高考志愿选择策略的简单数学建模

2004-2005第二学期数学模型课程设计

2005年6月20日－6月24日

题目高考志愿选择策略

（一）摘要：

大学是广大中学生心目中神圣的知识殿堂，对于每个拥有"大学梦"的中学毕业生来说，填报高考志愿是他们通向高等学府关键的一步。在填报高考志愿时，学生和家长往往要考虑各种因素来权衡利弊以做出最优决策，但面对错综复杂的情况在紧迫的时间里又很难做出正确的选择，而如果他们填报志愿不得当，又势必会对今后的发展有所影响，甚至于终生遗憾。因此在这里，我将综合学生在报考时最关心的几个因素，帮助他们进行定量分析，以便更合理地填报高考志愿。

问题的分析

对于填报高考志愿这一事件，要想做出最优决策，需要考虑的因素很多，而在这些因素中有些可以定量化，有些只有定性关系。为将半定性、半定量问题转化为定量问题，可以采用层次分析法。这种方法可以将各种有关因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为决策提供可比较的定量依据，所以针对填报高考志愿这一事件，我们将采取层次分析法。

关键词：层次分析法;权向量;一致性检验

题目8: 高考志愿选择策略

一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个书模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。

假设每个考生可填四个志愿。现在北京甲，上海乙，成都丙，重庆丁四所大学。考生

一. 建立模型 （一）构造成对比较阵

面临的决策问题是：要比较n 个因素x 1，x 2…，x n ，对目标A 的影响，我们要确定它们在A 中所占的比重，即这n 个因素对目标A 的相对重要性。我们用两两比较的方法将各因素重要性的定性部分数量化。

设有因素x 1，x 2…，x n 每次取两个因素x i x j ，用正数a ij 表示x i 与x j 的重要性之比。由全部比较结果得到矩阵A=（a ij ），称作成对比较阵A 。

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nm n n n n a a a a a a a a a ,,,,,,,212,2221112,11 显然aij=1/aji,aij>=0,1<=I,j<=n.

然后求出成对比较矩阵A 的最大特征值及其对应的特征向量

Y=(y 1,y 2,…,y n )T

， 定义标准化向量

T

n i i

n

n i i

n i i Y Y Y Y

Y Y Y ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎣⎡=∑∑∑===1121

1,,,' 。 用标准化向量Y′来反应 {}n x x x x ,,,21 = 这n 个因素对目标A 的相对重要性，Y′为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权值。 （二）权向量

对于已知的成对比较阵A 来说，有A•Y=Y ⋅max λ。由矩阵运算法则可知：当n 较大时，精确地计算成对比较A=（a ij ）的最大特征值max λ和特征向量比较麻烦，而又由于A 中的元素a ij 是重要性的比值，而重要性是人们根据目标推测出来的，精确度并不高，所以没有必要十分精确地计算出 max λ和特征向量。因此，可以采用下述方法来近似计算

max λ和相应的特征向量。

对成对比较阵A=（a ij ），令

),,,2,1(1

1

1n k a

a

U n

i n j ij

n

j kj

k ==

∑∑∑=== （*）

称U=（U 1，U 2，…，U n ）T 为X={x 1，x 2，…，x n }的权向量，它反映n 个因素对目标A 的相对重要性。经验证，U 与Y′误差很小，所以一般都用U 代替Y′。

对于公式（*），

对于一致性矩阵，,i

i

ij y x a =即满足a ij •a jk =a ik U k 可以简化为

,1

1

11∑∑∑∑

=====

=

n

i i

k

n

j j

n i i

n

j j

k k x

x x

x x x U

则

),,2,1(,,,1121

1n i x x x x

x x U T

n i i

n

n i i

n i i =⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎣⎡=∑∑∑===. X i 代表第i 项因素的重要性指标。 二. 实际计算

下面将调查此学生，根据他们所提供的情况，建立一致性矩阵，帮助他们填报志愿。 设四种因素学校声誉，生活环境，学习环境，可持续发展，分别为B 1，B 2，B3，B4 在四种因素中设有子因素C11，C12，C13，C14，C21，C22，C23，C31，C32，C41，C42。学生所要报考的四个志愿分别为K 1，K 2，K3，K4。

同时，设重要性指标为1～10，其中10为最重要的，1为最不重要的。

考查学生（目标A ）

(1)考虑B={B1，B2，

可以得出 U （x ）=（(2)考虑C={C11，C12，C13，C14，C21，C22，C23，C31，C32，C41，C42 }这三个因

可以得出 U （y ）=(022，0.198，0.24，0.133，0.061，0.064，0.032，0.132，

0.034，0.064，0.030)T

。

经调查学生所要选报的四个学校：北京甲，上海乙，成都丙，重庆丁，分别设这四个学校为 K1，K2，K3，K4。

(3)考虑对于因素C11，C12，C13，C14，C21，C22，C23，C31，C32，C41，C42。比较K1，K2，K3，K4的相对差异。