2014年北师大八年级数学下期中练习四(含答案)

合集下载

北师大版八年级数学下册第一二章提高练习(有答案)

北师大版八年级数学下册第一二章提高练习(有答案)

第一二章提高练习解答题1.作图题:在∠ABC内找一点P,使它到∠ABC的两边的距离相等,并且到点A、C的距离也相等.(写出作法,保留作图痕迹)2.a,b分别代表铁路和公路,点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场.现要建中转站O点,使O点到铁路、公路距离相等,且到两市场距离相等.请用尺规画出O点位置,不写作法,保留痕迹.3.如图,直线m表示一条公路,A、B表示两所大学.要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等,请在图上找出这点P.4.已知方程组的解满足x为非正数,y为负数.(1)求m的取值范围;(2)化简:|m﹣3|﹣|m+2|;(3)在m的取值范围内,当m为何整数时,不等式2mx+x<2m+1的解为x>1.5.解不等式﹣≥x﹣,并把它的解集在数轴上表示出来.6.解不等式组:并将解集在数轴上表示.7.已知,如图,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.求证:①BM=DM;②MN⊥BD.8.如图,△ABC中,∠BAC=110°,DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线,E、G分别为垂足.(1)求∠DAF的度数;(2)如果BC=10cm,求△DAF的周长.9.如图,已知直线y1=﹣x+1与x轴交于点A,与直线y2=﹣x交于点B.(1)求△AOB的面积;(2)求y1>y2时x的取值范围.10.已知y1=6﹣x,y2=2+7x,若①y1=2y2,求x的值;②当x取何值时,y1比y2小﹣3;③当x取何值时,y1与y2互为相反数?11.若关于x的不等式组恰有三个整数解,求实数a的取值范围.12.小明解不等式﹣≤1的过程如图.请指出他解答过程中错误步骤的序号,并写出正确的解答过程.13.数学课上,张老师举了下面的例题:例1等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数,(答案:40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.14.已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N.试说明:PM=PN.15.如图,△ABC中,CF⊥AB,垂足为F,M为BC的中点,E为AC上一点,且ME=MF.(1)求证:BE⊥AC;(2)若∠A=50°,求∠FME的度数.16.在△ABC中,MP,NO分别垂直平分AB,AC.(1)若BC=10cm,试求出△P AO的周长.(不用写过程,直接写出答案)(2)若AB=AC,∠BAC=110°,试求∠P AO的度数.(不用写过程,直接写出答案)(3)在(2)中,若无AB=AC的条件,你能求出∠P AO的度数吗?若能,请求出来;若不能,请说明理由.17.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于点E;(1)若B、C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:AB⊥AC;(2)若B、C在DE的两侧(如图所示),且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.18.如图,△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE.(1)若∠BAE=40°,求∠C的度数;(2)若△ABC周长13cm,AC=6cm,求DC长.19.某商店从厂家选购甲、乙两种商品,乙商品每件进价比甲商品每件进价少20元,若购进甲商品5件和乙商品4件共需要1000元;(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?(2)若甲种商品的售价为每件145元,乙种商品的售价为每件120元,该商店准备购进甲、乙两种商品共40件,且这两种商品全部售出后总利润不少于870元,则甲种商品至少可购进多少件?20.某电器超市销售每台进价分别为200元,170元的A、B联众型号的电风扇,表中是近两周的销售情况:销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元(进价、售价均保持不变,利润=销售收入﹣进货成本)(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价;(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台,求A种型号的电风扇最多能采购多少台?(3)在(2)的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.21.为加快“智慧校园”建设,某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机.经过市场调查发现,今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元,且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机.(1)求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元?(2)该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套,考虑物价因素,预计明年每套A 型一体机的价格比今年上涨25%,每套B型一体机的价格不变,若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用,那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划?22.某公司有A、B两种型号的客车,它们的载客量、每天的租金如表所示:A型号客车B型号客车载客量(人/辆)4530租金(元/辆)600450已知某中学计划租用A、B两种型号的客车共10辆,同时送七年级师生到沙家参加社会实践活动,已知该中学租车的总费用不超过5600元.(1)求最多能租用多少辆A型号客车?(2)若七年级的师生共有380人,请写出所有可能的租车方案.23.如图,已知直线y=kx+b交x轴于点A,交y轴于点B,直线y=2x﹣4交x轴于点D,与直线AB相交于点C(3,2).(1)根据图象,写出关于x的不等式2x﹣4>kx+b的解集;(2)若点A的坐标为(5,0),求直线AB的解析式;(3)在(2)的条件下,求四边形BODC的面积.24.某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机,若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机,共需要资金2800元;若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机,共需要资金4600元.(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元?(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售,预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共20台,请问有几种进货方案?请写出进货方案;(3)售出一部甲种型号手机,利润率为40%,乙型号手机的售价为1280元.为了促销,公司决定每售出一台乙型号手机,返还顾客现金m元,而甲型号手机售价不变,要使(2)中所有方案获利相同,求m的值.25.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(D不与B、C 重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.(1)当∠BDA=115°时,∠BAD=°;点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变(填“大”或“小”);(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,判断当∠BDA等于多少度时,△ADE是等腰三角形.26.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,若动点P从点C开始,按C→A →B→C的路径运动,且速度为每秒2cm,设运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,CP把△ABC的周长分成相等的两部分.(2)当t为何值时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,并求出此时CP的长;(3)当t为何值时,△BCP为等腰三角形?参考答案1.解:①以B为圆心,以任意长为半径画弧,分别交BC、AB于D、E两点;②分别以D、E为圆心,以大于DE为半径画圆,两圆相交于F点;③连接BF,则直线BF即为∠ABC的角平分线;⑤连接AC,分别以A、C为圆心,以大于AC为半径画圆,两圆相交于H,G两点;⑥连接GH交BF延长线于点P,则P点即为所求.2.解:①以A为圆心,以任意长为半径画圆,分别交铁路a和公路b于点B、C;②分别以B、C为圆心,以大于BC为半径画圆,两圆相交于点D,连接AD,则直线AD即为∠BAC的平分线③连接MN,分别以M、N为圆心,以大于MN为半径画圆,两圆相交于E、F,连接EF,则直线EF即为线段MN的垂直平分线;④直线EF与直线AD相交于点O,则点O即为所求点.同法点O′也满足条件.故答案为O或O′处.3.解:如图所示,点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点.4.解:(1)解原方程组得:,∵x≤0,y<0,∴,解得﹣2<m≤3;(2)|m﹣3|﹣|m+2|=3﹣m﹣m﹣2=1﹣2m;(3)解不等式2mx+x<2m+1得(2m+1)x<2m+1,∵x>1,∴2m+1<0,∴m<﹣,∴﹣2<m<﹣,∴m=﹣1.5.解:原不等式去分母得:2x﹣4﹣9x﹣15≥6x﹣4+2x,移项得:2x﹣9x﹣6x﹣2x≥﹣4+4+15,合并同类项的:﹣15x≥15,解得x≤﹣1.解集在数轴上表示为:6.解:,解①得x≥﹣4,解②得x<1,所以不等式组的解集为﹣4≤x<1,用数轴表示为.7.(1)证明:如图,连接BM、DM,∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,∴BM=DM=AC,∴BM=DM;(2)∵点N是BD的中点,BM=DM,∴MN⊥BD.8.解:(1)设∠B=x,∠C=y.∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴110°+∠B+∠C=180°,∴x+y=70°.∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G,∴DA=BD,F A=FC,∴∠EAD=∠B,∠F AC=∠C.∴∠DAF=∠BAC﹣(x+y)=110°﹣70°=40°.(2)∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G,∴DA=BD,F A=FC,∴△DAF的周长为:AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10(cm).9.解:(1)由y1=﹣x+1,可知当y=0时,x=2,∴点A的坐标是(2,0),∴AO=2,∵y1=﹣x+1与直线y2=﹣x交于点B,∴B点的坐标是(﹣1,1.5),∴△AOB的面积=×2×1.5=1.5;(2)由(1)可知交点B的坐标是(﹣1,1.5),由函数图象可知y1>y2时x>﹣1.10.解:①根据y1=2y2,∴6﹣x=2×2+14x,解得:x=.②由y1比y2小﹣3,∴y1=y2﹣(﹣3),∴6﹣x=2+7x﹣(﹣3),解得:x=.③由y1与y2互为相反数,∴y1+y2=0,∴6﹣x+7x+2=0,解得:x=.11.解:,由①得:x>﹣,由②得:x<2a,则不等式组的解集为:﹣<x<2a,∵不等式组只有3个整数解为0、1、2,∴2<2a≤3,∴1<a≤,故答案为:1<a≤.12.解:错误的是①②⑤,正确解答过程如下:去分母,得3(1+x)﹣2(2x+1)≤6,去括号,得3+3x﹣4x﹣2≤6,移项,得3x﹣4x≤6﹣3+2,合并同类项,得﹣x≤5,两边都除以﹣1,得x≥﹣5.13.解:(1)若∠A为顶角,则∠B=(180°﹣∠A)÷2=50°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°﹣2×80°=20°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=80°;故∠B=50°或20°或80°;(2)分两种情况:①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,∴∠B的度数只有一个;②当0<x<90时,若∠A为顶角,则∠B=()°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=(180﹣2x)°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=x°.当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x,即x≠60时,∠B有三个不同的度数.综上所述,可知当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.14.证明:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD,在△ABD和△CBD中,,∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB,∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.15.(1)证明:∵CF⊥AB,垂足为F,M为BC的中点,∴MF=BM=CM=BC,∵ME=MF,∴ME=BM=CM=BC,∴BE⊥AC;(2)解:∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°,∵ME=MF=BM=CM,∴∠BMF+∠CME=(180°﹣2∠ABC)+(180°﹣2∠ACB)=360°﹣2(∠ABC+∠ACB)=360°﹣2×130°=100°,在△MEF中,∠FME=180°﹣100°=80°.16.解:(1)∵MP,NO分别垂直平分AB,AC,∴AP=BP,AO=CO,∴△P AO的周长=AP+PO+AO=BO+PO+OC=BC,∵BC=1Ocm,∴△P AO的周长10cm;(2)∵AB=AC,∠BAC=110°,∴∠B=∠C=(180°﹣110°)=35°,∵MP,NO分别垂直平分AB,AC,∴AP=BP,AO=CO,∴∠BAP=∠B=35°,∠CAO=∠C=35°,∴∠P AO=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAO=110°﹣35°﹣35°=40°;(3)能.理由如下:∵∠BAC=110°,∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°,∵MP,NO分别垂直平分AB,AC,∴AP=BP,AO=CO,∴∠BAP=∠B,∠CAO=∠C,∴∠P AO=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAO=∠BAC﹣(∠B+∠C)=110°﹣70°=40°.17.(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°,在Rt△ABD和Rt△ACE中,∵,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠ACE.∵∠DAB+∠DBA=90°,∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∠BAC=180°﹣(∠BAD+∠CAE)=90°.∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC.理由如下:同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE.∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC,∵∠CAE+∠ECA=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,∴AB⊥AC.18.解:(1)∵AD垂直平分BE,EF垂直平分AC,∴AB=AE=EC,∴∠C=∠CAE,∵∠BAE=40°,∴∠AED=70°,∴∠C=∠AED=35°;(2)∵△ABC周长13cm,AC=6cm,∴AB+BE+EC=7cm,即2DE+2EC=7cm,∴DE+EC=DC=3.5cm.19.解:(1)设甲种商品每件的进价是x元,乙两种商品每件的进y元.,解得:,答:甲种商品每件的进价是120元,乙两种商品每件的进100元;(2)设甲种商品可购进a件.(145﹣120)a+(120﹣100)(40﹣a)≥870解得:a≥14,答:甲种商品至少可购进14件.20.解:(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元,依题意得:,解得:,答:A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元;(2)设采购A种型号电风扇a台,则采购B种型号电风扇(30﹣a)台.依题意得:200a+170(30﹣a)≤5400,解得:a≤10.答:超市最多采购A种型号电风扇10台时,采购金额不多于5400元;(3)依题意有:(250﹣200)a+(210﹣170)(30﹣a)=1400,解得:a=20,∵a≤10,∴在(2)的条件下超市不能实现利润1400元的目标.21.解:(1)设今年每套A型一体机的价格为x万元,每套B型一体机的价格为y万元,由题意可得:,解得:,答:今年每套A型的价格各是1.2万元、B型一体机的价格是1.8万元;(2)设该市明年购买A型一体机m套,则购买B型一体机(1100﹣m)套,由题意可得:1.8(1100﹣m)≥1.2(1+25%)m,解得:m≤600,设明年需投入W万元,W=1.2×(1+25%)m+1.8(1100﹣m)=﹣0.3m+1980,∵﹣0.3<0,∴W随m的增大而减小,∵m≤600,∴当m=600时,W有最小值﹣0.3×600+1980=1800,故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划.22.解:(1)设租用A型号客车x辆,则租用B型号客车(10﹣x)辆,依题意,得:600x+450(10﹣x)≤5600,解得:x≤7.又∵x为整数,∴x的最大值为7.答:最多能租用7辆A型号客车.(2)设租用A型号客车x辆,则租用B型号客车(10﹣x)辆,依题意,得:45x+30(10﹣x)≥380,解得:x≥5.又∵x为整数,且x≤7,∴x=6,7.∴有两种租车方案,方案一:组A型号客车6辆、B型号客车4辆;方案二:组A型号客车7辆、B型号客车3辆.23.解:(1)根据图象可得不等式2x﹣4>kx+b的解集为:x>3;(2)把点A(5,0),C(3,2)代入y=kx+b可得:,解得:,所以解析式为:y=﹣x+5;(3)把x=0代入y=﹣x+5得:y=5,所以点B(0,5),把y=0代入y=﹣x+5得:x=2,所以点A(5,0),把y=0代入y=2x﹣4得:x=2,所以点D(2,0),所以DA=3,所以四边形BODC的面积=.24.解:(1)设甲种型号手机每部进价为x元,乙种型号手机每部进价为y元,解得,答:甲型号手机每部进价为1000元,乙型号手机每部进价为800元;(2)设购进甲种型号手机a部,则购进乙种型号手机(20﹣a)部,17400≤1000a+800(20﹣a)≤18000,解得7≤a≤10,共有四种方案,方案一:购进甲手机7部、乙手机13部;方案二:购进甲手机8部、乙手机12部;方案三:购进甲手机9部、乙手机11部;方案四:购进甲手机10部、乙手机10部.(3)甲种型号手机每部利润为1000×40%=400,w=400a+(1280﹣800﹣m)(20﹣a)=(m﹣80)a+9600﹣20m当m=80时,w始终等于8000,取值与a无关.25.解:(1)∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠BDA=180°﹣40°﹣115°=25°;从图中可以得知,点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变小;故答案为:25°;小.(2∵∠EDC+∠EDA=∠DAB+∠B,∠B=∠EDA=40°,∴∠EDC=∠DAB.,∵∠B=∠C,∴当DC=AB=2时,△ABD≌△DCE,(3)∵AB=AC,∴∠B=∠C=40°,①当AD=AE时,∠ADE=∠AED=40°,∵∠AED>∠C,∴此时不符合;②当DA=DE时,即∠DAE=∠DEA=(180°﹣40°)=70°,∵∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°,∴∠BAD=100°﹣70°=30°;∴∠BDA=180°﹣30°﹣40°=110°;③当EA=ED时,∠ADE=∠DAE=40°,∴∠BAD=100°﹣40°=60°,∴∠BDA=180°﹣60°﹣40°=80°;∴当∠ADB=110°或80°时,△ADE是等腰三角形.26.解:(1)△ABC中,∵∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,∴AB=10cm,∴△ABC的周长=8+6+10=24cm,∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时,点P在AB上,此时CA+AP=BP+BC=12cm,∴t=12÷2=6(秒);(2)当点P在AB中点时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,此时CA+AP=8+5=13(cm),∴t=13÷2=6.5(秒),∴CP=AB=×10=5cm;(3)△BCP为等腰三角形时,分三种情况:①如果CP=CB,那么点P在AC上,CP=6cm,此时t=6÷2=3(秒);如果CP=CB,那么点P在AB上,CP=6cm,此时t=5.4(秒)(点P还可以在AB上,此时,作AB边上的高CD,利用等面积法求得CD=4.8,再利用勾股定理求得DP=3.6,所以BP=7.2,AP=2.8,所以t=(8+2.8)÷2=5.4(秒))②如果BC=BP,那么点P在AB上,BP=6cm,CA+AP=8+10﹣6=12(cm),此时t =12÷2=6(秒);③如果PB=PC,那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处,即在AB的中点,此时CA+AP=8+5=13(cm),t=13÷2=6.5(秒);综上可知,当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时,△BCP为等腰三角形.。

【精选】北师大版八年级下册数学第四章《因式分解》测试卷(含答案)

【精选】北师大版八年级下册数学第四章《因式分解》测试卷(含答案)

【精选】北师大版八年级下册数学第四章《因式分解》测试卷(含答案)一、选择题(每题3分,共30分)1.【教材P 94习题T 2改编】【2021·兴安盟】下列等式从左到右变形,属于因式分解的是( )A .(a +b )(a -b )=a 2-b 2B .x 2-2x +1=(x -1)2C .2a -1=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-1aD .x 2+6x +8=x (x +6)+82.下列四个多项式中,能因式分解的是( )A .a -1B .a 2+1C .x 2-4yD .x 2-4x +43.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )A .x 2+x +1B .x 2+2x -1C .x 2-1D .x 2-10x +254.分解因式-2m (n -p )2+6m 2(p -n )时,应提取的公因式为( )A .-2m 2(n -p )2B .2m (n -p )2C .-2m (n -p )D .-2m5.一次课堂练习,小红同学做了如下4道因式分解题,你认为小红做得不够完整的一题是( )A .a 3-a =a (a 2-1)B .m 2-2mn +n 2=(m -n )2C .x 2y -xy 2=xy (x -y )D .x 2-y 2=(x -y )(x +y )6.下列因式分解正确的是( ) A .3ax 2-6ax =3(ax 2-2ax )B .x 2+y 2=(-x +y )(-x -y )C .a 2+2ab -4b 2=(a +2b )2D .-ax 2+2ax -a =-a (x -1)27.如果x -2是多项式x 2-6x +m 的一个因式,那么m 的值为( )A .8B .6C .4D .28.【2023·绵阳南山双语学校模拟】从边长为a 的正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后,将其裁成四个相同的等腰梯形,如图①所示,然后拼成一个平行四边形,如图②所示,那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的为( )A .a 2-b 2=(a -b )2B .(a +b )2=a 2+2ab +b 2C .(a -b )2=a 2-2ab +b 2D .a 2-b 2=(a +b )(a -b )9.【教材P 105复习题T 12变式】已知a ,b ,c 为△ABC 的三边长,且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,则△ABC 的形状为( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形10.下列各数中,可以写成两个连续偶数的平方差的是( )A .500B .520C .250D .205二、填空题(每题3分,共24分)11.分解因式:3m 3+6m 2=____________.12.把多项式()1+x ()1-x -()x -1提取公因式x -1后,余下的部分是__________.13.【2022·苏州】已知x +y =4,x -y =6,则x 2-y 2=________.14.一个长方体的体积为x 2y -9y ,长和宽是关于x 的一次二项式(一次项系数为1),则长是________,宽是________.15.【教材P 105复习题T 13改编】若关于x 的二次三项式x 2+ax +14是完全平方式,则a 的值是__________.16.已知a ,b 满足|a +2|+b -4=0,分解因式:(x 2+y 2)-(axy +b )=________________.17.在对多项式x 2+ax +b 进行因式分解时,小明看错了b ,分解的结果是(x -10)(x +2);小亮看错了a ,分解的结果是(x -8)(x -2),则多项式x 2+ax +b 进行因式分解的正确结果为____________.18.【规律探索题】观察下列各式:x 2-1=(x -1)(x +1),x 3-1=(x -1)(x 2+x +1),x 4-1=(x -1)(x 3+x 2+x +1),根据前面各式的规律可猜想:x n +1-1=_________________________________________.三、解答题(19题16分,20,24题每题12分,21,22题每题8分,23题10分,共66分)19.【教材P104复习题T2改编】把下列各式因式分解:(1)4x2-64;(2)a3b+2a2b2+ab3;(3)(a-b)2-2(b-a)+1;(4)x2-2xy+y2-16z2.20.【数学运算】利用因式分解计算:(1)57×99+44×99-99;(2)2 0242-4 048×2 023+2 0232;(3)9×1.22-16×1.42.21.【教材P105复习题T6变式】已知x+y=4,x2+y2=14,求x3y-2x2y2+xy3的值.22.【教材P105复习题T5变式】若一个两位正整数m的个位数字为8,求证:m2-64一定为20的倍数.23.【阅读理解题】阅读下列材料:配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和,巧妙地运用配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式进行因式分解,还能结合非负数的意义来解决一些问题.如:将x2+2x-3因式分解.解:原式=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).(1)请你仿照以上方法,完成因式分解:a2+4ab-5b2;(2)若m2+2n2+6m-4n+11=0,求m+n的值.24.【直观想象】观察猜想如图,大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的,请根据此图填空:x2+(p+q)x +pq=x2+px+qx+pq=(________)(________).说理验证事实上,我们也可以用如下方法进行变形:x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=_______________=(________)(________).于是,我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解.尝试运用例题:把x2+3x+2因式分解.解:x2+3x+2=x2+(2+1)x+2×1=(x+2)(x+1).请利用上述方法将下列多项式因式分解:。

北师大版八年级下册数学期中试卷和答案

北师大版八年级下册数学期中试卷和答案

120011~2012学年北师大版第二学期八年级期中数学试题及答案 姓名 班级 考号 得分:(考试时间:100分钟 满分:100分)一. 填空题(每空2分,共30分)1. 用科学记数法表示0.000043为 。

2.计算:计算()=⎪⎭⎫⎝⎛+--1311 ; 232()3y x=__________; a b b b a a -+-= ; yx xx y xy x 22+⋅+= 。

3.当x 时,分式51-x 有意义;当x 时,分式11x 2+-x 的值为零。

4.反比例函数xm y 1-=的图象在第一、三象限,则m 的取值范围是 ;在每一象限内y 随x 的增大而 。

5. 如果反比例函数x my =过A (2,-3),则m= 。

6. 设反比例函数y=3mx-的图象上有两点A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2),且当x 1<0<x 2时,有y 1<y 2,则m 的取值范围是 . 7.如图由于台风的影响,一棵树在离地面m 6处折断,树顶落在离树干底部m8处,则这棵树在折断前(不包括树根)长度是 m.8. 三角形的两边长分别为3和5,要使这个三角形是直角三角 A D形,则第三条边长是 .9. 如图若正方形ABCD 的边长是4,BE=1,在AC 上找一点P E使PE+PB 的值最小,则最小值为 B C 10.如图,公路PQ 和公路MN 交于点P,且∠NPQ=30°,公路PQ 上有一所学校A,AP=160米,若有一拖拉机沿MN 方向以18米∕秒的速度行驶并对学校产生影响,则造成影响的时间为 秒。

b 212-3-210-13A 二.单项选择题(每小题3分,共18分)11.在式子1a 、2xy π、2334a b c 、56x +、78x y+、109x y +中,分式的个数有( )A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个 12.下面正确的命题中,其逆命题不成立的是( )A.同旁内角互补,两直线平行B.全等三角形的对应边相等C.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等D.对顶角相等13.下列各组数中,以a 、b 、c 为边的三角形不是直角三角形的是( )A . 1.5,2,3a b c ===B . 7,24,25a b c ===C . 6,8,10a b c === D. 3,4,5a b c === 14.在同一直角坐标系中,函数y=kx+k 与(0)ky k x=≠的图像大致是( )15.如图所示:数轴上点A 所表示的数为a ,则a 的值是( )A 5.55-1 D 5 16.如图,已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C /处,BC /交AD 于E ,AD =8,AB =4,则DE 的长为( ).A .3B .4C .5D .6三、解答题:17.(8分)计算:(1)x y y x y x ---22 (2)22111a a aa a ++---318.(6分)先化简代数式1121112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+a a a a a a ,然后选取一个使原式有意义的a 的值代入求值.19.(8分)解方程: (1)1233x x x=+-- (2)482222-=-+-+x x x x x20.(6分)已知:如图,四边形ABCD ,AB=8,BC=6,CD=26,AD=24,且AB ⊥BC 。

北京四中2013-2014学年度八年级第二学期数学期中测验答案

北京四中2013-2014学年度八年级第二学期数学期中测验答案

FEB DAC数学试卷参考答案(考试时间为100分钟,A 卷满分为100分,B 卷满分为20分)(A 卷)一.精心选一选: (本题共24分,每小题3分)1. B2.C3. B4. C5. C6.D7.A8.A二、填空题(共8个小题,每小题3分,共24分) 9.2≥x 10.y =2x +211.x >-312.k <113.(2,1)14. (4,0)15. 115.216.2,212n -三、解答题:(共52分) 17.51+18.已知:如图,四边形ABCD 中,A B ∥CD ,AB =CD ,E 在CB 延长线上,且EB =BC ,DE 交AB 于点F . 求证:AF =FB .,.//.//.//...AE DB AB CD AB CD ABCD AD BC AD BC EB BC E CB AD EB AD EB ADBE AF FB ADF BEF =∴∴==∴=∴∴=∆∆证明:连接,,四边形是平行四边形,,在的延长线上,,四边形是平行四边形(注:最后两句可调整为 证明≌)19.解:(1)∵点C (m ,4)在直线43y x =上,∴443m =,解得3m =.∵点A (3-,0)与C (3,4)在直线(0)y kx b k =+≠上,∴03,43.k b k b =-+⎧⎨=+⎩解得2,32.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴一次函数的解析式为223y x =+. (2) 点D 的坐标为(2-,5)或(5-,3). 20. 解:方案1中菱形的边长为5;方案2中菱形的边长为21.解:(1)由图可知,体育馆和小明家的距离为OA =3600米.因为父亲骑自行车的速度是小明步行速度的3倍,所以相遇时小明走的路程为13600900, 900. (15,900).4B y B ⨯==∴米即 .(0,3600)(15,900),360018900153600 183600.AB y kx b AB A B b k x b b AB y x =+==-⎧⎧∴⎨⎨=+=⎩⎩∴=-+设直线的解析式为直线经过点和 解得直线的解析式为(2)小明可提前5分钟到体育馆,理由如下:方案 2方案 10, 1836000, 20.2025,.y x x =-+==<∴小明到达体育馆,即则解得小明能在比赛前到达体育馆22.解:(1)D (2,2),E (0,1)(2)DH ⊥OC 于点H ,∴∠DHO =90°∵矩形ABCD 中, ∠BAO =∠AOC =90°, ∴四边形AOHD 是矩形.∴∠ADH =90°.∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°.∴∠1=∠3.∵AD =OA =2,∴四边形AOHD 是正方形. ∴△F AD ≌△GHD . ∴F A =GH.∴设点G (x ,0), ∴OG =x ,GH =2-x .∵EF =2OG =2x ,AE =1, ∴2-x =2x -1,∴x =1.∴G (1,0)23.解:ABPDC(1)作图正确给1分.(2)PP '与BC 的位置关系为:垂直. 证明:∵BP '∥PA ,CP '∥PD ∴四边形PBP C '是平行四边形.∵点P 是矩形ABCD 对角线的交点, ∴11,,22BP BD CP AC AC BD ===. ∴BP PC =.∴四边形PBP C '是菱形,∴PP '⊥BC .(3)证法一:过点B 作AP 的平行线BP ',过点C 作PD 的平行线交BP '于点P ',连结PP ',交BC 于点M .图1AB∴180,180PAB ABP PDC DCP ''∠+∠=∠+∠=,以PB BP P C CP ''、、、为边构成四边形,且以BC PP '、为对角线. ∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ,AD =BC ,∠ABC =90°. ∴180180DAB ABC ADC DCB ∠+∠=∠+∠=,. ∴∠1 = ∠2,∠3 = ∠4.∴△APD ≌△BP C '(ASA ). ∴AP BP '=.∴四边形ABP P '是平行四边形. ∴AB ∥PP ',AB PP '=,AP BP '=. 同理可证:PD CP '=. ∴90PMC ABC ∠=∠=.∴PP BC M '⊥于.∴以AP 、BP 、CP 、DP 为边能构成四边形,该四边形的两条对角线分别等于线段AB 和BC ,且互相垂直.证法二:过点P 作AB 的平行线PN , 在PN 上截取PPˊ=AB 交BC 于点M . 连接BP ˊ、CP ˊ.∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠ABC =90° , AB ∥CD , AB=CD . ∴PPˊ∥CD , PPˊ=CD .∴四边形BPˊCP 与PDCPˊ都是平行四边形. ∴,.BP AP P C PD ''==∴四边形BP CP '的四条边分别等于AP 、BP CP DP 、、,四边形BP CP '的一条对角线就是BC 本身,另一条对角线PP AB '=. 又PP '∥,AB.PP BC '∴⊥即四边形BP CP '的两条对角线互相垂直.∴以AP 、BP 、CP 、DP 为边能构成四边形,该四边形的两条对角线分别等于线段AB 和BC ,且互相垂直.(B 卷)1. 32. 关于x 方程1202x x b --+=有2个不同的解,则b 取值范围为. b <1P4321M A BP 'D C3. 连结BM 、BN 、BD ,设AC 、BD 交于点O ,易证四边形BMDN 为平行四边形,进而可证AC 、BD 互相平分,得证.4. 解:(1)设直线OM 的函数关系式为)1,(),1,(,bb R a a P kx y =.则),1,(a b M ∴ab b a k 11=÷=.∴直线OM 的函数关系式为x aby 1=. (2)∵Q 的坐标)1,(b a 满足x ab y 1=,∴点Q 在直线OM 上. ∵四边形PQRM 是矩形,∴SP=SQ=SR=SM=21PR .∴∠SQR =∠SRQ .∵PR =2OP ,∴PS=OP=21PR .∴∠POS =∠PSO .∵∠PSQ 是△SQR 的一个外角,∴∠PSQ =2∠SQR .∴∠POS =2∠SQR . ∵QR ∥OB ,∴∠SOB =∠SQR . ∴∠POS =2∠SOB .∴∠SOB =31∠AOB .。

北师大版初中数学八年级下册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料):第四章 因式分解(提高)

北师大版初中数学八年级下册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料):第四章 因式分解(提高)

第四章 因式分解(提高)提公因式法(提高)【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系;2. 能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释:(1)因式分解只针对多项式,而不是针对单项式,是对这个多项式的整体,而不是部分,因式分解的结果只能是整式的积的形式.(2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.(3)因式分解和整式乘法是互逆的运算,二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形,而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式,那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释:(1)公因式必须是每一项中都含有的因式.(2)公因式可以是一个数,也可以是一个字母,还可以是一个多项式. (3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分:①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母,指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式,另一个因式是,即,而正好是除以所得的商,这种因式分解的方法叫提公因式法. 要点诠释:(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律,即.(2)用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.(3)当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“—”号,使括号内的第一项的系数变为正数,同时多项式的各项都要变号.(4)用提公因式法分解因式时,若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零,则提取公因式后,该项变为:“+1”或“-1”,不要把该项漏掉,或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、下列由左到右的变形,哪些是因式分解?哪些不是?请说明理由.m m(1);(2); (3);(4); (5).【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式,从对象和结果两方面去判断. 【答案与解析】解:因为(1)(2)的右边都不是积的形式,所以它们都不是因式分解;(4)的左边不是多项式而是一个单项式,(5)中的、都不是整式,所以(4)(5)也不是因式分解, 只有(3)的左边是多项式,右边是整式的积的形式,所以只有(3)是因式分解. 【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式,所以等式的左边必须是多项式,将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解.等式的右边必须是整式因式积的形式. 举一反三:【变式】下列变形是因式分解的是 ( )A. B.C. D.【答案】B ;类型二、提公因式法分解因式2、(2019春•山亭区期中)把下列各式分解因式:(1)2m (m ﹣n )2﹣8m 2(n ﹣m )(2)﹣8a 2b +12ab 2﹣4a 3b 3. 【思路点拨】(1)直接提取公因式2m (m ﹣n ),进而分解因式得出答案; (2)直接提取公因式﹣4ab ,进而分解因式得出答案. 【答案与解析】解:(1)2m (m ﹣n )2﹣8m 2(n ﹣m )=2m (m ﹣n )[(m ﹣n )+4m ] =2m (m ﹣n )(5m ﹣n );()a x y ax ay +=+2221(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-24(2)(2)ax a a x x -=+-221122ab a b =222112a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭21a 1a243(2)(2)3a a a a a -+=-++2244(2)x x x ++=+11(1)x x x+=+2(1)(1)1x x x +-=-(2)﹣8a 2b +12ab 2﹣4a 3b 3=﹣4ab (2a ﹣3b +a 2b 2).【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键. 举一反三:【变式】(2019春•濉溪县期末)下列分解因式结果正确的是( ) A.a b+7ab ﹣b=b (a +7a ) B.3x y ﹣3xy+6y=3y (x ﹣x ﹣2) C.8xyz ﹣6x y =2xyz (4﹣3xy ) D.﹣2a +4ab ﹣6ac=﹣2a (a ﹣2b+3c ) 【答案】D.解:A 、原式=b (a +7a+1),错误;B 、原式=3y (x ﹣x+2),错误;C 、原式=2xy (4z ﹣3xy ),错误;D 、原式=﹣2a (a ﹣2b+3c ),正确. 故选D .类型三、提公因式法分解因式的应用3、若、、为的三边长,且,则按边分类,应是什么三角形? 【答案与解析】解:∵∴当时,等式成立,当时,原式变为,得出, ∴∴是等腰三角形.【总结升华】将原式分解因式,就可以得出三边之间的关系,从而判定三角形的类型. 4、对任意自然数(>0),是30的倍数,请你判定一下这个说法的正确性,并说说理由. 【答案与解析】 解:∵为大于0的自然数,∴为偶数,15×为30的倍数, 即是30的倍数.222222222a b c ABC ∆()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-ABC ∆()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---()()()()a b b a c a a b --=--a b =a b ≠a b a c -=-b c =a b b c ==或ABC ∆n n 422n n +-()44422222221152n n n n n n +-=⨯-=-=⨯n 2n2n422n n +-【总结升华】判断是否为30的倍数,只需要把分解因式,看分解后有没有能够整除30的因式. 举一反三: 【变式】说明能被7整除.【答案】 解:所以能被7整除.5、(2019春•湘潭县期末)已知xy=﹣3,满足x+y=2,求代数式x y+xy 的值. 【思路点拨】将原式提取公因式xy ,进而将已知代入求出结果即可. 【答案与解析】解:∵xy=—3,x+y=2,∴x y+xy =xy (x+y )=﹣3×2=﹣6.【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键. 【巩固练习】 一.选择题1. (2019春•北京期末)把多项式2x 3y ﹣x 2y 2﹣6x 2y 分解因式时,应提取的公因式为( )A .x 2yB .xy 2C .2x 3yD .6x 2y2. 观察下列各式:①;②;③;④;⑤;⑥.其中可以用提公因式法分解因式的有()A .①②⑤B .②④⑤C .②④⑥D .①②⑤⑥ 3. 下列各式中,运用提取公因式分解因式正确的是( )A. B.C. D.4. 分解因式的结果是( )A. B.C. D.422n n +-422n n +-200199198343103-⨯+⨯200199198343103-⨯+⨯()198219833431073=-⨯+=⨯200199198343103-⨯+⨯2222abx adx -2226x y xy +328421m m m -++3223a a b ab b ++-()()()22256p q x y x p q p q +-+++()()()24ax y x y b y x +--+()()()()22222a x a a x -+-=-+()32222x x x x x x ++=+()()()2x x y y x y x y ---=-()2313x x x x --=--2322212n n n x x x +++-+()22nx xx -+()2322n x x x -+()2122n xx x +-+()322n x x x -+5. (2019秋•西城区校级期中)把﹣6x y ﹣3x y ﹣8x y 因式分解时,应提取公因式( ) A.﹣3x y B.-2x yC.x yD.﹣x y6. 计算的结果是( )A. B.-1 C. D.-2二.填空题7. 把下列各式因式分解:(1)__________.(2)_________________.8. 在空白处填出适当的式子: (1);(2)9. 因式分解:______________.10. (2019•黔南州)若ab=2,a ﹣b=﹣1,则代数式a 2b ﹣ab 2的值等于___________. 11. .12. (2019春•深圳校级期中)若m ﹣n=3,mn=﹣2,则2m 2n ﹣2mn 2+1的值为_____________.三.解答题 13.已知:,求的值. 14. (2019春•北京校级月考)先阅读第(1)题的解答过程,然后再解第(2)题.(1)已知多项式2x 3﹣x 2+m 有一个因式是2x+1,求m 的值.解法一:设2x 3﹣x 2+m=(2x+1)(x 2+ax+b ),则:2x 3﹣x 2+m=2x 3+(2a+1)x 2+(a+2b )x+b比较系数得,解得,∴解法二:设2x 3﹣x 2+m=A•(2x+1)(A 为整式) 由于上式为恒等式,为方便计算了取,32222322222222()2011201022+-2010220102-2168a b ab --=()()2232xx y x y x ---=()()()()111x y y x --=-+()()238423279ab b c a bc +=+()()()x b c a y b c a a b c +--+----=2011201222_________________-=213x x +=43261510x x x ++2×=0,故 .(2)已知x 4+mx 3+nx ﹣16有因式(x ﹣1)和(x ﹣2),求m 、n 的值.15. 先分解因式(1)、(2)、(3),再解答后面问题; (1)1++(1+); (2)1++(1+)+;(3)1++(1+)++ 问题:.先探索上述分解因式的规律,然后写出:1++(1+)+++…+分解因式的结果是_______________..请按上述方法分解因式:1++(1+)+++…+(为正整数). 【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】A ;【解析】2x 3y ﹣x 2y 2﹣6x 2y=x 2y (2x ﹣y ﹣6). 2. 【答案】D【解析】①;②;⑤;⑥.所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥.3. 【答案】C ;【解析】;.4. 【答案】C ;5. 【答案】D .【解析】解:﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3=﹣x 2y 2(6x+3+8y ),因此﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3的公因式是﹣x 2y 2. 故选D .6. 【答案】C ; 【解析】.二.填空题7. 【答案】(1);(2)a a a a a a a ()21a +a a a a ()21a +a ()31a +a a a a a ()21a +a ()31a +()20121a +b a a a a ()21a +a ()31a +()1na +n ()abx adx axb d -=-()222623x y xy xy x y +=+()()()()()222225656p q x y xp q p q p q x y x p q ⎡⎤+-+++=+-++⎣⎦()()()()()2244ax y x y b y x x y a x y b ⎡⎤+--+=+--⎣⎦()()()()22222a x a a x -+-=--()322221x x x x x x ++=++()()()()2011201020102010201020102010222222222+-=+-⨯-=+-⨯=-()821ab a -+()()221xx y x --【解析】.8. 【答案】(1);(2); 【解析】. 9. 【答案】;【解析】 .10.【答案】-2;【解析】∵ab=2,a ﹣b=﹣1,∴a 2b ﹣ab 2=ab (a ﹣b )=2×(﹣1)=﹣2. 11.【答案】;【解析】.12.【答案】-11;【解析】解:∵2m 2n ﹣2mn 2+1=2mn (m ﹣n )+1将m ﹣n=3,mn=﹣2代入得: 原式=2mn (m ﹣n )+1 =2×(﹣2)×3+1 =﹣11.故答案为:﹣11.三.解答题 13.【解析】解:14.【解析】()()()()()()22222323221xx y x y x x x y x x y x x y x ---=---=--1y -2427b ()()()()()()111111y x x y y x y y -+=-+-=---()()1x y bc a -++-()()()x b c a y b c a a b c +--+----()()()x b c a y b c a b c a =+--+-++-()()1x y b c a =-++-20112-()201120122011201120112011222222122-=-⨯=-=-43261510x x x ++()()()43322222222226699691169333331313x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++=++++=⨯+⨯+=+=+=⨯=解:设x 4+mx 3+nx ﹣16=A (x ﹣1)(x ﹣2)(A 为整式),取x=1,得1+m+n ﹣16=0①, 取x=2,得16+8m+2n ﹣16=0②, 由①、②解得m=﹣5,n=20. 15.【解析】解:(1)原式=;(2)原式=;(3)原式=.结果为:,.原式= = ==……=平方差公式(提高) 知识讲解【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式; 3.发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积,即:要点诠释:(1)逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.(2)平方差公式的特点:左边是两个数(整式)的平方,且符号相反,右边是两个数(整式)的和与这两个数(整式)的差的积.()()()2111a a a ++=+()()()()()()31111111a a a a a a a a ++++=+++=+⎡⎤⎣⎦()()()21111a a a a a a ⎡⎤++++++⎣⎦()()()1111a a a a a =+++++⎡⎤⎣⎦()()()2111a a a =+++()41a =+a ()20131a +b ()()()1111......1n a a a a a a -⎡⎤+++++++⎣⎦()()()()21111......1n a a a a a a a -⎡⎤++++++++⎣⎦()()()33111......1n a a a a a a -⎡⎤+++++++⎣⎦()()()()111111n n a a a a -++++=+()()22a b a b a b -=+-(3)套用公式时要注意字母和的广泛意义,、可以是字母,也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤(1)如果多项式的各项有公因式,先提取公因式; (2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法;(3)如用上述方法也不能分解,那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到). 要点三、因式分解注意事项(1)因式分解的对象是多项式; (2)最终把多项式化成乘积形式;(3)结果要彻底,即分解到不能再分解为止. 【典型例题】类型一、公式法——平方差公式1、分解因式:(1); (2); (3).【思路点拨】(1)把看做整体,变形为后分解.(2)可写成,可写成,和分别相当于公式里的和.(3)把、看作一个整体进行分解.【答案与解析】解:(1). (2).(3).【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义,可以是字母,也可以是单项式或多项式. 举一反三:【变式】将下列各式分解因式:a b a b 2()4x y +-2216()25()a b a b --+22(2)(21)x x +--x y +22()2x y +-216()a b -2[4()]a b -225()a b +2[5()]a b +4()a b -5()a b +a b (2)x +(21)x -222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+(9)(9)a b a b =+--(9)(9)a b a b =-++22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-(1); (2)(3); (4);【答案】解:(1)原式(2)原式= = (3)原式 (4)原式2、分解因式: (1); (2); (3); (4) 【答案与解析】 解:(1). (2).(3). (4). 【总结升华】(1)如果多项式的各项中含有公因式,那么先提取公因式,再运用平方差公式分解.(2)因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止. 举一反三:【变式】(2019•杭州模拟)先化简,再求值:(2a+3b )2﹣(2a ﹣3b )2,其中a=.【答案】解:原式=(2a+3b+2a ﹣3b )(2a+3b ﹣2a+3b )=4a×6b=24ab ,当a=,即ab=时,()()22259a b a b +--()22234x y x --33x y xy -+32436x xy -()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++()()232232x y x x y x -+--()343y x y --()()()22xy x y xy x y x y =--=-+-()()()2249433x x yx x y x y =-=+-2128x -+33a b ab -516x x -2(1)(1)a b a -+-221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-原式=24ab=4.类型二、平方差公式的应用3、(2019春•新化县期末)在日常生活中,如取款、上网需要密码,有一种因式分解法产生密码,例如x4﹣y4=(x﹣y)(x+y)(x2+y2),当x=9,y=9时,x﹣y=0,x+y=18,x2+y2=162,则密码018162.对于多项式4x3﹣xy2,取x=10,y=10,用上述方法产生密码是什么?【思路点拨】首先将多项式4x3﹣xy2进行因式分解,得到4x3﹣xy2=x(2x+y)(2x﹣y),然后把x=10,y=10代入,分别计算出2x+y=及2x﹣y的值,从而得出密码.【答案与解析】解:原式=x(4x2﹣y2)=x(2x+y)(2x﹣y),当x=10,y=10时,x=10,2x+y=30,2x﹣y=10,故密码为103010或101030或301010.【总结升华】本题是中考中的新题型,考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力,读懂密码产生的方法是关键.4、(2019春•成武县期末)阅读下面的计算过程:(2+1)(22+1)(24+1)=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22﹣1)(22+1)(24+1)=(24﹣1)(24+1)=(28﹣1).根据上式的计算方法,请计算:(1)(2)(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)﹣.【思路点拨】(1)原式变形后,利用平方差公式化简,计算即可得到结果;(2)原式变形后,利用平方差公式化简,计算即可得到结果.【答案与解析】解:(1)原式=2(1﹣)(1+)(1+)(1+)…(1+)=2(1﹣)(1+)(1+)…(1+)=2(1﹣)(1+)…(1+)=2(1﹣)=;(2)原式=(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)﹣=(32﹣1)(32+1)(34+1)…(332+1)﹣=(364﹣1)﹣=﹣. 【总结升华】此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.【巩固练习】一.选择题1.(2019•百色)分解因式:16﹣x 2=( )A .(4﹣x )(4+x )B .(x ﹣4)(x +4)C .(8+x )(8﹣x )D .(4﹣x )22. (2019春•东平县校级期末)下列多项式相乘,不能用平方差公式的是( )A.(﹣2y ﹣x )(x+2y )B.(x ﹣2y )(﹣x ﹣2y )C.(x ﹣2y )(2y+x )D.(2y ﹣x )(﹣x ﹣2y )3. 下列因式分解正确的是( ).A. B.C. D. 4. 下列各式,其中因式分解正确的是( )①;② ③④A.1个B.2个C.3个D.4个5. 若能被60或70之间的两个整数所整除,这两个数应当是( )A .61,63B .61,65C .63,65D .63,676. 乘积应等于( ) ()()2292323a b a b a b -+=+-()()5422228199a ab a a b a b -=+-()()2112121222a a a -=+-()()22436223x y x y x y x y ---=-+-22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2933x x x -=-+()()()()2212121m n m n m n +--+=+-()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++4821-22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A .B .C .D . 二.填空题 7. ; . 8. 若,将分解因式为__________. 9. 分解因式:_________. 10. 若,则是_________.11. (2019春•深圳期末)若A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1,则A 的末位数字是 .12.(2019•烟台)已知|x ﹣y +2|+=0,则x 2﹣y 2的值为 . 三.解答题13. 用简便方法计算下列各式:(1) -1998×2000 (2) (3)14.(2019秋•蓟县期末)已知(2a+2b+3)(2a+2b ﹣3)=72,求a+b 的值.15.设,,……,(为大于0的自然数) (1)探究是否为8的倍数,并用文字语言表述你所获得的结论;(2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数”.试找出,,……,这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数,并指出当满足什么条件时,为完全平方数.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ;【解析】16﹣x 2=(4﹣x )(4+x ).2. 【答案】A ;【解析】解:A 、两项都是互为相反数,不符合平方差公式.B 、C 、D 中的两项都是一项完全相同,另一项互为相反数,符合平方差公式.故选:A .3. 【答案】C ;【解析】; ; 5121211202311_________m m a a +--=()2211x x x --+=)2|4|50m -+=22mx ny -2121()()=m m p q q p +--+-()()()216422n x x x x -=++-n 219992253566465⨯-⨯222222221009998979695......21-+-+-++-22131a =-22253a =-()()222121n a n n =+--n n a 1a 2a n a n n a ()()22933a b b a b a -+=+-()()()()()542222228199933a ab a a ba b a a b a b a b -=+-=++-. 4. 【答案】C ;【解析】①②③正确. .5. 【答案】C ; 【解析】6. 【答案】C ;【解析】 二.填空题7. 【答案】;【解析】.8. 【答案】;【解析】. 9. 【答案】;【解析】原式=. 10.【答案】4;【解析】.11.【答案】6;【解析】解:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1,=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)+1,()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++--()()53232a b c a b c =+++-()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212*********=+++-=++⨯⨯22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111......11112233991010314253108119 (223344991010)1111121020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=()()111m a a a -+-()()211x x -+()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+()()2525x y x y +-4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-21()(1)(1)m p q p q p q ---+--()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦()()()()()22244224416x x x x x x ++-=+-=-=(24﹣1)(24+1)(28+1)+1,=(28﹣1)(28+1)+1,=216﹣1+1,=216因为216的末位数字是6,所以原式末位数字是6.12. 【答案】-4;【解析】∵|x ﹣y +2|+=0,∴x ﹣y +2=0,x +y ﹣2=0,∴x ﹣y=﹣2,x +y=2, ∴x 2﹣y 2=(x ﹣y )(x +y )=﹣4.三.解答题13.【解析】解:(1)-1998×2000 = (2)(3)14.【解析】解:已知等式变形得:[2(a+b )+3][2(a+b )﹣3]=72,即4(a+b )2﹣9=72,整理得:(a+b )2=,开方得:a+b=±.15.【解析】解:(1)又为非零的自然数,∴是8的倍数.这个结论用文字语言表述为:两个连续奇数的平方差是8的倍数.(2)这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16,64,144,256. 为一个完全平方数的2倍时,为完全平方数.21999()()222199919991199911999199911--+=-+=()2222535664656535465⨯-⨯=-()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯=222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (215050)=+-++-+++-=++++++=()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+=n n a n n a完全平方公式(提高)【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式;3.发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(差)的平方. 即,. 形如,的式子叫做完全平方式. 要点诠释:(1)逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式;(2)完全平方公式的特点:左边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍. 右边是两数的和(或差)的平方.(3)完全平方公式有两个,二者不能互相代替,注意二者的使用条件.(4)套用公式时要注意字母和的广泛意义,、可以是字母,也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤(1)如果多项式的各项有公因式,先提取公因式;(2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法;(3)如用上述方法也不能分解,那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到). 要点三、因式分解注意事项(1)因式分解的对象是多项式;(2)最终把多项式化成乘积形式;(3)结果要彻底,即分解到不能再分解为止.【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式1、分解因式:(1); (2);(3); (4).【答案与解析】解:(1).(2).(3)()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b 22363ax axy ay -+-42242a a b b -+2222216(4)x y x y -+4224816a a b b -+222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y -+-=--+=--42242222222()[()()]()()a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-2222216(4)x y x y -+.(4).【总结升华】(1)提公因式法是因式分解的首选法.多项式中各项若有公因式,一定要先提公因式,常用思路是:①提公因式法;②运用公式法.(2)因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止.举一反三:【变式】分解因式:(1).(2).【答案】解:(1)原式 .(2)原式 .2、(2019•大庆)已知a+b=3,ab=2,求代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3.【思路点拨】先提公因式ab ,再根据完全平方公式进行二次分解,然后带入数据进行计算即可得解.【答案与解析】解:a 3b+2a 2b 2+ab 3= ab (a 2+2ab+b 2)= ab (a+b )2将a+b=3,ab=2代入得,ab (a+b )2=2×32=18.故代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3的值是18.【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用,对于式子较复杂的题目不要轻易去括号. 举一反三:【变式】若,是整数,求证:是一个完全平方数.【答案】解:22222222(4)(4)(44)(44)xy x y xy x y xy x y =-+=++--22222(2)[(44)](2)(2)x y x xy y x y x y =+--+=-+-4224222222816(4)[(2)(2)](2)(2)a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-224()12()()9()x a x a x b x b ++++++22224()4()()x y x y x y +--+-22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++⋅+⋅+++22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++22[2()]22()()()x y x y x y x y =+-⋅+⋅-+-22[2()()](3)x y x y x y =+--=+x y ()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令∴上式即 类型二、配方法分解因式3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题,如:那该添什么项就可以配成完全平方公式呢?我们先考虑二次项系数为1的情况:如添上什么就可以成为完全平方式? 因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢?当然是转化为二次项系数为1了.分解因式:.【思路点拨】提出二次项的系数3,转化为二次项系数为1来解决.【答案与解析】解:如 2254x xy y u ++=2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++()()()()()()222282118191313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-2x bx +2222()2222b b b x bx x x x ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2352x x +-2252352333x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭222555233663x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦25493636x ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2257366x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦575736666x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1323x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【总结升华】配方法,二次项系数为1的时候,添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二次项系数不是1的时候,转化为二次项系数为1来解决.类型三、完全平方公式的应用4、(2019春•娄底期末)先仔细阅读材料,再尝试解决问题:完全平方公式x 2±2xy+y 2=(x±y)2及(x±y)2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用,比如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最大(小)值时,我们可以这样处理:解:原式=2(x 2+6x ﹣2)=2(x 2+6x+9﹣9﹣2)=2[(x+3)2﹣11]=2(x+3)2﹣22因为无论x 取什么数,都有(x+3)2的值为非负数所以(x+3)2的最小值为0,此时x=﹣3进而2(x+3)2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时,原多项式的最小值是﹣22.解决问题:请根据上面的解题思路,探求多项式3x 2﹣6x+12的最小值是多少,并写出对应的x 的取值.【答案与解析】解:原式=3(x 2﹣2x+4)=3(x 2﹣2x+1﹣1+4)=3(x ﹣1)2+9,∵无论x 取什么数,都有(x ﹣1)2的值为非负数,∴(x ﹣1)2的最小值为0,此时x=1,∴3(x ﹣1)2+9的最小值为:3×0+9=9,则当x=1时,原多项式的最小值是9.【总结升华】此题考查了完全平方公式,非负数的性质,以及配方法的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.举一反三:【变式1】若△ABC 的三边长分别为、、,且满足, 求证:.【答案】解:所以a b c 222166100a b c ab bc --++=2a c b +=22216610a b c ab bc --++()()()22222269251035a ab b b bc c a b b c =++--+=+--()()22350a b b c +--=()()2235a b b c +=-所以所以因为△ABC 的三边长分别为、、,,所以,矛盾,舍去.所以.【变式2】(2019春•萧山区期中)若(2019﹣x )(2019﹣x )=2019,则(2019﹣x )2+(2019﹣x )2= .【答案】4032.解:∵(2019﹣x )(2019﹣x )=2019,∴[(2019﹣x )﹣(2019﹣x )]2=(2019﹣x )2+(2019﹣x )2﹣2(2019﹣x )(2019﹣x )=4,则(2019﹣x )2+(2019﹣x )2=4+2×2019=4032. 【巩固练习】一.选择题1. 若是完全平方式,则的值为( )A .-5B .7C .-1D .7或-12.(2019•富顺县校级模拟)下列各式中,不能用完全平方公式分解的个数为( ) ①x 2﹣10x +25;②4a 2+4a ﹣1;③x 2﹣2x ﹣1;④;⑤.A .1个B .2个C .3个D .4个3. 如果是一个完全平方公式,那么是( ) A. B. C. D.4. (2019•永州模拟)已知a=2005x+2004,b=2005x+2005,c=2005x+2006,则多项式a 2+b 2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为( )A . 0B . 1C . 2D . 35. 若,则的值为( )A.12B.6C.3D.06. 若为任意实数时,二次三项式的值都不小于0,则常数满足的条件是( )A. B. C. D.二.填空题7.(2019•赤峰)分解因式:4x 2﹣4xy +y 2= .8. 因式分解:=_____________. 9. 因式分解: =_____________.10. 若,=_____________.3(5)a b b c +=±-28a c b b c a +==-或a b c c a b -<8b c a b =-<2a c b +=22(3)16x m x +-+m 24a ab m --m 2116b 2116b -218b 218b -3a b +=222426a ab b ++-x 26x x c -+c 0c ≥9c ≥0c >9c >()222224m nm n +-2221x x y ++-224250x y x y +-++=x y +11. 当取__________时,多项式有最小值_____________.12.(2019•宁波模拟)如果实数x 、y 满足2x 2﹣6xy+9y 2﹣4x+4=0,那么= .三.解答题13.若,,求的值.14.(2019春•怀集县期末)已知a+=,求下列各式的值: (1)(a+)2;(2)(a ﹣)2;(3)a ﹣.15. 若三角形的三边长是,且满足,试判断三角形的形状.小明是这样做的:解:∵,∴.即∵,∴.∴该三角形是等边三角形.仿照小明的解法解答问题:已知: 为三角形的三条边,且,试判断三角形的形状.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ;【解析】由题意,=±4,.2. 【答案】C ;【解析】② ③ ⑤ 不能用完全平方公式分解.3. 【答案】B ;【解析】,所以,选B. 4. 【答案】D ;【解析】解:由题意可知a ﹣b=﹣1,b ﹣c=﹣1,a ﹣c=﹣2,所求式=(2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ca ),=[(a 2﹣2ab+b 2)+(b 2﹣2bc+c 2)+(a 2﹣2ac+c 2)],=[(a ﹣b )2+(b ﹣c )2+(a ﹣c )2],x 2610x x ++44225a b a b ++=2ab =22a b +a b c 、、2222220a b c ab bc ++--=2222220a b c ab bc ++--=2222(2)(2)0a ab b c bc b -++-+=()()220a b b c -+-=()()220,0a b b c -≥-≥,a b b c a b c ====即a b c 、、2220a b c ab bc ac ++---=3m -71m =-或222211142222a ab m a a b b a b ⎛⎫⎛⎫--=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2144m b -==[(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣2)2],=3.故选D .5. 【答案】A ;【解析】原式=. 6. 【答案】B ;【解析】,由题意得,,所以.二.填空题 7. 【答案】(2x ﹣y )2 【解析】4x 2﹣4xy +y 2=(2x )2﹣2×2x •y +y 2=(2x ﹣y )2.8. 【答案】; 【解析】.9. 【答案】【解析】. 10.【答案】1;【解析】,所以,. 11.【答案】-3,1;【解析】,当时有最小值1. 12.【答案】.【解析】解:可把条件变成(x 2﹣6xy+9y 2)+(x 2﹣4x+4)=0,即(x ﹣3y )2+(x ﹣2)2=0,因为x ,y 均是实数,∴x﹣3y=0,x ﹣2=0,∴x=2,y=,∴==.故答案为. 三.解答题13.【解析】解:将代入 ()222623612a b +-=⨯-=()()22639x x c x c -+=-+-90c -≥9c ≥()()22m n m n +-()()()()()22222222222422m n m n m n mn m n mn m n m n +-=+++-=+-()()11x y x y +++-()()()222221111x x y x y x y x y ++-=+-=+++-()()2222425210x y x y x y +-++=-++=2,1x y ==-1x y +=()2261031x x x ++=++3x =-44224422222a b a b a b a b a b ++=++-()22222a b a b =+-2ab =()222225a b a b +-=∵≥0,∴=3.14.【解析】解:(1)把a+=代入得:(a+)2=()2=10; (2)∵(a+)2=a 2++2=10,∴a 2+=8,∴(a ﹣)2=a 2+﹣2•a•=8﹣2=6;(3)a ﹣=±=±.15.【解析】 解:∵∴∴∴,该三角形是等边三角形.十字相乘法及分组分解法(提高)【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.()()2222222259a b a b +-=+=22a b +22a b +2222222220a b c ab bc ac ++---=()()()2222222220a ab bb bc c a ac c -++-++-+=()()()2220a b b c a c -+-+-=000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩a b c ==pq x q p x +++)(22. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数;实数系数;字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式,若存在 ,则要点诠释:(1)在对分解因式时,要先从常数项的正、负入手,若,则同号(若,则异号),然后依据一次项系数的正负再确定的符号(2)若中的为整数时,要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于,直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把排列如下:按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即.要点诠释:(1)分解思路为“看两端,凑中间”(2)二次项系数一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.要点诠释:分组分解法分解因式常用的思路有:2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ,,,1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性,在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项,在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式:【答案与解析】解:原式=【总结升华】将视作常数,就以为主元十字相乘可解决.举一反三:【变式】分解因式:【答案】解:原式2、分解因式:【思路点拨】该题可以先将看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解:因为22(1)(6136)x a x a a++--+()()()212332x a x a a++---()()()()23322332x a x ax a x a=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-a x23345xy y x y++--2(34)35(35)(1)y x y x y x y=+-+-=+-+()2a a-所以:原式=[-2][ -12] ==【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便,大家一定要熟练掌握. 举一反三:【变式】分解因式:;【答案】解:原式3、分解下列因式(1) (2)【答案与解析】解:(1)令, 则原式(2)令, 原式【总结升华】此两道小题结构都非常有特点,欲分解都必须先拆开,再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法,这与我们生活中搬家有些类似,要先将一些碎东西找包,会省许多事. 类型二、分组分解法4、分解因式:【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学,一看见该式,首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成,第4、5项→.()()()22221214a a a a a a ----=--22(2)(12)a a a a ----()()()()1234a a a a +-+-222(3)2(3)8x x x x ----()()223432x x x x =---+()()()()4112x x x x =-+--22(1)(2)12x x x x ++++-22(33)(34)8x x x x +-++-21x x t ++=222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++-2(2)(1)(5)x x x x =+-++23x x m +=2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+-222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++222332x xy y x y -++-+2()x y -3()x y -【答案与解析】解:原式【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要;②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母,其实代数式学习是一个结构的学习,其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代,故有时要有一些整体性认识的想法.举一反三:【变式1】分解因式:(1)(2)(3)【答案】解:(1)原式;(2)原式;(3)原式.【变式2】(2019秋•昌江区校级期末)分解因式:.【答案】解:= ==.类型三、拆项或添项分解因式5、(2019春•吉州区期末)阅读理解:对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为(x+a )2的形式,但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2,就不能直接用公式法了.我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2,使其成为完全平方式,再减去a 2这项,使整个式子的值不变,于是又:x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=(x 2+2ax+a 2)﹣8a 2﹣a 2=(x+a )2﹣9a 2=[(x+a )+3a][(x+a )﹣3]2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+22a b ac bc -++225533a b a b --+23345xy y x y ++--()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-2242244241a b c ab ac bc ++--+-2242244241a b c ab ac bc ++--+-()()()2222444241a b ab ac bcc +-+-++-()()()()222222211b a c b a c c -+-++-()()222121b a c b a c -++-+-=(x+4a )(x ﹣2a )像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.(1)请认真阅读以上的添(拆)项法,并用上述方法将二次三项式:x 2+2ax ﹣3a 2分解因式.(2)直接填空:请用上述的添项法将方程的x 2﹣4xy+3y 2=0化为(x ﹣ )•(x ﹣ )=0并直接写出y 与x 的关系式.(满足xy≠0,且x≠y)(3)先化简﹣﹣,再利用(2)中y 与x 的关系式求值.【答案与解析】解:(1)x 2+2ax ﹣3a2 =x 2+2ax+a 2﹣4a2 =(x+a )2﹣4a2 =(x+a+2a )(x+a ﹣2a )=(x+3a )(x ﹣a );(2)x 2﹣4xy+3y2 =x 2﹣4xy+4y 2﹣y2 =(x ﹣2y )2﹣y2 =(x ﹣2y+y )(x ﹣2y ﹣y )=(x ﹣y )(x ﹣3y );x=y 或x=3y ;故答案为:y ;3y(3)原式===﹣, 若x=y ,原式=﹣2;若x=3y ,原式=﹣. 【总结升华】此题考查了因式分解﹣添(拆)项法,正确地添(拆)项是解本题的关键.【巩固练习】一.选择题1. (2019秋·惠民县期末)如果多项式能因式分解为,那么下列结论正确的是 ( ).A.=6B.=1C.=-2D.=32. 若,且,则的值为( ). A.5 B.-6 C.-5 D.63. 将因式分解的结果是( ).2322mx nx --()()32x x p ++m n p mnp ()2230x a b x ab x x +++=--b a <b ()()256x y x y +-+-A. B.C. D.4.(滨湖区校级期中)把多项式1+a+b+ab 分解因式的结果是( )A .(a ﹣1)(b ﹣1)B .(a+1)(b+1)C .(a+1)(b ﹣1)D .(a ﹣1)(b+1)5. 对运用分组分解法分解因式,分组正确的是( )A. B.C. D.6.如果有一个因式为,那么的值是( )A. -9B.9C.-1D.1二.填空题7.(2019•黄冈模拟)分解因式: .8. 分解因式:= .9.分解因式的结果是__________.10. 如果代数式有一因式,则的值为_________. 11.若有因式,则另外的因式是_________.12. 分解因式:(1);(2)三.解答题13. 已知,, 求的值.14. 分解下列因式:(1)(2)(3)(4) 15.(2019•巴南区一模)先阅读下列材料:我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等.(1)分组分解法:将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法.()()23x y x y +++-()()23x y x y +-++()()61x y x y +-++()()61x y x y +++-224293x x y y +--22(42)(93)x x y y ++--22(49)(23)x y x y -+-22(43)(29)x y x y -+-22(423)9x x y y +--3233x x x m +-+()3x +m 2242y xy x --+=224202536a ab b -+-5321x x x -+-a 3223a a b ab b --+()a b -3)32(2-+-+k x k kx mn m x m n x -+-+22)2(0x y +=31x y +=2231213x xy y ++()()128222+---a a a a 32344xy xy x y x y -++42222459x y x y y --43226a a a +-如:ax+by+bx+ay=(ax+bx )+(ay+by )=x (a+b )+y (a+b )=(a+b )(x+y )2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=(x+y )2﹣1=(x+y+1)(x+y ﹣1)(2)拆项法:将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法.如: x 2+2x ﹣3=x 2+2x+1﹣4=(x+1)2﹣22=(x+1+2)(x+1﹣2)=(x+3)(x ﹣1)请你仿照以上方法,探索并解决下列问题:(1)分解因式:a 2﹣b 2+a ﹣b ;(2)分解因式:x 2﹣6x ﹣7;(3)分解因式:a 2+4ab ﹣5b 2. 【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ;【解析】, ∴,解得.2. 【答案】B ;【解析】,由,所以. 3. 【答案】C ;【解析】把看成一个整体,分解.4. 【答案】B ;【解析】解:1+a+b+ab=(1+a )+b (1+a )=(1+a )(1+b ).故选:B .5. 【答案】B ;【解析】A 各组经过提取公因式后,组与组之间无公因式可提取,所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得,与第二组有公因式可提取,所以分组合理,C 与D 各组均无公因式,也不符合公式,所以无法继续进行下去,分组不合理.6. 【答案】A ;【解析】由题意当时,代数式为零,解得.二.填空题()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--22,32p p n =-+=-1n =()()23065x x x x --=-+b a <6b =-()x y +()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++()()2323x y x y +-23x y-3x =-9m =-7. 【答案】. 【解析】解:===.8. 【答案】; 【解析】原式9. 【答案】;【解析】原式.10.【答案】16;【解析】由题意当时,代数式等于0,解得. 11.【答案】; 【解析】.12.【答案】;; 【解析】;.三.解答题13.【解析】解:由,解得 所以,原式.14.【解析】解:(1)原式;()()22x y x y -+--2242y xy x --+()2224y xy x -+-()24x y --()()22x y x y -+--()()256256a b a b -+--()224202536a ab b=-+-()()()22256256256a b a b a b =--=-+--()()()22111x x x x +--+()()()()()()()23222321111111x xx x x x x x x =-+-=-+=+--+4x =16a =()()a b a b -+()()322322a a b ab b aa b b a b --+=---()()2a b a b =-+()()31kx k x +-+()()x m x m n --+()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++0x y +=31x y +=12y =21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-。

北师大2013-2014八年级第二学期期中考试数学试卷卷

北师大2013-2014八年级第二学期期中考试数学试卷卷

2013-2014八年级第二学期期中考试数学试卷一、选择题(每小题只有一个正确的选项,每小题3分,共30分,请把正确答案填在下面表格中)A、2a<2bB、-2a<-2bC、a-2<b-2D、a+2<b+22、下列从左到右变形,其中是因式分解的是A、21234a b a ab=⋅B、2(2)(2)4x x x+-=-C、24814(2)1x x x x--=--D、222()ax ay a x y-=-3、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-≤32121xx的解集在数轴上表示为4、下列多项式中不能用平方差公式分解的是A、22m n--B、2216x y-+C、22964a b-D、2249x y-5、如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=6cm,则△DEB的周长为()A、4cmB、6cmC、8 cmD、10cm6、如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为()A、30°B、36°C、45°D、70°(第5题图) (第6题图)7、等腰三角形底边长为7,一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3,则腰长是()A、4B、10C、4或10D、以上答案都不对8、如下图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=5,DC=1,AC=5,那么AB的长度是A.27B.27C.10D.25(第8题图) (第9题图) (第10题图)9、如图4,面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置,平移的距离是边BC 长的两倍,则图中的四边形ACED的面积为()A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、无法确定10、如图5,在正方形ABCD中,E为DC边上的点,连结BE,将△BCE绕点C顺时针方向旋转900得到△DCF,连结EF,若∠BEC=600,则∠EFD的度数为()A、100B、150C、200D、250二、填空题(每题2分,共20分)11、不等式2x-1<3的解集是12、分解因式:=-bba82213、根据图示程序计算函数值,若输入的x的值为0.5,则输出的y值为14、已知27x y-=,25x y+=,则224x y-=15、已知32,5221+-=-=xyxy,如果21yy<,则x的取值范围是;16.三角形三边分别为a、b、c,且a2-bc=a(b-c),则这个三角形(按边分类)一定是_________三角形.输入xy=x+2-2≤x≤1y=-x+21<x≤2输出y17.如图,已知的垂直平分线交于点,则 .18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上,BC 与DE 交于点M ,如果∠ADF =100°,那么∠BMD 为 度.19.如图,已知正方形ABCD ,E 是BA 延长线上的点,且∠E=60 0,现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转到△AGF 的位置,则当旋转角度∠EAF= 时,FG ∥AB .20、若09622=+++-b b a ,则多项式22ab b a -的值为三、解答题21、解下列不等式(组),并把它们的解集表示在数轴上(8分)①3x -﹤26x + ②25031x x ->⎧⎨-<-⎩22、分解因式(8分)①2721x x - ②2232x y x y y-+第19题DBCF G23、阅读理解(6分)分解因式:21203456-+x x分析:由于常数项数值较大,则采用x 2-120x变为差的平方的形式进行分解,这样简便易行:21203456-⨯+-+x xx x-+=22226060603456=2x--+(60)36003456=2(60)144x--=22x--(60)12=(6012)(6012)--x x-+--=(48)(72)x x请按照上面的方法分解因式:242184+-x x24.如图,将Rt△ABC沿CB方向平移距离BE后得到Rt△DEF,已知AG=2,BE=4,DE=6,求阴影部分的面积.(8分)25、阅读下题及其证明(8分)过程:已知:如图,D 是△ABC 中BC 边上一点,EB=EC ,∠ABE=∠ACE ,求证:∠BAE=∠CAE. 证明:在△AEB 和△AEC 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)问:上面证明过程是否正确?若正确,请写出每一步推理根据; 若不正确,请指出错在哪一步?并写出你认为正确的推理过程。

北师大版数学八年级下册:第四章 因式分解 单元测试(附答案)

北师大版数学八年级下册:第四章 因式分解  单元测试(附答案)

第四章因式分解单元测试(时间:40分钟满分:100分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列从左边到右边的变形中,是因式分解的是()A.(3-x)(3+x)=9-x2B.m4-n4=(m2+n2)(m+n)(m-n)C.(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)D.4yz-2y2z+z=2y(2z-yz)+z2.下列多项式中,能用公式法因式分解的是()A.x2-xy B.x2+xyC.x2-y2D.x2+y23.把8a3-8a2+2a进行因式分解,结果正确的是()A.2a(4a2-4a+1)B.8a2(a-1)C.2a(2a+1)2D.2a(2a-1)24.将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是()A.a2-1 B.a2+aC.a2+a-2 D.(a+2)2-2(a+2)+15.一次数学课堂练习,小明同学做了如下四道因式分解题.你认为小明做得不够完整的一题是()A.4x2-4x+1=(2x-1)2B.x3-x=x(x2-1)C.x2y-xy2=xy(x-y)D.x2-y2=(x+y)(x-y)6.若x2+ax-24=(x+2)(x-12),则a的值为()A.-10 B.±10 C.14 D.-147.小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形,并据此写出一个多项式的因式分解,正确的是()A.x2+2x=x(x+2)B.x2-2x+1=(x-1)2C.x2+2x+1=(x+1)2D.x2+3x+2=(x+2)(x+1)8.已知a-b=1,则a2-b2-2b的值为()A.4 B.3 C.1 D.09.对于任何整数m ,多项式(4m +5)2-9都能( )A .被8整除B .被m 整除C .被m -1整除D .被2m -1整除 10.某同学粗心大意,因式分解时,把等式x 4-■=(x 2+4)(x +2)(x -▲)中的两个数字弄污了,则式子中的■,▲对应的一组数字可以是( )A .8,1B .16,2C .24,3D .64,8二、填空题(每小题3分,共15分)11.因式分解:2m 3-8m = .12.若二次三项式x 2-kx +9是一个完全平方式,则k 的值是 .13.若x +y =2,则代数式14x 2+12xy +14y 2= . 14.计算:1.222×9-1.332×4= .15.两名同学将同一个二次三项式因式分解,甲因看错了一次项系数而分解成(x +1)(x +9);乙因看错了常数项而分解成(x -2)(x -4),则将原多项式因式分解后的正确结果应该是 .三、解答题(共55分)16.(16分)因式分解:(1)3m 2n -12mn +12n ; (2)n 2(m -2)-n(2-m );(3)(a +b )3-4(a +b ); (4)8(x 2-2y 2)-x(7x +y )+xy.17.(8分)不解方程组⎩⎨⎧2x +y =6,x -3y =1,求7y(x -3y )2-2(3y -x )3的值.18.(9分)商贸大楼共有四层,第一层有商品(a+b)2种,第二层有商品a(a+b)种,第三层有商品b(a+b)种,第四层有商品(b+a)2种.若a+b=10,则这座商贸大楼共有商品多少种?19.(10分)阅读下列解题过程:已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.20.(12分)【知识再现】在研究平方差公式时,我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b),如图1,把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2),根据图1、图2阴影部分的面积关系,可以得到一个关于a,b的等式.【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b(a>b)的小正方体后余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4).图3中的几何体的体积为,图4中的几何体的体积为,根据它们的体积关系得到关于a,b的等式为:.(结果写成整式的积形式)【知识运用】(1)因式分解:8x3-1;(2)已知a-b=4,ab=3,求a3-b3的值.参考答案:一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列从左边到右边的变形中,是因式分解的是(B)A.(3-x)(3+x)=9-x2B.m4-n4=(m2+n2)(m+n)(m-n)C.(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)D.4yz-2y2z+z=2y(2z-yz)+z2.下列多项式中,能用公式法因式分解的是(C)A.x2-xy B.x2+xyC.x2-y2D.x2+y23.把8a3-8a2+2a进行因式分解,结果正确的是(D)A.2a(4a2-4a+1)B.8a2(a-1)C.2a(2a+1)2D.2a(2a-1)24.将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是(C)A.a2-1 B.a2+aC.a2+a-2 D.(a+2)2-2(a+2)+15.一次数学课堂练习,小明同学做了如下四道因式分解题.你认为小明做得不够完整的一题是(B)A.4x2-4x+1=(2x-1)2B.x3-x=x(x2-1)C.x2y-xy2=xy(x-y)D.x2-y2=(x+y)(x-y)6.若x2+ax-24=(x+2)(x-12),则a的值为(A)A.-10 B.±10 C.14 D.-147.小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形,并据此写出一个多项式的因式分解,正确的是(D)A.x2+2x=x(x+2)B .x 2-2x +1=(x -1)2C .x 2+2x +1=(x +1)2D .x 2+3x +2=(x +2)(x +1)8.已知a -b =1,则a 2-b 2-2b 的值为(C )A .4B .3C .1D .09.对于任何整数m ,多项式(4m +5)2-9都能(A )A .被8整除B .被m 整除C .被m -1整除D .被2m -1整除 10.某同学粗心大意,因式分解时,把等式x 4-■=(x 2+4)(x +2)(x -▲)中的两个数字弄污了,则式子中的■,▲对应的一组数字可以是(B )A .8,1B .16,2C .24,3D .64,8二、填空题(每小题3分,共15分)11.因式分解:2m 3-8m =2m(m +2)(m -2).12.若二次三项式x 2-kx +9是一个完全平方式,则k 的值是±6.13.若x +y =2,则代数式14x 2+12xy +14y 2=1. 14.计算:1.222×9-1.332×4=6.32.15.两名同学将同一个二次三项式因式分解,甲因看错了一次项系数而分解成(x +1)(x +9);乙因看错了常数项而分解成(x -2)(x -4),则将原多项式因式分解后的正确结果应该是(x -3)2.三、解答题(共55分)16.(16分)因式分解:(1)3m 2n -12mn +12n ;解:原式=3n(m 2-4m +4)=3n(m -2)2.(2)n 2(m -2)-n(2-m );解:原式=n 2(m -2)+n(m -2)=n(n +1)(m -2).(3)(a +b )3-4(a +b );解:原式=(a +b )[(a +b )2-4]=(a +b )(a +b +2)(a +b -2).(4)8(x 2-2y 2)-x(7x +y )+xy.解:原式=8x 2-16y 2-7x 2-xy +xy=x 2-16y 2=(x +4y )(x -4y ).17.(8分)不解方程组⎩⎨⎧2x +y =6,x -3y =1,求7y(x -3y )2-2(3y -x )3的值. 解:原式=(x -3y )2[7y +2(x -3y )]=(x -3y )2(2x +y ).∵⎩⎨⎧2x +y =6,x -3y =1,∴原式=12×6=6.18.(9分)商贸大楼共有四层,第一层有商品(a +b )2种,第二层有商品a(a +b )种,第三层有商品b(a +b )种,第四层有商品(b +a )2种.若a +b =10,则这座商贸大楼共有商品多少种?解:(a +b )2+a(a +b )+b(a +b )+(b +a )2=2(a +b )2+(a +b )(a +b )=2(a +b )2+(a +b )2=3(a +b )2.因为a +b =10,所以3(a +b )2=300.答:这座商贸大楼共有商品300种.19.(10分)阅读下列解题过程:已知a ,b ,c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,试判断△ABC 的形状. 解:∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,①∴c 2(a 2-b 2)=(a 2+b 2)(a 2-b 2).②∴c 2=a 2+b 2.③∴△ABC 为直角三角形.问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号③;(2)写出该题正确的解法.解:正确的解法如下:∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,∴c 2(a 2-b 2)=(a 2+b 2)(a 2-b 2).∴c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0.∴(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0.分三种情况讨论:①当a2-b2=0,c2-(a2+b2)≠0时,则a=b,∴△ABC为等腰三角形;②当a2-b2≠0,c2-(a2+b2)=0时,则c2=a2+b2,∴△ABC为直角三角形;③当a2-b2=0,且c2-(a2+b2)=0时,则a=b,c2=a2+b2,∴△ABC为等腰直角三角形.综上所述,△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.20.(12分)【知识再现】在研究平方差公式时,我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b),如图1,把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2),根据图1、图2阴影部分的面积关系,可以得到一个关于a,b的等式a2-b2=(a+b)(a-b).【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b(a>b)的小正方体后余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4).图3中的几何体的体积为a3-b3,图4中的几何体的体积为a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b),根据它们的体积关系得到关于a,b的等式为:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).(结果写成整式的积形式)【知识运用】(1)因式分解:8x3-1;(2)已知a-b=4,ab=3,求a3-b3的值.解:(1)8x3-1=(2x)3-1=(2x-1)(4x2+2x+1).(2)∵a-b=4,ab=3,∴a2+b2=(a-b)2+2ab=16+6=22.∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=4×(22+3)=100.。

北师大版数学八年级下册:3.4《简单的图案设计》课时练习含答案解析

北师大版数学八年级下册:3.4《简单的图案设计》课时练习含答案解析

北师大版数学八年级下册第三章第四节简单的图案设计课时练习一、选择题(共10题)1.如图,是四家银行行标,不可以先设计出一半来通过对折来完成的是( )A.①③B.②④C.②D.④答案:D解析:解答:根据轴对称图形的定义可以判断④不是轴对称图形;故答案是D选项分析:考查如何通过轴对称设计图案2.图画上大风车的叶片可以看作一个叶片通过怎样的运动得到()A.平移B.旋转C.平移和旋转D.对折答案:B解析:解答:大风车上的叶片可以看作由一个叶片旋转得到;故答案是B选项分析:考查利用旋转设计图案3.利用电脑,在同一页面对某图形进行复制,得到一组图案,这一组图案可以看作一个基本图形通过()得到的A.旋转B.平移和旋转C.平移D.拉伸答案:C解析:解答:复制就是把一个平移到另一个位置,所以答案是C选项分析:考查平移设计图案4.如图是一个风筝的图案,它是轴对称图形,若∠B=30︒,那么∠E=( )A. 20︒B. 60︒C. 30︒D. 45︒答案:C解析:解答:因为设计的风筝是轴对称图形,所以对应角相等,故答案是C选项分析:注意中心对称和轴对称的特点5.广告设计人员在设计图案的时候经常用到的方法是()A.旋转B.平移C.轴对称D.以上都是答案:D解析:解答:在设计图案的时候经常用到的是旋转、平移、轴对称,故答案是D选项分析:考查图案的设计方法6. 如图,将△ABC绕点O旋转一定的角度得到△A′B′C′,下列结论中不成立的是( )A.OC=OC′B.OA=OA′C.BC=B′C′D.∠ABC=∠A′C′B′答案:D解析:解答:旋转前后的图形全等,而且对应角相等,D选项中不是对应角分析:考查旋转前后的图形全等的问题7.一个长方形绕一点旋转一周所形成的图形可能是( )A.圆B.长方形C.圆环D.正方形答案:C解析:解答:长方形绕一点旋转一周时所形成的图形是圆环,故答案是C选项分析:注意成简单的图案设计方法8.五星红旗上的四个小五角星可以看作一个基本图案经过怎样的运动得到的()A.旋转B.平移C.对折D.旋转和平移答案:D解析:解答:五星红旗上的四个小五角星可以看作一个基本图案经过平移和旋转得到,故答案是D分析:注意对中心对称图形的理解9. 小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒(如图所示),则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是( )答案:A解析:解答:此题需有一定空间想象能力,可以实际动手操作一下,以自己能辩认的简单图案代表各图案.,故答案是A选项10.下列几种图案是车的标志,问其中是轴对称图形的有( )A.2个B.3个C.4个D.1个答案:A解析:解答:根据轴对称图形的定义可知奥迪和大众这两个车标是轴对称图形,所以答案是A分析:考查轴对称图形二、填空题(共10题)11.如图的雪花有______条对称轴答案:3解析:解答:依据轴对称图形的意义,沿着对称轴所在的直线对折,对折后的两部分能够完全重合,所以雪花有3条对称轴分析:考查对称轴的多少12.起重机将重物垂直提起,这可以看作为数学上的_____________答案:平移解析:解答:起重机将重物垂直提起,可以看成平移现象分析:注意分清平移的特点13.关于轴对称的两个图形,沿对称轴折叠后答案:重合解析:解答:关于轴对称的两个图形,沿对称轴折叠后重合分析:注意对称点的连线一定经过对称中心14.轴对称图形只有一条对称轴_______(判断对错)答案:错误解析:解答:有的轴对称图形不止有一条对称轴,如圆、正方形等分析:考查轴对称图形的对称轴的数目15.广告设计人员进行图案设计,经常将一个基本图案进行轴对称、平移和_______等答案:旋转解析:解答:图案设计的时候经常用到的是行轴对称、平移和旋转等16. 将点A 绕另一个点O 旋转一周,点A 在旋转过程中所经过的路线是_______ 答案:圆解析:解答:利用旋转一周可以得到的图形是圆分析:考查利用旋转设计图案17. 利用电脑,在同一页面上对某图形进行复制,得到一组图案,这一组图案可以看作是一个基本图形通过_______得到的答案:平移解析:解答:利用平移可以得到一些相同的图案分析:考查简单的图案设计18. 利用平移、旋转和对称变换可以设计出美丽的镶嵌图案;这种说法_____________ 答案:正确解析:解答:构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或是类似的常规图形,利用平移、旋转和对称变换可以设计出美丽的镶嵌图案分析:考查简单图形的设计方法19. 国际奥委会会旗上的五环图案可以看作一个基本图案圆环经过______运动得到 答案:平移解析:解答:一个圆环经过平移运动可以得到五环图案分析:考查简单的图案设计20.木工师傅在设计拉动抽屉时,参考的数学原理是 _____答案:平移解析:解答:在拉动抽屉时候前后移动而抽屉不发生改变,这是平移的原理分析:注意旋转的要点三、解答题(共5题)21. 从8:55到9:15,钟表的分针转动的角度是?答案:120°解答:分针60分钟转一周,时针十二小时转一周.从8:55到9:15经过了20分钟,所以,分针转动的角度是6020×360°=120° 解析:分析:注意钟表分针旋转一周的角度22. 从5:55到6:15,时针转动的角度是?答案:10°解答:从5:55到6:15经过了31小时,所以,时针转动的角度是31×121×360°=10°.解析:分析:注意钟表上时针一小时走过的角度 23. 如图,王虎使一长为4 cm ,宽为3 cm 的长方形木板,在桌面上做无滑动地翻滚(顺时针方向),木板上点A 位置变化为A →A 1→A 2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使木板与桌面成30°角,则点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径长为?答案:27πcm 解答::第一次翻滚可以看成是以B 为圆心,以AB 为半径的弧,且可求得∠ABA 1=90°,∴第一次翻滚走过的路径为41×2×5π=25π,第二次翻滚可看成是以C 为圆心,以A 1C 为半径的弧,且∠A 1CA 2=60°,∴第二次翻滚走过的路径为61×2×3π=π.总共路径=25π+π=27π cm. 解析:分析:考查旋转问题,关键是找准对应点24.请你设计一个只有两条对称轴的优美图案答案:解答:解析:分析:注意轴对称图形的特点25. 在图案设计中常用的作图工具有?答案:解答:在图案设计中常用的作图工具有直尺,圆规,三角尺解析:分析:考查简单的图案设计。

北师大版八年级下册数学第五章《分式与分式方程》综合练习题

北师大版八年级下册数学第五章《分式与分式方程》综合练习题

《分式与分式方程》综合练习题一.选择题(共10小题)1.(2021•十堰)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天,设现在平均每天生产x台机器,则下列方程正确的是()A.﹣=1B.﹣=1C.﹣=50D.﹣=502.(2021•嘉兴)为迎接建党一百周年,某校举行歌唱比赛.901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威,其中缤纷棒共花费30元,荧光棒共花费40元,缤纷棒比荧光棒少20根,缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍.若设荧光棒的单价为x元,根据题意可列方程为()A.﹣=20B.﹣=20C.﹣=20D.﹣=203.(2021•重庆)若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6,且关于y 的分式方程+=2的解是正整数,则所有满足条件的整数a的值之和是()A.5B.8C.12D.154.(2021春•沙坪坝区校级月考)已知关于x的不等式组有解,且关于y的分式方程=4﹣有正整数解,则所有满足条件的整数a的值的个数为()A.2B.3C.4D.55.(2021春•茅箭区月考)某施工队计划修建一个长为600米的隧道,第一周按原计划的速度修建,一周后以原来速度的1.5倍修建,结果比原计划提前一周完成任务,若设原计划一周修建隧道x米,则可列方程为()A.=+2B.=﹣2C.=+1D.=﹣16.(2021•铜梁区校级一模)若整数a使关于x的不等式组有且只有两个整数解,且关于y的分式方程﹣=﹣2的解为正数,则满足上述条件的a的和为()A.3B.4C.5D.6 7.(2021•九龙坡区校级模拟)若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解,且使关于x的分式方程有整数解,则满足条件的所有整数m的个数是()A.5B.4C.3D.28.(2021春•重庆月考)若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解,且关于x的分式方程+=1有正数解,则所有满足条件的整数a的和为()A.12B.13C.14D.159.(2018春•温州期末)甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务,已知如下信息如果每小时只安排1名打字员,那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务,共需()A.13小时B.13小时C.14小时D.14小时10.设x<0,x﹣=,则代数式的值()A.1B.C.D.二.填空题(共10小题)11.(2020秋•锦江区校级月考)若关于x的一元一次不等式组的解集为x ≥5,且关于y的分式方程+=﹣1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为.12.(2020秋•沙坪坝区校级月考)中秋、国庆“双节”前,某酒店推出甲,乙两种包装的月饼,其中甲种包装有五仁饼3个,莲蓉饼3个,豆沙饼2个,乙种包装有五仁饼1个,莲蓉饼1个,豆沙饼2个,每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和.已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为5:4,每盒乙包装月饼售价98元,利润率是40%,两种包装的月饼共50盒总价6123元,总利润率是30%.中秋节后,为降价促销,甲种包装每盒每类月饼各少装一个,乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半,利润率不变,那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是元(其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同,当然乙种包装盒数也相同).13.(2019•雨城区校级模拟)若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解,且使关于y的方程=2的解为非负数,则符合条件的所有整数a的和为.14.(2014春•青羊区期末)已知x2﹣5x+1=0,则的值是.15.(2009春•营山县期末)已知,则=.16.已知实数x,y,z,a满足x+a2=2010,y+a2=2011,z+a2=2012,且xyz=6,则代数式++﹣﹣﹣的值等于.17.“非洲猪瘟”本是一种只在家畜之间传播的瘟疫,但最近已严重威胁到广大人民群众的生命安全,现我市有一组检疫工作人员(工作人员每人每天生猪检疫的效率相等),需对甲、乙两个生猪养殖场的所有生猪逐一检疫,已知,甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍.上午全部工作人员在甲养殖场检疫,为了尽快完成检疫,下午所有工作人员的平均工作效率提高了20%,但下午有一人因事离开,剩下的工作人员的一半仍留在甲养殖场(上、下午的工作时间相等),到下班前刚好把甲养殖场的生猪检疫完毕,另一半工作人员去乙养殖场检疫,到下班前还剩下一小部分生猪未检疫,最后由6人以提高前的检疫速度,再用不到半天的工作时间就完成了检疫.则这组工作人员最多有人.18.(2021•九龙坡区模拟)临近端午,甲、乙两生产商分别承接制作白粽,豆沙粽和蛋黄粽的任务(三种粽子都有成品,甲生产商安排200名工人制作白粽和豆沙粽,每人只能制作其中一种粽子,乙生产商安排100名工人制作蛋黄粽,其中豆沙粽的人均制作数量比白粽的人均制作数量少15个,蛋黄粽的人均制作数量比豆沙粽的人均制作数量少20%,若本次制作的白粽、豆沙粽和蛋黄粽三种粽子的人均制作数量比白粽的人均制作数用少20%,且豆沙粽的人均制作量为偶数个,则本次可制作的粽子数量最多为个.19.(2020秋•北京期末)依据如图流程图计算﹣,需要经历的路径是(只填写序号),输出的运算结果是.20.设2016a3=2017b3=2018c3,abc>0,且=++,则++=三.解答题(共10小题)21.(2021•包河区三模)市政府为美化城市环境,计划在某区城种植树木2000棵,由于青年志愿者的加入,实际每天植树棵数是原计划的2倍,结果提前4天完成任务.求实际每天植树多少棵?22.(2021•平房区三模)某体育用品商店计划购进一些篮球和排球.已知每个篮球的进价和每个排球的进价的和为200元,用2400元购进的篮球数量是用800元购进排球数量的2倍.(1)求每个篮球和每个排球的进价各是多少元;(2)若该体育用品商店计划购进篮球和排球共40个,且购进的总费用不超过3800元,则该体育用品商店最多可以购进篮球多少个?23.(2021•岳阳二模)岳阳市区某中学为了创建“书香校园”,今年春季购买了一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元,已知学校用20000元购买的科普类图书的本数与用15000元购买的文学类图书的本数相等.(1)求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元?(2)学校计划在五月份再添置600本这两类图书,且费用不超过10000元,问最多可以购买科普类图书多少本?24.(2021•宝安区模拟)为了抗击“新型肺炎”,我市某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务,任务要求在30天之内(含30天)生产A型和B型两种型号的口罩共200万只.在实际生产中,由于受条件限制,该工厂每天只能生产一种型号的口罩.已知该工厂每天可生产A型口罩的个数是生产B型口罩的2倍,并且加工生产40万只A型口罩比加工生产50万只B型口罩少用6天.(1)该工厂每天可加工生产多少万只B型口罩?(2)若生产一只A型口罩的利润是0.8元,生产一只B型口罩的利润是1.2元,在确保准时交付的情况下,如何安排工厂生产可以使生产这批口罩的利润最大?25.(2020秋•香洲区期末)已知(x+a)(x+b)=x2+mx+n.(1)若a=﹣3,b=2,则m=,n=;(2)若m=﹣2,,求的值;(3)若n=﹣1,当时,求m的值.26.(2021春•滨湖区期中)小红、小刚、小明三位同学在讨论:当x取何整数时,分式的值是整数?小红说:这个分式的分子、分母都含有x,它们的值均随x取值的变化而变化,有点难.小刚说:我会解这类问题:当x取何整数时,分式的值是整数?3是x+1的整数倍即可,注意不要忘记负数哦.小明说:可将分式与分数进行类比.本题可以类比小学里学过的“假分数”,当分子大于分母时,可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和.比如:==2+(通常写成带分数:2).类比分式,当分子的次数大于或等于分母次数时,可称这样的分式为“假分式”,若将化成一个整式与一个“真分式”的和,就转化成小刚说的那类问题了!小红、小刚说:对!我们试试看!…(1)解决小刚提出的问题;(2)解决他们共同讨论的问题.27.(2021春•大兴区期中)已知非零实数a、b满足等式,求的值.28.(2020秋•连山区期末)阅读下面的材料,并解答后面的问题材料:将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.解:由分母为x+1,可设3x2+4x﹣1=(x+1)(3x+a)+b.因为(x+1)(3x+a)+b=3x2+ax+3x+a+b=3x2+(a+3)x+a+b,所以3x2+4x﹣1=3x2+(a+3)x+a+b.所以,解得.所以==﹣=3x+1﹣.这样,分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式.根据你的理解解决下列问题:(1)请将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式;(2)若分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式为:5m﹣11+,求m2+n2+mn的最小值.29.(2020秋•乌苏市期末)近年来,安全快捷、平稳舒适的中国高铁,为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆.随着中国特色社会主义进入新时代,作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程,跑出发展新速度,这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短,但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车;已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米,普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍,请完成以下问题:(1)普通列车的行驶路程为多少千米?(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求普通列车和高铁的平均速度.30.(2021•禅城区校级一模)先化简(1﹣)÷,再从0,2,﹣1,1中选择一个合适的数代入并求值.参考答案一.选择题(共10小题)1.(2021•十堰)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天,设现在平均每天生产x台机器,则下列方程正确的是()A.﹣=1B.﹣=1C.﹣=50D.﹣=50【考点】由实际问题抽象出分式方程.【专题】分式方程及应用;应用意识.【分析】设现在平均每天生产x台机器,则原计划平均每天生产(x﹣50)台机器,根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可.【解答】解:设现在平均每天生产x台机器,则原计划平均每天生产(x﹣50)台机器,根据题意,得﹣=1.故选:B.【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,利用本题中“生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”这一个隐含条件,进而得出等式方程是解题关键.2.(2021•嘉兴)为迎接建党一百周年,某校举行歌唱比赛.901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威,其中缤纷棒共花费30元,荧光棒共花费40元,缤纷棒比荧光棒少20根,缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍.若设荧光棒的单价为x元,根据题意可列方程为()A.﹣=20B.﹣=20C.﹣=20D.﹣=20【考点】由实际问题抽象出分式方程.【专题】分式方程及应用;应用意识.【分析】若设荧光棒的单价为x元,则缤纷棒单价是1.5x元,根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”列方程即可.【解答】解:若设荧光棒的单价为x元,则缤纷棒单价是1.5x元,根据题意可得:﹣=20.故选:B.【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程,应用题中一般有三个量,求一个量,明显的有一个量,一定是根据另一量来列等量关系的.本题分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.3.(2021•重庆)若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6,且关于y 的分式方程+=2的解是正整数,则所有满足条件的整数a的值之和是()A.5B.8C.12D.15【考点】分式方程的解;解一元一次不等式组.【专题】分式方程及应用;运算能力.【分析】解出一元一次不等式组的解集,根据不等式组的解集为x≥6,列出不等式,求出a的范围;解出分式方程的解,根据方程的解是正整数,列出不等式,求得a的范围;检验分式方程,列出不等式,求得a的范围;综上所述,得到a的范围,最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值,求和即可.【解答】解:,解不等式①得:x≥6,解不等式②得:x>,∵不等式组的解集为x≥6,∴6,∴a<7;分式方程两边都乘(y﹣1)得:y+2a﹣3y+8=2(y﹣1),解得:y=,∵方程的解是正整数,∴>0,∴a>﹣5;∵y﹣1≠0,∴1,∴a≠﹣3,∴﹣5<a<7,且a≠﹣3,∴能使是正整数的a是:﹣1,1,3,5,∴和为8,故选:B.【点评】本题考查了解一元一次不等式组,解分式方程,注意解分式方程一定要检验.4.(2021春•沙坪坝区校级月考)已知关于x的不等式组有解,且关于y的分式方程=4﹣有正整数解,则所有满足条件的整数a的值的个数为()A.2B.3C.4D.5【考点】分式方程的解;解一元一次不等式组;一元一次不等式组的整数解.【专题】分式方程及应用;一元一次不等式(组)及应用;推理能力.【分析】分别求出满足不等式有解与分式方程的解为正数的a的取值范围,再求出其中满足使分式方程的解为正整数的a的整数值,注意舍去增根的情况.【解答】解:解不等式①得x<2,解不等式②得x>﹣1,∵不等式组有解,∴﹣1<2,解得a<9,解分式方程=4﹣得y=,∵方程的解为正数,∴>0且≠3,∴a>﹣且a≠3,∴﹣<a<9且a≠3,满足使方程的解为正整数的整数a的值有0,6两个.故选:A.【点评】本题考查一元一次不等式组与分式方程的解,解题关键是求解过程要注意分式方程的增根情况.5.(2021春•茅箭区月考)某施工队计划修建一个长为600米的隧道,第一周按原计划的速度修建,一周后以原来速度的1.5倍修建,结果比原计划提前一周完成任务,若设原计划一周修建隧道x米,则可列方程为()A.=+2B.=﹣2C.=+1D.=﹣1【考点】由实际问题抽象出分式方程.【专题】分式方程及应用;应用意识.【分析】设原计划一周修建隧道x米,则提速后的速度为一周修建1.5x米,根据“结果比原计划提前一周完成任务”即可得出关于x的分式方程,此题得解.【解答】解:设原计划一周修建隧道x米,则提速后的速度为一周修建1.5x米,根据题意,得:=+1.故选:C.【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.6.(2021•铜梁区校级一模)若整数a使关于x的不等式组有且只有两个整数解,且关于y的分式方程﹣=﹣2的解为正数,则满足上述条件的a的和为()A.3B.4C.5D.6【考点】分式方程的解;解一元一次不等式;一元一次不等式组的整数解.【专题】分式方程及应用;运算能力.【分析】解出一元一次不等式组的解集,根据有且只有两个整数解列出不等式求出a的范围;解分式方程,根据解为正数,且y﹣1≠0,得到a的范围;然后得到a的范围,再根据a为整数得到a的值,最后求和即可.【解答】解:,解不等式①得:x≤2,解不等式②得:x≥,∴不等式组的解集为≤x≤2,∵不等式组有且只有两个整数解,∴0<≤1,∴0<a≤3;分式方程两边都乘以(y﹣1)得:1﹣3y+2a=﹣2(y﹣1),解得:y=2a﹣1,∵分式方程的解为正数,∴2a﹣1>0,∴a>;∵y﹣1≠0,∴y≠1,∴2a﹣1≠1,∴a≠1,∴<a≤3,且a≠1,∵a是整数,∴a=2或3,∴2+3=5,故选:C.【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法,分式方程的解法,解分式方程时别忘记检验.7.(2021•九龙坡区校级模拟)若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解,且使关于x的分式方程有整数解,则满足条件的所有整数m的个数是()A.5B.4C.3D.2【考点】分式方程的解;一元一次不等式组的整数解.【专题】分式方程及应用;运算能力.【分析】解出不等式组的解集,根据不等式组有解且至多3个整数解,求得m的取值范围;解分式方程,检验,根据方程有整数解求得m的值【解答】解:,解不等式①得:x≥﹣1,∴﹣1≤x<,∵不等式组有解且至多3个整数解,∴﹣1<<2,∴﹣3<m<6,分式方程两边都乘以(x﹣1)得:mx﹣2﹣3=2(x﹣1),∴(m﹣2)x=3,当m≠2时,x=,∵x﹣1≠0,∴x≠1,∴≠1,∴m≠5,∵方程有整数解,∴m﹣2=±1,±3,解得:m=3,1,5,﹣1,∵m≠5,∴,m=3,1,﹣1.故选:C.【点评】本题考查了解一元一次不等式组,解分式方程,考核学生的计算能力,解分式方程时一定要检验.8.(2021春•重庆月考)若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解,且关于x的分式方程+=1有正数解,则所有满足条件的整数a的和为()A.12B.13C.14D.15【考点】分式方程的解;一元一次不等式组的整数解.【专题】分式方程及应用;运算能力.【分析】解不等式组,根据不等式组有且仅有3个整数解,得到a的范围;解分式方程,根据分式方程有意义和方程有正数解求得a的范围,从而得到2<a≤6,且a≠5,所以a 的整数解为3,4,6,和为13.【解答】解:,解不等式①得:x<5,解不等式②得:x≥,∴不等式组的解集为,∵不等式组有且仅有3个整数解,∴1<≤2,∴2<a≤6;分式方程两边都乘以(x﹣1)得:ax﹣2﹣3=x﹣1,解得:x=,∵x﹣1≠0,∴x≠1,∵方程有正数解,∴0,≠1,∴a>1,a≠5,∴2<a≤6,且a≠5,∴a的整数解为3,4,6,和为13,故选:B.【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法,分式方程的解法,解分式方程不要忘记检验.9.(2018春•温州期末)甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务,已知如下信息如果每小时只安排1名打字员,那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务,共需()A.13小时B.13小时C.14小时D.14小时【考点】分式方程的应用.【专题】分式方程及应用.【分析】设甲单独完成任务需要x小时,则乙单独完成任务需要(x﹣5)小时;根据信息二提供的信息列出方程并解答;根据信息三得到丙的工作效率,易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间.【解答】解:设甲单独完成任务需要x小时,则乙单独完成任务需要(x﹣5)小时,则=.解得x=20经检验x=20是原方程的根,且符合题意.则丙的工作效率是.所以一轮的工作量为:++=.所以4轮后剩余的工作量为:1﹣=.所以还需要甲、乙分别工作1小时后,丙需要的工作量为:﹣﹣=.所以丙还需要工作小时.故一共需要的时间是:3×4+2+=14小时.故选:C.【点评】本题考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.10.设x<0,x﹣=,则代数式的值()A.1B.C.D.【考点】分式的值;分式的加减法.【专题】计算题;整体思想.【分析】根据完全平方公式以及立方和公式即可求出答案.【解答】解:∵x﹣=,∴(x)2=5,∴x2+=7,∴(x+)2=x2+2+=9,∵x<0,∴x+=﹣3,∴x2+1=﹣3x,∴x4+1=7x2,∵(x2+)2=x4+2+,∴x4+=47,∴x8+1=47x4,∵x3+=(x+)(x2﹣1+),∴x3+=﹣18,∴x6+1=﹣18x3,∴原式=====故选:B.【点评】本题考查学生的整体的思想,解题的关键是熟练运用完全平方公式以及立方和公式,本题属于难题.二.填空题(共10小题)11.(2020秋•锦江区校级月考)若关于x的一元一次不等式组的解集为x ≥5,且关于y的分式方程+=﹣1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为﹣2.【考点】分式方程的解;解一元一次不等式组;一元一次不等式组的整数解.【专题】分式方程及应用;运算能力.【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集,根据不等式组的解集为x≥5,列出不等式求得a的范围;解分式方程,根据方程有非负整数解,且y﹣2≠0列出不等式,求得a 的范围;综上所述,求得a的范围.根据a为整数,求出a的值,最后求和即可.【解答】解:,解不等式①得:x≥5,解不等式②得:x>a+2,∵解集为x≥5,∴a+2<5,∴a<3;分式方程两边都乘以(y﹣2)得:y﹣a=﹣(y﹣2),解得:y=,∵分式方程有非负整数解,∴≥0,∴a≥﹣2,∵≠2,∴a≠2,综上所述,﹣2≤a<3且a≠2,∴符合条件的所有整数a的数有:﹣2,﹣1,0,1,和为﹣2﹣1+0+1=﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法,分式方程的解法,解分式方程时一定记得要检验.12.(2020秋•沙坪坝区校级月考)中秋、国庆“双节”前,某酒店推出甲,乙两种包装的月饼,其中甲种包装有五仁饼3个,莲蓉饼3个,豆沙饼2个,乙种包装有五仁饼1个,莲蓉饼1个,豆沙饼2个,每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和.已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为5:4,每盒乙包装月饼售价98元,利润率是40%,两种包装的月饼共50盒总价6123元,总利润率是30%.中秋节后,为降价促销,甲种包装每盒每类月饼各少装一个,乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半,利润率不变,那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是4710元(其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同,当然乙种包装盒数也相同).【考点】分式方程的应用.【专题】整式;运算能力.【分析】设乙的成本价为a,然后根据题意列出90﹣s=40%a,求得a,设五仁饼的成本价为x,则一个莲蓉饼的成本价,则两豆沙饼成本价为(70﹣),设五仁饼的成本价为x,则一个莲蓉饼的成本价,则两豆沙饼成本价为(70﹣),设甲礼盒和乙礼盒分别为m盒和n盒,然后列式计算即可.【解答】解:设乙的成本价为a,根据题意列出90﹣s=40%a,解得a=70,设五仁饼的成本价为x,则一个莲蓉饼的成本价,则两豆沙饼成本价为(70﹣),设甲礼盒和乙礼盒分别为m盒和n盒,m+n=50则有70n+m(3x+3×)=6213÷(1+30%)70n+70m+mx=4710.xm=,节后乙每盒成本98÷2÷(1+40%)=35,甲每盒成本2x+2×x+35﹣x=35+x,总成本35n+m(35+x)=35×50+×=2657.5.故答案为:2657.5.【点评】本题考查了列代数式和一元一次方程,根据题意正确列出代数式是解题的关键.13.(2019•雨城区校级模拟)若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解,且使关于y的方程=2的解为非负数,则符合条件的所有整数a的和为1.【考点】分式方程的解;解一元一次不等式;一元一次不等式组的整数解.【专题】计算题;方程与不等式;应用意识.【分析】解不等式组,得到不等式组的解集,根据整数解的个数判断a的取值范围,解分式方程,用含有a的式子表示y,根据解的非负性求出a的取值范围,确定符合条件的整数a,相加即可.【解答】解:,解①得,x<5;解②得,∴不等式组的解集为;∵不等式有且只有四个整数解,∴,解得,﹣2<a≤2;解分式方程得,y=2﹣a(a≠1);∵方程的解为非负数,∴2﹣a≥0即a≤2且a≠1综上可知,﹣2<a≤2且a≠1,∵a是整数,∴a=﹣1,0,2;∴﹣1+0+2=1,故答案为:1.【点评】本题考查了解一元一次不等式组,分式方程,本题易错,易忽视分式方程有意义的条件.14.(2014春•青羊区期末)已知x2﹣5x+1=0,则的值是.【考点】分式的化简求值.【分析】先根据题意得出x2=5x﹣1,再根据分式混合运算的法则进行计算即可.【解答】解:∵x2﹣5x+1=0,∴x2=5x﹣1,∴原式======.故答案为:.【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.15.(2009春•营山县期末)已知,则=﹣.【考点】分式的化简求值.【专题】探究型.【分析】先根据题意得出x﹣y=﹣2xy,再代入所求代数式进行计算即可.【解答】解:∵﹣=2,∴=2,即x﹣y=﹣2xy,原式====﹣.故答案为:﹣.【点评】本题考查的是分式的化简求值,在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用.16.已知实数x,y,z,a满足x+a2=2010,y+a2=2011,z+a2=2012,且xyz=6,则代数式++﹣﹣﹣的值等于.【考点】分式的化简求值.【专题】分式;运算能力;推理能力.【分析】根据xyz=6,可以先将所求式子化简,然后根据x+a2=2010,y+a2=2011,z+a2=2012,可以得到x﹣y=﹣1,y﹣z=﹣1,x﹣z=﹣2,然后代入化简后的式子即可解答本题.【解答】解:∵xyz=6,∴++﹣﹣﹣=﹣=﹣==[(x﹣y)2+(y﹣z)2+(x﹣z)2],∵x+a2=2010,y+a2=2011,z+a2=2012,∴x﹣y=﹣1,y﹣z=﹣1,x﹣z=﹣2,∴原式=×[(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣2)2]=×(1+1+4)==,故答案为:.【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.17.“非洲猪瘟”本是一种只在家畜之间传播的瘟疫,但最近已严重威胁到广大人民群众的生命安全,现我市有一组检疫工作人员(工作人员每人每天生猪检疫的效率相等),需对甲、乙两个生猪养殖场的所有生猪逐一检疫,已知,甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍.上午全部工作人员在甲养殖场检疫,为了尽快完成检疫,下午所有工作人员的平均工作效率提高了20%,但下午有一人因事离开,剩下的工作人员的一半仍留在甲养殖场(上、下午的工作时间相等),到下班前刚好把甲养殖场的生猪检疫完毕,另一半工作人员去乙养殖场检疫,到下班前还剩下一小部分生猪未检疫,最后由6人以提高前的检疫速度,再用不到半天的工作时间就完成了检疫.则这组工作人员最多有27人.【考点】分式方程的应用.【专题】一元一次不等式(组)及应用;应用意识.【分析】设每人每天可检疫x头猪,该组检疫工作人员有y人,则每人半天检疫头猪,由甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍,根据题意可得不等式,从而得解.【解答】解:设每人每天可检疫x头猪,该组检疫工作人员有y人,由题意得:xy+x(1+20%)×<2[x(1+20%)×+6×],化简得:0.4y<11.4∴y<28.5,∵y只能为正整数,且有一人离开后,人数平分∴y的最大值为27.故答案为:27.【点评】本题是较复杂的不等式应用题,题目中有两个变量,但是列完之后,每个因式中都含有x,从而可以消掉,变成一元一次不等式,从而得解,本题的难点在于变量较多,不等关系的得出较为复杂.18.(2021•九龙坡区模拟)临近端午,甲、乙两生产商分别承接制作白粽,豆沙粽和蛋黄粽的任务(三种粽子都有成品,甲生产商安排200名工人制作白粽和豆沙粽,每人只能制作其中一种粽子,乙生产商安排100名工人制作蛋黄粽,其中豆沙粽的人均制作数量比。

北京四中2013-2014学年下学期初中八年级期中考试数学试卷 后有答案

北京四中2013-2014学年下学期初中八年级期中考试数学试卷 后有答案

北京四中2013-2014学年下学期初中八年级期中考试数学试卷(考试时间为100分钟,A 卷满分为100分,B 卷满分为20分)A 卷一、选择题(本题共24分,每小题3分)。

1. 若函数23(2)m y m x -=+是正比例函数,则常数m 的值为( )A. -2B. 2C. -2或2D. 12. 若一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限,则( )A. 0,0k b >>B. 0,0k b ><C. 0,0k b <>D. 0,0k b <<3. 在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,若AC =1,BC=3,则AB 的长为( )A. 2B.C.D. 4. 一个矩形的两条对角线的交角为60°,且对角线的长度为12cm ,则较短边的长度为( )A. 12cmB. 4cmC. 6cmD. 3cm5. 直线2y x a =-+经过点1(3,)y 和2(2,)y -,则y 1与y 2的大小关系是( )A. 12y y >B. 12y y =C. 12y y <D. 无法确定6. 下列命题中正确的是( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线平分每一组对角的四边形是正方形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形7. 如图,分别以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形,若斜边AB =5,则图中阴影部分的面积为( )A. 252B. 254C. 6D. 25 8. 如图,矩形ABCD 中,AB =1,AD =2,M 是CD 的中点,点P 在矩形的边上沿A →B →C →M 运动,则△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是( )二、填空题(本题共24分,每小题3分)。

9. 函数y =x 的取值范围是________________。

10. 在平面直角坐标系中,把直线21y x =-向上平移3个单位长度后,其直线解析式为_______________。

《第1章三角形的证明》单元测试题-北师大版八年级数学下册(含答案) (4)

《第1章三角形的证明》单元测试题-北师大版八年级数学下册(含答案) (4)

第1章三角形的证明单元测试考试范围:第1章三角形的证明;考试时间:90分钟;总分:120分一、选择题(每小题3分,共36分)1.(2022·天津市第七中学八年级期末)等腰三角形的顶角是50︒,则这个三角形的一个底角的大小是()A.65︒B.40︒C.50︒D.80︒2.(2021·黑龙江五常·八年级期末)已知一个等腰三角形的两边长分别是4,5,则它的周长是()A.13B.14C.13或14D.9或12=,3.(2021·辽宁铁岭·八年级期末)如图,E是等边ABC∆中AC边上的点,12∠=∠,BE CD ∆是()则ADEA.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.无法确定4.(2021·浙江省衢州市衢江区实验中学八年级阶段练习)满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是()A.△A:△B:△C=5:12:13B.a:b:c=3:4:5C.△C=△A﹣△B D.b2=a2﹣c25.(2021·浙江瑞安·八年级期中)如图,在3×3的方格纸中,已知点A,B在方格顶点上(也称格点),若点C也是格点,且使得△ABC为直角三角形,则满足条件的C点有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.(2021·湖南·永州市剑桥学校八年级期中)已知△A,△B为直角△ABC两锐角,△B=54°,则△A=()A.60°B.36°C.56°D.46°7.(2021·黑龙江平房·八年级期末)到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边中垂线的交点8.(2021·广西三江·八年级期中)如图,AB垂直平分CD,若AC=2cm,BC=3cm,则四边形ACBD的周长是()A.5 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm9.(2021·湖南·株洲市天元区雷打石学校八年级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,△A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,点D为垂足,连接EC.如果BC=6,△BCE的周长是17,那么AB的长为()A .12B .11C .10D .510.(贵州省黔东南苗族侗族自治州2020-2021学年八年级上学期期末数学试题)如图,在ABC 中,90C ∠=︒,DE 是AB 的垂直平分线,AD 恰好平分BAC ∠.若3DE =,则BC 的长是( )A .9B .6C .7D .511.(2021·四川南充·八年级期末)如图,在Rt △ABC 中,△ACB =90°,BD 平分△ABC 交AC 于点D ,过点D 作DE △BC 交AB 于点E ,△ABC =30°,DC =2.动点P 从点B 出发,沿着B →C →A 运动,当S △PBE =4时,则△PEB 度数是( )A .105°B .75°或105°C .150°D .75°或150° 12.(2022·全国·八年级)如图所示,,AB CD O ∥为BAC ∠与ACD ∠平分线的交点,OE AC ⊥于,E 若2OE =,则AB 与CD 之间的距离是( )A .2B .4C .8D .无法确定二、填空题(每小题4分,共24分)13.(2022·广东东莞·八年级期末)若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于9cm 的等腰三角形,则该等腰三角形的腰长为_____cm .14.(2021·广东南沙·八年级期末)如图,△ABC 中,AB =AC =DC ,D 在BC 上,且AD =DB ,则△BAC =_____.15.(2021·江苏赣榆·八年级期末)如图,点P 是等边△ABC 内的一点,PA =6,PB =8,PC =10,若点P ′是△ABC 外的一点,且△P ′AB △△PAC ,则△APB 的度数为___.16.(2021·辽宁铁岭·八年级期末)如图,△80A ︒=,O 是AB ,AC 垂直平分线的交点,则BOC ∠的度数是________︒.17.(辽宁省抚顺市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题)如图,ABC 中,90C ∠=︒,AC BC =,AD 是CAB ∠的平分线,DE AB ⊥于点E ,已知8cm AC ,则BD DE +=______cm .18.(2021·广西隆安·八年级期中)如图,已知ABC 的周长是23,,OB OC 分别平分ABC ∠和,ACB OD BC ∠⊥于D ,且4,OD ABC =的面积是_______.三、解答题一(每小题8分,共16分)19.(2021·广东南沙·八年级期末)如图,在△ABC 中,AD △BC ,垂足为D .(1)尺规作图:作线段AC 的垂直平分线EF ,分别交BC 、AC 于点E 、F .(保留作图痕迹,不写作法)(2)若AB =EC ,AC =6,CD =5,求△ABC 的周长.20.(2021·陕西临渭·八年级期中)如图,在△ABC中,AB=7cm,AC=25cm,BC=24cm,动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B,动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s 的速度运动至点C,P、Q两点同时出发.(1)求△B的度数;(2)连接PQ,若运动2s时,求P、Q两点之间的距离.21.(2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中)已知:如图,在△ABC中,△ABC和△ACB 的角平分线相交于点P,且PE△AB,PF△AC,垂足分别为E、F.(1)求证:PE=PF;(2)连接AP,若△ACB=80°,求△APB的度数.BC,22.(2022·辽宁大石桥·八年级期末)如图,△ABC是等边三角形,延长BC到点E,使CE=12若D是AC的中点,连接ED并延长交AB于点F.(1)若AF=3,求AD的长;(2)求证:DE=2DF.23.(2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中)如图,△ABC中,AB=AC,BF△AE于E 交AF于点F,连结CF.△BAC;(1)如图1所示,当EF=BE+CF,求证△EAF=12△BAC,求证:CF=BF+2BE.(2)如图2所示,△EAF=1224.(2022·四川仁寿·八年级期末)如图,已知△ABC中,△C=90°,AC=5cm,BC=12cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿AC运动,且速度为每秒1cm,点Q从点C开始沿CB运动,且速度为每秒2cm,其中一个点到达端点,另一个点也随之停止,它们同时出发,设运动的时间为t秒.(1)当t=2秒时,求PQ的长;(2)求运动时间为几秒时,△PQC是等腰三角形?(3)P、Q在运动的过程中,用含t(0<t<5)的代数式表示四边形APQB的面积.答案及解析一、选择题(每小题3分,共36分)1.(2022·天津市第七中学八年级期末)等腰三角形的顶角是50︒,则这个三角形的一个底角的大小是( )A .65︒B .40︒C .50︒D .80︒ 【答案】A【分析】根据等腰三角形的两底角相等,即可求解.【详解】解:△等腰三角形的顶角是50︒,△这个三角形的一个底角的大小是()118050652︒-︒=︒ . 故选:A【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键. 2.(2021·黑龙江五常·八年级期末)已知一个等腰三角形的两边长分别是4,5,则它的周长是( )A .13B .14C .13或14D .9或12【答案】C【分析】等腰三角形的性质是两腰长相等,需进行分类讨论:当腰长为5,底边长为4时;当腰长为4,底边长为5时,分别计算三角形周长即可.【详解】解:等腰三角形的性质是两腰长相等,需进行分类讨论:当腰长为5,底边长为4时,周长为:25414⨯+=;⨯+=;当腰长为4,底边长为5时,周长为:24513故选:C.【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质,对等腰三角形进行分类讨论是解题关键.=,3.(2021·辽宁铁岭·八年级期末)如图,E是等边ABC∆中AC边上的点,12∠=∠,BE CD ∆是()则ADEA.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.无法确定【答案】B【分析】先证得△ABE△△ACD,可得AE=AD,△BAE=△CAD=60°,即可证明△ADE是等边三角形.【详解】解:△△ABC为等边三角形△AB=AC,△BAE=60°,△△1=△2,BE=CD,△△ABE△△ACD(SAS),△AE=AD,△BAE=△CAD=60°,△△ADE是等边三角形.故选B.【点睛】此题考查等边三角形的性质与判定,全等三角形的判定与性质,解题关键在于掌握等边三角形的判定定理.4.(2021·浙江省衢州市衢江区实验中学八年级阶段练习)满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是()A.△A:△B:△C=5:12:13B.a:b:c=3:4:5C.△C=△A﹣△B D.b2=a2﹣c2【答案】A【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解.【详解】解:A、△△A:△B:△C=5:12:13,△△C=180°×1325=93.6°,不是直角三角形,故此选项正确;B、△32+42=52,△是直角三角形,故此选项不合题意;C、△△A﹣△B=△C,△△A=△B+△C,△△A+△B+△C=180°,△△A=90°,△是直角三角形,故此选项不合题意;D、△b2=a2﹣c2,△a2=b2+c2,是直角三角形,故此选项不合题意;故选:A.【点睛】本题考查了直角三角形的性质,主要利用了三角形的内角和定理,勾股定理逆定理.5.(2021·浙江瑞安·八年级期中)如图,在3×3的方格纸中,已知点A,B在方格顶点上(也称格点),若点C也是格点,且使得△ABC为直角三角形,则满足条件的C点有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据题意,结合图形,分两种情况讨论:①AB为直角△ABC斜边;②AB为等腰直角△ABC 其中的一条直角边.【详解】解:如图,分情况讨论:①AB为直角△ABC斜边时,符合条件的格点C点有2个;②AB为直角△ABC其中的一条直角边时,符合条件的格点C点有1个.故共有3个点,故选:C.【点睛】本题考查了直角三角形的判定;解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.6.(2021·湖南·永州市剑桥学校八年级期中)已知△A,△B为直角△ABC两锐角,△B=54°,则△A=()A.60°B.36°C.56°D.46°【答案】B【分析】根据直角三角形中,两锐角互余计算即可.【详解】解:△△A,△B为直角△ABC两锐角,△9036∠=︒-∠=︒,A B故选:B.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质,掌握直角三角形中,两个锐角互余是解题的关键.7.(2021·黑龙江平房·八年级期末)到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边中垂线的交点【答案】D【分析】由题意根据线段的垂直平分线上的性质,则有三角形三边中垂线的交点到三角形的三个顶点距离相等.【详解】解:△垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等,△到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边中垂线的交点.故选:D.【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质,解题的关键是注意掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.8.(2021·广西三江·八年级期中)如图,AB垂直平分CD,若AC=2cm,BC=3cm,则四边形ACBD的周长是()A.5 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm【答案】D【分析】由AB垂直平分CD,根据线段垂直平分线的性质,可得AD=AC=2cm,BD=BC=3cm,继而求得答案.【详解】解:△AB垂直平分CD,△AD=AC=2cm,BD=BC=3cm,△四边形ABCD的周长是:AC+BC+BD+AD=10(cm).故选:D.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质.注意垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.9.(2021·湖南·株洲市天元区雷打石学校八年级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,△A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,点D为垂足,连接EC.如果BC=6,△BCE的周长是17,那么AB的长为()A.12B.11C.10D.5【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质得CE=AE,从而得出答案.【详解】解:△AC的垂直平分线交AB于E,点D为垂足,△CE=AE,△BE+AE=BE+CE=AB,△△BCE的周长是17,△BC+CE+BE=17,△BC=6,△BE+CE=17﹣6=11,△AB=11,故选B.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质,熟知性质是解题的关键:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.10.(贵州省黔东南苗族侗族自治州2020-2021学年八年级上学期期末数学试题)如图,在ABC 中,90C ∠=︒,DE 是AB 的垂直平分线,AD 恰好平分BAC ∠.若3DE =,则BC 的长是( )A .9B .6C .7D .5【答案】A【分析】 根据角平分线上点到角两边的距离相等可得AD BD =,再根据等边对等角的性质求出DAB B ∠=∠,然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余,求出30B ∠=︒,再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出BD ,然后求解即可.【详解】解:AD 平分BAC ∠,且DE AB ⊥,90C ∠=︒,3CD DE ∴==,DE 是AB 的垂直平分线,AD BD ∴=,B DAB ∴∠=∠,DAB CAD ∠=∠,CAD DAB B ∴∠=∠=∠,90C ∠=︒,90CAD DAB B ∴∠+∠+∠=︒,30B ∴∠=︒,26BD DE ∴==,639BC BD CD ∴=+=+=,故选:A【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理,直角三角形的性质,等腰三角形的性质等知识,熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等;等边对等角;直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.11.(2021·四川南充·八年级期末)如图,在Rt △ABC 中,△ACB =90°,BD 平分△ABC 交AC 于点D ,过点D 作DE △BC 交AB 于点E ,△ABC =30°,DC =2.动点P 从点B 出发,沿着B →C →A 运动,当S △PBE =4时,则△PEB 度数是( )A .105°B .75°或105°C .150°D .75°或150°【答案】D【分析】 分两种情况:当点P 在BC 边上时,连接EP ,过点E 作EF BC ⊥于F ,根据平行线之间距离相等可得:2EF CD ==,由含30°角的直角三角形性质可得:24BE EF ==,再结合三角形面积即可得出BP BE =,最后运用三角形内角和定理及等腰三角形性质即可;当点P 在AC 边上时,过点P 作PG AB ⊥于点G ,利用角平分线判定定理可得出:BP 平分ABC ∠,即点P 与点D 重合,再利用平行线性质即可.【详解】解:当点P 在BC 边上时,如图1,连接EP ,过点E 作EF BC ⊥于F ,△∥DE BC ,EF BC ⊥,DC BC ⊥,△2EF CD ==,在Rt BEF 中,90BFE ∠=︒,30ABC ∠=︒,△24BE EF ==,△4PBE S =,△1242BP ⨯⨯=,△4BP =, △BP BE =,△()()11180180307522PEB ABC ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒;当点P 在AC 边上时,如图2,过点P 作PG △AB 于点G ,△4PBE S =,△142BE PG ⨯⨯=,即1442PG ⨯⨯=, △2PG =,△PC BC ⊥,PG AB ⊥,2PG PC ==,△BP 平分△ABC ,即点P 与点D 重合,△∥DE BC ,△180********DEB ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒,即150PEB ∠=︒,综上所述,75PEB ∠=︒或150︒,故选:D .【点评】本题考查了直角三角形性质,角平分线性质和判定定理,平行线性质,等腰三角形性质等,添加辅助线构造直角三角形是解题关键.12.(2022·全国·八年级)如图所示,,AB CD O ∥为BAC ∠与ACD ∠平分线的交点,OE AC ⊥于,E 若2OE =,则AB 与CD 之间的距离是( )A .2B .4C .8D .无法确定【答案】B【分析】 过点O 作MN AB ⊥于M ,交CD 于N ,利用角平分线的性质求出OM 、ON ,最后即可求出AB 与CD 之间的距离.【详解】如图,过点O 作MN AB ⊥于M ,交CD 于N ,//AB CD ,MN CD ∴⊥,AO BAC ∠是的平分线,,,2OM AB OE AC OE ⊥⊥=,2∴==OM OE ,CO 是ACD ∠的平分线,OE AC ⊥,ON CD ⊥,2∴==ON OE ,4∴=+=MN OM ON ,即AB CD 与之间的距离是4.故选:B .【点睛】本题主要是考查了角平分线的性质,熟练地应用角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边相等,求出对应相等的边,是解决本题的关键.二、填空题(每小题4分,共24分)13.(2022·广东东莞·八年级期末)若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于9cm 的等腰三角形,则该等腰三角形的腰长为_____cm .【答案】9或7.5或9【分析】分9是底边和腰长两种情况,分别列出方程,求解即可得到结果.【详解】解:若9cm为底时,腰长应该是12(24-9)=7.5cm,故三角形的三边分别为7.5cm、7.5cm、9cm,△7.5+7.5=15>9,故能围成等腰三角形;若9cm为腰时,底边长应该是24-9×2=6,故三角形的三边为9cm、9cm、6cm,△6+9=15>9,△以9cm、9cm、6cm为三边能围成三角形,综上所述,腰长是9cm或7.5cm,故答案为:9或7.5.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的周长,掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键.14.(2021·广东南沙·八年级期末)如图,△ABC中,AB=AC=DC,D在BC上,且AD=DB,则△BAC=_____.【答案】108°108度【分析】先设△B=x,由AB=AC可知,△C=x,由AD=DB可知△B=△DAB=x,由三角形外角的性质可知△ADC=△B+△DAB=2x,根据DC=CA可知△ADC=△CAD=2x,再在△ABC中,由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程,求出x的值,从而求解.【详解】设△B=x,△△C=△B=x,△AD=DB,△△B=△DAB=x,△△ADC=△B+△DAB=2x,△DC=CA,△△ADC=△CAD=2x,在△ABC中,x+x+2x+x=180°,解得:x=36°.△△BAC=108°.故答案为:108°.【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理,解题的关键是熟练进行逻辑推理15.(2021·江苏赣榆·八年级期末)如图,点P是等边△ABC内的一点,PA=6,PB=8,PC =10,若点P′是△ABC外的一点,且△P′AB△△PAC,则△APB的度数为___.【答案】150°【分析】如图:连接PP′,由△PAC△△P′AB可得PA=P′A、△P′AB=△PAC,进而可得△APP′为等边三角形易得PP′=AP=AP′=6;然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形,且△BPP′=90°,最后根据角的和差即可解答.解:连接PP′,△△PAC△△P′AB,△PA=P′A,△P′AB=△PAC,△△P′AP=△BAC=60°,△△APP′为等边三角形,△PP′=AP=AP′=6;△PP′2+BP2=BP′2,△△BPP′为直角三角形,且△BPP′=90°,△△APB=90°+60°=150°.故答案为:150°.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点,灵活应用相关知识点成为解答本题的关键.∠16.(2021·辽宁铁岭·八年级期末)如图,△80=,O是AB,AC垂直平分线的交点,则BOCA︒的度数是________︒.【答案】160【分析】首先需要根据条件作出辅助线OA,根据垂直平分线得性质:线段垂直平分线上任意一点到∠和该线段两端点的距离相等,可以构造等腰三角形,即可进行角度转换求解,解得BCO∠的度数为10︒,最终根据三角形的内角和求得BOC∠的度数为160︒.CBO【详解】解:如图所示:连接OA,△△A=80°,△△ABC+△ACB=180°-△A =100°,△O是AB,AC垂直平分线的交点,△OA=OB,OA=OC,△△OAB =△OBA ,△OCA =△OAC ,OB =OC ,△△OBA +△OCA =△OAB +△OAC =△A =80°,△△OBC +△OCB =100°﹣80°=20°,△OB =OC ,△△BCO =△CBO =10°,△△BOC=180°-△BCO -△CBO =180°-10° - 10°=160°故答案为:160°.【点睛】本题重点考查的是线段垂直平分线的性质的运用,利用性质进行构造等腰三角形,并进行求解是解本题的关键. 17.(辽宁省抚顺市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题)如图,ABC 中,90C ∠=︒,AC BC =,AD 是CAB ∠的平分线,DE AB ⊥于点E ,已知8cm AC ,则BD DE +=______cm .【答案】8【分析】由角平分线的性质可得CD =DE ,则BD +DE =BD +CD =BC ,由此进行求解即可.【详解】解:△DE △AB ,△C =90°,AD 是△BAC 的角平分线,△CD =DE ,△BD +DE =BD +CD =BC ,又△AC =BC =8cm ,△BD +DE =8cm ,故答案为:8.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质,解题的关键在于能够熟记角平分线上的点到角两边的距离相等.18.(2021·广西隆安·八年级期中)如图,已知ABC 的周长是23,,OB OC 分别平分ABC ∠和,ACB OD BC ∠⊥于D ,且4,OD ABC =的面积是_______.【答案】46【分析】连接AO ,过点O 作OE △AB 于点E ,OF △AC 于点F ,根据角平分线的性质定理,可得OD =OE ,OD =OF =4,再由ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△,即可求解.【详解】解:如图,连接AO ,过点O 作OE △AB 于点E ,OF △AC 于点F ,△,OB OC 分别平分ABC ∠和,ACB OD BC ∠⊥,4OD =,△OD =OE ,OD =OF =4,△111222ABC AOB BOC AOC S S S S AB OE CB OD AC OF =++=⋅+⋅+⋅ ()114234622OD AB BC AC =⨯⨯++=⨯⨯= . 故答案为:46【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理,熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.三、解答题一(每小题8分,共16分)19.(2021·广东南沙·八年级期末)如图,在△ABC 中,AD △BC ,垂足为D .(1)尺规作图:作线段AC 的垂直平分线EF ,分别交BC 、AC 于点E 、F .(保留作图痕迹,不写作法)(2)若AB =EC ,AC =6,CD =5,求△ABC 的周长.【答案】(1)见解析;(2)16;【分析】(1)利用基本作图,作AC的垂直平分线即可;(2)根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC,则AB=AE,根据等腰三角形的性质得到BD =ED,然后利用等线段代换得到△ABC的周长=2CD+AC.【详解】解:(1)如图,EF为所作;(2)连接AE,如图,△EF垂直平分AC,△EA=EC,△AB=CE,△AB=AE,△AD△BC,△BD=ED,△△ABC的周长=AB+BD+CD+AC=CE+DE+CD+AC=2CD+AC=2×5+6=16.【点睛】本题考查了作图-基本作图:熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键.也考查了线段垂直平分线的性质.20.(2021·陕西临渭·八年级期中)如图,在△ABC中,AB=7cm,AC=25cm,BC=24cm,动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B,动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C,P、Q两点同时出发.(1)求△B的度数;(2)连接PQ,若运动2s时,求P、Q两点之间的距离.【答案】(1)△B=90°;(2)P、Q两点之间的距离为13cm【分析】(1)如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.依据勾股定理的逆定理进行判断即可;(2)依据运动时间和运动速度,即可得到BP和BQ的长,再根据勾股定理进行计算,即可得到PQ的长.【详解】解:(1)△AB=7cm,AC=25cm,BC=24cm,△AB2+BC2=625=AC2,△△ABC是直角三角形且△B=90°;(2)运动2s时,AP=1×2=2(cm),BQ=2×6=12(cm),△BP=AB﹣AP=7﹣2=5(cm),Rt△BPQ中,2222+=+=,PQ BP BQ51213cm△P、Q两点之间的距离为13cm.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理,解题的关键在于能够根据题意求出△B=90°.四、解答题二(每小题10分,共20分)21.(2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中)已知:如图,在△ABC中,△ABC和△ACB 的角平分线相交于点P,且PE△AB,PF△AC,垂足分别为E、F.(1)求证:PE=PF;(2)连接AP,若△ACB=80°,求△APB的度数.【答案】(1)见解析;(2)130°【分析】(1)过点P作PD△BC于D,可得PD=PE=PF;(2)根据三角形内角和求出△BAC+△ABC=100°,再根据角平分线的定义得到AP平分△BAC,从而得出△PAB+△PBA,再次根据三角形内角和求出△APB.【详解】解:(1)过点P作PD△BC于D,△△ABC和△ACB的角平分线相交于点P,且PE△AB,PF△AC,△PD=PE,PD=PF,△PE=PF;(2)△△ACB=80°,△△BAC+△ABC=180°-80°=100°,△△ABC和△ACB的角平分线相交于点P,△AP平分△BAC,△△PAB+△PBA=1(△BAC+△ABC)=50°,2△△APB=180°-50°=130°.【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质,三角形内角和,熟记定理是解题的关键.22.(2022·辽宁大石桥·八年级期末)如图,△ABC是等边三角形,延长BC到点E,使CE=12 BC,若D是AC的中点,连接ED并延长交AB于点F.(1)若AF=3,求AD的长;(2)求证:DE=2DF.【答案】(1)6;(2)见解析【分析】(1)根据等边三角形的性质得出AC=BC,△A=△ACB=60°,求出△E=△CDE,根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出BD=DE,求出AD的长即可;(2)连接BD,求出BD=DE,根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=2DF,即可得出答案.【详解】解:(1)△△ABC为等边三角形,△AC=BC,△A=△ACB=60°,△D为AC中点,△CD=AD=12 AC,△CE=12 BC,△CD=CE,△△E=△CDE,△△ACB=△E+△CDE,△△E=△CDE=30°,△△ADF=△CDE=30°,△△A=60°,△△AFD=180°-△A-△ADF=90°,△AF=3,△AD=2AF=6,(2)连接BD,△△ABC为等边三角形,D为AC中点,△BD平分△ABC,△ABC=60°,△△DBC=△ABD=12△ABC=30°,△△BFD=90°,△BD=2DF,△△DBC=△E=30°,△BD=DE,△DE=2DF,【点睛】本题考查了等边三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质,等腰三角形的判定,三角形的外角性质,三角形的内角和定理等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.五、解答题三(每小题12分,共24分)23.(2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中)如图,△ABC中,AB=AC,BF△AE于E 交AF于点F,连结CF.△BAC;(1)如图1所示,当EF=BE+CF,求证△EAF=12△BAC,求证:CF=BF+2BE.(2)如图2所示,△EAF=12【答案】(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)在EF上截取EH=BE,由“SSS”可证△ACF△△AHF,可得△CAF=△HAF,可得结论;(2)在BE的延长线上截取EN=BE,连接AN,由“SAS”可证△ACF△△ANF,可得CF=NF,可得结论.【详解】解:(1)如图,在EF上截取EH=BE,连接AH,△EB=EH,AE△BF,△AB=AH,△AB=AH,AE△BH,△△BAE=△EAH,△AB=AC,△AC=AH,△EF =EH +HF =BE +CF ,△CF =HF ,在△ACF 和△AHF 中,AC AHAF AF CF HF=⎧⎪=⎨⎪=⎩,△△ACF △△AHF (SSS ),△△CAF =△HAF ,△△BAE +△CAF =△EAH +△FAH =△EAF ,即△EAF =12△BAC ;(2)如图,在BE 的延长线上截取EN =BE ,连接AN ,△AE △BF ,BE =EN ,AB =AC ,△AN =AB =AC ,△AN =AB ,AE △BN ,△△BAE =△NAE ,△△EAF =12△BAC ,△△EAF +△NAE =12(△BAC +2△NAE )△△FAN =12△CAN ,△△FAN =△CAF ,在△ACF 和△ANF 中,AC AN CAF NAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△△ACF △△ANF (SAS ),△CF =NF ,△CF =BF +2BE .【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,垂直平分线的性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.24.(2022·四川仁寿·八年级期末)如图,已知△ABC 中,△C =90°,AC =5cm ,BC =12cm ,P 、Q 是△ABC 边上的两个动点,其中点P 从点A 开始沿AC 运动,且速度为每秒1cm ,点Q 从点C 开始沿CB 运动,且速度为每秒2cm ,其中一个点到达端点,另一个点也随之停止,它们同时出发,设运动的时间为t 秒.(1)当t =2秒时,求PQ 的长;(2)求运动时间为几秒时,△PQC 是等腰三角形?(3)P 、Q 在运动的过程中,用含t(0<t <5)的代数式表示四边形APQB 的面积.【答案】(1)PQ =5cm ;(2)t =53;(3)S 四边形APQB =30﹣5t +t 2.【分析】(1)先分别求出CQ 和CP 的长,再根据勾股定理解得即可;(2)由△C =90°可知,当△PCQ 是等腰三角形时,CP =CQ ,由此求解即可;(3)由S 四边形APQB =S △ACB ﹣S △PCQ 进行求解即可.【详解】解:(1)由题意得,AP =t ,PC =5﹣t ,CQ =2t ,△△C =90°,△PQ 2222(5)(2)PC CQ t t +-+,△t =2,△PQ 22345cm +,(2)△△C =90°,△当CP =CQ 时,△PCQ 是等腰三角形,△5﹣t =2t ,解得:t =53,△t =53秒时,△PCQ 是等腰三角形;(3)由题意得:S 四边形APQB =S △ACB ﹣S △PCQ=1122AC CB PC CQ ⋅-⋅=11512(5)222t t ⨯⨯-⨯-⨯=30﹣5t +t 2.【点睛】本题主要考查了勾股定理,等腰三角形的定义,列函数关系式,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解。

北师大八年级数学下册一元一次不等式应用题精讲及分类训练(分类训练含答案)

北师大八年级数学下册一元一次不等式应用题精讲及分类训练(分类训练含答案)

一元一次不等式(组)解应用题精讲及分类练习识别不等式(组)类应用题的几个标志,供解题时参考.一.下列情况列一元一次不等式解应用题1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超过”等.例1.为了能有效地使用电力资源,宁波市电业局从1月起进行居民峰谷用电试点,每天8:00至22:00用电千瓦时0.56元(“峰电” 价),22:00至次日8:00每千瓦时0.28元(“谷电” 价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.当“峰电”用量不超过...每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?分析:本题的一个不等量关系是由句子“当‘峰电’用量不超过...每月总电量的百分之几时,使用‘峰谷’电合算”得来的,文中带加点的字“不超过...”明显告诉我们该题是一道需用不等式来解的应用题.解:设当“峰电”用量占每月总用电量的百分率为x 时,使用“峰谷”电合算,月用电量总量为y.依题意得0.56xy+0.28y(1-x)<0.53y.解得x <89℅答:当“峰电”用量占每月总用电量的89℅时,使用“峰谷”电合算.2.应用题仍含有一个不等量关系,但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的,而是用比较隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断.例2.周未某班组织登山活动,同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发.设甲、乙两组行进同一段路程所用的时间之比为2:3.⑴直接写出甲、乙两组行进速度之比;⑵当甲组到达山顶时,乙组行进到山腰A处,且A处离山顶的路程尚有1.2千米.试问山脚离山顶的路程有多远?⑶在题⑵所述内容(除最后的问句外)的基础上,设乙组从A处继续登山,甲组到达山顶后休息片刻,再从原路下山,并且在山腰B 处与乙组相遇.请你先根据以上情景提出一个相应的问题,再给予解答(要求:①问题的提出不得再增添其他条件;②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件).解:⑴甲、乙两组行进速度之比为3:2.⑵设山腰离山顶的路程为x 千米,依题意得方程为232.1=-x x , 解得x =6.3(千米).经检验x =6.3是所列方程的解,答:山脚离山顶的路程为6.3千米.⑶可提问题:“问B 处离山顶的路程小于多少千米?”再解答如下:设B 处离山顶的路程为m千米(m>0)甲、乙两组速度分别为3k 千米/时,2k 千米/时(k >0) 依题意得k m 3<km 22.1-,解得m<0.72(千米). 答:B 处离山顶的路程小于0.72千米.说明:本题由于所要提出的问题被两个条件所限制,因此,所提问题应从句子“乙组从A 处继续登山,甲组到达山顶后休息片刻....,再从原路下山,并且在山腰B 处与乙组相遇”去突破,若注意到“甲组到达山顶后休息片刻....”中加点的四个字,我们就可以看出题中隐含着这样一个不等关系:乙组从A 处走到B 处所用的时间比甲组从山顶下到B 处所用的时间来得少,即可提出符合题目要求的问题且可解得正确的答案.二.下列情况列一元一次不等式组解应用题1.应用题中含有两个(或两个以上,下同)不等量的关系.它们是由两个明显的不等关系体现出来,一般是讲两件事或两种物品的制作、运输等.例3.已知服装厂现有A 种布料70米,B 种布料52米,现计划用这两种面料生产M,N 两种型号的时装共80套.已知做一套M 型号的时装需用A 种布料0.6米,B 种布料0.9米,可获利45元;做一套N 型号的时装需用A 种布料1.1米,B 种布料0.4米,可获利润50元.若设生产N 型号码的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y 元.(1)求y(元)与x(套)的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围;(2)服装厂在生产这批时装中,当N 型号的时装为多少套时,所获利润最大?最大利润是多少? 分析:本题存在的两个不等量关系是:①合计生产M 、N 型号的服装所需A 种布料不大于70米;②合计生产M 、N 型号的服装所需B 种布料不大于52米.解:(1)=y ()x x 508045+-,即36005+=x y .依题意得⎩⎨⎧≤+-≤+-.524.0)80(9.0;701.1)80(6.0x x x x 解之,得40≤x ≤44.∵x 为整数,∴自变量x 的取值范围是40,41,42,43,44.(2)略2.两个不等关系直接可从题中的字眼找到,这些字眼明显存在着上下限.例4.某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,则最后一人得到的课外读物不足..3.本..设该校买了m 本课外读物,有x 名学生获奖.请回答下列问题:(1)用含x 的代数式表示m;(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.分析:不等字眼“不足..3.本.”即是说全部课外读物减去5(x -1)本后所余课外读物应在大于等于0而小于3这个范围内.解:(1)m=3x+8(2)由题意,得⎩⎨⎧<--+≥--+.3)1(5830)1(583x x x x ∴不等式组的解集是:5<x ≤213 ∵x 为正整数,∴x=6.把x=6代入m=3x+8,得m=26.答:略例5.某城市的出租汽车起步价为10元(即行驶距离在5千米以内都需付10元车费),达到或超过5千米后,每行驶1千米加1.2元(不足1千米也按1千米计).现某人乘车从甲地到乙地,支付车费17.2元,问从甲地到乙地的路程大约是多少?分析:本题采用的是“进一法”,对于不等关系的字眼“不足1千米也按1千米计”,许多同学在解题时都视而不见,最终都列成了方程类的应用题,事实上,顾客所支付的17.2元车费是以上限11公里来计算的,即顾客乘车的范围在10公里至11公里之间.理论上收费是按式子10+1.2(x-5)来进行的,而实际收费是取上限值来进行的.解:设从甲地到乙地的路程大约是x 公里,依题意,得10+5×1.2<10+1.2(x-5)≤17.2解得10<x ≤11 答:从甲地到乙地的路程大于10公里,小于或等于11公里.用一元一次不等式组解决实际问题的步骤:⑴审题,找出不等关系;⑵设未知数;⑶列出不等式;⑷求出不等式的解集;⑸找出符合题意的值;⑹作答。

人教数学八年级下册北京市第4中学第二学期初二期中练习及答案.docx

人教数学八年级下册北京市第4中学第二学期初二期中练习及答案.docx

初中数学试卷桑水出品北京市第154中学2014—2015学年度第二学期初二数学期中练习本试题共5页,共六道大题,满分100分,考试时长90分钟。

题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一、.精心选一选 (每小题3分,共30分)1.在△ABC 中,AB =6,AC =8,BC =10,则该三角形为( )A .锐角三角形B .直角三角形C . 钝角三角形D .等腰直角三角形2.下列命题中,正确的是( ).(A)两组角相等的四边形是平行四边形(B)一组对边相等,两条对角线相等的四边形是平行四边形 (C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 (D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形3. 菱形的周长为4,一个内角为60°,则较短的对角线长为( )A .2B . 3C .1D .124.关于x 的方程(a -5)x 2-4x -1=0有实数根,则a 满足( )A .a ≥1B .a >1且a ≠5C .a ≥1且a ≠5D .a ≠55.已知一元二次方程 x 2+ x ─ 1 = 0,下列判断正确的是( )A .该方程有两个相等的实数根B .该方程有两个不相等的实数根C .该方程无实数根D .该方程根的情况不确定6.已知反比例函数的图象y =kx 过点P (1,3),则该反比例函数图象位于( )A .第一、二象限B .第一、三象限C .第二、四象限D .第三、四象限7.如图,矩形ABOC 的面积为3,反比例函数ky x=的图象过点A ,则k =( ) A .3B .5.1-C .3-D .6-8. 如图,四边形ABCD 的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是( ) A .AB CD =B .AD BC = C .AB BC =D .AC BD =9如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形'''D C AB , 边''C B 与DC 交于点O ,则四边形OD AB '的周长..是 A .22 B .3 C .2 D .21+10. 如图所示,把一长方形纸片沿MN 折叠后,点D ,C 分别落在D ′,C ′的位置.若∠AMD ′=36°,则∠NFD ′ 等于(第9题图)OC 'B 'D 'DCB A第7题图(A )144°(B )126°(C )108° (D )72°二.细心填一填(每小题2分,共20分)11. 在,90, =∠∆ACB ABC Rt 中D 是AB 的中点,CD=4cm ,则AB= cm 。

北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步练习(含答案)

北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步练习(含答案)

北师大版八年级数学下册 1.4 角平分线 同步练习一、单选题(共 10 题;共 20 分)1.如图,OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为 A,B。

下列结论中不一定成立的是( )A.PA=PBB.PO 平分∠AOBC.OA=OBD.AB 垂直平分 OP )2.如图, AB∥CD,AP, CP 分别平分∠BAC 和∠ACD, PE⊥AC 于点 E, 且 PE=3cm, 则 AB 与 CD 之间的距离为(A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.无法确定3.如图,以∠AOB 的顶点 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 OA 于点 C,交 OB 于点 D,再分别以点 C,D 为圆 心,大于 CD 的长为半径画弧,两弧在∠AOB 内部交于点 E,作射线 OE,连接 CD,以下说法错误的是( )A. △ OCD 是等腰三角形 C. CD 垂直平分 OEB. 点 E 到 OA,OB 的距离相等 D. 证明射线 OE 是角平分线的依据是 SSS4.如图,在△ ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 G,过点 G 作 EF∥BC 交 AB 于 E, 交 AC 于 F, 过点 G 作 GD⊥AC 于 D,下列四个结论:①EF=BE+CF;②∠BGC=90+ AE+AF=n,则△∠A;③点 G 到△ ABC 各边的距离相等;④设 GD=m,=mn.其中正确的结论有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.如图,在△ ABC 中,∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O,过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于 F,交 AC 于 E,过点 O 作 OD⊥BC 于 D,下列四个结论:① ∠AOB=90°+∠②AE+BF=EF;③当∠C=90°时,E,F 分别是 AC,BC 的中点;④若 OD=a,CE+CF=2b, ) C. ①②④ D. ①③④则 S△ CEF=ab 其中正确的是( A. ①② 则可供选择的地点有( )B. ③④6.如图,直线 l1 , l2 , l3 表示三条相交叉的公路.现在要建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,A.四处B.三处C.两处D.一处7.如图,△ ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 20、30、40,其三条角平分线将△ ABC 分为三个三角形,则 S△ ABO ︰S△ BCO︰S△ CAO 等于( )A. 1︰1︰1 则 DQ 的最小值( )B. 1︰2︰3C. 2︰3︰4D. 3︰4︰58.如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,若 CD=3,点 Q 是线段 AB 上的一个动点,A. 5B. 4C. 3D. 29.∠AOB 的平分线上一点 P 到 OA 的距离为 4,Q 是 OB 上任一点,则( ) B. PQ>4 D. PQ<4A. PQ≥4C. PQ≤410.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平 分线.如图:一把直尺压住射线 OB,另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P,小明说:“射线 OP就是∠BOA 的角平分线.”他这样做的依据是()A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等D. 以上均不正确二、填空题(共 6 题;共 8 分)11.如图,要在河流的南边,公路的左侧 M 区处建一个工厂,位置选在到河流和公路的距离相等,并且到河流 与公路交叉 A 处的距离为 1cm(指图上距离),则图中工厂的位置应在________.12.如图,△ ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AE 是∠BAC 的平分线,点 E 到 AB 的距离等于 3cm,则 CF=________cm.13.如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,AD 是△ ABC 的角平分线,若 CD=4,AC=12,BC=9,则 S△ ABD =________.14.如图, △ ABC 中, ∠A=100°, BI、 CI 分别平分∠ABC, ∠ACB, CM 分别平分∠ABC, 则∠BIC=________, 若 BM、 ∠ACB 的外角平分线,则∠M=________.15.如图,已知相交直线 AB 和 CD 及另一直线 MN,如果要在 MN 上找出与 AB,CD 距离相等的点,则这样的点 至少有________个,最多有________个.16.如图,在△ ABC 中,∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1 , ∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线 交于点 A2 , 依此类推….已知∠A=α,则∠An 的度数为________(用含 n、α 的代数式表示).三、解答题(共 6 题;共 55 分)17.如图,直线 l 及 A、B 两点(保留作图痕迹,不写作法)。

人教数学八年级下册北京市第4中学第二学期初二期中练习及答案.docx

人教数学八年级下册北京市第4中学第二学期初二期中练习及答案.docx

初中数学试卷桑水出品北京市第154中学2014—2015学年度第二学期初二数学期中练习本试题共5页,共六道大题,满分100分,考试时长90分钟。

题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一、.精心选一选 (每小题3分,共30分)1.在△ABC 中,AB =6,AC =8,BC =10,则该三角形为( )A .锐角三角形B .直角三角形C . 钝角三角形D .等腰直角三角形2.下列命题中,正确的是( ).(A)两组角相等的四边形是平行四边形(B)一组对边相等,两条对角线相等的四边形是平行四边形 (C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 (D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形3. 菱形的周长为4,一个内角为60°,则较短的对角线长为( )A .2B . 3C .1D .124.关于x 的方程(a -5)x 2-4x -1=0有实数根,则a 满足( )A .a ≥1B .a >1且a ≠5C .a ≥1且a ≠5D .a ≠55.已知一元二次方程 x 2+ x ─ 1 = 0,下列判断正确的是( )A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定6.已知反比例函数的图象y =k x过点P (1,3),则该反比例函数图象位于( )A .第一、二象限B .第一、三象限C .第二、四象限D .第三、四象限7.如图,矩形ABOC 的面积为3,反比例函数ky x=的图象过点A ,则k =( ) A .3B .5.1-C .3-D .6-8. 如图,四边形ABCD 的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是( ) A .AB CD =B .AD BC = C .AB BC =D .AC BD =9如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形'''D C AB , 边''C B 与DC 交于点O ,则四边形OD AB '的周长..是 A .22 B .3 C .2 D .21+10. 如图所示,把一长方形纸片沿MN 折叠后,点D ,C 分别落在D ′,C ′的位置.若∠AMD′ =36°,则∠NFD ′ 等于(第9题图)OC 'B 'D 'DC第7题图(A )144°(B )126°(C )108° (D )72°二.细心填一填(每小题2分,共20分)11. 在,90,ο=∠∆ACB ABC Rt 中D 是AB 的中点,CD=4cm ,则AB= cm 。

2014新版北师大版八年级下册第4章因式分解单元测试试卷及答案1

2014新版北师大版八年级下册第4章因式分解单元测试试卷及答案1

2014新版北师大版八年级下册第4章《因式分解》单元测试试卷及答案(1)(本试卷满分:100分,时间:90分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列因式分解不正确的是()...B.A.D.C.)2.下列因式分解正确的是( A.B. C.D. 3.)因式分解的结果是(A. B. D.C.)相等的是(4. 下列各式中,与 B.C. D.A.把代数式因式分解,下列结果中正确的是( 5.)B.A.D. C.若则6.的值为( )A.-5B.5C.-2D.2;;②;③7.下列多项式:①)④,因式分解后,结果中含有相同因式的是(A.①和②B.③和④C.①和④D.②和③8.下列因式分解中,正确的是()A. B.C. D.因式分解,结果正确的是()9.把 B.A.D.C.2ax?4ax?4a因式分解,下列结果中正确的是(10.把代数式)22ax(x?2)?2)(a B. A.2a(x?4)a(x?2)(x?2) D. C.二、填空题(每小题3分,共24分).__________因式分解:11.2k??6xxk x=__________. 是若的完全平方式,则12..互为相反数,则__________13.若,的值是________14..如果,那么代数式的值是 .能因式分解为15.如果多项式,则,则这两个正方形的边长分别是96 cm,面积差是96016.已知两个正方形的周长差是_______________.阅读下列文字与例题:17. 将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.)例如:(1.)(2..试用上述方法因式分解的正方形,在一个边长为则剩下部分的面积的正方形内挖去一个边长为18.为.三、解答题(共46分) u/://.bcjy123./tik来源:19.(6分)将下列各式因式分解:)2.);((1分)利用因式分解计算:6 20.(21.(6分)两位同学将一个二次三项式因式分解,一位同学因看错了一次项系数而分解成2,另一位同学因看错了常数项而分解成2,请将原多项式因式分解.求代数式的值分)已知.22.(6是△分)已知 23.(6的三边的长,且满足:试判断此三角形的形状.24.(8分)请你从下列各式中,任选两式作差,并将得到的式子进行因式分解..25.(8分)通过学习,同学们已经体会到灵活运用乘法公式使整式的乘法运算方便、快捷.相信通过对下面材料的学习、探究,会使你大开眼界,并获得成功的喜悦.例:用简便方法计算:.解:①②. _____________(填乘法公式的名称).(1)例题求解过程中,第②步变形是利用2(.)用简便方法计算:参考答案1.D 解析:D.,故不正确选项中解析:,故A2.C 不正确;,故B不正确;故C正确;,D 项不属于因式分解,故D不正确.故选3.B B.解析:相等项与所以B4.B .解析:5.D 解析:当一个多项式有公因式,将其因式分解时应先提取公因式,再对余下的多项式继续分解,故,与左边相比较,解析:右边所以=6. C.故选C.://.bcjy123./tiku来源:;7.D 解析:①;②;③④.所以因式分解后,结果中含有相同因式的是②和③.故选D.用平方差公式,应为,故本选项错误;A. 8.C 解析:,故本选项错误;用提公因式法,应为B.,用平方差公式,C.故本选项正确;9,故本选项错误.故选CD.用完全平方公式,应为..,再运用平方差公式因式分解9.C 解析:本题先提公因式.10.A 解析:本题先提公因式,再运用完全平方公式因式分解.2a44axax .. 11. 解析:9. 解析:由完全平方式的形式判断知答案为12.9解析:因为互为相反数,所以13.所以解析:14.时,,当多项式15.-7 能因式分解为解析:∵,∴,,∴∴=3-10=-7 .解析:设这两个正方形的边长分别为,8 cm 16.32 cm,,,即则所以解析:原式17...解析:18.110)1 19.解:((2)解:20.的二次三项式的一般形式为(其中均为常数,21.分析:由于含字母即值看错),而与.看错了一次项系数( 且≠0),所以可设原多项式为 2 运用多项式的的值正确,根据因式分解与整式的乘法互为逆运算,可将与的值正确,可将),而即乘法法则展开求出与的值;同样,看错了常数项(值看错运用多项式的乘法法则展开求出的值,进而得出答案. 2解:设原多项式为.(其中均为常数,且≠0),∵.∴,又∵,将它因式分解,得∴∴原多项式为..解:22. tiku/y123./来源:://.bcj时,原式当,=0,解:23.=0,=0,即所以=0,所以所以△ABC是等边三角形.24.解:本题答案不唯一.例如:;(解:1)平方差公式;25.(2)8.10.。

北师大版数学八年级下册期中考试试卷4(含答案)

北师大版数学八年级下册期中考试试卷4(含答案)

八年级下学期期中数学试卷一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.(3分)若分式有意义,则x应满足的条件是()A.x≠0 B.x≥2 C.x≠2 D. x≤22.(3分)下列因式分解正确的是()A.x2﹣xy+x=x(x﹣y)B. a3﹣2a2b+ab2=a(a﹣b)2C.x2﹣2x+4=(x﹣1)2+3 D. ax2﹣9=a(x+3)(x﹣3)3.(3分)下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的个数是()A.1 B.2 C.3 D. 44.(3分)不等式﹣3x+6>0的正整数解有()A.1个B.2个C.3个D.无数多个5.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为()A.4cm B.3cm C.2cm D. 1cm6.(3分)如图,在△ABC中,∠CAB=70°.在同一平面内,将△ABC绕点A 旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=()A.30°B.35°C.40°D. 50°7.(3分)某厂接到加工720件衣服的订单,预计每天做48件,正好按时完成,后因客户要求提前5天交货,设每天应多做x件才能按时交货,则x应满足的方程为()A.B.=C.D.8.(3分)小明用30元钱买笔记本和练习本共30本,已知每个笔记本4元,每个练习本4角,那么他最多能买笔记本()本.A.7 B.6 C.5 D. 4二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.(3分)用不等式表示:x与y的差小于2:_________.10.(3分)分解因式:3a2+6a+3=_________.11.(3分)已知,则的值是_________.12.(3分)如图,将△ABC沿BC方向平移l个单位,得到△DEF,若四边形ABFD的周长是12,则△ABC的周长为_________.13.(3分)已知O为三边垂直平分线交点,∠BAC=80°,则∠BOC=_________.14.(3分)如图,正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是_________.15.(5分)解不等式组并将解集表示在数轴上.16.(5分)分解因式x2(x﹣y)+(y﹣x).四、(本大题共2小题,每小题7分,共14分)17.(7分)先化简÷(x﹣),然后从﹣2.5<x<2.5的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.18.(7分)如图,小刚家门口的商店在装修,他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上,冲去半径为r的四个小圆,小刚测得R=6.8cm,r=1.6cm,他想知道剩余阴影部分的面积,你能帮助小刚利用所学过的因式分解计算吗?请写出利用因式分解的求解的过程(π取3)19.(8分)如图所示,正方形网格中,△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).(1)把△ABC沿BA方向平移后,点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△A1B1C1;(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°,在网格中画出旋转后的△A1B2C2;(3)如果网格中小正方形的边长为1,求点B经过(1)、(2)变换的路径总长.20.(8分)如图,在△ABC中,AB=5,AD=4,BD=DC=3,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F.(1)请写出与A点有关的三个正确结论;(2)DE与DF在数量上有何关系?并给出证明.21.(9分)某超市计划购进一批甲、乙两种玩具,已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元,2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元.(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?(2)如果购进甲种玩具有优惠,优惠方法是:购进甲种玩具超过20件,超出部分可以享受7折优惠,若超市购进x(x>0)件甲种玩具需要花费y元,求y与x的函数关系式;(3)超市打算购买x件(x>20)玩具,在(2)的条件下,从甲、乙两种玩具中选购其中一种,问:当x满足什么条件时超市购进甲种玩具比购进乙种玩具更省钱?22.(9分)如图,正方形ABCD中,CD=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.(1)求证:①△ABG≌△AFG;②求GC的长;(2)求△FGC的面积.七、(本大题共2小题,每小题10分,共20分)23.(10分)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.(1)求证:BE=CF;(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证:①ME⊥BC;②CM平分∠ACE.24.(10分)如图1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.(1)在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N.①证明DM=DN;②在这一过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的;若不发生变化,求出其面积;(2)继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出写出结论,不用证明.2014-2015学年八年级下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.(3分)若分式有意义,则x应满足的条件是()A.x≠0 B.x≥2 C.x≠2 D. x≤2考点:分式有意义的条件.分析:根据分式的分母不为零分式有意义,可得答案.解答:解:要使分式有意义,得x﹣2≠0.解得x≠2,故选:C.点评:本题考查了分式有意义的条件,分是有意义的条件是分式的分母不为零.2.(3分)下列因式分解正确的是()A.x2﹣xy+x=x(x﹣y)B. a3﹣2a2b+ab2=a(a﹣b)2C.x2﹣2x+4=(x﹣1)2+3 D. ax2﹣9=a(x+3)(x﹣3)考点:因式分解-运用公式法;因式分解-提公因式法.分析:利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案.解答:解:A、x2﹣xy+x=x(x﹣y+1),故此选项错误;B、a3﹣2a2b+ab2=a(a﹣b)2,故此选项正确;C、x2﹣2x+4=(x﹣1)2+3,不是因式分解,故此选项错误;D、ax2﹣9,无法因式分解,故此选项错误.故选:B.点评:此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式,关键是注意口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶.3.(3分)下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的个数是()A.1 B.2 C.3 D. 4考点:中心对称图形;轴对称图形.分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.解答:解:第一个图形市中心对称图形,第二个图形、第三个图形既是中心对称图形,又是轴对称图形,第四个图形是轴对称图形,共2个,故选:B.点评:此题主要中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.4.(3分)不等式﹣3x+6>0的正整数解有()A.1个B.2个C.3个D.无数多个考点:一元一次不等式的整数解.分析:首先利用不等式的基本性质解不等式,再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可.解答:解:不等式的解集是x<2,故不等式﹣3x+6>0的正整数解为1.故选A.点评:正确解不等式,求出解集是解答本题的关键.解不等式应根据不等式的基本性质.5.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为()A.4cm B.3cm C.2cm D. 1cm考点:线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性质.专题:压轴题.分析:连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D,求出AB、AC值,求出BE、CF值,求出BM、CN值,代入MN=BC﹣BM﹣CN求出即可.解答:解:连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D,∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,∴∠B=∠C=30°,BD=CD=3cm,∴AB==2cm=AC,∵AB的垂直平分线EM,∴BE=AB=cm同理CF=cm,∴BM==2cm,同理CN=2cm,∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm,故选C.点评:本题考查了线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形性质,解直角三角形等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.6.(3分)如图,在△ABC中,∠CAB=70°.在同一平面内,将△ABC绕点A 旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=()A.30°B.35°C.40°D. 50°考点:旋转的性质.分析:旋转中心为点A,B与B′,C与C′分别是对应点,根据旋转的性质可知,旋转角∠BAB′=∠CAC′,AC=AC′,再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB,把问题转化到等腰△ACC′中,根据内角和定理求∠CAC′.解答: 解:∵CC ′∥AB ,∠CAB=70°,∴∠C ′CA=∠CAB=70°,又∵C 、C ′为对应点,点A 为旋转中心,∴AC=AC ′,即△ACC ′为等腰三角形,∴∠BAB ′=∠CAC ′=180°﹣2∠C ′CA=40°.故选:C .点评: 本题考查了旋转的基本性质,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角.同时考查了平行线的性质.7.(3分)某厂接到加工720件衣服的订单,预计每天做48件,正好按时完成,后因客户要求提前5天交货,设每天应多做x 件才能按时交货,则x 应满足的方程为()A .B . =C .D .考点: 由实际问题抽象出分式方程.专题: 应用题.分析: 本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间,然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系,然后列出方程.解答: 解:因客户的要求每天的工作效率应该为:(48+x )件,所用的时间为:,根据“因客户要求提前5天交货”,用原有完成时间减去提前完成时间,可以列出方程:. 故选:D .点评: 这道题的等量关系比较明确,直接分析题目中的重点语句即可得知,再利用等量关系列出方程.8.(3分)小明用30元钱买笔记本和练习本共30本,已知每个笔记本4元,每个练习本4角,那么他最多能买笔记本()本.A . 7B . 6C . 5D . 4 考点: 一元一次不等式的应用.分析:根据小明买笔记本所花的钱和练习本所花的钱<等于30元,设他最多能买笔记本x本,就可列出不等式进行求解.解答:解:设他最多能买笔记本x本,则练习本30﹣x本.由题意得:4x+0.4(30﹣x)≤30得:x≤5故他最多能买笔记本5本.故选C.点评:本题主要是根据已知条件列出不等式进行求解.二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.(3分)用不等式表示:x与y的差小于2:x﹣y<2.考点:由实际问题抽象出一元一次不等式.分析:要解答本题,读懂题意,首先表示出x与y的差,因为其差小于2,所以用小于符号将x与y的差与2连接,建立一个不等式就可以了.解答:解:由题意,得x﹣y<2故答案为:x﹣y<2.点评:本题是一道由实际问题抽象出来的列不等式得题目,考查了不等式的意义,对题目要求的理解.10.(3分)分解因式:3a2+6a+3=3(a+1)2.考点:提公因式法与公式法的综合运用.专题:因式分解.分析:先提取公因式3,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.解答:解:3a2+6a+3,=3(a2+2a+1),=3(a+1)2.故答案为:3(a+1)2.点评:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.11.(3分)已知,则的值是﹣2.考点:分式的加减法.分析:先把所给等式的左边通分,再相减,可得=,再利用比例性质可得ab=﹣2(a﹣b),再利用等式性质易求的值.解答:解:∵﹣=,∴=,∴ab=2(b﹣a),∴ab=﹣2(a﹣b),∴=﹣2.故答案是:﹣2.点评:本题考查了分式的加减法,解题的关键是通分,得出=是解题关键.12.(3分)如图,将△ABC沿BC方向平移l个单位,得到△DEF,若四边形ABFD的周长是12,则△ABC的周长为10.考点:平移的性质.分析:根据平移的基本性质,得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案.解答:解:根据题意,将△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF,∴AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC;又∵四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=12,∴AB+BC+AC=10,故答案为:10.点评:本题考查平移的基本性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.得到CF=AD,DF=AC是解题的关键.13.(3分)已知O为三边垂直平分线交点,∠BAC=80°,则∠BOC=160°.考点:线段垂直平分线的性质.分析:由点O为三边垂直平分线交点,得到点O为△ABC的外心,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到结果.解答:解:∵已知点O为三边垂直平分线交点,∴点O为△ABC的外心,∴∠BOC=2∠BAC,∵∠BAC=80°,∴∠BOC=160°,故答案为:160°.点评:本题考查了线段垂直平分线的性质,三角形的外心的性质,解答本题关键熟练掌握圆周中同一弧线所对应的圆周角是圆心角的一半.14.(3分)如图,正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是15°或165°.考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质.专题:压轴题;分类讨论.分析:利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF(SSS),有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时,∠BAE的大小,应该注意的是,正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部,所以要分两种情况分别求解.解答:解:①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时,如图1,∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,当BE=DF时,∴,∴△ABE≌△ADF(SSS),∴∠BAE=∠FAD,∵∠EAF=60°,∴∠BAE+∠FAD=30°,∴∠BAE=∠FAD=15°,②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时.∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,当BE=DF时,∴AB=AD BE=DF AE=AF,∴△ABE≌△ADF(SSS),∴∠BAE=∠FAD,∵∠EAF=60°,∴∠BAE=(360°﹣90°﹣60°)×+60°=165°,∴∠BAE=∠FAD=165°故答案为:15°或165°.点评:本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想,题目的综合性不小.15.(5分)解不等式组并将解集表示在数轴上.考点:解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.分析:先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可.解答:解:,解①得:x≤1,解②得:x<4,将解集表示在数轴上为:故不等式组的解集是:x≤1.点评:本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观察不等式的解,若x>较小的数、<较大的数,那么解集为x介于两数之间.16.(5分)分解因式x2(x﹣y)+(y﹣x).考点:提公因式法与公式法的综合运用.分析:显然只需将y﹣x=﹣(x﹣y)变形后,即可提取公因式(x﹣y),然后再运用平方差公式继续分解因式.解答:解:x2(x﹣y)+(y﹣x),=x2(x﹣y)﹣(x﹣y),=(x﹣y)(x2﹣1),=(x﹣y)(x﹣1)(x+1).点评:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.17.(7分)先化简÷(x﹣),然后从﹣2.5<x<2.5的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.考点:分式的化简求值.专题:计算题.分析:原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,将x的值代入计算即可求出值.解答:解:原式=•=,若取x=1,则原式=.点评:此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.18.(7分)如图,小刚家门口的商店在装修,他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上,冲去半径为r的四个小圆,小刚测得R=6.8cm,r=1.6cm,他想知道剩余阴影部分的面积,你能帮助小刚利用所学过的因式分解计算吗?请写出利用因式分解的求解的过程(π取3)考点:因式分解的应用.分析:用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余阴影部分的面积,分解因式然后把R和r的值代入计算出对应的代数式的值.解答:解:阴影部分面积=πR2﹣4πr2=π(R2﹣4r2)=π(R﹣2r)(R+2r)=3×﹙6.8+2×1.6﹚×﹙6.8﹣2×1.6﹚=108.点评:此题考查因式分解的运用,看清题意利用圆的面积计算公式列出代数式,进一步利用提取公因式法和平方差公式因式分解解决问题.19.(8分)如图所示,正方形网格中,△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).(1)把△ABC沿BA方向平移后,点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△A1B1C1;(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°,在网格中画出旋转后的△A1B2C2;(3)如果网格中小正方形的边长为1,求点B经过(1)、(2)变换的路径总长.考点:弧长的计算;作图-平移变换;作图-旋转变换.专题:作图题;网格型.分析:(1)利用平移的性质画图,即对应点都移动相同的距离;(2)利用旋转的性质画图,对应点都旋转相同的角度;(3)利用弧长公式求点B经过(1)、(2)变换的路径总长.解答:解:(1)连接AA1,然后从C点作AA1的平行线且AA1=CC1.同理找到点B.(2)画图如下:(3)B经过(1)、(2)变换的路径如图红色部分所示:,弧B1B2的长=,故点B所走的路径总长=.点评:本题主要考查了平移变换、旋转变换的相关知识,做这类题时,理解平移旋转的性质是关键.20.(8分)如图,在△ABC中,AB=5,AD=4,BD=DC=3,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F.(1)请写出与A点有关的三个正确结论;(2)DE与DF在数量上有何关系?并给出证明.考点:勾股定理;勾股定理的逆定理.分析:(1)先运用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形,且∠ADB=90°,再运用勾股定理求出AC=5,则AB=AC,然后利用等腰三角形的性质即可求解;(2)根据角平分线的性质即可得出DE=DF.解答:解:(1)AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,AB=AC等.理由如下:∵AB=5,AD=4,BD=3,∴42+32=52.∴△ABD为直角三角形,且∠ADB=90°.∵CD=3,∴,∴AB=AC,又∵BD=CD,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD;(2)DE=DF,理由如下:∵∠BAD=∠CAD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF.点评:本题考查了勾股定理及其逆定理,等腰三角形、角平分线的性质,难度适中.运用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形是解题的关键.六、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.(9分)某超市计划购进一批甲、乙两种玩具,已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元,2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元.(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?(2)如果购进甲种玩具有优惠,优惠方法是:购进甲种玩具超过20件,超出部分可以享受7折优惠,若超市购进x(x>0)件甲种玩具需要花费y元,求y与x的函数关系式;(3)超市打算购买x件(x>20)玩具,在(2)的条件下,从甲、乙两种玩具中选购其中一种,问:当x满足什么条件时超市购进甲种玩具比购进乙种玩具更省钱?考点:一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用.分析:(1)设每件甲种玩具的进价是x元,每件乙种玩具的进价是y元,根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元,2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题;(2)分情况:不大于20件;大于20件;分别列出函数关系式即可;(3)设购进玩具x件(x>20),分别表示出甲种和乙种玩具消费,建立不等式解决问题.解答:解:(1)设每件甲种玩具的进价是x元,每件乙种玩具的进价是y元,由题意得:,解得:.答:件甲种玩具的进价是30元,每件乙种玩具的进价是27元;(2)当0<x≤20时,y=30x;当x>20时,y=20×30+(x﹣20)×30×0.7=21x+180;(3)设购进玩具x件(x>20),则乙种玩具消费27x元,甲种玩具消费(21x+180)元,当27x>21x+180,则x>30,所以当购进玩具超过30件,选择购甲种玩具省钱.点评:此题考查二元一次方程组,一次函数,一元一次不等式的运用,解决本题的关键是理解题意,正确列式解决问题.22.(9分)如图,正方形ABCD中,CD=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.(1)求证:①△ABG≌△AFG;②求GC的长;(2)求△FGC的面积.考点:翻折变换(折叠问题);全等三角形的判定与性质.分析:(1)①利用翻折变换对应边关系得出AB=AF,∠B=∠AFG=90°,利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可;②利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2,进而求出BG即可;(2)首先过C作CM⊥GF于M,由勾股定理以及由面积法得,CM=2.4,进而得出答案解答:解:(1)①在正方形ABCD中,AD=AB=BC=CD,∠D=∠B=∠BCD=90°,∵将△ADE沿AE对折至△AFE,∴AD=AF,DE=EF,∠D=∠AFE=90°,∴AB=AF,∠B=∠AFG=90°,又∵AG=AG,在Rt△ABG和Rt△AFG中,,∴△ABG≌△AFG(HL);②∵CD=3DE∴DE=2,CE=4,设BG=x,则CG=6﹣x,GE=x+2∵GE2=CG2+CE2∴(x+2)2=(6﹣x)2+42,解得x=3,∴CG=6﹣3=3;(2)如图,过C作CM⊥GF于M,∵BG=GF=3,∴CG=3,EC=6﹣2=4,∴GE==5,CM•GE=GC•EC,∴CM×5=3×4,∴CM=2.4,∴S△FGC=GF×CM=×3×2.4=3.6.点评:此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质,根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键.七、(本大题共2小题,每小题10分,共20分)23.(10分)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.(1)求证:BE=CF;(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证:①ME⊥BC;②CM平分∠ACE.考点:全等三角形的判定与性质;勾股定理.分析:(1)根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°,再求出∠ACF=45°,从而得到∠B=∠ACF,根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF,然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;(2)①过点E作EH⊥AB于H,求出△BEH是等腰直角三角形,然后求出HE=BH,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE,然后求出HE=HM,从而得到△HEM是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质求解即可;②求出∠CAE=∠CEA=67.5°,根据等角对等边可得AC=CE,再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等即可得到结论.解答:证明:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∵FC⊥BC,∴∠BCF=90°,∴∠ACF=90°﹣45°=45°,∴∠B=∠ACF,∵∠BAC=90°,FA⊥AE,∴∠BAE+∠CAE=90°,∠CAF+∠CAE=90°,∴∠BAE=∠CAF,在△ABE和△ACF中,,∴△ABE≌△ACF(ASA),∴BE=CF;(2)①如图,过点E作EH⊥AB于H,则△BEH是等腰直角三角形,∴HE=BH,∠BEH=45°,∵AE平分∠BAD,AD⊥BC,∴DE=HE,∴DE=BH=HE,∵BM=2DE,∴HE=HM,∴△HEM是等腰直角三角形,∴∠MEH=45°,∴∠BEM=45°+45°=90°,∴ME⊥BC;②由题意得,∠CAE=45°+×45°=67.5°,∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠CAE=∠CEA=67.5°,∴AC=CE,在Rt△ACM和Rt△ECM中,,∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL),∴∠ACM=∠ECM,∴CM平分∠ACE.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键,难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角.24.(10分)如图1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.(1)在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N.①证明DM=DN;②在这一过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的;若不发生变化,求出其面积;(2)继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出写出结论,不用证明.考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.专题:压轴题;探究型.分析:(1)连接BD,证明△DMB≌△DNC.根据已知,全等条件已具备两个,再证出∠MDB=∠NDC,用ASA证明全等,四边形DMBN的面积不发生变化,因为它的面积始终等于△ABC面积的一半;(2)成立.同样利用(1)中的证明方法可以证出△DMB≌△DNC;(3)结论仍然成立,方法同(1).解答:解:(1)①如图1,连接DB,在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,∴DB=DC=AD,∠BDC=90°,∴∠ABD=∠C=45°,∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°,∴∠MDB=∠NDC,∴△BMD≌△CND(ASA),∴DM=DN;②四边形DMBN的面积不发生变化;由①知△BMD≌△CND,∴S△BMD=S△CND,=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC=S△ABC=×=;∴S四边形DMBN(2)DM=DN仍然成立;证明:如图2,连接DB,在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,∴DB=DC,∠BDC=90°,∴∠DCB=∠DBC=45°,∴∠DBM=∠DCN=135°,∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°,∴∠CDN=∠BDM,则在△BMD和△CND中,,∴△BMD≌△CND(ASA),∴DM=DN.(3)DM=DN.点评:本题利用ASA求三角形全等,还运用了全等三角形的性质,等腰直角三角形的性质,及等腰三角形三线合一定理,勾股定理和面积公式的利用等知识.。

北京市四中八年级数学下学期期中考试试题 北师大版

北京市四中八年级数学下学期期中考试试题 北师大版

北京四中2011-2012学年度第二学期期中考试初二年级数学试卷(考试时间为100分钟,试卷满分为100分)一、选择题(本题共30分,每小题3分) 1. 对于函数x ky =,若2=x 时,3-=y ,则这个函数的解析式是( ) A. x y 6= B. x y 61= C. x y 6-= D. xy 61-=2. 下列各式中,运算正确的是( )A. 228=-B. 553322=+C. 236=÷ D. b a b a +=+223. 下列说法中正确的是( )A. 两条对角线相等的四边形是矩形B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 4. xy 2-=图象上有两点),(11y x A 和),(22y x B ,若021<<y y ,则1x 与2x 的关系是( )A. 210x x <<B. 210x x >>C. 021<<x xD. 021>>x x 5. 如图, ABCD 中,DAB ∠的平分线AE 交CD 于E ,5=AB ,3=BC ,则EC 的长是( )A. 1B. 1.5C. 2D. 36. 若一个等腰梯形的周长为30cm ,腰长为6cm ,则它的中位线长为( )A. 12cmB. 6cmC. 18cmD. 9cm 7. 下列三角形中,不是直角三角形的是( )A. 三个内角之比为5:6:1B. 一边上的中线等于这一边的一半C. 三边之长为20、21、29D. 三边之比为1.5:2:3 8. 如图,数轴上点A 所表示的数为a ,则a 的值是( )A. 15-B. 15+-C. 15+D. 59. 如图,菱形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AC 的中点,若3=EF ,则菱形ABCD 的周长是( )A. 12B. 16C. 20D. 2410. 如图,矩形AOBC 中,点A 的坐标为)8,0(,点D 的纵坐标为3,若将矩形沿直线AD 折叠,则顶点C 恰好落在边OB 上E 处,那么图中阴影部分的面积为( )A. 30B. 32C. 34D. 16二、填空题(本题共16分,每小题2分) 11. 函数x y -=2中自变量x 的取值范围是 。

难点详解北师大版八年级数学下册第四章因式分解达标测试练习题(无超纲)

难点详解北师大版八年级数学下册第四章因式分解达标测试练习题(无超纲)

北师大版八年级数学下册第四章因式分解达标测试考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、下列各式能用平方差公式进行分解因式的是( )A .x 2-1B .x 2+2x -1C .x 2+x +1D .x 2+4x +42、当n 为自然数时,(n +1)2﹣(n ﹣3)2一定能( )A .被5整除B .被6整除C .被7整除D .被8整除32210b b -+=,则-a b 的值为( )A .3B .3-C .1D .1-4、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是( )A .()()2339a a a +-=-B .2211m m m m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C .()()2211a b a b a b -+=+-+D .()()2422m m m -=+- 5、把多项式a 2﹣9a 分解因式,结果正确的是( )A .a (a +3)(a ﹣3)B .a (a ﹣9)C .(a ﹣3)2D .(a +3)(a ﹣3)6、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A .﹣a 2﹣b 2B .x 2+(﹣y )2C .(﹣x )2+(﹣y )2D .﹣m 2+17、若一个三角形的三边长为a ,b ,c ,且满足a 2-2ab +b 2+ac -bc =0,则这个三角形是( )A .直角三角形B .等边三角形C .等腰三角形D .等腰直角三角形8、下列各式的因式分解中正确的是( )A .2()a ab ac a a b c -+-=-+-B .22963(32)xyz x y xyz xy -=-C .()2236332a x bx x x a b -+=-D .22111()222xy x y xy x y +=+9、下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是( )A .()()2224m m m +-=-B .()23232m m m m ++=++C .()22442m m m ++=+D .()233m m m m -=- 10、下列因式分解正确的是( )A .2244(2)a a a ++=+B .24(4)a a a a -+=-+C .22(3)69a a a -=-+D .221(2)1a a a a -+=-+第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、a 、b 、c 是等腰△ABC 的三边长,其中a 、b 满足a 2+b 2﹣4a ﹣10b +29=0,则△ABC 的周长为 _____.2、若多项式5x 2+17x ﹣12可因式分解成(x +a )(bx +c ),其中a 、b 、c 均为整数,则a ,b ,c 的中位数是_____3、分解因式:5x 4﹣5x 2=________________.4、当x =4,a +b =-3时,代数式:ax +bx 的值为________.5、因式分解:23322212820x y x y x y -+=______.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、已知2220m m --=,求2(2)(2)+(2)m n m n n m +--的值.2、(1)按下表已填的完成表中的空白处代数式的值:(2)比较两代数式计算结果,请写出你发现的2()a b -与222a ab b -+有什么关系?(3)利用你发现的结论,求:222021404220202020-⨯+的值.3、因式分解:3269xy xy xy -+4、分解因式:(1)22363x xy y -+-(2)()()216a x y y x -+-5、因式分解:228ax a-参考答案-一、单选题1、A【分析】两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,用字母表示为()()22 a b a b a b +-=-,根据平方差公式的构成特点,逐个判断得结论.【详解】A .能变形为x 2﹣12,符合平方差公式的特点,能用平方差公式分解因式;B .多项式含有三项,不能用平方差公式分解因式;C .多项式含有三项,不能用平方差公式分解因式;D .多项式含有三项,不能用平方差公式分解因式.故选:A .【点睛】本题考查了运用平方差公式进行因式分解,熟记平方差公式的结构特点是求解的关键.2、D【分析】先把(n +1)2﹣(n ﹣3)2分解因式可得结果为:()81,n -从而可得答案.【详解】 解: (n +1)2﹣(n ﹣3)2()()1313n n n n =++-+--⎡⎤⎣⎦()=224n -⨯()=81n -n 为自然数所以(n +1)2﹣(n ﹣3)2一定能被8整除,故选D【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式,掌握“()()22a b a b a b -=+-”是解题的关键.3、B【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性确定a 和b 的值,然后代入计算.【详解】 解:22210a b b ++-+=,2(1)0b -=,20a ∴+=,10b -=,解得2a =-,1b =,所以213a b -=--=-.故选:B【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质,灵活运用配方法、掌握当几个非负数相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0是解题的关键.4、D因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式进行因式分解,根据定义逐一判断即可.【详解】解:()()2339a a a +-=-是整式的乘法,故A 不符合题意;2211m m m m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭不是化为整式的积的形式,故B 不符合题意; ()()2211a b a b a b -+=+-+不是化为整式的积的形式,故C 不符合题意;()()2422m m m -=+-是因式分解,故D 符合题意;故选D【点睛】本题考查的是因式分解的含义,掌握“利用因式分解的定义判断是否是因式分解”是解题的关键.5、B【分析】用提公因式法,提取公因式a 即可求解.【详解】解:a 2﹣9a =a (a ﹣9).故选:B .【点睛】本题考查了因式分解,用到了提公因式法和公式法,因式分解一般是先考虑提公因式法,再考虑公式法,注意的是,因式分解要进行到再也不能分解为止.6、D根据平方差公式的结构特点,两个平方项,并且符号相反,对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解:A 、22a b --,有两个平方项,但是符号相同,不能用平方差公式进行分解,不符合题意;B 、()2222x y x y +-=+,有两个平方项,但是符号相同,不能用平方差公式进行分解,不符合题意; C 、()()2222x y x y -=++-,有两个平方项,但是符号相同,不能用平方差公式进行分解,不符合题意;D 、()()2221111m m m m -+=-=+-,可以利用平方差公式进行分解,符合题意; 故选:D .【点睛】本题考查利用平方差公式因式分解,掌握利用平方差公式因式分解时,多项式需满足的结构特征是解题关键.7、C【分析】先用完全平方公式和提取公因式法把等式左边因式分解,得出a ,b ,c 之间的关系判断即可.【详解】解:a 2-2ab +b 2+ac -bc =0,2()()0a b c a b -+-=,()()0a b c a b -+-=,∵0a b c >-+∴0a b =-,故选:C .【点睛】本题考查了因式分解的应用,解题关键是熟练运用分组分解法把等式左边因式分解,得出三角形边之间的等量关系.8、D【分析】根据提公因式法,先提取各个多项式中的公因式,再对余下的多项式进行观察,能分解的继续分解.【详解】A -a 2+ab -ac =-a (a -b +c ) ,故本选项错误;B 9xyz -6x 2y 2=3xy (3z -2xy ),故本选项错误;C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b +1),故本选项错误;D 22111()222xy x y xy x y +=+,故本选项正确.故选:D .【点睛】本题考查提公因式法分解因式,准确确定公因式是求解的关键.9、C【分析】根据因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式乘积的形式,即可进行判断.【详解】A. ()()2224m m m +-=-,变形是整式乘法,不是因式分解,故A 错误;B. ()23232m m m m ++=++,右边不是几个因式乘积的形式,故B 错误;C. ()22442m m m ++=+,把一个多项式化成两个整式乘积的形式,变形是因式分解,故C 正确; D. ()233m m m m -=-,变形是整式乘法,不是因式分解,故D 错误.【点睛】本题考查因式分解的定义,掌握因式分解的定义是解题的关键.10、A【分析】根据因式分解的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,进行判断即可.【详解】解:A 、2244(2)a a a ++=+,选项说法正确,符合题意;B 、24(4)a a a a -+=--,选项说法错误,不符合题意;C 、22(3)69a a a -=-+是整式乘法运算,不是因式分解,选项说法错误,不符合题意;D 、2221(1)a a a -+=-,选项说法错误,不符合题意;故选A .【点睛】本题考查了因式分解,解题的关键是掌握因式分解的定义以及分解的正确性.二、填空题1、12【分析】先利用完全平方公式把a 2+b 2﹣4a ﹣10b +29=0化为()()22250,a b -+-=再利用非负数的性质求解,,a b再分两种情况讨论:当2a =为腰时,当2a =为底时,结合三角形的三边关系,从而可得答案.【详解】 解: a 2+b 2﹣4a ﹣10b +29=0,224410250,a a b b ∴-++-+=()()22250,a b ∴-+-= 20,50,a b ∴-=-=2,5,a b ∴==a 、b 、c 是等腰△ABC 的三边长,当2a =为腰时,则另一腰2,c = 此时225,+< 三角形不存在,舍去,当2a =为底时,则腰5,b c == 此时255,+> 三角形存在,∴△ABC 的周长为25512.++=故答案为:12【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式,非负数的性质,三角形三边的关系,等腰三角形的定义,掌握以上基础知识是解题的关键.2、4【分析】首先利用十字交乘法将5x 2+17x -12因式分解,继而求得a ,b ,c 的值.【详解】利用十字交乘法将5x 2+17x -12因式分解,可得:5x 2+17x -12=(x +4)(5x -3)=(x +a )(bx +c ).∴4,5,3a b c ===-,∵453-、、的中位数是4∴a ,b ,c 的中位数是4故答案为:4.【点睛】本题考查十字相乘法分解因式以及中位数,掌握十字相乘法是正确分解因式的前提,确定a 、b 、c 的值是得出正确答案的关键.3、5x 2(x +1)(x -1)【分析】直接提取公因式5x 2,进而利用平方差公式分解因式.【详解】解:5x 4-5x 2=5x 2(x 2-1)=5x 2(x +1)(x -1).故答案为:5x 2(x +1)(x -1).【点睛】本题考查了提取公因式法、公式法分解因式,正确运用乘法公式是解题关键.4、-12【分析】本题可先代入x 的值得4(a +b ),再把a +b =-3整体代入求值即可.【详解】解:∵x =4,a +b =-3∴ax +bx ()()=4444312a b a b +=+=⨯-=-故答案为:-12【点睛】本题主要考查了因式分解的应用,整理出已知条件的形式是解题的关键,注意整体代换的思想.5、()224325x y y x -+【分析】直接提取公因式224x y 整理即可.【详解】解:()23322222128204325x y x y x y x y y x -+=-+,故答案是:()224325x y y x -+.【点睛】本题考查了提取公因式因式分解,解题的关键是找准公因式.三、解答题1、4【分析】先利用平方差公式计算,再合并,然后根据2220m m --=,得到222m m -=代入即可求解.【详解】解:()()()2222m n m n n m +-+-22242m n n m =-+-242m m =-.∵2220m m --=,∴222m m -=.∴22(2)4m m =-=原式.【点睛】本题主要考查了整式的混合运算,熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键.2、(1)见解析;(2)()2222a b a ab b -=-+;(3)1【分析】(1)把每组,a b 的值分别代入2()a b -与222a ab b -+进行计算,再填表即可;(2)观察计算结果,再归纳出结论即可;(3)利用结论()2222a b a ab b -=-+可得2021,2020,a b 再代入进行简便运算即可. 【详解】解:(1)填表如下:(2)观察上表的计算结果归纳可得:()2222a b a ab b -=-+(3)222021404220202020-⨯+=2220212202120202020-⨯⨯+=()220212020-=1【点睛】本题考查的是代数式的求值,运算规律的探究,完全平方公式的应用,熟练的利用完全平方公式进行简便运算是解本题的关键.3、()23xy y -【分析】直接提取公因式xy ,再利用完全平方公式分解因式得出答案【详解】解:3269xy xy xy -+()269xy y y =-+()23xy y =- 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确运用乘法公式分解因式是解题关键.4、(1)23)x y --(;(2)()(4)(4)x y a a -+-【分析】(1)先提公因式-3,再利用完全平方公式分解;(2)先提公因式(x-y ),再利用平方差公式分解因式.【详解】解:(1)22363x xy y -+-=223-2x xy y -+()=23)x y --((2)()()216a x y y x -+-=()()216a x y x y ---=()2(16)x y a --=()(4)(4)x y a a -+-.【点睛】此题考查了因式分解,正确掌握因式分解的方法:提公因式法和公式法(平方差公式、完全平方公式)及解决问题是解题的关键.5、2(2)(2)a x x +-【分析】根据题意综合运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可得出答案.【详解】解:228ax a22(4)a x =-2(2)(2)a x x =+-【点睛】本题考查因式分解,熟练掌握并运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2014年北师大八年级数学下期中练习四
一.选择题(共13小题)
.C.
2.如图,△ABC中,AC=BC,直线L经过点C,则()
3.(2011•菏泽)某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折销售,但
22432222222
6.(2007•临沂)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b>k2x的解为()
.C D.
9.(2013•武汉模拟)不等式组的解集在数轴上表示为()
.C D.
10.(2008•广州)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是()

13.根据分式的基本性质,可变形为()
.C D.
二.填空题(共3小题)
14.化简下列各式:
(1)=_________,
(2)=_________.
15.已知,则=_________.
16.分解因式
(1)3x3﹣12x2+3x
(2)x4﹣1.
三.解答题(共4小题)
17.如图,△ABC中,∠B=90°,AB=BC,AD是△ABC的角平分线,若BD=1,求DC的长.
18.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超出300元之后,超出部分按原价的八折优惠;在乙超市累计购买商品超出200元之后,超出部分按原价的九折优惠.设顾客预计累计购物x元(x>300).
(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用.
(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠?说明你的理由.
19.某幼儿园把一筐桔子分给若干个小朋友,若每人3只,那么还剩59只,若每人5只,那么最后一个小朋友分到桔子,但不足4只,试求这筐桔子共有多少只?
20.(2008•大兴安岭)某工厂计划为震区生产A,B两种型号的学生桌椅500套,以解决1250名学生的学习问题,一套A型桌椅(一桌两椅)需木料0.5m3,一套B型桌椅(一桌三椅)需木料0.7m3,工厂现有库存木料302m3.(1)有多少种生产方案?
(2)现要把生产的全部桌椅运往震区,已知每套A型桌椅的生产成本为100元,运费2元;每套B型桌椅的生产成本为120元,运费4元,求总费用y(元)与生产A型桌椅x(套)之间的关系式,并确定总费用最少的方案和最少的总费用;(总费用=生产成本+运费)
(3)按(2)的方案计算,有没有剩余木料?如果有,请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅,最多还可以为多少名学生提供桌椅;如果没有,请说明理由.
2014年北师大八年级数学下期中练习四
参考答案与试题解析
一.选择题(共13小题)
.C.
解得:﹣
2.如图,△ABC中,AC=BC,直线L经过点C,则()
3.(2011•菏泽)某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折销售,但
22432222222
6.(2007•临沂)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b>k2x的解为()
7.如果把下列各分式中的a和b都扩大为原来的100倍,那么分式的值不变的是()
.C D.
==,可见新分式是原分式的
==倍,故
==
==,可见新分式是原分式的
9.(2013•武汉模拟)不等式组的解集在数轴上表示为()
.C D.
,由②
10.(2008•广州)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是()
,而

13.根据分式的基本性质,可变形为()
.C D.
先把分式的分母提取负号得出
==,
二.填空题(共3小题)
14.化简下列各式:
(1)=,
(2)=.
)=
=.
故答案为:;
15.已知,则=3.
=2,然后将其代入
解:∵=2
∴=3
此题考查了比例的性质.此题比较简单,解题的关键是注意掌握由
16.分解因式
(1)3x3﹣12x2+3x
(2)x4﹣1.
三.解答题(共4小题)
17.如图,△ABC中,∠B=90°,AB=BC,AD是△ABC的角平分线,若BD=1,求DC的长.
=
DC=.
18.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超出300元之后,超出部分按原价的八折优惠;在乙超市累计购买商品超出200元之后,超出部分按原价的九折优惠.设顾客预计累计购物x元(x>300).
(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用.
(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠?说明你的理由.
19.某幼儿园把一筐桔子分给若干个小朋友,若每人3只,那么还剩59只,若每人5只,那么最后一个小朋友分到桔子,但不足4只,试求这筐桔子共有多少只?
20.(2008•大兴安岭)某工厂计划为震区生产A,B两种型号的学生桌椅500套,以解决1250名学生的学习问题,一套A型桌椅(一桌两椅)需木料0.5m3,一套B型桌椅(一桌三椅)需木料0.7m3,工厂现有库存木料302m3.(1)有多少种生产方案?
(2)现要把生产的全部桌椅运往震区,已知每套A型桌椅的生产成本为100元,运费2元;每套B型桌椅的生产成本为120元,运费4元,求总费用y(元)与生产A型桌椅x(套)之间的关系式,并确定总费用最少的方案和最少的总费用;(总费用=生产成本+运费)
(3)按(2)的方案计算,有没有剩余木料?如果有,请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅,最多还可以为多少名学生提供桌椅;如果没有,请说明理由.
由题意得。

相关文档
最新文档