高中数学选修2-2函数的单调性与导数

1.3.1函数的单调性与导数[学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次).知识点一函数的单调性与其导数的关系在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减.知识点二利用导数求函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求出函数的导数f′(x).(3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间.知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.如图，函数y ＝f (x )在(a,0)和(0，b )内的图象“陡峭”，在(－∞，a )和(b ，＋∞)内的图象“平缓”.题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e －x ； (3)f (x )＝x ＋1x.解 (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞).∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表：∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，33，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞).∵f ′(x )＝(x 2)′e －x ＋x 2(e －x )′＝2x e －x －x 2e －x ＝e －x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e －x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).反思与感悟首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“∪”.跟踪训练1求函数f(x)＝x3－3x的单调区间.解f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1).当f′(x)＞0时，x＜－1或x＞1，此时函数f(x)单调递增；当f′(x)＜0时，－1＜x＜1，此时函数f(x)单调递减.∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间是(－1,1).题型二利用导数确定函数的大致图象例2画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象.解f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2).由f′(x)＞0 得x＜－2或x＞3，∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞).由f′(x)＜0得－2＜x＜3，∴函数f(x)的递减区间是(－2,3).由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一).反思与感悟利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向.当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象.跟踪训练2已知导函数f′(x)的下列信息：当2＜x＜3时，f′(x)＜0；当x＞3或x＜2时，f′(x)＞0；当x＝3或x＝2时，f′(x)＝0；试画出函数f (x )图象的大致形状.解 当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，可知函数在此区间上单调递减； 当x ＞3或x ＜2时，f ′(x )＞0，可知函数在这两个区间上单调递增； 当x ＝3或x ＝2时，f ′(x )＝0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变. 综上可画出函数f (x )图象的大致形状，如图所示(答案不唯一).题型三 利用导数确定参数的取值范围例3 已知函数f (x )＝2ax －x 3，x ∈(0,1]，a ＞0，若函数f (x )在(0,1]上是增函数，求实数a 的取值范围.解 f ′(x )＝2a －3x 2，又f (x )在(0,1]上是增函数等价于f ′(x )≥0对x ∈(0,1]恒成立， 且仅有有限个点使得f ′(x )＝0，∴x ∈(0,1]时，2a －3x 2≥0，也就是a ≥32x 2恒成立.又x ∈(0,1]时，32x 2∈⎝⎛⎦⎤0，32， ∴a ≥32.∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 反思与感悟 已知函数在某个区间上的单调性，求参数的范围，是近几年高考的热点问题，解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系，其常用方法有三种：①利用充要条件将问题转化为恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；②利用子区间(即子集思想)，先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求出的增或减区间的子集；③利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置.跟踪训练3 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围. 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，∴h ′(x )＝1x－ax －2.∵h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，∴当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2＜0有解，即a ＞1x 2－2x 有解.设G (x )＝1x 2－2x ，∴只要a ＞G (x )min 即可. 而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， ∴G (x )min ＝－1， ∴a ＞－1.(2)∵h (x )在[1,4]上单调递减，∴x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立，∴a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， ∴G (x )max ＝－716， ∴a ≥－716.求函数单调区间时，因忽视函数定义域致误例4 求函数y ＝x －ln x 的单调区间.错解 y ′＝1－1x ，令y ′＝1－1x ＞0，得x ＞1或x ＜0，所以函数y ＝x －ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，0).令y ′＝1－1x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数y ＝x －ln x 的单调递减区间为(0,1).错因分析 在解与函数有关的问题时，一定要先考虑函数的定义域，这是最容易忽略的地方. 正解 函数y ＝x －ln x 的定义域为(0，＋∞)， 又y ′＝1－1x，令y ′＝1－1x ＞0，得x ＞1或x ＜0(舍去)，所以函数y ＝x －ln x 的单调递增区间为(1，＋∞).令y ′＝1－1x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数y ＝x －ln x 的单调递减区间为(0,1).防范措施 在确定函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A.单调增函数 B.单调减函数C.在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数 D.在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数 答案 A解析 ∵x ∈(0,6)时，f ′(x )＝1＋1x＞0，∴函数f (x )在(0,6)上单调递增.2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 由导函数的图象可知，当x ＜0时，f ′(x )＞0，即函数f (x )为增函数；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，即f (x )为减函数；当x ＞2时，f ′(x )＞0，即函数f (x )为增函数.观察选项易知D 正确.3.若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.a ＝1 C.(－∞，1] D.(0,1) 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1， 且f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立， ∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1.4.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为________，减区间为________. 答案 (2，＋∞) (－∞，2)解析 y ′＝2x －4，令y ′＞0，得x ＞2；令y ′＜0，得x ＜2， 所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).5.已知函数f (x )＝2ax －1x ，x ∈(0,1].若f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，则a 的取值范围为__________. 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 解析 由已知条件得f ′(x )＝2a ＋1x 2.∵f (x )在(0,1]上是增函数，∴f ′(x )≥0，即a ≥－12x 2在x ∈(0,1]上恒成立.而g (x )＝－12x 2在(0,1]上是增函数，∴g (x )max ＝g (1)＝－12.∴a ≥－12.当a ＝－12时，f ′(x )＝－1＋1x 2对x ∈(0,1]有f ′(x )≥0，且仅在x ＝1时，f ′(x )＝0.∴a ＝－12时，f (x )在(0,1]上是增函数.∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞.判断函数单调性的方法如下：(1)定义法.在定义域内任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，通过判断f (x 1)－f (x 2)的符号来确定函数的单调性.(2)图象法.利用函数图象的变化趋势进行直观判断.图象在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图象在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数.(3)导数法.利用导数判断可导函数f (x )在区间(a ，b )内的单调性，步骤是：①求f ′(x )；②确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；③确定单调性.求函数y ＝f (x )的单调增区间、减区间分别是解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0所得的x 的取值集合.反过来，如果已知f (x )在区间D 上单调递增，求f (x )中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f ′(x )≥0在D 上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f (x )中参数的值.同样可以解决已知f (x )在区间D 上单调递减，求f (x )中参数的值的问题.一、选择题1.函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.(－∞，－3)和(1，＋∞)D.(－3,1)答案 D解析 求导函数得y ′＝(－x 2－2x ＋3)e x .令y ′＝(－x 2－2x ＋3)e x ＞0，可得x 2＋2x －3＜0， ∴－3＜x ＜1.∴函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1).2.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－3]∪[3，＋∞) B.[－3，3]C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－3，3) 答案 B解析 由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，且仅在有限个点上f ′(x )＝0，则有Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3. 3.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝x e 2 C.y ＝x 3－x D.y ＝ln x －x 答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋33⎝⎛⎭⎫x －33， 故函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－33，⎝⎛⎭⎫33，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数； 对于D ，y ′＝1x －1 (x ＞0).故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数.故选B.4.设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时，有( ) A.f (x )＞g (x ) B.f (x )＜g (x )C.f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D.f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )－g ′(x )＞0， ∴(f (x )－g (x ))′＞0，∴f (x )－g (x )在 [a ，b ]上是增函数， ∴当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a ).5.函数y ＝ln |x |x的图象大致是( )答案 C解析 ∵y ＝f (－x )＝ln |－x |－x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )＝ln |x |x为奇函数，∴y ＝f (x )的图象关于原点成中心对称，可排除B. 又∵当x ＞0时，f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2，∴当x ＞e 时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减； 当0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0， ∴函数f (x )在(0，e)上单调递增. 故可排除A ，D ，而C 满足题意.6.定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞1－f (x )，f (0)＝6，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )＞e x ＋5(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A.(0，＋∞)B.(－∞，0)∪(3，＋∞)C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(3，＋∞)答案 A解析 由题意可知不等式为e x f (x )－e x －5＞0， 设g (x )＝e x f (x )－e x －5， ∴g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]＞0.∴函数g (x )在定义域上单调递增.又∵g (0)＝0，∴g (x )＞0的解集为(0，＋∞). 二、填空题7.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是______________. 答案 ⎣⎡⎭⎫1，32 解析 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x .由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜32，又因为(k －1，k＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜32.8.函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________.答案 ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) 9.函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________. 答案 (－∞，－1)解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )＜0得x ＜－1或12＜x ＜2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1).10.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________. 答案 [3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数， 故f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立， 即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立. 令h (x )＝1x 2－2x ，则h ′(x )＝－2x 3－2， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，则h (x )为减函数，所以h (x )＜h ⎝⎛⎭⎫12＝3，所以a ≥3.三、解答题11.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直.(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围.解 (1)∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4.①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由条件f ′(1)·⎝⎛⎭⎫－19＝－1，即3a ＋2b ＝9.② 由①②解得a ＝1，b ＝3.(2)f (x )＝x 3＋3x 2，则f ′(x )＝3x 2＋6x .令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2.∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m ≥0或m ＋1≤－2，∴m ≥0或m ≤－3.12.已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a －b (a ，b ∈R ，a ＞1)，e 是自然对数的底数.(1)试判断函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)当a ＝e ，b ＝4时，求整数k 的值，使得函数f (x )在区间(k ，k ＋1)上存在零点. 解 (1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a .∵a ＞1，∴当x ∈(0，＋∞)时，ln a ＞0，a x －1＞0，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.(2)∵f (x )＝e x ＋x 2－x －4，∴f ′(x )＝e x ＋2x －1， ∴f ′(0)＝0.当x ＞0时，e x ＞1，∴f ′(x )＞0，∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数.同理，f (x )是(－∞，0)上的减函数.又f (0)＝－3＜0，f (1)＝e －4＜0，f (2)＝e 2－2＞0， 当x ＞2时，f (x )＞0，∴当x ＞0时，函数f (x )的零点在(1,2)内，∴k ＝1满足条件.f (0)＝－3＜0，f (－1)＝1e －2＜0，f (－2)＝1e 2＋2＞0， 当x ＜－2时，f (x )＞0，∴当x ＜0时，函数f (x )零点在(－2，－1)内， ∴k ＝－2满足条件.综上所述，k ＝1或－2.13.求下列函数的单调区间.(1)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2；(2)f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1(a 为常数). 解 (1)函数y ＝ln (2x ＋3)＋x 2定义域为⎝⎛⎭⎫－32，＋∞. ∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当y ′＞0，即－32＜x ＜－1或x ＞－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增.当y ′＜0，即－1＜x ＜－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减.故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－32，－1，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞； 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1，－12. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，g (x )≤0， f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减. ②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0， f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减.③当－12＜a ＜0时，Δ＞0. 设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a .由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0， 所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a ＜0时， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增.。