2020年浙江省温州市高一(下)期中数学试卷解析版
浙江省2020学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)
，为了获得函数
的图象，只需将
的图象
（
）
A.
向左平移
个单位长度
B.向右平移
个单位长度
C.向左平移
个单位长度
D.向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】
【剖析】
由题意联合函数的分析式可得函数图像的平移变换方法
.
【详解】注意到
，
故获得函数
的图象，只需将
的图象向右平移
个单位长度.
应选：D.
【点睛】此题主要考察三角函数的平移变换，属于基础题.
角用已知角配凑成β=（α+β）﹣α，是解题的重点，属于较难题．
17.若两个非零向量，知足，则向量与的夹角余弦值为_______.
- 8 -
【答案】
【分析】
【剖析】
由题意联合平行四边形的性质和向量的夹角公式整理计算可得两向量夹角的余弦值.
【详解】不如设，则，，
由平行四边形的性质有：，
即：.
据此可得：，
余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
-12-
sinα、cos（α+β）
值，再利用两角和差
正弦公式求
得β＝
[（α+β）﹣α]的值．
【详解】∵α、β
为锐角，cosα
，∴sinα
，
sin（α+β）
sinα，∴α+β为钝角，
【
，
∴cos（α+β）
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
?
?
．
故答案为.
浙江省2020年第二学期期中考试高一数学试卷
2020学年第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题10小题，每小题4分,共40分)1．已知等差数列{}n a的首项为1，公差为2，则a9的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．182．在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．15003．不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(-1,2)，则a＋b＝( )A.－3B.1C.－1D.34.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3a4a5=29,则a3＝( )A.16B.8C.4D.25.已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是( )A.1a2＞1a＞1abB.1a2＞1ab＞1aC.1a＞1a2＞1abD.1a＞1ab＞1a26．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk =sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当k=5时，ΔABC是直角三角形B. 当k=3时，ΔABC是锐角三角形C. 当k=2时，ΔABC是钝角三角形D. 当k=1时，ΔABC是钝角三角形7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.128.已知向量a ⃗ =(3cosθ,3sinθ)，b ⃗ =(0,−3)，θ∈(π2,π)，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. 3π2−θB. θ−π2C. π2+θD. θ9.已知实数x,y 满足xy −2=x +y ,且x >1,则y(x +11)的最小值为（ ）A.21B.24C.25D. 2710.若不等式(|x －2a |－b )×cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则2a ＋b 的最小值为( )A.1B. 56C.23D. 2二、填空题(本大题7小题，多空题每小题6分,单空题每小题4分，共,36分) 11.已知平面向量a ＝(2，－3)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.12.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则2y －x 的最小值为______.最大值为_______.13.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋1b的最小值为________，此时a ＝________.14. 在△ABC中，AB＞AC，BC＝23，A＝60°，△ABC的面积等于23，则sin B ＝________，BC边上中线AM的长为________.15.若a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项公式a n＝________.16. 若关于x的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围________.17.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→＝λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为________.（结果用λ表示）第Ⅱ卷三、解答题(本大题5小题，共74分)18.（本小题满分14分）.已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝ann.(1)证明：数列{b n}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式.19. （本小题满分15分）已知函数f(x)=−4x2+13x−3．(1)求不等式f(x)>0的解集；(2)当x∈(0,+∞)时，求函数y=f(x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．x20. （本小题满分15分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋2b|；(3)若AB→＝a＋2b，BC→＝b，求△ABC的面积.21. （本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc.(1)求角C；(2)求a＋b的取值范围.22.（本小题满分15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＝4S n－2a n－，T n为数列{b n}的前n项和．1(n∈N*).数列{b n}满足b n=1a n·a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n;(3)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题: 本大题共7个小题，共36分． 11. −32, 23 12. -4 413． 3,12 14. 12,√7 15． n 2＋n ＋2216． d ≥−117．3λ－1λ2三、解答题: 本大题共5个小题，共74分．18．(本小题满分14分) （1）由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由（1）可得b n＝2n－1，ann＝2n－1所以a n＝n·2n－1.19. 本小题满分15分)解：(1)由题意得−4x2+13x−3>0，因为方程−2x2+7x−3=0有两个不等实根x1=14，x2=3，又二次函数f(x)=−4x2+13x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|14<x<3}；(2)由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x>0，所以y=−4x−3x +13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x ，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．(本小题满分15分)解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a ＋2b |＝2√7 (3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角B cos B =√7∴sin B =√3√7|AB →|＝2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sinB ＝12×2√7×3×√37＝3 3.21． （本小题满分15分）解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2) 法一：由(1)知2c ＝sin C ，c=34∴2a ＝sin A ，2b ＝sin B . △ABC 的a ＋b ＝12(sin A ＋sin B )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈112]∴a ＋b 的取值范围为.112]法二：c 2=a 2+b 2+ab c 2=(a +b)2−ab ≥(a +b )2−(a+b )24316≥34(a +b )2 ∴a ＋b ≤12 ∵a ＋b >c =√34∴a ＋b 的取值范围为.112]22（本小题满分15分） 解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2n ＝4S n －2a n －1，所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝2n－1.(2)由题意和(1)得：b n=1a n·a n+1=1(2n−1)·(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以数列{b n}前n项和T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1．(3)①当n为偶数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n+8n+17恒成立．∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ<25．②当n为奇数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n−8n−15恒成立．∵2n−8n是随n的增大而增大，∴n=1时，2n−8n取得最小值−6．∴此时λ需满足λ<−21．综合①、②可得λ的取值范围是λ<−21．。
浙江省2020年第二学期期中考试高一数学试卷
2020学年第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题10小题，每小题4分,共40分)1．已知等差数列{}n a的首项为1，公差为2，则a9的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．182．在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．15003．不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(-1,2)，则a＋b＝( )A.－3B.1C.－1D.34.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3a4a5=29,则a3＝( )A.16B.8C.4D.25.已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是( )A.1a2＞1a＞1abB.1a2＞1ab＞1aC.1a＞1a2＞1abD.1a＞1ab＞1a26．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk =sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当k=5时，ΔABC是直角三角形B. 当k=3时，ΔABC是锐角三角形C. 当k=2时，ΔABC是钝角三角形D. 当k=1时，ΔABC是钝角三角形7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.128.已知向量a ⃗ =(3cosθ,3sinθ)，b ⃗ =(0,−3)，θ∈(π2,π)，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. 3π2−θB. θ−π2C. π2+θD. θ9.已知实数x,y 满足xy −2=x +y ,且x >1,则y(x +11)的最小值为（ ）A.21B.24C.25D. 2710.若不等式(|x －2a |－b )×cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则2a ＋b 的最小值为( )A.1B. 56C.23D. 2二、填空题(本大题7小题，多空题每小题6分,单空题每小题4分，共,36分) 11.已知平面向量a ＝(2，－3)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.12.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则2y －x 的最小值为______.最大值为_______.13.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋1b的最小值为________，此时a ＝________.14. 在△ABC中，AB＞AC，BC＝23，A＝60°，△ABC的面积等于23，则sin B ＝________，BC边上中线AM的长为________.15.若a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项公式a n＝________.16. 若关于x的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围________.17.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→＝λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为________.（结果用λ表示）第Ⅱ卷三、解答题(本大题5小题，共74分)18.（本小题满分14分）.已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝ann.(1)证明：数列{b n}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式.19. （本小题满分15分）已知函数f(x)=−4x2+13x−3．(1)求不等式f(x)>0的解集；(2)当x∈(0,+∞)时，求函数y=f(x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．x20. （本小题满分15分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋2b|；(3)若AB→＝a＋2b，BC→＝b，求△ABC的面积.21. （本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc.(1)求角C；(2)求a＋b的取值范围.22.（本小题满分15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＝4S n－2a n－，T n为数列{b n}的前n项和．1(n∈N*).数列{b n}满足b n=1a n·a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n;(3)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题: 本大题共7个小题，共36分． 11. −32, 23 12. -4 413． 3,12 14. 12,√7 15． n 2＋n ＋2216． d ≥−117．3λ－1λ2三、解答题: 本大题共5个小题，共74分．18．(本小题满分14分) （1）由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由（1）可得b n＝2n－1，ann＝2n－1所以a n＝n·2n－1.19. 本小题满分15分)解：(1)由题意得−4x2+13x−3>0，因为方程−2x2+7x−3=0有两个不等实根x1=14，x2=3，又二次函数f(x)=−4x2+13x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|14<x<3}；(2)由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x>0，所以y=−4x−3x +13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x ，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．(本小题满分15分)解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a ＋2b |＝2√7 (3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角B cos B =√7∴sin B =√3√7|AB →|＝2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sinB ＝12×2√7×3×√37＝3 3.21． （本小题满分15分）解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2) 法一：由(1)知2c ＝sin C ，c=34∴2a ＝sin A ，2b ＝sin B . △ABC 的a ＋b ＝12(sin A ＋sin B )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈112]∴a ＋b 的取值范围为.112]法二：c 2=a 2+b 2+ab c 2=(a +b)2−ab ≥(a +b )2−(a+b )24316≥34(a +b )2 ∴a ＋b ≤12 ∵a ＋b >c =√34∴a ＋b 的取值范围为.112]22（本小题满分15分） 解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2n ＝4S n －2a n －1，所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝2n－1.(2)由题意和(1)得：b n=1a n·a n+1=1(2n−1)·(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以数列{b n}前n项和T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1．(3)①当n为偶数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n+8n+17恒成立．∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ<25．②当n为奇数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n−8n−15恒成立．∵2n−8n是随n的增大而增大，∴n=1时，2n−8n取得最小值−6．∴此时λ需满足λ<−21．综合①、②可得λ的取值范围是λ<−21．。
2019-2020学年浙江省温州市高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省温州市高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sinA+sinC的最大值为()A. 2B. √3C. 12D. √322.在△ABC中，已知AB=√3，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是()A. √32B. 2√3 C. √32或√34D. √3或2√33.递增的等比数列{a n}中，若a1+a2+a3=13，a1⋅a2⋅a3=27，则前5项的和S5等于()A. 11B. 121C. 242D. 2434.已知y=f(x)的图象和y=sin(x+π4)的图象关于点P(π4,0)对称，现将f(x)的图象向左平移π4单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)的表达式为()A. y=−sin14x B. y=−cos14xC. y=−sin(4x−π4) D. y=−cos(4x−π4)5.已知α∈(0,π)，且3cos2α−8cosα=5，则sinα=()A. √53B. 23C. 13D. √596.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，面积为3π的扇形，则该圆锥的底面半径为()A. 4B. 3C. 2D. 17.对于数列{a n}，若存在常数M，使得对任意n∈N∗，a n与a n+1中至少有一个不小于M，则记作{a n}>M，那么下列命题正确的是()A. 若{a n}>M，则数列{a n}各项均大于或等于MB. 若{a n}>M，{b n}>M，则{a n+b n}>2MC. 若{a n}>M，则{a n2}>M2D. 若{a n}>M，则{2a n+1}>2M+18.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3=1，S6=3，则S12=()A. 15B. 10C. 8D. 69.在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC的形状是()．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 已知向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3)，则∠APB =( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°二、单空题（本大题共3小题，共12.0分） 11. 函数的图象为C ，如下结论中正确的是__________(写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线对称； ②图象C 关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有S n =3n −2，则通项公式a n = ______ ．13. 已知锐角△ABC 外接圆的半径为1，∠B =45°，则B −A ⃗ ⋅B −C ⃗ 的取值范围是______ 三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）14. 点C 在线段AB 上，且=，则= ，= ．15. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，如表给出了的部分数据：n1 2 3 4……S nt1019652则数列的公比q = ，首项a 1= ．16. 已知角α的终边经过点(4a,3a)(a <0)，则cosα= (1) ，tan(π−2α)= (2) ． 四、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17. 已知点A(0,1)，B(2,−1)，C(−1,3)，向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)， (1)求点D 坐标；(2)若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ，μ．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cosC(acosB +bcosA)=c ．(1)求角C ；(2)若c =2√7，△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(B −C)=1−cosA ，且b ，a ，c 成等比数列．求： (1) sinB ·sinC 的值； (2) A 的值；(3) tanB +tanC 的值．20.已知数列{a n}，{b n}是正项数列，{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且a1=b1=1，a2=b2+1，a3=b3−2．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)求数列{a n+1b n【答案与解析】1.答案：B解析：解：由题意可得2B =A +C ，又A +B +C =π 故B =π3，故A +C =2π3，故sinA +sinC =sinA +sin(2π3−A)=sinA +sin 2π3cosA −cos 2π3sinA =sinA +√32cosA +12sinA =32sinA +√32cosA =√3(√32sinA +12cosA)=√3sin(A +π6)，又A ∈(0,2π3)，所以A +π6∈(π6,5π6)，故sin(A +π6)∈(12,1]，√3sin(A +π6)∈(√32,√3]，故sinA +sinC 的最大值为√3， 故选B由题意可得A +C =2π3，原式=sinA +sin(2π3−A)，由三角函数的运算公式可得原式=√3sin(A +π6)，由A ∈(0,2π3)，可得式子的取值范围，可得最大值．本题考查三角函数的最值的求解，涉及等差数列的性质，属中档题．2.答案：C解析：解：在△ABC 中，∵AB =c =√3，AC =b =1，∠B =30°， ∴由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即1=a 2+3−3a ， 解得：a =1或a =2，当a =1时，a =b ，即∠A =∠B =30°，此时∠C =120°，△ABC 的面积S =12acsinB =√34；当a =2时，满足a 2=c 2+b 2，即△ABC 为直角三角形，△ABC 的面积S =12bc =√32．则△ABC 面积是√34，或√32．故选：C ．利用余弦定理列出关系式，把c ，b ，以及cos B 的值代入求出a 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积．此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．3.答案：B解析：本题考查等比数列通项公式以及前n 项和公式，属于基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项a 1，公比q ，由此能求出前5项的和S 5． 解：递增的等比数列{a n }中，设公比为q ， ∵a 1+a 2+a 3=13，a 1⋅a 2⋅a 3=27，∴{1+a 1q +a 1q 2=13a 1⋅a 1q ⋅a 1q 2=27q >0, 解得a 1=1，q =3， ∴前5项的和S 5=1×(1−35)1−3=121．故选：B ．4.答案：B解析：本题考查三角函数图像的变换，考查了函数的对称性，若函数y =f(x)的图象和y =g(x)的图象关于点P(a,b)对称，满足f(x)+g(2a −x)=2b ，f(x)=2b −g(2a −x)，属于基础题． 根据对称知识求出函数f(x)，然后利用平移和伸缩变换求出函数y =g(x)的表达式即可． 解：若函数y =f(x)的图象和y =sin(x +π4)的图象关于点P(π4,0)对称， 则f(x)=0−sin(π2−x +π4)=−cos(x −π4)，将f(x)的图象向左平移π4个单位后，得到函数y=−cosx的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=−cos14x的图象，所以y=g(x)的表达式为：y=−cos14x，故选B．5.答案：A解析：本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属基础题．依题意，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系求解即可．解：∵3cos 2α−8cos α=5，∴3(2cos2α−1)−8cos α=5，即3cos2α−4cos α−4=0，(3cos α+2)(cos α−2)=0，α∈(0,π)，即cos α=−23，又α∈(0,π)，sin α>0，∴sin α=√1−cos2α=√53，故选A．6.答案：D解析：解：设圆锥底面半径为r，母线长为R．由圆锥底面周长为2πr=2π3R，解得：R=3r，又根据已知：3π=12⋅2π3R2，解得R=3，所以解得：r=1．故选：D．设圆锥底面半径为r，母线长为R，利用扇形的面积公式，弧长公式即可计算得解．本题考查扇形的面积公式，弧长公式的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为1.5，列{a n}各项均大于或等于M不成立，故A不正确；B中，数列{a n}为1，2，1，2，1，2…，{b n}为2，1，2，1，2…，M可以为1.6，而{a n+b n}各项均为3，则{a n+b n}>2M不成立，故B不正确；C中在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为−3，此时{a n2}>M2不正确，C错误；D中，若{a n}>M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故{2a n+1}> 2M+1正确．故选：D．举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若{a n}>M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故可得D正确．本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{a n}>M．8.答案：B解析：解：在等差数列{a n}中，由S3=1，S6=3，得S9−S6=2(S6−S3)−S3，∴S9=6，再由(S12−S9)+(S6−S3)=2(S9−S6)，可得(S12−6)+(3−1)=2(6−3)，∴S12=10．故选：B．由已知利用等差数列的性质求得S9，进一步利用等差数列的性质求解．本题考查等差数列想性质，是基础的计算题．9.答案：C解析：由正弦定理，得a 2+b 2<c 2，∴cosC =<0，则C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．10.答案：D解析：解：向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3)， 可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3×1−1×√3=−2√3， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+3=2， 可得cos∠APB =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−2√32×2=−√32， 由0°≤∠APB ≤180°， 可得∠APB =150°， 故选：D ．运用向量的坐标表示和向量的夹角公式，计算可得所求角．本题考查向量数量积的坐标表示和夹角公式，考查运算能力，属于基础题．11.答案：①②③解析：本题考查了正弦函数的图象与性质，，故①正确，，故②正确，由，∴f(x)的增区间为)，令k =0得增区间为，故③正确，由y =3sin2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象C ，故④错误，故答案为①②③．12.答案：{n,n =12⋅3n−1,n ≥2解析：解：∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且有S n =3n −2， ∴a 1=3−2=1，n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3n −2)−(3n−1−2)=2⋅3n−1， n =1时，2⋅3n−1=2≠a 1， ∴a n ={n,n =12⋅3n−1,n ≥2．故答案为：{n,n =12⋅3n−1,n ≥2．利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求解． 本题考查数列的前n 项和的求法，是基础题，解题时要注意公式公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2的合理运用．13.答案：(2,1+√2]解析：解：由正弦定理可得，asinA =csinC =2 ∴a =2sinA ，c =2sinC ， ∵∠B =45°，∴ac =4sinAsinC =4sinAsin(135°−A)=4sinA ×√22(sinA +cosA) =2√2(sin 2A +sinAcosA)=2√2(1−cos2A 2+12sin2A) =√2(sin2A −cos2A)+√2=2sin(2A −π4)+√2∵锐角△ABC ，∠B =45° ∴0<A <12π，0<3π4−A <12π，解可得，π4<A <π2， ∴π4<2A −π4<3π4，∴√22<sin(2A −π4)≤1，∴2√2<ac ≤2+√2 B −A ⃗ ⋅B −C⃗ =√22ac ∈(2,1+√2] 故答案为：(2,1+√2)由正弦定理可得a =2sinA ，c =2sinC ，结合三角形的内角定理及和差角公式，辅助角公式对ac =4sinAsinC 进行化简可求ac 的范围，然后由向量数量积的定义即可求解本题考查平面向量的数量积运算，涉及正弦定理在解三角形中的应用，属中档题．14.答案：35−25解析：解析：因为C 在线段AB 上，且=，所以与方向相同，与方向相反，且=，=，所以=，=−．15.答案：324解析：解：由表格可得：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S 2=10，S 3=19， ∴公比q ≠1，可得a 1(1−q 2)1−q=10，a 1(1−q 3)1−q=19，联立解得：a 1=4，q =32． 故答案为：32，4．由表格可得：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S 2=10，S 3=16，利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：−45−247解析：解：∵角α的终边经过点(4a,3a)(a <0)，则r =2+9a 2=−5a ，cosα=4a −5a =−45， tanα=3a4a =34，tan(π−2α)=−tan2α=−2tanα1−tan 2α=−321−916=−247，故答案为：−45；−247．由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的正切公式，求得结果． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的正切公式，属于基础题． 17.答案：解：(1)∵点A(0,1)，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)， 向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)+(0,1)=(−4,3)， 即点D 坐标为(−4,3)；(2)∵点A(0,1)，B(2,−1)，C(−1,3)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(−4,2)=(2λ,−2λ)+(−μ,2μ)， 即{2λ−μ=−4−2λ+2μ=2解得：λ=−3，μ=−2．解析：(1)向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合已知中点A(0,1)，向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，可得点D 坐标； (2)由已知可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，构造关于λ，μ的方程组，解得答案．本题考查的知识点是平面向量在几何中的应用，平面向量的数量积运算，方程思想，难度中档．18.答案：解：(1)由已知2cosC(acosB +bcosA)=c ．正弦定理得：2cosC(sinAcosB +cosAsinB)=sinC 即2cosC ⋅sinC =sinC ∵0<C <π，sinC ≠0 ∴cosC =12，∴C =π3．(2)由，△ABC 的面积为6√3，即12absin π3=6√3，∴ab =36由余弦定理得：c2=b2+a2−2abcosC，∴4×7=b2+a2−ab即(a+b)2=28+3ab．∴a+b=2√34.△ABC的周长a+b+c=2√34+2√7．解析：(1)利用正弦定理和和与差公式即可角C(2)根据余弦定理，△ABC的面积，求解a+b的值即可，本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，属于基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．19.答案：解：(1)∵cos(B−C)=1−cosA，可得：cos(B−C)−cos(B+C)=1，∴解得：cosBcosC+sinBsinC−cosBcosC+sinBsinC=1，∴2sinBsinC=1，解得：sinB⋅sinC=12．(2)∵cos(B−C)≤1，1−cosA≤1，∴cosA≥0，A不是钝角．∵b，a，c成等比数列．即：a2=bc，由正弦定理得：sin2A=sinBsinC=12．∴由A为三角形内角，sinA>0，sinA=√22，∴A=π4，(3)∵cos(B−C)=1−cosA=1−cosπ4=1−√22，∴cosBcosC+sinBsinC=1−√22，∴cosBcosC=1−√22−sinBsinC=1−√22−12=1−√22，∴tanB+tanC=sinBcosC+cosBsinCcosBcosC=sin(B+C)cosBcosC=sinAcosBcosC=√221−√22=−2−√2．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角形内角和定理，等比数列的性质，正弦定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由三角形内角和定理化简已知可得：cos(B−C)−cos(B+C)=1，利用三角函数恒等变换的应用化简可得2sinBsinC=1，即可解得sinB⋅sinC=12．(2)由cos(B−C)≤1，1−cosA≤1，可得cosA≥0，A不是钝角，利用等比数列的性质可得a2=bc，由正弦定理得：sin2A=sinBsinC=12，可求sinA=√22，即可解得A的值．(3)利用三角函数恒等变换的应用可求cosBcosC=1−√22，由两角和的正弦函数公式化简所求后代入即可得解．20.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a1=b1=1，a2=b2+1，a3=b3−2．∴1+d=q+1，1+2d=q2−2.q>0，联立解得：d=q=3．∴a n=1+3(n−1)=3n−2，b n=3n−1．(2)a n+1b n =3n−2+(13)n−1．∴数列{a n+1b n }的前n项和T n=n(1+3n−2)2+1−(13)n1−13=3n2−n2+32−32×(13)n．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=b1=1，a2=b2+1，a3= b3−2.可得1+d=q+1，1+2d=q2−2.q>0，联立解出即可得出；(2)a n+1b n =3n−2+(13)n−1.利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2019-2020学年浙江省温州市新力量联盟高一下学期期中联考数学试题(解析版)
（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；
二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
5．对于函数 ，给出下列选项其中正确的是（）
A．函数 的图象关于点 对称B．函数 的最小正周期为
C．函数 在区间 上单调递增D．函数 有最大值，没有最小值
【答案】C
【解析】由两角和的正弦公式化简 ，根据正弦型函数的图像与性质即可求解.
【详解】
由 ,
当 时， ，所以 不是对称中心，A错误；
函数 的最小正周期为 ,所以B错误；
当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增，故C正确；
， 函数 有最大值，有最小值，故D错误.
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】根据条件 ，利用正弦定理化为三角函数，由三角恒等变换即可求解.
【详解】
，
，
,
，
，
，
即 ，
所以三角形的形状为等腰三角形，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了解三角形的相关问题，考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.
4．如图所示，在正方形 中， 为 的中点， 为 的中点，则 （ ）
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质，通项公式，公比的分类讨论，属于中档题.
9．已知 ， 全等的等边三角形，且点 ， ， 在同一条直线上，点 ， 分别为线段 的三等分点（如图所示），若 ， ， ，则（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，表示出各点坐标后，利用平面向量数量积的坐标运算计算可得结果.
浙江省衢州市温州市“衢温5+1”2020-2021学年高一下学期期中联考 数学 试题 (含答案)
2bc
2bc
2bc
bc = 15 ……………………………………10 分
1
1
SABC
=
bc sin 2
A
=
15 2
3 = 15 3 …………………………12 分 24
19．解：（1）
y
=
a
(
1
)
x 4200
……………………6
分
2
（2）
2
a
=
a
(
1
)
x 4200
………………8 分
5
2
x 4200
=
log 1
B. {4, 6}
C. {5,8}
D. {3, 4,6,7}
2． cos1200 的值为
A. − 1 2
B. − 3 2
1 C.
2
D. 3 2
3．如图，在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中， E, F 分别是正方形 BB1C1C 与
DD1C1C 的中心，直线 AF 与 DE 的位置关系为
A. 平行
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
10．下列等式正确的有
A. sin2 x = 1− cos 2x 2
B. sin( + x) = cos x 2
C. cos( +x) = sin x 2
D. sin sin = − 1 [cos( + ) − cos( − )] 2
11．函数 f (x) = x2 − 4x + 2 在区间[a,b] 上的值域为[−2, 2] ，则 b − a 的值可能是
4
………………………………………………5 分
2020-2021学年浙江省温州市新力量联盟高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省温州市新力量联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1. z =1−i ，z −为其共轭复数，则z ⋅z −的值为( )A. 0B. 2C. 1D. √22. 在△ABC 中，已知b =2，B =45°，c =√6，则角C 为( )A. 60°B. 150°C. 60°或120°D. 120°3. 棱台不具备的性质是( )A. 两底面相似B. 侧面都是梯形C. 侧棱都相等D. 侧棱延长后都交于一点4. 设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是( )A. 4π3B. √6πC. 8π3D.32π35. 如图，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS 不是共面直线的图是( )A.B.C.D.6. 设有直线m 、n 和平面α、β，下列命题中正确的命题是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//βC. 若m//n ，m ⊂α，则n//αD. 若α//β，m ⊂α，则m//β7. 如图所示，已知在△ABC 中，O 是重心，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13BC ⃗⃗⃗⃗⃗−23BA ⃗⃗⃗⃗⃗C. 23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年～前222年)，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为( )A. 2 cmB. 43 cmC. 83 cmD. 6427 cm9. 点P 是正三角形△ABC 外接圆圆O 上的动点，正三角形的边长为6，则2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−4√3,4√3]B. [−2√3,4√3]C. [−12√3,12√3]D. [−2√3,2√3]10. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为AA 1的中点，M 点是正方形ABB 1A 1内的动点，若C 1M//面CD 1E ，则M 点的轨迹长度为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 4二、多选题（本大题共3小题，共12.0分） 11. 下列命题正确的有( )A. 复数z =2−2i 的虚部是−2iB. 复数z 的共轭复数为z −，则z ∈R 的一个充要条件是z =z −C. 若(x 2−1)+(x 2+3x +2)i 是纯虚数，则实数x =±1D. 关于x 的方程x 2+x +1=0在复数范围内的两个根互为共轭复数12. 若向量a ⃗ =(√3,3)，b⃗ =(n,√3)，下列结论正确的是( ) A. 若a ⃗ ,b ⃗ 同向，则n =1B. 与a⃗ 垂直的单位向量一定是(−√32,12)C. 若b ⃗ 在a ⃗ 上的投影向量为3e ⃗ (e ⃗ 是与向量a ⃗ 同向的单位向量)，则n =3D. 若a⃗ 与b ⃗ 所成角为锐角，则n 的取值范围是n >−3 13. 如图，AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的动点，SO =OC =2，则下列结论正确的是( )A. 圆锥SO 的侧面积为4√2πB. 三棱锥S −ABC 体积的最大值为83 C. ∠SAB 的取值范围是(π4,π3)D. 若AB =BC ，E 为线段AB 上的动点，则SE +CE 的最小值为2(√3+1)三、单空题（本大题共4小题，共16.0分）14. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且S △ABC =a 2+b 2−c 24，那么∠C =______ ．15. 已知平面向量a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,2).若c ⃗ =a ⃗ −(a ⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ,则|c ⃗ |=______． 16. △ABC 中，AC =7，AB =4，BC 边上的中线AD =3.5，则BC =______． 17. 平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，e ⃗ 满足|e ⃗ |=1，a ⃗ ⋅e ⃗ =1，b ⃗ ⋅e ⃗ =2，|a ⃗ −b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）18. 已知复数z 满足z =1+i ，复数z 的共轭复数为z −．(1)求z −z+z 4；(2)若复数z 1满足|z 1−z|=1，求|z 1|的最小值和最大值．19.如图矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′=3，O′C′=1．(1)画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．20.甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东60°方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东30°方向．(1)假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离；(2)若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．AD，E是PD的中点．21.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC=12(1)求证：BC//AD；(2)线段AD上是否存在点N，使平面CEN//平面PAB，若不存在请说明理由；若存在给出证明．22. 在①sinAsinB−sinC =b+cb−a ；②ca =cosC+1√3sinA；③2S =√3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，若____(填条件序号)(1)求角C 的大小；(2)若边长c =2，求△ABC 的周长的最大值．23. 在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，P 在线段BC 上，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，Q 是边AB(含端点)上动点．(1)若AQ ⃗⃗⃗⃗⃗=25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：直线CQ 经过线段AP 的中点O ； (2)若存在点Q 使得向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求cos∠BAC 的取值范围及S △AQC 的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵z=1−i，z−=1+i，∴z⋅z−=(1−i)(1+i)=2，故选：B．求出z−，求出z⋅z−的值即可．本题考查了复数的运算，考查共轭复数，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵在△ABC中，b=2，c=√6，B=45°，∴由正弦定理bsinB =csinC，得sinC=csinBb=√6×√222=√32，∵c>b，∴C>B，可得C=60°或120°故选：C．由b，c，sin B的值，利用正弦定理求出sin C的值，即可确定出C的度数，进而利用三角形内角和定理可求A的值．考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台．∴棱台的两底面是相似多边形；侧面的上下底边平行；侧棱延长后交于一点，故A、B、D成立，C不一定成立，故选：C．根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台，依次判断可得答案．本题考查棱台的性质．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是正方体的表面积，球的体积，其中根据正方体的内切球直径等于正方体的棱长，求出球的半径是解答本题的关键，属于基础题．由已知中正方体的表面积为24，我们可以求出正方体的棱长，根据正方体的内切球直径等于正方体的棱长，可以求出球的半径，进而得到答案．【解答】解：若正方体的表面积为24，则正方体的棱长为2，即内切球的半径为1，，故内切球的体积是4π3故选A．5.【答案】C【解析】解：A选项，如图1，由三角形的中位线定理有PQ//NF，RS//DB，由正方体的性质有NF//DB，所以PQ//RS，故PQ，RS共面．B选项，如图2，由三角形的中位线定理有PQ//NC，RE//DB，由正方体的性质有NC//EB ，所以PQ//RS ，故PQ ，RS 共面．C 选项，因为R ，S ，P ∈平面ABCD ，Q ∉平面ABCD ，所以PQ ，RS 异面． D 选项，由三角形的中位线定理有RP//EM ，由正方体的性质有SQ//EM ， 所以RP//SQ ，即R ，P ，Q ，S 四点共面，故PQ ，RS 共面． 故选：C ．A 、B 、D 选项：利用三角形的中位线定理，正方体的结构特征及平行的传递性证明R ，P ，Q ，S 四点共面，进而得到PQ ，RS 共面．C 选项，R ，S ，P ∈平面ABCD ，Q ∉平面ABCD ，所以PQ ，RS 异面． 本题以正方体的结构特征为背景考查空间中直线的位置关系，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：直线m 、n 和平面α、β，对于A ，若m//α，n//α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 对于B ，若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α与β相交或平行，故B 错误； 对于C ，若m//n ，m ⊂α，则n//α或n ⊂α，故C 错误；对于D ，若α//β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m//β，故D 正确． 故选：D ．对于A ，m 与n 相交、平行或异面；对于B ，α与β相交或平行；对于C ，n//α或n ⊂α；对于D ，由面面平行的判定定理得m//β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：如图，设D 为BC 中点，因为O 是△ABC 的重心，所以A ，D ，O 三点共线，且AO =2OD ．因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：B ．设D 为BC 中点，由重心的性质有A ，D ，O 三点共线，且AO =2OD.在△ABD 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化简即可． 本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意可知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高H =23×8=163，底面圆的半径r =23×4=83，故细沙的体积V =13πr 2H =13π×(83)2×163=1024π81．当细沙漏人下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4，设高为H′， 则13π×42×H′=1024π81，得H′=6427．故此锥形沙堆的高为6427cm ． 故选：D ．由已知求得沙漏上部分圆锥中的细沙的体积，再由等积法求得圆锥形沙堆的高． 本题考查圆锥体积的求法，训练了利用等积法求旋转体的体积，是中档题．9.【答案】C【解析】解：∵2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ >，又∵正三角形的边长为6，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3cos30∘=2√3， ∴|2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =48+12+4×2√3×2√3×cos120°=36．则|2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6．当OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时，此时2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值2√3×6×cos0=12√3； 当OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 反向时，此时2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值2√3×6×cos180°=−12√3．∴2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−12√3,12√3]． 故选：C ．由已知求得|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，再由数量积求得2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最值，则答案可求．本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合思想，是中档题．10.【答案】A【解析】解：如图所示，取AB中点F，A1B1的中点H，B1B的中点G，连接EF，FC，GH，C1H，C1G，EG，HF．可得：四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1G//D1E.同理可得：C1H//CF．∵C1H∩C1G=C1．∴平面C1GH//平面CD1E，∵M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M//平面CD1E.∴点M在线段GH上．∴M点的轨迹长度=GH=√12+12=√2．故选：A．如图所示，取AB中点F，A1B1的中点H，B1B的中点G，连接EF，FC，GH，C1H，C1G，EG，HF.可得：四边形EGC1D1是平行四边形，可得C1D//D1E.同理可得：C1H//CF.可得面面平行，进而得出M点轨迹．本题考查了面面平行点判定定理与性质定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】BD【解析】解：对于A：复数z=2−2i的虚部是−2，故A错误；对于B：复数z是实数的充要条件是z=z−，(z−是z的共轭复数)，故B正确；对于C：若(x2−1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则{ x 2−1=0x2+3x+2≠0，解得x=1，故C 错误；对于D：因为△=12−4×1×1=−3<0，故关于x的方程x2+x+1=0在复数范围内的两个根互为共轭复数，故D正确．故选：BD．根据复数的定义判断AC，根据充分必要条件判断B，根据方程的根判断D．本题考查了复数的有关知识，考查了推理能力，属于基础题．12.【答案】AC【解析】解：∵a ⃗ =(√3,3)，b ⃗ =(n,√3)，若a ⃗ ,b ⃗ 同向，则a ⃗ =k b⃗ (k >0)，∴{kn =√3√3k =3，得k =√3，n =1，故A 正确； ∵√3×√32+3×(−12)=0，∴(√32,−12)也是与a⃗ 垂直的单位向量，故B 错误； ∵b ⃗ 在a ⃗ 上的投影向量为3e ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ |=3，则√3n+3√3√(√3)2+32=3，解得n =3，故C 正确；∵a ⃗ 与b ⃗ 所成角为锐角，∴a ⃗ ⋅b ⃗ >0且a ⃗ ,b⃗ 不同向，∴{√3n +3√3>0n ≠1，解得n ∈(−3,1)∪(1,+∞)，故D 错误． 故选：AC ．由共线向量基本定理列式求得k 值判断A ；举例说明B 错误；利用投影向量的概念列式求解n 值判断C ；根据a ⃗ ⋅b ⃗ >0且a ⃗ ，b ⃗ 不同向列式求得n 的范围判断D ．本题考查向量共线的坐标运算，考查利用数量积求夹角，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】ABD【解析】解：对于A ，圆锥的底面半径与高均为2，则母线长l =2√2，圆锥的侧面积S =πrl =4√2π，故A 正确； 对于B ，当点B 为弧AC 的中点时，底面三角形ABC 面积最大为12×4×2=4，此时三棱锥S −ABC 体积的最大值为13×4×2=83，故B 正确；对于C ，当B 与C 趋于重合时，∠SAB 趋于π4，当B 与A 趋于重合时，∠SAB 趋于π2， ∴∠SAB 的取值范围是(π4,π2)，故C 错误；对于D ，若AB =BC ，以AB 为轴把平面SAB 旋转至与平面ABC 重合，连接SC ，交AB 于E ，则∠ABC =150°，在△SBC 中，SB =BC =2√2，由余弦定理可得：SC =√8+8−2×2√2×2√2×(−√32)=2(√3+1)，即SE +CE 的最小值为2(√3+1)，故D 正确． 故选：ABD ．直接求出圆锥的侧面积判断A；求出棱锥体积最大值判断B；由极限思想求得∠SAB的范围判断C；以AB为轴把平面SAB旋转至与平面ABC重合，连接SC，交AB于E，此时SE+CE的最小，由余弦定理求得最小值判断D．本题考查圆锥侧面积与棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．14.【答案】π4【解析】解：∵根据余弦定理，得a2+b2−c2=2abcosC∴S△ABC=a2+b2−c24=12abcosC∵由正弦定理得S△ABC=12absinC∴12abcosC=12absinC，得cosC=sinC即tanC=1，C∈(0,π)得C=π4故答案为：π4由正弦定理的面积公式结合余弦定理，化简可得cosC=sinC即tanC=1，结合三角形内角的范围，可得C的大小．本题给出三角形面积公式关于a2、b2、c2的式子，求角C大小．着重考查了三角形面积公式和正余弦定理等知识，属于基础题．15.【答案】8√2【解析】解：∵a⃗=(2,4)，b⃗ =(−1,2)，∴a⃗⋅b⃗ =−2+8=6，∴c⃗=(2,4)−6(−1,2)=(8,−8)，∴|c⃗|=√82+(−8)2=8√2．故答案为：8√2根据所给的两个向量的坐标，得到两个向量的数量积，列出关于c⃗的坐标的关系式，利用坐标形式的向量的加减和数乘运算得到要求的向量，利用求模长的公式得到结果．本题考查坐标形式的向量的数量积和向量的减法和数乘运算，以及向量的模长运算，是一个基础题，在解题时主要应用向量的坐标形式，这样题目变成简单的数字的运算．16.【答案】9【解析】解：如图，设BD =x ，则BC =2x ，DC =x ， 因为∠ADB =π−∠ADC ， 故cos∠ADB =−cos∠ADC ， 由余弦定理可得，x 2+(72)2−422⋅x⋅72=−x 2+(72)2−722⋅x⋅72，解得x =92， 所以BC =9． 故答案为：9．设BD =x ，则BC =2x ，DC =x ，利用cos∠ADB =−cos∠ADC ，结合余弦定理求出x 的值，即可得到BC 的值．本题考查了三角形中的几何计算问题，余弦定理的定义，诱导公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.【答案】54【解析】解：如图所示，建立直角坐标系． ∵|e ⃗ |=1，∴不妨设e ⃗ =(1,0)． ∵a ⃗ ⋅e ⃗ =1，b ⃗ ⋅e ⃗ =2， ∴可设a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(2,n)． ∴a ⃗ −b⃗ =(−1,m −n)． ∵|a ⃗ −b ⃗ |=2，∴√1+(m −n)2=2，化为(m −n)2=3， ∴(m +n)2=3+4mn ≥0，∴mn ≥−34，当且仅当m =−n =±√32时取等号．∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2+mn ≥2−34=54．故答案为：54．如图所示，建立直角坐标系．由|e ⃗ |=1，不妨设e ⃗ =(1,0).由a ⃗ ⋅e ⃗ =1，b ⃗ ⋅e ⃗ =2，可设a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(2,n).利用|a ⃗ −b ⃗ |=2，可得√1+(m −n)2=2，(m +n)2=3+4mn ≥0，再利用数量积运算a ⃗ ⋅b⃗ =2+mn 即可得出． 本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．18.【答案】解：(1)由z =1+i ，可得z −=1−i ，所以z −z =1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−i ，z 4=(1+i)4=(2i)2=−4， 所以z−z+z 4=−4−i ．(2)由复数z 1满足|z 1−z|=1，可知z 1 所对应的点的集合是以(1,1)为圆心，1为半径的圆，故|z 1|min =√2−1，|z 1|max =√2+1．【解析】(1)根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．(2)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．本题考查了共轭复数的概念和复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，属于基础题．19.【答案】解：(1)平面四边形OABC 的平面图如图所示：所以S OABC =3×2√2=6√2；(2)由题意可得旋转形成的几何体的体积V =πr 2ℎ=π(2√2)2⋅3=24π， 因为l =√12+2√22=3，所以S圆锥侧=πrl=π⋅2√2⋅3=6√2π，又S圆柱侧=2πrℎ=2π⋅2√2⋅3=12√2π，故S表=S圆柱侧+2S圆锥=24√2π．【解析】(1)利用斜二测画法的规则作图即可，由面积公式求解平面四边形OABC的面积即可；(2)利用柱体的体积公式求解体积，分别求解圆锥的侧面积、圆柱的侧面积，即可得到旋转体的表面积．本题考查了平面图形的直观图的画法及应用，旋转体体积以及表面积的求解，其中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意，位置图如图所示：由图可知，AB=40×0.5=20海里，∠BAP=120°，∠B=∠P=30°，由余弦定理可得，PB=√AB2+AP2−2AB⋅AP⋅cos∠PAB=√400+400+200=20√3，所以点B与点P之间的距离为BP=20√3海里；(2)设甲船船头与实际行进方向所成角为α，由正弦定理可得，10sinα=40sin60∘，所以sinα=√38．【解析】(1)画出图形，利用余弦定理求解即可；(2)利用正弦定理列式求解即可．本题考查了正弦定理和余弦定理在实际中的应用，解题的关键是准确找到边与角，确定其数值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)证明：因为BC//平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BC//AD；(2)存在，且当点N是AD的中点时，平面CEN//平面PAB.下面给出证明：因为E、N分别是PD、AD的中点，所以EN//PA，又EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EN//平面PAB．由(1)知，BC//AN，又N是AD的中点，BC=12AD，所以BC=AN，所以四边形ABCN是平行四边形，从而CN//BA，又CN⊄平面PAB，BA⊂平面PAB，所以CN//平面PAB．又因为CN∩EN=N，所以，平面CEN//平面PAB．【解析】(1)由线面平行性质定理可以得证；(2)存在，且当点N是AD的中点时，平面CEN//平面PAB.分别证得EN//平面PAB和CN//平面PAB，由面面平行判定定理可证得结论．本题考查线面平行和面面平行的判定定理，属于基础题．22.【答案】解：(1)若选①：sinAsinB−sinC =b+cb−a，由正弦定理可得，ab−c =b+cb−a，所以a(b−a)=(b+c)(b−c)，即a2+b2−c2=ab，故cosC=12，因为C∈(0,π)，所以C=π3；若选②：ca =cosC+1√3sinA，由正弦定理可得，sinCsinA =cosC+1√3sinA，因为sinA ≠0，则√3sinC =cosC +1，即2sin(C −π6)=1， 所以sin(C −π6)=12， 又C ∈(0,π)， 则C −π6∈(−π6,5π6)，所以C −π6=π6， 故C =π3；若选③：2S =√3⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以absinC =√3abcosC ， 则tanC =√3， 又C ∈(0,π)， 故C =π3．(2)由c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得a 2+b 2−ab =4， 则(a +b)2−3ab =4， 所以(a +b)2−4=3ab ≤3×(a+b 2)2=34×(a +b)2，即14×(a +b)2≤4， 所以(a +b)2≤16，故0<a +b ≤4(当且仅ab 时取等号)， 又a 2+b 2−ab =4， 则a =b =2，所以当a =b =2，周长有最大值6．【解析】(1)若选①：利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出cos C 的值，即可得到答案；若选②：利用正弦定理将边化为角，再利用辅助角公式以及特殊角的三角函数值，即可得到答案；若选③：利用三角形的面积公式以及同角三角函数关系式，求出tan C 的值，即可得到答案；(2)利用余弦定理得到(a +b)2−3ab =4，然后利用基本不等式列出关于a +b 的不等式，求出a +b 的最大值，即可得到答案．本题考查了解三角形的应用，正弦定理和余弦定理的综合应用，特殊角的三角函数值的运用，辅助角公式以及三角形面积公式的应用，基本不等式求解最值的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)由题得，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23a ⃗ +13b ⃗ ，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +16b ⃗ ； 所以QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−25a ⃗ +b ⃗ ；OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ +56b ⃗ ； 所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =56QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，Q 、O 、C 三点共线， 所以直线CQ 经过点O ． (2)设AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)， 因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 则有23t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+(13t −23)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 变形可得：23t ×4−13×9+(13t −23)×2×3×cos∠BAC =0， 故cos∠BAC =−43−76t−12易知cos∠BAC 随t 增大而增大，所以cos∠BAC 的取值范围[−34,−16]，S △AQC =tS △ABC =12tAB ×AC ×sin∠BAC =12t ×2×3sin∠BAC =3tsin∠BAC =3t√1−cos 2∠BAC因为cos∠BAC 的取值范围为[−34,−16]， 所以∠BAC 为钝角，故√1−cos 2∠BAC 随cos∠BAC 的增大而增大，而cos∠BAC 随t 增大而增大，故S △AQC 是关于t 的增函数，所以△AQC 面积的最大值为√352．【解析】(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，由向量的线性运算性质可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗=56QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此分析可得答案；(2)设AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，分析可得cos∠BAC 的表达式，分析可得cos∠BAC 的取值范围，进而由三角形面积公式计算可得答案．本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角的计算，属于基础题．。
浙江省＂温州十五校联合体＂2020学年高一数学下学期期中试题
2020学年第二学期“温州十五校联合体”期中考试联考高一年级数学学科 试题考生须知：1．本卷共4页满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．在三角形,,A B C 中，角,,A B C 成等差数列，则cos B 的大小为（ ）A.32 B.12 C.12- D.222．在ABC ∆中，03,2,60AC BC B ==∠=，则AB 的值为（ ） A.127 D. 1+523．在等比数列{}n a 中，324202,3a a a =+=，则公比q 的值为（ ） A.3 B.13 C.2或12 D.3或134．为了得到函数sin 2y x =的图像，只需把函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移4π B ．向右平移4π C ．向左平移2π D ．向右平移2π 5．若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ）A.725 B. 15 C. 15- D. 725- 6．在一块顶角为0120，腰长为2的等腰三角形废钢板OAB 中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，则（ ）A. 方案一中扇形的面积更大B. 方案二中扇形的面积更大C. 方案一中扇形的周长更长D. 方案二中扇形的周长更长7．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若48948933,5a a a b b b π⋅⋅=-++=，则410311tan1b b a a +=⋅-（ ）.3A - .3B 3.3C -3.3D 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，已知15170,a S S >=，下列结论正确的是（ ）.0Ad > 11.0B a < 12.0C a > 22.0D S =9．在ABC ∆中角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22,6ac b a A π=-=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形10．已知ABC ∆中，G AC BC AB ,4,2,3===为ABC ∆的重心，则=⋅GC AG （ ）67.18A 67.18B - 926.C 926.-D非选择题部分（共80分）二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共30分.11．在平面四边形ABCD 中，(2,7)A ，(7,5)C -，(,2)BD m =u u u r，则AC =u u u r ▲ ；若AC BD ⊥u u u r u u u r，则m = ▲ .12．已知等比数列{}n a 的前n 项和1=32nn S x ⋅-，则x = ▲ ，{}n a 的通项公式为 ▲ .13．已知角α的终边过点(1,2)P -，则tan α= ▲ ，sin()cos()2cos()sin()22πααππαα-+-=--+▲ .14．函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中（0,0,2A πωϕ>><）的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式是 ▲ .15．已知数列{}n a 满足*1112,2(2,)n n a a n n N a -==-≥∈，记数列{}n a 的前n 项之积为n ∏，则2019∏的值为 ▲ .16．在ABC ∆中，,:2:33A AC BC π==，点D 为线段AB 上一动点，若DA DC ⋅u u u r u u u r最小值为34-，则ABC ∆的面积为 ▲ . 三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
浙江省温州市高一数学下学期期中试题
数学试卷（本卷不准使用计算器。
满分120分，考试时间100分钟。
）一．选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（ ）（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）352、设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则=24a S （ ）（A ）217 （B ）215（C ） 4（D ）23、在锐角．．△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足(2)cos cos a c B b C -=， 则角B 等于 （ ） （A ）030 （B ）045 （C ）060 （D ）0754、在数列{}n a 中，233,1411+==+n n a a a ，则使02<+n n a a 成立的n 值是 （ ） （A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）245、在△ABC 中，sin 2A ≤ sin 2B+ sin 2C-sinBsinC,则A 的取值范围是 （ ） （A ）(0,]6π（B ）(0,]3π (C) [,)6ππ （D ）[,)3ππ6、函数x x f sin )(=在区间[]b a ,上是增函数，且,1)(,1)(=-=b f a f 则cos2ba +的值为 （ ） （A ） －1 （B ） 0 （C ）22（D ） 1 7、若1(,),sin 2,4216ππθθ∈=则cos sin θθ-的值是 ( ) （A ）1615 （B ） 415 （C ）415- （D ） 415± 8、函数1()tan ,{|00}tan 22f x x x x x x x ππ=+∈-<<<<或的图像为 （ ）9、已知数列{}n a 的通项公式是n n a n λ+-=2（其中*∈N n ）是一个单调递减数列，则常数λ的取值范围 （ ） （A ） （-∞，1） （B ）（-∞，2） （C ）（-∞，0） （D ） （-∞，3） 10、如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0， 点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0， -1）处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）标 5，点（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此类推，则标签22013的格点的坐标为 ( ) （A ）(1007,1006) （B ）(1006.1005) （C ）(2013,2012) （D ）(2012,2011)二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卡的横线上） 11、下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为 ▲12、在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则 12||||||n a a a +++=_▲ __ .13、函数)3sin(cos 2π+=x x y 的最小值是 ▲ .14、如图，点P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置0P 开 始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于 ▲ . 15、已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的 面积__▲ __16、曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线在21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到 大依次记为 321,,P P P ,则||42P P 等于 ▲ .17、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。
2019-2020学年浙江省温州市十五校联合体高一数学下学期期中试题含解析
《童年的水墨画》教学设计（第1课时）一、教学目标：1. 学生能借助拼音读准本课出现的生字词，能用查阅字典和联系上下文的方法理解生词的意思。
2. 学生能正确、流利、有感情地朗读课文，并能背诵喜欢的诗句，感受童年生活的美好。
二、教学重点：感受童年生活的美好，积累喜欢的诗句。
三、教学难点：理解诗句的意思，体会童年生活的美好。
四、教学过程：（一）激趣导入1. 导语：童年，是纯真、难忘的岁月。
身处童年，我们每天都在编织着美丽的故事。
一只昆虫，一个玩具，一次发现，一场争执……看起来微不足道却饱含着我们的快乐、梦想和追求。
童年是充满纯真和情趣的时光，也是令人留恋和难以忘怀的时光。
身处童年，我们每天都在编织着美丽的故事。
2. 介绍作者：张继楼，重庆人。
1946年发表新诗《我们爱大地》。
建国后，先后出版诗集《初开的花》、《张继楼儿歌》、《张继楼儿童诗选》等。
他的作品通俗易懂，又充满童趣，深受孩子们喜爱。
老师：同学们，今天我们要一起学习一首非常有趣的儿童诗，它是由著名作家张继楼创作的。
张继楼是重庆人，他的作品通俗易懂，又充满童趣，深受孩子们喜爱。
他的诗歌中充满了对童年的怀念和赞美，让我们一起来欣赏一下这首诗吧。
学生：好的，老师。
老师：这首诗的名字叫做《童年的水墨画》。
请大家翻到课本第XX页，跟我一起朗读一下这首诗。
（学生跟随老师朗读诗歌）老师：很好，大家读得非常流利。
那么，你们觉得这首诗有什么特点呢？它描述了哪些场景和事物？学生1：我觉得这首诗很有童趣，它描述了很多我们小时候经常做的事情，比如捉蝴蝶、打水仗、钓鱼等。
学生2：我也觉得这首诗很生动，它用很形象的语言描绘了童年的快乐和无忧无虑。
老师：同学们说得很好。
这首诗确实充满了童趣和生动性，它用简洁明了的语言，生动地描绘了童年的生活场景和孩子们的快乐心情。
那么，你们最喜欢这首诗中的哪一句呢？学生3：我最喜欢“溪边垂柳把溪水当做梳妆的镜子”这一句，因为它用很美的比喻来形容溪水和垂柳，让我感觉就像是在画一幅美丽的画一样。
2020-2021学年浙江省温州市十校联合体高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省温州市十校联合体高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设复数z=(21+4i)⋅i(i虚数单位)，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若sinα<0，且tanα<0，则α是()的角．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.A，B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A. 16cmB. 8cmC. (2+3√2)cmD. (2+2√3)cm5.如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“温”在正方体中的对面是()A. 州B. 十C. 校D. 合6.在平行四边形ABCD中，点N为对角线AC上靠近A点的三等分点，连结BN，则BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. −23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. −23AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB⃗⃗⃗⃗⃗7.设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，∠ACB=512π，∠BAC=π3，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为()米A. 40√6B. 40(1+√3)C. 40√3D. 40(√2+√6)8.已知a⃗，b⃗ ，c⃗是平面内的三个单位向量，且a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+2b⃗⃗⃗⃗ +c⃗|的取值范围是()A. [0,4]B. [√2−1,√2+1]C. [√3−1,√3+1]D. [√5−1,√5+1]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知a⃗，b⃗ ，c⃗是三个平面向量，则下列叙述错误的是()A. 若|a⃗|=|b⃗ |，则a⃗=±b⃗B. 若a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗，且a⃗≠0，则b⃗ =c⃗C. 若a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，则a⃗//c⃗D. 若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |10.在复平面内，下列说法正确的是()A. 若复数z1，z2满足z1>z2，则一定有z1−z2>0B. 若复数z1，z2满足z1−z2>0，则一定有z1>z2C. 若复数z=a+bi(a,b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a=0D. 若复数z满足|z|=2，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆11.下列叙述错误的是()A. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面AB1D1与平面ABCD只有一个公共点B. 若三个平面两两相交，则这三个平面可以把空间分成六或七部分C. 若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则α内的所有直线与l都不平行D. 若直线c和d是异面直线，直线a，b与c，d都相交，则a，b一定是异面直线12.关于函数f(x)=|sinx|+|cosx|(x∈R)，则下列说法中正确的是()A. f(x)的最大值为2B. f(x)的最小正周期为πC. f(x)的图象关于直线x=π4对称 D. f(x)在(π2,2π3)上单调递增三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算|(3+i)(2−i)1+i|=______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ：b ：c =5：6：8，则△ABC 的形状是______三角形(填“锐角”、“钝角”、“直角”中的一个)．15. 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的长宽高分别为2，3，4，且长方体的八个顶点都在球O的球面上，则球O 的半径为______．16. 已知A 、B 、C 、D 是单位圆上的四个点，且A 、B 关于原点对称，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (Ⅰ)在①z +z −=4，②z 为纯虚数，③z 为实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知复数z =(m 2−3m +2)+(m 2−5m +6)i(i 为虚数单位)，z −为z 的共轭复数，若______，求实数m 的值．(Ⅱ)在复数范围内解关于x 的方程：x 2+2x +2=0．18. 已知tan(α+π4)=2．(Ⅰ)求tanα的值；(Ⅱ)求sin 2α+2sinαcosα−cos 2α的值．19. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(4,−3)．(Ⅰ)若(a ⃗ −2b ⃗ )+(λa ⃗ +b ⃗ )，求λ的值；(Ⅱ)若c ⃗ =(1,μ)，向量a ⃗ 与c ⃗ 的夹角为锐角，求μ的取值范围．20.如图，在三棱锥P−ABC中，底面为直角△ABC，AC⊥BC，AC=1，BC=2，棱锥的高PC=3．(Ⅰ)求三棱锥P−ABC的体积；(Ⅱ)求三棱锥P−ABC的表面积．21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA−2ccosA=0．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=2，且△ABC为锐角三角形，求b+2c的取值范围．22.已知向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(sin2x,cos2x)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(Ⅰ)若函数y=f(x+m)是偶函数，求|m|的最小值；(Ⅱ)若f(α2)=85，α∈(0,π2)，求cosα的值；(Ⅲ)求函数F(x)=[f(x)]2−n⋅f(x)+1在x∈[−π4,π6]上的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵z=(21+4i)⋅i=−4+21i，∴在复平面内z对应的点位于第二象限，故选：B．化简z，求出在复平面内z对应的点的所在的象限即可．本题考查了复数的运算，考查其几何意义，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由sinα<0，知α是第三、第四象限角或y轴负半轴上的角，由tanα<0，知α是第二、第四象限角，∴α是第四象限角．故选：D．直接由象限角及轴线角的符号结合交集运算得答案．本题考查了三角函数值的符号，是基础的会考题型．3.【答案】C【解析】解：在三角形中，若A>B，则a>b，由正弦定理asinA =bsinB，得sinA>sinB．若sinA>sinB，则正弦定理asinA =bsinB，得a>b，则A>B，所以，A>B是sinA>sinB的充要条件．故选：C．在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵直观图正方形O′A′B′C′的边长2cm ，∴O′B′=2√2，原图形为平行四边形OABC ，其中OA =2，高OB =4√2． ∴AB =CO =√32+4=6．∴原图形的周长L =2×6+2×2=16(cm)． 故选：A ．根据斜二测画法画直观图的性质，即平行性不变，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．本题考查了画平面图形直观图的斜二测画法，熟练掌握斜二测画法的特征是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：把正方体还原如下图，则上面是温，下面是校，左面是州，右面是联，前面是十，后面是合，故选：C ．正方体的表面复原为正方体，即可判断结果．本题考查空间想象能力．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6.【答案】A【解析】解：因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 即BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．根据向量的数乘、平行四边形法则以及向量的加减法运算求解即可．本题考查了平面向量基本定理的理解与应用，平面向量数乘平行四边形法则以及向量的加减法运算的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：△ABC中，AC=80米，∠ACB=512π，∠BAC=π3，所以∠ABC=π−5π12−π3=π4，利用正弦定理得ABsin5π12=80sinπ4，解得AB=80×√6+√24√22=40(1+√3)，所以计算出A，B两点间的距离为40(1+√3)米．故选：B．利用三角形内角和定理、正弦定理即可求得AB的值．本题考查了三角形的内角和定理、正弦定理的应用问题，是基础题．8.【答案】D【解析】解：∵a⃗，b⃗ ，c⃗是平面内的三个单位向量，且a⃗⊥b⃗ ，∴在平面直角坐标系中取a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)，c⃗=(cosθ,sinθ)，∴a⃗+2b⃗ +c⃗=(1+cosθ,2+sinθ)，∴|a⃗+2b⃗ +c⃗|=√(1+cosθ)2+(2+sinθ)2=√6+4sinθ+2cosθ=√6+2√5sin(θ+φ)∈[√5−1,√5+1]．故选：D．在平面直角坐标系中取a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)，c⃗=(cosθ,sinθ)，求出a⃗+2b⃗ +c⃗的坐标，利用向量模的计算公式求向量的模，再由三角函数求最值．本题考查平面向量的数量积运算，利用解析法求解是关键，是中档题．9.【答案】ABC【解析】解：对A：当a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)时，满足|a⃗|=|b⃗ |，但a⃗≠±b⃗ ，故A错误；对B：当a⃗与b⃗ ，a⃗与c⃗垂直且a⃗≠0⃗时，满足a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗=0，但结论不一定成立，故B对C：取b⃗ =0⃗，则a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，但a⃗与c⃗不一定平行，故C错误；对D：当a⃗⊥b⃗ 时，即a⃗⋅b⃗ =0，则|a⃗+b⃗ |²=|a⃗|²+|b⃗ |²+2a⃗⋅b⃗ =|a⃗|²+|b⃗ |²，|a⃗−b⃗ |²=|a⃗|²+|b⃗ |²−2a⃗⋅b⃗ =|a⃗|²+|b⃗ |²，即a⃗⊥b⃗ 时，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，故D正确；故选：ABC．对A：举反例即可进行判断；对B：当a⃗与b⃗ ，a⃗与c⃗垂直时，满足条件，但结论不一定成立；对C：取b⃗ =0⃗，即可进行判断；对D：利用向量垂直性质，结合模的运算即可进行判断．本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量平行、向量垂直、向量模的运算性质，属于中档题．10.【答案】AD【解析】解：对于A：复数z1，z2满足z1>z2，说明复数z1，z2是实数，故一定满足z1−z2> 0，故A正确；对于B：复数z1，z2满足z1−z2>0，说明复数z1，z2可能是共轭复数，故z1和z2不能比较大小，故B错误；对于C：复数z=a+bi(a,b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0，故C错误；对于D：复数z满足|z|=|x+yi|=2，整理得：x2+y2=4，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆，故D正确；故选：AD．直接利用复数的运算，复数的共轭，复数的几何意义的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：复数的运算，复数的共轭，复数的几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：对于A：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面AB1D1与平面ABCD的交线为经过点A且平行于BD的一条直线，故A错误；对于B：若三个平面两两相交，则这三个平面可以把空间分成六或七或八部分，故B错对于C：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则直线l必与平面α相交，则α内的所有直线与l都不平行，故C正确；对于D：若直线c和d是异面直线，直线a，b与c，d都相交，则a，b不一定是异面直线，可能为相交直线，故D错误．故选：ABD．直接利用平面的性质，异面直线的定义的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：平面的性质，异面直线的定义，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．12.【答案】CD【解析】解：因为f(π2+x)=|sin(x+π2)|+|cos(x+π2)|=|sinx|+|cosx|=f(x)，所以π2是f(x)的一个周期，故选项B错误；当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，所以当x=π4时，f(x)max=√2，故选项A错误；因为f(π2−x)=|sin(π2−x)|+|cos(π2−x)|=|cosx|+|sinx|=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=π4对称，故选项C正确；当x∈(π2,2π3)时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，因为x−π4∈(π4,5π12)，所以f(x)在(π2,2π3)上单调递增，故选项D正确．故选：CD．利用函数周期性的定义判断选项B，由一个周期内的最大值即可判断选项A，由对称轴方程满足的条件判断选项C，由三角函数的单调性判断选项D．本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，三角函数周期性的判断、单调性的判断以及对称性的判断，三角函数的最值，考查了逻推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：|(3+i)(2−i)1+i |=|(7−i)(1−i)(1+i)(1−i)|=|6−8i2|=|3−4i|=√32+(−4)2=5，故答案为：5根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】钝角【解析】解：△ABC中，a：b：c=5：6：8，所以c为最大边，C为最大角，设a=5k，b=6k，c=8k，k>0，由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =25k2+36k2−64k22×5k×6k=−120<0，因为C∈(0,π)，所以角C为钝角，△ABC为钝角三角形．故答案为：钝角．由题意可得C为最大角，由余弦定理求得cosC<0，从而得到角C为钝角，即可得解．本题主要考查了三角形中大边对大角、余弦定理在解三角形中的应用问题，属于中档题．15.【答案】√292【解析】解：因为长方体的八个顶点都在球O的球面上，故球O的直径即为长方体的体对角线，而体对角线的长为√4+9+16=√29，故球O的半径为√292，故答案为：√292．利用球O的直径即为长方体的体对角线可求球O的半径．本题考查几何体的外接球的位置关系，球的半径的求法，是基础题．16.【答案】12【解析】解：建立平面直角坐标系如图，设A(−1,0)，B(1,0)，C(cosα,sinα)，D(cosβ,sinβ)，α，β∈[0,2π)． ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα+1,sinα)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ−1,sinβ)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα+1,sinα)⋅(cosβ−1,sinβ) =(cosα+1)(cosβ−1)+sinαsinβ=cosαcosβ+sinαsinβ+cosβ−cosα−1 =cos(α−β)+2sin α+β2sinα−β2−1 =1−2sin 2α−β2+2sinα+β2sinα−β2−1=−2(sinα−β2−12sinα+β2)2+12sin 2α+β2≤12．当且仅当sinα−β2=12sinα+β2且sinα+β2=±1时取等号．∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是12． 故答案为：12．由题意画出图形，分别设出A 、B 、C 、D 的坐标，写出数量积，利用三角函数的恒等变换变形，由三角函数的有界性求最值．本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)选①，则复数z 的实部为2，故m 2−3m +2=2，解得m =0，或3；选②，由纯虚数的概念可知：{m 2−3m +2=0m 2−5m +6≠0，解得m =1；选③，则虚部为零，即m 2−5m +6=0，解得m =2，或3．(Ⅱ)因为关于x 的方程：x 2+2x +2=0，显然△=22−4×2=−4<0，由求根公式得：x 1,2=−b±√−△i4a=−2±√4i4=−12±12i ．【解析】(Ⅰ)根据复数的概念、共轭复数的性质，分别列出m 的方程求解即可； (Ⅱ)利用求根公式，直接求解即可．本题考查复数的基本概念和运算，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由tan(α+π4)=2，得tanα+tanπ41−tanαtanπ4=2，即tanα+11−tanα=2，解得tanα=13； (Ⅱ)sin 2α+2sinαcosα−cos 2α=sin 2α+2sinαcosα−cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanα−1tan 2α+1=(13)2+2×13−1(13)2+1=−15．【解析】(Ⅰ)由已知展开两角和的正切即可求解tanα的值； (Ⅱ)利用平方关系及商的关系化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的正切，是基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)a ⃗ −2b ⃗ =(2，1)−2(4，−3)=(−6，7)， λa ⃗ +b ⃗ =(2λ+4,λ−3)， 因为(a ⃗ −2b ⃗ )⊥(λa ⃗ +b ⃗ )，所以(a ⃗ −2b ⃗ )⋅(λa ⃗ +b ⃗ )=−6(2λ+4)+7(λ−3)=0， 解得λ=−9．(Ⅱ)向量a ⃗ 与c ⃗ 的夹角为锐角，a ⃗ ⋅c ⃗ >0且a ⃗ 与c ⃗ 不共线， 所以{2+μ>02μ−1≠0，解得μ>−2且μ≠12，即μ的取值范围是(−2,12)∪(12,+∞)．【解析】(Ⅰ)由向量的线性运算分别求出a ⃗ −2b ⃗ ，λa ⃗ +b ⃗ ，由(a ⃗ −2b ⃗ )⊥(λa ⃗ +b ⃗ )，可得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅(λa ⃗ +b ⃗ )=0，得到关于λ的方程，解方程可得λ的值； (Ⅱ)由题意可得a ⃗ ⋅c ⃗ >0且a ⃗ 与c ⃗ 不共线，由此求得μ的取值范围．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为PC是高，PC=3，AC⊥BC，AC=1，BC=2，则V P−ABC=13S△ABC⋅PC=13×12×AC×BC×PC=16×1×2×3=1，所以三棱锥P−ABC的体积为1；(Ⅱ)因为PC是高，PC⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，则PC⊥AC，同理可得PC⊥BC，又PC=3，AC⊥BC，AC=1，BC=2，所以S△PAC=12×AC×PC=12×1×3=32，S△PBC=12×BC×PC=12×2×3=3，S△ABC=12×AC×BC=12×1×2=1，在Rt△PAC中，PA=√32+12=√10，在Rt△PBC中，PB=√32+22=√13，AB=√5，在△PAB中，由余弦定理可知，cos∠PAB=PA2+BA2−PB22PA⋅BA =2√10×√5=√210，则sin∠PAB=7√210，所以S△PAB=12×PA×PB×sin∠PAB=12×√10×√5×7√210=72，故三棱锥P−ABC的表面积为S△PAC+S△PBC+S△ABC+S△PAB=32+3+1+72=9．【解析】(Ⅰ)利用锥体的体积公式求解即可；(Ⅱ)先证明PC⊥AC，PC⊥BC，由勾股定理求解PA，PB，然后利用余弦定理求解cos∠PAB，由同角三角函数关系式求出sin∠PAB，分别利用三角形的面积公式求解各面的面积即可．本题考查了空间几何体的表面积与体积问题，锥体体积公式的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵acosB+bcosA−2ccosA=0，∴由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA−2sinCcosA=0，∴sin(A+B)−2sinCcosA=0，∵A+B=π−C，∴sin(A+B)=sin(π−C)=sinC，∴sinC=2sinCcosA，又C为三角形的内角，sinC≠0，∴cosA=12，又A为三角形内角，∴A=π3．(Ⅱ)∵A=π3，a=2，∴由正弦定理可得 asinA =bsinB=csinC=√32=√3，∴b+2c=√3+2sinC)=√3+2sin(A+B)]=√3+√3cosB)=√7√3+θ)，其中sinθ=√3√7，cosθ=√7，tanθ=√32，且π6<θ<π4，∵△ABC为锐角三角形，则{0<B<π20<2π3−B<π2，解得π6<B<π2，∴π6+θ<B+θ<π2+θ，∴sin(π2+θ)<sin(B+θ)≤1，即√7<sin(B+θ)≤1，∴√3<√7√3+θ)≤√7√3，即8√33<b+2c≤4√213．∴b+2c∈(8√33,4√213].【解析】(Ⅰ)根据正弦定理可得出sinAcosB+sinBcosA−2sinCcosA=0，进而得出sinC−2sinCcosA=0，从而得出cos A的值，进而可求A的值．(Ⅱ)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求b+2c=√7√3+θ)，由题意可求范围π6<B<π2，可得π6+θ<B+θ<π2+θ，根据正弦函数的性质即可求解其范围．本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：∵a⃗=(1,√3)，b⃗ =(sin2x,cos2x)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，∴f(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3).(Ⅰ)函数y=f(x+m)=2sin[2(x+m)+π3]=2sin(2x+2m+π3)是偶函数，∴2m +π3=kπ+π2，得m =12(kπ+π6)，k ∈Z ，∴k =0时，|m|min =π12；(Ⅱ)若f(α2)=2sin(α+π3)=85，则sin(α+π3)=45， ∵α∈(0,π2)，∴α+π3∈(π3,5π6)，若α+π3∈(π3,π2]，则sin(α+π3)>√32>45，舍去；若α+π3∈(π2,5π6)，cos(α+π3)=−√1−sin 2(α+π3)=−35， ∴cosα=cos[(α+π3)−π3]=12cos(α+π3)+√32sin(α+π3)=4√3−310； (Ⅲ)∵x ∈[−π4,π6]，∴2x +π3∈[−π6,2π3]，则sin(2x +π3)∈[−12,1]． 令t =f(x)=2sin(2x +π3)∈[−1,2]．则y =g(t)=F(x)=t 2−nt +1，t ∈[−1,2]． 当n2≤12，即n ≤1时，y =g(t)max =g(2)=5−2n ； 当n2>12，即n >1时，y =g(t)max =g(−1)=2+n ． 综上所述，F(x)max ={5−2n,n ≤12+n,n >1．【解析】利用数量积的坐标运算求得函数f(x)的解析式．(Ⅰ)函数y =f(x +m)是偶函数，可得2m +π3=kπ+π2，得m =12(kπ+π6)，k ∈Z ，由此可得|m|的最小值；(Ⅱ)若f(α2)=85，则sin(α+π3)=45，求解cos(α+π3)，再由cosα=cos[(α+π3)−π3]，展开两角差的余弦求解； (Ⅲ)由x 的范围得2x +π3∈[−π6,2π3]，则sin(2x +π3)∈[−12,1]，令t =f(x)=2sin(2x +π3)∈[−1,2]，可得则y =g(t)=F(x)=t 2−nt +1，t ∈[−1,2]，再对n 分类求F(x)的最大值．本题考查数量积的坐标运算，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查三角函数的恒等变换应用，考查运算求解能力，是中档题．。
2019-2020学年浙江省温州十五校联合体高一下学期期中考试数学试题
——★ 参 考 答 案 ★——一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 『答案』B D DC B A A B B C10.『解析』由题意1123(,0),(,)222n n n n n A B ---， 23131112tan 122n n n n n n n n n n A B A A B A A -+-+∠===，1p p p A B A +∆与1q q q A B A +∆均为直角三角形，故1p p p A B A +∆与1q q q A B A +∆相似11tan =tan p p p q q qA AB A A B ++⇔∠∠或11tan tan 1p p p q q q A A B A A B ++⇔∠⋅∠=而3311()22p q p q --><，或61162p q p q +-=⇔+=.故存在两对满足条件的,p q ，分别为1,5;2,4p q p q ====。
二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共30分11. 2 －3 12.1 121 13.045，13+ 14.3 15.3λ>-且12λ≠ 16. ()3,5 16『解析』∵对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，∴1=n 时，21a a <，可得()a a 288-+<，解得316<a ．2≥n 时，()()()()()a n a n n n 2811428141--++<--++，化为：()()01141>+--+n a ，k n 2=时，化为：()014>+--a ，解得3>a ；12+=k n 时，化为：014>+-a ，解得5<a ．综上可得 a 的取值范围是()3,5．三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年浙江省温州市十五校联合体高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省温州市十五校联合体高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．tan的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝60°，B＝45°，a＝3，则b＝（）A．1B．C．2D．3．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么＝（）A．﹣B．+C．+D．﹣4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且S4＝a4+3，则a2＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．25．下列函数中最小正周期是π且图象关于直线x＝对称的是（）A．y＝2sin（2x+）B．y＝2sin（2x﹣）C．y＝2sin（+）D．y＝2sin（2x﹣）6．若sin x﹣2cos x＝，则tan x＝（）A．B．C．2D．﹣27．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＜b cos A，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形8．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞09．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|﹣t|的最小值为1，则（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定10．已知函数f（x）＝2x2，A1（x1，0），A2（x2，0），……，A n（x n，0），n∈N*为x 轴上的点，且满足x1＝1，x n＝x n﹣1，过点A1，A2，……，A n分别作x轴垂线交y＝f （x）于点B1，B2，……，B n，若以A p，B p，A p+1为顶点的三角形与以A q，B q，A q+1为顶点的三角形相似，其中p＜q，则满足条件的p，q共有（）A．0对B．1对C．2对D．无数对二、填空题：本大愿共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共30分..11．已知向量＝（﹣2，x），＝（y，3），若∥且•＝12，则x＝，y＝．12．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝4，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则a1＝，S5＝．13．在△ABC中，已知A＝60°，AB＝2，BC＝，则∠ACB＝，AC＝．14．函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为．15．已知||＝1，||＝2，与的夹角为60°，＝λ+与＝+2的夹角为锐角，求λ的取值范围．16．已知数列{a n}的通项公式a n＝，若对任意n∈+，a n＜a n+1恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知f（x）＝2cos2x+sin2x﹣+1（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．18．如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC 和OA交于点E，设．（1）用表示向量，．（2）若，求实数λ的值．19．在△ABC中，角A，B，C的对应边为a，b，c，且2a sin B＝5c，cos B＝．（1）求角A的大小；（2）设BC边的中点为D，AD＝，求△ABC的面积．20．设数列{a n}的前n项积T n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记S n＝T12+T22+……+T n2，证明：﹣≤S n﹣a n+1＜﹣．参考答案一、选择题（共10小题）.1．tan的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣解：tan＝tan（π﹣）＝﹣tan＝﹣故选：B．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝60°，B＝45°，a＝3，则b＝（）A．1B．C．2D．解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝60°，B＝45°，a＝3，利用正弦定理：，整理得：．故选：D．3．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么＝（）A．﹣B．+C．+D．﹣解：∵正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），∴＝﹣＝﹣＝﹣，故选：D．4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且S4＝a4+3，则a2＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2解：依题意S n是等差数列{a n}的前n项和，且S4＝a4+3，所以S4＝4a1+6d＝a1+3d+3，可得3（a1+d）＝3，即a2＝1．故选：C．5．下列函数中最小正周期是π且图象关于直线x＝对称的是（）A．y＝2sin（2x+）B．y＝2sin（2x﹣）C．y＝2sin（+）D．y＝2sin（2x﹣）解：C的周期T＝＝4π，不满足条件．当x＝时，A，y＝2sin（2×+＝2sinπ＝0≠±2，B．y＝2sin（2×﹣）＝2sin＝2，D．y＝2sin（2×﹣＝2sin≠±2，故满足条件的是B，故选：B．6．若sin x﹣2cos x＝，则tan x＝（）A．B．C．2D．﹣2解：∵sin x﹣2cos x＝，∴sin x＝2cos x+，∴两边平方得：sin2x＝1﹣cos2x＝4cos2x+5+4cos x，整理可得：5cos2x+4+4cos x＝0，解得：cos x＝﹣，解得：sin x＝2×（﹣）+＝，∴tan x＝＝＝﹣．故选：A．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＜b cos A，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解：△ABC中，∵c＜b cos A，∴sin C＜sin B cos A，即sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＜sin B cos A，∴sin A cos B＜0，sin A＞0，∴cos B＜0，B为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故选：A．8．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3＝a1+2d，a4＝a1+3d，a8＝a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，＝＜0．故选：B．9．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|﹣t|的最小值为1，则（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定解：易知|﹣t|2＝，令y＝，当时，y取得最小值1，即＝，可见当θ确定时，||唯一确定下来；但||确定时，θ的值在（0，π）可能有两个．故选：B．10．已知函数f（x）＝2x2，A1（x1，0），A2（x2，0），……，A n（x n，0），n∈N*为x 轴上的点，且满足x1＝1，x n＝x n﹣1，过点A1，A2，……，A n分别作x轴垂线交y＝f （x）于点B1，B2，……，B n，若以A p，B p，A p+1为顶点的三角形与以A q，B q，A q+1为顶点的三角形相似，其中p＜q，则满足条件的p，q共有（）A．0对B．1对C．2对D．无数对解：如图，由题意，x n＝x1q n﹣1＝，B n的纵坐标为2×＝，∴A n（，0），B n（，），A n+1（，0），tan∠A n A n+1B n＝＝＝，△A p B p A p+1与△A q B q A q+1均为直角三角形，故△A p B p A p+1与△A q B q A q+1相似⇔tan∠A p A p+1B p＝∠A q A q+1B q或tan∠A p A p+1B p＝tan（﹣∠A q A q+1B q），当tan∠A p A p+1B p＝∠A q A q+1B q时，＝（p＜q），无解；当tan∠A p A p+1B p＝tan（﹣∠A q A q+1B q）时，tan∠A p A p+1B p•tan∠A q A q+1B q＝1，∴＝1⇔p﹣q＝6，故存在两对满足条件的p，q，分别为p＝1，q＝5，或p＝2，q＝4．故选：C．二、填空题：本大愿共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共30分..11．已知向量＝（﹣2，x），＝（y，3），若∥且•＝12，则x＝2，y＝﹣3．解：向量＝（﹣2，x），＝（y，3），∥且•＝12，∴，解得，故答案为：2，﹣3．12．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝4，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则a1＝1，S5＝121．解：由n＝1时，a1＝S1，可得a2＝2S1+1＝2a1+1，又S2＝4，即a1+a2＝4，即有3a1+1＝4，解得a1＝1；由a n+1＝S n+1﹣S n，可得S n+1＝3S n+1，由S2＝4，可得S3＝3×4+1＝13，S4＝3×13+1＝40，S5＝3×40+1＝121．故答案为：1，121．13．在△ABC中，已知A＝60°，AB＝2，BC＝，则∠ACB＝45°，AC＝+1．解：∵A＝60°，AB＝2，BC＝，∴由正弦定理，可得sin∠ACB＝＝＝，∵AB＜BC，可得∠ACB为锐角，∴∠ACB＝45°，∴sin B＝sin（60°+45°）＝（+）＝，∴由正弦定理，可得：AC＝＝＝1．故答案为：45°，1．14．函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为．解：：（1）由题设图象知，A＝2，周期T＝（﹣），解得：T＝π．∴ω＝＝2．∵点（，2）在函数图象上，∴2sin（2×+φ）＝2，即sin（+φ）＝1．∵0＜φ＜π，∴φ＝．故得f（x）＝2sin（2x），那么f（）＝2sin（2×）＝故答案为：．15．已知||＝1，||＝2，与的夹角为60°，＝λ+与＝+2的夹角为锐角，求λ的取值范围{λ|λ＞﹣3且λ≠}．解：由题意可得＝1×2×cos60°＝1，＝λ+与＝+2的夹角为锐角，再根据，＝λ+与＝+2的夹角为锐角，可得（λ+）•（+2）＝λ+（2λ+1）•+2＝λ+（2λ+1）+8＞0，且（λ+）≠k（+2），k为实数，即λ＞﹣3且≠，求得λ＞﹣3且λ≠，故答案为：{λ|λ＞﹣3且λ≠}．16．已知数列{a n}的通项公式a n＝，若对任意n∈+，a n＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（3，5）．解：∵对任意n∈N+，a n＜a n+1恒成立，∴n＝1时，a1＜a2，可得a＜8+（8﹣2a），解得．n≥2时，4n+（﹣1）n（8﹣2a）＜4（n+1）+（﹣1）n+1（8﹣2a），化为：（4﹣a）（﹣1）n+1+1＞0，n＝2k时，化为：﹣（4﹣a）+1＞0，解得a＞3；n＝2k+1时，化为：4﹣a+1＞0，解得a＜5．综上可得：3＜a＜5．∴a的取值范围是（3，5）．故答案为：（3，5）．三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知f（x）＝2cos2x+sin2x﹣+1（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．解：f（x）＝＝＝；（1）由，得，∴，∴函数f（x）的单调增区间为；（2）当时，，∴，∴2sin（2x+）+1∈[0，3]，即f（x）的值域是[0，3]．18．如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC 和OA交于点E，设．（1）用表示向量，．（2）若，求实数λ的值．解：（1）由题意知A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则得+＝2，则＝2﹣＝2﹣，则＝﹣＝2﹣﹣＝2﹣．（2）由图知∥，∵＝﹣＝2﹣﹣λ＝（2﹣λ）﹣，，∴，解得．19．在△ABC中，角A，B，C的对应边为a，b，c，且2a sin B＝5c，cos B＝．（1）求角A的大小；（2）设BC边的中点为D，AD＝，求△ABC的面积．解：（I）在△ABC中，∵，∴，∵，∴2•a•＝5c∴3a＝7c，∵，∴3sin A＝7sin C，∴3sin A＝7sin（A+B），∴3sin A＝7sin A cos B+7cos A sin B，即3sin A＝7•sin A•+7cos A∴﹣sin A＝cos A，∴，即．（Ⅱ）∵，又3a＝7c，∴BD＝＝，∴，∴c＝3，则a＝7，∴．20．设数列{a n}的前n项积T n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记S n＝T12+T22+……+T n2，证明：﹣≤S n﹣a n+1＜﹣．【解答】（1）解：当n＝1时，T1＝a1＝1﹣a1，可得a1＝；a n+1＝＝，即＝，则﹣＝1，可得{}是首项为2，公差为1的等差数列，则＝2+n﹣1＝n+1，所以a n＝；（2）证明：T n＝1﹣a n＝，设b n＝S n﹣a n+1＝（）2+（）2+…+（）2﹣，则b n+1﹣b n＝（）2﹣+＝＝＞0，所以数列{b n}为递增数列，则b n≥b1＝S1﹣a2＝﹣＝﹣；又T n2＝＜＝＝2（﹣），所以S n＝T12+T22+…+T n2＜2（﹣+﹣+…+﹣）＝﹣＜﹣，所以S n﹣a n+1＜﹣﹣＝﹣，综上可得，﹣≤S n﹣a n+1＜﹣．。
2020年浙江省温州市联合体高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.在三角形A，B，C中，角A，B，C成等差数列，则cos B的大小为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，AC=，则AB的值为（）A. 1B.C.D.3.在等比数列{a n}中，，则公比q的值为（）A. 3B.C. 2或D. 3或4.为了得到函数y=sin2x的图象，只需把y=cos2x的图象（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移5.若cos（-α）=，则sin2α=（）A. B. C. - D. -6.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，则（）A. 方案一中扇形的面积更长B. 方案二中扇形的面积更长C. 方案一中扇形的周长更大D. 方案二中扇形的周长更大7.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若，则=（）$A. B. C. D.8.设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知a1＞0，S5=S17，下列结论正确的是（）A. d＞0B. a11＜0C. a12＞0D. S22=09.在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状为（）A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形10.已知△ABC中，AB=3，BC=2，AC=4，G为△ABC的重心，则=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.在平面四边形ABCD中，A（2，7），C（7，-5），，则=______；若，则m=______．12.已知等比数列{a n}的前n项和，则x=______，{a n}的通项公式为______．13.已知角α的终边过点P（1，-2），则tanα=______，=______．14.函数f（x）=A sin（ωx+φ），其中（）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式是______．15.已知数列{a n}满足，记数列{a n}的前n项之积为，则的值为______．16.在△ABC中，，点D为线段AB上一动点，若最小值为，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17.已知平面向量满足：．（1）求与的夹角θ；（2）求向量在向量上的投影．18.在△ABC中，的面积为，点D为AB的中点，（1）求AB的长；（2）求sin∠ADC的值．19.已知函数（其中ω＞0）图象的两条相邻对称轴之间的距离为．（1）求ω的值及f（x）的单调减区间；（2）若，求的值．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2=4，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若取出数列{a n}中的部分项a2，a6，a22，…依次组成一个等比数列{c n}，若数列{b n}满足a n=b n•c n，求证：数列{b n}的前n项和．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在三角形A，B，C中，角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C=π-B，解得B=．则cos B=．故选：B．在三角形A，B，C中，角A，B，C成等差数列，可得2B=A+C=π-B，解得B．本题考查了等差数列的通项公式性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：∵AC=，∴由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos B，可得：3=AB2+4-2AB×2×，可得：AB2-2AB+1=0，∴解得：AB=1．故选：A．由已知利用余弦定理可得AB2-2AB+1=0，即可解得AB的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，等比数列{a n}中，，则有+2q=，变形可得q2-q+1=0，解可得：q=3或，故选：D．根据题意，由等比数列的通项公式可得+2q=，变形可得q2-q+1=0，解可得q的值，即可得答案．本题考查等比数列的通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由于函数y=sin2x=cos（-2x）=cos（2x-）=cos2（x-），故把y=cos2x的图象向右平移个单位，即可得到函数y=sin2x的图象，故选：B．由于y=sin2x=cos2（x-），根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角函数的二倍角公式，诱导公式，属于基础题.利用诱导公式化sin2α=cos（-2α），再利用二倍角的余弦公式代值可得答案．【解答】解：∵cos（-α）=，∴sin2α=cos（-2α）=cos2（-α）=2cos2（-α）-1=2×-1=-.故选D．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了弧长公式，扇形面积公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．由已知利用弧长公式，扇形面积公式求出值比较大小即可．【解答】解：∵△AOB为顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，∴A=B=30°=，OM=ON=1，AD=2，∴方案一中扇形的周长=2=4+，方案二中扇形的周长=1+1+1×=2+，方案一中扇形的面积=2×=，方案二中扇形的面积==，故选：C．7.【答案】A【解析】解：设数列{a n}是公比为q的等比数列，数列{b n}是公差为d的等差数列，若，则a1q3•a1q7•a1q8=-3，b1+3d+b1+7d+b1+8d=5π，即为a1q6=-，b1+6d=，即a7=-，b7=，则=tan=tan=-．故选：A．设数列{a n}是公比为q的等比数列，数列{b n}是公差为d的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，以及等比数列和等差数列的中项性质，以及特殊角的正切的函数值，可得所求值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：a1＞0，S5=S17，∴5a1+d=17a1+d，化为：2a1+21d=0．∴a1+a22=0，∴S22==0．d=-a1＜0．a11+a12=0，又a1＞0必然a11＞0，a12＜0，因此结论正确的是D．故选：D．a1＞0，S5=S17，利用求和公式可得5a1+d=17a1+d，化为：2a1+21d=0．进而判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：在△ABC中，∵，∴b2=a2+ac=a2+c2-2ac cos B，可得：a=c-2a cos B，∴由正弦定理可得：sin A+2sin A cos B=sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B，∴sin A+sin A cos B=cos A sin B，可得：sin A=sin B cos A-sin A cos B=sin（B-A），∴sin（B-）=，∵B∈（0，），可得：B-∈（-，），∴B-=，可得：B=，∴C=π-A-B=．故△ABC的形状为直角三角形．故选：C．由余弦定理，正弦定理，两角差的正弦函数公式化简已知等式可得sin（B-）=，结合范围B-∈（-，），可求B的值，根据三角形内角和定理可求C的值，即可判断三角形的形状．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，两角差的正弦函数公式，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：∵AB=3，BC=2，AC=4，由余弦定理可得，cos A==，∴==，∵G为△ABC的重心，则=====-则=故选：A．由G为△ABC的重心，则=，展开后结合已知及向量数量积的性质可求本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题11.【答案】13【解析】解：∵A（2，7），C（7，-5）；∴；∴；∵；∴；∴．故答案为：．根据点A，C的坐标即可求出，从而可求出，而根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m．考查根据点的坐标求向量坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．12.【答案】a n=3n-1【解析】解：根据题意，等比数列{a n}的前n项和，则a1=S1=3x-，a2=S2-S1=6x，a3=S3-S2=18x，则有q==3，a1=3x-=，解可得x=，则a1=1，又由q=3，则a n=a1q n-1=3n-1；故答案为：，3n-1．根据题意，由列{a n}的前n项和公式求出a1、a2、a3的值，进而求出q的值，则有a1=3x-=，解可得x的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式以及等比数列的通项公式，属于基础题．13.【答案】-2【解析】解：因为：角α的终边过点P（1，-2），所以：tanα==-2，可得：====．故答案为：-2，．利用任意角的三角函数的定义，求出tanα的值，根据诱导公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：函数f（x）=A sin（ωx+φ），其中（）的部分图象如图所示，根据函数的图象：A（），B（），解得：，整理得：T=π，所以：ω=2，进一步利用：A（），整理得：φ=，所以函数的解析式为：，故答案为：首先利用点的坐标求出函数的三要素，进一步求出函数的解析式．本题考查的知识要点：三角函数解析式的确定，点的坐标在函数解析式中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.【答案】2020【解析】解：数列{a n}满足，可得：a2=2-=，同理可得：a3=，a4=，……，猜想：a n=．验证成立．则=…××=2020．故答案为：2020．数列{a n}满足，可得：a2=2-=，同理可得：a3=，a4=，……，猜想：a n=．即可得出答案．本题考查了数列递推关系、通项公式、猜想归纳能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由正弦定理得：，又，所以sin B=，又AC＜BC，所以B，所以cos B==，所以sin C=sin（B）=，不妨设AC=2t，则BC=3t，AB=（）t，设=，则=•（）=λ22-=[（3）λ2-（）λ]t2，所以的最小值为=-，解得t=，即S△ABC=|AB||AC|sin A=（）×2××3=，故答案为：．由三角形中的正弦定理得及两角和差的正弦得：sin B=，又AC＜BC，所以B，所以cos B==，所以sin C=sin（B）=，由平面向量的数量积运算得：=，则=•（）=λ22-=[（3）λ2-（）λ]t2，所以的最小值为=-，得t=，即S△ABC=|AB||AC|sin A=（）×2××3=，得解．本题考查了解三角形中的正弦定理、两角和差的正弦及平面向量的数量积运算，属难度较大的题型．17.【答案】解：（1）∵，；∴；∴；∴；又θ∈[0，π]；∴；（2）∵-72+36=108；∴；∴向量在向量上的投影为=．【解析】（1）根据条件可以求出，根据向量夹角的余弦公式即可求出，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角；（2）可求出，从而得出，并求出，这样根据投影的计算公式即可求出投影．考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，向量投影的计算公式．18.【答案】（本题满分为12分）解：（1）由cos C=，得：sin C==．--------------（2分）所以：S△ABC=AC•BC•sin C=10，∴AC=7．----------------（4分）由余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos C=64，所以：AB=8．-------------------（6分）（2）∵=（+），∴||2=（||+||2+2•）=21，----------------（8分）∴CD=，----------------（9分）又AD=4，S△ACD=CD•AD•sin∠ADC=5，∴sin∠ADC=．----------------（12分）【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，根据三角形的面积公式可求AC的值，由余弦定理即可解得AB的值；（2）由题意可得=（+），两边平方，利用平面向量的数量积的运算可求CD的值，根据三角形的面积公式即可解得sin∠ADC的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理，平面向量的数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：（1）函数，=，=2sin（2ωx+）-1，（ω＞0）由于函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为．故，解得ω=1，所以f（x）=2sin（2x+）-1．令（k∈Z），解得：，（k∈Z），所以f(x)的单调减区间为[]（k∈Z）．（2）由于，所以：，解得：，由于，所以：，则：，则：=cos（）cos+sin（）sin=所以f（）=．【解析】本题考查的知识要点：两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，函数y=A sin （ωx+φ）性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，根据周期求得ω，得到函数解析式，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数解析式将化简整理，根据展开求值，最后代入f（）即可求出结果．20.【答案】（1）解：数列{a n}的前n项和为S n，．当n≥2时，a n=S n-S n-1①a n+1=S n+1-S n②由②-①：S n+1-2S n+S n-1=a n+1-a n，所以：，所以：，即：，所以：数列{a n}为公差数列．a1=S1=1，且a2=4，整理得：a n=3n-2．证明：（2）由a2=4，a6=16，解得：，所以：．则：①，②，由①-②得：，=，解得：．【解析】（1）首先利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．。
浙江省温州市高一下学期期中数学试卷
浙江省温州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·铜仁期末) 设向量，，若，则实数的值是（）A . 2B .C . 1D .2. （2分） (2018高二上·玉溪期中) 在中，，，则（）A .B .C .D .3. （2分）已知等差数列｛an}中，a3=9,a5=17,记数列的前n项和为Sn ，若，对任意的成立，则整数m的最小值为（）A . 5B . 4C . 3D . 24. （2分） (2017高一上·定远期中) 若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A . {x|0≤x≤1}B . {x|0≤x≤2}C . {x| ≤x≤ }D . {x|﹣1≤x≤3}5. （2分）等差数列的前n项和，若，则（）A . 153B . 182C . 242D . 2736. （2分）已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A . bB . bC . aD . a7. （2分）(2013·山东理) 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A . 2B . 1C . -D . -8. （2分）已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）A . 135°B . 90°C . 120°D . 150o9. （2分） (2017高一下·西城期末) 在△ABC中，若，c=2，，则△ABC的面积为（）A .B .C .D .10. （2分）在中，角A,B,C所对的边a,b,c，已知则C=（）A .B .C . 或D .11. （2分） (2016高三上·湛江期中) 已知向量 =（﹣）， =（），则∠ABC=（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°12. （2分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ， a1+a3=，且a2+a4=，则=（）A . 4n﹣1B . 4n﹣1C . 2n﹣1D . 2n﹣1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知向量=（， 1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=________ ．14. （1分） (2015高一下·广安期中) 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n﹣1，则a1+a3+a5+…+a25=________15. （1分）海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站10 海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．16. （1分）已知点M（a，b）在直线x+2y= 上，则的最小值为________三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分）已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若△ABC为锐角三角形，求 sinBcosB+cos2B的取值范围．18. （5分）已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．19. （10分） (2018高一下·山西期中) 已知 .（1）若，且，求角的值；（2）若，求的值．20. （5分）已知函数．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．21. （5分）（Ⅰ）在8与215中间插入两个数，使它们成等差数列，求这两个数．（Ⅱ）在96与3中间插入4个数，使它们成等比数列，求这四个数．22. （10分）(2016·河北模拟) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， a1=a．当n≥2时，Sn2=3n2an+Sn﹣12 ，an≠0，n∈N* ．（1）求a的值；（2）设数列{cn}的前n项和为Tn，且cn=3n﹣1+a5，求使不等式4Tn＞Sn成立的最小正整数n的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。
浙江省“衢温5 1”联盟2020_2021学年高一数学下学期期中联考试题
2020-2021学年高一数学下学期期中联考试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、某某、考场号、座位号及某某号并填涂相应数字；3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分（共60分）一、单项选择题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）1．已知全集{}3,4,5,6,7,8U =，集合{}4,5,6,8A =，{}5,7,8B =，则()U A B ⋂=（ ） A ．{}4,5,6,8B ．{}4,6C ．{}5,8D ．{}3,4,6,72．cos120°的值为（ ）A ．12-B ．3-C ．12D ．3 3．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是正方形11BB C C 与11DD C C 的中心，直线AF 与DE 的位置关系为（ ）A ．平面B ．相交C ．异面D ．相交或异面4．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数41ieπ在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．如图是某几何体的三视图，主视图和左视图是底边长和高均为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的侧面积为（）A．5B．5πC．2πD．5π6．已知()f x是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在](,0-∞上是减函数．设122a f-⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log4b f⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5c f=，则a，b，c的大小关系是（）A．c a b<<B．c b a<<C．b c a<<D．a b c<<7．函数()()ln sinf x x x=⋅的图像可能是（）A．B．C．D．8．已知函数()()()()()sin 0cos 0x a x f x x b x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩是偶函数，则a ，b 的值可能是（ ） A ．3a π=，3b π=B ．23a π=，6b π= C ．3a π=，6b π=D ．23a π=，56b π= 二、多项选择题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．三个平面可以把空间分成n 个部分．在下列选项中，n 的值正确的有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个10．下列等式正确的有（ ）A ．21cos 2sin 2x x -=B ．sin cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．cos sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ．()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦ 11．函数()242f x x x =-+在区间[],a b 上的值域为[]2,2-，则b a -的值可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知a R ∈，函数()f x 满足：存在00x >，对任意的0x >，恒有()()0f x a f x a -≤-.则()f x 可以是（ ）A ．()cos f x x =B ．()sin f x x =C ．()ln f x x =D ．()x f x e =非选择题部分（共90分）三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=．则a 与b 的夹角为______． 14．已知x ,y 为两个正实数，且11m x y x y≤++恒成立．则实数m 的取值X 围是______． 15．在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中1a =，c =6A π=．则b =______．16．若平面向量a ，b ，c 满足()0a a c ⋅+=，1c =，22a b c +-=．则a b ⋅的最大值为______．四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17．（本小题满分10分）已知集合{}21A x m x m =≤≤+，{}2340B x x x =--≤．（1）当2m =时，求A B ⋂；（2）若A 为非空集合且“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，某某数m 的取值X 围．18．（本小题满分12分）已知()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =，()()f x a b x R =⋅∈． （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）已知ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，当()12f A =-，7a =，8b c +=时，求ABC △的面积．19．（本小题满分12分）最近，考古学家再次对某某广汉“三星堆古墓”进行考古发掘．科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代．已知某放射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过4200年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为a ．（参考数据：lg 20.3≈）（1）写出该元素的存量y 与时间x （年）的关系；（2）经检测古生物中该元素现在的存量为25a ，请推算古生物距今大约多少年？ 20．（本小题满分12分）已知函数()()()2log 41x f x kx k R =++∈是偶函数． （1）求k 的值；（2）若()0f x b ->对于任意x 恒成立，某某数b 的取值X 围．21．（本小题满分12分）如图一，在平面几何中，有如下命题“正三角形ABC 的高为h ，O 是ABC △内任意一点，则O 到三边的距离的和为定值h ．当O 是ABC △的中心时，O 到各边的距离均为3h ”．证明如下：设正三角形ABC 边长为a ，高h ，O 到三边的距离分别为1d ，2d ，3d则：AOB BOC COA ABC S S S S ++=△△△△，即：12311112222ad ad ad ah ++=化简得123d d d h ++= 若O 是ABC △中心，则12313d d d h === 即：正三角形中心到各边的距离均为3h 类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h 的正四面体ABCD （图二）相应的命题，并证明你的结论．22．（本小题满分12分）已知函数()22f x x a a x =-+．（1）若1a =-，求函数()f x 的定义域；（2）若0a ≠，且()22f ax a =-有两个不同的实数根，某某数a 的取值X 围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 的定义域为R ，且在a 上具有单调性，若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，说明理由．2020学年第二学期衢温“5+1”联盟期中联考高一年级数学学科 参考答案一、单项选择题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分．1．B2．A3．C4．A5．B6．D7．D8．C二、多项选择题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分．9．BCD10．ABD11．BCD12．AB 三、填空题（本小题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．3π14．(],4-∞15．1或216．13 四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17．解：（1）依题意知：{}25A x x =≤≤由2340x x --≤，得：14x -≤≤ 即：{}14B x x =-≤≤ {}24A B x x ⋂=≤≤（2）依题意得：A B ⊂211214m m m m ≤+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，解得312m -≤≤ 因此，m 的取值X 围是31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18．解：（1）()23sin cos cos f x x x x =+31cos 21sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ ∴2T ππω==， 当()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈时，解得：()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈即：单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意得：11sin 2622A π⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，∴32=62A ππ+∴2=3A π 由余弦定理知：()2222491491512222b c bc b c bc bc bc+--+--===-∴15 bc=∴113153sin1522ABCS bc A==⨯⨯=△19．解：（1）420012xy a⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（2）∵42002152xa a⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∴12212lg2log42005lg2x-==解得：5600x=即：古生物距今大约5600年20．解：由题意得：()()f x f x-=即()221log1log414xxkx kx⎛⎫-++=++⎪⎝⎭∴2kx x kx--=，∴1k=-（2）由题意得：()2log410xx b-++->恒成立∴()2log41x x b+>+∴4122x x b+>⋅∴1222b xx<+恒成立∴22b<∴1b<21．解：类比命题：正四面体ABCD的高为h，O是正四面体ABCD内任意一点，则O到四个面的距离之和为定值h．当O是正四面体ABCD的中心时，O到各面的距离均为14h证明如下：设四个面的面积为S 连结OA ，OB ，OC ，OD ，设O 到四个面的距离分别是1d ，2d ，3d ，4d ， 则：OABC OBCD OACD OABD ABCD V V V V V +++=∴12341111133333Sd Sd Sd Sd Sh +++= 化简得：1234d d d d h +++=若O 是正四面体ABCD 的中心，则123414d d d d h ====即：正四面体中心到各面的距离均为14h ． 22．解：（1）当1a =-时，()22f x x x =+--， 由220x +-≥，得22x +≥，解得4x ≤-或0x ≥．∴函数的定义域为(][),40,-∞-⋃+∞；（2）()22222f ax ax a a ax =-+-，()2222222f ax a ax a a ax a =-⇔-+=- 设220ax a t -=≥，∴2t a t +=有两个不同实数根，整理得22a t t =-，0t ≥同时0a ≠，∴1,08a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（3）函数()f x 的定义域为R ，220x a a -+≥恒成立，0a ≥当2x a ≥时，()2112224f x x a a x x x x ⎫=-+==-+⎪⎭，在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减， 此时需要满足124a ≥，即18a ≥，函数()f x 在[)2,a +∞上递减； 当2x a <时，()224f x x a a x x a x =-+=-+，在(],4a -∞上递减， ∵18a ≥，∴42a a >，即当18a ≥时，函数()f x 在(],2a -∞上递减． 综上，当1,8a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．。
2020年浙江省温州市环大罗山联盟高一下学期期中联考数学试题(附带详细解析)
【解析】
【分析】
先求出tan 的值，再利用和角的正切求 的值.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
所以 = .
故选A
【点睛】
本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正切的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
4．D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质和关系进行求解判断即可．
【详解】
由 得 0，
7．D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数之间的关系求出 ，再利用 求解即可.
【详解】
， ，且 ，
，
，
，故选D.
【点睛】
三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
6．D
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为q， ，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q．
【详解】
由题意，正项等比数列 中， ，
可得 ，即 ，
与 的等差中项为4，即 ，
设公比为q，则 ，
则 负的舍去 ，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．
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A. a+c＞b+c
B. ac＞bc
C. a2＞b2
D.
3. 已知 α∈（ ，π），sinα= ，则 tan（α+ ）=（ ）
A.
B. 7
C.
D. -7
4. 能得出 ＜ 成立的是（ ）
A. 0＞b＞a
B. b＞a＞0
C. a＞0＞b
5. 在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是( )
A.
B.
D. a＞b＞0
4.【答案】D
【解析】解：由 ＜ 得 - = ＜0，
则当 a＞b＞0 时，不等式 ＜0，成立，
其余不成立， 故选：D． 根据不等式的性质和关系进行求解判断即可． 本题主要考查不等式的关系和性质的应用，将不等式进行转化是解决本题的关键．
得通项公式为
．
故选 C．
2.【答案】B
【解析】解：利用不等式的基本性质可得：
∵a＞b＞0，∴a+c＞b+c，a2＞b2，
，∴A，C，D 正确
∵a＞b＞0，∴c＞0 时，ac＞bc；c=0 时，ac=bc；c＜0 时，ac＜bc，故 B 错误
故选：B．
利用不等式的基本性质可得，当 a＞b＞0 时，a+c＞b+c，a2＞b2，
（1）当 m=5 时，求不等式 f（x）＞0 的解集； （2）若不等式 f（x）＞x2 的解集为 R，求实数 m 的取值范围．
22. 已知
，
且 sin（2α+β）=3cos（α+β）sinα，
，
（1）求 tanα； （2）求 α+β 的值．
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23. 已知{an}是公差为 2 的等差数列，且 a1+a2+a3=12，{bn}是公比为 3 的等比数列，且 ．
C.
D.
6. 下列四式中不能化简为 的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 正项等比数列{an}中，a1a5+2a3a7+a5a9=16，且 a5 与 a9 的等差中项为 4，则{an}的公 比是（ ）
A. 1
B. 2
C.
D.
8. 已知
A.
，
B.
，且 0＜β＜α＜π，则 cosβ=（ ）
C.
D.
9. （非八高学生做）已知正数 x，y 满足
B. 16
C. 17
D. 14
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12. 在数列{an}中，a1=1，a2019=2019，且 n∈N*都有 2an+1≥an+an+2，则下列结论正确的 是（ ）
A. 存在正整数 N0，当 n＞N0 时，都有 an≤n． B. 存在正整数 N0，当 n＞N0 时，都有 an≥n． C. 对常数 M，一定存在正整数 N0，当 n＞N0 时，都有 an≤M． D. 对常数 M，一定存在正整数 N0，当 n＞N0 时，都有 an≥M．
二、填空题（本大题共 8 小题，共 41.0 分）
13. 在数列{an}中，
，
，则 a2=______，{an}的前 48 项和 S48=______．
14. 已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2，若
，则
an=______，n 的最大值为______．
15. 数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2-3n+2，则数列 an 的通项公式为______；n=______时，
，B 是扇形弧上的动点，满足 AB∥PQ，ABCD 是扇形的 内接矩形，则矩形 ABCD 的面积的最大值为______．
，则 的最大值为
20. 已知锐角△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a=3b，则 cosB 的取值 范围是______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分） 21. 已知函数 f（x）=（m+1）x2-mx+1．
A.
B.
C. 1
，则 y 的最大值为（ ）
D. 2
10. 已知向量 =（ ，- ）， =（cosα，sinα），则|
A. 1
B. 3
C.
|的最大值为（ ）
D. 9
11. 在等差数列{an}中，若 ＜-1，且它的前 n 项和 Sn 有最大值，则使 Sn＞0 成立的正
整数 n 的最大值是（ ）
A. 15
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）令 cn=an⋅bn，求{cn}的前 n 项和 Sn．
24. 如图，D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点，
．
(1)若∠BAD＝60°，求∠ADC 的大小；
(2)若 BD＝2DC，且
，求 AD 的长．
25. 在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，
Sn 最小．
16. cos15°=______，
=______．
17. 已知正项等比数列{an}满足 a8=a6+2a4，若存在两项 am，an，使得
= a1，则
+ 的最小值为______．
18. （八高学生做）已知平面向量 满足
，
______．
19. 已知 OPQ 是半径为 2，O 为圆心，圆心角为 的扇形，A
；c＞0 时，ac
＞bc；c=0 时，ac=bc；c＜0 时，ac＜bc，由此可得结论．
本题的考点是不等式的基本性质，主要考查对不等式基本性质的理解，属于基础题
3.【答案】C
【解析】解：∵a∈（ ，π），sinα= ，
∴cosα=-
=- ，可得：tanα=- ，
∴tan（α+ ）=
= =．
故选：C． 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cosα，tanα 的值，进而利用两角和的正切函数 公式即可计算得解． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值 中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
，
．
（1）若 b+c=4，求△ABC 的面积；
（2）求 2b+c 的取值范围，并确定其是否存在最值，如果存在最值，求出取得最值
时 sinB 的大小，如果不存在，请说明理由．
第 3 页，共 14 页第 4 页，共14 页1.【答案】C
答案和解析
【解析】【分析】 本题考查了数列通项公式，属于基础题． 分别考虑数列的符号与数值变化规律即可得出． 【解答】 解：观察数列-1，3，-5，7，-9，…，
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 50.0 分）
1. 数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（ ）
A. an＝2n-1
B. an＝（-1）n（1-2n）
C. an＝（-1）n（2n-1）
D. an＝（-1）n＋1（2n-1）
2. 若 a＞b＞0，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）