江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备三解题陷阱妙破学案有答案

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(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备等差、等比数列(含解析).doc

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备等差、等比数列（含解析）【考点导读】1．掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简单的问题； 2．理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系； 3．注意函数与方程思想方法的运用。

【基础练习】1、在等差数列{a n }中，a 5＝10，a 12＝31，首项a 1=-2，公差d =3。

2、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，那么它的第1项是163，第2项是8。

3、、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次〔一个分裂为二个〕，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成512个。

4、设{}n a 是公差为正数的等差数列，假设12315a a a ++=，12380a a a =，那么111213a a a ++=105。

5、公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6依次成等比数列，那么公比等于3。

【范例导析】例1、〔1〕假设一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个数列有 13项。

〔2〕设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，那么它的首项是2。

〔3〕设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，假设36S S ＝13，那么612SS ＝。

解：〔1〕答案：13 法1：设这个数列有n 项∵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-='⋅+=-dn n n a S d nd a S S S d a S n n n 2)1(6332233113313∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+3902)1(146)2(3334)(3111d n n n a n d a d a ∴n ＝13法2：设这个数列有n 项 ∵1231234,146n n n a a a a a a --++=++=∴121321()()()3()34146180n n n n a a a a a a a a --+++++=+=+=∴160n a a +=又1()3902n n a a +=∴n ＝13〔2〕答案：2因为前三项和为12，∴a 1＋a 2＋a 3＝12，∴a 2＝33S ＝4又a 1·a 2·a 3＝48，∵a 2＝4，∴a 1·a 3＝12，a 1＋a 3＝8，把a 1，a 3作为方程的两根且a 1＜a 3，∴x 2－8x ＋12＝0，x 1＝6，x 2＝2，∴a 1＝2，a 3＝6，∴选B. 〔3〕答案为310。

【高考二轮】江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备六解题技法增分学案(含答案)

必备六解题技法增分技法一特例法在解填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法由于只需对特殊值、特殊情形进行检验,省去了推理论证及烦琐演算的过程,提高了解题的速度.特例法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当会有事半功倍的效果.典型例题例1 (1)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则= .(2)AD,BE分别是△A BC的中线,若||=||=1,且与的夹角为120°,则·= .答案(1)(2)解析(1)利用特例法,令a=3,b=4,c=5,则△ABC为直角三角形,cosA=,cosC=0,从而所求值为.(2)易知等边三角形为符合题意的△ABC的一个特例,则|AB|=,∴·=||||cos60°=.【方法归纳】当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理.跟踪集训1.求值:cos2a+cos2(a+120°)+cos2(a+240°)=.2.已知m,n是直线,α,β,γ是平面,给出下列命题:①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若n⊥α,n⊥β,则α∥β;③若α内不共线的三点到β的距离都相等,则α∥β;④若n⊄α,m⊄α,且n∥β,m∥β,则α∥β;⑤若m,n为异面直线,n⊄α,n∥β,m⊄β,m∥α,则α∥β.其中正确的命题是.(把你认为正确的命题序号都填上)3.如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线,分别交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2= .技法二图解法典型例题例2 (1)直线y=x+m与曲线x=有且仅有一个公共点,则m的取值范围是.(2)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案(1)-1<m≤1或m=-(2)解析(1)作出曲线x=的图形,如图所示.由图形可得,当直线y=x+m在b和c之间变化时,满足题意,同时,当直线在a的位置时也满足题意,所以m的取值范围是-1<m≤1或m=-.(2)因为函数f(x)在R上单调递减,所以解得≤a≤.在同一平面直角坐标系中作出函数y=|f(x)|,y=2-的图象,如图.由图象可知,在[0,+∞)上,方程|f(x)|=2-有且仅有一个解;在(-∞,0)上,方程|f(x)|=2-同样有且仅有一个解,所以3a<2,即a<.综上,a的取值范围是.【方法归纳】图解法实质上是数形结合的思想在解题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.跟踪集训4.(2018江苏连云港期末)若方程组有解,则实数t的取值范围是.5.向量=(2,2),=(2,0),=(cosα,sinα),则向量,的夹角的取值范围是.6.(2018镇江高三期末考试)已知k为常数,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx+2有且只有4个不同的解,则实数k的取值范围为.技法三等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题,从而得到正确的结果.典型例题例3 对任意的|m|≤2,函数f(x)=mx2-2x+1-m恒负,则x的取值范围为.答案解析对任意的|m|≤2,有mx2-2x+1-m<0恒成立,等价于|m|≤2时,(x2-1)m-2x+1<0恒成立.设g(m)=(x2-1)m-2x+1,则原问题转化为g(m)<0在[-2,2]上恒成立,则即解得<x<.从而实数x的取值范围是.【方法归纳】在处理多元的数学问题时,我们可以选取其中的常量(或参数),将其看做“主元”,通过构造函数进行求解.运用转化方法解题,要注意转化的方向性,使转化的目的明确,使解题思路自然流畅,此外还要注意转化前后的等价性.跟踪集训7.无论k为何实数,直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是.8.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AB,CD的中点,点G是EF上的动点,记△A1B1G,△C1D1G的面积分别为S1,S2,则S1+S2的最小值为.技法四待定系数法待定系数法是为确定变量间的函数关系,设出未知数,然后根据所给条件确定这些未知数的一种方法,其理论依据是多项式恒等.多项式f(x)≡g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a)≡g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等.典型例题例4 已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.(1)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于C,D两点,当CD=时,求直线CD的方程;(2)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.解析(1)易知直线CD的斜率k存在,设直线CD的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由题知圆心M到直线CD的距离为,所以=,解得k=-1或k=-,故所求直线CD的方程为x+y-3=0或x+7y-9=0.(2)证明:设P(2m,m),则MP的中点Q.因为PA是圆M的切线,所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,MQ为半径的圆,故其方程为(x-m)2+=m2+,化简得x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于m的恒等式,故解得或所以经过A,P,M三点的圆必过定点(0,2)或.【方法归纳】待定系数法解题的基本步骤:第一步:确定含有待定系数的式子;第二步:根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;第三步:解方程(组)或者消去待定系数,得到结果.跟踪集训9.已知二次函数f(x)的图象与x轴的两交点坐标为(2,0),(5,0),且f(0)=10,则f(x)的解析式为.10.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,其离心率为,短轴的端点是B1,B2,点M(2,0)是x轴上的一定点,且MB1⊥MB2.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点.试问x轴上是否存在定点P,使直线PA与PB的斜率互为相反数?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.技法五换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引入新的变量,可以把分散的条件联系起来,使隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,简化计算或证明.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.典型例题例5 已知函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0).设G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x1,x2,且x1,x0,x2成等差数列,试探究G'(x0)的符号.解析因为G(x)=x2+2-alnx-bx有两个零点x1,x2,所以两式相减得--a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0,即x2+x1-b=,于是G'(x0)=2x0--b=(x1+x2-b)-=-==.①当0<x1<x2时,令=t,则t>1,且G'(x0)=.设u(t)=lnt-(t>1),则u'(t)=-=>0,则u(t)=lnt-在(1,+∞)上为增函数,而u(1)=0,所以u(t)>0,即lnt->0.又因为a>0,x2-x1>0,所以G'(x0)>0.②当0<x2<x1时,同理可得,G'(x0)>0.综上所述,G'(x0)的符号为正.【方法归纳】本题涉及两个变量x1,x2,在解题时利用换元法简化过程,然后构造函数,再利用导数法,结合函数单调性进行符号的判断.本题把式子看成一个整体,用变量t去代替它,从而达到化二元为一元的目的,同时使本来零乱、分散的问题得到简化.这种技巧在解题时非常重要,需要灵活运用.跟踪集训11.若f(lnx)=3x+4,则f(x)的表达式为.12.已知函数f(x)=4x,g(x)=2x,则方程f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)=的解为.13.y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.技法六构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.典型例题例6 在四面体ABCD中,若AB=CD=,AC=BD=5,AD=BC=2,则该四面体的体积V= .答案8解析构造如图所示的长方体,并且满足AB=CD=,AC=BD=5,AD=BC=2.设AP=p,AQ=q,AR=r,则p2+q2=AB2=13,r2+p2=AD2=20,q2+r2=AC2=25.由上述三式得p2+q2+r2=29,于是r=4,q=3,p=2.故V=V长方体-4V C-AQB=2×3×4-4××4××2×3=8.【方法归纳】构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向.一般通过构造新的函数、不等式或数列等模型将问题转化为熟悉的问题.在立体几何中,补形构造是最常用的解题技巧.通过补形可以将一般几何体的有关问题放在特殊的几何体中求解,如将三棱锥补成长方体等.跟踪集训14.设函数f(x)=lnx+,m∈R,若对任意b>a>0,<1恒成立,则m的取值范围为.15.(2018南通调研)已知a为常数,函数f(x)=的最小值为-,则a的所有值为. 技法七逆向思维法解数学问题时,一般总是从正面入手进行思考.但时常会遇到从正面入手较复杂或不易解决的情况,这时若灵活运用逆向思维来分析解题,则能使问题得到非常简捷的解决,起到事半功倍之效.典型例题例7 若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一个数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是.答案解析若f(x)在[-1,1]上不存在使f(c)>0的数c,则f(x)在[-1,1]内小于等于0,又Δ=36p2≥0,故f(-1)≤0且f(1)≤0,因此若要满足题意,则只需f(-1)>0或f(1)>0即可,由f(1)>0,得2p2+3p-9<0,即-3<p<;由f(-1)>0,得2p2-p-1<0,即-<p<1.故所求实数p的取值范围是.【方法归纳】直接利用二次函数在区间[-1,1]上的图象特征求至少存在一个实数c,使f(x)>0,这个问题似乎无从下手,困难较大.若用逆向思维利用补集思想求解,则很直观简捷.跟踪集训16.已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若A∩B≠⌀,则实数m的取值范围是. 技法八分离参数法分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法,通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题,从而避免对参数进行分类讨论的烦琐过程.该方法也适用于含参方程有解、无解等问题.但要注意该方法仅适用于分离参数后能求出相应函数的最值或值域的情况.典型例题例8 已知函数f(x)=e x(3x-2),g(x)=a(x-2),其中a,x∈R.(1)求过点(2,0)和函数y=f(x)图象相切的直线方程;(2)若对任意x∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围;(3)若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<g(x0),求a的取值范围.解析(1)设切点为(x0,y0),f'(x)=e x(3x+1),则切线斜率为(3x0+1),所以切线方程为y-y0=(3x0+1)(x-x0),因为切线过点(2,0),所以-(3x0-2)=(3x0+1)(2-x0),化简得3-8x0=0,解得x0=0或x0=,当x0=0时,切线方程为y=x-2,当x0=时,切线方程为y=9x-18.(2)由题意,对任意x∈R有e x(3x-2)≥a(x-2)恒成立,①当x∈(-∞,2)时,a≥⇒a≥,令F(x)=,则F'(x)=,令F'(x)=0,得x=0,F max(x)=F(0)=1,故此时a≥1,②当x=2时,恒成立,故此时a∈R.③当x∈(2,+∞)时,a≤⇒a≤, 令F'(x)=0⇒x=,F min(x)=F=9,故此时a≤9.综上,1≤a≤9.(3)因为f(x)<g(x),即e x(3x-2)<a(x-2),由(2)知a∈(-∞,1)∪(9,+∞),令F(x)=,则当x∈(-∞,2)时,存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),等价于存在唯一的整数x0使得a<成立,因为F(0)=1最大,F(-1)=,F(1)=-e,所以当a<时,至少有两个整数成立,所以a∈.当x∈(2,+∞)时,存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),等价于存在唯一的整数x0使得a>成立,因为F=9最小,且F(3)=7e3,F(4)=5e4,所以当a>5e4时,至少有两个整数成立,所以当a≤7e3时,没有整数成立,所以a∈(7e3,5e4],综上,a∈∪(7e3,5e4].【方法归纳】对于求不等式成立时参数范围的问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上的具体的函数.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,那么就不要使用分离参数法.跟踪集训17.若不等式2xlnx≥-x2+ax-3恒成立,则实数a的取值范围为.18.已知函数f(x)=x3-x2-3x+,直线l:9x+2y+c=0,当x∈[-2,2]时,函数f(x)的图象恒在直线l下方,则c的取值范围是.技法九整体代换法整体代换法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将多个数之和的表达式或多项式当成一个整体来处理,从而建立已知和所求之间的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值,可以避免烦琐的计算.该方法适用于等差、等比数列中连续几项和的有关计算.典型例题例9 在等比数列{a n}中,公比q=2,前87项和S87=140,则a3+a6+a9+…+a87= .答案80解析设b1=a1+a4+a7+…+a85,b2=a2+a5+a8+…+a86,b3=a3+a6+a9+…+a87,因为b1q=b2,b2q=b3,且b1+b2+b3=140,所以b1(1+q+q2)=140,而1+q+q2=7,所以b1=20,则b3=q2b1=4×20=80.【方法归纳】整体代换法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系.跟踪集训19.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2a4a6a8=120,且+++=,则S9的值为.20.在正项等比数列{a n}中,a4+a3-2a2-2a1=6,则a5+a6的最小值为.技法十判别式法判别式法就是利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有解的充要条件(判别式Δ=b2-4ac≥0)求解. 典型例题例10 已知α,β,γ为任意三角形的三个内角,求证:x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.证明设f(x)=x2+y2+z2-(2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ)=x2-2(ycosα+zcosγ)x+y2+z2-2yzcosβ,又Δ=4(ycosα+zcosγ)2-4(y2+z2-2yzcosβ)=-4(ysinα-zsinγ)2≤0,所以f(x)≥0,即x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.【方法归纳】判别式是方程、函数和不等式之间联系的重要工具,是不等式之间相互转化的重要桥梁,运用判别式法证明不等式有两种途径:(1)构造一元二次方程,然后利用Δ≥0来证明;(2)构造恒大于(或小于)零的一元二次函数,然后利用Δ≤0来证明.跟踪集训21.函数y=的值域为.22.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.23.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°.如图所示,点C在以O为圆心的上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是.技法十一归纳法归纳法的过程可概括为发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.典型例题例11 (2018江苏沭阳调研)观察下列式子:1+<,1++<,1+++<,……据其中规律,可以猜想出:1++++…+< .答案解析由已知中的不等式:1+<=,1++<=,1+++<=,……我们可以推断出:不等式右边分式的分母与左边最后一项分母的底数相等,分子是分母的2倍减1,即1++++…+<,∴1++++…+<=,故答案为.【方法归纳】归纳问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解.(3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可.(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性. 跟踪集训24.(2018江苏如皋调研)已知函数f0(x)=,设f n+1(x)为f n(x)的导函数,f1(x)=[f0(x)]'=,f2(x)=[f1(x)]'=,……根据以上结果,推断f2017(x)= .25.某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°组成的;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端再生成两条长度为原来的的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°;……,依此规律得到n级分形图.(1)n级分形图中共有条线段;(2)n级分形图中所有线段长度之和为.技法十二等积转化法等积转化法是通过变换几何体的底面,利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式求解相关问题的方法.其主要用于立体几何体中求解点到面的距离.典型例题例12 如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为PC的中点.(1)求证:PC⊥AD;(2)求点D到平面PAM的距离.解析(1)证明:如图,取AD的中点O,连接OP,OC,AC,△PAD,△ACD均为正三角形,所以OC⊥AD,OP⊥AD.又OC∩OP=O,所以AD⊥平面POC,又PC⊂平面POC,所以PC⊥AD.(2)点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离,由(1)可知,PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的高.在Rt△POC中,PO=OC=,PC=,在△PAC中,PA=AC=2,PC=,边PC上的高AM===,所以△PAC的面积S△PAC=PC·AM=××=.设点D到平面PAC的距离为h,因为V D-PAC=V P-ACD,所以S△PAC·h=S△ACD·PO,又S△ACD=×2×=,所以××h=××,解得h=.故点D到平面PAM的距离为.【方法归纳】等积变换法求解点到平面的距离,关键是选择合适的底面,选择的底面应具备两个特征:一是底面的形状规则,面积可求;二是底面上的高比较明显,即线面垂直比较明显.跟踪集训26.如图所示,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AC,PC的中点,PA=2,AB=1,则三棱锥C-PED 的体积为.27.如图所示,已知正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=CD=1.(1)当点M为ED的中点时,求证:AM∥平面BEC;(2)求点D到平面BEC的距离.答案精解精析技法一特例法跟踪集训1.答案解析题目中“求值”二字暗示答案为一定值,于是不妨令a=0°,得结果为.2.答案②解析依题意可取特殊模型正方体AC1(如图),在正方体AC1中逐一判断各命题,易得正确的命题是②.3.答案 1解析不妨取点P,则可计算S1=×(5-4)=,易求得PD=2,PE=,所以S2=×2×=,所以S1∶S2=1.技法二图解法跟踪集训4.答案[1,121]解析原方程组有解,即两圆(x+4)2+(y-5)2=36与(x+1)2+(y-1)2=t有交点,则|-6|≤5≤+6,解得1≤≤11,则1≤t≤121.5.答案[105°,165°]解析不妨令O为坐标原点.∵=(2,0),=(2,2),∴B(2,0),C(2,2),∵=(cosα,sinα),∴||=,∴点A在以点C为圆心,为半径的圆上.∴当OA与圆C相切时,向量与向量的夹角取得最大值或最小值.设切点分别为点A和点A',连接OC,OA,OA',如图,则OC=2,AC⊥OA,∵sin∠AOC==,∴∠AOC=∠A'OC=30°,∴∠AOB=∠A'Oy=15°,∴当切点为点A时,向量与向量的夹角取得最小值15°+90°=105°,当切点为点A'时,向量与向量的夹角取得最大值180°-15°=165°.故答案为[105°,165°].6.答案∪(-e,-1)解析当x=0时,=kx+2成立,故当x≠0时,方程有三个根,当x<0时,=kx+2⇒k=,当x>0时,|lnx|=kx+2⇒k=-=故k=令k=g(x),当0<x<1时,g'(x)==,令g'(x)=0,则x=,g=-e,当x≥1时,g'(x)==,令g'(x)=0,则x=e3,g(e3)=.画出图象可得k∈(-e,-1)∪.技法三等价转化法跟踪集训7.答案[-1,3]解析题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,即等价于点(0,1)到圆心(a,0)的距离小于或等于圆半径,即≤,解得-1≤a≤3.8.答案2解析设EG=x,则FG=2-x,0≤x≤2,则S1+S2=×2+×2=+,在平面直角坐标系中,它表示x轴上的点P(x,0)到M(0,2)与N(2,2)两点的距离之和,而点M关于x轴的对称点为M'(0,-2),且当P在直线M'N上时,PM+PN最小,为2,则S1+S2的最小值为2.技法四待定系数法跟踪集训9.答案f(x)=x2-7x+10解析设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵二次函数f(x)的图象与x轴的两交点坐标为(2,0),(5,0),f(0)=10,∴∴∴f(x)=x2-7x+10.10.解析(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),∴=(-2,b),=(-2,-b),∵⊥,∴·=0,解得b2=4,又e===,解得a2=9,故椭圆的标准方程为+=1.(2)是.假设存在满足条件的定点P,其坐标为(t,0),由题意可设直线AB的方程为x=my+2,代入+=1, 整理得(4m2+9)y2+16my-20=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=,y1·y2=-.又PA,PB所在直线斜率分别为k PA=,k PB=,∴k PA+k PB=0⇔y1(x2-t)+y2(x1-t)=0⇔2my1y2+(2-t)(y1+y2)=0⇔-40m-16m(2-t)=0.上式对任意m∈R恒成立,其充要条件为-40m-16m(2-t)=0,解得t=.故存在满足条件的定点P,其坐标为.技法五换元法跟踪集训11.答案f(x)=3e x+4解析令lnx=t,则x=e t,f(t)=3e t+4,即f(x)=3e x+4.12.答案x=log23或x=log2解析由f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)=,得4x+4-x-2(2x+2-x)=,令t=2x+2-x,则4x+4-x=t2-2,故原方程可化为9t2-18t-40=0,解得t=或t=-(舍去),则2x+2-x=,即2x+=,解得2x=3或2x=,所以x=log23或x=log2.13.答案+解析设sinx+cosx=t,则t∈[-,],则y=+t-=(t+1)2-1,当t=时,y取最大值,y max=+.技法六构造法跟踪集训14.答案解析对于任意的b>a>0,<1恒成立,等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立,设h(x)=f(x)-x=lnx+-x(x>0),则h(b)<h(a),所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以h'(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,所以m≥-x2+x=-+(x>0),所以m≥,即实数m的取值范围为.15.答案4,解析构造平面向量的数量积.由函数解析式可得a>0,a≠1,f(x)=,令m=(x,),n=(,x),则|m|=1,|n|=,设m,n的夹角是α,α∈[0,π],则x+x=m·n=cosα∈[-,],当0<a<1时,f(x)min==-,解得a=,适合;当a>1时,f(x)min=-=-,解得a=4,适合,故a的值为4或.技法七逆向思维法跟踪集训16.答案(-∞,-1]解析若A∩B=⌀,则①当A=⌀时,有Δ=(-4m)2-4(2m+6)<0,解得-1<m<;②当A≠⌀时,方程x2-4mx+2m+6=0的两根x1,x2均为非负数,则解得m≥,则当A∩B=⌀时,m>-1,故所求实数m的取值范围为(-∞,-1].技法八分离参数法跟踪集训17.答案(-∞,4]解析已知条件可转化为a≤2lnx+x+恒成立.设f(x)=2lnx+x+,则f'(x)=(x>0).当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=4,所以a≤4.18.答案(-∞,-6)解析根据题意知x3-x2-3x+<-x-在x∈[-2,2]上恒成立,则->x3-x2+x+,设g(x)=x3-x2+x+,则g'(x)=x2-2x+,因为g'(x)>0恒成立,所以g(x)在[-2,2]上单调递增,所以g(x)max=g(2)=3,则c<-6.技法九整体代换法跟踪集训19.答案解析+++=+++=,则2(a2+a8)=14,即a2+a8=7,所以S9==.20.答案48解析设正项等比数列的公比为q,q>0,则a4+a3-2a2-2a1=(a2+a1)(q2-2)=6,则a2+a1=>0,q2>0,a5+a6=(a2+a1)q4==6(q2-2)++24≥12+24=48,当且仅当q=2时取等号,故a5+a6的最小值是48.技法十判别式法跟踪集训21.答案解析已知函数式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,当y≠2时,将上式视为关于x的一元二次方程,∵x∈R,∴Δ≥0,即[2(y-2)]2-4(y-2)·(3y+7)≥0,整理得2y2+5y-18≤0,因式分解得2(y-2)·≤0,解得-≤y<2(也可以依据二次函数y=2x2+5x-18在x轴下方的图象求解).当y=2时,3×2+7≠0,不符合题意,应舍去.故函数的值域为.22.答案(-∞,-2]∪[2,+∞)解析因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,化简得2+9da1+10d2+1=0.因为a1∈R,所以Δ=81d2-8(10d2+1)≥0,得d≥2或d≤-2.23.答案 2解析因为=(x+y)2,所以x2+y2-xy=1.(*)记x+y=t,则x=t-y,代入(*),得(t-y)2+y2-(t-y)y=1,化简得3y2-3ty+t2-1=0,因为Δ=(-3t)2-12(t2-1)≥0,所以t2≤4,所以x+y的最大值是2.技法十一归纳法跟踪集训24.答案解析f3(x)=[f2(x)]'==⇒f n(x)=(-1)n-1⇒f2017(x)=(-1)2017-1=.25.答案(1)3·2n-3 (2)9-9·解析(1)由题图知,一级分形图中有3=3×2-3条线段,二级分形图中有9=3×22-3条线段,三级分形图中有21=3×23-3条线段,按此规律得n级分形图中的线段条数为3·2n-3.(2)∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段,∴n级分形图中第n级的(最短的)所有线段的长度和为3·(n∈N*),∴n级分形图中所有线段的长度之和为3·+3·+…+3·=3·=9-9·.技法十二等积转化法跟踪集训26.答案解析∵PA⊥平面ABCD,∴PA是三棱锥P-CED的高,PA=2.∵四边形ABCD是正方形,E是AC的中点,∴△CED是等腰直角三角形,∵AB=1,∴CE=ED=,∴S△CED=CE·ED=××=.∴V C-PED=V P-CED=·S△CED·PA=××2=.27.解析(1)证明:如图,取EC的中点N,连接MN,BN.在△EDC中,M,N分别为ED,EC的中点,所以MN∥CD,且MN=CD.又AB∥CD,AB=CD,所以MN∥AB,且MN=AB.所以四边形ABNM为平行四边形,所以BN∥AM.因为BN⊂平面BEC,且AM⊄平面BEC,所以AM∥平面BEC.(2)如图,连接BD.在正方形ADEF中,ED⊥AD,因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以ED⊥平面ABCD,而BC⊂平面ABCD,所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,可得BC=.在△BCD中,BD=BC=,CD=2,所以BD2+BC2=CD2,所以BC⊥BD.又DE∩DB=D,所以BC⊥平面EDB.又BE⊂平面EDB,所以BC⊥BE.设点D到平面BEC的距离为d,由V D-BEC=V E-BCD,得S△BEC·d=S△BCD·ED,即S△BEC·d=S△BCD·ED.在△EDB中,BE==,所以S△BEC=·BE·BC=××=,又S△BCD=·BD·BC=××=1,所以d=1×1,得d=,于是点D到平面BEC的距离为.。

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备不等式综合(含解析).doc

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备不等式综合（含解析）【考点导读】能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等. 【基础练习】 1.假设函数()()()()22112,022x f x x x g x x x -⎛⎫=+>=≠ ⎪-⎝⎭，那么()f x 与()g x 的大小关系是()()f x g x >2.函数()()22f x a x a =-+在区间[]0,1上恒为正，那么a 的取值范围是0＜a ＜23.当点(),x y 在直线320x y +-=上移动时，3271x y z =++的最小值是74.f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，那么f (x )·g (x )＞0的解集是22,,22b b a a ⎛⎫⎛⎫⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx ＞4x +m －3恒成立，那么x 的取值范围是x ＞3或x ＜－1 【范例导析】例1、集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,21P ，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q〔1〕假设φ≠Q P ，求实数a 的取值范围。

〔2〕假设方程()222log 22=+-x ax在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解，求实数a 的取值范围。

分析：问题〔1〕可转化为2220ax x -+>在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有有解；从而和问题〔2〕是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数. 解：〔1〕假设φ≠Q P ，0222>+-∴x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有有解xx a 222+->∴ 令2121122222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=x x x u当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,4u 所以a>-4,所以a 的取值范围是{}4->a a〔2〕方程()222log 22=+-x ax在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解那么0222=--x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解2121122222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∴x x x a当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a 时，()222log 22=+-x ax在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解点拨：此题用的是参数分离的思想例 2.f (x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f (1)=1，假设m 、n ∈[—1，1]，m+n ≠0时有()().0>++nm n f m f 〔1〕判断f (x)在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论；〔2〕解不等式:⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1121x f x f ；〔3〕假设f (x)≤122+-at t 对所有x ∈[—1，1]，a ∈[—1，1]恒成立，求实数t 的取值范围、上为增函数、〔2〕∵f (x)在[—1，1]上为增函数，故有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-123,1121,1111,1211x x x x x x 由此解得〔3〕由(1)可知：f 〔x 〕在[—1，1]上是增函数，且f (1)=1，故对x ∈[—l ，1]，恒有f 〔x 〕≤1、所以要使f 〔x 〕≤122+-at t ，对所有x ∈[—1，1]，a ∈[—1，1]恒成立，即要122+-at t ≥1成立，故at t 22-≥0成立、记g(a )=at t 22-对a ∈[—1，1]，g(a )≥0恒成立，只需g(a )在[—1，1]上的最小值大于等于零、故()()⎩⎨⎧≥-≤⎩⎨⎧≥>.010010g t g t ，或，，解得：t ≤—2或t=0、点拨：一般地，假设()[],,y f x x a b =∈与()[],,y g t t m n =∈假设分别存在最大值和最小值，那么()()f x g t ≤恒成立等价于()()max min f x g x ≤.例3.甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，汽车每小．．时的运输成本．．．．．．〔以元为单位〕由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元、〔1〕把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域；〔2〕为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解解：〔1〕依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs，全程运输成本为 )(2bv vas v s bv v s a y +=⋅+⋅=、故所求函数为)(bv bas y +=，定义域为)0(c v ，∈、〔2〕由于v b a s 、、、都为正数，故有bv bas bv v a s ⋅⋅≥+2)(，即ab s bv vas 2)(≥+、当且仅当bv va=，即b a v =时上式中等号成立、假设c b a ≤时，那么bav =时，全程运输成本y 最小；当c b a ≤，易证c v <<0，函数)()(bv vas v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc cas y +=、综上可知，为使全程运输成本y 最小，在c b a ≤时，行驶速度应为b a v =；在c ba≤时，行驶速度应为c v =、点拨：此题主要考查建立函数关系式、不等式性质〔公式〕的应用、也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题、反馈练习： 1.设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，那么使0)(<x f 的x 的取值范围是),0(+∞2.一个直角三角形的周长为2P ，其斜边长的最小值122+P3.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，那么公差d 的取值范围是833d <≤ 4.如果函数213log (23)y x x =--的单调递增区间是(-∞，a ]，那么实数a 的取值范围是____a <-1____5.假设关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，那么实数m 的取值范围为(,3]-∞-6.设实数m ,n ,x ,y 满足ny mx b y x a n m +=+=+则,,2222的最大值ab7、关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，那么a 的取值范围是［－2，2］8.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式342-+>+p x px x 都成立的x 的取值范围13-<>x x 或9..三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路、甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”、乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”、丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”、参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是a ≤1010.设曲线cx bx ax y ++=23213在点x 处的切线斜率为()x k ，且()01=-k ,对一切实数x ，不等式()()1212+≤≤x x k x 恒成立〔0≠a 〕.(1)求()1k的值；(2)求函数()x k 的表达式.解：〔1〕设()c bx ax x k ++=2，()()1212+≤≤x x k x , ()()1112111=+≤≤∴k ,()11=∴k (2)解：⎩⎨⎧==-1)1(0)1(k k ⎩⎨⎧+=+-10b a c b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2121c a b x c x ax ≥++∴212,161,0441,0212≥∴≤-=∆≥+-ac ac c x ax ，又()16142=+≤c a ac ，即41,161,161161==∴=∴≤≤c a ac ac ()()22141412141+=++=∴x x x x k 11.二次函数f (x)=()0,,12>∈++a R b a bx ax且,设方程f (x )=x 的两个实根为x 1和x 2、〔1〕如果x 1<2＜x 2<4，且函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证：x 0＞—1；〔2〕如果∣x 1∣<2，∣x 2—x 1∣=2，求b 的取值范围、解：(1)设g(x)=f (x)—x=()()0242.011212<<<<>+-+g x x a x b ax得，由，且，且g(4)>0，即,81,221443,221443,03416,0124>-<--<<-∴⎩⎨⎧<-+<-+a a a a b a b a b a 得由∴.1814112,4112832-=⋅->-=->->-ab x a a b a 故〔2〕由g(x)=()同号、可知2121,01,011x x ax x x b ax ∴>==+-+、 ①假设0<x 1<2，那么x 2一x 1=2，即x 2=x 1+2>2，∴g(2)=4a +2b —1<0，又()()()，负根舍去，得01112441222212>+-=+=--=-a b a aa b x x ，代入上式得();41,231122<-<+-b b b 解得②假设-2<x 1<0，那么x 2=－2+x 1<-2，∴g 〔-2〕<0，即4a －2b +3<0，同理可求得47>b 、故当0<x 1<2时，41<b ；当-2<x 1<0时，47>b 、 12.A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8km/h ，船在静水中的速度为vkm/h(8<v 0v ≤)，假设船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度v 0应为多少？分析：此题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间表达了分类讨论这一重要的数学思想，此题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视。

高考数学二轮复习考前冲刺必备三解题陷阱妙破学案(含参考答案)

高考数学二轮复习：必备三解题陷阱妙破“陷阱”,顾名思义,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.陷阱一混淆概念——理解概念抓本质例1 若z=sinθ-35+(cos θ-45)i 是纯虚数,则tan (θ-π4)的值为 .易错分析本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致所求tan (θ-π4)的值为多个,从而错解.答案 -7正确解析由纯虚数的概念,可知{sin θ-35=0,①cos θ-45≠0,②由①,得sinθ=35,故cosθ=±√1-sin 2θ=±√1-(35)2=±45,而由②,可得cosθ≠45,故cosθ=-45,所以tanθ=sin θcos θ=-34,则tan (θ-π4)=tan θ-tanπ41+tan θtanπ4=-34-11+(-34)×1=-7.▲跳出陷阱在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念.跟踪集训1.已知向量a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,设a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是 .陷阱二错用结论——公式定理要记准例2 将函数g(x)=4sinxcosx 的图象向左平移π6个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f (π4)= .易错分析该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.答案√6+√22正确解析将函数g(x)=4sinxcosx=2sin2x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=2sin2(θ+π6)=2sin (2θ+π3)的图象,将该函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后所得图象对应的函数解析式为f(x)=2sin (12×2x +π3)=2sin (θ+π3).所以f (π4)=2sin (π4+π3)=2sin π4cos π3+cos π4sin π3=2×(√22×12+√22×√32)=√6+√22. ▲跳出陷阱三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.跟踪集训2.(2018宿迁剑桥国际学校高三月考)已知函数f(x)=sin (2θ+π6)-cos (2θ+π3)+2cos 2x.(1)求f (π12)的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)函数f(x)的图象可由y=sinx 的图象如何变换得来?请详细说明.陷阱三忽视验证——特例情况要谨记例3 已知椭圆θ29+θ28=1的半焦距为c,曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y 轴的距离大c.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线l 过点F,交曲线Γ于A,B 两点,过A,B 分别作曲线Γ的切线交于点P,判断θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是不是定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析直线l 过点F 交曲线Γ于A,B 两点,由于思维定势,经常只考虑直线l 的方程为y=k(x-1),k≠0的情况,从而漏掉了过点F 的直线l 与x 轴垂直这一特殊情况,导致错解.正确解析 (1)因为椭圆θ29+θ28=1的半焦距为c,所以c=√9-8=1,因为曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y 轴的距离大1, 所以曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于该点到直线x=-1的距离. 根据抛物线的定义,知曲线Γ的轨迹为抛物线. 设曲线Γ的方程为y 2=2px(p>0),所以θ2=1,解得p=2,所以曲线Γ的方程为y 2=4x. (2)θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值.证明如下:①当过点F 的直线l 与x 轴垂直时,直线l 的方程为x=1, 根据抛物线的对称性知,点P 在x 轴上, 所以PF⊥AB,所以θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.②当过点F 的直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y=k(x-1),k≠0, 由{θ=θ(θ-1),θ2=4x得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,所以Δ=[-(2k 2+4)]2-4k 2·k 2=16k 2+16>0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x P ,y P ),y 1>0,y 2<0, 则x 1+x 2=2+4θ2,x 1x 2=1.由y 2=4x(y>0),得y=2√θ,y'=√θ,所以过点A 的切线PA 的方程为y-y 1=√θ(x-x 1),即y=√θ+√θ1; 由y 2=4x(y<0),得y=-2√θ,y'=-√θ,所以过点B 的切线PB 的方程为y-y 2=-√θ(x-x 2),即y=-√θ-√θ2. 由{θθ=θθ+√θ1,θθ=θ√θ√θ2得{θθ=-√θ1θ2=-1,θθ=2θ,即P (-1,2θ),所以直线PF 的斜率k PF =2θ-0-1-1=-1θ,所以k PF ·k=-1θ×k=-1,所以PF⊥AB.综上所述,θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值,且定值为0. 跟踪集训3.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:θ2θ2+θ2θ2=1(a>b>0)与直线l:x=m(m∈R).四点(3,1),(3,-1),(-2√2,0),(√3,√3)中有三个点在椭圆C上,剩余一个点在直线l上.(1)求椭圆C的方程;(2)若动点P在直线l上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得PM=PN,再过点P作直线l'⊥MN.证明:直线l'过定点,并求出该定点的坐标.陷阱四讨论漏解——参数标准要恰当例4 已知函数f(x)=lnx-ax+1-θθ-1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当0≤a<12时,讨论f(x)的单调性.易错分析该题易出现的问题是讨论f(x)的单调性时,对参数进行分类讨论的标准不正确,造成分类的重复或遗漏.正确解析(1)当a=-1时,f(x)=lnx+x+2θ-1,x∈(0,+∞).所以f'(x)=θ2+x-2θ2,x∈(0,+∞).因此f'(1)=0,即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为0.又f(1)=ln1+1+2-1=2,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2.(2)因为f(x)=lnx-ax+1-θθ-1,所以f'(x)=1θ-a+θ-1θ2=-θθ2-x+1-aθ2,x∈(0,+∞).令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞).①当a=0时,g(x)=-x+1,当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增.②当0<a<12时,由f'(x)=0,即ax 2-x+1-a=0,亦即(x-1)(ax+a-1)=0,解得x 1=1,x 2=1θ-1. 此时1θ-1>1>0,所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,1θ-1)时,g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x∈(1θ-1,+∞)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减.综上,当a=0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当0<a<12时,函数f(x)在(0,1),(1θ-1,+∞)上单调递减,在(1,1θ-1)上单调递增.▲跳出陷阱含参的函数单调性的分析是一个难点,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚,导致分类混乱.明确标准,合理分类是解决此类问题的关键,讨论含参的函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序:①最高次幂的系数是不是0;②方程f'(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系.分类后确定导函数的符号,常画出导函数的图象,根据图象与x 轴的相对位置确定导函数的符号,进而写出单调区间.跟踪集训4.已知函数f(x)=a x+x 2-xlna(a>0,a≠1). (1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调递增区间;(3)若存在x 1,x 2∈[-1,1],使得|f(x 1)-f(x 2)|≥e -1(e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.陷阱五条件遗漏——细心审题不遗漏例5 在锐角三角形ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=8,b=10,△ABC 的面积为20√3,则△ABC 中最大角的正切值是 .易错分析本题易忽视锐角三角形这一条件. 答案5√33解析由题意得20√3=12×8×10×s inC ⇒sinC=√32⇒C=π3或C=2π3(舍),由余弦定理得,c 2=82+102-2×8×10×12=84,因为a=8,b=10,所以a 2<c 2<b 2,因此B 角最大, 由余弦定理的推论得,cosB=22=√84,则tanB=√1-cos 2B cos 2B=5√33.▲跳出陷阱审题时一定要仔细,注意题中正数、整数、锐角、钝角、x 轴上方等限制条件. 跟踪集训5.已知钝角△ABC 的三个内角成等差数列,最大边长与最小边长的比值为m,则实数m 的取值范围为 .陷阱六推理不当——归纳类比要合理例6 我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理:幂势既同,则积不容异.这句话的意思:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.设由曲线x 2=4y 和直线x=4,y=0所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1,由同时满足x≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2,根据祖暅原理可知,通过类比Γ2可以得到Γ1的体积为 .易错分析该题易出现的问题是不能准确理解祖暅原理,只关注两个平面图形形状的差异性,找不出共性,导致错误的类比.答案 32π正确解析设图(1)中的阴影部分绕y 轴旋转一周得到的旋转体Γ1的体积为V',则V'=2θθ1,圆(1)、(2)中的两图形绕y 轴旋转所得的旋转体均夹在两个相距为8的平行平面之间,用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点的距离为|y|,则所得截面面积S 1=π(42-4|y|),S 2=π(42-y 2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|),所以S 1=S 2,由祖暅原理知,Γ1与Γ2的体积相等.因为Γ2是由同时满足x≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体,所以它应该是一个大的球体减去两个半径一样的小的球体,体积为4π3·43-2·4π3·23=64π,所以Γ1的体积为32π.▲跳出陷阱类比推理的关键在于“类”,即找到两类事物的共性,这是类比推理的基础,在此基础上才能进行由此及彼的相关性质研究,如该题中两个截面面积相等是类比两个几何体体积相等的关键.跟踪集训6.先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a 1,a 2∈R,a 1+a 2=1,求证:θ12+θ22≥12.证明:构造函数f(x)=(x-a 1)2+(x-a 2)2,则f(x)=2x 2-2(a 1+a 2)x+θ12+θ22=2x 2-2x+θ12+θ22,∵对一切x∈R,恒有f(x)≥0,∴Δ=4-8(θ12+θ22)≤0,从而得θ12+θ22≥12.(1)若a 1,a 2,…,a n ∈R,a 1+a 2+…+a n =1,请写出上述结论的推广式; (2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.陷阱七画图不准——数化“形”要准确例7 已知定义在R 上的函数f(x)满足:①f(x)+f(2-x)=0; ②f(x -2)=f(-x);③在[-1,1]上的表达式为f(x)={√1-θ2,x∈[-1,0],cos (π2x ),x∈(0,1].则函数f(x)与函数g(x)={2θ,x ≤0,1-θ,θ>0的图象在区间[-3,3]上的交点个数为 .易错分析该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数. 答案 6正确解析由①可得,f(1-x)+f(1+x)=0,即f(x)的图象关于点(1,0)对称; 由②可得f(x-1)=f(-x-1),即f(x)的图象关于直线x=-1对称.如图,根据③先作出函数f(x)在[-1,1]上的图象,然后作出其关于直线x=-1对称的图象,则得函数f(x)在[-3,-1]上的图象,再作其关于(1,0)对称的图象,则得函数f(x)在[-3,3]上的图象,最后作出函数g(x)的图象.由图象可知两函数的图象在[-3,3]上有6个交点.▲跳出陷阱该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性等.跟踪集训7.(2018江苏南通阶段检测)设函数f(x)是定义域为R,周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)={lg|θ|,θ≠0,1,θ=0,则函数f(x)和g(x)的图象在区间[-5,10]内交点的个数为.陷阱八推理跳步——步骤过程要合理例8 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.(1)求证:EF∥平面ABC1D1.(2)求证:EF⊥B1C.易错分析证明立体几何中平行和垂直问题时,易出现的问题是对判定定理的条件书写不完整导致推理不严密或者使用课本上没有的、但是是正确的命题作为推理条件.正确证明(1)如图,连接BD1,在△DD1B中,E,F分别为DD1,DB的中点,则EF∥D1B.因为EF∥D1B,D1B⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1,所以EF∥平面ABC1D1.(2)因为立体图形ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AB⊥平面BCC1B1,又B1C⊂平面BCC1B1,所以B1C⊥AB.又因为B1C⊥BC1,AB,BC1⊂平面ABC1D1,AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1.因为BD1⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1.又因为EF∥BD1,所以EF⊥B1C.▲跳出陷阱证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归,通过恰当地转化达到最终目的.解这类问题时要注意推理要严谨,使用定理时要找足条件,不要用没有证明的结论作为推理条件,同时书写要规范.跟踪集训8.(2018江苏海安高级中学阶段检测)如图,在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面A 1ACC 1是边长为2的菱形,∠A 1AC=60°.在平面ABC 中,AB=2√3,BC=4,M 为BC 的中点,过A 1,B 1,M 三点的平面交AC 于点N. 求证:(1)N 为AC 的中点; (2)AC⊥平面A 1B 1MN.陷阱九转化不当——由此及彼要等价例9 f(x)=12x 2-2alnx+(a-2)x,a∈R.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性;(3)是否存在实数a,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,有θ(θ2)-f(θ1)θ2-θ1>a 恒成立?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.易错分析该题易出现的问题是直接把θ(θ2)-f(θ1)θ2-θ1>a 转化为函数f(x)的导数的范围,即f'(x)>a,导致错解.正确解析 f'(x)=x-2θθ+a-2=(θ-2)(θ+θ)θ(x>0).(1)当a=1时,f(1)=-12, f'(x)=(θ-2)(θ+1)θ,f'(1)=-2,所以所求的切线方程为y-(-12)=-2(x-1), 即4x+2y-3=0.(2)①当-a=2,即a=-2时, f'(x)=(θ-2)2θ≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当0<-a<2,即-2<a<0时,因为0<x<-a 或x>2时,f'(x)>0;-a<x<2时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,-a),(2,+∞)上单调递增,在(-a,2)上单调递减. ③当-a>2,即a<-2时,因为0<x<2或x>-a 时,f'(x)>0;当2<x<-a 时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,2),(-a,+∞)上单调递增,在(2,-a)上单调递减. (3)假设存在这样的实数a 满足条件,不妨设x 1<x 2. 由θ(θ2)-f(θ1)θ2-θ1>a恒成立,知f(x 2)-ax 2>f(x 1)-ax 1恒成立.令g(x)=f(x)-ax=12x 2-2alnx-2x,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g'(x)=x-2θθ-2≥0,即2a≤x 2-2x=(x-1)2-1在(0,+∞)上恒成立,因为(x-1)2-1在(0,+∞)上的最小值为-1,所以a≤-12, 故存在这样的实数a 满足题意,其取值范围为(-∞,-12].▲跳出陷阱条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如本题中的第(3)问中的“θ(θ2)-f(θ1)θ2-θ1”,其几何意义是曲线上两点(x 1,f(x 1))与(x 2,f(x 2))连线的斜率,但若直接利用导数的几何意义将该直线的斜率转化为函数图象上某点处的切线斜率,则求解较为复杂,故应该通过代数式的等价变换,将原问题转化为函数g(x)=f(x)-ax 的单调性问题进行求解.跟踪集训9.(2018江苏楚水实验学校等三校联考)已知函数f(x)=x-θθ,g(x)=2alnx. (1)若b=0,函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,求a 的值;(2)若a>0,b=-1,函数F(x)=xf(x)+g(x)满足对任意x 1,x 2∈(0,1](x 1≠x 2),都有|F(x 1)-F(x 2)|<3|1θ1-1θ2|恒成立,求a 的取值范围;(3)若b=1,函数G(x)=f(x)+g(x),且G(x)有两个极值点x 1,x 2,其中x 1∈(0,13],求G(x 1)-G(x 2)的最小值.陷阱十新定义不明——用新定义要明确例10 定义:用[x](x∈R)表示不超过x 的最大整数,用[x)(x∈R)表示超过x 的最小整数.例如[1.2]=1,[-0.3]=-1,[-1.5)=-1.给出下列结论:①函数f(x)=[sinx]是奇函数; ②2π是函数f(x)=[sinx]的周期;③若x∈(1,2),则不等式([x)-x)[x)<x 的解集为(43,2); ④函数g(x)=[sinx]+[cosx)的值域是{2,1,0,-1}. 其中正确的是 .(填上所有正确结论的序号)易错分析未读懂新定义“[x](x∈R)”与“[x)(x∈R)”的含义,导致判断结论是否正确时出错. 答案 ②③④正确解析对于①,因为f (π6)=[sin π6]=[0.5]=0, f (-π6)=[sin (-π6)]=[-0.5]=-1,所以f (-π6)≠-f (π6),所以函数f(x)=[sinx]不是奇函数,所以①错. 对于②,因为f(x)=[sinx]={0,2θπ≤θ<2θπ+π且θ≠2θπ+π2,1,θ=2θπ+π2,-1,2θπ+π<θ<2θπ+2π,k∈Z.数形结合可知,2π是函数f(x)=[sinx]的周期,所以②正确. 对于③,当x∈(1,2)时,[x)=2,由([x)-x)[x)<x,得{1<θ<2,(2-θ)·2<θ,解得43<x<2,故其解集为(43,2).所以③正确.对于④,因为g(x)=[sinx]+[cosx) ={ 2,θ=2θπ或θ=2θπ+π2,1,2θπ<θ<2θπ+π2,0,θπ+π2<x <kπ+π或θ=2θπ+π或θ=2θπ+3π2,-1,2θπ+π<θ<2θπ+3π2,k∈Z.所以函数g(x)=[sinx]+[cosx)的值域是{2,1,0,-1},所以④正确.▲跳出陷阱解新定义问题时,一定要过好审题关,仔细辨析试题中待求的问题.在准确理解新定义的前提下求解,这样才能避免掉入新定义问题的陷阱里.跟踪集训10.若函数f(x)(x1≤x≤x2)图象上的两端点A,B的横坐标分别为x1,x2,动点M(x M,y M)在函数f(x)的图象⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则称向量θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的上,且满足x M=x2+λ(x1-x2)(λ∈R),O为坐标原点,且点N满足θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λθθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =θθ模的最大值为函数f(x)的“向高”.函数f(x)=x2-4x+2在区间[-1,5]上的“向高”为.答案精解精析陷阱一混淆概念——理解概念抓本质跟踪集训1.答案 {θ|θ>-12且λ≠2} 解析因为θ为锐角,所以0<cosθ<1. 又因为cosθ=θ·θ|θ||θ|=5·√2+1, 所以5·√2+1>0且5·√2+1≠1,所以{2θ+1>0,2θ+1≠√5·√θ2+1,解得{θ>-12,θ≠2,所以λ的取值范围是{θ|θ>-12且λ≠2}.陷阱二错用结论——公式定理要记准跟踪集训2.解析 (1)f(x)=sin (2θ+π6)-cos (2θ+π3)+2cos 2x=√32sin2x+12cos2x-12cos2x+√32sin2x+cos2x+1=√3sin2x+cos2x+1=2sin (2θ+π6)+1, ∴f (π12)=2sin (2×π12+π6)=√3+1.(2)令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z);令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z).∴f(x)的单调递增区间为[θπ-π3,kπ+π6](k∈Z),f(x)的单调递减区间为[θπ+π6,kπ+2π3](k∈Z).(3)变换步骤:(答案不唯一) y=sinx y=sin2xy=sin (2θ+π6) y=2sin (2θ+π6)y=2sin (2θ+π6)+1.陷阱三忽视验证——特例情况要谨记跟踪集训3.解析 (1)由题意有3个点在椭圆C 上,根据椭圆的对称性,则点(3,1),(3,-1)一定在椭圆C 上,即9θ2+1θ2=1(a>b>0)①, 若点(-2√2,0)在椭圆C 上,则点(-2√2,0)必为椭圆C 的左顶点,而3>2√2,则点(-2√2,0)一定不在椭圆C 上,故点(√3,√3)在椭圆C 上,点(-2√2,0)在直线l 上, 所以3θ2+3θ2=1②,联立①②可解得a 2=12,b 2=4, 所以椭圆C 的方程为θ212+θ24=1.(2)证明:由(1)可得直线l 的方程为x=-2√2, 设P(-2√2,y 0),y 0∈(-2√33,2√33),当y 0≠0时,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),显然x 1≠x 2,联立{θ1212+θ124=1,θ2212+θ224=1,则θ12-θ2212+θ12-θ224=0,即θ1-θ2θ1-θ2=-13·θ1+θ2θ1+θ2,又PM=PN,即点P 为线段MN 的中点, 故直线MN 的斜率为-13·-2√2θ0=2√23θ0,又直线l'⊥MN,所以直线l'的方程为y-y 0=-(x+2√2),即y=-θ+4√23),显然直线l'过定点(-4√23,0);当y 0=0时,直线MN 为x=-2√2,此时直线l'为x 轴亦过点(-4√23,0).综上所述,直线l'过定点,且该定点的坐标为(-4√23,0).陷阱四讨论漏解——参数标准要恰当跟踪集训4.解析 (1)因为函数f(x)=a x+x 2-xlna(a>0,a≠1), 所以f'(x)=a xlna+2x-lna,f'(0)=0,又因为f(0)=1,所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1. (2)由(1)知,f'(x)=a xlna+2x-lna=2x+(a x-1)lna.因为当a>0,a≠1时,总有f'(x)在R上是增函数,又f'(0)=0,所以不等式f'(x)>0的解集为(0,+∞),所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).(3)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1成立,当x∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min,所以只要f(x)max-f(x)min≥e-1即可.又因为x,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:x (-∞,0)0 (0,+∞) f'(x) - 0 +f(x) 减函数极小值增函数所以f(x)在[-1,0)上是减函数,在(0,1]上是增函数,所以当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1,f(x)的最大值f(x)max为f(-1)和f(1)中的最大值.因为f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-(1θ+1+lnθ)=a-1θ-2lna,令g(a)=a-1θ-2lna(a>0),因为g'(a)=1+1θ2-2θ=(1-1θ)2≥0(当a=1时,取“=”),所以g(a)在(0,+∞)上是增函数.而g(1)=0,故当a>1时,g(a)>0,即f(1)>f(-1);当0<a<1时,g(a)<0,即f(1)<f(-1).所以,当a>1时,f(1)-f(0)≥e-1,即a-lna≥e-1,函数y=a-lna在(1,+∞)上是增函数,解得a≥e;当0<a<1时,f(-1)-f(0)≥e-1,即1θ+lna≥e-1,函数y=1θ+lna在(0,1)上是减函数,解得0<a≤1e.综上可知,实数a的取值范围为(0,1e]∪[e,+∞).陷阱五条件遗漏——细心审题不遗漏跟踪集训5.答案(2,+∞)解析不妨设A<B<C,则a<b<c,A+C=2B=π-B,B=π3,{0<θ<π3,π2<C=2π3-A<π⇒0<A<π6,0<tanA<√33,√32tanθ>32,m=θθ=sin θsin θ =sin (2π3-A )sin θ=√32cos θ+12sin θsin θ=12+√32tan θ>2, 即实数m 的取值范围是(2,+∞).陷阱六推理不当——归纳类比要合理跟踪集训6.解析 (1)若a 1,a 2,…,a n ∈R,a 1+a 2+…+a n =1,则θ12+θ22+…+θθ2≥1θ.(2)证明:构造函数f(x)=(x-a 1)2+(x-a 2)2+…+(x -a n )2,则f(x)=nx 2-2(a 1+a 2+…+a n )x+…+θ12+θ22+…+θθ2=nx 2-2x+θ12+θ22+…+θθ2,∵对一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=4-4n(θ12+θ22+…+θθ2)≤0, 从而得θ12+θ22+…+θθ2≥1θ.陷阱七画图不准——数化“形”要准确跟踪集训 7.答案 15解析函数y=f(x),y=g(x),x∈[-5,10]的图象的交点个数即为函数y=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数,在同一坐标系中作出函数图象如图,当x∈[9,10]时,f(9)=0<g(9)=lg9,f(10)=1=g(10)=lg10,所以在区间(9,10)内还有一个交点,由图可得两个函数图象有15个交点,故函数零点个数是15.陷阱八推理跳步——步骤过程要合理跟踪集训8.证明 (1)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB∥A 1B 1,平面ABC∥平面A 1B 1C 1, 平面A 1B 1M∩平面ABC=MN, 平面A 1B 1M∩平面A 1B 1C 1=A 1B 1, 所以MN∥A 1B 1.因为AB∥A 1B 1,所以MN∥AB,所以θθθθ=θθθθ. 因为M 为AB 的中点,所以N 为AC 的中点.(2)在三角形A 1AN 中,AN=1,AA 1=2,∠A 1AC=60°,由余弦定理得A 1N=√3, 故A 1A 2=AN 2+A 1N 2,从而可得∠A 1NA=90°,即A 1N⊥AC. 在三角形ABC 中,AB=2√3,AC=2,BC=4,则BC 2=AB 2+AC 2,从而可得∠BAC=90°,即AB⊥AC. 又MN∥AB,则AC⊥MN.因为MN∩A 1N=N,MN ⊂面A 1B 1MN,A 1N ⊂面A 1B 1MN, 所以AC⊥平面A 1B 1MN.陷阱九转化不当——由此及彼要等价跟踪集训9.解析 (1)当b=0时,函数f(x)=x 的图象与g(x)=2alnx 的图象相切,设切点为(x 0,2alnx 0),则切线方程为y=2θθx-2a+2alnx 0,所以{2θθ0=1,-2θ+2θln θ0=0,得{θ0=e,θ=e 2,所以a=e 2.(2)当a>0,b=-1时,F(x)=x 2+1+2alnx,F'(x)=2x+2θθ>0,所以F(x)在(0,1]上递增. 不妨设0<x 1<x 2≤1,原不等式⇔F(x 2)-F(x 1)<3(1θ1-1θ2),即F(x 2)+3θ2<F(x 1)+3θ1.设h(x)=x 2+1+2alnx+3θ,则原不等式⇔h(x)在(0,1]上递减,即h'(x)=2x+2θθ-3θ2≤0在(0,1]上恒成立,所以2a≤3θ-2x 2在(0,1]上恒成立. y=3θ-2x 2在(0,1]上递减,所以y min =3-2=1,所以2a≤1,又a>0,所以0<a≤12. (3)当b=1时,函数G(x)=f(x)+g(x)=x-1θ+2alnx,G'(x)=θ2+2ax +1θ2(x>0),由题意知x 1,x 2是x 2+2ax+1=0的两根,∴x 1x 2=1,x 1+x 2=-2a,x 2=1θ1,2a=-x 1-1θ1,G(x 1)-G(x 2)=G(x 1)-G (1θ1)=2[θ1-1θ1-(θ1+1θ1)ln θ1].令H(x)=2[θ-1θ-(θ+1θ)ln θ], H'(x)=2(1θ2-1)lnx=2(1+θ)(1-θ)ln θθ2.当x∈(0,13]时,H'(x)<0,所以H(x)在(0,13]上单调递减,H(x)的最小值为H (13)=20ln3-163,即G(x 1)-G(x 2)的最小值为20ln3-163.陷阱十新定义不明——用新定义要明确跟踪集训 10.答案 9解析易知A(-1,7),B(5,7),所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,0),所以ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-6λ,7). 因为x M =x 2+λ(x 1-x 2),所以x M =5+λ(-1-5)=5-6λ. 因为点M(x M ,y M )在函数f(x)的图象上, 所以-1≤5-6λ≤5,解得0≤λ≤1.所以y M =f(5-6λ)=(5-6λ)2-4(5-6λ)+2=36λ2-36λ+7,所以ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-6λ,7)-(5-6λ,36λ2-36λ+7)=(0,-36λ2+36λ), 所以|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|-36λ2+36λ|=36|-(λ-12)2+14|, 当λ=12时,|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取最大值,为9. 所以函数f(x)=x 2-4x+2在区间[-1,5]上的“向高”为9,故填9.。

【江苏高考】2019版数学理科考前三个月抢分必做考前回扣2 含解析

回扣2 函数与导数1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域；③在实际问题中应使实际问题有意义．(2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ； ③反比例函数y ＝k x(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．3．关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期．②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期．③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 4．函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f [g (x )]的单调性．5．函数图象的基本变换(1)平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换：y ＝f (x )――→0<ω<1，伸ω>1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→0<A <1，缩A >1，伸y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )，y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )，y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y ＝a x (a >0，且a ≠1)恒过(0,1)点；y ＝log a x (a >0，且a ≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减．7．函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点．(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：即解方程f(x)＝0.②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．8．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．9．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0 (x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．10．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连结，可用“及”连结或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x >0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．7．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；而已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )>0(＜0)的解集为(a ，b )．8．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f [f (1)]等于________．答案－2解析由f [f (1)]＝f (21－4)＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2.2．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案 [1，32) 解析因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，y ′＝2x －12x，由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得， ⎩⎪⎨⎪⎧ k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32. 3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 (2,3)解析因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，所以1<a <3且由f (7)<f (8)得，7(3－a )－3<a 2，解得a <－9或a >2，所以实数a 的取值范围是(2,3)．4．函数y ＝x ·2x|x |的图象大致形状是________．答案 ①解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，－2x ，x <0， y ＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，且y ＝2x ＞0，排除②④；又y ＝－2x 在(－∞，0)上单调递减，排除③.5．已知函数f (x )为偶函数，将f (x )的图象向右平移一个单位后得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2016)等于________．答案 0解析由条件知f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，又f (x )为偶函数，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的函数，在f (x ＋2)＝－f (x )中令x ＝－1，可得f (1)＝0，再令x ＝1可得f (3)＝－f (1)＝0，令x ＝2可得f (4)＝－f (2)＝1，因此f (1)＋f (2)＋…＋f (2016)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－1)＝2，则f (2017)的值是________．答案－2解析由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以T ＝4的周期函数，所以f (2017)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.7． a 、b 、c 依次表示函数f (x )＝2x ＋x －2，g (x )＝3x ＋x －2，h (x )＝ln x ＋x －2的零点，则a 、b 、c 的大小顺序为________．答案 b <a <c解析 a 、b 、c 为直线y ＝2－x 分别与曲线y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝ln x 的交点横坐标，从图象可知b <a <c .8．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a 、b 、c 的大小关系是________．答案 c >a >b解析易知log 23>1，log 32，log 52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y＝log 5x 的图象，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式得log 32>log 52，即a ＞b .9．若函数f (x )定义域为[－2,2]，则函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为________．答案 (－1,1]解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，x ＋1>0，∴－1<x ≤1，即函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为(－1,1]．10．设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )x，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是__________．答案 (－∞，e 2＋1e] 解析令g (x )＝x 2－2e x ＋m －ln x x＝0， ∴m ＝－x 2＋2e x ＋ln x x(x >0)，设h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x，令f 1(x )＝－x 2＋2e x ， f 2(x )＝ln x x ，∴f 2′(x )＝1－ln x x 2，发现函数f 1(x )，f 2(x )在x ∈(0，e)上都是单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上都是单调递减，∴函数h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x在x ∈(0，e)上单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上单调递减，∴当x ＝e 时，h (x )max ＝e 2＋1e ，∴函数有零点需满足m ≤h (x )max ，即m ≤e 2＋1e. 11．设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈[0，12]时f (x )＝－x 2，则f (3)＋f (－32)的值等于________．答案－14解析由于y ＝f (x )为奇函数，根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，可得f (－t )＝f (1＋t )，所以函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝－14， ∴f (3)＋f (－32)＝－14.12．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________．答案－7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意，故a ＋b ＝－7.13．已知函数f (x )＝x ＋1e x (e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－x e x ， ∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋(1－t )x ＋1e x ， ∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x ＝－(x －t )(x －1)e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e 2>1； ②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0；③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减，若t ∈(t,1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t,1)上单调递增，∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t <max{1，3－t e}．(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0,1]上单调递减，故4e≤2·t＋1e t≤2，而2e≤3－te≤3e，∴不等式(*)无解．综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立．。

江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备二审题方法秘籍学案(含答案)

必备二审题方法秘籍审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题.一审审条件挖隐含有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误.典型例题例1 (2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sinx-x+-,则关于x的不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0的解集为.▲审题指导sin(-x)=-sinx,2-x=f'(x)<0f(1-x2)<-f(5x-7)=f(7-5x)1-x2>7-5x答案(2,3)解析∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∵f'(x)=cosx-1--2x ln2,∴f'(x)<0,∴函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x2)<f(7-5x),即1-x2>7-5x,解得2<x<3,故所求不等式的解集为(2,3).跟踪集训1.已知函数f(x)=2x,当x∈[0,3]时,f(x+ )≤f[( x+a)2]恒成立,则a的取值范围为.二审审结论会转换解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.典型例题例2 已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.▲审题指导思路:证明两曲线有唯一公共点函数φ(x)=e x-x2-x-1有唯一一个零点φ'(x)=e x-x-1结论证明曲线y=e x与曲线y=x2+x+1公共点的个数等价于函数φ(x)=e x-x2-x-1零点的个数.∵φ(0)=1- =0,∴φ(x)存在零点x=0.又φ'(x)=e x-x-1,令h(x)=φ'(x)=e x-x-1,则h'(x)=e x-1.当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减;当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(当且仅当x=0时,等号成立),∴φ(x)在R上是单调递增的,∴φ(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.跟踪集训2.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.令f(x)=g+mlnx+(m∈R,x>0).(1)求g(x)的表达式;(2)若∃x>0,f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;(3)设 <m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:∀x1,x2∈[ ,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.三审审结构定方案数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案.典型例题例3 设数列{a n}( = , ,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<000成立的n的最小值.▲审题指导(1)(2)a n=2n→=→T n=1-→解不等式|T n-1|<000n取10解析(1)由已知S n=2a n-a1,得S n-1=2a n-1-a1( ≥ ),所以a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1( ≥ ),即a n=2a n-1( ≥ ).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(2)由(1)得=,所以T n=++…+=--=1-.由|T n -1|<000,得 -- <000,即2n>1000.因为29=512<1000<1024=210,所以 ≥ 0. 所以使|T n -1|<000成立的n 的最小值为10. 跟踪集训3.(2018盐城时杨中学高三月考)在数列{a n }中,a 1= ,a n+1=3-,b n = 0,其中 ∈N *. (1)求证:数列{b n }为等差数列;(2)设c n =b n b n+1cosn π, ∈N *,数列{c n }的前n 项和为T n ,若当 ∈N *且n 为偶数时,T n ≤t 2恒成立,求实数t 的取值范围;(3)设数列{a n }的前n 项和为S n ,试求数列{S 2n -S n }的最大值.四审审图形抓特点在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键. 典型例题例4 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) ∈R, 0,0的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f --f的单调递增区间.▲审题指导第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A和φ的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看作一个整体,利用y=sinx的单调区间,通过解不等式求得结果.解析(1)由题图知,周期T=2-=π,所以ω==2,因为点,0在函数图象上,所以Asin=0,即sin=0.又因为0<φ<,所以<+φ<,3从而+φ=π,即φ=.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)g(x)=2sin--2sin2+=2sin2x-2s 3cos=2sin2x-2sin3.=sin2x-3cos2x=2sin-3≤ kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.由2kπ-≤ x-3所以函数g(x)的单调递增区间是-,k ,k∈Z.跟踪集训4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则f(2)= .五审审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.典型例题例5 把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设a ij( ,j∈N*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若a ij=2015,则i+j= .12,43,5,76,8,10,129,11,13,15,1714,16,18,20,22,24…▲审题指导i是奇数2015位于奇数行的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j答案110解析由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数, 0 = × 00 -1,所以2015为第1008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为3 × +3 30× = ,前32个奇数行内奇数的总个数为3 × +3 3 × = 0 ,故2015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是 × -1=1921,所以第63行的第一个数为1923,所以2015=1923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.跟踪集训5.已知数列{a n},a n= ·,把数列{a n}的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m行,第n列的项,则3A(10,8)= .a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…6.下表给出一个“三角形数阵”.333…已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a ij( ≥j, ,j∈N*).(1)求a83;(2)试写出a ij关于i,j的表达式;(3)记第n行的和为A n,求数列{A n}的前m项和B m的表达式.六审审范围防易错范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.典型例题例6 已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.▲审题指导结论(2)由(1)中结论→f(x)的最大值lna+a-1<0g(a)=lna+a-1解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈0,时,f'(x)>0;当x∈,∞时,f'(x)<0,所以f(x)在0,上单调递增,在,∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a-=-lna+a-1.因此f>2a-2等价于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,a>0,g'(a)=+1>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).跟踪集训7.在三角形ABC中,已知2·=||·||,设∠CAB=α,(1)求角α的值;,,求cosβ的值.(2)若cos(β-α)=3,其中β∈3七审审方法寻捷径方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍. 典型例题例7 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.3(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.▲审题指导(1)(2)四边形OPTQ是平行四边形S ▱OPTQ=2S△OPQ→S△OPQ=|OF||y1-y2|→y1与y2的关系→联立直线PQ的方程与椭圆的方程,c=2,所以a=.解析(1)由已知可得=3由a2=b2+c2,得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),=-m.则直线TF的斜率k TF=-0-3-(- )当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,则直线PQ 的方程是x=my-2. 当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2, 也满足方程x=my-2.设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得 - ,,消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0,∴Δ=16m 2+8(m 2+3)>0,y 1+y 2= 3,y 1y 2=-3, 则x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=-3.因为四边形OPTQ 是平行四边形, 所以 = ,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m-y 2). 所以-3 -3,3m,解得m=± .所以S 四边形OPTQ =2S △OPQ = ×·|OF|·|y 1-y 2|=2 3- ·-3=2 3.跟踪集训8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点A是椭圆的左顶点,过原点的直线MN与椭圆交于M,N两点(M在第三象限),与椭圆的右准线交于点P.已知AM⊥MN,且b2.·=3(1)求椭圆C的离心率e;a,求椭圆C的标准方程.(2)若S△ANM+S△POF= 03答案精解精析一审审条件挖隐含跟踪集训1.答案{a|a≥ 或a≤-8}解析因为f(x)=2x是单调增函数,所以由f(x+ )≤f[( x+a)2]得x+ ≤( x+a)2,则问题转化为x+ ≤( x+a)2对x∈[0,3]恒成立,即4x2+(4a-1)x+a2- ≥0对x∈[0,3]恒成立,令h(x)=4x2+(4a-1)x+a2-1,若-<0,则h(0)≥0,此时a≥ ;若->3,则h(3)≥0,此时a≤-8;若0≤-≤3,则Δ=(4a-1)2-16(a2- )≤0,此时无解.综上,a的取值范围是{a|a≥ 或a≤-8}.二审审结论会转换跟踪集训2.解析(1)设g(x)=ax2+bx+c,a≠0,于是,g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2,所以- .又g(1)=-1,则b=-.所以g(x)=x2-x-1.(2)f(x)=g+mlnx+=x2+m x(m∈R,x>0).当m>0时,由对数函数性质知f(x)的值域为R;当m=0时,f(x)=,∀x>0,f(x)>0恒成立;当m<0时,由f'(x)=x+=0⇒x=-,列表:这时,f(x)min=f(-)=-+mln-.f(x)min >0⇔ -m -0, 0⇒-e<m<0. 所以若∀x>0,f(x)>0恒成立,则实数m 的取值范围是(-e,0]. 故∃x>0,f(x)≤0成立,实数m 的取值范围(-∞,-e]∪(0,+∞). (3)证明:因为∀x∈[ ,m],H'(x)=( - )( - )≤0,所以H(x)在[1,m]内单调递减.于是|H(x 1)-H(x 2)|≤H( )-H(m)=m 2-mlnm-, |H(x 1)-H(x 2)|<1⇒m 2-mlnm-<1⇒m-lnm-3<0,记h(m)=m-lnm-3( <m≤e),则h'(m)= - +3 =3- 3 +3>0, 所以函数h(m)=m-lnm-3在(1,e]上是单调增函数, 所以h(m)≤h(e)=e-1-3 e =(e -3)(e )e<0,故命题成立.三审审结构定方案跟踪集训3.解析 (1)证明:∵b n+1= 0= 0·3 -=0() (3- ) ( )=, ∴b n+1-b n =- 0=1. ∴数列{b n }是公差为1的等差数列. (2)由题意可知,b 1= 0=1,故b n =n.因为c n =b n b n+1cosn π, ∈N *,所以T n =c 1+c 2+…+c n =-b 1b 2+b 2b 3-b 3b 4+b 4b 5-…+(-1)nb n b n+1. 当 ∈N *且n 为偶数时,设 = m,m∈N *. 则T n =T 2m =-b 1b 2+b 2b 3-b 3b 4+b 4b 5-…+(-1)2mb 2m b 2m+1. =b 2(-b 1+b 3)+b 4(-b 3+b 5)+…+b 2m (-b 2m-1+b 2m+1) =2(b 2+b 4+…+b 2n )= ( + +…+m)= m 2+2m=n 2+n. 要使T n ≤t 2对 ∈N *且n 为偶数恒成立, 只要使n 2+ ≤t 2对 ∈N *且n 为偶数恒成立, 即使t≥ + 对n 为正偶数恒成立.∵=+= ,∴t≥ ,m故实数t的取值范围是[ ,+∞).(3)由(2)知b n=n,又b n= 0,∴a n= 0-.∴S n=10…-,∴S2n=10……-,设M n=S2n-S n=10…-,∴M n+1=…-,103∴M n+1-M n=10--=10--= 0-,( )( )->0,即M1<M2,∴当n=1时,M n+1-M n= 03当 ≥ 时,M n+1-M n<0,即M2>M3>M4>….-1=.∴(M n)max=M2= 0×3因此数列{S2n-S n}的最大值为.四审审图形抓特点跟踪集训4.答案-=,解得ω=3 .又f(1)=sin 3 =1,解得解析由三角函数的图象可得3T=3-1=2,所以最小正周期T=3φ=-+2kπ,k∈Z,所以f(x)=sin 3 x- k ,k∈Z,则f(2)=sin 3 -=sin=-.五审审图表找规律跟踪集训35.答案 ×3解析由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,……,可以猜测第n行共n+1项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是S9=( )=45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a53= ×3 3 ,故答案为 ×3 3.6.解析(1)由题知,{a i1}成等差数列,因为a11=,a21=,所以公差d=,a81=+(8- )×=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a31=3,a32=3,所以,每行的公比q=,故a83= ×=.(2)由(1)知a i1=+(i-1)=,所以a ij=a i1·-=·-= ·.(3)A n=a n1…-=--=-n.B m=( + +…+m)-3….设T m=++3+…+,①则T m=++3+…+,②由①-②,得T m=+++…+-=1--=1-,所以B m=·()--=()+-1.六审审范围防易错跟踪集训7.解析(1)由2·=||·||,得2||·||cosα=||·||,所以cosα=,又因为α为三角形ABC的内角,所以α=3.(2)由(1)知sinα=3,且β-α∈0,,又cos(β-α)=,所以sin(β-α)=, 故cosβ=cos(β-α+α)=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα=×-×3=3.七审审方法寻捷径跟踪集训8.解析(1)由题意知,,消去y, 得x2+ax+b2=0,解得x1=-a,x2=-,所以x M=-∈(-a,0),·=x M x A=a=3b2,=3,所以e=3.(2)由(1)知M-3b,-3b,右准线方程为x=3b,直线MN的方程为y=所以P33b,3b,S△POF=OF·y P=3b·3b=2b2,S△AMN=2S△AOM=OA×|y M|= b×3b=3b2,所以2b2+3b2= 03a,0 3b2= 03b2,所以b=,a=2,椭圆C的标准方程为+=1.。

江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备二审题方法秘籍学案有答案

必备二审题方法秘籍审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题.一审审条件挖隐含有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误.典型例题例1 (2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sinx-x+-,则关于x的不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0的解集为.▲审题指导sin(-x)=-sinx,2-x=f'(x)<0f(1-x2)<-f(5x-7)=f(7-5x)1-x2>7-5x答案(2,3)解析∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∵f'(x)=cosx-1--2x ln2,∴f'(x)<0,∴函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x2)<f(7-5x),即1-x2>7-5x,解得2<x<3,故所求不等式的解集为(2,3).跟踪集训1.已知函数f(x)=2x,当x∈[0,3]时,f(x+ )≤f[( x+a)2]恒成立,则a的取值范围为.二审审结论会转换解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.典型例题例2 已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.▲审题指导思路:证明两曲线有唯一公共点函数φ(x)=e x-x2-x-1有唯一一个零点φ'(x)=e x-x-1结论证明曲线y=e x与曲线y=x2+x+1公共点的个数等价于函数φ(x)=e x-x2-x-1零点的个数.∵φ(0)=1- =0,∴φ(x)存在零点x=0.又φ'(x)=e x-x-1,令h(x)=φ'(x)=e x-x-1,则h'(x)=e x-1.当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减;当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(当且仅当x=0时,等号成立),∴φ(x)在R上是单调递增的,∴φ(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.跟踪集训2.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.令f(x)=g+mlnx+(m∈R,x>0).(1)求g(x)的表达式;(2)若∃x>0,f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;(3)设 <m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:∀x1,x2∈[ ,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.三审审结构定方案数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案.典型例题例3 设数列{a n}( = , ,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<000成立的n的最小值.▲审题指导(1)(2)a n=2n→=→T n=1-→解不等式|T n-1|<000n取10解析(1)由已知S n=2a n-a1,得S n-1=2a n-1-a1( ≥ ),所以a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1( ≥ ),即a n=2a n-1( ≥ ).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(2)由(1)得=,所以T n=++…+=--=1-.由|T n -1|<000,得 -- <000,即2n>1000.因为29=512<1000<1024=210,所以 ≥ 0. 所以使|T n -1|<000成立的n 的最小值为10.跟踪集训3.(2018盐城时杨中学高三月考)在数列{a n }中,a 1= ,a n+1=3-,b n = 0,其中 ∈N *. (1)求证:数列{b n }为等差数列;(2)设c n =b n b n+1cosn π, ∈N *,数列{c n }的前n 项和为T n ,若当 ∈N *且n 为偶数时,T n ≤t 2恒成立,求实数t 的取值范围;(3)设数列{a n }的前n 项和为S n ,试求数列{S 2n -S n }的最大值.四审审图形抓特点在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键. 典型例题例4 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) ∈R, 0,0的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f --f的单调递增区间.▲审题指导第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A和φ的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看作一个整体,利用y=sinx的单调区间,通过解不等式求得结果.解析(1)由题图知,周期T=2-=π,所以ω==2,因为点,0在函数图象上,所以Asin=0,即sin=0.又因为0<φ<,所以<+φ<,3从而+φ=π,即φ=.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)g(x)=2sin--2sin2+=2sin2x-2s 3cos=2sin2x-2sin3.=sin2x--3≤ kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.由2kπ-≤ x-3所以函数g(x)的单调递增区间是-,k ,k∈Z.跟踪集训4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则f(2)= .五审审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.典型例题例5 把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设a ij( ,j∈N*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若a ij=2015,则i+j= .12,43,5,76,8,10,129,11,13,15,1714,16,18,20,22,24…▲审题指导i是奇数2015位于奇数行的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j答案110解析由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数, 0 = × 00 -1,所以2015为第1008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为3 × +3 30× = ,前32个奇数行内奇数的总个数为3 × +3 3 × = 0 ,故2015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是 × -1=1921,所以第63行的第一个数为1923,所以2015=1923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.跟踪集训5.已知数列{a n},a n= ·,把数列{a n}的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m行,第n列的项,则3A(10,8)= .a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…6.下表给出一个“三角形数阵”.333…已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a ij( ≥j, ,j∈N*).(1)求a83;(2)试写出a ij关于i,j的表达式;(3)记第n行的和为A n,求数列{A n}的前m项和B m的表达式.六审审范围防易错范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.典型例题例6 已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.▲审题指导(1)f(x)=lnx+a(1-x)→f'(x)=-a结论(2)由(1)中结论→f(x)的最大值lna+a-1<0g(a)=lna+a-1解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈0,时,f'(x)>0;当x∈,∞时,f'(x)<0,所以f(x)在0,上单调递增,在,∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a-=-lna+a-1.因此f>2a-2等价于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,a>0,g'(a)=+1>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).跟踪集训7.在三角形ABC中,已知2·=||·||,设∠CAB=α,(1)求角α的值;,,求cosβ的值.(2)若cos(β-α)=3,其中β∈3七审审方法寻捷径方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍. 典型例题例7 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.3(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.▲审题指导(1)(2)四边形OPTQ是平行四边形S▱OPTQ=2S△OPQ→S△OPQ=|OF||y1-y2|→y1与y2的关系→联立直线PQ的方程与椭圆的方程,c=2,所以a=解析(1)由已知可得=3由a2=b2+c2,得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),=-m.则直线TF的斜率k TF=-0-3-(- )当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,则直线PQ 的方程是x=my-2. 当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2, 也满足方程x=my-2.设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得 - ,,消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0, ∴Δ=16m 2+8(m 2+3)>0,y 1+y 2= 3,y 1y 2=-3, 则x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=-3.因为四边形OPTQ 是平行四边形, 所以 = ,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m-y 2). 所以-3 -3,3m,解得m=± .所以S 四边形OPTQ =2S △OPQ = ×·|OF|·|y 1-y 2| =2 3- ·-3=2 .跟踪集训8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点A 是椭圆的左顶点,过原点的直线MN与椭圆交于M,N两点(M在第三象限),与椭圆的右准线交于点P.已知AM⊥MN, b2.且·=3(1)求椭圆C的离心率e;a,求椭圆C的标准方程.(2)若S△ANM+S△POF= 03答案精解精析一审审条件挖隐含跟踪集训1.答案{a|a≥ 或a≤-8}解析因为f(x)=2x是单调增函数,所以由f(x+ )≤f[( x+a)2]得x+ ≤( x+a)2,则问题转化为x+ ≤( x+a)2对x∈[0,3]恒成立,即4x2+(4a-1)x+a2- ≥0对x∈[0,3]恒成立,令h(x)=4x2+(4a-1)x+a2-1,若-<0,则h(0)≥0,此时a≥ ;若->3,则h(3)≥0,此时a≤-8;若0≤-≤3,则Δ=(4a-1)2-16(a2- )≤0,此时无解.综上,a的取值范围是{a|a≥ 或a≤-8}.二审审结论会转换跟踪集训2.解析(1)设g(x)=ax2+bx+c,a≠0,于是,g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2,所以- .又g(1)=-1,则b=-.所以g(x)=x2-x-1.(2)f(x)=g+mlnx+=x2+m x(m∈R,x>0).当m>0时,由对数函数性质知f(x)的值域为R;当m=0时,f(x)=,∀x>0,f(x)>0恒成立;当m<0时,由f'(x)=x+=0⇒x=-,列表:这时,f(x)min=f(-)=-+mln-.f(x)min >0⇔ -m -0, 0⇒-e<m<0. 所以若∀x>0,f(x)>0恒成立,则实数m 的取值范围是(-e,0]. 故∃x>0,f(x)≤0成立,实数m 的取值范围(-∞,-e]∪(0,+∞). (3)证明:因为∀x∈[ ,m],H'(x)=( - )( - )≤0,所以H(x)在[1,m]内单调递减.于是|H(x 1)-H(x 2)|≤H( )-H(m)=m 2-mlnm-, |H(x 1)-H(x 2)|<1⇒m 2-mlnm-<1⇒m-lnm-3<0,记h(m)= m-lnm-3( <m≤e), 则h'(m)= - +3 =3- 3 +3>0,所以函数h(m)=m-lnm-3在(1,e]上是单调增函数,所以h(m)≤h(e)=e -1-3 e =(e -3)(e )e<0,故命题成立.三审审结构定方案跟踪集训3.解析 (1)证明:∵b n+1= 0=·3 - =0() (3- ) ( )=,∴b n+1-b n =-=1.∴数列{b n }是公差为1的等差数列. (2)由题意可知,b 1==1,故b n =n.因为c n =b n b n+1cosn π, ∈N *,所以T n =c 1+c 2+…+c n =-b 1b 2+b 2b 3-b 3b 4+b 4b 5-…+(-1)nb n b n+1. 当 ∈N *且n 为偶数时,设 = m,m∈N *. 则T n =T 2m =-b 1b 2+b 2b 3-b 3b 4+b 4b 5-…+(-1)2mb 2m b 2m+1. =b 2(-b 1+b 3)+b 4(-b 3+b 5)+…+b 2m (-b 2m-1+b 2m+1) =2(b 2+b 4+…+b 2n )= ( + +…+m)= m 2+2m=n 2+n. 要使T n ≤t 2对 ∈N *且n 为偶数恒成立, 只要使n 2+ ≤t 2对 ∈N *且n 为偶数恒成立, 即使t≥ + 对n 为正偶数恒成立.∵=+= ,∴t≥ ,m故实数t的取值范围是[ ,+∞).(3)由(2)知b n=n,又b n= 0,∴a n= 0-.∴S n=10…-,∴S2n=10……-,设M n=S2n-S n=10…-,∴M n+1=…-,103∴M n+1-M n=10--=10--= 0-,( )( )->0,即M1<M2,∴当n=1时,M n+1-M n= 03当 ≥ 时,M n+1-M n<0,即M2>M3>M4>….-1=.∴(M n)max=M2= 0×3因此数列{S2n-S n}的最大值为.四审审图形抓特点跟踪集训4.答案-=,解得ω=3 .又f(1)=sin 3 =1,解得解析由三角函数的图象可得3T=3-1=2,所以最小正周期T=3φ=-+2kπ,k∈Z,所以f(x)=sin 3 x- k ,k∈Z,则f(2)=sin 3 -=sin=-.五审审图表找规律跟踪集训35.答案 ×3解析由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,……,可以猜测第n行共n+1项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是S9=( )=45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a53= ×3 3 ,故答案为 ×3 3.6.解析(1)由题知,{a i1}成等差数列,因为a11=,a21=,所以公差d=,a81=+(8- )×=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a31=3,a32=3,所以,每行的公比q=,故a83= ×=.(2)由(1)知a i1=+(i-1)=,所以a ij=a i1·-=·-= ·.(3)A n=a n1…-=--=-n.B m=( + +…+m)-3….设T m=++3+…+,①则T m=++3+…+,②由①-②,得T m=+++…+-=1--=1-,所以B m=·()--=()+-1.六审审范围防易错跟踪集训7.解析(1)由2·=||·||,得2||·||cosα=||·||,所以cosα=,又因为α为三角形ABC的内角,所以α=3.(2)由(1)知sinα=3,且β-α∈0,,又cos(β-α)=3,所以sin(β-α)=, 故cosβ=cos(β-α+α)=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα=3×-×3=33.七审审方法寻捷径跟踪集训8.解析(1)由题意知,,消去y, 得x2+ax+b2=0,解得x1=-a,x2=-,所以x M=-∈(-a,0),·=x M x A=a=3b2,=3,所以e=3.(2)由(1)知M-3b,-3b,右准线方程为x=33b,直线MN的方程为y=x,所以P3b,3b,S△POF=OF·y P=3b·3b=2b2,S△AMN=2S△AOM=OA×|y M|= b×3b=3b2,所以2b2+3b2= 03a,0 3b2= 03b2,所以b=,椭圆C的标准方程为+=1.。

2019江苏高考数学二轮考前冲刺必备二审题方法秘籍---精校解析Word版

必备二审题方法秘籍审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题.一审审条件挖隐含有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误.典型例题例1(2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sin x-x+-,则关于x 的不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0的解集为.▲审题指导sin(-x)=-sin x,2-x=f'(x)<0f(1-x2)<-f(5x-7)=f(7-5x)1-x2>7-5x答案(2,3)解析∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∵f'(x)=cosx-1--2x ln2,∴f'(x)<0,∴函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x2)<f(7-5x),即1-x2>7-5x,解得2<x<3,故所求不等式的解集为(2,3).跟踪集训1.已知函数f(x)=2x,当x∈[0,3]时,f(x+1)≤f[(2x+a)2]恒成立,则a的取值范围为.二审审结论会转换解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.典型例题例2已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.▲审题指导思路:证明两曲线有唯一公共点函数φ(x)=e x-x2-x-1有唯一一个零点φ'(x)=e x-x-1结论证明曲线y=e x与曲线y=x2+x+1公共点的个数等价于函数φ(x)=e x-x2-x-1零点的个数.∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点x=0.又φ'(x)=e x-x-1,令h(x)=φ'(x)=e x-x-1,则h'(x)=e x-1.当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减;当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(当且仅当x=0时,等号成立),∴φ(x)在R上是单调递增的,∴φ(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.跟踪集训2.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.令f(x)=g+mln x+(m∈R,x>0).(1)求g(x)的表达式;(2)若∃x>0,f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;(3)设1<m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:∀x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.三审审结构定方案数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案.典型例题例3设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值.▲审题指导(1)(2)a n=2n→=→T n=1-→解不等式|T n-1|<n取10解析(1)由已知S n=2a n-a1,得S n-1=2a n-1-a1(n≥2),所以a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(2)由(1)得=,所以T n=++…+=-=1-.-由|T n-1|<,得--<,即2n>1000.因为29=512<1000<1024=210,所以n≥10.所以使|T n-1|<成立的n的最小值为10.跟踪集训3.(2018盐城时杨中学高三月考)在数列{a n}中,a1=,a n+1=-,b n=,其中n∈N*.(1)求证:数列{b n}为等差数列;(2)设c n=b n b n+1cos nπ,n∈N*,数列{c n}的前n项和为T n,若当n∈N*且n为偶数时,T n≤tn2恒成立,求实数t的取值范围;(3)设数列{a n}的前n项和为S n,试求数列{S2n-S n}的最大值.四审审图形抓特点在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键.典型例题例4已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)∈的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f--f的单调递增区间.▲审题指导第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A和φ的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x的单调区间,通过解不等式求得结果.解析(1)由题图知,周期T=2-=π,所以ω==2,因为点在函数图象上,所以Asin=0,即sin=0.又因为0<φ<,所以<+φ<,从而+φ=π,即φ=.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)g(x)=2sin--2sin2+=2sin2x-2sin=2sin2x-2=sin2x-cos2x=2sin-.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是-,k∈Z.跟踪集训4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则f(2)=.五审审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.典型例题例5把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设a ij(i,j∈N*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若a ij=2015,则i+j=.12,43,5,76,8,10,129,11,13,15,1714,16,18,20,22,24…▲审题指导i是奇数2015位于奇数行的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j答案110解析由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数,2015=2×1008-1,所以2015为第1008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为31×1+×2=961,前32个奇数行内奇数的总个数为32×1+×2=1024,故2015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是961×2-1=1921,所以第63行的第一个数为1923,所以2015=1923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.跟踪集训5.已知数列{a n},a n=2·,把数列{a n}的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m行,第n列的项,则A(10,8)=.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…6.下表给出一个“三角形数阵”.…已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a ij(i≥j,i,j∈N*).(1)求a83;(2)试写出a ij关于i,j的表达式;(3)记第n行的和为A n,求数列{A n}的前m项和B m的表达式.六审审范围防易错范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.典型例题例6已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.▲审题指导结论(2)由(1)中结论→f(x)的最大值ln a+a-1<0g(a)=lna+a-1解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈∞时,f'(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a-=-ln a+a-1.因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,a>0,g'(a)=+1>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).跟踪集训7.在三角形ABC中,已知2·=||·||,设∠CAB=α,(1)求角α的值;(2)若cos(β-α)=,其中β∈,求cosβ的值.七审审方法寻捷径方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍.典型例题例7已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.▲审题指导(1)(2)四边形OPTQ是平行四边形S ▱OPTQ=2S△OPQ→S△OPQ=|OF||y1-y2|→y1与y2的关系→联立直线PQ的方程与椭圆的方程解析(1)由已知可得=,c=2,所以a=.由a2=b2+c2,得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率k TF=----=-m.当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,则直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也满足方程x=my-2.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得-消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,∴Δ=16m2+8(m2+3)>0,y1+y2=,y1y2=-,则x1+x2=m(y1+y2)-4=-.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以--解得m=±1.所以S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1-y2| =2-·-=2.跟踪集训8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点A是椭圆的左顶点,过原点的直线MN与椭圆交于M,N两点(M在第三象限),与椭圆的右准线交于点P.已知AM⊥MN,且·=b2.(1)求椭圆C的离心率e;(2)若S△ANM+S△POF=a,求椭圆C的标准方程.答案精解精析一审审条件挖隐含跟踪集训1.答案{a|a≥1或a≤-8}解析因为f(x)=2x是单调增函数,所以由f(x+1)≤f[(2x+a)2]得x+1≤(2x+a)2,则问题转化为x+1≤(2x+a)2对x∈[0,3]恒成立,即4x2+(4a-1)x+a2-1≥0对x∈[0,3]恒成立,令h(x)=4x2+(4a-1)x+a2-1,若-<0,则h(0)≥0,此时a≥1;若->3,则h(3)≥0,此时a≤-8;若0≤-≤3,则Δ=(4a-1)2-16(a2-1)≤0,此时无解.综上,a的取值范围是{a|a≥1或a≤-8}.二审审结论会转换跟踪集训2.解析(1)设g(x)=ax2+bx+c,a≠0,于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2,所以-又g(1)=-1,则b=-.所以g(x)=x2-x-1.(2)f(x)=g+mln x+=x2+mln x(m∈R,x>0).当m>0时,由对数函数性质知f(x)的值域为R;当m=0时,f(x)=,∀x>0,f(x)>0恒成立;当m<0时,由f'(x)=x+=0⇒x=-,列表:这时,f(x)min=f(-)=-+mln-.f(x)min>0⇔ --⇒-e<m<0.所以若∀x>0,f(x)>0恒成立,则实数m的取值范围是(-e,0].故∃x>0,f(x)≤0成立,实数m的取值范围(-∞,-e]∪(0,+∞).(3)证明:因为∀x∈[1,m],H'(x)=--≤0,所以H(x)在[1,m]内单调递减.于是|H(x1)-H(x2)|≤H(1)-H(m)=m2-mln m-,|H(x1)-H(x2)|<1⇒m2-mln m-<1⇒m-ln m-<0,记h(m)=m-ln m-(1<m≤e),则h'(m)=-+=-+>0,所以函数h(m)=m-ln m-在(1,e]上是单调增函数,所以h(m)≤h(e)=-1-=-<0,故命题成立.三审审结构定方案跟踪集训3.解析(1)证明:∵b n+1==·-=-=,∴b n+1-b n=-=1.∴数列{b n}是公差为1的等差数列.(2)由题意可知,b1==1,故b n=n.因为c n=b n b n+1cos nπ,n∈N*,所以T n=c1+c2+…+c n=-b1b2+b2b3-b3b4+b4b5-…+(-1)n b n b n+1.当n∈N*且n为偶数时,设n=2m,m∈N*.则T n=T2m=-b1b2+b2b3-b3b4+b4b5-…+(-1)2m b2m b2m+1.=b2(-b1+b3)+b4(-b3+b5)+…+b2m(-b2m-1+b2m+1)=2(b2+b4+…+b2n)=4(1+2+…+m)=2m2+2m=n2+n.要使T n≤tn2对n∈N*且n为偶数恒成立,只要使n2+n≤tn2对n∈N*且n为偶数恒成立,即使t≥+对n为正偶数恒成立.∵=+=1,∴t≥1,故实数t的取值范围是[1,+∞).(3)由(2)知b n=n,又b n=,∴a n=-.∴S n=10…-,∴S2n=10……-,设M n=S2n-S n=10…-,∴M n+1=10…-,∴M n+1-M n=10--=10--=-,∴当n=1时,M n+1-M n=->0,即M1<M2,当n≥2时,M n+1-M n<0,即M2>M3>M4>….∴(M n)max=M2=10×-1=.因此数列{S2n-S n}的最大值为.四审审图形抓特点跟踪集训4.答案-解析由三角函数的图象可得T=3-1=2,所以最小正周期T==,解得ω=.又f(1)=sin=1,解得φ=-+2kπ,k∈Z,所以f(x)=sin-,k∈Z,则f(2)=sin-=sin=-.五审审图表找规律跟踪集训5.答案2×解析由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,……,可以猜测第n行共n+1项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是S9==45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a53=2×,故答案为2×.6.解析(1)由题知,{a i1}成等差数列,因为a11=,a21=,所以公差d=,a81=+(8-1)×=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a31=,a32=,所以,每行的公比q=,故a83=2×=.(2)由(1)知a i1=+(i-1)=,所以a ij=a i1·-=·-=i·.(3)A n=a n1…-=--=-n.B m=(1+2+…+m)-….设T m=+++…+,①则T m=+++…+,②由①-②,得T m=+++…+-=1--=1-,所以B m=·--=+-1.六审审范围防易错跟踪集训7.解析(1)由2·=||·||,得2||·||cosα=||·||,所以cosα=,又因为α为三角形ABC的内角,所以α=.(2)由(1)知sinα=,且β-α∈,又cos(β-α)=,所以sin(β-α)=,故cosβ=cos(β-α+α)=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα=×-×=.七审审方法寻捷径跟踪集训8.解析(1)由题意知消去y,得x2+ax+b2=0,解得x1=-a,x2=-,所以x M=-∈(-a,0),·=x M x A=a=b2,=,所以e=. (2)由(1)知M--,右准线方程为x=b,直线MN的方程为y=x,所以P,S△POF=OF·y P=b·b=2b2,S△AMN=2S△AOM=OA×|y M|=2b×b=b2,所以2b2+b2=a,b2=b2,所以b=,a=2,椭圆C的标准方程为+=1.。

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备案例分析(含解析).doc

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备案例分析（含解析）【考点导读】1.会作两个有关联变量数据的散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，了解回归与分析的基本思想、方法及其初步应用.【基础练习】 1、根据下表中的数据：可求出与的线性回归方程是ˆ0.70.1yx =- 2、线性回归方程ˆybx a =+表示的直线必经过的一个定点是(x 3、设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-,那么变量x 增加一个单位时③.①y 平均增加1.5个单位②y 平均增加2个单位 ③y 平均减少1.5个单位④y 平均减少2个单位4、对于给定的两个变量的统计数据，以下说法正确的选项是③.①都可以分析出两个变量的关系②都可以用一条直线近似地表示两者的关系 ③都可以作出散点图④都可以用确定的表达式表示两者的关系 5、对于两个变量之间的相关系数，以下说法中正确的选项是③. ①|r|越大，相关程度越大②|r|()0,∈+∞，|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大 ③|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小 ④以上说法都不对【范例解析】例1、在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人、女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动、〔1〕根据以上数据建立一个2×2的列联表；〔2〕判断性别与休闲方式是否有关系、计算22124(43332721) 6.20170546460χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 因为25.024γ≥，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.点评对两个变量相关性的研究，可先计算2χ的值，并根据临界表进行估计与判断.例2.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：〔1〕画出数据对应的散点图；〔2〕求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；〔3〕据〔2〕的结果估计当房屋面积为2150m 时的销售价格解：〔1〕数据对应的散点图如下图：〔2〕1095151==∑=i i x x ，1570)(251=-=∑=x x l i i xx ，308))((,2.2351=--==∑=y y x x l y i i i xy设所求回归直线方程为a bx y +=，那么1962.01570308≈==xxxy l l b 8166.115703081092.23≈⨯-=-=x b y a 故所求回归直线方程为8166.11962.0+=x y〔3〕据〔2〕，当2150x m =时，销售价格的估计值为：2466.318166.11501962.0=+⨯=y〔万元〕点评因为y 对x 呈线性相关关系，所以可以一元线性相关的方法解决问题. 例3.一个车间为了为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次实验，(2) 如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程； (3) 据此估计加工200个零件所用时间为多少？解：〔1〕0.998.r ≈查表可得0.05和n-2相关系数临界0.050.632r =，由0.05rr >知y 与x 具有线性相关关系.(2)回归直线方程为0.66854.96y x =+〔3〕估计加工200个零件所用时间189分.表中的数据，得到2250(1320107) 4.84423272030χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为2 3.841χ≥，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为5%.6.为了研究失重情况下男女飞行员晕飞船的情况，抽取了89名被试者，他们的晕船情况汇总如下表，根据独立性假设检验的方法，不能认为在失重情况下男性比女性更容易晕船〔填能或不能〕7.打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？解：提出假设H 0：打鼾与患心脏病无关，根据数据得221633(30135524224)68.03.5415792541379χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯当H 0成立时，2 6.635χ≥的概率为1%，而这时268.03 6.635,χ=>所以我们有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关.8.下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据.〔1〕请画出上表数据的散点图；〔2〕请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =bx a +; 〔3〕该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据〔2〕求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？〔参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5〕解：(1)如下图(2)∑=ni ii yx 1=3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=x =46543+++=4.5y =4544352⋅+++⋅=3.5222221345686nii x==+++=∑266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b-⨯⨯-===-⨯-ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯=故线性回归方程为y=0.7x+0.35(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7⨯100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨).。

江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备五解题模板给力学案有答案

必备五解题模板给力模板一函数性质的应用典型例题例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则f(lo16)的值是.答案-1解析因为-3<lo16<-2,所以-1<lo16+2<0,即-1<lo1<0.(转化)又f(x)是周期为2的奇函数,所以f(lo16)=f1=-f-1=-f=-(-1)=-1.(求值)故填-1.(结论)▲模板构建已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:跟踪集训1.(2018南京第一学期期中考试)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,当x∈[0, ]时,f(x)=2x,那么f(6)的值为.模板二函数的零点典型例题例2 根据表格中的数据,可以断定方程e x-(x+ )=0(e≈ .7 )的一个根所在的区间是(填序号).①(-1,0);②(0,1);③(1, );④( , ).答案③解析令f(x)=e x-(x+2),显然f(x)在R上为连续函数,由已知得,f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.40-4>0,f(3)=20.12-5>0.由于f(1)·f( )<0,因此方程e x-(x+2)=0的一个根在区间(1,2)内,故填③.▲模板构建函数零点存在性定理就是根据函数f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间的方法.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:跟踪集训2.(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知函数f(x)=lgx+x-9在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= .模板三三角函数的性质典型例题例3 已知函数f(x)=2sin cos-sin(2x+3π).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若将f(x)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.解析(1)f(x)=2sin cos-sin(2x+3π)=sin+sin2x=sin2x+cos2x=2sin,(化简)∴f(x)的最小正周期T==π.(2)由已知得g(x)=f=2sin,=2sin=2cos,∵x∈0,,∴ x+∈,,(换元)故当2x+=π,即x=时,g(x)min=g=-2;当2x+ = ,即x=0时,g(x)max =g=1.(结论)▲模板构建在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路:跟踪集训3.已知函数f(x)=2 2x-acos 2x+b(a,b∈R). (1)若a>0,求函数f(x)的单调增区间; (2)当x∈ -,时,函数f(x)的最大值为3,最小值为1- ,求ab 的值.模板四解三角形典型例题例4 如图,在△ABC 中,已知AC=7,∠B= 5°,D 是边AB 上的一点,AD= ,∠ADC=1 0°.求:(1)CD 的长; ( )△ABC 的面积.解析 (1)在△ACD 中,AC=7,AD= ,∠ADC=1 0°,(定已知) 由余弦定理得AC 2=AD 2+CD 2- AD·CDc s∠ADC,(选定理) 72=32+CD 2- × ·CDc s1 0°,解得CD=5.(得结论) (2)在△BCD 中,∠B= 5°,CD=5,(定已知) 由正弦定理得s n∠ =s n =s n75°=5s n 5°,(选定理)解得BD=5 5,(得结论)所以S △ABC =S △ACD +S △BCD =1AD·CDs n∠ADC+1CD·BDs n∠BDC=1× ×5s n1 0°+1×5×5 5s n60°=75 55.▲模板构建利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形边角之间的互化,当已知三角形中的两边及其一边的对角,或两角及其一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;若已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:跟踪集训4.(2018江苏淮海中学模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2=b2+c2-bc,a=15b.(1)求sinB的值;的值.(2)求cos1模板五利用函数性质解不等式典型例题例5 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(-2)=9,且f(x)的导数f'(x)在[0,+∞)上恒有f'(x)<4x,则不等式f(x)<2x2+1的解集为.答案(-∞,- )∪( ,+∞)解析设g(x)=f(x)-2x2-1,(构函数)则g'(x)=f'(x)-4x.(析性质)因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),而g(-x)=f(-x)-2(-x)2-1=f(x)-2x2-1=g(x),所以函数g(x)为偶函数,故g(x)=g(|x|),(析性质)因为当x∈[0,+∞)时,f'(x)<4x,故g'(x)=f'(x)-4x<0,所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递减.(析性质)而g(2)=f(2)- × 2-1=f(-2)-9=0,故由g(x)<0,即g(|x|)<g(2),得|x|>2.(巧转化)解得x<-2或x>2.所以不等式f(x)<2x2+1的解集为(-∞,- )∪( ,+∞).(写解集)▲模板构建利用函数性质解题主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:跟踪集训5.设函数f(x)是奇函数,其导函数为f'(x),f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是 . 模板六基本不等式的应用典型例题例6 设x,y 是正实数,且x+y=1,则+1的最小值是 . 答案 1解析设x+2=s,y+1=t,则s+t=4,(换元) 所以+1=( - )+( -1)= - + - 1=1-2,(巧拼凑)因为 +1 =1 1 (s+t)=1 5 ≥ ,当且仅当t= ,s= ,即x= ,y=1时,取等号,(得定值) 所以+1≥1,即 +1的最小值是1.(得结论)▲模板构建拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:跟踪集训6.(2018江苏盐城中学高三考前热身)已知正实数a,b 满足1+1- =1,则3a+2b 的最小值为 .模板七不等式恒成立问题典型例题例7 已知x>0,y>0,且+1=1,若x+2y-(m2+2m)>0恒成立,则实数m的取值范围为.答案(-4,2)解析记t=x+2y,由原不等式恒成立可得m2+2m<t min.(分离参数)因为+1=1,所以t=x+2y=(x+2y)1=4++.而x>0,y>0,所以+≥ ·=4当且仅当=,即x=2y时等号成立.所以t=4++≥ + = ,即t min=8.(求最值)故m2+2m<8,即(m-2)(m+4)<0,(建关系)解得-4<m<2.(求范围)所以实数m的取值范围为(-4,2).▲模板构建分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:跟踪集训7.若g(x)=--,h(x)=-,不等式 a (x)+h( x)≥0对任意x∈[1, ]恒成立,则实数a的取值范围是.模板八线性规划问题典型例题例8 设变量x,y满足约束条件-0,-5100,-0,则目标函数z=3x-4y的最大值为.答案 3解析如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),当直线z=3x-4y在x轴上的截距取最大值时,目标函数z取得最大值.由图可知,当直线z=3x-4y经过点C时,z取最大值,由-5100,-0,解得5,,即C(5,3),故目标函数z的最大值z max= ×5- × = .▲模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合.其基本的解题步骤如下:跟踪集训8.(2018江苏盐城时杨中学月考)若变量x,y 满足约束条件 ,1 -1,,且z=2x+y 的最大值和最小值分别为m 和n,则m-n= . 模板九数列的通项与求和典型例题例9 已知数列 1是等差数列,且a 3=1,a 2=4a 7.(1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =a n a n+1(n∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1) 1为等差数列,设其公差为d,由已知得,1=8,1 =17,(找关系)即1 1+2d=8,1 1+d=1 1 16 ,解得11=2,d=3,于是1=2+3(n-1),整理得a n =1-1.(求通项)(2)由(1)知a n =1-1,故b n =a n a n+1=1( -1)( )=11-1-1,(求通项)所以S n =1 1-15 15-11-1-1(定方法) =1 1-1=( ).(求结论)▲模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下:跟踪集训9.(2018江苏泰州期末)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2=2,S 5=15.等比数列{b n }满足b 2=4,b 5=32. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .模板十空间中的平行与垂直典型例题例10 如图,平面ABB1A1为圆柱的轴截面,O1、O分别为上、下底面圆的圆心,点C为底面圆周上异于A,B 的任意一点.(1)求证:BC⊥平面A1AC;(2)若D为AC的中点,求证:A1D∥平面O1BC.证明(1)因为AB为☉O的直径,点C为☉O上异于A,B的任意一点,所以BC⊥AC.(巧转化)又在圆柱中,AA1⊥底面☉O,所以AA1⊥BC,而AA1∩AC=A,(用定理)所以BC⊥平面A1AC.(得结论)(2)如图,取BC的中点E,连接DE,O1E.因为D为AC的中点,所以在△ABC中,DE∥AB,且DE=1AB.(巧转化)又在圆柱中,A1O1∥AB,且A1O1=1AB,所以DE∥A1O1,且DE=A1O1,所以四边形A1DEO1为平行四边形,所以A1D∥O1E.又A1D⊄平面O1BC,EO1⊂平面O1BC,(用定理)所以A1D∥平面O1BC.(得结论)▲模板构建证明空间中的平行与垂直的步骤如下:跟踪集训10.(2018江苏盐城中学模拟)在如图所示的多面体中,AE⊥底面BEFC,AD∥EF∥BC,BE=AD=EF=1BC,G是BC的中点.求证:(1)AB∥平面DEG;( )EG⊥平面BDF.模板十一直线与圆典型例题例11 在平面直角坐标系xOy中,圆C的半径为1,圆心在直线l:y=2x-4上.存在直线,使其交圆C的弦长总为,则该直线的方程为.答案y=2x-4-5或y=2x-4+5.解析显然,所求直线的斜率存在.设所求直线的方程为y=kx+b,圆心C(m,2m-4),由已知得,所以圆心C到所求直线的距离总为1,则=1对任意的m恒成立,(求距离)即|(k-2)m+4+b|=11对任意的m恒成立,∴-0,11,∴,-5,(恒成立)∴所求直线的方程为y=2x-4-5或y=2x-4+5.(得结论)▲模板构建几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法,其基本步骤如下:跟踪集训11.(2018江苏联考)已知点A(-3,0),B(-1,-2),若圆(x-2)2+y2=r2(r>0)上恰有两点M,N,使得△MAB和△NAB的面积均为4,则r的取值范围是.模板十二圆锥曲线中的最值与范围问题典型例题例12 平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点 ,1在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.①求的值;②求△ABQ面积的最大值.解析(1)将1代入椭圆方程,有+1=1,又e==-=,解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为16+=1.①设P(x0,y0),=λ(λ>0),由题意知Q(-λx0,-λy0).因为0+0=1,(-0)16+(-0)=1,即00=1,所以λ=2或λ=-2(舍去),即=2.②设A(x1,y1),B(x2,y2),(设点)将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,(联立方程) 由Δ>0,可得m2<4+16k2,(a)又x1+x2=-1,x1x2=-161,所以|x1-x2|=16-1.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=1 m · x1-x2|=16-1=(16-)1=2-11.设1=t.(设出参数)将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 由Δ≥0,可得m2≤1+ k2.(b)由(a)(b)可知0<t≤1,S= ( -)=2- t,(目标函数)故S≤ ,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时,S取最大值2.由①知△ABQ的面积为3S,所以△ABQ面积的最大值为6.(得出结论)▲模板构建与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素较多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件(如直线与椭圆相交,Δ>0等).解题步骤如下:跟踪集训12.(2018江苏南通模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A、B是椭圆C上的任意两点,O是坐标原点,且OA垂直OB.①求证:存在一个定圆,使得直线AB始终为该定圆的切线,并求出该定圆的方程;②求△AOB面积的最大值.模板十三圆锥曲线中的探索性问题典型例题例13 在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)在y轴上是否存在点P,使得当k变化时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).对于y=,因为y'=1x,所以y=在x=2处的导数值为,在x=-2处的导数值为-,所以曲线C在(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0,在(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(2)假设存在符合题意的点P(0,b),(假设存在) 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线PM,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入曲线C 的方程,整理得x 2-4kx-4a=0,(联立方程) 所以x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4a, 所以k 1+k 2= 1-b 1+ -b =1 (a -b)( 1 ) 1=( ) . 当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以存在点P(0,-a)符合题意.(得出结论)▲模板构建圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题要点如下:跟踪集训13.(2018江苏兴化一中模拟)椭圆M: +=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,2)关于直线y=-x 的对称点在椭圆M 上.(1)求椭圆M 的方程;(2)如图,椭圆M 的上、下顶点分别为A 、B,过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C,D. ①求 · 的取值范围;②当AD 与BC 相交于点Q 时,试问:点Q 的纵坐标是不是定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.模板十四应用性问题典型例题例14 (2018江苏淮阴中学阶段检测)如图所示,江苏省淮阴中学有一块矩形空地ABCD,其中AB=10米,BC=10 ,计划在此矩形空地区域内为学生建灯光运动场,△BEF 区域内安装一批照明灯(E,F 点在线段AC 上),且∠EBF= 0°,△BEF 外其余区域建运动场. (1)若E 在距离A 点4米处,求点E,F 之间的距离;(2)为了使运动场地区域最大化,要求△BEF 面积应尽可能地小,记∠ABE=θ,请用θ表示△BEF 的面积S(θ),当S(θ)最小时,求θ的值.解析 (1)由题意得∠BAC=60°,∠ACB= 0°,AC= 0米. ∵∠BFE=∠BCF+∠CBF= 0°+∠CBF,∠ABE=∠ABC -∠EBF -∠CBF= 0°- 0°-∠CBF, ∴∠BFE+∠ABE= 0°.△ABE 中,由余弦定理得BE=2 1 米. c s∠ABE=1 1,△BEF 中,s n 0°=s n∠ =c s∠ , ∴EF=c s∠ =1米.( )△ABE 中,s n60°=s n[1 0°-( 60°)]=10s n(60°),则BE=5s n( 60°).△BCF 中, s n 0°= s n(60° 0°)=10s n( 0°),则BF=5c s 米. ∴S(θ)=1BE·BFs n 0°=75c s s n( 60°)= s n(60°).∵θ∈(0°,60°),∴当2θ+60°= 0°,即θ=15°时,S(θ)最小. 答:当θ=15°时,三角形BEF 的面积最小. ▲模板构建跟踪集训14.(2018江苏兴化一中模拟)某公司拟购买一块地皮建休闲公园,如图,从公园入口A沿AB,AC方向修建两条小路,休息亭P与入口的距离为3米(其中a为正常数),过P修建一条笔直的鹅卵石健身步行带,步行带交.两条小路于E、F处,已知∠BAP= 5°,tan∠CAB=15(1)设AE=x米,AF=y米,求y关于x的函数关系式及定义域;(2)试确定E,F的位置,使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低.模板十五求空间角(理科专用)典型例题例15 (2018江苏徐州铜山中学期中)如图,在三棱锥A-BOC中,AO,OB,OC两两互相垂直,点D,E分别为棱BC,AC的中点,F在棱AO上,且满足OF=1OA,已知OA=OC=4,OB=2.(1)求异面直线AD与OC所成角的余弦值;(2)求二面角C-EF-D的正弦值.解析(1)如图,以O为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得:O(0,0,0),A(0,0,4),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),E(0,2,2),F(0,0,1),所以=(1,2,-4),=(0,4,0),所以cos<,>=·== 11.因此异面直线AD与OC所成角的余弦值为 11.(2)平面AOC的一个法向量为=(2,0,0).设m=(x,y,z)为平面DEF的一个法向量,又=(0,-2,-1),=(-1,0,2),则·EF0,·DE0,即0,-0.不妨取z=2,则x=4,y=-1,所以m=(4,-1,2)为平面DEF的一个法向量,从而cos<,m>=OB·OB == 11,设二面角C-EF-D的大小为θ,则|cosθ|=1.因为θ∈[0,π],所以sinθ=1-c s=1051.因此二面角C-EF-D的正弦值为1051.▲模板构建空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:跟踪集训15.(2018南京、盐城一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M 为PC的中点,AC=4,BD=2,OP=4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值;(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.模板十六离散型随机变量典型例题例16 现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是5,答对每道乙类题的概率都是5,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.解析(1)设事件A为“张同学至少取到1道乙类题”,则事件为“张同学所取3道题都是甲类题”.(定性)因为P()=C6C10=16,(定型)所以P(A)=1-P()=56.(求值)(2)X 所有可能的取值为0,1,2,3.(定元) P(X=0)=C × 5×15=1 5,P(X=1)=C 1×5×5×15+C × 5× 5=1 5, P(X=2)=C× 5 ×15+C 1× 5× 5× 5=571 5, P(X=3)=C× 5 × 5= 61 5.(定型)故X 的分布列为X 0123P1 5 1 5 571 5 61 5所以E(X)=0× 1 5+1× 1 5+ ×571 5+ × 61 5=2.(求值)▲模板构建公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下:跟踪集训16.盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1,x 2,x 3,随机变量X 表示x 1,x 2,x 3中的最大数.求X 的概率分布和数学期望E(X).答案精解精析模板一函数性质的应用跟踪集训1.答案-4解析奇函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,则最小正周期是8,则f(6)=f(-2)=-f(2)=-4.模板二函数的零点跟踪集训2.答案 5解析函数f(x)在(0,+∞)上递增,且f(5)=lg5-<0,f(6)=lg6>0,所以函数零点在区间(5,6)上,则n=5.模板三三角函数的性质跟踪集训3.解析(1)因为f(x)=2asinxcosx+asin2x-acos2x+b==2asin-6+b.又a>0,所以函数f(x)的单调增区间为-6k ,k ,k∈Z.(2)当x∈-,时,2x-6∈-,,2sin-6∈[-2,],则当a>0时,函数f(x)的最大值为a+b,最小值为-2a+b.所以a b , -1- ,解得a=1,b=3-.当a<0时,函数f(x)的最大值为-2a+b,最小值为a+b.所以a b1- , - ,解得a=-1,b=1.综上,a=1,b=3-a=-1,b=1.模板四解三角形跟踪集训4.解析(1)在△ABC中,根据余弦定理及a2=b2+c2-bc得,cosA=-=1. 因为A∈(0,π),所以A=.在△ABC 中,由正弦定理s n =s n得sinB=sinA=15× = 55.(2)因为a=15b>b,所以A>B,即0<B<.又sinB= 55,所以cosB= 1-s n B = 55.在△ABC 中,A+B+C=π, 所以cos1 =cos - -1 =-cos=- c s c s -s n s n=-55- 55 =- 1010. 模板五利用函数性质解不等式跟踪集训5.答案 {x|x<-1或0<x<1} 解析令g(x)= ( ),则当x>0时,g'(x)= ( )- ( )<0,则g(x)在x∈(0,+∞)上单调递减,又函数f(x)是奇函数,则g(-x)= (- )- = ( )=g(x),则g(x)是偶函数,g(-1)=(-1)-1=0=g(1),f(x)>0⇔xg(x)>0⇔ 0, ( ) 0或0,( ) 0,解得0<x<1或x<-1.模板六基本不等式的应用跟踪集训 6.答案 3+ 5解析令a+b=x,a-b=y,则1 +1=1,1 = -1>0,x>0,则x>1,y>0,a=,b= -,3a+2b=+x-y=5 =1 (5x+y)· 1 1 =1 6 5 ≥ +1 × ·5 =3+ 5,当且仅当 =5,y= 5x 时,取等号,故3a+2b 的最小值为3+ .模板七不等式恒成立问题跟踪集训 7.答案 a≥-171解析 a (x)+h( x)≥0,即 a·- -+-≥0,a·( x -2-x )+22x +2-2x ≥0,令2x -2-x=t,t∈,15,则22x +2-2x =t 2+2,2at+t 2+ ≥0,t 2+ ≥-2at,- a≤m n,y=t+t,∈,15递增,t=时,y min =176,则- a≤176,解得a≥-171.模板八线性规划问题跟踪集训 8.答案 6解析画出可行域如图所示,由z=2x+y 得y=-2x+z.当直线y=-2x+z 经过点A(-1,-1)时,z 取得最小值n=-3; 当直线y=-2x+z 经过点C(2,-1)时,z 取得最大值m=3. ∴m -n=6.模板九数列的通项与求和跟踪集训9.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,因为满足a 2=2,S 5=15, 所以1 ,5 1515,解得 1 1, 1,所以a n =1+(n-1)·1=n,因为等比数列{b n }满足b 2=4,b 5=32,设其公比为q,则 1 , 1 ,解得 1 , , 所以数列{b n }的通项公式为b n =b 1q n-1=2n.(2)由(1)知:a n b n =n· n ,所以T n =1× + × 2+ +n× n,① 所以2T n =1× 2+ × 3+ +n× n+1,② 由②-①得T n =-(2+22+23+ + n)+n· n+1=- (1- )1-+n· n+1,故T n =(n-1)2n+1+2.模板十空间中的平行与垂直跟踪集训10.证明 (1)∵BC= AD,G 是BC 的中点,∴AD=BG,又∵AD∥BC,∴四边形ADGB 是平行四边形,∴AB∥DG. ∵AB ⊄平面DEG,DG ⊂平面DEG,∴AB∥平面DEG.(2)易知四边形ADFE 是矩形,连接GF,∵DF∥AE,AE⊥底面BEFC,∴DF⊥平面BCFE,EG ⊂平面BCFE,∴DF⊥EG. ∵EF∥BG,EF=BG,且EF=BE,∴四边形BGFE 为菱形,∴BF⊥EG, 又BF∩DF=F,BF ⊂平面BFD,DF ⊂平面BFD,∴EG⊥平面BDF.模板十一直线与圆跟踪集训 11.答案,解析由题意可得|AB|= (-1 )(- -0)=2 ,根据△MAB 和△NAB 的面积均为4,可得两点M,N 到直线AB 的距离为2 . 由于直线AB 的方程为-0- -0=-1,即x+y+3=0.若圆上只有一个点到直线AB 的距离为2 则圆心(2,0)到直线AB 的距离为=r+2 ,解得r=;若圆上只有3个点到直线AB 的距离为2 则圆心(2,0)到直线AB 的距离为=r-2 解得r=.综上,r 的取值范围是,.模板十二圆锥曲线中的最值与范围问题跟踪集训12.解析 (1)设椭圆的半焦距为c,由题意得 =,且a=2,得c= ,b=1, ∴所求椭圆方程为+y 2=1.( )①证明:当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为x=±55,原点O 到直线AB 的距离为55.当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则由1, ,得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, Δ=16(1+4k 2-m 2)>0, x 1+x 2=-1 ,x 1x 2= -1 ,由 · =x 1x 2+y 1y 2=5 - -1=0,得m 2=5(1+k 2),∴原点O 到直线AB 的距离d==(1 )=5.综上所述,原点O 到直线AB 的距离为 55,即该定圆方程为x 2+y 2=5.②当直线AB 的斜率不存在时,AB=55,当直线AB 的斜率存在时,|AB|= 1 |x 1-x 2|=5116 1, 当k≠0时,|AB|= 5116≤ ,当且仅当k=±1时等号成立.当k=0时,|AB|=55,∴ AB 的最大值为 5.由①知,点O 到直线AB 的距离为 5,∴S △AOB 的最大值为1× 5× 5=1.模板十三圆锥曲线中的探索性问题跟踪集训13.解析 (1)因为点P(0,2)关于直线y=-x 的对称点为(-2,0),且(-2,0)在椭圆M 上,所以a=2.又e=,故c= ,则b 2=a 2-c 2=4-3=1.所以椭圆M 的方程为+y 2=1.( )①当直线l 的斜率不存在时,C(0,1),D(0,-1),所以 ·=-1. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+2,C(x 1,y 1),D(x 2,y 2), ,1,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+16kx+12=0,由Δ>0,可得4k 2>3,且x 1+x 2=-161 ,x 1x 2= 11 , 所以 · =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=-1+171,所以-1< · <1,综上, · ∈ -1,1. ②是.由题意得,AD:y= -1x+1,BC:y= 1 11x-1,联立方程组,消去x 得y=1 1 - 1,又4kx 1x 2=-3(x 1+x 2),解得y=1,故点Q 的纵坐标为定值1.模板十四应用性问题跟踪集训14.解析 (1)解法一:由tan∠CAB=15得s n∠CAB=11,c s∠CAB=51,且s n∠FAP=s n(∠CAB -∠PAE)=s n(∠CAB - 5°)=76. 由题可知S △AEF =S △AEP +S △AFP ,所以1AE·AF·s n∠CAB=1AE·AP·s n∠PAE+1AP·AF·s n∠FAP, 得1xy·1 1 =1x· a· +1·y· a·76, 即11xy=3ax+ 11ay,所以y=1-7.由 0,1 -70得定义域为 7, ∞ . 解法二:由tan∠CAB=1 5,得s n∠CAB=1 1 ,c s∠CAB=51 , s n∠FAP=s n(∠FAE -∠PAE)=s n(∠FAE - 5°)=7 6.设∠FPA=θ,△APF 中,由正弦定理得 s n∠ = s n∠ =s n∠ , 所以PF=7 6y s n,s n∠AFE=.同理可得PE=x s n ,FE= 11xy as n.由PF+PE=FE, 即7 6y s n +x s n =1 1xy ,整理得y=1-7,由 0,1 -70,得定义域为 7, ∞ . 解法三:以AB 所在直线为x 轴,点A 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则E(x,0),P(3a,3a),由tan∠CAB=15,得s n∠CAB=11,c s∠CAB=51,所以F 51 y,11 y , 因为与共线,所以 51 y - a (-3a)= 11 y - a (x-3a),所以y=1-7,由 0,1 -70 得定义域为 7, ∞ .(2)设三条路围成地皮购价为y 元,地皮购价为k 元/平方米,则y=k·S △AEF (k 为正常数), 所以要使y 最小,只要使S △AEF 最小即可.由题可知S △AEF =1 AE·AF·s n∠CAB=1 xy·1 1 =61 xy=61 x·1 -7 =6-7,定义域为 7, ∞ .令t=4x-7a>0, 则S △AEF =67= ·1 at =1 a≥·1 a = 1a 2.当且仅当t=7a,即x=7时取等号, 所以,当x=7时,S △AEF 最小,所以y 最小.答:当点E 距离A 点7米时,三条路围成地皮购价最低.模板十五求空间角(理科专用)跟踪集训15.解析 (1)因为四边形ABCD 是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,所以以O 为原点,直线OA,OB,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(-2,0,0),M(-1,0,2). 所以 =(-2,0,4), =(-1,-1,2), 所以 · =10, | |=2 5,| |= 6.则cos<,>=·== 06.故直线AP与BM所成角的余弦值为 06.(2)=(-2,1,0),=(-1,-1,2).设平面ABM的一个法向量为n=(x,y,z),则·AB0,·BM0,即-0,--0.令x=2,则y=4,z=3.所以平面ABM的一个法向量为n=(2,4,3).又平面PAC的一个法向量为=(0,1,0),所以n·=4,|n|=,||=1.则cos<n,>=·OBOB==.故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为.模板十六离散型随机变量跟踪集训16.解析 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球, 所以P=C C C C=6 1 6=51.(2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)=CC =11 6.{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)=C C 51 C C 61C= 0 61 6=16 .于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-16 -11 6=111 . 所以随机变量X 的概率分布如下表:因此随机变量X 的数学期望 E(X)= ×111+ ×16+ ×11 6= 0.。

江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备三解题陷阱妙破学案

必备三解题陷阱妙破“陷阱”,顾名思义,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况。

数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节，在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题。

这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷。

陷阱一混淆概念--理解概念抓本质例1 若z=sinθ-35+(cos θ-45)i 是纯虚数,则tan (θ-π4)的值为。

易错分析本题易混淆复数的相关概念，忽视虚部不为零的限制条件，导致所求tan (θ-π4)的值为多个，从而错解。

答案 —7正确解析由纯虚数的概念，可知{sin θ-35=0,①cos θ-45≠0,②由①，得sinθ=35，故cosθ=±√1-sin 2θ=±√1-(35)2=±45，而由②，可得cosθ≠45，故cosθ=—45,所以tanθ=sin θcos θ=-34,则tan (θ-π4)=tan θ-tanπ41+tan θtanπ4=-34-11+(-34)×1=—7.▲跳出陷阱在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答。

本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念.跟踪集训1.已知向量a=（2，1),b=(λ,1),λ∈R，设a 与b 的夹角为θ。

若θ为锐角，则λ的取值范围是 .陷阱二错用结论-—公式定理要记准例2 将函数g（x）=4sinxcosx的图象向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），得到函数f（x)的图象，则f(π4)= 。

易错分析该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.答案√6+√22正确解析将函数g(x）=4sinxcosx=2sin2x的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=2sin2(θ+π6)=2sin(2θ+π3)的图象,将该函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)后所得图象对应的函数解析式为f(x)=2sin(12×2x+π3)=2sin(θ+π3).所以f(π4)=2sin(π4+π3)=2sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3=2×(√22×12+√22×√32)=√6+√22.▲跳出陷阱三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系，熟记相关的规律.跟踪集训2。

2019届(江苏)高考数学(理)三轮冲关专题训练：解答题押题练C组(含答案)

解答题押题练C 组1．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f(x)＝m·n，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c)cos B ＝bcos C ，求函数f(A)的取值范围．解 (1)m·n＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.(3分)因为m·n＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12.(6分)(2)因为(2a －c)cos B ＝bcos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C)cos B ＝sin Bcos C ，即2sin Acos B －sin Ccos B ＝sin Bcos C ，所以2sin Acos B ＝sin(B ＋C)，(8分)又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C)＝sin A ，且sin A≠0，所以cos B ＝12，B ＝π3，0＜A ＜2π3，所以π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A2＋π6＜1，(12分)又f(x)＝m·n＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋π6＋12，所以f(A)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A2＋π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，故函数f(A)的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(14分)2．如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ；(2)求证：CF ∥平面BAE.证明 (1)因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，(2分)又AC ⊥CD ，且AC∩PA＝A ，所以CD ⊥平面PAC ，(4分)又CD ⊂平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD.(7分)(2)取AE 中点G ，连接FG ，BG.因为F 为ED 的中点，所以FG ∥AD 且FG ＝12AD.(9分) 在△ACD 中，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，所以AC ＝12AD ，所以BC ＝12AD.(11分) 在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，所以∠ACB ＝60°，从而∠ACB ＝∠DAC ，所以AD ∥BC.综上，FG ∥BC ，FG ＝BC ，四边形FGBC 为平行四边形，所以CF∥BG.(13分)又BG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ，所以CF ∥平面BAE.(14分)3．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数y ＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y ＝x 150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因； (2)若该公司采用模型函数y ＝10x －3a x ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．解 (1)设奖励函数模型为y ＝f(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数y ＝f(x)满足：当x ∈[10,1 000]时，①f(x)在定义域[10,1 000]上是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤x 5恒成立．(2分) 对于函数模型f(x)＝x 150＋2. 当x ∈[10,1 000]时，f(x)是增函数，(3分)f(x)max ＝f(1 000)＝1 000150＋2＝203＋2＜9. 所以f(x)≤9恒成立．但x ＝10时，f(10)＝115＋2＞105，即f(x)≤x 5不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．(6分)(2)对于函数模型f(x)＝10x －3a x ＋2，即f(x)＝10－3a ＋20x ＋2，当3a ＋20＞0，即a ＞－203时递增；(8分) 要使f(x)≤9对x ∈[10,1 000]恒成立，即f(1 000)≤9,3a＋18≥1 000，a≥9823；(10分) 要使f(x)≤x 5对x ∈[10,1 000]恒成立，即10x －3a x ＋2≤x 5，x 2－48x ＋15a≥0恒成立，所以a≥1925.(12分) 综上所述，a≥9823，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328.(14分) 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任一点P 到两个焦点的距离的和为23，P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－23.设直线l 过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆C 于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． (1)若OA →·OB →＝4tan ∠AOB(O 为坐标原点)，求|y 1－y 2|的值； (2)当直线l 与两坐标轴都不垂直时，在x 轴上是否总存在点Q ，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由椭圆的定义知a ＝3，设P(x ，y)，则有y x ＋3·y x －3＝－23，则y 2x 2－3＝－23，又点P 在椭圆上，则－x 222－＝－b 23＝－23， ∴b 2＝2，∴椭圆C 的方程是x 23＋y 22＝1.(3分) ∵OA →·OB →＝4tan ∠AOB， ∴|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝4tan ∠AOB ， ∴|OA →|·|OB →|sin ∠AOB ＝4， ∴S △AOB ＝12|OA →|·|OB →|sin ∠AOB ＝2，又S △AOB ＝12|y 1－y 2|×1，故|y 1－y 2|＝4.(7分) (2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角，依题意可知直线l 斜率存在且不为零，直线l 的方程为y ＝k(x －1)(k≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－，x 23＋y 22＝1消去y 得(3k 2＋2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，(9分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋2，x 1·x 2＝3k 2－63k 2＋2. ∵直线QA ，QB 的倾斜角互为补角，∴k QA ＋k QB ＝0，即y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝0，(13分) 又y 1＝k(x 1－1)，y 2＝k(x 2－1)，代入上式可得2x 1x 2＋2m －(m ＋1)(x 1＋x 2)＝0，∴2×3k 2－63k 2＋2＋2m －(m ＋1)×6k 23k 2＋2＝0，即2m －6＝0，∴m ＝3， ∴存在Q(3,0)使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角．(16分)5．已知函数f(x)＝x 2－(1＋2a)x ＋aln x(a 为常数)．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f(x)在x ＝1处切线的方程；(2)当a ＞0时，讨论函数y ＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．解 (1)当a ＝－1时，f(x)＝x 2＋x －ln x ，则f′(x)＝2x ＋1－1x，(2分) 所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.所以曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线的方程为：y －2＝2(x －1)，即：y ＝2x.(6分)(2)由题意得f′(x)＝2x －(1＋2a)＋a x＝2x 2－＋＋a x ＝－－x (x ＞0)，由f′(x)＝0，得x 1＝12，x 2＝a ，(8分) ①当0＜a ＜12时，由f′(x)＞0，又知x ＞0得0＜x ＜a 或12＜x ＜1 由f′(x)＜0，又知x ＞0，得a ＜x ＜12，所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12，(10分) ②当a ＝12时，f′(x)＝－22x ≥0，且仅当x ＝12时，f′(x)＝0，所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数．(11分)③当12＜a ＜1时，由f′(x)＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12或a ＜x ＜1，由f′(x)＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜a ，所以函数f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(a,1)，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a ，(13分) ④当a≥1时，由f′(x)＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12，由f′(x)＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜1，所以函数f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(16分)6．设数列{b n }满足b n ＋2＝－b n ＋1－b n (n ∈N *)，b 2＝2b 1.(1)若b 3＝3，求b 1的值；(2)求证数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n}是等差数列；(3)设数列{T n }满足：T n ＋1＝T n b n ＋1(n ∈N *)，且T 1＝b 1＝－12，若存在实数p ，q ，对任意n ∈N *都有p≤T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ＜q 成立，试求q －p 的最小值．(1)解 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ，∴b 3＝－b 2－b 1＝－3b 1＝3，∴b 1＝－1；(3分)(2)证明 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ①，∴b n ＋3＝－b n ＋2－b n ＋1②，②－①得b n ＋3＝b n ，(5分)∴(b n ＋1b n ＋2b n ＋3＋n ＋1)－(b n b n ＋1b n ＋2＋n)＝b n ＋1b n ＋2(b n ＋3－b n )＋1＝1为常数，∴数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n}是等差数列．(7分)(3)解 ∵T n ＋1＝T n ·b n ＋1＝T n －1b n b n ＋1＝T n －2b n －1b n b n ＋1＝…＝b 1b 2b 3…b n ＋1当n≥2时T n ＝b 1b 2b 2…b n (*)，当n ＝1时，T 1＝b 1适合(*)式∴T n ＝b 1b 2b 3…b n (n ∈N *)．(9分)∵b 1＝－12，b 2＝2b 1＝－1， b 3＝－3b 1＝32，b n ＋3＝b n ， ∴T 1＝b 1＝－12，T 2＝T 1b 2＝12， T 3＝T 2b 3＝34，T 4＝T 3b 4＝T 3b 1＝34T 1， T 5＝T 4b 5＝T 2b 3b 4b 5＝T 2b 1b 2b 3＝34T 2， T 6＝T 5b 6＝T 3b 4b 5b 6＝T 3b 1b 2b 3＝34T 3， ……T 3n ＋1＋T 3n ＋2＋T 3n ＋3＝T 3n －2b 3n －1b 3n b 3n ＋1＋T 3n －1b 3n b 3n ＋1b 3n ＋2＋T 3n b 3n ＋1b 3n ＋2b 3n ＋3＝T 3n －2b 1b 2b 3＋T 3n －1b 1b 2b 3＋T 3n b 1b 2b 3＝34(T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )， ∴数列{T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )(n ∈N *)是等比数列，首项T 1＋T 2＋T 3＝34且公比q ＝34，(11分) 记S n ＝T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ，①当n ＝3k(k ∈N *)时，S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k ) ＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k 1－34＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ， ∴34≤S n ＜3；(13分) ②当n ＝3k －1(k ∈N *)时S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k ＝3－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ∴0≤S n ＜3；(14分)③当n ＝3k －2(k ∈N *)时S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k －1－T 3k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k －1b 1b 2－(b 1b 2b 3)k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －12⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ＝3－143·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ， ∴－12≤S n ＜3.(15分) 综上得－12≤S n ＜3则p≤－12且q≥3， ∴q －p 的最小值为72.(16分)。

苏教版2019年高考数学(文科)二轮专题复习小题提速练三(含答案)

小题提速练(三)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x ＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．{3，4，5，6} B ．{x |3＜x ≤6} C ．{4，5，6}D ．{x |x ＜0或3＜x ≤6}解析：选C.依题意得A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{x |x ＜0或x ＞3}，因此A ∩B ＝{4，5，6}，选C. 2．已知a ＋ii＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a －b ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1解析：选A.依题意得1－a i ＝b ＋2i ，因此a ＝－2，b ＝1，a －b ＝－3，选A.3．某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为( )A.35 B ．25 C.15D ．310解析：选B.将3名男生记为M 1，M 2，M 3，2名女生记为W 1，W 2，从这5名志愿者中选出2名的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 1，W 1)，(M 1，W 2)，(M 2，M 3)，(M 2，W 1)，(M 2，W 2)，(M 3，W 1)(M 3，W 2)，(W 1，W 2)，共有10种，其中所选的2名志愿者性别相同的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 2，M 3)，(W 1，W 2)，共有4种，因此选出的2名志愿者性别相同的概率为410＝25，选B.4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里解析：选 A.依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为12的等比数列．记为{a n }，其前6项和等于378，于是有a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192，因此a 2＝12a 1＝96，即该人第二天走了96里，选A.5．已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选B.设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B. 6．如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m 、n 分别为495，135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C.执行程序框图，m ＝495，n ＝135，r ＝90，m ＝135，n ＝90，不满足退出循环的条件；r ＝45，m ＝90，n ＝45，不满足退出循环的条件；r ＝0，m ＝45，n ＝0，退出循环．故输出的m ＝45，选C.7．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO →＝AB →＋AC →，且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在向量CB →方向上的投影为( )A.12 B ．－32C ．－12D ．32解析：选D.依题意知，圆心O 为BC 的中点，即BC 是△ABC 的外接圆的直径，AC ⊥AB .又AO ＝OB ＝AB ＝1，因此∠ABC ＝60°，∠ACB ＝30°，|CA →|＝ 3，CA →在CB →方向上的投影为|CA →|cos 30°＝3×32＝32，选D.8．已知x ，y ∈N *且满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＜1，2x －y ＞2，x ＜5，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．7解析：选C.依题意，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ，y ∈N *，所以易知目标函数在点(3，3)处取得最优解，所以(x ＋y )min ＝6，故选C.9．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω＞0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14 B ．54 C.74D ．34解析：选B.依题意得f (x )＝ 3cos ωx －sin ωx ＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝ 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫k －16，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16＝54，选B.10．设曲线f (x )＝ m 2＋1cos x (m ∈R )上任一点(x ，y )处的切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选D.依题意得g (x )＝－ m 2＋1sin x ，y ＝x 2g (x )＝－ m 2＋1x 2sin x ，易知函数y ＝－ m 2＋1x 2sinx 是奇函数，其图象关于原点中心对称，故B ，C 均不正确，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－ m 2＋1x 2sin x ＜0，故选D.11．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB ．169πC.4（2－1）3πD ．12（2－1）3π解析：选A.依题意知，题中的工件形状是一个底面半径为1、高为2的圆锥，设新工件的长、宽、高分别为a ，b ，c ，截去的小圆锥的底面半径、高分别为r ，h ，则有a 2＋b 2＝4r 2，h ＝2r ，该长方体的体积为abc ＝ab (2－2r )≤（a 2＋b 2）（2－2r ）2＝4r 2(1－r )．记f (r )＝4r 2(1－r )，则有f ′(r )＝4r (2－3r )，当0＜r ＜23时，f ′(r )＞0，当23＜r ＜1时，f ′(r )＜0，因此f (r )＝4r 2(1－r )的最大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1627，则原工件材料的利用率为1627÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13π×12×2＝89π，选A.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋2x ＋2，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4的取值范围是( ) A ．(－3，＋∞) B ．(－∞，3) C ．[－3，3)D ．(－3，3]解析：选D.在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a ∈(0，2]时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有4个不同的交点，即方程f (x )＝a 有四个不同的解，此时有x 1＋x 2＝－4，|log 2x 3|＝|log 2x 4|(0＜x 3＜1＜x 4≤4)，即有－log 2x 3＝log 2x 4，x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4＝x 4－4x 4(1＜x 4≤4)，易知函数y ＝x 4－4x 4在区间(1，4]上是增函数，因此其值域是(－3，3]，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设命题p ：2x －1≤1，命题q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：解不等式2x －1≤1，得12≤x ≤1，故满足命题p 的集合P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，解不等式(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故满足命题q 的集合Q ＝[a ，a ＋1]．又q 是p 的必要不充分条件，则P 是Q 的真子集，即a ≤12且a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1214．在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝2，D 为AB 的中点，△BCD 的面积为334，则AC 等于________．解析：因为S △BCD ＝12BD ·BC sin B ＝12×1×BC sin π3＝334，所以BC ＝3.由余弦定理得AC 2＝4＋9－2×2×3cos π3＝7，所以AC ＝7.答案：715．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线为l .若l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：依题意得，y ′⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＝1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x x ＝1＝2，切线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y 得ax 2＋(a ＋2)x ＋1＝2x －1，即ax 2＋ax ＋2＝0，Δ＝a 2－8a ＝0(a ≠0)，解得a ＝8(a ＝0舍去)．答案：816．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为________．解析：在△PF 1F 2中，由角平分线定理，得|PF 1||PF 2|＝|F 1M ||F 2M |，即|PF 1||PF 1|＋|PF 2|＝|F 1M ||F 1M ＋F 2M |.由椭圆定义得|PF 1|2a ＝|F 1M |2c ⇒c a ＝|F 1M ||PF 1|.同理c a ＝|F 2M ||PF 2|. 又在△PF 1M 和△PF 2M 中，由余弦定理得cos ∠F 1MP ＋cos ∠F 2MP ＝0.即|PM |2＋|F 1M |2－|PF 1|22|PM |·|F 1M |＋|PM |2＋|F 2M |2－|PF 2|22|PM |·|F 2M |＝0，⇒(|PM |2＋|F 1M ||F 2M |)(|F 1M |＋|F 2M |)＝|PF 1|2|F 2M |＋|PF 2|2|F 1M |⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1||PF 2|＋c 2a 2|PF 1||PF 2|×2c ＝c a |PF 1|2|PF 2|＋c a |PF 2|2|PF 1|⇒⎝⎛⎭⎪⎫1＋2c 2a 2c ＝ca (|PF 1|＋|PF 2|) 即1＋2e 2＝2，解得e＝22.答案：2 2。

2019届江苏高考数学二轮复习第四篇三求准提速秒杀填空题试题理

求准提速，秒杀填空题填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.在高考中，填空题的题量较大，共同特点是不管过程，只要结果.因此解答这类题目除直接法外，还要掌握一些解题的基本策略，避免“小题大做”.解题基本解答策略是：充分利用题目提供的信息作出判断.先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，提高解题速度. 方法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，结合有关性质或结论，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.1.已知x ∈R ，集合A ＝{0,1,2,4,5}，集合B ＝{x －2，x ，x ＋2}，若A ∩B ＝{0,2}，则x ＝________. 答案 0解析因为A ＝{0,1,2,4,5}，B ＝{x －2，x ，x ＋2}，且A ∩B ＝{0,2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋2＝2，当x ＝2时，B ＝{0,2,4}，A ∩B ＝{0,2,4}，不符合题意，舍去；当x ＝0时，B ＝{－2,0,2}，A ∩B ＝{0,2}，符合题意. 所以x ＝0.2.已知α满足sin α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.答案718解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝22(cos α－sin α)·22(cos α＋sin α) ＝12(cos 2α－sin 2α) ＝12(1－2sin 2α)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－2×19＝718.3.已知a ，b 均为正实数，且a ＋b ＝3，则1a ＋1b的最小值为________.答案 43解析因为a ，b 均为正实数，所以1a ＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋23≥23＋23＝43(当且仅当a ＝b 时等号成立)，即1a ＋1b 的最小值为43. 4.若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则点M 到y 轴的距离是________. 答案 9解析设点M 的横坐标为x 0，准线方程为x ＝－1， ∵点M 到焦点的距离为10，根据抛物线定义得x 0＋1＝10， ∴x 0＝9，因此点M 到y 轴的距离为9.5.已知抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且PF ＝3，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线恰好过P 点，则双曲线C 2的离心率为________. 答案3解析设点P (x 0，y 0)，由抛物线定义得x 0－(－1)＝3，所以x 0＝2.又因为y 20＝4x 0，得y 0＝±22，即P (2，±22). 又因为双曲线C 2的渐近线过P 点，所以b a ＝222＝2，故e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋2＝ 3.方法二特值、特例法当题目已知条件中含有某些不确定的量，可将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊情形(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，可以多取几个特例. 6.cos 2α＋cos 2(α＋120°)＋cos 2(α＋240°)的值为________. 答案 32解析令α＝0°，则原式＝cos 20°＋cos 2120°＋cos 2240°＝32.7.如图所示，在△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，K 为AO 上一点，且AO →＝2AK →，过点K 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n ＝________.答案 4解析可取特殊位置来解，当过点K 的直线与BC 平行时，MN 就是△ABC 的一条中位线，这时由于AB →＝2AM →，AC →＝2AN →，因此m ＝n ＝2，故m ＋n ＝4.8.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为________.答案 2∶1解析将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ ，则有V P －ABC ＝1A ABC V －＝1113ABC A B C V -.剩余部分的体积为11123ABC A B C V -，所以截后两部分的体积比为2∶1.9.设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x ，过焦点的直线l 交该抛物线于A ，B 两点，则OA →·OB →＝________. 答案－34解析本题隐含条件是OA →·OB →的值为定值，所以OA →·OB →的值与直线l 的倾斜角无关，所以取直线l ：x ＝12，不妨令A 点在x 轴上方. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y 2＝2x ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，于是OA →·OB →＝14－1＝－34.方法三数形结合法有些题目条件中的式子或关系具有明显的几何意义，我们可以作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的性质、特征，得出结论.10.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f (x )＝k (x ＋1)(k >0)恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13解析直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1,0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以14≤k <13.11.设s ，t 是不相等的两个正数，且s ＋s ln t ＝t ＋t ln s ，则s ＋t －st 的取值范围为________. 答案 (1，＋∞)解析由已知s ＋s ln t ＝t ＋t ln s ，可得1＋ln t t ＝1＋ln s s.设f (x )＝1＋ln x x (x >0)，则f ′(x )＝－ln x x2. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数.如图，作出函数f (x )的图象，由题意知f (s )＝f (t )，所以s ，t 为方程f (x )＝m 的两个不同的解.不妨设s >t ，则0<t <1<s ，故s ＋t －st －1＝(s －1)(1－t )>0，所以s ＋t －st >1.12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围为_____________.答案 (0,1)解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点，则0<m <1，不妨设从左向右的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4.当x >0时，由对数函数的性质知，log 2x 3＝－log 2x 4，x 3x 4＝1，当x <0时，由y ＝－x 2－2x 的对称性知，x 1＋x 2＝－2，又x 1<x 2<0，则－x 1>－x 2>0，(－x 1)＋(－x 2)＝2，所以0<x 1x 2＝(－x 1)·(－x 2)<⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x 1)＋(－x 2)22＝1，所以0<x 1x 2x 3x 4<1.13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，x >0，x 2＋2x ＋2，x ≤0，方程f (x )－a ＝0有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，若函数F (x )＝f (x )－kx (x ∈D )有零点，则k 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1eln2解析作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，x >0，x 2＋2x ＋2，x ≤0的图象如图，由图可知D ＝{x |2<x ≤4}，函数F (x )＝f (x )－kx (x ∈D )有零点，即方程f (x )＝kx 有根，即y ＝kx 的图象与y ＝f (x )的图象在(2，4]上有交点，则k 的最小值为12，设过原点的直线与y ＝log 2x 的切点为()x 0，log 2x 0，由y ′＝1x ln2，得k ＝1x 0ln2，则切线方程为y －log 2x 0＝1x 0ln2(x －x 0)，把(0,0)代入，可得－log 2x 0＝－1ln2，即x 0＝e ，∴切线斜率为1eln2，即为k 的最大值，∴k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1eln2.方法四构造模型法构造模型法是由题目的条件和结论的特殊性构造出几何体、函数、向量等数学模型，然后在模型中进行推导与运算，达到快速解题的目的.构造模型法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，细致观察题目中数学结构、形式上的特点，通过分析、联想、类比接触过的数学模型，寻找灵感构造具体的数学模型.14.点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为______________. 答案 14π解析三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以可把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径.长方体的体对角线长是12＋22＋32＝14，所以它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1422＝14π. 15.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其意思是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为___里. 答案2257532解析由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{a n }，其中首项为a 1，公比q ＝12，S 7＝700,则700＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12，解得a 1＝350×128127，那么S 14＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12141－12＝22 57532.16.已知f (x )是定义在R 上的函数，其导函数为f ′(x )，若2f (x )－f ′(x )<2，f (0)＝2018，则不等式f (x )>2017e 2x＋1(其中e 为自然对数的底数)的解集为________. 答案 (0，＋∞)解析构造函数F (x )＝f (x )－1e2x，则F ′(x )＝f ′(x )e 2x －[f (x )－1]·2e 2x(e 2x )2＝f ′(x )－2f (x )＋2e2x>0，故函数F (x )＝f (x )－1e2x在R 上为增函数，又因为F (0)＝f (0)－1e＝2 018－1＝2 017，因此不等式F (x )>2 017的解集为(0，＋∞).17.如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积为________.答案6π解析如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径.∴CD ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，∴R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.1.原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为________. 答案 2解析由当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，得原命题为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题的逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，为真命题，则原命题的否命题为真命题. 2.设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45则a ，b ，c 的大小关系为________.(用“<”连接) 答案 b <a <c解析因为a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，显然a <1，b <1，c >1，所以c 的值最大.又因为0<log 53<log 54<1，所以log 54>(log 53)2，即a >b .综上b <a <c . 3.某流程图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内应填________.答案 k >4解析程序在运行过程中各变量值变化如下： k S 是否继续循环循环前1 1 / 第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k >4.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，若关于x 的函数y ＝[f (x )]2－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤2，174解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，作出f (x )的简图，如图所示，由图象可得当f (x )在(0,4]上任意取一个值时，都有四个不同的x 与f (x )的值对应. 再结合题中函数y ＝[f (x )]2－bf (x )＋1有8个不同的零点，可得关于k 的方程k 2－bk ＋1＝0有两个不同的实数根k 1，k 2，且0<k 1≤4,0<k 2≤4.∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4>0，0<b 2<4，0－b ×0＋1>0，16－4b ＋1≥0，解得2<b ≤174.5.已知函数f (x )＝－9－x 2与函数g (x )＝k (x －3)＋4的图象上存在两对关于x 轴对称的点，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤724，23解析由题意知方程f (x )＋g (x )＝－9－x 2＋k (x －3)＋4＝0，即方程9－x 2＝k (x －3)＋4有两个不同的解，等价于y 1＝9－x 2，y 2＝k (x －3)＋4的图象有两个交点，如图所示，当y 2＝k (x －3)＋4过点(－3,0)时，k 有最大值，此时k ＝4－03－(－3)＝23.当直线y 2＝k (x －3)＋4与曲线y 1＝9－x 2相切时，恰有一个交点，此时满足|4－3k |k 2＋1＝3，所以k ＝724.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤724，23.6.在四面体ABCD 中，若AB ＝CD ＝3，AC ＝BD ＝2，AD ＝BC ＝5，则四面体ABCD 的外接球的表面积为________. 答案 6π解析如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a 2＋c 2＝4，b 2＋c 2＝3，三式相加得a 2＋b 2＋c 2＝6，因为该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，所以4R 2＝a 2＋b 2＋c 2＝6，所以外接球表面积S ＝4πR 2＝6π.7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.答案 18解析把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18. 8.若锐角α，β，γ满足cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，那么tan α·tan β·tan γ的最小值为________. 答案 2 2解析如图，构造长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，∠C 1AB ＝α，∠C 1AD ＝β，∠C 1AA 1＝γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.从而有tan αtan βtan γ＝b 2＋c 2a ·a 2＋c 2b ·a 2＋b 2c ≥2bc 2ac 2ababc＝2 2.当且仅当a ＝b ＝c 时，tan αtan βtan γ取最小值2 2.9.e 416，e 525，e636(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是________. 答案 e 416<e 525<e636解析由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e525，f (6)＝e636.而f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x 2′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )>0，得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，所以f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e636.10.在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝2a n ＋1，则数列{a n }的通项公式是________. 答案 a n ＝2n－1解析由a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，得a 1＋1＝2≠0，∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比q ＝2的等比数列，因此a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，故a n ＝2n－1.11.若动直线x ＝a (a ∈R )与函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6与g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象分别交于M ，N 两点，则MN 的最大值为________.答案 2解析实际上MN ＝|f (x )－g (x )|，因此我们只要求|f (x )－g (x )|的最大值，令h (x )＝|f (x )－g (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝|2sin x |，其最大值为2. 12.已知a ，b ，c ，d ∈R 且满足a ＋3ln ab ＝d －32c ＝1，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为________. 答案 95ln 2e 23解析设点P (a ，b )，Q (c ，d )，由题设可得点P ，Q 分别在曲线b ＝a ＋3ln a ，d －3＝2c 上. 则问题转化为求曲线b ＝a ＋3ln a 上的动点P 与直线d ＝2c ＋3上的动点Q 之间的距离的最小值的平方问题.设点M (t ，t ＋3ln t )是曲线b ＝a ＋3ln a 的切点，因为b ′＝1＋3a，故在点M 处的切线的斜率k ＝1＋3t ，由题意知当1＋3t＝2，即t ＝3时，也即当切线与已知直线d ＝2c ＋3平行时，此时切点M (3,3＋3ln3)到已知直线d ＝2c ＋3的距离最近，最近距离为|6－3－3ln3＋3|5＝6－3ln35，也即(a －c )2＋(b －d )2的最小值为9(2－ln3)25＝95ln 2e 23.。

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备数列的应用(含解析).doc

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备数列的应用（含解析）【考点导读】1、能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

2、注意基本数学思想方法的运用，构造思想：数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。

【基础练习】1、将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468 第2行16141210 第3行18202224 第4行32302826 ……………那么2017在第251行，第5列。

2、图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，那么第n 个图包含2221n n -+个互不重叠的单位正方形.0>n b )1(2112>+=∴+-n b b b n n n }{n b ∴是等差数列〔2〕由〔1〕知,822121=+=a a b ,21=∴bn b n b b b b a n =∴+=∴=∴=12212,1,3,∴)1)(1(1>+==-n n n b b a n n n又21=a 也符合该式，)1(+=∴n n a n〔3〕n n n s 2124232232+++++=① 13221242321+++++=n n n s ② ①—②得14322121212121121++-+++++=n n n n s 1121211)211(411++----+=n n n 1121)211(211+----+=n n n n n n s 233+-=∴.点评：此题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。

例3、设数列{}{}n n b a ,满足3,4,6332211======b a b a b a ，且数列{}()++∈-N n a a n n 1是等差数列，数列{}()+∈-Nn b n 2是等比数列。

〔I 〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；〔II 〕是否存在*N k ∈，使⎪⎭⎫⎝⎛∈-21,0k k b a ，假设存在，求出k ，假设不存在，说明理由。

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必备三解题陷阱妙破“陷阱”,顾名思义,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.陷阱一混淆概念——理解概念抓本质例1 若z=sinθ-+-i是纯虚数,则tan-的值为.易错分析本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致所求tan-的值为多个,从而错解.答案-7正确解析由纯虚数的概念,可知- , - ,由 ,得sinθ=,故cosθ=±- =±-=±,而由 ,可得cosθ≠,故cosθ=-,所以tanθ==-,则tan-=-=---=-7.▲跳出陷阱在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念.跟踪集训1.已知向量a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,设a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是.陷阱二错用结论——公式定理要记准例2 将函数g(x)=4sinxcosx的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f= .易错分析该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.答案正确解析将函数g(x)=4sinxcosx=2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y=2sin2π6=2sin2+π3的图象,将该函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后所得图象对应的函数解析式为f(x)=2sin=2sin.所以f=2sin=2sin cos+cos sin= ×=.▲跳出陷阱三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.跟踪集训2.(2018宿迁剑桥国际学校高三月考)已知函数f(x)=sin-cos+2cos2x.(1)求f的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)函数f(x)的图象可由y=sinx的图象如何变换得来?请详细说明.陷阱三忽视验证——特例情况要谨记例3 已知椭圆+=1的半焦距为c,曲线Γ上的任一点( ,y)( ≥ )到定点F(1,0)的距离比该点到y轴的距离大c.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线l过点F,交曲线Γ于A,B两点,过A,B分别作曲线Γ的切线交于点P,判断·是不是定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析直线l过点F交曲线Γ于A,B两点,由于思维定势,经常只考虑直线l的方程为y=k(x- ),k≠ 的情况,从而漏掉了过点F的直线l与x轴垂直这一特殊情况,导致错解.正确解析(1)因为椭圆+=1的半焦距为c,所以c=-=1,因为曲线Γ上的任一点( ,y)( ≥ )到定点F(1,0)的距离比该点到y轴的距离大1,所以曲线Γ上的任一点( ,y)( ≥ )到定点F(1,0)的距离等于该点到直线x=-1的距离.根据抛物线的定义,知曲线Γ的轨迹为抛物线.设曲线Γ的方程为y2=2px(p>0),所以=1,解得p=2,所以曲线Γ的方程为y2=4x.(2)·为定值.证明如下:当过点F的直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=1,根据抛物线的对称性知,点P在x轴上,所以PF⊥AB,所以·=0.当过点F的直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=k(x- ),k≠ ,由(- ),得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以Δ=[-(2k2+4)]2-4k2·k2=16k2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x P,y P),y1>0,y2<0,则x1+x2=2+,x1x2=1.由y2=4x(y>0),得y=2,y'=,所以过点A的切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=+;由y2=4x(y<0),得y=-2,y'=-,所以过点B的切线PB的方程为y-y2=-(x-x2),即y=--.由,得-- ,,即P- ,,所以直线PF的斜率k PF=---=-, 所以k PF·k=-×k=-1,所以PF⊥AB.综上所述,·为定值,且定值为0.跟踪集训3.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)与直线l: =m(m∈R).四点(3,1),(3,-1),(-2,0),(,)中有三个点在椭圆C上,剩余一个点在直线l上.(1)求椭圆C的方程;(2)若动点P在直线l上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得PM=PN,再过点P作直线l'⊥MN.证明:直线l'过定点,并求出该定点的坐标.陷阱四讨论漏解——参数标准要恰当例4 已知函数f(x)=lnx-ax+-- ( ∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当 ≤ <时,讨论f(x)的单调性.易错分析该题易出现的问题是讨论f(x)的单调性时,对参数进行分类讨论的标准不正确,造成分类的重复或遗漏.正确解析(1)当a=-1时,f(x)=lnx+x+- , ∈( ,+∞).所以f'(x)=-, ∈( ,+∞).因此f'(1)=0,即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为0.又f(1)=ln1+1+2-1=2,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2.(2)因为f(x)=lnx-ax+--1,所以f'(x)=-a+-=---, ∈( ,+∞).令g(x)=ax2-x+1- , ∈( ,+∞).当a=0时,g(x)=-x+1,当 ∈( , )时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当 ∈( ,+∞)时,g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增.当0<a<时,由f'(x)=0,即ax2-x+1-a=0,亦即(x-1)(ax+a-1)=0,解得x1=1,x2=-1.此时-1>1>0,所以当 ∈( , )时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当 ∈ ,-时,g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当 ∈- ,∞时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减.综上,当a=0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在( ,+∞)上单调递增;当0<a<时,函数f(x)在(0,1),- ,∞上单调递减,在 ,-上单调递增.▲跳出陷阱含参的函数单调性的分析是一个难点,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚,导致分类混乱.明确标准,合理分类是解决此类问题的关键,讨论含参的函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序: 最高次幂的系数是不是 ; 方程f'(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系.分类后确定导函数的符号,常画出导函数的图象,根据图象与x轴的相对位置确定导函数的符号,进而写出单调区间.跟踪集训4.已知函数f(x)=a x+x2- l ( > , ≠ ).(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调递增区间;(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.陷阱五条件遗漏——细心审题不遗漏例5 在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为 ,b, , = ,b= ,△ABC的面积为20,则△ABC中最大角的正切值是.易错分析本题易忽视锐角三角形这一条件.答案解析由题意得20=× × × C⇒sinC=⇒C=或C=(舍),由余弦定理得,c2=82+102- × × ×=84,因为a=8,b=10,所以a2<c2<b2,因此B角最大,由余弦定理的推论得,cosB==,则tanB=-B=.B▲跳出陷阱审题时一定要仔细,注意题中正数、整数、锐角、钝角、x轴上方等限制条件.跟踪集训5.已知钝角△ABC的三个内角成等差数列,最大边长与最小边长的比值为m,则实数m的取值范围为. 陷阱六推理不当——归纳类比要合理例6 我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理:幂势既同,则积不容异.这句话的意思:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.设由曲线x2=4y和直线x=4,y=0所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1,由同时满足 ≥ , 2+y2≤ , 2+(y-2)2≥ , 2+(y+2)2≥ 的点(x,y)构成的平面图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2,根据祖暅原理可知,通过类比Γ2可以得到Γ1的体积为.易错分析该题易出现的问题是不能准确理解祖暅原理,只关注两个平面图形形状的差异性,找不出共性,导致错误的类比.答案32π正确解析设图(1)中的阴影部分绕y轴旋转一周得到的旋转体Γ1的体积为V',则V'=2,圆(1)、(2)中的两图形绕y轴旋转所得的旋转体均夹在两个相距为8的平行平面之间,用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点的距离为|y|,则所得截面面积S1=π(42-4|y|),S2=π(42-y2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|),所以S1=S2,由祖暅原理知,Γ1与Γ2的体积相等.因为Γ2是由同时满足 ≥ , 2+y2≤ , 2+(y-2)2≥ , 2+(y+2)2≥ 的点(x,y)构成的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体,所以它应该是一个大的球体减去两个半径一样的小的球体,体积为· 3- ·· 3=64π,所以Γ1的体积为32π.▲跳出陷阱类比推理的关键在于“类”,即找到两类事物的共性,这是类比推理的基础,在此基础上才能进行由此及彼的相关性质研究,如该题中两个截面面积相等是类比两个几何体体积相等的关键.跟踪集训6.先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a1,a2∈R, 1+a2=1,求证:+≥.证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,则f(x)=2x2-2(a1+a2)x++=2x2-2x++,∵对一切 ∈R,恒有f( )≥ ,∴Δ=4-8(+)≤ ,从而得+≥.(1)若a1,a2,…, n∈R, 1+a2+…+ n=1,请写出上述结论的推广式;(2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.陷阱七画图不准——数化“形”要准确例7 已知定义在R上的函数f(x)满足:f( )+f( -x)=0;f( -2)=f(-x);③在[-1,1]上的表达式为f(x)=-, ∈[- , ,, ∈( , .则函数f(x)与函数g(x)=, ,-,的图象在区间[-3,3]上的交点个数为.易错分析该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数.答案 6正确解析由可得,f(1-x)+f(1+x)=0,即f(x)的图象关于点(1,0)对称;由可得f(x-1)=f(-x-1),即f(x)的图象关于直线x=-1对称.如图,根据③先作出函数f(x)在[-1,1]上的图象,然后作出其关于直线x=-1对称的图象,则得函数f(x)在[-3,-1]上的图象,再作其关于(1,0)对称的图象,则得函数f(x)在[-3,3]上的图象,最后作出函数g(x)的图象.由图象可知两函数的图象在[-3,3]上有6个交点.▲跳出陷阱该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性等.跟踪集训7.(2018江苏南通阶段检测)设函数f(x)是定义域为R,周期为2的周期函数,且当 ∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=l ||, ,, ,则函数f(x)和g(x)的图象在区间[-5,10]内交点的个数为.陷阱八推理跳步——步骤过程要合理例8 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.(1)求证:EF∥平面ABC1D1.(2)求证:EF⊥B1C.易错分析证明立体几何中平行和垂直问题时,易出现的问题是对判定定理的条件书写不完整导致推理不严密或者使用课本上没有的、但是是正确的命题作为推理条件.正确证明(1)如图,连接BD1,在△DD1B中,E,F分别为DD1,DB的中点,则EF∥D1B.因为EF∥D1B,D1B⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1,所以EF∥平面ABC1D1.(2)因为立体图形ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AB⊥平面BCC1B1,又B1C⊂平面BCC1B1,所以B1C⊥AB.又因为B1C⊥BC1,AB,BC1⊂平面ABC1D1,AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1.因为BD1⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1.又因为EF∥BD1,所以EF⊥B1C.▲跳出陷阱证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归,通过恰当地转化达到最终目的.解这类问题时要注意推理要严谨,使用定理时要找足条件,不要用没有证明的结论作为推理条件,同时书写要规范.跟踪集训8.(2018江苏海安高级中学阶段检测)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC= °.在平面ABC中,AB=2,BC=4,M为BC的中点,过A1,B1,M三点的平面交AC于点N.求证:(1)N为AC的中点;( )AC⊥平面A1B1MN.陷阱九转化不当——由此及彼要等价例9 f(x)=x2-2alnx+(a- ) , ∈R.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性;>a恒成立?若存在,求出a的取值范围;若(3)是否存在实数a,对任意的x1,x2∈( ,+∞),且x1≠ 2,有()-f()-不存在,说明理由.>a转化为函数f(x)的导数的范围,即f'(x)>a,导致错解.易错分析该题易出现的问题是直接把()-f()-正确解析f'(x)=x-+a-2=(- )()(x>0).(1)当a=1时,f(1)=-,f'(x)=(- )( ),f'(1)=-2,所以所求的切线方程为y--=-2(x-1),即4x+2y-3=0.( ) 当-a=2,即a=-2时,f'(x)=(- )≥ ,f( )在( ,+∞)上单调递增.当0<-a<2,即-2<a<0时,因为0<x<-a或x>2时,f'(x)>0;-a<x<2时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,- ),( ,+∞)上单调递增,在(-a,2)上单调递减.③当-a>2,即a<-2时,因为0<x<2或x>-a时,f'(x)>0;当2<x<-a时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,2),(- ,+∞)上单调递增,在(2,-a)上单调递减.(3)假设存在这样的实数a满足条件,不妨设x1<x2.>a恒成立,知f(x2)-ax2>f(x1)-ax1恒成立.由()-f()-令g(x)=f(x)-ax=x2-2alnx-2x,则函数g(x)在( ,+∞)上单调递增,所以g'(x)=x-- ≥ ,即 ≤ 2-2x=(x-1)2-1在( ,+∞)上恒成立, 因为(x-1)2-1在( ,+∞)上的最小值为-1,所以 ≤-,故存在这样的实数a满足题意,其取值范围为-∞,-.▲跳出陷阱条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要”,其几何意义是曲线上两点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))连对式子进行等价变形,如本题中的第(3)问中的“()-f()-线的斜率,但若直接利用导数的几何意义将该直线的斜率转化为函数图象上某点处的切线斜率,则求解较为复杂,故应该通过代数式的等价变换,将原问题转化为函数g(x)=f(x)-ax的单调性问题进行求解.跟踪集训9.(2018江苏楚水实验学校等三校联考)已知函数f(x)=x-,g(x)=2alnx.(1)若b=0,函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,求a的值;(2)若a>0,b=-1,函数F(x)=xf(x)+g(x)满足对任意x1,x2∈( , ( 1≠ 2),都有|F(x1)-F(x2)|<3-恒成立,求a 的取值范围;(3)若b=1,函数G(x)=f(x)+g(x),且G(x)有两个极值点x1,x2,其中x1∈ ,,求G(x1)-G(x2)的最小值.陷阱十新定义不明——用新定义要明确例10 定义:用[ ( ∈R)表示不超过x的最大整数,用[ )( ∈R)表示超过x的最小整数.例如[1.2]=1,[-0.3]=-1,[-1.5)=-1.给出下列结论:函数f(x)=[sinx]是奇函数;π是函数f(x)=[sinx]的周期;③若 ∈( , ),则不等式([x)-x)[x)<x的解集为, ;④函数g(x)=[sinx]+[cosx)的值域是{2,1,0,-1}.其中正确的是.(填上所有正确结论的序号)易错分析未读懂新定义“[ ( ∈R)”与“[ )( ∈R)”的含义,导致判断结论是否正确时出错. 答案 ③④正确解析对于 ,因为f==[0.5]=0,f-=-=[-0.5]=-1,所以f-≠-f,所以函数f(x)=[sinx]不是奇函数,所以错.对于 ,因为f(x)=[sinx]= , 且, ,,- , ,k∈Z.数形结合可知,2π是函数f(x)=[sinx]的周期,所以正确.对于③,当 ∈( , )时,[x)=2,由([x)-x)[x)<x,得,( -)· ,解得<x<2,故其解集为, .所以③正确.对于④,因为g(x)=[sinx]+[cosx)= ,或,, ,,或或,- , ,k∈Z.所以函数g(x)=[sinx]+[cosx)的值域是{2,1,0,-1},所以④正确.▲跳出陷阱解新定义问题时,一定要过好审题关,仔细辨析试题中待求的问题.在准确理解新定义的前提下求解,这样才能避免掉入新定义问题的陷阱里.跟踪集训10.若函数f(x)(x1≤ ≤ 2)图象上的两端点A,B的横坐标分别为x1,x2,动点M(x M,y M)在函数f(x)的图象上,且满足x M=x2+λ(x1-x2)(λ∈R),O为坐标原点,且点N满足=+λ,则称向量-的模的最大值为函数f(x)的“向高”.函数f(x)=x2-4x+2在区间[-1,5]上的“向高”为.答案精解精析陷阱一混淆概念——理解概念抓本质跟踪集训1.答案 -且解析因为θ为锐角,所以0<cos θ<1. 又因为cos θ= · | || |= ·, 所以·>0且·≠ ,所以,· ,解得 -, ,所以λ的取值范围是 -且 .陷阱二错用结论——公式定理要记准跟踪集训2.解析 (1)f(x)=sin -cos+2cos 2x=sin2x+cos2x-cos2x+sin2x+cos2x+1= sin2x+cos2x+1=2sin+1,∴f=2sin= +1.(2)令2k π-≤ +≤ k π+(k∈Z),解得k π-≤ ≤k π+(k∈Z);令2k π+≤ +≤ k π+(k∈Z),解得k π+ ≤ ≤k π+(k∈Z).∴f( )的单调递增区间为 -,k(k∈Z),f(x)的单调递减区间为,k(k∈Z).(3)变换步骤:(答案不唯一) y=sinx y=sin2xy=siny=2siny=2sin +1.陷阱三忽视验证——特例情况要谨记跟踪集训3.解析(1)由题意有3个点在椭圆C上,根据椭圆的对称性,则点(3,1),(3,-1)一定在椭圆C上,即+= ( >b> ) ,若点(-2,0)在椭圆C上,则点(-2,0)必为椭圆C的左顶点,而3>2,则点(-2,0)一定不在椭圆C上,故点(,)在椭圆C上,点(-2,0)在直线l上,所以+= ,联立可解得a2=12,b2=4,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:由(1)可得直线l的方程为x=-2,设P(-2,y0),y0∈-,,当y0≠ 时,设M(x1,y1),N(x2,y2),显然x1≠ 2,联立,,则-+-=0,即--=-·,又PM=PN,即点P为线段MN的中点,故直线MN的斜率为-·-=,又直线l'⊥MN,所以直线l'的方程为y-y0=-(x+2),即y=-, 显然直线l'过定点-, ;当y0=0时,直线MN为x=-2,此时直线l'为x轴亦过点-, .综上所述,直线l'过定点,且该定点的坐标为-, .陷阱四讨论漏解——参数标准要恰当跟踪集训4.解析(1)因为函数f(x)=a x+x2- l ( > , ≠ ),所以f'(x)=a x lna+2x-lna,f'(0)=0,又因为f(0)=1,所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)由(1)知,f'(x)=a x lna+2x-lna=2x+(a x-1)lna.因为当 > , ≠ 时,总有f'(x)在R上是增函数,又f'(0)=0,所以不等式f'(x)>0的解集为( ,+∞),所以函数f(x)的单调递增区间为( ,+∞).(3)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1成立,当 ∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤f( )max-f(x)min,所以只要f(x)max-f(x)min≥e-1即可.又因为x,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:所以f(x)在[-1,0)上是减函数,在(0,1]上是增函数,所以当 ∈[-1,1]时,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1,f(x)的最大值f(x)max为f(-1)和f(1)中的最大值.因为f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-l =a--2lna,令g(a)=a--2lna(a>0),因为g'(a)=1+-=-≥ (当a=1时,取“=”),所以g(a)在( ,+∞)上是增函数.而g(1)=0,故当a>1时,g(a)>0,即f(1)>f(-1);当0<a<1时,g(a)<0,即f(1)<f(-1).所以,当a>1时,f(1)-f( )≥e-1,即a-l ≥e-1,函数y=a-lna在( ,+∞)上是增函数,解得 ≥e;当0<a<1时,f(-1)-f( )≥e-1,即+l ≥e-1,函数y=+lna在(0,1)上是减函数,解得 < ≤e.综上可知,实数a的取值范围为 ,e∪[e,+∞).陷阱五条件遗漏——细心审题不遗漏跟踪集训5.答案( ,+∞)解析不妨设A<B<C,则a<b<c,A+C=2B=π-B,B=,,-A⇒0<A<,0<tanA<,>,m===-A==+>2,即实数m的取值范围是( ,+∞).陷阱六推理不当——归纳类比要合理跟踪集训6.解析(1)若a1,a2,…, n∈R, 1+a2+…+ n=1,则++…+≥.(2)证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+( -a n)2,则f(x)=nx2-2(a1+a2+…+ n) +…+++…+=nx2-2x+++…+,∵对一切 ∈R,恒有f( )≥ ,所以Δ=4-4n(++…+)≤ ,从而得++…+≥.陷阱七画图不准——数化“形”要准确跟踪集训7.答案15解析函数y=f( ),y= ( ), ∈[-5,10]的图象的交点个数即为函数y=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数,在同一坐标系中作出函数图象如图,当 ∈[ , 时,f(9)=0<g(9)=lg9,f(10)=1=g(10)=lg10,所以在区间(9,10)内还有一个交点,由图可得两个函数图象有15个交点,故函数零点个数是15.陷阱八推理跳步——步骤过程要合理跟踪集训8.证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1B1M∩平面ABC=MN,平面A1B1M∩平面A1B1C1=A1B1,所以MN∥A1B1.因为AB∥A1B1,所以MN∥AB,所以=.因为M为AB的中点,所以N为AC的中点.(2)在三角形A1AN中,AN=1,AA1= ,∠A1AC= °,由余弦定理得A1N=,故A1A2=AN2+A1N2,从而可得∠A1NA= °,即A1N⊥AC.在三角形ABC中,AB=2,AC=2,BC=4,则BC2=AB2+AC2,从而可得∠BAC= °,即AB⊥AC.又MN∥AB,则AC⊥MN.因为MN∩A1N=N,MN⊂面A1B1MN,A1N⊂面A1B1MN,所以AC⊥平面A1B1MN.陷阱九转化不当——由此及彼要等价跟踪集训9.解析(1)当b=0时,函数f(x)=x的图象与g(x)=2alnx的图象相切,设切点为(x0,2alnx0),则切线方程为y=x-2a+2alnx0,所以,-l ,得e,e,所以a=e.(2)当a>0,b=-1时,F(x)=x2+1+2alnx,F'(x)=2x+>0,所以F(x)在(0,1]上递增.不妨设0<x1<x2≤ ,原不等式⇔F(x2)-F(x1)<3-,即F(x2)+<F(x1)+.设h(x)=x2+1+2alnx+,则原不等式⇔h(x)在(0,1]上递减,即h'(x)=2x+-≤ 在(0,1]上恒成立,所以 ≤-2x2在(0,1]上恒成立.y=-2x2在(0,1]上递减,所以y min=3-2=1,所以 ≤ ,又a>0,所以 < ≤.(3)当b=1时,函数G(x)=f(x)+g(x)=x-+2alnx,G'(x)=(x>0),由题意知x1,x2是x2+2ax+1=0的两根,∴ 1x2=1,x1+x2=-2a,x2=,2a=-x1-,G(x1)-G(x2)=G(x1)-G=2--l .令H(x)=2--l ,H'(x)=2-lnx= ( )( -)l .当 ∈ ,时,H'(x)<0,所以H(x)在 ,上单调递减,H(x)的最小值为H= l -, 即G(x1)-G(x2)的最小值为 l -.陷阱十新定义不明——用新定义要明确跟踪集训10.答案9解析易知A(-1,7),B(5,7),所以=(-6,0),所以=+λ=(5-6λ,7).因为x M=x2+λ(x1-x2),所以x M=5+λ(-1-5)=5-6λ.因为点M(x M,y M)在函数f(x)的图象上,所以- ≤ -6λ≤ ,解得 ≤λ≤ .所以y M=f(5-6λ)=(5-6λ)2-4(5-6λ)+2=36λ2-36λ+7,所以-=(5-6λ,7)-(5-6λ,36λ2-36λ+7)=(0,-36λ2+36λ),所以|-|=|-36λ2+36λ|=36--,当λ=时,|-|取最大值,为9.所以函数f(x)=x2-4x+2在区间[-1,5]上的“向高”为9,故填9.。