高考数学一轮基础知识反馈卡 第13章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质 文
《直线、平面垂直的判定及其性质》新课程高中数学高三一轮复习课件
连接BO并延长交AC于F.
∵PA⊥平面ABC,BF 平面ABC,
∴PA⊥BF.又∵O是△ABC的垂心,∴BF⊥AC, ∴BF⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC,∴BF⊥PC.
连接BQ并延长交PC于M,连接MF. ∵Q为△PBC的垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B,
∵AB 平面EAB,∴AB⊥CD.
学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面. 若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰 三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.
举一反三
1. （2010·淮安模拟）如图，在三棱柱BCE-ADF中，四边形ABCD是正 方形，DF⊥平面ABCD，N是AC的中点，G是DF上的一点.求证： GN⊥AC.
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直
(1)定义:如果直线 与l 平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平l
面α互相垂直.这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫 做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段, 垂线段的长度叫做点到平面的距离. (2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直 线垂直. (3)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与 这个平面垂直. (4)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂 直于这个平面. (5)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
举一反三
2. 如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面 ABC,若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求 证:OQ⊥平面PBC.
(江苏专版)高考数学一轮复习 第十三章 立体几何 13.3 垂直的判定与性质讲义-人教版高三全册数学
§13.3 垂直的判定与性质考纲解读考点内容解读 要求五年高考统计常考题型 预测热度2013 2014 2015 2016 20171.线面垂直的判定与性质1.线面垂直的证明2.线面垂直的性质应用B16题14分解答题 ★★★2.面面垂直的判定与性质1.面面垂直的证明2.面面垂直的性质应用B15题14分 解答题 ★★★分析解读 空间垂直问题是某某高考的热点内容,主要考查线面垂直和面面垂直的判定与性质运用,复习时要认真掌握解决垂直问题常用的方法,识别一些基本图形如:锥体、柱体的特征.五年高考考点一 线面垂直的判定与性质1.(2016某某理,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n 满足m∥α,n⊥β,则以下说法正确的是.①m∥l;②m∥n;③n⊥l;④m⊥n. 答案 ③2.(2015某某,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,已知AC⊥BC,BC=CC 1,设AB 1的中点为D,B 1C∩BC 1=E. 求证:(1)DE∥平面AA 1C 1C; (2)BC 1⊥AB1.证明 (1)由题意知,E 为B 1C 的中点, 又D 为AB 1的中点,因此DE∥AC. 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C,AC ⊂平面AA 1C 1C, 所以DE∥平面AA 1C 1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C.因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.3.(2015某某,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.解析(1)由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S△ABC=·AB·AC·sin 60°=.由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=·S△ABC·PA=.(2)在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连结BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM.在直角△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=,从而NC=AC-AN=.由MN∥PA,得==.4.(2015某某,20,12分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.解析(1)证明:如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因∠ABC=,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.(2)设BC=x,则在直角△ABC中,AB==,从而S△ABC=AB·BC=x.由EF∥BC知,==,得△AFE∽△ABC,故==,即S△AFE=S△ABC.由AD=AE,S△AFD=S△AFE=·S△ABC=S△ABC=x,从而四边形DFBC的面积为S DFBC=S△ABC-S△AFD=x-x=x.由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE===2.体积V P-DFBC=·S DFBC·PE=·x·2=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3,所以,BC=3或BC=3.5.(2014某某,20,13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点. 求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明(1)连结AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥B C1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图,连结AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.教师用书专用(6—8)6.(2014某某,19,12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D-BCG的体积.附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.解析(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC.因此AC=DC.又G为AD的中点,所以CG⊥AD.同理BG⊥AD,因此AD⊥平面BGC.又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.(2)在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB延长线于O,由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥平面BDC.又G为AD中点,因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.在△AOB中,AO=AB·sin 60°=,所以V D-BCG=V G-BCD=·S△DBC·h=×BD·BC·sin 120°·=.7.(2014某某,20,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.解析(1)证明:如图,连结OB,因为ABCD为菱形,O为菱形的中心,所以AO⊥OB.因为∠BAD=,所以OB=AB·sin∠OAB=2sin=1,又因为BM=,且∠OBM=,所以在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+-2×1××cos=.所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.(2)由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2·cos=.设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.又△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+.连结AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+-2×2××cos=.由于MP⊥AP,故△APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+=,得a=或a=-(舍去),即PO=.此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=·AO·OB+·BM·OM=××1+××=.所以V P-ABMO=·S四边形ABMO·PO=××=.8.(2013某某,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°.已知PB=PD=2,PA=.(1)证明:PC⊥BD;(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.解析(1)证明:连结AC,交BD于O点,连结PO.因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO.由PB=PD知,PO⊥BD.再由PO∩AC=O知,BD⊥面APC.因此BD⊥PC.(2)因为E是PA的中点,所以V P-BCE=V C-PEB=V C-PAB=V B-APC.由PB=PD=AB=AD=2知,△ABD≌△PBD.因为∠BAD=60°,所以PO=AO=,AC=2,BO=1.又PA=,PO2+AO2=PA2,即PO⊥AC,故S△APC=PO·AC=3.由(1)知,BO⊥面APC,因此V P-BCE=V B-APC=×·BO·S△APC=.考点二面面垂直的判定与性质1.(2017某某,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.2.(2017某某文,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD 为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.证明本题考查线面平行与面面垂直.(1)取B1D1的中点O1,连结CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.教师用书专用(3)3.(2016,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.解析(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.(2分)又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC.(4分)(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.(6分)因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.(7分)又AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.(9分)(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:(10分)取PB中点F,连结EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.(13分)又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.(14分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一线面垂直的判定与性质1.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.答案 22.(苏教必2,一,2,变式)如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,则图中共有个直角三角形.答案 43.(2018某某海安高级中学高三阶段考试)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC=60°,在平面ABC中,AB=2,BC=4,M为BC的中点,过A1,B1,M三点的平面交AC于点N.(1)求证:N为AC的中点;(2)求证:AC⊥平面A1B1MN.证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,平面ABC∥平面A1B1C1,∵平面A1B1M∩平面ABC=MN,平面A1B1M∩平面A1B1C1=A1B1,所以MN∥A1B1.因为AB∥A1B1,所以MN∥AB,所以=.因为M为BC的中点,所以N为AC的中点.(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC=60°,所以在三角形A1AN中,AN=1,AA1=2,由余弦定理得A1N=,故A1A2=AN2+A1N2,所以∠A1NA=90°,即A1N⊥AC.在三角形ABC中,AC=2,AB=2,BC=4,所以BC2=AB2+AC2,所以∠BAC=90°,即AB⊥AC.又MN∥AB,所以AC⊥MN.因为MN∩A1N=N,MN⊂面A1B1MN,A1N⊂面A1B1MN,所以AC⊥平面A1B1MN.4.(2017某某某某期末调研,16)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面EAB⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,EA⊥EB,点M,N分别是AE,CD的中点.求证:(1)直线MN∥平面EBC;(2)直线EA⊥平面EBC.证明(1)取BE的中点F,连结CF,MF,因为M是AE的中点,所以MF∥AB,MF=AB,又N是矩形ABCD的边CD的中点,所以NC∥AB,NC=AB,所以MF NC,所以四边形MNCF是平行四边形,所以MN∥CF,又MN⊄平面EBC,CF⊂平面EBC,所以MN∥平面EBC.(2)在矩形ABCD中,BC⊥AB,因为平面EAB⊥平面ABCD,平面ABCD∩平面EAB=AB,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面EAB,又EA⊂平面EAB,所以BC⊥EA,又EA⊥EB,BC∩EB=B,EB,BC⊂平面EBC,所以EA⊥平面EBC.5.(2017苏锡常镇四市教学情况调研(一),16)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.(1)求证:E是AB的中点;(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥CB.证明(1)连结BC1,因为OE∥平面BCC1B1,且OE⊂平面ABC1,平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1,所以OE∥BC1.因为侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O,所以O是AC1的中点,所以E是AB的中点.(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,又AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C,A1B⊂面A1BC,所以AC1⊥面A1BC,因为BC⊂平面A1BC,所以AC1⊥BC.考点二面面垂直的判定与性质6.(2018某某某某中学高三阶段测试)如图,在几何体中,四边形ABCD为菱形,对角线AC与BD的交点为O,四边形DCEF为梯形,EF∥CD,FB=FD.(1)若CD=2EF,求证:OE∥平面ADF;(2)求证:平面ACF⊥平面ABCD.证明(1)取AD的中点G,连结OG,FG,∵对角线AC与BD的交点为O,∴OG∥CD,OG=CD.∵EF∥CD,CD=2EF,∴OG∥EF,OG=EF,∴四边形OGFE为平行四边形,∴OE∥FG.∵FG⊂平面ADF,OE⊄平面ADF,∴OE∥平面ADF.(2)连结OF.∵四边形ABCD为菱形,∴OC⊥BD,∵FB=FD,O是BD的中点,∴OF⊥BD.又∵OF∩OC=O,∴BD⊥平面ACF.∵BD⊂平面ABCD,∴平面ACF⊥平面ABCD.7.(2017某某某某辅仁中学质检,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,AC与BD交于点O,且平面PAC⊥平面ABCD,E为棱PA上一点.(1)求证:BD⊥OE;(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面PBC.证明(1)因为平面PAC⊥底面ABCD,平面PAC∩底面ABCD=AC,BD⊥AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAC,又因为OE⊂平面PAC,所以BD⊥OE.(2)因为AB∥CD,AB=2CD,AC与BD交于O,所以CO∶OA=CD∶AB=1∶2,又因为AE=2EP,所以CO∶OA=PE∶EA,所以EO∥PC,又因为PC⊂平面PBC,EO⊄平面PBC,所以EO∥平面PBC.8.(2017某某某某,某某一模,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.(1)求证:B1C1∥平面A1DE;(2)求证:平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明(1)因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC,所以B1C1∥DE.又B1C1⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE,所以B1C1∥平面A1DE.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,又DE⊂底面ABC,所以CC1⊥DE.又BC⊥AC,DE∥BC,所以DE⊥AC,又CC1,AC⊂平面ACC1A1,且CC1∩AC=C,所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.9.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD沿对角线BD折起,记折起后A的位置为点P,且使平面PBD⊥平面BCD.求证:(1)CD⊥平面PBD.(2)平面PBC⊥平面PDC.证明(1)∵AD=AB,∠BAD=90°,∴∠ABD=∠ADB=45°,又∵AD∥BC,∴∠DBC=45°,又∠DCB=45°,∴∠BDC=90°,即BD⊥DC.∵平面PBD⊥平面BCD,平面PBD∩平面BCD=BD,∴CD⊥平面PBD.(2)由CD⊥平面PBD得CD⊥BP.又BP⊥PD,PD∩CD=D,∴BP⊥平面PDC.又BP⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PDC.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(苏教必2,一,2,变式)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是.①若m⊥n,n∥α,则m⊥α;②若m∥β,β⊥α,则m⊥α;③若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α;④若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α.答案③二、解答题(共15分)2.(2017某某某某、某某、某某三模,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AP=AD,M,N分别为棱PD,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAB;(2)AM⊥平面PCD.证明(1)因为M,N分别为棱PD,PC的中点,所以MN∥DC,又因为底面ABCD是矩形,所以AB∥DC,所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)因为AP=AD,M为PD的中点,所以AM⊥PD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD,所以CD⊥AM.因为CD,PD⊂平面PCD,CD∩PD=D,所以AM⊥平面PCD.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 证明线面垂直的方法1.(2017某某某某师X大学附属中学调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA∥平面EBD;(2)求证:PB⊥平面EFD.证明(1)连结BE,BD,AC,设AC交BD于G,连结EG,则G为AC的中点,在△PAC中,E为PC的中点,G为AC的中点,故PA∥EG,又EG⊂面BED,PA⊄面BED,所以PA∥平面EBD.(2)∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥BC.∵BC⊥CD,PD∩CD=D,PD,CD⊂面PCD,∴BC⊥面PCD,又DE⊂面PCD,∴BC⊥DE,∵PD=CD,E为PC的中点,∴DE⊥PC,又BC∩PC=C,BC,PC⊂面PBC,∴DE⊥面PBC,又PB⊂面PBC,∴DE⊥PB,又∵PB⊥EF,EF∩DE=E,EF,DE⊂面EFD,∴PB⊥平面EFD.方法2 证明面面垂直的方法2.(2017某某某某期中,17)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,求证: (1)BD1∥平面EAC;(2)平面EAC⊥平面AB1C.证明(1)连结BD交AC于O,连结EO.易知O为BD的中点,因为E为DD1的中点,所以EO∥BD1. 又BD1⊄平面EAC,EO⊂平面EAC,所以BD1∥平面EAC.(2)易知AC⊥BD,DD1⊥平面ABCD,所以DD1⊥AC,因为BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1,所以AC⊥BD1,同理可证AB1⊥BD1,又AC∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,因为EO∥BD1,所以EO⊥平面AB1C,又EO⊂平面EAC,所以平面EAC⊥平面AB1C.。
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第五节 直线、平面垂直的判定与性质(课件)
2.( 一 题 多 解 ) 如 图 ， 多 面 体 ABCDEF 中 ， 底 面 ABCD 为 正 方 形 ， EA∥FC，且EA＝FC＝AB＝4，△EBD、△FBD都是正三角形，证明： CF⊥平面ABCD.
反思感悟 面面垂直的证明方法
(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直 二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(二)教材改编
2．[必修2·P72探究改编]已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m， n满足m∥α，n⊥β，则( )
A.m∥l
B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
答案：C
3．[必修2·P69探究改编]在△ABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC， 则图中直角三角形的个数是___4__．
(三)易错易混
(2)求证：平面EBC⊥平面PAC；
(3)在侧棱PD上是否存在点F，使得AF⊥ 平面PCD? 若存在，求出线段PF的长； 若不存在，请说明理由．
微专题30 构造几何模型解决空间问题
判断空间线、面的位置关系，常利用正(长)方体及其他几何体模型 来判断，把平面、直线看作正(长)方体内及其他几何体平面、侧棱、 对角线等进行推导验证，使抽象的推理形象化、具体化．
第一步：找相交直线 第二步：证明线线垂直
第三步：证线面垂直 第四步：证线线垂直
在一个平面内找到两条相交直线 证明平面外的直线与这两条相交直线都垂直 利用直线与平面垂直的判定定理证得线面垂直
由线面垂直的性质得到线线垂直
【对点训练】
1.[2023·宁波中学高三模拟]如图，在四棱锥 CABNM中，底面ABNM是菱形，MB⊥NC， 证明：MB⊥AC.
第五节 直线、平面垂直的判定与性质
高考数学复习向导第十三章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质课件 理
证明：∵PA ⊥平面 ABC， ∴PA ⊥BC. 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC⊥AC. ∵PC∩AC＝C， ∴BC⊥平面 PAC. 又∵AE 在平面 PAC 内， ∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE，且 PC∩BC＝C， ∴AE⊥平面 PBC.
图 13－5－4
考点 2 面面垂直的判定与性质应用 例 2：(2010 年广州模拟)如图 13－5－5，在直四棱柱 ABCD －A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC ＝CD＝2，AA1＝2，E、E1 分别是棱 AD、AA1 的中点.
图 13－5－5 (1)设 F 是棱 AB 的中点，证明：直线 EE1∥平面 FCC1； (2)证明：平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.
解题思路：要证 EE1∥平面 FCC1，只需证明 EE1 ∥F1C； 要证平面 D1AC⊥平面 BB1C1C，则需证明直线 AC⊥平面 BB1C1C.
证明：(1)如图 13－5－6，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中， 取 A1B1 的中点 F1.连接 A1D、C1F1、CF1.
∴平面 BDM⊥平面 ECA.
(3)∵MD⊥平面 ECA，MD⊂平面 DEA， ∴平面 DEA⊥平面 ECA.
错源：面面垂直转化为线面垂直时常忽略交线 例 3：如图 13－5－10，在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥平面 ABC，平面 SAB⊥平面 SBC. (1)求证：AB⊥BC； (2)若设二面角 S－BC－A 为 45°，SA＝BC，求二面角 A－ SC－B 的大小．
(3)性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线_平__行__． 2．平面与平面垂直
(1)定义：相交成直二面角的两个平面，叫做互相垂直的平 面．
(2)判定方法：
高考数学第一轮知识点总复习 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
(2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连接AM、DM、 MN……..5′ ∵四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形,…………………………………..6′ ∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,…………………………………..7′ 即DM⊥AM.又∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥DM,∴DM⊥面PAM，得PM⊥DM,………………………………………..9′ 故(3当)设aM=4是时B,CBC边边上的符中合点题M设使的P点MM⊥, DM. ∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM………………………………………………11′ 因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点,则AD≥2AB,即a≥4为所 求…………….12′
ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t，则t的
取值范围是
.
解析: 如图2，过K作KM⊥AF于M点，连接DM，
由平面ABD⊥平面ABC易得DM⊥AF，与折前的图
1对比，可知在折前的图形中D、M、K三点共线且
DK⊥AF，于是△DAK∽△FDA,
AK DA
AD ， t DF 1
分析 （1）本题第(1)问是寻求BD⊥平面PAC的条件,即BD垂直于平面 PAC内两相交直线,易知BD⊥PA,问题归结为a为何值时,BD⊥AC,从而知 ABCD为正方形. （2）若PM⊥DM,易知DM⊥面PAM，得DM⊥AM,由AB=2，a=4知， M为BC的中点时得两个全等的正方形，满足DM⊥AM.
高三数学一轮复习：1215直线、平面垂直的判定与性质
例 1 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，AB⊥平面 PAD，AD＝AP，E 是 PD 的中点，M，N 分别在 AB，PC 上，且 MN⊥AB，MN⊥PC．证明：AE∥MN．
符号语言
l⊥α l⊂β⇒α⊥β
αlαl⊂⊥⊥ ∩βaββ＝a⇒l⊥α
立体几何解答题中经常使用的概念、定理（8+4）
公理 4 （公理 1-3 使用少）
a // b a // c b // c
等角定理（变形）
a // b a c b c
线面平行
a // b
b
a
//
a
a //
a
a
例 2 在矩形 ABCD 中，AB＝2AD＝4，E 是 AB 的中点，沿 DE 将△ADE 折起，得到如图所 示的四棱锥 P－BCDE．(1)若平面 PDE⊥平面 BCDE，求四棱锥 P－BCDE 的体积； (2)若 PB＝PC，求证：平面 PDE⊥平面 BCDE．
例 3 在四棱锥 P－ABCD 中，△PAD 是等边三角形，且平面 PAD⊥平面 ABCD，AD＝2AB＝ 2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°．(1)在 AD 上是否存在一点 M，使得平面 PCM⊥平面 ABCD，若 存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD 面积为 8 7，求四棱锥 P－ABCD 体积．
直线、平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a与平面α垂直，记作a⊥α. (2)判定定理与性质定理
高考数学一轮复习直线、平面垂直的判定及其性质
第5节直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲i.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.口归敦材，夯寳基础知识梳理1 .直线与平面垂直(1) 直线和平面垂直的定义如果一条直线I与平面a内的任意直线都垂直，就说直线I与平面a互相垂直.2.平面与平面垂直(1) 平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.［常用结论与微点提醒］1. 垂直关系的转化判定判定判定I线线曜頁普堰血匝巫器面画垂宜f 性踰性険性质2. 直线与平面垂直的五个结论(1) 若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2) 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行.(4) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.诊断自测1. 思考辨析(在括号内打“V”或“X”)(1) 直线I与平面a内的无数条直线都垂直，则1丄口()(2) 垂直于同一个平面的两平面平行.()(3) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. ()(4) 若平面a内的一条直线垂直于平面B内的无数条直线，则a丄3( )解析(1)直线I与平面a内的无数条直线都垂直，则有I丄a或I与a斜交或I? a或I // a,故⑴错误.(2) 垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3) 若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.（4）若平面a内的一条直线垂直于平面B内的所有直线，则aL B,故（4）错误. 答案（1）X ⑵X ⑶X ⑷X2. （必修2P56A组7T改编）下列命题中错误的是（）A .如果平面a丄平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面BB. 如果平面a不垂直于平面B,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面BC. 如果平面a丄平面Y平面肚平面Y aG A l，那么I丄平面丫D. 如果平面a丄平面B,那么平面a内所有直线都垂直于平面B解析对于D,若平面a丄平面B,则平面a内的直线可能不垂直于平面B,即与平面B的关系还可以是斜交、平行或在平面B内，其他选项易知均是正确的. 答案D3. （2016浙江卷）已知互相垂直的平面a, B交于直线I,若直线m , n满足m// a, n LB,则（）A. m/ IB. m / nC. n丄I D . m丄n解析因为an片I，所以I? B ,又n丄B,所以n丄I,故选C.答案C4. （2017全国川卷）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A. A1E L DC1 B . A1E L BDC. A1E L BC1 D . A1E L AC解析如图，由题设知，A1B1丄平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1，从而A1B1L BC1,又B1C L BC1,且A1B1G BQ= B1,所以BC1 丄平面A1B1CD,又A1E? 平面A1B1CD，所以A1E L BC1.答案C5. （2017浙江名校协作体联考）已知矩形ABCD, AB= 1, BC= 2.将厶ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（）A •存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B. 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C. 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D. 对任意位置，三对直线“ AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析若AB丄CD，BC丄CD，则可得CD丄平面ACB，因此有CD丄AC.因为AB=1，BC= AD= 2，CD= 1，所以AC= 1，所以存在某个位置，使得AB丄CD. 答案B 6. (必修2P67练习2改编)在三棱锥P —ABC中，点P在平面ABC中的射影为点0，(1)若PA= PB= PC,则点0 是厶ABC 的________ 心.⑵若PA丄PB，PB丄PC，PC丄PA，则点0是厶ABC的______ 心.解析(1)如图1,连接OA, OB，OC，0P，在Rt A POA、Rt△ POB 和Rt△ POC 中，PA= PC= PB，所以OA= OB = OC，即卩O ABC的外心.(2)如图2，T PC丄PA，PB丄PC，PA A PB= P，••• PC丄平面FAB，AB?平面PAB，••• PC丄AB,又AB丄PO，PO A PC= P，••• AB 丄平面PGC，又CG?平面PGC，二AB丄CG，即CG ABC边AB的高.同理可证BD，AH分别为△ ABC边AC，BC上的高，即O ABC的垂心.答案(1)外⑵垂图1I考点突破丨分类讲练■、以例求试考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P —ABCD中，FA丄底面ABCD,AB丄AD, AC 丄CD,/ ABC= 60° PA=AB= BC, E 是PC 的中点.证明：（1）CD 丄AE;（2）PD丄平面ABE.证明（1）在四棱锥P —ABCD中，v PA 丄底面ABCD , CD?平面ABCD,：PA 丄CD,又••• AC丄CD, 且FA P AC = A,••• CD丄平面PAC.而AE?平面PAC,••• CD 丄AE.（2）由PA=AB= BC ,Z ABC = 60° 可得AC = PA.v E是PC的中点，二AE丄PC.由（1）知AE丄CD , 且PC P CD = C,••• AE丄平面PCD.而PD?平面PCD,：AE 丄PD.v PA丄底面ABCD , AB?平面ABCD ,:PA丄AB.又v AB丄AD ,且PA P AD = A ,:AB丄平面PAD ,而PD?平面PAD ,:AB丄PD.又v AB P AE= A, : PD 丄平面ABE.规律方法（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性（a// b , a丄a b± a ）；③面面平行的性质（a丄a, all B ? a X p ）；④面面垂直的性质（a丄B, aA a, I丄a, I? B ?l丄a ）.（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】如图所示，已知AB为圆0的直径，点D为线段AB上一点，且AD 1=3DB，点 C 为圆0 上一点，且BC= 3AC，PD 丄平面ABC, PD= DB.求证：PA X CD.证明因为AB为圆0的直径，所以AC X CB.在Rt A ABC 中，由3AC = BC 得，/ ABC= 30°设AD = 1,由3AD = DB 得，DB = 3，BC = 2 3.由余弦定理得CD2= DB2+ BC2—2DB BCcos 30= 3, 所以CD2+ DB2= BC2,即CD 丄AB.因为PD丄平面ABC, CD?平面ABC,所以PD丄CD，由PD A AB= D得，CD丄平面PAB,又PA?平面PAB,所以PA X CD.考点二面面垂直的判定与性质【例2】（2017江苏卷）如图，在三棱锥A—BCD中，AB X AD, BC丄BD,平面ABD X 平面BCD,点E, F（E与A, D不重合）分别在棱AD, BD上，且EF X AD.求证：（1）EF //平面ABC;(2)AD 丄AC.证明(1)在平面ABD内，AB X AD, EF丄AD , 贝U AB // EF.••• AB?平面ABC, EF?平面ABC,••• EF//平面ABC.(2)v BC丄BD，平面ABD G平面BCD = BD，平面ABD丄平面BCD, BC?平面BCD，二BC丄平面ABD.••• AD?平面ABD，二BC 丄AD.又AB丄AD，BC，AB?平面ABC，BC G AB= B，••• AD丄平面ABC，又因为AC?平面ABC,：AD丄AC.规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】(2017 山东卷)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C i-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，0为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E丄平面ABCD.(1)证明：A1O //平面B1CD1；⑵设M是0D的中点，证明：平面A1EM丄平面B1CD1. 证明(1)取B1D1的中点01，连接CO1, A1O1，由于ABCD —A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1 // 0C，A1O1 = 0C，因此四边形A10C01为平行四边形，所以A1O// 01C，又01C?平面B1CD1，A10?平面B1CD1，所以A10 //平面B1CD1.(2)因为AC丄BD , E, M分别为AD和OD的中点，所以EM丄BD,又A I E丄平面ABCD, BD?平面ABCD,所以A i E丄BD,因为B i D i // BD，所以EM丄B i D i, A i E丄B i D i,又A I E, EM?平面A i EM , A i E A EM = E,所以B i D i丄平面A i EM ,又B i D i?平面B i CD i,所以平面A i EM丄平面B i CD i.考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度i多面体中平行与垂直关系的证明【例3-U 如图，在直三棱柱ABC —A i B i C i中，D, E分别为AB, BC的中点, 点F 在侧棱B i B上，且B i D丄A i F, A i C i丄A i B i.求证：(1) 直线DE //平面A i C i F;⑵平面B i DE丄平面A i C i F.证明(i)在直三棱柱ABC—A i B i C i中，A i C i / AC.在厶ABC中，因为D, E分别为AB, BC的中点，所以DE // AC,于是DE// A i C i.又因为DE?平面A i C i F, A i C i?平面A i C i F,所以直线DE //平面A i C i F.(2) 在直三棱柱ABC—A i B i C i中，A i A丄平面A i B i C i.因为A i C i?平面A i B i C i，所以A i A丄A i C i.又因为A i C i丄A i B i, A i A?平面ABB i A i, A i B i?平面ABB i A i, A i A A A i B i= A i, 所以A i C i 丄平面ABB i A i.因为B i D?平面ABB i A i,所以A i C i丄B i D.又因为B i D 丄A i F, A1C1?平面A i C i F, A i F?平面A i C i F, A1C1 A A i F = A i,所以B i D丄平面A iC i F.因为直线B i D?平面B i DE，所以平面B i DE丄平面A i C i F.规律方法(i)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 命题角度2平行垂直中探索性问题【例3-2】如图所示，平面ABCD丄平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC= CE，点F为CE的中点.(i)证明：AE//平面BDF.⑵点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P,使得PM丄BE?若存在, 确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(i)证明图①连接AC交BD于0,连接0F，如图①.•••四边形ABCD是矩形，二0为AC的中点，又F为EC的中点, •••0F ACE的中位线，••• OF / AE, 又OF?平面BDF, AE?平面BDF ,••• AE//平面BDF.⑵解当P为AE中点时，有PM丄BE,证明如下：取BE 中点H , 中占I 八、、，••• PH // AB ,又 AB // CD ，二 PH // CD ,： P , H , •••平面 ABCD 丄平面 BCE ，平面 ABCD A 平面 CD 丄 BC.••• CD 丄平面 BCE , 又 BE?平面 BCE ,••• CD 丄 BE ,v BC = CE , H 为 BE 的中点，二 CH 丄BE ,又 CD A CH = C ,： BE 丄平面 DPHC ，又 PM?平面 DPHC , ••• BE 丄 PM ，即 PM 丄 BE.规律方法 （1）求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给 出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件， 再证明充分性.（2）涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索 点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.【训练3】（2018嘉兴七校联考）在如图所示的几何体中，面 CDEF 为正方形, 面 ABCD 为等腰梯形，AB // CD , AC = . 3, AB = 2BC = 2, AC 丄FB.⑴求证：AC 丄平面FBC.⑵求四面体FBCD 的体积.⑶线段AC 上是否存在点M ，使EA //平面FDM ?若存在，请说明其位置，并加 以证明；若不存在，请说明理由.⑴证明在厶ABC 中，因为 AC = 3, AB = 2, BC = 1,所以 AC 2 + BC 2= AB 2,••• P 为AE 的中点，H 为BE 的C ,D 四点共面.BCE = BC , CD?平面 ABCD ,所以AC丄BC.又因为AC丄FB, BC G FB = B,所以AC丄平面FBC.⑵解因为AC丄平面FBC , FC?平面FBC，所以AC丄FC. 因为CD丄FC, AC A CD = C,所以FC丄平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CB= DC = 1,所以FC = 1.所以△ BCD的面积为S^43.1 U3所以四面体FBCD的体积为V F—BCD = 3S FC = 12.⑶解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA//平面FDM.证明如下:连接CE，与DF交于点N,取AC的中点M，连接MN.因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点.所以EA // MN.因为MN?平面FDM , EA?平面FDM ,所以EA//平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA//平面FDM成立.I课乍业分层训练■，提升能力基础巩固题组一、选择题1. （2018绍兴检测）已知平面辽平面B,且aA b, a? a ,贝a丄b”是“ a丄0'的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析平面a丄平面0且aA 0= b, a? a ,若a丄b,则a丄0充分性成立；平面a丄平面B,因为aA b,所以b? B,若a丄B,则a丄b,必要性成立，所以“a丄b”是“ a丄B的充要条件，故选C.答案C2. （2015浙江卷）设a, B是两个不同的平面，I, m是两条不同的直线，且I? a , m?B （）A .若I丄B,贝U aXB B .若a丄B,则I丄mC.若I // B,贝U all B D .若all B,则I // m解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，I与m可能平行；C选项中，a与B可能相交；D选项中，I与m可能异面.答案A3.若平面a, B满足a丄B, aA B= I ,P€ a , P?I，则下列命题中是假命题的为（）A .过点P垂直于平面a的直线平行于平面BB. 过点P垂直于直线I的直线在平面a内C. 过点P垂直于平面B的直线在平面a内D. 过点P且在平面a内垂直于I的直线必垂直于平面B解析由于过点P垂直于平面a的直线必平行于平面B内垂直于交线的直线，因此也平行于平面B,因此A正确.过点P垂直于直线I的直线有可能垂直于平面a,不一定在平面a内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C , D正确.答案B4. 如图,在正四面体P-ABC中,D , E , F分别是AB , BC , CA的中点,下面四个结论不成立的是（）A. BC//平面PDFB. DF丄平面FAEC. 平面PDF丄平面PAED.平面PDE丄平面ABC 解析因为BC// DF, DF?平面PDF,BC?平面PDF,所以BC //平面PDF ,故选项A正确.在正四面体中，AE丄BC, PE丄BC, AE G PE= E,••• BC丄平面PAE, DF // BC,贝U DF丄平面PAE, 又DF?平面PDF，从而平面PDF丄平面PAE.因此选项B, C均正确.答案D5. （2017丽水调研）设l是直线，a, B是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A .若I // a, I // B,贝u all PB .若I // a, I 丄B,贝U a丄B C.若a丄B, I丄a,则I // P D .若a丄P I // a,则I丄P解析A中，all P或a与P相交，不正确.B中，过直线I作平面Y设aG尸I ；贝U I'//1 ,由I丄B知I'丄B从而a丄B B正确.C中，I //p或I? p , C不正确.D 中，I与P的位置关系不确定.答案B6. 如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把厶ABD和厶ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD丄AC;②厶BAC是等边三角形；③三棱锥D —ABC是正三棱锥；④平面ADC丄平面ABC.其中正确的是（）A. ①②④ B .①②③C.②③④ D .①③④解析由题意知,BD丄平面ADC ,且AC?平面ADC ,故BD丄AC ,①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD丄平面ACD ,所以AB = AC= BC , △ BAC是等边三角形,②正确；易知DA = DB = DC ,又由②知③正确；由①知④错.答案B二、填空题7. _______________________________________________________________ 如图，已知PA丄平面ABC, BC丄AC,则图中直角三角形的个数为 _____________ .解析T PA丄平面ABC, AB, AC, BC?平面ABC,••• PA丄AB, PA丄AC, PA丄BC,则厶PAB, △ PAC为直角三角形.由BC丄AC, 且AC n PA= A, ••• BC丄平面PAC,从而BC丄PC,因此△ ABC, △ PBC也是直角三角形.答案48. （2018杭州质检）设a, B是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m l a, m? B ,贝U a± B；②若m // a , a丄B，贝U m± B其中真命题是__________ 填序号）.解析由面面垂直的判定定理可知①是真命题；若m// a, a丄B,则m, B的位置关系不确定，可能平行、相交或m? B，则②是假命题.答案①9. 如图所示，在四棱锥P- ABCD中，PA丄底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________ 寸，平面MBD丄平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）.解析由题意可知，BD丄PC.•••当DM丄PC（或BM丄PC）时，有PC丄平面MBD.又PC?平面PCD, •平面MBD丄平面PCD.答案DM丄PC（或BM丄PC等）10. （2016全国U卷改编）a, B是两个平面，m, n是两条直线.⑴如果m l a, n// a,那么m, n的位置关系是 ____________ ;(2)如果m/ n, all B,那么m与a所成的角和n与B所成的角的大小关系是解析(1)由线面平行的性质定理知存在直线I? a , n// I, m l a，所以m l l, 所以m l n.⑵因为m// n,所以m与a所成的角和n与a所成的角相等.因为all B,所以n 与a所成的角和n与B所成的角相等，所以m与a所成的角和n与B所成的角相等.答案(1)垂直(2)相等三、解答题11. 如图，在三棱锥P —ABC中，平面FAB丄平面ABC, PA丄PB, M , N分别为AB, PA的中点.(1) 求证：PB//平面MNC;(2) 若AC= BC,求证：PA丄平面MNC.证明(1)因为M , N分别为AB, PA的中点，所以MN // PB.又因为MN?平面MNC, PB?平面MNC，所以PB//平面MNC.(2)因为FA X PB, MN // PB,所以FA X MN.因为AC= BC, AM = BM，所以CM X AB.因为平面PAB X平面ABC,CM?平面ABC，平面PAB A平面ABC = AB.所以CM丄平面PAB.因为PA?平面PAB,所以CM丄PA.又MN A CM = M，所以PA丄平面MNC.12. (2016北京卷)如图，在四棱锥P —ABCD中，PC X平面ABCD, AB// DC, DC 丄AC.⑴求证：DC 丄平面FAC ;(2)求证：平面FAB 丄平面PAC ;⑶设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ,使得PA //平面CEF ?说明理由.(1)证明 因为PC 丄平面ABCD ,所以PC 丄DC.又因为AC 丄DC ,且PC n AC = C ,所以DC 丄平面PAC.(2)证明 因为AB / DC , DC 丄AC ,所以AB 丄AC.因为PC 丄平面ABCD ，所以PC 丄AB.又因为pe n AC = C ,所以AB 丄平面PAC.又AB?平面PAB ,所以平面PAB 丄平面PAC.⑶解 棱PB 上存在点F ,使得PA //平面CEF.理由如下：取PB 的中点F ，连接EF , CE , CF ,又因为E 为AB 的中点，所以 EF / PA.又因为PA?平面CEF ，且EF?平面CEF , 所以PA //平面CEF.能力提升题组13. (2018舟山调研)在三棱锥P - ABC 中，已知PA 丄底面ABC , AB 丄BC ,E, A. 当AE 丄PB 时，△ AEF 一定为直角三角形B. 当AF 丄PC 时，△ AEF 一定为直角三角形F 分别是线段PB , PC 上的动点，则下列说法错误的是(C •当EF //平面ABC 时，△ AEF —定为直角三角形D •当PC 丄平面AEF 时，△ AEF 一定为直角三角形解析 因为AP I 平面ABC , BC?平面ABC ，所以AP I BC ,又AB 丄BC ,且PA 和AB 是平面PAB 内两条相交直线，则 BC 丄平面PAB ,又AE?平面FAB ,所以 BC 丄AE ,当AE 丄PB 时，AE 丄平面PBC ,又EF?平面PBC ,贝U AE 丄EF , △ AEF 一定是直角三角形，A 正确；当EF //平面ABC 时，EF 在平面PBC 内，平面PBC 与平面ABC 相交于BC ,则EF // BC ,则EF 丄AE , △ AEF 一定是直角三角形， C 正确；当PC 丄平面AEF 时，AE 丄PC ,又AE 丄BC , J 则AE 丄平面PBC ,又EF?平面PBC ，所以AE 丄EF , △ AEF 一定是直角三角形，D 正确；B 中结论无法证 明. 答案 B14. （2017诸暨调研）如图，在正方形ABCD 中，E , F 分别是BC , CD 的中点, 沿AE , AF , EF 把正方形折成一个四面体，使 B , C , D 三点重合，重合后的点 记为P , P 点在△ AEF 内的射影为O ,则下列说法正确的是（ ）解析 由题意可知PA , PE , PF 两两垂直,所以PA 丄平面PEF ,从而PA 丄EF ,而PO 丄平面AEF ，贝U PO 丄EF ，因为POP PA = P ,所以EF 丄平面PAO ,••• EF 丄AO ,同理可知 AE 丄FO , AF 丄EO ,•••O AEF 的垂心.A . O 是厶AEF 的垂心 C. O 是厶AEF 的外心B . O 是厶AEF 的内心D . O 是厶AEF 的重心答案A15. 如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA丄平面ABC, PA= 2AB, 则下列结论中：①PB丄AE;②平面ABC丄平面PBC;③直线BC//平面PAE;④/ PDA=45°其中正确的有________ (把所有正确的序号都填上)•解析由PA丄平面ABC, AE?平面ABC, 得PA丄AE,又由正六边形的性质得AE丄AB, PA A AB = A,得AE丄平面FAB,又PB?平面FAB, A AE丄PB,①正确；又平面PAD丄平面ABC,二平面ABC丄平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC/ AD，又AD?平面PAD , BC?平面PAD , A BC//平面PAD , A直线BC//平面PAE也不成立，③错；在Rt △ PAD中，PA =AD= 2AB, A / PDA = 45° A④正确.答案①④16. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 丄CD , AD // BC,/ ADC=Z PAB= 90°BC = CD = 1AD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM //平面PAB,并说明理由.⑵证明：平面PAB丄平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M €平面PAD),点M即为所求的一个点，理由如下:因为AD // BC, BC= 2AD.所以BC / AM , 且BC= AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM // AB.又AB?平面PAB.CM?平面PAB.所以CM //平面PAB.(说明：取棱PD 的中点N ,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)证明 由已知，PA 丄AB , FA X CD.因为 AD // BC , BC = 1A D ,所以直线AB 与CD 相交，所以PA 丄平面ABCD.又BD?平面ABCD ,从而PA X BD.1因为 AD // BC , BC = 2AD ,M 为AD 的中点，连接BM ,所以 BC / MD , 且 BC = MD.所以四边形BCDM 是平行四边形，1所以BM = CD = 2AD ，所以BD 丄AB.又AB A AP = A ,所以BD 丄平面PAB.又BD?平面PBD ,所以平面PAB X 平面PBD.17. 如图，三棱台DEF — ABC 中，AB = 2DE , G , H 分别为AC ,BC 的中点. (1)求证：BD //平面FGH ;证明 (1)连接DG , CD ，设CD A GF = M ,连接MH.(2)若 CF 丄BC , AB X BC ,求证：平面 BCD 丄平面EGH.在三棱台DEF－ABC 中，AB= 2DE, G 为AC 中点，可得DF // GC,且DF = GC, 则四边形DFCG 为平行四边形．从而M 为CD 的中点，又H为BC的中点，所以HM / BD, 又HM?平面FGH , BD?平面FGH, 故BD //平面FGH.(2)连接HE，因为G, H分别为AC, BC的中点，所以GH // AB.由AB丄BC,得GH丄BC.又H为BC的中点，所以EF // HC , EF = HC , 因此四边形EFCH 是平行四边形,所以CF // HE.又CF丄BC,所以HE丄BC. 又HE, GH?平面EGH , HE A GH = H , 所以BC丄平面EGH.又BC?平面BCD，所以平面BCD丄平面EGH.。
高考数学(理)总复习讲义：直线、平面垂直的判定及其性质
第五节直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线❶都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理和性质定理：2．平面与平面垂直的判定定理和性质定理定义中强调的是“任意一条直线”，它与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直．如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直．[熟记常用结论]1．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．3．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．4．若一条直线和两个不重合的平面都垂直，那么这两个平面平行．5．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)垂直于同一个平面的两平面平行．()(2)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案：(1)×(2)×(3)×二、选填题1．给出下列三个命题：①垂直于同一直线的两个平面互相平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4答案：B2．设m，n表示直线，α，β表示平面，下列命题为真命题的是()A．若m⊥α，α⊥β，则m∥β B.m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n解析：选B对于A，m可以在β内，故A错；对于C，n可以在α内，故C错；对于D，m与n可以平行，故D错．故选B.3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m⊂α B.α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β解析：选C对于选项A，由α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A 不成立；对于选项B，由α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，由m∥n且n⊥β，可得m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立，故选C.4．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：①PA⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC .其中正确的有________(填序号)．解析：如图，因为PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，且PB ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BC .同理可得PB ⊥AC ，PC ⊥AB .故①②③正确．由已知条件无法得到④.答案：①②③5．已知PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，PA ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有________对．解析：如图，由于PD ⊥平面ABCD ，故平面PDA ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面PAC ⊥平面PDB ，平面PAB ⊥平面PDA, 平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．答案：7考点一 线面垂直的判定与性质 [全析考法过关][考法全析]考法(一) 证明线面垂直[例1] 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥DC ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH为△PAD 中AD 边上的高．求证：(1)PH ⊥平面ABCD ； (2)EF ⊥平面PAB .[证明] (1)∵AB ⊥平面PAD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD .∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PH ⊥AD ， ∴PH ⊥平面ABCD .(2)取PA 的中点M ， 连接MD ，ME . ∵E 是PB 的中点， ∴ME 綊12AB .又∵DF 綊12AB ，∴ME 綊DF ，∴四边形MEFD 是平行四边形，∴EF ∥MD . ∵PD ＝AD ，∴MD ⊥PA .∵AB ⊥平面PAD ，∴MD ⊥AB . ∵PA ∩AB ＝A ，∴MD ⊥平面PAB ， ∴EF ⊥平面PAB . 考法(二) 证明线线垂直[例2] 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为D 1D 的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥AP .[证明] 法一：(线面垂直法) 如图(1)，易证AB 1＝CB 1.又因为O 为AC 的中点， 所以B 1O ⊥AC .在矩形BDD 1B 1中，O ，P 分别为BD ，D 1D 的中点． 易证△POD ∽△OB 1B ， 所以∠POD ＝∠OB 1B . 所以B 1O ⊥PO . 又AC ∩PO ＝O ， 所以B 1O ⊥平面PAC . 又AP ⊂平面PAC ， 所以B 1O ⊥AP . 法二：(计算角度法)如图(2)，令PC 的中点为E ， 因为O 为AC 的中点， 所以AP ∥OE .所以∠B 1OE 或其补角是异面直线B 1O 与AP 所成角． 设正方体棱长为4，则B 1C ＝42，B 1P ＝6，PC ＝25， 在△B 1PC 中，由三角形中线长公式可知 B 1E 2＝14[2(B 1P 2＋B 1C 2)－PC 2]＝29，又B 1O ＝26，OE ＝5， 所以B 1O 2＋OE 2＝B 1E 2，所以∠B 1OE ＝90°，所以B 1O ⊥AP .[规律探求][过关训练]1．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .证明：(1)∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC .又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.2.如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且3AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证：PA⊥CD.证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BC.在Rt△ABC中，由BC＝3AC，得∠ABC＝30°.设AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2 3.由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD.因为PD∩AB＝D，所以CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.考点二面面垂直的判定与性质[师生共研过关][典例精析](2018·成都模拟)如图，在四面体P-ABC中，PA＝PC＝AB＝BC＝5，AC＝6，PB＝42，线段AC，PA的中点分别为O，Q.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求四面体P-OB Q的体积．[解](1)证明：∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC.在Rt△PAO中，∵PA＝5，OA＝3，∴由勾股定理，得PO＝4.∵AB＝BC，O是AC的中点，∴BO⊥AC.在Rt△BAO中，∵AB＝5，OA＝3，∴由勾股定理，得BO＝4.∵PO＝4，BO＝4，PB＝42，∴PO2＋BO2＝PB2，∴PO⊥BO.∵BO∩AC＝O，∴PO⊥平面ABC.∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)由(1)，可知平面PAC⊥平面ABC.∵平面ABC∩平面PAC＝AC，BO⊥AC，BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面PAC，∴V B-PO Q＝13S△P Q O·BO＝13×12S△PAO×4＝13×3×4＝4.∵V P-OB Q＝V B-PO Q，∴四面体P-OB Q的体积为4.[解题技法]1．面面垂直判定的2种方法与1个转化(1)2种方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)1个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．2．面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．[过关训练]1．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F分别是CD，PC的中点．求证：(1)BE∥平面PAD；(2)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，∴AB∥DE且AB＝DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD∥BE，又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.(2)∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.∵CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.2.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.考点三平行与垂直的综合问题[师生共研过关][典例精析]由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)求证：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，求证：平面A1EM⊥平面B1CD1. [证明](1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，因为ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，因为O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为E，M分别为AD，OD的中点，所以EM∥AO.因为AO⊥BD，所以EM⊥BD.又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E⊂平面A1EM，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.[解题技法]1．平行关系之间的转化线线平行判定性质线面平行判定性质面面平行在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．2．垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件，同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．[过关训练]如图，在三棱台ABC -DEF 中，CF ⊥平面DEF ，AB ⊥BC . (1)设平面ACE ∩平面DEF ＝a ，求证：DF ∥a ；(2)若EF ＝CF ＝2BC ，试问在线段BE 上是否存在点G ，使得平面DFG ⊥平面CDE ？若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：在三棱台ABC -DEF 中，AC ∥DF ，AC ⊂平面ACE ，DF ⊄平面ACE ，∴DF ∥平面ACE .又∵DF ⊂平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ， ∴DF ∥a .(2)线段BE 上存在点G ，且BG ＝13BE 时，使得平面DFG ⊥平面CDE .证明如下：取CE 的中点O ，连接FO 并延长交BE 于点G ，交CB 的延长线于点H ，连接GD ，∵CF ＝EF ，∴GF ⊥CE .在三棱台ABC -DEF 中，AB ⊥BC ⇒DE ⊥EF . 由CF ⊥平面DEF ⇒CF ⊥DE .又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面CBEF ， ∵GF ⊂平面CBEF ，∴DE ⊥GF .∵CE ∩DE ＝E ，CE ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ， ∴GF ⊥平面CDE .又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE . ∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ， 由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ， ∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE ，可知BG GE ＝HB EF ＝12，即BG ＝13BE .[课时跟踪检测]一、题点全面练1．已知直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥m，则n∥αD．若m∥α，m∥β，则α∥β解析：选B对于A，若α⊥β，m⊂β，则当m与α，β的交线垂直时才有m⊥α，故A 错；对于B，若n∥α，则α内存在直线a，使得a∥n，∵m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故B 正确；对于C，当n⊂α时，显然结论错误，故C错；对于D，若α∩β＝l，则当m∥l时，显然当条件成立时，结论不成立，故D错．故选B.2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行解析：选D如图所示，连接AC，C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN，故A，C正确，D错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，B正确．故选D.3.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．4．(2019·成都模拟)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m ⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的个数是() A．0B．1C．2 D．3解析：选B 对于①，直线m ，n 可能异面；易知②正确；对于③，直线m ，n 同时垂直于公共棱，不能推出两个平面垂直；对于④，当直线n ∥l 时，不能推出两个平面垂直．故真命题的个数是1.5.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12B.1C.32 D ．2解析：选A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝ ⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66. 在Rt △DB 1F 中，由面积相等得66× x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝22x ，解得x ＝12. 即线段B 1F 的长为12. 6．(2019·武汉调研)在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直；②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直；③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接CE .则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，CE 与BD 不垂直，故假设不成立，①不正确．②假设AB ⊥CD ，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确．③假设AD ⊥BC ，∵CD ⊥BC ，∴BC ⊥平面ACD ，∴BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB ＜BC ，故矛盾，假设不成立，③不正确．综上，填②.答案：②7．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③8．已知α，β是两平面，AB，CD是两条线段，α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________．解析：由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABDC，又BD⊂平面ABDC，∴BD⊥EF，故①正确；②不能得到BD⊥EF，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，可知平面ABDC⊥β，又AB⊥α，AB⊂平面ABDC，∴平面ABCD⊥α.∵α∩β＝EF，∴EF⊥平面ABDC，又BD⊂平面ABDC，∴BD⊥EF，故③正确；④中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABDC，则EF⊥AC，故④错误，故填①③.答案：①③9．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ，所以PD ⊥平面PAB .因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC . 因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC . 所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形．所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.(2019·临汾模拟)如图，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为MC 的中点，则下列结论不正确的是( )A ．平面BCE ⊥平面ABNB ．MC ⊥ANC ．平面CMN ⊥平面AMND ．平面BDE ∥平面AMN解析：选C 如图，分别过A ，C 作平面ABCD 的垂线AP ，C Q ，使得AP ＝C Q ＝1，连接PM ，PN ，Q M ，Q N ，将几何体补成棱长为1的正方体．∴BC ⊥平面ABN ，又BC ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面ABN ，故A 正确；连接PB，则PB∥MC，显然，PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，AC.∵△AMN和△CMN都是边长为2的等边三角形，∴AF⊥MN，CF⊥MN，∴∠AFC为二面角A-MN-C的平面角，∵AF＝CF＝62，AC＝2，∴AF2＋CF2≠AC2，即∠AFC≠π2，∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；∵DE∥AN，MN∥BD，DE∩BD＝D，DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，MN∩AN＝N，MN⊂平面AMN，AN ⊂平面AMN，∴平面BDE∥平面AMN，故D正确．故选C.2.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC 也是直角三角形．答案：43.(2018·泉州模拟)如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P∥平面AD1C；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面AD1C.其中正确的命题序号是________．解析：如图，连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1∥BC1，所以BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，所以三棱锥P-AD1C的体积不变．又因为V三棱锥P-AD1C＝V三棱锥A-D1PC，所以①正确；连接A1B，A1C1，因为平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，所以A 1P ∥平面AD 1C ，②正确；由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直BC 1，故③不正确；由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1，所以DB 1⊥平面AD 1C .又因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面AD 1C ，④正确．答案：①②④(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与数学文化交汇]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM -DCP 与刍童ABCD -A 1B 1C 1D 1的组合体中，AB ＝AD ，A 1B 1＝A 1D 1.台体体积公式：V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ，其中S ′，S 分别为台体上、下底面的面积，h 为台体的高．(1)求证：直线BD ⊥平面MAC ；(2)若AB ＝1，A 1D 1＝2，MA ＝3，三棱锥A -A 1B 1D 1的体积V ′＝233，求该组合体的体积．解：(1)证明：由题意可知ABM -DCP 是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD ⊥平面MAB ， ∵MA ⊂平面MAB ，∴AD ⊥MA .又MA ⊥AB ，AD ∩AB ＝A ，AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴MA ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴MA ⊥BD ，∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC .又MA ∩AC ＝A ，MA ⊂平面MAC ，AC ⊂平面MAC ，∴BD ⊥平面MAC .(2)设刍童ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为h ，则三棱锥A -A 1B 1D 1的体积V ′＝13×12×2×2×h ＝233， ∴h ＝3，故该组合体的体积V ＝12×1×3×1＋13×(12＋22＋12×22)×3＝32＋733＝1736. (三)素养专练——学会更学通5．[直观想象、逻辑推理、数学运算]如图，已知三棱柱ABC -A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面AA ′C ′C ；(2)设AB ＝λAA ′，当λ为何值时，CN ⊥平面A ′MN ，试证明你的结论．解：(1)证明：如图，取A ′B ′的中点E ，连接ME ，NE .因为M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点，所以NE ∥A ′C ′，ME ∥AA ′.又A ′C ′⊂平面AA ′C ′C ，AA ′⊂平面AA ′C ′C ，NE ⊄平面AA ′C ′C ，ME ⊄平面AA ′C ′C ，所以ME ∥平面AA ′C ′C ，NE ∥平面AA ′C ′C ，又因为ME ∩NE ＝E ， 所以平面MNE ∥平面AA ′C ′C ，因为MN ⊂平面MNE ，所以MN ∥平面AA ′C ′C .(2)连接BN ，设AA ′＝a ，则AB ＝λAA ′＝λa ，由题意知BC ＝2λa ，CN ＝BN ＝ a 2＋12λ2a 2， 因为三棱柱ABC -A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，所以平面A ′B ′C ′⊥平面BB ′C ′C .因为AB ＝AC ，点N 是B ′C ′的中点，所以A ′B ′＝A ′C ′，A ′N ⊥B ′C ′，所以A ′N ⊥平面BB ′C ′C ，又CN ⊂平面BB ′C ′C ，所以CN ⊥A ′N ，要使CN ⊥平面A ′MN ，只需CN ⊥BN 即可，所以CN 2＋BN 2＝BC 2，即2⎝⎛⎭⎫a 2＋12λ2a 2＝2λ2a 2， 解得λ＝2，故当λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN .。
高考数学课程一轮复习 第13课时 直线、平面垂直的判定及其性质
第13课时 直线、平面垂直的判定及其性质【考点点知】知己知彼，百战不殆垂直关系也是立体几何中两种最重要的关系之一，新课标要求熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质，并能利用这些判定和性质解决一些几何问题．在新高考中主要用这些判定和性质定理证明一些线线、线面、面面的垂直关系，以是小的判断题，也可以是大逻辑推理题．考点一: 直线与平面垂直1.如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就 说直线a 垂直于平面α,记作a ⊥α.直线a 叫做平面α的垂线,平面α叫 做直线a 的垂面,垂线和平面的交点B 称为垂足2.过平面α外一点A 向平面α引垂线,则点A 和垂足B 之间的距离叫 做点A 到平面α的距离.考点二: 直线与平面垂直的判定定理1.直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．2.符号语言:考点三: 直线与平面垂直的性质定理1.直线和平面垂直的性质定理；如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．2.符号语言://a a b b αα⊥⎫=⎬⊥⎭. 考点四: 两个平面垂直的判定定理1.平面角是直角的二面角叫做直二面角.一般地, 如果两个平面所成的二面角是直二面角,我们就说这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．3.符号语言:若,l l αβ⊥⊂, 则αβ⊥ .考点五: 两个平面垂直的性质定理1.两个平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.2.符号语言：若α⊥β，α∩β=CD ，AB ⊂α, 且AB ⊥CD 于β,则AB ⊥β．【小题热身】明确考点，自省反思1.（2009山东卷）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 条件.ABCDPE2.已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的序号是 .①m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，∥，∥∥ ②m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥，，∥③m m n n αα⇒⊥，⊥∥ ④n m n m αα⇒∥，⊥⊥3.（2009浙江卷）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．【考题点评】分析原因，醍醐灌顶 例1.设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的 条件.思路透析:若,,,l m n ααα⊥⊂⊂则l m ⊥且l n ⊥;反之若l m ⊥且l n ⊥,则不一定有l α⊥, (当且仅当,m n 为相交直线时有l α⊥). ∴“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充分不必要条件.点评:若直线与平面垂直，则平面内有任意直线与该直线垂直，这无数条直线也垂直，应注意“ 任意”、“ 所有”与“ 无数”的区别.例2.如图，在三棱锥V-ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，求证：平面V AB ⊥平面VCD ； 思路透析:证明:∵AC=BC=a ,∴△ACB 是等腰三角形，又D 是AB 的中点， ∴CD ⊥AB ，又VC ⊥底面ABC ， ∴VC ⊥AB ，于是AB ⊥平面VCD ，又AB 平面V AB ，∴平面V AB ⊥平面VCD.点评:两个平面垂直的判定定理和性质定理分别有线面垂直得出面面垂直，以及面面垂直得到线面垂直，从这一方面可知线面垂直与面面垂直的密切关系，解决有关问题时，经常利用“ 线线垂直—线面垂直—面面垂直”这种转化思想.例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；思路透析:（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥= ，∵，CD ⊥∴平面PAC ． 而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C = ，所以AE ⊥平面PCD ． 而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥， AB PD ⊥∴．又AB AE A = ∵，综上得PD ⊥平面ABE ．点评:证明直线垂直于平面，必须先证明直线垂直于平面内的两条相交直线，至于这条直线是否过两条相交直线的交点并不重要.例4.如图，A B C D ，，，为空间四点．在ABC △中，2AB AC BC ===，等边三角形ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；（Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论．思路透析:（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，，因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥．当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =，所以DE ⊥平面ABC ， 可知DE CE ⊥由已知可得1DE EC ==，在DEC Rt △中，2CD =．（Ⅱ）当A D B △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知AB DE ⊥． 又因AC BC =，所以AB CE ⊥．又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥．综上所述，总有AB CD ⊥．点评:动平面运动时几何体中相对的特殊线线位置关系的不变性探索一直以来是立体几何的一个难点,考生对该几何位置的探索与发现仍处理猜想与找特殊位置的论证阶段,因而扣分情况较为严重.此类型问题可利用分析法加在分析论证,结合线面垂直的性质定理加以分析即可找分类而得证该命题.【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 如图，正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题中， 不正确的是( ).EDBC AOS BACA.点H 是△A 1BD 的垂心B.AH ⊥平面CB 1D 1C.AH 的延长线经过点C 1D.直线AH 和BB 1所成角为45° 2.,m n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题： ①,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ②,//,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥其中真命题是( )A. ①③B. ①④C. ②④D.③④ 3.（2009安徽卷）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是( ) ① 相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；② 由顶点A 作四面体的高，其垂足是∆BCD 的三条高线的交点；③ 若分别作∆ABC 和∆ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ④ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;⑤ 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱． A. ①④⑤ B. ②④ C. ③④⑤ D.①②④⑤4. 下列5个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线,点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出l ⊥面MNP 的图形是( )A. ②③④B. ①⑤C. ①④⑤D. ③④【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1.已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：（ ） ①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是 .2. m 、n 表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为 . ①α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β ②α⊥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ⊥n ③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m ，则m ⊥α ④m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β3.Rt △ABC 在平面α内的射影是△A 1B 1C 1，设直角边AB ∥α，则△A 1B 1C 1的形状是_____________三角形.4.△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为_____________ cm.5.设a 、b 是异面直线，α、β是两个平面，且a ⊥α，b ⊥β，a ⊄β，b ⊄α，则当__________（填上一种条件即可）时，有α⊥β.6.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则①A 点到CD 1的距离为________； ②A 点到BD 1的距离为________； ③A 点到面BDD 1B 1的距离为______； ④A 点到面A 1BD 的距离为_____； ⑤AA 1与面BB 1D 1D 的距离为_______. 二、解答题:7.已知D 为平面ABC 外一点，且DA 、DB 、DC 两两垂直．求证：顶点D 所对的三角形面积的平方等于其余三个三角形面积的平方和，即2222ADC BDC DAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=．8. (2009福建卷)如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD == 将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD . （I ）求证：AB DE ⊥（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积．第13课时 直线、平面垂直的判定及其性质参考答案【小题热身】1. 必要不充分2. ④3. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭【即时测评】1. D2. B3. A4. C【课后作业】一、填空题:1. ①④2. ③④3. 直角4. 35. 本题为开放性问题.可以填上a ⊥b ，也可以填a ∥β，或b ∥α.6. ①26 ②36 ③22 ④33 ⑤22 二、解答题:7. 解析: 如图，设DA =a ，DB =b ，DC =c ，则ab S ADB 21=∆，bc S BDC 21=∆，ac S ADC 21=∆．在△ABD 中，作DM ⊥AB 于M ，则22ba ab DM +=．∵CD ⊥AD ，CD ⊥DB ，∴CD ⊥平面ADB ，∴ CD ⊥DM ．在Rt △CDM 中，=++=+=22222222b a b ac CD DM CM 22222222ba a c cb b a +++， 又∵AB CM ⊥, ∴221()2ABCSAB CM ∆=⋅22222222221()4a b b c c a a b a b ++=+⋅+ 2222221()4a b b c c a =++222ADB BDC CDA S S S ∆∆∆=++． 8. 解析:（I ）证明：在ABD ∆中，2,4,60AB AD DAB ︒==∠=222,BD AB BD AD AB DE∴==∴+=∴⊥ 又 平面EBD ⊥平面ABD平面EBD 平面,ABD BD AB =⊂平面ABD AB ∴⊥平面EBDDF ⊂ 平面,EBD AB DE ∴⊥（Ⅱ）解：由（I ）知,//,,AB BDCD AB CD BD ⊥∴⊥从而DE D ⊥ B 在Rt DBE ∆中，2DB DE DC AB ====12ABE S DB DE ∆∴=⋅= 又AB ⊥ 平面,EBD BE ⊂平面,EBD AB BE ∴⊥14,42ABE BE BC AD S AB BE ∆===∴=⋅= ,DE BD ⊥ 平面EBD ⊥平面ABD ED ∴⊥，平面ABD而AD ⊂平面1,,42ADE ABD ED AD S AD DE ∆∴⊥∴=⋅=综上，三棱锥E ABD -的侧面积，8S =+。
高考数学第一轮章节复习课件 第五节 直线、平面的判定及其性质
(1)注意AC2=AB2+BC2易证AB⊥PQ (2)关键在于利用BM∥平面APQ推证四边形 PBMN为平行四边形.
【解】 (1)证明：因为AB＝3，BC＝4， 所以AC＝5，从而AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC. 又因为AB⊥BB1，而BC∩BB1＝B， 所以AB⊥平面BCC1B1，又PQ⊂平面BCC1B1， 所以AB⊥PQ.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角． ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB. 又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形， ∴AD＝ 在Rt△ABC中，∠ABC＝60°， ∴BC＝ ∴在Rt△ADE中，sin∠DAE ∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为
(3)∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC. 又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC， ∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角． ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC， ∴∠PAC＝90°，∴在棱PC上存在一点E， 使得AE⊥PC.这时，∠AEP＝90°， 故存在点E使得二面角A－DE－P是直二面角．
文字语言
图形语言
性
质 垂直于同一个平面
定 理
的两条直线 平行
符号语言
二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理.
文字语言
图形语言
判 一个平面过另一个
定 定
平面的 垂线 ，则这
理 两个平面垂直
符号语言
2．平面与平面垂直的性质定理.
文字语言
图形语言
性 两个平面垂直，则 质 一个平面内垂直于
定 交线 的直线与另 理
∵AB＝AC，∴AE⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BDC，
∴AE⊥平面BCD.
∴AE⊥ED.
高考数学一轮复习考点知识专题讲解53---直线、平面垂直的判定与性质
高考数学一轮复习考点知识专题讲解直线、平面垂直的判定与性质考点要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．知识梳理1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直错误!⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行错误!⇒a∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直错误!⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直错误!⇒l⊥α知识拓展1．三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)(4)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a∥直线b.(√)教材改编题1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案D解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是相交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．2．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件．答案必要不充分3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，∴OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．图1图2(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC的中点，BF⊥A1B1.1(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.(1)解如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF ＝1，EM ＝12AB ＝1， AB ∥A 1B 1，由BF ⊥A 1B 1得EM ⊥BF ， 又EM ⊥CF ，BF ∩CF ＝F ， 所以EM ⊥平面BCF ，故V 三棱锥F －EBC ＝V 三棱锥E －FBC ＝13×12BC ×CF ×EM ＝13×12×2×1×1＝13.(2)证明连接A 1E ，B 1M ， 由(1)知EM ∥A 1B 1， 所以ED 在平面EMB 1A 1内．在正方形CC 1B 1B 中，由于F ，M 分别是CC 1，BC 的中点， 所以由平面几何知识可得BF ⊥B 1M ， 又BF ⊥A 1B 1，B 1M ∩A 1B 1＝B 1， 所以BF ⊥平面EMB 1A 1，又DE ⊂平面EMB 1A 1，所以BF ⊥DE . 教师备选如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面PAD ，AD ＝AP ，E 是PD 的中点，M ，N 分别在AB ，PC 上，且MN ⊥AB ，MN ⊥PC .证明：AE ∥MN .证明∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA上，BE⊥EC1.1(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝13×3×6×3＝18.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(12分)(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M 为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD; [切入点：线面垂直](2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.[(1)问关键点：找平面PAM或平面PBD的垂线；(2)问关键点：底面矩形面积的计算]教师备选(2020·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO＝2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P－ABC的体积．(1)证明∵D为圆锥顶点，O为底面圆心，∴OD⊥平面ABC，∵P在DO上，OA＝OB＝OC，∴PA＝PB＝PC，∵△ABC是圆内接正三角形，∴AC＝BC，△PAC≌△PBC，∴∠APC＝∠BPC＝90°，即PB⊥PC，PA⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，PC⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC.(2)解设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为πrl＝3π，rl＝3，OD2＝l2－r2＝2，解得r＝1，l＝3，AC＝2r sin60°＝3，在等腰直角三角形APC中，AP＝22AC＝62，在Rt△PAO中，PO＝AP2－OA2＝64－1＝22，∴三棱锥P－ABC的体积为V P－ABC＝13PO·S△ABC＝13×22×34×3＝68.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．跟踪训练2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.证明(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.题型三垂直关系的综合应用例3在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD的面积为87，求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)存在，当M为AD的中点时，平面PCM⊥平面ABCD.证明：取AD的中点M，连接CM，PM，由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，由PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，可得MC＝AB＝MD＝a，则CD＝2a，PD＝2a，PM＝3a，由PM⊥MC，可得PC＝PM2＋MC2＝3a2＋a2＝2a，由S△PCD＝12·2a·4a2－12a2＝72a2＝87，可得a＝4，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝13S四边形ABCD·PM＝13×12×(4＋8)×4×43＝32 3.如图，在四棱锥S －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，△SAD 为正三角形．侧面SAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱AD ，SB 的中点．(1)求证：AF ∥平面SEC ； (2)求证：平面ASB ⊥平面CSB ；(3)在棱SB 上是否存在一点M ，使得BD ⊥平面MAC ？若存在，求BM BS的值；若不存在，请说明理由．(1)证明如图，取SC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F ，G 分别是SB ，SC 的中点， ∴FG ∥BC ，FG ＝12BC ，∵四边形ABCD 是菱形，E 是AD 的中点， ∴AE ∥BC ，AE ＝12BC ，∴FG ∥AE ，FG ＝AE ，∴四边形AFGE 是平行四边形， ∴AF ∥EG ，又AF ⊄平面SEC ，EG ⊂平面SEC ， ∴AF ∥平面SEC .(2)证明∵△SAD 是等边三角形，E 是AD 的中点，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.(3)解存在点M满足题意．假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，则BD⊥OM，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，∴BE＝7，SE＝3，BD＝2OB＝23，SD＝2，SE⊥AD，∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，∴SB＝SE2＋BE2＝10，∴cos∠SBD＝SB2＋BD2－SD22SB·BD＝33020，∴OBBM＝33020，∴BM＝2103，∴BMBS＝23.思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．跟踪训练3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PD，PQ，QE，则PQ∥BC.因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.因为DE⊥A1D，DE⊥DC，A1D∩DC＝D，A1D，DC⊂平面A1DC，所以DE⊥平面A1DC，又A1C⊂平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.因为DE∩DP＝D，DE，DP⊂平面DEQP，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.课时精练1．(2022·哈尔滨模拟)设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是()A．m⊥α，n∥α，则m⊥nB．m⊥α，n⊥α，则m∥nC．m⊥α，m⊥n，则n∥αD．m⊥n，n∥α，则m⊥α答案D解析对于A，∵n∥α，由线面平行的性质定理可知，过直线n的平面β与平面α的交线l平行于n，∵m⊥α，l⊂α，∴m⊥l，∴m⊥n，故A正确；对于B，若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质，可得m∥n，故B正确；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；对于D，若m⊥n，n∥α，则m∥α或m与α相交或m⊂α，而m⊄α，则m∥α或m与α相交，故D错误．2．已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是()A．m⊥l，m⊂β，l⊥αB．m⊥l，α∩β＝l，m⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．l⊥α，m∥l，m∥β答案D解析对于A，有可能出现α，β平行这种情况，故A错误；对于B，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B错误；对于C，m∥l，m⊥α，l⊥β⇒α∥β，故C错误；对于D，l⊥α，m∥l⇒m⊥α，又由m∥β⇒α⊥β，故D正确．3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H 必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题中正确的是()A．AC与B1C是相交直线且垂直B．AC与A1D是异面直线且垂直C．BD1与BC是相交直线且垂直D．AC与BD1是异面直线且垂直答案D解析如图，连接AB1，则△AB1C为等边三角形，则AC与B1C是相交直线且所成角为60°，故A错误；因为A1D∥B1C，所以AC与A1D是异面直线且所成角为60°，故B错误；连接CD1，因为BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥CD1，所以BD1与BC所成角为∠D1BC，为锐角，故C错误；连接BD，因为AC⊥BD，AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，则AC⊥BD1，则AC与BD1是异面直线且垂直，故D正确．5.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC答案D解析因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．6．(2021·新高考全国Ⅱ改编)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是()A．①②B．①③C．②③D．③④答案C解析设正方体的棱长为2，对于①，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，图(1)故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，在Rt△OPC中，OC＝2，CP＝1，故tan∠POC＝12＝22，故MN⊥OP不成立．对于②，如图(2)所示，取AN的中点B，连接PB，OB，图(2)则OP＝12＋(2)2＝3，PB＝2，OB＝12＋22＝5，所以OP2＋PB2＝OB2，所以OP⊥PB，又PB∥MN，所以OP⊥MN.对于③，如图(3)所示，取AD的中点C，连接OC，PC，BD，因为P，C分别是DE，AD的中点，所以CP⊥BD，又OC⊥平面ADEB，BD⊂平面ADEB，图(3)所以OC⊥BD，又OC∩CP＝C，OC，CP⊂平面OCP，所以BD⊥平面OCP，所以BD⊥OP，又BD∥MN，所以OP⊥MN.对于④，如图(4)所示，取AN的中点B，ME的中点F，连接PB，BF，OF，图(4)若OP⊥MN，又OF⊥平面MENA，所以OF⊥MN，所以MN⊥平面OFBP，所以MN⊥BF，显然，MN与BF不可能垂直，所以OP⊥MN不成立．7．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．答案垂直解析∵DA⊥平面α，CA⊂平面α，∴DA⊥CA，在△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB⊥CA，且DA∩BA＝A，DA，BA⊂平面DAB，∴CA⊥平面DAB，又DB⊂平面DAB，∴CA⊥DB.8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.9.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D 不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD 为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，点E为PB的中点，求三棱锥P－ADE的体积．(1)证明如图，取AD的中点O，连接OB，OP，BD，因为△PAD为等边三角形，O是AD的中点，所以OP⊥AD，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，OB⊥AD，因为OP∩OB＝O，OP，OB⊂平面POB，所以AD⊥平面POB，因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB.(2)解因为底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，所以PA＝PD＝AD＝2，PO＝3，底面ABCD的面积为23，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD，因为E为PB的中点，所以V P－ADE＝V B－ADE＝12VP－ABD＝14VP－ABCD＝14×13×3×23＝12.11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案C解析由题意，因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC，PD⊥BC，又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，所以四面体P－DBC是一个鳖臑，因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，可知四面体E－BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E－BCD是一个鳖臑，同理可得，四面体P－ABD和F－ABD都是鳖臑．12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案B解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH⊂平面HAG，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)答案A1C1⊥B1C1解析当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1.理由如下：∵AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵CC1∥AA1，∴A1C1⊥CC1.又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC，B1C1⊂平面BCC1B1，1∴A1C1⊥平面BCC1B1，∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥AC，∵AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面ACB1，∴BC1⊥平面ACB1，∴又AB1⊂平面ACB1，∴AB1⊥BC1.14．(2022·广州模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝______.答案45 5解析如图，取SA的中点E，连接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，AD，SA⊂平面SAD，∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，又AR⊂平面SAD，∴PE⊥AR.又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，PE，PQ⊂平面PEQ，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ，∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在Rt△ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得SD＝25，由等面积法可得AR＝45 5.15．(2022·玉溪模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD ＝AB＝2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则下列结论正确的有________．(填序号)①l∥平面PAD；②AE∥平面PCD；③直线PA与l所成角的余弦值为5 5；④平面α截四棱锥P－ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为35 .答案①③④解析如图，取PC的中点F，连接EF，DF，则AD∥EF，即A，D，E，F四点共面，即l为EF，对于①，EF∥AD，AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD，即l∥平面PAD，故①正确；对于②，由EF∥AD，若AE∥平面PCD，则必有AE∥DF，即四边形ADFE为平行四边形，则AD＝EF，矛盾，故②错误；对于③，PA与l所成的角，即PA与EF所成的角，即PA与AD所成的角，由PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，cos∠PAD＝ADAP＝55，故③正确；对于④，连接BD，VP －ABCD ＝13PD·S矩形ABCD＝13×2×2＝43，VABCDEF＝V A－BDE＋V D－BCFE＝13×52×25＋13×324×22＝56，VP－ADFE VABCDEF ＝43－5656＝35，故④正确．16．如图(1)，在平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC 沿BC边折起如图(2)，使________，点M，N分别为AC，AD的中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①AD＝7，②AC为四面体ABDC外接球的直径，③平面ABC⊥平面BCD.图(1)图(2)(1)判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；(2)求三棱锥A－MNB的体积．解(1)若选①：AD＝7，在Rt△BCD中，BC＝2，CD＝1，可得BD＝3，又由AB＝2，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD，因为AB⊥BC，且BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面CBD，所以AB⊥平面CBD，又因为CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD，又由CD⊥BD，AB∩BD＝B，且AB，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，又因为M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD. 若选②：AC为四面体ABDC外接球的直径，则∠ADC＝90°，CD⊥AD，因为CD⊥BD，AD∩BD＝D，AD，BD⊂平面ABD，可证得CD⊥平面ABD，又M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD.若选③：平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，因为AB⊥BC，且AB⊂平面ABC，所以AB⊥平面CBD，又CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD，因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，且AB，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，又因为M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD.(2)由(1)知MN⊥平面ABD，其中△ABD为直角三角形，可得S△ANB＝12S△ADB＝32，MN＝12CD＝12，故三棱锥A－MNB的体积为V A－MNB＝V M－ABN＝13×32×12＝312.。
高考一轮复习直线、平面垂直的判定及其性质
第5讲直线、平面垂直的判定及其性质【2015年高考会这样考】1．以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合．2．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力．3．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题．【复习指导】1．垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点．纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力．2．要重视和研究数学思想、数学方法．在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口．基础梳理1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．一个关系垂直问题的转化关系 线线垂直面面垂直判定性质线面垂直判定性质三类证法(1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . (2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； ②判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α；③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()．A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内任意一条直线垂直解析由直线与平面垂直的定义，可知D正确．答案 D2．(2012·安庆月考)在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确．答案 D3．(2012·兰州模拟)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中真命题的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析 由公理4知①是真命题．在空间内a ⊥b ，b ⊥c ，直线a 、c 的关系不确定，故②是假命题．由a ∥γ，b ∥γ，不能判定a 、b 的关系，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理． 答案 C4．(2011·聊城模拟)设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )． A.⎭⎬⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥β B.⎭⎬⎫b ⊂β，a ⊥bc 是a 在β内的射影⇒b ⊥c C.⎭⎬⎫b ∥cb ⊂αc ⊄α⇒c ∥α D.⎭⎬⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥α 解析 由a ∥α，b ⊥α可得b 与α的位置关系有：b ∥α，b ⊂α，b 与α相交，所以D 不正确． 答案D5．如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案4考向一直线与平面垂直的判定与性质【例1】►(2011·天津改编)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O 为AC的中点，PO⊥平面ABCD.证明：AD⊥平面P AC.[审题视点] 只需证AD⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可．证明∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1.∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC，又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O，∴AD⊥平面P AC.(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．【训练1】如图，已知BD⊥平面ABC，MC綉12BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD.证明∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN.又∵AC＝BC，N是AB的中点．∴CN⊥AB.又∵BD∩AB＝B，∴CN⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴CN⊥AD.考向二平面与平面垂直的判定与性质【例2】►如图所示，在四棱锥P ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面P AD.[审题视点] 证明BD⊥平面P AD，根据已知平面P AD⊥平面ABCD，只要证明BD ⊥AD即可．证明在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，AB＝45，所以AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面P AD.又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面P AD.面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．【训练2】如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.证明∵A1B1⊥平面B1C1CB，BM⊂平面B1C1CB，∴A1B1⊥BM，由已知易得B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，∴B1M2＋BM2＝B1B2，∴B1M⊥BM.又∵A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M.而BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M.考向三平行与垂直关系的综合应用【例3】►如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.[审题视点] 第(1)问需证明EF∥AD；第(2)问需证明BD⊥平面EFC.证明(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD.因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．【训练3】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1.所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)如图，连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G.所以CF⊥平面BDE.考向四线面角【例4】►(2012·无锡模拟)如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．[审题视点] (1)转化为证明AC⊥平面PDB；(2)AE与平面PDB所成的角即为AE 与它在平面PDB上的射影所成的角．(1)证明∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)解设AC∩BD＝O，连接OE.由(1)知，AC⊥平面PDB于点O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝12PD.又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.在Rt△AOE中，OE＝12PD＝22AB＝AO，∴∠AEO＝45°.即AE与平面PDB所成的角为45°.求直线与平面所成的角，一般分为两大步：(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．【训练4】(2012·丽水质检)如图，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．(1)证明因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)解如图，连接CQ，DP.因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC.因此CQ⊥EB，又AB∩EB＝B，故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5.因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.阅卷报告11——证明过程推理不严密而丢分【问题诊断】高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题，难度为中低档题，大多数考生会做而得不到全分，往往因为推理不严密，跳步作答所致. 【防范措施】解题过程要表达准确、格式要符合要求.每步推理要有根有据.计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点.引入数据要明确、要写明已知、设等字样.要养成良好的书写习惯.【示例】►(2011·江苏)如图，在四棱锥P ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.错因在运用判定定理时漏掉关键条件致使推理不严谨致误．实录(1)在△P AD中，因为E，F分别为AP、AD的中点，所以EF∥PD，所以EF∥平面PCD.(2)△ABD为正三角形，∴BF⊥AD，又平面P AD⊥平面ABCD∴BF⊥平面P AD，∴平面BEF⊥平面P AD.正解(1)在△P AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)如图，连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面P AD.【试一试】如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝22AD.(1)求证：EF∥平面P AD；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD.[尝试解答](1)连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CP A中，EF∥P A，又∵P A⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD.(2)∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥P A.又P A＝PD＝22AD，∴△P AD是等腰直角三角形，且∠APD＝π2，即P A⊥PD.又∵CD∩PD＝D，∴P A⊥平面PCD.又∵P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD.友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。
高考数学一轮复习第5讲 直线、平面垂直的判定及性质
第5讲直线、平面垂直的判定及性质1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的01任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的02两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直错误!⇒l⊥α(3)直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线07平行错误!⇒a∥b(1)平面与平面垂直的定义10直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的11垂线，则这两个平面垂直错误!⇒α⊥β(3)平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于14交线的直线与另一个平面垂直错误!⇒l⊥α3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条直线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围：θ∈[0°，90°]．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的19两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱20垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列结论正确的是()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m答案 A解析根据线面垂直的判定定理知A正确；当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行、相交或异面，故B错误；当l∥β，l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，故C错误；当α∥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，故D错误．故选A．2．(多选)下列命题中正确的有()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案ABC解析若α⊥β，则α内至少有一条直线垂直于平面β，而非所有直线都垂直于平面β.3．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成的角的大小为()A．60°B．45°C．30°D．90°答案 A解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段与平面α所成的角．又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝OBAB＝12，所以∠ABO＝60°.4. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－P A－C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°答案 A解析∵P A⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥P A，CA⊥P A，因此∠BAC 即为二面角B－P A－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A．5．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图，∵PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，在Rt△POA中，OA2＝P A2－PO2，同理OB2＝PB2－PO2，OC2＝PC2－PO2.又P A＝PB＝PC，故OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．(2)由P A⊥PB，P A⊥PC，可知P A⊥平面PBC，∴P A⊥BC，又PO⊥BC，∴BC⊥平面P AO，∴AO⊥BC，同理BO⊥AC，CO⊥AB．故O是△ABC的垂心．6．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________.答案2解析如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝错误!＝错误!.考向一有关垂直关系的判断例1(1)已知平面α及α外的一条直线l，下列命题中不正确的是()A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥αB．若l平行于α内的一条直线，则l∥αC．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥αD．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α答案 A解析由直线与平面平行的有关定理和结论可知选项B，D正确，选项C是直线与平面垂直的判定定理，而A中，直线l可能与平面α垂直，也可能与平面α相交但不垂直，还可能与平面α平行，故选A．(2) 三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()①CC1与B1E是异面直线；②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；③AC⊥平面ABB1A1；④A1C1∥平面AB1E.A．②B．①③C．①④D．②④答案 A解析对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中点，所以AE⊥BC，又因为B1C1∥BC，故AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面ABC 是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；对于④，A1C1所在的平面AA1C1C与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误．故选A．判断垂直关系需注意的问题(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准．(2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了．(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．1.(多选)(2021·新高考八省联考)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()A．AE∥CD B．CH∥BEC．DG⊥BH D．BG⊥DE答案BCD解析由正方体的平面展开图还原正方体如图．由图形可知，AE⊥CD，故A错误；因为HE∥BC，HE＝BC，所以四边形BCHE为平行四边形，所以CH∥BE，故B 正确；因为DG⊥HC，DG⊥BC，HC∩BC＝C，所以DG⊥平面BHC，所以DG⊥BH，故C正确；因为BG∥AH，而DE⊥AH，所以BG⊥DE，故D正确．故选BCD.2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案 A解析由平面图形，得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，故选A．多角度探究突破考向二直线与平面垂直的判定与性质角度1利用线线垂直证明线面垂直例2(1)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE.①证明：BC⊥平面PBE；②求点F到平面PEC的距离．解①证明：因为E，F分别为AB，AC边的中点，所以EF∥BC，因为∠ABC＝90°，所以EF⊥BE，EF⊥PE，又因为BE∩PE＝E，所以EF⊥平面PBE，所以BC⊥平面PBE.②取BE的中点O，连接PO，OC，由①，知BC⊥平面PBE，BC⊂平面BCFE，所以平面PBE⊥平面BCFE，因为PB＝BE＝PE，所以PO⊥BE，又因为PO⊂平面PBE，平面PBE∩平面BCFE＝BE，所以PO⊥平面BCFE，在Rt△POC中，PC＝PO2＋OC2＝25，在Rt△EBC中，EC＝EB2＋BC2＝25，在△PEC中，PC＝EC＝25，PE＝2，所以S△PEC＝19，又因为S△ECF＝2，设点F到平面PEC的距离为d，由V F－PEC＝V P－ECF，得S△PEC·d＝S△ECF·PO，即19×d＝2×3，所以d＝25719.即点F到平面PEC的距离为25719.(2) 在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝25，∠EAD＝30°.①求证：AB⊥平面ADE；②求该五面体的体积．解①证明：因为在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，所以EF∥CD，CD⊥DE.因为EF⊄平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.因为EF⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，所以EF∥AB．又EF∥CD，所以CD∥AB．因为CD＝4，AD＝2，AC＝25，所以AD2＋CD2＝AC2，所以CD⊥AD.又因为CD⊥DE，AD∩DE＝D，AD，DE⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE.又CD∥AB，所以AB⊥平面ADE.②因为∠EAD＝30°，AD＝DE＝2，所以∠ADE＝120°，则S△ADE＝12×2×2×32＝3.如图，延长AB 到G ，使得AB ＝BG ，连接GF ，GC ，则S △GCF ＝S △ADE ＝3，所以V GCF －ADE ＝3×4＝43，V B －GCF ＝13×3×2＝233，所以V五面体ABCDEF＝V GCF －ADE －V B －GCF ＝43－233＝1033.角度2 利用线面垂直证明线线垂直例3 (1)(2020·全国卷Ⅲ)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明：①当AB ＝BC 时，EF ⊥AC ； ②点C 1在平面AEF 内．证明 ①连接BD ，B 1D 1，∵在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥BB 1.∵AB ＝BC ，∴四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .∵BB 1∩BD ＝B ，BB 1，BD ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D . ∵EF ⊂平面BB 1D 1D ，∴EF ⊥AC ．②在CC1上取点M使得CM＝2MC1，连接DM，MF，EC1，∵D1E＝2ED，DD1∥CC1，DD1＝CC1，∴ED＝MC1，ED∥MC1.∴四边形DMC1E为平行四边形，∴DM∥EC1.∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BF＝2FB1，CM＝2MC1，∴MF∥CB，MF＝CB，又DA∥CB，DA＝CB，∴MF∥DA，MF＝DA，∴四边形MF AD为平行四边形，∴DM∥AF，∴EC1∥AF.∴点C1在平面AEF内．(2) 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD＝1，点M是SD的中点，AN⊥SC，交SC于点N.①求证：SC⊥AM；②求△AMN的面积．解①证明：∵SA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴SA⊥CD，又CD⊥AD，AD∩SA＝A，∴CD⊥平面SAD.∵AM⊂平面SAD，∴CD⊥AM.又SA ＝AD ＝1，点M 是SD 的中点，∴AM ⊥SD . ∵SD ∩CD ＝D ，∴AM ⊥平面SCD . ∵SC ⊂平面SCD ，∴SC ⊥AM .②∵M 是SD 的中点，∴V S －ACM ＝V D －ACM ＝V M －ADC ， ∴V S －ACM ＝13S △ADC ·12SA ＝13×12×12＝112，∵AN ⊥SC ，SC ⊥AM ，AN ∩AM ＝A ， ∴SC ⊥平面AMN ，∴V S －ACM ＝13S △AMN ·SC ．∵SC ＝3，∴△AMN 的面积S △AMN ＝3VS －ACM SC ＝312.(1)证明线线垂直的常用方法①利用特殊图形中的垂直关系； ②利用直线与平面垂直的性质． (2)证明线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理，它是最常用的思路；②利用线面垂直的性质：若两条平行线之一垂直于某平面，则另一条线必垂直于该平面；③利用面面垂直的性质：a.两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．b.若两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．3. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC．又AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB．又AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积．解(1)证明：连接BD.∵P A＝PD，N为AD的中点，∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形，∴BN ⊥AD .又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB ． (2)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝3.又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ， ∴PN ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥NB ， ∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PNB ． 又PM ＝2MC ，∴V P －NBM ＝V M －PNB ＝23V C －PNB＝23×13×32×2＝23. 考向三 面面垂直的判定与性质例4 (1)在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，AA 1⊥平面ABCD .AB ＝2AD ＝4，∠DAB ＝60°.①证明：平面D 1BC ⊥平面D 1BD ；②若直线D 1B 与底面ABCD 所成的角为30°，M ，N ，Q 分别为BD ，CD ，D 1D 的中点，求三棱锥C －MNQ 的体积．解 ①证明：∵D 1D ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴D 1D ⊥BC ．又AB ＝4，AD ＝2，∠DAB ＝60°， ∴BD ＝22＋42－2×2×4×cos60°＝23，∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD . 又AD ∥BC ，∴BC ⊥BD .又D 1D ∩BD ＝D ，BD ⊂平面D 1BD ，D 1D ⊂平面D 1BD ， ∴BC ⊥平面D 1BD ，而BC ⊂平面D 1BC ， ∴平面D 1BC ⊥平面D 1BD .②∵D 1D ⊥平面ABCD ，∴∠D 1BD 即为直线D 1B 与底面ABCD 所成的角，即∠D 1BD ＝30°，而BD ＝23，∴DD 1＝2，又V C －MNQ ＝V Q －CMN ＝14V Q －BDC ，∴V C －MNQ ＝14×13×12×23×2×1＝36.(2)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为正三角形，AA 1⊥底面ABC ，AA 1＝3AB ，点E 在线段CC 1上，平面AEB 1⊥平面AA 1B 1B ．①请指出点E 的位置，并给出证明； ②若AB ＝1，求点B 1到平面ABE 的距离． 解 ①点E 为线段CC 1的中点．证明如下：取AB 的中点为F ，AB 1的中点为G ，连接CF ，FG ，EG .则FG ∥CE ，FG ＝CE ，所以四边形FGEC 为平行四边形．所以CF ∥EG . 因为CA ＝CB ，AF ＝BF ，所以CF ⊥AB ． 又因为AA 1⊥底面ABC ，CF ⊂底面ABC ， 所以AA 1⊥CF .又因为AA 1∩AB ＝A ，所以CF ⊥平面AA 1B 1B ． 所以EG ⊥平面AA 1B 1B ，而EG ⊂平面AEB 1，所以平面AEB 1⊥平面AA 1B 1B ． ②由AB ＝1，得AA 1＝3.由①可知，点E 到平面ABB 1的距离为EG ＝CF ＝32.而△ABB 1的面积S △ABB 1＝12×1×3＝32，AE ＝BE ＝132，等腰△ABE 底边AB 上的高为134－14＝3.记点B 1到平面ABE 的距离为h ，由VB 1－ABE ＝VE －ABB 1，得13×h ×12×1×3＝13×32×32，解得h ＝32，即点B 1到平面ABE 的距离为32.(1)证明面面垂直的方法证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用线面垂直的判定定理来证明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明．(2)面面垂直的性质已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．5.(2020·全国卷Ⅰ) 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面P AB⊥平面P AC；(2)设DO＝2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P－ABC的体积．解(1)证明：连接OA，OB，OC．∵D为圆锥顶点，O为底面圆心，∴OD⊥平面ABC．∵P在DO上，OA＝OB＝OC，∴P A＝PB＝PC．∵△ABC是圆内接正三角形，∴AC＝BC，∴△P AC≌△PBC．∴∠APC＝∠BPC＝90°，即PB⊥PC，P A⊥PC．又P A∩PB＝P，∴PC⊥平面P AB．∵PC⊂平面P AC，∴平面P AB⊥平面P AC．(2)设圆锥的母线为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积为πrl＝3π，rl＝3.OD2＝l2－r2＝(2)2，解得r＝1，l＝3，AC＝2r sin60°＝3，在等腰直角三角形APC中，AP＝22AC＝62，在Rt△P AO中，PO＝AP2－OA2＝64－1＝22，∴三棱锥P －ABC 的体积为V P －ABC ＝13PO ·S △ABC ＝13×22×12×3×3×32＝68.一、单项选择题1．若a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分不必要条件是( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α答案 C解析 对于A ，B ，直线a ，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；对于C ，在平面α内存在c ∥b ，因为a ⊥α，所以a ⊥c ，故a ⊥b ；对于D ，一定能推出a ∥b .故选C ．2．(2020·烟台摸底)已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题： ①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β.其中是真命题的是( ) A ．①④ B ．③④ C ．①② D ．①③答案 A解析 对于①，若α∥β，m ⊥α，l ⊂β，则m ⊥l ，故①是真命题，排除B ；对于④，若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α，又因为l ⊂β，所以α⊥β.故④是真命题．故选A ．3. 如图，在四面体ABCD 中，已知AB ⊥AC ，BD ⊥AC ，那么D 在平面ABC 内的射影H 必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案 A解析由AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A．4. (2020·福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC答案 D解析依题意，得MN∥AC，又因为直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A错误；因为AB是圆O的直径，所以AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°，B错误；因为直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直，C错误；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC．又BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，D正确．故选D.5．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()答案 A解析A中，CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D 中，AB与CD夹角的正切值为2.故选A．6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A －BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，又因为AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，即平面ABC⊥平面ADC，故选D.7．(2020·山东高考) 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°答案 B解析画出截面图如图所示，其中CD是赤道所在平面的截线，l是点A处的水平面的截线，依题意可知OA⊥l，AB是晷针所在直线，m是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得m∥CD，根据线面垂直的定义可得AB⊥m.由于∠AOC＝40°，m∥CD，所以∠OAG＝∠AOC＝40°，由于∠OAG＋∠GAE＝∠BAE＋∠GAE＝90°，所以∠BAE＝∠OAG＝40°，也即晷针与点A 处的水平面所成角为∠BAE＝40°.故选B．二、多项选择题8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D ．MN 与A 1B 1平行 答案 ABC解析 如图所示，连接C 1D ，因为M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，所以MN ∥BD ，而C 1C ⊥BD ，故C 1C ⊥MN ，故A ，C 正确；又因为AC ⊥BD ，所以MN ⊥AC ，B 正确；又因为A 1B 1∥AB ，AB 与BD 相交，所以MN 与A 1B 1不平行，故D 错误．9. (2020·青岛模拟)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于π4B ．点C 到平面ABC 1D 1的距离为22C ．两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为π4D ．三棱柱AA 1D 1－BB 1C 1的外接球半径为32答案 ABD解析 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1.对于A ，直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角为∠CBC 1＝π4，故A 正确；对于B ，因为B 1C ⊥平面ABC 1D 1，点C 到平面ABC 1D 1的距离为B 1C 长度的一半，即为22，故B 正确；对于C ，因为BC 1∥AD 1，所以异面直线D 1C 和BC 1所成的角为∠AD 1C ，而△AD 1C 为等边三角形，故两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为π3，故C 错误；对于D ，因为A 1A ，A 1B 1，A 1D 1两两垂直，所以三棱柱AA 1D 1－BB 1C 1的外接球也是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球，故r ＝12＋12＋122＝32，故D 正确．故选ABD.10. (2020·平顶山摸底)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折，则下列结论可能正确的有( )A ．DF ⊥BCB ．BD ⊥FCC ．平面BDF ⊥平面BCFD ．平面DCF ⊥平面BCF 答案 BC解析 对于A ，因为BC ∥AD ，AD 与DF 相交但不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则A 不成立；对于B ，设点D 在平面BCF 上的射影为点P ，当BP ⊥CF 时就有BD ⊥FC ，而AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4可使条件满足，所以B 正确；对于C ，当点D 在平面BCF 上的射影P 落在BF 上时，DP ⊂平面BDF ，从而平面BDF ⊥平面BCF ，所以C 正确；对于D ，因为点D 在平面BCF 上的射影不可能在FC 上，所以D 不成立．三、填空题11．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.答案②③⇒①(或①③⇒②)解析②③⇒①.证明如下：∵m∥α，∴根据线面平行的性质定理，知存在n⊂α，使得m∥n.又l⊥α，∴l⊥n，∴l⊥m.①③⇒②.证明如下：∵l⊥m，l⊥α，m是平面α外的直线，∴m∥α.12．在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.答案BM⊥PC(或DM⊥PC)解析∵△P AB≌△P AD，∴PB＝PD，∴△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，有DM⊥PC，此时PC⊥平面MBD，∴平面MBD⊥平面PCD.故填BM⊥PC(或DM⊥PC)．13. 点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________. 答案 ①②④ 解析，点P 到平面AD 1C 的距离即为BC 1与平面AD 1C 的距离，为定值，故①正确；因为平面A 1C 1B ∥平面ACD 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，故②正确；由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直于BC 1，故③错误；由于B 1D ⊥平面ACD 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，故④正确．四、解答题14. (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．解 (1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝23.连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，AC ∩OB ＝O ，知PO ⊥平面ABC ． (2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ， 又因为OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.在△OCM 中根据余弦定理可求得OM ＝253，所以CH ＝OC·MC·sin∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.15．如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ．(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．解 (1)证明：由已知可得∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ． 又AB ⊥DA ，且AC ∩DA ＝A ，所以AB ⊥平面ACD . 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ．(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝AC ＝3，DA ＝32.又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝22. 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綊13DC ．由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V 三棱锥Q －ABP＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin45°＝1.16. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 为BC 边上一点，BD ＝3，AA 1＝AB ＝2AD ＝2.(1)证明：平面ADB 1⊥平面BB 1C 1C ； (2)若BD ＝CD ，试问：A 1C 是否与平面ADB 1平行？若平行，求三棱锥A －A 1B 1D 的体积；若不平行，请说明理由．解(1)证明：因为AA1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.在△ABD中，因为AB＝2，AD＝1，BD＝3，所以AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BC，又因为BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BB1C1C，因为AD⊂平面ADB1，所以平面ADB1⊥平面BB1C1C．(2)A1C与平面ADB1平行．证明如下：取B1C1的中点E，连接DE，CE，A1E，因为BD＝CD，所以DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四边形ADEA1为平行四边形，则A1E∥AD.同理可证CE∥B1D.因为A1E∩CE＝E，AD∩B1D＝D，所以平面ADB1∥平面A1CE，又因为A1C⊂平面A1CE，所以A1C∥平面ADB1.因为AA1∥BB1，所以VB1－AA1D＝VB－AA1D，又因为BD＝3，且易证BD⊥平面AA1D，所以VA－A1B1D＝VB1－AA1D＝VB－AA1D＝13×3×12×2×1＝33.。
高考数学一轮复习第5节 直线、平面垂直的判定与性质
第5节 直线、平面垂直的判定与性质考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥ba∩b ＝O a ⊂αb ⊂α⇒l ⊥α 性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 2.(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α[常用结论与微点提醒]1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.3.三种垂直关系的转化诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(新教材必修第二册P162T3改编)设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析依题意，由l⊥β，l⊂α，可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β，因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.答案 A3.(老教材必修2P67练习T2改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.图1(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB，因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O 为△ABC的垂心.图2答案(1)外(2)垂4.(2019·安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A.α⊥β且m⊂αB.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.答案 C5.(2020·湖南湘东南五校联考)已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是()A.3B.2C.1D.0解析如图，①在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内任意一条直线，l与平面ABCD内和AB平行的所有直线垂直，故②正确；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；④在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的任一点作交线的垂线l，则l可能与平面ABCD垂直，也可能与平面ABCD不垂直，故④错.故选C.答案 C6.(多选题)(2020·济南调研)已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列命题中正确的有()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PAEC.BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°解析由于六边形ABCDEF是正六边形，于是∠DAB＝60°，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，若PB⊥AD，又因为PA∩PB＝P，则AD⊥平面PAB，故AD垂直于平面PAB内的任意一条直线，因此AD⊥AB，这与∠DAB＝60°矛盾，故假设不成立，故A不正确.∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，在正六边形ABCDEF 中，AB ⊥AE ，PA ∩AE ＝A ，∴AB ⊥平面PAE .又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAE .故B 正确.∵BC ∥AD ，AD ∩平面PAE ＝A ，∴BC 与平面PAE 不平行.故C 不正确.在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，故D 正确，故选BD. 答案 BD考点一 线面垂直的判定与性质【例1】 (2019·广州一模)在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，CD ＝2DE ＝2AD ＝2AB ＝4，AC ＝25，∠EAD ＝30°. (1)求证：AB ⊥平面ADE . (2)求该五面体的体积.(1)证明 因为在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形， 所以EF ∥CD ，CD ⊥DE .因为EF ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD .因为EF ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，所以EF ∥AB . 又EF ∥CD ，所以CD ∥AB . 因为CD ＝4，AD ＝2，AC ＝25， ∴AD 2＋CD 2＝AC 2，所以CD ⊥AD .又因为CD ⊥DE ，AD ∩DE ＝D ，AD ，DE ⊂平面ADE ， 所以CD ⊥平面ADE .又CD ∥AB ，所以AB ⊥平面ADE .(2)解 因为∠EAD ＝30°，AD ＝DE ＝2，所以∠ADE ＝120°，则S △ADE ＝12×2×2×32＝3.如图，延长AB 到G ，使得AB ＝BG ，连接GF ，GC ，则S △GCF ＝S △ADE ＝3，所以V GCF －ADE ＝3×4＝43，V B －GCF ＝13×3×2＝233，所以V ABCDEF ＝V GCF －ADE －V B －GCF ＝43－233＝1033.规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.【训练1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB ⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.考点二面面垂直的判定与性质【例2】(2020·江西百所名校模拟)如图，几何体是由半个圆柱及14个圆柱拼接而成，其中G ，H 分别为CD ︵与AB ︵的中点，四边形ABCD 为正方形.(1)证明：平面DFB ⊥平面GCBH ； (2)若AB ＝22，求三棱锥E －ABG 的体积.(1)证明 由题意知∠ABF ＝π4，因为H 为AB ︵的中点， 所以∠ABH ＝π4，故∠HBF ＝π2， 即BF ⊥BH .又因为BC ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以BC ⊥BF ， 又因为BC ∩BH ＝B ，所以BF ⊥平面GCBH ， 因为BF ⊂平面DFB ，所以平面DFB ⊥平面GCBH .(2)解 连接AH ，AE ，BE ，EG ，FH ，如图所示，由图知，几何体的体积是V E －ABG ＝V A －EFHG ＋V B －EFHG －V F －ABE －V H －ABG ＝V A －EFHG ＋V B －EFHG －V E －ABF －V G －ABH ，因为AB ＝22，所以BF ＝4，BH ＝2， 由(1)知BF ⊥BH ，所以FH ＝42＋22＝25，过点A ，B 分别作FH 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则AA 1⊥平面EFHG ，BB 1⊥平面EFHG .计算得AA 1＝AF·AHsin 3π4FH ＝255， BB 1＝BH·BF FH ＝455，所以V A －EFHG ＋V B －EFHG ＝13×22×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫255＋455＝82，又V E －ABF ＝13×12×22×22×22＝823， V G －ABH ＝13×12×2×2×22＝423， 所以V E －ABG ＝82－823－423＝42.规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】 (2019·长沙模拟)在多面体C －ABDE 中，△ABC 为等边三角形，四边形ABDE 为菱形，平面ABC ⊥平面ABDE ，AB ＝2，∠DBA ＝π3.(1)求证：AB ⊥CD ；(2)求点B 到平面CDE 的距离.(1)证明 如图，取AB 的中点O ，连接CO ，DO ，DA . ∵△ABC 为等边三角形，∴CO ⊥AB . ∵四边形ABDE 为菱形， ∠DBA ＝π3，∴△DAB 为等边三角形，∴DO ⊥AB . 又∵CO ∩DO ＝O ，∴AB ⊥平面DOC . ∵DC ⊂平面DOC ，∴AB ⊥CD .(2)解∵平面ABDE⊥平面ABC，CO⊥AB，平面ABDE∩平面ABC＝AB，CO⊂平面ABC，∴CO⊥平面ABDE.∵OD⊂平面ABDE，∴CO⊥OD.∵AB＝2，O为AB的中点，∴BO＝1.在Rt△COD中，∵OD＝OC＝3，∴CD＝OD2＋OC2＝6.由(1)得AB⊥CD，又ED∥AB，∴ED⊥DC，∴S△CDE ＝12CD·ED＝12×6×2＝6.由题意可得S△BDE ＝12×2×2×sin 120°＝3.设点B到平面CDE的距离为h.由V B－CDE ＝V C－BDE，得13S△CDE·h＝13S△BDE·CO，即13×6h＝13×3×3，解得h＝62.故点B到平面CDE的距离为6 2.考点三平行与垂直的综合问题多维探究角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】(2018·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2空间位置关系与几何体的度量计算【例3－2】(2019·浙江卷)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点.(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.(1)证明如图，连接A1E.因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F.又A1E∩A1F＝A1，A1E，A1F⊂平面A1EF，所以BC⊥平面A1EF.又EF⊂平面A1EF，因此EF⊥BC.(2)解如图，取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC，EG⊂平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC⊥平面EGFA1，又BC⊂平面A1BC，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于点O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，A1E＝23，EG＝3.由于O为A1G的中点，故EO＝OG＝A1G2＝152，所以cos ∠EOG＝EO2＋OG2－EG22EO·OG＝35.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是3 5.规律方法利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.【训练3】如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.(1)证明：PE⊥FG.(2)求二面角P－AD－C的正切值.(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明因为PD＝PC且点E为CD的中点，所以PE⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD，又FG⊂平面ABCD，所以PE⊥FG.(2)解 由(1)知PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥AD ， 又AD ⊥CD ，PE ∩CD ＝E ， ∴AD ⊥平面PDC ，∴AD ⊥PD ，∴∠PDC 为二面角P －AD －C 的平面角， 在Rt △PDE 中，PD ＝4，DE ＝3，∴PE ＝16－9＝7，∴tan ∠PDC ＝PE DE ＝73. 故二面角P －AD －C 的正切值为73.(3)解 如图，连接AC ，∵AF ＝2FB ，CG ＝2GB ，∴AC ∥FG .∴直线PA 与FG 所成角即直线PA 与AC 所成角∠PAC . 在Rt △PDA 中，PA 2＝AD 2＋PD 2＝25，∴PA ＝5. 又PC ＝4.AC 2＝CD 2＋AD 2＝36＋9＝45，∴AC ＝35. 又cos ∠PAC ＝PA2＋AC2－PC22PA·AC ＝25＋45－162×5×35＝9255.所以直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9525.直观想象——立体几何中的动态问题1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.2.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等.3.一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹.【例1】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分解析 把MN 平移到平面A 1B 1C 1D 1中，直线D 1P 与MN 所成角为θ，直线D 1P 与MN 所成角的最小值是直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角，即原问题转化为：直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为π3，点P 在平面A 1B 1C 1D 1的投影为圆的一部分，因为点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，所以点P 的轨迹是椭圆的一部分.故选B. 答案 B【例2】 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝4，M 是PB 上的一个动点(不与P ，B 重合)，过点M 作平面α∥平面PAD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数y ＝f (x )的图象是( )解析 过M 作MN ⊥AB ，交AB 于N ，则MN ⊥平面ABCD ，过N 作NQ ∥AD ，交CD 于Q ，过Q 作QH ∥PD ，交PC 于H ，连接MH ， 则平面MNQH 是所作的平面α， 由题意得2－x 2＝MN4，解得MN＝4－2x，由CQCD ＝QH PD.即2－x2＝QH25，解得QH＝5(2－x)，过H作HE⊥NQ，在Rt△HEQ中，EQ＝HQ2－HE2＝2－x，∴NE＝2－(2－x)＝x，∴MH＝x.∴y＝f(x)＝（x＋2）（4－2x）2＝－x2＋4(0<x<2).∴函数y＝f(x)的图象如图.故选C.答案 C【例3】如图，在棱长为2的正四面体A－BCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且|EF|＝3.若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于________(注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积).解析如图，当E为AB中点时，F分别在C，D处，满足|EF|＝3，此时EF的中点P在EC，ED的中点P1，P2的位置上；当F为CD中点时，E分别在A，B处，满足|EF|＝3，此时EF 的中点P在BF，AF的中点P3，P4的位置上，连接P1P2，P3P4相交于点O，则四点P1，P2，P3，P4共圆，圆心为O，圆的半径为1 2，则EF中点P的轨迹L为以O为圆心，以12为半径的圆，其测度|L|＝2π×12＝π.答案πA级基础巩固一、选择题1.已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是()A.若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bB.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥βD.若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β解析对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正确；对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，∴存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，所以b⊂β或b∥β，故C错误；对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确.答案 C2.(组合型选择题)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④解析如图，因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，且PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正确.答案 A3.(多选题)(2020·潍坊模拟)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列说法正确的有()A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC解析∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AC为圆O直径，所以AB⊥BC，又PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又AN⊂平面ABP，∴BC⊥AN，又AN⊥PB，BC∩PB＝B，∴AN⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴AN⊥PC，又∵PC⊥AS，AS∩AN＝A，∴PC⊥平面ANS，又PC⊂平面PBC，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A正确，C，D显然正确，故选ACD.答案ACD4.在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝1，AB＝3.将△ABC绕BC旋转，使得点A转到点P，如图.若D为BC的中点，E为PC的中点，AE＝32，则AB与平面ADE所成角的正弦值是()A.38 B.36 C.34 D.33解析因为D，E分别是BC和PC的中点，所以DE∥PB，又∠CAB＝90°，所以DE⊥PC，又AC＝1，CE＝12，AE＝32，所以AE2＋CE2＝AC2，即AE⊥PC，又DE∩AE＝E，所以PC⊥平面ADE，如图，延长ED至F，使得EF＝PB，连接BF，所以BF ⊥平面AED ，连接AF ，所以∠BAF 为AB 与平面ADE 所成的角，所以sin ∠BAF ＝BF AB ＝123＝36.答案 B5.(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( ) A.BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B.BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C.BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D.BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线解析 取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为△ECD 为正三角形，所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，EO ⊂平面ECD ，所以EO ⊥平面ABCD .设正方形ABCD 的边长为2，则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2.过M 作CD 的垂线，垂足为P ，连接BP ，则MP ＝32，CP ＝32，所以BM 2＝MP 2＋BP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝7，得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE ，因为四边形ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点，即EN ，MB 均在平面BDE 内，所以直线BM ，EN 是相交直线，故选B. 答案 B 二、填空题6.(多填题)如图，已知∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ，△PAC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有____________.解析 因为PC ⊥平面ABC ，所以PC 垂直于直线AB ，BC ，AC .因为AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ，所以AB ⊥平面PAC ，又因为AP ⊂平面PAC ，所以AB ⊥AP ，与AP 垂直的直线是AB . 答案 AB ，BC ，AC AB7.(开放题)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可).解析 连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC .所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD . 答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC )8.如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是________(填序号).①A ′C ⊥BD ；②∠BA ′C ＝90°；③四面体A ′BCD 的体积为16.解析 ∵BD ⊥CD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊂平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，又A ′D ⊂平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′D . ∵AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，∴A′C＝2，BC＝3，∴A′B2＋A′C2＝BC2，∴A′B⊥A′C，即∠BA′C＝90°，四面体A′BCD的体积V＝13×12×12×1＝16.答案②③三、解答题9.(2019·石家庄摸底)如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点.(1)求证：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.证明(1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG.∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，∵CD＝3PE，∴FG＝2PE，FG∥CD.∵CD∥AB，AB＝2PE，∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，∴BF∥AG，又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，∴BF∥平面ADP.(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM.∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，∴四边形ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE，∴FM∥PD.∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴FM⊥BD，∵AM∩FM＝M，∴BD⊥平面AMF，∴BD⊥平面AOF.10.(2020·临沂调研)如图，四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC ＝60°，CD ＝2AD ，EC ⊥底面ABCD .(1)求证：平面ADE ⊥平面ACE ；(2)(一题多解)若AD ＝CE ＝2，求三棱锥C －ADE 的高.(1)证明 ∵在▱ABCD 中，∠ADC ＝60°，CD ＝2AD ，∴在△ACD 中，由余弦定理，得AC ＝AD2＋CD2－2AD·CDcos ∠ADC ＝AD2＋4AD2－2AD·2AD×12＝3AD ，∴AD 2＋AC 2＝CD 2，∴∠DAC ＝90°，故AD ⊥AC .∵EC ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴EC ⊥AD .又∵EC ∩AC ＝C ，AC ，EC ⊂平面ACE ，∴AD ⊥平面ACE .∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ACE .(2)解 ∵AD ＝2，∴CD ＝4.由(1)知AC ＝3AD ，∴AC ＝23，∴AE ＝AC2＋CE2＝4.法一 设三棱锥C －ADE 的高为h .由(1)知AD ⊥平面ACE ，∴由V D －ACE ＝V C －ADE ，得13·AD ·S △ACE ＝13·h ·S △ADE ， 即13×2×12×23×2＝13·h ·12×2×4，解得h ＝3.∴三棱锥C －ADE 的高为3.法二 在△ACE 内，过点C 作CF ⊥AE ，垂足为F .由(1)知，平面AED ⊥平面ACE ，又平面ADE ∩平面ACE ＝AE ，∴CF ⊥平面ADE ，∴CF 为三棱锥C －ADE 的高.在Rt △ACE 中，CF ·AE ＝AC ·CE ，即CF ×4＝23×2，解得CF ＝3.∴三棱锥C －ADE 的高为3.B 级 能力提升11.(2019·青岛二中月考)在空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则对角线AC与BD的位置关系为()A.相交但不垂直B.垂直但不相交C.不相交也不垂直D.无法判断解析如图所示，作AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AO⊥CD，又知AB⊥CD，AB∩AO＝A，∴CD⊥平面ABO.又OB⊂平面ABO，∴CD⊥OB，同理可得OD⊥BC，∴O为△BCD的垂心，∴OC⊥BD.又知AO⊥BD，AO∩OC＝O，∴BD⊥平面AOC.又AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC.又AC与BD是异面直线，所以AC与BD垂直但不相交，故选B.答案 B12.(2020·重庆一中月考)如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是△ADE绕直线DE翻折过程中的一个图形，现给出下列命题：①恒有直线BC∥平面A′DE；②恒有直线DE⊥平面A′FG；③恒有平面A′FG⊥平面A′DE，其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析对于①，∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，又知DE⊂平面A′DE，BC⊄平面A′DE，∴BC∥平面A′DE，故①正确；对于②，∵△ABC为等边三角形，AF为BC 边上的中线，∴BC⊥AF，又知DE∥BC，∴DE⊥AF，∴DE⊥FG，根据翻折的性质可知，DE⊥A′G，又A′G∩FG＝G，∴DE⊥平面A′FG，故②正确；对于③，由②知DE⊥平面A′FG，又知DE⊂平面A′DE，∴平面A′FG⊥平面A′DE，故③正确.综上，正确的命题为①②③.答案 D13.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________.解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF ，由已知可得A 1B 1＝2， 设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又12×2×2＝12×h 22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得12×66×x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12×22x ， 得x ＝12.答案 1214.如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图②所示的几何体.(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离.(1)证明 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BD ⊥DC ，DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABD .因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB ，又因为AD ⊥AB ，且DC ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC .(2)解 由(1)知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，即∠DAC 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角.依题意得tan ∠DAC ＝CD AD ＝6，因为AD ＝1，所以CD ＝6，设AB ＝x (x >0)，则BD ＝x2＋1，因为△ABD ∽△DCB ，所以AB CD ＝AD BD ，即x 6＝1x2＋1， 解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝3.由于AB ⊥平面ADC ，AC ⊂平面ADC ，所以AB ⊥AC ，又E 为BC 的中点，所以由平面几何知识得AE ＝BC 2＝32，因为BD ⊥DC ，E 为BC 的中点，所以DE ＝BC 2＝32， 所以S △ADE ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 因为DC ⊥平面ABD ，所以V A －BCD ＝V C －ABD ＝13CD ·S △ABD ＝33.设点B 到平面ADE 的距离为d .则由13d ·S △ADE ＝V B －ADE ＝V A －BDE ＝12V A －BCD ＝36，得d ＝62，6即点B到平面ADE的距离为2.C级创新猜想15.(多选题)(2020·山东联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是棱A1D1上动点，下列说法正确的是()A.对任意动点F，在平面ADD1A1内存在与平面CBF平行的直线B.对任意动点F，在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线C.当点F从A1运动到D1的过程中，FC与平面ABCD所成的角变大D.当点F从A1运动到D1的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变小解析因为AD在平面ADD1A1内，且平行平面CBF，故A正确；平面CBF即平面A1D1CB，又平面A1D1CB与平面ABCD相交，所以平面ABCD内不存在与平面CBF垂直的直线，故B错误；F到平面ABCD的距离不变且FC变小，FC与平面ABCD所成角变大，故C正确；平面CBF即平面A1D1CB，点D到平面A1D1CB的距离为定值，故D错误，故选AC.答案AC16.(开放题)(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.解析已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.答案若m∥α，l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α，答案不唯一)。
【高考风向标】2013高考数学一轮基础知识反馈卡 第13章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质 文
2013高考风向标文科数学一轮基础知识反馈卡：第13章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的是( )A ．l 与平面α内的两条直线垂直B ．l 与平面α内无数条直线垂直C ．l 与平面α内的某一条直线垂直D ．l 与平面α内两条相交直线垂直2．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的( )A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件3．已知三条直线m ，n ，l ，三个平面α，β，γ.下面四个命题中，正确的是( )A.⎭⎪⎬⎪⎫α⊥γβ⊥γ⇒α∥β B. ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥βl ⊥m ⇒l ⊥β C. ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥γn ∥γ⇒m ∥n D.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥γn ⊥γ⇒m ∥n 4．在三棱锥A －BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么必有( )A ．平面ABD ⊥平面ACDB ．平面ABD ⊥平面ABCC ．平面ACD ⊥平面BCD D ．平面ABC ⊥平面BCD5．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β6．设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面．下列四个命题中，正确的命题是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 二、填空题(每小题5分，共15分)7．如图J13－5－1，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，△ABC 内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有以下命题：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长． 其中是真命题的序号是________．图J13－5－18．如图J13－5－2，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AA 1＝3 cm, AB ＝4 cm ，AD ＝5 cm.则点A 到点C 1的距离为________，点A 到棱B 1C 1的距离为________，棱AB 到面A 1B 1C 1D 1的距离为________．图J13－5－29．点M为线段AB的中点，若A，B到平面α的距离分别为4 cm和6 cm，则点M到平面α的距离为________．7.____________9．____________三、解答题(共15分)10．如图J13－5－3，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F为棱AD，AB的中点．(1)求证：EF∥平面CB1D1；(2)求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1.图J13－5－3基础知识反馈卡·13.51．D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D7．①②③8.5 2 cm 4 cm 3 cm9．1 cm或5 cm 解析：分A，B在平面α同侧或两侧两种情况．10．证明：(1)连接BD.在正方体AC1中，对角线BD∥B1D1.又∵E，F为棱AD，AB的中点，∴EF∥BD.∴EF∥B1D1.∴EF∥平面CB1D1.(2)∵在正方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.又∵在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面CAA1C1.∵B1D1⊂平面CB1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.。
【高考风向标】高考数学一轮复习 第十三章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质课件 文
(2)解：由(1)SACG⊥⊂平平面面AAEEFF， ⇒AG⊥SC.
AD为AG在平面AC内射影所在的直线上， AD⊥CD， CD⊂平面AC ⇒AG⊥CD，又 SC∩CD＝C，
所以ASDG⊂⊥平平面面SSCCDD， ⇒AG⊥SD.
直线与直线垂直⇒直线与平面垂直⇒平面与平 面垂直⇒直线与平面垂直⇒直线与直线垂直，通过直线与平面位 置关系的不断转化来处理有关垂直的问题．出现中点时，平行要 联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆周上的 点时，联想直径所对圆周角为直角．
1．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并 且和这个平面内的_任__意__一条直线都_垂__直___，那么这条直线和这个 平面垂直． (2)直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的 两条_相__交__直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． (3)直线与平面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 _平__行__．
(2)解：三棱锥 C－SBM 与三棱锥S－CBM 的体积相等， 由( 1 ) 知 SM⊥平面 ABCD， 得VV1＝13SM13S×M12×A12BB＋MC×DC×MAD. 设 AB＝a，由 CD＝3AB，AM＝AB，DM＝DC， 得 CD＝3a，BM＝ 2a，CM＝3 2a，AD＝4a. 从而VV1＝ a2＋a×3a3×42aa＝38.
图 13－5－4
证明：(1)∵E，F 分别是AP，AD 的中点，∴EF∥PD. 又∵PD⊆面 PCD，EF 面 PCD， ∴直线 EF∥平面 PCD. (2)∵AB＝AD，∠BAD＝60°，F 是AD 的中点， ∴BF⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD，面PAD∩面 ABCD＝AD， ∴BF⊥面 PAD. ∴平面 BEF⊥平面PAD.
高考数学一轮复习---直线、平面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．三、考点解析考点一直线与平面垂直的判定与性质例、如图，在四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E 是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[解题技法]证明线面垂直的4种方法：(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)[口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清.平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件.跟踪训练1．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥ABCB1的体积．2.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质例、在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[解题技法]证明面面垂直的2种方法定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决跟踪训练1．如图，三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，P A⊥PC，PB＝2.求证：平面P AC⊥平面ABC.2如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，P A⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且P A＝AD.求证：(1)AF∥平面PEC；(2)平面PEC⊥平面PCD.课后作业1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β2．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P AC C．AC⊥PB D．PC⊥BC4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在() A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部5.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是() A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AE D．平面PDE⊥平面ABC6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．7．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．8．在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．9．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC 上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．10.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.提高练习1．如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E，F分别是CD，PC的中点．求证：(1)BE∥平面P AD；(2)平面BEF⊥平面PCD.。
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2013高考风向标文科数学一轮基础知识反馈卡：第13章 第5
讲 直线、平面垂直的判定与性质
时间：20分钟 分数：60分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的是( )
A ．l 与平面α内的两条直线垂直
B ．l 与平面α内无数条直线垂直
C ．l 与平面α内的某一条直线垂直
D ．l 与平面α内两条相交直线垂直
2．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的( )
A ．充要条件
B ．充分非必要条件
C ．必要非充分条件
D ．既非充分又非必要条件
3．已知三条直线m ，n ，l ，三个平面α，β，γ.下面四个命题中，正确的是( )
A.
⎭⎪⎬⎪⎫α⊥γβ⊥γ⇒α∥β B. ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥βl ⊥m ⇒l ⊥β C. ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥γn ∥γ⇒m ∥n D. ⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⊥γn ⊥γ⇒m ∥n 4．在三棱锥A －BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么必有( )
A ．平面ABD ⊥平面ACD
B ．平面ABD ⊥平面ABC
C ．平面AC
D ⊥平面BCD D ．平面ABC ⊥平面BCD
5．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )
A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β
B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β
C ．a ⊂α，b ⊥β，α∥β
D ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β
6．设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面．下列四个命题中，正确的命题是( )
A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥b
B ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b
C ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β
D ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 二、填空题(每小题5分，共15分)
7．如图J13－5－1，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，△ABC 内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有以下命题：
①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长． 其中是真命题的序号是________．
图J13－5－1
8．如图J13－5－2，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AA 1＝3 cm, AB ＝4 cm ，AD ＝5 cm.则点A 到点C 1的距离为________，点A 到棱B 1C 1的距离为________，棱AB 到面A 1B 1C 1D 1的距离为________．
图J13－5－2
9．点M为线段AB的中点，若A，B到平面α的距离分别为4 cm和6 cm，则点M到平面α的距离为________．
题号12345 6
答案
7.____________
9．____________
三、解答题(共15分)
10．如图J13－5－3，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F为棱AD，AB的中点．
(1)求证：EF∥平面CB1D1；
(2)求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
图J13－5－3
基础知识反馈卡·13.5
1．D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D
7．①②③8.5 2 cm 4 cm 3 cm
9．1 cm或5 cm 解析：分A，B在平面α同侧或两侧两种情况．10．证明：(1)连接BD.在正方体AC1中，对角线BD∥B1D1.
又∵E，F为棱AD，AB的中点，
∴EF∥BD.
∴EF∥B1D1.∴EF∥平面CB1D1.
(2)∵在正方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，
而B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.
又∵在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∴B1D1⊥平面CAA1C1.
∵B1D1⊂平面CB1D1，
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.。