二次函数图像与abc符 关系

所以该抛物线的顶点坐标为（-1/2，-9/2）
例：如图，已知二次函数 yax24xc的图像经过点
A和点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其 中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称， 求m的值及点Q 到x轴的距离． y
(D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
a <0,b >0,c >0
3.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( B )
4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值 y＜0时，对应的x取值范围 是 -3＜x＜1 .
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧
a、b异号
对称轴是y轴
b=0
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点
为A(x1,0),B(x2,0);
－1 O
3
A －1
x
－9
B
图13
解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 yax24xc
得 1a(1)24(1)c, 解得 9a3243c.
a c
1, 6.
∴二次函数的表达式为． yx2 4x6
x 2 （2）对称轴为
；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m，m）代入 yx2 4x6，得 mm24m6，
a>0,b2-4ac≤0
知识点二：
2、抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条
件是什么？
a ＜ 0
x
b 2 4 ac ＜ 0
变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）
的值永远是负值的条件是什么？
你知道吗？不论x取何值时，函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是 非正数的条件是什么？
6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 (C ) A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)
7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c
的图像如图，则下列a、b、
c间的关系判断正确的是D( )
A.ab < 0
B.bc < 0
C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0 a <0,b <0,c <0
知识点三：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号：
由x=1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方
a+b+c>0
点在x轴下方
a+b+c<0
点在x轴上
a+b+c=0
（6）a-b+c的符号：
由x=-1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上
a-b+c>0 a-b+c<0 a-b+c=0
练习
1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
a>0,
b<0,
c>0,
o
x
△>0.
练习
2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
a>0,
b>0,
c=0,
o
x
△>0.
练习
3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
那么AB=|x1-x2|=
Cy
|a |
x1
x2
oLeabharlann x知识点二：1.抛物线y=ax2+bx+c在x轴
上方的条件是什么？
a＞0
b2-4ac＜0
x
变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）
的值永远是正值的条件是什么？
你知道吗？不论x取何值时，函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非
负数的条件是什么？
A、abc＞0
B、b2-4ac＞0
y
C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0
-1 o 1 x
二、典型例题分析
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A )
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac=0
-1
C.b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图 像如图所示，则点M（b,c/a)在
1、(青海省)如图所示，已知抛物线 y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0)，
B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3， (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作 直线，求此直线的解析式； (3)求△ABC的面积.
(1)y= -x2+4x-3
(2) y= x-3
(3) 3
2、已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总 有交点,并指出m为何值时,只有一个交点； (2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时 函数图像与x轴的另一个交点；
(1)( 3)若函数(m图像1)的2顶4点2在(m第四1)象(限m,求3)m2,的取值
y
a<0,
b>0,
c<0,
o
x
△<0.
练习
7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所
示，则点M（ b ，a）在
c
（D ）
A、第一象限 B、第二象限 y
C、第三象限 D、第四象限
a<0,
b>0,
o
x
c>0,
练习
8、已知：一次函数y=ax+c与二次函数
y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图
范无 围.论 m为何值时 0， .
抛物线 x轴与总有交点， ＝0时 且， 当m即 ＝3时
抛物线 x轴与只有一个 . 交点 (2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限
用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件 的特点选择合适的方法来求解
一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点 式y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知抛物线与x轴 两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称 轴，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条 件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c;然后 组成三元一次方程组来求解。
例:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这
个二次函数的解析试.
解：设所求的为 二 y次 ax2函 bx数 c,由题意得：
｛a b c 10 abc 4 4a 2b c 7
待定系数法
解得 a2 ,b ， 3 ,c5
所求的二次函 y数 2x2是 3x5
练习
10、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③ 4a+2b+c ＞ 0；④（a+c）2＜b2，其中正确的个 数是 （ B ）
y
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
o
x
x=1 因为a+b+c>0所以b>-a-c两边同时平方
练习
11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中下不正确的是 （ D ）
8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图，则不等式bx+a>0的
解为
(D )
A.x > a/b B.x > -a/b
C.x < a/b D.x < -a/b
a <0,b <0
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，
那么下列判断不正确的有( D )
A.abc＞0
B. b2-4ac＞0
A、abc＞0
y
B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0
-1 o 1 x
-b\2a<1,b>-2a,2a+b>0
1、抛物线y=x2-8x+m的顶点在 x轴上则 m= 16 .
2、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在 y轴上 则b= __0______
3、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线 x=2则b= __-_4_____
y
a<0,
b<0,
c>0,
o
x
△>0.
练习
4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
a>0,