3.备课资料(1.2.1 任意角的三角函数)
1.2.1任意角的三角函数
sin
α＝yr＝－－31k0k＝3
10 10 ,
1 cos
α＝xr＝－
1k0k＝－
10,
∴10sin α＋co3s α＝10×31010＋3×(－ 10)
＝3 10－3 10 ＝0.
综上所述,10sin α＋co3s α＝0.
3.2.1 任意角三角函数的定义(一)
4
跟踪演练 1 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半
tan θ<0，
3.2.1 任意角三角函数的定义(一)
8
例3 求下列函数的定义域： sin x＋cos x
(1)y＝ tanx ；
解 要使函数有意义,须tan x≠0,
所以 x≠kπ＋π2,k∈Z 且 x≠kπ,k∈Z,
所以 x≠k2π,k∈Z.
于是函数的定义域是xx∈R，且x≠k2π，k∈Z
2
(1)当 k>0 时,r＝ 10k,α 是第四象限角,
sin
α＝yr＝ －130kk＝－3
10 10 ,
1 cos
α＝xr＝
1k0k＝
10,
∴10sin α＋co3s α＝10×－3 1010＋3 10
＝－3 10＋3 10
＝0.
3.2.1 任意角三角函数的定义(一)
3
(2)当 k<0 时,r＝－ 10k,α 为第二象限角,
3.2.1 任意角三角函数的定义(一)
6
(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角). 解 ∵θ是第二象限角, ∴－2π<－1<cos θ<0, ∴sin(cos θ)<0.
3.2.1 任意角三角函数的定义(一)
7
跟踪演练2 已知cos θ·tan θ<0,那角θ是( C )
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(3)教学教案新人教A版必修
§1.2.1任意角三角函数（一）
tan α=
)0(≠x x
y
师：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
问4：你能给出三角函数中自变量α的取值范围（即三角函数的定义域）吗？
问5：如何求角的三角函数值?
1、 画角：使角的始边在x 轴上，角的顶点在坐标原点
2、 求点：求角的终与单位圆的交点坐标P （x ,y ）
3、算值：由定义计算：
sin α=y cos α=x
tan α=
)0(≠x x
y
例3：已知角α的终边经过点)4,3(--︒p ，求角α的正弦、余弦、正切值。
探究3的应用，另一定义的引入。
课堂 小结
1、 本节课我们是如何研究任意角三角函数的？
直角三角形中锐角三角函数→直角坐标系中锐角三角函数→单位圆中任意角三角函数
2、 如何求角α的三角函数
单位圆中： 在非单位圆中：
sin α=y sin α=r x cos α=x cos α=r
y
tan α=)0(≠x x y tan α=x
y
课后作业
练习题：第15页第1、2题
习题1.2A 组 第1、2题.
板书 设计
教学反
思
三角函数是描述客观世界中周期变化规律的重要数学模型，本章
是建立在函数基础上探究角，本节课是学习完《任意角》、《弧度制》
后的第一节课。
在初中，学生就接触过锐角三角函数，为了刻画一些简单的周期运动，要将其推广给出定义，将使学生的思维陷入僵化，
x
y
o。
1.2.1任意角的三角函数
0
tan 0 0 cos0 1 （2）因为当 时，x r y 0 ，所以 ， sin 0 cos 1 tan 0 3 （3）因为当 时， x 0， y r ，所以 2
3 sin 1 2
3 cos 0 2
sin 0 0
（ （
k , k Z 2
R R
[ 1,1] [ 1,1] R
（
（
值域
）
y
2.三角函数值在各象限的符号
（
x ）
sin
o ）（
）（ ） cos
o ）（ x ）
y
） （ ）
tan
o ） （ x ）
y
（
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
12,5
52 13
，
的三个三角函数值.
2 2
解：由已知可得：
r x y
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
12
2
x 12 cos r 13
探究：
1.三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域
sin cos tan
Y
单位圆.
P(a,b)
MP sin OP
OM cos OP
b
O M X
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义（二）
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
那么:（1）y 叫做
α的终边
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3） 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)
1.2.1任意角的三角函数(教案)
1.2.1任意角的三角函数（复习）教案
一、三维目标
知识与技能：
1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义，了解单位圆的定义。
2．学会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。
过程与方法：
通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
情感、态度与价值观：
让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。
二、教学重点与难点
重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域以及根据任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。
难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数。
三、教学过程
（一）任意角的三角函数定义；
（二）利用三角函数的定义求三角函数值；
例1、求0与5π/3的正弦、余弦和正切的值。
练习、填表：
练习1、求π/2与2π/3的正弦、余弦和正切值。
例2、已知角α的终边经过点P(4,-3)，求2sinα+cosα的值。
练习2、已知角α的终边经过点P(4a,-3a)，且a≠0，求2sinα+cosα的值。
例3、已知角α的终边经过点P(3m-9,m+2)，且cosα≤0，sinα＞0求实数m的取值范围。
练习3、已知角α的终边上一点P(3,m)，且cosα=3/5，求sinα和tanα的值。
10，求例4、已知角α的终边上一点P(x,3)，且x≠0，cosα=
10
sinα的值。
练习4、已知角α的终边为射线y=-2x（x≤0），求2sinα+cosα的值。
（三）小结及作业。
(完整版)1.2.1_任意角的三角函数(优秀课件)
故 sin(cos)cos(sin) 的符号为“ - ”号.
练习：求值
cos
11
3
sin
71
6
tan
19
3
解：cos
11
3
sin
71
6
tan
19
3
cos
4
3
sin
12
6
tan
6
3
cos sin tan
36 3
1 1 3 1 3 22
归纳 总结
例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1）
；（2） 2
．
3
3
例1.在0～2 内，求使 sin a > 3
2
成立的α的取值范围.
y
y= 3 2
P2
P P1
a Î ( p , 2p ) 33
M
x
O
例２．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角.
sin 1 2
tan 3
3
解:
y
P2
P1
3
5
S2 S1 P1 B P2
A M2 M1 o
例４.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
sin 2 与sin 4
3
5
tan 2 与tan 4
3
5
解： 如图可知：
S2 S1
B
sin 2 sin 4
3
5
A o
T2
2
4
T1
tan tan
3
5
例5.求函数 f (a ) = 2 cos a - 1 的定义域.
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
1.2.1任意角的三角函数(三个课时)
1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为．错误!不能通过编辑域代码创建对象。
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点错误!不能通过编辑域代码创建对象。
（除了原点）的坐标为错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，它与原点的距离为错，那么误!不能通过编辑域代码创建对象。
叫做α的正弦，记作错误!不能通过编辑（1）比值错误!不能通过编辑域代码创建对象。
；域代码创建对象。
，即错误!不能通过编辑域代码创建对象。
叫做α的余弦，记作错误!不能通过编辑（2）比值错误!不能通过编辑域代码创建对象。
；域代码创建对象。
，即错误!不能通过编辑域代码创建对象。
叫做α的正切，记作错误!不能通过编辑（3）比值错误!不能通过编辑域代码创建对象。
1.2.1任意角的三角函数的定义(第一课时)
第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)学习目标1.掌握任意角的三角函数的定义;2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;3.记住三角函数的定义域及在各象限的符号.学习过程1.复习:初中锐角的三角函数是如何定义的?Rt △ABC 中,设A 的对边为a ,B 的对边为b ,C 的对边为c ,锐角A 的正弦、余弦、正切依次为sin A=,cos A= ,tan A= .2.探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ),点P 与原点的距离r=,sin α= ;cos α= ;tan α= . 思考:对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．.思考:怎样适当地选取P 点使比值简化?其中,以原点为圆心,以 为半径的圆为单位圆. 新知:1.任意角的三角函数.设α为一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ): 那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ; (2)x 叫作α的余弦,记作cos α,即 ;(3)叫作α的正切,记作 ,即tan α=(x ≠0).三角函数:对于确定的角α,上面三个函数值都是唯一确定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角为 ,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4.思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一典型例题【例1】求π的正弦、余弦和正切值.解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】已知角α的终边过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值. 解:sin α==-,cos α==-,tan α=.【例3】求证:当下列不等式组成立时,角α为第三象限角,反之也对.证明:如果sin α<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的非负半轴重合;如果tan α>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】确定下列三角函数值的符号.(1)cos250°; (2)sin(-4π); (3)tan(-672°); (4)tan3π. 解:(1)因为250°是第三象限角,所以 cos250°<0; (2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0; (4)因为tan3π=tan(π+2π)=tan π,而π的终边在x 轴上,所以tan π=0. 【例5】求下列三角函数值. (1)sin1480°10'; (2)cos; (3)tan(-).解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645; (2)cos =cos(+2π)=cos ;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.【例6】 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 【例7】 判断下列各式的符号： (1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5. 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0， ∴sin3·cos4·tan5＞0.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．跟踪训练3 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角． 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角． 类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”． 跟踪训练4 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin810°＋tan765°－cos360°. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos360°＝sin90°＋tan45°－1＝1＋1－1＝1.一、选择题1．(2017·长沙检测)sin(－315°)的值是( ) A ．－22B ．－12C.22D.12答案 C解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝22. 2．(2017·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α等于( )A.12B ．－12C ．－32D ．－33 答案 C解析 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 D4．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－ 3答案 D解析 ∵cos α＝x r ＝x x 2＋5＝24x ，∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 5．(2017·嘉兴模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0.6．(2017·湖州期末)点P 从点(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动5π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－12，－32C.⎝⎛⎭⎫－32，－12D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 C解析 根据题意可得：x Q ＝cos ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－32， y Q ＝sin ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－12. 则Q 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，－12. 7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角． 二、填空题8．tan405°－sin450°＋cos750°＝________. 答案32解析 tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32. 9．(2017·绍兴柯桥区期末)已知α的顶点在原点，始边在x 轴上，终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫－32，12，则cos α＝________. 答案 －3210．(2017·山东烟台一中期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,3]解析 ∵点(3a －9，a ＋2)在角α的终边上， sin α>0，cos α≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，3a －9≤0，解得－2<a ≤3. 11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x .又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.12．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________． 答案32，12，3或－32，－12， 3 解析 因为角α的终边在直线y ＝3x 上， 所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3aa＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3. 13．sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4＝________.答案 －1解析 原式＝sin 32π＋cos π2＋cosπ＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.14．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是________________．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上， 当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0， sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0， sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0， sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域为{－4,0,2}．三、解答题15．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义， ∴cos α＞0.②由①②得角α的终边在第四象限． (2)∵点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， ∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45.由三角函数定义知，sin α＝－45.达标检测1.α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin αB.cos αC.tan αD.2.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知角α的终边过点P (-1,2),则cos α的值为 .4.已知角α的终边过点(a ,2a )(a ≠0),求α的正弦、余弦和正切值.5.判断sin4·tan(-)的符号.参考答案复习:探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ), 点P 与原点的距离r=,sin α=,cos α=,tan α=.由三角形相似,确定的α可对应相似的直角三角形,这三个比值对应相等,不会随P 在角的终边的位置改变而改变. 2.单位圆.不难想到,当r=1时形式上比较简单,即sin α=b ,cos α=a ,tan α=,而当r=1时,可构设一个以原点为圆心以单位长为半径的圆,角α的终边与圆的交点选为P 点.此时,点P 与原点的距离r=1.其中,以原点为圆心,以1个单位长度为半径的圆为单位圆. 新知:1.cos α=x ;tan α;自变量2.≠+k反思:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),则sinα=,cosα=,tanα=.3.终边相同的角同一三角函数值相等.典型例题【例1】解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】解:sinα==-,cosα==-,tanα=.【例3】证明:如果sinα<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非负半轴重合;如果tanα>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】解:(1)因为250°是第三象限角,所以cos250°<0;(2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0;(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ,而π的终边在x轴上,所以tanπ=0.【例5】解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645;(2)cos=cos(+2π)=cos;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.达标检测1.B2.B3.-4.当a>0时,sinα=,cosα=,tanα=2;当a<0时,sinα=-,cosα=-,tanα=2.5.略。
1.2.1任意角的三角函数(第一课时)教案
②若 sin 合；若 tan
角的终边可能位于第三或第四象限或与 的终边可能位于第一或第三象限。
因为 sin
同时成立，所以角 五、课外练习
的终边只能位于第三象限，角
为第三象限角。
必做： P15 练习 1， 2， 3； 选做： P20 习题 1.2 A 组第 2 题。 六、板书设计 1.2.1 1. 锐角三角函数 任意角的三角函数 3. 任意角的三角函数
1.2.1
任意角的三角函数
江门市中小学教研室 李义仁
（第 1 课时）
一、教材分析 本课时是在必修 4“任意角和弧度制”和义务教育“锐角三角函数”的基础上学习 任意角的三角函数。 三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，是继必修 1 指数函数、对数
函数和幂函数之后另一个基本初等函数， 而三角函数又是学习其他数学知识 （三角变换、 向量、解析几何等）的重要基础，三角函数的图象和性质在研究简谐运动、波等周期性 变化现象中以及实际生活中，都有广泛应用。 三角函数概念是研究三角函数图象与性质的基础， 良好基础，本课时以人教 二、学情分析 学生基本具备了学习本课时的知识基础和思想方法基础： 任意角和弧度制等是本课时的知识基础， 锐角三角函数、 函数概念、 为帮助学生奠定三角函数概念的 A 版必修 4 P11-P13 及例 1～例 3 为基本教学内容。
由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
函数。对应关系直观表示如下 （讲解正弦函数的对应关系， 其他由学生完成）：
（ 唯一确定 角 （ 唯一确定 角 及其终边 及其终边
R）
正弦函数
sin
y
唯一确定
1.2.1任意角的三角函数(教、学案)
1. 2.1任意角的三角函数【教学目标】（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来； （4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【教学重难点】重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 【教学过程】 一、【创设情境】提问：锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离220r a b =+>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.二、【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称yP （a ，b ）rαO Ma 的终边P(x,y)Oxy以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； （3）yx叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y x x α=≠.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22r x y =+,那么22sin y x yα=+,22cos x x yα=+,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义域第一象限 第二象限 第三象限 第四象限角度制弧度制 sin αcos αtan α5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=6.三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y r α====MP cos 1x xx OM r α====OM tan y MP ATAT x OM OAα====我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
新人教版高中数学1.2.1任意角的三角函数(2)教案必修四
si n330°=-0.5,cos330°= =0.86,tan330°= =-0.58.
点评:进一步认识单位圆中的三角函数线.
4.三角函数线是三角函数的几何表示,它直观地刻画了三角函数的概念,与三角函数的定义结合起来,可以从数和形两 方面认识三角函数的定义,并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了.
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.
正弦线、余弦线、正切线统称为三 角函数线.
讨论结 分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交
图7
射线OP于点T,交射线OQ的反向延长线于T′,点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N,则
课题
1.2.1任 意角的三角函数(2)
授课时间
4.14
课型
新授
二次修改意见
课时
1
授课人
科目
数学
主备
教学目标
知识与技能
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.
教学设想
教法
引导探究
学法
自学探究
教具
多媒体直尺,圆规
课堂设计
一、目标展 示
同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?
二.预习检测
问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定 义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢?
高中数学 1.2.1任意角的三角函数教案(1) 新人教A版必修4
4-1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、 解决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b asinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan yx α=；（4）比值x y叫做α的余切，记作cot α，即cot xy α=；（5）比值r x叫做α的正割，记作sec α，即sec rx α=；（6）比值r y叫做α的余割，记作csc α，即csc ry α=．说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=与sec r x α=无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy yα=与csc ryα=无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、r x 、ry分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。
1.2.1任意角的三角函数
（3）α取任意角时，正弦、余弦总有意义. 当α的终
边在 y 轴上时，点 P 的横坐标 x=0，tan y无意义，
此时 k (k z).
x
2
y
P
.
O
A1,0 x
P
实例剖析
例1 求 5 的正弦、余弦和正切值.
3
解：在直角坐标系中，作 AOB 5，使其终边与单
位圆交于点B，则 B(1 , 3 )
人教A版高中数学必修4
1.2.1 任意角的三角函数
复习回顾 1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P
c a
O bM
sin a
c
cos b
c
tan a
b
2.在直角坐标系中如何用角的终边上点的坐 标来表示锐角三角函数？
P
c a
O bM
新课导入
2.在直角坐标系中如何用角的终边上点的坐 标来表示锐角三角函数？
y
Pa, b
r
o
x
M
OM a, MP b，
sin MP b
OP r
cos OM a
OP r
tan MP b
OM a
OP r a2 b2 .
思考探究
这三个比值会随着点P在终边上的位置的改变
而改变吗？
y
P(x, y)
P(a, b)
OMP ∽ OM P
sin b
r
y R
r
ห้องสมุดไป่ตู้
cos a
(2) x叫做的余弦，记作 cos，即cos x；
(3) y 叫做的正切，记作tan，即tan y .
x
x
y
Px, y
O
备课教案资料(1.2.1 任意角的三角函数)
备课资料1 一、一个三角不等式的证明 已知θ∈(0,2π),求证:sinθ<θ<tanθ.图13证明:如图13,设锐角θ的终边交单位圆于点P,过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 于点T,过点P 作PM ⊥x 轴于点M,则MP=sinθ,AT=tanθ,的长为θ,连结PA.∵S △OPA <S 扇形OPA <S △OAT , ∴21·｜OA ｜·｜MP ｜<21｜OA ｜2·θ<21｜OA ｜·｜AT ｜. ∴|MP|<θ<|AT|,则MP<θ<A T,即sinθ<θ<tanθ. 二、备用习题 1.若4π<θ<2π,则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是( ) A.tanθ<cosθ<sinθ B.sinθ<tanθ<cosθ C.cosθ<tanθ<sinθ D.cosθ<sinθ<tanθ 2.若0<α<2π,则使sinα<23和cosα>21同时成立的α的取值范围是( ) A.(3π-,3π) B.(0,3π) C.(35π,2π) D.(0,3π)∪(35π,2π)3.在(0,2π)内,使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是_______.4.如图14,点B 、C 在x 轴的负半轴上,且BC=CO,角α的顶点重合于坐标原点O,始边重合于x 轴的正半轴,终边落在第二象限,点A 在角α的终边上,且有∠BAC=45°,∠CAO=90°,求sinα,cosα,tanα.图145.求函数y=1cos 2+x +lg(25-x 2)的定义域.6.设0<β<α<2π,求证:α-β>sinα-sinβ. 7.当α∈［0,2π)时,试比较sinα与cosα的大小. 参考答案: 1.D 2.D 3.(4π,45π) 4.解:∵AB 是∠CAO 的外角的平分线,∴AO AC =BO BC =21. 在Rt △ACO 中,设AC=a,则AO=2a,CO=a a a 5)2(22=+,∴sin ∠CAO=aa 5=55. ∵角α的终边与OA 重合,而OA 落在第二象限, ∴sinα=55,cosα=552-,tanα=21-. 5.x ∈(-5,45π-］∪［43π-,43π］∪［45π,5).6.解:如图15,设单位圆与角α,β的终边分别交于P 1,P 2,作P 1M 1⊥x 轴于M 1,作P 2M 2⊥x 轴于M 2,图15作P 2C ⊥P 1M 于C,连结P 1P 2,则sinα=M 1P 1,sinβ=M 2P 2,α-β=, ∴α-β=>P 1P 2>CP 1=M 1P 1-M 1C=M 1P 1-M 2P 2=sinα-sinβ, 即α-β>sinα-sinβ.图167.解:如图16. (1)当0≤α<4π时,设角α的终边与单位圆交于点P 1(x 1,y 1),此时x 1>y 1,而sinα=y 1, cosα=x 1, ∴cosα>sinα.(2)当α=4π时,x 1=y 1,此时sinα=cosα. (3)当4π<α≤2π时,设角α的终边与单位圆交于点P 2(x 2,y 2),此时y 2>x 2,而sinα=y 2,cosα=x 2, ∴sinα>cosα.(4)当2π<α≤π时,sinα≥0,cosα<0,∴sinα>cosα. (5)当π<α<45π时,设角α的终边与单位圆交于点P 3(x 3,y 3),此时x 3<y 3<0,而sinα=y 3,cosα=x 3, ∴sinα>cosα.(6)当α=45π时,有s inα=cosα. (7)当45π<α≤23π时,设角α的终边与单位圆交于点P 4(x 4,y 4),此时y 4<x 4<0,而sinα=y 4,cosα=x 4,∴sinα<cosα. (8)当23π<α<2π时,cosα≥0,sinα<0, ∴cosα>sinα. 综上所述,当α∈(4π,45π)时,sinα>cosα; 当α=4π或45π时,sinα=cosα;当α∈［0,4π)∪(45π,2π)时,sinα<cosα.1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,解决简单的实际问题.本节以锐角三角函数为引子,利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用.利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境. 三维目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.重点难点教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等.教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号;利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们把角的范围推广了,锐角三角函数的定义还能适用吗?譬如三角形内角和为180°,那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗?类比角的概念的推广,怎样修正三角函数定义?由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义,然后再在适当时机联系锐角三角函数,这也是一种不错的选择.思路2.教师先让学生看教科书上的“思考”,通过这个“思考”提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题,以引导学生回忆锐角三角函数概念,体会引进象限角概念后,用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义,从而为定义任意角的三角函数奠定基础.教科书在定义任意角的三角函数之前,作了如下铺垫:直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数.推进新课新知探究提出问题问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?活动:教师提出问题,学生口头回答,突出它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数,教师并对回答正确的学生进行表扬,对回答不出来的同学给予提示和鼓励.然后教师在黑板上画出直角三角形.教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系,画出角α的终边;学生给出相应点的坐标,并用坐标表示锐角三角函数.图1如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =ab.讨论结果:①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数. ②sinα=OP MP =rb ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =a b.提出问题问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?活动:教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种关系来.然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的比值,获得具体认识,并由相似三角形的性质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变.过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化. 此时sinα=OPMP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =a b.在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.图2如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=xy(x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.教师出示定义后,可让学生解释一下定义中的对应关系.教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点.用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数,与学生在锐角三角函数学习中建立的已有经验有一定的距离,与学生在数学必修一的学习中建立起来的经验也有一定的距离.学生熟悉的函数y=f(x)是实数到实数的一一对应,而这里给出的三角函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应,这就给学生的理解造成一定的困难.教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上,先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系,在直角坐标系中考查锐角三角函数,得出用角的终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论,然后再“特殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论.在此基础上,再定义任意角的三角函数.在导学过程中教师应点拨学生注意,尽管我们从锐角三角函数出发来引导学生学习任意角的三角函数,但任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系.教师在教学中应当使学生体会到,用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数,不仅简单、方便,而且反映本质.教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么,对应关系有什么特点,函数值是什么.特别注意α既表示一个角,又是一个实数(弧度数).“它的终边与单位圆交于点P(x,y)”包含两个对应关系.从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数.值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.讨论结果:①这三个比值与终边上的点的位置无关,根据初中学过的三角函数定义,有sinα=OP MP =rb ,cosα=OP OM =r a,tanα=OP MP =ab .由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变. ②能. 提出问题问题①:学习了任意角,并利用单位圆表示了任意角的三角函数,引入一个新的函数,我们可以对哪些问题进行讨论?问题②:根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的?活动:教师引导学生结合在数学必修一中的有关函数的问题,让学生回顾所学知识,并总结回答老师的问题,教师对学生总结的东西进行提问,并对回答正确的学生进行表扬,回答不正确或者不全面的学生给予提示和补充.教师让学生完成教科书上的“探究”,教师提问或让学生上黑板板书.按照这样的思路,我们一起来探究如下问题:请根据任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图3中的括号内.图3教师要注意引导学生从定义出发,利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符号等结论.对于正弦函数sinα=y,因为y 恒有意义,即α取任意实数,y 恒有意义,也就是说sinα恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数tanα=x y ,因为x=0时,xy无意义,即tanα无意义,又当且仅当角α的终边落在纵轴上时,才有x=0,所以当α的终边不在纵轴上时,x y 恒有意义,即tanα恒有意义,所以正切函数的定义域是α≠2π三角函数 定义域 sinα R cosα Rtanα{α|α≠2π+kπ,k ∈Z } 三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于x,y 的符号,当点P 在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P 在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示);同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.从而完成上面探究问题.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 讨论结果:①定义域、值域、单调性等.②y=sinα与y=cosα的定义域都是全体实数R ,值域都是[-1,1].y=tanα的定义域是{α｜α≠2π +kπ(k ∈Z )},值域是R . 应用示例思路1例1 已知角α的终边经过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.活动:教师留给学生一定的时间,学生独立思考并回答.明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数,但用单位圆上点的坐标来定义,既不失一般性,又简单,更容易看清对应关系.教师要点拨引导学生习惯画图,充分利用数形结合,但要提醒学生注意α角的任意性.如图4,设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上任意一点,点P 与原点的距离r=22y x +>0,那么:图4①r y 叫做α的正弦,即sinα=r y ; ②r x 叫做α的余弦,即cosα=r x ;③x y 叫做α的正切,即tanα=xy(x≠0).这样定义三角函数,突出了点P 的任意性,说明任意角α的三角函数值只与α有关,而与点P 在角的终边上的位置无关,教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点. 解:由已知,可得OP 0=22)4()3(-+-=5.图5如图5,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P 、P 0作x 轴的垂线MP 、M 0P 0,则|M 0P 0|=4,|MP|=-y,|OM 0|=3，|OM|=-x,△OMP ∽△OM 0P 0, 于是sinα=y=1y =||||OP MP -=||||000OP P M -=54-;cosα=x=1x =||||OP OM -=||||00OP OM -=53-;tanα=x y =a cos sin =34. 点评:本例是已知角α终边上一点的坐标,求角α的三角函数值问题.可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上,再由定义得解. 变式训练 求35π的正弦、余弦和正切值.图6解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=35π,如图6. 易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(21,23-),所以sin35π=23-,cos 35π=21,tan 35π=3-.例2 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.⎩⎨⎧><.0tan ,0sin θθ 活动:教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系,提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系.可以知道:三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于x,y 的符号,当点P 在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P 在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的;同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.证明:我们证明如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.因为①sinθ<0成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上;又因为②式tanθ>0成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限. 因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限. 于是角θ为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.点评:本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号,其条件以一个不等式出现,在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚,然后再给出证明.这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力. 变式训练(2007北京高考)已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是( )A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角 答案:C例3 求下列三角函数值: (1)sin390°;(2)cos619π;(3)tan(-330°). 活动:引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点,终边相同的角相差2π的整数倍,那么这些角的同一三角函数值有何关系?为什么?引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论,然后再用三角函数的定义证明.由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一):利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”.解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=21; (2)cos619π=cos(2π+67π)=cos 67π=23-;(3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=33. 点评:本题主要是对诱导公式一的考查,利用公式一将任意角都转化到0—2π范围内求三角函数的值.思路2例1 已知角α的终边在直线y=-3x 上,则10sinα+3secα=.活动:要让学生独立思考这一题目,本题虽然是个填空题,看似简单但内含分类讨论思想,可以找两个学生来板演这个例题.对解答思路正确的学生给以鼓励,对思路受阻的学生要引导其思路的正确性.并适时地点拨学生:假如是个大的计算题应该怎样组织步骤. 解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则 x=k,y=-3k,r=22(-3k)k +=10｜k ｜. (1)当k>0时,r=10k ,α是第四象限角, sinα=r y =kk 103-=10103-,secα=x r=k k 10=10,∴10sinα+3secα=10×10103-+310=-310+310=0. (2)当k<0时,r=k 10-,α为第二象限角, sinα=r y =kk 103--=10103,secα=x r=k k 10-=10-,∴10sinα+3secα=10×10103+3×(10-)=310-310=0. 综合以上两种情况均有10sinα+3secα=0.点评:本题的解题关键是要清楚当k>0时,P(k,-3k)是第四象限内的点,角α的终边在第四象限;当k<0时,P(k,-3k)是第二象限内的点,角α的终边在第二象限内,这与角α的终边在y=-3x 上是一致的. 变式训练 设f(x)=sin3πx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值. 解:∵f(1)=sin3π=23,f(2)=sin 32π=23,f(3)=sinπ=0,f(4)=sin44π=23-,f(5)=sin 35π=23-,f(6)=sin2π=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0. 而f(7)=sin37π=sin 3π,f(8)=sin 38π=sin 32π,…,f(12)=sin 312π=sin2π,∴f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0.求函数y=a sin +tanα的定义域.活动:让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点,并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求,根据函数有意义的特征来求自变量的范围.对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行.求含正切函数的组合型三角函数的定义域时,正切函数本身的定义域往往被忽略,教师提醒学生应引起注意这种情况.同时,函数的定义域是一个集合,所以结论要用集合形式表示.解:要使函数y=a sin +tanα有意义,则sinα≥0且α≠kπ+2π(k ∈Z ). 由正弦函数的定义知道,sinα≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负.∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上,即2kπ≤α≤π+2kπ(k ∈Z ). ∴函数的定义域是{α｜2kπ≤α<2π+2kπ或2π+2kπ<α≤(2k+1)π,k ∈Z }. 点评:本题的关键是弄清楚要使函数式有意义,必须sinα≥0,且tanα有意义,由此推导出α的取值范围就是函数的定义域. 变式训练求下列函数的定义域:(1)y=sinx+cosx;(2)y=sinx+tanx; (3)y=xxx tan cos sin +;(4)y=x sin +tanx.解:(1)∵使sinx,cosx 有意义的x ∈R ,∴y=sinx+cosx 的定义域为R .(2)要使函数有意义,必须使sinx 与tanx 有意义.∴有⎪⎩⎪⎨⎧+≠∈2ππk x R x∴函数y=sinx+tanx 的定义域为{x ｜x≠kπ+2π,k ∈Z }. (3)要使函数有意义,必须使tanx 有意义,且tanx≠0.∴有⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠πππk x ，k x 2(k ∈Z ),∴函数y=xx x tan cos sin +的定义域为{x ｜x≠2πk ,k ∈Z }.(4)当sinx≥0且tanx 有意义时,函数有意义,∴有⎪⎩⎪⎨⎧+≠+≤≤2x ,1)(2k 2k ππππk x (k ∈Z ). ∴函数y=sinx +tanx 的定义域为 ［2kπ,2kπ+2π)∪(2kπ+2π,(2k+1)π］(k ∈Z ). 知能训练课本本节练习. 解答: 1.sin67π=21-;cos 67π=23-;tan 67π=33点评:根据定义求某个特殊角的三角函数值. 2.sinθ=135;cosθ=1312-;tanθ=125-. 点评:已知角α终边上一点的坐标,由定义求角α的三角函数值.点评:熟悉特殊角的三角函数值,并进一步地理解公式一. 4.当α为钝角时,cosα和tanα取负值.点评:认识与三角形内角有关的三角函数值的符号. 5.(1)正;(2)负;(3)零;(4)负;(5)正;(6)正.点评:认识不同位置的角对应的三角函数值的符号. 6.(1)①③或①⑤或③⑤;(2)①④或①⑥或④⑥; (3)②④或②⑤或④⑤;(4)②③或②⑥或③⑥.点评:认识不同象限的角对应的三角函数值的符号. 7.(1)0.874 6;(2)3;(3)0.5;(4)1.点评:求三角函数值,并进一步地认识三角函数的定义及公式一. 课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义,并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域,任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展,是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比,记忆方法可用锐角三角函数类比记忆,至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.本节课我们重点讨论了两个内容,一是三角函数在各象限内的符号,二是一组公式,两者的作用分别是:前者确定函数值的符号,后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数,这两个内容是我们日后学习的基础,经常要用,请同学们熟记. 作业课本习题1.2A 组题1—9.设计感想关于三角函数定义法,总的说来就两种:“单位圆定义法”与“终边定义法”.这两种方法本质上是一致的.正因为此,各种数学出版物中,两种定义方法都有采用.在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习.理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键,也是学好本章内容的关键.在教学中,教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力,以巩固对知识的理解和掌握.教师在教学中,始终引导学生紧扣三角函数的定义,善于利用数形结合.在利用三角函数定义进行求值时,应特别强调要注意横向联系,即不仅仅能求出该值,还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系,找出规律来求解.(设计者：房增凤)第2课时导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来. 推进新课新知探究 提出问题问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢?问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?活动:指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过P 作x 轴的垂线,垂足为M;过A 作单位圆的切线,这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标.显然,线段OM 的长度为|x|,线段MP 的长度为|y|,它们都只能取非负值.当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段:如果x>0,OM 与x 轴同向,规定此时OM 具有正值x;如果x<0,OM 与x 轴正向相反(即反向),规定此时OM 具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x.如果y>0,把MP 看作与y 轴同向,规定此时MP 具有正值y;如果y<0,把MP 看作与y 轴反向,规定此时MP 具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MP=y. 引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段. 于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有 sinα=r y =1y=y=MP,cosα=r x =1x=x=OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线. 类似地,我们把OA 、AT 也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识,就有tanα=x y =OAAT=A T. 这条与单位圆有关的有向线段A T,叫做角α的正切线. 讨论结果:①能.②被看作带有方向的线段叫做有向线段. 提出问题问题①:怎样把三角函数线与有向线段联系在一起?问题②:正弦线、余弦线、正切线在平面直角坐标系中是怎样规定的?当角α的终边变化时,它们有什么变化?活动:师生共同讨论,最后一致得出以下几点:(1)当角α的终边在y 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在. (2)当角α的终边在x 轴上时,正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x 轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. 讨论结果:①略. ②略. 示例应用思路1例1 如图7,α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交图7射线OP 于点T,交射线OQ 的反向延长线于T′,点P 、Q 在x 轴上的射影分别为点M 、N,则sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________,sinβ=______________,co sβ=______________,tanβ=______________.活动:根据三角函数线的定义可知,sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT,sinβ=NQ,cosβ =ON,tanβ=AT′.答案:MP OM AT NQ ON AT′点评:掌握三角函数线的作法,注意用有向线段表示三角函数线时,字母的书写顺序不能随意颠倒.。
1.2.1 任意角的三角函数
高一
学科
数学
课题
1．2.1任意角的三角函数
编制人
谭金国
审定人
高一数学备课组
知识目标
教学活动
基础知识—重点知
识—重难点知识
自学质疑—讨论领悟—展示分享—检测巩固—评价提升
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用．
2．能判断任意角的三角函数值的符号．
3．掌握公式一及其应用.
自学质疑
1．任意角的三角函数定义
2判断下列各式的符号：
(1)tan120°·sin269°；(2)tan191°－cos191°.
3设A是第三象限角，且|sin|＝－sin，则是()
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
4求cos＋tan(－π)的值
评价提升
(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
y叫做α的，记作，即sinα＝y；
x叫做α的，记作，即cosα＝x；
叫做α的，记作，即tanα＝(x≠0)．
(2)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与
原点的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.
2．三角函数值在各个象限的符号
记忆口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
3．各特殊角的三个三角函数值要熟记
角度α
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
弧度α
0
π
2π
sinα
coα
tanα
讨论领悟
1．怎样理解三角函数的定义？
2．三角函数的符号是怎样确பைடு நூலகம்的？
1.2.1任意角的三角函数优秀教学设计
1.2.1任意角的三角函数(1)(教学设计)一、教材分析：本节课选自人教版数学必修4第一章1.2.1任意角的三角函数的第1课时，是概念课。
本节课在第一章的中占有重要的地位，学习掌握好三角函数的概念，可以为整章内容的学习打下扎实的基础，可以引领整个板块的学习。
二、学情分析：之前学生已经学过了任意角、终边相同的角、弧度制等有关概念，对角的终边落在直角坐标系的位置已经有了知识基础，同时，学生在初中学过了锐角三角函数的定义。
以上知识储备为本节课的学习提供了一定的便利条件，但是初中学习的锐角三角函数的定义容易引起学生先入为主的心理定位，对任意角的三角函数的定义教学容易引起混淆的。
三、教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,依然通过终边坐标法来定义任意角的三角函数，（符合初中比值来定义），再特例法通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法得到任意角三角函数的另一定义.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.追溯三角函数的发展历史三角函数的本质是“比值”，所以采用终边坐标法来定义任意角的三角函数，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数。
并在学习了弧度制之后得出的，因此才真正的建立了三角函数是实数（弧度制）到实数之间的对应关系。
然后再利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.4、数学核心素养：培养学生归纳到抽象、思考与判断的核心素养四、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。
难点: 利用单位圆定义任意角的三角函数。
1.2.1任意角的三角函数(1)教案
1.2.1任意角的三角函数（1）教案备课人授课时间课题1.2.1 任意角的三角函数（1）课标要求任意角的三角函数的定义教学目标知识目标任意角的三角函数的定义，会求角α的各三角函数值技能目标正确理解三角函数是以实数为自变量的函数情感态度价值观学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神重点任意角的三角函数的定义；以及这三种函数的第一组诱导公式。
难点用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号第 2 页第 3 页上任意一点的横坐标x都等于0，所以tan yxα=无意义；（4）除以上情况外，对于确定的值α，比值yr 、xr、yx、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。
（5）sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余两个符号也是这样.(6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程. 学生根河北武中·宏达教育集团教师课时教案第 4 页教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动5．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。
即有：sin(2)sinkαπα+=，cos(2)coskαπα+=，其中k Z∈．tan(2)tankαπα+=，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．例5三、巩固与练习1 确定下列三角函数值的符号：（1）cos250；（2）sin()4π-；（3）tan(672)-；（4）11tan3π．2已知角α的终边过点(,2)(0)a a a≠，求α的三个三角函数值。
1.2.1任意角的三角函数
例4：已知角α的终边过点P(3a-9,a+2)，且满 -2<a<3 足条件 cos 0 则a的取值范围是————— sin 0
此时，点P的横坐标小于0，纵坐标大于0， 即 3a 9 0
cos 0 解：因为 ，所以可知角α为第二象限角。 sin 0
1.2.1 任意角的三角函数
初中时，锐角三角函数是定义在直角 三角形中的
B
如图，锐角α（即∠A）的 三角函数为：
A
α C
问题：能用直角坐标系中角的终边上点的坐 标来表示锐角三角函数吗？
在锐角α终边上任取一点P(a,b)，与 原点距离为 r a2 b2 0
过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段 OM的长度为a，线段MP的长度为b。
|M0P0| 4 | MP | y sinα y 于是， 5 1 |OP| |OP |
0Leabharlann M0MOP（x,y）
P0（-3，-4）
|OM0| 3 | OM | x cosα x 1 |OP| |OP | 5 sinα 4 tanα y x cosα 3
5 例1 ： 求 的正弦，余弦和正切值。 3
y
解：在直角坐标系中，作∠AOB=
易知∠AOB的终边与单位圆的交点P 坐标为 ，所以
5 3
O
M
A
P B
x
例2 .已知角α的终边经过点P0（-3，-4），求角 α的正弦，余弦和正切值。
解：由已知可得： OP0 (3) 2 (4) 2 5 y 设角α的终边与单位圆交于点P（x,y） 分别过点P, P0 作x轴的垂线MP,M0P0 则 |M0P0|=4,|OM0|=3,|MP|=-y,|OM|=-x， △OMP∽△OM0P0， x
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备课资料
1 一、一个三角不等式的证明
已知θ∈(0,2
π),求证:sinθ<θ<tanθ.
图13
证明:如图13,设锐角θ的终边交单位圆于点P,过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 于点T,过点P 作PM ⊥x 轴于点M,则MP=sinθ,AT=tanθ,
的长为θ,连结PA. ∵S △OPA <S 扇形OPA <S △OAT , ∴21
·｜OA ｜·｜MP ｜<21｜OA ｜2·θ<2
1｜OA ｜·｜AT ｜. ∴|MP|<θ<|AT|,则MP<θ<A T,即sinθ<θ<tanθ.
二、备用习题
1.若4π<θ<2
π,则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是( ) A.tanθ<cosθ<sinθ B.sinθ<tanθ<cosθ
C.cosθ<tanθ<sinθ
D.cosθ<sinθ<tanθ
2.若0<α<2π,则使sinα<
23和cosα>21同时成立的α的取值范围是( ) A.(3π-,3π) B.(0,3
π) C.(35π,2π) D.(0,3
π)∪(35π,2π) 3.在(0,2π)内,使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是_______.
4.如图14,点B 、C 在x 轴的负半轴上,且BC=CO,角α的顶点重合于坐标原点O,始边重合于x 轴的正半轴,终边落在第二象限,点A 在角α的终边上,且有∠BAC=45°,∠CAO=90°,求sinα,cosα,tanα.
图14
5.求函数y=1cos 2+x +lg(25-x 2)的定义域.
6.设0<β<α<2
π,求证:α-β>sinα-sinβ. 7.当α∈［0,2π)时,试比较sinα与cosα的大小.
参考答案:
1.D
2.D
3.(4π,4
5π) 4.解:∵AB 是∠CAO 的外角的平分线,∴AO AC =BO BC =2
1. 在Rt △ACO 中,设AC=a,则AO=2a,CO=a a a 5)2(22=+,∴sin ∠CAO=a a
5=5
5. ∵角α的终边与OA 重合,而OA 落在第二象限,
∴sinα=55,cosα=5
52-,tanα=21-. 5.x ∈(-5,45π-
］∪［43π-,43π］∪［45π,5). 6.解:如图15,设单位圆与角α,β的终边分别交于P 1,P 2,作P 1M 1⊥x 轴于M 1,作P 2M 2⊥x 轴于M 2,
图15
作P 2C ⊥P 1M 于C,连结P 1P 2,则
sinα=M 1P 1,sinβ=M 2P 2,α-β=,
∴α-β=>P 1P 2>CP 1=M 1P 1-M 1C=M 1P 1-M 2P 2=sinα-sinβ,
即α-β>sinα-sinβ.
图16
7.解:如图16.
(1)当0≤α<4
π时,设角α的终边与单位圆交于点P 1(x 1,y 1),此时x 1>y 1,而sinα=y 1, cosα=x 1,
∴cosα>sinα.
(2)当α=4
π时,x 1=y 1,此时sinα=cosα.
(3)当4π<α≤2
π时,设角α的终边与单位圆交于点P 2(x 2,y 2),此时y 2>x 2,而sinα=y 2, cosα=x 2,
∴sinα>cosα.
(4)当
2π<α≤π时,sinα≥0,cosα<0,∴sinα>cosα. (5)当π<α<45π
时,设角α的终边与单位圆交于点P 3(x 3,y 3),此时x 3<y 3<0,而sinα=y 3,
cosα=x 3,
∴sinα>cosα.
(6)当α=
4
5π时,有s inα=cosα. (7)当45π<α≤23π时,设角α的终边与单位圆交于点P 4(x 4,y 4),此时y 4<x 4<0,而sinα=y 4,cosα=x 4,∴sinα<cosα.
(8)当2
3π<α<2π时,cosα≥0,sinα<0, ∴cosα>sinα.
综上所述,当α∈(
4π,45π)时,sinα>cosα; 当α=4
π或45π时,sinα=cosα; 当α∈［0,4
π)∪(45π,2π)时,sinα<cosα. (设计者：房增凤)。