成才之路北师大数学必修2-1.1.2
成才之路北师大数学必修2-综合能力检测2.doc
第二章综合能力检测本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分•满分150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1. 若直线I 的倾斜角是直线y=x-3的倾斜角的两倍，且经过点（2,4）,则直线/的方 程为（）B. x=4C• x=2D. y =2x —3［答案］c［解析］直线y=x —3的斜率为1,其倾斜角等于45。
，于是直线/的倾斜角等于90。
, 其斜率不存在，又因为它过点（2,4）,故/的方程为x=2.2.若点P （3,4）和点Q （a,b ）关于直线x —尹一1=0对称，贝％ ）3. 方程x 2+X + ++2a 2+tz — 1 = 0表示圆，则Q 的取值范围是（）2C. —2<«<0D. —2<a<j［答案］D［解析］由 P 2+E 2-4F>0,得cT +（2a ）2 一 4（2/+° 一 i ）>o, 2 解得一 2<a<y4. 若直线（l+a ）x+y+\=0与圆x 2+y 2~2x=0相切，则a 的值为（ ）A. 1, -1B. 2, -2C. 1D. -1A. y=2xA. G =1, b= —2 C. a=4, h=3［答案］DB. d=2, b =— 1 D. a=5, b=2［解析］ r/?-4=—］，a —3 由sa+3_b+A .2 — 2-1=0, 解得G =5,b=2.2 A.a<~2 B.—亍<0<0［答案］D［解析］将圆x2+y2~2x=0的方程化为标准式(X-1)2+/=1, /.其圆心为(1,0),半径为1.若直线(\+a)x+y+\= 0与该圆相切，则圆心到直线的距离〃等于圆的半径厂，・卩+Q +H ・・ •\/(1+界+戶'"75. 己知力(2,5, —6),点P 在y 轴上，|丹| = 7,则点P 的坐标是() A. (0,&0) B. (0,2,0) C. (0,8,0)或(0,2,0)D. (0, —&0)［答案］C［解析］点卩在尹轴上，可设为(0, y0),因为|刃| = 7,力(2,5, -6), 所以 ^/22 + (y-5)2 + 62=7, 解得y=2或&故选C.6. 在平面直角坐标系xOy 'I 1，直线3x+4y —5 = 0与圆x 2+y 2=4相交于/、B 两点, 则弦MB的长等于()A. 3y/3B. 2^3C.D. 1［答案］B［解析］本题考查了直线与圆位置关系处理方法，弦长等知识，如图所示.:.AD 2 = OA 2-OD 2=4-\=3. :. \AD\=y ［3t・•・弦长|/3|=2迈.7. 已知 A = {(x, y)\x 2+y 2=l}f B={(x, y)|(x-5)2+(y-5)2=4},则 AQB 等于(B. {(0,0)}C. {(5,5)}D. {(0,0), (5,5)}［答案］A|■解析］集合A 是圆O ： x 2+y 2= 1上所有点组成的，集合B 是圆C ： (%—5)2+()'—5)2 =4 上设力3的中点为Q, M'J ODLAB,1一5|=1.A. 0 由点到直线距离公式得QD| =所有点组成的.又O(0,0), r, = l, C(5,5),厂2=2, |OC| = 5迈，・・・|OC|»］+厂2=3.・••圆。
成才之路·北师大版数学必修-2
第一章第一§章3 第§21课时
成成才才之之路路··高高中中新新课课程程 ··学学习习指指导导 ··北北师师大大版版 ··数数学学··必必修修11
5．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝ {3,4}，则(A∪B)∩(∁UC)＝________.
课前自主预习
第一章第一§章3 第§21课时
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情境引入导学 如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选出56名同学 参加体操比赛，你如何完成这件事呢？ 你不可能直接去找张三、李四、王五、……一一确定出谁 去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻烦多了．若确 定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名同学都参加，问题可 就简单多了．不要小看这个问题的解决方法，它可是这节内容 (补集)的现实基础.
第一章第一§章3 第§21课时
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1.全集
知能自主梳理
在研究某些集合的时候，这些集合往往是__某__个__给__定__集__合_
的子集，这个_给__定__的__集__合___叫作全集，用符号__U___表示． 2．补集
[答案] {2,5} [解析] ∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁UC＝{1,2,5}， ∴(A∪B)∩(∁UC)＝{2,5}．
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【成才之路】高中数学 第2章 解析几何初步综合能力检测 北师大版必修2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 解析几何初步综合能力检测 北师大版必修2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 若直线l 的倾斜角是直线y ＝x －3的倾斜角的两倍，且经过点(2,4)，则直线l 的方程为( )A ．y ＝2xB ．x ＝4C ．x ＝2D ．y ＝2x －3[答案] C[解析] 直线y ＝x －3的斜率为1，其倾斜角等于45°，于是直线l 的倾斜角等于90°，其斜率不存在，又因为它过点(2,4)，故l 的方程为x ＝2.2．若点P (3,4)和点Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝2，b ＝－1 C ．a ＝4，b ＝3 D ．a ＝5，b ＝2 [答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3＝－1，a ＋32－b ＋42－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2.3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a <－2 B ．－23<a <0C ．－2<a <0D ．－2<a <23[答案] D[解析] 由D 2＋E 2－4F >0，得a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a <23.4．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1D ．－1[答案] D[解析] 将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式(x－1)2＋y2＝1，∴其圆心为(1,0)，半径为1.若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r，∴|1＋a＋1|＋a2＋1＝1，∴a＝－1.5．已知A(2,5，－6)，点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标是( )A．(0,8,0) B．(0,2,0)C．(0,8,0)或(0,2,0) D．(0，－8,0)[答案] C[解析] 点P在y轴上，可设为(0，y,0)，因为|PA|＝7，A(2,5，－6)，所以22＋y－2＋62＝7，解得y＝2或8.故选C.6．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )A．3 3 B．2 3C． 3 D．1[答案] B[解析] 本题考查了直线与圆位置关系处理方法，弦长等知识，如图所示．设AB的中点为D，则OD⊥AB，由点到直线距离公式得|OD|＝|－5|32＋42＝1.∴AD2＝OA2－OD2＝4－1＝3，∴|AD|＝3，∴弦长|AB|＝2 3.7．已知A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－5)2＋(y－5)2＝4}，则A∩B等于( ) A．∅B．{(0,0)}C．{(5,5)} D．{(0,0)，(5,5)}[答案] A[解析] 集合A是圆O：x2＋y2＝1上所有点组成的，集合B是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝4上所有点组成的．又O (0,0)，r 1＝1，C (5,5)，r 2＝2，|OC |＝52，∴|OC |>r 1＋r 2＝3.∴圆O 和圆C 相离，无公共点．∴A ∩B ＝∅.8．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＋kx －y ＝0得(1＋k 2)x 2＋2kx ＝0，∵两交点恰好关于y 轴对称，∴－2k1＋k 2＝0，∴k ＝0.9．从原点向圆x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为( ) A ．23π B ．π C ．32π D ．43π [答案] B[解析] 如图所示，数形结合，圆心C (3,0)半径r ＝32，在Rt △OCA 中，OC ＝3，CA ＝32，∴∠OCA ＝60°从而∠ACB ＝120°，劣弧AB 长l ＝120π180×32＝π.10．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 考题分析：本题考查圆的相关知识．圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0得圆心(3,4)，半径为5. 由题意知，AC 为圆的直径且BD ⊥AC ，∴|BD |＝252－12＝46，|AC |＝10. ∴S 四边形ABCD ＝12×46×10＝206，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．直线l 过点(－5，－10)且在圆x 2＋y 2＝25上截得的弦长为52，则直线l 的方程为________________．[答案] x －y －5＝0或7x －y ＋25＝0[解析] 若直线l 的斜率不存在，则其直线方程为x ＝－5，此时直线l 与圆相切，不符合题意．故设直线l 的斜率为k ，其方程为y ＋10＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －10＝0 由(|5k －10|1＋k 2)2＋(522)2＝25可得k ＝1或k ＝7. 即x －y －5＝0或7x －y ＋25＝0为所求．12．光线从点M (3，－2)照射到y 轴上一点P (0,1)后，被y 轴反射，则反射光线所在的直线方程为________．[答案] x －y ＋1＝0[解析] 点M (3，－2)关于y 轴的对称点为M ′(－3，－2)，故反射光线所在的直线方程为直线M ′P ，其方程为y －1＝1－－0－－x ＝x ，即x －y ＋1＝0.13．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________．[答案] 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0[解析] 圆心为(－1,2)．设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0(D ≠－1)，由点到直线的距离公式，得－＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2，解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0.14．以点A (2，－1)为圆心，在直线3x －4y ＋10＝0上截得的弦长为6的圆的一般方程是________．[答案] x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0[解析] 点A 到直线的距离d ＝|6＋4＋10|5＝4.又弦长为6，∴圆的半径为5.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25，即x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0.15．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ∶y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________．[答案] (x －3)2＋y 2＝4[解析] 设圆心C (a,0)，由已知a >0作CD ⊥AB ，则由|AB |＝22⇒AD ＝2，|CD |＝|a －1|2.|CA |＝|a －1|，由勾股定理得：(2)2＋(|a －1|2)2＝(|a －1|)2⇒a ＝3或a ＝－1，又a >0，∴a ＝3，∴r ＝3－1＝2， ∴⊙C 的方程为(x －3)2＋y 2＝4.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等． 则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0；若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距存在， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0.∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.17．(本小题满分12分)一束光线l 自A (－3,3)发出，射到x 轴上，被x 轴反射后与圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0有公共点．求：(1)反射光线通过圆心C 时，光线l 所在直线的方程； (2)在x 轴上，反射点M 的横坐标的取值范围． [解析] 圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1.(1)圆心C 关于x 轴的对称点为C ′(2，－2)，过点A ，C ′的直线方程为x ＋y ＝0，此即为光线l 所在直线的方程．(2)点A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)，设过点A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)．当该直线与圆C 相切时，有|2k －2＋3k －3|1＋k 2＝1，解得k ＝43或k ＝34.所以过点A ′的圆C 的两条切线方程分别为y ＋3＝43(x ＋3)，y ＋3＝34(x ＋3)．分别令y ＝0，得x 1＝－34，x 2＝1，所以在x 轴上反射点M 的横坐标的取值范围是[－34，1]．18．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线x －3y ＝0上，且圆C 与y 轴相切，若圆C 截直线y ＝x 得弦长为27，求圆C 的方程．[解析] 设C (a ，b )，半径为r >0，点C 在x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0， 又C 与y 轴相切， ∴r ＝|a |，又圆C 在y ＝x 上截弦长为27， 则圆心到y ＝x 的距离d ＝|a －b |2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝0，r 2＝a 2，a －b 22＋7＝r 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r ＝3.∴圆C 方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9， 或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.19．(本小题满分12分)(1)已知直线l ：3x －y ＋1＝0，求l 关于x 轴对称的直线方程； (2)已知圆M ：x 2＋y 2＝4，求过点P (2,4)与圆M 相切的切线方程．[解析] (1)方法一：∵所求直线与l 关于x 轴对称， 又k 1＝3，∴所求直线斜率为－ 3. ∵直线l 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫－13，0，∴所求直线为y ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13， 即3x ＋y ＋1＝0.方法二：在直线l 上取两点(0,1)，(3，4)， ∵所求直线与l 关于x 轴对称，∴点(0，－1)和(3，－4)在所求直线上． ∴所求直线的斜率为k ＝－3， ∴所求直线为y ＋1＝－3x ， 即3x ＋y ＋1＝0.(2)∵点P (2,4)不在圆O 上， ∴可设切线PT 为y ＝k (x －2)＋4， ∵d ＝r ，∴|－2k ＋4|1＋k 2＝2，解得k ＝34. ∴y ＝34(x －2)＋4，即3x －4y ＋10＝0.∵过圆外一点作圆的切线应该有两条，∴另一条直线的斜率不存在，易求另一条切线为x ＝2.20．(本小题满分13分)直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0相交于两个不同点A ，B ，当k 取不同的实数值时，求AB 中点的轨迹．[解析] 方法一：联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0，y ＝kx ，消去y ，得(1＋k 2)x 2－(6＋4k )x ＋10＝0.设此方程的两根为x 1，x 2，AB 的中点坐标为P (x ，y )， 由根与系数的关系和中点坐标公式得x ＝x 1＋x 22＝6＋4k ＋k 2＝3＋2k1＋k2，① 又∵P 点在直线y ＝kx 上， ∴y ＝kx ，即k ＝y x.②将②代入①，得x ＝3＋yx1＋y x2(x ≠0)，整理得x 2＋y 2－3x －2y ＝0.∵点P 始终在圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0的内部，∴点P 的轨迹是圆x 2＋y 2－3x －2y ＝0位于圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0内的部分弧． 方法二：∵直线y ＝kx 过坐标原点，圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0的圆心为C (3,2)， 设AB 的中点为M ，则MC ⊥AB ， ∴点M 在以OC 为直径的圆上， 此圆的圆心为(32，1)，半径为132，其方程为(x －32)2＋(y －1)2＝134，即x 2＋y 2－3x －2y ＝0.又∵点M 在圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0的内部，∴轨迹是圆x 2＋y 2－3x －2y ＝0位于圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0内的部分弧． 21．(本小题满分14分)已知点P (2,0)及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程．(2)设过点P 的直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，当|MN |＝4时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程．(3)设直线ax －y ＋1＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)直线l 斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3，由|3k ＋2－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝－34. 所以直线方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0.当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件． 即直线l 的方程为3x ＋4y －6＝0或x ＝2.(2)由于|CP |＝5，而弦心距d ＝r 2－|MN |22＝5，所以d ＝|CP |＝ 5. 所以P 恰为MN 的中点．故以MN 为直径的圆Q 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0. 由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点， 故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)>0， 即－2a >0，解得a <0.则实数a 的取值范围是(－∞，0)． 设符合条件的实数a 存在，由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C (3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2，而k AB ＝a ＝－1k PC，所以a ＝12.由于12∉(－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB .。
成才之路北师大数学必修2-2.1.1
4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜 角分别为__________． [答案] 0°，60°，120° [ 解析 ] 根据正三角形 ( 高线、中线、角平分线 ) 合一的性
质可知两条腰所在直线的倾斜角分别为 60°和 120°，底边所
在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
第二章
§1
1.1
第二章
§1
1.1
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(1) 若 直 线 l 的 倾 斜 角 为 60° ， 则 该 直 线 的 斜 率 为
________； (2)经过两点A(3,2)，B(4,7)的直线的斜率是________．
[答案] (1) 3 (2)5
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5．已知直线l经过A(5，－3)、B(4，y)、C(－1,9)三点，则l
的斜率为__________，y＝__________. [答案] －2 －1
9－－3 12 [解析] kl＝kAC＝ ＝－ 6 ＝－2. －1－5 又∵A，B，C 三点共线，∴kAC＝kBC， y－9 即 ＝－2，∴y＝－1. 4－－1
的方向，因此标注不正确，但是它的大小等于直线的倾斜角； 题图(4)中的角α是y轴正方向与直线向上方向所成的角，因
此标注不正确．
第二章
§1
1.1
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求直线的斜率
(1)已知两条直线的倾斜角 α1 ＝30° ，α2＝45° ，求这两条直线的斜率； (2)如图，已知 A(3,2)，B(－4,1)，C(0， －1)，求直线 AB，BC，AC 的斜率； (3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．
【成才之路】高中数学 第2章 解析几何初步基础巩固 北师大版必修2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 解析几何初步基础巩固 北师大版必修2一、选择题1．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 [答案] A[解析] 本题考查了点与圆的位置关系．因为32－4×3＝－3<0，所以点P (3,0)在圆内，故过点P (3,0)的直线l 与圆相交． 本题不需要求解直线方程，只需判断点与圆的位置关系，便可得出答案．2．圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．0条 [答案] B[解析] 由x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，得圆心和半径分别为O 1(－2,2)，r 1＝1. 由x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，得圆心和半径分别为O 2(2,5)，r 2＝4.因为d (O 1，O 2)＝5，r 1＋r 2＝5，即r 1＋r 2＝d (O 1，O 2)，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线．3．(广东高考)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[答案] A[解析] 设直线方程为x ＋y ＋m ＝0，直线与圆相切，则|m |2＝1，m ＝－2或m ＝2(由直线与圆的切点在第一象限知不合题意，故舍去)，所以选A.4．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9[答案] D[解析] 设动圆圆心为(x ，y )． 当两圆内切时，x －2＋y ＋2＝4－1＝3， 即(x －5)2＋(y ＋7)2＝9； 当两圆外切时，x －2＋y ＋2＝4＋1＝5， 即(x －5)2＋(y ＋7)2＝25.故应选D.二、填空题5．已知A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x a ＋y b ＝1}，若A ∩B 是单元素集，则a ，b 满足的关系式为________．[答案] a 2＋b 2＝a 2b 2[解析] ∵A ∩B 是单元素集，∴直线x a ＋y b ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，由点到直线的距离公式可得： |－ab |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝a 2b 2. 6．圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y －1＝0切于点(2，－1)，则圆的方程是________________________．[答案] (x －1)2＋(y ＋2)2＝2[解析] ∵圆与直线x ＋y －1＝0相切，并切于点M (2，－1)．如图所示，则圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上，l 的方程是y ＋1＝x －2，即y ＝x －3，联立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2， 即圆心O 1(1，－2)，r ＝－2＋－1＋2＝ 2. 则方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.7．一个圆过(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝13与(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程为________．[答案] x 2＋y 2－2y ＋12＝0[解析] 设圆的方程为(x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋4)＋λ(x 2＋y 2＋6x ＋4y )＝0，∴圆心坐标为(－2＋3λ1＋λ，－1＋2λ1＋λ)． ∵圆心在y 轴上，∴2＋3λ＝0.∴λ＝－23，代入圆的方程化简即可． 三、解答题8．设点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上．(1)求x －2＋y 2的最小值； (2)求y ＋2x ＋1的最小值． [解析] (1)式子x －2＋y 2的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是22＋12＝5，圆的半径是1，所以x －2＋y 2的最小值是5－1.(2)式子y ＋2x ＋1的几何意义是点P (x ，y )与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l 1时，斜率最小．设y ＋2x ＋1＝k ，即kx －y ＋k －2＝0，由直线与圆相切，得|－1＋k －2|k 2＋1＝1， 解得k ＝43.故y ＋2x ＋1的最小值是43.。
成才之路_北师大版数学必修1-12.doc
课后强化作业基础巩固一、选择题1. 己知 A = {x^R\-2<x<4}, B={x\x-5<0}1 则/与 3之间的关系是（ ）A B B. A BC. A=BD.不确定［答案］A［解析］用数轴把力，3表示出来如图所示，一 >—•—■—■—•—i—A —-2 0 4 5 x Vx —5<0, .*.x<5,因此〃中元素不能都属于力，但/中元素都小于5（即都在E 中），由真子集定义知/是B 的真子集.2. 若集合A = {x\~2<x^2, xeN},则/的子集的个数是（）A. 2B. 4C. 8D. 16［答案］C［解析］由于 A = {x\-2<x^2t X EN} = {0,1 ,2},所以集合/共有 8 个子集,分别为：0, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}.3. 集合力=抄少=/, xE R}, B={y\y=（x~l ）2f x^R},则下列关系正确的是（）A. A = BB. A 8C. A B［答案］A［解析］•:A = {y ［y=x 29 x^R} = {y\y^0},B={y\y=(x~l)\ xER} = {y ［y>0},・・・A = B.4. 设A = {X \2<X <3}9 B= {x\x<m},若4 B. m23C. m<3 D ・ M W3［答案］B［解析］9：A={x\2<x<3}, B={x\<m}t A B, 第一章§2B,则〃7的取值范围是（A. m>3•••将集合4 B表示在数轴上,如图所示,••心3.A2 3 m x5.己知集合/ = {1,2,3}, 3={3,若A=B,则x的值是()A. 1B. -1C. ±1D. 0［答案］C［解析］由A=B得(=1, ・・・x=±l,故选C.6.己知集合M {2,3,5},且M中至少有一个奇数，则这样的集合共有()A. 2个B. 4个C. 5个D. 6个［答案］C［解析］当M中奇数只有3时:{3}, {2,3}；当M中奇数只有5时：{5}, {2,5}；当M中奇数有3,5时：{3,5},・•・共5个集合.二、填空题7.下列关系中正确的是_______ .①0丘{0}；②0 {0}；③{0,1}匸{(0,1)}；④{(a, b)} = {(b, a)}.［答案］②［解析］0 {0},・•・①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a, b)}与{(4 a)}是两个不同的点集，④错误，故正确的是②.8.已知0 {x\x2+x+a = 0}f则实数Q的取值范围是___________ .［答案］W［解析］因为0 {x\x2+x+a = 0},故集合{X『+X+G =0}为非空集合，即方程有实根，所以/20,即卩一4°$0,解得禺.三、解答题9.已知集合/ = {x|,—5x+6 = 0}, B={x|F+ax+6=0},且求实数a 的取值范围.［解析］由已知力={2,3},①若BH0,由BJA,・・・B={2}或3={3}或3={2,3},当B={2}时，方程x2+ax+6=0有两个相等实根，即XI=X2=2, X］X2=4H6,二不合题意.同理3H{3}・当B={2,3}时，。
成才之路数学北师大选修2-1答案
第一章 1.1一、选择题1．[答案] B[解析](1)不是命题．因为语句中含有变量x，在不给定变量x的值之前，我们无法判断这一语句的真假(这种含有变量的语句称为“开语句”)．类似的如：x>0,3x>2y 等都是开语句，也都不是命题．(2)是命题．它是可以作出判断的语句，而且这个判断是不成立的，即我们知道了他的真假．所以它是命题，而且是假命题(判断一语句是否为命题，不能只看它是否能作出判断，还要看它作出的判断能否判断真假)．(3)不是命题．因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出判断，疑问句不是命题．(4)不是命题，因为不涉及真假．(5)是命题．因为它对一个数给出了一个判断：“不是合数就是质数”，但这个判断是错误的，即可以判断真假，因而是命题，而且是假命题．(6)不是命题．它是祈使句，没有作出判断，要求我们做一件事，所以不是命题．若把“求证”两字去掉，改写成“若x∈R，则方程x2－x＋1＝0无实根”．这就可以成为命题了，而且是真命题．故选B项．2．[答案] A[解析]命题①中，当m＝0时，方程是一元一次方程；命题②中，由题设知a≠0，则Δ＝4＋4a，Δ的值可能为正数，可能为负数，也可能为零，故交点个数可能为0,1,2；命题④中，空集不是空集的真子集；命题③为真命题．3．命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是()A．a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数B．a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数C．a＋b不是偶数，则a，b都不是偶数D．a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数[答案] D [解析]“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题为“若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数”．二、填空题4．[答案]若a≤b，则2a≤2b－1[解析]该题将不等式和四种命题综合在一起，要注意不等号的方向及等号的取舍．原命题的否命题是：“若a ≤b，则2a≤2b－1.”5．[答案]若a是正数且a＋b是负数，则b是负数．[解析]逆否命题为真命题，即该命题为真，a是正数，且a＋b是负数，则一定b是负数，故填：若a是正数且a＋b是负数，则一定有b是负数．三、解答题6．[解析]原命题可改写成：如果一个正整数的各位数之和是3的倍数，则这个数能被9整除．逆命题：如果一个正整数能被9整除，则这个数的各位数字之和是3的倍数．否命题：如果一个正整数各位数字之和不是3的倍数，则这个数不能被9整除．逆否命题：如果一个正整数不能被9整除，则这个数的各位数字之和不是3的倍数．一、选择题1．[答案] C[解析]本题主要考查命题的四种形式．由题意知：写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题关系．2．[答案] A[解析]取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p∨q为真命题．3．[答案] D[解析]对A，因为c的正负未知，因而a与b的大小不定，所以A假；对B，逆命题是“若b2>9，则b>3”它未必成立，因为b 可能小于－3，所以B 假；对C ，否命题为“当x ≠2时，x 2－3x ＋2≠0为假，因为x ≠2，但可以为1，使x 2－3x ＋2＝0成立”；对D ，其逆否命题为“两个三角形的对应角不相等，则这两个三角形不相似”，为真，因为原命题与逆否命题为等价命题，原命题为真． 4．[答案] A[解析] 本题主要考查向量的模的数量积以及解三角不等式．对于p 1：∵|a ＋b |>1，∴a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即a ·b >－12，∴cos θ>－12，又θ∈[0，π]，∴θ∈[0，23π)，∴p 1正确，易得p 2错误；对于p 3：由|a －b |>1，∴a 2－2a ·b ＋b 2>1，即a ·b <12，∴cos θ<12，又θ∈[0，π]，∴θ∈(π3，π]，∴p 3错误；易得p 4正确，故选A. 5．[答案] A[解析] 本题考查数列单调性概念及四种命题．原命题即“若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{a n }为递减数列，则a n ＋1<a n ”为真命题，所以否命题也为真命题．原命题与其逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假． 二、填空题 6．[答案] a ≤0[解析] 由x 1<x 2<0可得x 1x 1x 2<x 2x 1x 2即1x 2<1x 1，要使a x 1>a x 2是假命题，则a ≤0. 7．[答案] (1)(2)[解析] 本题主要考查平面间的位置关系．考查学生对知识的掌握程度．(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β是正确的；(2)由线面平行判定定理知(2)正确；(3)由α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，不能推出α和β垂直，∴(3)不正确；(4)直线l 与α垂直能够推出l 与α内的两条直线垂直，而l 与α内的两条直线垂直不能推出直线l 与α垂直，∴(4)不正确． 三、解答题8．[解析] (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题． 9．[分析] 由“A ∩B ＝∅”是假命题，得出A ∩B ≠∅.由A ≠∅⇒Δ≥0.求出关于m 的全集U .再令方程两根均非负，求出m 的范围，最后利用补集思想在U 中取其补集即可．[解析] 因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U 4m ≥02m ＋6≥0⇒m ≥32，又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．10．[分析] 根据四种命题之间的关系写逆命题，逆否命题，利用特例、反证法，证互为逆否的命题，从而证明结论．[解析] (1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0, 它是真命题，可用反证法证明它．假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，所以f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，与条件矛盾，所以逆命题为真． (2)逆否命题是：若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.若证它为真，可证明原命题为真来证明它．因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ；因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，所以逆否命题为真． [点评] (1)当证明一个否定性命题的真假发生困难时，通常转化为判断它的逆否命题的真假．(2)利用反证法证题要注意其步骤．第一章 1.2一、选择题 1．[答案] A[解析] 因为“1<x <2”⇒“x >2”，而x >2⇒/ “1<x <2”，故“1<x <2”是“x >2”的充分不必要条件，故选A. 2．[答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式的知识． 由2x 2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，又因为x >12⇒2x 2＋x －1>0，而2x 2＋x －1>0⇒/ x >12，选A.3．[答案] A[解析] M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |0<x <3}，∵N M ，∴选A. 二、填空题4．[答案] 充分不必要[解析] 由a ＝1，得y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ，T ＝2π2＝π；反之，y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，由T ＝2π|2a |＝π，得a＝±1.5．[答案] 充分不必要条件[解析] ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝－5.当x 1＝－1，x 2＝－4时，x 1＋x 2＝－5，而－1，－4不是方程x 2＋5x －6＝0的两根． 三、解答题6．[分析] 看p 是否推出q ，q 是否推出p .[解析] (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0⇒/ x －2＝0.所以p 是q 的充分不必要条件．(2)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；而方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(3)由p ⇒q ，而q ⇒/ p ．所以p 是q 的充分不必要条件． [点评] 用定义判断p 是q 的什么条件的基本程序是： ①定条件：确定条件和结论．②找推式：确定p 与q 哪一个能推出哪一个． ③下结论：根据推式和结论下定义．一、选择题 1．[答案] C[解析] 本题考查简易逻辑中充分性、必要性． 当a >b ⇒a |a |>b |b |当a >b >0时，a |a |－b |b |＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )>0成立 当b <a <0时a |a |－b |b |＝a 2＋b 2＝(b －a )(b ＋a )>0成立 当b <0<a 时，a |a |－b |b |＝a 2＋b 2>0成立 同理由a |a |>b |b |⇒a >b .选C. 2．[答案] B[解析] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力．由已知m α，若α⊥β则有m ⊥β，或m ∥β或m 与β相交；反之，若m ⊥β，∵m α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β.∴α⊥β是m ⊥β的必要不充分条件．故选B. 3．[答案] A[解析] 本题主要考查不等式的性质及充要条件的判定等基础知识．“0<ab <1”，则a ，b 同号，若a >0，b >0，由ab <1得a <1b ；若a <0，b <0，由ab <1，得b >1a ，故“0<ab <1”⇒“a <1b 或b >1a”； 当a <1b 时，a －1b ＝ab －1b <0，若b >0，则ab <1，但ab 不一定满足ab >0；若b <0，则ab >1，故“a <1b 或b >1a ” ⇒/ “0<ab <1”．选A.4．[答案] A[解析] 本题主要考查充分必要条件．由x ≥2且y ≥2，则x 2＋y 2≥4一定成立，而x 2＋y 2≥4时，x ≥2且y ≥2不一定成立，如x ≥3且y ≥0，故是充分不必要条件． 5．[答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C. 二、填空题6．[答案] (1)必要不充分条件 (2)充分不必要条件 (3)既不充分也不必要条件 7．[答案] 充分不必要条件[解析] 当“m ，n 均为偶数”时，“m ＋n 是偶数”是成立的；而当“m ＋n 是偶数”时，“m ，n 均为偶数”不一定成立，如：3＋5＝8为偶数，但3,5都是奇数，∴“m ，n 均为偶数”是“m ＋n 是偶数”的充分不必要条件． 三、解答题8．[解析] 观察各题中是由p ⇒q ，还是由q ⇒p ，然后利用定义得答案．(1)因为“p ⇒q ”为假命题，“q ⇒p ”为真命题，所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件． (2)c ＝0⇒抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过原点；抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过原点⇒c ＝0，所以p 是q 的充要条件，q 是p 的充要条件．(3)因为p ⇔q 为真，所以p 是q 的充要条件，q 是p 的充要条件．9．[解析] ∵|4x －3|≤1，∴12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≤0， 得(x －a )[x －(a ＋1)]≤0， ∴a ≤x ≤a ＋1，即q ：a ≤x ≤a ＋1.∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q ⇒/ p . ∴{x |12≤x ≤1} {x |a ≤x ≤a ＋1}．故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1a ≤12，解得0≤a ≤12.所以a 的取值范围是0≤a ≤12.10．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.[证明] (1)必要性：设方程x 2＋2ax －b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°. (2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2将①式代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0， 可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0， 即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0. 可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0， 即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0. 故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.第一章 1.3一、选择题 1．[答案] A[解析] 因为x 2－3x ＋6＝(x －32)2＋154≥154，所以对于任意的x ∈R ，x 2－3x ＋6>0恒成立，因此A 中的命题为真命题． 2．[答案] D[解析] 本题考查量词命题的否定改写． 任意x 0∈∁R Q ，x 30∉Q ，注意量词一定要改写． 3．[答案] C[解析] 特称命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论． 二、填空题 4．[答案] ④[解析] ①是全称命题，但为假命题； ②不是命题； ③是特称命题 5．[答案] ①④[解析] ②是特称命题；③不是命题． 三、解答题6．[解析] (1)这一命题的否定为：所有的质数不是奇数．很明显，质数3就是奇数，所以命题的否定是假命题．(2)这一命题的否定为：存在α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≠1.因为原命题是真命题，所以命题的否定为假命题． [点评] 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．一、选择题 1．[答案] C[解析] 全称命题的否定是特称命题．2．[答案] B[解析] cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，显然选项C ，D 为真；sin α·sin β＝0时，选项A 为真；选项B 为假．故选B. 3．[答案] C[解析] 本题考查了全称、存在命题及命题的否定． “存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．这类题目应遵循“存在变任意(任意变存在)，再否定结论”的原则． 4．[答案] C[解析] 由于任意x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋3≥3，所以命题“任意x ∈R ，x 2＋3<0”为假命题； 由于0∈N ，当x ＝0时，x 2≥1不成立， 所以命题“任意x ∈N ，x 2≥1”是假命题； 由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 5<1， 所以命题“存在x ∈Z ，使x 5<1”为真命题；由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x ∈Q ，x 2＝3”是假命题．故选C. 5．[答案] C[解析] 由x 0＝－b2a (a >0)及抛物线的相关性质可得C 选项是错误的． 二、填空题 6．[答案] ①③④[解析] ①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以不存在实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④. 7．[答案] 真[解析] 由于对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，所以只需m 2－m ≤0，即0≤m ≤1.所以当m ＝0或m ＝1时，对任意x ∈R ，m 2－m <x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题． 三、解答题8．[解析] (1)A 中的队员都不是(一个也没有)北京人； (2)A 中的队员不都是北京人； (3)A 中的队员至少有一个是北京人； (4)A 中的队员都是北京人．9．[解析] (1)∵对任意实数x ，都有(x ＋1)－x ＝1>0，∴x ＋1>x ，∴x ∈R .(2)由x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)>0得x <2或x >3，∴使p (x )成立的x 的取值范围是x <2或x >3. (3)sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0， ∴2k π<x －π4<2k π＋π (k ∈Z )，∴2k π＋π4<x <2k π＋5π4，∴使p (x )：sin x >cos x 成立的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z . 10．[分析] 用分类讨论的数学思想解含a 的关于x 的不等式即可．[解析] 当a ＝－1时，不等式不成立； 当a ＝1时，原不等式恒成立．当a 2－1≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝(a －1)2－4(a 2－1)(－1)<0， 所以－35<a <1.所以a 的取值范围是(－35，1]．第一章 1.4一、选择题1．[答案] D[解析] 本题主要考查逻辑联结词．利用命题真值表进行判断．根据命题真值表知，q 是假命题，非q 是真命题． 2．[答案] C[解析] 本题考查命题真假的判断．p 为假命题，q 为假命题．所以p ∧q 为假命题．对“p 且q ”真假判定：全真为真，一假则假． 3．[答案] C[解析] 由题意知点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3y ＝－x 2，验证各选项知，只有C 成立． 二、填空题 4．[答案] ②④[解析] 命题p 是真命题，命题q 是假命题． 5．[答案] p 或q ，¬p[解析] ∴任意x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，∴命题p 为假，¬p 为真；∵x －2x －1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －1)≤0x －1≠0⇔1<x ≤2. ∴命题q 为真，p 或q 为真，p 且q 为假，非q 为假． 三、解答题6．[解析] (1)3不是9的约数，也不是18的约数． (2)菱形的对角线不相等或不互相垂直．(3)方程x 2＋x －1＝0的两实数根的符号不相同且绝对值不相等．[点评] “p 或q ”命题的否定为“(非p )且(非q )”，“p且q ”命题的否定为“(非p )或(非q )”．一、选择题 1．[答案] C[解析] 本题考查命题的真假．命题p ：所有有理数都是实数为真命题．命题q ：正数的对数都是负数是假命题．非p 为假命题，非q 是真命题，(非p )或(非q )是真命题，故选C.2．[答案] B[解析]由题意可知，“p且r”是真命题，则可知p是真命题且r是真命题，则可知“p或q”是真命题．3．[答案] B[解析]根据题意知应满足p假，q真，只有B满足．4．[答案] C[解析]本小题考查了命题的相关知识，结合指数函数的单调性，综合考查了含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题真假．p1是真命题，则非p1为假命题；p2是假命题，则非p2为真命题；∴q1：p1或p2是真命题，q2：p1且p2是假命题，∴q3：(非p1)或p2为假命题，q4：p1且(非p2)为真命题．∴真命题是q1，q4，故选C.5．[答案] A[解析]“p且q”为真，即p、q同为真．对于命题p，任意x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，只需12－a≥0成立，即a≤1；对于命题q，存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0成立，只需保证判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2或a≥1，∴a≤－2或a＝1，故选A.二、填空题6．[答案]方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3假命题方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3假命题[解析]∵p：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2，q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，∴p且q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x ＋6＝0的根是x＝3，为假命题．p或q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x ＋6＝0的根是x＝3，为假命题．7．[答案]1≤a≤2[解析]因为f(x)＝lg(ax2－x＋116a)的定义域为R，所以⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，Δ＝1－14a2＜0，即a＞2.因为2x＋1＜1＋ax(x＞0)⇒a＞2x＋1－1x⇒a＞22x＋1＋1恒成立，又因为x＞0，所以22x＋1＋1＜1，解得a≥1.因为命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，所以p，q中一个为真一个为假．所以⎩⎪⎨⎪⎧a＞2，a＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a≤2，a≥1解得1≤a≤2. 三、解答题8．[分析]分清题设和结论，命题的否定只否定结论，而否命题既否定题设，又否定结论．[解析]否定形式：存在面积相等的三角形但不全等三角形．否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．9．[解析](1)a、b、c不都相等，也就是说a、b、c中至少有两个不相等．(2)存在一个三角形，其外角最多有一个是钝角．(3)因为(x－2)(x＋5)>0表示x<－5或x>2，所以它的否定是x≥－5且x≤2，即－5≤x≤2.另解：(x－2)(x＋5)>0的否定是(x－2)(x＋5)≤0，即－5≤x≤2.10．[分析]由“p或q”为真，“p且q”为假，可知p，q中一真一假，因此有两种情况，要分类讨论．[解析]p：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m2－4>0，m>0，解得m>2.q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，解得1<m<3.∵p或q为真，p且q为假，∴p为真，q为假；或p为假，q为真．即⎩⎪⎨⎪⎧m>2，m≤1或m≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m≤2，1<m<3.解得m≥3或1<m≤2.∴m的取值范围是[3，＋∞)∪(1,2]．[点评]这是一道将方程与逻辑知识结合的综合题目，构思较新颖．第二章 2.1一、选择题 1．[答案] D[解析] a ，b 不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以A ，B ，C 都不正确，只有D 正确． 2．[答案] B[解析] 由四边形ABB ′A ′是平行四边形，可得AA ′→＝BB ′→.但是由AA ′→＝BB ′→，只能说明AA ′→与BB ′→是相等向量，AA ′→与BB ′→所在的直线可能平行或共线，并不一定构成平行四边形ABB ′A ′，所以M 是N 的必要不充分条件． 3．[答案] C[解析] 先画出平行六面体的图像，可看出向量D 1A →、D 1C →在平面ACD 1上，由于向量A 1C 1→平行于AC →，所以向量A 1C 1→经过平移可以移到平面ACD 1上，因此向量D 1A →、D 1C →、A 1C 1→为共面向量． 二、填空题 4．[答案] ①②③[解析] 当a 与b 共线时，n 就不一定是平面α的法向量，故④错误． 5．[答案] 8[解析] 研究长方体模型可知，棱长为1的棱有4条，故模为1的向量有8个． 三、解答题6. [分析] 根据法向量的概念求解，若直线l 垂直于平面ABCD ，那么任何与直线l 平行的非零向量都为法向量．[解析] 平面ABCD 所有的法向量有DF →、CG →、BH →、AE →、FD →、GC →、HB →、EA →.由于正方体的三条棱DA 、DC 、DF 互相垂直，所以〈DA →，DC →〉＝90°，〈DA →，DF →〉＝90°.一、选择题 1．[答案] D[解析] 任意两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A 、B 不正确；向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C 不正确；由于向量的模是一个实数，故可以比较大小． 2．[答案] D[解析] 由于所求的是向量，所以首先排除B ，在剩下的三个选项中，通过正方体的图形可知D 项正确． 3．[答案] A[解析] GC ⊥平面ABCD ，所以GC ⊥AC .在Rt △GAC 中，AC ＝42，GC ＝2，所以AG ＝AC 2＋GC 2＝6，即|AG →|＝6. 4．[答案] A[解析] 与向量AB →平行的向量就是直线AB 的方向向量，有AB →，BA →，A 1B 1→，B 1A 1→，C 1D 1→，D 1C 1→，CD →，DC →，共8个，所以选A.[点评] 直线的方向向量就是与直线平行的非零向量，对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的． 5.[答案] C[解析] 向量相等只需方向相同，长度相等，而与表示向量的有向线段的起点、终点的位置无关．表示两个共线向量的两条有向线段所在的直线平行或重合，不能得到四点共线． 二、填空题 6．[答案] 2[解析] ①②是错误的，共面向量所在的直线不一定平行，只要能平移到一个平面内就可以．7．[答案] 0° 0° 90°[解析] 由题意得AO →，OC →方向相同，是在同一条直线AC 上，故〈AO →，OC →〉＝0°；O 1C 1→可平移到直线AC 上，与OC →重合，故〈AO →，O 1C 1→〉＝0°；由题意知OO 1是正四棱台ABCD —A 1B 1C 1D 1的高，故OO 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以OO 1⊥A 1B 1，故〈OO 1，A 1B 1→〉＝90°. 三、解答题8．[分析] 应把实际问题抽象为数学问题，飞机水平飞行时与水平面平行，由图可知向量AB →与BC →在同一平面内，并且向量CD →垂直于这个平面α.[解析] (1)飞机水平飞行时所经过的路线与水平面平行，因而三个向量中BC →和CD →平行于水平面α. (2)由于向量AB →与BC →在同一平面内，设为平面β，又由于CD →为正北方向，所以CD →垂直于平面β，即BC →⊥CD →和AB →⊥CD →.因为AB →与水平面的夹角为45°，所以得：〈AB →，BC →〉＝45°，〈BC →，CD →〉＝90°，〈AB →，CD →〉＝90°. 9．[解析] (1)单位向量即模为1的向量，则AB →，BC →，AD →，CD →都是单位向量．(2)由于向量DC →与向量AB →方向相同，且模都为1，故DC →是与向量AB →相等的向量．10．[解析] (1)向量DF →在平面D 1B 1BD 上，由于向量AA 1→、CC 1→平行于平面D 1B 1BD ，所以向量AA 1→、CC 1→、DF →都能够平移到平面D 1B 1BD 上，即向量AA 1→、CC 1→、DF →是共面向量．(2)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC →为平面A 1B 1BA 的法向量，BE →又在平面A 1B 1BA 上，所以BC →⊥BE →，即〈BE →，BC →〉＝90°.(3)平面BB 1C 1C 的一个法向量为BA →(或B 1A 1→、CD →、C 1D 1→)．第二章 2.2一、选择题 1．[答案] D[解析] 由条件知，|BA 1→|＝2a ，|AC →|＝2a ， BA 1→·AC →＝(AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →) ＝AA 1→·AB →－|AB →|2＋AA 1→·AD →－AB →·AD → ＝－|AB →|2－AB →·AD →＝－a 2，∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA →|·|AC →|＝－a 22a ·2a ＝－12.∴向量BA 1→与AC →所成的角为120°，故选D. 2．[答案] A[解析] ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →－DD 1→＝B 1D →； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→.故选A. 3．[答案] B[解析] 根据数量积的定义知：①②正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°，∴③不正确，故选D. 二、填空题 4．[答案] 13 23 13[解析] AG →＝AP →＋PG →＝AP →＋23[12(AD →－AP →)＋12(AD →＋AB →－AP →)]＝AP →＋13(AD →－AP →＋AD →＋AB →－AP →)＝13AP →＋23AD →＋13AB →. ∴x ＝13，y ＝23，z ＝13.5．[答案]232 [解析] AB →的模为22，根据题中条件，可得|BC →|＝13|AB→|，即BC →的模为23 2.三、解答题6．[解析] (1)AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→＋12CD →＝AA 1→－12AB →.∵AB →·AD →＝0，AB →·AA 1→＝0，AD →·AA 1→＝0， ∴CE →·AF →＝(AA 1→－12AB →)·(AD →＋12AA 1→)＝12，又|AF →|＝|CE →|＝52，∴cos 〈CE →，AF →〉＝25，(2)证明：BD 1→＝BD →＋DD 1→＝AD →－AB →＋AA 1→，EF →＝ED 1→＋D 1F →＝－12(AB →＋AA 1→)，∴BD 1→·EF →＝0，∴BD 1→⊥EF →.一、选择题 1.[答案] B[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD →＝A 1A →＋12(AD →－AB →)＝A 1A →＋12A 1D 1→－12A 1B 1→＝－12a ＋12b ＋c .2．[答案] B[解析] BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2 ＝|AB →|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉 ＝BC →·BD →|BC →|·|BD →|>0， ∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角， ∴△BCD 为锐角三角形． 3．[答案] D[解析] 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13(AA ′→＋12A ′C ′→)＝13AA ′＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →. 4．[答案] B[解析] AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→， ∴|AC ′→|＝(AB →＋AD →＋AA ′→)2＝AB →2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA ′→＋2AD →·AA ′→＋AD →2＋AA ′→2 ＝85. 5．[答案] C[解析] ∵AE →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝0， AE →·CD →＝(AB →＋BE →)·CD → ＝AB →·(BD →－BC →)＋12BC →·CD →＝|AB →|·|BD →|·cos120°－|AB →|·|BC →|cos120°＋12|BC →|·|CD→|cos120°<0.∴AE →·BC →>AE →·CD →. 二、填空题 6．[答案] 0[解析] AB →·CD →＋BC →·AD→＋CA →·BD →＝AB →·CD →＋BC →·(AB →＋BD →)＋CA →·BD →＝AB →·(BC →＋CD →)＋BD →·(BC →＋CA →)＝AB →·BD →＋BD →·BA →＝BD →·(BA →－BA →)＝0. 7．[答案] 12 12[解析] A 1E →＝A 1A →＋AE →＝A 1A →＋12AB →＋12AD →＝A 1A →＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→.∴x ＝12，y ＝12.三、解答题8．[解析] (1)AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→；(2)DD ′→－AB →＋BC →＝DD ′→－(AB →－AD →) ＝DD ′→－DB →＝BD ′→；(3)AB →＋AD →＋12(DD ′→－BC →)＝AC →＋12(CC ′→＋CB →)＝AC →＋12CB ′→＝AC →＋CM →＝AM →.9．[分析] 可直接运用|a |2＝a·a . [解析] |a ＋ b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2 ＝|a |2＋|b |2＋|c | 2＋2(a·b ＋a·c ＋b·c ) ＝1＋4＋9＋2(0＋1×3×12＋2×3×32)＝17＋63，∴|a ＋b ＋c |＝17＋6 3.10.[解析] (1)AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2AB →·BC →＋2BC →·CC ′→＋2AB →·CC ′→＝1＋1＋1＋2×1×1×12＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝6.∴|AC ′→|＝ 6(2)同理可得BD ′→2＝(BA →＋BC →＋BB ′→)2＝BA →2＋BC →2＋BB ′→2＋2BA →·BC →＋2BC →·BB ′→＋2BA →·BB ′→＝1＋1＋1＋2×1×1×(－12)＋2×1×1×12＋2×1×1×(－12)＝2.∴BD ′＝ 2.第二章2.3 第1课时一、选择题 1．[答案] C[解析] 令A 点为坐标原点，建立如图的空间坐标系．由于AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则C 1点的坐标为(3,2,5)，即AC 1→＝3i ＋2j ＋5k ，故选C.2．[答案] B[解析] AB 在l 上的投影为：|AB →|·cos120°＝－3 2. 3．[答案] B[解析] 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA →、BM →、BN →共面且过相同点B ，故A 、B 、M 、N 共面． 下面证明①④正确．①假设d 与a 、b 共面，则存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0， ∴存在实数k ，使d ＝k c ，∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a 、b 共面与条件矛盾． ∴d 与a ，b 不共面． 同理可证④也是正确的． 二、填空题4.[答案] (12，0，－12)[解析] MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →)＝12BA →－12BP →， 即MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－12. 5．[答案] －23 －16 16[解析] 在PD 上取一点F ，使PF FD ＝2 1，连结MF ，则MN →＝MF →＋FN →， ∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP →＝16DP →＝16(AP →－AD →)， MF →＝23CD →＝23BA →＝－23AB →，∴MN →＝－23AB →－16AD →＋16AP →，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.三、解答题 6.[解析](1)如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(4,0,3)、B (4,4,0)、B 1(4,4,3)、C (0,4,0)． ∴A 1B →＝(0,4，－3)，B 1C →＝(－4,0，－3)．(2)连结AC ，A 1C →在平面ABCD 上的投影长为|A 1C →|·cos ∠A 1CA ＝|AC →|＝42.一、选择题 1．[答案] D[解析] ∵OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，∴OA →，OB →，OC →三个向量共面， ∴O ，A ，B ，C 四点共面．故选D. 2．[答案] D[解析] 因为NM →＝NA →＋AB →＋BM →＝－12b ＋a ＋12c ，所以选D. 3．[答案] C[解析] ∵a ＝12p ＋12q ，∴a 与p 、q 共面，∵b ＝12p －12q ，∴b 与p 、q 共面，∵不存在λ、μ，使c ＝λp ＋μq ，∴c 与p 、q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C. 4．[答案] A[解析] a ·i ＝|a |·|i |·cos 〈a ，i 〉，则|a |·cos 〈a ，i 〉＝a ·i |i |＝(i ＋2j ＋3k )·i ＝i 2＝1，故选A. 5．[答案] A[解析] d ＝αa ＋βb ＋γc ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3.又因为d ＝e 1＋2e 2＋3e 3， 所以有：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.二、填空题6．[答案] (－2，－1，－4) (－4,2，－4)[解析] DO →＝－OD →＝－12OA →－12OB →－OO 1→＝－2i －j －4k ；A 1B →＝A 1A →＋AO →＋OB →＝－4k －4i ＋2j . ∴DO →＝(－2，－1，－4)，A 1B →＝(－4,2，－4)．7．[答案] (12，0，－12)[解析] MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →)＝12BA →－12BP →，即MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－12.三、解答题8．[解析] (1)∵AE EC ′＝1 2，∴AE →＝13AC ′→＝13(AB →＋BC →＋CC ′→)＝13(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝13AA ′→＋13AB →＋13AD →， ∴x ＝13，y ＝13，z ＝13.(2)∵F 为B ′D ′的中点，∴BF →＝12(BB ′→＋BD ′→)＝12(BB ′→＋BA →＋AA ′→＋A ′D ′→)＝12(2BB ′→＋BA →＋BC →)＝BB ′→＋12BA →＋12BC →， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝12.(3)∵G 、F 分别为BD ′、B ′D ′的中点， ∴GF →＝12BB ′→，∴x ＝12，y ＝0，z ＝0.9.[解析] 设DA →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k . ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－23AB →＋AP →＋23PC →＝－23AB →＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB →)＝13AP →＋23AD →＝13AP →＋23(－DA →)＝－23i ＋13k ， ∴MN →＝(－23，0，13)．10．[解析] (1)证明：因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋⎝⎛⎭⎫AD →＋23AA 1→＝(AB →＋BE →)＋(AD →＋DF →)＝AE →＋AF →， 所以A 、E 、C 1、F 四点共面．(2)解：因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13.第二章 2.3 第2课时一、选择题 1．[答案] D[解析] OA →＋OB →＝(2,1,3)＋(－4,2，x )＝(－2,3，x ＋3) ∵(OA →＋OB →)⊥OC →，∴－2－3x ＋2x ＋6＝0，解得x ＝4. 2．[答案] B[解析] ∵AB →＝(－3,7，－5)，∴OC →＝23(－3,7，－5)＝⎝⎛⎭⎫－2，143，－103. 故选B. 3．[答案] A[解析] 向量x 与a 平行，则x ＝λa ，a·x ＝λa 2＝－18，解得λ＝－2，所以x ＝－2a ＝(－4,2，－4)． 二、填空题 4．[答案] 310[解析] a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)，所以|a －b ＋2c |＝92＋32＋02＝310. 5．[答案] ①③[解析] 不妨设基底为{i ，j ，k }． ①设a ＝x b ＋y c ，则可得i ＋2j ＋3k ＝(3x ＋4y )i ＋2y j ＋(2x ＋5y )k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝12y ＝22x ＋5y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1这表明存在实数x ＝－1，y ＝1，使a ＝x b ＋y c ， ∴a 、b 、c 共面．同理可知③中a 、b 、c 共面，其余不共面． 三、解答题6．[解析] a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a·b |a |·|b |＝－1＋0＋02·5＝－1010.(2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， 即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.[点评] 解决本题时直接套用公式即可，向量夹角及向量垂直是向量应用的重要方面，解题方式也是程序化过程．一、选择题 1．[答案] D[解析] 求两向量a 、b 不平行，只要计算a ≠λb (λ∈R )即可，从而可知D 项中－216＝3－24≠540.2．[答案] D[解析] AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AD →＝(x －4，－2,0)，∵A 、B 、C 、D 共面，∴AB →、AC →、AD →共面， ∴存在λ、μ，使AD →＝λAB →＋μAC →，即(x －4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－4，μ＝1，x ＝11.3．[答案] B[解析] ∵b －a ＝(2，t －2，t ＋1)－(1－t,1－t ，t －1)＝(1＋t,2t －3,2)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －3)2＋22 ＝5t 2－10t ＋14＝5(t －1)2＋9， 当t ＝1时，|b －a |有最小值3.故选B. 4．[答案] C[解析] AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)．因为AC →·BC →＝2×5－3×1－7×1＝0， 所以AC ⊥BC .所以∠ACB ＝90°. 又因为|AC →|＝53，|BC →|＝14， 即|AC →|≠|BC →|，所以△ABC 为直角三角形． 5．[答案] B[解析] AB →＝(2cos β－3cos α，2sin β－3sin α，0)，则|AB →| ＝(3cos α－2cos β)2＋(3sin α－2sin β)2 ＝13－12cos (α－β).由于cos(α－β)∈[－1,1]，所以|AB →∈[1,5]． 二、填空题 6．[答案] 30°[解析] AB →＝(－32，12，0)，AC →＝(－1,0,0)．则cos A ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.7．[答案] (－1,0,2)[解析] 由已知得：P A →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)．又P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，所以P A →·AB →＝x －1＋z ＝0，P A →·AC →＝－2x ＋0－z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋z ＝0，－2x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，z ＝2.所以P 的坐标为(－1,0,2)． 三、解答题8．[解析] (向量法)(1)证明：取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD . 由BB 1C 1C 为矩形知，DD 1⊥B 1C 1， 因为平面BB 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1， 所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1.又由A 1B 1＝A 1C 1知，A 1D 1⊥B 1C 1.故以D 1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D 1－xyz .由题设，可得A 1D 1＝2，AD ＝1.由以上可知AD ⊥平面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，于是AD ∥A 1D 1.所以A (0，－1,4)，B (1,0,4)，A 1(0,2,0)，C (－1,0,4)，D (0,0,4)， 故AA 1→＝(0,3，－4)，BC →＝(－2,0,0)，AA 1→·BC →＝0， 因此AA 1→⊥BC →，即AA 1⊥BC .(2)解：因为AA 1→＝(0,3，－4)，所以|AA 1→|＝5，即AA 1＝5. 9．[解析] (1)设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)，DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)． 因为DB →∥AC →，DC →∥AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－x ，1－y ，－z )＝m (－1，0，2)，(－x ，－y ，2－z )＝n (－1，1，0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2.即D (－1,1,2)．(2)依题意AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)，BC →＝(0，－1,2)， 假设存在实数α，β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧α＝1，α－β＝0，2β＝2，故存在α＝β＝1，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立．10．[解析] 由已知，得AB →＝(1，－3,2)，AC →＝(2,0，－8)，∴|AB →|＝1＋9＋4＝14， |AC →|＝4＋0＋64＝217，AB →·AC → ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－1414×217＝－14217，∴sin 〈AB →，AC →〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝12×217×14×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD . 则|CD →|＝2S △ABC |AB →|＝36，即△ABC 中AB 边上的高为3 6.第二章 2.4一、选择题 1．[答案] D[解析] ∵α⊥β，∴它们的法向量也互相垂直， ∴(－1,2,4)·(x ，－1，－2)＝0，解得x ＝－10， 故选D. 2．[答案] A[解析] ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，a·b ＝0，∴4＋4y ＋4x ＝0，即x ＋y ＝－1. 3．[答案] A[解析] ∵(1,1,1)·(1，－1,0)＝0，(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，∴a ⊥b ，a ⊥c ，又b 与c 不平行且b 、c 所在的直线都与平面α平行，∴l ⊥α. 二、填空题4．[答案] －64 －26 －17[解析] 因为a ，b ，c 两两垂直，所以a ·b ＝b·c ＝c·a ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ，2，－4)·(－1，y ，3)＝0(－1，y ，3)·(－1，－2，z )＝0，(1，－2，z )·(x ，2，－4)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－64y ＝－26z ＝－17.5．[答案] (－12，12，1)[解析] 设M (x ，y ，z )，又AB →＝(－1,1,0)，AM →＝(x ，y ，z －1)，CM →＝(x －1，y －2，z ＋3)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＋y －2＝0，x ＝－y ，z －1＝0.∴x ＝－12，y ＝12，z ＝1，∴点M 的坐标为(－12，12，1)．三、解答题6.[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG . 依题意，得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a 2)．∵底面ABCD 是正方形，∴G 是正方形ABCD 的中心． 故点G 的坐标为(a 2，a2，0)，且P A →＝(a,0，－a )，EG →＝(a2，0，－a 2)．∴P A →＝2EG →.这表明P A ∥EG .而EG 平面EDB ，且P A ⃘平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意，得B (a ，a,0)，∴PB →＝(a ，a ，－a )．又DE →＝(0，a 2，a 2)，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE .又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E . ∴PB ⊥平面EFD.一、选择题 1．[答案] B[解析] ∵a ＝(－1,0,2)，n ＝(－2,0,4)，n ＝2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.故选B. 2.[答案] B[解析] 方法一：判断平面ACD 的法向量，可以从平面ACD 中找出AC →，AD →，CD →中的两个向量，分别与选项中的向量求数量积，判断垂直而得．方法二：直接利用已知边角关系判断线面垂直． 设AD ＝1，则BD ＝CD ＝1.因为△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，所以AB ＝AC ＝ 2. 又因为∠BAC ＝60°，所以BC ＝ 2.所以△BCD 也是直角三角形，且BD ⊥CD ，从而可得BD ⊥平面ACD . 3．[答案] B[解析] a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )， 2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)， ∵(a ＋2b )∥(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ(2－x )4＝3λ4－y ＝(－2y －2)λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝－44．[答案] B[解析] a ·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0， ∴a ⊥b .∴l 1⊥l 2. 5．[答案] D[解析] AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，BC →＝(0，－1,1)．设平面ABC 的一个单位法向量为u ＝(x ，y ，z )，则u ·AB →＝0，u ·AC →＝0，得x ，y ，z 之间的关系，且x 2＋y 2＋z 2＝1，求值即可． 二、填空题6．[答案] ①②③[解析] AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →.AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →， ∵AP →⊥AB →，AP →⊥AD →，AB →∩AD →＝A ，∴AP →⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量． 7.[答案] 2[解析] 先建立如图所示的空间直角坐标系，设|BQ →|＝b ，则A (0,0,0)，Q (1，b,0)，P (0,0,1)，B (1,0,0)，D (0，a,0)，所以PQ →＝(1，b ，－1)，QD →＝(－1，a －b,0)． ∵PQ →⊥QD →，∴b 2－ab ＋1＝0. ∵b 只有一解，∴Δ＝0，可得a ＝2. 三、解答题8．[证明] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由题意知：D (0,0,0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)， B 1E →＝(0，－2，－4)，EF →＝(－2，2，0)． 设平面B 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则n ·B 1E →＝－2y －4z ＝0，n ·EF →＝－2x ＋2y ＝0. 解得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－24)， 又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC →＝(－22，22，0)， 而n ·AC →＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0，即n ⊥AC →.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.9．[解析] (1)以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E (a2，1,0)，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝B 1E →＝(－a 2，1，－1)，AB 1→(0,1,1)，(a,0,1)，AE →＝(a2，1,0)．＝∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥ AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)， 使得DP ∥平面B 1AE .此时DP →＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥ AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，－a2，－a )．要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.10．[解析] 假设点P 存在，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为a ，DP ＝m (0≤m ≤a )，则由正方体的性质知，CC 1⊥BD ，AC ⊥BD ，CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥面ACC 1，。
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[答案] B
[解析] 由二次函数解析式y＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋
675可知，当x＝15时，y取最大值．
第二章第一§章4 第§21课时
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4．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最 小值是________．
第二章第一§章4 第§21课时
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销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得 最大利润？
第二章第一§章4 第§21课时
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3．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为
y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为( )
A．10件
B．15件
C．20件
D．30件
④抛物线有最低点，
④抛物线有最高点，
当4acx－＝b－2 2ba时，y 有最小值，ymin＝ ___4_a_______
当 x＝4－ac2b－a时b2，y 有最大值，ymax ＝______4_a_____
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成才之路北师大数学必修2-本章归纳总结1
第一章
本章归纳总结
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知识梳理
第一章
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1．多面体的结构特征 对于多面体的结构要从其反映的几何体的本质去把握，棱 柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以 看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为
第一章
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平面图形的翻折问题
将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为 轴的一个旋转．要用动态的眼光看问题． 求解翻折问题的基本方法是：先比较翻折前后的图形，弄 清在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪 些是变的，哪些不变，特别要抓住不变量，一般地，在同一个
(2)求该安全标识墩的体积； (3)证明：直线BD⊥平面PEG. [思路分析] 图画出左视图； (1)结合几何体的结构及所给的主视图和俯视
(2)解题时先把三视图中的数据还原到几何体中，然后把几
何体的体积转化为正四棱锥和长方体的体积来求解． (3)把证BD⊥平面PEG转化为证HF⊥平面PEG，只需证HF 与平面PEG中的两条相交直线垂直即可．
第一章 本章归纳总结
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专题探究
第一章
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空间几何体的三视图及面积、体积问题
1.考查空间几何体的三视图与几何体之间的相互转化，进 而考查空间想象能力．解决此类问题的主要依据是三视图的概
成才之路高中数学北师大必修二同步练习 第1章 综合能力检测
第一章综合能力检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若P是平面α外一点，则下列命题正确的是()A．过P只能作一条直线与平面α相交B．过P可作无数条直线与平面α垂直C．过P只能作一条直线与平面α平行D．过P可作无数条直线与平面α平行[答案] D[解析]过P点平行于α的平面内任一直线都与平面α平行．2．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．不能确定[答案] C[解析]如图所示，设α∩β＝l，a∥α，a∥β，过直线a作与α，β都相交的平面γ.记α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b，且a∥c，所以b∥c，b∥β.又bα，α∩β＝l，所以b∥l，a∥l.3．(广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD ．若l ⊥β，l ∥α，则l ⊥β [答案] B[解析] 本题考查了空间线面关系． 若α∩β＝m ，l ∥m ，l α，l β，则A 错． 垂直于同一直线的两平面平行，B 正确． 当l ⊥α，l ∥β时α⊥β，C 错．若α⊥β，l ∥α，则l 与β关系不确定，D 错．4．两个半径为1的小铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为( ) A ．2 B ．32 C. 2 D ．1234[答案] B[解析] 熔化后铸成的大球的体积等于两个小铁球的体积之和．设大球的半径为R ，则43πR 3＝2×43π×13，所以R ＝32.故选B.5．某三棱锥的左视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) (锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)A ．3B ．2 C. 3 D ．1[答案] D[解析] 本题考查了三视图及体积计算公式等．由图知平面P AB ⊥平面ABC ，PD ⊥AB ，PD ⊥平面ABC ，底面是边长为2的正三角形，∴V ＝13Sh ＝13×3×3＝1.由三视图找出垂直关系是关键．6．(2015·山东高考)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B ．4π3C.5π3 D ．2π[答案] C[解析] 梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥所得的组合体；所以该组合体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×12×2－13π×12×1＝2π－π3＝5π3.故选C.7．平面α与平面β平行的条件可以是( ) A ．α内有无穷多条直线与β平行 B ．直线a ∥α，a ∥βC ．直线a α，直线b β，且a ∥β，b ∥αD ．α内的任何直线都与β平行 [答案] D[解析] 选项A 有可能平行，也有可能相交；选项B 、C ，平面α与平面β可能相交；选项D 正确．8．如图，BCDE 是一个正方形，AB ⊥平面BCDE ，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有( )A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组[答案] B[解析] 与平面BCDE 垂直的平面有2个，与平面ABC 垂直的平面有2个，(含平面ABE ，不含平面BCDE )．与平面ABE 垂直的平面有2个(含平面ABC ，不含平面BCDE )，∴2＋2＋2－1＝5.9．有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为V 球和V 正，球的直径为d ，正方体的棱长为a ，则( )A ．d >a ，V 球>V 正B ．d >a ，V 球<V 正C ．d <a ，V 球>V 正D ．d <a ，V 球<V 正[答案] A[解析] S 球面＝4πr 2＝6a 2＝S 正方体， ∴r 2a 2＝64π，d 2a 2＝6π>1，∴d >a . V 球︰V 正＝43πr 3︰a 3＝πd 3︰6a 3＝d ︰a ，∴V 球>V 正．10．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3[答案] B[解析] 结合三视图可得几何体的直观图如图所示，其体积V ＝VABCD －A 1B 1C 1D 1－VD 1－A 1EF ，由三视图可得VABCD －A 1B 1C 1D 1＝6×6×3＝108cm 3，VD 1－A 1EF ＝13×12×4×4×3＝8cm 3，所以V＝100cm3，选B.11. 体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为()A．54 B．54πC．58 D．58π[答案] A[解析]设原圆锥的体积是x，则x－52x＝⎝⎛⎭⎫133，∴x＝54.12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝12，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A－BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等[答案] D[解析]本题主要考查线线垂直、线面平行、三棱锥的体积等知识，考查学生的推理论证能力．对于选项A，由正方体ABCD－A1B1C1D1得B1B⊥面AC，∴AC⊥B1B，又∵AC⊥BD，∴AC⊥面BDD1B1，BE面BDD1B1，∴AC⊥BE.对于选项B，由正方体ABCD－A1B1C1D1得B1D1∥BD，B 1D 1面ABCD ，BD 面ABCD ， ∴B 1D 1∥面ABCD ，∴EF ∥面ABCD .对于选项C ，V A －BEF ＝13×22×12×1×12＝224.∴三棱锥A －BEF 的体积为定值．对于选项D ，因线段B 1D 1上两个动点E ，F ，且EF ＝12，在E ，F 移动时，A 到EF 的距离与B 到EF 的距离不相等 ∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm 3的几何体的三视图，则h ＝________ cm.[答案] 4[解析] 该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×5×6×h ＝20，∴h ＝4 cm.14．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________． [答案]3π3[解析] 设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为h ，由⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π，πr 2＝π，得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝1.所以h ＝l2－r2＝ 3.于是，圆锥的体积为V＝13πr2h＝3π3.15．如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长等于________．[答案]17[解析]取A1B1的中点H，连接EH，FH，则EH＝4，FH＝1.由正三棱柱的性质知△EFH为直角三角形．所以EF＝FH2＋EH2＝17.16．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．[答案]②④⑤[解析]本题考查了空间几何体中点线面的位置关系．依题意，该四面体可看作是一个长方体截掉四个顶角后剩余部分，所以可以确定②④⑤正确．对于①，只有四面体ABCD是正四面体时才成立．对于③，取特例正四面体知夹角和为60°＋60°＋60°＝180°知③错．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)如图是一个几何体的主视图和俯视图．(1)试判断这个几何体是什么几何体；(2)请画出它的左视图，并求该左视图的面积．[解析](1)由题图中的主视图和俯视图知该几何体是正六棱锥．(2)该几何体的左视图如图所示．其中两腰为斜高，底边长为3a，三角形的高即为正六棱锥的高，且长为3a.所以该左视图的面积为123a·3a＝32a 2.18．(本小题满分12分)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D︰DC1的值．[解析](1)∵侧面BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1，又∵B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，∴B1C⊥平面A1BC1，又B1C平面AB1C∴平面AB1C⊥平面A1BC1 .(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．∵A1B∥平面B1CD，A1B平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，∴A1B∥DE.又E是BC1的中点，∴D为A1C1的中点．即A1D︰DC1＝1.19．(本小题满分12分)(2015·广东高考)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．[解析](1)因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD 平面PDC ， 所以BC ⊥PD .(3)取CD 的中点E ，连接AE 和PE ， 因为PD ＝PC ，所以PE ⊥CD ， 在Rt △PED 中，PE ＝PD 2－DE 2＝42－32＝7，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE 平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD ，由(2)知：BC ⊥平面PDC ，由(1)知：BC ∥AD ，所以AD ⊥平面PDC ，因为PD 平面PDC ，所以AD ⊥PD ， 设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为V三棱锥C －PDA ＝V 三棱锥P －ACD ，所以13S △PDA ·h ＝13S △ACD ·PE ，即h ＝S △ACD ·PE S △PDA＝12×3×6×712×3×4＝372， 所以点C 到平面PDA 的距离是372.20．(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明： GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．[解析] (1)∵BC ∥平面GEFH ，BC 平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，∴GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，∴GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于一点O ，BD 交EF 于K ，连接OP 、GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可证PO ⊥BD ，又∵BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，∴PO ⊥平面ABCD ，又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，PO ⊄平面GEFH ，∴PO ∥平面GEFH .又∵平面GEFH ∩平面PBD ＝GK ，∴PO ∥GK ，且GK ⊥平面ABCD ，∴GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．∵AB ＝8，EB ＝2，∴EB ︰AB ＝KB ︰DB ＝1︰4，∴KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点， 又∵PO ∥GK ，∴GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4. 又由已知得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6.∴GK ＝3.∴四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18. 21．(本小题满分12分)(北京高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 、PC 的中点，求证：(1)P A ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .[解析] (1)因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A 垂直于这两个平面的交线AD ，所以P A ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以四边形ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE 平面P AD ，AD 平面P AD ，所以BE ∥平面P AD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形，所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知P A ⊥底面ABCD .所以P A ⊥CD .所以CD ⊥平面P AD .所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF ，又因为CD ⊥BE ，BE ∩EF ＝E ， 所以CD ⊥平面BEF . 所以平面BEF ⊥平面PCD .22．(本小题满分12分)正三棱锥高为1，底面边长为26，内有一球与四个面都相切．(1)求棱锥的全面积；(2)求球的半径及表面积．[解析] (1)设底面中心为O ，D 为AB 中点，则VD 为斜高，OD ＝36AB ＝2，在Rt △VOD 中，VO ＝1，VD ＝1＋2＝ 3. ∴S 全＝34(26)2＋3×26×12×3＝63＋9 2. (2)解法一：设球的半径为R ，由△VO 1E ∽△VDO 有O 1E OD ＝VO 1VD ⇒R 2＝1－R 3⇒R ＝6－2， 故S 球＝4πR 2＝4π(6－2)2＝8(5－26)π.解法二：V V －ABC ＝13S △ABC ·h ＝13(S △ABC ＋S △VAB ＋S △VCB ＋S △VAC )R ，而S △ABC ＝34·(26)2＝6 3. S △VAB ＋S △VCB ＋S △VAC ＝3S △VAB ＝3·12·26·3＝9 2.故63·1＝(63＋92)R ⇒R ＝6－2， 故S 球＝4πR 2＝4π(6－2)2＝8(5－26)π.。
【成才之路】高中数学北师大版必修二课件简单多面体
[思路分析] 利用棱柱的定义进行判断． [规范解答] (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相 对的两个面作底面则底面都是四边形，其余各面都是矩形，当 然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行． (2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1， 其中△BEB1和△CFC1是底面，截面BCFE下方部分也是棱柱，且 是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底 面．
[规范解答] ①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱 锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的， 但截面和底面不平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的 平面去截棱锥，截面与底面之间的部分才是棱台．
[规律总结] 棱台的性质有： (1)侧棱延长后交于一点，侧面是梯形． (2)两底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所 示．
1.多面体 我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多__面__体__．其中 棱柱、棱锥、棱台都是_简__单__多__面__体___． 2．棱柱 (1)棱柱的有关概念 两个面_互__相__平__行_，其余各面都是_四__边__形__，并且每相邻两 个四边形的公共边都互__相__平__行__，这些面围成的几何体叫作棱 柱．两个互相平行的面叫作棱柱的_底__面___，其余各面叫作棱柱 的_侧__面__，棱柱的侧面是_平__行__四__边__形___．
面最多有2个矩形．
4．如图所示，正四棱锥S－ABCD的所有棱 长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面 SAC，则截面的面积为______．
[答案] 12a2 [解析] 根据正棱锥的性质，底面 ABCD 是正方形， ∴AC＝ 2a. 在等腰三角形 SAC 中，SA＝SC＝a，又 AC＝ 2a， ∴∠ASC＝90°，即 S△SAC＝12a2.
【成才之路】高中数学 本册综合测试2 北师大版必修2
【成才之路】2014-2015学年高中数学本册综合测试2 北师大版必修2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )A．－1 B．1C．3 D．－3[答案] B[解析] 该题考查圆的标准方程和一般方程的互化，以及圆与直线的关系，属简单题．圆的圆心为(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，∴－3＋2＋a＝0，∴a＝1.2．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为( )A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面[答案] A[解析] a与c可以相交、平行或异面，分别如下图中的(1)，(2)，(3)．3．下列四个结论：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] 所有结论都是错误的，故选A.4．分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离，则l1的方程是( )A ．x －y －4＝0B ．x ＋y －4＝0C ．x ＝1D ．y ＝3[答案] B[解析] 当l 1与l 2之间距离最大时，l 1⊥AB ，故l 1的斜率为－1.5．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或4[答案] D[解析] 由圆心(a,0)，半径2，弦长l ＝22， 得弦心距d ＝r 2－l22＝ 2.即(a,0)到直线x －y ＝2的距离为2， 所以|a －0－2|1＋1＝2，解得a ＝0或a ＝4.6．(2014·湖南理)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 本题考查三视图及球的基础知识．由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则r ＝6＋8＋82＋622－82＋62⇒r ＝2，故选B.直角三角形的内切圆半径为周长的一半减去斜边．7． 三棱锥P －ABC 中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝1，PB ＝PC ＝2，则点P 到平面ABC 的距离是( )A ．22 B ． 2C ．26D ．1[答案] A[解析] 取BC 中点D ，∵PB ⊥PC ，PB ＝PC ＝2， ∴PD ＝DC ＝12BC ＝1，连AD ，则AD ⊥BC ，且AD ＝32－1＝2，∴S △ABC ＝12×2×2＝ 2.由V P －ABC ＝V A －PBC ，∴13·S △ABC ·h ＝13·S △PBC ·PA ，∴13×2h ＝13×12×2，∴h ＝22. 8．从原点O 引圆(x －m )2＋(y －2)2＝m 2＋1的切线y ＝kx ，当m 变化时，切点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝3B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝3 D ．x 2＋y 2＝2[答案] A[解析] 设切点P (x ，y )，圆心C (m,2)，则在直角三角形OPC 中，由勾股定理可得m 2＋4＝m 2＋1＋x 2＋y 2，∴切点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3.9．如图所示，在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA 1、BB 1、CC 1的长度分别为10 m 、15 m 、30 m ，则立柱DD 1的长度是( )A ．30 mB ．25 mC ．20 mD ．15 m [答案] B[解析] 由题意知，CC 1－DD 1＝BB 1－AA 1＝5， ∴DD 1＝25 m.10．已知正四棱锥P －ABCD 的侧棱长为23a ，侧面等腰三角形的顶角为30°，则从点A 出发环绕侧面一周后回到点A 的最短距离为( )A ．22aB ．4aC ．6aD ．123a[答案] C[解析] 将四棱锥的侧面展开，如图．所求最短距离为AA ′，由AP ＝A ′P ＝23a ，∠APA ′＝4×30°＝120°， ∴AA ′＝AP ·cos30°×2＝23a ×32×2＝6a . 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则∠AOB ＝________.[答案] 120°[解析] 如图所示，作OD ⊥AB ，Rt △AOD 中，OA ＝1，AD ＝32，∴∠AOD ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.12．两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 的坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为________．[答案] (－2，－1)[解析] 两圆的圆心分别为O 1(－1,1)，O 2(2，－2)，直线O 1O 2的方程为y ＝－x . 由于两圆的交点为P ，Q 所以P ，Q 两点关于直线y ＝－x 对称． 又点P 的坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为(－2，－1)．13．若正三棱台的上、下底面的边长为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高是________． [答案]13[解析] 如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心，则A 1O 1＝23×32×2＝233，AO ＝83 3.连接O 1O ，则O 1O 为高． 所以O 1O ＝A 1A 2－AO －O 1A 12＝52－32＝13.14．(2014·山东文，14)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．[答案] (x －2)2＋(y －1)2＝4[解析] 本题考查圆的标准方程的求法，结合图形．∵圆心在x －2y ＝0上，设圆心(2b ，b )，由圆与y 轴相切，∴r ＝2|b | 又截x 轴弦长23，圆心到x 轴距离d ＝|b | ∴在Rt △ABC 中，r 2＝4b 2＝b 2＋(3)2，∴b 2＝1 又圆C 与y 轴正半轴相切． 故b >0，∴b ＝1.∴方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 该题要注意b 的正负号．15．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是________．(1)PB ⊥AD ；(2)平面PAB ⊥平面PBC ； (3)直线BC ∥平面PAE ；(4)∠PDA ＝45°. [答案] (4)[解析] 若PB ⊥AD ，则AD ⊥AB ，但AD 与AB 成60°角，(1)错误； 过A 作AG ⊥PB ，若平面PAB ⊥平面PBC ， ∴AG ⊥BC ， 又∵PA ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥AB ，矛盾，(2)错误；BC 与AE 是相交直线，∴直线BC 一定不与平面PAE 平行，(3)错误； 在Rt △PAD 中，由于AD ＝2AB ＝PA ， ∴∠PDA ＝45° ，(4)正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知点A (2，－1)，B (5,3)，若直线l ：kx －y ＋1＝0与线段AB 相交，求k 的取值范围．[解析] 解法一：由方程kx －y ＋1＝0可知， 直线l 恒过定点P (0,1)，如图所示，连接PA ，PB ，解得k PA ＝－1，k PB ＝25.又∵直线l 的斜率为k ， ∴k 的取值范围为－1≤k ≤25.解法二：由两点式求得直线AB 的方程为4x －3y －11＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －11＝0，kx －y ＋1＝0.解得x ＝－143k －4，满足2≤－143k －4≤5， 解得－1≤k ≤25.17．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积． [解析] (1)∵折起前AD 是BC 边上的高． ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ， 又DB ∩DC ＝D ， ∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD 平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ， ∵DB ＝DA ＝DC ＝1， ∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32， ∴表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.18．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .[解析] 思路分析：(1)从线面平行出发，证明面面平行． (2)由线面垂直，直接证明BC ⊥SA .本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF 平面ABC ，AB 平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC . 又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ， 又AF 平面SAB ，AF ⊥SB ， 所以AF ⊥平面SBC ，因为BC 平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ，AB 平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA 平面SAB ，所以BC ⊥SA .19．(本小题满分12分)求圆心在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上，且与x 轴，直线x ＝－12都相切的圆的方程．[解析] 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2，|b |＝r ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝r .即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋94＋b 2＝2，b 2＝a 2＋a ＋14.解得a ＝12，b ＝±1，r ＝1，故所求圆的方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝1或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝1. 20．(本小题满分13分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[解析] (1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE ⊥A 1C .又因为P 是等腰直角三角形DA 1C 底边A 1C 的中点， 所以A 1C ⊥DP . 所以A 1C ⊥平面DEP . 从而A 1C ⊥平面DEQ .故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ .21．(本小题满分14分)已知圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，且经过点A (5,2)，B (3,2)，(1)求圆C 的标准方程；(2)直线l 过点P (2,1)且与圆C 相交，所得弦长为26，求直线l 的方程； (3)设Q 为圆C 上一动点，O 为坐标原点，试求△OPQ 面积的最大值．[解析] (1)设圆心P (x 0，y 0)，由题意可知，圆心应在线段AB 的中垂线上，其方程为x ＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，2x －y －3＝0得圆心P (4,5)，∴半径r ＝|PA |＝10.∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离为2，符合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y －1＝k (x －2)，整理得kx －y ＋1－2k ＝0， 则圆心到直线的距离为d ＝|4k －5－2k ＋1|k 2＋1＝|2k －4|k 2＋1. 由题意可知，d 2＋(6)2＝r 2，即k －2k 2＋1＋6＝10，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y －2＝0或x ＝2. (3)直线OP 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0.∴圆心到直线的距离为d ＝|4－2×5|22＋1＝65 5. 则圆上的点到直线的最大距离为d ＋r ＝655＋10，又∵|OP |＝12＋22＝5，∴△OPQ 面积的最大值为12|OP |(d ＋r )＝12×5⎝ ⎛⎭⎪⎫655＋10＝3＋522.。
【成才之路】高中数学 第1章 立体几何初步基础巩固 北师大版必修2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第1章 立体几何初步基础巩固 北师大版必修2一、选择题1．若l ，m ，n 是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若α∥β，l α，n β，则l ∥nB ．若α⊥β，l α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥βD ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥m[答案] C[解析] 对于选项C ，若l ∥β，则在β内必有直线n 与l 平行，从而n ⊥α，于是α⊥β.2．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A ．4B ．2 3C ．2D ． 3[答案] B[解析] 本题考查了立体几何中的三视图知识及考生的空间想象能力．根据俯视图画出直观图如图所示设侧棱长和底面边长为a ，则体积 V ＝34a 2·a ＝23，∴a 3＝8，a ＝2. ∴左视图矩形ABCD 的面积S ＝32·a ·a ＝2 3. 3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A ，C ，B 1，D 1为顶点的正三棱锥的表面积为43，则正方体的棱长为( ) A ． 2B ．2C ．4D ．2 2[答案] A[解析] 设正方体的棱长为a ，则侧面的对角线长为2a ，∴正三棱锥B 1－ACD 1的棱长为2a ，它的全面积为4×34·(2a )2＝43，∴a 2＝2，a ＝ 2. 4．(广东高考)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m α，n β，则m ⊥ nB ．若α∥β，m α，n β，则m ∥nC ．若m ⊥ n ，m α，n β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β[答案] D[解析] 本题考查空间中直线与平面的平行与垂直关系．m ⊥α，m ∥n∴n ⊥α，又n ∥β，由面面垂直的判定定理知：α⊥β.二、填空题5．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去一角B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的________．[答案] 16[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则V 长方体＝abc ，VB 1－A 1BC 1＝VA 1－BB 1C 1＝13×12bc ×a ＝16abc ，即VB 1－A 1BC 1＝16V 长方体． 6．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径是________．[答案] 1[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ πr 2＋π2l 2＝3π，2πr ＝πl ，解得r ＝1，l ＝2.7．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3.[答案] 4[解析] 考查三视图和三棱锥的体积公式．该几何体直观图如图所示，其中AB ＝4，PF ＝2，CE ＝3.V P －ABC ＝13·S △ABC ·PF＝13×12×4×3×2＝4. 三、解答题8．如图所示，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别为BC 、AC 的中点，设AB ＝PA ＝2.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ；(2)如何在BC 上找一点F ，使AD ∥平面PEF ，请说明理由；(3)对于(2)中的点F ，求三棱锥B —PEF 的体积．[解析] (1)证明：∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE .又∵△ABC 是正三角形，E 为AC 中点，∴BE ⊥AC .又PA ∩AC ＝A ，∴BE ⊥平面PAC .∴平面PBE ⊥平面PAC .(2)解：取DC 中点F ，则F 即为所求．∵E 、F 分别是AC 、DC 的中点，∴EF ∥AD .又AD 平面PEF ，EF 平面PEF ，∴AD ∥平面PEF .(3)解：V B －PEF ＝V P －BEF ＝13S △BEF ·PA ＝13×12×34×34×22×2＝34.。
【成才之路】2021-2021学年高中数学 1.1.1 简单旋转体基础巩固 北师大版必修2(1)
【成才之路】2021-2021学年高中数学 1.1.1 简单旋转体基础巩固北师大版必修2一、选择题1．关于以下几何体，说法正确的选项是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[答案] D[解析] 图①与图④中几何体两个底面不相互平行，因此它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，因此它们不是圆锥．图⑤是圆台．2．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，那么圆柱的轴截面的面积为( )A．10 B．20C．40 D．15[答案] B[解析] 圆柱的轴截面是矩形，矩形的长宽别离为五、4，那么面积为4×5＝20.3．用一个平面去截一个几何体，取得的截面是四边形，那个几何体可能是( )A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上均有可能[答案] B[解析] 圆锥、球体被平面截后不可能是四边形，而圆柱被截后可能是四边形．4．充满气的车轮内胎可由图中哪个图形绕对称轴旋转生成( )[答案] C[解析] 汽车内胎是圆形筒状几何体．5．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是以下图中的( )[答案] B[解析] 由组合体的结构特点知，球只与正方体的上、下底面相切，而与双侧棱相离．故正确答案为B.6．已知球心到球的一个截面的距离为5，截面圆的半径为12，那么球的半径为( )A．13 B．12C．5 D．149[答案] A[解析] 设球的半径为R ，那么R ＝52＋122＝13.二、填空题 7．已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，假设上底面的半径为1，高为1，那么圆台的下底面半径为________．[答案] 2[解析] 设下底面半径为r ，那么r －11＝tan45°，∴r ＝2. 8．有以下说法：①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，取得的是一个圆；④空间中到必然点距离相等的点的集合是一个球．其中正确的有________．[答案] ①[解析] 球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封锁的几何体，不难明白得，半圆的直径确实是球的直径，半圆的圆心确实是球心，半圆的半径确实是球的半径，因此①正确；若是球面上的两点连线通过球心，那么这条线段确实是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应取得一个面而不是一条曲线，因此③错误；空间中到必然点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，因此④错误．三、解答题9．如下图，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截那个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的小圆锥的母线长是3 cm ，求圆台OO ′的母线长．[解析] 设圆台的母线长为l ，由截得圆台上、下底面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面半径别离为r,4r .过轴SO 作截面如下图．则△SO ′A ′∽△SOA ，∴SA ′SA ＝O ′A ′OA .又SA ′＝3，SA ＝3＋l ，O ′A ′＝r ，OA ＝4r ，∴33＋l ＝r 4r ＝14.解得l ＝9. 即圆台的母线长为9 cm.一、选择题1．以下命题中，错误的选项是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所有过极点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形[答案] B[解析] 当圆锥的轴截面顶角大于90°时，面积不是最大的．2．已知球的两个平行截面的面积别离为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么那个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 如图，设球的半径为R ，两截面圆的半径别离为r 1，r 2，那么πr 21＝5π，πr 22＝8π， ∴r 1＝5，r 2＝2 2.又O 1O 2＝1，取OO 2＝x ，那么有R 2＝5＋(x ＋1)2，R 2＝8＋x 2，∴5＋(x ＋1)2＝8＋x 2，∴x ＝1，∴R ＝3.二、填空题3．假设母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，那么圆锥的高是________．[答案] 22[解析] 如下图，设圆锥的底面半径为r ，那么圆锥的高是16－r 2，∵12·2r ·16－r 2＝8， ∴r ＝2 2.∴圆锥的高为16－222＝2 2.4．已知圆锥母线与旋转轴所成的角为30°，母线的长为2，那么其底面面积为________． [答案] π2[解析] 如下图，过圆锥的旋转轴作其轴截面ABC ，设圆锥的底面半径为r .∵△ABC 为等腰三角形，∴△ABO 为直角三角形．又∵∠BAO ＝30°，∴BO ＝r ＝12AB ＝22. ∴底面圆O 的面积为S ＝πr 2＝π2. 三、解答题5．如下图，已知AB 是直角梯形ABCD 与底边垂直的一腰．别离以AB ，CD ，DA 为轴旋转，试说明所得几何体的结构特点．[解析] (1)以AB 边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图(1)所示．(2)以CD 边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图(2)所示．(3)以AD 边为轴旋转取得一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3)所示．6．轴截面为正三角形的圆锥叫作等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为3，求该圆锥的底面半径、高和母线长．[解析] 如图△SAB 为等边圆锥的轴截面，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，那么在轴截面△SAB 中，有OB ＝r ，SO ＝h ，SB ＝l ，且∠SBO ＝60°.在直角△SOB 中，h ＝3r ，l ＝2r ，因此S △SAB ＝12×AB ×SO ＝rh ＝3r 2，依照题意得3r 2＝3， 解得r ＝1，因此l ＝2r ＝2，h ＝3r ＝ 3. 即该圆锥的底面半径为1，高为3，母线长为2.7．一个圆台的母线长为12cm ，两底面面积别离为4πcm 2和25πcm 2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解析] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图)．因为圆台上底面面积为4πcm 2，因此上底面半径为2cm.又因为圆台下底面面积为25πcm 2，因此下底面半径为5cm ，因此高为AM ＝122－5－22＝315(cm)．(2)延长BA ，CD 相交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 因为Rt △SAO 1∽Rt △SBO ，因此SA SB ＝AO 1BO ，即l －12l ＝25， 解得l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.。
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第一章§1 1.2
一、选择题
1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()
A．20 B．15
C．12 D．10
[答案] D
[解析]由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，五棱柱对角线的条数共有2×5＝10条．
2．下图中是四棱台的侧面展开图的是()
[答案] D
[解析]A，C都是四棱柱的侧面展开图，B是四棱锥的侧面展开图，D是四棱台的侧面展开图．
3．给出下列几个结论：
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
②多面体至少有四个面；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，错误的个数是()
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析]①显然是正确的；
对于②，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需要有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故②是正确的；
对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故③是正确的．4．一个棱柱是正四棱柱的条件是()
A．底面是正方形有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形且有一个顶点处的两条棱互相垂直
D．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形的四棱柱
[答案] D
[解析]对于A，满足了底面是正方形，但两个侧面是矩形并不能保证另两个侧面也是矩形(相对的两个面)；
对于B，垂直于底面的侧面不是面内所有直线都垂直于底面，因此，不能保证侧棱垂直于底面；
对于C，底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直；
对于D，侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征．故选D.
5．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是()
A．三棱锥B．四棱锥
C．五棱锥D．六棱锥
[答案] D
[解析]因为棱锥的各条棱都相等，所以侧面都是正三角形，又因为顶点处的各个面上顶角之和小于360°，从而侧面数小于6，故选D.
6．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、
左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正
方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方
体的下面是()
A．1 B．2
C．快D．乐
[答案] B
[解析]由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2
相对，0与快相对，所以下面是2.
二、填空题
7．如图所示，三棱台A′B′C′－ABC截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是________．
[答案]四棱锥
[解析]剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C.
8．下列命题中正确的是________．
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形，并且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥．
[答案]④
[解析]①不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心；②不能保证底面为正多边形，只能说明多边形共圆；③这个命题更具迷惑性，最关键的原因是不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故不正确，只有④正确．
三、解答题
9．正四棱台AC1的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台侧棱的长和斜高．
[解析]如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1和O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O，E1E，O1B1，OB，O1E1，OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形．
∵A1B1＝4cm，AB＝16cm，
∴O1E1＝2cm，OE＝8cm，O1B1＝22cm，OB＝82cm.
∴B1B2＝O1O2＋(OB－O1B1)2＝361cm2，
E1E2＝O1O2＋(OE－O1E1)2＝325cm2.
∴B1B＝19cm，E1E＝513cm.
即棱台的侧棱长为19cm，斜高为513cm.
一、选择题
1．已知长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为()
A．2 3 B．14
C．5 D．6
[答案] C
[解析] 设长方体的三条棱长分别为a 、b 、c ，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧ 2(ab ＋bc ＋ca )＝11，4(a ＋b ＋c )＝24， 即⎩⎪⎨⎪⎧
2(ab ＋bc ＋ca )＝11， ①a ＋b ＋c ＝6， ② 由②平方，得a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝36，
∴a 2＋b 2＋c 2＝25， 即a 2＋b 2＋c 2＝5.
2． 如图所示几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A ．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B ．该几何体有12条棱、6个顶点
C ．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D ．该几何体有9个面，其中一个为四边形，另外8个为三角形
[答案] D
[解析] 围成多面体的各个多边形叫作多面体的面，故四边形ABCD 不是该多面体的面．
二、填空题
3．下列三种叙述，其中正确的个数为________．
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是棱台
[答案] 0
[解析] ①中的平面不一定平行于底面，故①错误．②③可用反例去检验如图所示，故②③不对．
4．正四棱台两底面边长分别为3 cm 和5 cm ，那么它的中截面
(平行于两底面且与两底面距离相等的截面)的面积为________cm 2.
[答案] 16
[解析] 正四棱台的中截面是正方形，其边长为12
(3＋5)＝4(cm)．
由此S 截＝42＝16(cm 2)．
三、解答题
5．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，则侧面上的等腰三角形底边上的高为多少？
[解析] 如图所示，在正四棱锥S －ABCD 中，
高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7.
解Rt △SOA 得OA ＝2，则AC ＝4，
所以AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.
作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 的中点，
故OE ＝12
AB ＝ 2. 连接SE ，则SE 即为斜高，
在Rt △SOE 中，因为OE ＝2，SO ＝3，
所在SE ＝5，即侧面上的等腰三角形底边上的高为 5.
6．一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积．
[解析] 如图所示，正三棱柱ABC －A ′B ′C ′，符合题意的截面为△A ′BC .
在Rt △A ′B ′B 中，A ′B ′＝4，BB ′＝6，
∴A ′B ＝A ′B ′2＋BB ′2＝42＋62＝213.
同理A ′C ＝213，在等腰三角形A ′BC
中，O 为BC 的中点，BO ＝12
×4＝2， ∵A ′O ⊥BC ，∴A ′O ＝A ′B 2－BO 2＝(213)2－22＝4 3.
∴S △A ′BC ＝12BC ·A ′O ＝12
×4×43＝8 3. ∴此截面的面积为8 3.
7．如图所示，在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中．
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？
[解析](1)不对；水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形．
(2)不对；水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．
(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．。