2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷(6月份) (含答案解析)
2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷含答案
中考数学模拟试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.2的相反数是（ ）A. -2B. -C.D. 22.今年清明小长假期问，长春净月某景区接待游客约为51700人次，数字51700用科学记数法表示为（ ）A. 51.7×103B. 5.17×104C. 5.17×105D. 0.517×1053.如图所示的正六棱柱的主视图是（ ）A. B.C. D.4.不等式3x-3≤0解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.5.如图，AE∥DB，∠1=85°，∠2=28°，则∠C的度数为（ ）A. 55°B. 56°C. 57°D. 60°6.如图，要测量河两相对的两点P、A之间的距离，可以在AP的垂线PB上取点C，测得PC=100米，用测角仪测得∠ACP=40°，则AP的长为（ ）A. 100sin40°米B. 100tan40°米C.米 D. 米7.如图，O为圆心，AB是直径，C是半圆上的点，D是上的点．若∠BOC=40°，则∠D的大小为（ ）A. 110°B. 120°C. 130°D. 140°8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、B的坐标分别为（-1，1）、（3，0），直角顶点C在x轴上，在△ADE中，∠E=90°，点D在第三象限的双曲线y=上，且边AE经过点C．若AB=AD，∠BAD=90°，则k的值为（ ）A. 3B. 4C. -6D. 6二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.分解因式：a3b-ab=______．10.一元二次方程2x2-4x+1=0______实数根（填“有”或“无”）11.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为______（列出方程组即可，不求解）．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，按一下步骤作图：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作圆弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AB于点D，连结CD，若AC=8，BC=6，则CD的长为______．13.如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（-6，4），则△AOC的面积为______．14.在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示）．当直线y ＝m 与图象G 有4个交点时，则m 的取值范围是____．三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）15.如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、C ，点D 为⊙O 上一点，连结AD 、OD 、BD ，∠A =∠B =30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线．（2）若OA =5，求OA 、OD 与AD 围成的扇形的面积．四、解答题（本大题共9小题，共71.0分）16.先化简，再求值：（-1）÷，其中x =217.某校期末评选出四名“优秀课代表”，其中有2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为代表发言，请用画树状图（或列表）的方法，求恰好选中1男1女的概率．18.用A 、B 两种机器人搬运大米，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20袋大米，A 型机器人搬运700袋大米与B 型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A 、B 型机器人每小时分别搬运多少袋大米．19.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=2，DE=3，求菱形ABCD的面积．20.某校学生会为了解本校学生每天体育锻炼所用时间情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查确定调查对象时，大家提出以下几种方案：（A）对各班体育委员进行调査；（B）对某班的全体学生进行调查；（C）从全校每班随机抽5名学生进行调查在问卷调查时，每位被调查的学都选择了问卷中适合自己的十个时间段，学生会将收集到的数据整理后续制成如下的统计表：被调查的学生每天体育锻炼所用时间统计表组别时间x（小时）频数一0≤x≤0.515二0.6＜x≤127三1＜x≤1.538四 1.5＜x≤213五x＞27（1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案______（填A、B或C）；（2）被调查的学生每天体育锻炼所用时间的中位数落在______组；（3）根据以上统计结果，估计该校900名学生中每天体育锻炼时间不超过0.5小时的人数，并根据你计算的结果提出一条合理化建议．21.一辆轿车从甲地驶往乙地，到达乙地后立即返回甲地，速度是原来的1.5倍，往返共用t小时；一辆货车同时从甲地驶往乙地，到达乙地后停止，两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为x（h），两车离开甲地的距离为y（km），两车行驶过程中y与x之间的函数图象如图所示．（1）轿车从乙地返回甲地的速度为______km/h，t=______；（2）求轿车从乙地返回甲地时y与x之间的函数关系式；（3）当轿车从甲地返回乙地的途中与货车相遇时，求相遇处到甲地的距离．22.图①、图②、图③均为方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．【探究】在图①中，点A、B、C、D均为格点．证明：BD平分∠ABC．【应用】在图②、图③中，点M、O、N均为格点．（1）利用【探究】的方法，在图②、图③中分别找到一个格点P，使OP平分∠MON ．要求：图②、图③中所画的图形不相同，保留画图痕迹．（2）cos∠MOP的值为______．23.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=3动点P从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C运动．过点P（不与点A、C重合）作EF⊥AC，交AB 或BC于点E，交AD或DC于点F，以EF为边向右作正方形EFGH设点P的运动时间为t秒．（1）①AC=______．②当点F在AD上时，用含t的代数式直接表示线段PF的长______．（2）当点F与点D重合时，求t的值．（3）设方形EFGH的周长为l，求1与t之间的函数关系式．（4）直接写出对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值．24.在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′=，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（-5，6）的“伴随点”为点（-5，-6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y=kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y=kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y=-x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD=DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y=-x2+n（-1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：2的相反数是-2．故选：A．利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：51700=5.17×104．故选：B．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：从正面看是左右相邻的3个矩形，中间的矩形的面积较大，两边相同．故选：A．根据主视图是从正面看到的图象判定则可．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4.【答案】D【解析】解：3x-3≤0，3x≤3，x≤1，故选：D．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5.【答案】C【解析】解：∵AE∥DB，∠1=85°，∴∠ADB=∠1=85°，∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠C=∠ADB-∠2=85°-28°=57°，故选：C．依据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠C的度数．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．6.【答案】B【解析】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=40°，在Rt△APC中，tan∠ACP=，∴小河宽PA=PC tan∠PCA=100tan40°米．故选：B．在Rt△APC中，由PC的长及tan∠PCA的值可得出AP的长．考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．7.【答案】A【解析】解：∵∠BOC=40°，∴∠AOC=180°-40°=140°，∴∠D==110°，故选：A．根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．8.【答案】D【解析】解：∵点A、B的坐标分别为（-1，1）、（3，0），∴AC=1，BC=4，∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°，而∠BAC+∠ABC=90°，∴∠DAE=∠ABC，在△ADE和△BAC中，∴△ADE≌△BAC（AAS），∴DE=AC=1，AE=BC=4，∴D（-2，-3），∵点D在第三象限的双曲线y=上，∴k=-2×（-3）=6．故选：D．利用点A、B的坐标得到AC=1，BC=4，再证明△ADE≌△BAC得到DE=AC=1，AE=BC=4，从而得到D（-2，-3），然后把点D坐标代入y=可求出k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．9.【答案】ab（a+1）（a-1）【解析】解：原式=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）．故答案为：ab（a+1）（a-1）．先提取公因式ab，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2-b2=（a-b）（a+b ）．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．10.【答案】有【解析】解：因为△=（-4）2-4×2×1=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故答案为有．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．11.【答案】【解析】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：．故答案为．根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般．12.【答案】5【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB===10．∵由题意可知，EF是线段AB的垂直平分线，∴点D是线段AB的中点，∴CD=AB=5．故答案为：5．先根据勾股定理求出AB的长，再由作图的方法得出EF是线段AB的垂直平分线，故可得出点D是线段AB的中点，由直角三角形的性质即可得出结论．本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．13.【答案】9【解析】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（-6，4），∴点D的坐标为（-3，2），把（-3，2）代入双曲线，可得k=-6，即双曲线解析式为y=-，∵AB⊥OB，且点A的坐标（-6，4），∴C点的横坐标为-6，代入解析式y=-，y=1，即点C坐标为（-6，1），∴AC=3，∴S△AOC=×AC×OB=9．故答案为：9．要求△AOC的面积，已知OB为高，只要求AC长，即点C的坐标即可，由点D为三角形OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（-6，4），可得点D的坐标为（-3，2），代入双曲线可得k，又AB⊥OB，所以C点的横坐标为-6，代入解析式可得纵坐标，继而可求得面积．本题考查反比例函数系数k的几何意义及其函数图象上点的坐标特征，体现了数形结合的思想．14.【答案】-＜m＜0【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换、二次函数的性质等知识点，根据翻折变换规律得到抛物线G的顶点坐标是解题的难点．如图，通过y=-x2+x+6=-（x-）2+和对称的性质得到D（，-），结合函数图象得到答案．【解答】解：y=-x2+x+6=-（x-）2+．因为新函数的图象G是由二次函数y=-x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方得到的，所以新函数的图象G的顶点坐标D（，-），当直线y=m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是-＜m＜0．故答案是：-＜m＜0．15.【答案】解：（1）证明：∵∠ADO=∠BAD=30°，∴∠DOB=60°∵∠ABD=30°，∴∠ODB=90°∴OD⊥BD．∵点D为⊙O上一点，∴BD是⊙O的切线．（2）解：∵∠DOB=60°，∴∠AOD=120°．∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为．【解析】（1）求出∠A=∠ADO=30°，求出∠DOB=60°，求出∠ODB=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据扇形的面积公式即可求出答案．本题考查了圆周角定理，切线的判定，扇形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．16.【答案】解：原式=•=-x+1当x=2时原式=-2+1=-1．【解析】先将分式化简，再选择适当的x值代入求值即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17.【答案】解：由题意可得，恰好选中1男1女的概率是：．【解析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．18.【答案】解：设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x-20）袋，依题意得：=，解这个方程得：x=70经检验x=70是方程的解，所以x-20=50．答：A型机器人每小时搬大米70袋，则B型机器人每小时搬运50袋．【解析】工作效率：设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x-20）袋；工作量：A型机器人搬运700袋大米，B型机器人搬运500袋大米；工作时间就可以表示为：A型机器人所用时间=，B型机器人所用时间=，由所用时间相等，建立等量关系．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．19.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=2，DE=OC=3．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=6，BD=2OD=4，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=×6×4=12．【解析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．考查了矩形的判定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角．20.【答案】C三【解析】解：（1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择方案C，故答案为：C．（2）由于共有100个数据，其中位数是第50、51个数据的平均数，而第50、51个数据均落在第三组，所以被调查的学生每天体育锻炼所用时间的中位数落在第三组，故答案为：三．（3）900×=135（人）答：该校900名学生中每休育锻炼时间不超过0.5/小时的约有135人．建议：学生应加强体育锻炼，保证每天的锻炼时间最好在1个小时以上等．（1）由抽样调查的数据需要具有代表性求解可得；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．21.【答案】120【解析】解：（1）轿车从甲地到乙地的速度是：=80（千米/小时），则轿车从乙地返回甲地的速度为80×1.5=120（千米/小时），则t=+=（小时）．故答案是：120，；（2）设y与x的函数解析式是y=kx+b，则，解得：，则函数解析式是y=-120x+300；（3）设货车的解析式是y=mx，则2m=120，解得：m=60，则函数解析式是y=60x．根据题意得：，解得：，则轿车从甲地返回乙地的途中与货车相遇时，相遇处到甲地的距离是100千米．（1）根据图象可得当x=小时时，据甲地的距离是120千米，即可求得轿车从甲地到乙地的速度，进而求得轿车从乙地返回甲地的速度和t的值；（2）利用待定系数法即可求解；（3）利用待定系数法求得轿车从乙地到甲地的函数解析式和货车路程和时间的函数解析式，求交点坐标即可．本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，正确解函数的解析式是关键．22.【答案】【解析】【探宄】证明：∵AB==5，BC=5，∴AB=BC∵AD=CD==．BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC．【应用】解：（1）射线OP如图所示．（2）如图②连接MN交OP于K，∵四边形OMPN是菱形，∴MN⊥OP，∵OP=，OM=5，∴OK=，∴cos∠MOP==．探究：通过计算证明利用SSS证明三角形全等即可解决问题．应用：（1）根据要求画出图形即可．图②中，构造边长为5的菱形即可解决问题．图③中，构造全等三角形解决问题即可．（2）利用菱形的性质解决问题即可．本题考查作图-应用与设计，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】15 8t【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴AC====15；故答案为：15；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，AD=BC=3，CD=AB=6，∵EF⊥AC，∴∠APF=90°=∠D，∵∠PAF=∠DAC，∴△APF∽△ADC，∴=，即=，解得：PF=8t；故答案为：8t；（2）当点F与点D重合时，如图1所示：∵∠APD=∠ADC=90°，∠PAD=∠DAC，∴△APD∽△ADC，∴=，即=，解得：t=；（3）分情况讨论：①当0＜t≤时，如图2所示：由（1）②得：PF=8t，同理：PE=2t，∴EF=10t，∴l=4（8t+2t）=40t；②当＜t≤3时，如图3所示：EF=10t=，l=4×=30．③当3＜t＜时，如图4所示：同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，∴=，=，即=，=，解得：PF=（15-4t），PE=2（15-4t），∴EF=PF+PE=（15-4t），∴l=4×（15-4t）=-40t+150；（4）如图3所示：对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时，则PE：PF=1：2，或PF：PE=1：2，①PE：PF=1：2时，∵EF=，∴PF=EF=5，同理可证：△CPF∽△CDA，∴=，即=，解得：PF=（15-4t），∴（15-4t）=5，解得：t=；②PF：PE=1：2时，PF=EF=，则（15-4t）=，解得：t=；综上所述，对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值为或．（1）①由矩形的性质和勾股定理即可得出结果；②由矩形的性质得出∠D=90°，AD=BC=3，CD=AB=6，证明△APF∽△ADC，得出=，即可得出结果；（2）当点F与点D重合时，证明△APD∽△ADC，得出=，即可得出结果；（3）分情况讨论：①当0＜t≤时，由（1）②得：PF=8t，同理：PE=2t，得出EF=10t，即可得出结果；②当＜t≤3时，EF=10t=，即可得出结果；③当3＜t＜时，同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，得出=，=，得出PF=（15-4t），PE=2（15-4t），求出EF=PF+PE=（15-4t）即可；（4）由题意得出PE：PF=1：2，或PF：PE=1：2，①PE：PF=1：2时，得出PF=EF=5，同理可证：△CPF∽△CDA，得出=，即可得出结果；②PF：PE=1：2时，PF=EF=，则（15-4t）=，解得：t=即可．本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键．24.【答案】解：（1）由题意得：点A'的坐标为（2，1）（2）①当m≥0时，m+1=2，m=1∴B（1，2）∵点B在一次函数y=kx图象上，∴k+3=2，解得：k=+1∴一次函数解析式为y=-x+3②m＜0时，m+1=-2，m=-3∴B（-3，-2）∵点B在一次函数y=kx+3图象上，∴-3k+3=-2解得：k=一次函数解析式为y=x+3．（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y=-x2+4的图象上，∴点C的坐标为（n，-n2+4），∴点D的坐标为（-n，-n2+4），D′（-n，n2-4）∵CD=DD′，∴2n=2（n2+4），解得：n=；∵点C在第一象限，∴D′的横坐标为；（4）-2≤n≤0、1≤n≤3，当左边的抛物线在上方时，如图①、图②：-2≤n≤0；当右边的抛物线在上方时，如图③、图④：1≤n≤3．【解析】（1）由题意即可求解；（2）分m≥0、m＜0两种情况分别求解即可；（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y=-x2+4的图象上，CD=DD′，即可求解；（4）通过画图即可求解．本题为二次函数综合应用题，此类新定义类型题目，通常按照题设顺序逐次求解，比较容易求解．。
2020年长春市中考数学模拟试卷及答案解析
2020年长春市中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列四个数中，最小的数是（）A．−43B．﹣1C．0D．22．（3分）长白山位于吉林省延边州安图县和白山市抚松县境内，是中朝两国的界山、中华十大名山之一、国家5A级风景区．今年十一期间长白山景区共接待游客18.14万人次，将18.14万用科学记数法表示为（）A．18.14×104B．1.814×104C．1.814×105D．1.814×106 3．（3分）李明为好友制作一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（）A．B．C．D．4．（3分）如果关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集为（）A．x≥﹣1B．x＜2C．﹣1≤x≤2D．﹣1≤x＜2 5．（3分）《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（ ）A ．{8y −x =37y −x =4B ．{8y −x =37y −x =−4C ．{y −8x =−37y −x =−4D ．{8y −x =37y −y =4 6．（3分）如图，⊙O 的半径为6cm ，四边形ABCD 内接于⊙O ，连结OB 、OD ，若∠BOD＝∠BCD ，则劣弧BD̂的长为（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．1π7．（3分）在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A 离地面的高度AC＝m ，钢管与地面所成角∠ABC ＝∠a ，那么钢管AB 的长为（ ）A ．m cosaB ．m •sin aC ．m •cos aD ．m sina8．（3分）如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y =6x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC ﹣S △BAD 为（ ）A ．36B ．12C ．6D ．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：16x 4﹣1＝ ．。
2020年吉林省长春市中考数学试题(解析版)
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×1053．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费元．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为度．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留π）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为千米/时，a的值为．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．2020年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.2【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱进行解答即可．【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱．故选：A．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．【解答】解：x≥3﹣2，x≥1，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝【分析】根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故选项A，B，D正确，故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4【分析】设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．【解答】解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，∴OB＝3，AB＝2，设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，∴△PCD∽△ACB，∴，∵AP＝2PC，∴，∴PD＝，CD＝1﹣c，∴OD＝OC+CD＝1+c，∴P（1+c，），把P（1+c，）代入函数y＝（x＞0）中，得k＝c，∵0≤c≤3∴，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费（30m+15n）元．【分析】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．【解答】解：根据单价×数量＝总价得，共需花费（30m+15n）元，故答案为：（30m+15n）．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为72度．【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．【解答】解：正五边形的一个外角＝＝72°．故答案为：72．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为π﹣2（结果保留π）．【分析】利用勾股定理求出AC，证明∠C＝45°，根据S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB计算即可．【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴∠C＝∠BAC＝45°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，故答案为π﹣2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2＝a2+7．当a＝时，原式＝（）2+7＝9．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【分析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可．【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？【分析】设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价＝总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：﹣＝20，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．【分析】（1）由平行四边形性质得OB＝OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；（2）由（1）得OE＝OF，则OE＝2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，在△OEB和△OFD中，，∴△OEB≌△OFD（AAS），∴OE＝OF；（2）解：由（1）得：OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵BE⊥AC，∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是2018年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为7天，平均数为8天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为89%（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．【分析】（1）从折线统计图可得答案；（2）利用中位数、众数的意义分别计算即可；（3）分别计算从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数，进而利用增长率计算结果；（4）根据空气质量的等级天数进行判断即可．【解答】解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43﹣30＝13天；2016年，51﹣43＝8天；2017年，65﹣51＝14天；2018年，123﹣65＝58天；2019年，126﹣123＝3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为≈89%，故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为40千米/时，a的值为480．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a＝240×2＝480；（2）运用待定系数法解得即可；（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．（2）证明∠QFP＝∠FPQ即可解决问题．（3）证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF＝m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°，由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA＝DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴QF＝QP，∴△PFQ是等腰三角形．（3）如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG＝GQ＝FQ＝PF，∵QF＝QP，∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m，∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，∴∠DQD′＝30°，∵∠D′＝90°，∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，∴＝＝．故答案为．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．【分析】（1）根据AB＝4，构建方程求解即可．（2）分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出EC即可．（3）求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围．（4）分两种情形：如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时．如图⑦中，当点P 在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．【解答】解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝．（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin A＝，cos A＝，如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cos A＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cos C＝，∴EC＝PC•cos C＝（7﹣5t）＝﹣3t．（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，如图④中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝P A•sin A＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t＝．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE＝PC•sin C＝（7﹣5t）＝﹣4t，∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，∴﹣4t＝5t﹣，解得t＝．∵△PDQ是锐角三角形，∴观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜或＜t＜．（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，过点Q作QG⊥AB于G，延长QM交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，∴BN＝NH，在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，∴QG＝PQ＝t，在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，∵BC＝BH+CH＝t+t+t＝3，解得t＝．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，过点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．∵QM∥BC，DM＝PM，∴DH＝2PK，在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），∴PK＝PQ＝（7﹣5t），在Rt△DCH中，DH＝DC＝t，∵DH＝2PK，∴t＝2×（7﹣5t），解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．【分析】（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，最低点就是A（0，﹣1），则2a﹣（﹣1）＝2，即可得出结果；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；（4）易证直角边为EF与FG，由抛物线的对称轴为x＝a，A（0，﹣1），则AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，PP′＝2（a+1），则﹣2a＝2×2（a+1），即可得出结果；当点P 在FG边上时，求出PP′＝2，则﹣2a＝4，即可得出结果．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，∴点A的坐标为：（0，﹣1）；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得：2＝1﹣2a﹣1，解得：a＝﹣1，∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A（0，﹣1），∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，∴2a﹣（﹣1）＝2，解得：a＝；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，如图3所示：∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，整理得：（a+1）2＝2，解得：a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+（不合题意舍去）；综上所述，a的值为或﹣1﹣；（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），∴直角边为EF与FG，∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1），∴AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，如图4所示：则x p＝﹣1，∵EA＝OA＝1，∴点P在对称轴x＝a的左侧，∴PP′＝2（a+1），∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝2×2（a+1），解得：a＝﹣；当点P在FG边上时，如图5所示：则y p＝a﹣1，∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，解得：x1＝a+，x2＝a﹣，∴PP′＝a+﹣（a﹣）＝2，∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝4，解得：a1＝﹣，a2＝0（不合题意舍去）；综上所述，a的值为﹣或﹣．第31页（共31页）。
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题（共8小题）.1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣12．今年初，党中央、国务院对湖北共派遣援鄂抗役医务人员42000多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：42000这个数用科学记数法表示为（）A．42×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×1033．某立体图形的左视图如图所示，则该立体图形不可能（）A．B．C．D．4．不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．7．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．化简：﹣＝．10．因式分解：m2﹣4m+4＝．11．关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．12．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝．13．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为cm．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为．三、解答题：共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．先化简，再求值（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a＝．16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．17．今年初，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．21．小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．（1）无人机上升的速度为米/分，无人机在40米的高度上飞行了分．（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB（请写出完整的证明过程）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝18，则DE的长为．23．在△ABC中，AC＝5，BC＝4，∠B＝45°，点D在边AB上，且AD＝3，动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形PDMN，设点P运动的时间为t秒，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段PD的长．（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点N'，当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时，求t的值．24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】直接利用数轴得出结果即可．解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，故选：D．2．今年初，党中央、国务院对湖北共派遣援鄂抗役医务人员42000多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：42000这个数用科学记数法表示为（）A．42×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×103【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．10的指数n＝原来的整数位数﹣1．解：42000＝4.2×104，故选：B．3．某立体图形的左视图如图所示，则该立体图形不可能（）A．B．C．D．【分析】找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可．解：各选项中只有选项D从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，1，故选：D．4．不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用不等式的基本性质，移项后再除以2，不等号的方向不变．解：移项，得2x≤2，系数化为1，得x≤1，不等式的解集在数轴上表示如下：．故选：D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得，故选：C．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；故选：C．7．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．【分析】作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，利用三角函数解答即可．解：如图，作BC⊥AC，垂足为C．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝32°，AB＝50×16＝800（米），sin∠BAC＝，∴BC＝sin∠BAC•AB＝800•sin32°．故选：A．8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），进而可得出结论．解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠OAM＝∠BON，∴△AOM∽△OBN，∵点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上，∴S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），∴AO：BO＝1：，∵OB：OA＝2，∴a＝﹣4，故选：A．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．化简：﹣＝．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．解：原式＝2﹣＝．故答案为：．10．因式分解：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．解：原式＝（m﹣2）2．故答案为：（m﹣2）2．11．关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为﹣．【分析】根据关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根可得△＝（﹣3）2﹣4×2（﹣k）＝0，求出k的值即可．解：∵关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×2（﹣k）＝0，∴9+8k＝0，∴k＝﹣．故答案为：﹣．12．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝30°．【分析】作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案．解：作出辅助线如图：则∠2＝42°，∠1＝∠3，∵五边形是正五边形，∴一个内角是108°，∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠3＝30°，∴∠1＝∠3＝30°．故答案为：30°．13．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为（16+3）cm．【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分得出AD＝10，进而得出A′C＝16，从而得出FA″＝3，得出答案即可．解：∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．∴AD＝10，∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，∴A′C＝16，∴AO＝A″O＝6，则钟面显示3点55分时，∠A″OA′＝45°，∴FA″＝3，∴A点距桌面的高度为：16+3（cm）．故答案为：（）．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为6．【分析】设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，由抛物线的对称性结合BC═2（AE+AF），即可求出结论．解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．故答案为：6．三、解答题：共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．先化简，再求值（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a＝．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．解：原式＝a2﹣2a+1﹣2a2+2a+4a2﹣1＝3a2，当a＝时，原式＝3×5＝15．16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．【分析】首先根据题意列表求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：根据题意，列表如下：1271238234978914所以P（两次抽取的卡片上数字之和为偶数）＝．17．今年初，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．【分析】设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个．则第二次购进口罩的单价为1.4x 元/个，根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进了10000个，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个．则第二次购进口罩的单价为 1.4x 元/个，依题意，得：，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．答；该爱心人士第一次购进口罩的单价为5元/个．18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．【分析】（1）连接OD，如图，由切线的性质得到OD⊥BC，则OD∥AC，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ODA，由∠ODA＝∠OAD，所以∠CAD＝∠DAE；（2）由（1）知，∠FAE＝50°，由弧长公式可得答案．解：（1）如图，连结OD，∵⊙O与边BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠ODB＝90°，∴OD∥AC．∴∠CAD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）如图，连结OF，∵AD平分∠BAC，且∠CAD＝25°，∴12﹣3＝9，∴∠EOF＝100°，∴的长为．19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为18；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m的值；（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．解：（1）由图可得，众数m的值为18，故答案为：18；（2）由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，故答案为：中位数；（3）300×＝100（名），答：该部门生产能手有100名工人．20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质画图即可；（2）根据相似三角形的性质，构造相似三角形即可；（3）由相似三角形的性质，构造相似三角形即可．解：（1）如图①所示，点C即为所求；（2）如图②所示，点M即为所求；（3）如图③所示，点P即为所求．21．小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．（1）无人机上升的速度为20米/分，无人机在40米的高度上飞行了3分．（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．【分析】（1）利用图象信息，根据速度＝计算即可解决问题；（2）利用待定系数法即可解决问题；（3）求出无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y＝20x﹣60（5≤x≤6），分两种情形构建方程即可解决问题；解：（1）无人机上升的速度为＝20米/分，无人机在40米的高度上飞行了6﹣1﹣2＝3分．故答案为20，3；（2）设y＝kx+b，把（9，60）和（12，0）代入得到，解得，∴无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+240．（3）易知无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y＝20x﹣60（5≤x≤6），由20x﹣60＝50，解得x＝5.5，由﹣20x+240＝50，解得x＝9.5，综上所述，无人机距地面的高度为50米时x的值为5.5和9.5．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB（请写出完整的证明过程）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝18，则DE的长为6．【分析】教材呈现：如图①中，证明△PAC≌△PBC即可解决问题．定理应用：（1）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可．【解答】教材呈现：解：如图①中，∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）证明：如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．∵直线l是边AB的垂直平分线，∴OA＝OB，又∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴OA＝OC，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（2）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝18，∴DE＝AC＝6．故答案为6．23．在△ABC中，AC＝5，BC＝4，∠B＝45°，点D在边AB上，且AD＝3，动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形PDMN，设点P运动的时间为t秒，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段PD的长．（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点N'，当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时，求t的值．【分析】（1）分0＜t≤3时，3＜t≤7时，两种情形分别求解即可．（2）分两种情形①如图2中，当点N在AC上时，②如图3中，当点N在BC上时，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）分三种情形：①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，②如图5或6中．当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN．③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，分别求解即可．（4）分三种情形画出图形，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．解：（1）如图1中，作CD′⊥AB于D．∵∠B＝45°，BC＝4，∴CD′＝BD′＝4，∴AD′＝＝＝3，∵AD＝3，∴AD＝AD′，∴D′与D重合，当0＜t≤3时，PD＝3﹣t．当3＜t≤7时，PD＝t﹣3；（2）①如图2中，当点N在AC上时，∵MN∥AD，∴，∴，解得t＝；②如图3中，当点N在BC上时，∵MN∥BD，∴，∴，解得t＝5；综上所述，满足条件的t的值为s或5s．（3）①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，S＝S正方形MDPN﹣S△NEF＝（3﹣t）2﹣•（3﹣t﹣t）2＝﹣t+；②如图5或6中，当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN，S＝t2﹣6t+9③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，S＝S正方形MNPD﹣S△EFN＝（t ﹣3）2﹣•[（t﹣3）﹣（7﹣t）]2＝﹣t2+14t﹣41．综上所述，S＝．（4）如图8中，当点N′落在中线AE上时，作EK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．∵JN′∥EK，∴，则，解得t＝1；如图9中，当点N′落在中线BG上时，作GK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．∵N′J∥GK，∴，∴，解得t＝；如图10中，当点N′落在中线CF上时，∵MN′∥DF，∴，∴＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为1s或s或s．24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．【分析】（1）由题意即可求解；（2）分m≥0、m＜0两种情况分别求解即可；（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，CD＝DD′，即可求解；（4）通先分段表示出y'，进而确定出最大值，最后用m的范围建立不等式组，即可得出结论．解：（1）由题意得：点A'的坐标为（2，1）（2）①当m≥0时，m+1＝2，m＝1∴B（1，2）∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，∴k+3＝2，解得：k＝﹣1∴一次函数解析式为y＝﹣x+3②m＜0时，m+1＝﹣2，m＝﹣3∴B（﹣3，﹣2）∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，∴﹣3k+3＝﹣2解得：k＝一次函数解析式为y＝x+3．（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，∴点C的坐标为（n，﹣n2+4），∴点D的坐标为（﹣n，﹣n2+4），D′（﹣n，n2﹣4）∵CD＝DD′，∴2n＝2（﹣n2+4），解得：n＝；∵点C在第一象限，∴D′的横坐标为；（4）当﹣1≤x≤0时，y'＝x2﹣n，此时，﹣n≤y'≤1﹣n，当0≤x≤2时，y'＝﹣x2+n，此时，n﹣4≤y'≤n，当n≥1﹣n时，即：n≥，y'的最大值是n，①∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），∴1≤n≤3，当n＜时，y'最大值为1﹣n，②∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），∴1≤1﹣n≤3，∴﹣2≤n≤0，∴n的取值范围应为1≤n≤3或﹣2≤n≤0．。
2020年吉林省长春市中考数学试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．1-B． 1.5--C．3-D． 4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为() A．3⨯D．50.7910⨯7.9107910⨯B．47.910⨯C．53．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A．B．C．D．x+的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式23A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为A∠，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算A∠的三角函数值，进而可求A∠的大小．下列关系式正确的是()A．sinBDAAB=B．cosABAAD=C．tanADABD=D．sinADAAB=6．（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC∠=︒，则AOC∠的大小为()A．40︒B．140︒C．160︒D．170︒7．（3分）如图，在ABC∆中，90BAC∠=︒，AB AC>．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是()A．BDN CDN∠=∠B．2ADC B∠=∠C．ACD DCB∠=∠D ．290B ACD ∠+∠=︒8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2AP PC =，函数(0)ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是( )A ．02k <B ．233k C ．223k D ．843k 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 元． 10．（3分）分解因式：24a -= ．11．（3分）若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 度．13．（3分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 （结果保留)π．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(3)2(31)a a -+-，其中2a =．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B17．（6分）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB 为边画ABC ∆． 要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点C 在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE AC⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE OF=．（2）若5∠的值．OF=，求tan OBEBE=，220．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．20142019-年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%)． （空气质量为“优”的天数的增长率100%)""-""=⨯""今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时)之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 千米/时，a 的值为 ． （2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A DE '为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC QP =时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上．要使四边形PGQF 为菱形，则ADAB= ．23．（10分）如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值． （2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数221(y x ax a =--为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x 时，若函数221(y x ax a =--为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -．当函数221(y x ax a =--为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为(P P ''与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP '='，直接写出a 的值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．1-B． 1.5-C．3-D． 4.2-解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于4-，-，且小于2因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为() A．30.7910⨯D．57.910⨯⨯C．57910⨯B．47.910解：79000这个数用科学记数法表示为：47.910⨯．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A．B．C．D．解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形．故选：A．x+的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式23A．B．C．D．解：32x-，1x，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为A∠，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算A∠的三角函数值，进而可求A∠的大小．下列关系式正确的是()A．sinBDAAB=B．cosABAAD=C．tanADABD=D．sinADAAB=解：在Rt ABD∆中，90ADB∠=︒，则sinBDAAB=，cosADAAB=，tanBDAAD=，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC∠=︒，则AOC∠的大小为()A．40︒B．140︒C．160︒D．170︒解：222040BOC BDC ∠=∠=⨯︒=︒， 18040140AOC ∴∠=︒-︒=︒．故选：B ．7．（3分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC >．按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ； ②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连结CD ． 下列说法不一定正确的是( )A ．BDN CDN ∠=∠B ．2ADC B ∠=∠ C ．ACD DCB∠=∠D ．290B ACD ∠+∠=︒解：由作图可知，MN 垂直平分线段BC ， DB DC ∴=，MN BC ⊥，BDN CDN ∴∠=∠，DBC DCB ∠=∠， 2ADC B DCB B ∴∠=∠+∠=∠， 90A ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒， 290B ACD ∴∠+∠=︒，故选项A ，B ，D 正确， 故选：C ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2AP PC =，函数(0)ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是( )A ．02k <B ．233k C ．223k D ．843k 解：点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ， 3OB ∴=，2AB =，设(C c ，0)(03)c ，过P 作PD x ⊥轴于点D ， 则3BC c =-，//PD AB ，OC c =， PCD ACB ∴∆∆∽， ∴PD CD CPAB CB CA==，2AP PC =， ∴1233PD CD c ==-， 23PD ∴=，113CD c =-， 213OD OC CD c ∴=+=+，2(13P c ∴+，2)3，把2(13P c +，2)3代入函数(0)ky x x =>中，得2439k c =+， 03c∴223k ， 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 (3015)m n + 元． 解：根据单价⨯数量=总价得，(3015)m n +元， 故答案为：(3015)m n +．10．（3分）分解因式：24a -= (2)(2)a a +- ． 解：24(2)(2)a a a -=+-．11．（3分）若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 1 ．解：关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根， ∴△0=，2(2)40m ∴--=，1m ∴=，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 72 度． 解：正五边形的一个外角360725︒==︒． 故答案为：72．13．（3分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 2π- （结果保留)π．解：2AB CB ==，90ABC ∠=︒，22222222AC AB BC ∴=+=+=45C BAC ∴∠=∠=︒，245(22)12223602ACBCAD S S S ππ∆⋅⋅∴=-=-⨯⨯=-阴扇形，故答案为2π-．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为72．解：点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)， 4AB ∴=，抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且122CD AB ==，∴设点C 的坐标为(,2)c ，则点D 的坐标为(2,2)c +，2212c h c +==+， ∴抛物线232[(1)]2c c k =--++，解得，72k =． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(3)2(31)a a -+-，其中2a =． 解：原式26962a a a =-++- 27a =+．当2a =时，原式2(2)79=+=．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是19．17．（6分）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC∆．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：36080203x x-=，解得：2x=，经检验，2x=是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE AC⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE OF=．（2）若5BE=，2OF=，求tan OBE∠的值．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，OB OD∴=，BE AC⊥，DF AC⊥，90OEB OFD∴∠=∠=︒，在OEB∆和OFD∆中，OEB OFDBOE DOF OB OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，() OEB OFD AAS∴∆≅∆，OE OF∴=；（2）解：由（1）得：OE OF =， 2OF =， 2OE ∴=， BE AC ⊥， 90OEB ∴∠=︒，在Rt OEB ∆中，2tan 5OE OBE BE ∠==． 20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表． 20142019-年长春市空气质量级别天数统计表根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是 2018 年． （2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天，平均数为 天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%)． （空气质量为“优”的天数的增长率100%)""-""=⨯""今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年， 故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为5972+=，因此中位数是7天， 这6年的“重度污染”的天数的平均数为1315591586+++++=天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为： 2015年，433013-=天； 2016年，51438-=天； 2017年，655114-=天； 2018年，1236558-=天； 2019年，1261233-=天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为12365100%89%65-⨯≈， 故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时)之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 40 千米/时，a 的值为 ．（2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80240÷=（千米/时）； 4062480a =⨯⨯=，故答案为：40；480；（2）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)， ∴2806480k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得100120k b =⎧⎨=-⎩， y ∴与x 之间的函数关系式为100120y x =-；（3）两车相遇前：80100(2)240100x +-=-，解得135x =； 两车相遇后：80100(2)240100x +-=+，解得235x =， 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时． 22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A DE '为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC QP=时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则ADAB=35．【解答】（1）证明：如图①中，四边形ABCD是矩形，90A ADA∴∠=∠'=︒，由翻折可知，90DA E A∠'=∠=︒，90A ADA DA E∴∠=∠'=∠'=︒，∴四边形AEA D'是矩形，DA DA='，∴四边形AEA D'是正方形．（2）解：结论：PQF∆是等腰三角形．理由：如图②中，四边形ABCD是矩形，//AB CD ∴，QFP APF ∴∠=∠，由翻折可知，APF FPQ ∠=∠，QFP FPQ ∴∠=∠，QF QP ∴=，PFQ ∴∆是等腰三角形．（3）如图③中，四边形PGQF 是菱形，PG GQ FQ PF ∴===，QF QP =，PFQ ∴∆，PGA ∆都是等边三角形，设QF m =，60FQP ∠=︒，90PQD ∠'=︒，30DQD ∴∠'=︒，90D ∠'=︒，1122FD DF FQ m ∴'===，332QD D F '='=， 由翻折可知，32AD QD ='=，PQ CQ FQ m ===， 52AB CD DF FQ CQ m ∴==++=， ∴332552m AD AB m ==． 35． 23．（10分）如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值．（2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值．解：（1）当点P 与B 重合时，54t =，解得45t =． （2）在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，4AB =，3BC =，2222435AC AB BC ∴=+=+=，3sin 5A ∴=，4cos 5A =， 如图①中，当点P 在线段AB 上时，在Rt APE ∆中，cos 4AE AP A t ==， 54EC t ∴=-．如图③中，当点P 在线段BC 上时，在Rt PEC ∆中，75PC t =-，3cos 5C =， 321cos (75)355EC PC C t t ∴==-=-．（3）当PDQ ∆是等腰直角三角形时，则PE DE =，如图④中，当点P 在线段AB 上时，在Rt APE ∆中，sin 3PE PA A t ==，54256DE AC AE CD t t t =-----=-，PE DE =，356t t ∴=-，59t ∴=． 如图⑤中，当点P 在线段BC 上时，在Rt PCE ∆中，428sin (75)455PE PC C t t ==-=-， 3212(75)555DE CD CE t t t =-=--=-， ∴28214555t t -=-， 解得5945t =． 观察图象可知满足条件的t 的值为509t <<或497455t <<．（4）如图⑥中，当点P 在线段AB 上，//QM AB 时，过点Q 作QG AB ⊥于G ，延长QN 交BC 于N ，过点D 作DH BC ⊥于H ． ////PB MN DH ，PM DM =，BN NH ∴=，在RtPQG 中，26PQ PE t ==，42455QG PQ t ∴==，在Rt DCH ∆中，3655HC DC t ==， 242463555BC BH CH t t t =+=++=， 解得518t =． 如图⑦中，当点P 在线段BC 上，//QM BC 时，点点D 作DH BC ⊥于H ，过点P 作PK QM ⊥于K ．//QM BC ，DM PM =，2DH PK ∴=，在Rt PQK ∆中，82(75)5PQ PE t ==-， 324(75)525PK PQ t ∴==-， 在Rt DCH ∆中，4855DH DC t ==， 2DH PK =，∴8242(75)525t t =⨯-， 解得65t =， 综上所述，满足条件的t 的值为518或65． 24．（12分）在平面直角坐标系中，函数221(y x ax a =--为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x 时，若函数221(y x ax a =--为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -．当函数221(y x ax a =--为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为(P P ''与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP '='，直接写出a 的值．解：（1）当0x =时，2211y x ax =--=-，∴点A 的坐标为：(0,1)-；（2）将点(1,2)代入221y x ax =--，得：2121a =--，解得：1a =-，∴函数的表达式为：221y x x =+-，2221(1)2y x x x =+-=+-，∴抛物线的开口向上，对称轴为1x =-，如图1所示：∴当1x >-时，y 随x 的增大而增大；（3）抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为：x a =，顶点坐标为：2(,1)a a --， 当0a >时，对称轴在y 轴右侧，如图2所示：0x ，∴最低点就是(0,1)A -，图象的最低点到直线2y a =的距离为2，2(1)2a ∴--=，解得：12a =； 当0a <，对称轴在y 轴左侧，顶点2(,1)a a --就是最低点， 如图3所示：22(1)2a a ∴---=，整理得：2(1)2a +=，解得：11a =--21a =-；综上所述，a 的值为12或1--； （4）0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -， ∴直角边为EF 与FG ，抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为：x a =，(0,1)A -， 2AA a ∴'=-，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则1p x =-，1EA OA ==，∴点P 在对称轴x a =的左侧，2(1)PP a ∴'=+，2AA PP '='，222(1)a a ∴-=⨯+， 解得：23a =-； 当点P 在FG 边上时，如图5所示：则1p y a =-，2211x ax a ∴--=-，解得：1x a =+，2x a =，(PP a a ∴'=+--= 2AA PP '='，224a a a∴-=+，解得：14 3a=-，20a=（不合题意舍去）；综上所述，a的值为23-或43-．。
2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷及答案解析
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
14．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（2）在图②中找到一个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1，并画出△ABD．
19．（7分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
20．（8分）某校“两会”知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验．
（3）甲出发多长时间与乙第一次相遇？
22．（9分）在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F．
猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为．
探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明．
2020年吉林省长春中考数学模拟试卷含答案
中考数学模拟试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.3的相反数是（ ）A. -B.C. -3D. 32.2011年某市居民人均收入达到36 200元．将36 200这个数字用科学记数法表示为（ ）A. 362×102B. 3.62×104C. 3.62×105D. 0.362×1053.如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（ ）A.B.C.D.4.不等式3x≥-6的解集在数轴上表示为（ ）A. B.C. D.5.如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上，∠ABG=46°，则∠FAE的度数是（ ）A. 26°．B. 44°．C. 46°．D. 72°6.河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）A. 5米B. 10米C. 15米D. 10米7.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）A. B. C. D.8.如图，双曲线（x＞0），（x＞0）将第一象限分成了A、B、C三个部分．点Q（a，2）在B部分，则a的取值范围是（）A. 2＜a＜4B. 1＜a＜3C. 1＜a＜2D. 2＜a＜3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.比较大小：3______（填“＞”、“＜”或“=”）．10.一元二次方程x2-4x+4=0的解是______．11.计算：（a2b）3=______．12.直线y=k1x+3与直线y=k2x-4在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们与y轴的交点分别为点A、B．以AB为边向左作正方形ABCD，则正方形ABCD的周长为______．13.如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=______．14.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.先化简，再求值：（1+）•，其中x=3．16.小丹有3张扑克牌，小林有2张扑克牌，扑克牌上的数字如图所示．两人用这些扑克牌做游戏，他们分别从自己的扑克牌中随机抽取一张，比较这两张扑克牌上的数字大小，数字大的一方获胜．请用画树状图（或列表）的方法，求小丹获胜的概率．17.甲队有50辆汽车，乙队有41辆汽车，将甲队一部分汽车调到乙队，使乙队的车数比甲队车数的2倍还多1辆，求从甲队调到乙队汽车的辆数．18.图①、图②均是边长为1的小方形组成的5×5的网格，每个小方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．在图①、图②分别找到两个格点P、Q，连结PQ，交AB于点O．（1）在图①中，线段PQ垂直平分AB；（2）在图②中，使得BO=，要求保留画图痕迹，标好字母．19.如图，OA、OB是⊙O的半径，OA⊥OB，C为OB延长线上一点，CD切⊙O于点D，E为AD与OC的交点，连接OD．已知CE=5，求线段CD的长．20.校文学社在全校范围内随机抽取一部分读者对社刊中最感兴趣的文学栏目进行了投票．每人一张选票，每张选票只能投给一个栏目，经统计无弃权票，根据投票结果绘制的条形统计图如下：（1）这次参加投票的总人数为______．（2）若全校有3000名读者，估计其中对“写作指导”最感兴趣的人数．（3）在全校3000名读者中，若对某个栏目最感兴趣的人数少于300人将会影响社刊的销售，这个栏目就需要被撤换．请通过计算判断，“新书上架”栏目是否需要被撤换．21.甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示．（1）甲的速度为______千米/分，甲乙相遇时，乙走了______分钟．乙的速度为______千米/分．（2）求从乙出发到甲乙相遇时，y与x的函数关系式．（3）乙到达A地时，甲还需______分钟到达终B地．22.【探究】如图①，在等边△ABC中，AB=4，点D、E分别为边BC、AB上的点，连结AD、DE，若∠ADE=60°，BD=3，求BE的长．【拓展】如图②，在△ABD中，AB=4，点E为边AB上的点，连结DE，若∠ADE=∠ABD=45°，若DB=3，=______．23.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，动点P自A出发，沿线段AB，以每秒个单位的速度向点B运动，同时，动点Q自B出发，沿折线B-C-A，以每秒2个单位的速度向点A运动，连结PQ，以PQ、CQ邻边作平行四边形CQPE，设点P运动时间为t（秒），平行四边形CQPE与△ABC的重合部分图形面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段QC的长度．（2）当点E落在△ABC的边上时，求t的值．（3）当四边形CQPE与△ABC的重合部分图形不是平行四边形时，求S与t之间的函数关系式．（4）连结CP，过点B作BM⊥CP点，交直线CP于点M，直接写出点M经过的路径的长度．24.如图，抛物线L：y=-（x-t）（x-t+4）（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y=（x＞0，k＞0）于点P．（1）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；（2）当直线MP与L对称轴之间的距离为1时，求t的值．（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：3的相反数是-3．故选：C．只有符号不同的两个数叫做互为相反数．本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：36 200=3.62×104．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于36 200有5位，所以可以确定n=5-1=4．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3.【答案】B【解析】解：从左面看易得有一列有2个正方形．故选：B．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．4.【答案】A【解析】解；3x≥-6，x≥-2，故选：A．根据解不等式的步骤，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．本题考查了不等式的解集，从-2向右的方向，包括-2点，注意-2点用实心点表示．5.【答案】A【解析】解：∵图中是正五边形．∴∠EAB=108°．∵太阳光线互相平行，∠ABG=46°，∴∠FAE=180°-∠ABG-∠EAB=180°-46°-108°=26°．故选：A．先根据正五边形的性质求出∠EAB的度数，再由平行线的性质即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，解题的关键是：根据正五边形的性质求出∠EAB的度数．6.【答案】A【解析】解：Rt△ABC中，BC=5米，tan A=1：；∴AC=BC÷tan A=5米；故选：A．Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．7.【答案】C【解析】解：根据勾股定理，AC==2，BC=，所以，夹直角的两边的比为=2，观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：C．可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：把y=2分别代入y=（x＞0）、y=（x＞0）中，得：x=1和x=3，∵点Q（a，2）在B部分，∴1＜a＜3，故选：B．首先将y=2代入两个反比例函数的解析式求得x的值，然后根据点Q（a，2）在B部分，确定a的取值范围即可．考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解点Q在B部分的意义，难度不大．9.【答案】＜【解析】解：32=9，=10，∴3＜．首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．10.【答案】x1=x2=2【解析】解：x2-4x+4=0，（x-2）2=0，x-2=0，x=2，即x1=x2=2，故答案为：x1=x2=2．先根据完全平方公式进行变形，再开方，即可求出答案．本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．11.【答案】a6b3【解析】解：（a2b）3=（a2）3b3=a6b3．故答案为：a6b3．根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算．本题主要考查积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．12.【答案】28【解析】解：当x=0时，y=k1x+3=3，∴点A的坐标为（0，3）；当x=0时，y=k2x-4=-4，∴点B的坐标为（0，-4），∴AB=3-（-4）=7，∴C正方形ABCD=4AB=4×7=28．故答案为：28．将x=0分别代入两直线解析式中求出y值，由此可得出点A、B的坐标，进而可得出线段AB的长度，再根据正方形的周长公式即可求出正方形ABCD的周长．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标是解题的关键．13.【答案】55°【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C，由折叠的性质得：∠D1AE=∠C，∴∠D1AE=∠BAD，∴∠D1AD=∠BAE=55°；故答案为：55°．由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质；由平行四边形和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD是解决问题的关键．14.【答案】（-2，0）【解析】解：由C（0，c），D（m，c），得函数图象的对称轴是x=，设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=，得=，解得x=-2，即A点坐标为（-2，0），故答案为：（-2，0）．根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，可得A点坐标．本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键．15.【答案】解：原式=•=，当x=3时，原式==．【解析】先化简分式，然后将x的值代入求值．本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．16.【答案】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，小丹获胜的情况有3种，∴P（小丹获胜）==．【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设应从甲车队调x辆车到乙车队，根据题意，得方程41+x=2（50-x）+1解得：x=20．答：应从甲车队调20辆车到乙车队．【解析】若设从甲车队调x辆车到乙车队，注意两个车队的同时变化．本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细读题并找到灯亮关系，难度不大．18.【答案】解：（1）如图，线段PQ垂直平分线段AB，点O即为所求．（2）如图，点O即为所求．【解析】（1）取格点P，Q，使得A，P，B，Q四点构成正方形，对角线的交点O即为所求．（2）取格点E，F，G，使得AEFG是平行四边形，可得格点M，N，连接MN交AB 于点O，点O即为所求．本题考查作图-应用与设计，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：∵CD切⊙O于点D，∴∠ODC=90°；又∵OA⊥OC，即∠AOc=90°，∴∠A+∠AEO=90°，∠ADO+∠ADC=90°；∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠ADC=∠AEO；又∵∠AEO=∠DEC，∴∠DEC=∠ADC，∴CD=CE，∵CE=5，∴CD=5．【解析】根据切线的性质，以及直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，即可证明∠ADC=∠AEO，从而得到∠DEC=∠ADC，根据三角形中，等角对等边即可证明△CDE 是等腰三角形，即CD=CE．本题主要考查了等腰三角形的判定定理，等角对等边，以及切线的性质定理，已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点构造垂直．20.【答案】500【解析】解：（1）投票总人数=76+88+97+42+60+111+26=500人；（2）3000×=360人；（3）∵3000×=252＜300∴这个栏目将被撤换．（1）将统计图中所有数据相加即可得到总人数；（2）用总人数乘以写作感兴趣的比例即可得到答案；（3）求出新书上架的人数与300比较即可得到答案．本题考查了条形统计图的知识，难度不是很大，解题的关键是正确的识图．21.【答案】 10 78【解析】解：（1）观察图象知A、B两地相距为16km，∵甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，∴甲的速度是千米/分钟；由纵坐标看出乙走了：16-6=10（分），设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得10x+16×=16，解得x=，∴乙的速度为千米/分钟．故答案为：24，10；；（2）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意得，，解得，∴y=；（3）相遇后乙到达A站还需（16×）÷=（千米）相遇后乙到达A站还需（16×）÷=2（分钟），相遇后甲到达B站还需（10×）÷=80分钟，当乙到达终点A时，甲还需80-2=78分钟到达终点B．故答案为：78．（1）观察图象知A、B两地相距为16km，由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，则甲的速度是千米/分钟；（2）再运用待定系数法解答即可；（3）根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键．注意求出相遇后甲、乙各自的路程和时间．22.【答案】【解析】【探究】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=4，过点A作AF⊥BC于F，如图①所示：则BF=CF=BC=2，AF===2，∴DF=BD-BF=3-2=1，∴AD===，根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD=120°，∵∠ADE=60°，∴∠BAD+∠AED=120°，∴∠ADB=∠AED，∵∠B=∠ADE=60°，∴△ABD∽△ADE，∴=，即：=，解得：AE=，∴BE=AB-AE=4-=；【拓展】解：过点A作AF⊥BC于F，如图②所示：∵∠ABD=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=BF=AB=2，∴DF=DB-BF=3-2=，∴AD===，∵∠ADE=∠ABD=45°，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABD，∴=，∴AE===，∴BD=AB-AE=4-=，∴===；故答案为：．【探究】过点A作AF⊥BC于F，由等边三角形的性质得出BF=CF=BC=2，由勾股定理求出AF==2，则DF=BD-BF=1，由勾股定理求出AD==，证得△ABD∽△ADE，得出=，解得AE=，即可得出结果；【拓展】过点A作AF⊥BC于F，易证△ABF是等腰直角三角形，则AF=BF=AB=2，DF=DB-BF=，由勾股定理求出AD==，证得△ADE∽△ABD，得出=，求出AE=，BD=AB-AE=，则=即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．23.【答案】解：（1）由题意当0＜t≤4时，CQ=8-2t，当4＜t≤8时，CQ=2t-8．（2）如图1中，当点E在AC上时，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=BC=8，∴AB===8，∵PQ∥AC，∴=，∴=，解得t=．如图2中，当点E落在BC上时，∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=．综上所述，满足条件的t的值为s或s．（3）如图3中，当0＜t＜时，S=•CM=•（8-t）=t2-20t+64．如图4中，当＜t≤8时，S=•CM=•t=t2．综上所述，S=．（4）如图5中，取AC，BC的中点G，H，连接GH交PC于M．∵AG=CG，CH=HB，∴GH=AB=4，GH∥AB，∴CM=PM，∴点M的运动轨迹是线段GH，∴点M经过的路径的长度为4．【解析】（1）分两种情形分别求解即可．（2）分两种情形：如图1中，当点E在AC上时，如图2中，当点E落在BC上时，利用平行线分线段成比例定理，构建方程即可解决问题．（3）分两种情形：如图3中，当0＜t＜时，根据S=•CM求解即可．如图4中，当＜t≤8时，根据S=•CM求解即可．（4）如图5中，取AC，BC的中点G，H，连接GH交PC于M．利用三角形的中位线定理即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：（1）当t=1时，令y=0，得：-（x-1）（x-1+4）=0，解得：x1=1，x2=-3，∴A（1，0），B（-3，0），∴AB=4；∵M为OA中点，∴M（，0）∵抛物线L：y=-（x-1）（x+3）=-（x+1）2+2，∴抛物线L的对称轴为直线x=-1，∴直线MP与L对称轴之间的距离为；（2）∵抛物线L：y=-（x-t）（x-t+4）的对称轴为：直线x=t-2，抛物线L与x轴交点为A（t，0），B（t-4，0）∴线段OA的中点M（，0）由题意得：-（t-2）=1，解得：t=2，∴t=2；（3）∵y=-（x-t）（x-t+4）=-[x-（t-2）]2+2∴当t-2≤，即t≤4时，图象G最高点的坐标为顶点（t-2，2）当t-2＞，即t＞4时，图象G最高点的坐标为直线MP与抛物线L的交点（，-+t）；（4）如图，∵4≤x0≤6，x0=，∴4≤≤6，∴1≤y0≤，即抛物线L与双曲线在C（4，），D（6，1）之间的一段有一个交点①由=（4-t）（4-t+4），解得：t=5或7，②由1=-（6-t）（6-t+4），解得：t=8-或8+，随着t的逐渐增加，抛物线L的位置随着A（t，0）向右平移，当t=5时，L右侧过点C；当t=8-＜7时，L右侧过点D，即5≤t≤8-；当8-＜t＜7时，L右侧离开了点D，而左侧未到达点C，即L与该段无交点，舍去；当t=7时，L左侧过点C，当t=8+时，L左侧过点D，即7≤t≤8+．综上所述，t的取值范围为：5≤t≤8-或7≤t≤8+．【解析】（1）当t=1时，令y=0，可求得A（1，0），B（-3，0），再由M为OA中点，可求得M（，0），配方法可得到抛物线L的对称轴为直线x=-1，即可得到结论；（2）配方法可得对称轴为：直线x=t-2，再求得线段OA的中点M（，0），即可求得结论；（3）根据对称轴位于直线MP左侧或右侧两种情形讨论即可；（4）先根据反比例函数由4≤x0≤6，可得1≤y0≤，再由抛物线L可得1≤（4-t）（4-t+4）≤或1≤-（6-t）（6-t+4）≤，即可求得t的范围．本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数最值应用，反比例函数图象和性质，解不等式组等；属于代数综合题．解题时要注意运用数形结合进行分析，运用方程思想解决问题．。
2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷(6月份)
2020 年吉林省长春市中考数学模拟试卷（ 6 月份）一、选择题（本大题共8 小题，共24.0 分）1.下列各数中，比 -1小的数是 ()A. 0B. -2C. 21D. 12.科学家发现了一种新型病毒，其直径约为0.00000042?? ，0.00000042 这个数用科学记数法表示为 ()A. 0.42×10-6B. 4.2×10-6C. 4.2×10-7D. 42×10-83.如图是一个正方体的表面展开图，在原正方体上，与“蝴蝶面”相对的面上的数字为 ( )A.1B.4C.5D.64.如图，一个倾斜的天平两边分别放有小立方体和砝码，每个砝码的质量都是5克，每个小立方体的质量都是m 克，则 m的取值范围为 ()A. ??< 15B. ??> 15C. ??<1515 2D. ??>25.若某多边形的边数增加 1，则这个多边形的外角和 ( )A. 增加180°B. 增加360°C. 减少180°D. 不变6. 以 O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 如图所示摆放，直角顶点 B 在零刻度线所在直线DE 上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点 P 的读数为 35°，则∠??????的度数是 ( )A. 55°B. 45°C. 35°D. 257.如图，在△??????中， ????> ????，∠ ??????为钝角．按下列步骤作图：① 在边BC、AB上，分别截取BD BE、，使 ????= ????；②以点 C 为圆心， BD 长为半径作圆弧，交边AC 于点 F；③以点 F 为圆心， DE 长为半径作圆弧，交② 中所作的圆弧于点G；④作射线 CG 交边 AB 于点 H．下列说法不正确的是 ()A. ∠??????=∠??B. ∠??????=∠ ??????C. ∠??????=∠??+∠??D. ∠??????=∠ ??????8. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点为 ??(1,1)、??(3,1).当函数??AB 有交点时，设??= (??> 0) 的图象与线段??交点为 ??(点 P 不与点 A、 B 重合 ) ，将线段 PB 绕点 P 逆时针方向旋转 90°得到线段PQ，以PA PQ APQM，、为边作矩形??A. √5B. 2C. √3D. √2二、填空题（本大题共 6 小题，共18.0 分）9.2分解因式： ?? + ????= ______ ．10.20______实数根． ( 填“有”或“没有” )一元二次方程 3?? + 5??+ 1 =11.如图，一个公共房屋门前的台阶共高出水平地面1.2米( 即 ????= 1.2 米 ).台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．若轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°，则从斜坡的起点 A 至房屋门 B 的最短的水平距离 AC 长约为 ______米． ( 结果精确到 0.1米 )【参考数据： ??????9≈°0.156 ， ??????9≈°0.988 ， ??????9≈°0.158 】12.如图，在平面直角坐标系中，点A、 B 的坐标分别为(-4,4)、(0,4)，点C、D的坐标分别为(0,1) 、 (2,1). 若线段 AB 和 CD 是位似图形，且位似中心在y 轴上，则位似中心的坐标为______．13.如图，正六边形的边长为1cm，分别以它的所有顶点为圆心，lcm 为半径作圆弧，则阴影部分图形的周长和为______????(.结果保留 ??)14.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为 20m，顶点距水面 6m，小孔顶点距水面 3??.当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为 ______??.三、解答题（本大题共10 小题，共 78.0 分）15.任意给出一个非零实数 m，按如图所示的程序进行计算．(1)用含 m 的代数式表示该程序的运算过程．(2)当?? = √3 + 1时，求输出的结果．16. 如图，不透明的管中放置着三根完全相同的绳子、????、????????1 1在不看的情况下，1小明从左端 A 、 B 、C 三个绳头中随机选一个绳头，小刚从右端??、 ??、 ??三个绳111头中随机选一个绳头，用画树状图 (或列表 )的方法，求小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率．17. 某医疗器械生产厂家接到 A 型口罩 40万只和 B 型口罩 45 万只的订单， 该工厂有甲、乙两个车间， 甲车间生产 A 型口罩， 乙车间生产 B 型口罩． 已知乙车间每天生产的口罩数量比甲车间每天生产的口罩数量多 80% ，结果乙车间比甲车间提前3 天完成订单任务．求甲车间每天生产A 型口罩多少万只？18. 图 ① 、图 ② 、图 ③ 均为 4 ×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 1，点 A 、B 均在格点上，在图 ① 、图 ② 、图 ③ 中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．(1) 在图 ① 中以 AB 为边画一个等腰直角三角形 ABC ；(2) 在图 ② 中以 AB 为边画一个面积为 5 的中心对称四边形 ABMN ； (3) 在图 ③ 中以 AB 为边画一个面积为3 的轴对称四边形ABPQ ．19.如图，四边形 ABCD 是矩形，直线 l 垂直平分线段 AC，垂足为点 O，直线 l 分别与线段AD 、 CB 的延长线交于点 E、 F ．(1)求证：四边形 AFCE 是菱形；(2)若????= 8 ，????= 4 √2 ，则 sin ∠ ??????的值为 ______．20.在 2020 年初，我国发生了新型冠状病毒感染的肺炎疫情，疫情的实时动态牵动着全国人民的心， 2020 年 2 月 12 日 -2 月 21 日，根据 31 个省 ( 自治区、直辖市 ) 和新疆生产建设兵团报告情况制成如图统计图表：2020年 2月 12日一 2月 21日全国新冠肺炎疫情相关数据统计表日期全国累计确诊病新增确诊病例新增疑似病例新增出院人数例2月12日598041515228071171 2月13日63851404724501081 2月 14日66492264122771373 2月 15日68500200819181323 2月 16日705482048156314252月 18日741851749118518242月 19日75002817127717792月 20日75891889161421092月 21日7628839713612393(数据来源：国家卫生健康委员会官方网站)根据上述数据回答下列问题：(1)2 月 19 日新增疑似病例为______例．(2)与前一日相比， 2 月 ______日的新增确诊病例减少量最大．(3)在这 10 天中，新增确诊病例的中位数是______例．(4)根据图中数据，小林计算出每日新增确诊病例的平均数约为3164例，他认为平均数能准确地反映出 2 月 12 日一 2 月 21日新增确诊病例的日常情况．小静不同意他的看法，她认为中位数更能准确地反映出新增确诊病例的日常情况．你同意谁的看法？请说明理由．21.在一次“探究不同粗细的蜡烛燃烧速度”的实验中，小红将两支高度相同，但粗细不同的蜡烛同时点燃，直到两支蜡烛燃尽，在实验中发现，两支蜡烛的各自燃烧速度 (单位：厘米 / 小时 ) 是不变的，细蜡烛先于粗蜡烛燃尽．如图描述了两支蜡烛的高度差 ??(厘米 ) 与粗蜡烛的燃烧时间 ??(小时 )之间的函数关系，根据图象解答下列问题：(1)蜡烛点燃前的高度为 ______厘米，粗蜡烛的燃烧速度为 ______厘米 / 小时．(2) 当两支蜡烛的高度差为 6 厘米时，求x 的值．(3)当两支正在燃烧的蜡烛高度相差 6 厘米时，若立即熄灭其中一支蜡烛，等待另一支蜡烛燃尽时，再立即点燃之前熄灭的蜡烛．求从开始点燃两支蜡烛到后一支蜡烛燃尽22. [教材呈现 ] 如图是华师版八年级上册数学教材第69 页的部分内容．[方法运用 ] 在△??????中， ????= 4， ????= 2，点 D 在边 AC 上．(1)如图①，当点 D 是边 BC 中点时， AD 的取值范围是 ______ ．(2)如图②，若 BD ：????= 1： 2，求 AD 的取值范围．[拓展提升 ] 如图③，在△??????中，点 D 、 F 分别在边 BC、 AB 上，线段 AD 、CF 相交于点E，且BD：????= 1 ：2，AE：????= 3 ：5.若△??????的面积为2，则△??????的面积为 ______．23.如图，在 ????△??????中，∠ ??????= 90 °， ????= 6，????= 8 ，D 是边 AB 的中点．动点 P 从点 B 出发以每秒 4 个单位长度的速度向终点 A 运动．当点 P 与点 D 不重合时，以 PD为边构造 ????△??????，使∠??????= ∠??，∠??????= 90°，且点Q 与点 C 在直线 AB 同侧．设点 P 的运动时间为 t 秒．(1)求 AB 的长．(2)当点 Q 落在边 AC 上时，求 t 的值．(3)在不添加辅助线的情况下，当图中存在全等三角形时，求△??????与△??????重叠部分图形的面积．(4) 取边AC的中点E，连结 ????当.????//????时，直接写出t的值．2为常数 ) 的图象记为 G，24. 在平面直角坐标系中，将函数 ??= ?? - 2????+ ??(??≤ 2??,m图象 G 的最低点为 ??(??0, ??)0.(1) 当?? = -1时，求 m 的值．(2)求??0的最大值．(3) 当图象 G 与 x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为????1，则1的取值范围是______．(4) 点A在图象G上，且点A的横坐标为 2?? - 2，点A关于y轴的对称点为点B，当点 A 不在坐标轴上时，以点A、 B 为顶点构造矩形ABCD ，使点 C、 D 落在 x 轴上，当图象 G 在矩形 ABCD 内的部分所对应的函数值y 随 x 的增大而减小时，直接写出 m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵| - 1| = 1，|- 2|=2，∴2> 1，∴-2 <-1．故选 B．根据有理数大小关系，负数绝对值大的反而小，即可得出比-1 小的数．此题主要考查了有理数的比较大小，根据负数比较大小的性质得出是解决问题的关键．2.【答案】C【解析】解： 0.00000042 = 4.2 × 10 -7．故选： C．-??，与较大数的科绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为??×10学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．-??，其中 1 ≤ |??|< 10 ，n 为由本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ??×10原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．3.【答案】 B【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以“ 1”与“ 6”相对，“ 3”与“ 5”相对，“蝴蝶面”与“ 4”相对，故选： B．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．本题考查了正方体相对两个面上的文字．解题的关键是掌握找正方体相对两个面上的文字的方法，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4.【答案】D【解析】解：由题意得：2?? > 3 ×5 ，解得： ??> 15．2故选： D．根据图形可得： 2 个小立方体的质量 > 3个砝码的质量，据此解答即可．考查一元一次不等式组的应用；根据图意得到不等关系式是解决本题的关键．5.【答案】D【解析】解：任意多边形的外角和都是360°，∴若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和不变．故选： D．根据多边形的外角和等于360°，即可求解．本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．6.【答案】C【分析】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．根据切线的性质得到∠??????= 90°，证出 ????//????，根据平行线的性质得到∠??????=∠??????，于是得到结果．【解答】解：∵????是⊙ ??的切线，∴∠ ??????= 90 °，∵∠ ??????= 90 °，∴∠ ??????= ∠ ??????= 90 °，∴????//????，∴∠ ??????= ∠ ??????= 35 °，故选： C．7.【答案】D【解析】解：根据作图过程可知：∠ ??????= ∠ ??，所以 A 选项正确；∵∠ ??????= ∠ ??????+ ∠ ??????= ∠ ??????+∠ ??????= ∠ ??????，所以 B 选项正确；∵∠ ??????= ∠ ??+ ∠ ??????= ∠ ??+ ∠ ??，所以 C 选项正确；∵????≠ ????，∴∠ ??????≠∠ ??????．所以 D 选项错误．故选： D．根据作图过程可得 A 选项正确，再根据三角形外角定义可得 B 和 C 选项正确，进而可以判断．本题考查了作图- 复杂作图、等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定．8.【答案】A【解析】解：分析图形可知：??当函数 ??= ??(??> 0) 的图象与矩形APQM 的边 AM 有公共点为M 时， k 取得最大值，??∵??在 ??=上且?? = 1，????∴??(??,1) ，设 ????= ??，则 ??(??,1 + ??)，∵四边形 APQM 是矩形，∴??(1,1 + ??)，∴1 + ??= ??，∵????= ????，∴2 - ??= ??- 1，由{1 + ??= ?? ， 2- ??= ??- 1解得 {??=1 ，??=2∴0 < ??≤ 2，∴??= √5不符合条件．故选： A．??=??根据题意，分析图形可得，当函数??(??> 0)的图象与矩形APQM 的边 AM 有公共点为 M 时， k 取得最大值，设 ????= ??，则 ??(??,1 + ??)，根据四边形APQM 是矩形，可得????(1,1 + ??)，而 M 在 ??=上，可得1 + ??= ??，根据????= ????，可得2 - ??= ??-1，进??而求出 k 的值，即可判断．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、矩形的性质、坐标与图形变换 - 旋转，解决本题的关键是掌握反比例函数的性质．9.【答案】??(??+ ??)2【解析】解： ?? + ????= ??(??+ ??)．直接提取公因式 a 即可．考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式．10.【答案】有22- 4×3×1= 13> 0，【解析】解：∵?? - 4????= 5∴方程有两个不相等实数根，故答案为：有．24????的值，即可知方程根的情况．根据方程计算出△=?? -此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>0 ? 方程有两个不相等的实数根；△=0 ? 方程有两个相等的实数根；△<0 ? 方程没有实数根是本题的关键．11.【答案】7.6【解析】解：在 ????△??????中，∠??= 9°， ????= 1.2，∴????=???? 1.2≈7.6( 米)．=0.158tan ∠ ??答：从斜坡的起点 A 至房屋门 B 的最短的水平距离 AC 长约为 7.6 米．故答案为： 7.6．根据锐角三角函数即可得从斜坡的起点 A 至房屋门 B 的最短的水平距离AC 长．本题考查了解直角三角形的应用- 坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．12.【答案】(0,2)【解析】解：如图所示：连接AD，交 y 轴于点 E，∵点 A、B 的坐标分别为 (-4,4)、(0,4)，点 C、D 的坐标分别∴△?????? ∽△??????，???? ???? ∴????=，???? 则4 =????2 ，????∴2 = 3-????，????解得： ????= 1，则 E 点坐标为： (0,2) ，故位似中心的坐标为： (0,2) ． 故答案为： (0,2) ．直接利用位似图形的性质、结合相似三角形的性质得出位似中心即可．此题主要考查了位似变换以及相似三角形的性质， 正确运用相似三角形的性质是解题关键．13.【答案】 2??(6-2)×180°【解析】 解：正六边形的每一个内角为= 120 °，由圆的对称性可得，阴影部6分的周长正好是半径为 1cm 的圆的周长，半径为 1cm 的圆的周长为 2??×1 = 2??????，故答案为： 2??．根据正六边形的内角以及圆的对称性可得，阴影部分的周长是半径为 1cm 的圆的周长．考查正多边形和圆的有关计算， 根据圆的对称性将阴影部分的周长转化为圆的周长是解决问题的关键．14.【答案】 10√2【解析】 解：如右图所示，点 C 为抛物线顶点， 坐标为 (0,6) ，则点 A 的坐标为 (-10,0) ，点 B 的坐标为 (10,0) ，设抛物线 ACB 的函数解析式为 ??= 2????+ 6，∵点 A 在此抛物线上，2∴0 = ??×10 + 6，解得，??=- 6，100即抛物线 ACB 的函数解析式为 ??=62- 100 ?? + 6，62当 ??= 3时， 3 = -??+6，100解得， ??= ±5√2 ，∴当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为：5 √2 - (-5 √2) =10√2(??) ，故答案为： 10 √2 ．根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大抛物线的解析式，然后令??= 3，求出相应的 x 的值，即可得到当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度．本题考查二次函数的应用， 解答本题的关键是明确题意， 利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．15.【答案】 解： (1) 由题意可得： (??2 + ??) ÷?? - 2??；(2) 原式= ??+ 1 -2??= -?? + 1，当??= √3+ 1时，原式 = -( √3+ 1) + 1= - √3．【解析】 (1) 直接利用运算程序进而得出关于m 的代数式；(2) 把已知数据代入求出答案．此题主要考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题关键．16.【答案】 解：列表得：??1??1 ??1A ????1 ????1 ????1B ????1 ????1 ????1 C????1????1????1由表可知共有 9 种等可能结果，其中选中的两个绳头恰好是同一根绳子的有3 种结果，3 1∴小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率为9= 3．【解析】 首先根据题意列出表格， 然后由表格即可求得所有等可能的结果与两个绳头恰好是同一根绳子的情况，再利用概率公式即可求得答案． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率= 所求情况数与总情况数之比．17.【答案】 解：设甲车间每天生产A 型口罩 x 万只，则乙车间每天生产B 型口罩 (1 +80%)??万只，4045依题意，得：?? -(1+80%)??= 3，解得： ??= 5 ，经检验， ??= 5是原方程的解，且符合题意． 答：甲车间每天生产A 型口罩 5 万只．【解析】 设甲车间每天生产 A 型口罩 x 万只，则乙车间每天生产 B 型口罩 (1 + 80%)??万只，根据工作时间 = 工作总量 ÷工作效率结合乙车间比甲车间提前 3 天完成订单任务，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18.如图 1 中，等腰直角三角形ABC 即为所求．【答案】 解： (1) (2) 如图 2 中，正方形 ABMN ，平行四边形 ABMN 即为所求．(3)如图 3 中，四边形 ABPQ 即为所求．【解析】 (1) 根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．(2)根据中心对称图形的定义利用数形结合的思想解决问题即可．(3)根据轴对称图形的定义以及数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图 - 旋转变换，中心对称图形，轴对称图形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】√33【解析】 (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴????//????，∴∠ ??????= ∠ ??????，∵直线 l 垂直平分线段AC，垂足为点 O，直线 l 分别与线段 AD 、CB 的延长线交于点E、F，∴????//????， ????= ????，∠ ??????= ∠ ??????=90 °， ????= ????， ????= ????，在△??????和△??????中∠??????= ∠ ??????{????= ????∠??????= ∠ ??????∴△?????? ≌△??????(??????)，∴????= ????，∴????= ????= ????= ????，∴四边形 AFCE 是菱形；(2) 解：∵四边形 AFCE 是菱形， ????= 8 ，????= 4 2，√11∴????= ????= 2 ????= 2 √2 ， ????= ????=2 ????=4，在 ????△??????中，由勾股定理得：????=2+???? = √(2 2)2+ 42=26，√2√√????∵四边形 AFCE 是菱形，四边形ABCD 是矩形，∴∠ ??????= ∠ ??????= 90 °，∴∠ ??????= ∠ ??????= 90 °- ∠ ??????，???? 2√2√3∴sin ∠ ??????= sin ∠ ??????= ????= 2√6 = 3，故答案为：√3．3(1)根据矩形的性质得出 ????//????，求出∠ ??????= ∠ ??????，根据线段垂直平分线得出????//????， ????= ????，∠ ??????= ∠ ??????= 90 °， ????= ????， ????= ????，证△ ?????? ≌△??????，根据全等三角形的性质得出 ????= ????，求出 ????= ????= ????= ????即可；11(2) 根据菱形的性质得出 ????= ????=2 ????= 2√2， ????= ????=2 ????= 4， ????⊥????，根据勾股定理求出AE∠??????= 90°- ∠??????，解直角三角形求出即可．，求出∠??????=本题考查了勾股定理，解直角三角形，菱形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．20.【答案】1277 13 1948【解析】解： (1)2 月 19 日新增疑似病例为1277 例．(2)与前一日相比， 2 月 13 日的新增确诊病例减少量最大．(3)在这 10 天中，新增确诊病例从小到大排列为：397，817，889，1749 ，1888，2008，2048 ， 2641， 4047， 15152，∴新增确诊病例的中位数是(4)同意小静的看法，1888+2088= 1948( 例 )；2因为平均数受极端值 15152 的影响较大，而中位数不受极端值的影响，所以中位数更能准确的反映出 2 月 12 日一 2 月 21 日新增确诊病例的日常情况，故答案为： 1277， 13， 1948．(1)根据表中数据即可得到结论；(2)根据表中数据即可得到结论；(3)根据中位数的定义即可得到结论；(4)根据平均数和中位数的意义即可得到结论．本题考查了中位数，用样本估计总体，平均数，准确的理解题意是解题的关键．21.【答案】24 8【解析】解： (1) 由图象可得细蜡烛 2 小时燃尽，粗蜡烛 3 小时燃尽，21∴粗蜡烛 2 小时燃烧3，剩下3，1∴蜡烛点燃前的高度= 8 ÷3 = 24????，∴粗蜡烛的燃烧速度= 24 ÷ 3 = 8 厘米 / 小时，故答案为： 24， 8；(2)当 0 ≤ ??< 2时，设两支蜡烛的高度差 ??(厘米 ) 与粗蜡烛的燃烧时间 ??(小时 ) 之间的函数关系式为 ??= ????，由题意可得： 8 = 2??，∴??= 4 ，∴??= 4??，当 ??= 6时，则 6 = 4??，3∴??=2当 2 ≤ ??≤ 3时，设 ??= ????+ ??，由题意可得： {8 = 2??+ ??，0 = 3??+ ??解得： {?? = -8，??= 24∴??= -8?? + 24 ，当 ??= 6时，则 6 =-8?? + 24 ，∴??= 49，综上所述： ??= 3或9；24(3) ∵细蜡烛 2 小时燃尽，粗蜡烛 3 小时燃尽，37∴从开始点燃两支蜡烛到后一支蜡烛燃尽时一共持续时间=2+3- 2=2 (小时 )，答：从开始点燃两支蜡烛到后一支蜡烛燃尽时一共持续了27小时．(1) 由图象可得粗蜡烛 3 小时燃尽，粗蜡烛 2 小时燃烧2 ，剩下1，即可求解；33(2)分别求出 0 ≤ ??< 2和 2 ≤ ??≤ 3 时，y 与 x 的函数关系式，将??= 6代入解析式可求解；(3)由细蜡烛 2 小时燃尽，粗蜡烛 3 小时燃尽，可得持续时间 = 2 + 3 - 共同燃烧的时间，即可求解．本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，理解函数图象上的点的具体含义是本题的关键．22.【答案】1 < ????< 3 7【解析】解： [ 方法运用 ](1) 延长 AD 至点 E，使得 ????= ????，连接 CE，∵在△??????和△??????中，????= ????{ ∠ ??????= ∠ ??????，????= ????∴△?????? ≌△??????(??????)，∴????= ????， ????= ????，∵△??????中， ????- ????< ????< ????+ ????，∴2 < ????< 6 ，∴1 < ????< 3．故答案为： 1 < ????< 3 ．(2) 如图 2，过点 C 作 ????//????，交 AD 的延长线于点M，∴△?????? ∽△??????，???????? ???? ∴==，????????????∵????： ????= 1： 2， ????= 4，1∴????= 8 ， ????= 3 ????， 在 △??????中，∵????= 8 ， ????= 2， ∴6 < ????< 10 ，10∴2 < ????< 3 ．[ 拓展提升 ] 解：如图 3，过点 A 作 ????//????交 CF 的延长线于点 M ，∴△?????? ∽△??????，???? ???? 3∴ ==，???? ????5???? 1∵=，???? 3 ∴????=2，???? 2∴????=5，同理 △??????∽△??????，???? ???? 2∴==，???? 2∴????=7．??2△ ??????∴=，??△ ?????? 7∵△??????的面积为 2， ∴△??????的面积为 7．故答案为： 7．[ 方法运用 ](1) 延长 AD 至点 E ，使得 ????= ????，连接 CE ，可证 △?????? ≌△??????(??????)，可得 ????= ????，????= ????，在 △??????中，根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围；???? ????????(2) 过点 C 作 ????//????，交 AD 的延长线于点 M ，证明 △?????? ∽△??????，得出 ????= ????= ， ????可求出 CM ，则可得出答案；[ 拓展提升 ] 过点 A 作????//????交 CF 的延长线于点 M ，证明 △?????? ∽△??????，由相似三角 形的性质得出 ???? ????3，同理 △??????∽△??????，则 ???? ???? 2，求出 ????2????= ????=5????=????=5????=7 .则可得出答案．本题是三角形综合题，考查了三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质， 三角形的面积等知识， 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】 解： (1) 在 ????△??????中， ∵∠ ??????= 90°，????= 6 ， ????= 8，2222= 10 ．∴????= √ ????+ ????= √6+ 8 (2) 如图 1 中，当点 Q 落在 AC 上时，∵∠ ??= ∠ ??????， ∴????= ????， ∵????⊥????， ∴????= ????， ∵????= ????= 5，5∴????= 2 ，515∴????= 5+ 2 = 2，1515∴??= 2 ÷4= 8．5(3) 当 0 < ??< 4 时， ????= ????= 5 ， △??????≌△??????， △??????≌△??????，如图 2 中，54(5 - 4??)= 5，1解得 ??= 4，此时重叠部分的面积=1×3×4 -1×14=16．22×3355时，由(2)可知，??= 15时，△??????≌△??????1中，当4 < ??<28，如图此时重叠部分的面积=153575．2×2×4×2=32综上所述，满足条件的重叠部分的面积为16或75．332 (4)如图 3 中，当点 Q 落在 BC 的中点处时， ????//????．∵????= 3，3 =9，∴????= ????????????= 3 ×55∴??=9÷4 =9 ．520如图 4 中，取 BC 的中点 M ，过点 M 作 ????⊥????于 N，当 ????= ????时， ????//????．412∵????= ????= ?????????????= 3 ×5 = 5，12∴????=????=tan ∠ ??????35=16，54∴????=16+ 5 =41 ，554141∴??= 5÷4= 20，综上所述，满足条件的t 的值为9或41．2020【解析】 (1) 利用勾股定理解决问题即可．(2) 证明 ????= ????= 5，求出 PB 即可解决问题．25时， ????= ????= 5，△??????≌△??????，△??????≌△??????，如(3) 分两种情形：当0< ??< 4图 2中．当5< ??<5时，由 (2) 可知， ??=15时，△??????≌△??????，如图 1 中，分别求解428即可．(4)分两种情形：如图 3 中，当点 Q 落在 BC 的中点处时， ????//????如.图 4 中，取 BC 的中点 M，过点 M 作????⊥????于 N，当 ????= ????时，????//????分.别求出 BP 即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．24.【答案】0 < ??1< 1【解析】解： (1) 如图 1 中，当 ?? > 0 时，222∵??= ?? - 2????+ ?? = (??- ??) - ?? + ??，图象 G 是抛物线在直线 ??= 2??的左侧部分 ( 包括点 ??)，此时最底点 ??(??,-?? 2+ ??)，由题意 -?? 2 + ??= -1，解得 ??=√5+1 或 - √5+1(舍弃 )，22当??= 0时，显然不符合题意，当??< 0时，如图 2 中，图象 G 是抛物线在直线??= 2??的左侧部分 ( 包括点 ??)，此时最底点P 是纵坐标为m，∴??= -1 ，综上所述，满足条件的5+1或-1 ．m 的值为√2(2) 由 (1)可知，当 ?? > 0时，??= -??2+ ??= -(?? -1) 2 +1，024∵-1 < 0，1时， ??的最大值为1，∴??= 204当??= 0时，??0 = 0，当??< 0时，?? < 0，综上所述， ??的最大值为1．04(3)由 (1) 可知，当图象 G 与 x 轴有两个交点时， ?? > 0，当抛物线顶点在 x 轴上时， 4??2 - 4?? = 0，∴??= 1或0(舍弃)，∴观察观察图象可知，当图象 G 与 x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为，则 ??的??11取值范围是 0 < ??1<1．故答案为 0 < ??1 < 1．(4) 当 ?? < 0时，观察图象可知，不存在点 A 满足条件，当 ?? = 0 时，图象 G 在矩形 ABCD 内的部分所对应的函数值y 随 x 的增大而减小，满足条件，如图 3 中，当 ?? > 1 时，如图 4 中，设抛物线与x 轴交于 E， F，交 y 轴于 N，观察图象可知当点 A 在 x 轴下方或直线 ??= -?? 和 y轴之间时 ( 可以在直线 ??= -?? 上 ) 时，满足条件．则有 (2?? - 2) 2 - 2??(2?? - 2) + ??< 0，解得 ??> 4，3或-?? ≤2??- 2 < 0，2解得3≤ ??< 1(不合题意舍弃)，当 0 < ?? ≤ 1 时，如图 5 中，当点 A 在直线 ??= -?? 和 y 轴之间时 ( 可以在直线 ??= -?? 上) 时，满足条件．第21 页，共 22页即或 -?? ≤ 2??- 2 < 0，2解得3≤??< 1，综上所述，满足条件m 的值为 ?? = 0 或?? > 4或2≤ ?? < 1．33(1)分 ?? > 0，?? = 0， ?? < 0三种情形分别求解即可解决问题．(2)分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可．(3) 由 (1) 可知，当图象G 与 x 轴有两个交点时，?? > 0，求出当抛物线顶点在x 轴上时m的值，利用图象法判断即可．(4)分四种情形：① ?? < 0，② ?? = 0，③ ?? > 1，④0 < ?? ≤ 1，分别求解即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．第22 页，共 22页。
2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷含答案
中考数学模拟试卷（一）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.给出四个实数-2，，0，-1，其中最小的数是（ ）A.-2． B. C. 0． D. -1．2.2019长春国际马拉松赛事规模为30000人，将30000用科学记数法表示为（ ）A. 3×105B. 0.3×105C. 30×103D. 3×1043.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）A.B.C.D.4.我国古代数学著作《孙子算经》中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完，问城中共有多少户人家？设城中共有x户人家，根据题意，下列列出的方程正确的是（ ）A. x-=100B. x+=100C. x+3x=100D. 3x+=1005.将一副三角尺按如图的方式摆放，则∠α的度数是（ ）A. 45°B. 60°C. 75°D. 105°6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结OA、OC．若∠AOC=∠ABC，则∠D的大小为（ ）A. 50°B. 60°C. 80°D. 120°7.如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点D处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（ ）A. 米B. 2sin70°米C. 米D. 2.2cos70°米8.如图，直线AB交x轴正半轴于点A（1，0），交y轴于点B（0，1），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，点C、D均在反比例函数y=的图象上，则m的值为（ ）A.1 B. C. D. 2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.×=______．10.已知关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的c值为______．11.如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S1-S2的值为______．（结果保留π）12.如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O．若与∠1、∠2、∠3、∠4相邻的四个外角的和等于230°，则∠BOD的度数为______度．13.小明家的客厅有一张直径为1.1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是____．14.如图，抛物线y=a（x+2）2+3（a＜0）与y轴正半轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴交抛物线于点M、交x轴于点N，连结MA、MB 、NA、NB，则四边形ANBM的面积为______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.先化简，再求值：a（a+5）+（1-a）（1+a）．其中a=．16.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．17.如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，点M、N均在小长方形的顶点，请在大长方形中完成下列画图．要求：仅用无刻度的直尺．（1）在图①中，作一个等腰三角形MNP，使点P在小长方形的顶点．（2）在图②中，作一直线CD，使CD与直线MN垂直．18.汽开区要对长7500米的一段天然气管道进行改造，某工程队承包了这一工程，该工程队实际工作效率是原计划的1.5倍，结果提前25天完工，求该工程队实际每天改造天然气管道的长度．19.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC=2，BC=3．点E是BC延长线上一点，且CE=3，连结DE．（1）求证：四边形ACED为矩形．（2）连结OE，求OE的长．20.某兴趣小组借助“微信运动”中显示的步数情况，随机调查了该校n名教师青年节的运动步数，并进行统计整理，绘制了如下的统计图表．n名教师青年节的运动步数频数分布表步数范围频数0≤x＜400044000≤x＜8000158000≤x＜12000612000≤x＜160001016000≤x＜2000020000≤x＜25000n名教师青年节的运动步数频数分布直方图请根据以上信息，解答下列问题：（1）求n的值，并补全频数分布直方图．（2）这组数据的中位数落在频数分布表中的哪个步数范围？（3）根据上述调查结果，估计该校450名教师青年节的运动步数低于4000的人数．21.甲、乙两个底面积相同的游泳池同时排水，甲池4小时将水全部排完．设甲乙两池水面高度为h（米），时间为t（时），h与t之间的函数图象如图所示（1）求甲池每小时排水的高度．（2）求点P的坐标，并说明点P的实际意义．（3）当一个池中的水先放完时，则另一个池中水面的高度为______米．22.已知∠MBN=60°，BD平分∠MBN，点A在BM上，点C在BN上，且AB=BC，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随着点P 的位置变化而变化．【探究】如图1，当点E在BD下方，连接CE．证明：BP=CE，CE⊥BN．【应用】如图2，当点E在BD上方，连接AC．若AB=2，BE=，则四边形ACPE 的面积为______．23.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，动点P从点A出发，沿对角线AC以每秒4个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、C重合），过点P作AC的垂线交直线DC于点M，交直线AB于点N，过点M作ME∥AD交直线AB于点E．设点P的运动时间为x（秒）．（1）用含x的代数式表示线段DM的长（2）当=时，求x的值．（3）设△MEN与矩形ABCD重合部分图形的周长为y，求y与x之间的函数关系式．（4）点F为线段PN的中点，当点F落在△ABC一个内角的平分线上时，直接写出x的值．24.在平面直角坐标系中，函数y=-x2+x+m（x≥2）的图象记为G1，函数y=-x2+2x-m（x＜2）的图象记为G2，其中m为常数，且m≠0．图象G1、G2合起来得到的图形记为G，直线y=-3上有两点A、B关于y轴对称，且点A的横坐标为m．（1）当点（1，3）在G上时，求m的值．（2）当点A在G上时，求线段AB的长．（3）设图形G上最高点的纵坐标为y0，当2≤y0≤时，直接写出m的取值范围．（4）当图形G与线段AB恰有两个公共点时，m=______．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵-2＜-1＜0＜，∴四个实数-2，，0，-1中最小的是-2，故选：A．先比较数的大小，再得出答案即可．本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．2.【答案】D【解析】解：将30000用科学记数法表示为3×104．故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：C．由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．此题主要考查了由三视图判断几何体．主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．4.【答案】B【解析】解：设有x户人家，依题意，得：x+=100．故选：B．设城中共有x户人家，根据“每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：如图：∵∠DEC=∠ABE=90°，∴AB∥DE，∴∠AGD=∠D=30°，∴∠α=∠AHG=180°-∠A-∠AGD=180°-45°-30°=105°，故选：D．根据平行线的性质和根据三角形的内角和计算即可．本题考查的是平行线的判定和性质以及三角形的内角和的性质，掌握三角形的内角和是180°是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵四边形内接于⊙O，∠AOC=2∠ADC，∴∠ADC+∠ABC=∠AOC+∠ABC=180°．又∠AOC=∠ABC，∴∠AOC=120°．∴∠D=60°，故选：B．利用圆周角定理和圆内接四边形的性质结论．本题考查了圆周角定理、弧长的计算，本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的关系得出角的度数，从而得到∠AOC=∠ABC=120°，从而得出劣弧AC的长．7.【答案】C【解析】解：∵DA=0.2米，AB=2米，∴DB=DA+AB=2.2米，∵光线与地面成80°角，∴∠BCD=80°．又∵tan∠BCD=，∴DC==m．故选：C．由已知条件易求DB的长，在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，80°角的正切值=窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系是解题关键．8.【答案】D【解析】解：∵A（1，0），B（0，1），∴OA=OB=1，过D作DE⊥x轴于E，∵∠BAO+∠ABO=∠BAO+∠DAE=90°，∴∠ABO=∠DAE，在△ABO和△DAE中，，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴AE=OB=1，DE=OA=1，∴D（2，1），∵D在反比例函数y=的图象上，∴m=2×1=2，故选：D．构造全等三角形求出点D坐标，可得反比例函数的解析式．本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是求得D点的坐标．9.【答案】2【解析】解：×===．根据二次根式的乘法法则计算，结果要化简．主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则=（a≥0，b≥0）．10.【答案】1（答案不唯一）【解析】解：由题意可知：△=9-4c＞0，∴c＜，故答案为：1（答案不唯一）根据根的判别式即可求出答案．本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根判别式，本题属于基础题型．11.【答案】π【解析】解：如图，设图中③的面积为S3．由题意：，可得S1-S2=π，故答案为π．如图，设图中③的面积为S3．构建方程组即可解决问题．本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．12.【答案】50【解析】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为230°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+230°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=490°，∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°-490°=50°，故答案为：50由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE 的内角和，则可求得∠BOD．本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．13.【答案】（3.76，0）【解析】【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：由题意得：BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴=，∵BC=1.1，∴DE=1.76，∴OE=OD+DE=2+1.76=3.76．∴E（3.76，0）．故答案为（3.76，0）．14.【答案】6【解析】解：抛物线y=a（x+2）2+3的顶点坐标为（-2，3），抛物线的对称轴为直线x=-2，∵AB∥x轴，∴AB=2×2=4，∴四边形ANBM的面积=×AB×MN=×4×3=6．故答案为6．根据二次函数的性质得到抛物线y=a（x+2）2+3的顶点坐标为（-2，3），抛物线的对称轴为直线x=-2，利用抛物线的对称性得到AB=4，然后根据三角形面积公式计算即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．15.【答案】解：原式=a2+5a+1-a2=5a+1，当a=时，原式=5×+1=+1．【解析】直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式进而化简得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确合并同类项是解题关键．16.【答案】解：画树状图：共有12个等可能的结果，其中恰好是甲乙的占2个，所有恰好选中甲、乙两位同学的概率==【解析】先画出树状图展示12个等可能的结果，再找出恰好是甲乙的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求事件A或B的概率．17.【答案】解：（1）如图①中，△MNP即为所求．（2）如图②中，直线CD即为所求．【解析】（1）利用数形结合（利用勾股定理）的思想画出图形即可．（2）利用数形结合（构造全等三角形）的思想解决问题即可．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18.【答案】解：设该工程队原计划每天改造天然气管道的长度为x米，则实际每天改造天然气管道的长度为1.5x米，依题意，得：-=25，解得：x=100，经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意，∴1.5x=150．答：该工程队实际每天改造天然气管道的长度为150米．【解析】设该工程队原计划每天改造天然气管道的长度为x米，则实际每天改造天然气管道的长度为1.5x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前25天完工，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD=BC=3，AD∥BC，∵CE=3，∴AD=CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AC⊥BC，∴∠ACE=90°，∴四边形ACED为矩形；（2）解：∵BO=DO，BC=CE，∴OC=DE=AC=1，∵∠ACE=90°，∴OE===．【解析】（1）根据平行四边形的性质得到AD=BC=3，AD∥BC，得到AD=CE，推出四边形ACED是平行四边形，由垂直的定义得到∠ACE=90°，于是得到结论；（2）根据三角形的中位线定理得到OC=DE=AC=1，由勾股定理即可得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．20.【答案】解：（1）由题意知n=4+15+6+10+3+2=40，补全频数分布直方图如下：（2）∵共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在8000≤x＜12000，这组数据的中位数落在频数分布表中的8000≤x＜12000；（3）估计该校450名教师青年节的运动步数低于4000的人数为450×=45（人）．【解析】（1）综合频数分布表和频数分布直方图可得教师的总人数n，并可以补全直方图；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．此题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体的统计思想，理清统计图中各个数据之间的关系是解决问题的关键．21.【答案】0.6【解析】解：（1）∵2÷4=0.5（米/时），∴甲池每小时排水的高度为0.5米；（2）甲池h与t之间的函数关系式为h=-0.5t+2，当0≤t≤3时，设乙池h与t之间的函数关系式为h=kt+b，把（0，1.5），（3，1.2）代入，得，解得，∴h=-0.1t+1.5；由得，∴点P的坐标为（1.25，1.375），点P的实际意义为：当排水1.25小时，甲、乙两池中水面的高度相等，均为1.375米；（3）由甲池中的水4小时放完．当3＜t≤5时，设乙池中水面高度h（米）与时间t（小时）的函数关系为：h=k1t+b1，把（3，1.2），（5，0）代入得，，解得，∴h=-0.6t+3，当t=4时，h=-0.6×4+3=0.6，即当一个池中的水先放完时，则另一个池中水面的高度为0.6米．故答案为：0.6（1）根据甲池4小时将水全部排完即可得出结论；（2）两者相等即可求出p点坐标；（3）由甲池中的水4小时放完，把t=4代入乙池中水面高度h（米）与时间t（小时）的函数关系为h=-0.6t+3，即可求解．本题考查了一次函数的应用，难度较大，关键是掌握根据图象获取信息的能力．22.【答案】【解析】【探究】证明：如图1，连接AC，∵∠MBN=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠BCA=60°，∵△APE是等边三角形，∴∠PAE=60°，AP=AE，∴∠BAC=∠PAE，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP=CE，∠ABP=∠ACE，∵BD平分∠MBN，∴∠ABP=∠MBN=×60°=30°，∴∠ACE=30°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=60°+30°=90°，∴CE⊥BN；【应用】解：如图2，同理得△ABP≌△ACE（SAS），∴∠ACE=∠ABP=30°，∵∠ACB=60°，∴∠BCE=60°+30°=90°，Rt△BCE中，BE=，AC=AB=2，∴CE=BP==3，Rt△ABO中，∠ABO=30°，AB=2，∴AO=1，BO=，∴OP=3-=2，由勾股定理得：AP==，∴S四边形ACPE=S△ACP+S△APE，=+AP2，=+×，=2+，=．故答案为：．【探究】证明△ABP≌△ACE（SAS），可得BP=CE，∠ABP=∠ACE，分别求∠ACE=30°，∠ACB=60°，可得CE⊥BN；【应用】如图2，同理得△ABP≌△ACE（SAS），得∠ACE=∠ABP=30°，根据S四边形=S△ACP+S△APE，代入可得结论．ACPE本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、四边形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】解：（1）当M与D重合时，如图1，∴∠APD=90°，∴∠ADP+∠DAP=∠DAP+∠PAN=90°，∴∠ADP=∠PAN，∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，∴AC=10，∴sin∠ADP=sin∠PAN=，∴，AP=3.6，由题意得：AP=4x，此时4x=3.6，x=，∴当0＜x≤时，如图2，M在CD的延长线上，∵∠AGP=∠CAB=∠DGM，∴sin∠AGP=sin∠CAB，∴，∴，AG=，∴DG=6-，∵tan∠DGM==，∴=，DM=-5x+；②当＜x＜时，如图3，M在边CD上，∵AC=10，AP=4x，Rt△CPM中，cos∠PCM=，∴，CM=-5x，∴DM=8-（-5x）=5x-；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△MPC∽△NPA，∴=（）2=，∴=，∴=，∴x=；（3）分三种情况：①当0＜x≤时，如图2，△MEN与矩形ABCD重合部分图形是△AGN，由（1）知：AG=，∵∠AGP=∠CAB，∠GAN=∠B=90°，∴△GAN∽△ABC，∴△GAN的周长：△ABC的周长=AG：AB，∴，即y=20x；如图4，当N与B重合时，cos∠PAB=，即，x=②当＜x≤时，如图3，△MEN与矩形ABCD重合部分图形是△MEN，∵∠EMN=∠BAC，∠MEN=∠B=90°，∴△MEN∽△ABC，∴△MEN的周长：△ABC的周长=ME：AB，∴，y=18；③当＜x＜时，如图5，△MEN与矩形ABCD重合部分图形是四边形MEBG，cos∠PAB=，∴，AN=5x，∴BN=AN-AB=5x-8，∵∠BGN=∠EMN=∠BAC，∴sin∠BGN=sin∠BAC=，∴，∴GN===，同理得：BG=，∴y=18-BN-GN+BG=18-（5x-8）-+=-+；综上，y与x之间的函数关系式为：y=；（4）分两种情况：①当F在∠ACB的平分线上，如图6，过F作GH∥AB，交AC于H，交BC于G，∴GH⊥BC，∵PF⊥PC，∴∠CFP=∠CFG，∴CG=CP=10-4x，∵F是PN的中点，FH∥AN，∴AH=PH=2x，∴CH=10-2x，∵∠CHG=∠CAB，∴sin∠CHG=sin∠CAB=，∴=，x=；②当F在∠ABC的平分线上，如图7，过F作GH∥AB，交AC于H，交BC于G，过H 作HQ⊥AB于Q，同理得：AH=2x，sin∠HAQ=，HQ=BG=1.2x，∵BF平分∠ABC，∴∠GBF=45°，∴FG=BG=1.2x，由①知：FH是△PAN的中位线，∴FH=AN=x，∴GH=FH+FG=2.5x+1.2x=3.7x，∵cos∠CHG=，∴=，x=，综上，x的值是秒或秒．【解析】（1）先确定当M与D重合时，x=0.9，分两种情况利用三角函数定义可得DM 的长；（2）证明△MPC∽△NPA，得=（）2=，列方程为=，可得x的值；（3）分三种情况：①当0＜x≤时，如图2，△MEN与矩形ABCD重合部分图形是△AGN，②当＜x≤时，如图3，△MEN与矩形ABCD重合部分图形是△MEN，③当＜x＜时，如图5，△MEN与矩形ABCD重合部分图形是四边形MEBG，分别根据三角形和四边形的周长公式可得结论；（4）存在两种情况：F在∠ACB和∠ABC的角平分线上时，根据图形列方程可得结论．本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角函数、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，分类讨论和数形结合的思想是解题的关键．24.【答案】3或4【解析】解：（1）把点（1，3）代入y=-x2+2x-m，则-1+2-m=3，∴m=-2．（2）当m≥2时，-m2+m+m=-3，解得：m1=3，m2=-1（舍去）；∴AB=2m=6．当m＜2时，-m2+2m-m=-3，解得：m1=（舍去），m2=；∴AB=-2m=-1；（3）当图形G上最高点落在函数y=-x2+x+m（x≥2）的图象上时，则最高点坐标为（2，m-2）∴2≤m-2≤，解得：4≤m≤；当图形G上最高点落在函数y=-x2+2x-m（x＜2）的图象上时，∵y=-x2+2x-m=-（x-1）2-m+1，∴最高点坐标为（1，-m+1）∴2≤-m+1≤，解得：≤m≤-1综上所述，m的取值范围为：≤m≤-1或4≤m≤；（4）∵图形G与线段AB恰有两个公共点，A（m，-3），B（-m，-3）∴分两种情况：两个公共点均在函数y=-x2+2x-m（x＜2）的图象上或分别在G1，G2上，当两个公共点均在函数y=-x2+2x-m（x＜2）的图象上时，则-22+2×2-m=-3，解得：m=3，当线段AB与G1，G2上各有一个交点时，∴-m+1=-3，解得m=4，综上所述，m=3或4；故答案为：3或4．（1）直接代入求值即可；（2）根据题意，建立方程求解即可；（3）分两种情况：①图形G上最高点落在函数y=-x2+x+m（x≥2）的图象上时，则最高点坐标为（2，m-2），根据题意解不等式组即可，②图形G上最高点落在函数y=-x2+2x-m （x＜2）的图象上时，最高点坐标为（1，-m+1），解不等式组即可；（4）分两种情况：两个公共点均在函数y=-x2+2x-m（x＜2）的图象上或分别在G1，G2上，分别求解即可．本题考查了二次函数图象和性质，二次函数最值应用，直线（线段）与函数图象交点，解题时要注意数形结合．第21页，共21页。
2020年吉林省长春中考数学模拟试卷
中考数学模拟试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.在-1，0，-，2这四个数中，最大的数是（）A. 0B. 2C. -D. -12.近年来，国家重视精准扶贫，收效显著．据统计约有65 000 000人脱贫，把65 000000用科学记数法表示，正确的是（）A. 0.65×108B. 6.5×107C. 6.5×108D. 65×1063.用6个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是（）A.B.C.D.4.不等式5x-1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.5.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2=42°，则∠1=（）A. 48°B. 42°C. 40°D. 45°6.如图，AC是旗杆AB的一根拉线，拉直AC时，測得BC=3米，∠ACB=50°，则AB的高为（）A. 3cos50°米B. 3tan50°米C. 米D. 米7.《孙子算经》中有这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺，问木材的长为多少尺？”若设木材的长为x尺，绳子长为y尺，则根据题意列出的方程组是（）A. B. C. D.8.在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（2，0），顶点A的坐标为（0，4），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C'的坐标为（）A. （，0）B. （4，0）C. （，0）D. （5，0）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：+=______．10.已知关于x的方程kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C= ______ ．12.如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=5，BD=3，则BF=______．13.直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则M的坐标为______．14.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（3，0），顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y=-x2-5x+c经过点B、C，则菱形ABCD的面积为______．三、解答题（本大题共10小题，共80.0分）15.先化简，再求值（x-1）（x-2）-（x+1）2，其中x=．16.如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．17.某蔬菜店第一次用400元购进某种蔬菜，由于销售状况良好，该店又用700元第二次购进该品种蔬菜，所购数量是第一次购进数量的2倍，但进货价每千克少了0.5元．求第一次所购该蔬菜的进货价是每千克多少元？18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．求证：∠A=∠ADE．19.每年4月23日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取20名学生，对每人每周用于课外阅读的平均时间（单位：min）进行调查，过程如下：收集数据：30608150401101301469010060811201407081102010081课外阅读平均时0≤x＜4040≤x＜8080≤x＜120120≤x＜160间x（min）等级D C B A人数3a8b平均数中位数众数80m n请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）填空：a=______；b=______；m=______；n=______；（2）已知该校学生500人，若每人每周用于课外阅读的平均时间不少于80min为达标，请估计达标的学生数；20.图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图①、图②给定的网格中按要求作图．（1）在图①中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小（2）在图②中的格线MN上确定一点Q，使∠AQM=∠BQM．要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．21.甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟______米，乙在A地时距地面的高度b为______米．（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？22.阅读理解：在以后你的学习中，我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若点D是斜边AB的中点，则CD=AB．灵活应用：如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接BE，CE．（1）求AD的长：（2）判断△BCE的形状：（3）请直接写出CE的长．23.如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A向终点B运动，过点P作PF⊥AC于点F，以AF，AP为邻边作▱FAPG；▱FAPG与等腰直角△ABC的重叠部分面积为S（平方单位），S＞0，点P的运动时间为t秒．（1）直接写出点G落在BC边上时的t值．（2）求S与t的函数关系式．（3）直接写出点G分别落在△ABC三边的垂直平分线上时的t值．24.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（-1，2）在图象G上，求n的值．（2）当n=-1时．①若Q（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为-5，直接写出k 的取值范围．（3）当以A（-3，3）、B（-3，-1）、C（2，-1）、D（2，3）为顶点的矩形ABCD 的边与图象G有且只有三个公共点时，直接写出n的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵正数大于0，负数小于0，∴在-1，0，-，2这四个数中，最大的数是2，故选：B．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数进行比较即可得出答案．此题主要考查了有理数的大小的比较，解题的关键利用正负数的性质可以解决问题．2.【答案】B【解析】解：65 000000=6.5×107．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列上层是一个小正方形，第三列上层是一个小正方形．故选：D．根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示. 先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可.【解答】解：移项得，5x-2x＞5+1，合并同类项得，3x＞6，系数化为1得，x＞2，在数轴上表示为：故选A.5.【答案】A【解析】解：如图，∵∠2=42°，∴∠3=90°-∠2=48°，∴∠1=48°．故选：A．由互余得出可求得∠3的度数，然后由两直线平行，同位角相等求得∠1的度数．此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵BC=3米，∠ACB=50°，tan∠ACB=，∴旗杆AB的高度为AB=BC×tan∠ACB=3tan50°（米），故选：B．在Rt△ABC中，利用∠ACB=50°的正切函数解答．本题考查了三角函数的基本概念，主要是正切函数概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．7.【答案】C【解析】【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-绳长=1，据此可列方程组．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．【解答】解：设木材的长为x尺，绳子长为y尺，依题意得，故ABD错误，C正确.故选C.8.【答案】D【解析】解：如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ACB=90°，∴∠OAC+∠ACO=∠ACO+∠BCD=90°，∴∠OAC=∠BCD，∴△AOC≌△CDB（AAS）∴OA=CD=4，OC=BD=2，∴B（6，2）点B在反比例函数y=的图象上，∴k=12，∴反比例函数的关系式为：y=，当y=4时，即：4=，解得：x=3，因此点A向右平移3个单位，落在反比例函数的图象上，故点C也相应向右平移3个单位，∴点C′（5，0）故选：D．根据三角形全等，可以求出点B的坐标，进而求出反比例函数的关系式，从而确定点A 对应在双曲线上的点A′，从点A到点A′平移的距离就是点C到点C′的距离，最后确定点C′的坐标．考查反比例函数图象上点的坐标特点、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、以及平移的相关知识，掌握点A到对应的点A′平移距离与点C到点C′的距离相等是关键，正确求出函数关系式是前提，综合应用知识能力较强．9.【答案】2【解析】解：原式=5-3=2．故答案为：2．直接利用算术平方根以及立方根的性质计算得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．10.【答案】k＜2且k≠0【解析】解：∵a=k，b=-4，c=2，△=b2-4ac=16-8k＞0，即k＜2方程有两个不相等的实数根，且二次项系数不为零，k≠0．则k的取值范围是k＜2且k≠0．故答案为：k＜2且k≠0．方程有两个不相等实数根，则根的判别式△＞0，建立关于k的不等式，求得k的取值范围，且二次项系数不为零．考查了一元二次方程的定义，根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．11.【答案】35°【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠C=∠CAE，∵在Rt△ABE中，∠ABC=90°，∠BAE=20°，∴∠AEB=70°，∴∠C+∠CAE=70°，∴∠C=35°．故答案为：35°．由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠BAE=20°，即可求得∠C的度数．此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12.【答案】【解析】解：∵a∥b∥c，∴=，即=，∴DF=，∴BF=BD+DF=3+=．故答案为．利用平行线分线段成比例定理得到=，这样利用比例性质可求出DF，然后计算BD+DF即可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13.【答案】（0，3）【解析】解：当x=0时，y=-x+8=8，∴点B（0，8），OB=8；当y=-x+8=0时，x=6，∴点A（6，0），OA=6，∴AB==10．根据折叠的性质可知：∠BAM=∠B′AM，∴AM平分∠BAO．（方法一）设OM=m，则BM=8-m，∵AM平分∠BAO，∴=，即=，解得：m=3，∴点M的坐标为（0，3）；（方法二）过点M作MN⊥AB于N，如图所示．设MO=n，则MN=MO=n，BM=8-n．∵∠ABO=∠MBN，∠AOB=∠MNB=90°，∴△ABO∽△MBN，∴=，即=，解得：n=3，∴点M的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，进而可得出OA、OB的长度，结合勾股定理可得出AB的长度，根据折叠的性质可得出AM平分∠BAO．（方法一）设OM=m，则BM=8-m，根据角平分线的性质可得出=，即=，解之即可得出点M的坐标；（方法二）过点M作MN⊥AB于N，设MO=n，则MN=MO=n，BM=8-n，根据相似三角形的性质（或者正弦的定义）可得出=，即=，解之即可得出点M的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质、解一元一次方程，相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质，根据角平分线的性质或者相似三角形的性质，列出一元一次方程是解题的关键．14.【答案】20【解析】解：抛物线的对称轴为x=-=-．∵抛物线y=-x2-5x+c经过点B、C，且点B在y轴上，BC∥x轴，∴点C的横坐标为-5．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD=5，∴点D的坐标为（-2，0），OA=3．在Rt△ABC中，AB=5，OA=3，∴OB==4，∴S菱形ABCD=AD•OB=5×4=20．故答案为：20．根据抛物线的解析式结合抛物线过点B、C，即可得出点C的横坐标，由菱形的性质可得出AD=AB=BC=5，再根据勾股定理可求出OB的长度，套用平行四边形的面积公式即可得出菱形ABCD的面积．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的性质以及平行四边形的面积，根据二次函数的性质、菱形的性质结合勾股定理求出AD=5、OB=4是解题的关键．15.【答案】解：（x-1）（x-2）-（x+1）2，=x2-2x-x+2-x2-2x-1=-5x+1当x=时，原式=-5×+1=-．【解析】根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答．本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式．16.【答案】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为4，所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率=．【解析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．17.【答案】解：设第一次购买蔬菜的进货价为每千克为x元，∴第二次购买蔬菜的进货价为每千克为（x-0.5）元，∴2×=，∴x=4，经检验，x=4是原方程的解，答：第一次所购该蔬菜的进货价是每千克4元【解析】设第一次购买蔬菜的进货价为每千克为x元，根据题意列出方程即可求出答案．本题考查分式方程，解题的关键是正确找出等量关系，本题属于基础题型．18.【答案】证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．【解析】由三角形内角和定理和切线的性质易证证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°，根据同角的余角相等即可证明∠A=∠ADE．本题考查切线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】5 4 81 81【解析】解：（1）由统计表收集数据可知a=5，b=4，m=81，n=81；故答案为：5，4，81，81；（2）500×=300（人）．答：估计达标的学生有300人；（1）根据统计表收集数据可求a，b，再根据中位数、众数的定义可求m，n；（2）达标的学生人数=总人数×达标率，依此即可求解；此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本和总体的关系是关键．20.【答案】解：（1）如图①，作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，此时PA+PB=PA′+PB=BA′，根据两点之间线段最短，此时PA+PB最小；（2）如图②，作B关于MN的对称点B′，连接AB′并延长交MN于Q，此时∠AQM=∠BQM．【解析】本题考查了作图-应用与设计作图，轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）如图①，作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，P点即为所求；（2）如图②，作B关于MN的对称点B′，连接AB′并延长交MN于Q，Q点即为所求．21.【答案】10 30【解析】解：（1）（300-100）÷20=10（米/分钟），b=15÷1×2=30．故答案为：10；30．（2）当0≤x≤2时，y=15x；当x≥2时，y=30+10×3（x-2）=30x-30．当y=30x-30=300时，x=11．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=．（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=10x+100（0≤x≤20）．当10x+100-（30x-30）=50时，解得：x=4；当30x-30-（10x+100）=50时，解得：x=9；当300-（10x+100）=50时，解得：x=15．答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；（2）分0≤x≤2和x≥2两种情况，根据高度=初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度-甲登山全程中y关于x的函数关系式=50，即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度=初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程．22.【答案】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，由勾股定理得，BC==5，∵点D是BC的中点，BCRt△ABC的斜边，∴AD=BC=；（2）△BCE为直角三角形．理由：∵D是BC的中点∴CD=BD∵将△ABD沿AD翻折得到△AED，∴DE=DB，∴CD=DE=DB，∴∠DEC=∠DCE，∠DEB=∠DBE，∵∠DEC+∠DCE+∠DEB+∠DBE=180°，∴∠DEB+∠DEC=90°，∴∠BEC=90°，∴△BCE是直角三角形；（3）如图，连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．由题可得AD=DC=DB=，∵•BC•AH=•AB•AC，∴AH=，∵AE=AB，DE=DB，∴点A在BE的垂直平分线上，点D在BE的垂直平分线上，∴AD垂直平分线段BE，∵•AD•BO=•BD•AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中，EC===．【解析】（1）依据勾股定理进行计算即可得到BC的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到结论；（2）依据CD=DE=DB，可得∠DEC=∠DCE，∠DEB=∠DBE，再根据三角形内角和定理，即可得出∠DEB+∠DEC=90°，进而得到△BCE是直角三角形；（3）利用•BC•AH=•AB•AC，可得AH=，依据AD垂直平分线段BE，可得•AD•BO=•BD•AH，即可得出OB=，BE=2OB=，最后在Rt△BCE中，运用勾股定理可得EC==．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高．解题时注意：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．23.【答案】解：（1）如图1中，∵BA=BC，∠B=90°，∴∠A=∠C=45°，∵PF⊥AC，∴∠AFP=90°，∴∠A=∠APF=45°，∵四边形APGF是平行四边形，∴PG∥AC，AF=PF=PG，∴∠BPG=∠A=45°，∵PA=2t，∴AF=FP=PG=t，∴PB=BG=t，∵PA+PB=AB=8，∴3t=8，∴t=，∴当t=时，点G落在BC上．（2）①如图2-1中，当0＜t≤时，重叠部分是平行四边形APGF，S=t×t=2t2②如图2-2中，当＜t≤4时，重叠部分是五边形APMNF，S=S平行四边形APGF-S△MNG=2t2-×（3t-8）2=-t2+24t-32．综上所述，S．（3）如图3-1中，当点G落在AB的中垂线上时，AM=BM=4，可得2t+t=4，解得t=．如图3-2中，当点G落在AC的中垂线上时，AP=PB，此时t=2．如图3-3中，当点G落在AB的中垂线上时，点P与B重合，此时t=4．综上所述，满足条件的t的值为或2或4．【解析】（1）证明△AFP，△FPG，△PBG都是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质构建方程求解即可．（2）分两种情形：①如图2-1中，当0＜t≤时，重叠部分是平行四边形APGF．②如图2-2中，当＜t≤4时，重叠部分是五边形APMNF，分别求解即可．（3）分三种情形：如图3-1中，当点G落在AB的中垂线上时，如图3-2中，当点G落在AC的中垂线上时，如图3-3中，当点G落在AB的中垂线上时，分别求解即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2-4x+n=（x-2）2+n-4，∴顶点坐标为（2，n-4），∵将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，∴图象G2的顶点坐标为（-2，-n+4），∴图象G2的解析式为：y=-（x+2）2+4-n，若点P（-1，2）在图象G1上，∴2=9+n-4，∴n=-3；若点P（-1，2）在图象G2上，∴2=-1+4-n，∴n=1；综上所述：点P（-1，2）在图象G上，n的值为-3或1；（2）①当n=-1时，则图象G1的解析式为：y=（x-2）2-5，图象G2的解析式为：y=-（x+2）2+5，若点Q（t，1）在图象G1上，∴1=（t-2）2-5，∴t=2±，若点Q（t，1）在图象G2上，∴1=-（t+2）2+5，∴t1=-4，t2=0②如图1，当x=2时，y=-5，当x=-2时，y=5，对于图象G1，在y轴右侧，当y=5时，则5=（x-2）2-5，∴x=2+＞3，对于图象G2，在y轴左侧，当y=-5时，则-5=-（x+2）2+5，∴x=-2-，∵当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为-5，∴-2-≤k≤-2；（3）如图2，∵图象G2的解析式为：y=-（x+2）2+4-n，图象G1的解析式为：y=（x-2）2+n-4，∴图象G2的顶点坐标为（-2，-n+4），与y轴交点为（0，-n），图象G1的顶点坐标为（2，n-4），与y轴交点为（0，n），当n≤-1时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD最多1交点，当-1＜n＜0时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有3交点，当n=0时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，当0＜n≤1时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有1交点，当1＜n＜3时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，当3≤n＜7时，图象G1与矩形ABCD有2个交点，当3≤n＜5时，图象G2与矩形ABCD 有2个交点，n=5时，图象G2与矩形ABCD有1个交点，n＞5时，没有交点，∵矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点，∴n=5，当n≥7时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD没有交点，综上所述：当n=0，n=5，1＜n＜3时，矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点．【解析】（1）先求出图象G1和G2的解析式，分点P分别在图象G1和G2上两种情况讨论，可求n的值；（2）①先求出图象G1和G2的解析式，分点P分别在图象G1和G2上两种情况讨论，可求t的值；②结合图象1，可求k的取值范围；（3）结合图象，分类讨论可求解．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．。
2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷含答案
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（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运 xkg 产品，可列方程为______． 小惠同学设甲型机器人搬运 800kg 所用时间为 y 小时，可列方程为______． （2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
6.【答案】C
【解析】解：设∠A=n°， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B=180°-n°，BC=AD=2， 由题意得，AE=AD=2，BE=BC=2，
∴图中阴影部分图形的周长之和= 的长+ 的长+CD= +4+
=4+2π，
故选：C． 根据平行四边形的性质、弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算、三角形内角和定理，掌握弧长公式：l= 是解题的关键．
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②当点 P、Q 的“榕树三角形”面积为 2，且抛物线 y=ax2+bx+c 与点 P、Q 的“榕 树三角形”恰有两个交点时，直接写出 m 的取值范围．
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】解：∵-2＜0， ∴|-2|=-（-2）=2． 故选：D． 计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值 定义去掉这个绝对值的符号． 本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以-2 的绝对值是 2．
17. 图①、图②均是 4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形 ABCD 的顶点均在格点上，仅用无刻度直尺，分别按下列要求画图． （1）在图①中的线段 CD 上找到一点 E，连结 AE，使得 AE 将四边形 ABCD 的面 积分成 1：2 两部分． （2）在图②中的四边形 ABCD 外部作一条直线 l，使得直线 l 上任意一点与点 A、 B 构成三角形的面积是四边形 ABCD 的面积的 ．（保留作图痕迹）
2020年长春市中考数学模拟考试试卷及答案解析
2020年长春市中考数学模拟考试试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在﹣2□3的“□”中填入一个运算符号使运算结果最小（）A．+B．﹣C．×D．÷2．（3分）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338600000亿次，数字338600000用科学记数法可表示为（）A．3.386×109B．0.3386×109C．33.86×107D．3.386×108 3．（3分）如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，俯视图改变B．左视图改变，俯视图改变C．俯视图不变，左视图改变D．主视图不变，左视图不变4．（3分）一元二次方程4x2+1＝3x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．（3分）如图，以正五边形ABCDE的边DE为边作等边三角形DEF，使点F在其内部，连结FC，则∠DFE的大小是（）A．76°B．66°C．60°D．48°6．（3分）在▱ABCD中，AB＜BC，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若▱ABCD 的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A ．20cmB ．40cmC ．15cmD ．10cm7．（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为1：2的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A ．4mB ．2√5mC ．8√33mD ．8m8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB 、AC 相交于点D ，BE ∥AC ，AE ∥OB ．函数y =k x（k ＞0，x ＞0）的图象经过点E ．若点A 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，2），则k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．4.5D ．6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：a 2•a 4＝ ．10．（3分）关于x 的方程x +2a ＝1的解是负数，则a 的取值范围是 ．11．（3分）如图，①以点A 为圆心2cm 长为半径画弧分别交∠MAN 的两边AM 、AN 于点B 、D ；②以点B 为圆心，AD 长为半径画弧，再以点D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点C ； ③分别连结BC 、CD 、AC ．若∠MAN ＝60°，则∠ACB 的大小为 ．12．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、AD 的中。
2020年吉林省长春市中考数学试卷(含答案解析)
2020年吉林省长春市中考数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A. −1B. −1.5C. −3D. −4.22.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为()A. 79×103B. 7.9×104C. 0.79×105D. 7.9×1053.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A. B. C. D.4.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D.通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是()A. sinA=BDAB B. cosA=ABADC. tanA=ADBDD. sinA=ADAB6.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为()A. 40°B. 140°C. 160°D. 170°7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是()A. ∠BDN=∠CDNB. ∠ADC=2∠BC. ∠ACD=∠DCBD. 2∠B+∠ACD=90°8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)，AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC.点P在线段AC上，且AP=2PC，函数y=kx(x>0)的图象经过点P.当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是()A. 0<k≤2B. 23≤k≤3 C. 23≤k≤2 D. 83≤k≤4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费______元．10.分解因式：a2−4=______．11.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是______．12.正五边形的一个外角的大小为______度．13.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作AD⏜，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为______(结果保留π)．14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2).若抛物线y=−32(x−ℎ)2+k(ℎ、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，则k的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.先化简，再求值：(a−3)2+2(3a−1)，其中a=√2．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．(图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B)17.图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：(1)在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；(2)三个图中所画的三角形的面积均不相等；(3)点C在格点上．18.在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19.如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．(1)求证：OE=OF．(2)若BE=5，OF=2，求tan∠OBE的值．20.空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014−2019年长春市空气质量级别天数统计表空气质量级别天数优良轻度污染中度污染重度污染严重污染年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：(1)长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是______年．(2)长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为______天，平均数为______天．(3)长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是______年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为______(精确到1%)．×(空气质量为“优”的天数的增长率=今年空气质量为“优”的天数−去年空气质量为“优”的天数去年空气质量为ext“优ext”的天数100%)(4)你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21.已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y(千米)与甲车行驶的时间x(时)之间的函数关系如图所示．(1)甲车的速度为______千米/时，a的值为______．(2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．(3)当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22.【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1.把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD(AB>AD)，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处(点Q在点C的左侧)，如图②，折痕为PF，点F 在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC=QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与=______．点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则ADAB23.如图①，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3.点P从点A出发，沿折线AB−BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P 不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ.设点P的运动时间为t秒．(1)当点P与点B重合时，求t的值．(2)用含t的代数式表示线段CE的长．(3)当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．(4)如图②，取PD的中点M，连结QM.当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与y轴交于点A．(1)求点A的坐标．(2)当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．(3)当x≤0时，若函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象的最低点到直线y=2a的距离为2，求a的值．(4)设a<0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a−1)、G(0,a−1).当函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P.过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′(P′与P不重合)，过点A 作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′.若AA′=2PP′，直接写出a的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于−4，且小于−2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．本题考查数轴表示数的意义和方法，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提．2.【答案】B【解析】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】A【解析】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形．故选：A．根据四棱柱的侧面展开图是矩形图进行解答即可．本题考查了几何体的展开图，此题应根据四棱柱的侧面展开图，进行分析、解答．4.【答案】D【解析】解：x≥3−2，x≥1，故选：D．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5.【答案】A【解析】解：在Rt△ABD中，∠ADB=90°，则sinA=BDAB ，cosA=ADAB，tanA=BDAD，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．6.【答案】B【解析】解：∵∠BOC=2∠BDC=2×20°=40°，∴∠AOC=180°−40°=140°．故选：B．先利用圆周角定理得到∠BOC=40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7.【答案】C【解析】解：由作图可知，MN 垂直平分线段BC ， ∴DB =DC ，MN ⊥BC ，∴∠BDN =∠CDN ，∠DBC =∠DCB ， ∴∠ADC =∠B +∠DCB =2∠B ， ∵∠A =90°，∴∠ADC +∠ACD =90°， ∴2∠B +∠ACD =90°， 故选项A ，B ，D 正确， 故选：C ．利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8.【答案】C【解析】解：∵点A 的坐标为(3,2)，AB ⊥x 轴于点B ， ∴OB =3，AB =2，设C(c,0)(0≤c ≤3)，过P 作PD ⊥x 轴于点D ， 则BC =3−c ，PD//AB ，OC =c ， ∴△PCD∽△ACB ， ∴PDAB =CDCB =CPCA ，∵AP =2PC ， ∴PD 2=CD 3−c =13， ∴PD =23，CD =1−13c ， ∴OD =OC +CD =1+23c ，∴P(1+23c,23)，把P(1+23c,23)代入函数y =kx (x >0)中，得 k =23+49c ，∵0≤c ≤3∴23≤k ≤2， 故选：C ．设C(c,0)(0≤c≤3)，过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出k关于c的解析式．9.【答案】(30m+15n)【解析】解：根据单价×数量=总价得，(30m+15n)元，故答案为：(30m+15n)．根据单价×数量=总价，用代数式表示结果即可．本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量=总价，是列代数式的前提．10.【答案】(a+2)(a−2)【解析】解：a2−4=(a+2)(a−2)．有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．11.【答案】1【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴(−2)2−4m=0，∴m=1，故答案为：1．由于关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．12.【答案】72【解析】解：正五边形的一个外角=360°5=72°．故答案为：72．根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键．13.【答案】π−2【解析】解：∵AB=CB=2，∠ABC=90°，∴AC=√AB2+BC2=√22+22=2√2，∴∠C=∠BAC=45°，∴S阴=S扇形CAD−S△ACB=45⋅π⋅(2√2)2360−12×2×2=π−2，故答案为π−2．利用勾股定理求出AC，证明∠C=45°，根据S阴=S扇形CAD−S△ACB计算即可．本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14.【答案】72【解析】解：∵点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)，∴AB=4，∵抛物线y=−32(x−ℎ)2+k(ℎ、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB=2，∴设点C的坐标为(c,2)，则点D的坐标为(c+2,2)，ℎ=2c+22=c+1，∴抛物线2=−32[c−(c+1)]2+k，解得，k=72．根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线，即可得到k 的值，本题得以解决．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15.【答案】解：原式=a2−6a+9+6a−2=a2+7．当a=√2时，原式=(√2)2+7=9．【解析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．本题考查了整式的混合运算−化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解．16.【答案】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是19．【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：如图所示：即为符合条件的三角形．【解析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可．本题考查了作图−应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格画出符合条件的三角形．18.【答案】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：3603x −80x=20，解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．【解析】设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB=∠OFD=90°，在△OEB和△OFD中，{∠OEB=∠OFD ∠BOE=∠DOF OB=OD，∴△OEB≌△OFD(AAS)，∴OE=OF；(2)解：由(1)得：OE=OF，∵OF=2，∴OE=2，∵BE⊥AC，∴∠OEB=90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE=OEBE =25．【解析】(1)由平行四边形性质得OB=OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；(2)由(1)得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．20.【答案】2018 7 8 2018 89%【解析】解：(1)从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；(2)将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为5+92=7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为13+15+5+9+1+56=8天，故答案为：7，8；(3)前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43−30=13天；2016年，51−43=8天；2017年，65−51=14天；2018年，123−65=58天；2019年，126−123=3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为123−6565×100%≈89%，故答案为：2018，89%；(4)从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少． (1)从折线统计图可得答案；(2)利用中位数、众数的意义分别计算即可；(3)分别计算从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数，进而利用增长率计算结果；(4)根据空气质量的等级天数进行判断即可．本题考查统计图表的意义，理解统计图表中数据之间的关系是正确解答的关键． 21.【答案】40 480【解析】解：(1)由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40(千米/时)； a =40×6×2=480， 故答案为：40；480；(2)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ， 由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)， ∴{2k +b =806k +b =480，解得{k =100b =−120，∴y 与x 之间的函数关系式为y =100x −120；(3)两车相遇前：80+100(x −2)=240−100，解得x =135；两车相遇后：80+100(x −2)=240+100，解得x =235，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．(1)根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a =240×2=480；(2)运用待定系数法解得即可；(3)分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22.【答案】√35【解析】(1)证明：如图①中，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A =∠ADA′=90°，由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°，∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA=DA′，∴四边形AEA′D是正方形．(2)解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴∠QFP=∠APF，由翻折可知，∠APF=∠FPQ，∴∠QFP=∠FPQ，∴QF=QP，∴△PFQ是等腰三角形．(3)如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG=GQ=FQ=PF，∵QF=QP，∴△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°，∴∠DQD′=30°，∵∠D′=90°，∴FD′=DF=12FQ=12m，QD′=√3D′F=√32m，由翻折可知，AD=QD′=√32m，PQ=CQ=FQ=m，∴AB=CD=DF+FQ+CQ=52m，∴ADAB =√32m52m=√35．故答案为√35．(1)根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．(2)证明∠QFP =∠FPQ 即可解决问题．(3)证明△PFQ ，△PGA 都是等边三角形，设QF =m ，求出AB ，AD(用m 表示)即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)当点P 与B 重合时，5t =4，解得t =45．(2)在Rt △ABC 中，∵∠B =90°，AB =4，BC =3， ∴AC =√AB 2+BC 2=√42+32=5， ∴sinA =35，cosA =45，如图①中，当点P 在线段AB 上时，在Rt △APE 中，AE =AP ⋅cosA =4t ， ∴EC =5−4t ．如图③中，当点P 在线段BC 上时，在Rt △PEC 中，PC =7−5t ，cosC =35， ∴EC =PC ⋅cosC =35(7−5t)=215−3t ．(3)当△PDQ 是等腰直角三角形时，则PE =DE ， 如图④中，当点P 在线段AB 上时，在Rt△APE中，PE=PA⋅sinA=3t，∵DE=AC−AE−CD−5−4t−2t=5−6t，∵PE=DE，∴3t=5−6t，∴t=59．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE=PC⋅sinC=45(7−5t)=285−4t，∵DE=CD−CE=2t−35(7−5t)=5t−215，∴285−4t=5t−215，解得t=5945．观察图象可知满足条件的t的值为0<t<59或4945<t<75．(4)如图⑥中，当点P在线段AB上，QM//AB时，过点Q作QG⊥AB于G，延长QN交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．∵PB//MN//DH，PM=DM，∴BN=NH，在RtPQG中，PQ=2PE=6t，∴QG=45PQ=245t，在Rt△DCH中，HC=35DC=65t，∵BC=BH+CH=245t+245t+65t=3，解得t=518．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM//BC时，点点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．∵QM//BC，DM=PM，∴DH=2PK，在Rt△PQK中，PQ=2PE=85(7−5t)，∴PK=35PQ=2425(7−5t)，在Rt△DCH中，DH=45DC=85t，∵DH=2PK，∴85t =2×2425(7−5t)， 解得t =65，综上所述，满足条件的t 的值为518或65．【解析】(1)根据AB =4，构建方程求解即可．(2)分两种情形：当点P 在线段AB 上时，首先利用勾股定理求出AC ，再求出AE 即可解决问题．当点P 在线段BC 上时，在Rt △PCE 中，求出EC 即可． (3)求出两种特殊情形△PDQ 是等腰直角三角形时，t 的值即可判断．(4)分两种情形：如图⑥中，当点P 在线段AB 上，QM//AB 时．如图⑦中，当点P 在线段BC 上，QM//BC 时，分别求解即可．本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)当x =0时，y =x 2−2ax −1=−1， ∴点A 的坐标为：(0,−1)；(2)将点(1,2)代入y =x 2−2ax −1， 得：2=1−2a −1， 解得：a =−1，∴函数的表达式为：y =x 2+2x −1， ∵y =x 2+2x −1=(x +1)2−2， ∴抛物线的开口向上，对称轴为x =−1，如图1所示：∴当x >−1时，y 随x 的增大而增大；(3)抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为：x =a ，顶点坐标为：(a,−a 2−1)， 当a >0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x ≤0， ∴最低点就是A(0,−1)， ∵图象的最低点到直线y =2a 的距离为2， ∴2a −(−1)=2， 解得：a =12； 当a <0，对称轴在y 轴左侧，顶点(a,−a 2−1)就是最低点，如图3所示：∴2a −(−a 2−1)=2， 整理得：(a +1)2=2， 解得：a 1=−1−√2，a 2=−1+√2(不合题意舍去)； 综上所述，a 的值为12或−1−√2；(4)∵a <0，Rt △EFG三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a −1)、G(0,a −1)， ∴直角边为EF 与FG ， ∵抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为：x =a ，A(0,−1)， ∴AA′=−2a ，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则x p =−1， ∵EA =OA =1，∴点P 在对称轴x =a 的左侧， ∴PP′=2(a +1)， ∵AA′=2PP′，∴−2a =2×2(a +1)， 解得：a =−23；当点P 在FG 边上时，如图5所示： 则y p =a −1，∴x 2−2ax −1=a −1，解得：x 1=a +√a 2+a ，x 2=a −√a 2+a ，∴PP′=a +√a 2+a −(a −√a 2+a)=2√a 2+a ， ∵AA′=2PP′，∴−2a =4√a 2+a ，解得：a 1=−43，a 2=0(不合题意舍去)； 综上所述，a 的值为−23或−43．【解析】(1)当x =0时，代入y =x 2−2ax −1，即可得出结果；(2)将点(1,2)代入y =x 2−2ax −1，得a =−1，则函数的表达式为y =x 2+2x −1，由y =x 2+2x −1=(x +1)2−2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x =−1，则当x >−1时，y 随x 的增大而增大；(3)抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为x =a ，顶点坐标为(a,−a 2−1)，当a >0时，对称轴在y 轴右侧，最低点就是A(0,−1)，则2a −(−1)=2，即可得出结果；当a <0，对称轴在y 轴左侧，顶点(a,−a 2−1)就是最低点，则2a −(−a 2−1)=2，即可得出结果；(4)易证直角边为EF 与FG ，由抛物线的对称轴为x =a ，A(0,−1)，则AA′=−2a ，当点P 在EF 边上时，PP′=2(a +1)，则−2a =2×2(a +1)，即可得出结果；当点P 在FG 边上时，求出PP′=2√a 2+a ，则−2a =4√a 2+a ，即可得出结果．本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．。
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图，在数轴上点M表示的数可能是()A. 1.5B. 2.5C. −1.5D. −2.52.港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长55公里，建成后将成为世界最长的跨海大桥，整座大桥计划投资720亿元，预计将在2018年7月1日正式通车，请将720亿用科学记数法表示为()A. 7.2×108B. 7.2×109C. 72×109D. 7.2×10103.下列选项的四个图形中是如图所示的侧面展开图的是()A.B.C.D.4.不等式2x≥x−1的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.5.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内).已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于()A. asinx+bsinxB. acosx+bcosxC. asinx+bcosxD. acosx+bsinx6.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=()A. 54°B. 64°C. 27°D. 37°AC的长为半径画7.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为()A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°8.反比例函数y=k的图象经过点A(−2,−5)，则当1<x<2时，y的取值范围是()xA. −10<y<−5B. −2<y<−1C. 5<y<10D. y>10二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.小明买了单价为10元的练习本a本和单价为5元的钢笔b支，他一共花费______元．10.分解因式：16a2−1=______ ．11.关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是______．12.正五边形的一个外角等于______°.13.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，D为边AB中点．以B为圆心，BD为半径作弧，交BC于点E；以C为圆心，CD为半径作弧，交AC于点F.则图中阴影部分的面积为______．(x−3)2−1的顶点为14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14A，直线l过点P(0,m)且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C.若AB=AC，∠BAC=90°，则m=____．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.先化简，再求值：(x+y)2+(x+y)(x−y)−2x2，其中x=√2，y=√3．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．(图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B)17.如图，在小正方形的边长为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画出以AB为边的直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为10；(2)在方格纸中画出以CD为一边的△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为2，DF与(1)中所画线段AE平行，连接AF，请直接写出线段AF的长．18.手机专卖店经营的某种手机去年销售总额为10万元，今年每部售价比去年降低500元，若今年卖出的数量与去年卖出的数量相同，且销售总额比去年减少10％，求今年每部手机的售价是多少元．19.如图，已知平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC．(1)求证：AD=CF；(2)若AB⊥AF，且AB=6，BC=4，求sin∠ACE的值．20.为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：空气污染指数(ω) 30 40 70 80 90 110 120 140天数(t) 1 2 3 5 7 6 4 2说明：环境空气质量指数(AQI)技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，…根据上述信息，解答下列问题：(1)直接写出空气污染指数这组数据的众数______，中位数______；(2)请补全空气质量天数条形统计图；(3)根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；(4)健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动．请根据以上信息，估计该市居民一年(以365天计)中有多少天适合做户外运动？21.已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示．(1)乙车的速度为______千米/时，a=______，b=______．(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．(3)当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．22.22.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．23.如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°．(1)如图1，点E在BC上，线段AE与BD的关系是________；(2)把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC=BC=13，DE=10，当A，E，D三点在直线上时，请直接写出AD的长．24.已知点A(1,0)是抛物线y=ax2+bx+m(a,b，m为常数，a≠0，m<0)与x轴的一个交点．(Ⅰ)当a=1，m=−3时，求该抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)若抛物线与x轴的另一个交点为M(m,0)，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF=2√2．①当点E落在抛物线上(不与点C重合)，且AE=EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是√2？2-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：此题考查了数轴.看清数轴上点的位置是解本题的关键.根据数轴上点M的位置，可得点M表示的数．解：∵点M表示的数大于−2且小于−1，∴A、B、D三选项错误，C选项正确．故选C．2.答案：D解析：解：将720亿用科学记数法表示为7.2×1010．故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.答案：C解析：【试题解析】本题主要考查几何体侧面展开图的知识，解答本题的关键是知道几何体侧面展开图的特点．解：根据几何体侧面展开图的特点，知道的侧面展开图是．故选C．4.答案：A解析：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．解：移项，得：2x−x≥−1，合并同类项，得：x≥−1，故选：A．5.答案：D解析：本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，过点A作AE⊥OB于点E，然后利用锐角三角函数即可表示出BE和BO的长度，则点A 到OC的距离等于BE+BO，本题得以解决．解：过点A作AE⊥OB于点E，因为∠ABC=90∘，所以∠ABE+∠OBC=90∘．因为∠BOC=90∘，所以∠OBC+∠BCO=90∘．所以∠ABE=∠BCO=x．在Rt△ABE中，BE=AB⋅cos∠ABE=acos x．在Rt△BCO中，BO=BC⋅sinx=AD⋅sinx=bsinx.故点A到OC的距离等于BE+OB=acosx+bsinx.故选D．6.答案：C解析：此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由∠AOC=126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．解：∵∠AOC=126°，∴∠BOC=180°−∠AOC=54°，∠BOC=27°．∵∠CDB=12故选：C．7.答案：C解析：本题主要考查作图−基本作图、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．根据内角和定理求得∠BAC=100°，由中垂线性质知DA=DC，即∠DAC=∠C=30°，从而得出答案．解：在△ABC中，∵∠B=50°，∠C=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，由作图可知MN为AC的中垂线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=70°，故选C．8.答案：C解析：解：∵反比例函数y=k的图象经过点A(−2,−5)，x∴−5=k，解得：k=10，−2∴反比例函数解析式为y=10．x当x>0时，反比例函数单调递减，=10；当x=1时，y=101=5．当x=2时，y=102∴当1<x<2时，5<y<10．故选C．将点A的坐标代入反比例函数解析式中，求出k值，结合反比例函数的性质可知当x>0时，反比例函数单调递减，分别代入x=1、x=2求出y值，由此即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由给定点的坐标利用待定系数法求出k的值，再根据反比例函数的性质确定其单调性，代入x的值即可得出结论．9.答案：(10a+5b)解析：小明一共花费的钱数=练习本的单价×练习本的数量+钢笔的单价×钢笔的数量．本题考查了列代数式，掌握总价=单价×数量是解题的关键．解：∵小明买了单价为10元的练习本a本和单价为5元的钢笔b支，∴他一共花费：(10a+5b)元．故答案为：(10a+5b)．10.答案：(4a+1)(4a−1)解析：解：16a2−1=(4a+1)(4a−1)．符合平方差公式分解因式的特点，利用平方差公式进行分解因式．本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．11.答案：1解析：解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22−4m=0，∴m=1，故答案为：1．由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．12.答案：72解析：解：正五边形的一个外角=360°5=72°，故答案为：72．根据多边形的外角和是360°，即可求解．本题考查多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键．13.答案：16解析：解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，D为边AB中点，∴∠B=∠A=45°，AB=8√2，∴BD=AD=CD=4√2，∠DCF=45°连接CD，∵BD=CD，∠DCF=∠B，∴S扇形DCF=S扇形DBE∴阴影部分的面积=S三角形BDC =8×82×12=16，故答案为：16．根据题意，可以求得AB、AD、BD、CD的长，然后根据割补法以及三角形的面积即可解答本题．本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14.答案：3解析：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数和方程的关系，等腰直角三角形的性质，根据根与系数的关系列出关于m的方程是解题的关键．(x−3)2−1=m，作AD⊥BC于D，易证得BC=2AD=2(m+1)，设B(x1,m)，C(x2,m)，解方程14根据根与系数的关系得出x1+x2=6，x1x2=5−4m，即可得出(x2−x1)2+4x1x2=36，即(2+ 2m)2+4(5−4m)=36，解关于m的方程求得即可．解：如图，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AD=CD=BD，∴BC=2AD，(x−3)2−1的顶点为A，∵抛物线y=14∴A(3,−1)，∵点P(0,m)，∴AD=1+m，∴BC=2+2m，设B(x1,m)，C(x2,m)，∴x2−x1=2+2m，(x−3)2−1=m整理得：x2−6x+5−4m=0，解14∴x1+x2=6，x1x2=5−4m，∴(x2−x1)2+4x1x2=36，∴(2+2m)2+4(5−4m)=36，解得m=3和m=−1(舍去)，故答案为3．15.答案：解：(x+y)2+(x+y)(x−y)−2x2，=x2+2xy+y2+x2−y2−2x2=2xy，当x=√2，y=√3时，原式=2×√2×√3=2√6．解析：根据整式的混合运算过程，先化简，再代入值求解即可．本题考查了整式的混合运算−化简求值，解决本题的关键是先化简，再代入值求解．16.答案：解：画树状图为：由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，，所以P(两张都是“红脸”)=49答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是4．9解析：根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．17.答案：解：(1)如图所示：△ABE即为所求；(2)如图所示：△CDF即为所求，AF=√17．解析：(1)直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案；(2))直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案．此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键．18.答案：解：设今年每部手机的售价是x元，则去年每部手机的售价是(x+500)元，由题意得，100000x+500=100000(1−10％)x解得：x=4500，经检验，x=4500是原分式方程的解，且符合题意．答：今年每部手机的售价是4500元．解析：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．设今年每部手机的售价是x元，则去年每部手机的售价是(x+500)元，根据今年的销售总额比去年减少10%，列方程求解．19.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F，∵E是CD的中点∴DE=CE，∴△ADE≌△FCE(AAS)∴AD=CF，(2)∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC=4∵△ADE≌△FCE∴AD=CF=BC=4，∵AB⊥AF∴AC=12BF=4AF=√BF2−AB2=√82−62=2√7∴AE=EF=12AF=√7∵AB//CD，∴CD⊥AF∴sin∠ACE=AEAC =√74．解析：(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；(2)根据勾股定理和三角函数解答即可．此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．20.答案：解：(1)90；90；(2)由题意，得轻度污染的天数为：30−3−15=12天．补全条形统计图如图．(3)由题意，得优所占的百分比为：3÷30=10%，优所占的圆心角的度数为：10%×360=36°，良所占的百分比为：15÷30=50%，良所占的圆心角的度数为：50%×360=180°，轻度污染所占的百分比为：12÷30=40%，轻度污染所占的圆心角的度数为：40%×360=144°，补全扇形统计图如图；(4)该市居民一年(以365天计)中有适合做户外运动的天数为：18÷30×365=219天．解析：本题是一道数据分析试题，考查了中位数，众数的运用，条形统计，扇形统计图的运用，样本数据估计总体数据的运用，解答时根据图表数据求解是关键．(1)根据众数的定义就可以得出这组数据的众数为90，由30个数据中排在第15和第16两个数的平均数就可以得出中位数为90；(2)根据统计表的数据计算出轻度污染的天数即可；(3)由条形统计图分别计算出优、良及轻度污染的百分比及圆心角的度数即可；(4)利用样本估计总体的方法，求出30天中空气污染指数在100以下的比值，再由这个比值乘以365天就可以求出结论．解：(1)在这组数据中90出现的次数最多7次，故这组数据的众数为90；在这组数据中排在最中间的两个数是90，90，这两个数的平均数是90，所以这组数据的中位数是90；故答案为：90，90．(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案．21.答案：75 3.6 4.5解析：解：(1)乙车的速度为：(270−60×2)÷2=75千米/时，a =270÷75=3.6，b =270÷60=4.5．故答案为：75；3.6；4.5；(2)60×3.6=216(千米)，当2<x ≤3.6时，设y =k 1x +b 1，根据题意得：{2k 1+b 1=03.6k 1+b 1=216，解得{k 1=135b 1=−270， ∴y =135x −270(2<x ≤3.6)；当3.6<x ≤4.6时，设y =60x ，∴y ={135x −270(2<x ≤3.6)60x(3.6<x ≤4.5)；(3)甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为：(270−70)÷60=206(小时)， 此时甲、乙两车之间的路程为：135×206−270=180(千米)．答：当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．(1)根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a 、b 的值；(2)运用待定系数法解得即可；(3)求出甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间，代入(2)的结论解答即可．此题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程．22.答案：(1)证明见解析；(2)当∠BAE =30°时，四边形AECF 是菱形解析：(1)首先证明△ABE≌△CDF ，则DF =BE ，然后可得到AF =EC ，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF 是平行四边形；(2)由折叠性质得到∠BAE =∠CAE =30°，求得∠ACE =90°−30°=60°，即∠CAE =∠ACE ，得到EA =EC ，于是得到结论．【详解】解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴AB =CD ，AD//BC ，∠B =∠D =90°，∠BAC =∠DCA ．由翻折的性质可知：∠EAB =12∠BAC ，∠DCF =12∠DCA ．∴∠EAB =∠DCF ．在△ABE 和△CDF 中{∠B =∠D AB =CD ∠EAB =∠DCF, ∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴DF =BE ．∴AF =EC ．又∵AF//EC ，∴四边形AECF 是平行四边形；(2)当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，∠BAE=∠CAE=30°，∵∠B=90°，∴∠ACE=90°−30°=60°，即∠CAE=∠ACE，∴EA=EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．23.答案：(1)AE=BD；AE⊥BD．(2)结论成立：理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACE=∠BCD，∵AC=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵∠EAC+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，即AE⊥BD．(3)17或7．解析：本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的射线思考问题，(1)如图1中，延长AE交BD于H.只要证明△ACE≌△BCD即可；(2)结论不变．如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O.只要证明△ACE≌△BCD即可；(3)分两种情形分别求解即可解决问题；解：(1)如图1中，延长AE交BD于H．∵AC=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEH，∴∠BEH+∠EBH=90°，∴∠EHB=90°，即AE⊥BD，故答案为AE=BD，AE⊥BD．(2)见答案．(3)①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．∵CE=CD，∠ECD=90°，CH⊥DE，DE=5，∴EH=DH，CH=12在Rt△ACH中，∵AC=13，CH=5，∴AH=√132−52=12，∴AD=AH+DH=12+5=17．②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．同法可得：AH=12，故AD=AH−DH=12−5=7，综上所述，满足条件的AD的值为17或7故答案为17或7．24.答案：解：(Ⅰ)当a=1，m=−3时，抛物线的解析式为y=x2+bx−3．∵抛物线经过点A(1,0)，∴0=1+b−3，解得b=2，∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3．∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，∴抛物线的顶点坐标为(−1,−4)．(Ⅱ)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=−m−1．∴抛物线的解析式为y=x2−(m+1)x+m．根据题意得，点C(0,m)，点E(m+1,m)，过点A作AH⊥l于点H，由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt △EAH 中，EH =1−(m +1)=−m ，HA =0−m =−m ，∴AE =√EH 2+HA 2=−√2m ，∵AE =EF =2√2，∴−√2m =2√2，解得m =−2．此时，点E(−1,−2)，点C(0,−2)，有EC =1．∵点F 在y 轴上，∴在Rt △EFC 中，CF =√EF 2−EC 2=√7．∴点F 的坐标为(0,−2−√7)或(0,−2+√7).②由N 是EF 的中点，得CN =12EF =√2．根据题意，点N 在以点C 为圆心、√2为半径的圆上，由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO =−m ，CO =−m ，∴在Rt △MCO 中，MC =√MO 2+CO 2=−√2m.当MC ≥√2，即m ≤−1时，满足条件的点N 在线段MC 上．MN 的最小值为MC −NC =−√2m −√2=√22，解得m =−32； 当MC <√2，即−1<m <0时，满足条件的点N 落在线段CM 的延长线上，MN 的最小值为NC −MC =√2−(−√2m)=√22， 解得m =−12．∴当m 的值为−32或−12时，MN 的最小值是√22．解析：(Ⅰ)将A(1,0)代入抛物线的解析式求出b =2，由配方法可求出顶点坐标；(Ⅱ)①根据题意得出a =1，b =−m −1.求出抛物线的解析式为y =x 2−(m +1)x +m.则点C(0,m)，点E(m +1,m)，过点A 作AH ⊥l 于点H ，由点A(1,0)，得点H(1,m).根据题意求出m 的值，可求出CF 的长，则可得出答案；②得出CN =12EF =√2.求出MC =−√2m ，当MC ≥√2，即m ≤−1时，当MC <√2，即−1<m <0时，根据MN 的最小值可分别求出m 的值即可．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。
2020届长春市中考数学模拟试卷(六)(有答案)
吉林省长春市中考数学模拟试卷（六）一、选择题1．﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 0025米，把0.000 0025用科学记数法表示为（）A．2.5×106B．0.25×10﹣5C．25×10﹣7D．2.5×10﹣63．一个正方体的展开图如图所示，将它折成正方体后，数字“0”的对面是（）A．数B．5 C．1 D．学4．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的大小为（）A．60° B．50° C．40° D．30°5．一元一次不等式2x+1≥0的解集是（）A．x≥B．x≤C．x≥﹣D．x≤﹣6．方程x2﹣x+=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根7．如图，在⊙O中，弦AC与半径OB平行，若∠BOC=50°，则∠B的大小为（）A．25° B．30° C．50° D．60°8．如图，在平面直角坐标系，直线y=﹣3x+3与坐标轴分别交于A、B两点，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在直线y=3x﹣2上，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣1.5二、填空题9．比较大小：﹣π﹣3．（填“＞”、“=”、“＜”）10．计算：（﹣x2y）3= ．11．如图，BD为⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，连结AO，AO与⊙O交于点C，若∠A=40°，⊙O的半径为2，则的长为．12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角边OA、OB分别在x轴、y轴正半轴上，OA=1，∠OBA=30°，将△AOB绕点A顺时针旋转，使AB的对应边AD恰好落在x轴上，点O的对应点C落在函数y=（x＞0）的图象上，则k的值为．13．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=5，AD=3，点M在边AB上，则DM的最大值为．14．如图，在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线y=a1（x﹣2）2+2与x轴交于点O、C．顶点为B的抛物线y=a2（x﹣2）2﹣3与x轴交于点D、E．若点D的坐标为（﹣1，0），则△ADE与△BOC的面积比为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先化简，再求值： +，其中x=﹣1．16．为了吸引顾客．某超市设计了如下促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先摸出一个球．记下钱数后放回，搅匀后再摸一个球，记下钱数后放回，两次记下的钱数之和就是顾客得到的购物券的金额．某顾客刚好消费200元．求该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．17．某快递公司今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．求该快递公司投递总件数的平均月增长率．18．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．19．一架直升机到某失事地点进行搜救，直升机飞到A处时，探测前方地面上B处有一生命体，从A处观测B处的俯角为29°，该直升机一直保持在距地面100米高度直线飞行搜索，飞行速度为10米/秒，求该直升机从A处飞到生命体的正上方时所用的时间．（结果精确到0.1秒）【参考数据：sin29°=0.48，cos29°=0.87，tan29°=0.55】20．某中学开展“阳光体育一小时”活动．根据学校事假情况，决定开设四项运动项目：A：踢毽子；B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了n名学生进行问卷调查，每位学生在问卷调查时都按要求只选择了其中一种喜欢的运动项目．收回全部问卷后，将收集到的数据整理并绘制成如下的统计图，若参与调查的学生中喜欢A方式的学生的人数占参与调查学生人数的40%．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）求n的值．（2）求参与调查的学生中喜欢C的学生的人数．（3）根据统计结果，估计该校1800名学生中喜欢C方式的学生比喜欢B方式的学生多的人数．21．有甲、乙两个容器，甲容器装有一个进水管和一个出水管，乙容器只装有一个进水管，每个水管出水均匀．折线段CD﹣DE﹣EF为甲容器中的水量y（升）与乙容器注水时间x（分）的函数图象，线段AB为乙容器中的水量y（升）与乙容器注水时间x（分）的部分函数图象．（1）求甲容器的进水管和出水管的水流速度．（2）如果乙容器进水管水流速度保持不变，求4分钟后两容器水量相等时x的值．（3）若使两容器第12分钟时水量相等，则乙容器4分钟后进水速度应变为多少？请说明理由．22．探究：如图①，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点F在边BC上，∠DAE=∠FAE．判断AE与EF的位置关系，并加以证明．拓展：如图②，在▱ABCD中，E是边CD的中点，点F在边BC上，∠DAE=∠FAE，若AD=，CF=，EF=，则sin∠DAE= ．23．我们定义：只有一组对角相等的凸四边形叫做等对角四边形．（1）四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，若∠A=70°，∠B=80°，则∠C= °，∠D= °．（2）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求以AB、BC为边在图①、图②中各画一个等对角四边形ABCD．要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．（3）如图③，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=5，AD=4，BE⊥DC于点E．点P在射线BE上，设BP=x，求四边形ABPD为等对角四边形时x的值．24．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，6），连结OA，动点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿OA向终点A运动．以P为顶点的抛物线y=（x﹣h）2+k与y轴交于点B，过点B作BC∥x 轴交抛物线于另一点C，动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AO向终点O运动，以Q为顶点，作边长为4的正方形QDEF．使得DQ∥x轴，且点D在点Q左侧，点F在点Q的下方．点P、Q同时出发，设运动时间为t．（1）用含有t的代数式表示点P的坐标（，）（2）当四边形BCFE为平行四边形时，求t的值．（3）当点C落在线段DE或QF上时，求t的值．（4）如图②，以OB、BC为邻边作矩形OBCG，当点Q在矩形OBCG内部时，设矩形OBCG与正方形QDEF重叠部分图形的周长为l，求l与t之间的函数关系式．吉林省长春市中考数学模拟试卷（六）参考答案与试题解析一、选择题1．﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【解答】解：∵﹣2×（）=1，∴﹣2的倒数是﹣．故选D．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 0025米，把0.000 0025用科学记数法表示为（）A．2.5×106B．0.25×10﹣5C．25×10﹣7D．2.5×10﹣6【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 0025=2.5×10﹣6，故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．一个正方体的展开图如图所示，将它折成正方体后，数字“0”的对面是（）A．数B．5 C．1 D．学【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形，所以“0”字的对面是“5”．故选B．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的大小为（）A．60° B．50° C．40° D．30°【考点】平行线的性质．【分析】先根据直角三角形的性质得出∠D的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵FE⊥DB，∵∠DEF=90°．∵∠1=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°．故选C．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．5．一元一次不等式2x+1≥0的解集是（）A．x≥B．x≤C．x≥﹣D．x≤﹣【考点】解一元一次不等式．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．【解答】解：移项，得：2x≥﹣1，系数化为1，得：x≥﹣，故选：C．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．6．方程x2﹣x+=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】首先把方程转化为2x2﹣x+3=0，然后求出根的判别式的值，进而作出判断．【解答】解：∵原方程两边同时乘以2可以变成：2x2﹣x+3=0，∴△=1﹣4×2×3=﹣23＜0，∴此方程没有实数根，故选：C．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．如图，在⊙O中，弦AC与半径OB平行，若∠BOC=50°，则∠B的大小为（）A．25° B．30° C．50° D．60°【考点】圆周角定理．【分析】由弦AC与半径OB平行，若∠BOC=50°，可求得∠C的度数，继而求得∠AOC的度数，继而求得∠AOB的度数，然后由等腰三角形的性质，求得答案．【解答】解：∵弦AC∥OB，∠BOC=50°，∴∠C=∠BOC=50°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=50°，∴∠AOC=80°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=130°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=25°．故选A．【点评】此题考查了圆周角定理、平行线的性质以及等腰三角形的性质．注意求得∠AOB的度数是关键．8．如图，在平面直角坐标系，直线y=﹣3x+3与坐标轴分别交于A、B两点，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在直线y=3x﹣2上，则a 的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣1.5【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】如图作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，利用三角形全等，求出点D坐标即可解决问题．【解答】解：如图作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于B、A两点，∴点A（0，3），点B（1，0），∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC=BC，∠ABC=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∠ABO+∠CBN=90°，∴∠BAO=∠CBN，在△BAO和△CBN中，，∴△BAO≌△CBN，∴BN=AO=3，CN=BO=1，同理可以得到：DF=AM=BO=1，CF=DM=AO=3，∴点F（4，4），D（3，4），∵将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在直线y=3x﹣2上，∴把y=4代入y=3x﹣2得，x=2，∴a=3﹣2=1，∴正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点D恰好落在直线y=3x﹣2上时，a=1，故选A．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．二、填空题9．比较大小：﹣π＜﹣3．（填“＞”、“=”、“＜”）【考点】实数大小比较．【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．【解答】解：∵π＞3，∴﹣π＜﹣3，故答案：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较法则的应用，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．10．计算：（﹣x2y）3= ﹣x6y3．．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．【解答】解：（﹣x2y）3=（﹣1）3（x2）3y3=﹣x6y3．故答案为：﹣x6y3．【点评】本题主要考查积的乘方的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键，解题时注意符号．11．如图，BD为⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，连结AO，AO与⊙O交于点C，若∠A=40°，⊙O的半径为2，则的长为π．【考点】切线的性质；弧长的计算．【专题】计算题．【分析】先根据切线的性质得到∠ABO=90°，再利用三角形外角性质求出∠COD的度数，然后根据弧长公式计算的长度．【解答】解：∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠COD=∠A+∠ABO=40°+90°=130°，∴的长度==π．故答案为π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决问题的关键是求出∠COD的度数．12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角边OA、OB分别在x轴、y轴正半轴上，OA=1，∠OBA=30°，将△AOB绕点A顺时针旋转，使AB的对应边AD恰好落在x轴上，点O的对应点C落在函数y=（x＞0）的图象上，则k的值为．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．【专题】计算题．【分析】作CH⊥x轴于H，如图，先计算出∠BAO=60°，再根据旋转的性质得到∠DAC=∠BAO=60°，AC=AO=1，在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AH=AC=，CH=AH=，于是得到C点坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出k的值．【解答】解：作CH⊥x轴于H，如图，在Rt△OAB中，∵∠OBA=30°，∴∠BAO=60°，∵△AOB绕点A顺时针旋转，使AB的对应边AD恰好落在x轴上，∴∠DAC=∠BAO=60°，AC=AO=1，在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，∴AH=AC=，CH=AH=，∴C（，），∵点O的对应点C落在函数y=（x＞0）的图象上，∴k=×=．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了旋转的性质．13．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=5，AD=3，点M在边AB上，则DM的最大值为．【考点】勾股定理．【分析】连结BD，作辅助线构建直角三角形，根据勾股定理即可求出DM的最大值．【解答】解：连结BD，∵∠A=90°，AB=5，AD=3，∴在Rt△ABD中，BD==，即DM的最大值为，故答案为：，【点评】本题考查了勾股定理、关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．14．如图，在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线y=a1（x﹣2）2+2与x轴交于点O、C．顶点为B的抛物线y=a2（x﹣2）2﹣3与x轴交于点D、E．若点D的坐标为（﹣1，0），则△ADE与△BOC的面积比为1：1 ．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】因为两条抛物线对称轴均为直线x=2，开口向下的抛物线过原点O，所以C点坐标为（4，0），开口向上的抛物线过D（﹣1，0），所以E点坐标为（5，0），所以可得OC=4，DE=6，由题意又可得△ADE的高为2，△OBC的高为3，所以△ADE与△BOC的面积比为1：1．【解答】解：依题意得：A点坐标为（2，2），B点坐标为（2，﹣3），又因为顶点为A的抛物线与x轴交于O、C，所以C点坐标为（4，0），顶点为B的抛物线与x轴交于D、E，且D（﹣1，0），所以E点坐标为（5，0），所以OC=4，DE=6，所以S△ADE=×6×2=6，S△BOC=×4×3=6，所以两个三角形面积比为1：1．故答案为：1：1．【点评】本题主要考查了抛物线的对称性，关键是由解析式确定顶点坐标及对称轴，然后再由与x轴的一个交点确定另一个交点坐标．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先化简，再求值： +，其中x=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=﹣==x+1，当x=﹣1时，原式=．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．16．为了吸引顾客．某超市设计了如下促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先摸出一个球．记下钱数后放回，搅匀后再摸一个球，记下钱数后放回，两次记下的钱数之和就是顾客得到的购物券的金额．某顾客刚好消费200元．求该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于30元的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表得：第二次0 10 20 30第一次0 0 10 20 3010 10 20 30 4020 20 30 40 5030 30 40 50 60∵共有16种等可能结果，该顾客所获得购物券的金额不低于30元的共有10种可能结果，∴该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率为： =．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．某快递公司今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．求该快递公司投递总件数的平均月增长率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】利用五月份完成投递的快递总件数为：三月份完成投递的快递总件数×（1+x）2，进而得出等式求出答案．【解答】解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出五月份完成投递的快递总件数是解题关键．18．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．19．一架直升机到某失事地点进行搜救，直升机飞到A处时，探测前方地面上B处有一生命体，从A处观测B处的俯角为29°，该直升机一直保持在距地面100米高度直线飞行搜索，飞行速度为10米/秒，求该直升机从A处飞到生命体的正上方时所用的时间．（结果精确到0.1秒）【参考数据：sin29°=0.48，cos29°=0.87，tan29°=0.55】【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】探究型．【分析】要求该直升机从A处飞到生命体的正上方时所用的时间，只要求出BD的长度，然后根据时间等于路程除以时间即可解答本题．【解答】解：过点A作AD⊥BD于点D，如右图所示，由题意可得，∠ABD=∠BAC=29°，AD=100，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∵tan∠ABC=，∴BD=，（秒）即该直升机从A处飞到生命体的正上方时所用的时间约为18.2秒．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图象，利用锐角三角函数解答问题．20．某中学开展“阳光体育一小时”活动．根据学校事假情况，决定开设四项运动项目：A：踢毽子；B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了n名学生进行问卷调查，每位学生在问卷调查时都按要求只选择了其中一种喜欢的运动项目．收回全部问卷后，将收集到的数据整理并绘制成如下的统计图，若参与调查的学生中喜欢A方式的学生的人数占参与调查学生人数的40%．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）求n的值．（2）求参与调查的学生中喜欢C的学生的人数．（3）根据统计结果，估计该校1800名学生中喜欢C方式的学生比喜欢B方式的学生多的人数．【考点】用样本估计总体．【分析】（1）根据喜欢A方式的学生的人数占参与调查学生人数的40%得出总人数即可；（2）根据图中数据得出参与调查的学生中喜欢C的学生的人数即可；（3）根据样本根据总体进行解答即可．【解答】解：（1）80÷40%=200（人）；（2）200﹣80﹣30﹣50=40（人）；（3）×1800=90（人），答：该校1800名学生中喜欢C方式的学生比喜欢B方式的学生多90人．【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．21．有甲、乙两个容器，甲容器装有一个进水管和一个出水管，乙容器只装有一个进水管，每个水管出水均匀．折线段CD﹣DE﹣EF为甲容器中的水量y（升）与乙容器注水时间x（分）的函数图象，线段AB为乙容器中的水量y（升）与乙容器注水时间x（分）的部分函数图象．（1）求甲容器的进水管和出水管的水流速度．（2）如果乙容器进水管水流速度保持不变，求4分钟后两容器水量相等时x的值．（3）若使两容器第12分钟时水量相等，则乙容器4分钟后进水速度应变为多少？请说明理由．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据“进水速度=进水量÷进水时间”即可算出甲容器的进水速度，再根据“出水速度=进水速度﹣水量增大速度”即可算出甲容器的出水速度；（2）根据函数图象上给出的点的坐标，利用待定系数法可求出y CD关于x的函数关系式，代入x=3，求出y 值，再根据该点的坐标利用待定系数法求出y AB关于x的函数关系式，分段令y=10求出x值得解．（3）求出B的坐标，然后根据待定系数法即可求得．【解答】解：（1）由图象可知，甲容器在CD段只开进水管，在EF段进水管和出水管同时打开，=5，5﹣=3，∴甲容器的进水速度为5升/分，出水管的水流速度为3升/分；（2）设CD段的函数关系式为y CD=kx+b，有，解得：，此时y CD=5x﹣10，当x=3时，y CD=5×3﹣10=5（升）．设直线AB的函数关系式为y AB=ax+2，将（3，5）代入y AB=ax+2中，得：5=3a+2，解得：a=1，∴y AB=x+2．令y=10，即10=x+2，解得：x=8，∴乙容器进水管打开8分钟时，两容器的水量相等；（3）把x=4代入y=x+2得，y=6，∴B（4，6），∵F（12，18），设直线BF的解析式为为y=mx+n，∴解得m=，∴乙容器4分钟后进水速度应变为升/分，两容器第12分钟时水量相等．【点评】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象以及待定系数法求函数解析式，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．22．探究：如图①，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点F在边BC上，∠DAE=∠FAE．判断AE与EF的位置关系，并加以证明．拓展：如图②，在▱ABCD中，E是边CD的中点，点F在边BC上，∠DAE=∠FAE，若AD=，CF=，EF=，则sin∠DAE= ．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】探究：延长AE交BC的延长线与G，由矩形的性质得出∠DAE=∠G，由AAS证明△ADE≌△GCE，得出AE=GE，AD=GC，由已知条件得出∠G=∠FAE，证出AF=GF，再由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论；拓展：延长AE交BC的延长线与G，由平行四边形的性质得出∠DAE=∠G，由AAS证明△ADE≌△GCE（AAS），得出AE=GE，AD=GC，证出∠G=∠FAE，得出AF=GF，由等腰三角形的性质得出AE⊥EF，求出AF=GF=CF+CG=CF+AD=3，由三角函数得出isn∠DAE=sjn∠FAE==即可．【解答】探究：解：AE⊥EF；理由如下：延长AE交BC的延长线与G，如图1所示：∵E是CD的中点，∴DE=CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠G，在△ADE和△GCE中，，∴△ADE≌△GCE（AAS），∴AE=GE，AD=GC，∵∠DAE=∠FAE，∴∠G=∠FAE，∴AF=GF，∵AE=GE，∴AE⊥EF；拓展：解：延长AE交BC的延长线与G，如图1所示：∵E是CD的中点，∴DE=CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠G，在△ADE和△GCE中，，∴△ADE≌△GCE（AAS），∴AE=GE，AD=GC，∵∠DAE=∠FAE，∴∠G=∠FAE，∴AF=GF，∵AE=GE，∴AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵AF=GF=CF+CG=CF+AD=+=3，∴sin∠DAE=sin∠FAE===．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形和平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．23．我们定义：只有一组对角相等的凸四边形叫做等对角四边形．（1）四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，若∠A=70°，∠B=80°，则∠C= 130 °，∠D= 80 °．（2）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求以AB、BC为边在图①、图②中各画一个等对角四边形ABCD．要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．（3）如图③，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=5，AD=4，BE⊥DC于点E．点P在射线BE上，设BP=x，求四边形ABPD为等对角四边形时x的值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由等对角四边形得出∠B=∠D，再由四边形内角和即可求出∠C；（2）连接BD，由AB=AD，得出∠ABD=∠ADB，证出∠CBD=∠CDB，即可得出CB=CD；（3）过点D作DH⊥AB于点H，则四边形DHBE为矩形，根据三角函数求出AH和HD，分两种情况进行讨论，①当∠ADP=∠ABP=90°时；②当∠DPB=∠A=60°时，即可得出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；故答案为：130，80；（2）如图所示，（3）过点D作DH⊥AB于点H，则四边形DHBE为矩形，∴DE=BH，BE=DH，∵∠A=60°，∠DHA=90°，∴AH=AD•cos60°=4×=2，DH=AD•sin60°=4×=2，∴BE=DH=2，BH=AB﹣AH=5﹣2=3，∴DE=BH=3，如图3，当∠ADP=∠ABP=90°时，∠BPD=120°，∴∠DPE=180°﹣∠BPD=60°，又∵∠DEP=90°，∴PE===，∴x=BE﹣EP=2﹣=；如图4，当∠DPB=∠A=60°时，∵∠P=60°，∠PED=90°，∴PE=DE•cot60°=3×=，∴BP=BE+PE=2+=3．综上，当四边形ABPD为等对角四边形时x的值为或3．【点评】本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果．24．（12分）（2016•长春模拟）如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，6），连结OA，动点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿OA向终点A运动．以P为顶点的抛物线y=（x﹣h）2+k与y 轴交于点B，过点B作BC∥x轴交抛物线于另一点C，动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AO 向终点O运动，以Q为顶点，作边长为4的正方形QDEF．使得DQ∥x轴，且点D在点Q左侧，点F在点Q 的下方．点P、Q同时出发，设运动时间为t．（1）用含有t的代数式表示点P的坐标（4t ，3t ）（2）当四边形BCFE为平行四边形时，求t的值．（3）当点C落在线段DE或QF上时，求t的值．（4）如图②，以OB、BC为邻边作矩形OBCG，当点Q在矩形OBCG内部时，设矩形OBCG与正方形QDEF重叠部分图形的周长为l，求l与t之间的函数关系式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由点A的坐标为（8，6），根据相似三角形的性质，即可求得点P的坐标；（2）由P（4t，3t），可得抛物线的解析式为：y=（x﹣4t）2+3t，易得当BC=EF时，四边形BCFE为平行四边形，继而求得答案；（3）首先求得点C的坐标，继而可得点Q的坐标为：（8﹣4t，6﹣3t），点E的坐标为（4﹣4t，2﹣3t），然后分别令8t=4﹣4t与8t=8﹣4t，去分析求解即可求得答案；（4）分别从当点Q在CG上时，当点Q在y轴上时，当＜t＜1时，当1≤t＜2时，去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（8，6），∴OA==10，∵OP=5t，∴=，∴x=4t，y=3t，∴点P的坐标为：（4t，3t）；故答案为：4t，3t；（2）∵P（4t，3t），∴抛物线的解析式为：y=（x﹣4t）2+3t，由对称性可得：BC=8t，∵BC∥x轴，EF∥x轴，∴BC∥EF，∴当BC=EF时，四边形BCFE为平行四边形，∴8t=4，解得：t=；（3）当x=8t时，y=（8t﹣4t）2+3t=16t2+3t，∴点C的坐标为（8t，16t2+3t），。
2020年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷(解析版)
2020年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷一．选择题（共8小题）1．实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．d2．12月24日，第八次中日韩领导人会议在四川成都举行，数据表明2018年三国间贸易总额超过7200亿美元，请将数据7200亿用科学记数法表示为（）A．7.2×1010B．72×108C．72×109D．7.2×10113．如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（）A．a•a2＝a2B．a3÷a＝a3C．（ab2）2＝a2b4D．（a3）2＝a55．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（）A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2x+9C．D．3（x﹣2）＝2（x+9）6．如图，在相距am的东西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C 在它的南偏东α度的方向，在炮台B测得敌舰在它的正南方，则敌舰C与炮台B之间的距离为（）A．B．a sinαm C．D．a tanαm7．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，分别过点A、B 作x轴的垂线交函数y＝（x＞0，k＞0）的图象于点C、D，E是y轴上的点，连结AB、AD、AE、CE，若点A、B的横坐标分别为2、3，△ACE与△ABD的面积之和为2，则k 的值为（）A．B．5C．6D．128．如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠A＝25°，用直尺和圆规过点C作射线CD⊥AB，交边AB于点D，则下列作法中错误的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）9．计算：＝．10．原价为x元的衬衫，若打六折销售，则现在的售价为元（用含x的代数式表示）11．为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家非物质文化遗产﹣“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1抽象成图2的数学问题：AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的大小是度．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），则m的值可能是（写一个即可）．13．把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的三块，其中点O为正方形的中心，E为AD的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形MNPQ（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形MNPQ为矩形，则四边形MNPQ的周长是．14．如图，有一座抛物线拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10米，建立如图所示的平面直角坐标系，O为坐标原点，如果水位以0.2m/h的速度匀速上涨，那么达到警戒水位后，再过h水位达到桥拱最高点O．三．解答题（共10小题）15．先化简，再求值：（2a﹣1）2+2a（3﹣2a），其中a＝2020．16．甲、乙两个不透明的袋子中分别装有三个标有数字的小球，小球除数字不同外，其余均相同，甲袋中三个小球上分别标有数字1、2、7，乙袋中三个小球上分别标有数字4、5、6，小明分别从甲、乙口袋中通随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求小明摸出两个小球上的数字之和为4的倍数的概率．17．为迎接五•一国际劳动节，某商店准备采购一批服装，经调查，用1000元采购A种服装的件数与用800元采购B种服装的件数相等，A种服装每件的进价比B种服装多10元，求B种服装每件的进价．18．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）19．2020年2月21日，某市有600名教师参加了“网络”培训活动，会议就“网络授课”和“家庭教育”这两个问题随机调查了60位教师，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．关于“网络授课”问题发言次数的频数分布直方图如下：（数据分成6组：0≤x＜4，4≤x＜8，8≤x＜12，12≤x＜16，16≤x＜20，20≤x≤24）b．关于“网络授课”问题发言次数在8≤x＜12这一组的是：8 8 9 9 9 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11c．“网络授课”和“家庭教育”这两问题发言次数的平均数、中位数、众数如下：问题平均数（单位：次）中位数（单位：次）众数（单位：次）网络授课12m10家庭教育11109根据以上信息，回答下列问题：（1）上表中m的值为．（2）在这次培训会中，参会教师更感兴趣的问题是（填“网络授课”或“家庭教育”），并说明理由．（3）如果参加这次培训的600名教师都接受调查，估计在“网络授课”这个问题上发言次数不小于8次的参会教师的人数．20．图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在图①、图②、图③中，分别以AB 为边画一个面积为的三角形，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．（1）在图①中画△ABC，使∠BAC＝45°．（2）在图②中画△ABD，使△ABD是轴对称图形．（3）在图③中画△ABE，使AB边上的高将△ABE分成面积比为1：2的两部分．21．如图①，一个底面是正方形的长方体铁块放置在高为50cm的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止，容器顶部离水面的距离y（cm）与注水时间x（min）之间的函数图象如图②所示．（1）长方体的高度为cm．（2）求该容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）若该长方体的底面边长为15cm，直接写出该圆柱形容器的底面积．22．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容．结合图①，补全证明过程．【应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为．【拓展】如图③，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝，BC＝4，∠C＝45°，则EF的长为．23．如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，sin B＝，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向终点A运动，过点P作PD⊥AB，交射线BC于点D，E为PD中点，以DE为边作正方形DEFG，使点A、F在PD的同侧，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求点A到边BC的距离．（2）当点G在边AC上时，求t的值．（3）设正方形DEFG与△ABC的重叠部分图形的面积为S，当点D在边BC上时，求S 与t之间的函数关系式．（4）连结EG，当△DEG一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．24．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点P（m，y）、Q（x，y0），m 为任意实数，若，则称点Q是点P的变换点，例如：若点P（m，y）在直线y＝x上，则点P的变换点Q在函数的图象上，设点P（m，y）在函数y＝x2﹣2x的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G．（1）直接写出图象G对应的函数关系式．（2）当m＝3，且﹣2≤x≤3时，求图象G的最高点与最低点的坐标．（3）设点A、B的坐标分别为（m﹣1，﹣2）、（2m+2，﹣2），连结AB，若图象G与线段AB有交点，直接写出m的取值范围．（4）若图象G上的点Q的纵坐标y0的取值范围是y0≥k或y0≤n，其中k＞n，令s＝k ﹣n，求s与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．d【分析】直接利用绝对值的性质结合各字母的位置进而得出答案．【解答】解：由数轴可得：|a|＞3，|b|＝1，|c|＝0，1＜|d|＜2，故这四个数中，绝对值最大的是：a．故选：A．2．12月24日，第八次中日韩领导人会议在四川成都举行，数据表明2018年三国间贸易总额超过7200亿美元，请将数据7200亿用科学记数法表示为（）A．7.2×1010B．72×108C．72×109D．7.2×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：7200亿＝7200 0000 0000＝7.2×1011，故选：D．3．如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边有一个小正方形，故选：B．4．下列计算正确的是（）A．a•a2＝a2B．a3÷a＝a3C．（ab2）2＝a2b4D．（a3）2＝a5【分析】根据同底数幂的乘法运算法则和除法运算法则，积的乘方的性质、幂的乘方的性质进行计算即可．【解答】解：A、a•a2＝a3，故原题计算错误；B、a3÷a＝a2，故原题计算错误；C、（ab2）2＝a2b4，故原题计算正确；D、（a3）2＝a6，故原题计算错误；故选：C．5．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（）A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2x+9C．D．3（x﹣2）＝2（x+9）【分析】设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设车x辆，根据题意得：3（x﹣2）＝2x+9．故选：B．6．如图，在相距am的东西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C 在它的南偏东α度的方向，在炮台B测得敌舰在它的正南方，则敌舰C与炮台B之间的距离为（）A．B．a sinαm C．D．a tanαm【分析】根据炮台B在炮台A的正东方向，敌舰C在炮台B的正南方向，得出∠ABC＝90°，再利用tan∠ACB＝，求出BC的值即可．【解答】解：根据题意，得∠ACB＝∠DAC＝α，AB＝am在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴tanα＝，∴BC＝，即敌舰C与炮台B之间的距离为m，故选：C．7．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，分别过点A、B 作x轴的垂线交函数y＝（x＞0，k＞0）的图象于点C、D，E是y轴上的点，连结AB、AD、AE、CE，若点A、B的横坐标分别为2、3，△ACE与△ABD的面积之和为2，则k 的值为（）A．B．5C．6D．12【分析】根据题意由对应的反比例函数的解析式求出A、B、C、D点坐标，进而得AC、BD，再根据三角形的面积公式，由△ACE与△ABD的面积之和为2，列出k的方程，便可求得k的值．【解答】解：∵点A、B的横坐标分别为2、3，点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，∴A（2，），B（3，1），∵分别过点A、B作x轴的垂线交函数y＝（x＞0，k＞0）的图象于点C、D，∴C（2，），D（3，），∴AC＝，BD＝，∵△ACE与△ABD的面积之和为2，∴，解得，k＝6，故选：C．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠A＝25°，用直尺和圆规过点C作射线CD⊥AB，交边AB于点D，则下列作法中错误的是（）A．B．C．D．【分析】依据基本作图，圆周角定理以及线段垂直平分线的判定方法，即可得出结论．【解答】解：A．由作图痕迹可得，属于过一点作已知直线的垂线，故CD⊥AB，作法正确；B．由作图痕迹可得，直径所对的圆周角等于90°，故CD⊥AB，作法正确；C．由作图痕迹可得，AB是线段的垂直平分线，故AB⊥CD，作法正确；D．由作图痕迹可得，CD与AB不一定垂直，故作法错误；故选：D．二．填空题（共6小题）9．计算：＝3．【分析】直接化简二次根式进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：+＝+2＝3．故答案为：3．10．原价为x元的衬衫，若打六折销售，则现在的售价为0.6x元（用含x的代数式表示）【分析】根据“原价×＝现售价”列出代数式便可．【解答】解：由题意得，现在的售价为x•60%＝0.6x元，故答案为0.6x．11．为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家非物质文化遗产﹣“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1抽象成图2的数学问题：AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的大小是30度．【分析】直接利用平行线的性质得出∠EAB＝∠EFC＝80°，进而利用三角形的外角得出答案．【解答】解：如图所示：延长DC交AE于点F，∵AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，∴∠EAB＝∠EFC＝80°，∴∠E＝110°﹣80°＝30°．故答案为：30．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），则m的值可能是1（答案不唯一）（写一个即可）．【分析】直线y＝﹣x+3，当y＝1时，即1＝﹣x+3，即x＝4，故0＜m＜4，即可求解．【解答】解：直线y＝﹣x+3，当y＝1时，即1＝﹣x+3，即x＝4，故0＜m＜4，m可以在0到4任意取一个实数，故答案为：1（答案不唯一）．13．把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的三块，其中点O为正方形的中心，E为AD的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形MNPQ（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形MNPQ为矩形，则四边形MNPQ的周长是10．【分析】根据四边形MNPQ为矩形，点O为正方形的中心，E为AD的中点，可得OE ＝1，根据图形的剪拼即可求出矩形MNPQ的周长．【解答】解：如图所示：四边形MNPQ为矩形，∵点O为正方形的中心，E为AD的中点，∴OE＝1，∴MB＝OE＝CN＝1，且PN＝AF＝1，所以矩形MNPQ的周长是：2（MB+BC+CN+PN）＝2（1+2+1+1）＝10．故答案为：10．14．如图，有一座抛物线拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10米，建立如图所示的平面直角坐标系，O为坐标原点，如果水位以0.2m/h的速度匀速上涨，那么达到警戒水位后，再过5h水位达到桥拱最高点O．【分析】根据题目中所给的数据求出函数解析式，再求出时间t．【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，CD＝10米，所以D点横坐标为5，设点B（10，n），点D（5，n+3），，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2，当x＝5时，y＝﹣1，则t＝1÷0.2＝5，故答案为：5．三．解答题（共10小题）15．先化简，再求值：（2a﹣1）2+2a（3﹣2a），其中a＝2020．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式进而合并同类项，再把a的值代入求出答案．【解答】解：（2a﹣1）2+2a（3﹣2a）＝4a2+1﹣4a+6a﹣4a2＝2a+1，当a＝2020时，原式＝2×2020+1＝4041．16．甲、乙两个不透明的袋子中分别装有三个标有数字的小球，小球除数字不同外，其余均相同，甲袋中三个小球上分别标有数字1、2、7，乙袋中三个小球上分别标有数字4、5、6，小明分别从甲、乙口袋中通随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求小明摸出两个小球上的数字之和为4的倍数的概率．【分析】画树状图得出所有9种等可能的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：如图所示：，P（小明摸出的两个小球上的数字之和为4的倍数）＝．17．为迎接五•一国际劳动节，某商店准备采购一批服装，经调查，用1000元采购A种服装的件数与用800元采购B种服装的件数相等，A种服装每件的进价比B种服装多10元，求B种服装每件的进价．【分析】直接根据题意表示出采购A、B种服装的件数，进而得出等式求出答案．【解答】解：设B种服装每件的进价为x元，由题意可得：＝，解得：x＝40，经检验得：x＝40为原方程的解，且符合题意，答：B种服装每件的进价为40元．18．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）【分析】（1）连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠BAC＝90°，则利用等角的余角相等得到∠DAB＝∠C，然后根据圆周角定理和等量代换得到结论；（2）连接OD，如图，利用（1）中结论得到∠BED＝∠C＝50°，再利用圆周角定理得到∠BOD的度数，然后根据弧长公式计算的长度．【解答】（1）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC切⊙O于点A∴CA⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠C+∠ABD＝90°，而∠DAB+∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠C，∵∠DAB＝∠BED，∴∠C＝∠BED；（2）解：连接OD，如图，∵∠BED＝∠C＝50°，∴∠BOD＝2∠BED＝100°，∴的长度＝＝π．19．2020年2月21日，某市有600名教师参加了“网络”培训活动，会议就“网络授课”和“家庭教育”这两个问题随机调查了60位教师，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．关于“网络授课”问题发言次数的频数分布直方图如下：（数据分成6组：0≤x＜4，4≤x＜8，8≤x＜12，12≤x＜16，16≤x＜20，20≤x≤24）b．关于“网络授课”问题发言次数在8≤x＜12这一组的是：8 8 9 9 9 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11c．“网络授课”和“家庭教育”这两问题发言次数的平均数、中位数、众数如下：问题平均数（单位：次）中位数（单位：次）众数（单位：次）网络授课12m10家庭教育11109根据以上信息，回答下列问题：（1）上表中m的值为11．（2）在这次培训会中，参会教师更感兴趣的问题是网络授课（填“网络授课”或“家庭教育”），并说明理由．（3）如果参加这次培训的600名教师都接受调查，估计在“网络授课”这个问题上发言次数不小于8次的参会教师的人数．【分析】（1）根据直方图中的数据，可以得到m的值；（2）根据表格中的数据，可知教师更感兴趣的问题是网络授课，然后根据表格中的数据说明理由即可；（3）根据直方图中的数据，可以计算出在“网络授课”这个问题上发言次数不小于8次的参会教师的人数．【解答】解：（1）由直方图可知，网络授课的中位数落在8≤x＜12这一组，m＝（11+11）÷2＝11，故答案为：11；（2）在这次培训会中，参会教师更感兴趣的问题是网络授课，理由：网络授课问题的发言次数的平均数、中位数都大于家庭教育问题发言次数的平均数、中位数，说明参会教师网络授课的发言次数高于家庭教育的发言次数，故在这次培训会中，参会教师更感兴趣的问题是网络授课；故答案为：网络授课；（3）600×＝420（人），答：发言次数不小于8次的参会教师有420人．20．图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在图①、图②、图③中，分别以AB 为边画一个面积为的三角形，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．（1）在图①中画△ABC，使∠BAC＝45°．（2）在图②中画△ABD，使△ABD是轴对称图形．（3）在图③中画△ABE，使AB边上的高将△ABE分成面积比为1：2的两部分．【分析】（1）利用数形结合的思想画出三角形即可．（2）利用勾股定理结合数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）．（3）取格点E，连接AE，BE即可．【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．（2）如图②中，△ABD即为所求（答案不唯一）．（3）如图③中，△ABE即为所求（答案不唯一）．21．如图①，一个底面是正方形的长方体铁块放置在高为50cm的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止，容器顶部离水面的距离y（cm）与注水时间x（min）之间的函数图象如图②所示．（1）长方体的高度为20cm．（2）求该容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）若该长方体的底面边长为15cm，直接写出该圆柱形容器的底面积．【分析】（1）直接利用一次函数图象结合水面高度的变化得出长方体的高；（2）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用函数图象得出自变量x的取值范围；（3）利用一次函数图象结合水面高度的变化得出该圆柱形容器的底面积．【解答】解：（1）由题意可得：0至3min时，容器顶部离水面的距离变小得快，3分钟后容器顶部离水面的距离变小减慢，故长方体的高为50﹣30＝20（cm）；故答案为：20．（2）容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意得，解得，∴该容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式为，当y＝0时，，解答x＝21，∴自变量x的取值范围为3≤x≤21．（3）设每分钟的注水量为mcm3．则下底面中未被长方体覆盖部分的面积是：m÷（cm2），圆柱体的底面积为：m÷（cm2），二者比为，∴长方体底面积：圆柱体底面积＝3：4．∴该圆柱形容器的底面积为：（cm2），答：该圆柱形容器的底面积为300cm2．22．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容．结合图①，补全证明过程．【应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为．【拓展】如图③，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝，BC＝4，∠C＝45°，则EF的长为．【分析】【教材呈现】由“ASA”可证△AOE≌△COF，可得OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形；【应用】过点F作FH⊥AD于H，由折叠的性质可得AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，由勾股定理可求BF的长，EF的长，【拓展】过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，由等腰直角三角形的性质可求AN＝BN＝2，由勾股定理可求AE＝AF＝，再利用勾股定理可求EF的长．【解答】解：【教材呈现】∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO，∵EF垂直平分AC，∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AOE≌△COF（ASA）∴OE＝OF，又∵AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形；【应用】如图，过点F作FH⊥AD于H，∵将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，∴AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，∵AF2＝BF2+AB2，∴（4﹣BF）2＝BF2+9，∴BF＝，∴AF＝CF＝，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，∴AE＝AF＝，∵∠B＝∠BAD＝∠AHF＝90°，∴四边形ABFH是矩形，∴AB＝FH＝3，AH＝BF＝，∴EH＝，∴EF＝＝＝，∴四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝3+++＝，故答案为：．【拓展】如图，过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝45°，∴∠ABC＝135°，∴∠ABN＝45°，∵AN⊥BC，∴∠ABN＝∠BAN＝45°，∴AN＝BN＝AB＝2，∵将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，∴AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AF2＝AN2+NF2，∴AF2＝4+（6﹣AF）2，∴AF＝，∴AE＝AF＝，∵AN∥MF，AD∥BC，∴四边形ANFM是平行四边形，∵AN⊥BC，∴四边形ANFM是矩形，∴AN＝MF＝2，∴AM＝＝＝，∴ME＝AE﹣AM＝，∴EF＝＝＝，故答案为：．23．如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，sin B＝，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向终点A运动，过点P作PD⊥AB，交射线BC于点D，E为PD中点，以DE为边作正方形DEFG，使点A、F在PD的同侧，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求点A到边BC的距离．（2）当点G在边AC上时，求t的值．（3）设正方形DEFG与△ABC的重叠部分图形的面积为S，当点D在边BC上时，求S 与t之间的函数关系式．（4）连结EG，当△DEG一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．【分析】（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，解直角三角形即可；（2）如图2，在Rt△BDP中，用含t的式子分别表示出BD、PD、DE、DG和CD，根据题意得关于t的方程，解得t即可；（3）分三种情况：①当0＜t≤时，重叠部分为正方形DEFG，②当＜t≤时，如图3，重叠部分为五边形DEFMN，③当＜t≤3时，如图4，重叠部分为梯形DEMN，分别根据重叠部分的图形形状，计算出S与t之间的函数关系式即可；（4）分三种情况：①当DG的中点O在线段AC上时，如图5，此时DC＝DO，②当EG的中点O在线段AC上时，如图6，此时NC＝NO，③当DE的中点O在线段AC上时，如图7，此时NC＝NO，分别列出关于t的方程得出t的值即可．【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝15，∴sin B＝＝，∴AH＝AB＝×15＝12．（2）如图2，在Rt△BDP中，∠BPD＝90°，BP＝3t，∴sin B＝＝，∴cos B＝＝，∴BD＝5t，PD＝4t，∴DE＝DG＝2t，CD＝15﹣5t．∴15﹣5t＝2t，∴t＝．（3）①当0＜t≤时，重叠部分为正方形DEFG，∴S＝（2t）2＝4t2；②当＜t≤时，如图3，重叠部分为五边形DEFMN，∴S＝S正方形DEFG﹣S△MGN＝4t2﹣[2t﹣（15﹣5t）]2＝﹣45t2+210t﹣225；③当＜t≤3时，如图4，重叠部分为梯形DEMN，∴S＝×2t（15﹣4t+15﹣5t）＝﹣9t2+30t．（4）①当DG的中点O在线段AC上时，如图5，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵DG∥AB，∴∠COD＝∠A∴∠C＝∠COD，∴DC＝DO，∴15﹣5t＝t，解得t＝；②当EG的中点O在线段AC上时，如图6，此时NC＝NO，∴15﹣×5t＝t+t，解得t＝；③当DE的中点O在线段AC上时，如图7，此时NC＝NO，∴15﹣×5t＝t，解得t＝．24．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点P（m，y）、Q（x，y0），m 为任意实数，若，则称点Q是点P的变换点，例如：若点P（m，y）在直线y＝x上，则点P的变换点Q在函数的图象上，设点P（m，y）在函数y＝x2﹣2x的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G．（1）直接写出图象G对应的函数关系式．（2）当m＝3，且﹣2≤x≤3时，求图象G的最高点与最低点的坐标．（3）设点A、B的坐标分别为（m﹣1，﹣2）、（2m+2，﹣2），连结AB，若图象G与线段AB有交点，直接写出m的取值范围．（4）若图象G上的点Q的纵坐标y0的取值范围是y0≥k或y0≤n，其中k＞n，令s＝k ﹣n，求s与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．【分析】（1）根据变换点的定义即可求解；（2）根据配方法和二次函数的增减性即可求解；（3）由﹣x2+x+1＝﹣2求出x的值，再根据点P的变换点Q在函数的图象上求解即可；（4）分当m＞1、m≤1两种情况求解即可．【解答】解：（1）图象G对应的函数关系式y＝；（2）当m＝3时，图象G对应的函数关系式y＝，当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2．当﹣2≤x≤3时，y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣1）2+，当x＝1时，y取得最大值为；当x＝﹣2时，y取得最小值为﹣3．故图象G的最高点的坐标为（3，2），最低点的坐标为（﹣2，﹣3）．（3）当y＝﹣2时，﹣x2+x+1＝﹣2，解得x1＝1﹣，x2＝1+，∵点P的变换点Q在函数的图象上，∴m的取值范围为1﹣＜m≤2﹣或﹣≤m≤1或1+≤m≤2+；（4）当m＞1时，x＝m左侧的最高点的坐标为（1，），x＝m右侧的最低点的坐标为（m，m2﹣2m﹣1），∵点Q的纵坐标y0的取值范围是y0≥k或y0≤n，∴y0≥m2﹣2m﹣1或y0≤，∴k＝m2﹣2m﹣1，n＝，当k＝时，m2﹣2m﹣1＝，解得m1＝1+，m2＝1﹣（舍去），∵k＞n，∴当m＞1+时，s＝m2﹣2m﹣1﹣＝m2﹣2m﹣；当m≤1时，x＝m左侧图象无最高点，x＝m右侧的最低点的坐标为（1，﹣2），没有符合点Q的纵坐标y0的取值范围是y0≥k或y0≤n．综上所述，求s与m之间的函数关系式为s＝m2﹣2m﹣（m＞1+）．。
2020年长春市中考数学评价检测试卷(六)(含答案解析)
2020年长春市中考数学评价检测试卷(六)一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.2的相反数是()A. −2B. −12C. 2 D. 122.据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000这个数用科学记数法表示为()A. 67×106B. 6.7×105C. 6.7×107D. 6.7×1083.如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是()A.B.C.D.4.不等式组{4x−3>16−3x≤0的解集在数轴上表示为()A. B.C. D.5.关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为()A. −1B. 1C.D.6.如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是()A. B.C. D.7.我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾和股的差值为()A. 1B. 2C. 4D. 以上都不对8.如图，矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx在第一象限内的图像经过点D，交BC于点E.若AB=4，CE=2BE，ADOA =34，则k的值为()A. 3B. 2√3C. 6D. 12二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：2√12−√27=______．10.分解因式：4a2b+10ab2=______ ．11.如图，把等腰直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则∠1+∠2=______．12.如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是______米(结果精确到0.1m.参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．13.已知点A(m,−2)，B(3,m−1)，且直线AB//x轴，则m的值是_________．14.如图，已知正方形ABCD中，A(1,1)，B(1,2)，C(2,2)，D(2,1)，有一抛物线y=−(x+1)2向上平移m个单位(m>0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，则m的取值范围是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1，−3，−5，7，这些卡片除数字外都相同，小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的数字符号相同的概率．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.先化简，再求值：x2−2x+1x2−x ÷(x−1x)，其中x=√2−1．17.某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A，B两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，刚好全部用完，问能做成多少个A型盒子？多少个B型盒子？方案一：设可以制成A种纸盒x个，B种纸盒y个，根据题意可列方程组：解得方程组为方案二：设制作A种纸盒用去x张正方形硬纸片，制作B种纸盒用去y张正方形硬纸片，那么可制成A种纸盒x个，B种纸盒个，根据题意可列方程组：解得方程组为18.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD//OC．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)延长CO交⊙O于点E.若∠CEB=30°，⊙O的半径为2，求BD⏜的长．(结果保留π)19.如图，在四边形ABCD中，AB=AC，BD=DC，BE//DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(1)在图1中，画一个以AB为边的直角三角形；(2)在图2中，画一个菱形．20.在学校组织的知识竞赛中，八(1)班比赛成绩分为A，B，C，D四个等级．其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八(1)班成绩整理并绘制成如下的统计图，请你根据以上提供的信息解答下列问题．(1)请补全条形统计图(2)八年级一班竞赛成绩的众数是______，中位数落在______类(3)若该校有1500名学生，请估计该校本次竞赛成绩为B类的人数21.甲、乙两人从学校出发沿同一路线步行到距学校1500米处的图书馆看书，甲与乙在行进过程中以各自的速度匀速行走，甲比乙先出发5分钟，乙比甲先到达图书馆，甲、乙两人间的距离y(米)与甲的行走时间x(分)之间的函数图象如图所示．(1)求甲、乙两人行走的速度；(2)当乙到达图书馆时，求甲、乙两人间的距离；(3)求线段BC所在直线对应的函数表达式．22.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG、CF．(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长；(3)求△FGC的面积．23.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2√3，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3.一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG 和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒(t≥0)．(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；(2)在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−(m−1)x−m(m>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．(1)求点A的坐标；(2)当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；(3)在(2)的条件下，经过点C的直线l：y=kx+b(k<0)与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于−8，求k的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：2的相反数是−2．故选：A ．依据相反数的定义求解即可．本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.答案：C解析：解：67000000这个数用科学记数法表示为6.7×107．故选：C ．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n 是非负数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3.答案：B解析：解：从正面看，从左向右共有2列，第一列是1个正方形，第二列是2个正方形，且下齐． 故选：B ．根据主视图是从正面看得到的视图解答．本题考查了三视图，主视图是从正面看得到的视图，要注意分清所看到的正方形的排列的列数与每一列的正方形的排列情况．4.答案：B解析：解：{4x −3>1 ①6−3x ≤0 ②， 由①得，x >1；由②得，x ≥2；不等式组的解集为x≥2．在数轴上表示为：．故选：B．分别解出每个不等式的解集，再找到其公共部分即可．本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．5.答案：A解析：本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键，将原方程变形为一般式，根据根的判别式△=0即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．解：原方程可变形为x2+(a+1)x=0．∵该方程有两个相等的实数根，∴△=(a+1)2−4×1×0=0，解得：a=−1．故选A．6.答案：B解析：本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线的性质及其尺规作图．由∠ADC=2∠B且∠ADC=∠B+∠BCD知∠B=∠BCD，据此得DB=DC，由线段的中垂线的性质可得答案．解：∵∠ADC=2∠B且∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠B=∠BCD，∴DB=DC，∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，故选：B．7.答案：A解析：本题考查了勾股定理和完全平方公式有关知识，设勾为x，股为y(x<y)，根据面积求出xy=2，根据勾股定理求出x2+y2=5，根据完全平方公式求出y−x即可．解：设勾为x，股为y(x<y)，∵大正方形面积为9，小正方形面积为5，∴4×12×xy+5=9，∴xy=2，∵x2+y2=5，∴y−x=√(y−x)2=√x2+y2−2xy=√5−2×2=1，故选A．8.答案：A解析：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k，设AD=3a、OA=4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，求得a的值即可得出答案．解：∵ADAO =34，∴可设AD=3a、OA=4a，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=3a，点D坐标为(4a,3a)，∵CE=2BE，∴BE=13BC=a，∵AB=4，∴点E(4+4a,a)，∵反比例函数y=kx经过点D、E，∴k=4a⋅3a=(4+4a)a，或a=0(舍去)，解得：a=12=3．则k=12×14故选A．9.答案：√3解析：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．直接化简二次根式进而得出答案．解：原式=2×2√3−3√3=√3．故答案为：√3．10.答案：2ab(2a+5b)解析：解：原式=2ab(2a+5b)．故答案是：2ab(2a+5b)．提取公因式2ab即可分解．本题考查了提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．11.答案：135°解析：解：如图：∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°，∠A=∠B=45°，∵EF//MN，∴∠1=∠ACM，∵∠2=∠B+∠BCM，∴∠1+∠2=∠ACM+∠B+∠BCM=∠ACB+∠B=90°+45°=135°，故答案为：135°．根据等腰直角三角形得出∠ACB=90°，∠A=∠B=45°，根据平行线性质求出∠1=∠ACM，根据三角形外角性质求出∠2=∠B+∠BCM，求出∠1+∠2=∠ACB+∠B即可．本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形，三角形的外角性质的应用，能求出∠1+∠2=∠ACB+∠B是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．12.答案：1.5，解析：解：∵sinα=ADAC∴AD=AC⋅sinα≈2×0.77≈1.5，故答案为：1.5根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．13.答案：−1解析：此题考查坐标与图形的性质，根据直线AB//x轴可知，直线AB上的纵坐标相等，进而求解出m的值．解：∵点A(m,−2)，B(3,m−1)，且直线AB//x轴，∴m−1=−2，解得m=−1．故答案为−1．14.答案：5≤m≤11解析：解：设平移后的解析式为y =−(x +1)2+m ，则抛物线向上平移先与A 点相交，最后与C 点相交．将A 点坐标代入，得−4+m =1，解得m =5，将C 点坐标代入，得−9+m =2，解得m =11，y =−(x +1)2向上平移m 个单位(m >0)与正方形ABCD 的边(包括四个顶点)有交点，则m 的取值范围是5≤m ≤11，故答案为：5≤m ≤11．根据向上平移横坐标不变，分别代入A 的横坐标和C 的横坐标求得对应的函数值，即可求得m 的取值范围．本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了矩形性质和二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质的应用，把A ，C 的坐标代入是解题关键．15.答案：解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两人抽到的数字符号相同的结果数为4，所以两人抽到的数字符号相同的概率=412=13．解析：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两人抽到的数字符号相同的结果数，然后根据概率公式求解．16.答案：解：当x =√2−1时，原式=(x−1)2x(x−1)÷x 2−1x=x −1x ⋅x (x +1)(x −1)=1x +1 =1√2=√22．解析：本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 根据分式的运算法则即可求出答案．17.答案：方案一：{x +2y =1504x +3y =300；{x =30y =60；方案二：y 2；{x +y =1504x +32y =300；{x =30y =120.解析：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题时注意无盖盒子中的长方形及正方形的个数之间的关系是解答的关键，(1)根据无盖纸盒的长方形纸板和正方形纸板的关系可以得到答案；(2)根据纸盒个数与所用正方形纸板个数之间的关系，可列方程组求解．解：方案一：设可以制成A 种纸盒x 个，B 种纸盒y 个，根据题意可列方程组：{x +2y =1504x +3y =300， 解得方程组为{x =30y =60 ；故答案为{x +2y =1504x +3y =300；{x =30y =60； 方案二：设制作A 种纸盒用去x 张正方形纸板，制作B 种纸盒用去y 张正方形纸板，那么可制成A 种纸盒x 个，B 种纸盒y 2个，根据题意可列方程组：{x +y =1504x +32y =300，解得方程组为 {x =30y =120， 故答案为y 2；{x +y =1504x +32y =300；{x =30y =120．18.答案：(1)证明：连接OD ，∵CD 与⊙O 相切于点D ，∴∠ODC=90°，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∵AD//OC，∴∠COB=∠OAD，∠COD=∠ODA，∴∠COB=∠COD，在△COD和△COB中{OD=OB∠COD=∠COB OC=OC，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴BC是⊙O的切线；(2)解：∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵∠COB=∠COD，∴∠BOD=120°，∴BD⏜的长：120π⋅2180=43π.解析：(1)根据切线的性质和平行线的性质从而证得△COD≌△COB，得到∠ODC=∠OBC=90°，即可证得结论；(2)根据圆周角定理得到∠BOD=120°，然后根据弧长公式求得即可．本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．19.答案：解：(1)连接AD、BC相交于点O，Rt△AOB即为所求；(2)连接AD交BE于F，连接CF.四边形BFCD即为所求．解析：(1)连接AD、BC相交于点O，Rt△AOB即为所求；(2)连接AD交BE于F，连接CF.四边形BFCD即为所求．本题考查作图−复杂作图、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.答案：解：(1)被调查的人数为6÷24%=25(人)，则C等级人数为25×8%=2(人)，补全图形如下：(2)90分；B；(3)估计该校本次竞赛成绩为B类的人数为1500×48%=720(人)．解析：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(1)由A等级人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以C对应的百分比求出其人数即可得出答案；(2)根据众数和中位数的定义求解可得；(3)利用样本估计总体思想求解可得．解：(1)见答案；(2)八年级一班竞赛成绩的众数是B等级，即90分，中位数落在B等级，故答案为90分、B．(3)见答案．21.答案：解：(1)V 甲=1505=30(米/分)，V 乙=150035−5=50米/分．(2)1500−30×35=450米．则当乙到达图书馆时，甲、乙两人间的距离为450米．(3)设线段BC 所在直线对应的函数表达式为y =kx +b ．由题意点B 坐标(12.5,0)，将(12.5,0)，(35,450)代入y =kx +b ，得{12.5k +b =035k +b =450， 解得{k =20b =−250， 故线段BC 所在直线对应的函数表达式为y =20x −250．解析：(1)根据速度=路程时间，即可解决问题．(2)用总路程减去甲走的路程即可．(3)设解析式为y =kx +b ，把C 、B 两点代入即可．本题考查一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握路程、速度、时间的关系，学会用待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型．22.答案：解：(1)∵△AFE 是由△ADE 折叠得到，∴AF =AD ，∠AFE =∠AFG =∠D =90°，又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠B =∠D ，∴AB =AF ，∠B =∠AFG =90°，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，{AG =AG AB =AF∴Rt △ABG≌Rt △AFG(HL)，(2)∵正方形ABCD 中，AB =6，CD =3DE ，∵EF =DE =13CD =2，设BG =FG =x ，则CG =6−x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得(6−x)2+42=(x +2)2，解得x=3．∴BG=3；(3)由(2)知，EF=2，BG=3，由(1)知，Rt△ABG≌Rt△AFG，∴FG=BG=3，∴EG=EF+FG=5，由(2)知，CG=6−x=3，CE=CD−DE=4，∴S△CEG=12CG⋅CE=12×3×4=6，∴S△FGC=35S△CEG=185．解析：(1)根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；(2)在直角△ECG中，根据勾股定理即可得出结论；(3)结合(1)和(2)求出△CEG的面积，最后用同高的两三角形的面积的比等于底的比，即可得出结论．此题属于四边形的综合题．考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．注意折叠中的对应关系，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．23.答案：解：(1)如图1，当边FG恰好经过点C时，∵△EFG是等边三角形，∴∠CFB=60°，∴BF=3−t，在Rt△CBF中，∵BC=2√3，tan∠CFB=BC，BF∴tan60°=2√3，BF解得BF=2，即3−t=2，∴t=1，当边FG恰好经过点C时，t=1；(2)如图2，过点M作MN⊥AB于N，当0≤t<1时，，∴EN=2，∵EB=3+t，NB=3+t−2=1+t，∴MC=1+t，(MC+EB)⋅BC=2√3t+4√3；∴S=12如图3，当1≤t<3时，∵MN=2√3，EF=OP=6，GH=6×sin60°=6×√32=3√3，∵四边形ABCD是矩形，∴DC//AB，∴△GMK∽△GEF，∴MKEF =GH−MNGH，∴MK=2，∵EB=3+t，BF=3−t，BQ=3√3−√3t，∴S=S梯形MKFE −S△QBF=12×(2+6)×2√3−12(3−t)(3√3−√3t)=−√32t2+3√3t+7√32；如图4，当3≤t<4时，∵MN=2√3，EF=6−2(t−3)=12−2t，∴GH=EF×sin60°=(12−2t)×√32=6√3−√3t，∴MKEF =GH−MNGH，∴MK=8−2t，∴S=−4√3t+20√3；当4≤t<6时，∵EF=12−2t，∴高为：EFsin60°=√32EF，∴S=√3t2−12√3t+36√3；(3)存在．在Rt△ABC中，tan∠CAB=BCAB =√33，∴∠CAB=30°，∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°，∴AE=HE=3−t或t−3，如图5，当AH=AO=3时，过点E作EM⊥AH与M，则AM=12AH=32，在Rt△AME中，cos∠MAE=AMAE，即，∴AE=√3，即3−t=√3或t−3=√3；∴t=3−√3或t=3+√3；如图6，当AH=HO时，∠HOA=∠HAO=30°，∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，∵AE+2AE=3，∴AE=1，即3−t=1或t−3=1，∴t=2或t=4；如图7，当OH=OA=3时，∠HOB=∠OAH=30°，∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合，∴AE=AO=3，当E刚开始时，3−t=3，当E返回时t−3=3，∴t=0，t=6(舍去)，综上所述当t=3−√3，t=3+√3，t=2，t=4，t=0时，△AOH是等腰三角形．解析：此题是四边形的综合题目，主要涉及知识点矩形的性质和判定以及解直角三角形的知识和等腰三角形的判定．(1)当边FG恰好经过点C时，由∠CFB=60°得BF=3−t，在Rt△CBF中，根据三角函数求得t的值；(2)根据运动的时间为t不同的取值范围，求等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S的值，当0≤t<1时，重叠部分是直角梯形，面积S等于梯形的面积，当1≤t<3时，重叠部分是S梯形MKFE−S△QBF，当3≤t<4时，重叠部分是S梯形MKFE，当4≤t<6时，重叠部分是正三角形的面积；(3)当AH=AO=3时，AM=12AH=32，在R t△AME中，由cos∠MAE=AMAE即cos30°=32AE，得AE=√3，即3−t=√3或t−3=√3，求出t=3−√3或t=3+√3；当AH=HO时，∠HOA=∠HAO=30°，又因为∠HEO=60°得到∠EHO=90°EO=2HE=2AE，再由AE+2AE=3，求出AE=1，即3−t=1或t−3=1，求出t=2或t=4；当OH=OA=3时∠HOB=∠OAH=30°，所以∠HOB=60°=∠HEB，得到点E和点O重合，从而求出t的值．24.答案：解：(1)∵抛物线y=x2−(m−1)x−m(m>0)与x轴交于A、B两点，∴令y=0，即x2−(m−1)x−m=0，解得：x1=−1，x2=m，又∵点A在点B左侧，且m>0，∴点A的坐标为(−1,0)；(2)由(1)可知点B的坐标为(m,0)，∵抛物线与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0,−m)，∵m>0，∴AB=m+1，OC=m，∵S△ABC=15，∴1m(m+1)=15，即m2+m−30=0，2解得：m=−6或m=5，∵m>0，∴m=5；则抛物线的表达式为y=x2−4x−5；(3)由(2)可知点C的坐标为(0,−5)，∵直线l：y=kx+b(k<0)经过点C，∴b=−5，∴直线l的解析式为y=kx−5(k<0)，∵y=x2−4x−5=(x−2)2−9，∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为−9，不符合题意；当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于−8，令y=−8，即x2−4x−5=−8，解得：x1=1(不合题意，舍去)，x2=3，∴抛物线经过点(3,−8)，当直线y=kx−5(k<0)经过点(3,−8)时，可求得k=−1，由图象可知，当−1<k<0时新函数的最小值大于−8．解析：(1)对于抛物线解析式，令y=0得到关于x的方程，求出方程的解，根据A在B的左侧且m 大于0，求A的坐标即可；(2)由(1)的结果表示出B的坐标，根据抛物线与y轴交于点C，表示出C坐标，进而表示出AB与OC，由三角形ABC面积为15，利用三角形面积公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出抛物线解析式；(3)由(2)中m的值确定出C坐标，设直线l解析式为y=kx+b，把C坐标代入求出b的值，抛物线解析式配方后，经判断得到当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于−8，令y=−8求出x的值，确定出抛物线经过点(3,−8)，把(3,−8)代入一次函数解析式求出k的值，由图象确定出满足题意k的范围即可．此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，抛物线与x轴的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．。
2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷(6)
2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷（6）一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）−12020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．12020D．−120202．（3分）随着我国金融科技的不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2135亿元．将数据“2135亿”用科学记数法表示为（）A．2.135×1011 B．2.135×107C．2.135×1012 D．2.135×103 3．（3分）如图是由5个小正方体组成的一个几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式5x﹣3≤2的解集是（）A．x≤1B．x≤﹣1C．x≥﹣1D．x≥15．（3分）如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合（）A．90°B．135°C．180°D．270°6．（3分）某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，则有（）A ．{x +y =30200x =100yB ．{x +y =30100x =200yC ．{x +y =302×200x =100yD ．{x +y =302×100x =200y7．（3分）如图要测量小河两岸相对的两点P 、A 的距离，可以在小河边取P A 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝50米，∠PCA ＝44°，则小河宽P A 为（ ）A ．50tan44°米B ．50sin44°米C ．50sin46°米D ．100tan44°米8．（3分）如图，在第一象限内，点P （2，3），M （a ，2）是双曲线y =kx（k ≠0）上的两点，P A ⊥x 轴于点A ，MB ⊥x 轴于点B ，P A 与OM 交于点C ，则△OAC 的面积为（ ）A ．32B ．43C ．2D ．83二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9．（3分）计算√12−9√13的结果是 ．10．（3分）已知x 2+4mx +16能用完全平方公式因式分解，则m 的值为 ．11．（3分）如图，已知，∠ABG 为锐角，AH ∥BG ，点C 从点B （C 不与B 重合）出发，沿射线BG 的方向移动，CD ∥AB 交直线AH 于点D ，CE ⊥CD 交AB 于点E ，CF ⊥AD ，垂足为F （F 不与A 重合），若∠ECF ＝n °，则∠BAF 的度数为 度．（用n 来表示）12．（3分）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．13．（3分）已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4：8，E是AB上的一点，沿CE将△EBC上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，则tan∠DCF＝．14．（3分）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝120cm，CD＝600cm，则树AB的高度为cm．三．解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）﹣3（2x2﹣xy）+y2]÷（−12x），其中x＝2，y＝﹣1．16．（6分）某超市预测某饮料有发展前途，用2000元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用5000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的2倍，但进货单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少2000元，那么销售单价至少为多少元？17．（6分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）若规定两个数字的积为偶数时甲赢，两个数字的积为奇数时乙赢，请问这个游戏对甲、乙两人是否公平？18．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝2√3，AC＝4，求扇形OAC的面积．19．（7分）如图，请在由32个边长为1的小正三角形组成的网格中，按下列要求作图．且所画图形的顶点都在网格顶点上．（1）在图①中画出一个斜边为2的直角三角形；（2）在图②中画出一个面积为2√3的菱形；（3）在图②中画出一个面积为3√3的平行四边形，20．（7分）央视举办的《中国诗词大会》受到广泛的关注．湖南广益实验中学学生会就《中国诗词大会》节目的喜爱程度，在校内进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D；根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次被调查对象共有人；被调查者“不太喜欢”有人；（2）将扇形统计图和条形统计图补充完整；（3）湖南广益实验中学南校区约有5000学生，请据此估计“比较喜欢”的学生有多少人？21．（8分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：（1）甲、乙两地的距离为km；（2）慢车的速度为km/h，快车的速度为km/h；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km，请通过计算求出x的值．22．（9分）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．23．（10分）如图，已知抛物线y=−13x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E在边BC上，BE=1n BC，AE交OB于点F，过点B作AE的垂线BG交OC于点G，连接GE．（1）求证：OF＝OG．（2）用含有n的代数式表示tan∠OBG的值．2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）−12020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．12020D．−12020【解答】解：−12020的相反数是：12020．故选：C．2．（3分）随着我国金融科技的不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2135亿元．将数据“2135亿”用科学记数法表示为（）A．2.135×1011 B．2.135×107C．2.135×1012 D．2.135×103【解答】解：2135亿＝213500000000＝2.135×1011，故选：A．3．（3分）如图是由5个小正方体组成的一个几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左面看的是两个正方形的面，故选：A．4．（3分）不等式5x﹣3≤2的解集是（）A．x≤1B．x≤﹣1C．x≥﹣1D．x≥1【解答】解：移项得，5x≤2+3，合并同类项得，5x≤5，系数化为1得，x ≤1． 故选：A ．5．（3分）如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合（ ）A ．90°B ．135°C ．180°D ．270°【解答】解：图案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合， 故选：B ．6．（3分）某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x 天，生产乙种玩具零件y 天，则有（ ） A ．{x +y =30200x =100yB ．{x +y =30100x =200yC ．{x +y =302×200x =100yD ．{x +y =302×100x =200y【解答】解：设生产甲种玩具零件x 天，生产乙种玩具零件y 天， 依题意，得：{x +y =302×200x =100y ．故选：C ．7．（3分）如图要测量小河两岸相对的两点P 、A 的距离，可以在小河边取P A 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝50米，∠PCA ＝44°，则小河宽P A 为（ ）A ．50tan44°米B ．50sin44°米C ．50sin46°米D ．100tan44°米【解答】解：∵P A ⊥PB ，∴∠APC ＝90°，∵PC ＝50米，∠PCA ＝44°， ∴tan44°=PAPC ，∴小河宽P A ＝PC tan ∠PCA ＝50•tan44°米． 故选：A ．8．（3分）如图，在第一象限内，点P （2，3），M （a ，2）是双曲线y =kx （k ≠0）上的两点，P A ⊥x 轴于点A ，MB ⊥x 轴于点B ，P A 与OM 交于点C ，则△OAC 的面积为（ ）A ．32B ．43C ．2D ．83【解答】解：把P （2，3），M （a ，2）代入y =kx得k ＝2×3＝2a ，解得k ＝6，a ＝3， 设直线OM 的解析式为y ＝mx ，把M （3，2）代入得3m ＝2，解得m =23，所以直线OM 的解析式为y =23x ，当x ＝2时，y =23×2=43， 所以C 点坐标为（2，43），所以△OAC 的面积=12×2×43=43． 故选：B ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9．（3分）计算√12−9√13的结果是 −√3 ． 【解答】解：原式＝2√3−9×√33＝2√3−3√3 =−√3． 故答案为：−√3．10．（3分）已知x 2+4mx +16能用完全平方公式因式分解，则m 的值为 ±2 ．【解答】解：∵关于x的多项式x2﹣4mx+16能用完全平方公式进行因式分解，∴m＝±2，故答案为：±2．11．（3分）如图，已知，∠ABG为锐角，AH∥BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∥AB交直线AH于点D，CE⊥CD交AB于点E，CF⊥AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF＝n°，则∠BAF的度数为n或180﹣n度．（用n来表示）【解答】解：过A作AM⊥BC于M，如图1，当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝∠B＝n°，综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，故答案为：n或180﹣n．12．（3分）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞−98且a≠0．【解答】解：∵方程ax2+3x﹣2＝0是一元二次方程，∴a≠0，∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝9+8a＞0，解得：a＞−9 8，综上可知：a＞−98且a≠0，故答案为：a＞−98且a≠0．13．（3分）已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4：8，E是AB上的一点，沿CE将△EBC上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，则tan∠DCF＝√3．【解答】解：∵矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4：8，∴设AB ＝CD ＝4x ，BC ＝AD ＝8x ，∵沿CE 将△EBC 上翻折，∴CF ＝BC ＝8x ，∴DF =√CF2−CD 2=√(8x)2−(4x)2=4√3x ， ∴tan ∠DCF =DF DC =√3， 故答案为：√3．14．（3分）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，使斜边DF 与地面保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝30cm ，EF ＝15cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝120cm ，CD ＝600cm ，则树AB 的高度为 420 cm ．【解答】解：∵∠DEF ＝∠BCD ＝90°，∠D ＝∠D ，∴△DEF ∽△DCB ，∴BC ：EF ＝DC ：DE ，∵DE ＝30cm ，EF ＝15cm ，AC ＝120cm ，CD ＝600cm ，∴BC 15=60030，∴BC ＝300cm ，∴AB ＝AC +BC ＝120+300＝420cm ，故答案为：420．三．解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）先化简，再求值：[（2x +y ）（2x ﹣y ）﹣3（2x 2﹣xy ）+y 2]÷（−12x ），其中x ＝2，y ＝﹣1．【解答】解：原式＝（4x 2﹣y 2﹣6x 2+3xy +y 2）÷（−12x ）＝（﹣2x 2+3xy ）÷（−12x ）＝4x ﹣6y ，当x ＝2，y ＝﹣1时，原式＝8+6＝14．16．（6分）某超市预测某饮料有发展前途，用2000元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用5000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的2倍，但进货单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少2000元，那么销售单价至少为多少元？【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x 元，则第二批饮料进货单价为（x +2）元， 依题意，得：5000x+2=2×2000x， 解得：x ＝8，经检验，x ＝8是所列分式方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价为8元．（2）第一批饮料购进数量为2000÷8＝250（瓶），第二批饮料购进数量为250×2＝500（瓶）．设销售单价为y 元，依题意，得：（250+500）y ﹣2000﹣5000≥2000，解得：y ≥12．答：销售单价至少为12元．17．（6分）如图，转盘A 的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4．转动A 、B 转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）若规定两个数字的积为偶数时甲赢，两个数字的积为奇数时乙赢，请问这个游戏对甲、乙两人是否公平？【解答】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵两个数字的积为偶数有8种情况，两个数字的积为奇数有4种情况∴两个数字的积为偶数的概率是：812=23．两个数字的积为奇数的概率是：412=1 3．∴这个游戏对甲、乙两人是不公平的．18．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝2√3，AC＝4，求扇形OAC的面积．【解答】（1）证明：如图1，连接OE，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，∴∠D＝∠G，∴∠OED＝∠G，∴OE∥AG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF∥AB，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝90°，∵OE∥AG，∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，∴OE⊥EF，∴EF与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∵AC＝4，∴CH=12AC=2，∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OH=EF=2√3，在Rt△OHC中，OC=√CH2+OH2=√22+(2√3)2=4，∵OA＝AC＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴S扇形OAC=60π⋅42360=83π．19．（7分）如图，请在由32个边长为1的小正三角形组成的网格中，按下列要求作图．且所画图形的顶点都在网格顶点上．（1）在图①中画出一个斜边为2的直角三角形；（2）在图②中画出一个面积为2√3的菱形；（3）在图②中画出一个面积为3√3的平行四边形，【解答】解：（1）如图①所示：△ABC即为所求；（2）如图②所示：菱形ABCD即为所求；（3）如图③所示：平行四边形ABCD即为所求．20．（7分）央视举办的《中国诗词大会》受到广泛的关注．湖南广益实验中学学生会就《中国诗词大会》节目的喜爱程度，在校内进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D；根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次被调查对象共有50人；被调查者“不太喜欢”有5人；（2）将扇形统计图和条形统计图补充完整；（3）湖南广益实验中学南校区约有5000学生，请据此估计“比较喜欢”的学生有多少人？【解答】解：（1）15÷30%＝50人，50×10%＝5人，故答案为：50，5．（2）20÷50＝40%，50﹣20﹣15﹣5＝10人，10÷50＝20%，补全统计图如图所示：（3）5000×40%＝2000人，答：该校5000名学生中“比较喜欢”的学生有2000人．21．（8分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：（1）甲、乙两地的距离为 720 km ；（2）慢车的速度为 80 km /h ，快车的速度为 120 km /h ；（3）求当x 为多少时，两车之间的距离为500km ，请通过计算求出x 的值．【解答】解：（1）甲、乙两地的距离为720km ，故答案为：720；（2）设慢车的速度为akm /h ，快车的速度为bkm /h ，根据题意，得{3.6(a +b)=7205.4a =3.6b，解得{a =80b =120， 故答案为80，120；（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500km ．即相遇前：（80+120）x ＝720﹣500，解得x ＝1.1，相遇后：∵点C （6，480），∴慢车行驶20km 两车之间的距离为500km ，∵慢车行驶20km 需要的时间是2080=0.25（h ），∴x ＝6+0.25＝6.25（h ），故x ＝1.1 h 或6.25 h ，两车之间的距离为500km ．22．（9分）在长方形纸片ABCD 中，点E 是边CD 上的一点，将△AED 沿AE 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处．（1）如图1，若点F 落在对角线AC 上，且∠BAC ＝54°，则∠DAE 的度数为 18 °．（2）如图2，若点F 落在边BC 上，且AB ＝6，AD ＝10，求CE 的长．（3）如图3，若点E 是CD 的中点，AF 的沿长线交BC 于点G ，且AB ＝6，AD ＝10，求CG 的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，∵∠BAC ＝54°，∴∠DAC ＝90°﹣54°＝36°，由折叠的性质得：∠DAE ＝∠F AE ，∴∠DAE =12∠DAC ＝18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，BC ＝AD ＝10，CD ＝AB ＝6，由折叠的性质得：AF ＝AD ＝10，EF ＝ED ，∴BF =√AF 2−AB 2=√102−62=8，∴CF ＝BC ﹣BF ＝10﹣8＝2，设CE ＝x ，则EF ＝ED ＝6﹣x ，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：22+x 2＝（6﹣x ）2，解得：x =83，即CE 的长为83； （3）连接EG ，如图3所示：∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，由折叠的性质得：AF ＝AD ＝10，∠AFE ＝∠D ＝90°，FE ＝DE ， ∴∠EFG ＝90°＝∠C ，在Rt △CEG 和△FEG 中，{EG =EG ，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，解得：y=9 10，即CG的长为910．23．（10分）如图，已知抛物线y=−13x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入y=−13x2+bx+4中，得−13×(−2)2+(−2)b+4=0，解得：b=4 3，∴抛物线的解析式为y=−13x2+43x+4；（2）当x＝0时，y＝4，∴点C的坐标为（0，4），当y＝0时，−13x2+43x+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴点B的坐标为（6，0），设直线BC的解析式为y＝kx+n，将点B（6，0），点C（0，4）代入解析式y＝kx+n，得：{6k+n=0n=4，解得：{k=−23 n=4，∴直线BC的解析式为y=−23x+4；（3）∵抛物线y=−13x2+43x+4与x轴相交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，∴抛物线的对称轴为x=6+(−2)2=2，假设存在点P，设P（2，t），则AC=√22+42=√20，AP=√[2−(−2)]2+t2=√16+t2，CP=√22+(t−4)2=√t2−8t+20，∵△ACP为等腰三角形，故可分三种情况：①当AC＝AP时，√20=√16+t2解得：t＝±2，∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；②当AC＝CP时，√20=√t2−8t+20，解得：t＝0或t＝8，∴点P的坐标为（2，0）或（2，8），设直线AC的解析式为y＝mx+n，将点A （﹣2，0）、C （0，4）代入得{−2m +n =0n =4， 解得：{m =2n =4， ∴直线AC 的解析式为y ＝2x +4，当x ＝2时，y ＝4+4＝8，∴点（2，8）在直线AC 上，∴A 、C 、P 在同一直线上，点（2，8）应舍去；③当AP ＝CP 时，√16+t 2=√t 2−8t +20，解得：t =12，∴点P 的坐标为（2，12）； 综上以上可得，符合条件的点P 存在，点P 的坐标为：（2，2）或（2，﹣2）或（2，0）或（2，12）． 24．（12分）如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E 在边BC 上，BE =1nBC ，AE 交OB 于点F ，过点B 作AE 的垂线BG 交OC 于点G ，连接GE ．（1）求证：OF ＝OG ．（2）用含有n 的代数式表示tan ∠OBG 的值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AO ＝BO ，AC ⊥BD∴∠AFO +∠F AO ＝90°∵AE ⊥BG∴∠BFE +∠FBG ＝90°，且∠BFE ＝∠AFO∴∠F AO ＝∠FBG ，且OA ＝OB ，∠AOF ＝∠BOG∴△AOF ≌△BOG （ASA ）∴OF ＝OG（2）以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，∵BE=1n BC∴设BC＝n，则BE＝1，∴点A（0，n），点E（1，0），点C坐标（n，0）∴直线AC解析式为：y＝﹣x+n，直线AE解析式为：y＝﹣nx+n∵BG⊥AE∴直线BG的解析式为：y=1 n x∴1nx＝﹣x+n∴x=n2 1+n∴点G坐标（n21+n ，n1+n）∵点A（0，n），点E（1，0），点C坐标（n，0）∴BO=√22n，点O坐标（n2，n2）∴OG=√2n(n−1) 2(n+1)∴tan∠OBG=OGOB=n−1n+1。
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2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.在−4，−2，−1，0这四个数中，比−3小的数是()
A. −4
B. −2
C. −1
D. 0
2.某病毒的直径为0.00000016，用科学记数法表示为()
A. 16×10−7
B. 1.6×10−7
C. 0.16×10−7
D.
1.6×10−8
3.如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且
不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为()
A. 1
B. 1或2
C. 2
D. 2或3
4.若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是()
A. a>c
B. a<c
C. a<b
D. b<c
5.已知一个多边形的每一个外角都为36°，则这个多边形的边数是()
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
6.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=55°，那么∠4的度数是()
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 125°
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC.以BC为边画等腰三角形
BCD，使点D落在△ABC的边上，则点D的位置有()
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA与x轴重合，B的坐标为(−1,2)，将矩形OABC
绕平面内一点P顺时针旋转90°，使A、C两点恰好落在反比例函数y=4
x
的图象上，则旋转中心P点的坐标是()
A. (4
3,−2
3
) B. (5
3
,−3
4
) C. (3
2
,−1
2
) D. (5
4
,−1
3
)
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9.分解因式：3a2+a=______．
10.关于x的一元二次方程x2+3x+k=0没有实数根，则k的值可以是______.(填一个值即可)
11.如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门
前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是______cm．
12.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，
位似比为2：3，点A的坐标为(0,2)，则点E的坐标是____．
13.如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，
则弧BF的长为(结果保留π)
14.15.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位
时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过
_____米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）
3−(−1)101
15.计算：√9+√−8
16.如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1，小明先从左端
A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三
个绳头中随机选两个打一个结，请用树状图或列表法求着三根绳子能连结成一根长绳的概率．
17.我县某金银花制药厂接受生产240吨预防禽流感的药品的任务，由甲、乙两个车间承担，甲车
间单独生产这批药品比乙车间生产这批药品多用5天，乙车间每天生产的药品量是甲车间的1.5倍．
求：甲、乙两车间单独生产这批药品各需要几天．
18.如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，
△ABC的顶点的坐标分别为A(3,0)、B(0,4)、C(4,2)．
(1)直接写出△ABC的形状；
(2)要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针
旋转角度2α得到△A1BC1，其中α=∠ABC，A、C的对应点分别为
A1、C1，请你完成作图；
(3)在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标．
19.如图1，已知：矩形ABCD中，AC、BD是对角线，分别延长AD至E，延长CD至F，使得DE=AD，
DF=CD．
(1)求证：四边形ACEF为菱形．
(2)如图2，过E作EG⊥AC的延长线于G，若AG=8，cos∠ECG=3
，则AD=______(直接填空
5
)
20.在一次“爱心助学”捐款活动中，某校九(1)班同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐
款额有5元、10元、15元、20元四种情况.根据统计数据绘制了图①和图②两幅尚不完整的统计图．
(1)该班共有____名同学，学生捐款的中位数是____，平均数是______；
(2)请你将统计图补充完整；
(3)若该校九年级共有600人，请你估计此次九年级的捐款有多少元？
21.同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y(cm)与燃烧时间x(min)的关系如图所示．
(1)求乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式；
(2)求点P的坐标，并说明其实际意义；
(3)求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
22.如图，在平面直角坐标系中，A(m,0),B(0,n)，且m,n满足√2m−6+|n−6|=0，P是线段AB
上的动点(不与A、B重合)，设P点的横坐标为t，△POB的面积为S。
(1)求S与t的关系式。
(2)当S=92时，过P作PM⊥AB交△AOB的外角平分线ON于点M，求点M坐标。
23.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，BC=13cm，点D在线段AC上，且CD=7cm，
动点P从距B点15cm的E点出发，以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动，时间为t秒．
(1)求AD的长．
(2)用含有t的代数式表示AP的长．
(3)在运动过程中，是否存在某个时刻，使△ABC与△ADP全等？若存在，请求出t值；若不存
在，请说明理由．
(4)直接写出t=______秒时，△PBC为等腰三角形．
24.已知二次函数y=(x−a−2)(x+a)+3，
(1)求该二次函数的图象的对称轴；
(2)对于该二次函数图象上的两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，
①当x≥m时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的m值；
②当m≤x2≤m+2，当x1≤−1时，均有y1≥y2，求m的取值范围；
(3)当二次函数过(0,3)点时，且与直线y=kx+2交于A、B两点，其中有一交点的横坐标x0满足1<x0<3，求k的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：
【分析】
本题考查了有理数大小比较，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案．
【解答】
解：由|−4|>|−3|，
得−4<−3，
故选：A．
2.答案：B
解析：解：0.00000016，用科学记数法表示为1.6×10−7，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.答案：C
解析：
【分析】
本题考查解一元二次方程以及正方体相对面上的文字，属于中档题．
利用正方体及其表面展开图的特点可得：面“x2”与面“3x−2”相对，面“★”与面“x+1”相对；再由题意可列方程求x的值，从而求解．
【解答】
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x2”与面“3x−2”相对，面“★”与面“x+1”相对．
因为相对两个面上的数相同，所以x2=3x−2，解得x=1或x=2，
又因为不相对两个面上的数值不相同，当x=2时，x+2=3x−2=4，所以x只能为1，即★=x+1= 2．
故选C．
4.答案：A
解析：
【分析】
本题考查了不等式的性质，找出不等关系是解决本题的关键．
本题主要是根据天平所放的质量相等列出等式将三者的质量联系起来，然后将进行比较．
【解答】
解：由图一可知：2a=3b，a>b；
由图二可知：2b=3c，b>c．
故a>b>c．
即a>c
故选A．
5.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．利用多边形的外角和是360°，多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【解答】
解：360°÷36°=10，
所以这个多边形是十边形．
故选C．
6.答案：C
解析：
【分析】
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
利用平行线的判定和性质即可解决问题．
【解答】
如图，。