第一章数学建模综述

数学建模基础讲义第一章数学建模综述近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。

不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。

数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。

数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，进入20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在即将进入21世纪的知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国或经济和科技的后备走到了前沿。

经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。

培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。

§1.1数学技术的作用举例1. 运筹学的产生及二战中的作用1940年，英国和美国海军为了对付德国潜艇的威胁，大批被德国迫害的数学家，聚集在美国创建了运筹学，其具体应用在不增加设备的情况下，提高设备的能力和使用效率。

六十年代，我国数学家华罗庚创建了“优选法”和“统筹法”，并运用到国家重点建设项目的研究，在节约能源，增加产量，降低消耗，缩短工期等方面取得了显著的经济效益。

2. 冯·诺依曼型计算机目前世界上运行的计算机，尽管种类繁多，但按其加工方式可以分为两大类：串行计算机与并行计算机。

其中串行计算机的整机原现和设计思想，由美国数学家冯·诺依曼于1944年创建的数学模型，提出其原理设计并制造出来的。

1950年，冯·诺依曼等使用电子计算机进行“数值”天气预报。

他们使用计算机求解大气环流方程，迅速得出数学解和经验预报相印证，获得成功。

3. 王选与北大方正集团公司王选，北大数学力学系，计算数学专业毕业（1954~1958）并任教，曾担任北京大学计算机研究所所长（1978~1995），1992年，他领导的科研集体研制出汉字激光照排系统，这是数学应用的典型例子，王选教授应用压缩技术这一数学方法，解决了计算机实现汉字的存储量这一难题。

方正集团公司总裁办公室主任张炳贤先生曾说：“培养跨世纪的人才，数学要起大作用。

”4. 柯马克与CT层析仪随着计算机技术的迅猛发展，数学技术在诸多领域发挥巨大作用。

1979年美国的柯马克和英国的洪斯费尔德运用数学上的拉东变换原理，设计了CT层析仪，这一人体层析摄影技术造福千千万万人群，由此获得诺贝尔医学奖。

5. 电视数字化1990年以前，日本是电视大国。

为研制高清晰度电视的制式，日本和西欧国家在模拟制上投入了数十亿美元。

1993美国的数字化电视方案出世后，立即“横扫千军”，使模拟方案变成了一张废纸。

支持电视数字化的是一种数学技术——小波技术，它能将能将庞大的数据压缩到最低限度，使得图象传输成为可能，这样，21世纪世界电视业的领导权也就落入美国人手中。

上述例子使我们看到以数学建模为中心的数学技术在各个领域中所起的重要作用。

§1.2数学模型及分类1. 数学模型模型——是指一种模仿物，如汽车模型、建筑模型等。

如果按照给定问题的真实程度，模型可划分为比例模型、模拟模型和符号模型三种。

（1）． 比例模型 这是现象小规模的重现，也叫图象模型，如为获得大型工业装置的设计数据而制作的试验装置；为使研究对象变化速度变慢从而便于观察的用的高速影片等。

（2）． 模拟模型 如：可以将流体的流动及热的流动代之以金属薄膜中的电流等。

（3）．符号模型 这是将现象的特性用数学等专门的符号语言表示的一种模型，其表示不一定是公式的形式表现，它可以用符号、逻辑图形（图形、表格），以及计算机程序来表现。

如文学、艺术、音乐等属于符号模型。

数学模型属于符号模型，它是客观实际在某些方面定量模拟的“模仿物”。

数学模型——人们在社会实践或科学实验等活动中，对于的研究的实际问题需要作定量分析，在深入调查研究，了解对象信息，抓住问题的主要因素，建立必要的简化假设，根据其特有的内在规律，用数学的语言和符号，把它表示为数学式子或图表，程序等，就是数学模型，换句话说，数学模型是用数学符号对一类实际问题或实际系统发生现象的（近似的）描述。

例1．工厂A 到铁路的垂直距离为3km ，垂足B 到火车站C 的直线距离为5km ，汽车运费20g元/t km ，铁路运费g 15元/t km ，为使运费最省，在M 点建一转运站，且M 点在铁路BC 之间，试问转动站M 应建在何处？分析： 该问题是一个求极小值的问题，求解该模型的目的就是要在铁路线BC 之间找到一个中转站，使得货物从工厂运到火车站时所花费的路费最少。

假设： 设转动站M 距B 点的距离为()x km ，则M 离火车站的距离是 5x -（km ），根据所给的条件知道，此时所需的总路费为()15(5)P x x =-，0≥x这就是符合题设条件的一数学模型，只要求出()P x 的极小值点，相应的实际问题得以解决。

2. 数学模型的分类数学模型针对研究对象所处的学科领域和解决问题的方法，人们带着自己不同的意愿进行了不同的分类，常用的分类有：（1）按研究对象的实际领域分。

有人口模型、交通模型、生态模型、经济模型、社会模型、生理模型等（2）按研究所采用的数学方法分有初等数学模型、几何模型、规划模型、微分方程模型、图论模型、概率模型、统计模型。

本书的篇章结构主要按这种方法分类。

（3）按照变量的性质分有确定性模型与随机性模型、连续型和离散型。

（4）按时间关系分。

有静态模型和动态模型（5）按模型的基本关系分。

有线性模型和非线性模型（6）按照建模的目的分，有描述模型、分析模型、优化模型、决策模型、控制模型和预报模型等。

（7）按照研究对象的内部结构分。

有白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。

白箱模型是指可以用力学、热学、电磁学等一些机理比较清楚的学科来研究的现象。

黑箱模型是指内部结构了解甚少的机理很不清楚的现象的建模，如生命科学、社会学等领域。

灰箱模型介于白箱模型与黑箱模型之间，如生态、气象、交通和经济等机理尚不完全清楚的现象。

上述分类在一些数学建模书中有详细的阐述。

§1.3数学建模的方法及过程数学建模——是一种数学的思考方法，是对实际现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的数学表示的过程。

这里的实际现象既包涵具体的自然现象（如自由落体现象），也包涵抽象的现象（如顾客对某种商品所取的价值倾向）。

这里的数学表示不但描述了客观实际的外在形态和内在机制，而且包含了对实际现象的预测，试验和解释。

从科学、工程、经济、管理等角度看数学建模技术，即用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的工具。

一般，建立数学模型的方法有机理分析法和系统辩识法。

1. 机理分析法（理论分析法）是概括对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，建立模型常有明显的物理意义或现实意义。

（如万有引力的发现）2. 系统辨识法（测试分析法）将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输入输出数据，运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据按拟合最好的模型。

它通常分为数据分析法和计算机仿真。

上述方法归纳如下：上述理论分析、科学实验法和科学计算法是近代科学方法论中的三种科学研究方法。

例如：实验法—— 阿基米德的浮力定律科学计算——开普勒(采用第谷的观测数据)计算行星的椭圆轨道及开普勒第三定律。

理论分析——牛顿的万有引力，勒维烈的海王星推算定理。

其中：数据分析法——利用统计学和数学方法，对各种数据集合进行科学分析的理论和方法，测重于静态数据，又分为一元和多元统计数据分析、时序分析、灰色分析等。

如国家经济运行的景气指数。

计算机仿真法——在计算机上模仿各种实际系统的运行过程，在整个进行时间内，对系统状态的变化进行观察和统计，从而得到对系统基本性能的估计或认识。

侧重于动态数据。

理论分析 人工假设法 数学建模法 物理定律 其它专业理论 建模方法机理分析法 （理论分析法） 系统辨识法 （测试分析法） 实验法 数据分析 观察法 模拟仿真类比计算机仿真 模拟法 类比分析法数学建模法——可归纳如下图在数学建模过程中，机理分析法和系统辩识法可能结合使用，应该说建模是一种极为复杂且应变能力很强的心智过程，没有固定的方法，其中即有逻辑思维，又有非逻辑思维。

这个过程中分析与综合是基础，抽象与概括是关键。

逻辑思维方法大量地被采用。

数学模型通常要经过多次反复才能完成，在对实际研究问题进行仔细探求，经简化、抽象后，初步建立数学模型，加强检验和评价，进一步发现模型的不足之处，继而进行改进，得到新的模型。

这样的过程通常要重复多次才能得到理想的模型。

用框图表示这一多次重复的过程如下：数学建模法基本方法 特殊方法：灰色方法、模糊数学、神经网络、 层次分析、物元分析、其它初等建模方法：代数法、 图解法、量纲分析法 和初等数学法 高等建模方法 连续类建模方法：微积分法、微分方程、 概率统计法、运筹（优化）法、稳定性 方法、变分法 离散类建模方法：连续化法 差分法、 逻辑法 风险决策、图论、层次分析法。

从框图中看到，数学建模可分七个步骤：（1）模型准备抓住研究对象的主要方面，观察、分析其实际问题，了解相关背景明确建模目的，收集必要信息，初步确定用哪一类模型采用哪些数学知识或计算软件。

（2）模型假设对实际问题进行必要的抽象、简化，作出合理的假设，这是数学建模中关键的一个步骤，也是一难点。

（3）确定变量和参数要根据研究问题，确定模型中的变量和参数。

（4）建立数学模型运用相关学科的定律及经验规律，建立变量和参数间确定的数学关系，即数学模型，值得注意的是同一个实际问题可以构造出不同的数学模，这与选取的数学方法密切相关，一方面尽量采用简单的数学工具，使更多的人使用和了解，另一方面不能因简单而失去实际问题中某些重要因素。

（5）求解或近似求解模型根据模型建立时所涉及的数学理论和方法，充分利用电子计算机技术进行数值求解是行之有效的求解方法。

（6）模型的解释和验证一个模型是否反映客观实际，可用已有的数据去验证：①如果由模型计算出来的理论数值与实际数值比较吻合，则模型成功；②如果理论值与实际差别太大，则模型是失败的；③如果理论值与实际数值部分吻合，则可找原因，发现问题，修改模型；如果出现②、③两种情况，须重复上述建模过程。