江苏省淮安市淮海中学Ⅲ级部2015届高三上学期数学限时训练(19)

淮海中学2015届高三III级部第一学期数学限时训练（19）肖海峰岳军审核:王开林张文波1、已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝2、若复数z满足：iiz42+=，则在复平面内，复数z对应的点坐标是3、阅读下面的流程图，若输入a＝10，b＝6，则输出的结果是．4、某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图1－1所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为5、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．6、等差数列{}n a中，其前n项和n S，若217=S，则4a的值为.7、已知实数,x y满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥-1yxyx且目标函数byaxz+=2)0,0(>>ba的最大值是1，则ab的最大值为8、函数1)6sin()(+-=πωxAxf()0,0>>ωA的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，则)3(πf=9、函数axfx+-=131)(（)0≠x，则“1)1(=f”是“函数)(xf为奇函数”的条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）10、边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为__________.11、过点(2，0)引直线l与曲线21xy-=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l的斜率等于.12、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 3=1+a 2+a 4,S 4=2，则数列{a n }的公比为 .13、设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则⋅＝ .14、已知R 上的可导函数)(x f 的导函数)(x f '满足：)(x f '+)(x f 0>，且1)1(=f 则不等式>)(x f 11-x e 的解是 ．二．解答题（共六大题，90分）15、(本小题满分14分) ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c且22sincos 212A BC ++=． （I ）求角C 的大小； （II ）若向量(3,)m a b =，向量(,)3bn a =-，且m n ⊥，()()16m n m n +⋅-=，求,,a b c 的值．16、（本题满分为14分）已知无穷数列{}n a 满足：11a =，2132a a a =+，且对于任意*n ∈N ，都有0n a >，2124n n n a a a ++=+．（1）求234,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式．17、（本小题满分14分）已知函数52)(2+-=ax x x f （1>a ）. (I)若)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，求实数a 的值；(II)若)(x f 在区间(]2,∞-上是减函数，且对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，求实数a 的取值范围.18、某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R 的圆面．该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4千米，BC = 6千米，CD = 2千米，（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；（2）因地理条件的限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整， 为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC 上设计一点P ，使得棚 户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值． 19、（本题满分为16分）文科椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的左、右焦点分别是21,F F ，离心率为32，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线21,PF PF 的斜率分别为21,k k ，若0≠k ， 试证明:2111kk kk +为定值，并求出这个定值． 理科已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B 。

(1)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当2=CD 时，求直线CD 的方程；(2)求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。

20、（本小题满分16分）已知函数a x x a x f (ln )(2+=为实常数)。

(1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在),1(+∞上是增函数； (2)求函数)(x f 在],1[e 上的最小值及相应的x 值；(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围。

淮海中学2015届高三III 级部第一学期数学限时训练（19）参考答案一．填空题1、 {－1，0} 2.(4，－2) 3. 2 4. 480 5. 35 6. 3 7. 81 8. 39. 充要 10. 3a 12 11.－ 33 12. 13 13. 225-14. ),1(+∞ 二．解答题 15．解：（I ）∵22sincos 212A BC ++= ∴2cos 212sincos()cos 2A B C A B C +=-=+=-， ……………2分 ∴22cos cos 10C C +-=，∴1cos 2C =或cos 1C =-……………5分(0,),C π∈∴3C π=……………7分（II ）∵⊥ ∴22303b a -=，即229b a =………………8分 又16)()(=-⋅+，∴1698822=+b a ，即2229b a +=② ………10分 由①②可得221,9a b ==，∴1,3a b == ………………………………13分又2222cos 7,c a b ab C =+-=∴c =1,3,a b c ===14分16.解：（1）由条件，*212,4n n n n a a a ++∀∈=+N ， 令1n =，得22134a a a +=． …………………………………………………………2分又2132a a a =+，且11a =， 易求得233,5a a ==． ……………………………4分再令2n =，得23244a a a +=，求得47a =． …………………………………………6分（2）∵2124n n n a a a ++=+ (1)∴22134+++=+n n n a a a (2) 由(1)-(2)得，2212213(4)(4)n n n n n n a a a a a a +++++-=+-+ 213n n n n a a a a +++=- ……………………………………………8分∴2211322n n n n n n a a a a a a ++++++=+∴11322()()n n n n n n a a a a a a ++++++=+ ∴21312n n n n n n a a a a a a +++++++=，∴数列21n n n a a a ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数数列． ∴21n n n a a a +++=132 2.a a a += ∴212.n n n a a a +++=∴数列{}n a 为等差数列．又公差212d a a =-=， ∴21n a n =-．……14分 17.解：(I) ∵225)()(a a x x f -+-=（1>a ）, ∴)(x f 在[]a ,1上是减函数，……………2分又定义域和值域均为[]a ,1，∴⎩⎨⎧==1)()1(a f af ，……………4分 即⎩⎨⎧=+-=+-15252122a a a a ， 解得 2=a .……………6分 (II) ∵)(x f 在区间(]2,∞-上是减函数，∴2≥a ，……………8分又[]1,1+∈=a a x ，且，1)1(-≤-+a a a∴a f x f 26)1()(m a x -==，2m i n 5)()(a a f x f -==.……………11分 ∵对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，∴4)()(m i n m a x ≤-x f x f ， ……………13分即 4)5()26(2≤---a a ，解得 31≤≤-a ，又2≥a ， ∴32≤≤a . ……………14分 18.解：(1) 180ABC ADC ∠+∠=︒，由余弦定理得：2222246246cos 42224cos AC ABC ADC =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯∠∴ 1cos 2ABC ∠=………………………………2分 ∵ (0,)ABC π∠∈ ∴ 60ABC ∠=︒，120ADC ∠=︒S 四边形ABCD=1146sin 6024sin12022⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=5分2222cos 28AC AB BC AB BC ABC =+-∠= ∴AC =由正弦定理得：2sin AC R B ===（千米）R = ………………………………8分(2) S 四边形APCD = ADC APC S S ∆∆+，又1sin1202ADC S AD CD ∆=︒=9分设AP = x ，CP = y，则1sin 602APC S xy ∆=︒=.....................10分 由余弦定理得：2220222cos6028AC x y xy x y xy =+-=+-= (12)分222x y xy xy xy xy +-≥-=∴ 28xy ≤，当且仅当x = y 时取“＝”………………………………14分 ∴S 四边形APCD=28≤= ∴ 作AC 的垂直平分线与圆弧ABC 的交点即为点P，最大面积为 ……16分19、文科：解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知 2b 2a ＝1，即a ＝2b 2. ……………2分又e ＝c a ＝32， ………… …4分所以a ＝2，b ＝1. ……………5分 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. ……………6分(2)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k （x －x 0），………………8分整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. ………………10分 又x 24＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. ……………12分 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0， ……………15分所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8. ……………16分 理科：（1）易知k 存在，设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-由题知圆心M 到直线CD的距离为2=……………2分 解得，1k =-或17k =-， …………………………………4分 故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．………………………6分 (2)设(2,)P m m ，MP 的中点(,1)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为：2222()(1)(1)22m mx m y m -+--=+-……………………………10分 化简得：222(2)0x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，故2220,20,x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩或1,1.x y =⎧⎨=⎩所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).…………20. （1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='xx x f ， 故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．………………………………………2分（2）)0(2)(2>+='x xax x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+ ①若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ． ……………………………………………4分 ②若222-<<-a e ，当2ax -=时，0)(='x f ；当21ax -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数； 当e x a ≤<-2时，0)(>'xf ，此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2(af - 2)2ln(2aa a --=．……………………………………………6分 ③若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．…………………………………8分综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222-<<-a e 时，)(x f的最小值为2)2ln(2aa a --，相应的x 值为2a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +， 相应的x 值为e ……………………………………………………………10分 （3）不等式x a x f )2()(+≤，可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，因而x x xx a ln 22--≥（],1[e x ∈）……………………………………………………………12分令x x x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，………………………14分 当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． ………………………16分。