湘教版第3课时勾股定理导学案
勾股定理导学案
勾股定理导学案一、学习目标：1、了解多种拼图方法，验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。
2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算和证明。
，3、进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系。
二、学习重点：通过自主学习验证归纳勾股定理。
并进行应用。
三、学习过程：(一)、学前准备：1、每位同学准备四个全等的直角三角形。
2、自主阅读课本本节内容。
(二)、自学、合作探究：活动一：各小组用8个同样大小的直角三角形，如图1、2拼图。
活动二：各小组派代表上来展示自己的拼图，并说出它的特点。
活动三、计算你所拼的图形的阴影面积，你能发现什么?每一小组选一种图形写出验证的过程，小组间进行交流。
(三).归纳定理：① 用语言表达勾股定理② 用式子表达勾股定理③ 运用勾股定理时该注意些什么?(四).定理应用：例 1、在Rt△ABC中，C=90，(1)若a=5，b=12，则c=________;(2)b=8，c=17，则S△ABC=________。
(提示先构好图)例2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)例3、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?提示：① AD 与BD有何关系?② 设CD=x,则AD=③ 在△ACD中根据勾股定理可列出构造方程来解。
有效训练:1.如图,已知直角三角形ABC的两直角边长分别为3cm和4cm,求AB边上的高CD的长.2.一旗杆在离地面6m处断折后,旗杆顶端落于离旗杆底部8m 处,试求旗杆的长.3.两树相距8m,一树高8m,另一树高2m,一只猴子要从一棵树上跳到另一棵数上(假设在数梢上),它至少要跳多远?4.等边三角形的边长为8 cm,则它的高为______ cm.5.已知直角三角形的两边长分别为8和6,则第三边长为______.(五)课堂小结：谈收获体会⑴ 我们通过什么方法来推导勾股定理的?⑵ 拼图法证明勾股定理用了什么数学思想?⑶ 勾股定理可以用来解决那些问题?(六)达标检测(1) 在⊿ABC中,C=900,若a=1,b=2,则c=___.(2) 在⊿ABC中,C=900,AC=5cm,BC=12cm,则斜边上的高为____.(3) 在等腰Rt⊿ABC中, 斜边AB长为5cm，则斜边AB上的高为______，边AC的长为 .(4) 一艘轮船从港口出发,先向正北航行30海里,再向正东航行15海里就到一个小岛,请你画出轮船所走的路线图,并求出小岛到港口的距离.(5)一零件如图,已知AC=3,AB=4,BD=12,求CD的长.(七) 作业布置： A层：课本131页练习1、2、3，132页A组1、2、3B层：(1)课本132页B组：1、2(2)你能否用下面的构图来验证勾股定理。
勾股定理教案26 湘教版(优秀教案)
《勾股定理》教学活动设计预案教学设计综述：一、教学目标知识与技能：经历探索、验证勾股定理的过程，发展推理能力，理解掌握勾股定理，会用勾股定理解决实际问题。
过程与方法：在探索勾股定理的过程中，让学生经历动手操作、实验观察、归纳猜想、验证发现勾股定理的过程，在动手实践中体会“特殊到一般”和“数形结合”的数学思想方法。
情感态度价值观：通过引导学生动手操作观察发现、大胆猜想、自主探究、合作交流，使学生在合作中体验到数学活动充满了探索欲创造，使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。
培养学生良好的团队合作意识和创新精神。
通过介绍中国古代在勾股定理研究方面取得的伟大成就，增强民族自豪感，激发学生爱国情感。
二、教学设想：八年级学生在数学的学习过程中已经具备一定的分析能力，归纳的能力和运用数学的思想意识，对于勾股定理的得出，需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论。
三、教学重点和难点、关键教学重点：让学生探索勾股定理，掌握勾股定理并用它来解决一些简单的实际问题。
教学难点：拼图、用计算面积的方法证明勾股定理。
教学关键：勾股定理的探索过程四、教学过程设计课后反思在经过国培学习理论知识后，我觉得本节课教学设计站在了更高的角度，使之结构完整，重点突出、难点也能突破，我个人认为本节课有以下方面做得较好：．做到个重视（）重视以学生为主体，以练习为主体，能做到师生互动，生生交流的过程。
（）重视运用现代化教学手段进行教学，提高课堂教学有效性。
用现代化教学手段进行教学，可以弥补常规教学的缺陷，同时可以增大容量；也可以节省教师板书时间等等。
（）重视自己的教态。
在整节课中，我以微笑对待每一个学生，给学生创造轻松的氛围；同时重视自己的激励性语言，调动学生的积极性。
整节课效果很不错。
（）重视学生的知识形成过程，学生成为课堂的主人。
这一堂课，能够给学生通过观察、猜想，动手操作，小组讨论的过程来探索勾股定理，并且通过小组讨论来证明勾股定理，使学生对勾股定理的感性认识上升为理性认识。
湘教版八年级数学下册教案 课题：1.2.3勾股定理(三)
课题：1.2.3勾股定理（三）教学目标1、探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理 ；会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形 ；培养学生数形结合的思想.2、通过“创设情境---实验验证----理论释意---应用”的探索过程，让学生感受知识的乐趣。
3、通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受；通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.重点：理解和应用直角三角形的判定方法难点：理解勾股定理的逆定理教学过程：一、知识回顾（出示ppt 课件）1.直角三角形有哪些性质? 结合图形用几何语言叙述：在Rt∆ABC 中，∠ACB ＝90°，则有：∠A+∠B ＝90°，a 2+b 2=c 2若D 是斜边AB 的中点，则：CD=AD=BD=12AB ， 若∠A ＝30°，则：BC=12AB 2.如何判断三角形是直角三角形? ∠A+∠B ＝90°，CD=AD=BD=12 AB ，BC=12AB 问题：如果三边a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，三角形是直角三角形吗？二、探究学习（出示ppt 课件）如图（1），已知在△ABC 中，AB =c ，BC =a ，AC=b ，且a 2+b 2=c 2，那么△ABC 是直角三角形吗？你能画一个直角三角形，使它的两直角边分别为a 和b ，斜边为c 吗？可以画一个Rt △A′ B′ C′ ，使∠C′ =90°，B′ C′ =a ，A′ C′ =b ，如图（2）根据勾股定理，A′ B′ 2 =a 2+b 2，因为 a 2+b 2=c 2，所以A′ B′ 2 =c 2，于是斜边A′ B′ =c 在△ABC 和△A′B′C′中，因为BC =B′C′=a ，AC =A ′C′=b ，AB =A ′B ′=c ，所以△ABC ≌△A′B′C′ (SSS)于是∠C ＝∠C′＝90°(全等三角形的对应角相等)，所以△ABC 是直角三角形. 直角三角形的判定定理：如果三角形的边长a ，b ，c 有下面的关系：a 2 + b 2 = c 2，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）这个定理实际就是勾股定理的逆定理。
湘教版-数学-八年级上册-八上3.6 勾股定理教案
勾股定理安乡县城北中学王鹏【教学内容】湘教版八年级数学上册第95～98页一、教学目标1 . 知识与技能：使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
2．过程与方法：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
3．情感、态度与价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。
在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。
水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。
几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。
本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
三、教学过程（一）、新课引入已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？（二）、探究定理1、画一画：让学生动手画一个直角边长为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
2、做一做（1）、如图1思考：问题1：这三个正方形的面积分别为多少？你是怎么求的？问题2什么等式？图1问题3：正方形的面积等于边长的平方，那么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？问题4：我们前面说过：在直角三角形中，我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
勾股定理导学案
勾股定理1勾股定理（一）学习目标：1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容, 会用面积法证明勾股定理。
2.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三条边的长。
学习重点：探索和验证勾股定理。
学习难点：证明勾股定理。
导学流程：一、自主学习前置学习：自学指导：阅读教材第64至66页，完成下列问题。
1.教材第64至65页思考及探究。
2.画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC，用刻度尺量出AB的长。
（勾3,股4,弦5）o以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
” 这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC,用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+ 42与52的关系，52+122和132 的关系，即32 +42______ 52, 52 +122_____ 132，那么就有2 + _______ = ___ 2。
（用勾、股、弦填空）对于任意的直角三角形也有这个性质吗？要点感知：如果直角三角形的两直角边长分别是a、b，斜边为c，那么________________________ ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的二、展示成果活动1 已知：在^ABC 中，/C=90°, /A、/ B、 /C的对边为a、b、c。
求证：a2+b2 =c2。
证明：如赵爽弦图， ______ 精品教学教案_思考：除此之外，还有证明勾股定理的其他办法吗?活动2如果将活动1中的图中的四个直角三角形按如图所拼，又该如何证明呢？ab知识点归纳：上述问题可视为命题1的证明命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么______________________ o总结：经过证明被确认正确的命题叫 ____________ o 命题1在我国称为__________________ ，而在西方称为 __________三、合作探究活动3 已知在RtAABC 中，/ C=90°, a、b、c 是^ ABC的三边，贝U（1）__________________ a=（2）__________________ b=（3）__________________ c=活动4 △ABC的三边a2=c ，2>c，2<c，o （已知c、o （已知a、o（已知a、b、c,则/C是—则/C是—则/C是—（1）若满足a2+b2（2）若满足a2+b2（3）若满足a2+b2四、当堂自测基础训练：1.在直角三角形ABC中，/C=90°，若a=5,b = 12，贝y c = ____ o2.在直角三角形ABC中，若a=3，b=5，则c ― _____________ o3.若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的4.在M B C中，N C =90°.角;角;角o1勾股定理(二)精品教学教案(1) 已知AC =6，BC =8，求AB 的长(2) 已知 AB =17，AC =15，求 BC 的长能力提升： 5.直角三角形的两边长的比是3:4，斜边长是20, 贝U 它的两直角边的长分别是 _____________________ 。
3.6勾股定理(第三课时公开课教案)
将实际问题转化为直角三角形模型。
难点
如何构建直角三角形，利用勾股定理解决实际问题。
教法
通过演示,引导学生观察、联想、分析,运用各种手段激发学习欲望和兴趣,组织学生活动,让学生主动参与学习全过程。
学法
切实体现学生的主体地位,让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳理解定理,提高学生的分析问题和解决问题的能力。
引导学生独立解答。
师：看谁做的吸管又快又好？
此活动重点关注：
a.学生能否积极主动的参与意识；
b.学生用数学知识解决实际问题的意识。
四、小结：
实际问题数学问题直角三角形
学生思考后回答。
独立解答。
学生讨论，交流，寻找解决问题的途径，并做出解答。
学生独立思考，寻找解决问题的途径，并做出解答。
引导学生思考，师生合作完成解答过程。
3.6勾股定理的应用（第三课时）
课题
勾股定理的应用
科目
八年级数学
课型
新授课
教材使用版本
湘教版
备课教师
黄有良
教学目标
一、知识与能力：
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题。
二、过程与方法：
1．让学生经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理解决此问题，发展学生的应用意识。
教具
多媒体课件
学具
计算器
教学过程
教师活动
学生活动
设计思路
一．创设情境：
回顾勾股定理的内容。
1.完成课前练习题：求直角三角形未知边长。
2.引入课题：数学来源于生活，并回归于生活。
二．实践探究：
出示问题一
例1、如图，电工师傅把4m长的梯子靠在墙上，使梯脚离墙脚的距离1.5m，准备在墙上安装电灯．当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m．那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？
湘教版八年级数学下册《直角三角形的性质和判定(Ⅱ)》教案
第1章直角三角形1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第1课时勾股定理【知识与技能】1.让学生体验勾股定理的探索过程.2.掌握勾股定理.3.学会用勾股定理解决简单的几何问题.【过程与方法】经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程，来了解勾股定理.【情感态度】了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习数学的自信.【教学重点】勾股定理【教学难点】勾股定理的应用一、创设情境，导入新课问题向学生展示国际数学大会（ICM——2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路.可以首次提出勾股定理.【教学说明】激发学生爱好数学的情感和学习勾股定理的兴趣，调动他们的积极性.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证做一做：教材第9页“做一做”【教学说明】通过测量，学生自主探究，对于直角三角形这一性质有个初步了解.议一议：教材第9页“议一议”【教学说明】引导学生计算，让学生进一步体会探索勾股定理的过程，并对勾股定理拓展应用，进一步体会数形结合的思想.想一想：教材第10页“探究”【教学说明】通过拼图活动，充分调动学生的思维，进一步激发学生的求知欲望，同时加深了学生对新知识的理解.例：教材第11页例1【教学说明】学生初步运用勾股定理解决问题，能够学以致用.三、运用新知，深化理解1.若Rt△ABC中，∠C=90°，且c=37，a=12，则b的值为（）A.50B.35C.34D.262.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A.4B.8C.10D.123.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB 于D，求CD的长.4.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2.求证：AB=BC.【教学说明】由学生独立完成，加深对所学知识的理解和运用，对于有困难的学生教师给予点拨，及时调整教学中的缺漏并加以强化，在完成上述题目后，学生自主完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.B 2.C3.解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∴由勾股定理有AC2=AB2-BC2=52-32=16，∴AC=4.又∵S△ABC=1/2AB·CD=1/2AC·BC,∴CD=AC·BC/AB=12/5(cm)4.证明：连接AC，∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2.∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2.∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴AB=BC.四、师生互动，课堂小结本节课你学到了什么知识？同学们还存在哪些困惑？【教学说明】让学生畅所欲言，使学生概括能力、语言表达能力进一步得到提高，完善了学生对知识的梳理.1.布置作业：习题1.2中的第1、4题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第2课时勾股定理的实际应用【知识与技能】1.勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，学生将在原有的基础上对直角三角形有更深刻的认识和理解.2.掌握直角三角形三边关系——勾股定理及直角三角形的判别条件——勾股定理的逆定理.【过程与方法】1.放手学生从多角度地了解勾股定理.2.提高学生亲自动手的能力.【情感态度】1.学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值.2.尽可能的给学生提供有关勾股定理的材料，给予交流的机会，并在与他人交流的过程中，敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验.【教学重点】应用勾股定理有关知识解决有关问题.【教学难点】灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题.一、创设情境，导入新课问题勾股定理的内容是什么？它揭示了直角三角形三边之间的关系，今后我们来看看这个定理的应用.【教学说明】教师创设问题，有针对性地复习了勾股定理，对本节课的应用勾股定理解决实际的问题打下了坚实的基础.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的应用思考教材第12页“动脑筋”【教学说明】提出问题，提供学生参与数学活动的时间与空间，调动学生的观察能动性，引导学生建立数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力.例：教材第12页例2【教学说明】以古代的数学问题为背景，一方面及时巩固勾股定理的运用，另一方面让学生感受到数学文化.三、运用新知，深化理解1.直角三角形中已知其中的两条边长是4和5，则第三条边等于（）A.3B.41C.3或41D.无法确定2.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，∠B=90°.①已知a=5,b=12，求c;②已知a=20,c=29,求b.3.如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所能走的最短路线的长度.【教学说明】由学生独立完成，以加深对知识的理解和运用，便于了解学生掌握情况，给有困难的学生给予指导，及时纠正他们出现的错误，并改正强化，在完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.C3.解：将曲面沿AB展开，如图，过C作CE⊥AB于E，在Rt△ECF 中，∠E=90°，EF=18-1-1=16（cm），CE=1/2×60=30（cm），由勾股定理，得CF=223016+=34（cm）+=22CE EF四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，给同学们谈谈你的收获是什么？你认为自己还在哪些问题上存在疑问?与大家共同交流.【教学说明】学生自已总结归纳加深印象.引导学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.1.布置作业：习题1.2中的第5、9题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第3课时勾股定理的逆定理【知识与技能】1.探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理.2.会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形.3.通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.【过程与方法】通过“创设情境——实验验证——理论释意——应用”的探索过程，让学生感受知识的乐趣.【情感态度】1.通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受.2.通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.【教学重点】理解和应用直角三角形的判定方法.【教学难点】理解勾股定理的逆定理.一、创设情境，导入新课问题据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.【教学说明】利用古埃及人画直角的方法，让学生体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课所研究的问题，既进行了数学史的教育，又锻炼了学生观察探究的能力，激发了他们渴求知识的欲望，教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的逆定理的证明探究教材第14页“探究”【教学说明】让学生有充分的探究、讨论的空间，体会逆定理的发生、发展、形成的过程，让学生亲身体验成功的喜悦，再次感受到数形结合的思想方法的应用.勾股定理的应用例：教材第15页例3、例4 【教学说明】加深对勾股定理逆定理的理解，并能初步的应用逆定理.三、运用新知，深化理解1.下列命题中是假命题的是（）A.△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形B.△ABC中，若a2=(b+c)(b-c)，则△ABC是直角三角形C.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形D.△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为__________，此三角形的形状为________.3.若a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判定这个三角形的形状.4.探险队里的A组由驻地出发，以12km/h的速度前进，同时，B 组也由驻地出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2小时后同时停下来，这时A、B两组相距30km，那么A、B两组行驶的方向成直角吗？说明理由.【教学说明】由学生自主完成，考验学生学习过程中存在的问题，适时给予引导、点拨，并有针对性地加强训练.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1. C 2. 6，8，10；直角三角形3.∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),当a2-b2=0时，即（a+b）(a-b)=0，因为a>0,b>0，所以a+b≠0,a-b=0,即a=b，此时为等腰三角形，当a2-b2≠0时，则有c2=a2+b2,根据勾股定理的逆定理此时为直角三角形.综上可得这个三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.4.∵（12×2）2+（9×2）2=30∴A，B两组行驶方向成直角.四、师生互动，课堂小结通过学习，你能判断一个三角形是否为直角三角形吗？还有哪些困惑？请与同学们共同操作.1.布置作业：习题1.2中的第2、8题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.。
勾股定理的应用导学案
勾股定理的应用导学案一、导言勾股定理是初中数学中的重要概念之一，也是数学中广泛应用的基本定理之一。
通过勾股定理，我们可以求解直角三角形的边长、判断一个三角形是否为直角三角形等。
本文档将介绍勾股定理的基本原理、应用场景以及解题方法，帮助学生理解和掌握勾股定理的应用。
二、勾股定理的基本原理勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两边平方的和。
用公式表示即为：a² + b² = c²，其中a和b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
三、勾股定理的应用场景1. 求解直角三角形的边长勾股定理是求解直角三角形边长的常用方法。
当我们已知一个直角三角形的两个边长，可以利用勾股定理求解第三边的长度。
例如，如果已知一个直角三角形的一条直角边长为3，斜边长为5，我们可以利用勾股定理解得另一条直角边的长度为4。
2. 判断一个三角形是否为直角三角形勾股定理也可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，那么该三角形就是一个直角三角形。
例如，如果一个三角形的三边长分别为3、4和5，满足3² + 4² = 5²，那么该三角形就是一个直角三角形。
四、勾股定理的解题方法在使用勾股定理解题时，可以采用以下步骤：1. 确定已知条件：首先，确定已知的直角三角形的边长情况。
2. 应用勾股定理求解：根据已知条件，应用勾股定理的公式a²+ b² = c²，求解未知边的长度。
3. 确认解的合理性：在求解过程中，需要验证解是否符合实际情况和常理，确保解的合理性。
五、例题解析1. 一个直角三角形的直角边长分别为3和4，求斜边的长度。
根据勾股定理，已知直角边长为3和4，斜边的长度可以通过勾股定理求解。
应用公式可得：3² + 4² = c²，化简得到9 + 16 = c²，进一步计算得到25 = c²。
勾股定理导学案
课题名称：勾股定理(1)一、学习目标：1 •了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。
3.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
二、教学过程：㈠、自助探究1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，这就是当时采用的会徽.你知道这个图案的名字吗？你知道它的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.请同学们也观察一下，看看能发现什么？(1)引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；(2)引导学生把面积的关系转化为边的关系.结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和3、等腰直角三角形有上述性质，其它直角三角形也有这个性质吗？4、猜想：由此，我们得出直角三角形ABC的三边长度之间存在的关系是:㈡、自助提升1、定理证明(1)赵爽利用弦图证明。
显然4个_________ 的面积+中间小正方形的面积二该图案的面积1即4 X X ________ +〔〕2 = C2,化简后得到________ . _________2 概括：由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a,b斜边为c，那么一定有这个关系我们称为勾股定理。
勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
(2)其他证明方法：教材101页做一做。
应用：例题分析：使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm , BC=10cm ,求CF CE6、 一个大树高8米，折断后大树顶端落在离大树底端2米处，折断处离地面的高度是多少？长，则斜边长为.13同理以 _____ 和 _为直角三角形的两直角边长，则斜边长为■. 17&如图1-1-4,所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7 cm , 则正方形A , B , C , D 的面积之和是多少？三、小结与反思 这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？ 一A§ 18.1 勾股定理（2）一、学习目标77 cm通过经历和体验，运用勾股定理解决一些实际问题的过程，进一步掌握勾股定理 重点：勾股定理的应用。
湘教版八年级数学勾股定理教案3
勾股定理教学目标：1、知识目标：（1）掌握勾股定理；（2）学会利用勾股定理进行计算、证明与作图；（3）了解有关勾股定理的历史.2、能力目标：（1）在定理的证明中培养学生的拼图能力；（2）通过问题的解决，提高学生的运算能力3、情感目标：（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；（2）通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育．教学重点：勾股定理及其应用教学难点：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育教学用具：直尺，微机教学方法：以学生为主体的讨论探索法教学过程：1、新课背景知识复习（1）三角形的三边关系（2）问题：（投影显示）直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？2、定理的获得让学生用文字语言将上述问题表述出来．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方强调说明：（1）勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边（2）学生根据上述学习，提出自己的问题（待定）学习完一个重要知识点，给学生留有一定的时间和机会，提出问题，然后大家共同分析讨论．3、定理的证明方法方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形,方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明4、定理与逆定理的应用例1 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有∴∠2＝∠C又∴∴CD的长是2.4cm例2 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝，D是BC上任一点，求证：证法一：过点A作AE⊥BC于E则在Rt△ADE中，又∵AB＝AC，∠BAC＝∴AE＝BE＝CE即证法二：过点D作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F则DE∥AC，DF∥AB又∵AB＝AC，∠BAC＝∴EB＝ED，FD＝FC＝AE在Rt△EBD和Rt△FDC中在Rt△AED中，∴例3 设求证：证明：构造一个边长的矩形ABCD，如图在Rt△ABE中在Rt△BCF中在Rt△DEF中在△BEF中，BE+EF＞BF即例 4 国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．解：不妨设正方形的边长为1，则图1、图2中的总线路长分别为AD+AB+BC＝3，AB+BC+CD＝3图3中，在Rt△DGF中同理∴图3中的路线长为图4中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH由∠FBH＝及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝∵3＞2.828＞2.732∴图4的连接线路最短，即图4的架设方案最省电线．5、课堂小结：（1）勾股定理的内容（2）勾股定理的作用已知直角三角形的两边求第三边已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
湘教版八年级数学下册第3课时《勾股定理1》教案
湘教版八年级数学下册第1章直角三角形第3课时勾股定理1 (教案)一、教学目标：（1）了解勾股定理的发现过程。
（2）掌握勾股定理的内容。
数学史：毕达哥拉斯定理赵爽弦图二、自学指导1看教材P9~ P11的内容，6分钟后解答下列问题：①看P10“探究”，体会“面积证法”：两个三角形全等，它们的面积；一个图形的面积，等于它的各部分面积的 .②直角三角形中，较短直角边称为，较长直角边称为，斜边称为＿＿.③勾股定理：直角三角形两边的平方和等于边的平方。
符号语言：∵Rt△ABC中∠C=90°，∴ + = ④自学P11例1：在用勾股定理计算时，通常要把平方形式先化成带有号的形式.三、自学检测（我自学我收获）1）已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则c= 。
（已知a、b，求c）a= 。
（已知b、c，求a）b= 。
（已知a、c，求b）2）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=3，c=5，则b=________；②若a=5，b=12，则c=_______；③若c=25，b=7，则a=_______；④若a=8，b=15，则c= 。
四、一展身手（我拓展我能行）1.在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)已知a=25，b=12，求c； (2)已知a=5，c=9，求b；(3)已知b =5，c=15，求a；六、挑战自我1.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m,宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你计算一下最少费用是多少？2.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为( )A、56B、48C、40D、32六、课堂小结应用条件：________三角形勾股定理内容：直角三角形的两直角边等于斜边的。
表达形式：(a、b为直角边，c为斜边)七、当堂训练必做题：教材P16 A组 1. 3、选做题：1.P17 B组7思考题：如图，三级台阶中每一级的长、宽、高分别为5cm、3cm、1cm，A点有一只蚂蚁想到B点吃可口的食物，求沿台阶面爬行的最短路线的长度。
勾股定理第3课时导学案
勾股定理第3课时导学案
一、导学
轴上表示的吗？（板书课题）
（二）学习目标：
1．能在数轴上作出无理数5
,2……的对应点.
,3
2．能构造直角三角形运用勾股定理求线段的长.
（三）学习重难点：
构造直角三角形求线段的长.
（四）自学指导
1．自学内容：教科书P26页到P27页练习以上的内容.
2．自学时间：8分钟.
3．自学方法：
4．自学提纲：
（1）完成P26页思考中的证明.
（2）长为13的线段是直角边为正整数，的直角三角形的斜边.
（3）在数轴上画出表示13的点，方法如下：
在数轴上找到点A，使OA= ，作直线l垂
直于OA，在l上取点B，使AB= ，以
原点以O为圆心，OB为半径画弧与数轴的正半
轴的交点C即为表示13的点.
（4）完成P27页练习题。
二、自学：请同学们结合自学提纲进行自学.
三、助学：
1．师助生：明了学情，差异指导；
2．生助生：学生自主研讨疑难之处.
四、强化：
1．点两位同学板演P27页练习题；
2．总结作数轴上表示无理数的点的步骤.
五、评价：
1.学生的自我评价.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价;
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.。
湘教版九年级上册教案 3 14.1勾股定理
勾股定理（二）一、教学目的1．使学生牢固掌握勾股定理。
2．使学生能够灵活运用勾股定理进行计算、证明和作图，并能解决一些实际问题。
二、教学重点、难点重点：勾股定理在证明题、计算题中的应用。
难点：如何引导学生分析问题、解决问题。
三、教学过程复习提问1．斜述勾股定理。
2．等边三角形边长为a，求高。
引入新课勾股定理应用非常广泛，利用它可以解决几何证明、计算、作图中的很多问题，以及与之有关的很多实际问题，现举例如下。
新课讲解教科书P100中例2，P101例3。
补充例题已知：在△ABC，∠B=90°，E、D分别为AB、BC上任意两点，求证：AD2+CE2=AC2+DE2。
分析：画出图1-105后不难发现，AD、CE、AC、DE分别是Rt△ABD、Rt△BCE、Rt△ABC、Rt△BDE的斜边，连续使用勾股定理即可得证。
证法一：∵△ABD是Rt△，∴AD2=AB2+BD2（勾股定理）。
A ∵△BCE是Rt△，∴CE2=BE2+BC2（勾股定理）.∴AD2+CE2=AB2+BC2+BD2+BE2.∵△ABC是Rt△，∴AC2=AB2+BC2（勾股定理）.∵△BDE是Rt△，∴DE2=BD2+BE2（勾股定理）. E ∴AC2+DE2=AB2+BC2+BD2+BE2.比较①与②，得 B D CAD2+CE2=AC2+DE2.图1-105证法二：如证法一中，根据勾股定理求出AD2、CE2、AC2、DE2后，求出AD2+CE2-（AC2+DE2）= 0∴AD2+CE2=AC2+DE2.上述两种证法是证明几何等式的常用方法。
方法一叫做“两头挤法”，即左边→M，右边→M，∴左边=右边。
方法二是“比较法”，即左边—右边=0。
实际上也是代数中证明恒等式的两种基本方法。
小结1．本堂我们主要讲了如何灵活运用勾股定理来进行计算、证明和作图，解决问题的关键是寻找运用勾股定理的直角三角形，把涉及到的线段归结到这个直角三角形中。
湘教版九年级上册教案 3 14.1勾股定理4
勾股定理（2）新杨中学 Wangyulong教学目标：掌握勾股定理在直角三角形中的运用，并应用它把实际问题转化为数学问题解决，培养应用数学的能力，同时由我国隋代建造的赵州石拱桥的拱桥的问题提出，进行民族精神教育，体会民族自豪感。
教学重点：勾股定理在实际问题中的应用。
教学难点：实际问题的数学化建模及代数化处理能力。
教学过程：一、复习：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2+ b 2= c2c=a= b= 1、 已知直角三角形任两边求第三边。
例1、在Rt △ABC 中，∠C=90°, ∠A,∠B,∠C 所对边分别为a,b,c 。
（1）已知a=6,b=8，求c 及斜边上的高CD ；（2）已知a=40,c=41,求b ； （3）已知b=15,c=25,求a;（4）已知a:b=3:4,c=25,求b;(5) 已知∠B ＝ 30°, a=2,求b,c; (6) 已知∠B ＝ 45°, c=2,求a,b;注意:利用方程的思想求直角三角形有关线段的长二、例题讲解例2 已知圆O 的弦AB=10，圆O 的半径R=7.求AB 的弦心距OC 的长解 连结OA 。
∵OC ⊥AB,OC 是弦心距（已知）∴AC=BC∵ AB=10（已知）， B CA D CB A a 勾 股c 弦 b 22b a +22b c -22a c -∴ AC=5.在Rt ⊿AOC 中，AC 2 + OC 2 = OA 2（勾股定理）∵OA = 7(已知）， ∴AB=巩固练习1、 已知⊙O 的半径为8cm,点O 到弦AB 的距离OP=6.4cm, 求弦AB 的长。
2、 在半径为50cm ⊙O 的中，有长50cm 的弦AB ，计算： （1）点O 与AB 的距离； （2）AOB 的度数例3 一千三百多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的拱桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧中点到弦的距离）为7.2米，求拱桥的半径（精确到0.1米).三、练习巩固3.破残的圆砂轮片上，量得弓形的弦AB 长16cm ，高CD 为4cm ，(如图，图中单位：cm ）.求原砂轮片的直径.四、交流小结：1、勾股定理的内容及证明。
高中数学新湘教版精品学案《勾股定理》
勾股定理【学习目标】1．学会运用勾股定理。
2．理解勾股定理的应用过程，学会应用“数型结合”的思想来解决问题。
【学习重难点】重点：理解和验证勾股定理过程。
难点：通过面积计算认识勾股定理。
【学习过程】一、新课学习知识点一：了解勾股定理。
“求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并以开方除之，得斜至日。
”说的就是勾股定理，中国约在公元前11世纪就已经发现了勾股定理，此定理亦称商高定理。
根据前面的知识做一做：练习：1．由面积关系，可以猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即：22a b +=_____。
知识点二：勾股定理的证明。
公元3世纪，三国时代的数学家赵爽给出如图证明。
中国发现勾股定理约500年后，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了勾股定理，证明如图：欧几里得给勾股定理一个称为“新娘的椅子”的证明，如图：美国第2021统加菲尔德给出另一个简洁证明，如图：根据前面的知识做一做：练习：1．由222c a b =+变形可得2a =_____。
2．由222c a b =+变形可得b =_____。
二、课堂总结1．这节课我们主要学习了哪些知识？2．这节课我们主要学习了哪些解题方法？步骤是什么？三、习题检测1．在Rt ABC 中，90247C BC AC ∠=︒==，，，求AB 的长。
2．在Rt ABC 中，904140C AB BC ∠=︒==，，，求AC 的长。
3．已知68902426CD AD ADC BC AB ==∠=︒==，，，，，求下图阴影部分的面积。
八年级数学下册 1.2.3《勾股定理(三)》教案 湘教版(2021学年)
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课题:１.2.3勾股定理（三）教学目标1、探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理 ;会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形 ;培养学生数形结合的思想．２、通过“创设情境-—-实验验证———－理论释意———应用"的探索过程,让学生感受知识的乐趣。
3、通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受;通过对勾股定理逆定理的探究,激发学生学习数学的兴趣和创新精神。
重点：理解和应用直角三角形的判定方法难点:理解勾股定理的逆定理教学过程:一、知识回顾(出示ｐpt 课件）1。
直角三角形有哪些性质? 结合图形用几何语言叙述:在Rt∆ABC 中,∠ACB ＝9０°,则有:∠A+∠Ｂ＝90°,a ２+b ２=c ２若D 是斜边AB 的中点,则：CD=AD ＝BD=12 AB ，若∠A ＝30°,则:BC=12AB2。
如何判断三角形是直角三角形?∠Ａ＋∠Ｂ＝９0°,ＣD=AD=B Ｄ=12 A Ｂ,BC=12ＡＢ问题:如果三边a ，b ，ｃ满足a 2+b 2=c ２,三角形是直角三角形吗？二、探究学习(出示p ｐt 课件)如图(1)，已知在△ABC 中，AB =c ,BC =ａ,AC=b ,且a 2+b 2=c 2,那么△A ＢC 是直角三角形吗? 你能画一个直角三角形,使它的两直角边分别为ａ和ｂ,斜边为c 吗？A B C D 30° (1) A B C a b c A′ a b c B ′ C ′ (2)可以画一个Rt△A′ B′ C′ ，使∠C′ =90°，B′ C′ =a ,A′ C′ =b ,如图(2）根据勾股定理,A′ B′ 2 =a ２+b 2，因为 ａ2＋b 2=ｃ2,所以A′ B′ 2 =c 2，于是斜边A′ B′ ＝c 在△ABC 和△Ａ′B′Ｃ′中，因为BC =B′C′=a ，A Ｃ＝A ′Ｃ′=b ,AB =A ′B ′=c ,所以△A ＢＣ ≌△A′B′C′ (SSS)于是∠C ＝∠C′＝90°(全等三角形的对应角相等)，所以△ＡB Ｃ是直角三角形。
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第1章直角三角形
第3课时勾股定理（1）
班级：组名：姓名编号：
【学习目标】
了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容
【预习导学】
1.看书：教材P9~ P11的内容，认真领会例1后回答下列问题。
2.解答下列问题：
①直角三角形中，较短直角边称为较长直角边称为斜边称为
②勾股定理：直角三角形两边的平方和等于边的平方。
符号语言：∵Rt△ABC中∠C=90°，∴2+ 2= 2【自主探究】
1.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
①c= 。
（已知a、b，求c）
②a= 。
（已知b、c，求a）
③b= 。
（已知a、c，求b）
2.在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=3，c=5，则b=___________；②若a=5，b=12，则c=___________；
③若c=25，b=7，则a=__________；④a=8，b=15，则c= 。
3.P11： 1,2,3
【合作探究】
1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长是
2. 若a∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC=________。
3. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。
4. 已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。
5．直角三角形两直角边长分别为5和12，求它斜边上的高。
【挑战自我】
1.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m,宽2m的楼道上铺地毯，
已知地毯每平方米18元，请你计算一下最少费用是多少？
13m 5m 2.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求三角形的面积。
【课堂小结】
通过本节课的学习，你有什么收获？
【当堂检测】
必做题：教材P16A组 1. 3、
选做题：1.P17B组 7
思考题：1、如图，三级台阶中每一级的长、宽、高分别为5cm、3cm、1cm，A点有一
只蚂蚁想到B点吃可口的食物，求沿台阶面爬行的最短路线。