阳光中学初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)-精选教育文档
2019阳光中学初三年级数学上册期中试卷含答案解析语文
阳光中学2019初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)阳光中学2019初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）1．如果4a=3b，那么的值是（）A． B． C． D．2．一条弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所对的圆周角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°3．地球上陆地与海洋面积的比是3：7，宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是（）A． B． C． D．4．二次函数y=x2﹣4x+2与x轴的交点个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 35．下面的三视图所对应的物体是（）A． B． C． D．6．当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是（）A．正弦和余弦 B．正弦和正切C．余弦和正切 D．正弦、余弦和正切7．已知圆锥的侧面积为12π，那么圆锥的母线l关于底面半径r的函数关系式是（）A． l=12r B． l= C． l=12﹣r D． l=8．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF=2：3，则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B． AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：99．如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径r1=1，⊙O2的半径r2=2，⊙O3的半径r3=3，则△O1O2O3是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形10．如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y= （k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A． 1＜k＜2 B．1≤k≤3 C．1≤k≤4 D．1≤k＜4 11．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）A． B．C． D．12．如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4 cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是（）A． 2cm＜d＜3cm或d＞5cm B． 2cm＜d＜4cm或d＞6cm C． 3cm＜d＜6cm D． 2cm＜d＜4 cm或d＞7cm二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）13．反比例函数y=﹣中，当x=2时，y=．14．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，BD=OB．请你根据已知条件和所给图形，写出两个正确结论（除AO=OB=BD外）：15．若 sin（α+5°）=1，则α=度．16．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE= ，则河堤的高BE为米．17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的周长是．18．如图，抛物线y=x2﹣1的顶点为C，直线y=x+1与抛物线交于A，B两点．M是抛物线上一点，过M作MG⊥x轴，垂足为G．如果以A，M，G为顶点的三角形与△ABC相似，那么点M的坐标是．三、解答题（本题有8小题，共90分，各小题都必须写出解答过程）19．（1）计算：sin60°﹣cos45°+ ；（2）解不等式组．20．如图是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的表面积及全面积（结果保留π）21．将背面相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．22．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）23．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若EB=AB，cosE= ，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．24．“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA 表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线BCD 的顶点，且点B到水面的距离BE=2m，点B到y轴的距离是5m．当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离CG= m，与点B的水平距离CF=2m．（1）求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围．（2）求二次函数的解析式及其自变量的取值范围．（3）小明从点B滑水面上点D处时，试求他所滑过的水平距离d．25．阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）26．已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．（1）当k=﹣1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．（2）当时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）2+n与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长；②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？阳光中学2019初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）1．如果4a=3b，那么的值是（）A． B． C． D．考点：比例的性质．分析：根据两內项之积等于两外项之积计算即可得解．解答：解：∵4a=3b，故选D．点评：本题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键．2．一条弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所对的圆周角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°考点：圆周角定理．分析：直接根据圆周角定理进行解答即可．解答：解：∵一条弧所对的圆心角为60°，∴这条弧所对的圆周角= ×60°=30°．故选A．点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．地球上陆地与海洋面积的比是3：7，宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是（）A． B． C． D．考点：几何概率．分析：利用地球上陆地与海洋面积的比得出陆地面积与地球面积的比，进而求出宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率．解答：解：∵地球上陆地与海洋面积的比是3：7，∴宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是： = ．故选：B．点评：此题主要考查了几何概率的应用，得出陆地面积与地球面积的比是解题关键．4．二次函数y=x2﹣4x+2与x轴的交点个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：抛物线与x轴的交点．分析：要判断二次函数y=x2﹣4x+2的图象与x轴的交点个数，只需判定方程x2﹣4x+2=0的根的情况．解答：解：∵b2﹣4ac=16﹣8=8＞0，∴抛物线与x轴有两个交点．故选C．点评：此题考查了二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程的根的情况之间的联系．5．下面的三视图所对应的物体是（）A． B． C． D．考点：由三视图判断几何体．专题：压轴题．分析：本题可利用排除法解答．从主视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的矩形的宽相等，故可排除B，C，D．解答：解：从主视图左视图可以看出这个几何体是由上、下两部分组成的，故排除D选项，从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除B选项，从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体，故选A．点评：此题考查由三视图还原实物基本能力，还原实物的形状关键是能想象出三视图和立体图形之间的关系，从而得出该物体的形状．本题只从俯视图入手也可以准确快速解题．6．当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是（）A．正弦和余弦 B．正弦和正切C．余弦和正切 D．正弦、余弦和正切考点：锐角三角函数的增减性．分析：当角度在0°到90°之间变化时，正弦和正切函数值随着角度的增大而增大．解答：解：当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的增减性的应用，主要考查学生的理解能力．7．已知圆锥的侧面积为12π，那么圆锥的母线l关于底面半径r的函数关系式是（）A． l=12r B． l= C． l=12﹣r D． l=考点：圆锥的计算．分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解，半径应小于母线长．解答：解：由题意得：12π=π×r×l，∴l= ．故选D．点评：考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关公式，难度不大．8．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF=2：3，则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B． AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9考点：位似变换．分析：本题主要考查了位似变换的定义及作图，位似变换就是特殊的相似，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，因而周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．解答：解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；B、AD与AG是对应边，故AD：AE=2：3；故错误；C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．故选B．点评：本题主要考查了位似的定义及性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．9．如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径r1=1，⊙O2的半径r2=2，⊙O3的半径r3=3，则△O1O2O3是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形考点：相切两圆的性质；勾股定理的逆定理．分析：利用勾股定理来计算．解答：解：设半径为1与半径为2的圆心距为a=1+2= 3，半径为1与半径为3的圆心距为b=1+3=4，半径为3与半径为2的圆心距为c=2+3=5；∵32+42=52，∴a2+b2=c2，即三个圆的圆心用线连接成三角形是直角三角形．故选B．点评：本题利用了勾股定理的逆定理求解．10．如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y= （k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A． 1＜k＜2 B．1≤k≤3 C．1≤k≤4 D．1≤k＜4考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：先根据题意求出A点的坐标，再根据AB=AC=2，AB、AC分别平行于x轴、y轴求出B、C两点的坐标，再根据双曲线y= （k≠0）分别经过A、B两点时k的取值范围即可．解答：解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），∵AB=AC=2，∴B点的坐标是（3，1），∴BC的中点坐标为（2，2）当双曲线y= 经过点（1，1）时，k=1；当双曲线y= 经过点（2，2）时，k=4，因而1≤k≤4．故选C．点评：本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．11．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）A． B． C． D．考点：几何体的展开图．专题：压轴题．分析：由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．解答：解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．故选：B．点评：本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．12．如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4 cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是（）A． 2cm＜d＜3cm或d＞5cm B． 2cm＜d＜4cm或d＞6cm C． 3cm＜d＜6cm D． 2cm＜d＜4 cm或d＞7cm考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆内切和外切时，求出两圆圆心距，进而得出d的取值范围．解答：解：连接OP、OA，∵⊙O的半径为4cm，1cm为半径的⊙P，⊙P与⊙O没有公共点，∴d＞5时，两圆外离，当两圆内切时，过点O作OD⊥AB于点D，OP′=4﹣1=3cm，OD= =2（cm），∴以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点时，2＜d＜3，故选A．点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，根据图形进行分类讨论得出是解题关键．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）13．反比例函数y=﹣中，当x=2时，y= ﹣．考点：反比例函数的定义．分析：把x=2代入已知反比例函数解析式来求相应的y的值．解答：解：把x=2代入y=﹣，得y=﹣ =﹣．故答案是：﹣．点评：本题考查了反比例函数的定义．此题是利用代入法求得函数值的．14．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，BD=OB．请你根据已知条件和所给图形，写出两个正确结论（除AO=OB=BD外）：①∠CDB=∠A；②CD2=CB?CA ．考点：切线的性质．专题：开放型．分析： CD为切线，所以可以得到角相等和切线与割线的关系；AB是直径，题中的所有半径相等；根据弦切角定理也可得到角相等．解答：解：∠CDB=∠A，依据是弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；CD2=CB?CA，依据是切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．（答案不唯一，只要符合题意即可）点评：此题考查切线的性质，本题为开放型题目，答案不唯一．但选取时一定要根据题中条件按规律选取．15．若 sin（α+5°）=1，则α=40 度．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值求解．解答：解：∵ sin（α+5°）=1，∴sin（α+5°）= = ，∴α+5°=45°，α=40° ．点评：解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．16．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE= ，则河堤的高BE为12 米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：计算题；压轴题．分析：在Rt△ABE中，根据tan∠BAE的值，可得到BE、AE 的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的长，由此得解．解答：解：因为tan∠BAE= ，设BE=12x，则AE=5x；在Rt△ABE中，由勾股定理知：AB2=BE2+AE2，即：132=（12x）2+（5x）2，169=169x2，解得：x=1或﹣1（负值舍去）；所以BE=12x=12（米）．故答案为：12．点评：本题主要考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用．17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的周长是．考点：弧长的计算；直角梯形；切线的性质．分析：要求以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的周长，需过点A作AE⊥BC于点E，根据切线的性质求得AE是扇形的半径，再利用直角梯形的性质和直角三角形的性质求得扇形的半径和圆心角度数，再利用弧长公式求得扇形的弧长加上两条半径即可．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AD∥BC，∠C=90°，∴四边形ADCE是矩形，∵AB=AD=4，BC=6，∴CE=AD=4，BE=2∴AE=2 ，∠BAE=30°∴∠BAD=90°+30°=120°∴扇形的周长=2×2 + =4 + π．点评：本题要熟知切线的性质，直角梯形的性质和扇形弧长计算公式（l= ）．利用切线的性质求得AE的长即半径是解题的关键，注意扇形的周长为两条半径的长加上弧长．18．如图，抛物线y=x2﹣1的顶点为C，直线y=x+1与抛物线交于A，B两点．M是抛物线上一点，过M作MG⊥x轴，垂足为G．如果以A，M，G为顶点的三角形与△ABC相似，那么点M的坐标是（4，15），（﹣2，3），（，）．．考点：二次函数综合题．分析：根据抛物线的解析式，易求得A（﹣1，0），D（1，0），C（0，﹣1）；则△ACD是等腰Rt△，由于AP∥DC，可知∠BAC=90°；根据D、C的坐标，用待定系数法可求出直线DC的解析式，而AB∥DC，则直线AB与DC的斜率相同，再加上A点的坐标，即可求出直线AB的解析式，联立直线AB 和抛物线的解析式，可求出B点的坐标，即可得出AB、AC的长．在Rt△ABC和Rt△AMG中，已知了∠BAC=∠AGM=90°，若两三角形相似，则直角边对应成比例，据此可求出M点的坐标．解答：解：易知：A（﹣1，0），D（1，0），C（0，﹣1）；则OA=OD=OC=1，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACD=90°，AC= ；又∵AB∥DC，∴∠BAC=90°；易知直线BD的解析式为y=x﹣1，由于直线AB∥DC，可设直线AB的解析式为y=x+b，由于直线AB过点A（﹣1，0）；则直线AB的解析式为：y=x+1，联立抛物线的解析式：，解得，；故B（2，3）；∴AP= =3 ；Rt△BAC和Rt△AMG中，∠AGM=∠PAC=90°，且BA：AC=3 ：=3：1；若以A、M、G三点为顶点的三角形与△BCA相似，则AG：MG=1：3或3：1；设M点坐标为（m，m2﹣1），（m＜﹣1或m＞1）则有：MG=m2﹣1，AG=|m+1|；①当AM：MG=1：3时，m2﹣1=3|m+1|，m2﹣1=±（3m+3）；当m2﹣1=3m+3时，m2﹣3m﹣4=0，解得m=1（舍去），m=4；当m2﹣1=﹣3m﹣3时，m2+3m+2=0，解得m=﹣1（舍去），m=﹣2；∴M1（4，15），M2（﹣2，3）；②当AM：MG=3：1时，3（m2﹣1）=|m+1|，3m2﹣3=±（m+1）；当3m2﹣3=m+1时，3m2﹣m﹣4=0，解得m=﹣1（舍去），m= ；当3m2﹣3=﹣m﹣1时，3m2+m﹣2=0，解得m=﹣1（舍去），m= （舍去）；∴M3（，）．故符合条件的M点坐标为：（4，15），（﹣2，3），（，）．故答案为：：（4，15），（﹣2，3），（，）．点评：此题主要考查了函数图象交点、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等，需注意的是在相似三角形的对应边和对应角不确定的情况下需分类讨论，以免漏解．三、解答题（本题有8小题，共90分，各小题都必须写出解答过程）19．（1）计算：sin60°﹣cos45°+ ；（2）解不等式组．考点：实数的运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．分析：（1）将特殊角的三角函数值代入求解即可；（2）分别解不等式，然后求交集、解答：解：（1）原式= × ﹣× +2= ﹣1+2= ；（2）解不等式2x﹣5＜x得：x＜5，解不等式5x﹣4≥3x+2得：x≥3，则不等式组的解集为：3≤x＜5．点评：本题考查了实数的运算和解一元一次不等式组，掌握各知识点的运算法则是解答本题的关键．20．如图是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的表面积及全面积（结果保留π）考点：由三视图判断几何体．分析：从三视图可以看正视图以及左视图为矩形，而俯视图为圆形，故可以得出该立体图形为圆柱．由三视图可以圆柱的半径，长和高，易求侧面积和全面积．解答：解：该立体图形为圆柱，∵圆柱的底面半径r=5，高h=10，∴圆柱的侧面积为：10π×10=100ππcm2．全面积为（100π+2×π×52）=150π cm2．点评：此题主要考查了圆柱的有关计算以及由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，难度不大．21．将背面相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．考点：列表法与树状图法；概率公式．分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解答：解：（1）P偶数= =（2）树状图为：或列表法为：第一次第二次 1 2 3 41 ﹣ 21 31 412 12 ﹣ 32 423 13 23 ﹣ 434 14 24 34 ﹣所以P4的倍数= ．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）考点：解直角三角形的应用．专题：压轴题．分析：（1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．解答：解：（1）如图，作AD⊥BC于点D．Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4× =2 ．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=4 ≈5.6．即新传送带AC的长度约为5.6米；（2）结论：货物MNQP应挪走．解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4× =2 ．在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2 ．∴CB=CD﹣BD=2 ﹣2 =2（﹣）≈2.1．∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.1=1.9＜2，∴货物MNQP应挪走．点评：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．23．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若EB=AB，cosE= ，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．考点：圆的综合题．分析：（1）根据圆周角定理以及直径所对圆周角得出∠1+∠D=90°，进而得出∠DAE=90°，即可得出直线AE是⊙O的切线；（2）根据锐角三角函数关系得出EB= 进而得出即可，再设BD=4k，则AD=5k．在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=3k，即可得出k的值，进而得出答案．解答：（1）证明：连接BD．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．∴∠1+∠D=90°．∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，∴∠D=∠BAE．∴∠1+∠BAE=90°．即∠DAE=90°．∵AD是⊙O的直径，∴直线AE是⊙O的切线．（2）解：过点B作B F⊥AE于点F，则∠BFE=90°．∵EB=AB，∴∠E=∠BAE，EF= AE= ×24=12．∵∠BFE=90°，，∴ =15．∴AB=15．由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE，∴∠D=∠E．∵∠ABD=90°，设BD=4k，则AD=5k．在Rt△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理得：AB= =3k，可求得k=5．∴AD=25．∴⊙O的半径为．点评：此题主要考查了圆的综合应用以及锐角三角形有关计算和圆周角定理等知识，根据已知得出BE= 是解题关键．24．“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA 表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线BCD 的顶点，且点B到水面的距离BE=2m，点B到y轴的距离是5m．当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离CG= m，与点B的水平距离CF=2m．（1）求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围．（2）求二次函数的解析式及其自变量的取值范围．（3）小明从点B滑水面上点D处时，试求他所滑过的水平距离d．考点：二次函数的应用；反比例函数的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）在题中，BE=2，B到y轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k；（2）由（1）知，抛物线顶点坐标已知，可列两个关系式，又C点坐标已知则可列一个关于a、b、c的方程组，进而求出解析式，求出点D的横坐标，继而可得出自变量的取值范围；（3）用D的横坐标减去点E的横坐标，即可求出水平距离d．解答：解：（1）∵BE=2，B到y轴的距离是5，∴B点坐标为（5，2），若设反比例解析式为y= ，则k=10，∴y= ，当y=5时，x=2，即A点坐标为（2，5），∴自变量x的取值范围2≤x≤5；（2）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，由题意可知，顶点坐标为（5，2），C点坐标为（7，），解得，，∴二次函数的解析式为：y=﹣ x2+ x﹣，当y=0时，x1=9，x2=1（舍去），即D（9，0），∴自变量的取值范围是：5≤x≤9；（3）由题可知，ED=9﹣5=4（m），即小明从点B滑水面上点D处时，他所滑过的水平距离d=4m．点评：此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难易程度适中．25．阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）考点：几何变换综合题．专题：压轴题．分析：（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；（2）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为；（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tan ．解答：解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：如答图②所示，连接OC、OD．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，∴OB=OC，∠BOC=90°．∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，∴OF=OD，∠DOF=90°．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，∴∠BOF=∠COD．∵在△BOF与△COD中，∴△BOF≌△COD（SAS），∴BF=CD．（2）答：（1）中的结论不成立．如答图③所示，连接OC、OD．∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，∴ =tan30°= ，∠BOC=90°．∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，∴ =tan30°= ，∠DOF=90°．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，∴∠BOF=∠COD．在△BOF与△COD中，∵ = = ，∠BOF=∠COD，∴△BOF∽△COD，（3）如答图④所示，连接OC、OD．∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，∴ =tan ，∠BOC=90°．∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，∴ =tan ，∠DOF=90°．∴ = =tan ．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，∴∠BOF=∠COD．在△BOF与△COD中，∵ = =tan ，∠BOF=∠COD，∴△BOF∽△COD，∴ =tan ．点评：本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．26．已知直线y=kx+3（k＜0 ）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．（1）当k=﹣1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．（2）当时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）2+n与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长；②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）①由题意可得；。
九年级(上)期中数学试卷(答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．）在四个选项中只有一项是正确的．1．下列说法正确的是（）A．各有一个角是70°的等腰三角形相似B．各有一个角是95°的等腰三角形相似C．所有的矩形相似D．所有的菱形相似2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（）A．B．1 C．D．3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点4．如图，在△ABC中，已知∠AED=∠B，DE=6；AB=10，AE=5，则BC的长为（）A．3 B．12 C．D．75．如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，连接BE，DC交于F点，则△DEF与△BDF 的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：36．如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF的相似比为1：2；③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④7．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①②相似B．①③相似C．①④相似D．②相似9．在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．10．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（）A．B． C．D．212．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米13．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（）A．45°B．35°C．70°D．80°15．如图，⊙O的圆心O到直线m的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线m向右（垂直于m 的方向）平移，使m与⊙O相切，则平移的距离为（）A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm16．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（）A．6πB．5πC．3πD．2π18．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C．D．19．边长为a的正六边形的面积为（）A． a B．4a2C．a2D．a220．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）21．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是．（写出一个即可）22．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（sinA﹣）2+（tanB﹣1）2=0，则∠C=．23．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O的直径为．24．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=，则CQ的最大值为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分．）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．25．如图，在△ABC中，已知：∠A=30°，∠C=105°，AC=4，求AB和BC的长．26．如图，等边三角形ABC的边长为5，点E为BC边上一点，且BE=2，点D为AC边上一点，若∠AED=60°，求CD的长？27．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．（1）求证：CD2=AD•BD；（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．28．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．29．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．）在四个选项中只有一项是正确的．1．下列说法正确的是（）A．各有一个角是70°的等腰三角形相似B．各有一个角是95°的等腰三角形相似C．所有的矩形相似D．所有的菱形相似【分析】A、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；B、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；C、D根据相似图形的定义进行判断．【解答】解：A、若一个等腰三角形的顶角为70°，而另一个的顶角为40°，则此两个等腰三角形不相似，故本选项错误；B、95°的角只能是顶角，则顶角为95°的两个等腰三角形相似，故本选项正确；C、所有的矩形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；D、所有的菱形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；故选：B．2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（）A．B．1 C．D．【分析】先根据特殊角的三角函数值得出∠B，从而得出∠A，即可计算出结果．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinB=，∴∠B=30°，∴∠A=60°，∴tanA=．故选A．3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上．故选C．4．如图，在△ABC中，已知∠AED=∠B，DE=6；AB=10，AE=5，则BC的长为（）A．3 B．12 C．D．7【分析】由公共角和已知条件证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，即可求出BC的长．【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得：BC=12．故选：B．5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，连接BE，DC交于F点，则△DEF与△BDF 的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：3【分析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，得出△DEF∽△CBF，得出对应边成比例EF：BF=DE：BC=1：2，得出△DEF与△BDF的面积比=EF：BF，即可得出结果．【解答】解：∵D、E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△DEF∽△CBF，∴EF：BF=DE：BC=1：2，∴△DEF与△BDF的面积比=EF：BF=1：2；故选：A．6．如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF的相似比为1：2；③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形，进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，且相似比是：=2，③△ABC与△DEF的周长比等于相似比，即2：1，④根据面积比等于相似比的平方，则△ABC与△DEF的面积比为4：1．综上所述，正确的结论是：①③④．故选：B．7．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，∴，故A正确；∴，∴，故B正确；∴，故C错误；∴，∴，故D正确．故选C．8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①②相似B．①③相似C．①④相似D．②相似【分析】由两边成比例和夹角相等（对顶角相等），即可得出△AOB∽△COD，即可得出结果．【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，C正确；故选：C．9．在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．【分析】根据三角函数的定义即可求解．【解答】解：∵cosB=，∴BC=ABcosB=10cos50°．故选：B．10．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．【解答】解：∵AB=10米，tanA==．∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，∴AC=4，BC=2米．故选B．11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（）A．B． C．D．2【分析】找出以∠AOB为内角的直角三角形，根据正弦函数的定义，即直角三角形中∠AOB的对边与斜边的比，就可以求出．【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=，∴sin∠AOB===．故选B．12．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．【解答】解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，∴=tan30°∴BD==AB∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC==AB∵CD=20∴CD=BD﹣BC=A B﹣AB=20解得：AB=10．故选A．13．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，由垂径定理可求得OP的取值范围为3≤OP≤5，而OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，故符合条件的点P有5个．【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，∵⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，∴BC=AB=4（cm），OB=5cm，∴OC==3（cm），∴3cm≤OP≤5cm，∵OP的长是整数，∴OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，∴满足条件的点P有5个．故选D．14．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（）A．45°B．35°C．70°D．80°【分析】根据三角形的内角和得到∠A=35°，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵AC⊥BO于O，∠B=55°，∴∠A=35°，∴∠BOC=2∠A=70°，故选C．15．如图，⊙O的圆心O到直线m的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线m向右（垂直于m 的方向）平移，使m与⊙O相切，则平移的距离为（）A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm【分析】直线m向右平移时，会与圆在左边相切，或者右边相切，有两种情况，分别讨论解答即可．【解答】解：∵圆心O到直线m的距离为3cm，半径为1cm，∴当直线与圆在左边相切时，平移距离为：3﹣1=2cm，当直线与圆在右边相切时，平移距离为：3+1=4cm，故选D．16．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】连接OC和OB，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，知OC⊥AB，应用勾股定理可将BC的长求出，从而求出AB的长．【解答】解：连接OC和OB，∵弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，BC===4cm，∴AB=2BC=8cm．故选D．17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（）A．6πB．5πC．3πD．2π【分析】由于PA、PB是⊙O的切线，由此得到∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，然后利用四边形的内角和即可求出∠AOB然后利用已知条件和弧长公式即可求出∠AOB所对弧的长度．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，∴∠AOB=120°，∠AOB所对弧的长度==2π．故选D．18．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C．D．【分析】首先利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形AOB的面积，然后求出△AOB的面积，用S半+S△AOB﹣S扇形AOB可求出阴影部分的面积．圆【解答】解：在Rt△AOB中，AB==，S半圆=π×（）2=π，S△AOB=OB×OA=，S扇形OBA==，故S阴影=S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB=．故选C．19．边长为a的正六边形的面积为（）A． a B．4a2C．a2D．a2【分析】边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，据此即可求解．【解答】解：边长为a的等边三角形的面积=a2=a2，则边长为a的正六边形的面积等于6×a2=a2．故选C．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD【分析】由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM 与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为的中点，即=，选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵，∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）21．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是∠D=∠B．（写出一个即可）【分析】先证出∠DAE=∠BAC，再由∠D=∠B，根据三角形相似的判定方法即可得出△ADE∽△ABC．【解答】解：这个条件可能是∠D=∠B；理由如下：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，又∵∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC．22．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（sinA﹣）2+（tanB﹣1）2=0，则∠C=75°．【分析】根据偶次幂具有非负性可得sinA﹣=0，tanB﹣1=0，再根据特殊角的三角函数值可得：∠A=60°，∠B=45°，然后再利用三角形内角和定理可得答案．【解答】解：由题意得：sinA﹣=0，tanB﹣1=0，解得：∠A=60°，∠B=45°，则∠C=180°﹣60°﹣45°=75°，故答案为：75°．23．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O的直径为6．【分析】过C作直径CD，连AD，根据圆周角定理及推论得到∠CAD=90°和∠D=∠B=30°，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得到圆的直径．【解答】解：过C作直径CD，连AD，∴∠D=∠B=30°，∠CAD=90°，∴CD=2AC=6，∴⊙O的直径为6；故答案为：6．24．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=，则CQ的最大值为．【分析】由AB为直径和PC⊥CQ可得出∠PCQ=90°=∠ACB，又由∠P与∠A为同弦所对的圆周角，可得出∠P=∠A，从而得出△ACB∽△PCQ，即得出CQ=•CP，由tan∠ABC=得出CQ=CP，当CP最大时，CQ也最大，而CP为圆内一弦，故CP最大为直径，由此得出CQ的最大值．【解答】解：∵线段AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵CQ⊥PC，∴∠PCQ=90°=∠ACB，又∵∠P=∠A（同弦圆周角相等），∴△ACB∽△PCQ，∴．在Rt△ACB中，tan∠ABC=，∴=，∴CQ=•CP=CP．∵线段CP是⊙O内一弦，∴当CP过圆心O时，CP最大，且此时CP=5．∴CQ=×5=．故答案为：．三、解答题（本大题共5个小题，共48分．）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．25．如图，在△ABC中，已知：∠A=30°，∠C=105°，AC=4，求AB和BC的长．【分析】过C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△ACD中，由∠A=30°，AC=4，求得CD=AC•sinA=2，AD=AC，cosA=2，根据三角形的内角和得到∠B=45°，在Rt△BCD中，根据BD=CD=2，BC=2，即可得到AB=2+2．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=4，∴CD=AC•sinA=2，AD=AC，cosA=2，∵∠A=30°，∠ACB=105°，∴∠B=45°，在Rt△BCD中，BD=CD=2，BC=2，∴AB=2+2．26．如图，等边三角形ABC的边长为5，点E为BC边上一点，且BE=2，点D为AC边上一点，若∠AED=60°，求CD的长？【分析】由等边三角形的性质得出AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，证明△ABE∽△ECD，得出对应边成比例=，即可求出CD的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，∵∠AEC=∠AED+∠DEC，∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，又∵∠AED=∠B=60°，∴∠DEC=∠BAE，∴△ABE∽△ECD，∴=，∵BE=2，BC=5，∴EC=3，∴CD===．27．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．（1）求证：CD2=AD•BD；（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．【分析】（1）由互余两角的关系得出∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，证出△ACD∽△CBD，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，得出BD，即可得出sin∠BCD的值．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ACD+∠DCB=90°，∵CD是斜边AB上的高，∴∠B+∠DCB=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，∴△ACD∽△CBD，∴，即CD2=AD•BD；（2）解：由（1）知：△ACD∽△CBD，∴，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB==5，由△ABC的面积得：AB•CD=AC•BC，∴5CD=3×4，∴CD=，∴，解得：BD=，sin∠BCD===．28．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．【分析】本题由已知DE是⊙O的切线，可联想到常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法．【解答】（1）证明：连接OD，（1分）∵DE切⊙O于点D，∴DE⊥OD，∴∠ODE=90°，（2分）又∵AD=DC，AO=OB，∴OD是中位线，∴OD∥BC，（3分）∴∠DEC=∠ODE=90°，∴DE⊥BC；（4分）（2）解：连接BD，（5分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，（6分）∴BD⊥AC，∴∠BDC=90°，又∵DE⊥BC，Rt△CDB∽Rt△CED，（7分）∴，∴BC=，（9分）又∵OD=BC，∴OD=，即⊙O的半径为．（10分）29．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代换得到一对内错角相等，得到AD与OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；（2）由∠ACD的度数求出∠OCA为60°，确定出三角形AOC为等边三角形，由半径为2求出AC 的长，在直角三角形ACD中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，再利用勾股定理求出CD的长，由扇形AOC面积减去三角形AOC面积求出弓形的面积，再由三角形ACD面积减去弓形面积即可求出阴影部分面积．【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥EF，∴OC⊥EF，则EF为圆O的切线；（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，∴∠CAD=∠OCA=60°，∴△AOC为等边三角形，∴AC=OC=OA=2，在Rt△ACD中，∠ACD=30°，∴AD=AC=1，根据勾股定理得：CD=，∴S阴影=S△ACD﹣（S扇形AOC﹣S△AOC）=×1×﹣（﹣×22）=﹣．。
九年级(上)期中数学试卷附答案解析
九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=02．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（）A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：25．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形 C．矩形 D．正方形6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（）A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=5127．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处 B．P处C．Q处 D．M处9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为．14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC=cm．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．（只要写出一种）16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（填序号）三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）17．解下列方程：（1）x2﹣2x=0（2）2（x+1）2﹣8=0（3）x2﹣4x+3=0（4）（2x+1）2=3（2x+1）18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD=EC；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB=AO，求的值．21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF ⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；B、不是整式方程，故错误．C、方程二次项系数可能为0，故错误；D、方程含有两个未知数，故错误；故选A．2．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】利用菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，是假命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；C、对角线互相平分且相等、垂直的四边形是正方形，故错误，是假命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，故选B．3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%【考点】频数与频率．【分析】根据频率=频数÷数据总数，分别求出出现正面，反面的频率．【解答】解：∵某人抛硬币抛10次，其中正面朝上4次，反面朝上6次，∴出现正面的频率为=40%；出现反面的频率为60%．故选：D．4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（）A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：2【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比是进行解答即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，（AC＞BC），∴AC=AB，∴AC：AB=（﹣1）：2．故选：C．5．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形 C．矩形 D．正方形【考点】中点四边形．【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH 为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．【解答】解：菱形，理由为：如图所示，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，且EF=HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵EH=BD，AC=BD，∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形，故选B6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（）A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=512【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用800（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为800﹣800x%=800（1﹣x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为800（1﹣x%）﹣800（1﹣x%）x%=800（1﹣x%）2．∴800（1﹣x%）2=512．故选C．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到∴=，则EC=2AE=8，然后计算AE+EC即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴EC=2AE=8，∴AC=AE+EC=4+8=12（cm）．故选D．8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处 B．P处C．Q处 D．M处【考点】动点问题的函数图象．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；到Q点以后，面积y开始减小；故当x=9时，点R应运动到Q处．故选C．9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE ∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC ∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE ∽△ABC，故本选项不符合题意；故选：B．10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，∴≤k＜，且k≠0．故选：D．二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是16．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的对应边的比相等可得．【解答】解：两个相似的六边形，一个最短边长是3，另一个最短边长为6，则相似比是3：6=1：2，根据相似六边形的对应边的比相等，设后一个六边形的最大边长为x，则8：x=1：2，解得：x=16．即后一个六边形的最大边长为16．故答案为16．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是﹣1．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．∴a2﹣1=0，且a≠1．解得a=﹣1．故答案是：﹣1．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为4cm．【考点】比例线段．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad=cb，代入a=3cm，b=2cm，c=6cm，解得：d=4，则d=4cm．故答案为：4cm．14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC=6cm．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD．【解答】解：∵BD是斜边AC上的中线，∴AC=2BD=2×3=6cm．故答案为：6．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB．（只要写出一种）【考点】相似三角形的判定．【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．【解答】解：∵∠DAC=∠CAB∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是①④（填序号）【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【分析】由条件可得∠APE=30°，则∠PEF=∠BEF=60°，可得EF=2BE，PF=PE，EF=2BE=4EQ，从而可判断出正确的结论．【解答】解：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP，∵AE=AB，∴BE=PE=2AE，∴∠APE=30°，∴∠PEF=∠BEF=60°，∴∠EFB=∠EFP=30°，∴EF=2BE，PF=PE，∴①正确，②不正确；又∵EF⊥BP，∴EF=2BE=4EQ，∴③不正确；又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，∴△PBF为等边三角形，∴④正确；所以正确的为①④，故答案为：①④．三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）17．解下列方程：（1）x2﹣2x=0（2）2（x+1）2﹣8=0（3）x2﹣4x+3=0（4）（2x+1）2=3（2x+1）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）移项后分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2；（2）2（x+1）2﹣8=0，2（x+1+2）（x+1﹣2）=0，x+1+2=0，x+1﹣2=0，x1=﹣3，x2=1；（3）x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0，x﹣1=0，x1=3，x2=1；（4）（2x+1）2=3（2x+1），（2x+1）2﹣3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1﹣3）=0，2x+1=0，2x+1﹣3=0，x1=﹣，x2=1．18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．【分析】（1）根据三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，再根据概率公式即可求出答案；（2）根据题意列出图表，再根据概率公式求出和为7和和为10的概率，即可得出游戏的公平性．【解答】解：（1）∵三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，∴从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为：；故答案为：；（2）根据题意列表如下：2 5 52 （2，2）（4）（2，5）（7）（2，5）（7）5 （5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）5 （5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）∵共有9种可能的结果，其中数字和为7的共有4种，数字和为10的共有4种，∴P（数字和为7）=，P（数字和为10）=，∴P（数字和为7）=P（数字和为10），∴游戏对双方公平．20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD=EC；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB=AO，求的值．【考点】四边形综合题；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．【分析】（1）先判定四边形ABDE为平行四边形，再判定四边形ADCE为平行四边形，即可得出AD=EC；（2）根据四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，即可得出平行四边形ADCE为菱形；（3）先判定OD为△ABC的中位线，得出，再根据AB=AO，得出即可．【解答】解：（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE=BD，∵在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，∴AD=CD=BD，∴AE=CD，又∵AE∥CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∴AD=EC；（2）由（1）可知，四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，∴平行四边形ADCE为菱形；（3）∵四边形ADCE为平行四边形，∴AC与ED互相平分，∴点O为AC的中点，∵AD是边BC上的中线，∴点D为BC边中点，∴OD为△ABC的中位线，∴，∵AB=AO，∴，即的值为．21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．【解答】解：设每件童装应降价x元，则（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以x只取20．答：每件童装应降价20元．22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF ⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由AD：AB=1：1可以得出四边形ABCD是正方形，由其性质就可以得出△ABF≌△ADE，从而得出AF=AE，得出△AEF的形状；（2）根据条件可以得出△ABF∽△ADE，由相似三角形的性质就可以得出结论；（3）如图3，当△AEG是等边三角形时，由勾股定理就可以表示出AG、AE、FG，BG的值建立方程求出k值，就可以求出DE的长度．【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形理由：如图1，∵AD：AB=1：1，∴AD=AB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°．∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠BAD，∴∠FAE﹣∠BAE=∠BAD﹣∠BAE，即∠BAF=∠DAE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE，∴△AEF为等腰直角三角形；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠BAD，∴△ABF∽△ADE，∴．∵，∴，即AF=2AE；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∵△AEG是等边三角形，∴AE=AG，∠GAE=∠AEG=60°．∴∠FAG=∠DAE=∠AFE=30°，∴AG=FG．∵AB=3，AD：AB=k，∴AD=3k．在Rt△ADE中由勾股定理，得DE=k，AE=2k，∴AG=FG=2k，∴BG=k．∵AB=3，∴GB=3﹣2k，∴k=3﹣2k，解得：k=，∴DE=1．答：k=，DE=1．。
九年级(上)期中数学试卷附试卷答案
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，反比例函数y=﹣的图象分布在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限3．已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=95．如图所示，在⊙O中，OB⊥OC于点O，则∠BAC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为（）A．300条B．380条C．400条D．420条7．二次函数y=（x+1）（x﹣3）的图象的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=2 C．直线x=3 D．直线x=﹣18．如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形9．如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸展开，一定可以得到一个（）A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形10．下列四个函数中，在各自的自变量的取值范围内，函数值y随x值的增大而增大的函数是（）A．y=﹣x B．y=3﹣2x C．y=（x＞0）D．y=x2（x＞0）二、填空题（每小题4分，共16分）11．方程x2=2x的根为．12．如图，某斜坡的坡度为i=1：，则该斜坡的坡角的大小是度．13．二次函数y=2（x+3）2的图象向平移个单位长度就可以得到二次函数y=2x2的图象．14．如图，在△ABC中，AB=5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B，DE=2，那么AD•BC=．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（1）计算：|﹣2|﹣2sin30°+（﹣）2+（tan45°）﹣1（2）解方程：2x2﹣5x﹣3=0．16．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+1=0有两个相等的实数根，求k 的值．17．如图，甲、乙两楼的距离AC=30cm，甲楼高AB=40m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，求乙楼的高CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）18．如图所示，小明和小亮用转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起能配成紫色）小明转动的A盘被等分成4个扇形，小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次．（1）请用列表或画树状图的方法求两人转动转盘得到的两种颜色能配成紫色的概率；（2）两人转动转盘得到的两种颜色若能配成紫色则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（﹣1，2），B（2，m）两点，连接OA，OB．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）直接写出使得一次函数y=kx+b的值大于反比例函数y=的值的x的取值范围，并求出△OAB的面积．20．如图，在⊙O中，直径AB=4，点C在⊙O上，且∠AOC=60°，连接BC，点P 在BC上（点P不与点B，C重合），连接OP并延长交⊙O于点M，过P作PQ⊥OM交于点Q．（1）求BC的长；（2）当PQ∥AB时，求PQ的长；（3）点P在BC上移动，当PQ的长取最大值时，试判断四边形OBMC的形状，并说明理由．四、填空题（每小题4分，共20分）21．已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为m，n，则代数式4m+2（n﹣m）﹣1的值为．22．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c＞0；②b2＞4ac；③b=﹣2a；④a+b+c=0，其中正确结论的番号是．23．现从四个数1，2，﹣1，﹣3中任意选出两个不同的数，分别作为函数y=ax2+bx 中a，b的值，那么所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是．24．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=20，AH=16，⊙O的半径为15，则AB=．25．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，AC=5，BC=4．①AB的长为；②若E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于F，当DE∥AC时，tan∠BCD的值为．五、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．成都市某学校计划建一个长方形种植园，如图所示，种植园的一边靠墙，另三边用周长为30m的篱笆围成，已知墙长为18m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（m），种植园面积为y（m2）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）根据实际需要，要求这个种植园的面积不小于100m2，求x的取值范围，并求这个种植园的面积的最大值．27．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D，E分别在边BC，AB上，连接AD，ED，且∠BDE=∠ADC，过E作EF⊥AD交边AC于点F，连接DF．（1）求证：∠AEF=∠BED；（2）过A作AG∥ED交BC的延长线于点G，设CD=x，CF=y，求y与x之间的函数关系式；（3）当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求CD的长．28．如图，直线y=2x﹣10分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为OB的中点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D是直线AB上方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为．①求点D的坐标；②点P为抛物线上一点，若△APD是以PD为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据主视图定义，得到从几何体正面看得到的平面图形即可．【解答】解：从正面看得到2列正方形的个数依次为2，1，故选：D．2．在平面直角坐标系中，反比例函数y=﹣的图象分布在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【考点】反比例函数的性质．【分析】直接根据反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣3＜0，∴此函数图象的两个分支分别位于第二四象限．故选C．3．已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平行线分线段成比例．【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵两条直线被三条平行线所截，∴，解得：x=4，故选：B．4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D．5．如图所示，在⊙O中，OB⊥OC于点O，则∠BAC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】圆周角定理．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵ON⊥OC，∴∠BOC=90°，∴∠BAC=∠BOC=×90°=45°．故选B．6．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为（）A．300条B．380条C．400条D．420条【考点】用样本估计总体．【分析】首先求出有记号的5条鱼在100条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．【解答】解：∵×100%=5%，∴20÷5%=400（条）．故选C7．二次函数y=（x+1）（x﹣3）的图象的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=2 C．直线x=3 D．直线x=﹣1【考点】二次函数的性质．【分析】先根据二次函数的解析式求出函数图象与x轴的交点，再根据两交点关于对称轴对称即可得出结论．【解答】解：∵二次函数的解析式为：y=（x+1）（x﹣3），∴此抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x==1．故选A．8．如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A，∠B的角度从而得出答案．【解答】解：∵sinA=cosB=，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．9．如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸展开，一定可以得到一个（）A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形【考点】剪纸问题；菱形的判定．【分析】根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，从而可以进行从题后的答案中选择．【解答】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，只有菱形满足这一条件．故选：A．10．下列四个函数中，在各自的自变量的取值范围内，函数值y随x值的增大而增大的函数是（）A．y=﹣x B．y=3﹣2x C．y=（x＞0）D．y=x2（x＞0）【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；二次函数的性质．【分析】画出函数的图象即可判断．【解答】解：函数y=x2（x＞0）的图象如图所示，图象从左到右是上升的，y随x值的增大而增大，故选D．二、填空题（每小题4分，共16分）11．方程x2=2x的根为x1=0，x2=2．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2=2x，x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，或x﹣2=0，x1=0，x2=2，故答案为：x1=0，x2=2．12．如图，某斜坡的坡度为i=1：，则该斜坡的坡角的大小是30度．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】设坡角为α，根据坡度的定义求出坡角的正切值，根据特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：设坡角为α，∵斜坡的坡度为i=1：，∴tanα==，∴α=30°，故答案为：30．13．二次函数y=2（x+3）2的图象向右平移3个单位长度就可以得到二次函数y=2x2的图象．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减，上加下减”平移规律即可解决．【解答】解：根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，可知：二次函数y=2（x+3）2的图象向右平移3个单位长度就可以得到二次函数y=2x2的图象．故答案为：右，3．14．如图，在△ABC中，AB=5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B，DE=2，那么AD•B C=10．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件可证明△ADE∽△ABC，可得=，即得到AD•BC=DE•AB，代入可求得答案．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴AD•BC=DE•AB，且DE=2，AB=5，∴AD•BC=10，故答案为：10．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（1）计算：|﹣2|﹣2sin30°+（﹣）2+（tan45°）﹣1（2）解方程：2x2﹣5x﹣3=0．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值得到原式=2﹣2×+3+1﹣1，然后根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算；（2）利用因式分解法求解．【解答】解：（1）原式=2﹣2×+3+1﹣1=2﹣2+3+1=4；（2）（2x+1）（x﹣3）=0，2x+1=0或x﹣3=0，所以x1=﹣，x2=316．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+1=0有两个相等的实数根，求k 的值．【考点】根的判别式．【分析】由方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+1=0有两个相等的实数根，∴△=[2（k﹣1）]2﹣4=4k2﹣8k=0，解得：k1=0，k2=2．答：k的值为0或2．17．如图，甲、乙两楼的距离AC=30cm，甲楼高AB=40m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，求乙楼的高CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】根据题意可以得到CD的长就是甲楼的高加上BE•tan28°的和，从而可以解答本题．【解答】解：作BE⊥CD，如右图所示，∴∠BED=90°，由题意可得，AC=BE，∴BE=30m，在Rt△BDE中，∠DBE=28°，∴，∴DE=30×tan28°，∵AB=40，AB=CE，∴CD=DE+CE=30×tan28°+40≈30×0.53+40=55.9m，即乙楼的高CD的长是55.9m．18．如图所示，小明和小亮用转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起能配成紫色）小明转动的A盘被等分成4个扇形，小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次．（1）请用列表或画树状图的方法求两人转动转盘得到的两种颜色能配成紫色的概率；（2）两人转动转盘得到的两种颜色若能配成紫色则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，根据概率公式即可得答案；（2）由（1）的表格，分析可能得到紫色的概率，继而可得小亮获胜，得到结论不公平．【解答】解：（1）用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种．红蓝黄蓝（红，蓝）（蓝，蓝）（黄，蓝）红（红，红）（蓝，红）（黄，红）黄（红，黄）（蓝，黄）（黄，黄）红（红，红）（蓝，红）（黄，红）则两人转动转盘得到的两种颜色能配成紫色的概率为=；（2）不公平．上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是，即小明获胜的概率是；小亮获胜的概率为1﹣=，而＞，即小亮获胜的概率大，∴这个“配色”游戏对双方是不公平的．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（﹣1，2），B（2，m）两点，连接OA，OB．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）直接写出使得一次函数y=kx+b的值大于反比例函数y=的值的x的取值范围，并求出△OAB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）先把A（﹣1，2）代入反比例函数y=求出n的值即可得出其函数解析式，再把B（2，m）代入反比例函数的解析式即可得出m的值，把AB两点的坐标代入一次函数y=kx+b，求出k、b的值即可得出其解析式；（2）直接根据函数图象可得出x的取值范围，求出一次函数与x轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y=的图象上，∴n=2×（﹣1）=﹣2，∴其函数解析式为y=﹣；∵B（2，m）在反比例函数的图象上，∴m=﹣=﹣1，∴B（2，﹣1）．∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y=kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为：y=﹣x +1；（2）∵A （﹣1，2），B （2，﹣1），∴一次函数y=kx +b 的值大于反比例函数y=的值时，0＜x ＜2或x ＜﹣1． ∵一次函数的解析式为：y=﹣x +1， ∴D （1，0）， ∴OD=1，∴S △OAB =S △OAD +S △OBD =×1×2+×1×1=1+=．20．如图，在⊙O 中，直径AB=4，点C 在⊙O 上，且∠AOC=60°，连接BC ，点P 在BC 上（点P 不与点B ，C 重合），连接OP 并延长交⊙O 于点M ，过P 作PQ ⊥OM 交于点Q ．（1）求BC 的长；（2）当PQ ∥AB 时，求PQ 的长；（3）点P 在BC 上移动，当PQ 的长取最大值时，试判断四边形OBMC 的形状，并说明理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）在Rt△ABC中，根据BC=AB•sin60°计算即可．（2）在Rt△POB中，求出OP，再根据勾股定理即可计算．（3）因为PQ=，OQ是定值，所以OP最小时，PQ最长，所以当OM ⊥BC时，OP最短，此时PQ最长，由此即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接AC．∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AB=4，∴BC=AB•sin60°=4×=2．（2）如图2中，连接OQ．∵PQ∥AB，PQ⊥OM，∴OM⊥AB，∴∠POB=90°，∵∠B=30°，∴OP=OB•tan30°=，在Rt△OPQ中，PQ===．（3）如图3中，∵PQ=，OQ是定值，∴OP最小时，PQ最长，∴当OM⊥BC时，OP最短，此时PQ最长，PQ=BC=，∴PQ的最大值为．此时四边形OBMC为菱形．理由：连接BM、CM．∵OM⊥BC，OC=OB，∴∠POB=∠POC=60°，∵OB=OM=OC，∴△OMB，△OCM是等边三角形，∴OC=OB=BM=CM，∴四边形OBMC是菱形．四、填空题（每小题4分，共20分）21．已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为m，n，则代数式4m+2（n﹣m）﹣1的值为3．【考点】根与系数的关系．【分析】由韦达定理可得m+n=2．将其代入原式=4m+2n﹣2m﹣1=2m+2n﹣1=2（m+n）﹣1可得答案．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为m，n，∴m+n=2，则原式=4m+2n﹣2m﹣1=2m+2n﹣1=2（m+n）﹣1=4﹣1=3，故答案为：3．22．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c＞0；②b2＞4ac；③b=﹣2a；④a+b+c=0，其中正确结论的番号是①②④．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①由抛物线与x轴的交点在y轴正半轴可得出c＞0，①正确；②由抛物线与x轴有两个不相同的交点可得出b2﹣4ac＞0，②正确；③由抛物线的对称轴为x=﹣1可得出b=2a，③错误；④由抛物线的对称轴结合点A的坐标即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0），进而可得出a+b+c=0，④正确．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c＞0，①正确；②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，②正确；③∵抛物线对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a，③错误；④∵抛物线对称轴为直线x=﹣1，且点A的坐标为（﹣3，0），∴抛物线与x轴另一交点的坐标为（1，0），∴当x=1时，y=a+b+c=0，④正确．综上所述：正确结论的番号是①②④．故答案为：①②④．23．现从四个数1，2，﹣1，﹣3中任意选出两个不同的数，分别作为函数y=ax2+bx 中a，b的值，那么所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是．【考点】列表法与树状图法；二次函数的性质．【分析】根据题意可以所有的可能性，根据所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧可以判断a、b的正负，从而可以得到所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧的抛物线的概率．【解答】解：由题意可得，所有的可能性是：（1，2）、（1，﹣1）、（1，﹣3）、（2，1）、（2，﹣1）、（2，﹣3）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、（﹣1，﹣3）、（﹣3，1）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣1），∵所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是：，故答案为：．24．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=20，AH=16，⊙O的半径为15，则AB=24．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】作直径AD，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，∠D=∠C，证明△ABD∽△AHC，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：作直径AD，连接BD，∵AD为直径，∴∠ABD=90°，又AH⊥BC，∴∠ABD=∠AHC，有圆周角定理得，∠D=∠C，∴△ABD∽△AHC，∴=，即=，解得，AB=24，故答案为：24．25．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，AC=5，BC=4．①AB的长为4+；②若E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于F，当DE∥AC时，tan∠BCD的值为．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【分析】①如图作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，由∠AMB=90°，∠B=45°，推出BM=AM，AB=AM，设AM=BM=x，在Rt△AMC中，根据AC2=AM2+CM2，可得方程52=x2+（4﹣x）2，求出x即可解决问题．②如图作FN⊥BC于N．由△ACF∽△ABC，得到AC2=AF•AB，推出AF=，BF=AB ﹣AF=，求出FN、CN，根据tan∠BCD=计算即可．【解答】解：①如图作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，∵∠AMB=90°，∠B=45°，∴BM=AM，AB=AM，设AM=BM=x，在Rt△AMC中，∵AC2=AM2+CM2，∴52=x2+（4﹣x）2，解得x=或（舍弃），∴AB=x=7，故答案为7．②如图作FN⊥BC于N．∵DE∥AC，∴∠ACF=∠D=∠B，∵∠CAF=∠CAB，∴△ACF∽△ABC，∴AC2=AF•AB，∴AF=，∴BF=AB﹣AF=7﹣=，∴BN=FN=，∴CN=BC﹣BN=4﹣=，∴tan∠BCD===，故答案为．五、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．成都市某学校计划建一个长方形种植园，如图所示，种植园的一边靠墙，另三边用周长为30m的篱笆围成，已知墙长为18m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（m），种植园面积为y（m2）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）根据实际需要，要求这个种植园的面积不小于100m2，求x的取值范围，并求这个种植园的面积的最大值．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）根据题意即可求得y与x的函数关系式为y=（30﹣2x）x；（2）根据“种植园的面积不小于100m2”列出一元二次不等式，解之可得，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值．【解答】解：（1）根据题意得：y=（30﹣2x）x=﹣2x2+30x，（2）由题意得：﹣2x2+30x≥100，解得：5≤x≤10，∵30﹣2x≤18，∴x≥6，∴6≤x≤10，∵y=﹣2x2+30x=﹣2（x﹣7.5）2+112.5，∴当x=7.5时，这个种植园的面积的最大值，最大面积为112.5m2．27．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D，E分别在边BC，AB上，连接AD，ED，且∠BDE=∠ADC，过E作EF⊥AD交边AC于点F，连接DF．（1）求证：∠AEF=∠BED；（2）过A作AG∥ED交BC的延长线于点G，设CD=x，CF=y，求y与x之间的函数关系式；（3）当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求CD的长．【考点】三角形综合题．【分析】（1）如图1中，设AD与EF交于点O．首先证明∠AFE=∠EDB，∠FAE=∠B，由∠CAB+∠AFE+∠AEF=180°，∠B+∠BDE+∠DEB=180°，即可证明．（2）如图2中，过A作AG∥ED交BC的延长线于点G．是怎么CG=CD，由DE ∥AG，推出=，由△AEF∽△BED，推出=，推出=，推出DG=AF 即可解决问题．（3）分两种情形求解即可①如图3中，当DE=DF时，易知AD垂直平分线段EF，作DH⊥AB于H．列出方程求解．②当DE=EF时，由△AEF∽△BED，推出AF=BD，CF=CD，即x=y，由此即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，设AD与EF交于点O．∵AD⊥EF，∴∠FOD=∠C=90°，∴∠CDA+∠CFO=180°，∵∠CFO+∠AFE=180°，∴∠AFE=∠ADC=∠ADB，∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=45°，∵∠CAB+∠AFE+∠AEF=180°，∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∴∠AEF=∠BED．（2）如图2中，过A作AG∥ED交BC的延长线于点G．∵DE∥AG，∴∠G=∠BDE，∵∠BDE=∠ADG，∴∠G=∠ADG，∴AG=AD，∵AC⊥DG，∴GC=CD=x，∴=，∵∠FAE=∠B，∠AEF=∠DEB，∴△AEF∽△BED，∴=，∴=，∴DG=AF，∴2x=2﹣y，∴y=﹣2x+2．（0＜x≤1）．（3）①如图3中，当DE=DF时，易知AD垂直平分线段EF，作DH⊥AB于H．∵DA平分∠CAB，DC⊥CA，DH⊥AB，∴DC=DH=x，∵∠B=∠HDB=45°，∴BD=x，∴x+x=2，∴x=2﹣2，∴CD=2﹣2．②当DE=EF时，∵△AEF∽△BED，∴AF=BD，CF=CD，∴x=y，∴x=﹣2x+2，∴x=，∴CD=．∴当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，CD的长2﹣2或．28．如图，直线y=2x﹣10分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为OB的中点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D是直线AB上方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为．①求点D的坐标；②点P为抛物线上一点，若△APD是以PD为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由直线解析式求出A 、B 坐标，然后得出C 点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）①过D 作DE ∥y 轴交AB 于E ，则S △ABD =S △BDE +S △ADE =，设出D 点的横标，纵坐标用横坐标表示，同时表示出E 点坐标，从而得出△ABD 的面积表达式，再根据△ABD 的面积为，列出方程解之即可；②分两种情况：第一种，D 为直角顶点；第二种，P 为直角顶点．对于第一种情况，可以验证抛物线的顶点与D 、A 一起刚好构成直角三角形，即P 点就是抛物线的顶点；对于第二种情况，过点P 作GH ∥x 轴，DG ⊥GH 于G ，AH ⊥GH 于H ，由△DGP ∽△PHA 列出相似比例关系求解．【解答】解：（1）当y=0时，2x ﹣10=0，解得x=5，则A （5，0），当x=0时，y=2x ﹣10=﹣10，则B （0，﹣10）∵点C 为OB 的中点，∴C （0，﹣5），把A （5，0），C （0，﹣5）代入y=﹣x 2+bx +c 得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①过D 作DE ∥y 轴交AB 于E ，如图，设D （x ，﹣x 2+6x ﹣5），则E （x ，2x ﹣10），∵S △ABD =S △BDE +S △ADE =×5×DE=（﹣x 2+6x ﹣5﹣2x +10） ∴（﹣x 2+6x ﹣5﹣2x +10）=，整理得x 2﹣4x +4=0，解得x 1=x 2=2，∴D （2，3）；②∵抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5，∴抛物线的顶点为M （3，4），∴MD=，AD=3，AM=2，∴MD 2+AD 2=AM 2，∴MD ⊥AD ，若D 为直角顶点，则P 与M 点重合，即P （3，4），如图，此时P 点到抛物线对称轴的距离为0；若P 为直角顶点，如图，过点P作GH∥x轴，DG⊥GH于G，AH⊥GH于H，∵∠APD=90°，∴△DGP∽△PHA，∴，设P（t，﹣t2+6t﹣5），则：GP=t﹣2，DG=﹣t2+6t﹣5﹣3，PH=5﹣t，AH=﹣t2+6t﹣5，∴，∴，∴，∴t2﹣5t+5=0，∴t=，∴P点坐标为（，）或（，）；若P点坐标为（，），则P点到抛物线对称轴的距离为，若P点坐标为（，），则P点到抛物线对称轴的距离为．。
九年级上册数学期中试卷【含答案】
九年级上册数学期中试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）A. a/2B. a√2C. 2aD. a√32. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 下列哪个数是实数？（）A. √-1B. 3/0C. ∞D. -54. 一次函数y=2x+3的图像是一条（）A. 水平线B. 垂直线C. 斜线D. 曲线5. 二元一次方程组x+y=5, x-y=3的解为（）A. x=4, y=1B. x=2, y=3C. x=3, y=2D. x=1, y=4二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个有理数的和仍然是有理数。
（）2. 任何两个实数的积一定是实数。
（）3. 一元二次方程的解一定是实数。
（）4. 一次函数的图像一定是一条直线。
（）5. 二元一次方程组一定有解。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a+b=5, a-b=1，则a=_____, b=_____.2. 若x²-5x+6=0，则x=_____, x=_____.3. 一次函数y=kx+b的图像是一条_____.4. 二元一次方程组的解法有_____, _____.5. 实数包括_____, _____, _____.四、简答题（每题2分，共10分）1. 解释什么是有理数。
2. 解释什么是无理数。
3. 解释什么是实数。
4. 解释一次函数的图像是一条直线的原因。
5. 解释二元一次方程组有解的条件。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个正方形的边长为a，求它的面积。
2. 已知一个长方形的长为a，宽为b，求它的面积。
3. 已知一次函数y=kx+b的图像过点(1, 3)，(2, 5)，求k和b的值。
4. 已知二元一次方程组x+y=5, x-y=3，求x和y的值。
5. 已知一元二次方程x²-5x+6=0，求它的解。
六、分析题（每题5分，共10分）1. 分析什么情况下两个有理数的和是无理数。
九年级上册数学期中考试试卷【含答案】
九年级上册数学期中考试试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）A. a/2B. a√2C. 2aD. a√32. 下列哪个是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 下列哪个数是虚数？（）A. 3B. -5C. √-1D. 04. 二项式展开式（x+y）^3的项数为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列哪个图形不是中心对称图形？（）A. 正方形B. 矩形C. 圆D. 正三角形二、判断题（每题1分，共5分）6. 任何两个奇数之和都是偶数。
（）7. 一元二次方程的解可以是两个相同的实数根。
（）8. 函数y=2x+3的图像是一条直线。
（）9. 所有的正方形都是矩形。
（）10. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形。
（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 若a、b是不为0的实数，且a+b=0，则a和b的关系是_________。
12. 一个等差数列的第5项是10，第10项是20，则这个数列的公差是_________。
13. 若一个圆的半径为r，则它的直径是_________。
14. 二项式展开式（x+y）^4中x^2y^2的系数是_________。
15. 一个正六边形的内角和是_________度。
四、简答题（每题2分，共10分）16. 简述一元二次方程的求解公式。
17. 什么是等差数列？给出一个等差数列的例子。
18. 什么是相似三角形？相似三角形的性质有哪些？19. 什么是中心对称图形？给出一个中心对称图形的例子。
20. 什么是概率？如何计算一个事件的概率？五、应用题（每题2分，共10分）21. 一个长方形的长是10cm，宽是5cm，求它的面积和周长。
22. 解方程：2x-5=3x+4。
23. 一个等差数列的第1项是3，公差是2，求第10项。
24. 一个圆的半径是7cm，求它的周长和面积。
25. 抛掷一个正方体，求得到一个偶数面的概率。
九年级(上)期中数学试卷含解析
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）有下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．3x（x﹣4）=0 B．x2+y﹣3=0 C． +x=2 D．x3﹣3x+8=02．（3分）方程3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和8 B．3和﹣8 C．3和﹣10 D．3和103．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A． B． C．D．5．（3分）抛物线y=x2﹣4x﹣5的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四6．（3分）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7．（3分）若α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则α•β的值为（）A．2017 B．2 C．﹣2 D．﹣20178．（3分）二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（）A．2 B．1 C．﹣3 D．9．（3分）方程x2=x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=010．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）将方程化为一般形式：2x2﹣3x=3x﹣5是．12．（3分）若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为．13．（3分）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1y2．（用＞、＜、=填空）．14．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．15．（3分）方程x2﹣2x﹣1=0根的判别式等于．16．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则另一根为．三、解答题．（共52分）17．（10分）解方程．（1）x2﹣3x﹣4=0（2）（x﹣3）2=3x（x﹣3）18．（8分）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．19．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求出抛物线的顶点坐标，对称轴及二次函数的最大值．20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）对于任意实数m，判断此方程根的情况，并说明理由；（2）当m=2时，求方程的根．21．（8分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，求原正方形空地的边长．22．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）有下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．3x（x﹣4）=0 B．x2+y﹣3=0 C． +x=2 D．x3﹣3x+8=0【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项正确；B、不是一元二次方程，故此选项错误；C、不是一元二次方程，故此选项错误；D、不是一元二次方程，故此选项错误；故选：A．2．（3分）方程3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和8 B．3和﹣8 C．3和﹣10 D．3和10【解答】解：3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为3，﹣8，故选：B．3．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选：A．4．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A． B． C．D．【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；此时，没有选项符合，当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；此时，D选项符合，故选：D．5．（3分）抛物线y=x2﹣4x﹣5的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【解答】解：抛物线y=x2﹣4x﹣5的顶点坐标为：x=﹣=2，y==﹣9，即（2，﹣9），∵2＞0，﹣9＜0，∴顶点在第四象限．故选：D．6．（3分）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】解：∵△=b2﹣4ac=12﹣4•1•=0，∴原方程有两个相等的实数根．故选：B．7．（3分）若α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则α•β的值为（）A．2017 B．2 C．﹣2 D．﹣2017【解答】解：∵α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，∴α•β=﹣2017．故选：D．8．（3分）二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（）A．2 B．1 C．﹣3 D．【解答】解：由二次函数的解析式可知此函数的最小值是2．故选：A．9．（3分）方程x2=x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=0【解答】解：x2=x，移项得x2﹣x=0，提公因式得x（x﹣1）=0，解得x1=1，x2=0．故选：D．10．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＜0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以①正确；∵点（﹣2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），所以③正确；∵x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，所以④错误．故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）将方程化为一般形式：2x2﹣3x=3x﹣5是2x2﹣6x+5=0．【解答】解：2x2﹣3x=3x﹣5是一般形式是2x2﹣6x+5=0，故答案为：2x2﹣6x+5=0．12．（3分）若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为﹣3．【解答】解：将x=1代入得：1+2+m=0，解得：m=﹣3．故答案为：﹣3．13．（3分）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1＞y2．（用＞、＜、=填空）．【解答】解：∵二次函数y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2）是二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上的两点，﹣7＞﹣8，∴y1＞y2．故答案为：＞．14．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是x1=0，x2=2．【解答】解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得，代入ax2+bx=0得，﹣x2+2x=0，解得x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．15．（3分）方程x2﹣2x﹣1=0根的判别式等于8．【解答】解：由题意得：a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8，故答案为：8．16．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则另一根为﹣3．【解答】解：根据题意可得x1+x2=﹣=﹣m，x1x2==﹣3，∵x1=1，∴1+x2=﹣m，x2=﹣3，∴m=2．故答案为：﹣3三、解答题．（共52分）17．（10分）解方程．（1）x2﹣3x﹣4=0（2）（x﹣3）2=3x（x﹣3）【解答】解：（1）x2﹣3x﹣4=0，（x﹣4）（x+1）=0，x﹣4=0，x+1=0，x1=4，x2=﹣1；（2）（x﹣3）2=3x（x﹣3），（x﹣3）2﹣3x（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣3﹣3x）=0，x﹣3=0，x﹣3﹣3x=0，x1=3，x2=﹣1.5．18．（8分）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．【解答】解：（1）4△3=42﹣32=16﹣9=7；（2）由题意得：（x+2）2﹣25=0，（x+2）2=25，x+2=±5，x+2=5或x+2=﹣5，解得：x1=3，x2=﹣7．19．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求出抛物线的顶点坐标，对称轴及二次函数的最大值．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4），对称轴为：直线x=1，二次函数的最大值是4．20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）对于任意实数m，判断此方程根的情况，并说明理由；（2）当m=2时，求方程的根．【解答】解：（1）对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根，利用如下：∵△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8＞0，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．（2）当m=2时，原方程为x2﹣2x﹣2=0，此时△=m2+8=12，∴x1=1﹣，x2=1+．21．（8分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，求原正方形空地的边长．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x1=2，x2=3．经检验，x=2不符合题意，舍去答：原正方形的边长3m．22．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？【解答】解：设房价为（180+10x）元，则定价增加了10x元，此时空闲的房间为x，由题意得，y=（180+10x）（50﹣x）﹣（50﹣x）×20=﹣10x2+340x+8000=﹣10（x ﹣17）2+10890故可得当x=17，即房间定价为180+170=350元的时候利润最大．答：房间定价为350元时，利润最大．11。
九年级上学期期中数学试题(含答案)
九年级数学期中试卷本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分130分． 注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合．2．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．3．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填写在题答题卡的相应的括号内．） 1．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是( ▲ )A ．x －1＝0B ．x 3＋x ＝3C ．x 2＋3x －5＝0D ．ax 2＋bx ＋c ＝02．关于x 的方程x 2＋x －k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为( ▲ )新-课 -标-第- 一-网A ．k ＞－14B ．k ≥－14C ．k ＜－14D ．k ＞－14且k ≠03．45°的正弦值为( ▲ )A ．1B ．12C ．22D ．324．已知△ABC ∽△DEF ，∠A ＝∠D ，AB ＝2cm ，AC ＝4cm ，DE ＝3cm ，且DE ＜DF ， 则DF 的长为( ▲ )A ．1cmB ．1.5cmC ．6cmD ．6cm 或1.5cm5．在平面直角坐标系中，点A (6，3)，以原点O 为位似中心，在第一象限内把线段OA 缩小为原来的13得到线段OC ，则点C 的坐标为( ▲ )A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)6．已知⊙A 半径为5，圆心A 的坐标为（1，0），点P 的坐标为（－2，4），则点P 与⊙A 的位置关系是( ▲ )A ．点P 在⊙A 上B ．点P 在⊙A 内C ．点P 在⊙A 外D ．不能确定7．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC ＝( ▲ )A ．1︰3B ．1︰4C ．2︰3D ．1︰28．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝12，AD ＝4，BC ＝9，点P 是AB 上一动点，若△P AD 与△PBC 相似，则满足条件的点P 的个数有( ▲ )A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞BP ，设以AP 为边的等边三角形的面积 为S 1，以PB 、AB 为直角边的直角三角形的面积为S 2，则S 1与S 2的关系是 ( ▲ )A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1≥S 210．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E 、F 分别是边BC 、 AC 的中点，P是AB 上一点，以PF 为一直角边作等腰直角△PFQ ，且∠FPQ ＝90°，若AB ＝10，PB ＝1，则QE 的值为( ▲ ) A ． 3 B ．3 2 C ．4 D ．4 2二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）11．已知x ：y ＝2：3，则(x ＋y )：y ＝ ▲ ．12．在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5m 的测杆的影长为2.5m ，那么影长为30m 的旗杆的高是 ▲ m ．13．某电动自行车厂三月份的产量为1 000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1 210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 ▲ ．14．在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且||tan A －1＋(12－cos B )2＝0，则∠C ＝ ▲ °．15．如图，在□ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE ＝4：3，且BF ＝2，则DF ＝ ▲ ．AD F CBOE（第7题）A CP FEQ（第10题）ACD（第8题）A BCDE F（第15题）16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，AC ＝8，点F 是△ABC 的重心（即点F 是△ABC 的两条中线AD 、BE 的交点），BF ＝6，则DF ＝ ▲ ．17．关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＝0的一根为x ＝3，则关于x 的方程m (x ＋2)2＋nx ＋2n ＝0的根为 ▲ ．18．如图，△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为S 1（如图1）；在余下的Rt △ADE 和Rt △BDF 中，分别剪取一个尽可能大的正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S 2（如图2）；继续操作下去…；第2017次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤.） 19．计算或解方程：（每小题4分，共16分） （1）计算：(12)－2－4sin60°－tan45°；（2）3x 2－2x －1＝0；（3）x 2＋3x ＋1＝0（配方法）； （4）(x ＋1)2－6(x ＋1)＋5＝0．20．（本题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）． （1）在图中画出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的位置； （2）点M 的坐标为 ▲ ；（3）判断点D （5，－2）与⊙M 的位置关系．OABCxy （图2） ACB DE ACDE FACDE F（图1）（第18题）AB D CEF （第16题）……21．（本题满分6分）如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 中点．（1）求证：AC 2＝AB •AD ；（2）若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF 的值．22．（本题满分6分）已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x －m (2m －3)＝0． （1）证明：无论m 为何值方程都有两个实数根．（2）是否存在正数m ，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m 的值；若不存在，请说明理由．23．（本题满分6分）某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外．上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2 000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售．）（1）若外商要将这批猴头菇存放x 天后一次性出售，则x 天后这批猴头菇的销售单价为 ▲ 元，销售量是 ▲ 千克（用含x 的代数式表示）； （2）如果这位外商想获得利润24 000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？ADCEF（第21题）24．（本题满分8分）如图1为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO 长为50cm ，与水平桌面所形成的夹角∠OAM 为75°．由光源O 射出的边缘光线OC ，OB 与水平桌面所形成的夹角∠OCA ，∠OBA 分别为90°和30°．（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm ．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73）（1）求该台灯照亮水平桌面的宽度BC ．（2）人在此台灯下看书，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若书与水平桌面的夹角∠EFC 为60°，书的长度EF 为24cm ，点P 为眼睛所在位置，当点P 在EF 的垂直平分线上，且到EF 距离约为34cm （人的正确看书姿势是眼睛离书距离约1尺≈34cm ）时，称点P 为“最佳视点”．试问：最佳视点P 在不在灯光照射范围内？并说明理由．25．（本题满分9分）如图，以点P （－1，0）为圆心的圆，交x 轴于B 、C 两点（B 在C 的左侧），交y 轴于A 、D 两点（A 在D 的下方），AD ＝23，将△ABC 绕点P 旋转180°，得到△MCB ．（1）求B 、C 两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB 、MC ，并判断四边形ACMB 的形状（不必证明），求出点M 的坐标；（3）动直线l 从与BM 重合的位置开始绕点B 顺时针旋转，到与BC 重合时停止，设直线l 与CM 交点为E ，点Q 为BE 的中点，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，连接MQ 、QG ．请问在旋转过程中，∠MQG 的大小是否变化？若不变，求出∠MQG 的度数；若变化，请说明理由．OCE D PAC O P BDxy26．（本题满分8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A、B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）AB＝▲；（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．（第26题）27．（本题满分9分）定义：已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.14]＝3，[1]＝1，[－1.2]＝－2．请你在学习和理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y＝x－[x]．（1）当x＝2.15时，求y＝x－[x]的值．（2）当0＜x＜2时，求函数y＝x－[x]的表达式，并画出对应的函数图像．（3）当－2＜x＜2时，在平面直角坐标系中，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤2，该圆与函数y＝x－[x]恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围．（第27题）28．（本题满分10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ．已知点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t ≥0）．（1）用含t 的代数式表示：QB ＝ ▲ ，PD ＝ ▲ ；（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变匀速运动的点Q 的速度，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求出此时点Q 的速度．（3）如图2，在整个P 、Q 运动的过程中，点M 为线段PQ 的中点，求出点M 经过的路径长．ABC PDQ（图1）MA BCPQ（图2）九年级数学期中试卷参考答案与评分标准2017.11一．选择题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）⒈C ⒉A ⒊C ⒋C ⒌A ⒍A ⒎D 8．B 9．B 10．D 二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共计16分)11、5：3 12、18 13、10％14、75°15、16、2.517、1或－2 18、1/22016三、解答题（10小题，共84分）19.（每小题4分）（1）1—2 （2）x 1＝1，x 2＝－31（3）x 1＝25，x 2＝25（4）x 1＝0，x 2＝420．（本题6分） 解：（1）略 ……2分（2）M 的坐标：（2，0）；……3分（3）∵，……4分∴……5分∴点D 在⊙M 内……6分21. 解：（1）∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC 又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°∴△ADC ∽△ACB …………………………………………（1分） ∴AC AD ＝ A B AC∴AC 2＝AB •AD ………………………………………（2分）（2）∵∠ACB ＝90°，E 为AB 中点.∴CE ＝21AB ＝AE ＝3∴∠EAC ＝∠ECA ………………………………………（3分） 又∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠EAC∴∠DAC ＝∠ECA ………………………………………（4分） ∴AD ∥EC∴△ADF ∽△ECF ………………………………………（5分） ∴FC AF ＝EC AD ＝34 ∴ AF AC ＝47． ………………………………………（6分）22.（1）（2分）（2）（6分，不排除扣2分）23．（1）10＋0.5x，(1分) 2000―6x；（1分）（2）由题意得：（10＋0.5x）（2000―6x）―10×2000―220x＝24000．（2分）解得x1=40，x2=200（不合题意，舍去）（1分）答：存放40天后出售。
九年级上学期数学期中考试卷及答案精选全文
可编辑修改精选全文完整版第一学期期中考试九年级数学试题1. 计算()23-的结果是（）A.3B.3- C.3±2. 若P（x;－3）与点Q（4;y）关于原点对称;则x＋y＝（）A、7B、－7C、1D、－13. 下列二次根式是最简二次根式的是（）4. 一元二次方程22350xx++=的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断5. 用配方法解方程0142=++xx;则配方正确的是（）A、3)2(2=+x B、5)2(2-=+xC、3)2(2-=+x D、3)4(2=+x6. 如图;AB、AC都是圆O的弦;OM⊥AB;ON⊥AC;垂足分别为M、N;如果MN＝3;那么BC＝（）. A． 4 B.5 C． 6 D.7二、填空题（共8小题;每小题3分;满分24分）7. 2-x在实数范围内有意义;则x的取值范围是．8. 221x-=的二次项系数是 ;一次项系数是 ;常数项是 .9. 一只蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬到了C点;则蚂蚁一共爬行了______cm．(图中小方格边长代表1cm)NMOCBA10. 关于x 的一元二次方程04)2(22=-+-+m mx x m 有一根为0;则m= . 11. 对于任意不相等的两个数a;b;定义一种运算*如下：ba b a b a -+=*;如523232*3=-+=;那么)5(*3-= .12. 有4个命题：①直径相等的两个圆是等圆;②长度相等的两条弧是等弧;③圆中最大的弦是通过圆心的弦;④在同圆或等圆中;相等的两条弦所对的弧是等弧;其中真命题是_________。
13. 有两个完全重合的矩形;将其中一个始终保持不动;另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转;每次均旋转22.5︒;第．2．次．旋转后得到图①;第．4．次．旋转后得到图②…;则第20次旋转后得到的图形与图①～图④中相同的是____. （填写序号）14. 等腰三角形两边的长分别为方程02092=+-x x 的两根;则三角形的周长是 ．三、解答题（共4小题;每小题6分;共24分） 15. 解方程：x(x-2)＋x-2＝016. 计算：0)15(282218-+--图① 图② 图③ 图④ OOOO17. 下面两个网格图均是4×4正方形网格;请分别在两个网格图中选取两个白色的单位正方形并涂黑;使整个网格图满足下列要求． 18. 如图;大正方形的边长515+;小正为方形的边长为515-;求图中的阴影部分的面积．四、（本大题共2小题;每小题8分;共16分）19. 数学课上;小军把一个菱形通过旋转且每次旋转120°后得到甲的图案。
九年级上册试卷期中数学【含答案】
九年级上册试卷期中数学【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若 a > 0，b < 0，则a² 与b² 的大小关系是：A. a² < b²B. a² > b²C. a² = b²D. 无法确定2. 下列函数中，奇函数是：A. y = x²B. y = |x|C. y = x³D. y = x² + 13. 若一个三角形的两边长分别是8和15，那么第三边的长度可能是：A. 7B. 17C. 23D. 244. 下列哪个数是无理数：A. √9B. √16C. √3D. π5. 若一组数据从小到大排列，中间的数是这组数据的：A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差二、判断题（每题1分，共5分）6. 任何两个奇数之和都是偶数。
（）7. 一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式是b² 4ac。
（）8. 若 a > b，则a² > b²。
（）9. 在直角坐标系中，点 (3, 4) 到原点的距离是 5。
（）10. 函数 y = 2x + 3 的图像是一条直线。
（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 若一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是______。
12. 若函数 y = kx + b 的图像是一条经过原点的直线，则 b =______。
13. 在直角三角形中，若一个锐角的正弦值是1/2，则这个角是______度。
14. 若一个圆的半径是5，则这个圆的直径是______。
15. 若一组数据的平均数是10，且数据个数为5，则这组数据的总和是______。
四、简答题（每题2分，共10分）16. 简述等差数列的定义。
17. 什么是函数的零点？如何求一个一元二次方程的零点？18. 简述勾股定理的内容。
九年级(上)期中数学试卷(答案解析版)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）方程x2﹣4=0的解是（）A．4 B．±2 C．2 D．﹣22．（3分）在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（2，3） C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=65．（3分）由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x=﹣3C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大6．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140° D．120°7．（3分）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°8．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°9．（3分）抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2+3 B．y=（x+1）2﹣3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+3 10．（3分）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C=度．12．（4分）圣诞节时，一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则可列方程为．13．（4分）将一个正六边形绕着其中心，至少旋转度可以和原来的图形重合．14．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为．15．（4分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c=0的两根是．16．（4分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是m．三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：x2﹣x﹣12=0．18．（6分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．19．（6分）如图，已知点A、B、C的坐标分别为（0，0），（4，0），（5，2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）画出△AB′C′；（2）求点C′的坐标．四、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．21．（7分）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．（1）求证：△BCE≌△B1CF；（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．22．（7分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（9分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．25．（9分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的大小．参考答案与试题解析一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）方程x2﹣4=0的解是（）A．4 B．±2 C．2 D．﹣2【解答】解：x2﹣4=0，∴x2=4，开平方得：x=±2．故选：B．2．（3分）在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（2，3） C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．故选：A．3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形；B、是中心对称图形，不是轴对称图形；C、是中心对称图形，也是轴对称图形；D、是中心对称图形，也是轴对称图形．故选：B．4．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，配方得（x﹣2）2=2．故选：A．5．（3分）由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x=﹣3C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大【解答】解：由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知：A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；C．其最小值为1，故此选项正确；D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：C．6．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140° D．120°【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．7．（3分）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°【解答】解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，∴∠BOC=2∠A=136°．∵OB=OC，∴∠OBC==22°．故选：A．8．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°，故选：B．9．（3分）抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2+3 B．y=（x+1）2﹣3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+3【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2；由“上加下减”的原则可知，抛物线y=（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2+3．故选：D．10．（3分）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，故BE=CF=AG=2﹣x；故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x．则S△AEG=AE×AG×sinA=x（2﹣x）；故y=S△ABC ﹣3S△AEG=﹣3×x（2﹣x）=（3x2﹣6x+4）．故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；故选：D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C=35度．【解答】解：∵∠AOB=70°，∴∠C=∠AOB=35°．故答案为：35．12．（4分）圣诞节时，一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则可列方程为x（x﹣1）=132．【解答】解：设这个小组有x人，则每人应送出x﹣1张贺卡，由题意得：x（x﹣1）=132，故答案为：x（x﹣1）=132．13．（4分）将一个正六边形绕着其中心，至少旋转60度可以和原来的图形重合．【解答】解：∵正六边形的中心角==60°，∴一个正六边形绕着其中心，至少旋转60°可以和原来的图形重合．故答案60．14．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为110°．【解答】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案为110°．15．（4分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣3，x2=1．【解答】解：∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，∴设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），则=﹣1，解得x=1，∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣3，x2=1．故答案为：x1=﹣3，x2=1．16．（4分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是250m．【解答】解：设半径为r，则OD=r﹣CD=r﹣50，∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB，在直角三角形AOD中，AO2=AD2+OD2，即r2=（×300）2+（r﹣50）2=22500+r2+2500﹣100r，r=250m．答：这段弯路的半径是250m．三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：x2﹣x﹣12=0．【解答】解：分解因式得：（x+3）（x﹣4）=0，可得x+3=0或x﹣4=0，解得：x1=﹣3，x2=4．18．（6分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，则AC=BC=AB∵AB=8cm，OC=3cm∴BC=4cm在Rt△BOC中，OB==5cm即⊙O的半径是5cm．19．（6分）如图，已知点A、B、C的坐标分别为（0，0），（4，0），（5，2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）画出△AB′C′；（2）求点C′的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△AB′C′即为所求；（2）由（1）可知，点C′的坐标为（﹣2，5）．四、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．【解答】解：设剪去的小正方形的边长为xcm，根据题意得：（20﹣2x）（10﹣2x）=56，整理得：（x﹣3）（x﹣12）=0，解得：x=3或x=12，经检验x=12不合题意，舍去，∴x=3，则剪去小正方形的边长为3cm．21．（7分）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．（1）求证：△BCE≌△B1CF；（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．【解答】（1）证明：由题意得，BC=B1C，∠B=∠B1=60°，又∵∠BCE+∠ECF=90°，∠B1CF+∠ECF=90°，∴∠BCE=∠B1CF，在△BCE和△B1CF中，，∴△BCE≌△B1CF（ASA）；（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直．理由如下：证明：∵∠ECF=30°，∴∠BCE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC=60°，得∠A1EO=60°，又∵∠A1=30°，∴∠A1EO=60°，即AB与A1B1垂直．22．（7分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？【解答】解：连接OA、OC，∵由题意知：AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，CD=20cm，∴CG=CD=10cm，在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC2=CG2+OG2，OC2=102+（OC﹣2）2，解得：OC=26（cm），则OE=26cm﹣2cm﹣2cm=22cm，∵在Rt△OEA中，由勾股定理得：OA2=OE2+AE2，∴262=222+AE2，∴AE=8，∵OE⊥AB，OE过O，∴AB=2AE=16cm．五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）已知，如图，抛物线y=ax 2+2ax +c （a ＞0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点B 的坐标为（1，0），OC=3OB ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值； （3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A ，C ，E ，P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OC=3OB ，B （1，0），∴C （0，﹣3）．把点B ，C 的坐标代入y=ax 2+2ax +c ，得a=1，c=﹣3，∴抛物线的解析式y=x 2+2x ﹣3．（2）由A （﹣3，0），C （0，﹣3）得直线AC 的解析式为y=﹣x ﹣3，如图1，过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M ，N ．设M （m ，﹣m ﹣3）则D （m ，m 2+2m ﹣3）， DM=﹣m ﹣3﹣（m 2+2m ﹣3）=﹣m 2﹣3m=﹣（m +）2+，∴﹣1＜0，∴当x=时，DM 有最大值，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =×4×3+×3×DM ，此时四边形A BCD 面积有最大值为6+×=．（3）存在．讨论：①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x 轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C（0，﹣3），令﹣3=x2+2x﹣3∴x1=0，x2=﹣2．∴P1（﹣2，﹣3）．②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，∵C（0，﹣3），∴可令P（x，3），3=x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6=0解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，此时存在点P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3），综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）．24．（9分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，根据题意得：x（40﹣2x）=200，解得：x1=x2=10，∴40﹣2x=20．答：鸡场平行于墙的一边长为20m．（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为ym，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2y）m，根据题意得：y（40﹣2y）=250，整理得：y2﹣20y+125=0．∵△=（﹣20）2﹣4×1×125=﹣100＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即养鸡场面积不能达到250m2．25．（9分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的大小．【解答】解：（1）由旋转的性质知AP′=AP=6，∠P′AB=∠PAC，∴∠P′AP=∠BAC=60°，∴△P′AP是等边三角形，∴PP′=6；（2）∵P′B=PC=10，PB=8，∴P′B2=P′P2+PB2，∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB=90°，∴∠APB=∠P′PB+∠P′PA=90°+60°=150°．。
九年级(上)期中数学试卷(解析版)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B． C．D．2．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0（a≠0）的一个根是x=﹣1，则2017﹣a+b的值为（）A．2011 B．2023 C．2013 D．20183．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠04．（3分）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°5．（3分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．s=2t2﹣2t+1 B．y=ax2+bx+c C．y=3x﹣1 D．y=6．（3分）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（2，4） B．（3，﹣4）C．（3，4） D．（﹣2，4）7．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=，且经过点（﹣3，y1）、（﹣1，y2），则y1和y2的大小为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．y1≥y28．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=55°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A．100°B．90°C．80°D．55°9．（3分）已知正六边形的边心距为，则它的半径为（）A．2 B．4 C．2 D．410．（3分）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，则在平面直角系中二次函数y=ax2+bx的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）将一元二次方程2（x+2）2+（x+3）（x﹣2）=﹣11化为一般形式为．12．（3分）已知点P（3，1﹣b）关于原点的对称点Q的坐标是（a，﹣1），则a b的值是．13．（3分）若二次函数y=mx2+（m+1）x+m的图象都在x轴的下方，则m的取值范围是．14．（3分）把抛物线y=（x+2）2﹣3向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为．15．（3分）一个扇形的弧长是10πm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是．三、解答题（本题8个小题，满分75分）16．（8分）解下列方程：（1）x2+8x+15=0；（2）3x2+x﹣5=0．17．（9分）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A、B的坐标分别为A（6，﹣3）、B（0，﹣5）．（1）画出△OAB绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2；（3）猜想：∠OAB的度数为多少？不必说明理由．19．（9分）如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．20．（9分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD 于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB=寸，CD=寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）．22．（10分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为每个40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）该公司当地物价部门规定，商品售价不得高于成本的1.9倍，当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？23．（11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；=32，求此时P点的坐标．（3）点P为y轴右侧抛物线上一个动点，若S△PAB参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D．2．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0（a≠0）的一个根是x=﹣1，则2017﹣a+b的值为（）A．2011 B．2023 C．2013 D．2018【解答】解：把x=﹣1代入方程得：a﹣b+6=0，即a﹣b=﹣6，则原式=2017﹣（﹣6）=2023，故选：B．3．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．4．（3分）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【解答】解：∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°得到△A′B′C，∴∠ACA′=35°，∠A=∠A′，∵∠A′DC=90°，∴∠A′=90°﹣35°=55°，∴∠A=55°．故选：C．5．（3分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．s=2t2﹣2t+1 B．y=ax2+bx+c C．y=3x﹣1 D．y=【解答】解：A、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故A正确；B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误；C、y=3x﹣1是一次函数，故C错误；D、y=x2+不是二次函数，故D错误；故选：A．6．（3分）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（2，4） B．（3，﹣4）C．（3，4） D．（﹣2，4）【解答】解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（3，4），故选：C．7．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=，且经过点（﹣3，y1）、（﹣1，y2），则y1和y2的大小为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．y1≥y2【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=，∴抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，又∵﹣3＜﹣1＜，∴y1＞y2．故选：A．8．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=55°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A．100°B．90°C．80°D．55°【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=45°，∵∠D=∠C=55°，∴∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠D=80°．故选：C．9．（3分）已知正六边形的边心距为，则它的半径为（）A．2 B．4 C．2 D．4【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OG=，∠AOG=30°，∴OA=OG÷cos 30°=÷=2；故选：A．10．（3分）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，则在平面直角系中二次函数y=ax2+bx的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴二次函数y=ax2+bx的图象的开口向上，对称轴在y轴的右侧，且过原点．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）将一元二次方程2（x+2）2+（x+3）（x﹣2）=﹣11化为一般形式为3x2+9x+13=0．【解答】解：一元二次方程2（x+2）2+（x+3）（x﹣2）=﹣11化为一般形式为3x2+9x+13=0；故答案为：3x2+9x+13=0．12．（3分）已知点P（3，1﹣b）关于原点的对称点Q的坐标是（a，﹣1），则a b的值是1．【解答】解：∵点P（3，1﹣b）关于原点的对称点Q的坐标是（a，﹣1），∴a=﹣3，1﹣b=1，解得b=0，所以，a b=（﹣3）0=1．故答案为：1．13．（3分）若二次函数y=mx2+（m+1）x+m的图象都在x轴的下方，则m的取值范围是m＜﹣．【解答】解：由题意可得出：，解得：m＜﹣．故答案为：m＜﹣．14．（3分）把抛物线y=（x+2）2﹣3向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为y=（x+6）2﹣1．【解答】解：抛物线y=（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），∵向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，∴﹣2﹣4=﹣6，﹣3+2=﹣1，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（6，﹣1），∴所得抛物线的解析式为y=（x+6）2﹣1．故答案为：y=（x+6）2﹣1．15．（3分）一个扇形的弧长是10πm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是150°．【解答】解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，∴S=Rl，即60π=×R×10π，解得：R=12，∴S=60π=，解得：n=150°，故答案为：150°．三、解答题（本题8个小题，满分75分）16．（8分）解下列方程：（1）x2+8x+15=0；（2）3x2+x﹣5=0．【解答】解：（1）∵（x+3）（x+5）=0，∴x+3=0或x+5=0，解得：x=﹣3或x=﹣5；（2）∵a=3、b=1、c=﹣5，∴△=1﹣4×3×（﹣5）=61＞0，则x=，即x1=、x2=．17．（9分）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．【解答】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得2x×5+2x×4﹣4x2=×5×4，解得：x1=（不符合，舍去），x2=．答：配色条纹宽度为米．（2）条纹造价：×5×4×200=850（元）其余部分造价：（1﹣）×4×5×100=1575（元）∴总造价为：850+1575=2425（元）答：地毯的总造价是2425元．18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A、B的坐标分别为A（6，﹣3）、B（0，﹣5）．（1）画出△OAB绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2；（3）猜想：∠OAB的度数为多少？不必说明理由．【解答】解：（1）△OA1B1如图所示；（2）△OA2B2如图所示；（3）∠OAB=45°．理由如下：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（6，﹣3），B（0，﹣5），∴，解得，∴y=x﹣5，当x=﹣3时，y=×（﹣3）﹣5=﹣6，∴点A1在直线AB上，∵OA=OA1，∠AOA1=90°，∴△AOA1是等腰直角三角形，∴∠OAB=45°．19．（9分）如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．【解答】（1）证明：如图，∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF；（2）解：如图，∵四边形ABDF为菱形，∴DF=AF=2，DF∥AB，∴∠1=∠BAC=45°，∴△ACF为等腰直角三角形，∴CF=AF=2，∴CD=CF﹣DF=2﹣2．20．（9分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD 于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB=1寸，CD=10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．【解答】解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；故答案为：1，10；（2）连接CO，如图所示：∵BO⊥CD，∴．设CO=OB=x寸，则AO=（x﹣1）寸，在Rt△CAO中，∠CAO=90°，∴AO2+CA2=CO2．∴（x﹣1）2+52=x2．解得：x=13，∴⊙O的直径为26寸．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠CAE+∠BAC=90°，即BA⊥AE．∴AE是⊙O的切线．（2）连接CO，∵AB=6，∴AO=3，∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，∴==2π．22．（10分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为每个40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）该公司当地物价部门规定，商品售价不得高于成本的1.9倍，当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）由题意可得：S=（x﹣40）（﹣10x+1200）=﹣10x2+1600x﹣48000；（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000=﹣10（x﹣80）2+16000依题意：x≤40×1.9，即x≤76，对于二次函数S=﹣10（x﹣80）2+16000，当x≤80时，s随x的增大而增大，故当x最大为76时，s最大为15840元．23．（11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；=32，求此时P点的坐标．（3）点P为y轴右侧抛物线上一个动点，若S△PAB【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣2或x=6，∴﹣2+6=﹣b，﹣2×6=c，∴b=﹣4，c=﹣12，∴二次函数解析式是y=x2﹣4x﹣12．（2）∵y=x2﹣4x﹣12=（x﹣2）2﹣16，∴抛物线的对称轴x=2，顶点坐标（2，﹣16）．（3）设P的纵坐标为|y P|，=32，∵S△PAB∴•AB•|y P|=32，∵AB=6+2=8，∴|y P|=8，∴y P=±8，把y P=8代入解析式得，8=x2﹣4x﹣12，解得，x=2±2，把y P=﹣8代入解析式得，﹣8=x2﹣4x﹣12，解得x=2±2，又知点P为y轴右侧抛物线上一个动点，即x=2±2（负值舍去）或x=2±2（负值舍去），综上点P的坐标为（2+2，8）或（2+2，﹣8）．。
九年级(上)期中数学试卷(答案解析版)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每题3分共30分）1．下列图形中即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0.53．抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣5）B．（1，5）C．（﹣1，﹣4）D．（﹣2，﹣7）4．已知直角三角形的两边长是方程x2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（）A．7 B．5 C．D．5或5．4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（）A．第一张、第二张B．第二张、第三张C．第三张、第四张D．第四张、第一张6．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）A．正三角形 B．正五边形 C．等腰梯形 D．菱形7．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．D．8．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）A．100（1+x）2=800 B．100+100×2x=800C．100+100×3x=800 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=8009．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中错误的结论有（）A．②③B．②④C．①③D．①④二、填空题（每题3分共24分）10．点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．11．将抛物线y=6x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是．12．如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=50°，则∠OAC的度数是度．13．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为．14．有一个班的同学毕业的时候每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，这个班的人数是．15．如图，⊙O的半径OA=10cm，设AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为cm．16．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为度．17．若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为．三、解答题（共66分）18．解下列方程（1）y2﹣2y+3=0（2）4（x﹣1）2=5（3）3（x﹣1）2=x（x﹣1）（4）x2﹣x+=0．19．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．20．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），求该抛物线的解析式．21．小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．22．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c﹣a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a 的根为x=0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x2+mx﹣3m=0的两个根，求m的值．23．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB．（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求OE的长．24．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分共30分）1．下列图形中即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，结合所给图形的特点进行判断即可．【解答】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；综上可得符合题意的有2个．故选：B、D．【点评】本题考查了轴对称及中心对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0.5【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】先把x=0代入方法求出a的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．【解答】解：把x=0代入方程得a2﹣1=0，解得a=1或﹣1，由于a﹣1≠0，所以a的值为﹣1．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．3．抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣5）B．（1，5）C．（﹣1，﹣4）D．（﹣2，﹣7）【考点】二次函数的性质．【分析】利用顶点公式（﹣，）解题．也可以用配方法求顶点坐标．【解答】解：∵x=﹣=﹣=1，y===5．∴顶点坐标为（1，5）．故选B．【点评】熟练运用顶点公式进行解题．4．已知直角三角形的两边长是方程x2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（）A．7 B．5 C．D．5或【考点】勾股定理；解一元二次方程-因式分解法．【专题】分类讨论．【分析】求出方程的解，得出直角三角形的两边长，分为两种情况：①当3和4是两直角边时，②当4是斜边，3是直角边时，根据勾股定理求出第三边即可．【解答】解：x2﹣7x+12=0，（x﹣3）（x﹣4）=0，x﹣3=0，x﹣4=0，解得：x1=3，x2=4，即直角三角形的两边是3和4，当3和4是两直角边时，第三边是=5；当4是斜边，3是直角边时，第三边是=，即第三边是5或，故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，注意：解此题时要进行分类讨论．5．4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（）A．第一张、第二张B．第二张、第三张C．第三张、第四张D．第四张、第一张【考点】中心对称图形．【专题】压轴题．【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义即可求解．【解答】解：观察两个图中可以发现，所有图形都没有变化，所以旋转的扑克是成中心对称的第一张和第二张．故选A．【点评】当所有图形都没有变化的时候，旋转的是成中心对称图形的，有变化的时候，旋转的便是有变化的．6．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）A．正三角形 B．正五边形 C．等腰梯形 D．菱形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【解答】解：正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形；正五边形不是中心对称图形，是轴对称图形；等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形；菱形是中心对称图形，是轴对称图形；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得：OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，根据垂径定理得：AB=2cm．故选：C．【点评】注意由题目中的折叠即可发现OD=OA=1．考查了勾股定理以及垂径定理．8．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）A．100（1+x）2=800 B．100+100×2x=800C．100+100×3x=800 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=800【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800，把相关数值代入即可．【解答】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为100×（1+x），∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2，∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800，故选D．【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中错误的结论有（）A．②③B．②④C．①③D．①④【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】①由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口方向知道a＜0，与y轴交点知道c＞0，由此即可确定ac的符号；②由于当x=﹣1时，y=a﹣b+c，而根据图象知道当x=﹣1时y＜0，由此即可判定a﹣b+c的符号；③根据图象知道当x＜﹣1时抛物线在x轴的下方，由此即可判定此结论是否正确；④根据图象与x轴交点的情况即可判定是否正确．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0；②∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c，而根据图象知道当x=﹣1时y＜0，∴a﹣b+c＜0；③根据图象知道当x＜﹣1时抛物线在x轴的下方，∴当x＜﹣1，y＜0；④从图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标都大于﹣1，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．故错误的有①③．故选C．【点评】此题主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子，如：当x=1时，y＞0，a+b+c＞0；x=﹣1时，y＜0，a﹣b+c＜0．二、填空题（每题3分共24分）10．点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】点关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，据此知道（x，y）关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．【解答】解：点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．【点评】本题主要是通过作图总结规律，记住，然后应用．11．将抛物线y=6x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是y=6（x+2）2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y=6x2先向左平移2个单位得到解析式：y=6（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=6（x+2）2+3．故答案为：y=6（x+2）2+3．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．12．如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=50°，则∠OAC的度数是25度．【考点】圆周角定理．【分析】先求出∠ACB的度数，圆周角∠ACB等于圆心角∠AOB的一半，再根据平行，得到内错角∠OAC=∠ACB．【解答】解：∵AO∥BC，∴∠OAC=∠ACB．又∠AOB与∠ACB都是弧AB所对的角，∴∠ACB=∠AOB=25°，∴∠OAC的度数是25°．故答案为：25．【点评】本题利用了圆周角定理和两直线平行内错角相等求解．13．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据弦长等于半径，得这条弦和两条半径组成了等边三角形，则弦所对的圆心角是60°，要计算它所对的圆周角，应考虑两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时，则根据圆周角定理，得此圆周角是30°；当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的对角互补，得此圆周角是150°．【解答】解：根据题意，弦AB与两半径组成等边三角形，∴先AB所对的圆心角=60°，①圆周角在优弧上时，圆周角=30°，②圆周角在劣弧上时，圆周角=180°﹣30°=150°．∴圆周角的度数为30°或150°．【点评】注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的．14．有一个班的同学毕业的时候每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，这个班的人数是40．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设这个班的人数是x，则每人需送出（x﹣1）张照片，共送出x（x﹣1）张，结合题意即可列出方程，进而求出答案．【解答】解：设这个班的人数是x，根据题意得：x（x﹣1）=1560，解得x1=40，x2=﹣39（舍去）答：这个班的人数是40．故答案为：40．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张相片，有x个人是解决问题的关键．15．如图，⊙O的半径OA=10cm，设AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为6cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】动点型．【分析】根据垂线段最短，可以得到当OP⊥AB时，点P到圆心O的距离最短．根据垂径定理和勾股定理即可求解．【解答】解：根据垂线段最短知，当点P运动到OP⊥AB时，点P到到点O的距离最短，由垂径定理知，此时点P为AB中点，AP=8cm，由勾股定理得，此时OP==6cm．【点评】本题利用了垂线段最短和垂径定理及勾股定理求解．16．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为15度．【考点】圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】根据量角器的读数，可求得圆心角∠AOB的度数，然后利用圆周角与圆心角的关系可求出∠1的度数．【解答】解：∵∠AOB=70°﹣40°=30°；∴∠1=∠AOB=15°（圆周角定理）．故答案为：15°．【点评】本题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．17．若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为﹣2．【考点】二次函数的定义；二次函数的性质．【分析】先依据二次函数的定义知，系数1﹣m一定不为0，1﹣m＞0，再得出m 2﹣2=2，求出m的值即可．【解答】解：由题意：∴1﹣m≠1，1﹣m＞0，m＜1，m 2﹣2=2，解得：m=±2，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据性质得出m的值是解题关键．三、解答题（共66分）18．解下列方程（1）y2﹣2y+3=0（2）4（x﹣1）2=5（3）3（x﹣1）2=x（x﹣1）（4）x2﹣x+=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用直接开平方法解方程；（3）先移项得到3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用配方法解方程．【解答】解：（1）（y﹣3）（y﹣1）=0，y﹣3=0或y﹣1=0，所以y1=3，y2=1；（2）（x﹣1）2=，x﹣1=±，所以x1=1+，x2=1﹣；（3）3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x﹣3﹣x）=0，x﹣1=0或3x﹣3﹣x=0，所以x1=1，x2=；（4）x2﹣x+（）2=0，（x﹣）2=0，所以x1=x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．19．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，弦AD=BC，则弧AD=弧BC，则弧AB=弧CD，则AB=CD．【解答】证明：∵AD=BC，∴=，∴+=+，即=．∴AB=CD．【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．20．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），求该抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），设解析式为一般式或交点式用待定系数法求得二次函数的解析式．【解答】解：设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．由已知，抛物线过A（﹣2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得，①+③得，8a+2c=8，即4a+c=4④，①+②×2得6a+3c=0⑤，④×3﹣⑤得，6a=12，即a=2，把a=2代入④得，c=﹣4，把a=6，c=﹣4代入②得，b=2，故．∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x﹣4．【点评】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．21．小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以．【解答】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，解得：x1=﹣70（不符合题意，舍去），x2=5．答：金色纸边的宽度为5cm．【点评】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方．22．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c﹣a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a 的根为x=0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x2+mx﹣3m=0的两个根，求m的值．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根即△=0，由△=0可以得到一个关于a，c的方程，再结合方程3cx+2b=2a的根为x=0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的值，可以关于m的方程，解方程即可求出m．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+x+c﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=1﹣4×（c﹣a）=0，整理得4a﹣4c+1=0 ①，∴a≠c，又∵3cx+2b=2a的根为x=0，∴a=b ②，∴△ABC为等腰三角形；（2）a，b是方程x2+mx﹣3m=0的两个根，∴方程x2+mx﹣3m=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4×（﹣3m）=0，即m2+12m=0，∴m1=0，m2=﹣12．当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），∴m=﹣12．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．23．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB．（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求OE的长．【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】（1）根据等腰三角形性质和平行线性质推出∠BAC=∠OAC即可；（2）根据平行得出相似，根据相似得出比例式，代入求出即可．【解答】（1）证明：∵AB∥OC，∴∠C=∠BAC．∵OA=OC，∴∠C=∠O AC．∴∠BAC=∠OAC．即AC平分∠OAB．（2）解：∵OE⊥AB，∴AE=BE=AB=1．又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，∴∠OAE=60°．∴OE=AB•cos60°=2×=．【点评】本题考查了垂径定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．24．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据图象可得出A、B两点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中即可求得二次函数的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式，用配方法或公式法即可求出对称轴和顶点坐标．（3）将P点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值，P，Q关于抛物线的对称轴对称，那么两点的纵坐标相等，因此P点到x轴的距离同Q到x轴的距离相等，均为m的绝对值．【解答】解：（1）将x=﹣1，y=﹣1；x=3，y=﹣9，分别代入y=ax2﹣4x+c得，解得，∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣6．（2）对称轴为x=2；顶点坐标为（2，﹣10）．（3）将（m，m）代入y=x2﹣4x﹣6，得m=m2﹣4m﹣6，解得m1=﹣1，m2=6．∵m＞0，∴m1=﹣1不合题意，舍去．∴m=6，∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，∴点Q到x轴的距离为6．【点评】本题考查二次函数的有关知识，通过数形结合来解决．。
九年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
九年级（上）期中数学试卷一、选择（每小题3分，共33分）1．已知=，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=122．如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜﹣1 D．m＞﹣13．抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A．y=（x+1）2+2 B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x﹣1）2+24．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个5．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：36．将y=x2+6x+7化为y=a（x﹣h）2+k的形式，h，k的值分别为（）A．3，﹣2 B．﹣3，﹣2 C．3，﹣16 D．﹣3，﹣167．如果点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，那么（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y18．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．当x＜，y随x的增大而减小B．函数有最小值C．a+b+c＜0 D．当﹣1＜x＜2时，y＞011．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．二、填空题（12-23题每空2分，24题前两空每空1分，最后一空2分共30分）12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线的表达式．13．若反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是．14．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是，对称轴是．15．抛物线y=﹣+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=．16．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为m．17．如图，点P在反比例函数y=的图象上，且PD⊥x轴于点D．若△POD的面积为3，则k的值是．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于．19．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为．20．如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是（注：只需写出一个正确答案即可）．21．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=．22．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是．23．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣4 ﹣2 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y=．24．在函数的图象上有点P1，P2，P3，…，P n，P n+1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点P1，P2，P3，…，P n，P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则点P1的坐标为；S2=；S n=．（用含n的代数式表示）三、解答题25．根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式．（1）已知图象过点（6，0），顶点坐标为（4，﹣8）．（2）已知抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（3，0），且经过点C（0，6）．26．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．27．如图，▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F．求证：AD•AB=AF•CE．28．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．（3）求△AOB的面积．29．已知二次函数y1=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0），与y轴交于点C，与x 轴另一交点交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）求点C、点D的坐标；（3）画出二次函数的图象；（4）若一条直线y2，经过C、D两点，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围．30．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿着AB以每秒4cm的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向点A运动．设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．31．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？32．已知：如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数（1，m）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数C（n，1）的表达式；（2）点C（n，1）在反比例函数AB⊥CD的图象上，求△AOC面积；（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．33．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2x+m2+2的开口向下，且抛物线与y轴的交于点A，与x轴交于B，C两点（B在C左侧）．点A的纵坐标是3．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G．若直线y=kx+n（n＜0）与直线AB平行，且与图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出n的取值范围．34．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．（1）求m，n的值．（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN的最大值．（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择（每小题3分，共33分）1．已知=，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=12【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质：分子分母交叉相乘，可得答案．【解答】解：由=，得4m=3n．A、4m=3n，故A正确；B、4m=3n，故B错误；C、m=，故C错误；D、4m=3n，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质：分子分母交叉相乘是解题关键．2．如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1【考点】反比例函数的性质．【分析】如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）【解答】解：∵反比例函数y=的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，∴m+1＞0，解得m＞﹣1．故选D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．3．抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A．y=（x+1）2+2 B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x﹣1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】计算题．【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），根据顶点式可确定抛物线解析式．【解答】解：由题意，得平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），又平移不改变二次项系数，∴得到的二次函数解析式为y=（x+1）2﹣2．故选C．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【分析】若D、E是AB、AC的中点，则DE是△ABC的中位线，可根据三角形中位线定理得出的等量条件进行判断．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线；∴DE∥BC，BC=2DE；（故①正确）∴△ADE∽△ABC；（故②正确）∴，即；（故③正确）因此本题的三个结论都正确，故选A．【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质．5．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：3【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，证明AD∥BC，AD=BC；得到△DEF∽△BCF，进而得到；证明BC=AD=2DE，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC；∴△DEF∽△BCF，∴；∵点E是边AD的中点，∴BC=AD=2DE，∴．故选B．【点评】该题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质是关键．6．将y=x2+6x+7化为y=a（x﹣h）2+k的形式，h，k的值分别为（）A．3，﹣2 B．﹣3，﹣2 C．3，﹣16 D．﹣3，﹣16【考点】二次函数的三种形式．【分析】将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，从而得出h，k的值．【解答】解：∵y=x2+6x+7=x2+6x+9﹣9+7=（x+3）2﹣2，∴h=﹣3，k=﹣2．故选：B．【点评】此题考查二次函数的解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．7．如果点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，那么（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把各点代入反比例函数的解析式，求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，∴y1==﹣3，y2=，y3==1．∵﹣3＜1＜，∴y1＜y3＜y2．故选B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件可证明△CBD∽△CAB，可得到=，代入可求得CD．【解答】解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴=，即=，∴CD=2，故选C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．【点评】此题考查三角形相似判定定理的应用．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．当x＜，y随x的增大而减小B．函数有最小值C．a+b+c＜0 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0【考点】二次函数的性质．【分析】观察可判断函数有最小值；由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；观察当x=1时，函数值的符号，可判断a+b+c的符号；由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．【解答】解：A、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确；B、由图象可知函数有最小值，故正确；C、当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故正确；D、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，解析式的系数的关系．关键是掌握各项系数与抛物线的性质之间的联系．11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．【专题】压轴题．【分析】本题形数结合，根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象位置，可判断a、b、c的符号；再由一次函数y=ax+b，反比例函数y=中的系数符号，判断图象的位置．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，a＜0；与y轴交于正半轴，c＞0；对称轴x=﹣＜0，故b＜0；于是直线y=ax+b过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限．故选B．【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．二、填空题（12-23题每空2分，24题前两空每空1分，最后一空2分共30分）12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线的表达式y=﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；开放型．【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为﹣2即可．【解答】解：根据题意得：y=﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一），故答案为：y=﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一）【点评】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．13．若反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是m＜1．【考点】反比例函数的性质．【分析】直接根据反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，∴m﹣1＜0，解得m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．14．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（2，1），对称轴是x=2．【考点】二次函数的性质．【分析】利用抛物线的顶点式，直接写出顶点坐标与对称轴即可．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+1，∴顶点坐标是（2，1），对称轴是x=2．故答案为：（2，1），x=2．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．15．抛物线y=﹣+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=．【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线的形状与|a|有关，开口方向与a的正负有关．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，∴二次项系数的绝对值相等，都为；∵开口方向相反，∴二次项系数互为相反数，即y=ax2中，a=．故答案为：．【点评】此题考查二次函数的性质，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．16．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为15m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，=，解得x=15．故答案为：15．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．17．如图，点P在反比例函数y=的图象上，且PD⊥x轴于点D．若△POD的面积为3，则k的值是﹣6．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义即可直接求解．【解答】解：S△POD=|k|=3，又∵k＜0，∴k=﹣6．故答案是：﹣6．【点评】本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于1：9．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵AD=1，DB=2，∴AB=AD+DB=3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2=1：9．故答案为1：9．【点评】本题考查了三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．19．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为8．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】判别式法．【分析】由抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m=0，根的判别式△=b2﹣4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△=0，∴b2﹣4ac=82﹣4×2×m=0；∴m=8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系．20．如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是∠B=∠D（注：只需写出一个正确答案即可）．【考点】相似三角形的判定．【专题】开放型．【分析】已知一组角对应相等，要使△ABC∽△ADE，则可补充∠B=∠D或∠AED=∠ACB、AD：AB=AB：AC．【解答】解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．已知∠DAB=∠CAE，则∠DAE=∠BAC，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是∠B=∠D 或∠AED=∠ACB、AD：AB=AB：AC．【点评】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．21．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=或．【考点】相似三角形的判定．【专题】计算题．【分析】两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=；第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=．故答案为：或．【点评】考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．需注意的是边的对应关系．22．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是﹣1．【考点】二次函数的图象．【分析】由图象可知，抛物线经过原点（0，0），二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1与y轴交点纵坐标为a2﹣1，所以a2﹣1=0，解得a的值．再图象开口向下，a＜0确定a的值．【解答】解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），所以a2﹣1=0，解得a=±1，∵图象开口向下，a＜0，∴a=﹣1．【点评】主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；经过原点a2﹣1=0，利用这两个条件即可求出a的值．23．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣4 ﹣2 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y=﹣4．【考点】二次函数的图象．【专题】压轴题；图表型．【分析】由表格可知，（0，﹣2），（2，﹣2）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用对称性求出横坐标为3的对称点（﹣1，﹣4）即可．【解答】解：观察表格可知，当x=0或2时，y=﹣2，根据二次函数图象的对称性，（0，﹣2），（2，﹣2）是抛物线上两对称点，对称轴为x==1，顶点（1，﹣2），根据对称性，x=3与x=﹣1时，函数值相等，都是﹣4．故答案为：﹣4．【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，对称轴，利用二次函数的对称性解答．24．在函数的图象上有点P1，P2，P3，…，P n，P n+1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点P1，P2，P3，…，P n，P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则点P1的坐标为（1，8）；S2=；S n=．（用含n的代数式表示）【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】规律型．【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到P1（1，8），P2（2，4），P3（3，），P4（4，2），再利用矩形的面积公式分别计算出S1=，S2=，S3=，观察面积的值得到分子为8，分母为序号数和比序号数大1的数的积，由此得到Sn=．【解答】解：当x=1时，y==8，则P1（1，8）；当x=2时，y==4，则P2（2，4）；当x=3时，y==，则P3（3，）；当x=4时，y==2，则P4（4，2）；S1=1×（﹣）=，S2=1×（﹣）=，S3=1×（﹣）=，…，所以Sn=．故答案为（1，8），，．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．三、解答题25．根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式．（1）已知图象过点（6，0），顶点坐标为（4，﹣8）．（2）已知抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（3，0），且经过点C（0，6）．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设抛物线顶点式解析式为y=a（x﹣4）2﹣8，然后把点（6，0）代入进行计算即可得解；（2）设抛物线交点式解析式y=a（x+2）（x﹣3），然后把点（0，6）代入计算即可得解．【解答】解：（1）设y=a（x﹣4）2﹣8，则a（6﹣4）2﹣8=0，解得a=2，则y=2（x﹣4）2﹣8；（2）设y=a（x+2）（x﹣3），则a（0+2）（0﹣3）=6，解得a=﹣1，则y=﹣（x+2）（x﹣3）．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．26．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD∥BC可得∠DAF=∠AEB，问题得证；（2）运用相似三角形的性质求解．【解答】（1）证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．（1分）∴∠B=∠AFD=90°．（2分）又∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB．（3分）∴△ABE∽△DFA．（4分）（2）解：∵AB=6，BE=8，∠B=90°，∴AE=10．（6分）∵△ABE∽△DFA，∴=．（7分）即=．∴DF=7.2．（8分）【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．27．如图，▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F．求证：AD•AB=AF•CE．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据已知条件很容易就可推出△ECD∽△DAF，求出对应边的比例式，根据CD=AB，进行相关线段的等量代换即可．【解答】证明：在▱ABCD中，因为AB∥DC，所以∠CDE=∠BFE=∠AFD，又因为∠A=∠C，所以△ECD∽△DAF，所以=，又CD=AB，所以=，故AD•AB=AF•CE．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，本题的关键是证明△ECD和△DAF相似，根据平行四边形的性质找到相等关系，进行等量代换．28．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．（3）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把A和B代入反比例函数解析式即可求得坐标，然后用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）不等式＞kx+b的解集就是：对于相同的x的值，反比例函数的图象在上边的部分自变量的取值范围；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵A（m，3），B（﹣3，n）两点在反比例函数y2=的图象上，∴m=2，n=﹣2．∴A（2，3），B（﹣3，﹣2）．根据题意得：，解得：，∴一次函数的解析式是：y1=x+1；（2）根据图象得：0＜x＜2或x＜﹣3．（3）∵一次函数的解析式是y1=x+1；∴直线AB与y轴的交点为（0，1），∴S△AOB=+=．【点评】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．29．已知二次函数y1=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0），与y轴交于点C，与x 轴另一交点交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）求点C、点D的坐标；（3）画出二次函数的图象；（4）若一条直线y2，经过C、D两点，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数与不等式（组）．【专题】计算题．【分析】（1）把A点和B点坐标代入y1=ax2+bx﹣3得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；（2）计算自变量为0所对应的函数值即可得到C点坐标，计算函数值为0所对应的函数值即可得到D点坐标；（3）把解析式配成顶点式，然后利用描点法画出二次函数图象；（4）观察函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：（1）根据题意得，解得．所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，则C（0，﹣3）；当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则D（3，0）；（3）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），如图，（4）当x＜﹣1或x＞3时，y1＞y2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．30．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿着AB以每秒4cm的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向点A运动．设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】动点型．【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．【解答】解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x∴=∴x=（2）假设两三角形可以相似情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有=解得x=，经检验，x=是原分式方程的解．此时AP=cm，情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有=解得x=5，经检验，x=5是原分式方程的解．此时AP=20cm．综上所述，AP=cm或AP=20cm．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．31．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据顶点坐标，可得答案；（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．【解答】解；（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），∴，解得，y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25）当x=10时，y最大=25，答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利用对称点求不等式的解集．32．已知：如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数（1，m）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数C（n，1）的表达式；（2）点C（n，1）在反比例函数AB⊥CD的图象上，求△AOC面积；（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．。
九年级(上)期中数学试卷(答案解析)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．C．3（x+1）2=2（x+1）D．2x2+3x=2x2﹣22．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=253．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣14．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=25．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B 的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°7．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．39．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°10．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A． B．C．D．二、填空题：每小题3分，共18分．11．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是．12．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=．13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．16．观察下列图形规律：当n=时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．三、解答题：8题，共92分．17．计算：﹣（2015+π）0．18．解方程：2x2﹣7x+6=0．19．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．（1）α2+β2（2）．20．在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，求点A′的坐标．21．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且=．（1）求证：BE=CE；（2）若∠B=50°，求∠AOC的度数．22．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP 沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．23．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标．（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．C．3（x+1）2=2（x+1）D．2x2+3x=2x2﹣2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、a=0，ax2+bx+c=0是一元一次方程，故A错误；B、（）2+﹣2=0是分式方程，故B错误；C、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故C正确；D、2x2+3x=2x2﹣2是一元一次方程，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣1【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据根的判别式，令△＞0即可求出根的判别式．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×m＞0，∴4﹣4m＞0，解得m＜1．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】因式分解．【分析】直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根【解答】解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．故选：D．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．5．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B 的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．7．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合．【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．9．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【考点】圆周角定理．【专题】几何图形问题．【分析】由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．【解答】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．10．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A． B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＜0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．二、填空题：每小题3分，共18分．11．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是3．【考点】根与系数的关系．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a=3，解得：a=3．故答案是：3．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．12．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=﹣或1．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=1．则a+b的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y=2（x+1）2﹣2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为：y=2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为（4，2）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】几何变换．【分析】画出旋转后的图形位置，根据图形求解．【解答】解：AB旋转后位置如图所示．B′（4，2）．【点评】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心A，旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得B′坐标．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为6．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【专题】计算题．【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE 的最小值，进而可得出结论．【解答】解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵DE=BQ+QE===5，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．16．观察下列图形规律：当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型．【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“●”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“●”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“△”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“△”的个数是；最后根据图形“●”的个数和“△”的个数相等，求出n的值是多少即可．【解答】解：∵n=1时，“●”的个数是3=3×1；n=2时，“●”的个数是6=3×2；n=3时，“●”的个数是9=3×3；n=4时，“●”的个数是12=3×4；∴第n个图形中“●”的个数是3n；又∵n=1时，“△”的个数是1=；n=2时，“△”的个数是3=；n=3时，“△”的个数是6=；n=4时，“△”的个数是10=；∴第n个“△”的个数是；由3n=，可得n2﹣5n=0，解得n=5或n=0（舍去），∴当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．故答案为：5．【点评】此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、解答题：8题，共92分．17．计算：﹣（2015+π）0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：﹣（2015+π）0=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．解方程：2x2﹣7x+6=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用十字相乘法因式分解得到（2x﹣3）（x﹣2）=0，推出2x﹣3=0，x﹣2=0，求出方程的解即可．【解答】解：2x2﹣7x+6=0，（2x﹣3）（x﹣2）=0，∴2x﹣3=0，x﹣2=0，x1=，x2=2，【点评】此题主要考查了解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．19．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．（1）α2+β2（2）．【考点】根与系数的关系．【分析】（1）根据根与系数的关系得出α+β和αβ，再把α2+β2变形（α+β）2﹣2αβ，代入计算即可；（2）把化为，再代入计算即可．【解答】解：（1）∵方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，∴α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=9+2=11；（2）∵α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴===﹣11．【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，求点A′的坐标．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】数形结合．【分析】根据A点坐标得到OB=4，AB=3，OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′可看作是Rt△OAB 绕原点O顺时针旋转90°得到RtOA′C，根据旋转的性质得到A′C=AB=3，OC=OB=4，再写出A′点的坐标．【解答】解：AB⊥y轴于B，A′C⊥x轴于C，如图，OB=4，AB=3，OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′可看作是Rt△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到RtOA′C，则A′C=AB=3，OC=OB=4，所以点A′的坐标为（4，﹣3）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．21．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且=．（1）求证：BE=CE；（2）若∠B=50°，求∠AOC的度数．【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】（1）根据∠AOD=∠BOE可知=，再由=即可得出结论；（2）先根据等腰三角形的性质求出∠BOE的度数，再由BE=CE可得出∠BOE=∠COE，根据补角的定义即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠AOD=∠BOE，∴=．∵=，∴=，∴BE=CE；（2）解：∵∠B=50°，OB=OE，∴∠BOE=180°﹣50°﹣50°=80°．∵由（1）知，BE=CE，∴∠COE=∠BOE=80°，∴∠AOC=180°﹣80°﹣80°=20°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解答此题的关键．22．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP 沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，再利用旋转的性质得AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，于是可判断△APP′是等腰直角三角形；（2）根据等腰直角三角形的性质得PP′=PA=，∠APP′=45°，再利用旋转的性质得PD=P′B=，接着根据勾股定理的逆定理可证明△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，然后利用平角定义计算∠BPQ 的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，∴△APP′是等腰直角三角形；（2）解：∵△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=PA=，∠APP′=45°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴PD=P′B=，在△PP′B中，PP′=，PB=2，P′B=，∵（）2+（2）2=（）2，∴PP′2+PB2=P′B2，∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．23．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x，由3（1+x）2=2015年的投资，列出方程，解方程即可；（2）2015年的廉租房=12（1+50%）2，即可得出结果．【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意得：3（1+x）2=6.75，解得：x=0.5，或x=﹣2.5（不合题意，舍去），∴x=0.5=50%，即每年市政府投资的增长率为50%；（2）∵12（1+50%）2=27，∴2015年建设了27万平方米廉租房．【点评】本题考查了一元一次方程的应用；熟练掌握列一元一次方程解应用题的方法，根据题意找出等量关系列出方程是解决问题的关键．24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式．【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，∵（m﹣1）2≥0，∴△=（m﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．∵AB=|x1﹣x2|，∴A B2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，∴当m=1时，AB2有最小值8，∴AB有最小值，即AB==2【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标．（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意联立抛物线和直线的解析式，化为一元二次方程，运用△＞0即可求出a的取值范围和交点的坐标；（2）根据轴对称性质表示出点P的坐标并代入抛物线，求出a的值，用△ACP的面积减去△ADC 的面积即可求出△PCD的面积．【解答】解：（1）由题意联立，整理得：2x2+5x﹣4a=0，由△=25+32a＞0，解得：，∵a≠0，∴且a≠0，当x=0时，y=a，∴A（0，a），∵y=﹣x2﹣2x+a=﹣（x+1）2+a+1，∴M（﹣1，a+1）．（2）设直线MA为：y=kx+b，代入A（0，a），M（﹣1，a+1）得，，解得：，所以直线MA为y=﹣x+a，联立，解得，所以：N（，），∵点P是N关于y轴的对称点，∴P（﹣，），代入y=﹣x2﹣2x+a，得，解得：a=，或a=0（舍去），∴抛物线为y=﹣x2﹣2x+，直线BC为y=﹣，当x=0时，y=﹣，∴C（0，﹣），A（0，），M（﹣1，），∴|AC|=，∴S△PCD=S△PAC﹣S△DAC=|AC|×|x p|﹣|AC|×|x D|=××3﹣××1=．【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式，会求函数图象的交点和三角形的面积是解题的关键．。
九年级(上)期中数学试卷(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3） C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=94．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1 B．5 C．﹣5 D．65．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=60°，则圆周角∠BAC等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°7．（3分）把抛物线y=﹣x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+3 D．y=（x+1）2+3 8．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（）A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=209．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定正确的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AC=AD D．OE=BE10．（3分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案填在题中横线上）11．（3分）已知抛物线y=x2+4x+5的对称轴是直线x=．12．（3分）若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，则k=．13．（3分）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程．14．（3分）钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了度．15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为cm．16．（3分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是．17．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是．18．（3分）已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm，则弦AB所对的圆周角的度数为．19．（3分）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点．20．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为．三．解答题（本大题共8个小题，共60分）21．（12分）解方程（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（2）x2﹣2x﹣3=0．22．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．23．（9分）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（﹣1，0），请按要求画图与作答：（1）把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C．（2）把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″．（3）△A′B′C与△A″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．24．（9分）某百货商店从一制衣厂以每件21元的价格购进一批服装，若以每件衣服售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，但物价局限定每件衣服加价不能超过20%，商店计划要盈利400元，需要卖出多少件衣服？每件衣服售价多少元？25．（10分）如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC ∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．（1）求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC=CE；（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．26．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE 的最大面积及E点的坐标．参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：H、I、N是中心对称图形，所以是中心对称图形的有3个．故选B．2．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3） C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．故选：B．3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6．故选：B．4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1 B．5 C．﹣5 D．6【解答】解：依据一元二次方程根与系数得：x1+x2=5．故选：B．5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：旋转后得到的点A′与点A成中心对称，旋转后A′的坐标为（﹣2，﹣3），所以在第三象限．故选：C．6．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=60°，则圆周角∠BAC等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°【解答】解：∵∠BOC=60°，∴∠BAC=∠BOC=30°．故选：D．7．（3分）把抛物线y=﹣x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+3 D．y=（x+1）2+3【解答】解：抛物线y=﹣x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（﹣1，3），所以平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+1）2+3．故选：A．8．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（）A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20【解答】解：设墙的对边长为x m，可得方程：x×=20．故选：B．9．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定正确的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AC=AD D．OE=BE【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，∴CE=DE，即AB为CD的垂直平分线，∴AC=AD；∴选项B、C正确；∵OC=OD，OE⊥CD，∴∠COE=∠DOE，∴选项A正确；故选：D．10．（3分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2即s=x2+（1﹣x）2．s=2x2﹣2x+1，∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线x=．∴自变量的取值范围是大于0小于1．故选：B．二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案填在题中横线上）11．（3分）已知抛物线y=x2+4x+5的对称轴是直线x=﹣2．【解答】解：由对称轴公式：对称轴是直线x=﹣=﹣=﹣2，故答案为：﹣2．12．（3分）若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，则k=1．【解答】解：设方程的另一根为x1，又∵x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，∴x1•0=k﹣1，解得k=1．13．（3分）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程7800（x+1）2=9100．【解答】解：设人均年收入的平均增长率为x，根据题意可列出方程为：7800（x+1）2=9100．故答案为：7800（x+1）2=9100．14．（3分）钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了270度．【解答】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60=6°，那么45分钟，分针旋转了45×6°=270°．故答案为：270．15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为cm．【解答】解：连接AC，则∠ACB=90°．∵E是的中点，OE交弦BC于点D，∴OE⊥CD，CD=BD=BC=×8=4cm．设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r．故OB2=OD2+BD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得：r=5．故AB=2r=2×5=10cm．在Rt△ABC中，AC===6cm．在Rt△ADC中，AC=6cm，CD=4cm，故AD===2（cm）．16．（3分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是（4，5）．【解答】解：∵x=﹣=﹣=1．∴P（﹣2，5）关于对称轴的对称点Q的坐标是（4，5）．故点Q的坐标是（4，5）．故答案为：（4，5）．17．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是k＞且k≠1．【解答】解：∵a=k﹣1，b=﹣4，c=﹣5，方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=16﹣4×（﹣5）×（k﹣1）=20k﹣4＞0，∴k＞，又∵二次项系数不为0，∴k≠1，即k≥且k≠1．18．（3分）已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm，则弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．【解答】解：根据题意，弦AB与两半径组成等边三角形，∴弦AB所对的圆心角=60°，①圆周角在优弧上时，圆周角=30°，②圆周角在劣弧上时，圆周角=180°﹣30°=150°．∴圆周角的度数为30°或150°；故答案为：30°或150°．19．（3分）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有n2﹣n+1个点．【解答】解：根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点；则第n个图中有n×（n﹣1）+1=n2﹣n+1个点．20．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为x1＜a＜b＜x2．【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x ﹣b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：x1＜a＜b＜x2，故答案为：x1＜a＜b＜x2．三．解答题（本大题共8个小题，共60分）21．（12分）解方程（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（2）x2﹣2x﹣3=0．【解答】解：（1）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，x﹣2=0或3x﹣6﹣x=0，所以x1=2，x2=3；（2）（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0或x+1=0，所以x1=3，x2=﹣1．22．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．【解答】（1）证明：∵△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵△=1＞0，∴AB≠AC，∴AB、AC中有一个数为5．当x=5时，原方程为：25﹣5（2k+1）+k2+k=0，即k2﹣9k+20=0，解得：k1=4，k2=5．当k=4时，原方程为x2﹣9x+20=0，∴x1=4，x2=5．∵4、5、5能围成等腰三角形，∴k=4符合题意；当k=5时，原方程为x2﹣11x+30=0，解得：x1=5，x2=6．∵5、5、6能围成等腰三角形，∴k=5符合题意．综上所述：k的值为4或5．23．（9分）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（﹣1，0），请按要求画图与作答：（1）把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C．（2）把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″．（3）△A′B′C与△A″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；（2）如图，A''B''C''即为所求；（3）如图，P'（2.5，0）．24．（9分）某百货商店从一制衣厂以每件21元的价格购进一批服装，若以每件衣服售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，但物价局限定每件衣服加价不能超过20%，商店计划要盈利400元，需要卖出多少件衣服？每件衣服售价多少元？【解答】解：由题意，得（350﹣10x）（x﹣21）=400，解得：x1=25，x2=31．∵x＜21（1+20%），∴x＜25.2．∴x=31应舍去．∴x=25．答：每件衣服的售价为25元．25．（10分）如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC ∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．（1）求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC=CE；（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，∴DF是⊙O的直径所在的直线，∴DF⊥DE，又∵AC∥DE，∴DF⊥AC，∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分）（2）证明：由（1）知：AG=GC，又∵AD∥BC，∴∠DAG=∠FCG；又∵∠AGD=∠CGF，∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）∴AD=FC；∵AD∥BC且AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∴FC=CE；（5分）（3）解：连接AO，∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm；在Rt△AGD中，由勾股定理得GD2=AD2﹣AG2=52﹣42=9，∴GD=3；（6分）设圆的半径为r，则AO=r，OG=r﹣3，在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，有：r2=（r﹣3）2+42，解得r=，（8分）∴⊙O的半径为cm．26．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，解得：m=﹣，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为AF•sin45°=×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．。
西安交大阳光中学九年级上册期中试卷检测题
西安交大阳光中学九年级上册期中试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．2．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝7（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．【答案】（1）k32）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t）•32t＝﹣3 2t2+34t．当t＞12时，S＝12OQ•P y＝12（2t﹣13＝323．（3）直线PQ的解析式为y 353．【解析】【分析】（1）求出点B的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t＜12时，②当t＞12时，根据S＝12OQ•P y，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t，推出点P，Q的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB223AB OA-=∴k3（2）如图，∵tan ∠BAO ＝3OBOA= ∴∠BAO ＝60°， ∵PQ ⊥AB ，∴∠APQ ＝90°， ∴∠AQP ＝30°， ∴AQ ＝2AP ＝2t ，当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t ）•32t ＝﹣32t 2+34t ． 当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣13＝323． （3）∵OQ +AB 7（BQ ﹣OP ）， ∴2t ﹣1+22221373(21)(1)24t t t +--+∴2t +1271t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7， ∴3t 2﹣11t +6＝0， 解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P （12，332），Q （5，0）， 设直线PQ 的解析式为y ＝kx +b ，则有1332250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3333k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ 的解析式为33y x =-+． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．4．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x=-，∴{312a b ccba++==-=-，解得：1{23abc=-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x=--+=，解得3x=-或1x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223y x x=--+上，∴设点P（x，223x x--+），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232y x x=--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P（21-，2）；②设P(x，y)，则223y x x=--+，∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x⨯⨯⨯+++-=333222x y-+=2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．5．如图1，已知△ABC 中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t≤4）.解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.（3）如图2，把△APQ 沿AP 翻折，得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t 使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当BF PC ⊥s 时，PQ∥BC．（2）不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（3）存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为1372-cm 2． 【解析】（1）证△APQ∽△ABC，推出AP AB =AQ AC ，代入得出10210t -=28t，求出方程的解即可；（2）假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，得出方程-56t 2+6t=12×12×8×6，求出此方程无解，即可得出答案. （3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ 、OD 、和PD 的长度；然后在Rt△PQD 中，根据勾股定理列出方程（8-185t ）2-（6-65t ）2=（2t ）2，求得时间t 的值；最后根据菱形的面积等于△AQP 的面积的2倍，进行计算即可. 解：（1）BP=2t ，则AP=10﹣2t ． ∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC， ∴AP AB =AQ AC， 即10210t -=28t， 解得：t=209, ∴当t=209时，PQ∥BC. （2）如答图1所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ．∴PD∥BC，∴F ，即B ，解得6PD 6-5t =．216625S PD AQ t t =⨯=-， 假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分， 则有S △AQP = C S △ABC ，而S △ABC =12AC•BC=24，∴此时S △AQP =12． 而S △AQP 2665t t =-， ∴266125t t -=，化简得：t 2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解， ∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（3）假设存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t ． 如答图2所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ，则有PD∥BC，∴D，即COD∆，解得：OC，h，∴QD=AD﹣AQ=t．在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即h，化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=t，∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=52．由（2）可知，S△AQP=5 4∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×258=337+cm2．所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为137-cm2．“点睛”本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）6．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值7．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．（1）当y0＝﹣1时，求m的值．（2）求y0的最大值．（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是．（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G 在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）512+或﹣1；（2）14；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞43或23≤m＜1【解析】【分析】（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝512+或512-+（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m的值为51或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣12）2+14，∵﹣1＜0，∴m＝12时，y0的最大值为14，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为14；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞43，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1，综上所述，满足条件m的值为m＝0或m＞43或23≤m＜1．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8．已知点P(2，﹣3)在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；（2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2．【解析】【分析】（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线2a x==12a--，并求得抛物线与y 轴交点； （2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围．【详解】解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2y=ax -2ax+a+k ，∴-3=4a 4a a+k=a+k -+∴k=-3-a ；抛物线L 的对称轴为直线-2a x=-=12a，即x ＝1； 将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)； （2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中，∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ，∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，∴L 的表达式为2y=2x -4x-3；将其表示为顶点式：2y=2(x-1)-5，∴顶点坐标为(1，-5)；（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，∴1＜-a-3≤2，∴-5≤a ＜-4；（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1，∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上，即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，综上所述：-1≤t ≤2．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．9．如图1，在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2y ax bx c =++经过、、A B C 三点，且其对称轴为1,x =其中点()0,3C ，点()3,0B ．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图（1），点D 是直线CB 上方抛物线上的动点，当四边形DCAB 的面积取最大值时，求点D 的坐标；②如图（2），连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠，请直接写出点M 的横坐标．【答案】（1）23233=y x ；（2）①D 3532，，②233+2 【解析】【分析】 （1）根据点(3C ，点()3,0B ，利用待定系数法，可得函数解析式；（2）①先求出直线BC 的解析式，当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值，求出b 的值代入原式即可得到答案； ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠，通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE 的解析式，可得答案．【详解】解：（1）由题意得： 120933b a a b ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩解得323a ,b 故抛物线的解析式是23233=++y x x .图（1） 图（2）（2）①设直线BC 的解析式为3.∵直线BC 过点B （3，0），∴3则k=33-， 故直线BC 解析式为y=33 设直线m 解析式为3yx b ，且直线m ∥直线BC 当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值. 令23323b 3+=+ 23-333330x x b 当2Δ(-33)-43(333)0b 时直线m 与抛物线有唯一交点 解之得：73,b 代入原式可求得：32x =∴D 353(2图（3）过D 作DP ∥y 轴交CB 于点P ，△DCB 面积=△DPC 面积+△DPB 面积， ∴D 3532⎛ ⎝⎭②存在，点M 的横坐标为313+2解题提示：如图3符合条件的直线有两条： CM 1和CM 2（分别在CB 的上方和下方）∵在Rt △ACO 中，∠ACO=30°，在Rt △COB 中，∠CBO=30°，∴∠BCM 1=∠BCM 2=15°∵△BCE 中，∠BCE=∠BEC 2=15°∴BC=BE=23则E （33+0）设直线CE 解析式为：3y kx =+ ∴0(323)3k解之得：32∴直线CE 解析式为：(32)3y x ∴23233(32)3y x x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得：x 1=0，x 23－1∵ 在Rt △OCF 中，∠CBO=30°，∠BCF=15°∴在Rt △COF 中， ∠CFO=45° ∴3∴F 30）∴直线CF的解析式为-3y x ∴23233-3y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩解之得：30x =（舍去），43+2x即点M 的横坐标为：23-1或3+2【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键．10．如图，已知二次函数22(0)y ax ax c a 的图象与x 轴负半轴交于点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B ，顶点为P ，且OB=3OA ，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B ．(1) 求一次函数解析式；(2)求顶点P 的坐标；(3)平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan 2OAM ∠=，求点M 坐标；(4)设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN 的最小值．【答案】(1) 一次函数的解析式为：y=3x+3(2)顶点P 的坐标为（1，4）(3) M 点的坐标为：15,2(,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或 23-） （445【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得出B （0，3），根据OB=3OA ，可求出OA 的长，也就得出了A 点的坐标，然后将A 、B 的坐标代入直线AB 的解析式中，即可得出所求；（2）将（1）得出的A 点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a 的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P 点的坐标；（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M 点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M 作x 轴的垂线设垂足为E ，在构建的直角三角形AME 中，可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长，然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标．（本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解．方法一样．）（4）作点D 关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N ⊥PD 于点N ，根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值．【详解】(1)∵A （-1，0）,∴OA=1∵OB=3OA ，∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B （0，3），∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为：223y x x =-++∴抛物线223y x x =-++的顶点P （1，4）(3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+∵直线3y x b =+过P （1，4）∴b=1∴平移后的直线为31y x =+∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠=设M （x,3x+1）① 当点M 在x 轴上方时，有31312x x +=+，∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当点M 在x 轴下方时，有31312x x +-=+，∴59x =- ∴25(,9M - 23-） (4)作点D 关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N ⊥PD 于点N当-x 2+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3，∴A （-1，0），P 点坐标为（1，4），则可得PD 解析式为：y=2x+2，令x=0，可得y=2，∴D（0，2），∵D与D′关于直线x=1对称，∴D′（2，2）．根据ND′⊥PD，设ND′解析式为y=kx+b，则k=-12，即y=-12x+b，将D′（2，2）代入，得2=-12×2+b，解得b=3，可得函数解析式为y=-12x+3，将两函数解析式组成方程组得：13222y xy x⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得25145xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N（214 ,) 55，由两点间的距离公式：d=2221445 22555⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴所求最小值为45 5【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点．同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题．三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，25AB =，17CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)αα<<角度，如图2所示．()1利用图2证明AC BD =且AC BD ⊥；()2当BD 与CD 在同一直线上（如图3）时，求AC 的长和α的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）7，725． 【解析】【分析】 (1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明AOC BOD ≅，得出AC=BD ， 延长BD 交AC 于E ，证明∠AEB=90︒，从而得到BD AC ⊥.(2) 如图3中，设AC=x ，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出x ，再根据sinα=sin ∠ABC=AC AB即可解决问题【详解】 ()1证明：如图2中，延长BD 交OA 于G ，交AC 于E ．∵90AOB COD ∠=∠=，∴AOC DOB ∠=∠，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD ≅，∴AC BD =，CAO DBO ∠=∠，∵90DBO GOB ∠+∠=，∵OGB AGE ∠=∠，∴90CAO AGE ∠+∠=，∴90AEG ∠=，∴BD AC ⊥．()2解：如图3中，设AC x =，∵BD 、CD 在同一直线上，BD AC ⊥，∴ABC 是直角三角形，∴222AC BC AB +=，∴222(17)25x x ++=，解得7x =，∵45ODC DBO α∠=∠+∠=，45ABC DBO ∠+∠=，∴ABC α∠=∠，∴7sin sin 25AC ABC AB α=∠==． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型.12．如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，且BE=DF ，点P 是AF 的中点，点Q 是直线AC 与EF 的交点，连接PQ ，PD ．（1）求证：AC 垂直平分EF ；（2）试判断△PDQ 的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF 绕着点C 旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△PDQ 是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD ，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF，∴PD=PQ=AP=PF，∴点A、F、Q、P四点共圆，∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形．考点：四边形综合题．13．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为21.(2a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE ()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由． ()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为212a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为214a ． 【解析】【分析】 ()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形的性质可以得出1BF BC 2=，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由三角形的面积公式就可以得出结论．【详解】()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，BED ACB90∠∠∴==，由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，ABC DBE 90∠∠∴+=，A ABC 90∠∠+=，A DBE ∠∠∴=，在ABC 和BDE 中，ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABC ∴≌()BDE AASBC DE a ∴==，BCD 1S BC DE 2=⋅， 2BCD 1S a 2∴=； ()2BCD 的面积为21a 2， 理由：如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，BED ACB 90∠∠∴==，线段AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BE ，AB BD ∴=，ABD 90∠=，ABC DBE 90∠∠∴+=，A ABC 90∠∠+=，A DBE ∠∠∴=，在ABC 和BDE 中，ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABC ∴≌()BDE AAS ，BC DE a ∴==，BCD1S BC DE2=⋅，2BCD1S a2∴=；()3如图3，过点A作AF BC⊥与F，过点D作DE BC⊥的延长线于点E，AFB E90∠∠∴==，11BF BC a22==，FAB ABF 90∠∠∴+=，ABD90∠=，ABF DBE90∠∠∴+=，FAB EBD∠∠∴=，线段BD是由线段AB旋转得到的，AB BD∴=，在AFB和BED中，AFB EFAB EBDAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AFB∴≌()BED AAS，1BF DE a2∴==，2BCD1111S BC DE a a a2224=⋅=⋅⋅=，BCD∴的面积为21a4．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.14．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB= ，并求AA′的长；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．【答案】（1）10，102；（2）（33，9）；（3）12354 55（，）【解析】试题分析：(1)、如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；(3)、由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D 和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．试题解析：(1)、如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+，∴O′点的坐标为（）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于x轴对称，∴C（0，﹣3），设直线O′C的解析式为y=kx+b，把O′（），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线O′C的解析式为y=x﹣3，当y=0时，x﹣3=0，解得x=，则P（，0），∴OP=，∴O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，∴∠DP′O′=30°，∴O′D=O′P′=，P′D=，∴DH=O′H﹣O′，∴P′点的坐标为（，）．考点：几何变换综合题15．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时①证明：△BFC是等腰三角形；②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．【答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.【解析】【详解】分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，最后根据直角三角形斜中线的性质得出答案．详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=12BE=BF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，∴CF=DF且CF⊥DF．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．。
最新九年级数学上册期中考试试卷及答案 (2)
1 / 3九年级数学上册期中考试试卷及答案 (2)一．选择题：（每小题3分，共24分） 1．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 （ ）A ．小明的影子比小强的影子长B ．小明的影子比小强的影子短C ．小明的影子和小强的影子一样长D ．无法判断谁的影子长2．如图，平行四边形 ABCD 的周长为cm 16，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为 （ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm3．到△ABC 的三边距离相等的点是△ABC 的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条边的垂直平分线的交点 4．如图所示的几何体的俯视图是 （ ）5判断方程02=++c bx ax （a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是 （ ） A ．3＜x ＜3.23B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25 ＜x ＜3.266．等腰三角形的腰长等于2m ，面积等于12m ，则它的顶角等于（ ） A ．150o B ．30o C ．150o或30o D ．60o7．利用13米的铁丝和一面墙，围成一个面积为20平方米的长方形，墙作为长方形的长边，求这个长方形的长和宽.设长为x 米，可得方程 （ ）A ．20)13(=-x xB ．20)213(=-xx C ．20)2113(=-x xD．20)2213(=-xx 8．如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）.按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ）（4）（3）沿虚线剪开对角顶点重合折叠（2）（1）A ．都是等腰梯形B ．两个直角三角形，一个等腰三角形C ．两个直角三角形，一个等腰梯形D ．都是等边三角形 二．填空题：（每小题3分，共30分）9．写出一个一元二次方程，使方程有一个根为0，并且二次项系数为1： 10．用反证方法证明“在△ABC 中，AB=AC ，则∠B 必为锐角”的第一步是假设 11.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，2 / 3ADC BEG F若PC = 4，则PD 的长为 ；12．如图，在△ABC 中，BC cm 5=，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则△PDE 的周长是 cm13.三角形两边长分别为3和6，如果第三边是方程2680x x -+=的解，那么这个三角形的周长14．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于15．矩形纸片ABCD 中, AD = 4cm , AB = 10cm , 按如图方式折叠, 使点B 与点D 重合, 折痕为EF,则DE = cm ；16.如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′=17.小军同学家开了一个商店，今年1月份的利润是1000元，3月份的利润是1210元，请你帮助小军同学算一算，他家的这个商店这两个月的利润平均月增长率是___________18．如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与 点A 、C 重合）， 且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是______；三.解答题19. 用适当的方法解下列方程（1）12)1)(8(-=++x x （2）)4(5)4(2+=+x x20、已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱.AB=5m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC=3m.在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你做出DE 的影子并计算DE 的长.21. 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 是BD 延长线上一点，F 是DB 延长线上一点，且DE=BF.请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可） . （1）连结__ＡＦ__________ ；（2）猜想：___ＡＦ___ =_ＡＥ_____ ； （3）证明：22、已知：如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC, EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G . 求证：AE = FG .23．某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，若每kg每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？24.如图4，（1）F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCM，交过F 点AF的垂线FG于G，求证：AF=FG.（2）若点F是正方形ABCD的边BC 上任意一点，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？图425．如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F.（1）求证：AN=MB（2）求证：△CEF为等边三角形（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在（2）中画出符合要求的图形，并判断（1）（2）题中的两结论是否依然成立.并说明理由3 / 3。
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阳光中学2019初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)阳光中学2019初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）1．如果4a=3b，那么的值是（）A． B． C． D．2．一条弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所对的圆周角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°3．地球上陆地与海洋面积的比是3：7，宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是（）A． B． C． D．4．二次函数y=x2﹣4x+2与x轴的交点个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 35．下面的三视图所对应的物体是（）A． B． C． D．6．当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是（）A．正弦和余弦 B．正弦和正切C．余弦和正切 D．正弦、余弦和正切7．已知圆锥的侧面积为12π，那么圆锥的母线l关于底面半径r的函数关系式是（）A． l=12r B． l= C． l=12﹣r D． l=8．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF=2：3，则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B． AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：99．如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径r1=1，⊙O2的半径r2=2，⊙O3的半径r3=3，则△O1O2O3是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形10．如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y= （k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A． 1＜k＜2 B． 1≤k≤3 C．1≤k≤4 D．1≤k＜4 11．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）A． B．C． D．12．如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4 cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是（）A． 2cm＜d＜3cm或d＞5cm B． 2cm＜d＜4cm或d＞6cm C． 3cm＜d＜6cm D． 2cm＜d＜4 cm或d＞7cm二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）13．反比例函数y=﹣中，当x=2时，y=．14．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，BD=OB．请你根据已知条件和所给图形，写出两个正确结论（除AO=OB=BD外）：15．若 sin（α+5°）=1，则α=度．16．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE= ，则河堤的高BE为米．17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的周长是．18．如图，抛物线y=x2﹣1的顶点为C，直线y=x+1与抛物线交于A，B两点．M是抛物线上一点，过M作MG⊥x轴，垂足为G．如果以A，M，G为顶点的三角形与△ABC相似，那么点M的坐标是．三、解答题（本题有8小题，共90分，各小题都必须写出解答过程）19．（1）计算：sin60°﹣cos45°+ ；（2）解不等式组．20．如图是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的表面积及全面积（结果保留π）21．将背面相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．22．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）23．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若EB=AB，cosE= ，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．24．“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA 表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线BCD 的顶点，且点B到水面的距离BE=2m，点B到y轴的距离是5m．当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离CG= m，与点B的水平距离CF=2m．（1）求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围．（2）求二次函数的解析式及其自变量的取值范围．（3）小明从点B滑水面上点D处时，试求他所滑过的水平距离d．25．阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）26．已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．（1）当k=﹣1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．（2）当时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）2+n与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长；②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？阳光中学2019初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）1．如果4a=3b，那么的值是（）A． B． C． D．考点：比例的性质．分析：根据两內项之积等于两外项之积计算即可得解．解答：解：∵4a=3b，故选D．点评：本题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键．2．一条弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所对的圆周角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°考点：圆周角定理．分析：直接根据圆周角定理进行解答即可．解答：解：∵一条弧所对的圆心角为60°，∴这条弧所对的圆周角= ×60°=30°．故选A．点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．地球上陆地与海洋面积的比是3：7，宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是（）A． B． C． D．考点：几何概率．分析：利用地球上陆地与海洋面积的比得出陆地面积与地球面积的比，进而求出宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率．解答：解：∵地球上陆地与海洋面积的比是3：7，∴宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是： = ．故选：B．点评：此题主要考查了几何概率的应用，得出陆地面积与地球面积的比是解题关键．4．二次函数y=x2﹣4x+2与x轴的交点个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：抛物线与x轴的交点．分析：要判断二次函数y=x2﹣4x+2的图象与x轴的交点个数，只需判定方程x2﹣4x+2=0的根的情况．解答：解：∵b2﹣4ac=16﹣8=8＞0，∴抛物线与x轴有两个交点．故选C．点评：此题考查了二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程的根的情况之间的联系．5．下面的三视图所对应的物体是（）A． B． C． D．考点：由三视图判断几何体．专题：压轴题．分析：本题可利用排除法解答．从主视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的矩形的宽相等，故可排除B，C，D．解答：解：从主视图左视图可以看出这个几何体是由上、下两部分组成的，故排除D选项，从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除B选项，从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体，故选A．点评：此题考查由三视图还原实物基本能力，还原实物的形状关键是能想象出三视图和立体图形之间的关系，从而得出该物体的形状．本题只从俯视图入手也可以准确快速解题．6．当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是（）A．正弦和余弦 B．正弦和正切C．余弦和正切 D．正弦、余弦和正切考点：锐角三角函数的增减性．分析：当角度在0°到90°之间变化时，正弦和正切函数值随着角度的增大而增大．解答：解：当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的增减性的应用，主要考查学生的理解能力．7．已知圆锥的侧面积为12π，那么圆锥的母线l关于底面半径r的函数关系式是（）A． l=12r B． l= C． l=12﹣r D． l=考点：圆锥的计算．分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解，半径应小于母线长．解答：解：由题意得：12π=π×r×l，∴l= ．故选D．点评：考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关公式，难度不大．8．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF=2：3，则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B． AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9考点：位似变换．分析：本题主要考查了位似变换的定义及作图，位似变换就是特殊的相似，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，因而周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．解答：解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；B、AD与AG是对应边，故AD：AE=2：3；故错误；C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．故选B．点评：本题主要考查了位似的定义及性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．9．如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径r1=1，⊙O2的半径r2=2，⊙O3的半径r3=3，则△O1O2O3是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形考点：相切两圆的性质；勾股定理的逆定理．分析：利用勾股定理来计算．解答：解：设半径为1与半径为2的圆心距为a=1+2= 3，半径为1与半径为3的圆心距为b=1+3=4，半径为3与半径为2的圆心距为c=2+3=5；∵32+42=52，∴a2+b2=c2，即三个圆的圆心用线连接成三角形是直角三角形．故选B．点评：本题利用了勾股定理的逆定理求解．10．如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y= （k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A． 1＜k＜2 B．1≤k≤3 C．1≤k≤4 D．1≤k＜4考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：先根据题意求出A点的坐标，再根据AB=AC=2，AB、AC分别平行于x轴、y轴求出B、C两点的坐标，再根据双曲线y= （k≠0）分别经过A、B两点时k的取值范围即可．解答：解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），∵AB=AC=2，∴B点的坐标是（3，1），∴BC的中点坐标为（2，2）当双曲线y= 经过点（1，1）时，k=1；当双曲线y= 经过点（2，2）时，k=4，因而1≤k≤4．故选C．点评：本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．11．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）A． B． C． D．考点：几何体的展开图．专题：压轴题．分析：由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．解答：解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．故选：B．点评：本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．12．如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4 cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是（）A． 2cm＜d＜3cm或d＞5cm B． 2cm＜d＜4cm或d＞6cm C． 3cm＜d＜6cm D． 2cm＜d＜4 cm或d＞7cm考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆内切和外切时，求出两圆圆心距，进而得出d的取值范围．解答：解：连接OP、OA，∵⊙O的半径为4cm，1cm为半径的⊙P，⊙P与⊙O没有公共点，∴d＞5时，两圆外离，当两圆内切时，过点O作OD⊥AB于点D，OP′=4﹣1=3cm，OD= =2（cm），∴以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点时，2＜d＜3，故选A．点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，根据图形进行分类讨论得出是解题关键．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）13．反比例函数y=﹣中，当x=2时，y= ﹣．考点：反比例函数的定义．分析：把x=2代入已知反比例函数解析式来求相应的y的值．解答：解：把x=2代入y=﹣，得y=﹣ =﹣．故答案是：﹣．点评：本题考查了反比例函数的定义．此题是利用代入法求得函数值的．14．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，BD=OB．请你根据已知条件和所给图形，写出两个正确结论（除AO=OB=BD外）：①∠CDB=∠A；②CD2=CB?CA ．考点：切线的性质．专题：开放型．分析： CD为切线，所以可以得到角相等和切线与割线的关系；AB是直径，题中的所有半径相等；根据弦切角定理也可得到角相等．解答：解：∠CDB=∠A，依据是弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；CD2=CB?CA，依据是切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．（答案不唯一，只要符合题意即可）点评：此题考查切线的性质，本题为开放型题目，答案不唯一．但选取时一定要根据题中条件按规律选取．15．若 sin（α+5°）=1，则α=40 度．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值求解．解答：解：∵ sin（α+5°）=1，∴sin（α+5°）= = ，∴α+5°=45°，α=40° ．点评：解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．16．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE= ，则河堤的高BE为12 米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：计算题；压轴题．分析：在Rt△ABE中，根据tan∠BAE的值，可得到BE、AE 的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的长，由此得解．解答：解：因为tan∠BAE= ，设BE=12x，则AE=5x；在Rt△ABE中，由勾股定理知：AB2=BE2+AE2，即：132=（12x）2+（5x）2，169=169x2，解得：x=1或﹣1（负值舍去）；所以BE=12x=12（米）．故答案为：12．点评：本题主要考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用．17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的周长是．考点：弧长的计算；直角梯形；切线的性质．分析：要求以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的周长，需过点A作AE⊥BC于点E，根据切线的性质求得AE是扇形的半径，再利用直角梯形的性质和直角三角形的性质求得扇形的半径和圆心角度数，再利用弧长公式求得扇形的弧长加上两条半径即可．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AD∥BC，∠C=90°，∴四边形ADCE是矩形，∵AB=AD=4，BC=6，∴CE=AD=4，BE=2∴AE=2 ，∠BAE=30°∴∠BAD=90°+30°=120°∴扇形的周长=2×2 + =4 + π．点评：本题要熟知切线的性质，直角梯形的性质和扇形弧长计算公式（l= ）．利用切线的性质求得AE的长即半径是解题的关键，注意扇形的周长为两条半径的长加上弧长．18．如图，抛物线y=x2﹣1的顶点为C，直线y=x+1与抛物线交于A，B两点．M是抛物线上一点，过M作MG⊥x轴，垂足为G．如果以A，M，G为顶点的三角形与△ABC相似，那么点M的坐标是（4，15），（﹣2，3），（，）．．考点：二次函数综合题．分析：根据抛物线的解析式，易求得A（﹣1，0），D（1，0），C（0，﹣1）；则△ACD是等腰Rt△，由于AP∥DC，可知∠BAC=90°；根据D、C的坐标，用待定系数法可求出直线DC的解析式，而AB∥DC，则直线AB与DC的斜率相同，再加上A点的坐标，即可求出直线AB的解析式，联立直线AB 和抛物线的解析式，可求出B点的坐标，即可得出AB、AC的长．在Rt△ABC和Rt△AMG中，已知了∠BAC=∠AGM=90°，若两三角形相似，则直角边对应成比例，据此可求出M点的坐标．解答：解：易知：A（﹣1，0），D（1，0），C（0，﹣1）；则OA=OD=OC=1，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACD=90°，AC= ；又∵AB∥DC，∴∠BAC=90°；易知直线BD的解析式为y=x﹣1，由于直线AB∥DC，可设直线AB的解析式为y=x+b，由于直线AB过点A（﹣1，0）；则直线AB的解析式为：y=x+1，联立抛物线的解析式：，解得，；故B（2，3）；∴AP= =3 ；Rt△BAC和Rt△AMG中，∠AGM=∠PAC=90°，且BA：AC=3 ：=3：1；若以A、M、G三点为顶点的三角形与△BCA相似，则AG：MG=1：3或3：1；设M点坐标为（m，m2﹣1），（m＜﹣1或m＞1）则有：MG=m2﹣1，AG=|m+1|；①当AM：MG=1：3时，m2﹣1=3|m+1|，m2﹣1=±（3m+3）；当m2﹣1=3m+3时，m2﹣3m﹣4=0，解得m=1（舍去），m=4；当m2﹣1=﹣3m﹣3时，m2+3m+2=0，解得m=﹣1（舍去），m=﹣2；∴M1（4，15），M2（﹣2，3）；②当AM：MG=3：1时，3（m2﹣1）=|m+1|，3m2﹣3=±（m+1）；当3m2﹣3=m+1时，3m2﹣m﹣4=0，解得m=﹣1（舍去），m= ；当3m2﹣3=﹣m﹣1时，3m2+m﹣2=0，解得m=﹣1（舍去），m= （舍去）；∴M3（，）．故符合条件的M点坐标为：（4，15），（﹣2，3），（，）．故答案为：：（4，15），（﹣2，3），（，）．点评：此题主要考查了函数图象交点、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等，需注意的是在相似三角形的对应边和对应角不确定的情况下需分类讨论，以免漏解．三、解答题（本题有8小题，共90分，各小题都必须写出解答过程）19．（1）计算：sin60°﹣cos45°+ ；（2）解不等式组．考点：实数的运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．分析：（1）将特殊角的三角函数值代入求解即可；（2）分别解不等式，然后求交集、解答：解：（1）原式= × ﹣× +2= ﹣1+2= ；（2）解不等式2x﹣5＜x得：x＜5，解不等式5x﹣4≥3x+2得：x≥3，则不等式组的解集为：3≤x＜5．点评：本题考查了实数的运算和解一元一次不等式组，掌握各知识点的运算法则是解答本题的关键．20．如图是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的表面积及全面积（结果保留π）考点：由三视图判断几何体．分析：从三视图可以看正视图以及左视图为矩形，而俯视图为圆形，故可以得出该立体图形为圆柱．由三视图可以圆柱的半径，长和高，易求侧面积和全面积．解答：解：该立体图形为圆柱，∵圆柱的底面半径r=5，高h=10，∴圆柱的侧面积为：10π×10=100ππcm2．全面积为（100π+2×π×52）=150π cm2．点评：此题主要考查了圆柱的有关计算以及由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，难度不大．21．将背面相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．考点：列表法与树状图法；概率公式．分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解答：解：（1）P偶数= =（2）树状图为：或列表法为：第一次第二次 1 2 3 41 ﹣ 21 31 412 12 ﹣ 32 423 13 23 ﹣ 434 14 24 34 ﹣所以P4的倍数= ．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）考点：解直角三角形的应用．专题：压轴题．分析：（1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．解答：解：（1）如图，作AD⊥BC于点D．Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4× =2 ．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=4 ≈5.6．即新传送带AC的长度约为5.6米；（2）结论：货物MNQP应挪走．解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4× =2 ．在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2 ．∴CB=CD﹣BD=2 ﹣2 =2（﹣）≈2.1．∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.1=1.9＜2，∴货物MNQP应挪走．点评：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．23．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若EB=AB，cosE= ，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．考点：圆的综合题．分析：（1）根据圆周角定理以及直径所对圆周角得出∠1+∠D=90°，进而得出∠DAE=90°，即可得出直线AE是⊙O的切线；（2）根据锐角三角函数关系得出EB= 进而得出即可，再设BD=4k，则AD=5k．在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=3k，即可得出k的值，进而得出答案．解答：（1）证明：连接BD．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．∴∠1+∠D=90°．∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，∴∠D=∠BAE．∴∠1+∠BAE=90°．即∠DAE=90°．∵AD是⊙O的直径，∴直线AE是⊙O的切线．（2）解：过点B作B F⊥AE于点F，则∠BFE=90°．∵EB=AB，∴∠E=∠BAE，EF= AE= ×24=12．∵∠BFE=90°，，∴ =15．∴AB=15．由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE，∴∠D=∠E．∵∠ABD=90°，设BD=4k，则AD=5k．在Rt△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理得：AB= =3k，可求得k=5．∴AD=25．∴⊙O的半径为．点评：此题主要考查了圆的综合应用以及锐角三角形有关计算和圆周角定理等知识，根据已知得出BE= 是解题关键．24．“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA 表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线BCD 的顶点，且点B到水面的距离BE=2m，点B到y轴的距离是5m．当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离CG= m，与点B的水平距离CF=2m．（1）求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围．（2）求二次函数的解析式及其自变量的取值范围．（3）小明从点B滑水面上点D处时，试求他所滑过的水平距离d．考点：二次函数的应用；反比例函数的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）在题中，BE=2，B到y轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k；（2）由（1）知，抛物线顶点坐标已知，可列两个关系式，又C点坐标已知则可列一个关于a、b、c的方程组，进而求出解析式，求出点D的横坐标，继而可得出自变量的取值范围；（3）用D的横坐标减去点E的横坐标，即可求出水平距离d．解答：解：（1）∵BE=2，B到y轴的距离是5，∴B点坐标为（5，2），若设反比例解析式为y= ，则k=10，∴y= ，当y=5时，x=2，即A点坐标为（2，5），∴自变量x的取值范围2≤x≤5；（2）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，由题意可知，顶点坐标为（5，2），C点坐标为（7，），解得，，∴二次函数的解析式为：y=﹣ x2+ x﹣，当y=0时，x1=9，x2=1（舍去），即D（9，0），∴自变量的取值范围是：5≤x≤9；（3）由题可知，ED=9﹣5=4（m），即小明从点B滑水面上点D处时，他所滑过的水平距离d=4m．点评：此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难易程度适中．25．阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）考点：几何变换综合题．专题：压轴题．分析：（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；（2）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为；（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tan ．解答：解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：如答图②所示，连接OC、OD．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，∴OB=OC，∠BOC=90°．∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，∴OF=OD，∠DOF=90°．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，∴∠BOF=∠COD．∵在△BOF与△COD中，∴△BOF≌△COD（SAS），∴BF=CD．（2）答：（1）中的结论不成立．如答图③所示，连接OC、OD．∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，∴ =tan30°= ，∠BOC=90°．∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，∴ =tan30°= ，∠DOF=90°．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，∴∠BOF=∠COD．在△BOF与△COD中，∵ = = ，∠BOF=∠COD，∴△BOF∽△COD，（3）如答图④所示，连接OC、OD．∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，∴ =tan ，∠BOC=90°．∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，∴ =tan ，∠DOF=90°．∴ = =tan ．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，∴∠BOF=∠COD．在△BO F与△COD中，∵ = =tan ，∠BOF=∠COD，∴△BOF∽△COD，∴ =tan ．点评：本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、。