数学建模非线性交调的设计

非线性交调的频率设计论文
摘要
随着社会的发展，越来越多的电子产品的使用离不开信号，但是很多情况
下信号会出现好坏，信号不好一方面可能来自系统外部环境，另一方面也不排
除来自系统内部非线性输出过程中产生的新频率，即为交调。

本文主要针对非
线性交调频率进行设计，运用最小二乘法的多项式拟合和MATLAB得到了关于给出的数据输入输出之间的关系式。

结合题目要求，求解出了满足条件的频率（36,42，54），（36,42,55），（36,48,54），（36,49,55），（37,43,55），（37,49,55）。

最后对解的稳定性进行了分析。

关键词：最小二乘法多项式拟合 MATLAB 非线性交调
一、问题重述
通信工程中，信号的可靠性要求很高，但信号往往会受到一些干扰，导致
信号不稳定。

干扰可能是来自非线性系统输出过程中产生的新频率，称为交调。

现有一SCS（非线性）系统，其输入输出关系由如下一组数据给出：
输入u0510203040506080
输出y0 2.25 6.8020.1535.7056.4075.1087.8598.50
输入信号为u(t)=A1cos2πf1t+A2cos2πf2t+A3cos2πf3t其中是A1,A2,A3输
入信号的振幅对输入信号的频率f1,f2,f3的设计要求为:
1、36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤f3≤55
2、输出中的交调均不得出现在的范围fi±5内i=1,2,3,此范围称为的接收带
3、SNR=10log10
B2i
C2n定义输出中的信噪比(单位：dB分贝)，其中B
i
是输出中
对应于频率fi的信号的振幅，C n是某一频率为f n的交调的振幅。

若f n出现在f i±6(i=1,2,3)处,则对应的SNR应大于10分贝。

（参看下图）。

f n= f i 6 f f i +6
4、f i不得出现在f j的接收带内.(i,j=1,2,3,i≠j)
5、为简单起见，f i只取整数值，且交调只考虑二阶类型，（即f i±f j，
i,j=1,2,3）和三阶类型（即f i±f j±f k，i,j,k=1,2,3）。

二、问题假设
1、假设只有交调对频率产生影响。

2、假设给出的数据准确无误。

3、假设拟合的多项式对自变量为负值的时候也成立。

4、假设给出的条件都是在理想条件下。

三、符号说明
u(t)输入信号
y(t)输出信号
b i(i=0,1,2,3)拟合多项式中各项系数
f i(i=1,2,3)不同信号频率
A i(i=1,2,3)不同信号频率的振幅
三、问题分析
题目给出只需求三阶的类型，由于给出了输入输出之间数据，可以设三阶多项式y(t)=b0+b1u(t)+b2u2(t)+b3u3（t），则可利用最小二乘法的多项式拟合得到输入与输出之间的关系式。

然后结合题目所给的条件，在
36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤f3≤55的范围内找出所有满足条件的所有交调。

之后再根据题目信噪比的要求，即交调出现在fi+6或fi-6则要求信噪比SNR>10(db)，选出符合题目的频率设计。

最后，根据求出的结果对模型的稳定性以及优缺点进行分析，并提出改进的地方。

四、模型建立
1、求出输入输出的关系式：
根据题目所给数据，结合题目要求只针对三阶的类型，则拟合多项式设三阶多项式：y(t)=b0+b1u(t)+b2u2(t)+b3u3（t）。

输入u0510203040506080输出y0 2.25 6.8020.1535.7056.4075.1087.8598.50
求解多项式的模型求解过程：
在MATLAB下输入：
u=[0 5 10 20 30 40 50 60 80];
y=[0 2.25 6.80 20.15 35.70 56.40 75.10 87.85 98.50];
p=polyfit(u,y,3)
按ENTER键
得到p = -0.0004 0.0455 0.2391 0.0494。

从实际所给的数据，可以得到y(0)=0,因此上式简化为：
y(t)=b 1u(t)+b 2u 2(t)+b 3u 3（t）；
为确定y(t)=b 1u(t)+b 2u 2(t)+b 3u 3（t）的系数，令u(t)、u 2(t)、u 3（t）为三变量x 1(t)、 x 2(t)、 x 3(t)。

分析用最小二乘法对y(t)进行三元回归：φ=
9
∑i =1
(y i
+b 1x
i1+b 2x i2+b 3x i3
)
φ对b 1 、b 2 、b 3 分别求导的b 1 、b 2 、b 3使得φ最小：
{
9
∑i =1y i x i1
-b 19
∑i =1x 2i1
-b 2
9
∑i =1
x
i1x i2-b 39
∑i =1x i1x i3=0
9
∑i =1y i x i2
-b 19
∑i =1x i1x i2
-b 29
∑i =1x 2i2
-b 3
9
∑i =1
x
i1x i3=0
9∑i =1y i x
i3
-b 1
9∑i =1x
i1x i3
-b 2
9
∑i =1x
i2x i3
-b 3
9
∑
i =1
x 2i3=0
得到系数b 1 、b 2 、b 3分别为：b 1 =0.2441, b 2 =0.04538, b 3 =0.0004133。

拟合数据和最小二乘法的数据相差不大，则函数可表示为：
y(t)=0.2441u(t)+0.04538u2(t)-0.0004133u3(t)
2、求出满足条件的所有交调：
将u（t）代入上式所求的多项式中，可得到输出频率的形式：一阶:f i , (i=1,2,3);二阶|f i ±f j |, (i,j=1,2,3);三阶|f i ±f j ±f k |, (i,j,k=1,2,3);
由于题目所述只考虑二阶和三阶类型，所以得到如下的交调：二阶交调：f i +f j , f i -f j ; (i,j=1,2,3,i≠j)三阶交调: 2f i ±f j , f i ±f j ±f k ; (I,j,k=1,2,3,i≠j≠k)
对以上类型进行范围估计找出满足条件的交调。

由于题目规定36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤f3≤55则可计算出以上每一式子
的范围。

这有：f1<f2<f3；
f i+f j≥72>f3+6；
0≤|f i-f j|≤19<f1-6；
交调二阶交调一定在接受带之外。

又因为此范围应该在[30，61]中考虑，所以讨论得出满足条件的交调为：
2f1‒f2、2f1‒f3、2f2‒f1、f2‒f3、2f3‒f1、2f3‒f2、f1+f2‒f3、f1+f3‒f2、f2+f3‒f1;所以输出的交调中只含有三阶形式的交调。

3、计算关于信噪比SNR：
因为在f i±6出现交调时，必须SNR>=10（db）,而在上述六组值中未必全满足SNR的要求，为此需要得到输出频率fi的系数和各类交调频率的系
数。

首先将
u(t)=
3
∑
i=1
A i csc2πf i t
带入y=b1u(t)+b2u
2
(t)
+b3u3(t)中可得到表达式：
y=b1
3
∑
i=1
A i csc2πf i t+b2(3∑i=1A i csc2πf i t)2+b3(3∑i=1A i csc2πf i t)3
其中b1=0.2441 ，b2=0.04538 ，b3=0.0004133 ；
A1= 25 ，A2= 10 ，A3= 45 ；
令y式中各项为y1,y2,y3,又因为此题只考虑二阶交调和三阶交调，并且经计算y2的交调频率对本题中的原频率无影响，则无需考虑二阶交调。

y1=b1
3
∑
i=1
A i csc2πf i t=b1A1csc2πf1t+b2A2csc2πf2t+b3A3csc2πf3t
又在y3中：
y3=b3(3∑i=1A i csc2πf i t)3=b3(A1csc2πf1t+A2csc2πf2t+A3csc2πf3t)3=3∑i=1b3A3i(14csc6πf i t+通过对y3的计算我们只需要提取出f i、2f i+f j、f i+f j-f k的交调的振幅。

这样有频率f i的振幅B i：
B i=b i+b3
4
[3A3
i
+6A i(A2j+A2k)] (i,j,k=1,2,3 i≠j≠k);
三阶交调f i+f j-f k形式的振幅均为：
D1,1,‒1=32b3A i A j A k (i,j,k=1,2,3 i≠j≠k)
;三阶交调2f i+f j形式的振幅均为：
D2
，-1=34b3A2i A j (i,j,k=1,2 i≠j)
；
当不影响原输入频率f i的条件下只需：
|2fk-fi-fj|>=6
|fk+fj-fl-fi|>=6即可；
求解出所有交调的过程：
见程序附录2：
求解出满足题意的频率组合过程：
f1 f2 f3
1 2 3 4 5 636 42 55 36 49 55 36 42 54
36 48 54
37 43 55 37 49 55
对满足以上条件且f n=f i±6的交调，用信噪比条件进行筛选。

于是得到如上表6组结果满足条件|2fk-fi-fj|>=6,|fk+fj-fl-fi|>=6，经过条件信噪比筛选后，只有两组解为最终结果，即36,42,55、36,49,55.由结果看出，f1+f3均取其边界值，而f2的取值为分别距f1,f3为可能取到的最小距离。

五、模型的讨论与推广
此模型只是针对f1,f2,f3满足36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤f3≤55，
|f i-f j|≥6,|2f i-f j-f k|≥6,|f i+f j-f k-f s|≥6以及信噪比SNR>10,
f1,f2,f3为整数等条件下的设计方案的三阶的形式，而在实际工作中我们可以将
其推广到n阶的形式中，考虑所有接收带的宽度和信噪比的大小要求，并按此设计方案建立数学模型，编写更为适用的计算输入信号频率的程序。

六、参考文献
附录：
程序1求输出函数系数
u=[0,5,10,20,30,40,50,60,80];
y=[0,2.25,6.80,20.15,35.70,56.40,75.10,87.85,98.50];
b=polyfit(u,y,3)
y1=polyval(b,u);
y2=y-y1
程序2 确定交掉频率
for f1=36:40
for f2=41:50
for f3=46:55
a1=f1+f2-f3;a2=f1+f3-f2;a3=f2+f3-f1;a4=2*f1-f2;
a5=2*f1-f3;a6=2*f2-f1;a7=2*f2-f3;a8=2*f3-f1;a9=2*f3-f2;
if f1+6<=f2&&f2+6<=f3&&abs(a1-f1)>5&&abs(a1-f2)>5&&abs(a1-f3)>5&&abs(a2-f1)>5&&abs(a2-f2)>5&&abs(a2-f3)>5&&abs(a3-
f1)>5&&abs(a3-f2)>5&&abs(a3-f3)>5&&...
abs(a4-f1)>5&&abs(a4-f2)>5&&abs(a4-
f3)>5&&abs(a5-f1)>5&&abs(a5-f2)>5&&abs(a5-f3)>5&&abs(a6-
f1)>5&&abs(a6-f2)>5&&abs(a6-f3)>5&&...
abs(a7-f1)>5&&abs(a7-f2)>5&&abs(a8-
f3)>5&&abs(a9-f1)>5&&abs(a9-f2)>5&&abs(a9-f3)>5
disp(f1);
disp(f2);
disp(f3);
end;
end;
end;
end;。