图形的相似题型总结
图形的相似知识点总结及练习
相似三角形基本知识点总结及练习知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。
2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。
）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。
（2）比例性质1.基本性质:bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： cda b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．例：已知的值求fd be c af d b f e d c b a ++++≠++===),0(545.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．知识点二：平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
相似热门题型解题技巧整理(解析版)
相似热门题型解题技巧整理类型1 证比例式或等积式的技巧方法指导：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．题型1 构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为A 中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE ·CF ＝BF ·EC .1．证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M . ∵CM ∥AB ，∴△CMF ∽△BDF . ∴BF CF ＝BD CM. 又∵CM ∥AD ，∴△ADE ∽△CME .∴AE EC ＝ADCM .∵D 为AB 的中点，∴BD CM ＝AD CM .∴BF CF ＝AE EC，即AE ·CF ＝BF ·EC . 2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF .2．证明：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ， ∴△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC . ∴EF DF ＝CE DG ，AB BC ＝AD DG. ∵AD ＝CE ，∴CE DG ＝AD DG .∴AB BC ＝EFDF，即AB ·DF ＝BC ·EF .点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．题型2 三点找三角形相似法1．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F .求证：DC AE ＝CFAD .1．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴AE ∥DC ，∠A ＝∠C .∴∠CDF ＝∠E ， ∴△DAE ∽△FCD ，∴DC AE ＝CFAD.2．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E .求证：AM 2＝MD ·ME .2．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°， ∴∠B ＋∠BEM ＝90°，∠D ＋∠DEA ＝90°. ∵∠BEM ＝∠DEA ，∴∠B ＝∠D . 又∵M 为BC 的中点，∠BAC ＝90°，∴BM ＝AM . ∴∠B ＝∠BAM .∴∠BAM ＝∠D .又∵∠AME ＝∠DMA .∴△AME ∽△DMA . ∴AM MD ＝MEAM.∴AM 2＝MD ·ME .题型3 构造相似三角形法1．如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N .求证：BP ·CP ＝BM ·CN .1．证明：如图，连接PM ，PN . ∵MN 是AP 的垂直平分线， ∴MA ＝MP ，NA ＝NP . ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°. ∴∠5＋∠6＝120°. 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°. ∴∠5＝∠7.∴△BPM ∽△CNP . ∴BP CN ＝BM CP，即BP ·CP ＝BM ·CN .题型4 等比过渡法1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE .求证：(1)△DEF ∽△BDE ； (2)DG ·DF ＝DB ·EF .1．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BDE ＝180°，∠ACB ＋∠CED ＝180°，∴∠CED ＝∠BDE .又∵∠EDF ＝∠ABE ，∴△DEF ∽△BDE .(2)由△DEF ∽△BDE 得DE BD ＝EFDE，∴DE 2＝DB ·EF .又由△DEF ∽△BDE ，得∠BED ＝∠DFE .∵∠GDE ＝∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF .∴DG DE ＝DEDF，∴DE 2＝DG ·DF ，∴DG ·DF ＝DB ·EF .2．如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP 于点G ，交CE 于点D .求证：CE 2＝DE ·PE .2．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ， ∴∠AEP ＝∠BED ＝∠AGB ＝90°. ∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠ABG ＝90°. ∴∠P ＝∠ABG .∴△AEP ∽△DEB . ∴AE DE ＝PEBE，即AE ·BE ＝PE ·DE . 又∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. 又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°. ∴∠ACE ＝∠CBE .∴△AEC ∽△CEB . ∴AE CE ＝CEBE，即CE 2＝AE ·BE .∴CE 2＝DE ·PE . 题型5 两次相似法1．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F .求证：BF BE ＝ABBC .1．证明：易得∠BAC ＝∠BDF ＝90°. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠DBF ， ∴△BDF ∽△BAE ，得BD AB ＝BFBE.∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA . ∴△ABC ∽△DBA ，得AB BC ＝BD AB ，∴BF BE ＝AB BC.2．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N .求证：(1)△AMB ∽△AND ； (2)AM AB ＝MN AC .2．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形．∴∠B ＝∠D . ∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°， ∴△AMB ∽△AND .(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝ABAD ，∠BAM ＝∠DAN .又AD ＝BC ，∴AM AN ＝ABBC.∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠MAD ＝90°.∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°， ∴∠B ＝∠MAN .∴△AMN ∽△BAC ，∴AM AB ＝MNAC. 题型6 等积代换法1．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .求证：AE AF ＝ACAB .1.证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ADE ∽△ABD ，得AD 2＝AE ·AB ，同理可得AD 2＝AF ·AC ，∴AE ·AB ＝AF ·AC ，∴AE AF ＝AC AB.题型7 等线段代换法1．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE ·PF .1．证明：连接PC ，如图．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB ，∴BP ＝CP ，∴∠1＝∠2，∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4.∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F ，∴∠4＝∠F .又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC ，∴CP PE ＝PFCP ，即CP 2＝PF ·PE .∵BP＝CP ，∴BP 2＝PE ·PF .2．已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P .求证：PD 2＝PB ·PC .2．证明：如图，连接PA ，则PA ＝PD ，∴∠PDA ＝∠PAD . ∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP .又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC .∴∠B ＝∠CAP . 又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△PAC ∽△PBA ，∴PA PB ＝PCPA ，即PA 2＝PB ·PC ，∴PD 2＝PB ·PC .类型2 巧用“基本图形”探索相似条件方法指导：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．3．母子型型．4．旋转型．1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D .(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．1．(1)证明：∵ED ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∴AE AC ＝DEBC .∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC . ∵ED ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC . ∴∠DBE ＝∠DEB .∴DE ＝BD .∴AE AC ＝BD BC， 即AE ·BC ＝BD ·AC .(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高， h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高， h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝h △ADE h △BDE ＝32.∴h △ADE h △ABC ＝35.∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝35. ∵DE ＝6，∴BC ＝10.题型2 相交线型1．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．2．解：相似．理由如下：因为EO BO ＝DO CO，∠BOE ＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ，所以△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB .所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO .因为∠ADE ＝∠DCO ＋∠DEO ，∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO .所以∠ADE ＝∠ABC .又因为∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC .1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F .求证：AB AC ＝DFAF .1．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAC ＝∠ADB ＝90°.又∵∠CBA ＝∠ABD (公共角)，∴△ABC ∽△DBA .∴AB AC ＝DBDA ，∠BAD ＝∠C .∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC . ∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C .∴∠BDF ＝∠BAD . 又∵∠F ＝∠F ， ∴△DBF ∽△ADF .∴DB AD ＝DF AF .∴AB AC ＝DF AF.点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE ·AB ＝AF ·AC .可由两组“射影图”得AE ·AB ＝AD 2，AF ·AC ＝AD 2，∴AE ·AB ＝AF ·AC .题型4 旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC . 求证：(1)△ADE ∽△ABC ； (2)AD AE ＝BD CE .4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC . 又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC . (2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝ABAC.∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC .∴AD AE ＝BDCE.类型3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系方法指导：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．题型1 证明两线段的数量关系 类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N .求证：BM ＝MC .1．证明：∵DE ∥BC .∴△NEO ∽△MBO .∴NE MB ＝ON OM. 同理可得DN MC ＝ON OM .∴DN MC ＝NE BM .∴DN NE ＝MCBM .∵DE ∥BC ，∴△ANE ∽△AMC .∴AN AM ＝NEMC .同理可得AN AM ＝DN BM ，∴DN BM ＝NE MC .∴DN NE ＝BMMC .∴MC BM ＝BM MC.∴MC 2＝BM 2.∴BM ＝MC .2．如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE CE ＝BF CF .求证：AD ＝DB .2．证明：如图，过C 作CG ∥AB 交DF 于G 点． ∵CG ∥AB ，∴AD CG ＝AE CE ，BD CG ＝BFCF，∵AE CE ＝BF CF ，∴AD CG ＝BD CG， ∴AD ＝BD .类型2：证明两线段的倍分关系1．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC .2．证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∠A ＝60°，∠ABD ＝∠ACE ＝30°，∴AD AB ＝12，AEAC ＝12，∴AD AB ＝AE AC .又∠A ＝∠A ，∴△AD E ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ＝12，∴DE ＝12BC.4．如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E .求证：AC ＝2CE .4．证明：如图，延长CE ，交AM 的延长线于F .∵AB ∥CF ，∴∠BAM ＝∠F ，△BDM ∽△CEM ，△BAM ∽△CFM ，∴BD CE ＝BM MC ，BA CF ＝BM MC ，∴BD CE ＝BA CF.又∵BA ＝2BD ，∴CF ＝2CE .又AM 平分∠BAC ，∴∠BAM ＝∠CAM ，∴∠CAM ＝∠F ，∴AC ＝CF ，∴AC ＝2CE .题型2 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行1．如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE .求证：AE ∥BC .1．证明：如图，过点C 作CO ⊥AB 于点O .∵DE ＝CD ，DE ⊥CD ， ∴∠ECD ＝∠CED ＝45°.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠B ＝45°.∴∠CAB ＝∠CED .又∵∠AOC ＝∠EDC ＝90°，∴△ACO ∽△ECD .∴AC CO ＝EC CD .又∵∠ACE ＋∠ECO ＝∠OCD ＋∠ECO ＝45°，∴∠ACE＝∠OCD .∴△ACE ∽△OCD .∴∠CAE ＝∠COD ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠ACB ＝180°.∴AE ∥BC .2．在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M .(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．2．解：(1)MN ∥AC ∥ED .证明如下：∵EF ∥BC ，∴△AEM ∽△ABD ，△AMF ∽△ADC ，∴EM BD ＝AM AD ＝MF DC .∵E 为AB 的中点，EF ∥BC ，∴F 为AC 的中点．又∵DF ∥AB ，∴D 为BC 的中点，∴EM ＝MF .∵F 为AC 的中点，FN ∥AE ，∴N 为EC 的中点，从而MN ∥AC .又∵D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，∴ED ∥AC ，∴MN ∥AC ∥ED .(2)MN ∥AC .证明如下：∵EF ∥BC ，∴△AEM ∽△ABD ，△AMF ∽△ADC ，∴EM BD ＝AMAD ＝MF DC ，∴EM MF ＝BD DC .又∵DF ∥AB ，∴BD DC ＝EN NC ，∴EM MF ＝EN NC ，∴EM EF ＝EN EC.又∵∠MEN ＝∠FEC ，∴△MEN ∽△FEC .∴∠EMN ＝∠EFC .∴MN ∥AC .类型2：证明两线垂直1．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC 2＝AB ·AD ，BC 2＝BA ·BD ，求证：CD ⊥AB .1．证明：∵AC 2＝AB ·AD ，∴AC AD ＝ABAC .又∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC .∴∠ADC ＝∠ACB .又∵BC 2＝BA ·BD ，∴BC BD ＝BABC .又∵∠B ＝∠B ，∴△BCD ∽△BAC .∴∠BDC ＝∠BCA . ∴∠ADC ＝∠BDC .∵∠BDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∴CD ⊥AB .2．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF .2．证明：∵AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，∴设AE ＝EF ＝FB ＝AD ＝k ，则AB ＝CD ＝3k .∵CD ∥AB ，∴∠DCG ＝∠FAG ，∠CDG ＝∠AFG . ∴△AFG ∽△CDG ，∴FG DG ＝AF CD ＝23.设FG ＝2m ，则DG ＝3m ，∴DF ＝FG ＋DG ＝2m ＋3m ＝5m . 在Rt △AFD 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝5k 2，∴DF ＝5k . ∴5m ＝5k .∴m ＝55k .∴FG ＝255k . ∴AF FG ＝2k 255k ＝5，DF EF ＝5k k ＝ 5.∴AF FG ＝DFEF. 又∠AFD ＝∠GFE ，∴△AFD ∽△GFE . ∴∠EGF ＝∠DAF ＝90°.∴EG ⊥DF .类型4 相似三角形与函数的综合应用方法指导：解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．题型1 相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53，点D 的坐标为(0，1)．(1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．1．解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0) 将D (0，1) A ⎝⎛⎭⎫43，53代入解析式得： ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝153＝43k ＋b 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.令y ＝0，得x ＝－2.得B (－2，0)，即OB ＝2. 直线AC 为y ＝－x ＋3. 令y ＝0，得∴x ＝3. 得C (3，0)，即BC ＝5 设E ⎝⎛⎭⎫x ，12x ＋1 ①当E 1C ⊥BC 时，如图，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC .∴△BOD ∽△BCE 1. 此时点C 和点E 1的横坐标相同． 将x ＝3代入y ＝12x ＋1，解得y ＝52.∴E 1⎝⎛⎭⎫3，52. ②当CE 2⊥AD 时，如图， ∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2， ∴△BOD ∽△BE 2C .过点E 2作EF ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. 又∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°， ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°.∴∠E 2BF ＝∠CE 2F .∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CFE 2F .即E 2F 2＝CF ·BF .⎝⎛⎭⎫12x ＋12＝(3－x )(x ＋2)解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)∴E 2(2，2) 当∠EBC ＝90°时，此情况不存在． 综上所述：E 1⎝⎛⎭⎫3，52或E 2(2，2)．题型2 相似三角形与二次函数1．如图，直线y ＝－x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，B ，C (1，0)三点．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若点D 的坐标为(－1，0)，在直线y ＝－x ＋3上有一点P ，使△ABO 与△ADP 相似，求出点P 的坐标．2．解：(1)由题意得A (3，0)，B (0，3)，∵抛物线经过A ，B ，C 三点，∴把A (3，0)，B (0，3)，C (1，0)三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3，∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)如图，由题意可得△ABO 为等腰直角三角形．若△ABO ∽△AP 1D ，则AO AD ＝OBDP 1，∴DP 1＝AD ＝4，∴P 1(－1，4)；若△ABO ∽△ADP 2，过点P 2作P 2M ⊥x 轴于M ，∵△ABO 为等腰直角三角形，∴△ADP 2是等腰直角三角形，由三线合一可得DM ＝AM ＝2＝P 2M ，即点M 与点C 重合，∴P 2(1，2)，∴点P 的坐标为(－1，4)或(1，2)．2．如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，过点B 的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线BC 交于点D (3，－4)．(1)求直线BD 和抛物线对应的函数解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M ，作MN 垂直于x 轴，垂足为点N ，使得以M ，O ，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．解：(1)易得A (－1，0)，B (0，2)，C (1，0)． 设直线BD 对应的函数解析式为y ＝kx ＋m .把B (0，2)，C (1，0)的坐标分别代入y ＝kx ＋m ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，m ＝2.∴直线BD 对应的函数解析式为y ＝－2x ＋2. ∵抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋bx ＋c .∴把B (0，2)，D (3，－4)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，－9＋3b ＋c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2. ∴抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋2.(2)存在，①如图①，当△MON ∽△BCO 时，ON CO ＝MN BO ，即ON 1＝MN 2，∴MN ＝2ON .设ON ＝a ，则M (a ，2a )，∴－a 2＋a ＋2＝2a ，解得a 1＝－2(不合题意，舍去)，a 2＝1，∴M (1，2)；②如图②，当△MON ∽△CBO 时，ON BO ＝MN CO ，即ON 2＝MN 1，∴MN ＝12ON .设ON ＝n ，则M ⎝⎛⎭⎫n ，12n ，∴－n 2＋n ＋2＝n2，解得n 1＝1－334(不合题意，舍去)，n 2＝1＋334，∴M (1＋334，1＋338)．∴存在这样的点M (1，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋334，1＋338.题型3 相似三角形与反比例函数1．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为(2，3)，双曲线y ＝kx (x >0)经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE .(1)求k 的值及点E 的坐标；(2)若点F 是OC 边上一点，且△FBC ∽△DEB ，求直线FB 对应的函数解析式．1．解：(1)在矩形OABC 中，∵点B 的坐标为(2，3)，∴BC 边的中点D 的坐标为(1，3)．∵双曲线y ＝k x 经过点D (1，3)，∴3＝k 1，∴k ＝3，∴y ＝3x .∵点E 在AB 上，∴点E 的横坐标为2.又∵双曲线y ＝3x 经过点E ，∴点E 的纵坐标为y ＝32，∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32. (2)易得BD ＝1，BE ＝32，CB ＝2.∵△FBC ∽△DEB ，∴BD CF ＝BE CB ，即1CF ＝322，∴CF ＝43，∴OF ＝53，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，53.设直线FB 对应的函数解析式为y ＝k 1x ＋b ，而直线FB 经过B (2，3)，F ⎝⎛⎭⎫0，53，∴k 1＝23，b ＝53，∴直线FB 对应的函数解析式为y ＝23x ＋53.类型5 全章达标综合检测方法指导：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．题型1 3个概念 概念1：成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是( C ) A ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cm B ．2 cm ，5 cm ，0.6 dm ，8 cm C ．3 cm ，9 cm ，1.8 dm ，6 cm D ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m ，在图纸上，这条边的长为5 cm ，其他两条边的长都为4 cm ，则其他两边的实际长度都是__20__m .概念2：相似多边形3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D ′＝∠D ，试判断四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 是否相似，并说明理由．3．解：四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似．由已知条件知，∠DAB ＝∠D ′A ′B ′，∠B ＝∠B ′，∠BCD ＝∠B ′C ′D ′，∠D ＝∠D ′，且AB A′B′＝BC B′C′＝CD C′D′＝DA D′A′＝56，所以四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似．概念3：位似图形4．如图，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C .设点B 的对应点B ′的坐标是(a ，b )，求点B 的坐标．4．解：如图，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点B ′作B ′N ⊥x 轴于点N ，则△CBM ∽△CB ′N .所以MC NC ＝BM B ′N ＝BC B ′C .又由已知条件知NC ＝a ＋1，B ′N ＝－b ，BC B ′C ＝，所以MCa ＋1)＝BM－b )＝所以MC ＝12(a ＋1)，BM ＝－b 2.所以MO ＝12(a ＋1)＋1＝a ＋32.所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－a ＋32，－b2.题型2 2个性质平行线分线段成比例的性质5．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6.若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y .(1)求出y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 为何值时，△BDE 的面积有最大值，最大值为多少？5．解：(1)∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，∴8－2x 8＝y 6，∴y ＝－32x ＋6(0≤x ≤4)．(2)∵S △BDE ＝12·2x ·y ＝12·2x ·⎝⎛⎭⎫6－32x ＝－32(x －2)2＋6，∴当x ＝2时，S △BDE 有最大值，最大值为6.性质2：相似三角形的性质6．如图，已知D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与BA 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．6．(1)证明：如图，∵D 是BC 边上的中点，DE ⊥BC ， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠1.又∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠2，∴△ABC ∽△FCD . (2)解：如图，过点A 作AM ⊥CB 于点M . ∵D 是BC 边上的中点，∴BC ＝2CD .由(1)知△ABC ∽△FCD ，∴S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝41.又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20.∵S △ABC ＝12BC ·AM ，∴AM ＝2S △ABC BC ＝2×2010＝4. ∵DE ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴DE ∥AM ，∴△BDE ∽△BMA .∴DE AM ＝BDBM .由AD ＝AC ，AM ⊥BC ，知DM ＝12CD ＝14BC ＝52. ∴DE 4＝55＋52，∴DE ＝83. 点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．题型3 1个判定——相似三角形的判定7．如图，△ACB 为等腰直角三角形，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接AE ，过C 作CO ⊥AB 于O .求证：△ACE ∽△OCD.7．证明：∵△ACB 为等腰直角三角形，AB 为斜边， ∴∠CAB ＝45°.∵CO ⊥AB .∴∠AOC ＝90°.又∵DE ⊥CD ，DE ＝CD ，∴∠CED ＝45°，∠CDE ＝90°. ∴∠CAO ＝∠CED ，∠AOC ＝∠EDC .∴△ACO ∽△ECD .∴∠ACO ＝∠ECD ，AC CO ＝CECD .∴∠ACE ＝∠OCD .∴△ACE ∽△OCD .8.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过点C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为点E .设P 是AC ︵上异于点A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G .(1)求证：△PAC ∽△PDF ；(2)若AB ＝5，AP ︵＝BP ︵，求PD 的长．8．(1)证明：由四边形APCB 内接于圆O ，得∠FPC ＝∠B . 又∠B ＝∠ACE ＝90°－∠BCE ，∠ACE ＝∠APD ，所以∠APD ＝∠FPC ，所以∠APD ＋∠DPC ＝∠FPC ＋∠DPC ， 即∠APC ＝∠FPD . 又∠PAC ＝∠PDC ， 所以△PAC ∽△PDF .(2)解：由(1)知△PAC ∽△PDF ，所以∠PCA ＝∠PFD . 又∠PAC ＝∠CAF ，所以△PAC ∽△CAF ，所以△CAF ∽△PDF ， 所以PD AC ＝DFAF，则PD ·AF ＝AC ·DF .由AB ＝5，AC ＝2BC ，∠ACB ＝90°，知BC ＝5，AC ＝2 5. 由OE ⊥CD ，∠ACB ＝90°知CB 2＝BE ·AB ，CE ＝DE . 所以B E ＝CB 2AB ＝55＝1.所以AE ＝4，CE ＝CB 2－BE 2＝5－1＝2， 所以DE ＝2.又AP ︵＝BP ︵，∠AFD ＝∠PCA ，所以∠AFD ＝∠PCA ＝45°. 所以FE ＝AE ＝4，AF ＝42，所以PD ＝AC·DF AF ＝25×（4＋2）42＝3102.题型4 2个应用 应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m 处有一棵树AB ，在某时刻，1.2 m 的竹竿FG 垂直地面放置，影子GH 长为2 m ，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD 高为2 m ，那么这棵树的高度是多少？9．解：(方法一：作延长线)延长AD ，与地面交于点M ，如图①.由AM ∥FH 知∠AMB ＝∠FHG .又因为AB ⊥BG ，FG ⊥BG ，DC ⊥BG ，所以△ABM ∽△DCM ∽△FGH ，所以AB BM ＝CD CM ＝FG GH. 因为CD ＝2 m ，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ，所以2CM ＝1.22，解得CM ＝103m . 因为BC ＝4 m ，所以BM ＝BC ＋CM ＝4＋103＝223(m )． 所以AB 223＝1.22，解得AB ＝4.4 m . 故这棵树的高度是4.4 m .(方法二：作垂线)过点D 作DM ⊥AB 于点M ，如图②.所以AM DM ＝FG GH. 而DM ＝BC ＝4 m ，AM ＝AB －CD ＝AB －2(m )，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ，所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4 m . 故这棵树的高度是4.4 m .应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m 有一棵树，在河的对岸每隔60 m 有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m 处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．10．解：如图，过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F ，并延长交BC 于点G .∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∵AF ⊥DE ，DE ∥BC ，∴AG ⊥BC ，∴AF AG ＝DE BC ，∴30AG ＝2460. 解得AG ＝75，∴FG ＝AG －AF ＝75－30＝45，即河的宽度为45 m .题型5 1个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O 和△ABC .请以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC 的位似图形．(第11题) 11．思路导引：本题位似中心为O ，先连接CO ，因为要把原三角形缩小为原来的一半，可确定C ′O ＝12CO ，由其确定出C ′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点． 解：画出图形，如图中的△A ′B ′C ′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．题型6 1个技巧 ——证明四条线段成比例的技巧12.如图，已知△ABC ，∠BAC 的平分线与∠DAC 的平分线分别交BC 及BC 的延长线于点P ，Q .(1)求∠PAQ 的度数；(2)若点M 为PQ 的中点，求证：PM 2＝CM ·BM .12．思路导引：(1)由角平分线的定义及∠BAD 为平角直接可得．(2)由于线段PM ，CM ，BM 在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM ＝AM ，从而证明△ACM 与△ABM 相似即可．(1)解：∵AP 平分∠BAC ，∴∠PAC ＝12∠BAC . 又∵AQ 平分∠CAD ，∴∠CAQ ＝12∠CAD . ∴∠PAC ＋∠CAQ ＝12∠BAC ＋12∠CAD ＝12(∠BAC ＋∠CAD )． 又∵∠BAC ＋∠CAD ＝180°，∴∠PAC ＋∠CAQ ＝90°，即∠PAQ ＝90°.(2)证明：由(1)知∠PAQ ＝90°，又∵M 是线段PQ 的中点，∴PM ＝AM ，∴∠APM ＝∠PAM .∵∠APM ＝∠B ＋∠BAP ，∠PAM ＝∠CAM ＋∠PAC ，∠BAP ＝∠PAC ，∴∠B ＝∠CAM .又∵∠AMC ＝∠BMA ，∴△ACM ∽△BAM .∴CM AM ＝AM BM，∴AM 2＝CM ·BM ，即PM 2＝CM ·BM . 点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．。
完整版)相似三角形题型归纳
完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。
证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。
点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。
证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。
证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。
4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。
5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。
证明DE=BE·CE。
6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。
证明AE∶ED=2AF∶FB。
7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。
证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。
8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。
证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。
9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。
过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。
证明：AG∶GB=CP∶PD。
1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。
相似图形 总结
相似图形1. 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m,n，那么就说这两条线段的比AB：CD=m:n，或写成（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.（比例的基本性质）如果，那么ad=bc如果ad=bc（a、b、c、d都不等于0），那么2. 黄金分割：点Ｃ把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点．3. 相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比4. 相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形探索三角形相似的条件：1：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.即定义法.2：两角对应相等的两个三角形相似.3：三边对应成比例的两个三角形相似.4：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.例：依据下列各组条件，判定△ABC与△A′B′C′是不是相似，并说明为什么.（1）∠A=120°,AB=7 AC=14 ；∠A′=120° ,A′B′=3 A′C′=6,（2）AB=4 ,BC=6 ,AC=8 ；A′B′=12 ,B′C′=18 ,A′C′=24测量旗杆的高度;略5.相似多边形的周长等于相似比,面积比等于相似比的平方.例：如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长。
自测题一、 选择题1.如右图，∆ABC 与∆DEF 是位似图形，相似比为2：3，已知AB=4，则DE 的长等于（ ） A.6 B.5 C.9 D.38 2.如图，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ） A.12m B.10m C.8m D.7m3.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为 A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.54.如图，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则:ADE ABC S S =△△ A. 1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D. 2∶35.若ABC DEF △∽△，ABC △与DEF △的相似比为１∶2，则ABC △与DEF △的周长比为A.1∶4B.1∶2C.2∶1D.6.在△A BC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上且AD = 2，如果要在AB 上找一点E ，使△ADE 与ΔABC 相似，那么AE 等于 A.38 B.23 C.38或23 D.83或327.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 A.小明的影子比小强的影子长 B.小明的影子比小强的影子短 C.小明的影子和小强的影子一样长 D.无法判断谁的影子长8.等腰A B C ∆∽DEF ∆，其相似比为3 ：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）A 、3 ：4B 、4 ：3C 、1 ：2D 、2 ：19. 在ABC ∆和///C B A ∆中， 72684068//=∠=∠=∠=∠C A B A ，，，这两个三角形（ ） A 、既全等又相似 B 、相似 C 、全等 D 、无法确定 10.两个相似多边形面积之比为5：1，周长之比为m ：1，则=m5（ ）A 、1B 、55 C 、5 D 、511.下列说法正确的是（ ）A 、分别在△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上取点D 、E ，使DE ∥BC ，则△ADE 是△ABC 放大后的图形 B 、两位似图形的面积比等于位似比 C 、位似多边形中对应对角线之比等于位似比 D 、位似图形的周长之比等于位似比的平方 12.下列命题中正确的是（ ）①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 13.下列命题中的真命题是（ ）A 、两个等腰三角形相似B 、两个直角三角形相似C 、有一个锐角是30 的两个等腰三角形相似D 、有一个内角是30 的两个直角三角形相似 14.已知0432≠==c b a ,则c b a +的值为( ) A 、54B 、45C 、 D.21 15.过三角形一边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是( )A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条16.如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，则图中相似的三角形共有（ ）A 、7对B 、6对C 、5对D 、4对17.如图，把△PQR 沿着PQ 的方向平移到△P ′Q ′R ′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR 面积的一半，若PQ，则此三角形移动的距离PP ′是（ ）A 、12B C 、1D 118.路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度（ ） A ．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米 19.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ）A ．14B ．41C ．13 D ．34 二、填空题1.在同一时刻，小明测得一棵树的影长是身高为1.6米的小华影长的4.5倍，则这棵树的高度为_________。
北师大版数学九年级上册第四章 《图形的相似》重点题型归纳
阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式技巧1 中间比代换法证比例式1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证：BCDEAB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值.技巧2 等积代换法证比例式2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证：PBPAPF PE =.技巧3 等比代换法证比例式3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：ADAFAB AD =.类型2 证线段相等技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥BA 交DE 的延长线于点F.(1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．类型3 证比例和为1技巧5 同分母的中间比代换法5.如图，已知AC ∥FE ∥BD.求证：1=+BCBEAD AE专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性．．．”.方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求证：△ABC∽△DEC.方法2 利用角判定两三角形相似3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．方法3 利用边角判定两三角形相似4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.训练角度 2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB 上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值．3.如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE:ED＝2AF:FB.训练角度 3 过一边上的点作平行线构造相似三角形4.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度 4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=41AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二：作辅助线的方法三：作辅助线的方法四：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．技巧1 构造平行线法1.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·EC.2.如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF.技巧2 三点找三角形相似法3.如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB于E.求证：AM 2＝MD ·ME.技巧3 构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN.技巧4 等比过渡法6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE. 求证：(1)△DEF ∽△BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7.如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP于点G ，交CE 于点D. 求证：CE 2＝DE ·PE.技巧5 两次相似法8.如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F. 求证：BF BE ＝ABBC.9.如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MNAC.技巧6 等积代换法10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝ACAB.技巧7 等线段代换法11.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE ·PF.12.已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB ·PC.专训二 巧用“基本图形”探索相似条件 名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： 1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ； (2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．训练角度2 相交线型2.如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DFAF.训练角度4 旋转型 4.如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE.专训三 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．训练角度1 证明两线段的数量关系 类型1： 证明两线段的相等关系1.如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N. 求证：BM ＝MC.2.如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE:CE ＝BF:CF. 求证：AD ＝DB.类型2 证明两线段的倍分关系3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC.4.如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E. 求证：AC ＝2CE.训练角度2 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5.如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.6.在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论； (2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．类型2 证明两线垂直7.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC2＝AB ·AD ，BC 2＝BA ·BD ，求证：CD ⊥AB.8.如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.专训四巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上.类型1 三角形的内接正三角形问题1.如图,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上；②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′；③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.求证:△C′D′E′是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作:内接于已知△ABC的矩形DEFG,使它的边EF在BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,并且有DE∶EF=1∶2.类型 3 三角形的内接正形问题(方程思想)3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM 在BC上,其余两个顶点P ,N 分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是多少?4.(1)如图①,在△ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE ∥BC ,AQ交DE 于点P.求证:DP：BQ=PE：QC.(2)在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF ,分别交DE 于M ,N 两点.①如图②,若AB=AC=1,直接写出MN的长；②如图③,求证:MN²=DM·EN.专训五： 图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．考点一： 比例线段及性质1.下列各组长度的线段，成比例线段的是( )A. 2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB. 2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC. 1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD. 2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c ＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________．(5≈2.236，结果精确到0.01)考点二： 平行线分线段成比例4.如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF 相等的是( ) A.AB EF B.CD EF C.BO OE D.BC BE5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6.如图，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．考点三 相似三角形的性质与判定7.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AEF ∶S 四边形ABCE 为( ) A.3∶4 B.4∶3 C.7∶9 D.9∶79.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.(1)求证：FD 2＝FB ·FC ； (2)若FB ＝5，BC ＝4，求FD 的长．11.如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，点F 是BC 的延长线上一点，且CE ＝CF ，BE 的延长线交DF 于点M.(1)求证：BM ⊥DF ； (2)若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB.考点四相似三角形的应用12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.(结果精确到0.1 m)13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．15.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是( )A.3cm，6cm，7cm，9cmB.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cmD.1cm，2cm，3cm，4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3.如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．考点二： 2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC 与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．考点三： 1个判定——相似三角形的判定7.如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE ∽△OCD.8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC 与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，弧AP＝弧BP，求PD 的长．考点四： 2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．考点五： 1个作图——作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．考点六： 1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12.如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.。
图形的相似章末重难点题型(举一反三)(原卷版)
【考点1 比例线段】【方法点拨】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【例1】（秋•朝阳区校级月考）下面四组线段中，成比例的是（）A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10D．a=√2，b=√3，c＝3，d=√2【变式1-1】（•成都模拟）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长度为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm【变式1-2】（•龙岗区校级模拟）若a是2，4，6的第四比例项，则a＝；若x是4和16的比例中项，则x＝．【变式1-3】（秋•皇姑区期末）已知四条线段a ，3，a +1，4是成比例线段，则a 的值为 ． 【考点2 黄金分割】【方法点拨】黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．【例2】（•福建模拟）在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB=BC AC，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点，当MN ＝1时，PM 的长是 ． 【变式2-1】（秋•静安区期中）如果点C 是线段AB 的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是√5−12的为（ ） A ．AC BCB ．BC ACC ．BCABD ．AB BC【变式2-2】（春•相城区期末）如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，若S 1表示AE 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，则S 3：S 2的值为（ ）A ．√5−12B ．√5+12C ．3−√52D ．3+√52【变式2-3】（•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG MN=GN MG=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ）A ．10﹣4√5B ．3√5−5C ．5−2√52D ．20﹣8√5【考点3 比例的基本性质】【方法点拨】解决此类问题通常利用设k 法即可有效解决，注意方程思想以及分类讨论思想的灵活运用. 【例3】（•徐汇区一模）已知：a ：b ：c ＝2：3：5 （1）求代数式3a−b+c 2a+3b−c的值； （2）如果3a ﹣b +c ＝24，求a ，b ，c 的值．【变式3-1】（秋•永登县期末）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a +b +c ＝12，请你探索△ABC 的形状．【变式3-2】（秋•碑林区校级月考）已知2a b+c+d=2b a+c+d=2c a+b+d=2d a+b+c=k ，求k 值．【变式3-3】（秋•雁江区校级月考）已知a 、b 、c 均为非零的实数，且满足a+b−c c=a−b+c b=−a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．【考点4 平行线分线段成比例】【方法点拨】平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【例4】（•下城区二模）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ；AC 与DF 交于点O ．已知DE ＝3，EF ＝6，AB ＝4． （1）求AC 的长；（2）若BE ：CF ＝1：3，求OB ：AB ．【变式4-1】（•亳州模拟）如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于（ ）A ．103B ．203C ．52D ．152【变式4-2】（•哈尔滨模拟）如图，在△ABC 中，AD ∥BC ，点E 在AB 边上，EF ∥BC ，交AC 边于点F ，DE 交AC 边于点G ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AE BE=AF CFB ．AG GF=DG EGC ．AG GF=AE EBD ．AEAB=AF AC【变式4-3】（秋•平房区期末）已知，在△ABC 中，点D 为AB 上一点，过点D 作DE ∥BC ，DH ∥AC 分别交AC 、BC 于点E 、H ，点F 是BC 延长线上一点，连接FD 交AC 于点G ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AD DB=AE DHB ．CFDE=DH CGC ．FD FG=EC CGD ．CH BC=AE AC【考点5 相似三角形的判定】【方法点拨】相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似【例5】（秋•瑞安市期末）如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（）A．B．C．D．【变式5-1】（•农安县一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．【变式5-2】（秋•顺义区期末）如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（）A．②④B．②⑤C．③④D．④⑤【变式5-3】（秋•灌云县期末）如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ）A ．（4，2）B ．（6，0）C ．（6，3）D ．（6，5）【考点6 相似三角形的性质（周长）】【方法点拨】掌握相似三角形周长比等于对应边的比是解题关键.【例6】（•利辛县模拟）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 在AD 上，如果∠ABE ＝∠C ，AE ＝2ED ，那么△ABE 与△ADC 的周长比为（ ）A ．1：2B ．2：3C ．1：4D ．4：9【变式6-1】（•海南）如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，若BG ＝8，则△CEF 的周长为（ ）A ．16B ．17C ．24D ．25【变式6-2】（•潍坊）如图，点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点，且DE AE=12，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若DE ＝3，DF ＝4，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．21B ．28C ．34D ．42【变式6-3】（•平顶山一模）如图，已知平行四边形ABCD ，点E 在DC 上，DE ：EC ＝2：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的周长之比为（ ）A ．4：9B ．1：3C ．1：2D ．2：3【考点7 相似三角形的性质（面积）】【方法点拨】掌握相似三角形面积比是对应边比的平方的性质是解题关键.【例7】（秋•商河县期末）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 和CD 相交于点F ，且S △EFC ＝3S △EFD ，则S△ADE：S △ABC 的值为（ ）A ．1：3B ．1：8C ．1：9D ．1：4【变式7-1】（•海珠区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在DA 的延长线上，且AE =13AD ，连接CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ，则S △BGC ：S 四边形ADCG 的值是（ ）A ．35B ．53C ．57D ．34【变式7-2】（•松桃县模拟）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA ＝1：25，则S △DOE 与S △COE 的比是（ ）A ．1：25B ．1：5C ．1：4D ．1：3【变式7-3】（秋•汝阳县期末）已知如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB于点Q，那么S△CPE：S△ABC＝．【考点8 相似基本模型（A字型）】【方法点拨】基础模型：A字型（平行）反A字型（不平行）【例8】（•松江区一模）已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．【变式8-1】（秋•青羊区校级月考）如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB 的长； （2）求FG 的长．【变式8-2】（•东明县模拟）如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3． （1）求CE 的长．（2）在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别是AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．小明认为DP BQ=PE QC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．【变式8-3】（•东莞市一模）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC=DF CG．（1）求证：△ADF ∽△ACG ； （2）若AD AC=37，求AF FG的值．【考点9 相似基本模型（X字型）】【方法点拨】基础模型：X字型（平行）反X字型（不平行）【例9】（秋•滨江区期末）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF．【变式9-1】（秋•花都区期末）如图：已知▱ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；（2）证明：AF2＝FG×FE．【变式9-2】（秋•朔城区期末）如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求GEED的值【变式9-3】（秋•黄浦区期中）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2＝BD•DE．【考点10 相似基本模型（AX型）】【方法点拨】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【例10】（•丛台区校级三模）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．【变式10-1】（•江夏区模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果CE BE=23，求FEEG的值．【变式10-2】（秋•五华县期末）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ． （1）求证：△AFG ∽△CMG ； （2）求证：GF GM=EF EM．【变式10-3】（•黄浦区一模）如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，AB CD=12，BF CF=12．（1）求证：AB ∥EF ；（2）求S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ．【考点11 相似基本模型（作平行线）】【方法点拨】解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用相似三角形的性质去解决问题. 基础模型：【例11】（•长丰县一模）如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则AF FC为（ ）A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：2【变式11-1】（•金华模拟）如图，D 、E 分别是△ABC 的边BC 、AB 上的点，AD 、CE 相交于点F ，AE =15EB ，BD =13BC ，则CF ：EF ＝ ．【变式11-2】（秋•福田区校级期末）如图，AD 是△ABC 的中线，点E 是线段AD 上的一点，且AE =13AD ，CE 交AB 于点F ．若AF ＝2cm ，则AB ＝ cm ．【变式11-3】（•青白江区模拟）如图，等边三角形ABC 中，AB ＝3，点D 是CB 延长线上一点，且BD ＝1，点E 在直线AC 上，当∠BAD ＝∠CDE 时，AE 的长为 ．【考点12 相似基本模型（双垂直型）】【方法点拨】直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD ∽△ABC ∽△CBD.【例12】（•越城区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A ．3：2B ．2：3C ．3：√13D ．2：√13．【变式12-1】（•张家口模拟）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB=12，△CEF的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．116B ．15C ．14D ．125【变式12-2】（秋•玉田县期末）边长为1的正方形ABCD ，在BC 边上取一动点E ，连接AE ，作EF ⊥AE ，交CD 边于点F ，若CF 的长为316，则CE 的长为 ．【变式12-3】（•南岗区二模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过点B作BE⊥AC于点E，BE的延长线交AD于点F，若DF＝EF，BC＝2，则AF的长为．【考点13 相似基本模型（手拉手型）】【方法点拨】基础模型：旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.【例13】（秋•福田区校级期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（）A．5：3B．4：3C．√5：2D．2：√3【变式13-1】（秋•昭平县期末）如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（）A．10°B．20°C．40°D．无法确定【变式13-2】（秋•漳浦县期末）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB ＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②③④【变式13-3】（•亳州模拟）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD ＝AF ，AE •CE ＝DE •EF ． （1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE •BD ＝EF •AF ，求证：AB ＝AC ．【考点14 相似基本模型（一线三等角型）】【方法点拨】基础模型：如图1，∠B=∠C=∠EDF 推出△BDE ∽△CFD （一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE 推出△ABD ∽△DCE （一线三等角）如图3，特别地，当D 时BC 中点时：△BDE ∽△DFE ∽△CFD 推出ED 平分∠BEF ，FD 平分∠EFC. 【例14】（•肥东县二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，D 是AC 中点，E 是BC 上一点，BE =52，∠AED ＝∠B ，则CE 的长为（ ）A ．152B ．223C ．365D ．649【变式14-1】（秋•资阳区期末）如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD ＝60°，BP ＝2，CD ＝1，则△ABC 的边长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式14-2】（秋•杨浦区校级月考）如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝5，D 是AB 上一点，BD ＝2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作∠DEF ＝∠B ，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．【变式14-3】（•嘉定区二模）已知：△ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上（点E 不与点A 、B 重合），点F 在边AC 上，联结DE 、DF ． （1）如图1，当∠EDF ＝90°时，求证：BE ＝AF ； （2）如图2，当∠EDF ＝45°时，求证：DE 2DF 2=BE CF．【考点15 相似三角形中的动点问题】【例15】（春•文登区期末）如图，Rt △ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝8cm ．点P 从点C 出发，以2cm /s 的速度沿CA 向点A 匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿BC 向点C 匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．（1）求经过几秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的25？（2）经过几秒，△PCQ 与△ABC 相似？【变式15-1】（秋•渭滨区期末）如图所示，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝16cm ．点D 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速运动，同时点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm /s ．连接DE ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜10），解答下列问题： （1）当t 为何值时，△BDE 的面积为7.5cm 2；（2）在点D ，E 的运动中，是否存在时间t ，使得△BDE 与△ABC 相似？若存在，请求出对应的时间t ；若不存在，请说明理由．【变式15-2】（•晋安区一模）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ，且∠B ＝∠ADE ＝∠C ．（1）证明：△BDA ∽△CED ；（2）若∠B ＝45°，BC ＝2，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合），且△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．【考点16 相似三角形中的折叠问题】【例16】（•渝中区校级三模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE ＝∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，若BC ＝12，AB ＝20，则CD 的长为（ ）A ．193B ．254C ．258D ．6【变式16-1】（•台安县一模）在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，把△ABE 沿直线AE 折叠，B 点落在点B ′处，B ′B 与AE 交于点F ，连接AB ′，DB ′，FC ．下列结论：①AB ′＝AD ；②△FCB ′为等腰直角三角形；③∠CB ′D ＝135°；④BB ′＝BC ；⑤AB 2＝AE •AF ．其中正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式16-2】（•拱墅区二模）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．其中正确的是．（填写正确结论的序号）【变式16-3】（春•文登区期末）已知，矩形ABCD，点E是AD上一点，将矩形沿BE折叠，点A恰好落在BD上点F处．（1）如图1，若AB＝3，AD＝4，求AE的长；（2）如图2，若点F恰好是BD的中点，点M是BD上一点，过点M作MN∥BE交AD于点N，连接EM，若MN平分∠EMD，求证：DN•DE＝DM•BM．【考点17 相似三角形的实际应用】【方法点拨】解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，利用相似及方程思想有效解决.【例17】（•莲湖区二模）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；③计算树的高度AB；【变式17-1】（•山西一模）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D 处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．【变式17-2】（•凉山州）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【考点18 作图—位似变换】【方法点拨】掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．【例18】（•长丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，1），B（1，4），C（3，2）．请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的右侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；（3）如果点D（a，b）在线段BC上，请直接写出经过（2）的变化后对应点D2的坐标．【变式18-1】（春•文登区期末）已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使相似比为1：1，若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为．【变式18-2】（春•南关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点A2的坐标为（8，﹣6）．（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是．【变式18-3】（•合肥二模）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．。
相似三角形经典题型
相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = 50°，AB = 3cm，AC = 4cm，∠A'= 50°，A'B'= 6cm，A'C' = 8cm。
判断这两个三角形是否相似。
解析根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2)，(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2)，且∠A = ∠A' = 50°。
所以△ABC∽△A'B'C'。
2. 题目如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD=(7)/(2)，求AD的长。
解析因为∠B = ∠ACD，且(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AC)/(AD)未知。
又因为(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，不满足三边对应成比例。
但是由∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，可以尝试证明△ABC和△ACD相似。
因为∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的，应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳图形的相似是初中数学中的一个重要概念，它在解决图形变换和比例问题中起到关键作用。
在九年级上册的第四章中，我们学习了图形的相似性质及其相关的题型。
本文将对这些重点题型进行归纳总结，帮助同学们理解和掌握。
1. 相似三角形的判定和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
我们可以利用以下条件判定两个三角形是否相似：- AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
- SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。
- SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例且夹角相等，那么它们是相似三角形。
相似三角形的性质：- 对应角相等：相似三角形对应角相等，即它们的内角相等。
- 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即它们的对应边的长度比相等。
2. 相似三角形的应用相似三角形的应用涉及到长度、面积、坐标等方面的计算和问题求解。
以下是常见的相似三角形的应用题型：- 根据已知条件求解未知长度：利用相似三角形的性质，我们可以根据已知条件的比例关系计算未知长度。
- 根据已知条件求解面积：相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。
- 坐标变换问题：当一个图形通过平移、旋转或缩放而变换时，我们可以利用相似三角形的性质求解坐标的变换关系。
3. 黄金分割黄金分割是指将一条线段分成两部分，使整体线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。
黄金分割具有以下特点：- 黄金分割比例是1：（√5+1）/2，约等于1：1.618。
- 黄金分割线段具有美学上的完美比例，被广泛应用在建筑、绘画等领域。
- 黄金矩形具有一些特殊性质，例如，它的长边和短边的比例等于整个矩形和长边之比。
4. 相似图形的比例尺比例尺用于表示实际对象与图形之间的比例关系。
当我们绘制地图、建筑设计等图形时，需要确定适当的比例尺。
常见的比例尺形式包括文字比例尺和线性比例尺。
- 文字比例尺：用文字描述实际距离与图形上距离的比例关系，例如，“1cm表示10公里”。
三角形相似题型大全
三角形相似题型大全
三角形相似是数学几何中的一个重要概念，涉及到的题型非常多样。
以下是几种常见的三角形相似题型：
1. 平行线型：当两条平行线被第三条线段所截，所形成的三角形是相似的。
这是三角形相似的一个基本题型。
2. 角相等型：当两个三角形中有两个对应的角相等时，这两个三角形是相似的。
这也是一个比较常见的题型。
3. 边长比例型：当两个三角形的对应边长之间存在一定的比例关系时，这两个三角形是相似的。
这种题型在解决实际问题时经常出现。
4. 综合型：结合以上几种情况，可能需要在多个条件下判断三角形是否相似。
这种题型较为复杂，需要综合考虑各种因素。
在解决三角形相似问题时，需要灵活运用三角形相似的判定定理和性质定理，同时结合题目给出的条件进行推理和计算。
此外，对于一些比较复杂的题型，可能需要采用一些特殊的解题方法，如代数法、几何法等。
希望这些题型能够帮助你更好地理解和掌握三角形相似的知识，提高解决实际问题的能力。
图形的相似单元复习
图形的相似单元复习知识点回顾：知识点1.．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。
（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．知识点2．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．知识点3．相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．知识点4．相似三角的判定方法（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似．（3）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（4）如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．（5）如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．知识点5．相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边的比相等；（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．知识点6.相似三角形的基本类型两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：注意分清相似三角形中对应角和对应边。
(完整版)图形的相似题型总结,推荐文档
（2）如图，已知在△ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点，
【回顾知识点】
DE∥BC，EF∥AB，且 AD：DB=3：5，那么 CF：CB 等于（ ）
A．5：8 B．3：8
C．3：5 D．2：5
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 1、 比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质
△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有__________条。
（3）如图，点 C 为线段 AB 上任意一点（不与 A、B 重合），分别以 AC、BC 为
一腰在 AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD 与
∠BCE 都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接 AE 交 CD 于点 M，连接 BD 交 CE 于点
3
2、如果 a 3 ，那么
a
等于 ( )A．3：2 B．2：3
C． 3： 5
b2
ab
D． 5： 3
（3）若 a b b c c a k ，则 k 的值为（ ）
c
a
b
A．2 B．-1 C．2 或-1 D．不存在
题型二：黄金分割的考查
例 2、已知点 C 为线段 AB 的黄金分割点，且 AC=1cm，则线段 AB 的长为
A、 4 :10 : 25
B、 4 : 9 : 25
C、 2 : 3 : 5
D、 2 : 5 : 25
5、东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是 176cm，东东的身高是 156cm，在同一
时刻爸爸的影长是 88cm，那么东东的影长是
cm．
6、△ABC 三个顶点坐标分别为 A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点 O
中考数学《图形的相似》真题汇编含解析
图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，∴AC :EC =AB :DE ，∵AC :EC =2:3，AB =6，∴2:3=6:DE ，∴DE =9，故选：B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，∴直线AD 的解析式为：y =x +1，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当y =0时，x =-1，∴位似中心的坐标为-1,0 ，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质，∴∠ACF =∠ECF ，∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，∴∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2，△ADE∽△CME，∴AD CM =DEEM=2，则CM=12AD=32，∴MB=3-CM=32，∵BC∥AD，∴△GMB∽△GDA，∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=43．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD =AB =3，∴BD =BC 2+CD 2=5．由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ，又∵RQ ⊥BD ，∴RQ =RC ，在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，RQ =RC BR =BR ，∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，∴BC =BQ =4，∴QD =BD -BQ =5-4=1，设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，即3-x 2=12+x 2，解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，∴△OCR ∽△DCN ，∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN，解得CN =10．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =32，∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，∵OA =OB =35，∴AD =OD +OA =952，∴OA AD=23，∵CM :MA =1:2，∴OA AD =23=CM AC，∵∠OAM =∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ，∴OM CD =OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵OA =OB =35，OD =352，∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152，∴CD =BC +BD =9，∵OM CD=23，∴OM =6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，∴∠DOB =∠DFC =90°，∵∠BDO =∠CDF ，∴△BDO ∽△CDF ，∴OB CF =BD CD 即35CF=1529，解得CF =1855，同理可得，△AEM ∽△AFC ，∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23，解得ME =1255，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.【详解】解：∵ABCD 为正方形，∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，∵BF =CE ，∴DE =FC ，∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°，∴∠ADG +∠DAE =90°，∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ，∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ，∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ，∵∠AGD =∠AGM =90°，∴AE 垂直平分DM ，故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，∴△ADE ∽△DGE ，∴DE GE=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，由①可知DE =CF ，∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形，且边长为4，∴AB =BC =AD =4，∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴AM =AD =4，∴CM =AC -AM =42-4.由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2，∴h =22，∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴DG =GM ，∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，∴DN =2 2.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，∵CD ∥AB ，∴∠CDF =∠QEF ．∴∠QDF =∠QEF ．∴DQ =EQ =5．故①正确；∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，∴MQ =AM =4．∵MB =AB -AM =5-4=1，∴BQ =MQ -MB =4-1=3．故②正确；∵CD ∥AB ，∴△CDP ∽△BQP ．∴CP BP =CD BQ=53．∵CP +BP =BC =5，∴BP =38BC =158．故③正确；∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ．∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE．∴△EFQ 与△EDB 不相似．∴∠EQF ≠∠EBD ．∴BD 与FQ 不平行．故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AED AAS，∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE，故②正确，当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥MH,HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，∴△AHD ∽△FHB ，∴FH AH =BF AD=a 2a =12，∴AH =23AF =253a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，∴△AGF ∽△ABF ，∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515a ，∵∠BHF =∠DHA ，在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，∴BH DH=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423a ，∵AF ⊥EP ，根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，∴位似比为31，∴9 m =31，3n=31，解得m=3，n=1，∴A13,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA:AA =1:2，则△ABC和△A B C 的周长之比为．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：∵OA:AA =1:2，∴OA:OA =1:3，设△ABC周长为l1，设△A B C 周长为l2，∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，∴l1l2=OAOA=13．∴l1:l2=1:3．∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到DF EF =CD AE =AB AE，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，∴△EAF ∽△DCF ，∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ，∴△ABD ∽△AQP ，∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为．【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB =AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF ⊥AB ，∴∠FDB =45°，∴△DFB 是等腰直角三角形，∴DF =BF ，∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，即AD =10DF ，∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，∴△AFD ∼△ACB ，∴DF BC =AF AC，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，∴DF =104，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1，综上，AD 的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽△EAB ，则FM AB=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，∵CF 平分∠DCE ，∴∠FCM =∠FCN =45°，∴CM =FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，∵FM ∥AB ，∴△EFM ∽△EAB ，∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104，故答案为：3104．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，∴CH =10=AD ，∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，∴CJ =DJ =5，∴EJ =1，∵GI ∥CJ ，∴△HGI ∽△HCJ ，∴GI CJ =GH CH=25，∴GI =2，∴FI =4，∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】3；13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=52，EH⊥AD，∴AH=DH=12AD=32，在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=522-32 2=2，∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE，∴△ABF≌△KEF ASA，∴EK=AB=3，由(1)可知，AH=12AD，EH=2，∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，∴KH GD =AH AD，∴GD=2，在Rt△ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP ∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH =CE +CH =9，∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，∴CD ∥AH ，∴△ECD ~△EHA ，∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83，∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，∵CD ∥AH ，∴DE AD=CE CH ，即2973AD =63，解得：AD =973．故答案为：973．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25(2023·湖南·统考中考真题)如图，CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∵CE⊥BE，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠C=∠EBD，∴△ABC∽△DEB；(2)∵△ABC∽△DEB，∴AB DE =AC BD，∵AB=8,AC=6,DE=4，∴8 4=6 BD，解得：BD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA，推出AF= CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF =∠CED ，∴△AEF ≅△DEC ASA ，∴AF =CD ，∴AF =AB ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，∵∠FCG =∠FCD ，∴∠F =∠FCG ，∴GC =GF =6，∵∠DHC =∠AHG ，∴△AGH ∽△DCH ，∴GH CH =AG DC，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =12AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，∵∠EBO +∠BEO =90°，∠ABO +∠EBO =90°，∴∠BEO =∠ABO ，∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)解：连接HG ,AC ,EF ，∵H ,G 为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，∵AH =12AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29(2023·上海·统考中考真题)如图，在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD(1)求证：DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACF ，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．(2)证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由(1)已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。
(易错题精选)初中数学图形的相似难题汇编
（易错题精选）初中数学图形的相似难题汇编一、选择题1．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．35B．43C．53D．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出12.52NE CD==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【详解】解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF，12.52NE CD==∵AC平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴2255.3323 CE NE==⨯=故选C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.2．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（）A ．1：2B ．1：5C ．1：100D ．1：10【答案】C【解析】 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．故选：C ．点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．3．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．【详解】解：连接BD ，如图，AB Q 为直径，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD CD =Q ，DAC DCA ∴∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，DAC ABD ∴∠=∠，DE AB ∵⊥，90ABD BDE ∴∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，ABD ADE ∴∠=∠，ADE DAC ∴∠=∠，5FD FA ∴==，在Rt AEF ∆中，3sin 5EF CAB AF ∠==Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴=-=，538DE =+=， ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，ADE DBE ∴∆∆∽，::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，16BE ∴=，41620AB ∴=+=．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．4．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x=-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）A ．逐渐变小B ．逐渐变大C ．时大时小D ．保持不变【答案】D【解析】【分析】 如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a-），A 为（b ，2b ），得到OE=-a ，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠2为定值，即可解决问题．【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，∴BE OE OF AF=，设点B为（a，1 a-），A为（b，2b），则OE=-a，EB=1a-，OF=b，AF=2b，可代入比例式求得222a b=，即222ab=，根据勾股定理可得：OB=22221OE EB aa+=+，OA=22224OF AF bb+=+，∴tan∠OAB=2222222212244baOB a bOAb bb b++==++=222214()24bbbb++=22∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．5．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解析】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选D．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．6．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝kx上一点，k的值是（）A．4 B．8 C．16 D．24【答案】C【解析】【分析】延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．【详解】解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，OABC Q 是正方形，6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，D Q 是AB 的中点，12BD AB ∴=， //BD OC Q ，OCQ BDQ ∴∆∆∽， ∴12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，OFQ OAB ∴∆∆∽， ∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ， 2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，Q 点Q 在反比例函数的图象上，4416k ∴=⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．7．如图，点A在双曲线y═kx（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）A．2 B．3225C．43D．252+【答案】B【解析】分析：如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；详解：如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，22=5OF OC+∴255，∴OA=455，由△FOC∽△OBA，可得OF OC CFOB AB OA==，∴215455 OB AB==，∴OB=85，AB=45，∴A（85，45），∴k=32 25．故选B．点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DE cm=，20EF cm=，测得边DF离地面的高度 1.5AC m=，8CD m=，则树高AB是（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90°∠D=∠D∴△ADEF∽△DCB∴BC DC EF DE=∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m∴80.20.4BC=解得：BC=4∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米故答案为：5.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。
专题05 图形的相似重难点题型专训(6大题型)(解析版)
专题05图形的相似重难点题型专训（6大题型）【题型目录】题型一比例的性质题型二线段的比题型三成比例线段题型四由平行判断成比例的线段题型五由平行截线求相关线段的长或比值题型六黄金分割【知识梳理】知识点一、线段的比与成比例线段线段的比两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．成比例线段四条线段a、b、c、d中，如果dcba，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段．知识点二、比例的性质知识点三、黄金分割黄金分割若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果ACBCABAC，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为618.0215．知识点四、相似图形相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．知识点五、平行线分线段成比例定理【经典例题一比例的性质】约分即可求解．【经典例题二线段的比】第二次裁剪所得矩形的长为第三次裁剪所得矩形的长为第四次裁剪所得矩形的长为第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形，AC【答案】34/0.75为线段我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图且12EF OE ，连接OF ；以F 为圆心，EF 交OE 于点P ．根据材料回答下列问题：(1)根据作图，写出图中相等的线段：________(2)求OP 的长；(3)求证：点P 是线段OE 的黄金分割点．【答案】(1)EF FH ，OH OP (2)51OP (3)见解析【分析】（1）由题意知，EF FH ，OH （2）由勾股定理得225OF OE EF （3）由51OP ，可得2251OP235625OE PE ，则2OP OE 【详解】（1）解：由题意知，EF FH ，OH 故答案为：EF FH ，OH OP ；（2）解：∵EF OE ，∴90OEF ∵2OE ，【经典例题三成比例线段】是线段【经典例题四由平行判断成比例的线段】九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）如图，直线A．103B．152【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出【详解】解：∵a b c∥∥，∴AB DEAC DF，A．BH AGBC ADB．EG AGCD AD【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理、中点定义及相似三角形对应边成比例逐项判断即可得到答案．【答案】54【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．【详解】解：∵直线123l l l ∥∥45AD BC DF CE ，5CE【答案】6【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得后根据平行线分线段成比例定理，可得【详解】解：∵AD平分，∴EAD CAD(1)求证：AG CG ；(2)求证：2CGE BDN (3)若4BD DG ，GP 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3AG a【分析】（1）证明ABG （2）先证明DAF GPD NDC DCP BDN BDC NDC （3）证明PM PC ，得出【经典例题五由平行截线求相关线段的长或比值】A．14B【答案】A【分析】根据a b∥可得BGA．3 20【答案】A【分析】过点F作FG∥由FG BN∥,得BF NG【答案】5:3:2【分析】首先过点M作MK点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得【详解】解：过点M作MK∵M是AC的中点，∴MN NK AN AMEC EF AE AC∵E、F为BC的三等分点，，∴BE EF FC【答案】16【分析】过点D 作DG ::BD CD EG CG 的值．∵:1:3AF FD ，BD ∴::AF FD AE EG ∴3EG AE ，EG ∴3EC EG CG(1)如果4AB ，8BC ，(2)如果:2:3DE EF ，AB 【答案】(1)6(2)15【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到（2）由平行线分线段成比例定理得到392BC AB ，即可得到【详解】（1）解：如图，∵123l l l ∥∥，∴AB DE BC EF，∵4AB ，8BC ，EF【经典例题六黄金分割】【点睛】本题考查了黄金分割点的意义，正确理解黄金分割的定义是解题的关键．上找一点51 51【答案】8516【分析】设AC m ，BD n ，根据【答案】1555【分析】根据黄金分割的定义，得2PA BP AB ，构建方程计算求解．【详解】解：根据题意，2PA BP AB ；∴2(10)10BP BP【点睛】本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以(1)【操作判断】根据以上操作，直接写出图3中AGGB的值：______；(2)【问题解决】请判断图3中四边形BG MG的形状，并说明理由．(3)【拓展应用】我们知道：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP 割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片ABCD的宽AB为【重难点训练】A ．5B 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：∵a b ∥∥A． 454【答案】A【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比答案，熟记黄金分割比是解决问题的关键．【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得AB∵，8cm5AP AB故选：A．3．（2022上·山西运城形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以用这样的方法画出黄金矩形；作正方形接EF，以FD为半径画弧，A．1个B．2个BG A ．259B ．27【答案】A【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．作FH BC ∥交CD 于H ，则DH HC 根据勾股定理得25AE ，所以【详解】解：如图，作FH ∥则45DH DF HC FG ，E ∵为CD 边中点，19HE ED ，FH AD ∵∥，19FE HE AE DE ，224225AE ∵，259FE ．故选：A ．5．（2023上·浙江·九年级周测）如图，点D ，与BC 的垂线CE 相交于点A ．3:2B ．5:3【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，4FC BC BF ，再根据DF ∥【详解】∵BE 平分ABC ，∴ABD FBD ，∵DF BC ，90A ，∴90DFB A ，【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念8．（2023上·浙江金华，，上，连结AB BC CACF三角形的中位线的判定及性质的综合应用，∵点B 和点F 关于直线DE ∴BD DF BF DE ，，∵AD DF ，∴AD BD DF ，∴,DBF DFB DAF 又DBF DFB DAF ∴ 2180DFB DFA ∴90,DFB DFA 即∴DE AC ∥，∴BD BE AD CE，∵AD BD ，∴BE CE ，∴132BE BC ，在Rt ABF 与Rt CBF △，由勾股定理可得：2222BF AB AF FB CB ，∴2222AB AF CB CF ∵56AB AC BC ，，【答案】3【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，设行四边形的性质可得AD ∥【详解】解：设FD x ，由2AF FD ，则2AF x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∥，AB CD ∥，2233AE AF x EC BC x ，23BE AE EG EC ，∵2BE ，223EG ，3EG ，故答案为：3．10．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图，矩形形ABNM 和矩形CDMN ．（1）若矩形CDMN 与矩形的长是，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个设正方形ABCD 的边长为在Rt BCF 中，BF 则2QF BF BQ 设AP PQ x ，则PD 在Rt QPF 和Rt DGF 有222FQ PQ DF 解得512x ，即点P 是AD 的黄金分割点（2）方法如图所示:第一步：对折矩形纸片第二步：再一次折叠纸片，使点14．（2023上·四川内江·九年级统考期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是黄金矩形ABCD 的宽1AB (1)黄金矩形ABCD 的长BC ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE ，求点D 到线段AE 的距离．【答案】(1)512(2)矩形DCEF 为黄金矩形，理由见解析(3)点D 到线段AE 的距离为1024【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．（1）根据512AB BC ，AB ，即可求解；（2）先求出512FD EC AD ，再求出DF EF 的值，即可得出结论；（3）连接AE ，DE ，过D DG AE 于点G ，根据1AB EF ，512AD，得出再根据12AED G S AD EF AE D ，即可求解．∵1AB EF ，AD∴22112AE ，在AED △中，12AED S 即AD EF AE DG ，则51122DG ，解得1024DG ，∴点D 到线段AE 的距离为15．（2022上·山西运城·九年级统考期中）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．下面是小宇同学运用面积的思想对进行了证明．证明：如图，分别连接EB DC ，．设点E 到AB 的距离为1h ，点D 到AC 的距离为2h ，ADE BDE S S 111212AD h BD h AD BD ，ADE DEC S S …任务：(1)请补全以上证明过程．(2)应用以上结论解答问题：如图，在ABC 中，DG EC ∥，【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理的证明与应用：（1）根据两条平行线之间的距离处处相等，可得（2）直接利用平行线分线段成比例定理即可证明．【详解】（1）证明：如图，分别连接设点E 到AB 的距离为1h 则111212ADE BDE AD h S AD S DB BD h 221212ADE DEC AE h S AE S EC EC h ，设点B 到直线DE 的距离为∵DE BC ∥，点C 到直线DE 的距离与点∴12BDE DEC S S DE m ∴ADE BDE S S ADE DECS S ，∴ADDB AE EC．（2）证明：∵DG EC ∥∴AD AG DE GC，。
相似图形知识点与题型分析
相似图形的知识与题型知识点 1 ：比例线段的相关概念1. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比a c相等，即（或a : b=c: d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
b d注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．⑵ 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．⑶比例线段是有顺序的，如果说 a 是b, c, d的第四比例项，那么应得比例式为：b d．c a2. 比例中项：如果ab b（或b 2cac ），则b 叫做a、c 的比例中项。
知识点2：比例的性质基本性质：(1) a : b c: d ad bc ；(2) a : c c : b2c a b ．a cb d反比性质（把比的前项、后项交换）：．b d a ca c 合比性质：b d a bc db d．发生同样和差变化比例仍成立。
a c e 等比性质：若b d f m(b d fnn 0) ，则a c e m a.b d f n b注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad bc ，除了可化为a: b c:d ，还可化为a: c b : d ，c : d a : b ，b : d a : c ，b: a d: c，c: a d :b，d : c b: a ，d: b c:a．说明：①比例的基本性质是比例变形的重要依据．②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k 的方法，a c设＝k，那么a＝kb ，c＝kd ，ad＝kb×d＝b×kd ＝bcb d知识点 3 ：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边（即三角形中位线定理的逆定理）。
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰（即梯形中位线定理的逆定理）。
相似三角形题型归纳
相似三角形题型归纳1. 什么是相似三角形相似三角形是指具有相似形状的三角形，它们的对应角相等，对应边成比例。
在解决相似三角形问题时，常用比例关系来推导解题思路。
2. 相似三角形的性质相似三角形有以下几个重要的性质：2.1 角对应相等性质如果两个三角形的两个内角对应相等，则这两个三角形相似。
2.2 边对应成比例性质如果两个三角形的两个边分别成比例，则这两个三角形相似。
2.3 AA相似性质如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
3. 相似三角形的题型分类相似三角形题型可以分为以下几类：3.1 判断相似这类题目给出了两个或多个三角形，要求判断它们是否相似。
解决这类题目时，可以通过比较角度或边长的比例来进行判断。
3.2 求比例这类题目已知两个或多个相似三角形的某几条边的长度，要求求出其余边的长度比。
3.3 计算面积这类题目已知两个相似三角形的边长比例，要求计算它们的面积比。
3.4 整体应用这类题目将相似三角形与其它几何概念结合起来，要求多层次的计算与推理。
4. 相似三角形题型解法示例4.1 判断相似问题：已知三角形ABC与三角形DEF的两个内角分别相等，是否可以得出它们相似？解答：根据相似三角形的角对应相等性质，当两个三角形的两个内角分别相等时，可以得出它们相似。
4.2 求比例问题：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE =3:2，AC:DF = 5:4，求BC:EF的比例。
解答：根据相似三角形的边对应成比例性质，可以得到AC:DF = BC:EF。
又已知AC:DF = 5:4，代入BC:EF，得到BC:EF = 5:4。
4.3 计算面积问题：已知三角形ABC的面积为6平方单位，三角形DEF与三角形ABC相似，且AB:DE = 2:1，AC:DF = 3:2，求三角形DEF的面积。
解答：根据相似三角形的边对应成比例性质，可以得到AB2:DE2 = AC2:DF2。
又已知AB:DE = 2:1，代入AC:DF = 3:2，得到AB2:DE2 = 4:1，即AB:DE = 2:1。
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初三数学图形的相似题型总结
【回顾知识点】
1、 比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质
2、 黄金分割点；
3、平行线分线段成比例 3、 相似三角形的性质与判定；
4、图形的位似
【例题讲解】
题型一：比例性质的考查
例1、（1）已知线段a 、b ，且3
2
=b a ，则下列说法错误的是（ ）
A ．a=2cm ，b=3cm
B ．a=2k ，b=3k （k ≠0）
C ．3a=2b
D ．a=b 3
2
2、如果23=b a ，那么b a a
+等于( )A ．3：2 B ．2：3 C ．3：5 D ．5：3
（3）若k b
a
c a c b c b a =+=+=+，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．-1
C ．2或-1
D ．不存在
题型二：黄金分割的考查
例2、已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC=1cm ，则线段AB 的长为__________. 题型三：平行线分线段成比例的考查 例3、（1）如图，在△ABC 中，DE ‖BC ，
1
2
AD DB =，DE=4，则BC 的长是（ ） A 、8 B 、10 C 、11 D 、12
（2）如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ） A ．5：8 B ．3：8
C ．3：5
D ．2：5
例3（2）图 例4（1）图 例4（2）图 题型四：相似三角形性质的考查
例4、（1）如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ） A 、1:3 B 、2：3 C 、3:2 D 、3:3
（2）如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，若△ABC 的面积为48cm 2，则△DMN 的面积为_______ cm 2.
（3）如图，已知△ADE ∽△ABC ，AD=6cm ，DB=3cm ，BC=9.9cm ，∠A=70度，∠B=50度，1）求∠ADE 的大小；2）求∠AED 的大小；3）求DE 的长。
题型五：相似三角形判定的考查
例5、（1）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）
A、∠ABD=∠C
B、∠ADB=∠ABC C 、AB CB
BD CD
=D、
AD AB
AB AC
=
（2）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有__________条。
（3）如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE 都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE 与BD交于点P，连接PC．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；
（3）求证：∠APC=∠BPC．题型六：相似三角形的应用
例6、一天，小青在校园内发现旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图）．如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高是_______米．题型七：图形位似的考查
例7、（1）如图，△ABO缩小后变为△A’B’O，其中A、B的对应点分别为A’、B’均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为________.
（2）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0），以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B 的横坐标是（）
A、
1
2
a
-B、
1
(1)
2
a
-+C、
1
(1)
2
a
--D、
1
(3)
2
a
-+
【堂上练习】
1、如果x-3y=0，且y ≠0，那么y x 等于（ ）A ．3 B ． 31 C ．-3 D ．3
1
-
2、若
32=-b b a ，则b a =（ ）A ．31 B ．32 C ．34 D ．3
5
3、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A 、BC=2DE
B 、△ADE ∽△AB
C C 、
AD AB
AE AC
=
D 、3ABC AD
E S S ∆∆=
4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠1=∠2.
（1）△ADB 和△ABE 相似吗？（2）小明说：“AE AD AB •=2
”，你同意吗？
5、如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M 处的运动员林丹把球从N 点击到了对方内的B 点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM=_________米．
【课后作业】
1、已知：如图，DE ∥BC ，AD : DB=1:2，则下列结论不正确的是（ ） A 、
1
2
DE BC = B 、
19ADE ABC ∆=∆的面积的面积 C 、
13ADE ABC ∆=∆的周长的周长 D 、1
8
ADE ∆=的面积四边形BCED 的面积
2、为了测量一池塘的宽DE ，在岸边找一点C ，测得CD=30m ，在DC 的延长线上找一点A ，测得AC=5m ，过点A 作AB ∥DE ，交EC 的延长线于B ，测得AB=6m ，则池塘的宽DE 为（ ）A 、25m B 、30m C 、36m D 、40m
3、 已知AB CD EF ∥∥， 那么下列结论正确的是（ ）
A 、
AD BC
DF CE
= B 、
BC DF CE AD = C 、CD BC
EF BE
= D 、
CE AD
EF AF
= 4、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，:2:3DE CE =，连结,,AE BE BD 且,AE BD 交于点F ，则S △DEF :S △ADF :S △ABF 等于（ ）
A 、4:10:25
B 、4:9:25
C 、2:3:5
D 、 2:5:25
5、东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm，东东的身高是156cm，在同一时刻爸爸的影长是88cm，那么东东的影长是cm．
6、△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．相应坐标是____________________。
7、如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
8、如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．。