简单几何体的三视图如图所示，若主视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A B C ． D 9.函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动π12个单位，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．π12 B ．π4 C ．π3 D ．5π1210.若函数()()2,,,R df x a b c d ax bx c=∈++的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．0,0,0,0a b c d >>>>B ．0,0,0,0a b c d >>><C ．0,0,0,0a b c d ><>>D ．0,0,0,0a b c d ><><11.已知直线:l y kx =与双曲线()2222:10,0x y C a b b a ->=>的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B． C ．3 D12.已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，()02018f =，若对任意的R x ∈，都有()()f x f x '>，则不等式()2018x f x <的解集为（ ） A ．()0,+∞ B ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),0-∞ 二、填空题：每题5分，满分20分13. 已知,x y 满足0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2y z x =+的最大值为 ．14.已知向量()()π2sin ,1,cos ,1,,π2a b θθθ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭，且//a b ，则cos θ等于 ．15.已知点M 是抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，则以M 为圆心，4MF =为半径的圆被直线1x =-截得的弦长为 ．16.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为12π，E 为球心，F 为11C D 的中点.点M 在该正方体的表面上运动，则使ME CF ⊥的点M 所构成的轨迹的周长等于 ． 三、解答题：本大题共7题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知等差数列{}n a 满足36a =,前7项和为749S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()33n n n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .18.三棱锥S ABC -中，侧面SBC ⊥底面ABC ,BC 是等腰直角三角形ABC 的斜边，且2,BC SA SB ===（1）求证：SA BC ⊥；（2）已知平面//α平面SBC ，平面α⋂平面ABC l =，,A D l α∈∈，且C D 、到平面SAB 的距离相等，试确定直线l 及点D 的位置（说明作法及理由），并求三棱锥S ABD -的体积.19. 有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在[]59,101范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在[)71,89内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：（1）根据以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答是否有95%以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”？（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数x (同一组数据用该区间的中点值作代表)；（3）记甲基地直径在[]95,101范围内的五个桔柚分别为A B C D E 、、、、，现从中任取二个，求含桔柚A 的概率. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20．已知12,F F 分别是椭圆()2222:103x y C b a a b+=<<<的左、右焦点，(P 是椭圆C 上一点，且123PF PF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且OA OB AB +=，试求点O 到直线l 的距离.21.已知函数()()()2ln 1,f x x a x g x ax a x=-+=-+，其中R a ∈.（1）试讨论函数()f x 的单调性及最值；（2）若函数()()()F x f x g x =-不存在零点，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为22cos 42sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()3π4R θρ=∈. （1）求圆1C 的极坐标方程和直线2C 的直角坐标方程； （2）设1C |与2C 的交点为,P Q ，求1C PQ ∆的面积.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()131f x x x =++-.（1）求不等式()4f x<的解集；（2）若()23≥+对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.f x m【参考答案】一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．C 8．C 9．B 10．D 11．D 12．A 二、填空题13．13 14． 15． 16．4+三、解答题17．解：（Ⅰ）由17747()=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ． 因为63=a 所以1=d ，14,3n a a n ==+所以． （Ⅱ）(3)3=3n nn n b a n =-⋅⋅1231323333(1)n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ 所以234+131323333(2)n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯123+1+133(1)(2)233333=313n nn n n T n n +---=++++-⨯-⨯- 由得：，+1(21)334n n n T -⨯+=所以.18．解:（Ⅰ）法一:在SCB ∆内作SO BC ⊥，交BC 于O ，连结AO ， 则由侧面SBC ⊥底面ABC ，得SO ⊥底面ABC ．,SO OA SO OB ∴⊥⊥．又,SA SB SO SO ==，SOA SOB ∴∆≅∆AO BO ∴=，45ABC = ∠，∴AOB ∆为等腰直角三角形，AO BO ⊥，又OA ∩OS =O ,,OB SAO ∴⊥平面OB SA ∴⊥即BC SA ⊥.法二:取BC 中点O ，连结AO ,SO ,由侧面SBC ⊥底面ABC ． 得SBC AO 平面⊥,BO AO SO AO ⊥⊥∴,．由已知2,2==SA AB ,BAO SAO ∆≅∆∴1==∴BO SOBO SO SB BO SO ⊥=+∴,222，又OA ∩OS =O ,,OB SAO ∴⊥平面OB SA ∴⊥即BC SA ⊥．（Ⅱ）法一: 平面α∥平面SBC ,平面α∩平面ABC l =,平面SBC ∩平面ABC l =BC ,∴BC l //．C D 、到平面SAB 的距离相等∴CD //平面SAB 或CD 中点在平面SAB 上．又CD ⊂平面ABC ,平面SAB ∩平面ABC l=AB ．∴CD //AB 或CD 中点在AB 上, ABCD ∴或ACBD 为平行四边形,即2==BC AD .所以,过点A 在平面ABC 内作直线平行于BC ，则所作直线即为l ,以A 为圆心BC 长为半径作弧与l 交点即为点D (或在l 上到A 距离为2的点即为点D )其中31112612131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==--SO AO BC V V ABC S ABD S ．法二: C D 、到平面SAB 的距离相等ABC S SAB C SAB D ABD S V V V V ----===∴ABD S ABC S V V --=∴312131=⨯⨯⨯⨯=SO AO BC ． 平面α∥平面SBC ，平面α∩平面ABC l =，平面SBC ∩平面ABC l =BC ， ∴BC l //．ABD S ABC S V V --=又 ABD ABC S S ∆∆=∴∴CD //AB 或CD 中点在AB 上,ABCD ∴或ACBD 为平行四边形,即2==BC AD .所以,过点A 在平面ABC 内作直线平行于BC ，则所作直线即为l ,以A 为圆心BC 长为半径作弧与l 交点即为点D (或在l 上到A 距离为2的点即为点D ). 19.解：（Ⅰ）由以上统计数据填写22⨯列联表如下：841.3848.5171100019081050050080390110420100022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=）（K ，所以,有95%的把握认为：“桔柚直径与所在基地有关”．（Ⅱ）甲基地桔柚的优质品率为%84500420=，乙基地桔柚的优质品率为%78500390=， 所以，甲基地桔柚的优质品率较高， 甲基地的500个桔柚直径的样本平均数)598359212586175801207430681062(5001⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 8098.044.65.210.2876.1708.424.1=++++++=（Ⅲ）依题意：记“从甲基地直径在]101,95[的五个桔柚A,B,C,D,E 中任取二个，含桔柚A ”为事件N .实验包含的所有基本事件：（A ,B ）,（A ,C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ）,（C ,D ），（C ，E ），（D ，E ）共10种.事件N 包含的结果有：（A ,B ）,（A ,C ），（A ，D ），（A ，E ）共4种. 所求事件的概率为：42()105P N ==. 20.解：（Ⅰ）由123PF PF =得=2560c c -+=，解得：2c =或3c =，因为3c a <<，所以2c =，1PF =因为121223PF PF a PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以132PF a ==a =，又2224b ac =-=， 所以椭圆的标准方程为：22+184x y =；（Ⅱ）由题意可知，直线l 不过原点，设1212(,),(,)A x y B x y ， ①直线l x ⊥轴，直线l 的方程,(0),x m m =≠且m -<< 则1,x m =1y = 2,x m =2y =由OA OB AB += 得: 0OA OB ⋅=,12120x x y y +=即22(4)02m m --=，解得：m =故直线l的方程为x =O 到直线l的距离d =， ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx n =+， 则22+184x y y kx n ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：222(12)4280k x knx n +++-=， 122412kn x x k +=-+，21222812n x x k-=+， 则1212()()y y kx n kx n =++=222812n k k -+， 由OA OB AB += 得0OA OB ⋅= ,OA OB ⊥所以，12120x x y y +=所以， 故222812n k -++2228012n k k-=+，整理得：223880n k --=， 即88322+=k n ①原点O 到直线l的距离d =，22233(1)n d k =+② 将①代入②，则2228883(1)3k d k +==+，∴d =， 综上可知：原点O 到直线l的距离d = 21.解：（Ⅰ）由()ln (1)f x x a x =-+ (0)x > 得： ()()()1-+11=-+1= ( 0)a x f x a x x x'>， ⑴当1a ≤-时, ()0 ()f x f x '>在0+∞（，）单调递增，()f x 没有最大值，也没有最小值， ⑵若1a >-，当011x a <<+时, ()0f x '> , ()f x 在101a +（，）单调递增， 当11x a >+时， ()0f x '<, ()f x 在11a ∞+（,+）单调递减， 所以当11x a =+时，()f x 取到最大值11()ln 1ln(1)111f a a a =-=-+-++，()f x 没有最小值， （Ⅱ）22()()()ln (1)()ln F x f x g x x a x ax a x x a x x=-=-+--+=--- (0)x > 由2222122(1)(2)()1x x x x F x x x x x -++-+-'=-+== (0)x > 当02x << 时, ()0F x '>,()F x 单调递增，当2x >时，()0F x '<,()F x 单调递减， 所以当2x =时 ，()F x 取到最大值(2)ln 23F a =--, 又0x → 时， 有 ()F x →-∞，所以要使()()()F x f x g x =-没有零点，只需(2)ln 230F a =--<， 所以实数a 的取值范围是：ln 23a >-.22.解:（Ⅰ）直线2C 的直角坐标方程为0=+y x ， 圆1C 的普通方程为,4)4()2(22=-++y x 因为cos ,sin x y ρθρθ==, 所以1C 的极坐标方程为016sin 8cos 42=+-+θρθρρ. （Ⅱ）将3π=4θ代入016sin 8cos 42=+-+θρθρρ,得016262=+-ρρ,解得241=ρ,222=ρ故2221=-ρρ,即22||=PQ ， 由于圆1C 的半径为2,所以PQ C 1∆的面积为2. 23.解：（Ⅰ）3=m ，， ①得，不合题意，舍去； ②得，10≤<∴x . ③ 得，231<<∴x ，综上不等式的解集为)230(，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知⎪⎩⎪⎨⎧>-<≤-+--<+-=1,2411,421,24)(x x x x x x x f ，则2)]([min =x f ，则2|32|≤+m ，解得2125-≤≤-m ，即实数m 的取值范围是].21,25[--。