2020高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第二节函数的单调性与最值教师用书理
2020高考数学第二章函数、导数及其应用2.2函数的单调性与最值课件文
【小题热身】 1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数 y=|x|是 R 上的增函数.( × ) 1 (2)函数 y=x的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( × ) (3)若函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增 区间是[1,+∞).( × ) (4)对于函数 f(x), x∈D, 若对任意 x1, x2∈D, x1≠x2 且(x1-x2)[f(x1) -f(x2)]>0,则函数 f(x)在区间 D 上是增函数.( √ ) (5)已知函数 y=f(x)在 R 上是增函数,则函数 y=f(-x)在 R 上 是减函数.( √ )
2.函数的最值 (1)函数最值的定义 前提 设函数 f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满任意的 x∈I, 都有 条件 ⑩f(x)≤M; ⑫f(x)≥M; (2)存在 x0∈I, (2)存在 x0∈I,使得⑪f(x0)=M. 使得⑬f(x0)=M. 结论 M 是 y=f(x)的最大值 M 是 y=f(x)的最小值 (2)两条结论:①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小 值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到;②区间上 的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
x+2 1 解法二 y= =1+ . x+1 x+1 ∵y=x+1 在(-1,+∞)上是增函数, 1 ∴y= 在(-1,+∞)上是减函数, x+1 1 ∴y=1+ 在(-1,+∞)上是减函数. x+1 x+2 即函数 y= 在(-1,+∞)上单调递减. x+1
悟· 技法 判断或证明函数的单调性的 2 种重要方法及其步骤
考向二 求函数的单调区间[互动讲练型] [例 2] 求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; (2)y=log (x2-3x+2).
2020届高考高中理科数学一轮专题复习第二章 2.2函数的单调性与最值
§2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y =f (x )在区间A 上是增加的或是减少的,那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值概念方法微思考1.在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论?提示 对任意x 1,x 2∈D ,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数,减函数类似.2.写出对勾函数y =x +ax (a >0)的递增区间.提示 (-∞,-a ]和[a ,+∞).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x ),有f (-1)<f (3),则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的递增区间是[1,+∞).( × ) (3)函数y =1x的递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( × )(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( × )(5)所有的单调函数都有最值.( × ) 题组二 教材改编2.函数f (x )=x 2-2x 的递增区间是 . 答案 [1,+∞)(或(1,+∞))3.函数y =2x -1在[2,3]上的最大值是 .答案 24.若函数f (x )=x 2-2mx +1在[2,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是 . 答案 (-∞,2]解析 由题意知,[2,+∞)⊆[m ,+∞),∴m ≤2. 题组三 易错自纠5.函数y =12log (x 2-4)的递减区间为 .答案 (2,+∞)6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(a -2)x ,x ≥2,⎝⎛⎭⎫12x -1,x <2,满足对任意的实数x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则实数a 的取值范围为 .答案 ⎝⎛⎦⎤-∞,138 解析 由题意知函数f (x )是R 上的减函数,于是有⎩⎪⎨⎪⎧a -2<0,(a -2)×2≤⎝⎛⎭⎫122-1,由此解得a ≤138,即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,138. 7.函数y =f (x )是定义在[-2,2]上的减函数,且f (a +1)<f (2a ),则实数a 的取值范围是 . 答案 [-1,1)解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧-2≤a +1≤2,-2≤2a ≤2,a +1>2a ,解得-1≤a <1.8.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x ≥1,-x 2+2,x <1的最大值为 .答案 2解析 当x ≥1时,函数f (x )=1x 为减函数,所以f (x )在x =1处取得最大值,为f (1)=1;当x <1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x =0处取得最大值,为f (0)=2. 故函数f (x )的最大值为2.题型一 确定函数的单调性命题点1 求函数的单调区间例1 (1)函数y =12log (2x 2-3x +1)的递减区间为( )A.(1,+∞)B.⎝⎛⎦⎤-∞,34 C.⎝⎛⎭⎫12,+∞ D.⎣⎡⎭⎫34,+∞答案 A解析 由2x 2-3x +1>0,得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫-∞,12∪(1,+∞). 令t =2x 2-3x +1,x ∈⎝⎛⎭⎫-∞,12∪(1,+∞). 则y =12log t ,∵t =2x 2-3x +1=2⎝⎛⎭⎫x -342-18, ∴t =2x 2-3x +1的递增区间为(1,+∞). 又y =12log t 在(1,+∞)上是减函数,∴函数y =12log (2x 2-3x +1)的递减区间为(1,+∞).(2)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=x 2f (x -1),则函数g (x )的递减区间是 .答案 [0,1)解析 由题意知g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1,该函数图像如图所示,其递减区间是[0,1).命题点2 讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f (x )=ax 2+1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性.解 函数f (x )=ax 2+1x (1<a <3)在[1,2]上是增加的.证明:设1≤x 1<x 2≤2,则 f (x 2)-f (x 1)=ax 22+1x 2-ax 21-1x 1 =(x 2-x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1+x 2)-1x 1x 2,由1≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,2<x 1+x 2<4, 1<x 1x 2<4,-1<-1x 1x 2<-14.又因为1<a <3, 所以2<a (x 1+x 2)<12, 得a (x 1+x 2)-1x 1x 2>0,从而f (x 2)-f (x 1)>0, 即f (x 2)>f (x 1),故当a ∈(1,3)时,f (x )在[1,2]上是增加的. 引申探究如何用导数法求解本例?解 f ′(x )=2ax -1x 2=2ax 3-1x 2,因为1≤x ≤2,所以1≤x 3≤8,又1<a <3, 所以2ax 3-1>0,所以f ′(x )>0,所以函数f (x )=ax 2+1x(其中1<a <3)在[1,2]上是增加的.思维升华 确定函数单调性的方法:(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图像法,图像不连续的单调区间不能用“∪”连接.(4)具有单调性函数的加减.跟踪训练1 (1)下列函数中,满足“任意x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )=2x B.f (x )=|x -1| C.f (x )=1x -xD.f (x )=ln(x +1)答案 C解析 由(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)上是减函数,A ,D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调;对于f (x )=1x -x ,因为y =1x与y =-x 在(0,+∞)上是减少的,因此f (x )在(0,+∞)上是减函数.(2)函数f (x )=(a -1)x +2在R 上是增加的,则函数g (x )=a |x -2|的递减区间是 .答案 (-∞,2]解析 因为f (x )在R 上是增加的,所以a -1>0,即a >1,因此g (x )的递减区间就是y =|x -2|的递减区间(-∞,2].(3)函数f (x )=|x -2|x 的递减区间是 . 答案 [1,2]解析 f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥2,-x 2+2x ,x <2.画出f (x )图像,由图知f (x )的递减区间是[1,2]. 题型二 函数的最值1.函数y =x 2-1x 2+1的值域为 .答案 [-1,1)解析 由y =x 2-1x 2+1,可得x 2=1+y1-y .由x 2≥0,知1+y1-y≥0,解得-1≤y <1,故所求函数的值域为[-1,1).2.函数y =x +1-x 2的最大值为 . 答案2解析 由1-x 2≥0,可得-1≤x ≤1. 可令x =cos θ,θ∈[0,π],则y =cos θ+sin θ=2sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4,θ∈[0,π], 所以-1≤y ≤2,故原函数的最大值为 2.3.函数y =|x +1|+|x -2|的值域为 . 答案 [3,+∞)解析 函数y =⎩⎪⎨⎪⎧-2x +1,x ≤-1,3,-1<x <2,2x -1,x ≥2.作出函数的图像如图所示.根据图像可知,函数y =|x +1|+|x -2|的值域为[3,+∞). 4.当-3≤x ≤-1时,函数y =5x -14x +2的最小值为 .答案 85解析 由y =5x -14x +2,可得y =54-74(2x +1).∵-3≤x ≤-1,∴720≤-74(2x +1)≤74,∴85≤y ≤3.∴所求函数的最小值为85. 5.函数f (x )=⎝⎛⎭⎫13x -log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为 . 答案 3解析 由于y =⎝⎛⎭⎫13x 在[-1,1]上是减少的,y =log 2(x +2)在[-1,1]上是增加的,所以f (x )在[-1,1]上是减少的,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.6.若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m ( ) A.与a 有关,且与b 有关 B.与a 有关,但与b 无关 C.与a 无关,且与b 无关 D.与a 无关,但与b 有关 答案 B解析 方法一 设x 1,x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点,则m =x 21+ax 1+b ,M =x 22+ax 2+b . ∴M -m =x 22-x 21+a (x 2-x 1),显然此值与a 有关,与b 无关. 故选B.方法二 由题意可知,函数f (x )的二次项系数为固定值,则二次函数图像的形状一定.随着b 的变动,相当于图像上下移动,若b 增大k 个单位,则最大值与最小值分别变为M +k ,m +k ,而(M +k )-(m +k )=M -m ,故与b 无关.随着a 的变动,相当于图像左右移动,则M -m 的值在变化,故与a 有关,故选B.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)分离常数法:形如求y =cx +dax +b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较函数值的大小例3 已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝⎛⎭⎫-12,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x =1对称,且在(1,+∞)上是减函数,因为a=f ⎝⎛⎭⎫-12=f ⎝⎛⎭⎫52,且2<52<3,所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式例4 已知函数f (x )=ln x +2x ,若f (x 2-4)<2,则实数x 的取值范围是 . 答案 (-5,-2)∪(2,5)解析 因为函数f (x )=ln x +2x 在定义域上是增加的,且f (1)=ln 1+2=2,所以由f (x 2-4)<2得f (x 2-4)<f (1),所以0<x 2-4<1,解得-5<x <-2或2<x < 5. 命题点3 求参数的取值范围例5 (1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )=cos x -sin x 在[0,a ]上是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π答案 C解析 ∵f (x )=cos x -sin x =-2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4, ∴当x -π4∈⎣⎡⎦⎤-π2,π2, 即x ∈⎣⎡⎦⎤-π4,3π4时, y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π4是增加的, f (x )=-2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4是减少的, ∴⎣⎡⎦⎤-π4,3π4是f (x )在原点附近的递减区间, 结合条件得[0,a ]⊆⎣⎡⎦⎤-π4,3π4, ∴a ≤3π4,即a max =3π4.(2)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+12a -2,x ≤1,a x -a ,x >1,若f (x )在(0,+∞)上是增加的,则实数a 的取值范围为 . 答案 (1,2]解析 由题意,得12+12a -2≤0,则a ≤2,又y =a x -a (x >1)是增函数,故a >1,所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)若函数f (x )=ln(ax 2+x )在区间(0,1)上是增加的,则实数a 的取值范围为 . 答案 ⎣⎡⎭⎫-12,+∞ 解析 若函数f (x )=ln(ax 2+x )在区间(0,1)上是增加的,则函数g (x )=ax 2+x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0恒成立.当a =0时,g (x )=x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0,符合题意;当a >0时,g (x )图像的对称轴为x =-12a <0,且有g (x )>0,所以g (x )在(0,1)上是增加的,符合题意;当a <0时,需满足g (x )图像的对称轴x =-12a ≥1,且有g (x )>0,解得a ≥-12,则-12≤a <0.综上,a ≥-12.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图像或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较; ②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.跟踪训练2 (1)如果函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(2-a )x +1,x <1,a x ,x ≥1满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立,那么a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎭⎫32,2解析 对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,所以y =f (x )在(-∞,+∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2-a >0,a >1,(2-a )×1+1≤a ,解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32,2.(2)定义在R 上的奇函数y =f (x )在(0,+∞)上是增加的,且f ⎝⎛⎭⎫12=0,则不等式19(log )f x >0的解集为 . 答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3 解析 由题意知,f ⎝⎛⎭⎫-12=-f ⎝⎛⎭⎫12=0, f (x )在(-∞,0)上也是增加的.∴19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫12或19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫-12, ∴19log x >12或-12<19log x <0,解得0<x <13或1<x <3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3.1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y =ln(x +2) B.y =-x +1 C.y =⎝⎛⎭⎫12xD.y =x +1x答案 A解析 函数y =ln(x +2)的递增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数. 2.函数y =12log (-x 2+x +6)的递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12,3B.⎝⎛⎭⎫-2,12 C.⎝⎛⎭⎫12,+∞ D.⎝⎛⎭⎫-∞,12 答案 A解析 由-x 2+x +6>0,得-2<x <3,故函数的定义域为(-2,3),令t =-x 2+x +6,则y =12log t ,易知其为减函数,由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t =-x 2+x +6在(-2,3)上的递减区间.利用二次函数的性质可得t =-x 2+x +6在定义域(-2,3)上的递减区间为⎝⎛⎭⎫12,3,故选A. 3.设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是( ) A.f (π)>f (-3)>f (-2) B.f (π)>f (-2)>f (-3) C.f (π)<f (-3)<f (-2) D.f (π)<f (-2)<f (-3)答案 A解析 因为f (x )是偶函数, 所以f (-3)=f (3),f (-2)=f (2).又因为函数f (x )在[0,+∞)上是增函数, 所以f (π)>f (3)>f (2), 即f (π)>f (-3)>f (-2).4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(1-2a )x,x ≤1,log a x +13,x >1,当x 1≠x 2时,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0,则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0,13 B.⎣⎡⎦⎤13,12 C.⎝⎛⎦⎤0,12 D.⎣⎡⎦⎤14,13答案 A解析 当x 1≠x 2时,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0,∴f (x )是R 上的减函数.∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(1-2a )x,x ≤1,log a x +13,x >1,∴⎩⎪⎨⎪⎧0<1-2a <1,0<a <1,1-2a ≥13,∴0<a ≤13.5.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(x -a )2,x ≤0,x +1x +a ,x >0,若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为( )A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时,f (x )=(x -a )2,f (0)是f (x )的最小值,∴a ≥0.当x >0时,f (x )=x +1x +a ≥2+a ,当且仅当x =1时取“=”.要满足f (0)是f (x )的最小值,需2+a ≥f (0)=a 2,即a 2-a -2≤0,解得-1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0,+∞)上是减少的,若f (x 2-2x +a )<f (x +1)对任意的x ∈[-1,2]恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫-∞,134 B.(-∞,-3) C.(-3,+∞) D.⎝⎛⎭⎫134,+∞ 答案 D解析 依题意得f (x )在R 上是减函数,所以f (x 2-2x +a )<f (x +1)对任意的x ∈[-1,2]恒成立,等价于x 2-2x +a >x +1对任意的x ∈[-1,2]恒成立,等价于a >-x 2+3x +1对任意的x ∈[-1,2]恒成立.设g (x )=-x 2+3x +1(-1≤x ≤2),则g (x )=-⎝⎛⎭⎫x -322+134(-1≤x ≤2),当x =32时,g (x )取得最大值,且g (x )max =g ⎝⎛⎭⎫32=134,因此a >134,故选D. 7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a =-f ⎝⎛⎭⎫log 215,b =f (log 24.1),c =f (20.8),则a ,b ,c 的大小关系为 . 答案 a >b >c解析 ∵f (x )在R 上是奇函数, ∴a =-f ⎝⎛⎭⎫log 215=f ⎝⎛⎭⎫-log 215=f (log 25). 又f (x )在R 上是增函数, 且log 25>log 24.1>log 24=2>20.8, ∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8),∴a >b >c .8.如果函数f (x )=ax 2+2x -3在区间(-∞,4)上是增加的,则实数a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤-14,0 解析 当a =0时,f (x )=2x -3在定义域R 上是增加的,故在(-∞,4)上是增加的;当a ≠0时,二次函数f (x )的对称轴为x =-1a ,因为f (x )在(-∞,4)上是增加的,所以a <0,且-1a ≥4,解得-14≤a <0.综上,实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-14,0. 9.记min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b ,若f (x )=min{x +2,10-x }(x ≥0),则f (x )的最大值为 .答案 6解析 由题意知,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,0≤x ≤4,10-x ,x >4,易知f (x )max =f (4)=6.10.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+4x ,x ≤4,log 2x ,x >4.若函数y =f (x )在区间(a ,a +1)上是增加的,则实数a 的取值范围是 . 答案 (-∞,1]∪[4,+∞) 解析 作函数f (x )的图像如图所示,由图像可知f (x )在(a ,a +1)上是增加的,需满足a ≥4或a +1≤2, 即a ≤1或a ≥4. 11.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)上是增加的; (2)若a >0且f (x )在(1,+∞)上是减少的,求a 的取值范围. (1)证明 当a =-2时,f (x )=xx +2.设x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(-∞,-2)上是增加的. (2)解 设1<x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a=a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ).因为a >0,x 2-x 1>0, 所以要使f (x 1)-f (x 2)>0, 只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立, 所以a ≤1.综上所述,0<a ≤1.12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ),F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),x >0,-f (x ),x <0.(1)若f (-1)=0,且对任意实数x 均有f (x )≥0成立,求F (x )的解析式;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-2,2]时,g (x )=f (x )-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围. 解 (1)∵f (-1)=0,∴b =a +1.由f (x )≥0恒成立,知a >0且方程ax 2+bx +1=0中Δ=b 2-4a =(a +1)2-4a =(a -1)2≤0,∴a =1.从而f (x )=x 2+2x +1.∴F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(x +1)2,x >0,-(x +1)2,x <0.(2)由(1)可知f (x )=x 2+2x +1,∴g (x )=f (x )-kx =x 2+(2-k )x +1, 由g (x )在[-2,2]上是单调函数, 知-2-k 2≤-2或-2-k 2≥2,得k ≤-2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).13.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ≤0,ln (x +1),x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-1,2)D.(-2,1) 答案 D解析 ∵当x =0时,两个表达式对应的函数值都为0,∴函数的图像是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时,函数f (x )=x 3为增函数,当x >0时,f (x )=ln(x +1)也是增函数,∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此,不等式f (2-x 2)>f (x )等价于2-x 2>x ,即x 2+x -2<0,解得-2<x <1.14.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3,x ≤0,-x 2-2x +3,x >0,不等式f (x +a )>f (2a -x )在[a ,a +1]上恒成立,则实数a的取值范围是 . 答案 (-∞,-2)解析 二次函数y 1=x 2-4x +3的对称轴是x =2, ∴该函数在(-∞,0]上是减少的,∴x 2-4x +3≥3,同样可知函数y 2=-x 2-2x +3在(0,+∞)上是减少的, ∴-x 2-2x +3<3,∴f (x )在R 上是减少的, ∴由f (x +a )>f (2a -x )得到x +a <2a -x , 即2x <a ,∴2x <a 在[a ,a +1]上恒成立, ∴2(a +1)<a ,∴a <-2,∴实数a 的取值范围是(-∞,-2).15.已知函数f (x )=2 020x +ln(x 2+1+x )-2 020-x +1,则不等式f (2x -1)+f (2x )>2的解集为 . 答案 ⎝⎛⎭⎫14,+∞ 解析 由题意知,f (-x )+f (x )=2,∴f (2x -1)+f (2x )>2可化为f (2x -1)>f (-2x ),又由题意知函数f (x )在R 上是增加的,∴2x -1>-2x ,∴x >14,∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫14,+∞. 16.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )是增函数,f (1)=0,f (3)=1. (1)解不等式0<f (x 2-1)<1;(2)若f (x )≤m 2-2am +1对所有x ∈(0,3],a ∈[-1,1]恒成立,求实数m 的取值范围.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1>0,1<x 2-1<3,得2<x <2或-2<x <- 2.∴原不等式的解集为(-2,-2)∪(2,2). (2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数, ∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)=1,∴不等式f (x )≤m 2-2am +1对所有x ∈(0,3],a ∈[-1,1]恒成立转化为1≤m 2-2am +1对所有a ∈[-1,1]恒成立,即m 2-2am ≥0对所有a ∈[-1,1]恒成立. 设g (a )=-2ma +m 2,a ∈[-1,1],∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧g (-1)≥0,g (1)≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧2m +m 2≥0,-2m +m 2≥0,解该不等式组,得m ≤-2或m ≥2或m =0, 即实数m 的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).。
202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值学案含解析
第二节函数的单调性与最值课标要求考情分析1。
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。
1。
主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题.2.题型以选择题、填空题为主,若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.知识点一函数的单调性1.增函数、减函数的定义定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2:(1)增函数:当x1〈x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;(2)减函数:当x1〈x2时,都有f(x1)〉f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.2.单调性、单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y =f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.注意以下结论1.对∀x1,x2∈D(x1≠x2),错误!>0⇔f(x)在D上是增函数,错误!<0⇔f(x)在D上是减函数.2.对勾函数y=x+错误!(a〉0)的增区间为(-∞,-错误!]和[错误!,+∞),减区间为[-错误!,0)和(0,错误!].3.在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.4.函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.知识点二函数的最值1.思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]〉0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(√)(2)函数y=1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×)(3)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.(×)(4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(×)解析:(2)此单调区间不能用并集符号连接,取x1=-1,x2=1,则f(-1)〈f(1),故应说成单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).(3)应对任意的x1<x2,f(x1)〈f(x2)成立才可以.(4)若f(x)=x,f(x)在[1,+∞)上为增函数,但y=f(x)的单调递增区间是R.2.小题热身(1)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是(A)A.y=错误!-x B.y=x2-xC.y=ln x-x D.y=e x(2)函数f(x)=-x+错误!在区间错误!上的最大值是(A)A.错误!B.-错误!C.-2 D.2(3)设定义在[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的增区间为[-1,1]和[5,7].(4)函数f(x)=错误!的值域为(-∞,2).(5)函数f(x)=错误!在[2,6]上的最大值和最小值分别是4,错误!.解析:(1)对于A,y1=错误!在(0,+∞)内是减函数,y2=x在(0,+∞)内是增函数,则y=1x-x在(0,+∞)内是减函数;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,y=e x 在(0,+∞)上是增函数.(2)∵函数y=-x与y=错误!在x∈错误!上都是减函数,∴函数f(x)=-x+错误!在错误!上是减函数,故f(x)的最大值为f(-2)=2-错误!=错误!.(3)由图可知函数的增区间为[-1,1]和[5,7].(4)当x≥1时,f(x)=log错误!x是单调递减的,此时,函数的值域为(-∞,0];x<1时,f(x)=2x是单调递增的,此时,函数的值域为(0,2).综上,f(x)的值域是(-∞,2).(5)函数f(x)=错误!=错误!=2+错误!在[2,6]上单调递减,所以f(x)min=f(6)=错误!=错误!。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第2课时 函数的单调性与最值精品课件
3.若函数 y=ax 与 y=-bx在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2
+bx 在(0,+∞)上是( )
A.增函数
B.减函数
C.先增后减
D.先减后增
解析: ∵函数y=ax与y=-bx在(0,+∞)上都是减函数,
∴a<0,b<0,
∴函数y=ax2+bx的图象的对称轴为x=-2ba<0,
∴函数y=ax2+bx在(0,+∞)上是减函数. 答案: B
解析: 要使函数有意义,则16-4x≥0.又因为4x>0,
∴0≤16-4x<16,即函数y= 16-4x的值域为[0,4).
答案: C
2.(2009·福建卷)下列函数f(x)中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+
∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是( )
A.f(x)=1x
B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex
D.f(x)=ln(x+1)
解析: 由题意知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,
在A中,由f′(x)=-x12<0得x在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数;
在B中,由f′(x)=2(x-1)<0得x<1,所以f(x)在(-∞,1)上为减函
数;
在C中,由f′(x)=ex>0知f(x)在R上为增函数;
在D中,由f′(x)=
1 x+1
且x+1>0和f′(x)>0,所以f(x)在(-1,+∞)
上为减函数. 答案: A
x2+4x 3.(2009·天津卷)已知函数f(x)= 4x-x2
x≥0, x<0.
若f(2-a2)>
f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
练规范、练技能、练速度
高考理科数学一轮总复习第二章函数的单调性与最值
第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2∈A当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减少的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的①如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为单调区间.②如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.(3)单调函数如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x ∈I ,使得f (x )=M(2)存在x ∈I ,使得f (x )=M结论 M 为最大值M 为最小值1.函数单调性的两种等价形式 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1≠x 2,(1)f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数;f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数.(2)(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数;(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数.2.五条常用结论(1)对勾函数y =x +ax (a >0)的增区间为(-∞,-a ]和[a ,+∞),减区间为[-a ,0)和(0,a ].(2)在区间D 上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数. (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y =f (u ),u =g (x )的单调性的关系是“同增异减”. (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 二、教材衍化1.函数f (x )=x 2-2x 的递增区间是________. 答案:[1,+∞)(或(1,+∞))2.若函数y =(2k +1)x +b 在R 上是减函数,则k 的取值范围是________. 解析:因为函数y =(2k +1)x +b 在R 上是减函数,所以2k +1<0,即k <-12.答案:⎝⎛⎭⎫-∞,-12 3.已知函数f (x )=2x -1,x ∈[2,6],则f (x )的最大值为________,最小值为__________.解析:可判断函数f (x )=2x -1在[2,6]上为减函数,所以f (x )max =f (2)=2,f (x )min =f (6)=25. 答案:2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x ),有f (-1)<f (3),则函数f (x )在R 上为增函数.( ) (2)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数f (x )的递增区间是[1,+∞).( ) (3)函数y =1x 的递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )(4)所有的单调函数都有最值.( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( )(6)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点处取到. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|K(1)求单调区间忘记定义域导致出错; (2)对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调; (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解; (4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念. 1.函数y =log 12(x 2-4)的递减区间为________.答案:(2,+∞)2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(a -2)x ,x ≥2,⎝⎛⎭⎫12x -1,x <2是定义在R 上的减函数,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a -2<0,2(a -2)≤⎝⎛⎭⎫122-1, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2,a ≤138,即a ≤138.答案:⎝⎛⎦⎤-∞,138 3.函数y =f (x )是定义在[-2,2]上的减函数,且f (a +1)<f (2a ),则实数a 的取值范围是________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-2≤a +1≤2,-2≤2a ≤2,a +1>2a ,即⎩⎪⎨⎪⎧-3≤a ≤1,-1≤a ≤1,a <1.所以-1≤a <1. 答案:[-1,1)4.(1)若函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a 的取值范围是________;(2)若函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2的递减区间为(-∞,4],则a 的值为________. 答案:(1)a ≤-3 (2)-3确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 给出具体解析式的函数的单调性(1)函数f (x )=|x 2-3x +2|的递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32,+∞ B .⎣⎡⎦⎤1,32和[2,+∞) C .(-∞,1]和⎣⎡⎦⎤32,2D .⎝⎛⎦⎤-∞,32和[2,+∞) (2)函数y =x 2+x -6的递增区间为________,递减区间为________.【解析】 (1)y =|x 2-3x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-3x +2,x ≤1或x ≥2,-(x 2-3x +2),1<x <2. 如图所示,函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤1,32和[2,+∞);递减区间是(-∞,1)和⎝⎛⎭⎫32,2.故选B.(2)令u =x 2+x -6,则y =x 2+x -6可以看作是由y =u 与u =x 2+x -6复合而成的函数. 令u =x 2+x -6≥0,得x ≤-3或x ≥2.易知u =x 2+x -6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y =u 在[0,+∞)上是增函数,所以y =x 2+x -6的递减区间为(-∞,-3],递增区间为[2,+∞). 【答案】 (1)B (2)[2,+∞) (-∞,-3] 角度二 含参函数的单调性(一题多解)判断并证明函数f (x )=axx -1(a ≠0)在(-1,1)上的单调性.【解】 法一:设-1<x 1<x 2<1, f (x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫x -1+1x -1=a ⎝⎛⎭⎫1+1x -1,f (x 1)-f (x 2)=a⎝⎛⎭⎫1+1x 1-1-a ⎝⎛⎭⎫1+1x 2-1 =a (x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1),由于-1<x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 故当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),函数f (x )在(-1,1)上是减少的;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上是增加的. 法二:f ′(x )=a (x -1)-ax (x -1)2=-a(x -1)2,所以当a >0时,f ′(x )<0,当a <0时,f ′(x )>0, 即当a >0时,f (x )在(-1,1)上为减函数, 当a <0时,f (x )在(-1,1)上为增函数.确定函数单调性的4种方法(1)定义法.利用定义判断.(2)导数法.适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.(3)图象法.由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.(4)性质法.利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性.[提醒] 求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.1.函数y =-x 2+2|x |+3的递减区间是________. 解析:由题意知,当x ≥0时,y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4;当x <0时,y =-x 2-2x +3=-(x +1)2+4,二次函数的图象如图,由图象可知,函数y =-x 2+2|x |+3的递减区间为[-1,0],[1,+∞).答案:[-1,0],[1,+∞)2.判断并证明函数f (x )=ax 2+1x (其中1<a <3)在x ∈[1,2]上的单调性.解:设1≤x 1<x 2≤2,则 f (x 2)-f (x 1)=ax 22+1x 2-⎝⎛⎭⎫ax 21+1x 1 =(x 2-x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1+x 2)-1x 1x 2, 由1≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,2<x 1+x 2<4, 1<x 1x 2<4,-1<-1x 1x 2<-14.又1<a <3,所以2<a (x 1+x 2)<12,得a (x 1+x 2)-1x 1x 2>0,从而f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),故当a ∈(1,3)时,f (x )在[1,2]上是增加的.求函数的最值(师生共研)(1)函数f (x )=⎝⎛⎭⎫13x-log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为________. (2)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≤1,x +6x-6,x >1,则f (x )的最小值是________.【解析】 (1)由于y =⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减,y =log 2(x +2)在[-1,1]上递增,所以f (x )在[-1,1]上递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.(2)当x ≤1时,f (x )min =0,当x >1时,f (x )min =26-6,当且仅当x =6时取到最小值,又26-6<0,所以f (x )min =26-6.【答案】 (1)3 (2)26-6求函数最值的5种常用方法及其思路1.函数f (x )=1x -1在区间[a ,b ]上的最大值是1,最小值是13,则a +b =________.解析:易知f (x )在[a ,b ]上为减函数, 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=1,f (b )=13,即⎩⎨⎧1a -1=1,1b -1=13,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =4. 所以a +b =6. 答案:62.(一题多解)对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b .设函数f (x )=-x +3,g (x )=log 2x ,则函数h (x )=min{f (x ),g (x )}的最大值是________.解析:法一:在同一直角坐标系中, 作出函数f (x ),g (x )的图象, 依题意,h (x )的图象如图所示. 易知点A (2,1)为图象的最高点, 因此h (x )的最大值为h (2)=1.法二:依题意,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,0<x ≤2,-x +3,x >2.当0<x ≤2时,h (x )=log 2x 是增函数, 当x >2时,h (x )=3-x 是减函数, 所以h (x )在x =2处取得最大值h (2)=1.答案:1函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x =1对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝⎛⎭⎫-12,b =f (2),c =f (e),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >bD .b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x =1对称. 所以f ⎝⎛⎭⎫-12=f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时, [f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0恒成立,知f (x )在(1,+∞)上单调递减.因为1<2<52<e ,所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e),所以b >a >c . 【答案】 D角度二 解函数不等式已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ≤0,ln (x +1),x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是( )A .(-∞,-1)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(1,+∞)C .(-1,2)D .(-2,1)【解析】 因为当x =0时,两个表达式对应的函数值都为零,所以函数f (x )的图象是一条连续的曲线.因为当x ≤0时,函数f (x )=x 3为增函数, 当x >0时,f (x )=ln(x +1)也是增函数, 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数. 因此,不等式f (2-x 2)>f (x )等价于2-x 2>x , 即x 2+x -2<0,解得-2<x <1. 【答案】 D角度三 根据函数的单调性求参数(1)(2020·南阳调研)已知函数f (x )=x -a x +a2在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.(2)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+4x ,x ≤4,log 2x ,x >4.若函数y =f (x )在区间(a ,a +1)上是增加的,则实数a的取值范围是________.【解析】 (1)法一:设1<x 1<x 2,所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1,+∞)上是增函数, 所以f (x 1)-f (x 2)=x 1-a x 1+a2-⎝⎛⎭⎫x 2-a x 2+a 2 =(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎫1+a x 1x 2<0.因为x 1-x 2<0,所以1+ax 1x 2>0,即a >-x 1x 2.因为1<x 1<x 2,x 1x 2>1,所以-x 1x 2<-1,所以a ≥-1. 所以a 的取值范围是[-1,+∞). 法二:由f (x )=x -a x +a 2得f ′(x )=1+ax 2,由题意得1+ax2≥0(x >1),可得a ≥-x 2,当x ∈(1,+∞)时,-x 2<-1. 所以a 的取值范围是[-1,+∞).(2)作出函数f (x )的图象如图所示,由图象可知f (x )在(a ,a +1)上是增加的,需满足a ≥4或a +1≤2,即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[-1,+∞) (2)(-∞,1]∪[4,+∞)函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.[提醒] ①若函数在区间[a ,b ]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;②分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.1.(2020·武汉模拟)若函数f (x )=2|x -a |+3在区间[1,+∞)上不单调,则a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(1,+∞)C .(-∞,1)D .(-∞,1]解析:选B.因为函数f (x )=2|x -a |+3=⎩⎪⎨⎪⎧2x -2a +3,x ≥a -2x +2a +3,x <a , 因为函数f (x )=2|x -a |+3在区间[1,+∞)上不单调, 所以a >1.所以a 的取值范围是(1,+∞).故选B.2.定义在[-2,2]上的函数f (x )满足(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]>0,x 1≠x 2,且f (a 2-a )>f (2a -2),则实数a 的取值范围为( )A .[-1,2)B .[0,2)C .[0,1)D .[-1,1)解析:选C.因为函数f (x )满足(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0,x 1≠x 2, 所以函数f (x )在[-2,2]上是增加的,所以-2≤2a -2<a 2-a ≤2,解得0≤a <1,故选C.[基础题组练]1.下列四个函数中,在x ∈(0,+∞)上为增函数的是( ) A .f (x )=3-x B .f (x )=x 2-3x C .f (x )=-1x +1D .f (x )=-|x |解析:选C.当x >0时,f (x )=3-x 为减函数; 当x ∈⎝⎛⎭⎫0,32时,f (x )=x 2-3x 为减函数, 当x ∈⎝⎛⎭⎫32,+∞时,f (x )=x 2-3x 为增函数; 当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-1x +1为增函数; 当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-|x |为减函数.2.函数y =|x |(1-x )在区间A 上是增函数,那么区间A 是( )A .(-∞,0)B .⎣⎡⎦⎤0,12C .[0,+∞)D .⎝⎛⎭⎫12,+∞ 解析:选B.y =|x |(1-x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),x ≥0,-x (1-x ),x <0=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+x ,x ≥0,x 2-x ,x <0函数y 的草图如图所示.由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0,12上递增.故选B. 3.若函数f (x )=x 2+a |x |+2,x ∈R 在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤-113,-3 B .[-6,-4] C .[-3,-22]D .[-4,-3]解析:选B.由于f (x )为R 上的偶函数,因此只需考虑函数f (x )在(0,+∞)上的单调性即可.由题意知函数f (x )在[3,+∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,故-a2∈[2,3],即a ∈[-6,-4].4.已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上递增,则满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13,23 B .⎣⎡⎭⎫13,23 C.⎝⎛⎭⎫12,23D .⎣⎡⎭⎫12,23解析:选D.因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23.5.定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2,则函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12解析:选C.由题意知当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2,当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2,又f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在相应的定义域内都为增函数,且f (1)=-1,f (2)=6,所以f (x )的最大值为6.6.函数f (x )=4-x -x +2的值域为________.解析:因为⎩⎪⎨⎪⎧4-x ≥0,x +2≥0,所以-2≤x ≤4,所以函数f (x )的定义域为[-2,4].又y 1=4-x ,y 2=-x +2在区间[-2,4]上均为减函数, 所以f (x )=4-x -x +2在[-2,4]上为减函数, 所以f (4)≤f (x )≤f (-2). 即-6≤f (x )≤ 6. 答案:[-6,6]7.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=x 2f (x -1),则函数g (x )的递减区间是________.解析:由题意知g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1.函数图象如图所示,其递减区间是[0,1).答案:[0,1)8.若f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3a -1)x +4a ,x <1,-ax ,x ≥1是定义在R 上的减函数,则a 的取值范围是________.解析:由题意知,⎩⎪⎨⎪⎧3a -1<0,(3a -1)×1+4a ≥-a ,a >0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a <13,a ≥18,a >0,所以a ∈⎣⎡⎭⎫18,13. 答案:⎣⎡⎭⎫18,139.已知函数f (x )=1a -1x (a >0,x >0).(1)求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数;(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域是⎣⎡⎦⎤12,2,求a 的值.解:(1)证明:任取x 1>x 2>0,则f (x 1)-f (x 2)=1a -1x 1-1a +1x 2=x 1-x 2x 1x 2,因为x 1>x 2>0,所以x 1-x 2>0,x 1x 2>0, 所以f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),所以f (x )在(0,+∞)上是增函数. (2)由(1)可知,f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上为增函数, 所以f ⎝⎛⎭⎫12=1a -2=12, f (2)=1a -12=2,解得a =25.10.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)上是增加的;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)上是减少的,求a 的取值范围. 解:(1)证明:设x 1<x 2<-2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). 因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在(-∞,-2)上是增加的. (2)设1<x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ). 因为a >0,x 2-x 1>0,所以要使f (x 1)-f (x 2)>0, 只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立, 所以a ≤1.综上所述,0<a ≤1.[综合题组练]1.若f (x )=-x 2+4mx 与g (x )=2mx +1在区间[2,4]上都是减函数,则m 的取值范围是( )A .(-∞,0)∪(0,1]B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,+∞)D .(0,1]解析:选D.函数f (x )=-x 2+4mx 的图象开口向下,且以直线x =2m 为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m ≤2,解得m ≤1;g (x )=2m x +1的图象由y =2mx 的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m >0,解得m >0.综上可得,m 的取值范围是(0,1].2.已知函数f (x )=log 2x +11-x ,若x 1∈(1,2),x 2∈(2,+∞),则( )A .f (x 1)<0,f (x 2)<0B .f (x 1)<0,f (x 2)>0C .f (x 1)>0,f (x 2)<0D .f (x 1)>0,f (x 2)>0解析:选B.因为函数f (x )=log 2x +11-x 在(1,+∞)上为增函数,且f (2)=0,所以当x 1∈(1,2)时,f (x 1)<f (2)=0;当x 2∈(2,+∞)时,f (x 2)>f (2)=0, 即f (x 1)<0,f (x 2)>0.故选B.3.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(x -a )2,x ≤0,x +1x +a ,x >0.若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为________.解析:因为当x ≤0时,f (x )=(x -a )2,f (0)是f (x )的最小值,所以a ≥0.当x >0时,f (x )=x +1x +a ≥2+a ,当且仅当x =1时取“=”.要满足f (0)是f (x )的最小值,需2+a ≥f (0)=a 2,即a 2-a -2≤0,解得-1≤a ≤2,所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案:[0,2]4.如果函数y =f (x )在区间I 上是增函数,且函数y =f (x )x 在区间I 上是减函数,那么称函数y =f (x )是区间I 上的“缓增函数”,区间I 叫做“缓增区间”.若函数f (x )=12x 2-x+32是区间I 上的“缓增函数”,则“缓增区间”I 为________. 解析:因为函数f (x )=12x 2-x +32的对称轴为x =1,所以函数y =f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,又当x ≥1时,f (x )x =12x -1+32x ,令g (x )=12x -1+32x (x ≥1),则g ′(x )=12-32x 2=x 2-32x 2, 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3,即函数f (x )x =12x -1+32x 在区间[1, 3 ]上递减,故“缓增区间”I 为[1, 3 ].答案:[1, 3 ]5.已知函数f (x )=x 2+a |x -2|-4.(1)当a =2时,求f (x )在[0,3]上的最大值和最小值;(2)若f (x )在区间[-1,+∞)上是增加的,求实数a 的取值范围. 解:(1)当a =2时,f (x )=x 2+2|x -2|-4=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x -8,x ≥2x 2-2x ,x <2=⎩⎪⎨⎪⎧(x +1)2-9,x ≥2(x -1)2-1,x <2, 当x ∈[0,2)时,-1≤f (x )<0,当x ∈[2,3]时,0≤f (x )≤7, 所以f (x )在[0,3]上的最大值为7,最小值为-1.(2)因为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+ax -2a -4,x >2x 2-ax +2a -4,x ≤2,又f (x )在区间[-1,+∞)上是增加的,所以当x >2时,f (x ) 是增加的,则-a2≤2,即a ≥-4.当-1<x ≤2时,f (x ) 是增加的,则a2≤-1.即a ≤-2,且4+2a -2a -4≥4-2a +2a -4恒成立, 故a 的取值范围为[-4,-2].6.已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (x +y )=f (x )+f (y )+1,②当x >0时,f (x )>-1. (1)求f (0)的值,并证明f (x )在R 上是增函数; (2)若f (1)=1,解关于x 的不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4. 解:(1)令x =y =0,得f (0)=-1.在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0,f (x 1-x 2)>-1.又f (x 1)=f [(x 1-x 2)+x 2]=f (x 1-x 2)+f (x 2)+1>f (x 2),所以函数f (x )在R 上是增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f (3)=5.由f (x 2+2x )+f (1-x )>4得f (x 2+x +1)>f (3), 又函数f (x )在R 上是增函数,故x 2+x +1>3, 解得x <-2或x >1,故原不等式的解集为{x |x <-2或x >1}.。
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第2讲函数的单调性与最值学案
第2讲函数的单调性与最值板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 函数的单调性1.单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.考点2 函数的最值考点3 利用定义判断函数单调性的步骤1.任取……;2.作差……;3.化简;4.判断;5.结论.[必会结论]1.对勾函数y =x +a x(a >0)的增区间为(-∞,-a ]和[a ,+∞);减区间为[-a ,0)和(0,a ],且对勾函数为奇函数.2.设∀x 1,x 2∈D (x 1≠x 2),则①x 1-x 2>0(<0),f (x 1)-f (x 2)>0(<0)⇔f (x )在D 上单调递增;x 1-x 2>0(<0),f (x 1)-f (x 2)<0(>0)⇔f (x )在D 上单调递减;②f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0(或(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增;③f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0(或(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减.[考点自测]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )(2)对于函数f (x ),x ∈D ,若x 1,x 2∈D ,且(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]>0,则函数f (x )在D 上是增函数.( )(3)函数y =|x |是R 上的增函数.( )(4)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.[课本改编]函数y =x 2-6x +10在区间(2,4)上是( ) A .递减函数 B .递增函数 C .先减后增 D .先增后减答案 C解析 对称轴为x =3,函数在(2,3]上为减函数,在[3,4)上为增函数.3.[2018·陕西模拟]下列函数中,满足“f (x +y )=f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )A .f (x )=x 12B .f (x )=x 3C .f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD .f (x )=3x答案 D解析 根据各选项知,选项C ,D 中的指数函数满足f (x +y )=f (x )·f (y ).又f (x )=3x是增函数,所以D 正确.4.[课本改编]给定函数①y =x 12 ,②y =log 12 (x +1),③y =|x -1|,④y =2x +1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________.答案 ②③解析 ①y =x 12 在(0,1)上递增;②∵t =x +1在(0,1)上递增,且0<12<1,故y =log 12(x +1)在(0,1)上递减;③结合图象(图略)可知y =|x -1|在(0,1)上递减;④∵u =x +1在(0,1)上递增,且2>1,故y =2x +1在(0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.5.已知函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,若f (a 2-a )>f (a +3),则实数a 的取值范围为________.答案 (-3,-1)∪(3,+∞)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a >0,a +3>0,a 2-a >a +3,解得-3<a <-1或a >3.所以实数a 的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).板块二 典例探究·考向突破 考向确定函数的单调区间例 1 求下列函数的单调区间:(1)y =-x 2+2|x |+1;(2)y =log 12(x 2-3x +2).解 (1)由于y =⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x +1,x ≥0,-x 2-2x +1,x <0,即y =⎩⎪⎨⎪⎧-(x -1)2+2,x ≥0,-(x +1)2+2,x <0.画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).(2)令u =x 2-3x +2,则原函数可以看作y =log 12 u 与u =x 2-3x +2的复合函数.令u =x 2-3x +2>0,则x <1或x >2.∴函数y =log 12 (x 2-3x +2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).又∵u =x 2-3x +2的对称轴x =32,且开口向上,∴u =x 2-3x +2在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数. 而y =log 12u 在(0,+∞)上是单调减函数,∴y =log 12 (x 2-3x +2)的单调递减区间为(2,+∞),单调递增区间为(-∞,1).触类旁通确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法或导数法. (2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”. (3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连接. 【变式训练1】 求出下列函数的单调区间: (1)f (x )=|x 2-4x +3|; (2)f (x )=13-2x -x2.解 (1)先作出函数y =x 2-4x +3的图象,由于绝对值的作用,把x 轴下方的部分翻折到上方,可得函数y =|x 2-4x +3|的图象.如图所示.由图可知f (x )在(-∞,1]和[2,3]上为减函数,在[1,2]和[3,+∞)上为增函数,故f (x )的增区间为[1,2],[3,+∞),减区间为(-∞,1],[2,3].(2)∵3-2x -x 2>0,∴-3<x <1.由二次函数图象(图略)可知f (x )的递减区间是(-3,-1],递增区间为[-1,1).考向函数单调性的应用命题角度1 利用函数的单调性比较大小例 2 已知函数f (x )的图象关于直线x =1对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,b =f (2),c =f (e),则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c >a >bB .c >b >aC .a >c >bD .b >a >c答案 D解析 ∵f (x )的图象关于x =1对称,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52,又由已知可得f (x )在(1,+∞)上单调递减,∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e),即f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12>f (e).选D.命题角度2 利用函数的单调性解不等式例 3 f (x )是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f (xy )=f (x )+f (y ),f (3)=1,当f (x )+f (x -8)≤2时,x 的取值范围是( )A .(8,+∞)B .(8,9]C .[8,9]D .(0,8)答案 B解析 2=1+1=f (3)+f (3)=f (9),由f (x )+f (x -8)≤2,可得f [x (x -8)]≤f (9),因为f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x -8>0,x (x -8)≤9.解得8<x ≤9.命题角度3 利用函数的单调性求参数例 4 [2018·日照模拟]若f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=ax +1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,1)D .(0,1]答案 D解析 ∵f (x )=-x 2+2ax 在[1,2]上是减函数,∴a ≤1,又∵g (x )=ax +1在[1,2]上是减函数,∴a >0,∴0<a ≤1.触类旁通函数单调性应用问题的解题策略(1)比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数时,通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.提醒 若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.考向函数的最值问题例 5 (1)函数f (x )=x +21-x 的最大值为________. 答案 2解析 设1-x =t (t ≥0),∴x =1-t 2. ∴y =x +21-x =1-t 2+2t =-t 2+2t +1=-(t -1)2+2. ∴当t =1即x =0时,y max =2.(2)函数f (x )=3x +2x,x ∈[1,2]的值域为________.答案 [5,7]解析 解法一:f (x )=3x +23x,易证f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞上是增函数. ∴f (x )在[1,2]上为增函数,从而得值域为[5,7]. 解法二:f ′(x )=3-2x2,当1≤x ≤2时,f ′(x )>0,∴f (x )在[1,2]上为增函数, 又f (1)=5,f (2)=7.∴f (x )=3x +2x,x ∈[1,2]的值域为[5,7].触类旁通求函数最值(值域)的五种常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. 【变式训练2】 (1)函数y =x -1-2x 的最大值为________. 答案 12解析 ∵定义域为⎝⎛⎦⎥⎤-∞,12, 而y =x -1-2x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12上为单调增函数. ∴当x =12时,y max =12.(2)已知函数y =1-x +x +3的最大值为M ,最小值为m ,则m M的值为________. 答案22解析 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧1-x ≥0,x +3≥0.所以函数的定义域为{x |-3≤x ≤1}. 两边平方,得y 2=4+21-x ·x +3 =4+2(1-x )(x +3).所以当x =-1时,y 取得最大值M =22; 当x =-3或1时,y 取得最小值m =2, ∴mM =22.核心规律1.函数的单调区间是定义域的子集,研究函数单调性的方法有:定义法、图象法、导数法等.要注意掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调性.2.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解.3.求函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视函数的单调性在确定函数最值中的应用.满分策略1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行,函数的单调区间是其定义域的子集,因此,讨论函数的单调性时,应先确定函数的定义域.2.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示.板块三 启智培优·破译高考易错警示系列1——利用分段函数的单调性求参数的范围出错[2018·山东泰安模拟]已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x,x >1,⎝ ⎛⎭⎪⎫4-a 2x +2,x ≤1是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是( )A .(1,+∞)B .[4,8)C .(4,8)D .(1,8)错因分析 解答本题时,易忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小而致误.解析 由f (x )在R 上单调递增,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1,4-a 2>0,⎝ ⎛⎭⎪⎫4-a 2+2≤a ,解得4≤a <8. 答案 B答题启示 解决分段函数的单调性问题时,要高度关注以下几点:(1)抓住对变量所在区间的讨论;(2)保证各段上同增(减)时,要注意上、下段间端点值间的大小关系;(3)弄清最终结果取并还是交.跟踪训练已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3a -1)x +4a ,x <1,log a x ,x ≥1是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是( )A .(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17,13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17,1 答案 C解析 f (x )在R 上单调递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧3a -1<0,0<a <1,(3a -1)+4a ≥0,解得17≤a <13.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A .y =ln (x +2)B .y =-x +1C .y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD .y =x +1x答案 A解析 函数y =ln (x +2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数. 2.[2018·山西模拟]若定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x =2对称,且f (x )在(-∞,2)上是增函数,则( )A .f (-1)<f (3)B .f (0)>f (3)C .f (-1)=f (3)D .f (0)=f (3)答案 A解析 依题意得f (3)=f (1),且-1<1<2,于是由函数f (x )在(-∞,2)上是增函数,得f (-1)<f (1)=f (3).选A.3.如果二次函数f (x )=3x 2+2(a -1)x +b 在区间(-∞,1)上是减函数,则( ) A .a =-2 B .a =2 C .a ≤-2 D .a ≥2答案 C解析 二次函数的对称轴方程为x =-a -13,由题意知-a -13≥1,即a ≤-2.4.[2018·信阳模拟]已知函数f (x )是R 上的增函数,对实数a ,b ,若a +b >0,则有( ) A .f (a )+f (b )>f (-a )+f (-b ) B .f (a )+f (b )<f (-a )+f (-b ) C .f (a )-f (b )>f (-a )-f (-b ) D .f (a )-f (b )<f (-a )-f (-b ) 答案 A解析 ∵a +b >0,∴a >-b ,b >-a . ∴f (a )>f (-b ),f (b )>f (-a ).∴选A.5.若函数y =f (x )在R 上单调递增,且f (m 2+1)>f (-m +1),则实数m 的取值范围是( )A .(-∞,-1)B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,-1)∪(0,+∞)答案 D解析 由题意得m 2+1>-m +1,故m 2+m >0,故m <-1或m >0. 6.[2018·海南模拟]函数f (x )=|x -2|x 的单调减区间是( ) A .[1,2] B .[-1,0] C .[0,2]D .[2,+∞)答案 A解析 f (x )=|x -2|x=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥2,-x 2+2x ,x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].7.[2018·深圳模拟]函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2-3x +1的单调递增区间为( )A .(1,+∞)B.⎝⎛⎦⎥⎤-∞,34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞答案 B解析 令u =2x 2-3x +1=2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -342-18.因为u =2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -342-18在⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,34上单调递减,函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在R 上单调递减.所以y =⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2-3x +1在⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,34上单调递增,即该函数的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤-∞,34.8.[2018·苏州模拟]若函数f (x )=|2x +a |的单调递增区间是[3,+∞),则a =________.答案 -6解析 由f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x -a ,x <-a 2,2x +a ,x ≥-a2,可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-a 2,+∞,故3=-a 2,解得a =-6.9.函数f (x )=1x -1在区间[a ,b ]上的最大值是1,最小值是13,则a +b =________. 答案 6解析 易知f (x )在[a ,b ]上为减函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=1,f (b )=13,即⎩⎪⎨⎪⎧1a -1=1,1b -1=13,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =4,∴a +b =6.10.[2018·湖南模拟]函数y =x -x (x ≥0)的最大值为________. 答案 14解析 令t =x ,则t ≥0,所以y =t -t 2=-⎝ ⎛⎭⎪⎫t -122+14,所以,当t =12,即x =14时,y max =14.[B 级 知能提升]1.[2018·安徽合肥模拟]若2x +5y≤2-y +5-x,则有( ) A .x +y ≥0 B .x +y ≤0 C .x -y ≤0 D .x -y ≥0答案 B解析 设函数f (x )=2x-5-x,易知f (x )为增函数,又f (-y )=2-y-5y,由已知得f (x )≤f (-y ),∴x ≤-y ,∴x +y ≤0.2.[2018·郑州质检]函数f (x )=x 2+x -6的单调增区间是( ) A .(-∞,-3) B .[2,+∞) C .[0,2) D .[-3,2]答案 B解析 ∵x 2+x -6≥0,∴x ≥2或x ≤-3,又∵y =x 2+x -6是由y =t ,t ∈[0,+∞)和t =x 2+x -6,x ∈(-∞,-3]∪[2,+∞)两个函数复合而成,而函数t =x 2+x -6在[2,+∞)上是增函数,y =t 在[0,+∞)上是增函数,又因为y =x 2+x -6的定义域为(-∞,-3]∪[2,+∞),所以y =x 2+x -6的单调增区间是[2,+∞).故选B.3.已知函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间(0,+∞)上有最小值,则函数g (x )=f (x )x在区间(0,+∞)上一定( )A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数答案 A解析 ∵f (x )=x 2-2ax +a 在(0,+∞)上有最小值,∴a >0. ∴g (x )=f (x )x =x +ax-2a 在(0,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增,h (x )>h (1)=3.∴g (x )在(0,+∞)上一定有最小值.4.[2018·四川模拟]已知函数f (x )=a -1|x |.(1)求证:函数y =f (x )在(0,+∞)上是增函数;(2)若f (x )<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数a 的取值范围. 解 (1)证明:当x ∈(0,+∞)时,f (x )=a -1x,设0<x 1<x 2,则x 1x 2>0,x 2-x 1>0,f (x 2)-f (x 1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫a -1x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫a -1x 1=1x 1-1x 2=x 2-x 1x 1x 2>0, ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数.(2)由题意,a -1x<2x 在(1,+∞)上恒成立,设h (x )=2x +1x,则a <h (x )在(1,+∞)上恒成立.任取x 1,x 2∈(1,+∞)且x 1<x 2,h (x 1)-h (x 2)=(x 1-x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2-1x 1x 2.∵1<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>1, ∴2-1x 1x 2>0,∴h (x 1)<h (x 2),∴h (x )在(1,+∞)上单调递增,h (x )>h (1)=3,a ≤h (x )在(1,+∞)上恒成立,故a ≤h (1),即a ≤3,∴a 的取值范围是(-∞,3].5.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0.(1)求f (1)的值;(2)证明:f (x )为单调递减函数;(3)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值. 解 (1)令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 2)=0,故f (1)=0. (2)证明:任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1>x 2, 则x 1x 2>1,由于当x >1时,f (x )<0, 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0,即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)∵f (x )在(0,+∞)上是单调递减函数.∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9).由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2),得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93=f (9)-f (3), 而f (3)=-1,∴f (9)=-2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为-2.。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_2函数的单调性与最值课件理新人教A版
解得4≤a<8,故选B.
名师点拨 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利 用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f” 符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. ①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已 知单调区间比较求参数; ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是 单调的.
x-122-14x<0.
画出函数的草图,如图.
由图易知原函数在0,12上单调递增. [答案] B
方法2 利用单调性定义判断函数的单调性 【例2】 讨论函数f(x)=x2a-x 1(a>0)在x∈(-1,1)上的单调性. [解析] 设-1<x1<x2<1, 则f(x1)-f(x2)=x21a-x11-x22a-x21 =ax1x22-x12-ax11-xa22x-2x112+ ax2 =axx221--x11xx221-x2+11.
图象分析函数的性质. 题,又有解答题
1.增函数、减函数
[基础梳理]
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自
变量x1,x2. (1)增函数:当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数; (2)减函数:当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
(1)对于任意x∈I,都有 f(x)≥M (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
M为最大值
M为最小值
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第2讲函数的单调性与最值讲义理(含解析)
第2讲函数的单调性与最值[考纲解读] 1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法,并能利用函数的单调性求最值.(重点)2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.(重点)3.能够运用函数图象理解和研究函数的性质.(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个热点.预测2020年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题.1.函数的单调性(1)增函数、减函数(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)□06单调性.区间D叫做函数y=f(x)的□07单调区间.2.函数的最值1.概念辨析(1)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )(2)设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1≠x 2,那么f (x )在[a ,b ]上是增函数⇔f x 1-f x 2x 1-x 2>0⇔(x 1-x 2)[f(x 1)-f (x 2)]>0.( )(3)函数y =f (x )在[0,+∞)上为增函数,则函数y =f (x )的增区间为[0,+∞).( ) (4)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.小题热身(1)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( ) A .y =|x | B .y =3-x C .y =1xD .y =-3x 2答案 A解析 y =|x |在(0,1)上是增函数,y =3-x ,y =1x,y =-3x 2在(0,1)上都是减函数.(2)设定义在[-1,7]上的函数y =f (x )的图象如图所示,则函数y =f (x )的增区间为________.答案 [-1,1],[5,7]解析 由图可知函数的单调递增区间为[-1,1]和[5,7].(3)函数f (x )=2-x 2,x ∈[-1,2]的最大值为________,最小值为________. 答案 2 -2解析 f (x )=2-x 2在[-1,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,f (-1)=1,f (0)=2,f (2)=-2,所以最大值为2,最小值为-2.(4)函数y =2k +1x在(0,+∞)上是增函数,则k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-12解析 因为函数y =2k +1x 在(0,+∞)上是增函数,所以2k +1<0,解得k <-12.题型 一 确定函数的单调性(区间)1.函数f (x )=|x -2|x 的单调递减区间是( ) A .[1,2] B .[-1,0] C .[0,2] D .[2,+∞)答案 A解析 f (x )=|x -2|x =⎩⎪⎨⎪⎧x -x ,x ≥2,-x x ,x <2.作出此函数的图象如下.观察图象可知,f (x )=|x -2|x 的单调递减区间是[1,2].2.(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )=ln (x 2-2x -8)的单调递增区间是( ) A .(-∞,-2) B .(-∞,1) C .(1,+∞) D .(4,+∞)答案 D解析 由x 2-2x -8>0,得x >4或x <-2. 设t =x 2-2x -8,则y =ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间,即求函数t =x 2-2x -8在定义域内的单调递增区间. ∵函数t =x 2-2x -8在(-∞,-2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增, ∴函数f (x )的单调递增区间为(4,+∞).故选D. 3.试讨论函数f (x )=axx -1(a ≠0)在(-1,1)上的单调性.解 解法一:设-1<x 1<x 2<1, f (x )=a ·x -1+1x -1=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x -1,则f (x 1)-f (x 2)=a ⎝⎛⎭⎪⎫1+1x 1-1-a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 2-1=a x 2-x 1x 1-x 2-.由于-1<x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 故当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),函数f (x )在(-1,1)上单调递减; 当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)<f (x 2),函数f (x )在(-1,1)上单调递增.解法二:f ′(x )=axx --ax x -x -2=a x --ax x -2=-ax -2.当a >0时,f ′(x )<0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减; 当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递增.条件探究 将举例说明1中“f (x )=|x -2|x ”改为“f (x )=x 2-2|x |”,试写出其单调区间.解 f (x )=x 2-2|x |=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥0,x 2+2x ,x <0.作出此函数的图象如右:观察图象可知,此函数的单调递减区间是(-∞,-1],(0,1];单调递增区间是(-1,0],(1,+∞).1.确定函数单调性(区间)的三种常用方法(1)定义法:一般步骤:①任取x 1,x 2∈D ,且x 1<x 2;②作差f (x 1)-f (x 2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断f (x 1)-f (x 2)的正负);⑤下结论(即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性).如举例说明3解法一.(2)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的图象易作出,则可由图象的直观性确定它的单调性.如举例说明1.(3)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调性.如举例说明3解法二. 2.熟记函数单调性的三个常用结论(1)若f (x ),g (x )均是区间A 上的增(减)函数,则f (x )+g (x )也是区间A 上的增(减)函数;(2)若k >0,则kf (x )与f (x )单调性相同;若k <0,则kf (x )与f (x )单调性相反; (3)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数,简称“同增异减”.如举例说明2.1.若函数f (x )=ax +1在R 上递减,则函数g (x )=a (x 2-4x +3)的增区间是( ) A .(2,+∞) B .(-∞,2) C .(4,+∞) D .(-∞,4)答案 B解析 因为函数f (x )=ax +1在R 上递减,所以a <0,所以g (x )=a (x 2-4x +3)=a [(x -2)2-1]的增区间是(-∞,2).2.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )>0.判断f (x )的单调性.解 设x 1>x 2>0,则x 1x 2>1,∵当x >1时,f (x )>0, ∴f (x 1)-f (x 2)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0,∴f (x 1)>f (x 2),∴函数f (x )在区间(0,+∞)上为增函数. 题型 二 求函数的最值(值域)1.(2018·上饶模拟)函数f (x )=-x +1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,-13上的最大值是( )A.32 B .-83 C .-2 D .2 答案 A解析 因为函数f (x )=-x +1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,-13上是减函数,所以f (x )max =f (-2)=2-12=32.2.函数y =x -x -1的最小值为________. 答案 34解析 令t =x -1,则t ≥0且x =t 2+1,所以y =t 2+1-t =⎝ ⎛⎭⎪⎫t -122+34,t ≥0,所以当t =12时,y min =34.3.函数y =2x 2-2x +3x 2-x +1的值域为________.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤2,103解析 y =2x 2-2x +3x 2-x +1=x 2-x ++1x 2-x +1=2+1x 2-x +1, 由x ∈R 得x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞,所以1x 2-x +1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,43,所以y =2x 2-2x +3x 2-x +1的值域是⎝⎛⎦⎥⎤2,103.4.(2018·石家庄模拟)对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b .设函数f (x )=-x +3,g (x )=log 2x ,则函数h (x )=min{f (x ),g (x )}的最大值是________.答案 1解析 解法一:在同一坐标系中, 作函数f (x ),g (x )的图象, 依题意,h (x )的图象如图所示. 易知点A (2,1)为图象的最高点, 因此h (x )的最大值为h (2)=1.解法二:依题意,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,0<x ≤2,-x +3,x >2.当0<x ≤2时,h (x )=log 2x 是增函数, 当x >2时,h (x )=3-x 是减函数, 所以h (x )在x =2时取得最大值h (2)=1.条件探究1 将举例说明1中“f (x )=-x +1x”改为“f (x )=-x -1x”,其他条件不变,如何解答?解 f (x )=-x -1x 在[-2,-1]上是减函数,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,-13上是增函数,且f (-2)=52,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=103,所以f (x )max =103.条件探究2 将举例说明2中“y =x -x -1”改为“y =x +1-x 2”,其他条件不变,如何解答?解 由1-x 2≥0可得-1≤x ≤1. 可令x =cos θ,θ∈[0,π],则y =cos θ+sin θ=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4,θ∈[0,π],所以-1≤y ≤2,故所求函数的最小值是-1.条件探究3 将举例说明3中“y =2x 2-2x +3x 2-x +1”改为“y =1-x21+x 2”,其他条件不变,如何解答?解 由y =1-x 21+x 2得x 2=1-y 1+y , 由x 2≥0知1-y 1+y ≥0,解得-1<y ≤1,故所求函数的值域为(-1,1].求函数的最值(或值域)的常用方法(1)单调性法:若所给函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域.如举例说明1. (2)有界性法:利用代数式的有界性(如x 2≥0,x ≥0,2x>0,-1≤sin x ≤1等)确定函数的值域.(3)数形结合法:若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出,可用数形结合法求函数的值域或最值.如举例说明4.(4)换元法:形如求y =ax +b +(cx +d )(ac ≠0)的函数的值域或最值,常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数,再利用函数的相关性质求解.如举例说明2.(5)分离常数法:形如求y =cx +dax +b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.如举例说明3.另外,基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法,在后面章节中有重点讲述.1.已知函数f (x )=a x+log a x (a >0,且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为________.答案 2解析 因为f (x )=a x+log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上为单调函数,所以由题意可得f (1)+f (2)=a +a 2+log a 2=log a 2+6,所以a +a 2=6,解得a =2或a =-3(舍去),所以a =2.2.已知定义在D =[-4,4]上的函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|x 2+5x +4|,-4≤x ≤0,2|x -2|,0<x ≤4,对任意x ∈D ,存在x 1,x 2∈D ,使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2),则|x 1-x 2|的最大值与最小值之和为________.答案 9解析 作出函数f (x )的图象如图所示,由任意x ∈D ,f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知,f (x 1),f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值,由图可知|x 1-x 2|max =8,|x 1-x 2|min =1,所以|x 1-x 2|的最大值与最小值之和为9.题型 三 函数单调性的应用角度1 比较函数值的大小1.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c >a >bB .c >b >aC .a >c >bD .b >a >c 答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x =1对称,且在(1,+∞)上是减函数,所以a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52,且2<52<3,所以b >a >c .角度2 解不等式2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≥0,1,x <0,则不等式f (1-x 2)>f (2x )的x 的取值范围是( )A .(0,2-1)B .(-1,2+1)C .(0,2+1)D .(-1,2-1) 答案 D解析 作出函数f (x )的图象如图所示.则不等式f (1-x 2)>f (2x )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,2x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,2x >0,1-x 2>2x ,解得-1<x <2-1.角度3 求参数的值或取值范围3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a -x +5,x ≤1,2a -log a x ,x >1,对于任意x 1≠x 2都有f x 1-f x 2x 1-x 2<0成立,则实数a 的取值范围是( )A .(1,3]B .(1,3)C .(1,2]D .(1,2) 答案 C解析 根据题意,由f x 1-f x 2x 1-x 2<0,易知函数f (x )为R 上的单调递减函数,则⎩⎪⎨⎪⎧a -3<0,a >1,a -+5≥2a ,解得1<a ≤2.故选C.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.如举例说明1.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域.如举例说明2.(3)利用单调性求参数①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较; ②需注意:若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.如举例说明3.1.(2019·郑州模拟)函数y =x -5x -a -2在(-1,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( )A .a =-3B .a <3C .a ≤-3D .a ≥-3答案 C 解析 y =x -5x -a -2=x -a -2+a -3x -a -2=1+a -3x -a +,所以当a -3<0时,y =x -5x -a -2的单调递增区间是(-∞,a +2),(a +2,+∞);当a-3≥0时不符合题意.又因为y =x -5x -a -2在(-1,+∞)上单调递增,所以(-1,+∞)≤(a+2,+∞),所以a +2≤-1,即a ≤-3,综上知,a 的取值范围是(-∞,-3].2.(2018·河南百校联盟质检)已知f (x )=2x -2-x,a =⎝ ⎛⎭⎪⎫79- 14 ,b =⎝ ⎛⎭⎪⎫97 15 ,c =log 279,则f (a ),f (b ),f (c )的大小顺序为( )A .f (b )<f (a )<f (c )B .f (c )<f (b )<f (a )C .f (c )<f (a )<f (b )D .f (b )<f (c )<f (a ) 答案 B解析 a =⎝ ⎛⎭⎪⎫79- 14 =⎝ ⎛⎭⎪⎫97 14 >⎝ ⎛⎭⎪⎫9715 >1,c =log 279<0,所以c <b <a .因为f (x )=2x -2-x =2x-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递增,所以f (c )<f (b )<f (a ).3.已知函数f (x )的定义域为R ,对任意x 1<x 2,都有f (x 1)-f (x 2)<x 1-x 2,且f (-3)=-4,则不等式f (log 12 |3x-1|)>log 12|3x-1|-1的解集为( )A .(2,+∞)B .(-∞,2)C .(0,1)∪(1,2)D .(-∞,0)∪(0,2)答案 D解析 由对任意x 1<x 2,都有f (x 1)-f (x 2)<x 1-x 2,得f (x 1)-x 1<f (x 2)-x 2.令g (x )=f (x )-x ,则有对任意x 1<x 2,都有g (x 1)<g (x 2),所以g (x )在R 上单调递增,因为f (-3)=-4,所以g (-3)=f (-3)-(-3)=-1,所以f (log 12 |3x-1|)>log 12|3x-1|-1等价于g (log 12 |3x-1|>g (-3),所以log 12 |3x-1|>-3=log 12 8,所以0<|3x-1|<8,解得x <2且x ≠0,故所求不等式的解集是(-∞,0)∪(0,2).。
2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值教学案含解析理
第二节 函数的单调性与最值[考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.(对应学生用书第11页)1.增函数、减函数若函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数y =f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间.3.函数的最值 函数单调性的常用结论 (1)对∀x 1,x 2∈D (x 1≠x 2),f x 1-f x 2x 1-x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数,f x 1-f x 2x 1-x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数.(2)对勾函数y =x +ax(a >0)的增区间为(-∞,-a ]和[a ,+∞),减区间为[-a ,0)和(0,a ].(3)在区间D 上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y =f (u )和u =g (x )的单调性的关系是“同增异减”.[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对于函数f (x ),x ∈D ,若对任意x 1,x 2∈D ,x 1≠x 2且(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]>0,则函数f (x )在区间D 上是增函数.( )(2)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). ( )(3)函数y =|x |是R 上的增函数.( )(4)函数y =x 2-2x 在区间[3,+∞)上是增函数,则函数y =x 2-2x 的单调递增区间为[3,+∞).( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2.(教材改编)如图是函数y =f (x ),x ∈[-4,3]上的图象,则下列说法正确的是( )A .f (x )在[-4,-1]上是减函数,在[-1,3]上是增函数B .f (x )在区间(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2C .f (x )在[-4,1]上有最小值-2,有最大值3D .当直线y =t 与y =f (x )的图象有三个交点时-1<t <2C [由图象知,函数f (x )在[-4,1]上有最小值-2,最大值3,故选C.] 3.(教材改编)已知函数f (x )=2x -1,x ∈[2,6],则f (x )的最大值为________,最小值为________.2 25 [可判断函数f (x )=2x -1在[2,6]上为减函数,所以f (x )m ax =f (2)=2,f (x )min =f (6)=25.] 4.函数y =(2k +1)x +b 在R 上是减函数,则k 的取值范围是________.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12 [由题意知2k +1<0,得k <-12.] 5.f (x )=x 2-2x ,x ∈[-2,3]的单调增区间为________,f (x )m ax =________.[1,3] 8 [f (x )=(x -1)2-1,故f (x )的单调增区间为[1,3],f (x )m ax =f (-2)=8.](对应学生用书第12页)【例1】 ( ) A .(-∞,-2) B .(-∞,1) C .(1,+∞)D .(4,+∞)D [由x 2-2x -8>0,得x >4或x <-2.设t =x 2-2x -8,则y =ln t 在t ∈(0,+∞)上为增函数.欲求函数f (x )的单调递增区间,即求函数t =x 2-2x -8的单调递增区间. ∵函数t =x 2-2x -8的单调递增区间为(4,+∞), ∴函数f (x )的单调递增区间为(4,+∞). 故选D.](2)试讨论函数f (x )=x +k x(k >0)的单调性.[解] 法一:由解析式可知,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).在(0,+∞)内任取x 1,x 2,令0<x 1<x 2,那么f (x 2)-f (x 1)=⎝⎛⎭⎪⎫x 2+k x 2-⎝⎛⎭⎪⎫x 1+k x 1=(x 2-x 1)+k ⎝⎛⎭⎪⎫1x 2-1x1=(x 2-x 1)·x 1x 2-kx 1x 2.因为0<x 1<x 2,所以x 2-x 1>0,x 1x 2>0. 故当x 1,x 2∈(k ,+∞)时,f (x 1)<f (x 2), 即函数在(k ,+∞)上单调递增. 当x 1,x 2∈(0,k )时,f (x 1)>f (x 2), 即函数在(0,k )上单调递减.考虑到函数f (x )=x +k x(k >0)是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,故在(-∞,-k )上单调递增,在(-k ,0)上单调递减.综上,函数f (x )在(-∞,-k )和(k ,+∞)上单调递增,在(-k ,0)和(0,k )上单调递减.法二:f ′(x )=1-k x2.令f ′(x )>0得x 2>k ,即x ∈(-∞,-k )或x ∈(k ,+∞),故函数的单调增区间为(-∞,-k )和(k ,+∞).令f ′(x )<0得x 2<k ,即x ∈(-k ,0)或x ∈(0,k ),故函数的单调减区间为(-k ,0)和(0,k ).故函数f (x )在(-∞,-k )和(k ,+∞)上单调递增,在(-k ,0)和(0,k )上单调递减.f x的单调性相反;x的单调性相同.,则该函数的单调递增区间为A .(-∞,1] B .[3,+∞) C .(-∞,-1]D .[1,+∞) (2)(2019·郑州模拟)函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2-3x +1的单调递增区间为( ) A .(1,+∞)B.⎝⎛⎦⎥⎤-∞,34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞(1)B (2)B [(1)设t =x 2-2x -3,由t ≥0,即x 2-2x -3≥0,解得x ≤-1或x ≥3. 所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞). 因为函数t =x 2-2x -3的图象的对称轴为x =1,所以函数t 在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增. 所以函数f (x )的单调递增区间为[3,+∞).(2)令t =2x 2-3x +1,则t =2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -342-18.又函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13t是减函数,因此函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2-3x +1的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤-∞,34.故选B.](3)试讨论函数f (x )=axx -1(a ≠0)在(-1,1)上的单调性.[解] 法一:设-1<x 1<x 2<1,f (x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫x -1+1x -1=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x -1,f (x 1)-f (x 2)=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 1-1-a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 2-1=a x 2-x1x 1-x 2-,由于-1<x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 故当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),函数f (x )在(-1,1)上递减;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上递增. 法二:f ′(x )=a x --ax x -2=-ax -2,所以当a >0时,f ′(x )<0,当a <0时,f ′(x )>0, 即当a >0时,f (x )在(-1,1)上为单调减函数, 当a <0时,f (x )在(-1,1)上为单调增函数.1.函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13-log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 3 [函数f (x )在区间[-1,1]上是减函数,则f (x )m ax =f (-1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫13-1-log 21=3.]2.函数f (x )=3x -1x +2,x ∈[-5,-3]的值域为________.⎣⎢⎡⎦⎥⎤163,10 [f (x )=3x -1x +2=x +-7x +2=3-7x +2,则函数f (x )在区间[-5,-3]上是增函数. 所以f (x )m ax =f (-3)=3-7-3+2=10,f (x )min =f (-5)=3-7-5+2=163. 因此函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤163,10.] 3.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x,x ≥1,-x 2+2,x <1的最大值为________.2 [当x ≥1时,函数f (x )=1x为减函数,所以f (x )在x =1处取得最大值,为f (1)=1;当x <1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x =0处取得最大值,为f (0)=2.故函数f (x )的最大值为2.]若所给函数能够判断单调性,可直接利用单调性求解形如求函数的值域或最值,可先将函数解析式变为式,再用单调性求解.分段函数的最值,分段函数的最大值,各个区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值求复合函数g x的值域,可先求g x 的值域,再求f g x的值域.,特别地:若函数解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等或函数图象易作出,可用数形结合法求解►考法1 【例2】 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c >a >bB .c >b >aC .a >c >bD .b >a >cD [因为f (x )的图象关于直线x =1对称.由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,知f (x )在(1,+∞)上单调递减.因为1<2<52<3,所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (3),所以b >a >c .] ►考法2 解函数不等式【例3】 (2019·青岛模拟)已知函数f (x )=x 3+sin x ,x ∈(-1,1),则满足f (a 2-1)+f (a -1)>0的a 的取值范围是( )A .(0,2)B .(1,2)C .(1,2)D .(0,2)B [由题意知f (-x )=(-x )3+sin(-x )=-x 3-sin x =-(x 3+sin x )=-f (x ),x ∈(-1,1),∴f (x )在区间(-1,1)上是奇函数. 又f ′(x )=3x 2+cos x >0, ∴f (x )在区间(-1,1)上单调递增, ∵f (a 2-1)+f (a -1)>0, ∴-f (a -1)<f (a 2-1), ∴f (1-a )<f (a 2-1), ∴⎩⎪⎨⎪⎧-1<1-a <1,-1<a 2-1<1,1-a <a 2-1,解得1<a <2,故选B.]►考法3 求参数的值或取值范围【例4】 (1)若函数f (x )=ax 2+2x -3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,+∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-14,+∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-14,0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-14,0 (2)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a -x -1,x ≤1,log a x ,x >1,若f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为________.(1)D (2)(2,3] [(1)当a =0时,f (x )=2x -3,在定义域R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a ≠0时,二次函数f (x )的对称轴为x =-1a,因为f (x )在(-∞,4)上单调递增, 所以a <0,且-1a ≥4,解得-14≤a <0.综上所述,实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-14,0. (2)要使函数f (x )在R 上单调递增,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1,a -2>0,f,即⎩⎪⎨⎪⎧a >1,a >2,a -2-1≤0,解得2<a ≤3,即实数a 的取值范围是(2,3].]比较大小解不等式函数的定义域利用单调性求参数①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较;②需注意若函数在区间 (1)若f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=x +1在区间[1,2]上都是减函数,则实数a的取值范围是( )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,1)D .(0,1](2)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ≤0,x +,x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是( )A .(-∞,-1)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(1,+∞)C .(-1,2)D .(-2,1)(3)已知函数y =f (x )是R 上的偶函数,当x 1,x 2∈(0,+∞),x 1≠x 2时,都有(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0.设a =ln 1π,b =(ln π)2,c =ln π,则( )A .f (a )>f (b )>f (c )B .f (b )>f (a )>f (c )C .f (c )>f (a )>f (b )D .f (c )>f (b )>f (a )(4)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x,x <0,a -x +4a ,x ≥0满足对任意x 1≠x 2,都有f x 1-f x 2x 1-x 2<0成立,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,14 B .(1,2]C .(1,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1 (1)D (2)D (3)C (4)A [(1)因为f (x )=-x 2+2ax 在[1,2]上是减函数,所以a ≤1,又因为g (x )=ax +1在[1,2]上是减函数,所以a >0,所以0<a ≤1.(2)因为当x =0时,两个表达式对应的函数值都为零, 所以函数的图象是一条连续的曲线. 因为当x ≤0时,函数f (x )=x 3为增函数, 当x >0时,f (x )=ln(x +1)也是增函数, 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数. 因此,不等式f (2-x 2)>f (x )等价于2-x 2>x , 即x 2+x -2<0,解得-2<x <1.(3)由题意可知f (x )在(0,+∞)上是减函数,且f (a )=f (|a |),f (b )=f (|b |),f (c )=f (|c |),又|a |=ln π>1,|b |=(ln π)2>|a |,|c |=12ln π,且0<12ln π<|a |,故|b |>|a |>|c |>0,∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |),即f (c )>f (a )>f (b ).(4)由题意知,函数f (x )在R 上是减函数,则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,a -3<0,a 0≥4a ,解得0<a ≤14,故选A.](对应学生用书第13页)1.(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x的定义域和值域相同的是( )A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y =1xD [函数y =10lg x的定义域与值域均为(0,+∞).函数y =x 的定义域与值域均为(-∞,+∞).函数y =lg x 的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞). 函数y =2x的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞). 函数y =1x的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.]2.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )=ln(1+|x |)-11+x 2,则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1 B.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,13∪(1,+∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13,+∞ A [法一:分析f (x )的奇偶性和单调性,然后对所给不等式作出等价转化. ∵f (-x )=ln(1+|-x |)-11+-x2=f (x ),∴函数f (x )为偶函数.∵当x ≥0时,f (x )=ln(1+x )-11+x2,在(0,+∞)上y =ln(1+x )递增,y =-11+x 2也递增,根据单调性的性质知,f (x )在(0,+∞)上单调递增.综上可知:f (x )>f (2x -1)⇔f (|x |)>f (|2x -1|)⇔|x |>|2x -1|⇔x 2>(2x -1)2⇔3x 2-4x+1<0⇔13<x <1.故选A.法二:(特殊值排除法)令x =0,此时f (x )=f (0)=-1<0,f (2x -1) =f (-1)=ln 2-12=ln 2-ln e>0,∴x =0不满足f (x )>f (2x -1),故C 错误.令x =2,此时f (x )=f (2)=ln 3-15,f (2x -1)=f (3)=ln 4-110.∵f (2)-f (3)=ln 3-ln 4-110,其中ln 3<ln 4,∴ln 3-ln 4-110<0,∴f (2)-f (3)<0,即f (2)<f (3),∴x =2不满足f (x )>f (2x -1), 故B ,D 错误.故选A.]自我感悟:______________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________- 11 -。
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第二节函数的单调性与最值☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1.增函数与减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I:(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。
(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。
2.单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。
3.函数的最大值与最小值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ;存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M ,那么,我们称M 是函数y =f (x )的最大值。
(2)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≥M ;存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M ,那么我们称M 是函数y =f (x )的最小值。
4.函数单调性的两个等价结论 设∀x 1,x 2∈D (x 1≠x 2),则 (1)f x 1-f x 2x 1-x 2>0(或()x 1-x 2[]f x 1-f x 2>0)⇔f (x )在D 上单调递增; (2)f x 1-f x 2x 1-x 2<0(或()x 1-x 2[]f x 1-f x 2<0)⇔f (x )在D 上单调递减。
5.对勾函数的单调性对勾函数y =x +a x(a >0)的递增区间为(-∞,-a ]和[a ,+∞);递减区间为[-a ,0)和(0,a ],且对勾函数为奇函数。
6.函数单调性常用结论区间D 上单调递增 区间D 上单调递减定义法 x 1< x 2⇔f (x 1)<f (x 2) x 1< x 2⇔f (x 1)>f (x 2)图象法 函数图象上升的 函数图象下降的导数法 导数大于零 导数小于零运算法 递增+递增 递减+递减复合法 内外层单调性相同 内外层单调性相反微点提醒1.函数的单调性是对某个区间而言的,如函数y =1x分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内不单调递减,单调区间只能分开写或用“和”连接,不能用“∪”连接,也不能用“或”连接。
2.一个函数在某个区间上是增函数,但它的递增区间的范围有可能大,例如f (x )=x 在[0,+∞)上是增函数,但是f (x )的递增区间是(-∞,+∞)。
3.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值,求函数最值的基本方法是利用函数的单调性。
小|题|快|练一 、走进教材1.(必修1P 39B 组T 3改编)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A .y =-x 3,x ∈R B .y =sin x ,x ∈RC .y =x ,x ∈RD .y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,x ∈R【解析】 选项B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;选项C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;选项D 在其定义域内不是奇函数,是减函数。
故选A 。
【答案】 A2.(必修1P 45B 组T 4改编)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3a -1x +4a ,x ≤1,log a x ,x >1是R 上的减函数,那么实数a 的取值范围是( )A .(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17,13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17,1 【解析】 当x ≤1时,f (x )=(3a -1)x +4a 为减函数,则3a -1<0,即a <13;当x >1时,f (x )=log a x 为减函数,则0<a <1,且3a -1+4a ≥0,即17≤a <1。
综上,17≤a <13。
故选C 。
【答案】 C 二、双基查验1.下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( ) A .y =e -xB .y =x 13C .y =ln xD .y =|x |【解析】 由所给选项知只有y =x 13的定义域是R 且为增函数。
故选B 。
【答案】 B2.(2016·北京高考)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) A .y =11-xB .y =cos xC .y =ln(x +1)D .y =2-x【解析】 函数y =11-x,y =ln(x +1)在(-1,1)上都是增函数,函数y =cos x 在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,而函数y =2-x=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(-1,1)上是减函数。
故选D 。
【答案】 D3.若函数y =ax +1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a 的值是( ) A .2 B .-2 C .2或-2D .0【解析】 当a >0时,由题意得2a +1-(a +1)=2,即a =2;当a <0时,a +1-(2a +1)=2,即a =-2,所以a =±2。
故选C 。
【答案】 C4.(2016·北京高考)函数f (x )=xx -1(x ≥2)的最大值为________。
【解析】 f (x )=xx -1=x -1+1x -1=1+1x -1,∵x ≥2,∴x -1≥1,0<1x -1≤1,∴1+1x -1∈(1,2],故当x =2时,函数f (x )=xx -1取得最大值2。
【答案】 2微考点 大课堂考点一确定函数的单调性【典例1】 判断并证明函数f (x )=ax 2+x(其中1<a <3)在x ∈[1,2]上的单调性。
【解析】 解法一:设1≤x 1<x 2≤2,则f (x 2)-f (x 1)=ax 22+1x 2-ax 21-1x 1=(x 2-x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 1+x 2-1x 1x 2,由1≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,2<x 1+x 2<4, 1<x 1x 2<4,-1<-1x 1x 2<-14。
又因为1<a <3,所以2<a (x 1+x 2)<12, 得a (x 1+x 2)-1x 1x 2>0,从而f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),故当a ∈(1,3)时,f (x )在[1,2]上单调递增。
解法二:因为f ′(x )=2ax -1x2,而x ∈[1,2],所以-1≤-1x 2≤-14,又因为a ∈(1,3),所以2<2ax <12,故2ax -1x2>0,即f ′(x )>0,故当a ∈(1,3)时,f (x )在[1,2]上单调递增。
【答案】 单调递增,证明见解析反思归纳 对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: 1.可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解。
2.可导函数则可以利用导数判断。
但是,对于抽象函数单调性的证明,只能采用定义法进行判断。
【变式训练】 讨论函数f (x )=axx 2-1(a >0)在x ∈(-1,1)上的单调性。
【解析】 法一(定义法) 设-1<x 1<x 2<1, 则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=ax 1x 22-ax 1-ax 2x 21+ax 2x 21-1x 22-1=a x 2-x 1x 1x 2+1x 21-1x 22-1。
∵-1<x 1<x 2<1,a >0,∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 21-1)(x 22-1)>0。
∴f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 故函数f (x )在(-1,1)上为减函数。
法二(导数法) f ′(x )=a x 2-1-2ax 2x 2-12=-a x 2+1x 2-12。
当a >0时,f ′(x )<0;所以当a >0时,f (x )在(-1,1)上是单调递减的。
【答案】 单调递减考点二确定函数的单调区间……母题发散a 递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12 B .[a ,1] C .(-∞,0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞ D .[a ,a +1]【解析】 由图象知f (x )在(-∞,0]和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞上单调递减,而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12上单调递增。
又因为当0<a <1时,y =log a x 为(0,+∞)上的减函数,所以要使g (x )=f (log a x )单调递减,需要log a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12,即0≤log ax ≤12,解得x ∈[a ,1]。
故选B 。
【答案】 B【母题变式】 若将本典例中的“0<a <1”改为“a >1”,则函数g (x )的单调递减区间如何?【解析】 由本典例解析知,需log a x ≤0或log a x ≥12,解得x ≤1或x ≥a ,又因为x >0,所以单调递减区间为(0,1],[a ,+∞)。
【答案】 (0,1],[a ,+∞)反思归纳 确定函数的单调区间的三种方法定义法:先求函数定义域,再利用单调性定义来求解; 图象法:图象上升区间为增区间;图象下降区间为减区间; 导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间。
【拓展变式】 (1)函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间是( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2)(2)y =-x 2+2|x |+3的单调增区间为________。
【解析】 (1)令t =x 2-4,则y =log 12t 。
因为y =log 12t 在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t =x 2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2)。
故选D 。
(2)由题意知,当x ≥0时,y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4;当x <0时,y =-x 2-2x +3=-(x +1)2+4,该函数的图象如图。
由图象可知,函数y =-x 2+2|x |+3在(-∞,-1],[0,1]上是增函数。
【答案】 (1)D (2)(-∞,-1],[0,1]考点三函数的最值【典例3】 (1)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x,x ≥1,-x 2+2,x <1的最大值为________。
(2)已知函数f (x )=ax +1a(1-x )(a >0),且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a ),求g (a )的最大值。