浙教版数学九年级上册3.5 圆周角(二)

∴∠BAD＝90°，
∴BD是该外接圆的直径.
(2)如解图①，作AE⊥AC，交CB的延长线于点E.
∵∠ACB＝45°，CA⊥AE，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AC＝AE.
由勾股定理，得CE2＝AC2＋AE2＝2AC2，
∴CE＝ AC.
由(1)可知AB＝AD，∠BAD＝90°，
又∵∠EAC＝90°，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
(第8题)
【解】当点B与点O重合时，∠POF＝∠ABC＝30°；60.
(第9题)
9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连结OD交BE于点M，且MD＝2，则BE＝8.
【解】连结AD.
∵AB为直径，
∴AM2＋AE2＝2AM2＝EM2.
∵AC＝AM＝AE，∴ ＝ .
又∵ ＝ ，
∴ － ＋ ＝ － ＋ ，
即 ＝ ，∴DE＝BC＝BM.
∵BD为直径，∴∠BED＝90°，
∴在Rt△MED中，EM2＋DE2＝DM2，
A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°
(第2题)
3.如图，⊙O的直径BD＝6，∠A＝60°，则BC的长为(C)
A. B. 3
C. 3 D. 4
(第3题)
4.如图，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连结AE，则∠E的度数为(A)
A. 36° B. 46° C. 27° D. 63°
(第12题)
(1)求证：BD是该外接圆的直径.
(2)连结CD，求证： AC＝BC＋CD.
(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连结DM，试探究AM，BM，DM三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.
【解】(1)∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∠ABD＝45°，
∴∠ABD＋∠ADB＝90°，
(1)求证：∠ACO＝∠BCD.
(2)若EB＝8 cm，CD＝24 cm，求⊙O的直径.
(第11题)
【解】(1)∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝ED， ＝ ，
∴∠BCD＝∠BAC.
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO.
∴∠ACO＝∠BCD.
(2)设⊙O的半径为R(cm)，则OE＝OB－EB＝(R－8)cm.
(1)若∠FBC＝α，求∠ACB的度数(用含α的代数式表示).
(2)过点A作AD⊥BC于点D，交BF于点E.求证：BE＝EM.
【解】(1)连结CF.
∵ ＝ ，∴∠ACB＝ ∠BCF.
∵BC是直径，∴∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝90°－∠FBC＝90°－α.
∴∠ACB＝ (90°－α).
(2)∵BC是直径，
∵AB⊥CD，∴CE＝ CD＝ ×24＝12(cm).
在Rt△CEO中，OC2＝OE2＋CE2，
即R2＝(R－8)2＋122，解得R＝13(cm)，
∴2R＝2×13＝26(cm)，
∴⊙O的直径为26 cm.
12.如图，C为△ABD外接圆上的一动点(点C不在 上，且不与点B，D重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°.
∴∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°.
又∵AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.
∴∠BAD＝∠ACB.
∵ ＝ ，∴∠ACB＝∠ABF.
∴∠ABF＝∠BAD.∴BE＝AE.
∵∠BAD＋∠EAM＝90°＝∠ABF＋∠BMA，
∴∠EAM＝∠EMA，∴AE＝EM.
∴BE＝EM.
8.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角尺ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合.将三角尺ABC沿OE方向平移，直到点B与点E重合为止.设∠POF＝x°，则x的取值范围是30≤x≤60.
∴∠EAB＝∠CAD.
在△ABE和△ADC中，
∵
∴△ABE≌△ADC(SAS).∴BE＝DC，
∴CE＝BC＋BE＝BC＋DC，
即 AC＝BC＋CD.
(第12题解)
(3)2AM2＋BM2＝DM2.证明如下：
如解图②，延长MB交圆于点E，连结AE，DE.
∵∠AEB＝∠ACB＝∠AMB＝45°，
∴AM＝AE，∠MAE＝90°，
(第4题)
5.如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，点B正好落在圆上的点E处.若∠C＝38°，则∠BAE＝104°.
(第5题)
6.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E.
(1)求证：∠BCO＝∠D.
(2)若CD＝4 ，AE＝2，求⊙O的半径.
(第6题)
【解】(1)∵OC＝OB，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°.
又∵AB＝AC，∴BD＝CD.
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，∴∠OMB＝∠AEB＝90°，
∴BM＝EM＝ BE.
∵OD＝OB＝ AB＝5，DM＝2，
∴OM＝3，
∴BM＝ ＝4，
∴BE＝2BM＝8.
10.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点N，AE平分∠BAC，交⊙O于点E.求证：AE平分∠OAD.
(第10题)
【解】延长AO交⊙O于点F，连结BF.
∵AF为直径，∴∠ABF＝90°，
∴∠BAF＋∠F＝90°.
∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°.
∵∠F＝∠C，∴∠BAF＝∠DAC.
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.
∴∠OAE＝∠EAN，
即AE平分∠OAD.
11.如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连结AC，OC，BC.
3.5圆周角（二）
1.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝40°，则∠ABD与∠AOD分别等于(B)
A. 40°，80°B. 50°，100°
C. 50°，80°D. 40°，100°
(第1题)
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD.若⊙O的半径r＝5，AC＝5 ，则∠B的度数是(D)
∴∠BCO＝∠B.
又∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D.
(2)设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA－AE＝r－2.
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝ CD＝2 .
在Rt△OCE中，∵OC2＝CE2＋OE2，
∴r2＝(2 )2＋(r－2)2，解得r＝3.
∴⊙O的半径为3.
(第7题)
7.如图，已知BC为半圆O的直径， ＝ ，AC与BF交于点M.