2018届高考数学(文)专题复习习题：第1部分专题七概率与统计 1-7-1含答案

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人教版2018最新高考数学总复习之概率大题Word版

高考总复习概率 ( 附参照答案 )1（本小题满分 12 分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7 场竞赛，他们所有竞赛得分的状况用以下图的茎叶图表示（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）你以为哪位运动员的成绩更稳固？（3）假如从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（参照数据： 92 82 102 22 62 10 2 92 466 ，7 2 42 62 32 12 22 112 236 ）2 在学校展开的综合实践活动中，某班进行了小制作评选，作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日，评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计，绘制了频次散布直方图( 如图 ) ，已知从左到右各长方形的高的比为2： 3： 4： 6： 4： 1，第三组的频数为12，请解答以下问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数目最多？共有多少件？(3)经过评选，第四组和第六组分别有10 件、 2 件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？3 已知向量a1, 2 ，b x, y ．（1）若 x ， y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，5，6）先后投掷两次时第一次、第二次出现的点数，求知足 a b 1 的概率；（2）若实数 x, y 1,6 ，求知足 a b0 的概率．4 某企业在过去几年内使用某种型号的灯管1000 支，该企业对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果以下表所示：[500 ，[900 ，[1100 ，[1300 ，[1500 ，[1700 ，[1900 ，分组900) 1100) 1300) 1500) 1700) 1900) )频数48 121 208 223 193 165 42频次（ 1）将各组的频次填入表中；（ 2）依据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500 小时的频次；（ 3）该企业某办公室新安装了这类型号的灯管 2 支，若将上述频次作为概率，试求恰有1 支灯管的使用寿命不足1500 小时的概率．5 为研究天气的变化趋向，某市气象部门统计了共100 个礼拜中每个礼拜气温的最高温度和最低温度，以下表：m 、（）若第六、七、八组的频数t 、气温（℃）频数频次1[5,1] x 0．03 n 为递减的等差数列，且第一组与第八组[0, 4] 8的频数同样，求出 x 、 t 、 m 、 n 的值；[5,9] 12 （ 2）若从第一组和第八组的所有礼拜[10,14] 22中随机抽取两个礼拜，分别记它们的均匀[15,19] 25温度为 x ， y ，求事件“| x y | 5 ”的概率．[20,24] t[25,29] m[30,34] n合计100 16 某校高三文科分为四个班. 高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计 , 各班被抽取的学生人数恰巧成等差数列, 人数最少的班被抽取了22 人 .抽拿出来的所有学生的测试成绩统计结果的频次散布条形图如图 5所示 , 此中 120～ 130( 包含 120 分但不包含130 分 ) 的频率为 0.05, 此分数段的人数为 5 人 .(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?频次(2)在抽取的所有学生中 , 任取一名学生 ,求分数不小于90 分的概率 .7 某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩所有介于13 秒与 18 秒之间，将测试结果按以下方式分红五组：每一组13,14) ；第二组14,15) ，,,，第五组17,18 ．右图是按上述分组方频次法获得的频次散布直方图.组距（ I ）若成绩大于或等于14 秒且小于16 秒以为优秀，求该班在此次百米测试中成绩优秀的人数；（II ）设m、n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知 m , n 13,14) 17,18 ，求事件“ m n 1 ”的概率. O 13 14 15 16 17 18 秒19题图8 一人盒子中装有 4 张卡片，每张卡上写有 1 个数字，数字分别是 0，1、2、3。

2018高考数学(文)分类汇编统计与概率综合及统计案例 Word版含解析【高考】

第二节统计与概率综合及统计案例题型138 抽样方式2013年1.（2013江西文5）总体有编号为01，02，，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）.A ．08B ．07C ．02D ．012.(2013湖南文3）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件， 60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了件，则n =（）.A. B.10 C.12 D.132014年 1.（2014四川文2）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）.A.总体B.个体C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本2.（2014重庆文3）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则n =（）. A.100B.150C.200D.2503.（2014广东文6）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）.A.50B.40C.25D.20 4.（2014湖南文3）对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（）.A.123p p p =<B. 231p p p =<C.132p p p =<D.123p p p == 5.（2014湖北文11）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件.6.（2014天津文9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取名学生.2015年1.（2015四川文3）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）.A. 抽签法B. 系统抽样法C. 分层抽样法D. 随机数法1.解析按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.故选C.2.（2015福建文13）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．2.解析由题意得抽样比例为45190020=，故应抽取的男生人数为15002520⨯=（人）．3.（2015北京文4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）.A.90B. 100C. 180D.3003.解析依题意，老年教师人数为900320180160043004300⨯=（人）.故选C.2017年1.（2017江苏卷3）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．1.解析按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取60300181000⨯=(件)．20330443454365577783210题型139 样本分析——用样本估计总体2013年1. （2013四川文7）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据茎叶图如图所示.以组距为将数据分组成[)[)[)[)0551030353540，，，，，，，，时，所作的频率分布直方图是（）.A.B.C ． D.2. （2013山东文10）将某选手的个得分去掉个最高分，去掉一个最低分，个剩余分数的平均分为91．现场作的个分数的茎叶图后来有个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：则个剩余分数的方差为（）A.11616 B.367 C.36D. 3.（2013辽宁文5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)[)[)20404060608080100，，，，，，，.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）.A. 45B. 508779401091x/分C. 55D. 604.（2013江苏则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为5.（2013湖北文12）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7879，，，，5491074，，，，，，则（1）平均命中环数为；（2）命中环数的标准差为．6. （2013辽宁文16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为，样本方差为，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为.2014年1.（2014陕西文9）某公司10位员工的月工资（单位:元）为1210,,x x x ，其均值和方差分别为和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）.A.，22100s +B.100x +，22100s +C.，2sD. +100，2s2.（2014山东文8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[)[)[)[)[]12,13,13,14,14,15,15,16,16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图所示是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有人，则第三组中有疗效的人数为（）.A. B. C. 12 3.（2014江苏6位：cm ），所得数据均在区间[]80130，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm ．kPa（加上原点处数字0）4.（2014新课标Ⅰ文18）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示频数分布表：（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 5.（2014北京文18）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：100 90 80 110 /cmO75 85 95 105（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）.6. （2014新课标Ⅱ文19）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.7.（2014（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差.2015年1.（2015重庆文4）重庆市2013年各月的平均气温（C）数据的茎叶图如下：0 8 91 2 5 82 0 03 3 8 3 1 2则这组数据的中位数是（）.A. 19B.20C. 21.5D. 23 1. 解析将茎叶图各数据从小到大排列，中位数为2020202+=．故选B ． 2.（2015湖南文2）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 914 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 15 0 1 2 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[]139,151上的运动员人数是（）.A. 3B. 4C. 5D. 62. 解析由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435720=⨯人.故选B. 3.（2015湖北文2）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）.A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石 3.解析设一石米中有粒谷，这批米内夹谷石，则281534254x n n ⋅=⋅，得153428169254x ⨯=≈.故选B.4.（2015山东文6）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图. 考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）. A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4.解析由茎叶图可知，甲的数据为26,28,29,31,31；乙的数据为28,29,30,31,32. 所以()12628293131295x =⨯++++=甲，()12829+303132305x =⨯+++=乙. 所以x x <甲乙，①正确；又()()()()()2222221182629282929293129312955s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲； ()()()()()22222212830293030303130323025s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙. 可得22s s >甲乙，所以s s >甲乙.④正确.故选B.5.（2015广东文12）已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为．5.解析因为样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，又样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的和为()122n x x x n ++++，所以样本数据的均值为21x +＝11.评注本题考查均值的性质.6.（2015湖北文14）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.30.9]，内，其频率分布直方图如图所示. （1）直方图中的=.（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.50.9]，内的购物者的人数为./万元a6. 解析由频率分布直方图及频率和等于，可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解之得3a =.于是消费金额在区间[]0.50.9，内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=，所以消费金额在区间[]0.50.9，内的购物者的人数为0.6100006000⨯=.7.（2015广东文17）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图所示．/度（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 7.解析()1由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，得0.0075x =．（2）由图可知，月平均用电量的众数是2202402302+=. 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，又()0.0020.00950.0110.0125200.70.5+++⨯=>，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内.设中位数为，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，得224a =，所以月平均用电量的中位数是224.（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=（户）；月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=（户）；月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=（户）；月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=（户）. 抽取比例为11125151055=+++，所以从月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=（户）．2016年1.（2016山东文3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）. A.56 B.60 C.120 D.1401. D 解析由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为0.30=2.5×)0.1+0.02(，所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是140=0.301×200）（－人.故选D.2.（2016上海文4）某次体检，位同学的身高（单位：m ）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是（m ）.2.1.76解析将数据从小到大排序1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，故中位数为1.76.3.（2016江苏4）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是.3. 0.1解析由题意得 5.1x =，故()22222210.40.300.30.40.15s=++++=./小时17.54.（2016四川文16）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)00.50.5,1⋅⋅⋅，，，[]4,4.5分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数.请说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数.4.解析（）由频率分布直方图，可知：月用水量在[]0,05.的频率为0.080.5=0.04.⨯ 同理，在[)(][)[)[)[)0.5,1 1.5,222.53,3.5 3.5,44,4.5，，，，，，等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由()10.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.020=0.5+0.5a a -⨯⨯，解得0.30.a =（2）由（1）得，100位居民月均水量不低于吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于吨的人数为3000000.13=36000.⨯（3）设中位数为x 吨.因为前组的频率之和为0.040.080.15+0.21+0.250.730.5++=>，而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以2 2.5.x <… 由()0.5020.50.48x ⨯-=-，解得 2.04.x =故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.5.（2016北京文17）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3w =时，估计该市居民该月的人均水费.5. 解析（1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[](](](](]0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15. 所以该月用水量不超过立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w 至少定为.（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=10.5用水量（立方米）（元）.2017年1.（2017全国1文2）为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田.这块地的亩产量（单位：kg ）分别为12n x x x ⋯，，，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）.A ．12n x x x ⋯，，，的平均数 B ．12n x x x ⋯，，，的标准差 C ．12n x x x ⋯，，，的最大值 D ．12n x x x ⋯，，，的中位数 1. 解析刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.故选B. 2.（2017山东卷文8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）. 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（）.A. 3，5B. 5，5C. 3，7D. 5，72. 解析由于甲组中位数为65，故5y =，计算得乙组平均数为66，故3x =.故选A.题型140 统计图表与概率的综合2013年1. (2013陕西文5）对一批产品的长度（单位: 毫米）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准，产品长度在区间[)2025，上为一等品，在区间[)1520，和区间[)2530，上为二等品，在区间[)1015，和[]3035，上为三等品. 用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）.毫米O0.060.040.02A. 0.09B. 0.20C. 0.25D. 0.452. (2013重庆文6）下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[)2230，内的概率为（）.A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6开始结束3. (2013安徽文17）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：甲乙（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12x x ，，估计12x x -的值. 4．（2013广东文17）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，其中重量在[)80,85的有几个？(3)在(2)中抽出的个苹果中，任取个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有的概率.5. （2013四川文1812324，，，，这24个整数中都可能随机产生.（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为的概率()123i P i =，，；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出y 的值为()123i i =，，的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(123)i i =，，的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.6. (2013湖南文18）某人在如图所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过米.（1（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg 的概率.2014年1.（2014重庆文17）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：7632（I ）求频率分布直方图中的值；（II ）分别求出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数；（III ）从成绩在[)7050，的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率.2015年1.（2015全国Ⅱ文3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）.A. 逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果显著B. 2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C. 2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势D. 2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关2010年2012年2009年2013年2004年2006年2007年2008年2011年2005年190020001.解析由柱形图可以看出，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份是负相关关系，依题意，需选不正确的.故选D.命题意图本题考查统计的基本知识，要注意读懂题意和图表，理解相关性有正相关和负相关. 2.（2015安徽文17）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[)40,50，[)50,60，，[)80,90，[]90,100.（1）求频率分布图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80分的概率；（3）从评分在[)40,60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)40,50的概率.2. 解析（1）由频率分布直方图可知，()0.0040.0180.02220.028101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =.（2）由频率估计概率，评分不低于80分的概率为()0.0220.018100.4+⨯=. （3）由频率分布直方图可知：在[)40,50内的人数为0.00410502⨯⨯=（人），在[)50,60内的人数为0.00610503⨯⨯=（人）.设[)40,50内的2人评分分别为12,a a ，[)50,60内的3人评分分别为123,,A A A ，则从[)40,60的受访职工中随机抽取2人，2人评分的基本事件有()12,a a ，()11,a A ，()12,a A ，()13,a A ，()21,a A ，()22,a A ，()23,a A ，()12,A A ，()13,A A ，()23,A A ，共10种.其中2人评分都在[)40,50的概率为110. 3.（2015全国Ⅱ文18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得出A 地区用户满意评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表(1)在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）.B 地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.3. 分析 (1) 根据题意通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出B 地区用户满意评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值，B 地区用户满意度评分比较集中，A 地区用户的评分满意度比较分散；(2)由直方图得()A P C 的估计值为0.6.()B P C 的估计值为0.25，所以A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大.解析 (1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散.(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记A C 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；B C 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得()A P C 的估计值为()0.010.020.03100.6++⨯=，()B P C 的估计值为()0.0050.02100.25+⨯=.所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大.评注高考中对统计与概率的考查，主要建立在实际问题中，特别要能读懂题意，分析题目中的数据，并对数据进行处理，在解答中要注意概率的计算方法.2016年1.（2016全国甲文18）某险种的基本保费为a （单元：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：（1）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求()P A 的估计值；（2）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”，求()P B 的估计值；（3）求续保人本年度平均保费的估计值.1.解析（1）由所给数据知，事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于，所以()60500.55200P A +==. （2）由所给数据知，事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于等于且小于等于，所以3030()0.3200P B +==. （3）由题所求分布列为调查名续保人的平均保费为0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.1020.05 1.1925a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2.（2016山东文16）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：①若3xy …，则奖励玩具一个； ②若8xy …，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.2.解析用数对(),x y 表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集(){},|,,14,14S x y x y x y=∈∈N N 剟剟一一对应.因为S 中元素个数是4416,⨯=所以基本事件总数为16.n =（1）记“3xy …”为事件A .则事件A 包含的基本事件共有个，即()()()()()1,1,1,2,1,3,2,1,3,1, 所以()5,16P A =即小亮获得玩具的概率为516. （2）记“8xy …”为事件B ，“38xy <<”为事件C .3421则事件B 包含的基本事件共有6个，即()()()()()()2,4,3,3,3,44,2,4,3,4,4,所以()63.168P B == 则事件C 包含的基本事件共有个，即()()()()()1,4,2,2,2,3,3,2,4,1,所以()5.16P C = 因为35,816> 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 3.（2016全国乙文19）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.记x 表示台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （1）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？3.解析（1）当19x …时，192003800y =⨯=（元）；当19x >时，()19200195005005700y x x =⨯+-⨯=-（元），所以3800,,195005700,,19x x y x x x ∈⎧=⎨-∈>⎩N N ….（2）由柱状图可知更换易损零件数的频率如表所示.所以更换易损零件数不大于18的频率为：，更换易损零件数不大于19的频率为：0.060.160.240.240.700.5+++=>，故n 最小值为19.（3）若每台都购买19个易损零件，则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：10019200205002105004000100⨯⨯+⨯+⨯⨯=（元）；若每台都够买20个易损零件，则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 10020200105004050100⨯⨯+⨯=（元）.因为40004050<，所以购买台机器的同时应购买19个易损零件.2017年1.（2017全国3卷文3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）.A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳1.解析由图易知月接待游客量是随月份的变化而波动的，有上升也有下降，所以选项A错误.故选A.评注与2016年的雷达图考法类似，近年来，对各类图形与图表的理解与表示成为高考的一个热点，总体来说，此类题型属于基础类题型，用排除法解此类问题会比较快，但要注意题目要求选择错误的一项，如果审题不仔细可能会造成失分！2.（2017全国2卷文19）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量（单位：kg）的某频率直方图如图所示. （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；（修图：下面表中原点处加数字0）箱产量/kg箱产量/kg。

(完整版)2018年高考统计与概率专题

2018年高考统计与概率专题（全国卷1文）2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位:kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2,…,x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…,x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选B（全国卷1理）2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。

正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π4【考点】:几何概型【思路】：几何概型的面积问题，=P 基本事件所包含的面积总面积.【解析】：()21212=82r S P S r ππ==，故而选B 。

(全国卷2理）6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种（全国卷2文）6。

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90πB 。

63πC 。

42π D.36π【答案】B【解析】由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B 。

（天津卷)文（3）有5支彩笔（除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。

从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(A）45(B)35(C）25（D）15（全国卷2文）11.从分别写有1，2，3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C。

2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))

2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))D23456＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和507元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.89解 (1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的分布列为X 0 1 2 P25815115E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)10＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计60 40 100K 2＝100×（40×2560×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3). X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。

数学讲义：第一部分专题七数列

专题七 ⎪⎪⎪数列[题组全练]1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：选B 设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去)．∴a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.3．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.4．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 017＋a 2 018＞0，a 2 017·a 2 018＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 017B ．2 018C ．4 034D ．4 035解析：选C 因为a 1＞0，a 2 017＋a 2 018＞0，a 2 017·a 2 018＜0，所以d ＜0，a 2 017＞0，a 2 018＜0，所以S 4 034＝4 034(a 1＋a 4 034)2＝4 034(a 2 017＋a 2 018)2＞0，S 4 035＝4 035(a 1＋a 4 035)2＝4 035a 2 018＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 034. 5．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.[系统方法]1．等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量a 1和公差d (公比q )．(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，求出a 1和d (q )后代入相应的公式计算．2．等差、等比数列性质问题的求解策略(1)抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．(3)利用数列性质进行运算时，要注意整体思想的应用(如第2题)，可以减少计算量，此方法还适用于求函数值、求函数的解析式等问题.[题组全练]1．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为( )A ．18B ．20C ．21D ．25解析：选C 依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布．2．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n .第二步：将数列的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( ) A ．n 2 B ．(n －1)2 C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：选C a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n 2⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝n 2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝n 2·n －1n＝n (n －1)．[系统方法]解决数列与数学文化问题的3步骤[由题知法][典例] (2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． [解] (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[类题通法] 证明{a n }是等差或等比数列的基本方法[应用通关](2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.角度一公式法求和[例1] (2018·厦门质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n2a n ＋3，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列；(2)设T 2n ＝1a 1a 2－1a 2a 3＋1a 3a 4－1a 4a 5＋…＋1a 2n －1a 2n －1a 2n a 2n ＋1，求T 2n . [解] (1)证明：由a n ＋1＝3a n2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋23，所以1a n ＋1－1a n ＝23.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为23的等差数列．(2)设b n ＝1a 2n －1a 2n－1a 2n a 2n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n，由(1)得，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为23的等差数列，所以1a 2n －1－1a 2n ＋1＝－43，即b n ＝⎝⎛⎭⎫1a2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n，所以b n ＋1－b n ＝－43⎝⎛⎭⎫1a2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－169. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×⎝⎛⎭⎫1a 1＋23＝－209，所以数列{b n }是首项为－209，公差为－169的等差数列，所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－209n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－169＝－49(2n 2＋3n )．[类题通法] 公式法求数列和问题需过“三关”角度二分组求和法求和[例2] (2018·珠海模拟)已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N *，且不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为(1，d )．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝3a n ＋a n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n .[解](1)易知a ≠0，由题设可知⎩⎨⎧1＋d ＝3a ，1·d ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝32n －1＋2n －1－1，则T n ＝(3＋1)＋(33＋3)＋…＋(32n －1＋2n －1)－n＝(31＋33＋…＋32n －1)＋(1＋3＋…＋2n －1)－n＝31(1－9n )1－9＋(1＋2n －1)n 2－n＝38(9n －1)＋n 2－n . [类题通法] 分组求和法求数列和的关键点角度三用裂项相消法求和[例3] (2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和．[解] (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1. 则S n ＝1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.[类题通法] 裂项相消法求数列和问题的步骤角度四用错位相减法求和[例4] (2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0)．由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2.所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②由①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，③4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，④③－④，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×(1－4n )1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83. [类题通法] 错位相减法求数列和问题的步骤[考法全析]一、曾经这样考1．[利用a n 与S n 的关系求S n ](2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.解析：由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，两边同时除以S n ＋1S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n . 答案：－1n[启思维] 本题通过等式a n ＋1＝S n S n ＋1考查了a n 与S n 关系的转化及应用，通过构造新数列来求解．一般地，对于既有a n ，又有S n 的数列题，应充分利用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，有时将a n 转化为S n ，有时将S n 转化为a n ，要根据题中所给条件灵活变动．应注意对n ＝1的检验．二、还可能这样考2．[累加法或累乘法求数列的通项]已知数列{a n }满足a 1＝2，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝__________.解析：由题意可知，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，以上式子累加得，a n －a 1＝2＋3＋…＋n . 因为a 1＝2，所以a n ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n ＋22(n ≥2)．因为a 1＝2满足上式，所以a n ＝n 2＋n ＋22.答案：n 2＋n ＋22[启思维] (1)本题数列的递推公式可转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )，通常采用等差数列通项公式的求解方法——累加法(逐差相加法)求解．即先将递推公式化成a n ＋1－a n ＝f (n )，然后分别把n ＝1,2,3，…，n －1代入上式，便会得到(n －1)个等式，最后添加关于a 1的等式，把n 个等式相加之后，就会直接得到该数列的通项公式．(2)对于递推公式可转化为a n ＋1a n＝f (n )的数列，因为其类似于等比数列，故通常采用等比数列通项公式的求解方法——累乘法(逐商相乘法)求解．即分别将n ＝1,2,3，…，n －1代入上式，便会得到(n －1)个等式，最后添加关于a 1的等式，这n 个等式相乘之后，就会直接得到该数列的通项公式．如[增分集训]第2题．3．[构造法求数列的通项]已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n2＋a n(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：因为a n ＋1＝2a n 2＋a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝12. 因为a 1＝2，即1a 1＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列，所以1a n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，故a n ＝2n .答案：2n[启思维] (1)本题递推公式是形如a n ＋1＝sa nta n ＋s的递推关系，可采用取倒数的方法，将递推式变形为1a n ＋1－1a n ＝t s，从而可构造出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，其首项为1a 1，公差为t s .(2)对于递推式a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)，①当p ＝1时，{a n }为等差数列；②当p ≠0，q ＝0时，{a n }为等比数列；③当p ≠0，q ≠0时，可利用待定系数法，将递推式转化为a n ＋1＋q p －1＝p ⎝⎛⎭⎫a n ＋q p －1，从而可构造出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1，其首项为a 1＋qp －1(不等于0)，公比为p .如[增分集训]第3题．[增分集训]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.解析：∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1(1－2n )1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63. 答案：－632．已知在数列{a n }中，a n ＋1＝nn ＋2a n (n ∈N *)，且a 1＝4，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________.解析：由a n ＋1＝n n ＋2a n ，得a n ＋1a n ＝nn ＋2，故a 2a 1＝13，a 3a 2＝24，a 4a 3＝35，…，a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，以上式子累乘得，a n a 1＝13·24·35·…·n －2n ·n －1n ＋1＝2n (n ＋1).因为a 1＝4，所以a n ＝8n (n ＋1)(n ≥2)．因为a 1＝4满足上式，所以a n ＝8n (n ＋1).答案：8n (n ＋1)3．(2019届高三·陕西实验中学模拟)已知数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________.解析：因为点P n (a n ，a n ＋1)在直线4x －y ＋1＝0上，所以4a n －a n ＋1＋1＝0. 所以a n ＋1＋13＝4⎝⎛⎭⎫a n ＋13. 因为a 1＝3，所以a 1＋13＝103.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是首项为103，公比为4的等比数列．所以a n ＋13＝103×4n －1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝103×4n －1－13.答案：103×4n －1－13[典例细解][例1] (2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110[解析] 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (n ＋1)2.由题意可知，N >100，令n (n ＋1)2>100，得n ≥14，n ∈N *，即N 出现在第13组之后．易得第n 组的所有项的和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组的所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N *)个数，若要使前N 项和为2的整数幂，则第k ＋1组的前t 项的和2t －1应与－2－k 互为相反数，即2t －1＝k ＋2，∴2t ＝k ＋3，∴t ＝log 2(k ＋3)， ∴当t ＝4，k ＝13时，N ＝13×(13＋1)2＋4＝95<100，不满足题意；当t ＝5，k ＝29时，N ＝29×(29＋1)2＋5＝440；当t >5时，N >440. 故所求N 的最小值为440. [答案] A[启思维] 本题在创新情境中考查了等差数列与等比数列的求和公式，是具有综合拓展性的客观题的压轴题．数列试题的创新多是材料背景创新，通常融入“和”与“通项”的关系，与生产生活、社会热点相结合，考查考生的阅读能力的同时，也考查数学素养中的逻辑推理、计算能力，培养了考生的创新意识．另外，创新迁移类型试题还有以下特点：(1)新知识“开幕”，别开生面，新的知识主要是新的符号、定义、法则、图表等，或介绍新的思维方法，着眼于应用；(2)类比、推广；(3)以高中数学内容为材料，“偷梁换柱”“移花接木”，创设新情境，演化新问题．[例2] (2013·全国卷Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( ) A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 [解析] 由b n ＋1＝a n ＋c n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，得b n ＋1＋c n ＋1＝a n ＋12(b n ＋c n )，(*)b n ＋1－c n ＋1＝－12(b n －c n )，由a n ＋1＝a n 得a n ＝a 1，代入(*)得b n ＋1＋c n ＋1＝a 1＋12(b n ＋c n )，∴b n ＋1＋c n ＋1－2a 1＝12(b n ＋c n －2a 1)，∵b 1＋c 1－2a 1＝2a 1－2a 1＝0， ∴b n ＋c n ＝2a 1>|B n C n |＝a 1，所以点A n 在以B n ，C n 为焦点且长轴长为2a 1的椭圆上(如图)．由b 1>c 1得b 1－c 1>0，所以|b n ＋1－c n ＋1|＝12(b n －c n )，即|b n －c n |＝(b 1－c 1)·⎝⎛⎭⎫12n －1，所以当n 增大时|b n －c n |变小，即点A n 向点A 处移动，即边B n C n 上的高增大，又|B n C n |＝a n ＝a 1不变，所以{S n }为递增数列．[答案] B[启思维] 交汇问题是将各主干知识“联姻”“牵手”、交叉渗透等综合考查主干知识的常见问题，覆盖面广．本题将数列与几何交汇，增大了试题难度，较好地考查了考生的数形结合思想、逻辑思维能力，其实质是考查数列的递推关系式、椭圆的定义及性质，此题对考生的数学抽象、逻辑推理、直观想象要求较高．[知能升级]1．数列与其他知识的交汇问题主要体现在以下两点：(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题往往思维难度较大，通常作为压轴题出现．2．解决此类问题的关键是理解题意，将核心问题提炼出来，运用数列、函数、解析几何的相关知识求解，主要考查了转化与化归思想的应用．[增分集训]1．斐波那契数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为S n ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c n ，则下列结论错误的是( )A ．S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1a nB ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a n ＋2－1C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝a 2n －1D ．4(c n －c n －1)＝πa n －2a n ＋1解析：选C 对于选项A ，由题图可知，S 2＝a 2a 3，S 3＝a 3a 4，S 4＝a 4a 5，…，则S n ＋1＝a n ＋1a n ＋2＝a n ＋1(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1＋a n ＋1a n ，故A 项正确；对于选项B ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a n ＋2－1＝a n ＋1＋a n －1⇔a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝a n ＋1－1⇔a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －2＝a n －1⇔a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －3＝a n －1－1⇔…⇔a 1＝a 3－1⇔1＝2－1，故B 项正确；对于选项C ，当n ＝1时，a 1≠a 2－1，故C 项错误；对于选项D,4(c n －c n －1)＝4⎝⎛⎭⎫πa 2n 4－πa 2n －14＝π(a n ＋a n －1)(a n－a n －1)＝πa n －2a n ＋1，故D 项正确．2．已知函数f (x )在R 上的图象是连续不断的一条曲线，当x >0时，f (x )<2，对任意的x ，y ∈R ，f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )＋2成立，若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫a na n ＋3，n ∈N *，则a 2 018的值为( )A ．2 B.62×32 017－1 C.22×32 017－1D.22×32 016－1解析：选C 令x ＝y ＝0得f (0)＝2，所以a 1＝2. 设x 1，x 2是R 上的任意两个数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为当x >0时，f (x )<2，所以f (x 2－x 1)<2，即f (x 2)＝f (x 2－x 1＋x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－2<2＋f (x 1)－2＝f (x 1)，所以f (x )在R 上是减函数．因为f (a n ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫a na n ＋3，所以a n ＋1＝a n a n ＋3，即1a n ＋1＝3a n ＋1，所以1a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋12，因为1a 1＋12＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋12是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1a n ＋12＝3n －1，即a n ＝22×3n －1－1. 所以a 2 018＝22×32 017－1. 3．数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝na n (n ＋1)(na n ＋1)(n ∈N *)，若不等式3n 2＋1n ＋ta n ≥0恒成立，则实数t 的取值范围是____________．解析：由a n ＋1＝na n(n ＋1)(na n ＋1)，得1(n ＋1)a n ＋1－1na n＝1，又1a 1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1na n 是首项为2，公差为1的等差数列，则1na n ＝n ＋1，即a n ＝1n (n ＋1)，从而不等式3n 2＋1n ＋ta n ≥0恒成立等价于－t ≤3n ＋n ＋4恒成立，易知当n ＝2时，3n ＋n ＋4取得最小值152，所以－t ≤152，即t ≥－152. 所以实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－152，＋∞.答案：⎣⎡⎭⎫－152，＋∞ [高考大题通法点拨]数列问题重在“归”——化归[思维流程][策略指导]利用化归思想可探索一些一般数列的简单性质．等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列．[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .[破题思路] 第(1)问[规范解答](1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式．所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 由T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.[关键点拨] 等差、等比数列基本量的计算模型 [对点训练](2018·福州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n .(1)证明：数列{b n }是等比数列；(2)设c n ＝b n(4n 2－1)2n，求数列{c n }的前n 项的和S n .解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝(3a n ＋1－2a n )－a n ＋1a n ＋1－a n ＝2(a n ＋1－a n )a n ＋1－a n ＝2，又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝1×2n －1＝2n －1，因为c n ＝b n(4n 2－1)2n，所以c n ＝12(2n ＋1)(2n －1)＝14⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝14⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 4n ＋2. [总结升华]对于数列的备考：一是准确掌握数列中a n 与S n 之间的关系，这是解决数列问题的基础；二是重视等差与等比数列的复习，熟悉其基本概念、公式和性质，这是解决数列问题的根本；三是注意数列与函数、不等式等的综合问题，掌握解决此类问题的通法；四是在知识的复习和解题过程中体会其中所蕴含的数学思想方法，如分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程思想等．[专题跟踪检测](对应配套卷P180) 一、全练保分考法——保大分1．已知等差数列的前3项依次为a ，a ＋2,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110，则k 的值为( )A ．9B ．11C ．10D ．12解析：选C 由a ，a ＋2,3a 成等差数列，得公差为2，且2(a ＋2)＝a ＋3a ，解得a ＝2，所以S k ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k ＝110，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)． 2．(2018·云南模拟)已知数列{a n }是等差数列，若a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，则q ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C 依题意，注意到2a 3＝a 1＋a 5,2a 3－6＝a 1＋a 5－6，即有2(a 3－3)＝(a 1－1)＋(a 5－5)，即a 1－1，a 3－3，a 5－5成等差数列；又a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，因此有a 1－1＝a 3－3＝a 5－5(若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列是一个非零的常数列)，q ＝a 3－3a 1－1＝1. 3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝方得至其关．要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则第三天走了( )A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里解析：选B 由题意得每天走的路程构成等比数列{a n }，其中q ＝12，S 6＝378，则S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 3＝192×14＝48.4．已知递减的等差数列{a n }中，a 3＝－1，a 1，a 4，－a 6成等比数列．若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 7的值为( )A ．－14B ．－9C ．－5D ．－1解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，由题可知d <0，因为a 1，a 4，－a 6成等比数列，所以a 24＝a 1×(－a 6)，即(a 1＋3d )2＝a 1×(－a 1－5d )．又a 3＝a 1＋2d ＝－1，联立可解得d ＝－1或d ＝25(舍去)．因为d ＝－1，所以a 1＝1，所以S 7＝－14.5．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a nn 等于( )A ．2n 2＋2nB ．n 2＋2nC ．2n 2＋nD ．2(n 2＋2n )解析：选A ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，① ∴当n ＝1时，a 1＝2，解得a 1＝4. 当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋n －1.② ①－②，得a n ＝2n ，∴a n ＝4n 2.当n＝1时上式也成立．∴a nn＝4n，则a1＋a22＋…＋a nn＝4(1＋2＋…＋n)＝4×n(1＋n)2＝2n2＋2n.6．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()A．10 B．15C．20 D．25解析：选C由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，综上可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝(S4＋5)2S4＝S4＋25S4＋10≥2S4·25S4＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立，综上可得a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.7．设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则其公比q等于________．解析：∵{a n}是由正数组成的等比数列，∴数列{a n}的公比q>0.由a2a4＝1，得a23＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝12或q＝－13(舍去)．故q＝1 2.答案：1 28．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a m－1a m＋1＝2a m(m≥2)，数列{a n}的前n项积为T n.若T2m－1＝512，则m的值为________．解析：由等比数列的性质，得a m＋1a m－1＝a2m＝2a m.又数列{a n}的各项均为正数，所以a m ＝2.又T2m－1＝(a m)2m－1＝22m－1＝512，所以2m－1＝9，所以m＝5.答案：59．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＋a n＋1＝12n(n∈N*)，则S2n－1＝________.解析：因为a1＝1，a n＋a n＋1＝12n(n∈N*)，所以S2n－1＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2n－2＋a2n－1)＝1＋122＋124＋…＋122n－2＝1－⎝⎛⎭⎫14n1－14＝43⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n.答案：43⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n10．(2018·成都模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝3，S4＝16，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＝3，S 4＝16， ∴a 1＋d ＝3,4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1. (2)由题意，b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1 ＝n2n ＋1. 11．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)已知a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2且a n ＋1－a n ＝b n .(1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：由题知，b n ＋1＋2b n ＋2＝2b n ＋2＋2b n ＋2＝2，∵b 1＝a 2－a 1＝4－2＝2，∴b 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得，b n ＋2＝4·2n －1，故b n ＝2n ＋1－2.∵a n ＋1－a n ＝b n ， ∴a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2， a 4－a 3＝b 3， …a n －a n －1＝b n －1.累加得，a n －a 1＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1(n ≥2)， a n ＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n －2) ＝2(1－2n )1－2－2(n －1)＝2n ＋1－2n ，故a n ＝2n ＋1－2n (n ≥2)．∵a 1＝2符合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1－2n (n ∈N *)．12．已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解：(1)∵数列{a n }是等差数列，a 2＝6， ∴S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，∴b 1＝1， ∵b 2＝2，数列{b n }是等比数列，∴b n ＝2n －1.∴b 3＝4，∵a 1b 3＝12，∴a 1＝3， ∵a 2＝6，数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝3n .(2)由(1)得，令C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，∴C n ＋1＝(－1)n ＋12n ，∴C n ＋1C n＝－2，又C 1＝－1， ∴数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列， ∴T n ＝－1×[1－(－2)n ]1＋2＝－13[1－(－2)n ]．二、强化压轴考法——拉开分1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1＝4a n ＋2，则a 12＝( ) A ．20 480 B ．49 152 C ．60 152D ．89 150解析：选B 由S 2＝4a 1＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2，联立a 1＝2，解得a 2＝8.又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n ，∴a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，∴数列{a n ＋1－2a n }是以a 2－2a 1＝4为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，∴a n ＋1－2a n 2n ＋1＝1，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以a 12＝1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n ，∴a 12＝12×212＝49 152.2．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析：选D 因为a n ＝n (a n ＋1－a n )＝na n ＋1－na n ，所以na n ＋1＝(n ＋1)a n ，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n ，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n n －1·n －1n －2 (2)1·1＝n .3．(2018·郑州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝1n (n ＋2).若a 2n ＋1>a 2n －1，a 2n ＋2<a 2n (n ∈N*)，则数列{(－1)n a n }的前40项的和为( )A.1920B.325462C.4184D.2041解析：选D 由题意可得a 2n ＋1－a 2n －1>0，a 2n ＋2－a 2n <0，则a 2n ＋1－a 2n －1>a 2n ＋2－a 2n ，所以a 2n ＋1－a 2n ＋2>a 2n －1－a 2n .① 而|a 2n ＋1－a 2n ＋2|＝1(2n ＋1)(2n ＋3)，|a 2n －1－a 2n |＝1(2n －1)(2n ＋1)，即|a 2n ＋1－a 2n ＋2|<|a 2n －1－a 2n |.② 综合①②，得a 2n －1－a 2n <0，即a 2n －1－a 2n ＝－1(2n －1)(2n ＋1).裂项，得a 2n －a 2n －1＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.综上可得，数列{(－1)n a n }的前40项的和为(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 40－a 39)＝12×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫139－141＝2041. 4．(2019届高三·河北“五个一名校联盟”联考)在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选B 由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，…，根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63×(63＋1)2<2 018<64×(64＋1)2＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，第n 组最后一个数是n 2，因此，第63组最后一个数为632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，故选B.5．(2019届高三·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3且当n ≥2时，2a n ＝S n ·S n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：当n ≥2时，由2a n ＝S n ·S n －1可得2(S n －S n －1)＝S n ·S n －1，∴1S n －1－1S n ＝12，即1S n －1S n －1＝－12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为13，公差为－12的等差数列，∴1S n ＝13＋⎝⎛⎭⎫－12·(n －1)＝5－3n 6，∴S n ＝65－3n.当n ≥2时，a n ＝12S n S n －1＝12×65－3n ×65－3(n －1)＝18(5－3n )(8－3n )，又a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，18(5－3n )(8－3n )，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，18(5－3n )(8－3n )，n ≥2 6．(2018·开封模拟)已知数列{a n }满足[2－(－1)n ]a n ＋[2＋(－1)n ]a n ＋1＝1＋(－1)n ×3n (n ∈N *)，则a 25－a 1＝________.解析：∵[2－(－1)n ]a n ＋[2＋(－1)n ]a n ＋1＝1＋(－1)n ×3n ，∴当n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＋3a 2k ＋1＝1＋6k ，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，3a 2k －1＋a 2k ＝1－6k ＋3，∴a 2k ＋1－a 2k －1＝4k －1，∴a 25＝(a 25－a 23)＋(a 23－a 21)＋…＋(a 3－a 1)＋a 1＝(4×12－1)＋(4×11－1)＋…＋(4×1－1)＋a 1＝4×12×(12＋1)2－12＋a 1＝300＋a 1，∴a 25－a 1＝300.答案：300三、加练大题考法——少失分1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝0，a 3－2a 2＝12(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋162n ＋2的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋7×62d ＝0，a 1＋2d －2(a 1＋d )＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12，d ＝4，所以a n ＝4n －16.(2)由(1)知a n ＝4n －16，所以a n ＋162n ＋2＝4n －16＋162n ＋2＝n2n ，所以S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，两边同乘以12，得12S n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，两式相减，得12S n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以S n ＝2－n ＋22n . 2．设数列{a n }的前n 项和为T n ＝2n －14(n ∈N *)．(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，定义[x ]为不小于x 的最小整数，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎡⎦⎤S n n 2的前n 项和R n .解：(1)因为数列{a n }的前n 项和为T n ＝2n －14，所以a 1＝T 1＝21－14＝14.当n ≥2时，a n ＝T n －T n －1＝2n －14－2n －1－14＝2n －3，当n ＝1时，a 1＝14符合上式．故a n ＝2n －3.(2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n －3，则数列{b n }是首项为－2，公差为1的等差数列，其前n 项和S n ＝n 22－52n ，则S n n 2＝12－52n .因为当n ≥1时，S n n 2＝12－52n 单调递增，所以S 112＝－2，当2≤n ≤5时，－34≤S nn 2≤0，当n ≥6时，112≤S n n 2<12，所以R 1＝－2，当2≤n ≤5时，R n ＝－2＋0＋0＋…＋0＝－2，当n ≥6时，R n ＝－2＋(n －5)·1＝n －7，所以R n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，1≤n ≤5，n －7，n ≥6.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且a 2＝3，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1S n ·S n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <1.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 2＝3，S 5＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，5(2a 1＋4d )2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)证明：由(1)知，a n ＝2n －1，所以S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2. 所以b n ＝1n 2·(n ＋1)2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.4．(2017·山东高考)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1(x 1，1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知得q >0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0.因为q >0，所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n＝(n＋n＋1)2×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，所以T n＝b1＋b2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.①又2T n＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②①－②得－T n＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1＝32＋2(1－2n－1)1－2－(2n＋1)×2n－1.所以T n＝(2n－1)×2n＋12.。

2018版高考一轮总复习语文习题专题七文言文阅读专题检测7有答案

专题检测(七)传记类文章阅读一、阅读下面的文言文，完成1～4题。

王邦瑞，字惟贤，宜阳人。

早有器识。

为诸生．．，山东盗起，上剿寇十四策于知府。

正德十二年成进士。

改庶吉士。

与王府有连，出为广德知州。

嘉靖初，祖忧去。

补滁州。

屡迁南京吏部郎中，出为陕西提学佥事。

坐岁贡不中式五名以上，贬滨州知州。

再迁固原兵备副使。

泾、邠巨盗李孟春，流劫河东、西，剿平之。

以祖母忧去。

服除，复提学陕西，转参政。

母忧解职。

起擢右佥都御史．．，巡抚宁夏。

寇乘冰入犯，设败之。

改南京大理卿。

未上，召为兵部右侍郎。

改吏部，进左。

俺答犯都城，命邦瑞总督九门。

邦瑞屯禁军郭外，以巡捕军营东、西长安街，大启郭门，纳四郊避寇者。

兵部尚书丁汝夔下狱，命邦瑞撮其事，兼督团营。

寇退，请治诸将功罪，且浚九门濠堑，皆报可。

邦瑞见营制久弛，极陈其弊。

遂罢十二团营，悉归三大营，以咸宁侯仇鸾统之。

邦瑞亦改兵部左侍郎，专督营务。

复条上兴革六事。

中言宦官．．典兵，古今大患，请尽撤提督监枪者。

帝报从之。

仇鸾构邦瑞于帝，帝眷渐移。

会鸾奏革蓟州总兵官李凤鸣、大同总兵官徐珏任，而荐京营副将成勋代凤鸣，密云副将徐仁代珏。

旨从中下。

邦瑞言：“朝廷易置将帅，必采之公卿，断自宸衷，所以慎防杜渐，示臣下不敢专也。

且京营大将与列镇将不相统摄，何缘京营，乃黜陟各镇。

今曲徇鸾请，臣恐九边将帅悉奔走托附，非国之福也。

”帝不悦，下旨谯让。

鸾又欲节制边将，罢筑蓟镇边垣。

邦瑞皆烈为不可。

鸾大憾，益肆谗构。

会邦瑞复陈安攘大计，递严旨落职，以冠带办事。

居数日，大计自陈。

竟除名，以赵锦代。

邦瑞去鸾益横明年诛死锦亦坐党比遣戍于是帝渐思之逾十年京营缺人帝曰非邦瑞不可乃起故官既至，疏便宜数事，悉允行。

逾年卒。

赠太子少保，谥．襄毅，遣行人护丧归葬。

邦瑞严毅有识量。

历官四十年，以廉节著。

子正国，南京刑部侍郎。

(《明史》卷一百九十九·列传第八十七) 1．对下列句子中加点词的解释，不正确的一项是 ( )A．命邦瑞摄．其事摄：代理B．邦瑞见营制久弛．弛：废弃C．今曲徇．鸾请徇：示众D．鸾人憾，益肆谗构．构：诬陷、陷害答案 C解析徇：顺从、听从。

2018年高考试题分类汇编(统计与概率)

2018年高考试题分类汇编（统计与概率）考点1 简单计数1．（2018·浙江卷）从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成____个没有重复数字的四位数.(用数字作答)2.（2018·全国卷Ⅰ理科）从2位女生，4位男生中选3位参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）考点2 随机事件的概率考法1古典概型1. （2018·全国卷Ⅱ文科）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的两人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.32.（2018·全国卷Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示成两个素数的和”.例如30723=+.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1183．（2018·江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．4.（2018·上海卷）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_ __.（结果用最简分数表示）5.（2018·天津卷文科）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用,,,,,,A B C D E F G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（1）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（2）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．考法2 几何概型1.（2018·全国卷Ⅰ文理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB ,AC .ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色区域记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A.12p p =B. 13p p =C. 23p p =D. 123p p p =+考法3 互斥事件与相互独立事件 1.（2018·全国卷Ⅲ文科）某群中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A ．0.3B ．0.4C ． 0.6D ．0.72.（2018·全国卷Ⅲ理科）某群中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式互相独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)p X =<(6)p X =，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3考点3 统计初步考法1 抽样方法1.（2018·全国卷Ⅲ文科）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的平价有较大的差异.为了解客户的平价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最适合的抽样方法为 . 考法2 统计图表1．（2018·江苏卷）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．2.（2018·全国卷Ⅰ文理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解高该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：4% 6% 30% 60% 养殖收入其他收入第三产业收入种植收入建设前经济收入构成比例5% 28% 30% 37% 养殖收入其他收入第三产业收入种植收入建设后经济收入构成比例 8 9 9 9 0 1 1则下面结论中不正确的是A.新农村建成后，种植收入减少B.新农村建成后，其他收入增加一倍以上C.新农村建成后，养植收入增加一倍D.新农村建成后，养植收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半考点4 统计与概率考法1 分布列、期望、方差1.（2018·天津卷理科）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（1）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（2）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.2.（2018·全国卷Ⅰ理科）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格产品，则更换为合格产品.检验时，先从这箱产品种任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为(01)<<，且各件产品是否为不合格产品互相独立.p p（Ⅰ）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()p.f p的最大值f p,求()0（Ⅱ）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（Ⅰ）中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格产品支付25元的赔偿费用.（1）若不对该产箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（2）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？3.（2018·北京卷文科）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）4.（2018·北京卷理科）好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（1,2,3,4,5,6k =）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．考法2 线性回归分析1.（2018·全国卷Ⅱ文理）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图，为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17 ）建立模型① 30.413.5y t =-+；根据2010年至2016的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7 ）建立模型② 9917.5y t =+.（Ⅰ）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（Ⅱ）你认为哪个模型的预测值更可靠？并说明理由.考法3 用样本估计总体1.（2018·全国卷Ⅰ文科）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用节水龙头50天的日用水量数据，得到频率分布表如下：（Ⅰ）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量频率分布直方图：（Ⅱ）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于3（Ⅲ）估计该家庭使用了节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点的值作代表.） 2000 2001 2002 20032004 2005 2006 2008 2007 2009 2010 2012 2014 2013 2015考法4 独立性检验1.（2018·全国卷Ⅲ文理）某工厂为了提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20名工人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.（Ⅱ）求40名工人完成生产任务所需的时间的中位数m ，并将完成生产任务所（Ⅲ）根据（Ⅱ）中列联表，能否有99％把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++第一种生产方式第二种生产方式 8 8 7 6 5 5 6 8 9 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 1 4 4 5 09 9 7 6 2 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 0 0。

2018高考数学(文)热点题型概率与统计全国通用含解析

概率与统计热点一统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出估计,判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生数据处理能力.【例1】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元。

在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。

现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数。

（1）若n＝19，求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n 的最小值;（3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解(1）当x≤19时，y＝3 800；当x〉19时，y＝3 800＋500（x－19)＝500x－5 700。

所以y与x的函数解析式为y＝错误!（x∈N).(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0。

46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19。

（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10）＝4 000，100若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.100比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件。

2018高考文科数学分类汇编概率与统计

概率与统计1.（2018全国卷1文）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半2.（2018全国卷1文）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)00.1， [)0.10.2， [)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， [)0.60.7，频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）3.（2018全国卷2文）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.34．（2018全国卷2文）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5=-+；根据2010y t 年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．5．（2018全国卷3文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.76．（2018全国卷3文）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．7．（2018全国卷3文）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K kk≥．10．（2018北京卷文）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数140 50 300 200 800 510好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；学科%网（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）11．（2018天津卷文）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．12．（2018江苏卷）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．13.（2018江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．14．（2018浙江卷）设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2P 12p122p则当p在（0，1）内增大时，A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小15．（2018上海卷）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）。

专题07概率与统计-2018年高考数学(文)试题分项版解析(原卷版)

（ 1）求 (xi, )i (i 1,2, ,16) 的相关系数 r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程
的进行而系统地变大或变小（若 | r | 0.25 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变
小）．（ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
( x 3s, x 3s) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天
1.【 2017 课标 1，文 2】为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田．这 n 块地的亩产量（单位：
kg）分别为 x1，x2 ， …， xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A．x1，x2 ，… ， xn 的平均数 C．x1， x2，… ， xn 的最大值
B． x1， x2， … ，xn 的标准差 D ． x1， x2， …， xn 的中位数
5 名工人某日的产量数据（单位：件）
两组数据的中位数相等 ,且平均值也相等 ,则 x 和 y 的值分别为
A. 3， 5
B. 5， 5
C. 3， 7
D.
5， 7 [来源学。科。网 Z。X 。X。 K]
.若这
4. 【 2017 天津，文 3】有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 .从这 5 支彩笔中任
的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，学．科网是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在 ( x 3s, x 3s) 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸
的均值与标准差．（精确到 0． 01）
附：样本 ( xi , yi ) (i 1,2, , n) 的相关系数 r

高三数学-2018年高考数学试题知识分类汇编概率与统计精品

2018年高考数学试题汇编概率与统计重庆理（7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（A ）41 （B ）12079 （C ）43 （D ）242318．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额ξ的分布列与期望．（18）（本小题13分）解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，123k =，，．由题意知1A ，2A ，3A 独立，且11()9P A =，21()10P A =，31()11P A =．（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．12312389108(0)()()()()9101111P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=，123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++19108110891910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2421199045==， 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++1110191811910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 273990110==， 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ===111191011990=⨯⨯=．综上知，ξ的分布列为ξ0 9000 18000 27000P811 1145 3110 1990求ξ的期望有两种解法：解法一：由ξ的分布列得811310900018000270001145110990E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 299002718.1811=≈（元）．解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，123k =，，，则1ξ有分布列1ξ0 9000P89 19故11900010009E ξ=⨯=．同理得21900090010E ξ=⨯=，319000818.1811E ξ=⨯≈．综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=（元）．四川理（12）已知一组抛物线1212++=bx ax y ，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x =1交点处的切线相互平行的概率是（A ）121 （B ）607 （C ）256 （D ）255（18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ，并求该商家拒收这批产品的概率.（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。

2018全国高考数学统计与概率专题(附答案解析)

2018全国高考真题数学统计与概率专题（附答案解析）1.（全国卷I，文数、理数第3题．5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案：A2.（全国卷I，文数19题．12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，[)0.60.7，频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案解析】解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=． 3.（全国卷I ，理数20题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-．因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--．令()0f p '=，得0.1p =．当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<．所以()f p 的最大值点为00.1p =．（2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB ，=+．X Y=⨯+，即402520225X Y所以(4025)4025490=+=+=．EX E Y EY（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于400EX>，故应该对余下的产品作检验．4.（全国卷Ⅱ，文数5题．5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5C．0.4D．0.3【答案】D5.（全国卷Ⅱ，文数、理数18题．12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y t=-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案解析】解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为。

2018年高考真题文科数学分类汇编专题7概率与统计

专题7排列组合二项式定理概率统计与分布列（2018全国1卷）3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.（2018全国2卷）5. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率. 详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.（2018全国3卷）5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.75．答案：B解答：由题意.故选B. （2018浙江卷）7.设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0，1)内增大时( ) A . D (ξ)减小B . D (ξ)增大C .D (ξ)先减小后增大D . D (ξ)先增大后减小7.答案：D 解答：111()0122222p p E p x -=???+， 22211113()()()()222222p p D p p p x -=?+?+?22111()422p p p =-++=--+，10.450.150.4P =--=D x先增大后减小，故选D.所以当p在(0,1)内增大时，()（2018全国3卷）14．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．14．答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.（2018江苏卷）3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.（2018江苏卷）6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. （2018浙江卷）14.二项式(+)8的展开式的常数项是_________________________14.答案：7解答：通项1813181()()2rrr r T C x x --+=843381()2r r r C x -=. 84033r -=，∴2r =.∴常数项为2281187()7242C ⨯⋅=⨯=. （2018浙江卷）16从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________________个没有重复数字的四位数(用数字作答) 16.答案：1260解答：224121353435337205401260C C A C C C A +=+=（2018全国1卷）19. 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案】(1)直方图见解析.(2) 0.48．(3).【解析】分析：(1)根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；(2)结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；(3)根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水多少，从而求得结果.详解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．估计使用节水龙头后，一年可节省水．点睛：该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.（2018全国2卷）18. 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．【解析】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测.详解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点求参数.（2018全国3卷）18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，．18．解答：（1）第一种生产方式的平均数为，第二种生产方式平均数为，∴，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.（2）由茎叶图数据得到，∴列联表为m m m ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥184x =274.7x =12x x >80m =（3），∴有的把握认为两种生产方式的效率有差异.（2018北京卷）17. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.【解析】分析：（1）分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（2）利用古典概型公式，计算没有获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（3）根据每部电影获得好评的部数做出合理建议..详解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，故所求概率为.（Ⅱ）设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B .没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部. 由古典概型概率公式得.（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯99%点睛：本题主要考查概率与统计知识，属于易得分题，应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.（2018天津卷）15. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；(Ⅱ)（i）答案见解析；（ii）．【解析】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．。

高三数学-2018年高考题分章节汇编-概率与统计精品

2018年高考题分章节汇编选修Ⅱ第一章概率与统计一、选择题1．(2018年高考.湖北卷.理11文12)某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，...，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2， (270)并将整个编号依次分为10段。

如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（D ）A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样2．(2018年高考·江西卷·文12)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为（ A ）A．0,27,78 B．0,27,83C．2.7,78 D．2.7,833．(2018年高考·江苏卷7)在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（D）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.18 D．9.5，0.0164．(2018年高考·浙江卷·文6)从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( A ) A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37二、填空题1．(2018年高考·湖南卷·理11文12)一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品. 56002．(2018年高考·山东卷·文13)某学校共有教师490人，其中不到40岁的有140人，岁即以上的有人。

(新课标)高考数学大一轮复习-第七章不等式及推理与证明 7 一元二次方程根的分布专题研究课件文

答案 0<m<1 解析令 2x＝t 转化为关于 t 的一元二次方程有两个不同的正实根．
5．求实数 m 的范围，使关于 x 的方程 x2＋2(m－1)x＋2m＋ 6＝0.
(1)有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小； (2)有两个实根 α，β ，且满足 0<α<1<β<4； (3)至少有一个正根．
解得－75<m<－54.
(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：
Δ≥0， ①有两个正根，此时可得2f（（0m－）－2>10），>0，
m≤－1或m≥5，
即m>－3，
∴－3<m≤－1.
m<1，
②有一个正根，一个负根，此时可得 f(0)<0，得 m<－3. ③有一个正根，另一根为 0，此时可得62＋（2mm－＝10），<0， ∴m＝－3. 综上所述，得 m≤－1.
3．已知方程 4x2＋2(m－1)x＋(2m＋3)＝0(m∈R)有两个负根，求 m 的取值范围．
答案 [11，＋∞)
解析
Δ＝4（m－1）2－4×4（2m＋3）≥0，依题意有－（m－1）<0，
2m＋3>0，
∴m≥11.
4．若方程 4x＋(m－3)·2x＋m＝0 有两个不相同的实根，求 m 的取值范围．
【定理 5】 k1<x1<k2≤p1<x2<p2
a>0，
a<0，
ff（（kk12））><00，，或ff（（kk12））<>00，， f（p1）<0， f（p1）>0，
f（p2）>0 f（p2）<0.
此定理可直接由定理 4 推出，请读者自证．

【高三数学试题精选】2018届高考数学第一轮概率与统计单元练习题(有答案)

2018届高考数学第一轮概率与统计单元练习题（有答案）
5 高三数学单元练习题概率与统计
第Ⅰ卷
一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．（理）设，则的展开式中的系数不可能是（）
A．10 B．40 c．50 D．80
（）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为175岁－１８岁的男生体重(g) ,得到频率分布直方图如下
根据上图可得这100名学生中体重在〔565,645〕的学生人数是（）
A．20 B．30 c．40 D．50
2．（理）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）
A．96 B．48 c．24 D．0
（）从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A． B． c． D．
3．甲A1、A2是互斥事；乙A1、A2是对立事，那么（）
A．甲是乙的充分但不必要条 B．甲是乙的必要但不充分条
c．甲是乙的充要条 D．甲既不是乙的充分条，也不是乙的必要条。

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限时规范训练(十七) 概率及其应用限时50分钟，实际用时________ 分值81分，实际得分________
一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2016·高考天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1
2，甲获胜的概
率是1
3
，则甲不输的概率为( )
A.5
6 B.25 C.16
D.13
解析：选A.事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝5
6
.
2．(2017·山东潍坊模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A.110
B.310
C.35
D.910
解析：选D.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－
110＝910
. 3．(2016·高考全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A.4n
m B.2n m C.4m n
D.2m n
解析：选C.如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几
何概型的概率公式可得m n ＝1
4π12⇒π＝4m
n
.故选C.
4．(2017·山东威海二模)从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b)与向量n ＝(2,1)共线的概率为( )
A.1
6 B.13 C.14
D.12
解析：选A.由题意可知m ＝(a ，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，∵m ＝(a ，b)与向量n ＝(2,1)共线，∴a －2b ＝0，即a ＝2b ，有(2,1)，(4,2)，共2个，故所求概率为16
.
5．圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯(Reuleaux)命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线．它的画法(如图1)：画一个等边三角形ABC ，分别以A ，B ，C 为圆心，边长为半径，作圆弧︵BC ，︵CA ，︵
AB ，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形．它的宽度等于原来等边三角形的边长．等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内(如图2)．在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为(
)
A.π8
B.
2π－33
4
C.
π－2
2
D.
π－3
2
解析：选D.设鲁列斯曲边三角形的宽度为a ，则该鲁列斯曲边三角形的面积为3×16πa 2
－2×34a 2＝ π－3 a 22，所以所求概率P ＝ π－3 a 2
2a 2＝π－32，故选D.
6．(2017·湖南六校联考)从x 2m －y 2
n ＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲
线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )
A.12
B.47
C.23
D.34
解析：选B.当方程x 2m －y 2
n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有
m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2
n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n)有
(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，则m ＞0，n ＞0，有(2,3)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，共4种，所以所求概率P ＝4
7
.
二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2017·山东泰安三模)在区间[－2,3]上任取一个数a ，则函数f(x)＝1
3x 3－
ax 2
＋(a ＋2)x 有极值的概率为________．
解析：区间[－2,3]的长度为5，f ′(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2.
函数f(x)＝1
3x 3－ax 2＋(a ＋2)x 有极值等价于f ′(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2＝0有两个
不等实根，即Δ＝4a 2－4(a ＋2)＞0，解得a ＜－1或a ＞2，又∵a ∈[－2,3]，∴－2≤a ＜－1或2＜a ≤3，区间范围的长度为2，∴所求概率P ＝25
.。

2018届高考数学(文)专题复习习题：第1部分 专题七 概率与统计 1-7-1含答案