1.1.1集合的含义与表示教学设计

1.1.1集合的含义与表示一、教材分析本节课选自人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》必修1，第一章1.1.1集合的含义与表示。

《课程标准》对本课内容的要求是：通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。

集合在高中阶段的数学课程中，具有十分重要的地位。

集合是高中阶段数学课程引入的第一个概念，是整个高中数学课程内容的基础，集合的初步知识与后续内容的学习有着密切的联系。

集合是学习掌握使用数学语言的基础，集合形象化的将生活实际问题用数学符号表示出来，从而简化了用数学分析实际问题的语言，为相关数学知识奠定一定的理论基础。

许多重要的高中数学内容，如函数，方程，不等式，立体几何解析几何，概率统计的，都需要用集合的语言来表述相关问题及核对这些内容的后续学习均发挥了显著作用。

集合是集合论中的原始的不定义只描述的概念。

在初中数学不等式解集的定义中涉及过集合，学生已经有了一定的感性认识，在此基础上，本节结合实例引出集合与集合中元素的相关概念，集合中元素的特征，及集合的表示方法等。

二、学情分析学生在初中阶段的学习中，已经有了对集合的初步认知，有了对周围事物的发现总结能力。

对部分粗心大意的学生，培养其细致的观察力，在本节的学习中学生可能会对集合的表示方法：列举法和描述法会有所混淆，通过不断的练习巩固来达到标准要求。

学生可能会用初中熟知的记忆学习方法来学习，鼓励学生理解学习，事半功倍。

三、教学目标1、知识与技能目标：通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。

2、过程与方法目标：通过集合含义教学，培养学生的抽象思维能力。

通过集合表示方式的教学，培养学生运用数学语言学习数学、进行交流的能力。

树立用集合语言表示数学内容的意识。

3、情感态度与价值观目标：学生在掌握集合相关的基本概念的基础上，解决相关问题，获得数学学习的成就感；学生的数学学习进入到新阶段，培养学生对数学学习的兴趣。

四、教学重点和难点1、教学重点：集合的含义与集合的表示方法；2、教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。

五、教学设计（一）新课引入体育课上课时，老师总说“请同学们集合”，同学们便会从四面八方集合到老师身边。

这里的集合是一个动词，让同学们集中在一起。

我们在数学中也有“集合”，这里的集合是一个名词，但是他的意义和以上说的动词集合有相似之处。

这一节课，我们便来学习数学中的集合的含义与他的表示方法。

（板书课题：集合的含义与表示）那什么是集合呢？其实在我们生活中存在着很多集合的例子，比如我们全班同学这一个整体，他就是是一个集合；还有校园中所有的树，也构成一个集合；高一一班教室里所有的笔……在小学和初中的学习过程中，我们也已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（圆），那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？（二）新课讲授1、集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素。

把一些元素组成的总体叫做集合（集）。

2、集合的对象集合的对象可以是数、点图形，也可以是人或物等，集合的对象形式多样化。

若集合是由数组成的，我们称之为数集；有序实数对组成的，点集；方程解组成的集合，解集；图形的集合称作图像集以此类推。

不过在我们高中数学阶段，大家只需要了解数集、点集、解集即可。

3、集合元素的性质通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么元素要满足怎样的性质才能构成集合呢？请看下面几个问题。

（1）确定性①我们班近视超过300度的同学能否构成一个集合？②我们班“眼神很差”的同学能否构成一个集合？比较问题①②，说明集合中的元素具有什么性质？通过问题①②我们了解到，对于给定的集合，它的元素必须是确定的。

也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

例如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆就在这个集合中，杭州、南京……不在这个集合中；“身材较高的人”不能构成集合，因为组成他的元素是不确定的。

这就是集合中元素的确定性（板书：确定性）。

确定性的主要作用是判断一组对象能否组成集合，只有这组对象具有确定性时才能组成集合。

（2）互异性④组成英文单词every的字母构成的集合含有几个元素？分别是什么？问题④说明集合中的元素具有什么性质？以上两个问题说明一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现，这是集合中元素的互异性（板书：互异性）。

（3）无序性⑤在斗地主游戏中，3、4、5、6、7是一个顺子，若老师出牌的时候把这五张牌的顺序摆成了5、3、6、7、4，那么这还是一个顺子么？类比集合中的元素，一个集合中的元素是3、4、5、6、7，另外一个集合中的元素是5、3、6、7、4，这两个集合中的元素相同么？集合相同吗？这体现了集合中的元素的什么性质？这体现了集合中元素的无序性，即集合中的元素的排列是没有先后顺序的（板书：无序性）。

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

4、集合与元素的记法我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素。

5、常用数集及其记法非负整数集/自然数集N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R6、集合与元素的关系（注意讲属于概念前不要说到属于这个词）对于集合和元素，是否存在一定关系？例如我们用A表示“1-20以内的所有素数”组成的集合，便有元素3在集合A中，元素4不在集合A中，因此对于集合A与元素a，存在着以下两种关系：（1）如果a是集合中的元素，就说a属于（belong to）集合A，记作a∈A；（2）如果a不是集合A中的元素，就说a不属于（not belong to）集合A，记作a∉A。

7、集合的表示方式在前面的例子中，我们是用自然语言来描述集合的，除此之外还可以用什么方式表示集合呢？请同学们思考，你们能用数学语言表示问题④中相应的集合吗？给同学们3分钟小组讨论，尝试用数学语言表示集合。

（教师收集学生不同的集合表示方法并板书。

）（1）列举法在数学中，我们一般记作{e，v，r，y}。

类似地，若要写出大于0小于5的整数的集合，便可写作{1，2，3，4}。

像这样把集合的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。

列举法有直观、明了的优点，这个方法在集合中元素有限并且较少时使用方便。

若元素相对较多或无限，但是具有一定的规律性，也可以使用列举法，用省略号表示，这里要注意必须把元素间的规律表述清楚之后才能用省略号。

例如自然数集，自然数集中的元素是写不尽的，但是若我们把集合中的元素按次序写出来，{1,2,3,4……}，后面可以省略打上省略号，意味着按着这个规律下去后面还有无数多个；再比如小于等于51的自然数集合，我们就先写0，1，2，3，4等等直到写到51，中间省略号表示就可以了。

请问同学们能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗?（2）描述法——教学难点这个不等式的解集是x<10的所有实数，有无数个，列举法列举不尽了，那该如何表示呢？我们可以知道，该不等式的解集满足x<10这个条件，且x为实数。

我们可以将其写作{x ∈R|x<10}，集合的这种记法便称为描述法。

描述法的的一般形式为{x∈A|p（x）}，x表示代表元，代表集合中的元素即描述对象，p（x）表示代表元满足的条件，竖线又叫做分割线，它是把代表元跟代表元所满足的性质隔开的。

这种在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征便是集合的描述表示法。

我们把它读作元素x 满足条件p（x）的集合。

{x∈R|x<10}也就读作实数x满足条件x<10的集合。

例如写出所有奇数的集合{x∈Z|x=2k+1，k∈Z}，方程x2-2=0所有实数根组成的集合（列举法+描述法均可）【用描述法{x∈R|x2-2=0}，也可以省略R写作{x|x2-2=0}，在代表元不加特殊说明的情况下，一般指x是实数集中的元素，也就是x是实数。

】。

描述法是把集合中的元素所具有的特征描述出来的表示方法，具有抽象性、概括性、普遍性的特点。

（1）{x|y=x2+1}（2）{y|y=x2+1}（1）（2）表示的是同一个集合吗？【分清代表元素】（1）（2）是同一个集合吗？代表元需要满足的条件相同而代表元不同。

{x|y=x2+1}读作使得y=x2+1有意义的所有实数x的取值范围，在这里对于任意实数x，y=x2+1都有意义，所以这个集合表示全体实数R，{x|y=x2+1}=R。

{y|y=x2+1}表示函数y=x2+1中，当x有意义时y的取值范围。

所以这个集合表示大于等于1的全体实数，{y|y=x2+1}={y∈R|y≥1}。

显然二者表示的不是同一集合。

变式（3）{（x，y）|y=x2+1}表示什么？初中我们便知道了（x，y）表示点，因此（3）为函数y=x2+1图像上所有的点组成的集合。

（1）（2）代表元是数，（3）代表元是点，因此，（1）（2）称作数集，（3）称作点集。

从上面的例题可知，描述法中代表元以及代表元所满足的性质非常关键。

满足的条件看上去是一样的时候，代表元不同，一般就是不同的集合。

变式（4）{y|x=y2+1}，与这集合（1）（2）（3）相同吗？代表元只是一个符号。

代表元的表示形式不同不能单纯地说两个集合一定不同。

我们可以找出（4）所代表的集合，{y|x=y2+1}=R，因此（1）（4）表示的意义相同，即两个集合相等；或者我们可以把集合（4）中的x与y互换，互换之后也可看出（1）（4）两集合相等。

另外，我们怎么表示出我们全班同学这样一个集合呢？我们总不能把班级里的同学设为代表元x吧？一般我们这么表示这一集合，{2019年玉环中学高一（1）班同学}，注意不能写成全体同学，加了全体或者都，那表示的又是另外的意思。

这种方法也是描述法。

绝大多数我们使用描述法，少部分时候用列举法，也有的时候呢我们用图像——韦恩图来表示集合。

（3）韦恩图法韦恩图法也就是用封闭的曲线表示集合的方法，相较于列举法与描述法来说更为抽象。

这里要注意的数，封闭曲线不仅仅可以是圆形，椭圆形、方形或不规则图形均可，只要曲线是封闭的，什么形状均可。

【例题练习】判断：实数集可以表示为{R}。

×解析：实数集表示为R。

{R}表示元素为实数集的集合，R为{R}中元素，R∈{R}。

元素A与元素A组成的集合{A}的差异，即A∈{A}，A与{A}不相同。

8、有限集合无限集空集我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集；含有无限个（数不尽）元素个数的集合叫做无限集；不含任何元素的集合叫做空集，关于空集我们下节课具体了解。