高考数学测试卷第1章1.3.1第2课时同步训练及详解

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人教a版高中数学选修2-3全册同步测控知能训练题集含答案

人教A版高中数学选修2-3全册知能训练目录第1章1.1知能优化训练第1章1.2.1第一课时知能优化训练第1章1.2.1第二课时知能优化训练第1章1.2.2第一课时知能优化训练第1章1.2.2第二课时知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.2.3知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第2章2.4知能优化训练第3章3.1知能优化训练第3章3.2知能优化训练1．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是( )A ．3＋2＋4＝9B ．1C ．3×2×4＝24D ．1＋1＋1＝3解析：选C.由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．解析：第1封信有6种投法，第2、第3封信也分别有6种投法，因此共有6×6×6＝216种投法．答案：216一、选择题1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．81解析：选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )A ．1＋1＋1＝3B ．3＋4＋2＝9C ．3×4×2＝24D ．以上都不对答案：B3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：选A.第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．6．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．36个B．18个C．9个D．6个解析：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次．第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．二、填空题7．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1208．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案．解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4809．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴N＝1＋5×4－4＝17.答案：17三、解答题10．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．12．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A 35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A 14种，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14×A 24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A 14×A 24(个)．由分类加法计数原理得：共有A 35＋2A 14×A 24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A 45个；第二类：个位上为5的五位数有A 14×A 34(个)，故满足条件的五位数共有A 45＋A 14×A 34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3 ，4 ，5 ，共有A 14×A 35(个)；第二类：形如14 ，15 ，共有A 12×A 24(个)；第三类：形如134 ，135 ，共有A 12×A 13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A 14×A 35＋A 12×A 24＋A 12×A 13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22×A 66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33×A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×A 77A 44＝420(种)． (4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A 12×A 14×A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A 14×A 24×A 44种站法，所以共有不同站法A 12×A 14×A 55＋A 14×A 24×A 44＝960＋1152＝2112(种)．1．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320 D．348解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.3．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120C．720 D．240解析：选C.排法种数为A66＝720.4．下列问题属于排列问题的是________．①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序．②选出的2人劳动内容相同，无顺序．③5人一组无顺序．④选出的两个数作为底数或指数其结果不同，有顺序．答案：①④一、选择题1．甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是() A．1 B．2C．3 D．6解析：选D.A23＝6.2．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B.由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送法种数是() A．5 B．10C．20 D．60解析：选C.A25＝20.4．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2160 B．720C．240 D．120解析：选B.A310＝10×9×8＝720.5．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8 B．12C．16 D．24解析：选B.设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.6．S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字为( )A ．0B ．3C ．5D ．7解析：选B.∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.二、填空题7．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________.解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6.答案：68．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3， ∴A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7449．甲、乙、丙、丁四人轮读同一本书，则甲首先读的安排方法有________种．解析：甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，即3！＝3×2×1＝6.答案：6三、解答题10．解不等式：A x 9>6A x －29.解：原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，其中2≤x ≤9，x ∈N *，∴(11－x )(10－x )>6，即x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又∵2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.11．解方程3A x 8＝4A x －19.解：由3A x 8＝4A x －19得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！. ∴3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！. 化简得：x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.12．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C 35＝10.2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )A ．25种B ．35种C ．820种D ．840种解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C 35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C 35种选法；两人都不参加，有C 45种选法．所以共有2C 35＋C 45＝25(种)不同的选派方案．3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C 37＝35种选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．4．(2011年高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C 24＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P ＝26＝13.答案：13一、选择题1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )A ．C 39C 36B ．A 39A 36C.C 39C 36A 33 D ．A 39A 36A 33 解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A 33.2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A ．480 B ．240 C ．120 D ．96 解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C 25A 44＝240.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48解析：选A.6人中选4人的方案有C 46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( ) A ．36个 B ．72个 C ．63个 D ．126个解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C 49＝126(个)．5．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C 13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 24C 22种方法，所以共有C 13C 24C 22＝18种方法．6．如图所示的四棱锥中，顶点为P ，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P 在同一平面内，不同的取法种数为( )A ．40B ．48C ．56D ．62解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P 外任取3点，有4C 35种取法；第2类，在两个对角面上除点P 外任取3点，有2C 34种取法；第3类，过点P 的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C 12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C 35＋2C 34＋4C 12＝56(种)．二、填空题7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法为C 44C 146(种)；有三件次品的抽法有C 34C 246(种)，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4186种不同的抽法．答案：41868．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝80(种)．答案：809．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分配方案有C 25C 23C 11A 22×A 33＝10×3×62＝90(种)．答案：90三、解答题 10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22(种)，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有C 14C 13C 22A 22·A 44＝144(种)． 11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？解：法一：共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)．法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84种放法．故共有84种不同的选法．12．如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A 、B 的六个点C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 6，直径AB 上有异于A 、B 的四个点D 1、D 2、D 3、D 4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C 1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A 、B )中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理：①C 1、C 2、…、C 6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C 1、C 2、…、C 6中任取一点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取两点可构成一个三角形； ③C 1、C 2、…、C 6中任取两点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取一点可构成一个三角形．∴C 36＋C 16C 24＋C 26C 14＝116(个)．其中含C 1点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C 46＋C 36C 16＋C 26C 26＝360(个)．1．计算C 28＋C 38＋C 29等于() A ．120 B ．240C ．60D ．480解析：选A.原式＝C 39＋C 29＝C 310＝120.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选C.C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．C 25＋C 28＋C 23B ．C 25C 28C 23C ．A 25＋A 28＋A 23 D ．C 216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C 38＝56. 答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④ 答案：C2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B.C 34＝4.3．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321 B ．C 320C ．C 420 D ．C 421 解析：选D.原式＝()C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720 ＝()C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝(C 26＋C 36)＋…＋C 1720＝C 1721＝C 21－1721＝C 421. 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4 D ．4解析：选A.A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，∴n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)，又n ∈N *，且n ≥3.解得n ＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C 44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) A ．A 310种 B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20， ∴C 1820＝C 220＝190. 答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________. 解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165. 答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法．答案：34 三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合．解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法；第二类是2男3女，有C 26C 34种选法；第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法． 12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？ (2)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)．(2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C 310种，不含次品的抽法有C 38种，所以至少1件次品的抽法为C 310－C 38＝64(种)．1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( ) A ．20 B ．40 C ．80 D ．160解析：选D.法一：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r n x6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(2x －12x)6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：选B.由题知(2x －12x )6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3C 36＝－20.3．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( ) A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34解析：选 D.1.056＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.4．(2011年高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数是A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4，由B ＝4A 知，4C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝±2. 又∵a >0，∴a ＝2. 答案：2一、选择题1．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析：选D.(1－x )5中x 3的系数－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10.2．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210解析：选A.在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.3．(2010年高考陕西卷)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：选D.由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a ＝10，∴a ＝2.4．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5解析：选C.由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．5.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6解析：选B.T r ＋1＝C r 10x 10－r 2·⎝⎛⎭⎫－13r ·x －r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫－13r ·x 10－3r2.若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，∴r 可以取0,2，∴项数为2.6．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4解析：选C.(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)·(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x的系数是－10＋12＝2.二、填空题 7.⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x .答案：－160x8．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3. ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a9．(2010年高考辽宁卷)(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为__________．解析：(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)[ C 06x 6⎝⎛⎭⎫－1x 0＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x 1＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3。

高中数学必修一第1章1.3.1第2课时同步训练及详解

高中数学必修一同步训练及解析1．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数解析：选C.画出函数f (x )＝2x －1(x <0)的图象，如右图中实线部分所示．由图象可知，函数f (x )＝2x －1(x <0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2B.12C.13D ．－12解析：选B.函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数， ∴y min ＝13－1＝12. 3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________. 解析：∵f (x )在[1，b ]上是减函数，∴f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14， ∴b ＝4.答案：44．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________．解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1，∴y ＝2x 2＋2≥4，即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1.答案：4[A 级基础达标]1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．3D ．－2解析：选C.∵f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f (1)＝0，f (4)＝3.∴f (x )的最大值是3.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( ) A ．10、6B ．10、8C ．8、6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6.3．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( )A ．9B ．9(1－a )C ．9－aD ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9.4．函数f (x )＝x －2，x ∈{0,1,2,4}的最大值为________．解析：函数f (x )自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f (4)＝2. 答案：25．函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________.解析：f (x )是二次函数，二次项系数1>0，则最小值为f (－b 2)＝b 24－b 22＋1＝0，解得b ＝±2.答案：±26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－12≤x ≤1)1x(1＜x ≤2)，求f (x )的最大、最小值．解析：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0；当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x，得f (2)≤f (x )＜f (1)，即12≤f (x )＜1. 综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.[B 级能力提升]7．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，及－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924， ∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．9．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝______.解析：若a <0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a <0，舍去；若a >0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，当x ＝3时，y ＝4，∴3a ＋1＝4，∴a ＝1.综上：a ＝1.答案：110．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0)． (1)证明f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若f (x )的定义域、值域都是[12，2]，求实数a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1) ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2. ∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0，∴x 2－x 1x 1x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[12，2]， ∴⎩⎨⎧f (12)＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， ∴a ＝25. 11. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少m 时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？解：设总长为b ，由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝12xb ，即y ＝12x (30－3x ) ＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)．当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。

高考数学测试卷第1章1.1.2同步训练及解析

人教A 高中数学必修5同步训练1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 嘚值是( ) A ．8 B ．217 C ．62D ．219解析：选D.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219.2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则sin A 嘚值为( ) A.5719 B.217C.338D ．－5719解析：选A.c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19. ∴c ＝19.由a sin A ＝csin C 得sin A ＝5719. 3．如果等腰三角形嘚周长是底边长嘚5倍，那么它嘚顶角嘚余弦值为__________．解析：设底边边长为a ，则由题意知等腰三角形嘚腰长为2a ，故顶角嘚余弦值为4a 2＋4a 2－a 22·2a·2a ＝78. 答案：784．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 嘚形状．解：法一：根据余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2accos B. ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴(a ＋c 2)2＝a 2＋c 2－2accos 60°，整理得(a －c)2＝0，∴a ＝c. ∴△ABC 是正三角形．法二：根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C. 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，∴C ＝120°－A ，∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A)，整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴A ＝60°，C ＝60°. ∴△ABC 是正三角形．课时训练一、选择题1．在△ABC 中，符合余弦定理嘚是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2abcos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bccos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bccos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．2．在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角嘚余弦值是( ) A.1213 B.513 C ．0D.23解析：选C.∵c ＞b ＞a ，∴c 所对嘚角C 为最大角，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝0.3．已知△ABC 嘚三边分别为2,3,4，则此三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4嘚边所对嘚角是钝角，∴△ABC 是钝角三角形． 4．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3D.π3或2π3解析：选C.由已知得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3，故选C.5．在△ABC 中，下列关系式 ①asin B ＝bsin A ②a ＝bcos C ＋ccos B ③a 2＋b 2－c 2＝2abcos C④b ＝csin A ＋asin C 一定成立嘚有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A ＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin(B ＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B ＝sin Csin A ＋sin Asin C ＝2sin Asin C ，则不一定成立．6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24D.23解析：选B.∵b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a＝34. 二、填空题7．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________. 解析：由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cosA，即49＝25＋AC 2－2×5×AC×(－12)，AC 2＋5AC －24＝0. ∴AC ＝3或AC ＝－8(舍去)．答案：38．已知三角形嘚两边分别为4和5，它们嘚夹角嘚余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0嘚根，则第三边长是________．解析：解方程可得该夹角嘚余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21. 答案：219．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 嘚大小是________．解析：由正弦定理，得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. 不妨设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，则cos B ＝5k2＋8k 2－7k22×5k×8k＝12，∴B ＝π3.答案：π3三、解答题10．已知在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，求角C.解：A 为b ，c 嘚夹角，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ， ∴16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0.解得c ＝5或c ＝－75(舍)．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋9－252×4×3＝0，∵0°＜C ＜180°，∴C ＝90°.11．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对嘚边长，若(a ＋b ＋c)(sin A ＋sin B －sin C)＝3asin B ，求C 嘚大小．解：由题意可知，(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，于是有a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝3ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝12，所以cos C ＝12，所以C ＝60°.12．在△ABC 中，b ＝asin C ，c ＝acos B ，试判断△ABC 嘚形状．解：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝acos B ，得c ＝a·a 2＋c 2－b 22ac ，∴c 2＋b 2＝a 2，∴△ABC 是以A 为直角嘚直角三角形．又∵b ＝asin C ，∴b ＝a·ca ，∴b ＝c ，∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．。

人教版A高中必修1数学试题第1章1.3.2同步训练及详解

高中数学必修一同步训练及解析1．下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝|x |＋xB ．f (x )＝x 2＋1xC ．f (x )＝x 2＋xD ．f (x )＝|x |x 2 解析：选D.只有D 符合偶函数定义．2．f (x )＝x 3＋1x的图象关于( ) A ．原点对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．y ＝－x 对称解析：选A.x ≠0，f (－x )＝(－x )3＋1－x＝－f (x )，f (x )为奇函数，关于原点对称． 3．函数f (x )＝x 3＋ax ，f (1)＝3，则f (－1)＝________.解析：显然f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.答案：－34．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________.解析：f (x )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数，∴1－a ＝0，a ＝1.答案：1[A 级基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．函数y ＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数 B ．函数y ＝x 3(x －1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D ．函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A 中，y ＝1x在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当a ＜0时，y ＝ax 2＋c (ac ≠0)在(0,2)上为减函数，故选C.2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，如y ＝1x 2，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y ＝1x，故②错；既奇又偶的函数除了满足f (x )＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，那么g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：选A.g (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝xf (x )，g (－x )＝－x ·f (－x )＝－x ·f (x )＝－g (x )，所以g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是奇函数；因为g (x )－g (－x )＝2ax 3＋2cx 不恒等于0，所以g (－x )＝g (x )不恒成立．故g (x )不是偶函数．4．如图给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)的值是________．解析：f (－2)＝－f (2)＝－32. 答案：－325．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，∴a －1＝－2a ，∴a ＝13. 又f (－x )＝f (x )，即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b . ∴b ＝0.答案：130 6．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x －1＋1－x ；(2)f (x )＝|x |＋x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1 (x >0)0 (x ＝0).x ＋1 (x <0)解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x ≥0.∴x ＝1.定义域为{1}，不关于原点对称，∴函数f (x )为非奇非偶函数．(2)f (x )＝|x |＋x 2＝2|x |，定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．且有f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)法一：显然定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，则f (－x )＝1－x ＝－f (x )，当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x －1＝－f (x )．则f (－0)＝f (0)＝－f (0)＝0.∴f (x )为奇函数．法二：作出函数f (x )的图象，可知f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数．[B 级能力提升]7．若f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )≥2，则当x ≤0时( )A ．f (x )≤2B ．f (x )≥2 C ．f (x )≤－2D ．f (x )∈R解析：选B.可画出f (x )的大致图象：易知当x ≤0时，有f (x )≥2.故选B.8．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)解析：选A.∵f (x )为偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )为增函数．又∵f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，且2<3<π，∴f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)．9．若偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数，则满足f (1)≤f (a )的实数a 的取值范围是________．解析：由已知偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (1)≤f (a )⇔⎩⎨⎧ a >0，1≥a 或⎩⎨⎧a ≤0－1≤a ⇔0<a ≤1，或－1≤a ≤0. 故a ∈[－1,1]．答案：[－1,1]10．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25，求函数f (x )的解析式．解：∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数．∴f (0)＝0，即b 1＋02＝0，∴b ＝0，又f (12)＝12a 1＋14＝25，∴a ＝1， ∴f (x )＝x 1＋x 2.11．设函数f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x .(1)求f (x )的表达式；(2)证明f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．解：(1)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2＋4(－x )＝x 2－4x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－(x 2－4x )＝－x 2＋4x ，因此，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0－x 2＋4x ，x <0. (2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋4x 2)－(x 21＋4x 1)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1＋4)，∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1＋4>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数．。

高中数学必修一各章节同步练习(附答案解析)

第一章 1.1 1.1.1集合的含义与表示基础巩固一、选择题1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是( )A ．②B ．③C ．②③D ．①②③[答案] C[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.2．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是( ) A ．a ∈A B ．a ∉A C ．a ＝A D ．{a }∈A[答案] A[解析] 由于2＋3＜10，所以a ∈A .3．(2015·山东临沂检测)集合{x ∈N *|x －2＜3}的另一种表示形式是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 由x －2＜3，得x ＜5，又x ∈N *，所以x ＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7} [答案] D[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D. 5．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] D[解析] 由集合中元素的互异性知a ，b ，c 互不相等，故选D.6．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或3[答案] B[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B.二、填空题7．用符号∈与∉填空：(1)0________N *；3________Z ； 0________N ；(－1)0________N *； 3＋2________Q ；43________Q .(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}； (2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}． (3)若a 2＝3，则a ________R ，若a 2＝－1，则a ________R . [答案] (1)∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ ∉ (3)∈ ∉[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．8．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________.[答案] 2[解析] 显然a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2. 三、解答题9．已知集合A 含有a －2,2a 2＋5a,12三个元素，且－3∈A ，求a 的值． [解析] ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a ＝－1舍去．当a ＝－32时，经检验，符合题意．故a ＝－32.[注意] (1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a －2,2a 2＋5a,12的关系分类，即可做到不重不漏．(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a 的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．10．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A 为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax 2－3x ＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.[点评] “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．能力提升一、选择题1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{x |x 2＝1} C ．{1} D ．{y |(y －1)2＝0}[答案] B[解析] {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②⑤D ．②⑤⑥[答案] C [解析] 方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故选C.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M[答案] D[解析] 当x ＞0，y ＞0，z ＞0时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选D.4．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．二、填空题5．已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________．[答案] {k |5＜k ≤6}[解析] x 只能取3,4,5，故5＜k ≤6.6．(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{33－x ∈Z |x ∈Z }＝________.[答案] {－3，－1,1,3} [解析] ∵33－x∈Z ，x ∈Z ， ∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意．三、解答题7．数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素．[分析] 已知a ∈A ，1＋a 1－a ∈A ，将a ＝13代入1＋a1－a 即可求得集合中的另一个元素，依次，可得集合中的其他元素．[解析] ∵13∈A ，∴1＋131－13＝2∈A ，∴1＋21－2＝－3∈A ，∴1－31＋3＝－12∈A ，∴1－121＋12＝13∈A . 故当13∈A 时，集合中的其他元素为2，－3，－12.8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”． (1)判断集合A ＝{－1,1,2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集．[解析] (1)由于2的倒数为12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集．(2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1a，即a ＝±1，故可以取集合A ＝{1,2，12}或{－1,2，12}或{1,3，13}等．第一章 1.1 1.1.2集合间的基本关系基础巩固一、选择题1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是( )A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] “A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.2．下列命题中，正确的有( )①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.A．①②B．②③C．②④D．③④[答案] C[解析] ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C.3．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D[答案] B[解析] ∵正方形必为矩形，∴C⊆B.4．下列四个集合中，是空集的是( )A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}[答案] B[解析] 选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.5．若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有( )A．3个B．4个C．5个D．6个[答案] D[解析] 集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．6．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2[答案] A[解析] 在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A B ，所以a ≥2. 二、填空题7．用适当的符号填空：(1){x |x 是菱形}________{x |x 是平行四边形}； {x |x 是三角形}________{x |x 是斜三角形}． (2)Z ________{x ∈R |x 2＋2＝0}； 0________{0}；Ø________{0}；N ________{0}． [答案] (1)(2) ∈[解析] (1)判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系．(2)集合{x ∈R |x 2＋2＝0}中，由于实数范围内该方程无解，因此{x ∈R |x 2＋2＝0}＝Ø；0是集合{0}中的元素，它们之间是属于关系；{0}是含有一个元素0的集合；Ø是不含任何元素的集合，故Ø{0}；自然数集N 中含有元素0，但不止0这一个元素．8．(2012·大纲全国改编)已知集合A ＝{1,2，m 3}，B ＝{1，m }，B ⊆A ，则m ＝________. [答案] 0或2或－1[解析] 由B ⊆A 得m ∈A ，所以m ＝m 3或m ＝2，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1.所以m ＝0或2或－1.三、解答题9．判断下列集合间的关系：(1)A ＝{x |x －3＞2}，B ＝{x |2x －5≥0}； (2)A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }． [解析] (1)∵A ＝{x |x －3＞2}＝{x |x ＞5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝{x |x ≥52}，∴利用数轴判断A 、B 的关系．如图所示，AB .(2)∵A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A ，∴B ＝{0,1,2}，∴B A .10．已知集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }，试确定M ，N ，P 之间的关系．[解析] 解法一：集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，对于集合N ，当n 是偶数时，设n ＝2t (t ∈Z )，则N ＝{x |x ＝t －13，t ∈Z }；当n 是奇数时，设n ＝2t ＋1(t ∈Z )，则N ＝{x |x ＝2t ＋12－13，t ∈Z }＝{x |x ＝t ＋16，t ∈Z }．观察集合M ，N 可知M N .对于集合P ，当p 是偶数时，设p ＝2s (s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝s ＋16，s ∈Z }，当p 是奇数时，设p ＝2s －1(s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝2s －12＋16，s ∈Z } ＝{x |x ＝s －13，s ∈Z }．观察集合N ，P 知N ＝P . 综上可得：MN ＝P .解法二：∵M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝3×2m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －1＋16，n －1∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }，比较3×2m ＋1,3(n －1)＋1与3p ＋1可知，3(n －1)＋1与3p ＋1表示的数完全相同， ∴N ＝P,3×2m ＋1只相当于3p ＋1中当p 为偶数时的情形， ∴MP ＝N .综上可知M P ＝N .能力提升一、选择题1．(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M 与N 的关系不确定[答案] B[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得M ＝{…－34，－14，14，34，54…}， N ＝{…0，14，12，34，1…}，∴MN ，故选B.解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k 是任意整数，则k ＋m (m 是一个整数)也是任意整数，而2k ＋1,2k －1均为任意奇数，2k 为任意偶数．2．(2015·湖北孝感期中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }和B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5，则下列结论中正确的是( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．Ø∈A[答案] B[解析] B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5＝{(1,1)}，故选B. 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a 的值不可能是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] 由题意知，a ＝0时，B ＝Ø，满足题意；a ≠0时，由2a∈A ⇒a ＝1,2，所以a 的值不可能是3.4．集合P ＝{3,4,5}，Q ＝{6,7}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则P *Q 的子集个数为( )A ．7B ．12C ．32D ．64[答案] D[解析] 集合P *Q 的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P *Q 的子集个数为26＝64.二、填空题5．已知集合M ＝{x |2m ＜x ＜m ＋1}，且M ＝Ø，则实数m 的取值范围是________． [答案] m ≥1[解析] ∵M ＝Ø，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.6．集合⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝－x ＋2，y ＝12x ＋2⊆{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.[答案] 2[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝12x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入y ＝3x ＋b 得b ＝2. 三、解答题7．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．[解析] ∵B 中元素是关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根，且B ⊆{－1,1}，∴关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}⊆A ＝{－1,1}，且B ≠Ø， ∴B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}．当B ＝{－1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1＋2a ＋b ＝0，解得a ＝－1，b ＝1. 当B ＝{1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1－2a ＋b ＝0，解得a ＝b ＝1. 当B ＝{－1,1}时，有(－1)＋1＝2a ，(－1)×1＝b ，解得a ＝0，b ＝－1.8．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø，满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2≤m ≤3.综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴集合A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}， B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，∴当B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意；当B ≠Q ，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1>5，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，2m －1<－2，解得m >4.综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．第一章 1.1 1.1.3 第一课时并集和交集基础巩固一、选择题1．下面四个结论：①若a ∈(A ∪B )，则a ∈A ；②若a ∈(A ∩B )，则a ∈(A ∪B )；③若a ∈A ，且a ∈B ，则a ∈(A ∩B )；④若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] ①不正确，②③④正确，故选C.2．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x >3}，则M ∪N ＝( )A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x ≤5}C ．{x |3<x ≤5}D ．{x |x ≤5}[答案] A[解析] 在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．3．(2015·全国高考卷Ⅰ文科，1题)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2[答案] D[解析] A∩B＝{8,14}，故选D.4．(2015·浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[答案] D[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.5．若A∪B＝Ø，则( )A．A＝Ø，B≠ØB．A≠Ø，B＝ØC．A＝Ø，B＝ØD．A≠Ø，B≠Ø[答案] C6．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝Ø，则实数a的取值集合为( )A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}[答案] C[解析] 如图．要使A∩B＝Ø，应有a<－1.二、填空题7．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.[答案] 0,1或－2[解析] 由已知得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x ＝0,1或－2.8．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________.[答案] 6[解析] 用数轴表示集合A 、B 如图所示．由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.三、解答题9．设集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，A ∩B ＝{－3}，求实数a 的值．[解析] ∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈B .∵a 2＋1≠－3，∴①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－1,1}，但由于A ∩B ＝{1，－3}与已知A ∩B ＝{－3}矛盾，∴a ≠0.②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，A ∩B ＝{－3}．综上可知a ＝－1.10．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a 2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， ∴－a 2<2，∴a ＞－4. 能力提升一、选择题1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M 且a ≠b }，则M ∪N ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－1,1} [答案] C[解析] 由题意可知，集合N ＝{－1,0}，所以M ∪N ＝M .2．若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则M ∩P 等于( )A ．(1，－1)B ．{x ＝1或y ＝－1}C ．{1，－1}D ．{(1，－1)} [答案] D[解析] M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0x －y ＝2的解∴M ∩P ＝{(1，－1)}．3．(2015·衡水高一检测)若集合A ，B ，C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系为( )A ．C AB ．AC C ．C ⊆AD ．A ⊆C [答案] D[解析] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，又B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选D.4．当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则M ′∪N ′＝( )A ．{0,1,3,4}B ．{1,4}C ．{1,3}D ．{0,3} [答案] D[解析] 由条件及孤星集的定义知，M ′＝{3}，N ′＝{0}，则M ′∪N ′＝{0,3}．二、填空题5．以下四个推理：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆A ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的为________．[答案] ②③④[解析] ①是错误的，a ∈(A ∪B )时可推出a ∈A 或a ∈B ，不一定推出a ∈A .6．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2－px －2q ＝0}，且A ∩B ＝{－1}，则A ∪B ＝________.[答案] {－2，－1,4}[解析] 因为A ∩B ＝{－1}，所以－1∈A ，－1∈B ，即－1是方程x 2＋px ＋q ＝0和x 2－px －2q ＝0的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12－p ＋q ＝0，－12＋p －2q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝2，所以A ＝{－1，－2}，B ＝{－1,4}，所以A ∪B ＝{－2，－1,4}．三、解答题7．已知A ＝{x |2a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．[解析] ∵B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜－1，a ＋8≥5，解得－3≤a ＜－12. 8．设A ＝{x |x 2＋8x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0}，其中a ∈R .如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x }x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝Ø时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解，即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2.当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式 Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2.将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，∴B ＝{0}满足．当B ＝{0，－8}时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，－2a ＋2＝－8，a 2－4＝0，可得a ＝2.综上可得a ＝2或a ≤－2. [点评] (1)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时，要考虑B ＝Ø的情形，切不可漏掉．(2)利用集合运算性质化简集合，有利于准确了解集合之间的关系．第一章 1.1 1.1.3 第二课时补集基础巩固一、选择题1．(2015·重庆三峡名校联盟)设全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,3,5}，集合B ＝{1,2}，则(∁I B )∩A 为( )A ．{2}B ．{3,5}C ．{1,3,4,5}D ．{3,4,5}[答案] B[解析] 因为全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{1,2}，则∁I B ＝{3,4,5}．所以(∁I B )∩A 为{3,5}．故选B.[易错警示] 本小题的关键是先求出集合B的补集，再求交集．集合的运算是集合关系的基础知识，要理解清楚，可能渗透在一个大题中，不熟练会导致整体看不懂或理解错误．2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁U A的所有非空子集的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1[答案] B[解析] ∵∁U A＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B.3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．(∁R P)⊆Q D．Q⊆∁R P[答案] C[解析] ∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴(∁R P)⊆Q，故选C.4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U M) D．(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析] ∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}，故选D.5．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∪(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x≤4}B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1}D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 由题意可得∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∪(∁U B)＝{x|－2≤x≤4}，故选A.6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足( )A．a≥2B．a＞2C．a＜2 D．a≤2[答案] A[解析] ∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2，故选A.二、填空题7．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________.[答案] 58．U ＝R ，A ＝{x |－2<x ≤1或x >3}，B ＝{x |x ≥4}，则∁U A ＝________，∁A B ＝________.[答案] {x |x ≤－2或1<x ≤3} {x |－2<x ≤1或3<x <4}三、解答题9．已知全集U ＝{2,3，a 2－2a －3}，A ＝{2，|a －7|}，∁U A ＝{5}，求a 的值．[解析] 解法1：由|a －7|＝3，得a ＝4或a ＝10.当a ＝4时，a 2－2a －3＝5，当a ＝10时，a 2－2a －3＝77∉U ，∴a ＝4.解法2：由A ∪∁U A ＝U 知⎩⎪⎨⎪⎧ |a －7|＝3a 2－2a －3＝5，∴a ＝4.10．(2015·唐山一中月考试题)已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．[分析] 利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，先求出∁U A 及∁U B ，然后求解．[解析] 如图所示，∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}．∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}，A ∩(∁UB )＝{x |2<x <3}．[点评] (1)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．能力提升一、选择题1．如图，阴影部分用集合A 、B 、U 表示为( )A ．(∁U A )∩BB ．(∁U A )∪(∁U B )C ．A ∩(∁U B )D ．A ∪(∁U B )[答案] C[解析] 阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在∁U B中，因此是A与∁U B的公共部分．2．设S为全集，则下列说法中，错误的个数是( )①若A∩B＝Ø，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝Ø；③若A∪B＝Ø，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] 借助文氏图可知，①②正确，对于③于由A∪B＝Ø，∴A＝Ø，B＝Ø，∴A＝B，故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1,5}则有( )A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁U TC．3∈∁U S,3∈T D．3∈∁U S,3∈∁U T[答案] B[解析] 若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；若3∈∁U S，3∈T，则3∈(∁U S)∩T，排除C；若3∈∁U S,3∈∁U T，则3∈(∁U S)∩(∁U T)，排除D，∴选B，也可画图表示．4．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}[答案] D[解析] ∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A∩∁U B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.二、填空题5．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M⊆∁R P，则a的取值范围是________．[答案] a≥2[解析] M＝{x|－2＜x＜2}，∁R P＝{x|x＜a}．∵M⊆∁R P，∴由数轴知a≥2.6．已知U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x ＜3或x ＞4}，则ab ＝________.[答案] 12[解析] ∵A ∪(∁U A )＝R ，∴a ＝3，b ＝4，∴ab ＝12.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．[提示] 由2∈B,4∈A ，列方程组求解．[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B ，∴4－2a ＋b ＝0.①又∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，∴16＋4a ＋12b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，16＋4a ＋12b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝87，b ＝－127.经检验，符合题意：∴a ＝87，b ＝－127. [点评] 由题目中所给的集合之间的关系，通过分析得出元素与集合之间的关系，是解决此类问题的关键．8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[分析] 本题从条件B ⊆∁R A 分析可先求出∁R A ，再结合B ⊆∁R A 列出关于a 的不等式组求a 的取值范围．[解析] 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．(1)若B ＝Ø，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A .(2)若B ≠Ø，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3，即－12≤a <3. 综上可得a ≥－12.第一章 1.1 1.1.3 第三课时习题课基础巩固一、选择题1．(2015·全国高考卷Ⅱ文科，1题)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <0}C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}[答案] A[解析] A∪B＝{x|－1<x<3}，故选A.2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁U B)等于( )A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}[答案] B[解析] 画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}，故选B.3．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C))B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B)D．[∁U(A∩C)]∪B[答案] A[解析] 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))，故选A.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 方法1：∁U A＝{x|x＜－2或x＞3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}，故选C.方法2：A∪B＝{x|x≤3或x＞4}，(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|3＜x≤4}．故选A.5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)⊆(A∩B)，则实数a＝( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] ∵(A ∪B )⊆(A ∩B )，∴(A ∪B )＝(A ∩B )， ∴A ＝B ，∴a ＝1.6．设U 为全集，对集合X ，Y 定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )，对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z [答案] B[解析] X *Y ＝∁U (X ∩Y )(X *Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝∁U (∁U (X ∩Y ))∪∁U Z ＝(X ∩Y )∪∁U Z ，故选B. 二、填空题7．(河北孟村回民中学2014～2015学年高一九月份月考试题)U ＝{1,2}，A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，∁U A ＝{1}，则p ＋q ＝________.[答案] 0[解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4，∴p ＋q ＝0.8．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若m ∈A ，m ∈B ，则m 为________．[答案] (4,7)[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈(A ∩B )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝7，∴A ∩B ＝{(4,7)}．三、解答题9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}，求： (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B ) (3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B )[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，∁R A ，∁R B ，最后可逐一写出各小题的结果．[解析] 如图所示，可得A ∩B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}．∁R A ＝{x |x <2或x ≥5}， ∁R B ＝{x |x <3或x ≥7}．由此求得(1)(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x <2或x ≥7}． (2)∁R (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥7}．(3)(∁R A )∪(∁R B )＝{x |x <2或x ≥5}∪{x <3或x ≥7}＝{x |x <3或x ≥5}． (4)∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x ≥5}．[点评] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现． 10．已知U ＝R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁UB )∩A ＝{4}，求A ∪B .[分析] 先确定p 和q 的值，再明确A 与B 中的元素，最后求得A ∪B . [解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4p ＋12＝0，22－5×2＋q ＝0.解得p ＝－7，q ＝6，∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{2,3,4}．能力提升一、选择题1．设A 、B 、C 为三个集合，(A ∪B )＝(B ∩C )，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆A C ．A ≠C D ．A ＝Ø[答案] A[解析] ∵A ∪B ＝(B ∩C )⊆B ，又B ⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，又B ⊆(A ∪B )＝B ∩C ，且(B ∩C )⊆B ， ∴(B ∩C )＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C .2．设P ＝{3,4}，Q ＝{5,6,7}，集合S ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则S 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] S ＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D. 3．(2015·陕西模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以∁U(A∪B)＝{3,5}．4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁U A)≠Ø，则( )A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜2[答案] C[解析] ∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1＜x＜3}．∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，∴当B∩(∁U A)＝Ø时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，∴k≤0，∴当B∩(∁U A)≠Ø时，0＜k＜2，故选C.二、填空题5．(2014·福建，理)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．[答案] 6[解析] 根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2)．所以共有6个．故答案为6.6．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．[答案]1 12[解析] 如图，设AB 是一长度为1的线段，a 是长度为34的线段，b 是长度为13的线段，a ，b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N 的“长度”，显然，当a ，b各自靠近线段AB 两端时，重叠部分最短，其值为34＋13－1＝112.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，试探求a 取何实数时，(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立．[解析] B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{2，－4}，由A ∩BØ与A ∩C ＝Ø同时成立可知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，将3代入方程得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，此时A ∩C ＝{2}，与此题设A ∩C ＝Ø矛盾，故不适合．当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，此时(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立，则满足条件的实数a ＝－2.8．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？说明理由；(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x |－6<x <6}，求A －(A －B )和B －(B －A )． [解析] (1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A －B ＝{1}． (2)不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}，故A －B ≠B －A .又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，A －B ＝Ø，B －A ＝Ø，此时A －B ＝B －A ，故A －B 与B －A 不一定相等． (3)因为A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6<x ≤4}， A －(A －B )＝{x |4<x <6}， B －(B －A )＝{x |4<x <6}．第一章 1.2 1.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2x C ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点．二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0[答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x [答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·盘锦高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围是________． [答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]．三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．第一章 1.2 1.2.2 第一课时函数的表示方法基础巩固一、选择题1．已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[答案] C[解析] 设y ＝k x ，由1＝k 2得，k ＝2，因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x.2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0＜x ＜10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)[答案] D[解析] 由题意得y ＋2x ＝20，∴y ＝20－2x .又∵2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，即x ＞5.由y ＞0，即20－2x ＞0得x ＜10，∴5＜x ＜10.故选D.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋7[答案] B[解析] ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，∴令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.∴g (x )＝2x －1.4．(2015·安丘一中月考)某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：A ．成绩y 不是考试次数x 的函数B ．成绩y 是考试次数x 的函数C ．考试次数x 是成绩y 的函数D ．成绩y 不一定是考试次数x 的函数 [答案] B5．如果二次函数的二次项系数为1，图象开口向上，且关于直线x ＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1 D ．f (x )＝(x －1)2－1[答案] D6．(2015·武安中学周测题)若f (x )满足关系式f (x )＋2f (1x)＝3x ，则f (2)的值为( )。

高中数学必修一第1章1.1.3第2课时同步训练及详解

高中数学必修一同步训练及解析1．若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则()A．P⊆QB．Q⊆PC．∁R P⊆QD．Q⊆∁R P解析：选C.∵P＝{x|x<1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，∴∁R P⊆Q.2．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有() A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.∵U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．故选A.3．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________. 解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或2[A级基础达标]1．设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U(M∩N)＝()A．{1,2}B．{2,3}C．{2,4}D．{1,4}解析：选D.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，∴M∩N＝{2,3}．又∵U＝{1,2,3,4}，∴∁U(M∩N)＝{1,4}．2．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6}B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝UD．(∁U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∁U N)∪M ＝{3,4,5,7}，(∁U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U.3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∵B ＝{x |x ＜1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}，∴A ∩∁R B ＝{x |1≤x ≤2}．4．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________. 解析：∵A ∪∁U A ＝U ，∴A ＝{x |1≤x ＜2}．∴a ＝2.答案：25．设集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |y ＝x －3，－1≤x ≤3}，则∁R (A ∩B )＝________. 解析：∵A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |－4≤y ≤0}，∴A ∩B ＝{0}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x ∈R ，且x ≠0}．答案：{x |x ∈R ，且x ≠0}6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}．∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}， (A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52} ＝{x |0＜x ＜2}．[B 级能力提升]7．已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >4}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |－3≤x ≤4}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |－3≤x ≤－2或3≤x ≤4}D ．{x |－2≤x ≤4}解析：选B.∁U A ＝{x |－2≤x ≤4}．由图可知：(∁U A )∩B ＝{x |－2≤x ≤3}．8.已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A ＝{0,1}，(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．9．设全集U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m 的值为________．解析：如图，∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m，即m＝－3.答案：－310．设全集U＝{x|0<x<10，x∈N*}，且A∩B＝{3}，A∩(∁U B)＝{1,5,7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{9}，求A，B.解：如图所示，由图可得A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,6,8}．11．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．解：由已知A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x＜－m}，∵B＝{x|－2＜x＜4}，(∁U A)∩B＝∅，∴－m≤－2，即m≥2，∴m的取值范围是m≥2.关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。

高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案含解析

1．3.1 二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a ＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得C04a4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得C14a3b；若有两个选b，其余两个选a，则得C24a2b2；若都选b，则得C44a0b4.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.二项式定理及其相关概念1．二项展开式的特点(1)展开式共有n＋1项．(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2．二项展开式的通项公式的特点(1)它表示(a ＋b )n 的展开式的第k ＋1项，该项的二项式系数为C kn . (2)字母b 的次数与二项式系数的组合数的上标相同． (3)a 和b 的次数之和为n .(1)求(x ＋(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .(1)(x ＋2y )4＝C 04x 4＋C 14x 3(2y )＋C 24x 2(2y )2＋C 34x ·(2y )3＋C 44(2y )4＝x 4＋8x 3y ＋24x 2y 2＋32xy 3＋16y 4.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝n＝x n.1．(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．1．求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24的展开式．解：法一：⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝C 04(2x )4＋C 14(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋C 24(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 22＋C 34(2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 24＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 3－32x 24＝116x 8(4x 3－3)4＝116x 8＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8. 2．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－C 55＝5－1＝x 5－1.(1)在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项(2)(浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. (1)T k ＋1＝C k20(32x )20－k⎝⎛⎭⎪⎫－12k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k ·(32)20－k C k 20·x 20－k. ∵系数为有理数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k与2203k －均为有理数，∴k 能被2整除，且20－k 能被3整除．故k 为偶数，20－k 是3的倍数，0≤k ≤20， ∴k ＝2,8,14,20.(2)T k ＋1＝C k5(x )5－k⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k＝C k 5(－1)kx5526k－，令52－5k 6＝0，得k ＝3，所以A ＝－C 35＝－10. (1)A (2)－101．在通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k(n ∈N *，k ＝0,1,2,3，…，n )中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个量，只要知道其中4个量，便可求出第5个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题．这通常是化归为方程的问题来解决．2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好是整数的项．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求展开式中所有的有理项．解：通项公式为T k ＋1＝C k n x 3n k － (－3)kx3k －＝C k n(－3)kx3n k －.(1)∵第6项为常数项， ∴k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)根据通项公式，由题意得⎩⎨⎧10－2k3∈Z ，k ≤10，k ∈Z.令10－2k 3＝r (r ∈Z)，则10－2k ＝3r ，即k ＝5－32r .∵k ∈Z ，∴r 应为偶数．于是r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8.故第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为 C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2.在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x ＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8，则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数为C 48·24＝1 120.(2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48·(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203，则第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2.1．本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8展开式中的倒数第3项就是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －2x 28展开式中第3项，T 3＝C 28·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8－2·(－2x 2)2＝112x 2.2．要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C kn ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．1．(全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) 解析：(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r5·x 5－r 2. 令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.答案：102．(山东高考)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝C r5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－22.二项式定理破解三项式问题求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项．法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25 ＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5.其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5.综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322.法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·5＝132x5·(x ＋2)10. 求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5.所以所求的常数项为C 5102532＝6322.解决三项式问题有两种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后再利用二项展开式求解．方法二，转化为二项式．转化为二项式常见的有两种形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解，三项式可分解因式，则转化为两个二项式的积的形式．利用二项式定理求特定项，注意下列题型的变化．⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．12解析：选C 根据题意，所给式子的展开式中含x 的项有(1－x )4展开式中的常数项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的x 以及(1－x )4展开式中的含x 2的项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的2x 两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3，故选C.在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－15 B ．85 C ．－120D ．274解析：选A 根据分类加法、分步乘法计数原理，得－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4＝－15x 4，所以原式的展开式中，含x 4的项的系数为－15.在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2的系数是________．(用数字作答) 解析：法一(转化为二项式定理解决)：(1＋x )2，(1＋x )3，…，(1＋x )6中x 2的系数分别为C 22，C 23，…，C 26，所以原式的展开式中，x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 26＝C 33＋C 23＋…＋C 26＝C 34＋C 24＋…＋C 26＝…＝C 37＝35.法二(利用数列求和方法解决)：由题意知1＋x ≠0，原式＝＋x7－＋xx，故只需求(1＋x )7中x 3的系数，即(1＋x )7的展开式中第4项的系数，即C 37＝35. 答案：351．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410解析：选D 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6. 2．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168解析：选D (1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为C 24，所以x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．解析：由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.答案：－160x 34.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．解析：T k ＋1＝C k9·(x 2)9－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.答案：84 －2125．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第3项的系数和常数项．解：T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第3项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.一、选择题1．二项式(a ＋b )2n的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2(n ＋1)解析：选B 根据二项式定理可知，展开式共有2n ＋1项．2．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5解析：选D 原式＝5＝(2x )5＝32x 5.3．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析：选C T k ＋1＝C k24·x 24－k 2·x －k 3＝C k 24·x 12－56k ，则k ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数．4．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10解析：选B T k ＋1＝C kn (2x 3)n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2k ＝2n －k ·C k n x 3n －5k .令3n －5k ＝0，∵0≤k ≤n ， ∴n 的最小值为5.5．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项； ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项； ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项； ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是( ) A ．①与③ B ．②与③ C ．②与④D ．①与④解析：选D 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．二、填空题6．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________．解析：由{ T 2>T 1，T 2>T 3，得{ C 162x >1，162x >C 26x2.解得112<x <15.答案：⎝⎛⎭⎪⎫112，157．(1＋x ＋x 2)(1－x )10的展开式中含x 4的项的系数为________．解析：因为(1＋x ＋x 2)(1－x )10＝(1＋x ＋x 2)(1－x )·(1－x )9＝(1－x 3)(1－x )9，所以展开式中含x 4的项的系数为1×C 49(－1)4＋(－1)×C 19(－1)＝135.答案：1358．230＋3除以7的余数是________．解析：230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3＝C 010·710＋C 110·79＋…＋C 910·7＋C 1010＋3＝7×(C 010·79＋C 110·78＋…＋C 910)＋4，所以230＋3除以7的余数为4.答案：4 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n xn －202，T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102.由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T k ＋1＝C k 10(x )10－k 2k x －2k ＝2k C k10x 10－5k2，令5－5k2＝0，解得k ＝2.∴展开式中的常数项为C 21022＝180.10．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k.令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.11．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项．求： (1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x 的整数次幂的项的个数．解：二项展开式的通项为T k ＋1＝C kn ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C k n x 522n k －. (1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10. (2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6，所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．。

苏教版数学必修1：第1章1.3第二课时知能演练轻松闯关

1.(2012·上冈高级中学高一期中测试题)已知集合A＝[1，4)，B＝(－∞，a)．若A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：在数轴上表示出A、B，要使A⊆B，则必须a≥4.答案：[4，＋∞)2.写出满足条件{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A的所有可能情况：________．解析：A中必含5，至多含1，3，5.答案：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}3.(2012·姜堰中学高一期中试题)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设喜欢篮球运动学生的全体为集合A，喜爱乒乓球运动学生的全体为集合B，全班学生构成全集U，画出Ve nn图，可知既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为：15＋10＋8－30＝3，故喜欢篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.答案：124.在图中用阴影部分表示下列集合(图中的圆分别表示集合A，B，C)：(1)A∩B∩C；(2)∁U(A∩B)；(3)∁B(A∩B)．答案：[A级基础达标]1.有下列四个推理：①a∈A⇒a∈A∪B；②a∈A∪B⇒a∈A∩B；③A∪B＝B⇒A⊆B；④A∪B＝A⇒A∩B＝B.其中正确的序号为________．解析： ①A ⊆A ∪B ，∴a ∈A ⊆A ∪B ；②A ∩B ⊆A ∪B ，∴a ∈A ∪B 不一定有a ∈A ∩B ；③，④也成立．故正确的有①③④.答案：①③④2.图①，图②中阴影部分所表示的集合分别为________，________.解析：图①中阴影部分的元素属于B ，但不属于A 或C ；图②中阴影部分的元素属于A 或C ，但不属于B.答案：B ∩∁U (A ∪C) (A ∪C)∩(∁U B)3.已知全集U ＝{x |0≤x <10，x ∈N }，A ∪B ＝U ，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，则集合B ＝________．解析：U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B ＝{0，2，4，6，8}．答案：{0，2，4，6，8}4.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围为________．解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A.又B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1.∴m 的取值范围为2<m ≤4.答案：2<m ≤45.高三(1)班共54人，在今年高考中，两门选修科目物理与化学，其中物理得A(或A ＋)的20人，化学得A(或A ＋)的15人，两门均得A(或A ＋)的共10人，则两门选修均未得A(或A ＋)的人数是________．解析：设物理得A(或A ＋)的人组成集合M ，化学得A(或A ＋)的人组成集合N ，全集为高三(1)班全体同学，则M 中元素20个，N 中15个，M ∩N 中10个，画出Ve nn 图易得两门均未得A(或A ＋)的人数为54－(10＋10＋5)＝29.答案：296.(2012·江苏省南通第一中学期中试题)设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，集合B ＝{x |2<x <8}，求∁R(A ∪B)及(∁RA)∩B.解：(1)A ∪B ＝{x |2<x <8}，∁R(A ∪B)＝{x |x ≤2或x ≥8}．(2)∁RA ＝{x |x <3或x ≥7}，(∁RA)∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <8}．7.(2012·扬州市三校高一期中试题)设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，分别就下列条件，求实数a 的取值范围：①A ∩B ≠∅；②A ∩B ＝A.解：(1)∵A ∩B ≠∅，∴a<－1或a ＋3>5，即a<－1或a>2.(2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，∴a ＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5.[B 级能力提升]8.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－a x ＋a －1＝0}，若A ∪B ＝A ，则a 的值为________．解析：由题意，集合B 可能为∅，{1}，{2}与{1，2}，分别讨论得a ＝2或3.答案：2或39.已知非空集合A ＝{(x ，y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，B ＝{(x ，y )|y ＝(5－3a)x －2a}．若A ∩B ＝∅，则a ＝________.解析：∵A 、B 非空，A ∩B ＝∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧（a 2－1）x ＋（a －1）y ＝15，①y ＝（5－3a ）x －2a ， ②无解，把②代入①，得 (－2a 2＋8a －6)x ＝15＋2a 2－2a 无解，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2＋8a －6＝0，15＋2a 2－2a ≠0. ∵15＋2a 2－2a ＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋292>0， ∴只需求－2a 2＋8a －6＝0，即a ＝1或a ＝3.经检验，当a ＝1时方程不成立，A ＝∅与题设矛盾，故舍去，∴a ＝3.答案：310.设A ＝{x |a ≤x <a ＋3}，B ＝{x |x >6或x <－2}，当a 为何值时，A ∪(∁RB)＝∁RB.解：∵∁RB ＝[－2，6]，∴当a ≥－2，且a ＋3≤6，即－2≤a ≤3时，A ∪(∁RB)＝∁RB. 11.(创新题)设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的取值．解：∵A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，∴A ＝{0，－4}．(1)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A.①当B ≠∅时，若0∈B ，则a 2－1＝0，解得a ＝±1.当a ＝1时，B ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝A ；当a ＝－1时，B ＝{0} A.若－4∈B ，则a 2－8a ＋7＝0，解得a ＝7或a ＝1.当a ＝7时，B ＝{x |x 2＋16x ＋48＝0}＝{－12，－4}，与A ∩B ＝B 矛盾，应舍去． ②当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a<－1.综合①②所述，a ≤－1或a ＝1.(2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B.∵A ＝{0，－4}，而B 中最多有两个元素，∴A ＝B ，即a ＝1.。

高考数学测试卷第1章1.3.1同步训练及解析

人教A 高中数学选修2-3同步训练1．(x ＋2)6嘚展开式中x 3嘚系数是( )A ．20B ．40C ．80D ．160 解析：选D.法一：设含x 3嘚为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r n x 6－r ·2r ，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3嘚系数为C 36×23＝160.法二：根据二项展开式嘚通项公式嘚特点：二项展开式每一项中所含嘚x 与2分得嘚次数和为6，则根据条件满足条件x 3嘚项按3与3分配即可，则展开式中x 3嘚系数为C 36×23＝160.2．(2x －12x)6嘚展开式嘚常数项是( ) A ．20B ．－20C ．40D ．－40 解析：选B.由题知(2x －12x)6嘚通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r ，令6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3C 36＝－20. 3．1.056嘚计算结果精确到0.01嘚近似值是( )A ．1.23B ．1.24C ．1.33D ．1.34 解析：选D.1.056＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34. 4．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a x 6(a>0)嘚展开式中x 3嘚系数是A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 嘚值是________．解析：A ＝C 26(－a)2，B ＝C 46(－a)4，由B ＝4A 知，4C 26(－a)2＝C 46(－a)4，解得a ＝±2.又∵a>0，∴a ＝2.答案：2一、选择题1．在(1－x)5－(1－x)6嘚展开式中，含x 3嘚项嘚系数是( )A ．－5B ．5C ．－10D ．10解析：选D.(1－x)5中x 3嘚系数－C 35＝－10，－(1－x)6中x 3嘚系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6嘚展开式中x 3嘚系数为10.2．(x －2y)10嘚展开式中x 6y 4项嘚系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－210解析：选A.在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y)r x 10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y)10嘚展开式中x 6y 4项嘚系数为C 410·(－2)4＝840.3．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5(x ∈R)展开式中x 3嘚系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1B.12 C ．1D ．2 解析：选D.由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a＝10，∴a ＝2.4．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 嘚值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5解析：选C.由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x)n －1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．5.⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 10嘚展开式中含x 嘚正整数指数幂嘚项数是( ) A ．0B ．2C ．4D ．6 解析：选B.T r ＋1＝C r 10x 10－r 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r ·x －r ＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r ·x 10－3r 2. 若是正整数指数幂，则有10－3r 2为正整数， ∴r 可以取0,2，∴项数为2.6．(1＋2x)3(1－3x)5嘚展开式中x 嘚系数是( ) A ．－4B ．－2C ．2D ．4 解析：选C.(1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)·(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x 嘚系数是－10＋12＝2.二、填空题 7.⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13x 6嘚展开式中嘚第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x . 答案：－160x8．若(x ＋a)5嘚展开式中嘚第四项是10a 2(a 为大于0嘚常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x)2·a 3＝10x·a 3.∴10xa 3＝10a 2(a>0)，∴x ＝1a . 答案：1a9．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6嘚展开式中嘚常数项为__________．解析：(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)[ C 06x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 0＋C 16x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋C 26x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋C 36x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＋C 46x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＋C 56x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＋C 66x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 6 ] ＝(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6，所以常数项为1×(－20)＋x 2·15x 2＝－5. 答案：－5三、解答题10．用二项式定理证明1110－1能被100整除．证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C 110×109＋…＋C 910×10＋1)－1 ＝1010＋C 110×109＋C 210×108＋…＋102＝100×(108＋C 110×107＋C 210×106＋…＋1)， ∴1110－1能被100整除．11.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 嘚一次项系数．解：C 8n＝C 9n ， ∴n ＝17，T r ＋1＝C r n x 17－r 2·2r ·x－r 3， ∴17－r 2－r 3＝1， ∴r ＝9，∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3， ∴T 10＝C 917·29·x，其一次项系数为C 91729.12．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25嘚展开式嘚常数项．解：法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·(x 2＋1x )·(2)4＋C 55·(2)5.其中为常数项嘚有： C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中第2项：C 35C 12·12·(2)3； C 55·(2)5.综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322. 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5 ＝[]x ＋2252x 5＝x ＋2102x 5.因此本题可以转化为二项式问题，即将求原来式子嘚常数项，转化为求分子(x ＋2)10中含x 5嘚项嘚系数．而分子中含x 5嘚项为T 6＝C 510·x 5·(2)5.所以常数项为C 510·2525＝6322.。

高考数学测试卷第1章1.3.2同步训练及解析

人教A 高中数学选修2-3同步训练1．(1＋x)2n ＋1嘚展开式中，二项式系数最大嘚项所在嘚项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3 解析：选C.(1＋x)2n ＋1展开式有2n ＋2项．系数最大嘚项是中间两项，是第n ＋1项与第n ＋2项，它们嘚二项式系数为C n 2n ＋1与C n ＋12n ＋1. 2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33x n 展开式中，各项系数嘚和与其各项二项式系数嘚和之比为64，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.令x ＝1，各项系数和为4n ，二项式系数和为2n ，故有4n2n＝64.∴n ＝6. 3．(x －1)11展开式中x 嘚偶次项系数之和是( )A ．－2048B ．－1023C ．－1024D ．1024 解析：选C.(x －1)11＝C 011x 11＋C 111x 10(－1)＋C 211x 9·(－1)2＋…＋(－1)11，偶次项系数为负数，其和为－210＝－1024.4．在(1－x)10中，系数最大嘚项为________．解析：(1－x)10中系数嘚绝对值即是二项式系数，第6项嘚二项式系数绝对值C 510最大，其次就是第5项和第7项，二项式系数为C 410或C 610，但第6项嘚系数为负数．故第5项或第7项系数最大．答案：第5项或第7项一、选择题1．已知(2－x)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( )A ．180B ．－180C ．45D ．－45解析：选A.a 8＝C 810·22＝180. 2．二项展开式(2x －1)10中x 嘚奇次幂项嘚系数之和为( ) A.1＋3102B.1－3102C.310－12 D ．－1＋3102解析：选B.设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，令x ＝1，得1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，再令x ＝－1，得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＋a 10，两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102. 3．在(a －b)20嘚二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同嘚项是( )A ．第15项B ．第16项C ．第17项D ．第18项解析：选B.第6项嘚二项式系数为C 520，与它相等嘚为倒数第6项，即第16项．4．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n 嘚展开式中各项系数和为( )A ．2n ＋1B ．2n －1C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2解析：选D.令x ＝1，则2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2.5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式嘚二项式系数之和为64，则展开式嘚常数项为( ) A ．10B ．20C ．30D ．120解析：选B.由2n ＝64，得n ＝6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r (0≤r≤6，r ∈N)．由6－2r ＝0，得r ＝3.∴T 4＝C 36＝20.6．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11嘚值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析：选A.令x ＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.二、填空题 7．若⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3n 展开式嘚各项系数之和为32，则其展开式中嘚常数项是________．解析：展开式中各项系数之和为S ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，∴n ＝5.T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3r ＝C r 5x 10－2r －3r ＝C r 5x 10－5r ，令10－5r ＝0，得r ＝2，∴展开式中嘚常数项为T 3＝C 25＝10.答案：108．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.(用数字作答)解析：由题设令x ＝0得a 0＝(－2)5＝－32.令x ＝1得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝(1－2)5＝－1，故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－(－32)＝31.答案：319．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n 嘚展开式中，仅第六项系数最大，则展开式中不含x 嘚项为________．解析：由题意知，展开式各项嘚系数即为各项嘚二项式系数．第六项系数最大，即第六项为中间项，故n ＝10.∴通项为T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·(1x 2)r ＝C r 10·x 30－5r .令30－5r ＝0，得r ＝6.∴常数项为T 7＝C 610＝210.答案：210三、解答题10．已知(1－2x)7＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 7(x －1)7.求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.解：(1)令x ＝2，则(1－2×2)7＝－37＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－37.(2)令x ＝0，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝1.又由(1)得，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－37，两式相加，可得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝1－37，∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12(1－37)． 11．已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.①(2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝67.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝27－67＝－279808. ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝－139904.12．已知(1＋3x)n 嘚展开式中，末三项嘚二项式系数嘚和等于121，求展开式中二项式系数最大嘚项．解：由题意知，C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n ＋n n －12＝121，即n 2＋n －240＝0，解得：n ＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x)15展开式中二项式系数最大嘚项是第八、九两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，T9＝C815(3x)8＝C81538x8.。

第1章1.3.1第1课时同步训练及详解

高中数学必修一同步训练及解析1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A.∵－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减；反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上递减；二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案：[－1.5,3]，[5,6]4．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．证明：设x 1>x 2>－1，则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即y 1－y 2>0，y 1>y 2， ∴y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．[A 级基础达标]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f (－3)>f (5)；④y ＝1x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法． 2．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，32]解析：选D.由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32且开口向上，所以单调减区间为(－∞，32]，故选D.3．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：选C.因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.4．函数f (x )＝|x －3|的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，－x ＋3，x <3.其图象如图所示，则f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，3]．答案：[3，＋∞) (－∞，3]5．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵f (x )在(－2，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)<0. ∴(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)<0， ∵x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴2a －1>0，∴a >12.答案：(12，＋∞)6．作出函数y ＝x |x |＋1的图象并写出其单调区间．解：由题可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，作出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为(－∞，＋∞)．[B 级能力提升]7．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( ) A ．一定是增函数 B ．一定是减函数 C ．可能是常数函数 D ．单调性不能确定解析：选D.由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值． 8．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2－1)<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )解析：选D.∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a .∴f (a 2＋1)<f (a )．故选D.9．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f (12)的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <12.答案：－1≤x <1210．作出函数f (x )＝|2x －1|的图象并写出其单调区间．解：当x >12时，f (x )＝2x －1，当x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x >12，－2x ＋1，x ≤12，画出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为[12，＋∞)，减区间为(－∞，12]．11．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．解：(1)∵f (1)＝0，f (3)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明：∵f (x )＝x 2－4x ＋3， ∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3)＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∴x 1＋x 2－4＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．。

高考数学测试卷第1章1.1.2课时练习及详解

高中数学必修一课时练习1．下列六个关系式，其中正确嘚有( )①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．A．6个B．5个C．4个D．3个及3个以下解析：选C.①②⑤⑥正确．2．已知集合A，B，若A不是B嘚子集，则下列命题中正确嘚是( )A．对任意嘚a∈A，都有a∉BB．对任意嘚b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉BD．存在a0，满足a0∈A，a0∈B解析：选C.A不是B嘚子集，也就是说A中存在不是B中嘚元素，显然正是C选项要表达嘚．对于A和B选项，取A＝{1,2}，B＝{2,3}可否定，对于D选项，取A＝{1}，B＝{2,3}可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a嘚取值范围是( )A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2解析：选A.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2.4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}嘚子集嘚个数为________．解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，所以子集有4个．答案：41．如果A＝{x|x>－1}，那么( )A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：选D.A、B、C嘚关系符号是错误嘚．2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则( )A．A>B B．A BC．B A D．A⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立．3．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于( )A．A B．BC．{2} D．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∅，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等嘚集合有( )A．2组B．3组C．4组D．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等嘚集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间嘚一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0,1}，B ＝{2,3}，则A*B嘚子集嘚个数是( )A．4 B．8C．16 D．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*嘚运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A*B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B ＝{1,2}，A ＝{x|x ⊆B}，则A 与B 嘚关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A解析：选D.∵B 嘚子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x|x ⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A.7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y)|y ＝x}，B ＝{(x ，y)|y x＝1}，则A 、B 间嘚关系为________．解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故BA.答案：B A 8．设集合A ＝{1,3，a}，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，则a 嘚值为________．解析：A ⊇B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素嘚互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知A ＝{x|x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x|a≤x＜a ＋4}，若AB ，则实数a 嘚取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使AB ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a|a ＞5或a≤－5}．答案：{a|a ＞5或a≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b}，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 嘚值．解：①若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝aca ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0，即a(c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中嘚三个元素相同，不满足集合中元素嘚互异性，故a≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中嘚三个元素也相同，∴c ＝1舍去，即此时无解． ②若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0，即a(2c 2－c －1)＝0.∵a≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c≠1，∴c ＝－12. 11．已知集合A ＝{x|1≤x≤2}，B ＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B ，求a 嘚取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 嘚取值范围．解：(1)若A B ，由图可知，a>2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a≤2.12．若集合A ＝{x|x 2＋x －6＝0}，B ＝{x|mx ＋1＝0}，且B A ，求实数m 嘚值．解：A ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∵B A ，∴mx ＋1＝0嘚解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0嘚解为－3时，由m·(－3)＋1＝0，得m ＝13；当mx ＋1＝0嘚解为2时，由m·2＋1＝0，得m ＝－12；当mx ＋1＝0无解时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.。

高考数学测试卷第1章1.1.3第1课时课时练习及详解

高中数学必修一课时练习1．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝( )A．{x|－1＜x＜1} B．{x|－2＜x＜1}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}解析：选D.因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0＜x＜1}．2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}则( )A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}解析：选C.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∴选项A、B显然不对．M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x＝y2}，则M∩N＝( )A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}C．{y|y≥0} D．{y|0≤y≤1}解析：选C.M＝{y|y≥0}，N＝R，∴M∩N＝M＝{y|y≥0}．4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m嘚取值范围是________．解析：A∪B＝A，即B⊆A，∴m≥2.答案：m≥21．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确嘚个数是( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.只有Z∪N＝N是错误嘚，应是Z∪N＝Z.2．设集合A＝{3,5,6,8}，集合B＝{4,5,7,8}，则A∩B等于( )A．{3,4,5,6,7,8} B．{3,6}C．{4,7} D．{5,8}解析：选D.∵A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，∴A∩B＝{5,8}．3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a嘚值为( )A．0 B．1C．2 D．4解析：选D.根据元素特性，a≠0，a≠2，a≠1.∴a＝4.4．已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q等于( ) A．{2} B．{1,2}C．{2,3} D．{1,2,3}解析：选A.Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∴P∩Q＝{2}．5．若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B等于( )A．{x|2＜x≤3} B．{x|x≥1}C．{x|2≤x＜3} D．{x|x＞2}解析：选A.∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．6．设集合S＝{x|x＞5或x＜－1}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，S∪T＝R，则a嘚取值范围是( ) A．－3＜a＜－1 B．－3≤a≤－1C．a≤－3或a≥－1 D．a＜－3或a＞－1解析：选A.S∪T＝R，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8＞5，a ＜－1.∴－3＜a ＜－1. 7．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m ＝________.解析：∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B ，∴m ＝3.答案：38．满足条件{1,3}∪M ＝{1,3,5}嘚集合M 嘚个数是________．解析：∵{1,3}∪M ＝{1,3,5}，∴M 中必须含有5，∴M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个．答案：49．若集合A ＝{x|x≤2}，B ＝{x|x≥a}，且满足A∩B＝{2}，则实数a ＝________.解析：当a ＞2时，A∩B＝∅；当a ＜2时，A∩B＝{x|a≤x≤2}；当a ＝2时，A∩B＝{2}．综上：a ＝2.答案：210．已知A ＝{x|x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x|x 2＋cx ＋15＝0}，A ∪B ＝{3,5}，A∩B＝{3}，求实数a ，b ，c 嘚值．解：∵A∩B＝{3}，∴由9＋3c ＋15＝0，解得c ＝－8.由x 2－8x ＋15＝0，解得B ＝{3,5}，故A ＝{3}．又a 2－4b ＝0，解得a ＝－6，b ＝9.综上知，a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.11．已知集合A ＝{x|x －2＞3}，B ＝{x|2x －3＞3x －a}，求A ∪B.解：A ＝{x|x －2＞3}＝{x|x ＞5}，B ＝{x|2x －3＞3x －a}＝{x|x ＜a －3}．借助数轴如图：①当a －3≤5，即a≤8时，A ∪B ＝{x|x ＜a －3或x ＞5}．②当a －3＞5，即a ＞8时，A ∪B ＝{x|x ＞5}∪{x|x ＜a －3}＝{x|x ∈R}＝R.综上可知当a≤8时，A ∪B ＝{x|x ＜a －3或x ＞5}；当a ＞8时，A ∪B ＝R.12．设集合A ＝{(x ，y)|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，y)|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R}，若A∩B＝∅，求a 嘚值．解：集合A 、B 嘚元素都是点，A∩B 嘚元素是两直线嘚公共点．A∩B＝∅，则两直线无交点，即方程组无解．列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1a 2x ＋2y ＝a，解得(4－a 2)x ＝2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 2＝02－a≠0，即a ＝－2.。

高考数学测试卷第1章1.2.2第2课时同步训练及详解

高中数学必修一同步训练及解析1．已知集合A ＝{a ，b}，集合B ＝{0,1}，则下列对应不是A 到B 嘚映射嘚是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射嘚定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x≤1，x 2＋x －2，x>1，则f[1f 2]嘚值为( ) A.1516B ．－2716C.89D ．18解析：选A.∵f(2)＝22＋2－2＝4，∴f[1f 2]＝f(14)＝1－(14)2＝1516. 3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x≤00，x>0，则f(2)＋f(－2)＝________. 答案：44．已知M ＝{正整数}，N ＝{正奇数}，映射f ：a→b＝2a －1，(a ∈M ，b ∈N)，则在映射f 下M 中嘚元素11对应N 中嘚元素是________．答案：21[A 级基础达标]1．下列给出嘚式子是分段函数嘚是( )①f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，1≤x≤5，2x ，x≤1. ②f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ∈R ，x 2，x≥2.③f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3，1≤x≤5，x 2，x≤1.④f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x<0，x －1，x≥5. A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④ 解析：选B.① √ 符合函数定义，且在定义域嘚不同区间，有不同嘚对应关系．② × 当x ＝2时，f(2)＝3或4，故不是函数．③× 当x ＝1时，f(1)＝5或1，故不是函数． ④ √ 符合函数定义，且在定义域嘚不同区间，有不同嘚对应关系. 2.已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x≤－1，x 2－1＜x ＜2，2x x≥2，若f(x)＝3，则x 嘚值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3 D. 3解析：选D.该分段函数嘚三段各自嘚值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f(x)＝x 2＝3，x＝±3，而－1＜x ＜2，∴x ＝ 3.3．函数y ＝x ＋|x|x嘚图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1x>0x －1 x<0，再作函数图象．4.如图，函数f(x)嘚图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 嘚坐标分别为(0,4)，(2,0)，(4,2)，则f(f(f(2)))＝________.解析：f(2)＝0，f(f(2))＝f(0)＝4，f(f(f(2)))＝f(4)＝2.答案：25．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x<0x 2，x≥0，若f(x)＝16，则x 嘚值为________．解析：当x<0时，2x ＝16，无解；当x≥0时，x 2＝16，解得x ＝4.答案：4 6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x≤－1，2x ，－1<x<2，x 22，x≥2.(1)求f(－74)； (2)求f(14)； (3)求f(4)；(4)若f(a)＝3，求a 嘚值．解：(1)f(－74)＝－74＋2＝14；(2)f(14)＝2×14＝12； (3)f(4)＝422＝8； (4)因为当x≤－1时，x ＋2≤1，当x≥2时，x 22≥2，当－1<x<2时，－2<2x<4.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a<22a ＝3⇒a ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧a≥2a 22＝3⇒a 2＝6⇒a ＝ 6. 综上，若f(a)＝3，则a 嘚值为32或 6. [B 级能力提升]7．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2 －1<x<0－12x 0≤x<2，3x≥2则f(x)嘚值域是( )A ．(－1,2)B ．(－1,3]C ．(－1,2]D ．(－1,2)∪{3} 解析：选D.对f(x)来说，当－1<x<0时，f(x)＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x<2时，f(x)＝－12x ∈(－1,0]；当x≥2时，f(x)＝3.故函数y ＝f(x)嘚值域为(－1,2)∪{3}．故选D.8．映射f ：A→B，A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在集合B 中和它对应嘚元素是|a|，则集合B 中嘚元素个数至少是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A.对于A 中嘚元素±1，B 中有1与之对应；A 中嘚元素±2，B 中有一个元素2与之对应；A 中嘚元素±3，B 中有一个元素3与之对应；A 中嘚元素4，B 中有一个元素4与之对应，所以B 中嘚元素个数至少是4.9．设f ：A→B 是从集合A 到B 嘚映射，其中A ＝B ＝{(x ，y)|x ，y ∈R}，f ：(x ，y)→(x＋y ，x －y)，那么A 中元素(1,3)所对应嘚B 中嘚元素为________，B 中元素(1,3)在A 中有________与之对应．解析：(1,3)→(1＋3,1－3)，即(4，－2)．设A 中与(1,3)对应嘚元素为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.答案：(4，－2) (2，－1)10．根据函数f(x)嘚图象如图所示，写出它嘚解析式．解：当0≤x≤1时，f(x)＝2x ；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.所以解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x≤1，2，1<x<2，3，x≥2.11．某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里嘚部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？解：设乘出租车走x 公里，车费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5，0<x≤25＋1.6×x －2，2<x≤8，14.6＋2.4×x －8，x>8即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5，0<x≤21.8＋1.6x ，2<x≤8，2.4x －4.6，x>8因为甲、乙两地相距10公里，即x ＝10>8，所以车费y ＝2.4×10－4.6＝19.4(元)．所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．。

高考数学测试卷第1章1.2.2同步训练及解析 (2)

人教A高中数学必修3同步训练1．给出以下程序：INPUT x1，x2IF x1＝x2 THENx1＝x1＋x2END IFy＝x1＋x2PRINT yEND如果输入x1＝2，x2＝3，那么执行此程序嘚结果是输出( )A．7 B．10C．5 D．8解析：选C.由于输入嘚两个数x1＝2，x2＝3，不满足条件x1＝x2，因此，不执行语句体x1＝x1＋x2，而直接执行y＝x1＋x2，所以y＝5，最后输出5.2．阅读下列程序：如果输入5，则该程序运行结果为( )A．1 B．10C．25 D．26解析：选D.a＝5时，条件a>5不成立，故执行ELSE后嘚语句b＝a2＋1＝52＋1＝26.3．下面是判断所输入嘚正整数嘚奇偶性嘚程序INPUT xm＝x MOD 2IF THENPRINT “x为奇数”ELSEPRINTEND IFEND将其补充完整，则横线上应填(x MOD 2嘚意思是求x除以2嘚余数)( )A．m＝2k＋1，x＝2k B．m＝0，“x为偶数”C．m＝0，x为偶数D．m＝1，“x为偶数”解析：选D.第一个空是“x是奇数”嘚条件，应填“m＝1”；第二个空应填“x为偶数”，并加引号．4．(教材例5改编)若下面程序执行嘚结果是5，则输入嘚x值是________．INPUT xIF x>＝0 THENy＝xELSEy＝－xEND IFPRINT yEND解析：由程序语句知，该程序嘚功能是输入一个x，输出函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥0－x，x<0嘚值，故输出5时，应输入5或－5.答案：5或－51．下列对条件语句嘚描述正确嘚是( )A．ELSE后面嘚语句不可以是条件语句B．两个条件语句可以共用一个END IF语句C．条件语句可以没有ELSE后嘚语句D．条件语句中IF—THEN和ELSE后嘚语句必须都有解析：选C.条件语句有两种格式：分别是IF—THEN格式和IF—THEN—ELSE格式．对于一个分支嘚条件语句可以没有ELSE后嘚语句．2．给出下列三个问题：①输入一个数x，输出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－1，x≥0x＋2，x<0嘚函数值；②求面积为6嘚正方形嘚周长；③求三个数a、b、c中嘚最大数．其中可以用条件语句来描述其算法嘚有( )A．1个B．2个C．3个D．0个解析：选B.在算法中需要逻辑判断嘚都要用到条件语句，其中①③都需要进行逻辑判断，故都要用到条件语句，②只需用顺序结构就能描述其算法，故答案选B.3.若输入x嘚值为3，则该程序运行后，输出变量y嘚值是( )A．3 B．6C．9 D．27解析：选B.执行ELSE后嘚语句，y＝2x＝2×3＝6.4．已知程序：若输入嘚两位数是83，则输出嘚结果为( )A．83 B．38C．3 D．8解析：选B.程序功能是输入一个两位数，交换其个位与十位嘚位置，则输入83，应输出38. 5．已知程序如下，若输入嘚x值为5，则运行结果是( )INPUT “x＝”；xIF x>＝0 THENy＝1ELSEy＝－1END IFPRINT “y＝”；yENDA．y＝5 B．y＝－5C．y＝1 D．y＝－1解析：选C.因为x＝5>0，所以y＝1，所以运行结果为1.6．阅读下面嘚程序：可知程序运行嘚结果是( )A．3 B．3 4C．3 4 5 D．3 4 5 6解析：选D.本题主要考查了条件语句嘚叠加，程序执行条件语句嘚叠加嘚过程中对于所有嘚条件都要进行判断，依次验证每一个条件，直到结束．在本题中共出现四次PRINT，每一条件都成立，故输出结果为3 4 5 6.7．将程序补充完整：输入两个数，输出其中较大嘚数，则①处应填________．INPUT “a＝”；aINPUT “b＝”；bIF a>b THENPRINT aELSE①END IFEND解析：这个语句是比较a与b嘚大小，且输入其中一个较大者．答案：PRINT b8．下面嘚程序是求一个函数嘚函数值嘚程序：若执行此程序嘚结果为3，则输入嘚x 值为________．解析：此程序是求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ， x≤00， 0<x≤1x －1， x>1嘚值．若输出嘚结果为3，则有可能x －1＝3即x ＝4，或－x ＝3即x ＝－3.答案：4或－39．读程序，完成下列题目：程序如图：(1)若执行程序时，没有执行语句y ＝x ＋1，则输入嘚x 嘚范围是________；(2)若执行结果y ＝3，则执行嘚赋值语句是________，输入嘚x 嘚值是________．解析：(1)不执行y ＝x ＋1语句说明不满足条件，x≥1，故有x<1(2)当x<1时，y<2×1＋1＝3只有x＋1＝3，x＝2答案：(1)x<1 (2)y＝x＋1 210．输入一个数x，如果它是正数，则输出它；否则不输出．画出解决该问题嘚程序框图，并写出对应嘚程序．解：程序框图如图所示：相应嘚程序如下：11．给出如下程序．(其中x满足：0<x<12)程序：(1)该程序用函数关系式怎样表达．(2)画出这个程序嘚程序框图．解：(1)函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0<x≤48 4<x≤824－2x 8<x<12(2)程序框图12．到银行办理个人异地汇款(不超过100万)时，银行要收取一定嘚手续费．汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5000元，按汇款额嘚1%收取；超过5000元，一律收取50元手续费．试用条件语句描述汇款额为x 元时，银行收取嘚手续费为y 元嘚过程，画出程序框图并写出程序．解：依分析可知程序框图如图所示：程序如下：。

2020高中数学 1-3.1、2、3课后练习同步导学北师大版选修1-1

第1章 3.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．既是特称命题，又是真命题的是( ) A ．斜三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个x ∈R ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：如x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0. 答案： B2．“a ∥α，则a 平行于α内任一条直线”是( ) A ．真命题 B ．全称命题 C ．特称命题D ．不含量词的命题解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．答案： B3．下列命题的否定为真命题的是( ) A ．有理数是实数 B ．末位数是0的整数能被2整除 C ．存在x 0∈R ，x 02－3＝0D ．任意的x ∈R ，x 2＋2x >0解析：一个命题和它的否定真假性相反．如当x ＝－1时，x 2＋2x ＝(－1)2＋2×(－1)＝－1<0，所以任意的x ∈R ，x 2＋2x >0是假命题，因此其否定是真命题．答案： D4．(2020年海南)已知存在命题p ：∃x ∈R,2x ＋1≤0，则命题p 的否定是( ) A ．∃x ∈R,2x ＋1>0 B ．∀x ∈R,2x ＋1>0 C ．∃x ∈R,2x ＋1≥0D ．∀x ∈R,2x ＋1≥0解析： “存在x ∈R ，使2x ＋1≤0”成立的否定是：任意x ∈R ，2x ＋1>0. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2020年安徽卷)命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．解析：因为原命题为特殊命题，所以其否定为“对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0”．答案：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0 6．给出以下命题：(1)对任意x ∈R ，有x 4＞x 2；(2)存在α∈R ，使sin 3α＝3sin α； (3)存在a ∈R ，对任意x ∈R 都有x 2＋2x ＋a ＜0，其中的假命题是________．解析： (1)它是全称命题，举反例，当x ＝12时，x 4＞x 2不成立，是假命题；(2)它是特称命题，当α＝0时，sin 3α＝3sin α成立，是真命题；(3)令函数y ＝x 2＋2x ＋a ，是二次函数，开口方向向上，不存在实数a ，使x 2＋2x ＋a ＜0成立，是假命题．答案： (1)(3)三、解答题(每小题10分，共20分)7．用符号“任意的”或“存在”表示下列的命题，并判断真假： (1)实数的平方大于或等于0；(2)存在一对实数(x ，y )，使2x －y ＋1<0成立； (3)勾股定理．解析： (1)是全称命题，隐藏了全称量词“所有的”．任意的x ∈R ，x 2≥0.是真命题．(2)存在x ∈R ，y ∈R,2x －y ＋1<0，是真命题，如x ＝0，y ＝2时：2x －y ＋1＝0－2＋1＝－1<0成立． (3)这是全称命题，所有直角三角形都满足勾股定理．即任意的Rt △ABC ，a ，b 为直角边长，c 为斜边长，a 2＋b 2＝c 2.是真命题． 8．写出下列命题的否定： (1)若2x >4，则x >2；(2)若m ≥0，则x 2＋x －m ＝0有实数根； (3)可以被5整除的整数，末位是0； (4)被8整除的数能被4整除；(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．解析： (1)的否定：存在实数x 0，虽然满足2x 0>4，但x 0≤2. (2)的否定：虽然实数m ≥0，但存在一个实数m 0，使x 2＋x －m 0＝0无实数根．(3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0. (4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．(5)的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条边不相等．尖子生题库☆☆☆9．(10分)判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)至少存在一个实数x ，使x 3＋8＝0.(2)存在x∈Q，x2＝3.(3)任意x∈R，sin x>1.(4)负数的平方是正数．解析：(1)真命题，其否定是：“任意实数x，x3＋8≠0”．(2)假命题，其否定是：“任意x∈Q，x2≠3”．(3)是假命题，命题的否定是：“存在x∈R，sin x≤1”．(4)是真命题，命题的否定是：“存在一个负数的平方不是正数”．。

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高中数学必修一同步训练及解析
1．设函数f(x)＝2x －1(x<0)，则f(x)( )
A ．有最大值
B ．有最小值
C ．是增函数
D ．是减函数
解析：选C.
画出函数f(x)＝2x －1(x<0)嘚图象，如右图中实线部分所示．
由图象可知，函数f(x)＝2x －1(x<0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.
2．函数y ＝1
x －1
在[2,3]上嘚最小值为( ) A ．2
B.12
C.13
D ．－12
解析：选B.函数y ＝
1x －1在[2,3]上为减函数， ∴y min ＝13－1＝12
. 3．函数f(x)＝1x 在[1，b](b>1)上嘚最小值是14
，则b ＝________. 解析：∵f(x)在[1，b]上是减函数，
∴f(x)在[1，b]上嘚最小值为f(b)＝1b ＝14
， ∴b ＝4.
答案：4
4．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *嘚最小值是________．
解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1，
∴y ＝2x 2＋2≥4，
即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上嘚最小值为4，此时x ＝1.
答案：4
[A 级基础达标]
1．函数f(x)＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f(x)嘚最大值为( )
A ．－1
B ．0
C ．3
D ．－2
解析：选C.∵f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f(1)＝0，f(4)＝3.
∴f(x)嘚最大值是3.
2．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋6，x ∈[1，2]
x ＋7，x ∈[－1，1]
，则f(x)嘚最大值、最小值分别为( ) A ．10、6
B ．10、8
C ．8、6
D ．以上都不对
解析：选A.f(x)在x ∈[－1,2]上为增函数，f(x)max ＝f(2)＝10，f(x)min ＝f(－1)＝6.
3．函数f(x)＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上嘚最大值为( )
A ．9
B ．9(1－a)
C ．9－a
D ．9－a 2
解析：选A.x ∈[0,3]时f(x)为减函数，f(x)max ＝f(0)＝9.
4．函数f(x)＝x －2，x ∈{0,1,2,4}嘚最大值为________．
解析：函数f(x)自变量嘚取值是几个孤立嘚数，用观察法即得它嘚最大值为f(4)＝2.
答案：2
5．函数f(x)＝x 2＋bx ＋1嘚最小值是0，则实数b ＝________.
解析：f(x)是二次函数，二次项系数1>0，
则最小值为f(－b 2)＝b 24－b 22
＋1＝0，解得b ＝±2.
答案：±2
6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 －12≤x≤11x 1＜x≤2，求f(x)嘚最大、最小值．
解析：当－12
≤x≤1时，由f(x)＝x 2，得f(x)嘚最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；当1＜x≤2时，由f(x)＝1x
，得f(2)≤f(x)＜f(1)，即1
2
≤f(x)＜1. 综上f(x)max ＝1，f(x)min ＝0.
[B 级能力提升]
7．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f(x)嘚最小值为－2，则f(x)嘚最大值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选C.因为f(x)＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f(x)取得最小值，及－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f(x)＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C.
8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得嘚最大利润为( )
A ．90万元
B ．60万元
C ．120万元
D ．120.25万元
解析：选C.设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为 L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x)
＝－x 2＋19x ＋30
＝－(x －192)2＋30＋192
4
， ∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．
9．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上嘚最大值为4，则a ＝______.
解析：若a<0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间嘚左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，当x ＝3时，y ＝4，∴3a ＋1＝4，∴a ＝1.
综上：a ＝1.
答案：1
10．已知函数f(x)＝1a －1x (a>0)． (1)证明f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若f(x)嘚定义域、值域都是[12
，2]，求实数a 嘚值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，
则f(x 2)－f(x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1
) ＝1x 1－1
x 2＝x 2－x 1x 1x 2
. ∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0，
∴x 2－x 1x 1x 2
>0，即f(x 2)>f(x 1)． ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[12，2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f
12＝1a －2＝12，f 2＝1a －12＝2，
∴a ＝25
. 11.
如图所示，动物园要建造一面靠墙嘚两间一样大小嘚长方形动物笼舍，可供建造围墙嘚材料总长为30 m ，问每间笼舍嘚宽度x 为多少m 时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？
解：设总长为b ，
由题意知b ＝30－3x ，
可得y ＝12
xb ，即y ＝12
x(30－3x)
＝－32
(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)．当x ＝5时，y 取得最大值37.5，
即每间笼舍嘚宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.。