2019届九年级中考数学复习专题《三角形》精练卷附答案解析
2019届九年级中考数学一轮复习《三角形及其性质》精练含答案
三角形及其性质A组基础题组一、选择题1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于( )A.45°B.60°C.75°D.90°2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点3.下列说法错误的是( )A.三角形三条中线交于三角形内一点B.三角形三条角平分线交于三角形内一点C.三角形三条高交于三角形内一点D.三角形的中线、角平分线、高都是线段4.在△ABC中,AB=4a,BC=14,AC=3a,则a的取值范围是( )A.a>2B.2<a<14C.7<a<14D.a<145.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P 使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )A.有且只有1个B.有且只有2个C.组成∠E的角平分线D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)6.在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长是( )A.14B.4C.14或4D.以上都不对二、填空题7.(2018滨州)在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C=.8.(2018枣庄)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S=--.现已知△ABC的三边长分别为1,2,,则△ABC的面积为.9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点.若CD=5,则EF的长为.10.已知:a、b、c是△ABC的三边长,且M=(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c),那么M 0.(填“>”“<”或“=”)三、解答题11.一个飞机零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D 应分别是20°和30°,康师傅量得∠BCD=143°,就能断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?12.已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF 的形状并证明;(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD 的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.B组提升题组一、选择题1.已知锐角三角形的边长分别是2,3,x,那么x的取值范围是( )A.1<x<B.C.<x<5D.<x<2.(2017浙江湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于( )A.1B.C.D.2二、填空题3.如图,平面上直线a,b分别经过线段OK的两个端点(如图),则a,b 相交所成的锐角是.4.如图所示,AB=BC=CD=DE=EF=FG,∠1=130°,则∠A=°.5.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,已知AC=5,AD=4,则AB的取值范围是.对比训练上题中若作修改“AC=5,AB=4,求AD的取值范围”,怎样计算?三、解答题6.已知∠MON=40°,OE平分∠MON,点A、B、C分别是射线OM、OE、ON 上的动点(A、B、C不与点O重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.(1)如图1,若AB∥ON,则①∠ABO的度数是;②当∠BAD=∠ABD时,x= ;③当∠BAD=∠BDA时,x= ;(2)如图2,若AB⊥OM,则是否存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.第14讲三角形及其性质A组基础题组一、选择题1.C 180°×=180°×=75°,即∠C=75°.故选C.2.D3.C4.B5.D6.C二、填空题7.答案100°解析∵在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,∴∠C=180°-30°-50°=100°.故答案为100°.8.答案 1解析∵S=--,△ABC的三边长分别为1,2,,则△ABC的面积为:∴S△ABC=--)=1,故答案为1.9.答案 5解析∵△ABC是直角三角形,CD是斜边的中线,∴CD=AB,∴AB=2CD=2×5=10,又∵EF是△ABC的中位线,∴EF=×10=5.10.答案<解析根据三角形的三边关系可得,a+b+c>0,a+b-c>0,a-b-c<0,由实数运算得M<0.三、解答题11.解析能.理由如下:延长DC与AB相交于点E.易知∠BED=∠D+∠A=120°,∵∠BCD=∠B+∠BED=130°≠143°.∴这个零件不合格.12.解析 1)△CDF是等腰直角三角形.证明如下: ∵AF⊥AD,∠ABC=90°,∴∠FAD=∠DBC.在△FAD与△DBC中,,,,∴△FAD≌△DBC SAS),∴FD=DC,∴△CDF是等腰三角形.易知∠BDC+∠DCB=90°,∠FDA=∠DCB.∴∠BDC+∠FDA=90°,即∠FDC=90°,∴△CDF是等腰直角三角形.2)∠APD的度数是一个固定的值.理由如下:如图,作AF⊥AB于A,且AF=BD,连接DF,CF.由(1)得△CDF是等腰直角三角形,∴∠FCD=45°.由题意得AF∥CE,且AF=BD=CE,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AE∥CF,∴∠APD=∠FCD=45°.B组提升题组一、选择题1.B 因为32-22=5,32+22=13,所以5<x2<13,即.故选B.2.A 连接CP并延长,交AB于点D.∵P是Rt△ABC的重心,∴CD是Rt△ABC的中线,∴PD=CD.∵∠ACB=90°,∴CD=AB=3,∴PD=CD=1,∵AC=BC,CD是Rt△ABC的中线,∴CD⊥AB.∴点P到AB所在直线的距离等于1.故选A.二、填空题3.答案30°解析由三角形的外角性质得,a,b相交所成的锐角的度数是100°-70°=30°,故答案为30°.4.答案10解析设∠A=x°,根据三角形两内角之和等于第三个角的外角、等腰三角形的性质,知∠ACB为x°,∴∠CBD=∠CDB=2x°,∴∠DCE=∠DEC=3x°,同理可得:∠EDF=∠EFD=4x°,∠FEG=∠FGE=5x°,∵∠1+∠FGE=180°,∴∠FGE=50°,∠A=10°.5.答案3<AB<13解析如图,过点B作平行于AC的直线,与AD的延长线交于点E,则△ACD≌△EBD,∴AD=ED,AC=EB,∵AC=5,AD=4,∴在△ABE中,AE=8,BE=AC=5,∴3<AB<13.对比训练<AD<三、解答题6.解析 1)①∵∠MON=40°,OE平分∠MON,∴∠AOB=∠BON=20°.∵AB∥ON,∴∠ABO=∠BON=20°.②∵∠BAD=∠ABD,∴∠BAD=20°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=120°.③∵∠BAD=∠BDA,∠ABO=20°.∴∠BAD=80°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=60°.故答案为①20°;②120;③60.(2)存在.理由如下:①当点D在线段OB上时,若∠BAD=∠ABD,则x=20;若∠BAD=∠BDA,则x=35;若∠ADB=∠ABD,则x=50;②当点D在射线BE上时,因为∠ABE=110°,且三角形的内角和为180°,所以只有∠BAD=∠BDA,此时x=125.综上可知,当x=20、35、50、125时,存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角.。
2019中考数学试题分类考点训练及中考冲刺集训-三角形-试题及解析
11．三角形（时间：45分钟共16题答对____题正确率_______％)命题点1 三角形三边关系1．（2019•淮安）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm2．（2019•扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n 的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个3．（2019•自贡）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10命题点2 三角形内角和及外角4．（2019•绍兴）如图，墙上钉着三根木条a，b，C，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A．5°B．10°C．30°D．70°5．（2019•青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°6．（2019•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°7．（2019•眉山）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°8．（2019•枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°命题点3 三角形的高、中线、角平分线9．(2019·达州)如图，在Rt△ABC 中．△ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝3．(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹。
2019年中考数学复习《三角形》专题训练含答案(共30题)
2019 初三数学中考专题复习三角形专题训练1. 下列说法正确的是( )A．所有的等腰三角形都是锐角三角形B．等边三角形属于等腰三角形C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形2. 三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( )A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形C．直角三角形 D．周长相等的三角形3. 如图所示，AD是△ABC的角平角线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是( )A．20° B．30° C．45° D．60°4. 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD的大小是( )A．45° B．54° C．40° D．50°5. 下列说法错误的是( )A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，则∠A的度数为( )A．35° B．45° C．55° D．65°7. 如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1 8. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a(a>0) 9. 有3 cm，6 cm，8 cm，9 cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则能组成三角形的个数为()A．1 B．2 C．3 D．410. 如图，具有稳定性的有( )A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③11. 如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝________.12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝________，∠BCE＝________，∠ACB＝________.13. 如图，一张直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝________度。
初三数学中考复习 三角形 专项复习练习 含答案
2019年初三数学中考复习三角形专项复习练习1. 若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋(b－2)2＝0，则c的值可以为( ) A．5 B．6 C．7 D．82．现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( ) A．16 B．18 C．20 D．16或204. 若△ABC三条边分别为m、n、p，且|m－n|＋(n－p)2＝0，则这个三角形为( ) A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5. 为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得P A＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( )A．5m B．15m C．20m D．28m6. 下列说法中正确的是( )A．三角形的内角中至少有两个锐角B．三角形的内角中至少有两个钝角C．三角形的内角中至少有一个直角D．三角形的内角中至少有一个钝角7．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC是( )A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形8．如图，将直角三角形的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有( )A．4个B．3个C．2个D．1个9．如图，一个长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是()A．30°B．60°C．90°D．120°10．根据下列已知条件：①最小内角是20°；②最大内角是100°；③最大内角是89°；④三个内角都是60°；⑤有两个内角都是80°.其中能确定三角形形状的是( )A．①②③④B．①③④⑤C．②③④⑤D．①②④⑤11．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝( )A．35°B．95°C．85°D．75°12. 12．给出下列条件，不能判定三角形ABC是直角三角形的是( )A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．2∠A＝3∠B＝4∠C D．∠A－∠B＝∠C13．如图，以∠1为内角的三角形共有个，它们分别是；以AB为一边的三角形共有个，它们分别是. 14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1＝155°，则∠B的度数为.15. 有两根长度为6cm和8cm的木棒摆成一个三角形且第三根木棒取整数，这样的三角形有个．16．已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值为.17. 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，图中相等的角有，相等的线段有.18. 如图所示，E是△ABC中AB边上的一点，AD是△ABC的高，已知AD＝10，CE＝9，AB＝12，∠B＝65°，∠BCE＝25°，求BC的长．19. 在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E.(1)∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小；(2)若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C－∠B是否相等？若相等，请说明理由．20. 如图，一艘轮船沿AC方向航行，轮船在点A时测得航线两侧的两个灯塔D、E 与航线的夹角相等，当轮船到达点B 时测得这两个灯塔与航线的夹角仍然相等，这时轮船与两个灯塔的距离是否相等？为什么？参考答案：1---12 ABCBD ADCCC CC13. 2 △AOB 、△ABC 3 △AOB 、△ABD 、△ABC14. 65°15. 1116. 6或8或1017. ∠BAE ＝∠CAE ，∠ADB ＝∠ADC BF ＝CF18. 解：10.819. 解：(1)∵∠B ＝30°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝80°，∵AE 是角平分线，∴∠EAC ＝12∠BAC ＝40°，∵AD 是高，∠C ＝70°，∴∠DAC ＝90°－∠C ＝20°，∴∠EAD ＝∠EAC －∠DAC ＝20°；(2)由(1)知，∠EAD ＝∠EAC －∠DAC ＝12∠BAC －(90°－∠C )①，把∠BAC ＝180°－∠B －∠C 代入①，得∠EAD ＝12∠C －12∠B ，∴2∠EAD ＝∠C －∠B.20. 解：到达B 点时轮船与两个灯塔的距离相等．理由如下：∵∠DBC ＝∠EBC ，∴∠ABD ＝∠ABE ，又∠DAB ＝∠EAB ，AB ＝AB ，∴△ABD ≌△ABE (ASA )，∴BD ＝BE ，即到达点B 时轮船与两灯塔的距离相等．。
2019年湖北省武汉市中考精选试题--三角形(含解析详解)
三角形一．选择题（共22小题）1．三角形两条边的长分别是4和10，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（）A．5B．6C．11D．162．已知a、b、c是△ABC的三边长，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的值是（）A．﹣2c B．2b﹣2c C．2a﹣2c D．2a﹣2b3．如图正六边形ABCDEF中，连接CF，∠FCD＝（）A．120°B．72°C．60°D．36°4．正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°5．已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以3，a，5为边的三角形，则a的整数解有（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．将四边形纸片ABCD按如图的方式折叠使C′P∥AB．若∠B＝120°，∠C＝90°，则∠CPR等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个8．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°9．如图一个五边形木架，要保证它不变形，至少要再钉上几根木条（）A．4B．3C．2D．110．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7B．8C．9D．1011．小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得800°，这个多边形应该是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形12．如图，已知P为直线l外一点，点A、B、C、D在直线l上，且P A＞PB＞PC＞PD，下列说法正确的是（）A．线段PD的长是点P到直线l的距离B．线段PC可能是△P AB的高C．线段PD可能是△PBC的高D．线段PB可能是△P AC的高13．如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A．B．C．D．14．若一个正n边形的每个内角为144°，则n等于（）A．10B．8C．7D．515．如图，点P是四边形ABCD内的一点，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，设∠C+∠D 的大小为x，∠P的大小为y，则x，y的关系是（）A．y＝2x﹣180°B．y＝x C．y＝x D．y＝180°﹣x 16．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（）A．360°B．540°C．180°或360°D．540°或360°或180°17．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC＝90°﹣∠ABD；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的度数为（）A．72°B．144°C．72°或144°D．无法计算19．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形（）A．6B．7C．8D．920．将多边形的边数由n条增加到（n+x）条后，内角和增加了540°，则x的值为（）A．1B．2C．3D．421．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB＝（）A．36B．72°C．108°D．144°22．四边形剪去一个角后，内角和将（）A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能二．填空题（共6小题）23．已知三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为5和1，则它的周长为．24．如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝．25．如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是．26．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了50米，则每次旋转的角度α为．27．如图，某人从点A出发，前进5m后向右转60°，再前进5m后又向右转60°，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了m．28．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝110°，则∠FEC＝°．三．解答题（共9小题）29．在△ABC中，∠B＜∠C，AQ平分∠BAC，交BC于点Q，P是AQ上的一点（不与点Q重合），PH⊥BC于点H．（1）若∠C＝2∠B＝60°，如图1，当点P与点A重合时，求∠QPH的度数．（2）当△ABC是锐角三角形时，如图2，试探索∠QPH、∠C、∠B之间的数量关系，并说明理由．30．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边AB于点D．（1）如图1，①若∠ABC＝40°，则∠AOC＝，∠ADO＝；②猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明你的理由；（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠AOC＝105°，∠F＝32°，则∠AOD＝°．31．（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为；（直接写出结果）②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？32．如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．33．同学们，学习几何一个重要方法就是要学会抓住基本图形，让我们今天来做一次研究性学习．（1）如图1所示的图形，像我们常见的学用品﹣﹣圆规．我们常把这样图形叫做“规形图”，那么请你观察“规形图”，试探究∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由：（2）如图2，若△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且它们相交于点O，试探究∠BOC与∠A的关系；（3）如图3，若△ABC中，∠ABO＝∠ABC，∠ACO＝∠ACB，且BO、CO相交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系式为．34．（1）如图1，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB．若∠A+∠B＝140°，求∠DEC的度数；（2）如图2，四边形ABCD沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABCD内的点C′、D′处，探索∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，将四边形ABCD沿着直线MN翻折，使得点D落在四边形ABCD外部的D′处，点C落在四边形ABCD内部的C′处，则∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的关系是．35．（1）如图1，请证明∠A+∠B+∠C＝180°（2）如图2的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D（3）如图3，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明（4）如图4，AB∥CD，P A平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明．36．如图，直线MN与直线PQ相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，若∠AOB＝80°，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B 在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的理由；若不发生变化，试求出∠AEB的度数；（2）如图2，若∠AOB＝90°，点D、C分别是∠P AB和∠ABM的角平分线上的两点，AD、BC交于点F．∠ADC和∠BCD的角平分线相交于点E，①点AB在运动的过程中，∠F的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的理由；若不发生变化，请求其度数．②点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的理由；若不发生变化，请求其度数．37．（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB．①若∠A＝50°，则∠O＝，∠P＝；②若∠A＝α，则∠O＝，∠P＝．（用含α的式子表示）（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P 与∠A，∠D的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在六边形ABCDEF中，CP，DP分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直接写出∠P与∠A，∠B，∠E，∠F的数量关系．参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．【解答】解：设此三角形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．故选：C．2．【解答】解：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣c﹣a+b＝2b﹣2c．故选：B．3．【解答】解：由正六边形ABCDEF可得∠BCD＝，由CF平分∠BCD可得∠FCD＝．故选：C．4．【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．5．【解答】解：解不等式①，可得x＜2a，解不等式②，可得x≥4，∵不等式组至少有三个整数解，∴a≥，又∵存在以3，a，5为边的三角形，∴2＜a＜8，∴a的取值范围是≤a＜8，∴a的整数解有4、5、6共3个，故选：B．6．【解答】解：∵C′P∥AB，∴∠BPC′＝180°﹣∠B＝60°，∴∠CPC′＝180°﹣∠BPC′＝120°，∴∠CPR＝＝60°．故选：C．7．【解答】解：①若n+2＜n+8≤3n，则，解得，即4≤n＜10，∴正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；②若n+2＜3n≤n+8，则，解得，即2＜n≤4，∴正整数n有2个：3和4；综上所述，满足条件的n的值有7个，故选：D．8．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．9．【解答】解：如图，要保证它不变形，至少还要再钉上2根木条．故选：C．10．【解答】解：设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4＝9．故选：C．11．【解答】解：设多边形的边数是n．依题意有（n﹣2）•180°≥800°，解得：n≥6，则多边形的边数n＝7；故选：B．12．【解答】解：A．线段PD的长不一定是点P到直线l的距离，故本选项错误；B．线段PC不可能是△P AB的高，故本选项错误；C．线段PD可能是△PBC的高，故本选项正确；D．线段PB不可能是△P AC的高，故本选项错误；故选：C．13．【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，故选：B．14．【解答】解：∵正n边形的一个内角为144°，∴正n边形的一个外角为180°﹣144°＝36°，∴n＝360°÷36°＝10．故选：A．15．【解答】解：∵四边形ABCD，∠C+∠D的大小为x，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣x，∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，∴∠P AB+∠PBA＝，∵∠P的大小为y，∴∠P＝180°﹣（∠P AB+∠PBA），即y＝180°﹣（360°﹣x）＝x，故选：B．16．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故选：D．17．【解答】解：∵AD平分∠EAC，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∴①正确；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°﹣∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴③错误；∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF，∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（∠EAC+∠ACF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（180°+∠ABC）＝90°﹣∠ABC，∴④正确；∠BDC＝∠DCF﹣∠DBF＝∠ACF﹣∠ABC＝∠BAC，∴⑤正确，故选：D．18．【解答】解：过点B作直线l3∥l1，∵l1∥l2，∴l3∥l2，∴∠2＝∠4，∠1+∠3＝180°①，∵∠3+∠4＝108°，①﹣②得∠1﹣∠2＝180°﹣108°＝72°．故选：A．19．【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．20．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，（n+x）边形的内角和是（n+x﹣2）•180°，则（n+x﹣2）•180°﹣（n﹣2）•180°＝540°，解得：x＝3，故选：C．21．【解答】解：∵正五边形的每个外角是360°÷5＝72°，∴∠OCD＝∠ODC＝72°，∴∠COD＝36°，又∵正五边形每个内角是108°，∴∠AOB＝360°﹣108°﹣108°﹣36°＝108°．故选：C．22．【解答】解：如下图所示：观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．内角和是：180°或360°或540°．故选：D．二．填空题（共6小题）23．【解答】解：∵三角形的两边的长为5和1，∴第三边的取值范围是4＜x＜6，∵三角形的三边长都是整数，∴第三边的长为5，∴周长为：5+5+1＝11，故答案为：11．24．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得多边形的边数为：，∴∠OAD＝．故答案为：140°25．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝＝140°．故答案为：140°．26．【解答】解：向左转的次数50÷5＝10（次），则左转的角度是360°÷10＝36°．故答案是：36°．27．【解答】解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，则60n＝360，解得n＝6，∴他第一次回到出发点A时一共走了：5×6＝30（m），故答案为：30．28．【解答】解：∵∠A+∠B＝110°，∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝70°，∵把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠AED＝∠FED，∵BC∥DE，∴∠AED＝∠C＝70°＝∠FED，∴∠FEC＝180°﹣∠AED﹣∠FED＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故答案为：40．三．解答题（共9小题）29．【解答】解：（1）∵∠C＝2∠B＝60°，∴∠B＝30°，∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵AQ平分∠BAC，∴∠BAQ＝∠QAC＝BAC＝45°，∴∠AQH＝∠B+∠BAQ＝30°+45°＝75°，∵PH⊥BC，∴∠PHQ＝90°，∴∠QPH＝∠QAH＝90°﹣75°＝15°；（2）如图2，过A作AG⊥BC于G，∴∠PHQ＝∠AGQ＝90°，∴PH∥AG，∴∠QPH＝∠QAG，设∠QPH＝∠QAG＝x，∵AQ平分∠BAC，∴∠BAQ＝∠QAC＝x+∠GAC，∵∠AQH＝90°﹣x，∴∠BAQ＝90°﹣x﹣∠B，∵AG⊥BC，∴∠GAC＝90°﹣∠C，∴x+90°﹣∠C＝90°﹣x﹣∠B，∴x＝（∠C﹣∠B），即∠QPH＝（∠C﹣∠B）．30．【解答】解：（1）①∵∠ABC＝40°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣40°＝140°，∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝70°，∴∠AOC＝180°﹣70°＝110°，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠ABC＝20°，∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴∠BDO＝70°，∴∠ADO＝110°，故答案为：110°，110°，②相等，理由设∠ABC＝α，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣α，∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝90°﹣α，∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+α，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠ABC＝，∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴∠BDO＝90°﹣，∴∠ADO＝180°﹣∠BOD＝90°+，∴∠AOC＝∠ADO；（2）由（1）知，∠ADO＝∠AOC＝105°，∵BF平分∠ABE，CF平分∠ACB，∴∠FBE＝ABE，∠FCB＝∠ACB，∴∠FBE＝∠F+∠FCB＝（∠BAC+∠ACB）＝∠BAC+∠FCB，∴∠BAC＝2∠F＝64°，∴∠DAO＝∠BAC＝32°，∴∠AOD＝180°﹣∠ADO﹣∠DAO＝43°．故答案为：110°，110°，43．31．【解答】解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°．故答案为180；（2）①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴，，，，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在四边形ABCD中，∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∵∠AOB＝110°，∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70°；②AB∥CD，理由如下：∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴，，，，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在四边形ABCD中，∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∴∠ADO+∠BOD＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝∠BOC＝90°．在∠AOD中，∠DAO＝∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°，∵，，∴，∴∠DAB+∠ADC＝180°，∴AB∥CD．32．【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∴∠OBA+∠OAB＝90°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝×90°＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；故答案为：135；（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n°），即∠ABC+∠BAC＝90°﹣n°，∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°；（3）∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的角平分线，∴∠ABC＝∠OBA，∠ABD＝∠NBA，∠ABC+∠ABD＝∠OBA+∠NBA，∠ABC+∠ABD＝（∠OBA+∠NBA）＝90°，即∠CBD＝90°，同理：∠CAD＝90°，∵四边形内角和等于360°，∴∠ACB+∠ADB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，由（1）知：∠ACB＝90°+n°，∴∠ADB＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°，∴∠ACB+∠ADB＝180°，∠ADB＝90°﹣n°；（4）∠E的度数不变，∠E＝40°；理由如下：∵∠NBA＝∠AOB+∠OAB，∴∠OAB＝∠NBA﹣∠AOB，∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的角平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠CBA＝∠NBA，∠CBA＝∠E+∠BAE，即∠NBA＝∠E+∠OAB，∠NBA＝∠E+（∠NBA﹣80°），∠NBA＝∠E+∠NBA﹣40°，∴∠E＝40°．33．【解答】解：（1）结论：∠BOC＝∠BAC+∠B+∠C．理由：如图1中，连接AO，延长AO到H．∵∠BOH＝∠B+∠BAH，∠CAH＝∠C+∠CAH，∴∠BOC＝∠B+∠BAH+∠CAH+∠C＝∠BAC+∠B+∠C．（2）结论：∠BOC＝90°+∠A．理由：如图2中，∵OB，OC是△ABC的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．（3）结论：∠BOC＝60°+∠A．理由：∵∠ABO＝∠ABC，∠ACO＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝60°+∠A．故答案为：∠BOC＝60°+∠A．34．【解答】解：（1）∵∠ADC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠B）＝220°，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC＝∠ADC，∠ECB＝∠DCE＝∠DCB，∴∠EDC+∠ECD＝（∠ADC+∠BCD）＝110°，∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ECD）＝70°．（2）根据四边形的内角和为360°可知，∠D+∠C＝360°﹣（∠A+∠B）∠DMN+∠CNM＝360°﹣（∠C+∠D）＝∠A+∠B，∵∠DMN＝∠D′MN，∠CNM＝∠C′NM，∴∠DMD′+∠CNC′＝2（∠A+∠B），∴∠AMD′+∠BNC′＝360﹣2（∠A+∠B）．（3）同理∠DMN+∠CNM＝∠A+∠B，∴180°﹣∠D′MA+∠C′NB＝540°﹣2（∠A+∠B），∴∠C′NB﹣∠D′MA＝360°﹣2（∠A+∠B）．故答案为：∠C′NB﹣∠D′MA＝360°﹣2（∠A+∠B）．35．【解答】解：（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，∵BA∥CE，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2，又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P＝180°+∠D+∠B，∴∠P＝90°+（∠B+∠D）；（4）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确．理由如下：作PQ∥AB，如图4，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5＝∠2，∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°．36．【解答】解：（1）∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠EAB＝∠OAB，∠EBA＝∠OBA，∵∠AOB＝80°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣80°＝100°，∴∠EAB+∠EBA＝（∠OBA+∠OAB）＝÷100°＝50°，∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝130°，即∠AEB的大小不会发生变化，为130°；（2）①∵点D、C分别是∠P AB和∠ABM的角平分线上的两点，∴∠F AB＝∠P AB＝（180°﹣∠OAB），∠FBA＝∠MBA＝（180°﹣∠OBA），∴∠F AB+∠FBA＝（180°﹣∠OAB）+（180°﹣∠OBA）＝（180°+∠AOB）＝90°+∠AOB，∵∠AOB＝90°，∴∠F＝180°﹣（∠F AB+∠FBA）＝90°﹣∠AOB＝45°，即∠F的大小不变，为45°；②∵∠ADC和∠BCD的角平分线相交于点E，同理可得，∠E＝90°﹣∠F＝67.5°，即∠CED的大小不会发生变化，为67.5°．37．【解答】解：（1）①解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣50°）＝115°；∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣50°）]＝65°；故答案为：115°；65°．②解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣α）＝90°+α；∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣α）]＝90°﹣α；故答案为：90°+α；90°﹣α，（2）解：∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．理由如下：∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠DCB）]＝（∠ABC+∠DCB）＝（360°﹣∠A﹣∠D）＝180°﹣（∠A+∠D）．（3）∠P＝180°﹣（∠GCD+∠HDC）＝180°﹣（180°﹣∠BCD+180°﹣∠CDE）＝（∠BCD+∠CDE）＝[（6﹣2）×180°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）]＝360°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）．故答案为：∠P＝360°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）。
专题04 三角形-2019年山东省中考数学真题汇编(解析版)
专题04 三角形一、选择题1．（2019山东枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°【答案】C ．【解析】解：如图，∵∠ACD ＝90°、∠F ＝45°，∴∠CGF ＝∠DGB ＝45°，则∠α＝∠D +∠DGB ＝30°+45°＝75°，故选：C ．2．（2019山东淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B ．若△ADC的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A ．2aB ．52aC ．3aD ．72a 【答案】C ．【解析】解：∵∠CAD ＝∠B ，∠ACD ＝∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ， ∴2()ACD BCA SAC S AB =，即14BCA a S =， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．3．（2019山东青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A．【解析】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，∵BF＝BF，∴△ABF∽△EBF（ASA），∴AF＝EF，AB＝BE，∴AD＝DE，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴△ABD≌△EAD（SSS），∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，故选：A．4．（2019山东临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B．【解析】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，∴△ADE ≌△CFE （AAS ），∴AD ＝CF ＝3，∵AB ＝4，∴DB ＝AB ﹣AD ＝4﹣3＝1．故选：B ．5．（2019山东枣庄）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A ′B ′C ′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA ′＝1，则A ′D 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32 【答案】B ．【解析】解：∵S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9，且AD 为BC 边的中线，∴S △A ′DE ＝12S △A ′EF ＝92，S △ABD ＝12S △ABC ＝8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则2()A DE ABD S A D AD S ''=，即2992()1816A D A D '=='+， 解得A ′D ＝3或A ′D ＝﹣37（舍）， 故选：B ． 6．（2019山东泰安）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行2km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km ．A．3B．3C．3D．3【答案】B．【解析】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝2，如图，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝2，∴AE＝BE＝22AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝33BE＝3，∴AC＝AE+CE＝3∴A，C两港之间的距离为（3km，故选：B．7．（2019山东聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF 2BC D．S四边形AEOF＝12S△ABC【答案】C．【解析】解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝12S△ABC，选项D正确．故选：C．8．（2019山东淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD ＝12AC 时，tan α1＝34； 如图2，当CD ＝13AC 时，tan α2＝512； 如图3，当CD ＝14AC 时，tan α3＝724；…… 依此类推，当CD ＝11n +AC （n 为正整数）时，tan αn ＝ ． 【答案】22122n n n ++． 【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，2(21)12n +-，2(21)12n ++中的中间一个． ∴tan αn ＝221(21)12n n ++-＝22122n n n++． 故答案为：22122n n n ++． 9．（2019山东滨州）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＞OC ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC ＝BD ；②∠AMB ＝40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B ．【解析】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝40°，∴∠AOB +∠AOD ＝∠COD +∠AOD ，即∠AOC ＝∠BOD ，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故选：B．二、填空题10．（2019山东枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】9.5．【解析】解：过D作DE⊥AB，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，∴∠ADE ＝53°，∵BC ＝DE ＝6m ，∴AE ＝DE •tan53°≈6×1.33≈7.98m ，∴AB ＝AE +BE ＝AE +CD ＝7.98+1.5＝9.48m ≈9.5m ，故答案为：9.511．（2019山东德州）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO =70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO =50°，那么AC 的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【答案】1.02．【解析】解：由题意可得：∵∠ABO =70°，AB =6m ，∴sin70°=6AO AO AB ≈0.94， 解得：AO =5.64（m ），∵∠CDO =50°，DC =6m ，∴sin50°=6CO ≈0.77， 解得：CO =4.62（m ），则AC =5.64-4.62=1.02（m ），答：AC 的长度约为1.02米．故答案为：1.02．12．（2019山东临沂）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC的面积是 ．【答案】3【解析】解：∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延长CD到H使DH＝CD，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH3＝3，∴CD＝3，∴△ABC的面积＝2S△BCD＝2×12×4×3＝3，故答案为：313．（2019山东枣庄）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝．62．【解析】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC AB ＝，BF ＝AF ＝AB ，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD ＝BC ＝2，在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，DF 226AD AF -∴CD ＝BF +DF ﹣BC 26﹣262， 62．14．（2019山东聊城）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 至F ，使CF ＝12BC ，连接FE 并延长交AB 于点M ．若BC ＝a ，则△FMB 的周长为 ．【答案】92a ． 【解析】解：在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，∴∠A ＝30°，∴AB ＝2a ，AC 3．∵DE 是中位线，∴CE ＝32a ． 在Rt △FEC 中，利用勾股定理求出FE ＝a ，∴∠FEC ＝30°．∴∠A ＝∠AEM ＝30°，∴EM ＝AM ．△FMB 周长＝BF +FE +EM +BM ＝BF +FE +AM +MB ＝BF +FE +AB ＝92a ． 故答案为92a ． 三、解答题15．（2019山东淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE ＝∠DAC ．求证：∠E ＝∠C ．【答案】见解析【解析】证明：∵∠BAE ＝∠DAC∴∠BAE +∠CAE ＝∠DAC +∠CAE∴∠CAB ＝∠EAD ，且AB ＝AD ，AC ＝AE∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．∴∠C ＝∠E ．16．（2019山东菏泽）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．【答案】（2﹣6）海里．【解析】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意，得：∠BAD ＝60°，∠BCD ＝45°，AC ＝80，在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°，∴tan60°＝BD AD，∴AD在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD，BD＝80，∴AC＝AD+CD3∴BD＝120﹣3∴BC2BC＝2﹣6，答：BC的距离是（26）海里．17．（2019山东聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A 处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.002 1.41，3≈1.73）【答案】17米．【解析】解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝20，∴BE＝x﹣20，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣20），∴2（x﹣20）＝x，解得：x＝40（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝40∴CD＝CE﹣DE＝40﹣4033≈17（米），答：大楼部分楼体CD的高度约为17米．18．（2019山东临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．【答案】2km．【解析】解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2km，∴BD＝2km，即BD的长是2km．19．（2019山东潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB ＝200米，坡度为13；将斜坡AB 的高度AE 降低AC ＝20米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1：4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【答案】8017【解析】解：∵∠AEB ＝90°，AB ＝200，坡度为13∴tan ∠ABE 333=， ∴∠ABE ＝30°，∴AE ＝12AB ＝100， ∵AC ＝20，∴CE ＝80，∵∠CED ＝90°，斜坡CD 的坡度为1：4， ∴14CE DE =，即8014ED =， 解得，ED ＝320，∴CD 22803208017+=答：斜坡CD 的长是801720．（2019山东青岛）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42°方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，co s42°≈34，tan42°≈9 10）【答案】134米．【解析】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，则CE∥DF，∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴DF＝cos32°•BD＝80×1720≈68，BF＝sin32°•BD＝80×1732≈852，∴BE＝EF﹣BF＝1552，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE•tan42°＝68×910＝3065，∴AB＝AE+BE＝1552+3065≈134m，答：木栈道AB的长度约为134m．21．（2019山东威海）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝35，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．【答案】不会触碰到汽车货厢顶部，理由见解析．【解析】解：∵BH＝0.6米，sinα＝35，∴AB＝0.613sin5BHα==米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．22．（2019山东菏泽）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝，AD＝3，求△PDE的面积．【答案】（1）见解析；（2）910． 【解析】解：（1）∵△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE＝90°．∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAC ﹣∠EAF ＝∠EAD ﹣∠EAF ，即∠BAE ＝∠DAC ，∴△ABE ≌△ADC （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACD ，∵∠ABE +∠AFB ＝∠ABE +∠CFP ＝90°，∴∠CPF ＝90°，∴BP ⊥CD ；（2）在△ABE 与△ACD 中，90AE AD EAB CAB AB AC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACD ，BE ＝CD ，∵∠PDB ＝∠ADC ，∴∠BPD ＝∠CAB ＝90°，∴∠EPD ＝90°，∵BC ＝2，AD ＝3，∴DE ＝2，AB ＝6，∴BD ＝6﹣3＝3，CD 2235AD AC += ∵△BDP ∽△CDA ， ∴BD PD PB CD AD AC==， 3635PD PB ==， ∴PDPB∴PE＝，∴△PDE的面积＝1559 25510⨯⨯=．23．（2019山东枣庄）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN2AM．【答案】（1223；（2）证明见解析；（3）见解析．【解析】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∵AB＝2，∴AD＝BD＝DC2，∵∠AMN＝30°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM22）2，解得，DM＝33，∴AM＝AD﹣DM2﹣33；（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE2AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，∴△BME≌△AMN（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE2AM．。
中考数学专题复习卷 三角形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。
2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值X围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D【解析】：如图∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。
3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B【解析】如图，延长BC交AD于点E，∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，故答案为：B.【分析】延长BC交AD 于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。
4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。
2019年湖北省武汉市中考精选试题--三角形(含解析答案)
三角形一．选择题（共22小题）1．三角形两条边的长分别是4和10，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（）A．5B．6C．11D．162．已知a、b、c是△ABC的三边长，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的值是（）A．﹣2c B．2b﹣2c C．2a﹣2c D．2a﹣2b3．如图正六边形ABCDEF中，连接CF，∠FCD＝（）A．120°B．72°C．60°D．36°4．正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°5．已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以3，a，5为边的三角形，则a的整数解有（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．将四边形纸片ABCD按如图的方式折叠使C′P∥AB．若∠B＝120°，∠C＝90°，则∠CPR等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个8．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°9．如图一个五边形木架，要保证它不变形，至少要再钉上几根木条（）A．4B．3C．2D．110．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7B．8C．9D．1011．小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得800°，这个多边形应该是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形12．如图，已知P为直线l外一点，点A、B、C、D在直线l上，且P A＞PB＞PC＞PD，下列说法正确的是（）A．线段PD的长是点P到直线l的距离B．线段PC可能是△P AB的高C．线段PD可能是△PBC的高D．线段PB可能是△P AC的高13．如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A．B．C．D．14．若一个正n边形的每个内角为144°，则n等于（）A．10B．8C．7D．515．如图，点P是四边形ABCD内的一点，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，设∠C+∠D 的大小为x，∠P的大小为y，则x，y的关系是（）A．y＝2x﹣180°B．y＝x C．y＝x D．y＝180°﹣x 16．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（）A．360°B．540°C．180°或360°D．540°或360°或180°17．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC＝90°﹣∠ABD；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的度数为（）A．72°B．144°C．72°或144°D．无法计算19．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形（）A．6B．7C．8D．920．将多边形的边数由n条增加到（n+x）条后，内角和增加了540°，则x的值为（）A．1B．2C．3D．421．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB＝（）A．36B．72°C．108°D．144°22．四边形剪去一个角后，内角和将（）A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能二．填空题（共6小题）23．已知三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为5和1，则它的周长为．24．如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝．25．如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是．26．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了50米，则每次旋转的角度α为．27．如图，某人从点A出发，前进5m后向右转60°，再前进5m后又向右转60°，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了m．28．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝110°，则∠FEC＝°．三．解答题（共9小题）29．在△ABC中，∠B＜∠C，AQ平分∠BAC，交BC于点Q，P是AQ上的一点（不与点Q重合），PH⊥BC于点H．（1）若∠C＝2∠B＝60°，如图1，当点P与点A重合时，求∠QPH的度数．（2）当△ABC是锐角三角形时，如图2，试探索∠QPH、∠C、∠B之间的数量关系，并说明理由．30．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边AB于点D．（1）如图1，①若∠ABC＝40°，则∠AOC＝，∠ADO＝；②猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明你的理由；（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠AOC＝105°，∠F＝32°，则∠AOD＝°．31．（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为；（直接写出结果）②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？32．如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．33．同学们，学习几何一个重要方法就是要学会抓住基本图形，让我们今天来做一次研究性学习．（1）如图1所示的图形，像我们常见的学用品﹣﹣圆规．我们常把这样图形叫做“规形图”，那么请你观察“规形图”，试探究∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由：（2）如图2，若△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且它们相交于点O，试探究∠BOC与∠A的关系；（3）如图3，若△ABC中，∠ABO＝∠ABC，∠ACO＝∠ACB，且BO、CO相交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系式为．34．（1）如图1，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB．若∠A+∠B＝140°，求∠DEC的度数；（2）如图2，四边形ABCD沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABCD内的点C′、D′处，探索∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，将四边形ABCD沿着直线MN翻折，使得点D落在四边形ABCD外部的D′处，点C落在四边形ABCD内部的C′处，则∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的关系是．35．（1）如图1，请证明∠A+∠B+∠C＝180°（2）如图2的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D（3）如图3，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明（4）如图4，AB∥CD，P A平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明．36．如图，直线MN与直线PQ相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，若∠AOB＝80°，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B 在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的理由；若不发生变化，试求出∠AEB的度数；（2）如图2，若∠AOB＝90°，点D、C分别是∠P AB和∠ABM的角平分线上的两点，AD、BC交于点F．∠ADC和∠BCD的角平分线相交于点E，①点AB在运动的过程中，∠F的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的理由；若不发生变化，请求其度数．②点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的理由；若不发生变化，请求其度数．37．（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB．①若∠A＝50°，则∠O＝，∠P＝；②若∠A＝α，则∠O＝，∠P＝．（用含α的式子表示）（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P 与∠A，∠D的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在六边形ABCDEF中，CP，DP分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直接写出∠P与∠A，∠B，∠E，∠F的数量关系．参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．【解答】解：设此三角形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．故选：C．2．【解答】解：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣c﹣a+b＝2b﹣2c．故选：B．3．【解答】解：由正六边形ABCDEF可得∠BCD＝，由CF平分∠BCD可得∠FCD＝．故选：C．4．【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．5．【解答】解：解不等式①，可得x＜2a，解不等式②，可得x≥4，∵不等式组至少有三个整数解，∴a≥，又∵存在以3，a，5为边的三角形，∴2＜a＜8，∴a的取值范围是≤a＜8，∴a的整数解有4、5、6共3个，故选：B．6．【解答】解：∵C′P∥AB，∴∠BPC′＝180°﹣∠B＝60°，∴∠CPC′＝180°﹣∠BPC′＝120°，∴∠CPR＝＝60°．故选：C．7．【解答】解：①若n+2＜n+8≤3n，则，解得，即4≤n＜10，∴正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；②若n+2＜3n≤n+8，则，解得，即2＜n≤4，∴正整数n有2个：3和4；综上所述，满足条件的n的值有7个，故选：D．8．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．9．【解答】解：如图，要保证它不变形，至少还要再钉上2根木条．故选：C．10．【解答】解：设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4＝9．故选：C．11．【解答】解：设多边形的边数是n．依题意有（n﹣2）•180°≥800°，解得：n≥6，则多边形的边数n＝7；故选：B．12．【解答】解：A．线段PD的长不一定是点P到直线l的距离，故本选项错误；B．线段PC不可能是△P AB的高，故本选项错误；C．线段PD可能是△PBC的高，故本选项正确；D．线段PB不可能是△P AC的高，故本选项错误；故选：C．13．【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，故选：B．14．【解答】解：∵正n边形的一个内角为144°，∴正n边形的一个外角为180°﹣144°＝36°，∴n＝360°÷36°＝10．故选：A．15．【解答】解：∵四边形ABCD，∠C+∠D的大小为x，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣x，∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，∴∠P AB+∠PBA＝，∵∠P的大小为y，∴∠P＝180°﹣（∠P AB+∠PBA），即y＝180°﹣（360°﹣x）＝x，故选：B．16．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故选：D．17．【解答】解：∵AD平分∠EAC，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∴①正确；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°﹣∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴③错误；∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF，∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（∠EAC+∠ACF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（180°+∠ABC）＝90°﹣∠ABC，∴④正确；∠BDC＝∠DCF﹣∠DBF＝∠ACF﹣∠ABC＝∠BAC，∴⑤正确，故选：D．18．【解答】解：过点B作直线l3∥l1，∵l1∥l2，∴l3∥l2，∴∠2＝∠4，∠1+∠3＝180°①，∵∠3+∠4＝108°，①﹣②得∠1﹣∠2＝180°﹣108°＝72°．故选：A．19．【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．20．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，（n+x）边形的内角和是（n+x﹣2）•180°，则（n+x﹣2）•180°﹣（n﹣2）•180°＝540°，解得：x＝3，故选：C．21．【解答】解：∵正五边形的每个外角是360°÷5＝72°，∴∠OCD＝∠ODC＝72°，∴∠COD＝36°，又∵正五边形每个内角是108°，∴∠AOB＝360°﹣108°﹣108°﹣36°＝108°．故选：C．22．【解答】解：如下图所示：观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．内角和是：180°或360°或540°．故选：D．二．填空题（共6小题）23．【解答】解：∵三角形的两边的长为5和1，∴第三边的取值范围是4＜x＜6，∵三角形的三边长都是整数，∴第三边的长为5，∴周长为：5+5+1＝11，故答案为：11．24．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得多边形的边数为：，∴∠OAD＝．故答案为：140°25．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝＝140°．故答案为：140°．26．【解答】解：向左转的次数50÷5＝10（次），则左转的角度是360°÷10＝36°．故答案是：36°．27．【解答】解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，则60n＝360，解得n＝6，∴他第一次回到出发点A时一共走了：5×6＝30（m），故答案为：30．28．【解答】解：∵∠A+∠B＝110°，∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝70°，∵把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠AED＝∠FED，∵BC∥DE，∴∠AED＝∠C＝70°＝∠FED，∴∠FEC＝180°﹣∠AED﹣∠FED＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故答案为：40．三．解答题（共9小题）29．【解答】解：（1）∵∠C＝2∠B＝60°，∴∠B＝30°，∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵AQ平分∠BAC，∴∠BAQ＝∠QAC＝BAC＝45°，∴∠AQH＝∠B+∠BAQ＝30°+45°＝75°，∵PH⊥BC，∴∠PHQ＝90°，∴∠QPH＝∠QAH＝90°﹣75°＝15°；（2）如图2，过A作AG⊥BC于G，∴∠PHQ＝∠AGQ＝90°，∴PH∥AG，∴∠QPH＝∠QAG，设∠QPH＝∠QAG＝x，∵AQ平分∠BAC，∴∠BAQ＝∠QAC＝x+∠GAC，∵∠AQH＝90°﹣x，∴∠BAQ＝90°﹣x﹣∠B，∵AG⊥BC，∴∠GAC＝90°﹣∠C，∴x+90°﹣∠C＝90°﹣x﹣∠B，∴x＝（∠C﹣∠B），即∠QPH＝（∠C﹣∠B）．30．【解答】解：（1）①∵∠ABC＝40°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣40°＝140°，∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝70°，∴∠AOC＝180°﹣70°＝110°，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠ABC＝20°，∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴∠BDO＝70°，∴∠ADO＝110°，故答案为：110°，110°，②相等，理由设∠ABC＝α，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣α，∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝90°﹣α，∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+α，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠ABC＝，∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴∠BDO＝90°﹣，∴∠ADO＝180°﹣∠BOD＝90°+，∴∠AOC＝∠ADO；（2）由（1）知，∠ADO＝∠AOC＝105°，∵BF平分∠ABE，CF平分∠ACB，∴∠FBE＝ABE，∠FCB＝∠ACB，∴∠FBE＝∠F+∠FCB＝（∠BAC+∠ACB）＝∠BAC+∠FCB，∴∠BAC＝2∠F＝64°，∴∠DAO＝∠BAC＝32°，∴∠AOD＝180°﹣∠ADO﹣∠DAO＝43°．故答案为：110°，110°，43．31．【解答】解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°．故答案为180；（2）①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴，，，，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在四边形ABCD中，∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∵∠AOB＝110°，∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70°；②AB∥CD，理由如下：∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴，，，，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在四边形ABCD中，∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∴∠ADO+∠BOD＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝∠BOC＝90°．在∠AOD中，∠DAO＝∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°，∵，，∴，∴∠DAB+∠ADC＝180°，∴AB∥CD．32．【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∴∠OBA+∠OAB＝90°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝×90°＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；故答案为：135；（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n°），即∠ABC+∠BAC＝90°﹣n°，∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°；（3）∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的角平分线，∴∠ABC＝∠OBA，∠ABD＝∠NBA，∠ABC+∠ABD＝∠OBA+∠NBA，∠ABC+∠ABD＝（∠OBA+∠NBA）＝90°，即∠CBD＝90°，同理：∠CAD＝90°，∵四边形内角和等于360°，∴∠ACB+∠ADB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，由（1）知：∠ACB＝90°+n°，∴∠ADB＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°，∴∠ACB+∠ADB＝180°，∠ADB＝90°﹣n°；（4）∠E的度数不变，∠E＝40°；理由如下：∵∠NBA＝∠AOB+∠OAB，∴∠OAB＝∠NBA﹣∠AOB，∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的角平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠CBA＝∠NBA，∠CBA＝∠E+∠BAE，即∠NBA＝∠E+∠OAB，∠NBA＝∠E+（∠NBA﹣80°），∠NBA＝∠E+∠NBA﹣40°，∴∠E＝40°．33．【解答】解：（1）结论：∠BOC＝∠BAC+∠B+∠C．理由：如图1中，连接AO，延长AO到H．∵∠BOH＝∠B+∠BAH，∠CAH＝∠C+∠CAH，∴∠BOC＝∠B+∠BAH+∠CAH+∠C＝∠BAC+∠B+∠C．（2）结论：∠BOC＝90°+∠A．理由：如图2中，∵OB，OC是△ABC的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．（3）结论：∠BOC＝60°+∠A．理由：∵∠ABO＝∠ABC，∠ACO＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝60°+∠A．故答案为：∠BOC＝60°+∠A．34．【解答】解：（1）∵∠ADC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠B）＝220°，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC＝∠ADC，∠ECB＝∠DCE＝∠DCB，∴∠EDC+∠ECD＝（∠ADC+∠BCD）＝110°，∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ECD）＝70°．（2）根据四边形的内角和为360°可知，∠D+∠C＝360°﹣（∠A+∠B）∠DMN+∠CNM＝360°﹣（∠C+∠D）＝∠A+∠B，∵∠DMN＝∠D′MN，∠CNM＝∠C′NM，∴∠DMD′+∠CNC′＝2（∠A+∠B），∴∠AMD′+∠BNC′＝360﹣2（∠A+∠B）．（3）同理∠DMN+∠CNM＝∠A+∠B，∴180°﹣∠D′MA+∠C′NB＝540°﹣2（∠A+∠B），∴∠C′NB﹣∠D′MA＝360°﹣2（∠A+∠B）．故答案为：∠C′NB﹣∠D′MA＝360°﹣2（∠A+∠B）．35．【解答】解：（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，∵BA∥CE，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2，又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P＝180°+∠D+∠B，∴∠P＝90°+（∠B+∠D）；（4）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确．理由如下：作PQ∥AB，如图4，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5＝∠2，∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°．36．【解答】解：（1）∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠EAB＝∠OAB，∠EBA＝∠OBA，∵∠AOB＝80°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣80°＝100°，∴∠EAB+∠EBA＝（∠OBA+∠OAB）＝÷100°＝50°，∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝130°，即∠AEB的大小不会发生变化，为130°；（2）①∵点D、C分别是∠P AB和∠ABM的角平分线上的两点，∴∠F AB＝∠P AB＝（180°﹣∠OAB），∠FBA＝∠MBA＝（180°﹣∠OBA），∴∠F AB+∠FBA＝（180°﹣∠OAB）+（180°﹣∠OBA）＝（180°+∠AOB）＝90°+∠AOB，∵∠AOB＝90°，∴∠F＝180°﹣（∠F AB+∠FBA）＝90°﹣∠AOB＝45°，即∠F的大小不变，为45°；②∵∠ADC和∠BCD的角平分线相交于点E，同理可得，∠E＝90°﹣∠F＝67.5°，即∠CED的大小不会发生变化，为67.5°．37．【解答】解：（1）①解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣50°）＝115°；∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣50°）]＝65°；故答案为：115°；65°．②解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣α）＝90°+α；∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣α）]＝90°﹣α；故答案为：90°+α；90°﹣α，（2）解：∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．理由如下：∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠DCB）]＝（∠ABC+∠DCB）＝（360°﹣∠A﹣∠D）＝180°﹣（∠A+∠D）．（3）∠P＝180°﹣（∠GCD+∠HDC）＝180°﹣（180°﹣∠BCD+180°﹣∠CDE）＝（∠BCD+∠CDE）＝[（6﹣2）×180°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）]＝360°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）．故答案为：∠P＝360°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）。
2019届中考数学复习《三角形有关角的计算》专题综合练习含答案
2019届初三数学中考复习三角形有关角的计算专项复习综合练习1．如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是( )A．20° B．30° C．70° D．80°2. 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )A．3∠A＝2∠1－∠2 B．2∠A＝2(∠1－∠2)C．2∠A＝∠1－∠2 D．∠A＝∠1－∠23. 如图，在△ABC中，∠C＝60°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于( )A．360° B．240° C．180° D．140°4. 如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC(∠A＝60°)按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为( )A．105° B．110° C．115° D．120°5. 如图，直线AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°，则∠1的度数是( )A．80° B．85° C．90° D．95°6. 将直尺和三角板按如图的样子叠放在一起，则∠1＋∠2的度数是( )A．45° B．60° C．90° D．180°7. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果∠2＝60°，那么∠1的度数为( )A．60° B．50° C．40° D．30°8. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为( )A．60° B．75° C．65° D．70°9. 如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝( )A．118° B．119° C．120° D．121°10. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于( )A．90° B．80° C．70° D．60°11. 在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝____度．12. 如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_____°.13. 一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE 交于点M.如果∠ADF＝100°，那么∠BMD为_____度．14. 将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为__________.15. 一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为_____.16. 如图是由一副三角板拼凑得到的，且AE∥BC，则∠AFD的度数为________.17. 一副三角板如图方式摆放，若∠1＝33°，求∠2的度数．参考答案：1---10 BCBCB CDBCB11. 6012. 663513. 8514. 105°15. 75°16. 75°17. 解：∵∠1＝33°，∴∠3＝90°－33°＝57°，∴∠4＝∠3＝57°，∴∠5＝180°－57°－45°＝78°，∴∠2＝∠5＝78°2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件B ．天气预报“明天降水概率50%，是指明天有一半的时间会下雨”C ．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S 2=0.3，S 2=0.4，则甲的成绩更稳定D ．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7 2．下列运算正确的是（ ） A.3a ＋2a ＝a 5B.a 2·a 3＝a 6C.（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2D.(a ＋b)2＝a 2＋b 23．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边AD 于点F ；②再分别以B ，F 为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD 内部的点G 处；③连接AG 并延长交BC 于点E ，连接BF ，若3BF =， 2.5AB =，则AE 的长为( )A.2B.4C.8D.54．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B 、C 重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB 于点E ．设BP ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A. B.C. D.5．在不透明的袋子中装有9个白球和1个红球，它们除颜色外其余都相同，现从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球，则该事件是（ ） A ．必然事件 B ．不可能事件 C ．随机事件D ．以上都有可能6．下列四个点中，有三个点在同一条直线上，不在这条直线上的点是（ ）A ．（﹣3，﹣1）B ．（1，1）C ．（3，2）D ．（4，3）7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点G 、F 在BC 边上，四边形DGFE 是正方形．若DE ＝4cm ，则AC 的长为（ ）A ．4cmB ．C ．8cmD ．8．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1，D 1E 1E 2B 2，A 2D 2C 2D 2，D 2E 3E 4B 3，A 3B 3C 3D 3，…，按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3，…，在x 轴上已知正方形A 1，B 1，C 1，D 1，的边长为1，∠OB 1C 1＝30°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，…，则正方形A n B n ∁n D n 的边长是（ ）A ．12n⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭C．3D．13-9．已知关于x 的分式方程1311a x x +=--的解为正数，且关于x 的不等式组314143513x x x a -+⎧+>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的绝对值之和是（ ） A ．11B ．10C ．7D ．610．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE BC ∥，点F 在BC 上，AF 与DE 交于点G ，则下列结论中错误的是（ ）.A.AD AGBD FG= B.DG GEBF FC= C.AD AEDG GE= D.AG GEAF FC= 11．如果三角形的两边长分别为方程x 2﹣8x+15＝0的两根，则该三角形周长L 的取值范围是（ ） A ．6＜L ＜15B ．6＜L ＜16C ．10＜L ＜16D ．11＜L ＜1312．如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠DAC ＝26°，则∠OBC 的度数为( )A ．54°B ．64°C ．74°D ．26°二、填空题13．若二次根式x有意义，则自变量x 的取值范围是_____． 14．分式方程2133x x x =--的解为_____． 15．要了解全市中考生的数学成绩在某一范围内的学生所占比例的大小，需知道相应样本的______（填“平均数”或“频数分布”）16_____． 17．已知正比例函数2y x =-，那么y 的值随x 的值增大而________（填“增大或“减小”）18．已知32x y =，则x y x y-+=_____． 三、解答题19．如图，某轮船在点B 处，测得小岛A 在B 的北偏东60°方向，然后向正东方向航行60海里到点C 处，测得小岛A 在C 的北偏东30°方向．(1)求小岛A 到这艘轮船航行在点B 时AB 的长度．(2)若轮船继续往正东方向行驶40海里到点D 处，求AD 的距离(精确到1海里)．≈2.65)20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件，求：（1）若商场每件衬衫降价10元，则商场每天可盈利多少元？ （2）若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ （3）要使商场平均每天盈利1500元，可能吗？请说明理由．21．如图1，P （m ，n ）在抛物线y=ax 2-4ax （a ＞0）上，E 为抛物线的顶点．（1）求点E 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）若点P 在第一象限，线段OP 交抛物线的对称轴于点C ，过抛物线的顶点E 作x 轴的平行线DE ，过点P 作x 轴的垂线交DE 于点D ，连接CD ，求证：CD ∥OE ；（3）如图2，当a=1，且将图1中的抛物线向上平移3个单位，与x 轴交于A 、B 两点，平移后的抛物线的顶点为Q ，P 是其x 轴上方的对称轴上的动点，直线AP 交抛物线于另一点D ，分别过Q 、D 作x 轴、y 轴的平行线交于点E ，且∠EPQ=2∠APQ ，求点P 的坐标．22．在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC,小丽同学在点A 处,测得条幅顶端D 的仰角为30°,再向条幅方向前进10米后,又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°,已知测点A.B 和C 离地面高度都为1.44米,求条幅顶端D 点距离地面的高度(计算结果精确到0.1米, ≈1.732)23．解方程：123132x x --=+． 24．如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ． （1）求证：AC 平分∠DAB ； （2）连接BC ，若cos ∠CAD ＝45，⊙O 的半径为5，求CD 、AE 的值．25．（1）问题背景：如图1，在正方形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，连接MN ，且∠MAN ＝45°，将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，可证△AMG ≌△AMN ，易得线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系为： （直接填写）；（2）实践应用：在平面直角坐标系中，边长为5的正方形OABC的两顶点分别在y轴、x轴的正半轴上，O在原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ，当点A第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．如图2，设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC 的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论；（3）拓展研究：如图3，将正方形改为长与宽不相等的矩形，且∠MAN＝∠CMN＝45°，请你直接写出线段MN、BM、DN之间的数量关系．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．x≥﹣3且x≠0．14．x=2 315．频数分布1617．减小18．1 5三、解答题19．(1)小岛A到这艘轮船航行在点B时AB的长度是(2)若轮船继续往正东方向行驶40海里到点D处，AD的距离约是530海里．【解析】【分析】（1）如图，直角△ACE和直角△ABE有公共边AE，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AE表示出CE与BE，根据CB=BE-CE即可列方程，从而求得AE的长，然后根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）由（1）求得BE=90海里，则DE=10海里，在直角△AED中，利用勾股定理求得AD的长度即可．【详解】（1）如图所示，过点A作AE⊥BD于点E，则有∠ABE＝30°，∠ACE＝60°．∴∠CAB＝∠ABE，∴BC＝AC＝60海里．在Rt△ACE中，设CE＝x海里，则AC＝2x，AE，在Rt△ABE中，AB＝2AE＝x，BE＝3x，又∵BE＝BC+CE，∴3x＝60+x，∴x＝30．∴AE＝(海里)，∴AB＝2AD＝60海里)，答：小岛A到这艘轮船航行在点B时AB的长度是海里．（2）由（1）知，AE＝海里，BE＝90海里，则ED＝(40+60)﹣90＝10(海里)．∴在直角△AED中，利用勾股定理得：AD≈200×2.65＝530(海里)．答：若轮船继续往正东方向行驶40海里到点D处，AD的距离约是530海里．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．20．（1）商场每天可盈利1200元；（2）每件衬衫应降价15元；（3）不可能，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据降价10元求出每天盈利的钱即可；（2）设每件衬衫降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（3）设每件衬衫降价y元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】（1）降价10元，每天可多售出20件，（40﹣10）×（20+20）＝1200，答：商场每天可盈利1200元；（2）设每件衬衫降价x 元，依题意得：（40﹣x ）（20+10×5x ）＝1250， 化简得：x 2﹣30x+225＝0，解得：x 1＝x 2＝15，答：每件衬衫应降价15元；（3）不可能，理由是：假设每件衬衫降价y 元时，商场平均每天盈利1500元，（40﹣y ）（20+10×5x ）＝1500， 化简得：y 2﹣30y+350＝0，∵△＝900﹣1400＝﹣500＜0，∴原方程无实数根，则不可能．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．21．(1) E （2，﹣4a ）；(2)见解析;(3) P （2+1）．【解析】【分析】（1）将原式提取公因式然后化简即可解答（2）设直线OE 的解析式为：y ＝k x ，把E 点代入可得直线OE 的解析式为：y ＝﹣2ax ，由P （m ，n ）得直线OP 的解析式为：y ＝nx m ，得到C （2，2n m ），然后设直线CD 的解析式为：y ＝kx+b ，得到：k ＝﹣2a ，即可解答（3）当a ＝1时，抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x ，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x+3＝（x ﹣2）2﹣1，然后设P （2，t ），可得AP 的解析式为：y ＝tx ﹣t ，D （3+t ，t 2+2t ），Q （2，﹣1），E （3+t ，﹣1），再设PE 交x 轴于F ，即可解答【详解】解：（1）y ＝ax 2﹣4ax ＝a （x 2﹣4x+4﹣4）＝a （x ﹣2）2﹣4a ，∴E （2，﹣4a ）；（2）设直线OE 的解析式为：y ＝kx ，把E （2，﹣4a ）代入得：2k ＝﹣4a ，k ＝﹣2a ，∴直线OE 的解析式为：y ＝﹣2ax ，由P （m ，n ）得直线OP 的解析式为：y ＝nx m，∴当x ＝2时，y ＝2n m ，即C （2，2n m）， ∵D （m ，﹣4a ）， 设直线CD 的解析式为：y ＝kx+b ，将点D 和C 的坐标代入得：422km b a n k b m +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩（n ＝am 2﹣4am ）， 解得：k ＝﹣2a ，根据两直线系数相等，∴OE ∥CD ；（3）如图2，当a ＝1时，抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x ，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x+3＝（x ﹣2）2﹣1，∴Q （2，﹣1），A （1，0），B （3，0），设P （2，t ），可得AP 的解析式为：y ＝tx ﹣t ，联立方程组为：243y tx t y x x =-⎧⎨=-+⎩ ，解得：1110x y =⎧⎨=⎩ ，22232x t y t t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ ， ∴D （3+t ，t 2+2t ），∵Q （2，﹣1），∴E （3+t ，﹣1），∴PQ ＝QE ＝t+1，∴∠EPQ ＝45°，∵∠EPQ ＝2∠APQ ，∴∠APQ ＝22.5°，设PE 交x 轴于F ，∵∠DEP ＝45°，∴ME ＝FM ＝1，∴∠FPA ＝∠PAF ＝67.5°，∴PF ＝AF ＝t+1，∵FP，t ＝t+1， t+1， ∴P （2+1）．【点睛】此题为二次函数综合题，需要熟练掌握运算方法22．1m【解析】【分析】首先分析图形:根据题意构造直角三角形;本题涉及到两个直角三角形Rt △BCD 、Rt △ACD,应利用其公共边DC 构造方程关系式,进而可解即可求出答案【详解】在Rt △BCD 中,tan45°=1CD BC= ,∴CD=BC.在R △ACD 中,tan30°=3CD AC =∴CD AB BC =+∴10CD CD =+∴+∴5CD ===≈13.66(米) ∴条幅顶端D 点距离地面的高度为13.66+1.4=15.1(米)【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题关键在于利用其公共边DC 构造方程关系式 23．57x = 【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解【详解】解：2(1－2x)＝3(x －3)＋62－4x ＝3x －9＋6－4x －3x ＝－9＋6－2－7x ＝－557x=【点睛】此题考查解分式方程，掌握运算法则是解题关键24．（1）见解析；（2）CD＝245，AE＝145．【解析】【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥CD，则OC∥AD，根据平行线的性质得到∠2＝∠3，加上∠1＝∠3，所以∠1＝∠2；（2）连接BC、BE，BE交OC于F，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝∠ACB＝90°，在Rt△ACB中利用余弦定义可计算出AC＝8，则在Rt△ACD中可计算出AD＝325，从而利用勾股定理计算出CD＝245，利用四边形DEFC为矩形得到EF＝CD＝245，OF⊥BE，然后根据勾股定理可计算出AE．【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠2＝∠3，∵OC＝OA，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AC平分∠DAB；（2）解：连接BC、BE，BE交OC于F，如图，∵AB为直径，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，∵cos∠1＝cos∠2＝4=5ACAB，∴AC＝45×10＝8，在Rt△ACD中，cos∠2＝45＝ADAC，∴AD＝45×8＝325，∴CD245 =，易得四边形DEFC为矩形，∴EF＝CD＝245，OF⊥BE，∴BE＝2EF＝485，在Rt△ABE中，AE145 =，∴CD＝245，AE＝145．【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理和解直角三角形，解题关键在于作辅助线25．（1）MN＝BM+DN；（2）在旋转正方形OABC的过程中，P值不变；（3）MN2＝2BM2+2DN2 ，理由见解析．【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得出DN＝BG，由全等的性质可得出MG＝MN，结合MG＝BM+BG即可得出MN＝BM+DN；（2）将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE，易证△MON≌△EON（SAS），利用全等三角形的性质可得出MN＝EN＝CN+AM，再利用三角形的周长公式结合正方形的边长，即可求出S的值；（3）将△ABM绕点O逆时针旋转90°，得到△AB′M′，则△AMN≌△AM′N，利用全等三角形的性质可得出M′N＝MN，由∠C＝90°，∠CMN＝45°可得出CM＝CN，设BM＝a，DN＝b，CM＝c，则AD＝a+c，CD＝b+c，进而可得出M′F＝a﹣b，NF＝b+a，在Rt△M′FN中，利用勾股定理可求出M′N2＝2a2+2b2，进而可得出MN2＝2BM2+2DN2．【详解】解：（1）由旋转，可知：DN＝BG．∵△AMG≌△AMN，∴MG＝MN．∵MG＝BM+BG＝BM+DN，∴MN＝BM+DN．故答案为：MN＝BM+DN．（2）在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．证明：在图2中，将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE．由旋转，可知：OM ＝OE ，AM ＝CE ，∠AOM ＝∠COE ，∠MOE ＝90°．∵直线OM 的解析式为y ＝x ，∴∠MON ＝45°．∵∠MOE ＝90°，∴∠EON ＝45°．在△MON 和△EON 中，OH E MON EON ON N O O =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MON ≌△EON （SAS ），∴MN ＝EN ＝CN+AM ．∴S ＝BM+BN+MN ＝BM+AM+BN+CN ＝2AB ＝10，∴在旋转正方形OABC 的过程中，P 值不变．（3）MN 2＝2BM 2+2DN 2．理由如下：在图3中，将△ABM 绕点O 逆时针旋转90°，得到△AB′M′．由（2）可知△AMN ≌△AM′N，∴M′N＝MN ．∵∠C ＝90°，∠CMN ＝45°，∴CM ＝CN ．设BM ＝a ，DN ＝b ，CM ＝c ，则AD ＝a+c ，CD ＝b+c ，∴M′F＝AD ﹣AB′＝AD ﹣AB ＝a+c ﹣（b+c ）＝a ﹣b ，NF ＝DN+DF ＝DN+B′M′＝DN+BM ＝b+a ．在Rt △M′FN 中，M′N 2＝M′F 2+NF 2＝（a ﹣b ）2+（a+b ）2＝2a 2+2b 2，∴MN 2＝2BM 2+2DN 2．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用旋转及全等三角形的性质，找出MN=BM+DN；（2）利用全等三角形的性质，找出MN=EN=CN+AM；（3）通过构造直角三角形，利用勾股定理找出MN2=2BM2+2DN2．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A. B. C. D.2．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（）A．75°B．45°C．60°D．30°3．-4的相反数是( )A.-4B.4C.14D.144．下图是由个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（）[Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2019/5/18/2206392863694848/2206818096996352/STEM/cbb80a6d70324 77fa761eb6258ac924e.png]A. B. C. D.5．下列整式的计算正确的是（）A．2x﹣x＝1 B．3x•2x＝6xC．（﹣3x）2＝﹣9x2D．（x2）3＝（x3） 26．下列命题中，正确的是（）A．两条对角线相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形7．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示。
2019-2020年九年级数学中考专题练习 解直角三角形50题(含答案)
2019-2020年九年级数学中考专题练习解直角三角形50题（含答案）一、选择题：1.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底端G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )A.20米B.10 米C.15 米D.5 米2.若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为（）A. B. C. D.3.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定4.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关5.当锐角α>30°时，则cosα的值是（）A.大于B.小于C.大于D.小于6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,那么sinA+cosB的值为（）A.1B.C.D.7.如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A.2mB.2mC.(2﹣2)mD.(2﹣2)m8.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.10海里B.(10－10)海里C.10海里D.(10－10)海里9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A. B. C. D.10.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米211.已知∠A为锐角，且sinA≤0.5，则（）Ａ.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90°12.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A（2,4）,顶点为（﹣1,0）,则sinα的值是（）A.0.4B.C.0.6D.0.813.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A.22.48B.41.68C.43.16D.55.6314.2sin60°的值等于（）A.1B.C.D.15.在Rt△ABC中，∠ABC=90°、tanA=，则sinA的值为（）A. B. C. D.16.已知tanα=，则锐角α的取值范围是（）A.0°＜α＜30°B.30°＜α＜45°C.45°＜α＜60°D.60°＜α＜90°17.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端O点30米的B处，测得树顶4的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )A.米B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米18.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=4,则sinA的值为（）A. B. C. D.19.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A.kmB.kmC.kmD.km20.如图，要焊接一个等腰三角形钢架,钢架的底角为35°,高CD长为3米,则斜梁AC长为（）米．A. B. C.3sin35° D.二、填空题：21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin= ．22.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）23.如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为米．（保留根号）24.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（结果保留根号）．25.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．26.如图，李明在一块平地上测山高，现在B出测得山顶A的仰角为30°，然后再向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为60°，那么山高AD为米．27.如图,△ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE,若BE=5,BC=6,则sinC= ．28.某同学沿坡比为1：的斜坡前进了90米，那么他上升的高度是米．29.如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为米.30.同角三角函数的基本关系为：(sinα)2+(cosα)2=1, =tanα.利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα=2,则= ．31.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan ∠OBC为32.如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处．使斜边CD∥AB，则∠a的余弦值为__________．33.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosC= ．34. (1)如图1，如果ɑ，β都为锐角，且tanɑ=，tanβ=，则ɑ+β= ；(2)如果ɑ，β都为锐角，当tanɑ=5，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角ɑ，画出∠MON，使得∠MON=ɑ-β.此时ɑ-β= 度.35.如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为．36.在△ABC中，∠C=90°，若BC=5，AB=13，则sinA= ．37.如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3，AC=2，则sinB的值是．38.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF.以下结论：(1)△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为12.其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．39.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为．40.如图,等腰△ABC中,AB=AC，tan∠B=，BC=30,D为BC中点,射线DE⊥AC.将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A′,点B的对应点为B′）,射线A′B′分别交射线DA、DE于M、N.当DM=DN时,DM长为．三、解答题：41.如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=，求sinC的值．42.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°,求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）43.先化解,再求值:，已知，.44.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小刘在与BC相距24m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小刘的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）45.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1．6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0．8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）46.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．47.如图,小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）48.如图，某居民小区有一栋居民楼，在该楼的前面32米处要再盖一栋30米的新楼，现需了解新楼对采光的影响，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为37°时，求新楼的影子在居民楼上有多高？（参考数值：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）49.如图，在东西方向的海岸线l有一长为2km的码头AB，在码头的西端A的正西29km处有一观测站P，某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于P的南偏西30°，且与P相距30km 的C处；经过1小时40分钟，又测得该轮船位于P的南偏东60°，且与P相距10的D处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么该轮船能否正好行至码头AB靠岸？请说明理由．50.在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由参考答案1.A2.C3.C4.A5.D6.A7.B8.D9.D10.D11.C12.D13.B14.C15.A16.B17.C18.C19.B20.D21.答案为：0.5．22.答案为：（5+5）．23.答案为：10．24.答案为：。
天津市河西区2019届中考《三角形》专项强化练习(含答案)
2019年九年级数学中考复习三角形解答题强化练习1.如图，AB=DC，AC=DB，求证：AB∥CD．2.已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时，（1）A．B关于x轴对称；（2）A．B关于y轴对称．3.如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2．求证：BC=DE．4.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，求证：AB=CD，AD=BC．5.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．6.如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，O，F.若∠CAD=20°，求∠OCD的度数.7.如图,在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG.求证：（1）AD=AG;（2）AD与AG的位置关系如何?并证明你的结论.8.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？请说明理由．9.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．10.如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。
求证：BE⊥AC。
11.如图、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的长．12.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B13.如图，在等边三角形ABC中，点M是BC边上的任意一点（不与端点重合），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN．（1）求∠ACN的度数．（2）若点M在△ABC的边BC的延长线上，其他条件不变，则∠ACN的度数是否发生变化？（直接写出结论即可）14.如图,∠BAD=∠CAE=90o,AB=AD,AE=AC,AF⊥CF,垂足为F.（1）若AC=10,求四边形ABCD的面积；（2）求证：AC平分∠ECF；（3）求证：CE=2AF .15.在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，求∠BCE的度数；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2,当点D在线段BC上移动,则α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．参考答案1.证明：∵在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）．∴∠ABC=∠DCB（全等三角形的对应角相等）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．2.解：（1）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A．B关于x轴对称，∴，解得；（2）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A．B关于y轴对称，∴，解得：．3.证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC．即：∠BAC=∠DAE．在△ABC与又△ADE中，，∴△ABC≌△ADE．∴BC=DE．4.解：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC．5.证明：∵BE=CF，∴BC=EF．∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE．6.50°7. (1)证明：∵BE⊥AC∴∠AEB＝90∴∠ABE+∠BAC＝90∵CF⊥AB∴∠AFC＝∠AFG＝90∴∠ACF+∠BAC＝90,∠G+∠BAG＝90∴∠ABE＝∠ACF∵BD＝AC,CG＝AB∴△ABD≌△GCA （SAS）∴AG＝AD2、AG⊥AD证明:∵△ABD≌△GCA∴∠BAD＝∠G∴∠GAD＝∠BAD+∠BAG＝∠G+∠BAG＝90∴AG⊥AD8.证明：如图，连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．9.证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．10.证明：(1) AD为△ABC上的高，∴BDA=ADC =90.∵BF=AC,FD=CD.∴Rt△BDF≌Rt△ADC.(2)由①知∠C=∠BFD，∠CAD=∠DBF.∠BFD= ∠AFE，又∠CBE=∠CAD，∴∠AEF=∠BDF.∠BDF= 90，∴BE⊥AC.11.解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=15°，∵PD∥OA，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴∠BOC=∠DPO，∴PD=OD=4cm，∵∠AOB=30°，PD∥OA，∴∠BDP=30°，∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF，∴PE=PF=2cm．12.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD ∴AE=AB∵AD平分∠CAB ∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB ∠EAD=∠BAD AD=AD ∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B 且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B13.14.（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD∴∠BAC=∠EAD，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，（2）证明：∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=∠AEC=45°，由△ABC≌△ADE得：∠ACB=∠AEC=45°，∴∠ACB=∠ACE，∴AC平分∠ECF；（3）证明：过点A作AG⊥CG，垂足为点G，∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，∴AF=AG，又∵AC=AE，∴∠CAG=∠EAG=45°，∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，∴CG=AG=GE，∴CE=2AG，∴CE=2AF．15.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为（ ）个．A.1835B.1836C.1838D.18422．下列函数中，对于任意实数x ，y 随x 的增大而减小的是( ). A.y=x B.y= C.y=－x+2 D.y=2x 23．如图，将一副三角板如图放置，BAC ADE 90∠∠==，E 45∠=，B 60∠=，若AE //BC ，则AFD (∠= )A ．75B ．85C ．90D ．654．若x>y ，a<1，则（ ）A ．x>y+1B ．x+1>y+aC ．ax>ayD ．x －2>y －15．如图，5行5列点阵中，左右（或上下）相邻的两个点间距离都是1，若以图中的点为顶点画正方形，共能画出面积互不相等的正方形有（ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个6．在平面直角坐标系中，点P(m ﹣2，m+1)一定不在第( )象限．A ．四B ．三C ．二D ．一7．如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠ADC 的度数为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°8．在平面直角坐标系中，将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将y1向上平移2个单位长度B．将y1向上平移4个单位长度C．将y1向左平移3个单位长度D．将y2向右平移6个单位长度9．我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺．解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺．可列方程正确的是（）A.x2+52 ＝（x+1）2B.x2+52 ＝（x﹣1）2C.x2+（x+1）2 ＝102D.x2+（x﹣1）2＝5210．从0，1，2，3，4，5，6这七个数中，随机抽取一个数，记为a，若a使关于x的不等式组5514x xx a+<+⎧⎨->-⎩的解集为x＞1，且使关于x的分式方程62axx--＝2的解为非负数，那么取到满足条件的a值的概率为（）A．17B．27C．37D．4711．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B C D．12．下列式子值最小的是（）A．﹣1+2019 B．﹣1﹣2019 C．﹣1×2019D．2019﹣1二、填空题13．如图，点A是射线y═54x（x≥0）上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形ABCD ，过点A 的双曲线y ＝k x 交CD 边于点E ，则DE EC的值为_____．14．如图，已知函数3y x =-与y ＝ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的不等式23bx ax x+>-的解集为_____．15．一元二次方程x 2﹣x=0的根是_____．16α<<的整数a 的值为_____．17．一次数学活动课上．小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于_____．18．一个三角板(含30、60角)和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A ，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D 、点E ，且CD CE =，点F 在直尺的另一边上，那么BAF ∠的大小为_____°.三、解答题19．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高5米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时．（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：sin32°≈53100，cos32°≈106125，tan32°≈58．） 20．如图，已知⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆,点D 在圆上，过A 作AE ∥BC 交CD 延长线于E.（1）求证：EA 是⊙O 的切线；（2）若BD 经过圆心O ，其它条件不变，ADE 与圆重合部分的面积为_____.(在备用图中画图后，用阴影标出所求面积)21．如图，抛物线y ＝﹣13x 2+bx+c 经过点B （0）、C （0，2）两点，与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 从点C 出发沿线段CB 个单位长度的速度向点B 运动，作DE ⊥CB 交y 轴于点E ，以CD 、DE 为边作矩形CDEF ，设点D 运动时间为t （s ）．①当点F 落在抛物线上时，求t 的值；②若点D 在运动过程中，设△ABC 与矩形CDEF 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点的坐标为（﹣3，0），B 点在原点的左侧，与y 轴交于点C （0，3），点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C（如图1所示），那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值．23．在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，AB＝CF．(1)如图1，求证：DF＝DB；(2)如图2，若AF DF，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请写出图中所有度数与3∠FAE的度数相等的角．24．综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得学校1号楼顶部E的俯角为60︒，测得2号楼顶部F的俯角为45︒，此时航拍无人机的高度为50米．已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，B 为CD的中点，求2号楼的高度(结果保留根号)．25．为了解学生对博鳌论坛会的了解情况，某中学随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果记作“A 非常了解，B了解，C了解较少，D不了解．”四类分别统计，并绘制了下列两幅统计图(不完整)．请根据图中信息，解答下列问题：(1)此次共调查了______名学生；扇形统计图中D所在的扇形的圆心角度数为______；(2)将条形统计图补充完整；(3)若该校共有1600名学生，请你估计对博鳌论坛会的了解情况为“非常了解”的学生约有多少人？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．5 414．x＜﹣3或x＞0．15．x1=0，x2=116．答案不唯一：2、3、417．7518．15°三、解答题19．（1）受影响，见解析；（2）要使超市采光不受影响，两楼应相距32米．【解析】【分析】（1）利用三角函数算出阳光可能照到居民楼的什么高度，和5米进行比较．（2）超市不受影响，说明32°的阳光应照射到楼的底部C处，根据新楼的高度和32°的正切值即可计算．【详解】解：（1）受影响在RT △AEF 中，tan ∠AFE ＝tan32°＝5815AE AE EF ==， 解得：AE ＝753988=， 故可得EB ＝3520910588-=>， 即超市以上的居民住房采光要受影响．（2）要使采光不受影响，说明32°的阳光应照射到楼的底部C 处，即tan32°＝2058AB EF EF =≈， 解得：EF≈32米，即要使超市采光不受影响，两楼应相距32米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用．需注意作出常用的辅助线构造直角三角形求解．20．（1）见解析；（2）23π．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE 是⊙O 的切线；（2）如备用图，根据等边三角形的性质得到BD ⊥AC ，∠ABD=∠CBD=30°，∠BAD=∠BCD=90°，根据平行线的性质得到∠AED=∠BCD=90°，解直角三角形得到AD=2，连接OA ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】(1)证明：如图1，连接OA ，∵⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE ∥BC ，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE 是⊙O 的切线；（2）如备用图，∵△ABC 是等边三角形，BD 经过圆心O ，∴BD ⊥AC ，∠ABD=∠CBD=30°，∠BAD=∠BCD=90°，∵EA 是⊙O 的切线，∴∠EAD=30°，∵AE ∥BC ，∴∠AED=∠BCD=90°，∵∴AD=2，连接OA ，∵OA=OB ，∴∠OAB=OBA=30°，∴∠AOD=60°，∴△ADE 与圆重合部分的面积=S 扇形AOD -S △AOD =260212236023ππ⋅⨯-⨯=故答案为：23π【点睛】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定和性质，扇形的面积计算，正确的作出图形是解题的关键．21．（1）21233y x x =-++；（2）①3t =②203S t ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，216339S t t ⎛=-+-<≤ ⎝⎭，24293S t t ⎛⎫=-+<≤ ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）把B 、C 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）①点F 在抛物线上，作DG ⊥y 轴，FH ⊥y 轴，证明△CDG ≌△EFH ，根据全等三角形的性质有CG=HE ，GD=FH ，证明△CGD ∽△COB ，根据相似三角形的性质得到3,2CG HE DG FH t ====，表示出OH 的长度，即可求得点F 的坐标，最后将点F 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；②当0t <≤S=CD•DE；t <≤时，S=矩形DEGF 的面积-△GEH 的面积．t <≤时，.BCN BDM S SS -=【详解】解：（1）把()(),02B C ，两点代入抛物线解析式得：402,c c ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩解得：2b c ==，则抛物线解析式为21233y x x =-++； （2）①如图1所示，点F 在抛物线上，作DG ⊥y 轴，FH ⊥y 轴，易得△CDG ≌△EFH ，即CG ＝HE ，GD ＝FH ，由题意得：CD EF ==∵△CGD ∽△COB ，∴2CG ==即32CG HE DG FH t ====，，2,CE CD ==∴OH 2-，即3 ,22F t ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入抛物线解析式得： 219322,23432t ⎛⎫-+=-⨯+-+ ⎪⎝⎭解得：t=3； ②分三种情况考虑：（i ）如图2所示，△ABC 与矩形CDEF 重叠部分为矩形CDEF ，在Rt △CDE 中，60CD ECD =∠=︒，∴DE ＝3t ，230.S t t ⎛∴==<≤ ⎝⎭ （ii ）如图3所示，△ABC 与矩形CDEF 重叠部分为五边形CDHGF ，由题意得：CD = 在Rt △CED 中，∠ECD ＝60°，∴CE =∴2OE =-，在Rt △OGE中，24GE OE ==-，同理可得4EH t =即()1224GEH S GE EH t ⎛⋅=-=- ⎝⎭，则()22416;33339S t t t t ⎛--=-+-<≤ ⎝⋅⎝⎭⎭=- （iii ）如图4，△ABC 与矩形CDEF 重叠部分为四边形CDMN ，由题意得：4,3CN CD BD ==== 在Rt △BMD 中，DM =则,BCN BDM S S S -=1122CN BC BD DM =⋅-⋅，()1144232=⨯-⨯24.t t =+<≤⎝⎭【点睛】属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积等，综合性比较强，注意分类讨论.22．（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）存在．P，32）；（3）P 点的坐标为（﹣32，154），四边形ABPC 的面积的最大值为758． 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法直接将B 、C 两点直接代入y ＝x 2+bx+c 求解b ，c 的值即可得抛物线解析式；（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P点的纵坐标为﹣32，令y＝﹣32即可得x2﹣2x﹣3＝﹣32，解该方程即可确定P点坐标；（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC 的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ABCP的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标．【详解】（1）∵C点坐标为（0，3），∴y＝﹣x2+bx+3，把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，解得，b＝﹣2，∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．如图1，设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，当四边形POP'C为菱形时，则有PC＝PO，连接PP′，则PE⊥CO于E，∴OE＝CE＝32，令﹣x2﹣2x+3＝32，解得，x1x2＝22-（不合题意，舍去）．∴P，32）．（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OA交于点F，设P（x，﹣x2﹣2x+3），设直线AC的解析式为：y＝kx+t，则303k tt-+=⎧⎨=⎩，解得：13kt=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y＝x+3，则Q点的坐标为（x，x+3），当0＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴AO＝3，OB＝1，则AB＝4，S四边形ABCP＝S△ABC+S△APQ+S△CPQ＝12AB•OC+12QP•OF+12QP•AF＝12×4×3+12[（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3＝﹣32（x+32）2+758．当x＝﹣32时，四边形ABCP的面积最大，此时P点的坐标为（﹣32，154），四边形ABPC的面积的最大值为758．【点睛】此题考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．23．(1)证明见解析；(2)∠CAB，∠ABC，∠DFC，∠AFE与3∠FAE的度数相等，理由见解析.【解析】【分析】（1）由余角的性质可得∠DAB=∠DCE，由“AAS”可证△ADB≌△CDF，可得DF=BD；（2）由等腰三角形的性质可求∠DFB=∠DBF=45°，即可求∠ABD=∠DBF+∠ABF=67.5°，由全等三角形的性质可得∠CAB=∠DCF=∠ABD=∠AFE=67.5°=3∠FAE．【详解】(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB∴∠B+∠DAB＝90°，∠B+∠DCE＝90°∴∠DAB＝∠DCE，且∠ADB＝∠ADC＝90°，CF＝AB∴△ADB≌△CDF(AAS)∴DF＝BD(2)∠CAB，∠ABC，∠DFC，∠AFE与3∠FAE的度数相等，理由如下：如图：连接BF，∵DF ＝DB ，∠ADB ＝90°∴∠DFB ＝∠DBF ＝45°，BF DF ，且AF DF∴AF ＝BF∴∠FAE ＝∠FBE∴∠DFB ＝2∠FAE ＝2∠ABF ＝45°∴∠FAE ＝∠FBE ＝22.5°∴∠ABD ＝∠DBF+∠ABF ＝67.5°∴∠ABD ＝3∠FAE∵△ADB ≌△CDF∴∠DCF ＝∠ABD ＝∠AFE ＝67.5°＝3∠FAE ，AD ＝CD∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°∴∠CAB ＝67.5°＝3∠FAE【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．24．2号楼的高度为(50-米．【解析】【分析】过点E 作EG AB ⊥于G ，过点F 作FH AB ⊥于H ，由B 为CD 的中点可得EG=HF ，在Rt △AEG 中利用∠EAG 的正切函数可求出EG 的长，在Rt △AHF 中，根据∠HAF=45°可得AH=HF ，进而根据B FD HB A AH ==-即可得答案.【详解】过点E 作EG AB ⊥于G ，过点F 作FH AB ⊥于H ，则四边形,ECBG HBDF 是矩形，∴20,EC GB HB FD ===，∵B 为CD 的中点，∴EG CB BD HF ===，由已知得：906030EAG ∠=︒-︒=︒，∠HAF=90°-45°=45°，在Rt AEG 中，502030AG AB GB =-=-=米，∴30303EG AG tan =⋅︒=⨯=米，在Rt AHF 中，AH HF ==米，∴50FD HB AB AH ==-=-米)．答：2号楼的高度为(50-米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义利用辅助线构造直角三角形是解题关键.25．（1）120；54°；（2）补图见解析；(3) 400人．【解析】【分析】（1）由B 类别人数及其所占百分比可得；用总人数乘以D 类别人数占总人数的比例即可得；（2）先用总人数乘以C 类别的百分比求得其人数，再根据各类别百分比之和等于总人数求得A 的人数即可补全图形；（3）用总人数乘以样本中A 类别的人数所占比例即可得．【详解】（1）本次调查的总人数为48÷40%＝120（名），扇形统计图中D 所在的扇形的圆心角为360°×18120＝54°， 故答案为：120；54°；（2）C 类别人数为120×20%＝24（人），则A 类别人数为120﹣（48+24+18）＝30（人），补全条形图如下：（3）估计对文明城市的了解情况为“非常了解”的学生的人数为1600×30120＝400（人）． 答：该校对博鳌论坛会的了解情况为“非常了解”的学生约有400人．【点睛】 此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B ．C ．D．2．不等式组111324(1)2()xxx x a-⎧-<-⎪⎨⎪--⎩…有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣53．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（）A．360°B．540°C．180°或360°D．540°或360°或180°4．老师要求同学们设计一个测量某池塘两端A、B距离的方案，王兵设计的方案如下：如图，在池塘外选一点C，测得∠CAB＝90°，∠C＝30°，AC＝36m，则可知AB的距离为（）A．B．19m C．m D．m5．如图，在平面直角坐标系中直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，C是OB的中点，D是线段AB上一点，若CD＝OC，则点D的坐标为（）A.（3，9）B.（3，）C.（4，8）D..（4，7）6．如图，将矩形绕点顺时针旋转到知形的位置，旋转角为.若，则的大小是（）A.32°B.20°C.22°D.28°7．如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有( )A．15个B．16个C．17个D．18个8．某工厂接到加工 600 件衣服的订单，预计每天做 25 件，正好按时完成，后因客户要求提前 3 天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是( )A. B.C. D.9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，∠ADE=35°，∠C=120°，则∠A为（）A．60°B．45°C．35°D．25°10．如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC＝50°，∠ABC＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°11．直线y＝﹣2x+5分别与x轴，y轴交于点C、D，与反比例函数y＝3x的图象交于点A、B．过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF；下列结论：①AD＝BC；②EF∥AB；③四边形AEFC是平行四边形；④S△EOF：S△DOC＝3：5．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．412．已知点A （5，﹣2）与点B （x ，y ）在同一条平行于x 轴的直线上，且B 到y 轴的距离等于4，那么点B 是坐标是（ ）A ．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）B ．（4，2）或（﹣4，2）C ．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2）D ．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）二、填空题13．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝ ．D 为BC 边一点，且BD ：DC ＝1：2．以D 为一个点作等边△DEF ，且DE ＝DC 连接AE ，将等边△DEF 绕点D 旋转一周，在整个旋转过程中，当AE 取得最大值时AF 的长为_____．14．一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为______．15．如图所示，在平面直角坐标系中，(00)A ，，(20)B ，，1APB △是等腰直角三角形且190P ∠=︒，把1APB △绕点B 顺时针旋转180︒，得到2BP C △，把2BP C △绕点C 顺时针旋转180︒，得到3CP D △，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点2019P 的坐标为__________．16．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，∠BAC ＝46°，点 P 在线段 OB 上运动．设∠ACP ＝x°，则 x 的最小值为_________，最大值为________．17．已知函数1()(1)=+f x x x ，其中f （a ）表示当x ＝a 时对应的函数值，如1(1)12f =⨯,11(2),()23(1)f f a a a ==⨯+，则f （1）+（2）+f （3）+f （2019）＝_____． 18．因式分解：x 3-25x______．三、解答题19．先化简，再求值：（a ﹣2b ）（a+2b ）﹣（a ﹣2b ）2+8b 2，其中a ＝﹣6，b ＝1320．（1（﹣1）2﹣20190（2）化简：（a+2）2﹣a （a ﹣3）21．如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ，(1)若∠ADE ＝28°，求∠C 的度数；(2)若AC ＝6，CE ＝3，求⊙O 半径的长．22．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工．按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，最快列车时速是最慢列车时速的2920倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？23．如图，二次函数y ＝﹣14x 2+bx+c 的图象经过点A （4，0），B （﹣4，﹣4），且与y 轴交于点C ． （1）求此二次函数的解析式；（2）证明：AO 平分∠BAC ；（3）在二次函数对称轴上是否存在一点P 使得AP ＝BP ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．先化简再求值．222142444a a a a a a a ⎛⎫+-+-÷ ⎪---+⎝⎭ ，其中a 为满足不等式组102251a a a -<⎧⎨-<+⎩的整数解25．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=12，BC=4，求⊙O的半径．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题1314．55cm2 15．()4037,1 16．46︒90︒17．2019 202018．x（x+5）（x-5）三、解答题19．-8【解析】【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【详解】原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab，当a＝﹣6，b＝13时，原式＝﹣8．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（1）（2）7a+4．【解析】【分析】（1）先算二次根式、平方、零指数幂，再算加减法即可求解；（2）先算完全平方公式、单项式乘多项式，再合并同类项即可求解．【详解】（120(1)2019--11=-=；（2）2(2)(3)a a a +-- 22443a a a a =++-+＝7a+4．【点睛】考查了实数的运算，关键是熟练掌握二次根式、平方、零指数幂、完全平方公式、单项式乘多项式，合并同类项的计算法则．21．(1)∠C ＝34°；(2)⊙O 半径的长是92． 【解析】【分析】(1)连接OA ，根据圆周角定理求出∠AOC ，根据切线的性质求出∠OAC ，根据三角形内角和定理求出即可；(2)设OA ＝OE ＝r ，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【详解】解：(1)如图，连接OA ，∵∠ADE ＝28°，∴由圆周角定理得：∠AOC ＝2∠ADE ＝56°，∵AC 切⊙O 于A ，∴∠OAC ＝90°，∴∠C ＝180°﹣∠AOC ﹣∠OAC ＝180°﹣56°﹣90°＝34°；(2)设OA ＝OE ＝r ，在Rt △OAC 中，由勾股定理得：OA 2+AC 2＝OC 2，即r 2+62＝(r+3)2，解得：r ＝92， 答：⊙O 半径的长是92． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质和勾股定理等知识点，能求出∠OAC 和∠AOC 的度数是解此题的关键．22．京张高铁最慢列车的速度是180千米/时．【解析】【分析】设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时，则最快列车的速度是2920x 千米/时，根据等量关系：京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，列出方程求解即可．【详解】设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时，由题意，得17417418296020x x -=， 解得x ＝180，经检验，x ＝180是原方程的解，且符合题意，答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题主要用到公式：时间＝路程÷速度．23．（1）y ＝﹣14x 2+12x+2；（2）见解析；（3）存在．点P 的坐标为（1，﹣4）； 【解析】【分析】（1）将点A （4，0）与点B （−4，-4）代入函数解析式即可；（2）求出直线AB 的解析式，求出AB 与y 轴交点D （0，−2），可得OC ＝OD ，再由AO ⊥CD ，可证AO 平分∠BAC ；（3）二次函数的对称轴为直线x ＝1，设点P 的坐标为（1，m ），AP 2＝（4−1）2＋m 2，BP 2＝（1＋4）2＋（m4）2，当AP ＝BP 时，求出m ＝−4即可；【详解】（1）∵点A （4，0）与点B （﹣4，-4）在二次函数的图象上，∴044444b c b c=-++⎧⎨-=--+⎩， 解得122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为y ＝211242x x -++； （2）设直线AB 的解析式为y ＝ax+n则有4040a n a n +=⎧⎨-+=⎩， 解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线AB 的解析式为y ＝12x ﹣2， 设直线AB 与y 轴的交点为点D ，x ＝0，则y ＝﹣2，故点D 为（0，﹣2），由（1）可知点C 为（0，2），∴OC ＝OD又∵AO ⊥CD ，∴AO 平分∠BAC ；（3）存在．∵y ＝﹣14x 2+12x+2＝﹣14（x ﹣1）2+14+2， ∴二次函数的对称轴为直线x ＝1，设点P 的坐标为（1，m ），AP 2＝（4﹣1）2+m 2，BP 2＝（1+4）2+（m4）2，当AP ＝BP 时，AP 2＝BP 2，则有9+m 2＝25+m 2+16+8m ，解得m ＝﹣4，∴点P 的坐标为（1，﹣4）；【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用勾股定理求边长是解题的关键．24．11248,()()a a --+ 【解析】【分析】先算括号内的减法（通分后化成同分母的分式，再按同分母的分式相加减法则计算），同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，求出不等式组的整数解，取使分式有意义的数代入求出即可．【详解】解：原式＝21122(2)4a a a a a ⎡⎤---⋅⎢⎥--+⎣⎦ ＝212(2)4a a a --⋅-+ ＝1(2)(4)a a --+， 解不等式组得﹣1＜a ＜1，则a ＝0， 所以原式＝11248-=-⨯． 【点睛】本题考查了分式的加减、乘除法则和不等式组的整数解、分式有意义的条件等知识点，解此题的关键是把分式进行化简和确定字母的值，题目比较好．25．（1）直线CE 与⊙O 相切，理由详见解析；（2【解析】【分析】（1）连接OE ，由四边形ABCD 是矩形，得到∠3=∠1，∠2+∠5=90°，而OA=OE ，∠1=∠2，所以∠3=∠4，∠4=∠2，故∠4+∠5=90°得到∠OEC=90°，根据切线的判定定理即得到CE 是⊙O 的切线；（2）作OG ⊥AE 交线段AE 于G 点，根据tan ∠ACB=12先求出AB 的长度和DE 的长度，然后分别求出AG 和OG 的长度，利用勾股定理求出OA 的长度即可解答.【详解】（1）直线CE 与⊙O 相切．证明：如图，连接OE ，∵ 矩形ABCD 中，BC ∥AD ， ∴ ∠1=∠3．又∠1=∠2， ∴ ∠2=∠3．则∠3=∠4．∴ ∠2=∠4．∵ ∠2+∠5=90°， ∴ ∠4+∠5=90°．∴ ∠OEC=90°，即OE ⊥CE ， ∴ 直线CE 与⊙O 相切．（2）解：∵ tan ∠ACB=ABBC=12， BC=4．∴AB=BC·tan ∠ACB=2．又∠1=∠2．∴DE=DC·tan ∠DCE= DC·tan ∠ACB= 1．过点O作OG⊥AE于点G，则 AG=12AE=32．∵OG=AG·tan∠DAC= AG·tan∠ACB =32×12=34，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形和圆与直线的位置关系，准确识图是解题的关键.。