数学归纳法典型例题
(完整版)数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n Λ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++Λ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k Λ1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k Λ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。
(完整版)高二数学归纳法经典例题
例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。
(完整版)数学归纳法经典例题及
数学概括法（）一、用数学法明与正整数相关命的步是：（ 1）明当n取第一个n0（如 n0 1或2等）正确；（ 2）假当n k( k N , k n0 ) 正确，明n k 1也正确．合（ 1）、（ 2），⋯⋯注意：数学法使用重点：两步 ,一。
二、型：型 1.明朝数恒等式例 1．用数学概括法证明：1111n1335572n12n12n111，右侧11证明：① n=1 时，左侧，左侧 =右侧，等式建立．123313②假定 n=k 时，等式建立，即：1111k．1335572k12k12k1当n=k+1 时．111111335572k 1 2k12k12k3k12k12k12k 32k 23k12k1 k12k12k32k12k3k1k12k3 2 k11这就说明，当n=k+1 时，等式亦建立，由①、②可知，对全部自然数n 等式建立．题型 2.证明不等式例 2．明不等式111n (n∈N)．1322n明：①当 n=1 ，左 =1，右 =2．左 <右，不等式建立．②假 n=k ，不等式建立，即111k ．1322k那么当 n=k+1 ，1111 13k k 1 22k1 2 k k11 k1k1k k11 2 k12k 1k1k1就是，当n=k+1 ，不等式建立．由①、②可知，原不等式随意自然数n 都建立．明：里要注意，当n=k+1 ，要的目是1111 13k 2 k 1 ，今世入假后，就是要明：2k 11k 1 ．2 k2k1了个目，于是便可朝个目下去，并行相关的形，达到个目．题型 3.证明数列问题例3 ( x＋1) n＝a0＋a1(x－1)＋ a2(x－ 1)2＋ a3(x－ 1)3＋⋯＋ a n( x－1)n (n≥ 2， n∈ N* ) ．(1)当 n＝ 5 ，求 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋a5的．a2(2)b n＝2n－3， T n＝ b2＋ b3＋ b4＋⋯＋ b n.用数学法明：当n≥ 2 ， T n＝n(n＋1)(n－1).3解：(1)当 n＝ 5 ，原等式 (x＋ 1)5＝ a0＋ a1(x－ 1)＋ a2(x－ 1)2＋ a3( x－ 1)3＋a4(x－ 1)4＋ a5(x－ 1)5令 x ＝ 2 得 a 0＋ a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4＋ a 5＝ 35 ＝243.(2)由于 (x ＋ 1)n ＝ [2＋ (x － 1)]n ，因此 a 2＝ C n 2·2n －2b n ＝a 2＝ 2C n 2＝ n(n － 1)(n ≥ 2)2n－3① 当 n ＝ 2 时．左侧＝ T 2＝ b 2 ＝ 2，右侧＝2(2＋ 1)(2－1)＝ 2，左侧＝右侧，等式建立．3② 假定当 n ＝ k(k ≥ 2，k ∈ N * ) 时，等式建立，即T k ＝ k(k ＋ 1)(k － 1)建立3那么，当 n ＝ k ＋1 时，左侧＝ T k ＋ b k ＋ 1＝k(k ＋1)(k －1)＋(k ＋1)[( k ＋ 1)－ 1]＝k(k ＋1)(k － 1)＋ k(k ＋ 1)33＝ k(k ＋ 1)k － 1＋ 1 ＝ k(k ＋ 1)(k ＋ 2)33＝(k ＋ 1)[( k ＋1)＋ 1][( k ＋ 1)－1]＝右侧． 3故当 n ＝ k ＋ 1 时，等式建立．n( n ＋ 1)( n － 1)综上 ①② ，当 n ≥ 2 时， T n ＝.3。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法经典例题及答案数学归纳法是解决数学问题中常用的一种证明方法，它基于两个基本步骤：证明基准情况和证明归纳假设，通过这两个步骤逐步推导证明，从而得到结论。
下面将介绍一些经典的数学归纳法例题及其答案。
例题一：证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n∈N（自然数）。
解答：首先，我们先验证这个等式在n=1时是否成立。
当n=1时，左边等式为1，右边等式为1(1+1)/2=1，两边相等，因此基准情况成立。
其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
接下来，我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳假设，我们已经知道1+2+3+...+k=k(k+1)/2，现在我们要证明1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
将左边等式的前k项代入归纳假设得到：(k(k+1)/2)+(k+1)=(k+1)(k/2+1)= (k+1)(k+2)/2。
所以，当n=k+1时，等式也成立。
根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论，对于任意的n∈N，都有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
例题二：证明2^n > n，其中n∈N，n>1。
解答：首先，我们验证这个不等式在n=2时是否成立。
当n=2时，左边等式为2^2=4，右边等式为2，显然不等式成立。
其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时不等式成立，即2^k > k。
接下来，我们需要证明当n=k+1时不等式也成立。
根据归纳假设，我们已经知道2^k > k，现在我们要证明2^(k+1) > k+1。
我们可以将左边等式进行展开得到：2^(k+1) = 2^k * 2。
由归纳假设可知，2^k > k，所以2^(k+1) = 2^k * 2 > k * 2。
我们可以观察到当k>2时，k * 2 > k + 1，当k=2时，k * 2 = k + 1。
(完整版)数学归纳法练习题
2.3数学归纳法第1课时数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()．A．2 B．3 C．5 D．6解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是()．A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.答案 D3．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，∵f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案 D4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π6．用数学归纳法证明：1 1×2＋13×4＋…＋1(2n－1)·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.证明(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋⎝⎛⎭⎪⎫12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋1(k＋1)＋(k＋1).即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n ＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案 C8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为()．A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选B.答案 B9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n ＝k＋1左边需要添加的因式是________．解析当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n ＝k ＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k ＋k )(k ＋1＋k ＋1)， 由k 到k ＋1需添加的因式为：(2k ＋2)． 答案 2k ＋2 11．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．12．(创新拓展)已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1. 证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1， ∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k∴a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.-----精心整理，希望对您有所帮助!。
数学归纳法经典例题及参考答案
由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立． 题型 2.证明不等式
例 2．证明不等式1 1 1 1 2 n (n∈N)．
23
n
证明：①当 n=1 时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立．
②假设 n=k 时，不等式成立，即1 1 1 1 2 k ．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．
题型 3.证明数列问题 例 3(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，
n∈N*)． (1)当 n＝5 时，求 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5 的值． (2)设 bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当 n≥2 时，Tn
＝. 解： (1)当 n＝5 时， 原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－
1)5 令 x＝2 得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243. (2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以 a2＝Cn2·2n－2 bn＝＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2) ①当 n＝2 时．左边＝T2＝b2＝2， 右边＝＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立， 即 Tk＝成立 那么，当 n＝k＋1 时， 左边＝Tk＋bk＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1) ＝k(k＋1)＝ ＝＝右边． 故当 n＝k＋1 时，等式成立． 综上①②，当 n≥2 时，Tn＝.
例 1．用数学归纳法证明：
证明：①n=1 时，左边 1 1 ，右边 1 1 ，左边=右边，等式成立．
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： 1证明当n 取第一个值0n 如01n =或2等时结论正确；2假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确;证明1n k =+时结论也正确．综合1、2;……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤;一结论.. 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时;左边31311=⨯=;右边31121=+=;左边=右边;等式成立．②假设n =k 时;等式成立;即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k kk k ．当n =k +1时．这就说明;当n =k +1时;等式亦成立; 由①、②可知;对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式例2．证明不等式n n2131211<++++n ∈N ．证明：①当n =1时;左边=1;右边=2．左边<右边;不等式成立． ②假设n =k 时;不等式成立;即k k2131211<++++．那么当n =k +1时;这就是说;当n =k +1时;不等式成立．由①、②可知;原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意;当n =k +1时;要证的目标是1211131211+<++++++k k k ;当代入归纳假设后;就是要证明：12112+<++k k k ．认识了这个目标;于是就可朝这个目标证下去;并进行有关的变形;达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 x ＋1n ＝a 0＋a 1x －1＋a 2x －12＋a 3x －13＋…＋a n x －1n n ≥2;n ∈N ． 1当n ＝5时;求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．2设b n ＝错误!;T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时;T n ＝错误!.解： 1当n ＝5时;原等式变为x ＋15＝a 0＋a 1x －1＋a 2x －12＋a 3x －13＋a 4x －14＋a 5x －15 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. 2因为x ＋1n ＝2＋x －1n ;所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝错误!＝2C n 2＝nn －1n ≥2①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2;右边＝错误!＝2;左边＝右边;等式成立． ②假设当n ＝kk ≥2;k ∈N 时;等式成立; 即T k ＝错误!成立 那么;当n ＝k ＋1时;左边＝T k ＋b k ＋1＝错误!＋k ＋1k ＋1－1＝错误!＋kk ＋1＝kk＋1错误!＝错误!＝错误!＝右边．故当n＝k＋1时;等式成立．综上①②;当n≥2时;T n＝错误!.。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明和正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
数学归纳法例子
数学归纳法例子
1. 你看那摆多米诺骨牌，第一块倒下了，后面的就依次跟着倒下，这就像数学归纳法呀！比如从 1 加到 100，先证明当 n=1 时等式成立，这就是第一块骨牌倒下了，然后假设 n=k 时成立，推导出 n=k+1 时也成立，这
不就是后面的骨牌依次倒下嘛！
2. 回想一下我们小时候爬楼梯，第一步跨上去了，然后知道如果这一步能跨上去，下一步也一定能，这不就是数学归纳法的应用嘛！比如证明一个数列的规律，一开始验证最初的情况，接着就能推广到后面所有的情况啦，多神奇呀！
3. 哎呀，大家想想植树，种第一棵树是关键的第一步呀，然后知道只要一种了这一棵，按照同样的方法就能种下后面所有的树，这和数学归纳法多像呀！像证明某个等式对所有自然数都成立，先证明开始的基础情况，再能一步步推导下去，有意思吧！
4. 你有没有玩过传递消息的游戏呀？第一个人把消息准确无误地传递出去了，然后后面的人也能同样准确传下去，这也包含了数学归纳法的道理呀！就好比要证明一个定理，只要开头对了，后面就能顺着证明下去，是不是很奇妙呢？
5. 想想看盖房子，打牢第一块基石是多么重要啊，这就是最开始的证明，然后一层一层往上盖，就跟数学归纳法一样！比如证明一个整除的问题，搞定了最初的情况，就可以一步步扩展到所有情形，真是太妙了！
6. 你知道吗，就像拼图游戏，我们拼好第一块，就有信心能一块一块把整个图拼好，这简直就是数学归纳法！比如证明一个几何性质，先搞定一个最小的情况，然后就能逐步涵盖所有的情况，太让人惊叹啦！
7. 当我们排队的时候，第一个人站好了，后面的人依次排好，这不就是一个生动的数学归纳法例子嘛！像证明一个计算式子对所有自然数成立，弄清楚了开头，然后一步步推进，哇塞，简直太厉害了！总之，数学归纳法就是这么神奇又实用，让我们能解决好多看似复杂的问题呢！。
数学归纳法的例子
数学归纳法的例子1. 你知道吗，从 1 加到 100 有个超级简单的办法，这就是通过数学归纳法呀！就好像爬楼梯，先证明第一步能跨上去，然后假设第 n 步能跨上去，就能证明第 n+1 步也能跨上去。
2. 想想看，证明一个数列的通项公式是不是很难呀？但用数学归纳法就像打开一扇门一样，先验证开头对不对，然后根据假设走下去。
比如证明1+3+5+……+(2n-1)=n²。
3. 哎呀，数学归纳法就好像建房子，打好了基础，一层一层往上盖。
比如说证明一个几何性质，先搞定最开始的情况，然后顺着假设去盖下一层。
4. 难道你不觉得数学归纳法很神奇吗？就像多米诺骨牌一样，只要第一张倒下，后面的就能依次倒下。
就像证明连续自然数的某个性质。
5. 嘿，你瞧！数学归纳法就跟走一条路似的，先走一步，觉得行，然后假设再走很多步都没问题，不就走完了嘛。
像证明整除的问题就可以这样。
6. 哇塞，数学归纳法在很多难题面前简直就是救星啊！好比登山，先迈出第一步，然后就顺着假设往上爬。
比如证明不等式的时候。
7. 你可别小瞧数学归纳法呀！它就如同魔法棒，能解决好多问题呢。
像证明与排列组合有关的结论时就能大显身手啦！8. 哈哈，数学归纳法是不是特别有意思呀？简直就是一把万能钥匙。
好比解连环锁，先解开一环，然后根据假设依次解开其他环。
例如证明某个递推关系成立。
9. 数学归纳法真的超厉害！不管遇到什么难题，它都能勇敢地冲上去。
它就是我们解决问题的好帮手，就像战士手中的利剑！我的观点结论：数学归纳法是一个非常强大且实用的工具，能够帮助我们解决众多数学问题，让人不得不感叹数学的奇妙和伟大呀！。
数学归纳法典型例题
2.3 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例【提出问题】数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。
那么，数学归纳法都能解决哪些类型的问题呢？我们再研究几个用数学归纳法证明的例子。
【经典例题】例1 在数列{a n }中a 1=1，当n ≥2时，a n ，S n ，S n －21成等比数列。
（Ⅰ）求a 2,a 3,a 4并猜想a n 的表达式；（Ⅱ）用数学归纳法证明所得的结论；解：（Ⅰ）∵a n ,S n ,S n －21成等比数列 ∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) 把a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2代入（*）式得：a 2=－32 把a 1=1,a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)得：a 3=－152。
同理可得：a 4=－352 由此可以猜想：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1()12)(32(2)1(1n n n n （Ⅱ）（1）当n=1,2时，由（Ⅰ）知猜想成立。
(2)假设n=k(k ≥2) 时，a k =－)12)(32(2--k k 成立。
故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21)(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =121-k 或S k =321--k （舍去） 由S k+12=a k+1·(S k+1－21)得 (S k +a k+1)2=a k+1·(a k+1+S k －21) 所以2)12(1-k +a k+12+1221-+k a k =a k+12+121-+k a k －21a k+1 解得a k+1=〕〕〔〔1)1(23)1(22-+-+-k k 即n=k+1时，命题也成立。
由(1)(2)可知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切正整数成立。
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＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1＋2k＋1 2. 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)可知，对一切正整数 n 等式都成立．
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题型二 几何问题
【例2】 几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个 都相交，且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点 最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N＋)． [思路探索] 验证n＝2时成立 ―→ 文字说明fk＋1－fk的增量―→ 验证fk＋1＝k＋12成立
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题型三 不等式问题
【例 3】
已知
n∈N＋，n>2，求证：1＋
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用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几 何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用 到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况 下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求 出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明 几何命题的一大技巧．
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解 (1)如图，n＝2 时，两个半圆交于一点，则分成 4 段圆弧，
故 f(2)＝4＝22. (2)假设 n＝k 时，f(k)＝k2 成立，当 n＝k＋1 时，第 k＋1 个半 圆与原 k 个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不 能交于一点，所以第 k＋1 个半圆把原 k 个半圆中的每一个半 圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出 k 条圆弧，另外原 k 个半圆把第 k＋1 个半圆分成 k＋1 段，这样又多出了 k＋1 段 圆弧． ∴f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 由(1)，(2)可知命题得证．
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【训练 1】 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n ＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n∈N＋)
解 (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12， 右边＝1＋1 1＝12. 左边＝右边．等式成立．
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(2)假设 n＝k(k≥1)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k， 则当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k
1.说明：归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方 法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明 猜想．“观察——猜想——证明”是解答与正整数有关命题的 有效途径．
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2.数学归纳法的主要应用 利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以涵盖代 数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题 等等，所涉及的题型主要有以下几个方面： (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和； (2)由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题 成立的参数的值或范围； (3)猜想并证明对正整数n都成立的一般性命题．
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3．应用数学归纳法的注意事项 (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
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题型一 恒等式问题
【例1】 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋ 1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)． ．
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证明 (1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边
＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即1×4＋2×7＋3 ×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2， 那么，当n＝k＋1时， 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋ 1)[(k＋1)＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．
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【训练 2】 平面上有 n 条直线，它们之间任何两条不平行， 任何三条不共点，求证这 n 条直线将平面分成nn2＋1＋ 1 部分．
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解 当 n＝1 时，一条直线把平面分成两部分，1×21＋1＋1 ＝2，所以当 n＝1 时，命题成立．假设当 n＝k 时，命题成立， 即 k 条直线把平面分成kk＋2 1＋1 个部分．当 n＝k＋1 时， 这 k＋1 条直线中的 k 条直线把平面分成kk＋2 1＋1 部分，第 k＋1 条直线与前 k 条直线共有 k 个交点，将第 k＋1 条直线 分成 k＋1 部分，这时将平面多分成了 k＋1 部分，即 k＋1 条 直线把平面分成kk＋2 1＋1＋(k＋1)＝k＋12k＋2＋1 部分， 所以当 n＝k＋1 时，命题也成立，故原命题成立．
数学归纳法部分
1．数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与 正整数 有关的数学命题的 一种方法．
2．数学归纳法证明步骤 基本步骤：
①证明：当 n＝n0 时，命题成立； ②假设 n＝k (k≥ n0) 时命题成立， 证明：当 n＝k＋1 时，命题成立．
根据①②可以断定命题对一切正整数n≥n0都成立．
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用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时， 关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边 各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1 时，等式两边会增加多少项．难点在于寻找n＝k时和n＝k＋1时 的等式的联系．
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