【最新】高考数学文科二轮复习课件：专题3三角函数、解三角形与平面向量.3
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。
【3份】2016版高考数学大二轮总复习(文科通用)配套课件：专题三 三角函数 解三角形与平面向量 共134张PPT
考情考向分析
1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对 称性、周期性. 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、
角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考
的必考点.
热点分类突破 热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
(1)三角函数： 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x， y)， y 则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x.各象限角的三角函数值的符号：一 全正，二正弦，三正切，四余弦. sin α (2)同角关系：sin α＋cos α＝1，cos α＝tan α. kπ (3)诱导公式：在 2 ＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看
3π 3π 又 sin 4 >0，cos 4 <0，
7π 所以 θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π)，所以 θ＝ 4 .
y＝sin 4x 的图象
π 向右平移12个单位.
答案 B
1 2 3 4
2.(2015· 课标全国 Ⅰ) 函数 f(x) ＝ cos(ωx ＋ φ) 的部分图象如图 所示，则f(x)的单调递减区间为( 1 3 A.kπ－4，kπ＋4 ，k∈Z 1 3 B.2kπ－4，2kπ＋4 ，k∈Z 1 3 C.k－4，k＋4，k∈Z 1 3 2 k － ， 2 k ＋ D. ，k∈Z 4 4 )
专题三
三角函数、解三角形与平面向量
第 1讲 三角函数的图象与性质
栏目索引
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高考真题体验
1.(2015· 山东)要得到函数 y＝sin 4x 的图象( π A.向左平移12个单位 π C.向左平移3个单位 ) π B.向右平移12个单位 π D.向右平移3个单位
文科数学二轮复习专题三角函数解三角形平面向量
专题一：三角函数、解三角形、平面向量【例题讲解】要点1：三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用例1：如图，以Ox 为始边作角α与β（παβ<<<0） ，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为（53-，54） （1）求αααtan 112cos 2sin +++的值； （2）若OP ·0=OQ ，求)sin(βα+。
解：（1）由三角函数定义得53cos -=α，54sin =α∴原式αααααααααααα22cos 2cos cos sin )cos (sin cos 2cos sin 1cos 2cos sin 2=++=++=2=·（53-）2=2518 （2）OP ·0=OQ ，∴2πβα=-∴2παβ-=，∴53cos )2sin(sin =-=-=απαϖ54sin )2cos(cos ==-=απαβ ∴βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+25753)53(5454=⋅-+⋅=要点2：函数y=Asin(ωx+φ)的解析式、图象性质问题例2：已知函数()sin 2f x x =，()cos(2)6g x x π=-，直线x t =（t R ∈）与函数()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 两点．（1）当4t π=时，求||MN 的值； （2）求||MN 在[0,]2t π∈时的最大值．【解析】（1）)cos(2)|4|||si 26n(4MN πππ⨯-⨯+=． …… 2分23|1cos |32π=-=． ……5分 （2）332cos(2)||sin 2cos 2|62||2|sin t t t MN t π=-+=-． ……8分 3|sin(2)|6t π=-． ……11分 ∵[0,]2t π∈，26[,]66t ππππ∈---， ……13分 ∴||MN 的最大值为3． ……15分要点3：三角变换及求值例3：已知向量)2,1(),cos ,(sin -==n A A m ,且0=⋅n m(Ⅰ)求tan A 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域解析：（Ⅰ）由题意得m ·n=sinA-2cosA=0,因为cosA ≠0,所以tanA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-.当1sin 2x =时，f(x)有最大值32，当sinx=-1时，f(x)有最小值-3所以所求函数f(x)的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦要点4：正、余弦定理的应用例4：在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
高考数学二轮复习7大专题汇总
高考数学二轮复习7 大专题汇总专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：侧重掌握函数的单一性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质往常会综合起来一同观察，而且有时会观察详细函数的这些性质，有时会观察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯串中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了认识，高中阶段更多的是将它与导数进行连接，依据抛物线的张口方向，与x 轴的交点地点，进而议论与定义域在x 轴上的摆放次序，这样能够判断导数的正负，最后达到求出单一区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题经常出此刻恒成立，或存在性问题中，其本质是求函数的最值。
自然对于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的联合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是特别必需的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，观察等差等比数列的通项公式，乞降公式，通项公式和乞降公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前 n 项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有波及，有时观察三角函数的公式之间的相互转变，从而求单一区间或值域 ; 有时观察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，自然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量能够很好得实现数与形的转变，是一个很重要的知识连接点，它还能够和数学的一大难点分析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出此刻选择，填空题中。
大题中的立体几何主要观察成立空间直角坐标系，经过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
此外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，侧重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应当掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的地点关系应以证明垂直为要点，自然常观察的方法为间接证明。
专题五：分析几何。
版高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量课件 理.pptx
12
3.平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角， 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22.
13
4.平面向量的三个锦囊 (1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点
－29a2－29b2＋59a·b＝－29(a2＋b2)＋59×4＝－1.
可得 a2＋b2＝229.又B→E＝B→A＋A→E＝－a＋16a＋16b＝－56a＋16b，
C→E＝C→A＋A→E＝－b＋16a＋16b＝16a－56b，
则B→E·C→E＝－56a＋16b·16a－56b
＝－356(a2＋b2)＋2366a·b＝－356×229＋2366×4＝78.
答案
7 8
9
4.(2017·江苏卷)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)， x∈[0，π]. (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f (x)＝a·b，求 f (x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值. 解 (1)∵a∥b，∴3sin x＝－ 3cos x， ∴3sin x＋ 3cos x＝0，即 sinx＋π6 ＝0. ∵0≤x≤π，∴π6 ≤x＋π6 ≤76π，∴x＋π6 ＝π，∴x＝5π6 .
2
真题感悟 1.(2015·江苏卷)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋
高考文科数学知识整合专项复习课件 三角函数与平面向量综合
们的夹角，求第三边和其他两个角．
考点1 向量的基本运算
例1.已知向量a、b、c是同一平面内的三个向量，其
中a 1,2． 1若 c = 2 5，且a//c，求c的坐标； 2若 b = 5 ，且a + 2b与2a b垂直，求a与b的夹角.
2
分析：第 1 小题，先设向量c的坐标，然后利
用向量的坐标运算及向量平行的充要条件建立
2 a + b 1, 2 (2， 2) (2 1, 2 2)，
由于a + b与a垂直，
所以2 1 2(2 2) 0，所以 5 .
2
3 设向量a与b的夹角为，向量a在b方向上
的投影为 a cos.
所以 a cos a b 1 2 2 2 2 2 .
|b|
22 22
22
联立方程组
a2 ab
b2 4
ab
4，解得
a b
2 .
2
2由题意得sin B A sin B A 4sinAcosA，
即sinBcosA 2sinAcosA，
当cosA 0时，A ，B ，a 4 3 ，b 2 3 ；
2
6
3
3
当cosA 0时，得sinB 2sinA，由正弦定理得b 2a，
44 最大值及最小值．
分析：第1小题利用反证法求解，即先假设
两向量平行，然后利用两向量平行的充要条 件建立等式，再通过三角恒等变换转化，进
而导出矛盾；第 2小题先用数量积公式将函
数转化为关于正余弦的函数，再利用同角三 角函数的基本关系与二倍角公式进行转化，
转化为形如y Asin( x )的函数，问题基
P1(x1，y1)，P2 (x2，y2 )，则x
新高考新教材数学二轮复习六大核心专题1三角函数与解三角形解答题专项1三角函数与解三角形pptx课件
π
φ=-6.
考点二
利用正弦、余弦定理解三角形
考向1 求三角形中的边或角
例 2(2023 北京海淀一模)在△ABC 中,bsin2A= 3asinB.
(1)求 A;
(2)若△ABC 的面积为 3 3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知,使△ABC 存在且唯一确定,求 a 的值.
1
∵0<B<π,∴sinB≠0,则 cosA=-2.
2π
∵0<A<π,∴A= . ........................................................................................ 10
3
1
1
2π
1
3
3
由(1)知 bc=1,故 S△ABC=2bcsinA=2×1×sin 3 = 2×1× 2 = 4 . ................... 12
4
2
3
4
π
3
π
π
π
2π
整理得 sin(2x+3)= 2 ,即 2x+3=2kπ+3或 2x+3=2kπ+ 3 (k∈Z),
π
π
2π
π
当 k=0 时,2x+ = 或 ,即 x=0 或 ;
3
3
3
6
7π
当 k=1 时,x=π 或 6 .
π
7π
7π
故所有零点之和为 0+ +π+ = .
6
6
3
增分技巧1.三角恒等变换在三角函数图象与性质中应用的基本思路:通过
专题：三角函数及解三角形 第二课时 三角函数的图象与解析式(课件)高三数学二轮复习
（D）y=2sin（2x– ）
3
题型突破
题型一 三角函数的图象变换问题
2.(2022·浙江高考)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数 y 2sin3x
5
图象上所有的点 ( D )
A.向左平移 个单位长度
5
B.向右平移 个单位长度
5
C.向左平移 个单位长度
15
D.向右平移 个单位长度
( C)
A． 10π 9
B． 7π 6
C． 4π 3
D． 3π 2
题型突破
题型二 三角函数的图象及应用
7. 如 图 所 示 的 曲 线 为 函 数 f x Acosx A 0, 0, 的 部 分 图 象 , 将
2
y f x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再将所得曲线向右平移
2
8
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求 gx =
2sin 2x
达标检测
1.为了得到函数 y 2sin 2x 的图象，可以将函数y＝2sin
3
2x的图象(
C)
A．向右平移π 个单位长度 6
B．向右平移π 个单位长度 3
C．向左平移π 个单位长度 6
D．向左平移π 个单位长度 3
达标检测
15Leabharlann 题型突破题型一 三角函数的图象变换问题
3. （2021年全国乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1 2
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
3
y＝sin（x−
）的图像，则f（x）＝（
4
B
）
A．sin（
2
−
7）
高考数学新课标全国二轮复习课件3.三角函数、解三角形及平面向量2
2������-������ = 0, ������ 2 + ������ 2 = 0, ������ = ������ =
5 5 或 2 5 5
解得
,
������ = ������ = -
5
5 2 5 5
, ,
所以|x+2y|= 5.
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)(a+b)· a=0,所以 a· b=-a2,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|������ |· =- ,所以夹角为 120°. |������ | 2 答案:(1) 5 (2)120°
考点1
考点2
考点3
考点4
考点 2 向量的模及夹角问题
(1)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|= (2)向量(a+b)与a垂直,且|b|=2|a|,则a与b的夹角为 解析:(1)因为m⊥b,所以m· b=2x-y=0. 又m为单位向量,所以x2+y2=1. . .
由
①a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0. ②a⊥b⇔a· b=0⇔x1x2+y1y2=0.
③向量的夹角 cos θ=|������ ||������ | =
������ · ������
������ 1 ������ 2 +������1 ������2
2 +������ 2 ������ 2 +������ 2 ������ 1 1 2 2
系.
(5)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
平面向量的概念与运算 (1)要准确理解平面向量的概念 ①零向量的模为 0,方向是任意的,它与任何非零向量都共线;② 与 a 共线的单位向量为±|������ |;③方向相同或相反的向量叫做共线向量 (或平行向量);④向量的夹角:已知非零向量 a 与 b,作������������=a,������������=b,则 ∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫向量 a 与 b 的夹角;⑤向量的投影:设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影. (2)平面向量数量积的概念:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹 角为 θ,则 a· b=|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积).规定 0· a=0.
高三数学第二轮重点复习内容
高三数学第二轮重点复习内容高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
高考数学二轮复习考前回扣3三角函数解三角形平面向量课件
tan α＋tan β 由 tan(α＋β)＝1－tan α·tan β
＝1－－34aa＋1＝43，
α＋β
可得 tan 12/11/2021
2 ＝－2.
易错点2 图象变换方向或变换量把握不准
例2 已知函数f(x)＝sin2x＋4π ，为了得到函数g(x)＝cos 2x的图象，只要 将y＝f(x)的图象向_____平移_____个单位长度.
12345678
答案
4.三角函数化简与求值的常用技巧
解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式
和诱导公式，进行化简、求值.常用到切化弦、降幂、拆角拼角等技巧.如：
α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，
α＝12[(α＋β)＋(α－β)].
α＋π4＝(α＋β)－β－4π，α＝α＋π4－π4.
α
α
12/11/2021
－cos
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π2－α cos α
[问题 2] cos 94π＋tan－76π＋sin 21π 的值为__2_2_－__3_3__.
12/11/2021
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答案
3.正弦、余弦和正切函数的常用性质
函数 y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义
注意：〈a，b〉为锐角⇔a·b>0且a，b不同向； 〈a，b〉为钝角⇔a·b<0且a，b不反向.
12/11/2021
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[问题 7] 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，AD＝5，C→P＝ 3P→D，A→P·B→P＝2，则A→B·A→D的值是___2_2____.
12/11/2021
高三数学(文)二轮复习：专题三三角函数与平面向量3.1PPT课件
3 7 B． 7 1 D．3
解析： 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得 tan α＝ 3 10 3，故 sin α＝ 10 . 答案： C
题型二
三角函数的图象与解析式
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图： π 3π 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，2，π， 2 ，2π，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、 连线可得．
(2)因为
2π 2π π π y＝sin2x＋ 3 ＝cos2x＋ 3 －2＝cos2x＋6，所以曲线
◎ 变式训练 1．已知点 ( ) π A.4 5π C. 4 3π B. 4 7π D． 4
Psin
3π 3π 4 ，cos 4 落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π)，则 θ 的值为
解析：
3 π cos 4π －cos 4 tan θ＝ 3 ＝ π ＝－1， sin 4π sin 4
5π 11π f 8 ＝2，f 8 ＝0，且
f(x)的最小正周期大于 2π，则( 2 11π B．ω＝3，φ＝－ 12 1 7π D．ω＝3，φ＝24
)
2 π A．ω＝3，φ＝12 1 11π C．ω＝3，φ＝－ 24
(2)(2017· 全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cos 正确的是( )
2π，
2π 2 T 11π 5π 3π ∴4 ＝ 8 － 8 ＝ 4 ，得 T＝3π，则 ω＝ T ＝3， 又
5π 2 5π 5π f 8 ＝2sin3× 8 ＋φ＝2，∴sin12＋φ＝1.
π π 5π ∴12＋φ＝2kπ＋2，k∈Z，∴φ＝2kπ＋12，k∈Z. π ∵|φ|<π，∴φ＝12，故选 A.
二轮专题复习(二)：三角函数与解三角形
二轮专题复习（二）：三角函数与解三角形•应知已会——熟练 •会而不对——巩固 •对而不全——强化 •全而不优——指导三角函数二轮复习的目标和方向（1）注重任意角三角函数的定义，深化公式的理解记忆 （2）二倍角公式和两角和差公式是化简的核心工具 （3）三角函数的图象与性质是核心（4）解三角形问题要充分利用正、余弦定理以及两角和与差的三角公式 典型例题：一.三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换例1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=( )A ．45-B ．35-C ．35D ．45变式1.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= )A ．15B CD ．1变式2.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．例2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是( )（A ）πsin()2α+ （B ）πcos()2α+（C ）sin(π)α+ （D ）cos(π)α+变式1.若tan 0α>，则( )A. sin 20α>B. cos 0α>C. sin 0α>D. cos20α>例3.已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=( )A ． BCD变式1．若 ，则( ) A ．B ．C ．1D ． 变式2．若，则tan2α=（ ） A ．−B ．C ．−D ． 变式3．已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．变式4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=变式5．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ． 变式6. 已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=_________ 二. 三角函数的图象与性质例 1.动点(),A x y 在圆422=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间0t =时,点A 的坐标是)3,1(,则动点A 的纵坐标y 关于t （秒）的函数的解析式为 .例2.若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π变式1. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（ ） 2π155353tan 4α=2cos 2sin 2αα+=642548251625sin cos 1sin cos 2αααα+=-34344343210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tan 344343-34-A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(变式2.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）．A ．13(,)44k k ππ-+，k Z ∈ B ．13(2,2)44k k ππ-+，k Z ∈ C ．13(,)44k k -+，k Z ∈ D ．13(2,2)44k k -+，k Z ∈ 变式3.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈ 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是_________________ 例3.函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ______ ． 变式1.若x ∈(0,)则2tanx+tan(-x)的最小值为 . 变式2.若，则函数的最大值为 .变式3. 函数xxy cos 3sin 1--=的值域___________.变式4.当时，函数的最小值为__________.例4.函数图像可由函数图像至少向右平移____个单位长度得到．变式1.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移则ϕ=_________。
高考数学二轮复习 专题一 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质课件
12/11/2021
第三十五页，共五十三页。
解析 答案
2.(2018·全国(quán ɡuó)Ⅱ改编 )若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最
π 大值是_____.4
12/11/2021
第三十八页，共五十三页。
解析 答案
3.(2018·天津改编)将函数 y＝sin2x＋π5的图象向右平移1π0个单位长度， 所得图象对应的函数__①____.(填序号)
横――坐――标―变――为―原――来―的――ω1――ω―>0――倍→ 纵坐标不变
y＝sin(ωx＋φ)
―纵――坐―标――变横―为―坐―原标 ―来―不―的―变A――A―>―0―倍→y＝Asin(ωx＋φ).
(先伸缩后平移)y＝sin x―横―坐――标―变―纵―为―坐―原标―来―不―的―变ω1――ω―>―0―倍→y＝sin ωx
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第三十一页，共五十三页。
跟踪(gēnzōng)演练3 (2018·宁波模拟)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋1－2sin2 x. (1)求f(x)的最小正周期；
解 因为 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝ 2sin2x＋π4，
所以(suǒyǐ)f(x)的最小正周期为π.
①在区间34π，54π上单调递增； ②在区间34π，π上单调递减； ③在区间54π，32π上单调递增；
④在区间32π，2π上单调递减.
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第四十页，共五十三页。
解析 答案(dá
4.(2018·全国Ⅲ)函数 f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]上的零点个数为___3___.
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热点一 三角函数的概念、诱导(yòudǎo)公式及同角关系式
最新-2021高考数学文科二轮复习课件：专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲 精品
建立平面直角坐标系如图所示，则 A(0,0)，B(2,0)，C32， 23，D12， 23， B→C＝32， 23－(2,0)＝－12， 23， D→C＝32， 23－12， 23＝(1,0)．
突破点拨 (1)画出图形，利用向量加减法则求解； (2)利用向量的坐标运算求解．
解析：(1)由A→M＝2M→C知 M 为 AC 上靠近 C 的三等分点，由B→N＝N→C知 N 为 BC 的 中点，作出草图如下：
则有A→N＝12(A→B＋A→C)，所以M→N＝A→N－A→M＝12(A→B＋A→C)－23A→C ＝12A→B－16A→C，
• 思维导航
• (1)解题思路：①化简函数f(x)，利用三角函数 的单调性求解．
• ②利用f(C)＝2，求出角C的值，由向量m与向 量n共线，与正余弦定理，得边a，b的方程组， 进而求解．
• (2)解题通法：破解平面向量与“三角”交汇 题的关键：一是巧“化简”，即活用诱导公 式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、 辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会 “转化”，把向量共线、向量垂直形式出现 的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘
②求向量的数量积 [例](2015·重庆卷·6题)；(2016·全国卷 审题 ①重点关注题设条件中的向量关系． 要点 ②注意平面图形问题中，向量的夹角是给定角还是其补角
①证明向量共线或解决几何相关问题：
选择一 组基底
→ 运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式 解题
→ 通过向量的运算来证明共线或解决其他几何相关问题 模板
对点规范演练
逐题对点特训
制作者：状元桥
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4．平面向量数量积的性质 ①向量的模与向量平方的关系：a· a＝a2＝|a|2. ②乘法公式成立 (a＋b)· (a－b)＝a2－b2＝|a|2－ |b|2；(a± b)2＝a2± 2a· b＋b2＝|a|2± 2a· b ＋|b|2.
5．两个非零向量平行、垂直的充要条件 已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ①a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0. ②a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. x1x2＋y1y2 a· b ③向量的夹角 cosθ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1 x2＋y2 a· b x1x2＋y1y2 ④b 在 a 方向上的投影：|b|cosθ＝ ＝ 2 2 . |a| x1＋y1 6．平面向量模的计算公式：设 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2 或|a|＝ x2＋y2.
1 4．(2015· 浙江卷)已知e1，e2是平面单位向量，且e1· e2＝ 2 .若平面 向量b满足b· e1＝b· e2＝1，则|b|＝__________.
y x 解析：不妨设b＝x e1＋y e2，则b· e1＝x＋ 2 ＝1，b· e2＝ 2 ＋y＝1， 2 2 2 3 因此可得x＝y＝3，所以|b|＝3|e1＋e2|＝ 3 . 2 3 答案： 3
[方法规律] 1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三 角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似 多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． 2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去 括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中 同样适用．运用上述法则可简化运算． 3．求平面向量的数量积的方法有两个：一个是定义法，即a· b＝ |a||b|cosθ，θ∈[0，π]，其中θ为a，b的夹角；二是坐标法，即a＝(x1， y1)，b＝(x2，y2)时，a· b＝x1x2＋y1y2.
2 高频考点· 探循规律 考点1 平面向量的线性运算与数量积运算 【例1】 (1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四 → → → → 边形ABCD所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于 → → A.OM B．2OM → → C．3OM D．4OM
解析：依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点， → → → → → → → → → → 所以 OA ＋ OC ＝2 OM ， OB ＋ OD ＝2 OM ，所以 OA ＋ OC ＋ OB ＋ OD ＝ → 4OM，故选D. 答案：D
2．设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a· b＝( A ．1 B ． 2 C．3 D．5
)
解析：因为|a＋b|＝ 10，所以|a＋b|2＝10，即 a2＋2a· b＋b2＝10 ①.又因为|a－b|＝ 6，所以 a2－2a· b＋b2＝6 ②.由①－②得 4a· b＝4， 则 a· b＝1. 答案：A
3．(2015· 重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋ b)，则a与b的夹角为( ) π π A.3 B.2 2π 5π C. 3 D. 6
解析：由题意，得a· (2a＋b)＝2a2＋a· b＝0，即a· b＝－2a2，所以 2 1 2π a· b － 2a cos〈a，b〉＝ ＝ ＝－ ，所以〈 a ， b 〉＝ 2 3 ，故选C. |a||b| 4a2 答案：C
1 主干梳理· 体验高考 知识串联 1.要准确理解平面向量的概念 ①零向量的模为 0，方向是任意的，它与任何非零向量都共线； a ②与 a 共线的单位向量为± ； ③方向相同或相反的向量叫做共线向量 |a| → → (或平行向量)；④向量的夹角：已知非零向量 a 与 b，作OA＝a，OB＝ b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫向量 a 与 b 的夹角；⑤向量的投影：设向 量 a 与 b 的夹角为 θ，则|a|cosθ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影． 2．平面向量的线性运算：加法、减法、数乘向量． 3．平面向量数量积的概念：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹 角为 θ，则 a· b＝|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)．规定 0· a＝0.
→ 5．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5， CP ＝ → → → → → 3PD，AP· B → → → → 3 解析：因为 AP ＝ AD ＋ DP ＝ AD ＋ 4 AB ， BP ＝ BC ＋ CP ＝ AD － 4 → → → → 1→ → 3→ → 2 3 → 2 1→ → AB，所以AP· BP＝(AD＋4AB)· (AD－4AB)＝|AD| －16|AB| －2AD· AB＝ → → 2，将AB＝8，AD＝5代入解得AD· AB＝22. 答案：22
(2)(2015· 广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是 → → → → 平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD· AC＝( ) A ．5 B ． 4 C．3 D．2
→ → → → → 解析：由AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD· AC＝ (2,1)· (3，－1)＝5，故选A. 答案：A
→ → → 对点训练 (1)(2015· 湖北卷)已知向量 OA ⊥ AB ，| OA |＝3，则 → → OA· OB＝__________.
考题再现 → ＝ ( －4 ， 1.(2015· 新课标全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量 AC → ＝( －3)，则向量BC ) A．(－7，－4) C．(－1,4) B．(7,4) D．(1,4)
→ 解析：设C(x，y)，∵A(0,1)， AC ＝(－4，－3)，∴ x＝－4， x＝－4， → ＝(－ 解得 ∴C(－4，－2)，又B(3,2)，∴BC y－1＝－3， y＝－2， 7，－4)，选A. 答案：A