1.1集合的含义与表示
1.1集合的含义与表示
1. 集合的概念
集合：一般地, 指定的某些对象的全体称 为集合.
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元 素.
2. 集合与元素的关系
属 于：若元素a在集合中，就说a属 于A，记为a ∈ A 不属于：若元素a在集合中，就说a属 于A，记为a A
3.集合元素的性质
确定性：集合中的元素必须是确定的． 互异性：集合中的元素必须是互不相同的。 无序性：集合中的元素是无先后顺序的
(6) 2 3
N+ R
练
习
判断下列说法是否正确：
(1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2}√
(2) 若4x=3,则 xN
√ (3) 若x Q,则 x R × (4)若X∈N,则x∈N+ ×
5.集合的表示法
列举法：把集合中的元素一一列出来 描述法：用确定条件表示某些对象是否属 于这个集合的方法． 格式：{ x | p(x) } 其中x是元素，p(x)是集合中元素所满足 的条件 图示法（Venn图）：用封闭曲线内部表 示集合
（ 4）
2 y x 1
课堂小结 1．集合的定义; 2．集合元素的性质：确定性，互 异性，无序性； 3．数集及有关符号； 4. 集合的表示方法； 5. 集合的分类.
课堂练习 1.若M={1，3}，则下列表示方法 正确的是（ ） A． 3 M C． 1 M B．1 M
观察下列四个集合，有什么不一样？
（ 1）
A
2 y | y x 1
（ 2）
2 B x | y x 1
（ 3）
C x, y D
【数学】1.1.1集合的含义与表示
3、元素与集合的关系
关系 元 素 与 集 合 的 关 系 概念 记法 读法
如果a是集合A中的 于 属于 元素，就说a属于集 a∈A 集合 合A 如果a不是集合A中 不 的元素，就说a不属 a∉A 属于 于集合A
a属 A a不 A
属于 集合
4、常用的数集及记法 名称 意义 记法 非负整数集 全体非负整数组成的 N (自然数集) 集合 所有正整数组成的集 * 正整数集 N 或N＋ 合 整数集 有理数集 实数集 全体整数组成的集合 全体有理数组成的集 合 全体实数组成的集合 Z Q R
练习2：已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a ＋3}，若1∈A，求实数a的值．
解：若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}， 与集合中元素的互异性矛盾，应舍去； 若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意． 当 a ＝－ 2 时， A ＝ {0,1,1} ，与集合中元素的互 异性矛盾，舍去； 若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)． 综上可知，a＝0.
例4
用适当的方法表示下列集合．
* *
(1)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N ，y∈N }；
6 ； ∈ Z| x ∈ N (2)B＝ 1＋x
(3)方程 x ＋y －4x＋6y＋13＝0 的解集； (4)平面直角坐标系中所有第二象限的点．
先明确集合中元素的特点，再选择 适当的方法来表示．
（4）我国古代四大发明； （5）抛物线y=x2上的点．
知识梳理： 1、定 义 一般地, 指定的某些对象的全体称 为集合. 集合中每个对象叫做这个集合的元素.
2、集合与元素 (1)、元素：一般地，我们把研究对象统 称为元素，元素常用小写拉丁字母 a ， b ， c„表示． (2)、集合：把一些元素组成的总体叫做 集合 ( 简称集 ) ，集合通常用大写拉丁字 母A，B，C，„表示． (3)、集合元素的三个特性：确定性、互 异性、无序性．
1.1.1集合的含义与表示
3≠x 3 ≠ x ²- 2x x ≠ x ²- 2x 解得x ≠ -1， x ≠ 0，且x ≠ 3
讨论题2： 集合A={1,3,5}与集合 B={3,1,5}是同一集合吗？
解：根据集合的三要素，可以知道两个 集合是同一集合．
讨论题3： 若{1,2}={a－2,2h}，则求 a, h？
知识要 点
集合的表示方法之二： 像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号 “{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
课堂检测： 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数； （2）方程 x2 + 3x + 2 = 0 的解； （3) 小于10的所有奇数．
解：（1）A={0，1，2,3,4,5,6,7,8,9}
1.地球上的七大洲这一集合可以表示成什么呢？ 2. 12的所有约数可以表示成什么呢？ 3.方程x－1=0的解的集合可以表示成什么呢？
1.地球上的七大洲可表示为{亚洲，非 洲，南极洲，北美洲，南美洲，欧 洲，大洋洲}．
2.12的所有约数可表示为{1，2，3， 4，6，12}.
3.方程x-1=0的解集可以表示为{1}.
⑵ 方程 x2 5x 6 0的解集．
用列举法表示集合时，不必考虑
分析 这两. 个元集素合的都排是列有顺序限,集但是．列举的元素 （1）题的元素不可能以出现直重接复列．举出来； （2）题的元素需要解方程 x2 5x 6 0 得到．{-1,6}.
高教社
课堂练习：P5，上，练习。3
个元素，求a的值和这个元素．
解：A中只有一个元素， （1）当a=0时，4x+4=0，x=4
A={-1}；
（2）当a 0时， 16-16a=0,a=1 即x2+4x+4=0 ，x=-2 A={-2}.
1.1.1 集合的含义与表示
有理数于3小于11的偶数； { 4,6,8,10 } A=
②1∼10以内的奇数；
1、列举法 B= { 1,3,5,7,9 }
就是将集合中的元素一一列举出来并放在 大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内； 3、别忘了大括号。
例1.用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合 (2)方程
{ x | p(x) }
x为该集合的 代表元素 p(x)表示该集 合中的元素x 所具有的性 质
例如：x―7<3的解集可以表示为：
｛x∈R|x<10｝
例2.用描述法表示下列集合：
1. 小于10的所有有理数组成的集合； 2. 所有偶数组成的集合； 2 3. 二次函数 y x 2 的函数值组成 的集合； 2 4. 抛物线 y x 2 上的点组成的 集合；
4、集合与元素的关系:
若a是A中元素，记为
a A,
若a不是A中元素，记为
a A
5、有限集：元素个数有限的集合. 无限集：元素个数无限的集合.
集合的三种表示方法：
1、列举法：
2、描述法：
3、图示法：
集合中元素具有 确定性 互异性 无序性
一般 地：我们用小写拉丁字母a,b,c…表示元 素，用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合.
若a是A中元素，记为 a A 若a不是A中元素，记为 a A
1、常见数集的表示
N：自然数集（含0）即非负整数集 N+或N*：正整数集（不含0) Z: 整数集
Q：
R：
练习，用适当的方法表示下列集合
1. 小于100的自然数组成的集合； 2. 不等式 2 x 3 3x 的解集 2 3. 方程 x x 6 0 的解集
1.1集合的概念及表示
1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。
1.1.1集合的含义与表示
一、集合的含义 1.什么是集合？
一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元 素组成的总体叫做集合（简称为集）。
元素：用小写字母a,b,c...表示 集合：用大写字母A,B,C...表示
2.集合与元素的关系 • 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 a A 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，
• 正整数集：N*或N+ • 整数集：Z
• 有理数集：Q
• 实数集：R
二、集合的表示
• 列举法：把集合的元素一一列举出来，写在大括号内 注：1.元素之间要用逗号隔开 2.元素不能重复
如：地球上的四大洋组成的集合表示为｛太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋｝
方程（x 1)( x 2) 0 组成的集合表示为｛1，-2｝
梦 境
集合？ 例:(1)1~20内的所有整数 1，2，3，4，5..... • (2)亚洲的所有国家 中国，韩国，日本，印度..... • (3)所有的正方形 • (4)方程x2 3x 2 0 的所有实数根 - 1 , - 2 • (5)化德一中2020年9月入学的所有高一学生
二、集合的表示
• 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合 注：集合的代表元素
如：不等式 x 7 3的解集，共同特征：x R ,且 x 7 3
集合表示为：｛x R x 10｝
列举法主要针对集合中元素个数较少的情况，而描述法 主要适用于集合中的元素个数无限或不宜一一列举的情况
记作 a A
• 例：1~20内的所有素数记为集合A，则 3 A，4 A
素数：除1和它本身外，不能被其他自然数整除的 数。
判断下列对象能否组成集合： • 1.小于6的正整数 • 2.大于3小于11的偶数 • 3.中国男子足球队中技术很差的队员 • 4.中国的富翁 • 5.爱好足球的人 • 6.世界上所有的高山
1.1.1集合的含义与表示
3
2.集合: 集合常用大写字母表示，元素常用小 写字母表示.
一般用大括号”{ }”表示集合,也常用 大写的拉丁字母A、B、C…表示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
4
3.集合与元素的关系: 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA. 例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.
Hale Waihona Puke 12• 例2试分别用列举法和描述法表示下 列集合： • (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集 合； • (2)由大于10小于20的所有整数组成 的集合。 思考题 结合此例,试比较用自然语言、 列举法和描述法表示集合时各自的特点和 适用的对象。
13
• 练习与思考 教材P5练习1、2
14
课堂小结
那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?
7
判断下列例子能否构成集合 中国的直辖市
√
× ×
身材较高的人
著名的数学家
高一(3)班眼睛很近视的同学
×
注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词 都不能构成集合
8
5.集合的表示方法 1、列举法： 无序 互异
将集合中的元素一一列举出来，并 用花括号{ }括起来的方法叫做列 举法
5
4.常用的数集:
N：自然数集(含0)
N+或N*：正整数集(不含0)
Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集
6
5.集合元素的性质: ⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
高中数学课件-1.1.1集合的含义与表示
a
c
包裹
b
◣2：元素与集合的关系◢
如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A ，记作a∊A；如果a不 是集合A的元素，就说a 不属于集 合A ，记作a∉A。
例如，用A表示“ 大于1小于10的所有偶
数”组成的集合，则有4 ∊A，3 ∉A，等
等。
3：常用数集的专用记号:
集合 （非自负然整数数集）正整数集 整数集 有理数集 实数集
具有的属性描述出来，如﹛自然数﹜
（2）符号描述法——用符号把元素所 具有的属性描述出来，即{x| P（x）}或 {x∈A| P（x）}等。
{ x∈A | P（x） }
可以是多个呵
代表元素
满足的条件
{ x | P（x）}
例2．请用描述法表示下列集合： （1）方程 x2 2 0的所有解组成集合.
新课导入 — 观察下列对象：
(1) 14班的所有同学 (2)大于1小于10的所有偶数 (3)丰城九中校园所有的树 (4) 坐标轴上所有的点
一、集合的含义
1、集合的含义： 把所指对象的全体叫做集合（简
称集）， 把集合里的每一个对象叫做
为元素。用大写字母A，B，C…表示 集合，用小写字母a,b，c …表示集合 中的元素
（2）大于10小于20的所有整数组成的集合.
四.回顾交流：
本节课我们学习了那些内容？
集合的含义,集合元素的性质： 确定性，互异性，无序性
元素与集合的关系： ∊， ∉。
3：集合的表示法:列举法,描述法
试试看,行吗?
1.方程组
x
x
y yLeabharlann 2 5的解集用列举法表示为________；用描述法表示为 .
记号
N
1.1.1集合的含义与表示
2
用列举法表示为A = { 2 ,− 2}.
(2)设大于 小于20的整数为 , 它满足条件 ∈ Z 10 x x 且10 < x < 20,因此, 用描述法表示为 B = {x ∈ Z | 10 < x < 20}. 大于 小于20的整数有 ,12,13,14,15,16,17,18, 10 11 19,因此, 用列举法表示为 B = {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
我们以前已经接触过的集合: 我们以前已经接触过的集合
自然数集合，正分数集合，有理数集合； 自然数集合，正分数集合，有理数集合； 到角的两边的距离相等的所有点的集合； 到角的两边的距离相等的所有点的集合；
是角平分线
到线段的两个端点距离相等的所有点的集合； 到线段的两个端点距离相等的所有点的集合；
是线段垂直平分线
1.1.1 集合的含义与表示
1、集合的含义： 、集合的含义：
把研究对象统称为元素， 把研究对象统称为元素，把一些 元素 元素组成的总体叫做集合 简称集）。 集合（ 元素组成的总体叫做集合（简称集）。 用大写字母A， ， 表示集合， 用大写字母 ，B，C…表示集合，用 表示集合 小写字母a,b， 小写字母 ，c …表示集合中的元素 表示集合中的元素
2、 若方程x2－5x+6=0和方程 若方程x 5x+6=0和方程 x2－x－2=0的解为元素的集合 则 2=0的解为元素的集合M,则 的解为元素的集合 M中元素的个数为 （ C） 中元素的个数为 A．1 ． B．2 ． 3、已知集合 、 C．3 ． D．4 ．
集合的含义及其表示
1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a 、b 、c 、p 、q ……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
①我国的直辖市；②十四中高一③班全体学生；④较大的数⑤young 中的字母；⑥大于100的数； 2．关于集合的元素的特征： ①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
②互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
③无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； ①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （不能把a ∈A 颠倒过来写） 4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
5. 集合的分类①有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合； ②无限集：集合中元素的个数是不可数的； ③空集：不含有任何元素的集合，记做∅. 6．常用数集的记法：①非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N②正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{},3,2,1*=N③整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z ④有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q⑤实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：①自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0②非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *7．集合的表示方法：①自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
1.1.1集合的含义与表示
集合
无限集（元素的个数是无数多个）
空集 ø（集合中不含有元素）
集合的另一种表示方法：图示法
为了形象，常常用一条封闭曲线的 内部表示一个集合 。 （称为韦恩图 或文氏图）
A
小结
集合与元素
集合与元素的关系： ∈ 、 集合的表示法：1、列举法；2、描述法；
3、图示法
集合的分类：有限集、无限集、空集。 集合中元素的特性: 确定性、互异性、 无序性
例1
具有下列特征的对象能否构成一个集合:
(1) 体重很重的人.
(2) 直角坐标平面内第二象限的点.
(3) 直角坐标平面内某些点.
(4) 不大于5 的实数. (5) 方程x2- 3 x=0的有理数解. 解:(1)不能. “体重很重”的标准不明确。 (2)能.横坐标小于0且纵坐标大于0的点都是第二象限的点. (3)不能.“某些”指哪些？标准不明确. (4)能.就是小于或等于5的数. (5)能.该方程的有理数解为x=0
集合的含义与表示
[来源:学_科_网]
一，集合的定义
定义大西洋，印度洋，北冰洋”组成一个集合。
集合表示方法：
A)大括号表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} B)大写拉丁字母表示： A={太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
二，元素：集合中的每个对象叫做这个集合的
练习3 P6 4
练习4：用描述法表示下列集合：
（1）{ 4，6，8，10，12 }
（2）不在坐标轴的点的集合。
（3）被5除余1的自然数的集合。
答案:(1){x|x=2k,1<k<7,k∈z}
(2){(x,y)|x≠0且y≠0}
(3){x|x=5k+1,k∈z}
集合1.1节集合的含义和表示-1.2节集合的基本关系
1.集合的含义与表示集合的概念： 指定的某些对象的全体称为集合。
常用大写字母A ，B ，C ，D …标记 集合中的每个对象叫作这个集合的元素。
常用小写字母a ，b ，c ，d …标记元素与集合间的关系：常用的数集： 自然数集，记作N ； 正整数集，记作N+ ； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R集合中的元素的三个特性：确定性；互异性；无序性集合的表示方法：1.把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫列举法2. 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法.空集：不含有任何元素的集合叫作空集，记作一．.集合的判定例1.判断下列各组对象能否构成集合？（1）不小于20且不大于2015的所有正整数。
（2）方程062=--x x 的实数根。
（3）比较高的人。
二．元素与集合关系的判断例2.给出下列系：①;21R ∈ ②;3Q ∉ ③;3N ∉- ④;3Q ∈- ⑤N ∉0 其中正确的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4三．依据集合中元素的性质求参数的范围例3.求集合{}x x x ,2,2-中的元素x 的取值范围。
四．利用列举法表示集合例4. 用列举法表示集合 ,;a A A A a a ∈属若在集合中,就说集合记作于,;a A A a a A ∉不若不在集合中,说集合记作属于就① 方程()0122=++-y x 的解集； ② 正偶数组成的集合；③ 奇数组成的集合；④ 化简式子y y x x +所得的结果构成的集合。
⑤ 方程0122=++x x 的解集。
五．已知用其他方法表示的集合，试用描述法表示例5. 用描述法表示集合① 被3除余1的正整数组成的集合；② 坐标平面内第一象限的点组成的集合；③ 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,2,1④六．集合的相等问题例6.下列各集合M 与N 中，表示相等的集合是A. (){}{}1,0,1,0==N MB. (){}(){}0,1,1,0==N MC. (){}(){}10,,1,0====y x y x N M 且D. {}{}14.3,==N M π例7.已知集合{}0,,,1,,2b a a B a b a A +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=，若A=B ，求20152015b a +的值。
1.1集合的概念及表示
3.无序性:集合中的元素是没有先后顺序的. 也就是说,集合中元素的排列次序与顺序无关.
“3，2，1”组成的集合. “2，3，1”组成的集合.
“1，3，2”组成的集合.
它们表示同一个集合.
数集的分类:
根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两 大类： 1.有限集
含有有限个元素的集合称为有限集. 2.无限集 若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集.
例4 判断下列说法是否正确： (1){x2,3x+2,5x3-x}即{5x3x,x2,3x+2}； (2)若4x=3,则x N； (3)若x Q,则x R； (4)若x ∈N,则x∈N+.
√ √ × ×
集合的表示方法
1.列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表 示集合的方法.
答案：D
练一练
例2 给出下面几个关系式：
1 2 R,0.3 Q,0 N ,0 N , N * , 2 Z ,5 Z
*
其中正确关系式的个数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 答案：A
练一练
2 k 例3 集合A中含有两个元素 k 和 2 k ， 求实数 k 的取值范围。
有些集合的元素较多，元素的排列又呈现一 定的规律，在不致于发生误解的情况下，也 可列出几个元素作为代表，其他元素用省略 号表示。 例：不大于100的自然数的全体构成的集合， 可以表示为： {0，1，2，3，…，100}
无限集有时也可以用上述的列举法表示。 例：自然数集N可以表示为： {0，1，2，3，…，n，…}
例题展示
例1 下列对象能构成集合吗？为什么？ 1.著名的科学家； 2.1,2,2,3这四个数字；
高中数学 1.1集合的含义及其表示
1.1集合的含义及其表示一.课标解读1.《普通高中数学课程标准》明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.”2.重点:集合的概念与表示方法.3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合.二.要点扫描1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合A 给定，若有一具体对象x ，则x 要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。
设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系集合与元素之间只有“属于)(∈”或“不属于)(∉”。
例如：a 是集合的元素，记作A a ∈，读作“属于”；不是集合的元素，记作A a ∉，读作“不属于”。
4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。
特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。
5.集合的表示方法⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
A A A A A a A a A a A例如：集合A 可以用它的特征性质)(x p 描述为{)(x p I x ∈}，这表示在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质)(x p 。
1.1.1 集合的含义与表示
C={x | x=2n，n N }
四、集合的表示
(3)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的 方法称为描述法。
A={x R | x<10 } B={x R | x2 -2=0 } C={x Z | 10<x<20 }
(4)若C { x N | 1 x 10}, 8 ____ C, 9.1____C
五、巩固练习
(1)所有偶数组成的集合：
{x | x 2k,k Z }
数集
(2)不等式2 x 3 0的解集： { x | 2 x-3<0}
不等式的解集
(3)函数y x 1的自变量的值组成的集合：
否
② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合? 能 ③ 2, 4, 2 这三个数能否组成一个集合？ 否
②互异性：集合中的元素是互异的。即集合元素是没 有重复现象的。 (互不相同)
二、集合中元素的特征
① 高一级身高较高的同学，能否构成集合?
否
② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合? 能
常见的数集及其记法：
自然数集 N 整数集 Z
正整数集 N*或N 有理数集 Q
实数集 R
一、集合的含义
一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些 元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合， 小写的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素.
问题：如何理解“把一些元素组成的总体叫做 集合”，这些集合里的元素必须具备什么特征？
高一级所有的同学组成的集合记为A， a是高一(7)班 的同学，b是高二(7)班的同学，那么a与A，b与A之 间各自有什么关系？
1.1.1集合的含义与表示
D
)
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瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
9．若 x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素 x 应满足的条件是__________．
3≠x， 2 解析：由集合中元素的互异性知3≠x －2x， x≠x2－2x，
解之得 x≠－1，且 x≠0，且 x≠3.
答案：x≠－1，且 x≠0，且 x≠3
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10．已知集合 A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}． (1)若 A 中只有一个元素，求 a 的值；(2)若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围．
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4．设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若 P＝{0,2,5}， Q＝{1,2,6}，则 P＋Q 中元素的个数是( B ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6
解析：集合 P＋Q 的含义就是 P、Q 集合中各取一个因素之和的不同值的个数，有 0＋ 1,0＋2,0＋6,2＋1,2＋2,2＋6,5＋2,5＋6，共 8 个，故选 B.
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|a| |b| 6．设 a，b 是非零实数，那么 ＋ 可能取的值组成的集合是______． a b
解析：当 a、b 同正时值为 2，当 a、b 同负时值为－2，当 a、b 异号时值为 0，故组成 的集合是：{－2,0,2}．
答案：{－2,0,2}
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1.1集合的含义与表示(课堂使用)马凤英2013
四、常用数集及记法
思考：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实 数能否分别构成集合？
自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数 集等一些常用数集，分别用下列符号表示：
自然数集（非负整数集）：记作 N 正整数集：记作 N *或 N 整数集：记作 Z 有理数集：记作 Q 实数集：记作 R
快速做答：
1.1
集合
一、集合的含义
集 合
“集合”是日常生活中的一个常用词， 现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.
思考：怎样理解数学中的“集合”？
新课引入 有一位牧民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的 意义，于是他请教一位数学家：“尊敬的先生，请你告诉我 集合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答．一 天，他看到牧民正在向羊圈里赶羊，等到牧民把羊全赶进羊 圈并关好门．数学家突然灵机一动，高兴地告诉牧民：“这 就是集合”．你能理解集合了吗？集合就是把需要的东西拿 到一起．
（3）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星。 （4）所有的正方形。
（5）高一（1）班全体同学。
（6）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家。 ①以上各例（构成集合）有什么特点?请大家讨论． ②我们能否给出集合一个大体描述? ③上述六个例子中集合的元素各是什么?
1．集合： 一般地，把一些能够确定的不同的 对象看成一个整体，就说这个整体是由 这些对象的全体构成的集合（简称集）。 2．集合的元素： 构成集合的每个对象统称为元素。
y x2
x
o
课堂小结
1．集合的含义; 2．集合元素的性质：确定性，互 异性，无序性； 3.元素和集合的关系：属于，不属于 4．数集及有关记法； • 集合的表示方法:列举法、描述法、 Venn图 • 能灵活的用自然语言、列举法、和描 述法对集合进行等价转化。
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(4)坐标平面内坐标轴上的点集．
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第一章 集 合
[思路分析]
当集合中元素较少且容易一一列举出来可用列举法；用描述法
表示集合，关键是理解题目中元素是什么，满足什么条件．解答(1)可联立方程 求解．解答 (2) 可先解方程，再按要求改写． (3) 、 (4) 可根据集合中元素性质改 写．
1．集合、元素 (1)集合定义 某些对象 的全体称为集合． 一般地，指定的__________ (2)集合的记法 大写字母A，B，C，D，„ 标记． 集合通常用___________________________
数 学 必 修 ① · 北 师 大 版
(3)元素
每个对象 叫作集合的元素． 集合中的__________
[解析] (1)15＝1×3×5.故集合可表示为{1,3,5,15}．
(2){x|x是三角形}或{三角形}． (3){(1,3)，(2,2)，(3,1)}． (4){x|3x＋1≤0}．
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第一章 集 合
集合中元素的特性
集合中的元素含参数时，利用集合中元素的确定性、无序性确定集合的元 素，再用元素的互异性进行检验，舍去增解．
数 学 必 修 ① · 北 师 大 版
(2)描述法 属于一个集合 ，并写在_______ 大括号 内的方法． 用确定的条件表示某些对象_____________
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第一章 集 合
5．集合的分类
∅ 空集：不含任何元素，记作______ 有限集 ：含有有限个元素 按含有元素 _________ 集合 非空集合：的个数分为 无限集 ：含有无限个元素 _________
新课标导学
数 学
必修① ·北师大版
第一章
集 合
§1 集合的含义与表示
1
自主预习学案
2
3
互动探究学案
课时作业学案
第一章 集 合
自主预习学案
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第一章 集 合
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教 数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概 念，数学家很难回答那位渔民．
数 学 必 修 ① · 北 师 大 版
＝{－3,2}，∴3∉B． (3)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
∴8∈C,9.1∉C．
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第一章 集 合
互动探究学案
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第一章 集 合
命题方向1 ⇨集合的含义
判断下列语句能否确定一个集合？ 导学号 00814004 (1)申办 2020 年奥运会的所有城市； (2)举办 2020 年奥运会的城市；
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(4)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标其中之一为 0，故可表示为{(x，y)|xy ＝0，x∈R，y∈R}．
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第一章 集 合
『规律总结』 来，写在大括号内．
1.用列举法写集合应先弄清集合中的元素是什么，是数还是
点，还是其他元素．另外还要弄清元素的个数．做到不重不漏，一一列举出
式即可求出a的取值范围． 式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2. 所以实数a的取值范围是{a|a≥2}．
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第一章 集 合
『规律总结』 1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，
在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基 础，它大大简化了数学的表示方法，应当熟练掌握． 2．判断一个元素是不是某个集合的元素，主要判断这个元素是否具有这个 集合的元素的共同特征．
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第一章 集 合
2．元素与集合的关系 知识点 关系 属于 不属于 属于A 如果______________ a不在集合A中 ，就说 概念 如果____________ a在集合A中 ，就说a 记法 读法
元素与集
_______ a∈A “a属于A” _______ a∉A “a不属于A”
合的关系
故选B．
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第一章 集 合
4．用符号“∈”或“∉”填空. 导学号 00814003
∉ A； (1)若 A＝{x|x2＝x}，则－1_______
∉ B； (2)若 B＝{x|x2＋x－6＝0}，则 3_______
∉ ∈ C，9.1_______ (3)若 C＝{x∈N|1≤x≤10}，则 8_______ C． [解析] (1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴－1∉A． (2)∵B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}
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第一章 集 合
1．下列给出的对象中，能构成集合的是 导学号 00814000 ( D ) A．一切很大的数 C．聪明的人
[解析]
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B．无限接近 1 的数 D．方程 x2＝－3 的解
选项A、B、C不满足集合的特征，选项D中，方程x2＝－3的解构成
〔跟踪练习 3〕 导学号 00814009 用适当的方法表示下列集合： (1){15 的正因数}； (2)三角形的全体构成的集合； (3)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N＋，y∈N＋}；
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(4)满足不等式 3x＋1≤0 的所有实数的集合．
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第一章 集 合
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(3)举办 2024 年奥运会的城市； (4)大于零且小于 1 的所有的整数； (5)大于零且小于 1 的所有实数．
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第一章 集 合
[思路分析] [规范解答 ] 个集合．
要判断每组对象能否构成集合，关键是分析各组对象所具有的 (1) 申办2020年奥运会的是几个确定的不同的城市，能组成一
的集合为空集．
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第一章 集 合
2．设不等式 3－2x<0 的解集为 M，下列关系正确的是 导学号 00814001 ( B ) A．0∈M,2∈M C．0∈M,2∉M B．0∉M,2∈M D．0∉M,2∉M
[解析]
从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判
断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不是不 等式3－2x<0的解，故0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2是不等式3－2x<0
A．0 C．2
B．1 D．3
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第一章 集 合
[解析]
①是错误的，因为“周围”是个模糊的概念，随便找一颗行星无法
判断其是否属于地球的周围，因此它不满足集合元素的确定性． ②是正确的，虽然满足条件的数有无数多个，但任给一个元素都能判断出
其是否属于这个集合．
③是错误的，因为集合中的元素具有无序性．
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a不属于A
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第一章 集 合
3.常用数集及表示符号 定义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
______ N
N＋ ______
______ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱZ
Q ______
______ R
4.集合的表示方法
(1)列举法
一一列举出来 写在_______ 大括号 内的方法． 把集合中的元素_____________
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第一章 集 合
[规范解答]
y＝x (1)由 y＝2x－1
x＝1 ，解得 y＝1
.
故一次函数 y＝x 与 y＝2x－1 图像的交点组成的集合为{(1,1)}． (2)方程 x(x2－1)＝0 的实数根为 0,1，－1， 故其实数根组成的集合为{－1,0,1}． (3)根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x＝5n＋1，n∈N}．
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第一章 集 合
〔跟踪练习 2〕 导学号 00814007 所给下列关系正确的个数是( B ) 1 ①－2∈R；② 2∉Q；③0∈N＋；④|－3|∉N＋. A．1 C．3
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B．2 D．4
1 － 是实数， 2是无理数，∴①②正确． 2
[解析]
N＋表示正整数．∴③和④不正确．
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第一章 集 合
命题方向3 ⇨集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合 导学号 00814008 (1)一次函数 y＝x 与 y＝2x－1 图像的交点组成的集合； (2)方程 x(x2－1)＝0 的所有实数根组成的集合； (3)被 5 除余 1 的正整数组成的集合；
条件是否明确．若明确，则能构成集合；否则不能构成集合．
(2)举办2020年奥运会的城市也能组成一个集合． (3) 因为举办 2024 年奥运会的城市现在还不确定，因此它不能构成一个集
合．
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(4)大于零且小于1的所有整数能组成一个集合． (5)大于零且小于1的每一个实数也是确定的，因此这样的所有实数也能组成
一个集合．
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第一章 集 合
『规律总结』 判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点 (1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性， 如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合． (2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合
中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．