多项式除法
多项式的除法原理(综合除法)
1 2 41 3 3 7＋＋＋＋ ＋＋多項式的除法原理(綜合除法)1.多項式的除法定理：設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x )q(x )g(x )r＝‧＋成立，其中r(x)0＝或r(x)<d eg g (x)deg 。
(1).f (x)稱為被除式，g (x)稱為除式，q (x)稱為商式，r(x)稱為餘式。
(2).被除式＝除式×商式＋餘式。
(3).簡式：A ＝BQ ＋R2.綜合除法：2x 2x 4＋＋除以x 1－得到商式為x 3＋，餘式為 7依照除法定理可表示成2x 2x 4＋＋＝(x 1－)(x 3＋)＋7綜合除法的作法：注意 ＋1 ＂變號＂（ｘ-1）餘式 其中1 ＋3 所代表的是商式x 3＋2＋1＝32ax b x c (x e)(f x g )＋＋＝－＋＝2f x (g ef )x eg ＋－－ (整除)依照比較係數法：2a f b g ef g b ae c eg c e(b ae)be ae ＝＝－＝＋＝－＝－＋＝－－⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩長除法表示：(已代換)222ax (b ae)x-e ax bx cax aex (b ae)x c(b ae)x-e(b ae)c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )]＋＋＝－＋＋綜合除法表示：＋e餘式思考1：為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。
思考2：設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則(1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？(2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。
2a b cae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋。
多项式的除法
多项式的除法1． 带余除法定理1 （带余除法定理）设()f x 与()g x 是多项式，且()0g x ≠，那么存在惟一的一对多项式()q x 与()r x ，使得()()()()f x g x q x r x =+ ①其中()0r x =或者()()deg deg r x g x <。
()q x 叫做以()g x 除()f x 所得的商，()r x 叫做余式。
定义1：在①式中，当()0r x =时，称()g x 整除()f x ，记为()g x |()f x ，也称()g x 是()f x 的因式，或()f x 是()g x 的倍式。
若()0r x ≠，则称()g x 不整除()f x 。
定理2 （余数定理）多项式()f x 除以x a -所得余数为()f a 。
推论1 ()x a -|()()()f x f a -推论2 若()[]f x Z x ∈,a 与b 是不同的整数,则()a b -|()()()f a f b -.由余数定理还可以得到以下重要定理:定理3 (因式定理)多项式()f x 有因式x a -的充要条件是()0f a =.多项式整除的基本性质:(1) 若()f x |()g x ,()g x |()h x ,则()f x |()h x(2) 若()h x |()f x ,()h x |()g x ,则()h x |()()f x g x ±⎡⎤⎣⎦(3) 若()h x |()f x ,则()h x |()()f x g x ⋅,()g x 为任意多项式.(4) 若()f x |()g x ,()g x |()f x ,则()()f x c g x =⋅,其中c 是不等于零的常数.2． 多项式的分解定义2:一个次数大于零的多项式()f x ,如果在数域F 内除形如λ和()f x μ(,λμ为非零数)的因式(称为()f x 的平凡因式)外,无其它因式,则称()f x 在F 内不可约.若()f x 在F 内除平凡因式外,还有其它因式,则称()f x 在F 内可约.不可约多项式的一些重要性质:(1) 如果多项式()p x 不可约,而()f x 是任一多项式,那么,或者()()(),1p x f x =,或者()p x |()f x .(2) 如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除,那么()f x 与()g x 中至少有一个被()p x 整除.定理4 数域F 上的次数大于零的多项式()f x ,如果不计零次因式的差异,那么()f x 可以惟一地分解为以下形式:()()()()1212t k k k t f x ap x p x p x = ②其中a 是()f x 的最高次项的系数,()()()12,,t p x p x p x 是首项系数为1的互不相等的不可约多项式,并且()()1,2,,i p x i t = 是()f x 的i k 重因式.【注】其中数域F 是指Q ,或R ,或C .关于整系数多项式的分解问题.定义3:设整系数多项式()0mj j j f x a x ==∑各项系数的最大公约数等于1,即()012,,,,1m a a a a = ;则称()f x 为本原多项式.引理 设()f x ,()g x 和()h x 都是整系数多项式并且()()()h x f x g x =⋅,如果质数p 整除多项式()h x 的所有系数,那么至少有()f x 与()g x 这两个多项式之一,其所有的系数也都能被p 整除.推论 本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式.定理5 如果整系数多项式()f x 在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约. 以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式()f x 在整系数范围内不可约,那么它在有理数范围内也不可约.3． 最大公因式定义4:如果两个多项式()f x 与()g x 同时被()d x 整除,那么()d x 叫做()f x 与()g x 的公因式.如果()d x 是()f x 与()g x 的公因式,并且()f x 与()g x 的所有公因式都整除()d x ,则()d x 叫做()f x 与()g x 的最大公因式.【注】两个不全为零的多项式的最大公因式是不唯一的,它们之间只有常数因子的差异.这时,我们约定,最大公因式是指首项系数为1的那一个,这样,两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式就是惟一的,记为()()(),f x g x .两个多项式的最大公因式,有以下重要定理:定理6 设多项式()f x 与()g x 的最大公因式为()d x ,那么存在多项式()u x 与()v x ,使以下等式成立:()()()()()f x u x g x v x d x += ③定义5:如果两个多项式除零次多项式外无其他的公因式,那么就称这两个多项式互素. 显然,()f x 与()g x 互素()()(),1f x g x ⇔=.定理7 两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是,存在多项式()u x 与()v x ,使()()()()1f x u x g x v x += ④互素多项式的一些重要性质:(1) 若()()()()()(),1,,1f x h x g x h x ==,则()()()(),1f x g x h x -=(2) 若()h x |()()f x g x ,()()(),1h x f x =,则()h x |()g x .(3) 若()g x |()f x ,()h x |()f x ,()()(),1g x h x =,则()()g x h x |()f x .针对性训练1. 求19861x -除以()()2211x x x +++所得的余式. 解:()()32111x x x x -=-++ ()21x x ∴++|()31x -又()()()662198633111x x x p x -=-=- ()31x ∴-|()19861x -()21x x ∴++|()19861x -由此可知, 19861x -除以()()2211x x x +++所得余式()()()21r x x x ax b =+++.这里,a b R ∈,于是()()()()()198********x x x x g x x x ax b -=+++++++ 令x i =,得()20i ai b -=++,即2a bi -=-+. 比较两端的实部和虚部,得2,0a b ==. 故所求余式为()()221r x x x x =++.2. 设多项式()[]32f x x bx cx d Z x =+++∈,并且bd cd +是奇数,证明:()f x 不能分解为两个整系数多项式的乘积.证明:因为()bd cd b c d +=+是奇数,所以d 与b c +均为奇数,从而()11f b c d =+++是奇数.假设()()()()2,,f x x p x qx r p q r Z =+++∈。
多项式理论及多项式除法
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两个一元多项式相加，只需要将它们的对应项系数相加即 可。例如，$(2x^2+3x+1)+(x^2+2x+3)=3x^2+5x+4$ 。
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一元多项式减法
两个一元多项式相减，只需要将它们的对应项系数相减即 可。例如，$(2x^2+3x+1)-(x^2+2x+3)=x^2+x-2$。
多项式除法
多項式的除法： 5x 4 商式
多項 ÷ 單項
數字÷數字 文字÷文字 求下列各式的商式及餘式：
22 2 6 x 7x 3 2 6 x 22xx 3x 3x 6 x 66 x 7 x 3 2 2 x 2 x 3x 6x 2 6 x 2 x 3x 7 x 7 x 6x 7x 2 x 3x 7 7 7 x 77xx 22xx 7 7 7 x 2 x 2 7 2 7 x 2 x 7x x 式 33 2 餘 式 2 餘 2 2 3 餘 式 33 餘 餘式 式 所以商式為5x 4 ，餘式為0 7 所以商式為3x ，餘式為 3 2
2 2 2 22 2 2 5x 7 x 5x 5x 5x 5x 5x 4x 4x 4x 4x 4x 4x 7x 4 x x 4 4 x x x 4 4 x 0 3x 5x 3x 5x 5x 2 ) 3x 3x 5x 3x 5x 3x 5x 2 x ) 7 2x x ( 4x ) x ( 4x ) x ( 4x x ( 4x ) x 4x ))) x ( ( 4x 2 餘式 餘式 餘式 餘式 餘式 餘式 餘式
所以商式為2x 2 ，餘式為7
商式和餘式不一定整數，一定要除光光！
隨堂練習
2x 2 多項 ÷ 多項 數字÷數字 多項式的除法： 2 文字÷文字 2 x 1 2) 4x 2 x 5 求(4x 4x 2x 2 5) (2x 1) 的商式及餘式 +2x 4x + 5 2x 2 2x 4 x 2x 2 2x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 1 ) 4x 2 x 5 2x 2x 5 2 x 1 ) 4x 7 2x x 5 5 2 x 1 ) 4x2 2 2 2 2 +2x 2 2 4x 4x +2x 4x +2x 4x +2x 4x + 5 4x + 5 4x 4x + +5 5 4 x 2 4x 2 4 4x x 2 2 7 7 7 7
多项式除法
多项式除法多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，从而得到商式和余式的过程。
本文将详细地介绍多项式除法的概念、方法和应用。
文章内容将会包括以下几个方面：1. 多项式的基本概念2. 多项式除法的基本原理3. 一次多项式除法的步骤和实例4. 高次多项式除法的步骤和实例5. 多项式除法的应用1. 多项式的基本概念多项式是指一个形如 $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 的表达式，其中 $a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$ 都是实数常数，$x$ 是一个变量，$n$ 是一个非负整数。
例如，$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 就是一个多项式。
多项式由项组成，项是由系数和变量的幂次组成的。
例如，$3x^{5}$ 和$-5x^{2}$ 就是多项式的两个项。
多项式的次数就是最高次项的指数。
例如，$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 的次数就是 5。
2. 多项式除法的基本原理在多项式除法中，我们通常将被除式写在长除法的“被除数”位置上，将除数写在“除数”位置上，然后进行一步步的计算，得到商式和余式。
需要注意的是，如果除式和被除数两者的次数一样，那么进行除法的结果通常是一个常数项。
例如，$x^{2}+7$ 除以 $x^{2}+1$ 的结果为 $7$。
这种情况通常被称为“浅层除法”。
在深层多项式除法中，我们需要按照下面的步骤进行计算：1. 将除数和被除数按照次数从高到低排列，并在次数低于除数次数的项上添加 0。
2. 取被除数的最高次项除以除数的最高次项，得到商式的最高次项，将其写在商式的最高次项位置上。
3. 将被除数减去商式乘以除数得到一个新的多项式。
4. 重复步骤 2 和 3 直到新的多项式的次数小于除数的次数，此时新的多项式就是余式。
需要注意的是，如果除数的最高次系数为 1，那么步骤 2 中得到的商式的最高次项的系数就是被除数的最高次项的系数除以除数的最高次项的系数。
多项式除以多项式
多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． （2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来． （4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法 ∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．） 因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法． 但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即 323-+x x除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-． 综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
多项式除以多项式.docx
多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（ 4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算( x29x 20) ( x 4)规范解法∴( x 29x20)(x 4)x 5.解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘，得 5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果， (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) ．规范解法∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．注①遇到被除式或除式中缺，用0 位或空出；②余式的次数低于除式的次数．另外，以上两例可用分离系数法求解．如例2．∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．8．什么是合除法由前面的 4我知道两个多式相除可以用式行，但当除式一次式，而且它的首系数 1 ，情况比特殊．如：算 ( 2x33x4)( x 3) ．因除法只系数行，和x 无关，于是算式（1）就可以化成算式（2）．可以再化．方框中的数2、6、21 和余式首系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首系数是1，所以余式的首系数 6、21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首系数也省略，算式（ 2）就化成了算式（30 的形式：将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例 1 用综合除法求x43x33x 23x 12 除以x 1的商式和余式．规范解法∴商式x32x 2x 2 ，余式＝10．例 2用综合除法证明2x515x3 10 x29 能被x 3整除．规范证法这里 x 3x( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是 0，所以2x515x310 x29 能被x 3 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成 1以后才能用综合除法．．例 3 求2x3x7 除以2x 1 的商式和余数．规范解法把 2x1除以2，化为x1，用综合除法．2但是，商式2x2x3，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了 2 倍，应当除以 2 才是所求的商2式；余数没有变．∴ 商式x21x3，余数73．244为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．用 2x 3x 7 除以 x1 ，得商式 2x2 x3 ，余数为 7 3 ，即2 2 4 ∴2x3x 3x 12x2x3 7 322 42x 1 x 21 x 37 3．2 44即2x3x 3 除以 2x 1的商式x21 x 3 ，余数仍为 73．244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
微分算子法 多项式除法
微分算子法多项式除法（实用版）目录1.微分算子法简介2.多项式除法原理3.微分算子法在多项式除法中的应用4.微分算子法的优点与局限性正文一、微分算子法简介微分算子法是一种求解微分方程的高效数值方法，它是基于微分算子原理发展起来的。
微分算子法通过将微分方程转化为微分算子方程，进而求解得到原微分方程的解。
这种方法在解决许多实际问题中具有较高的数值稳定性和精度，广泛应用于物理、化学、生物学等领域。
二、多项式除法原理多项式除法是一种数学运算，用于计算两个多项式相除的结果。
在代数学中，多项式除法是将一个多项式除以另一个多项式，得到一个新的多项式。
这个新多项式的每一项都与原多项式的对应项成比例。
在计算机科学中，多项式除法通常采用长除法的形式，通过迭代计算来完成。
三、微分算子法在多项式除法中的应用微分算子法在多项式除法中的应用主要体现在以下几个方面：1.微分算子法可以提高多项式除法的数值稳定性。
在求解微分方程时，多项式除法可能会遇到数值不稳定的问题，而微分算子法通过引入微分算子，可以有效地改善这种情况。
2.微分算子法可以提高多项式除法的计算精度。
由于微分算子法是基于微分算子原理发展起来的，因此在求解微分方程时，它可以提供更高的计算精度。
3.微分算子法可以简化多项式除法的计算过程。
在求解微分方程时，通过引入微分算子，可以将多项式除法转化为微分算子方程，从而简化计算过程。
四、微分算子法的优点与局限性微分算子法作为一种求解微分方程的数值方法，具有以下优点：1.数值稳定性高：微分算子法通过引入微分算子，可以有效地提高数值稳定性。
2.计算精度高：微分算子法基于微分算子原理，可以提供较高的计算精度。
3.适用范围广：微分算子法可以应用于各种微分方程的求解，具有广泛的应用前景。
然而，微分算子法也存在一定的局限性：1.求解过程相对复杂：微分算子法需要引入微分算子，因此求解过程相对复杂。
2.计算成本较高：微分算子法需要进行多次迭代计算，因此计算成本较高。
多项式的除法运算
多项式的除法运算多项式的除法是数学中一种常见的运算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式，求出商和余数。
在多项式的除法运算过程中，需要注意一些基本的步骤和规则，以保证运算的准确性和高效性。
一、多项式的基本概念在介绍多项式的除法之前，首先需要了解多项式的基本概念。
多项式是由若干项的代数和组成，每一项由系数与自变量的幂次组成。
例如，多项式p(x)可以表示为：p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0为多项式的系数，n为多项式的次数，x为自变量。
二、多项式除法的步骤多项式的除法运算可以分为以下几个基本步骤：1. 将除式和被除式按照相同幂次排列，确保高次项在前。
2. 将除式的最高次项除以被除式的最高次项，得到商的最高次项。
3. 用商的最高次项乘以被除式，再将结果减去除式，得到一个新的多项式。
4. 将所得的多项式进行下一轮除法运算，重复以上步骤，直到无法再进行除法运算为止。
5. 当无法再进行除法运算时，所得的最后一个多项式就是所求得的余数。
三、多项式除法的示例例如，我们要计算多项式p(x)除以多项式q(x)的运算，其中p(x)和q(x)分别为：p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2q(x) = x - 1按照上述步骤进行多项式除法运算：1. 检查多项式p(x)和q(x)的次数，确保高次项在前：p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2q(x) = x - 12. 将除式的最高次项除以被除式的最高次项，得到商的最高次项：2x^3 / (x - 1) = 2x^23. 用商的最高次项乘以被除式，再将结果减去除式，得到一个新的多项式：(2x^2)(x - 1) = 2x^3 - 2x^2(2x^3 + 3x^2 - 5x + 2) - (2x^3 - 2x^2) = 5x^2 - 5x + 24. 将所得的新多项式进行下一轮除法运算，重复以上步骤：5x^2 / (x - 1) = 5x(5x)(x - 1) = 5x^2 - 5x(5x^2 - 5x + 2) - (5x^2 - 5x) = 25. 当无法再进行除法运算时，所得的最后一个多项式就是所求得的余数：余数为2四、多项式除法的规则在进行多项式除法运算时，还需要注意以下几个基本规则：1. 除式不能为零。
原题目：多项式除法的步骤与技巧
原题目：多项式除法的步骤与技巧多项式除法的步骤与技巧
多项式除法是一种常见的数学运算，用于将一个多项式除以另一个多项式。
下面是多项式除法的步骤与一些常用的技巧。
1. 步骤
多项式除法的基本步骤如下：
1. 将被除数和除数按照降幂排列。
2. 将两者的最高次项相除，得到商的最高次项。
3. 将商的最高次项与除数相乘，并将结果放在相应的位置上。
4. 将被除数减去刚才得到的乘积。
5. 重复以上步骤，直到无法再继续相除为止。
6. 最后得到的商和余数就是多项式除法的结果。
2. 技巧
在进行多项式除法时，有一些技巧可以帮助简化计算过程：
2.1. 估算商的次数
可以根据被除数和除数的次数，估算出商的次数。
例如，如果被除数的次数为n，除数的次数为m，那么商的次数可以估算为n-m。
2.2. 辗转相除法
辗转相除法是一种常用的简化多项式除法的技巧。
它的基本思想是在每一步中，只进行被除数的最高次项与除数的最高次项的相除，以减少乘法的次数。
2.3. 零次项的处理
在进行多项式除法时，要特别注意零次项的处理。
如果被除数的零次项与除数的零次项相除为零，那么商的零次项就为零。
如果被除数的零次项与除数的零次项相除不为零，可以通过乘法和减法得到准确的商和余数。
2.4. 精简商式
在得到商式后，可以对其进行精简。
去掉商式中的零次项和系数为零的项，以使得商式更加简洁。
结论
多项式除法是一种重要的数学运算，它可以用于解决多项式相关的问题。
通过掌握多项式除法的步骤和技巧，可以更加高效地进行计算，并得到准确的结果。
多项式euclid除法
多项式euclid除法欧几里得多项式除法（Euclidean polynomial division）是一种在代数中求解一元多项式除法问题的算法，它是由古希腊数学家欧几里得（Euclid）发明的。
1. 概述欧几里得多项式除法是一种求解多项式除法的算法，它可以用来求解两个以上的多项式的商和余数，以及最大公因式。
多项式除法问题本质上是计算多项式的因式分解。
它的算法原理是：将给定的多项式A （x）和多项式B（x）的系数相除，然后再求出商和余数，即可得到多项式A（x） = B（x） *Q（x） + R（x）2. 具体求解方法（1）先将被除数（dividend）多项式A（x）和除数（divisor）多项式B（x）乘以系数（coefficients）和指数（exponent）各异的x表示出来，然后令B（x）系数最高次项数与A（x）系数最高次项数相比较，将最高次项数的系数与A（x）的最高次项数的系数除以，得到的结果即是商的系数；（2）对于上步得出的商的系数，需要相乘以乘数（multiplicand）多项式B（x），并且将其乘数最高次项数与A（x）系数最高次项数相比较，将最高次项数乘以倍数，即得到乘积多项式；（3）再把乘积多项式与A（x）相减，得到的结果即是余数（remainder）多项式；（4）将不同的余数多项式逐步迭代，最终当余数多项式中的系数最高次项数等于0时，即可求得多项式的商和余数，以及最大公因式；3. 具体示例假设求解2X3 +3X2 -6X / X2 +1 的商和余数，（1）设被除数A（x）=2X3 +3X2 -6X，除数B（x）=X2 +1，对应系数相除，得出商系数为2X；（2）由商系数2X，将B（x）乘以2X，得到乘积多项式4X3 +2X2；（3）A（x）减去乘积多项式得到余数-X2 +X -6；（4）由余数-X2 +X -6，再把除数B（x）乘以-X，得到乘积多项式-X3 +1；（5）对比余数-X2 +X -6与乘积-X3 +1，余数最高次项系数为0，最终2X3 +3X2 -6X / X2 +1 的商是2X，余数是0，最大公因式为X+1。
maple 多项式除法
maple 多项式除法在数学的领域中，多项式除法是一个很重要却又非常基础的运算，如果要求得两个多项式之间的商和余式，那么我们需要了解如何使用多项式除法来实现，其中Maple就是一个强大的工具，可以极大地帮助我们进行多项式除法的计算。
下面，我们就来介绍一下在Maple 中进行多项式除法的方法。
一. 多项式的定义在 Maple 中，多项式是由若干项组成，而每一项又由系数和变量因子组成。
例如，下面的式子就是一个多项式：（1/2）x^2 + 3x + 1在这个式子中，系数分别为 1/2、3、1，变量因子分别为 x^2、x、1。
“^”符号表示幂运算，例如 x^2 即为 x 的平方。
多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得出商和余数的运算。
例如，我们要求出多项式 q(x) 除以多项式 p(x) 的商和余数，表达式为：q(x) = p(x)×s(x) + r(x)，其中 s(x) 为商，r(x) 为余数。
在 Maple 中，我们可以使用“divide”命令来计算多项式的商和余数。
下面我们通过一个实例来讲解如何使用 Maple 完成多项式除法计算。
实例：计算多项式 f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 除以多项式 g(x) = x + 1 的商和余数。
首先，我们需要在 Maple 中定义多项式 f(x) 和 g(x)，如下所示：步骤二：执行多项式除法接下来，我们使用“divide”命令来完成多项式除法的计算：> divide(f,g);输出结果如下：x^2 + 2 x + 11 + ----------x + 1其中，商为“x^2 + 2x + 1”，余数为“1”。
上述操作首先将 f(x) 除以 g(x)，得到了商“x^2 + 2x + 1”和余数“1”。
“1 +”表示的是余数“1”除以除数“x + 1”的结果，即商为 1，余数为 1。
如果我们只需要多项式的商而不需要余数，可以使用“quo”命令，如下所示：四. 注意事项在使用 Maple 进行多项式除法计算时，需要注意以下几个问题：1. Maple 的输入要求严格，式子中的运算符和变量都需要用正确的语法和拼写。
多项式的除法与余式定理练习题
多项式的除法与余式定理练习题一、多项式的除法多项式的除法是高中数学中非常重要的一部分。
在多项式的除法中，我们常常需要根据除法的原理来求解商和余数。
接下来，我们将通过一些练习题来巩固多项式的除法。
1. 求下列多项式的商和余数：(1) 将多项式P(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 7x + 9 除以G(x) = x - 2。
(2) 将多项式Q(x) = 4x^3 + 6x^2 - 9x + 2 除以H(x) = x + 1。
(3) 将多项式R(x) = 2x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 7 除以F(x) =2x^2 - x + 3。
2. 证明下列关系式：(1) 若多项式P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 能被(x - r)整除，其中r是实数，则有P(r) = 0。
(2) 若多项式Q(x) = mx^n + nx^{n-1} + \dots + v 能被(x - s)^k整除，其中k是正整数，s是实数，则有Q(s) = Q'(s) = \dots = Q^{(k-1)}(s) = 0，其中Q'(x)表示对Q(x)求导后的结果。
二、余式定理余式定理是多项式除法的一个重要定理，它可以帮助我们求多项式在给定值处的余数。
接下来，我们将通过一些练习题来熟悉余式定理的应用。
1. 计算下列多项式在给定值处的余数：(1) 计算多项式P(x) = 3x^3 + 2x^2 - x + 5 在x = 2处的余数。
(2) 计算多项式Q(x) = 4x^4 - x^3 + 3x^2 - 2x + 1 在x = -1处的余数。
(3) 计算多项式R(x) = 2x^5 + 3x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 6x + 7 在x = 3处的余数。
2. 证明下列关系式：(1) 若多项式P(x)除以(x - r)的余数为0，则P(r) = 0。
(2) 若多项式Q(x)除以(x - s)^k的余数为0，则Q(s) = Q'(s) = \dots =Q^{(k-1)}(s) = 0，其中Q'(x)表示对Q(x)求导后的结果。
多项式的除法
多项式的除法多项式的除法是数学中一个重要的概念，用于求解多项式的商和余数。
在本文中，我们将介绍多项式的除法的概念和相关的计算方法。
一、多项式的定义与表示多项式是由系数和幂次构成的代数表达式。
一般形式为：P(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁x + aₙ其中，P(x)为多项式，a₀, a₁, ..., aₙ为系数，x为自变量，n为幂次。
多项式可以用系数和幂次的形式表示，也可以用展开的形式表示，如：P(x) = 3x³ + 2x² - 5x + 1二、多项式的除法定义多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，求解商和余数的过程。
具体而言，对于两个多项式P(x)和Q(x)，其中Q(x)≠0，存在唯一的多项式R(x)和S(x)，使得：P(x) = Q(x) * R(x) + S(x)其中，R(x)为商多项式，S(x)为余数多项式。
三、多项式的除法计算方法计算多项式的除法通常使用长除法的方法进行。
首先，将被除式的最高次方与除数的最高次方进行比较，确定商的最高次方。
然后，用被除式的最高次方的项除以除数的最高次方的项，得到商的最高次方的项。
将商的最高次方的项与除数相乘，得到一个新的多项式。
将这个新的多项式与被除式相减，得到一个新的被除式。
重复以上步骤，直到新的被除式的次数小于或等于除数的次数。
最终得到的商和余数即为所求的结果。
例如，求解多项式P(x) = 2x³ - 5x² - 3x + 1 除以Q(x) = x - 2的商和余数。
首先，比较被除式和除数的次数，确定商的次数为3次，即P(x)的最高次方为3，Q(x)的最高次方为1。
然后，将2x³除以x，得到2x²。
将2x²与Q(x)相乘，得到2x³ - 4x²。
将P(x)和2x³ - 4x²相减，得到-P(x) = -x² - 3x + 1。
多项式除法
多项式除法“多项式除法除法的一种类型，俗称「长除」。
适用于整式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中运用了乘法和减法。
是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。
是常见算数技巧长除法的一个推广版本。
它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。
”多项式除法的定义多项式除法是除法的一种类型，适用于整式除法、小数除法、多项式除法。
多项式除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。
把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来。
把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式。
若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除。
扩展资料计算1、把被除式、除式按某个字母作降幂排列，缺项补零，写成以下形式：然后商和余数可以这样计算：2、用分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x），得到首商，写在横线之上（x³÷x=x²）。
将分母乘以首商，乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） x²×(x−3) =x³−3x²。
3、从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），得到第一余式，写在下面。
然后，将分子的下一项“拿下来”。
4、把第一余式当作新的被除式，重复前三步，得到次商与第二余式（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式）。
5、重复第四步，得到三商与第三余式。
余式小于除式次数，运算结束。
多项式除以多项式
多项式除以多项式 Revised by Petrel at 2021多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． （2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1计算)4()209(2+÷++x x x规范解法 ∴.5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法 ∴商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．） 因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法． 但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即323-+x x除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
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关于多项式除以多项式两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)，仿照672÷21，计算如下：∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2．由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x＋2，再把4x＋2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式．整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2)．解：所以商式为2x＋1，余式为2x＋8．与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系：9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8)．这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补0的办法补足缺项．当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：于是得到商式=2x＋1，余式=2x＋8．对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下：所以，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)=6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32．如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题．1．(6x3＋x2－1)÷(2x－1)．2．(2x3＋3x－4)÷(x－3)．3．(x3－2x2－5)(x－2x2－1)．4．(x＋y)(x2－xy＋y2)．【本讲教育信息】一. 教学内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二. 重点、难点整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。
【典型例题】[例1] 化简求值：，其中，解：当，时原式[例2]A. B. C. D. 以上都不对解析：解这道题如用正规途径应对比等式左右两边系数从左边到右边少了，所以所求代数式的系数为2而最后一项为1，所以所求代数式为。
但这是一道选择题可以用代入法把A、B、C四个答案代入试试，很快发现也是A。
说明：同学们在做选择题时应选用较为灵活的方法。
[例3] 化简解：原式[例4] 计算我们仿照小学学习的多位数除以多位数的法则建立多项式除以多项式的法则所以规则：1. 先把除式与被除式按降幂排列，如果除式与被除式中有缺项，缺项的位置补0。
2. 用被除式的第一项除以除式的第一项，得商式的第一项再用这个商式去乘以除式，再把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积再把差当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止。
[例5] 计算此题已把除式与被除式按降幂排列好了先用被除式的首项除以除式的首项得商式首项，再用乘以得把它写在被除式下面同类项对齐作减法得（），再把作为新的被除式，用除以得再用乘以得写在下面作减法得0除完。
[例6]在用多项式除以多项式法则之前，我们观察被除式，发现被除式有缺项，如果忽视这个问题那么按法则去做，则同类项不能对齐。
所以应该在缺项的地方补0。
现在新的问题出来了，再用除以会得负指数，这是不行的，这时除法已经结束，我们仿照多位数除以多位数把叫做余式。
所以说明：如果多项式除以多项式有除不尽的情况，那么写成被除式= 除式×商式+余式余式的定义：当在做多项式除以多项式的除法时，如果新的被除式的最高次项小于除式的最高次项，则这个新的被除式为余式。
[例7] 已知多项式能被整除求值。
解：∵多项式能被整除∴余式∴[例8] 已知能被整除，求的值。
解：∵能被整除∴∴[例9] 已知求的值分析：设法把用含有的代数式表示∴∵∴说明：在这里我们用除以，有些同学存在困惑怎能做除数，这里作除法是寻找两个多项式之间的关系，并不是除0这一点，同学们要好好体会。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 计算①②2. 计算①③3. 计算4. 已知多项式能被整除且商式是，求的值。
5. 如果能被整除，求的值。
6. 已知，求7. 确定a的值使多项式能被除余数为1。
8. 求除以的商式和余数9. 已知多项式可被和整除，求、的值及此式的因式。
1.（）若多項式A除以多項式B得商式為Q，餘式為R，則下列敘述何者恆正確？(A)A－R是Q的倍式(B)A－R是B的因式(C)A是B的倍式(D)B是A的倍式《答案》A詳解：由題意得：A＝BQ＋R(B)A－R＝BQ，即A－R是B的倍式(C)當R＝0時，A才是B的倍式(D)當R＝0時，A是B的倍式，B是A的因式故選(A)2.（）若2x3＋x2＋mx－6為x－2的倍式，則2x3＋x2＋mx－6亦為下列何者的倍式？(A)x＋3 (B)x－3 (C)2x＋3 (D)2x－3《答案》C詳解：因為2x3＋x2＋mx－6為x－2的倍式所以x－2能整除2x3＋x2＋mx－6用x－2去除2x3＋x2＋mx－6得到：－6＋2(m＋10)＝0解得m＝－72x3＋x2＋mx－6＝(x－2)(2x2＋5x＋3)＝(x－2)(x＋1)(2x＋3)故選(C)3.（）3x3－13x2＋ax－b是x2－2x＋3的倍式，則a＋b＝？(A)152 (B)44 (C)38 (D)2《答案》B詳解：用x2－2x＋3除3x3－13x2＋ax－b得：a－23＝0，－b＋21＝0所以a＝23，b＝21故a＋b＝44，選(B)4.（）若(x＋2)和(2x＋3)都是8x3＋mx2＋17x＋n的因式，試求n＝？(A)－6 (B)6 (C)－12 (D)12《答案》A詳解：(x＋2)(2x＋3)＝2x2＋7x＋6用2x2＋7x＋6除8x3＋mx2＋17x＋n得：n－3(m－28)＝0又m＝26解得n＝－6，故選(A)5.（）若(x＋2)和(2x＋3)都是8x3＋mx2＋17x＋n的因式，則m＝？(A)26 (B)－26 (C)30 (D)－30詳解：(x ＋2)(2x ＋3)＝2x 2＋7x ＋6用2x 2＋7x ＋6除8x 3＋mx 2＋17x ＋n 得：－7－27(m －28)＝0解上式得：m ＝26，故選(A)6. （ ）若ax x ++522不是2x －1的倍式，則下列哪一個不可能是a 的值？ (A)－3 (B)－1 (C)1 (D)3《答案》A詳解：用2x －1去除ax x ++522得餘式為a ＋3 因為ax x ++522不是2x －1的倍式 所以餘式a ＋3不可能為0 即a 值不可能為－3 故選(A)二、填充：1. 已知x ＋2與4x ＋1都是8x 3－2x 2－41x －10的因式，則因式分解8x 3－2x 2－41x －10＝ 。
《答案》(x ＋2)(4x ＋1)(2x －5) 詳解：(x ＋2)(4x ＋1)＝4x 2＋9x ＋2 用4x 2＋9x ＋2除8x 3－2x 2－41x －10 得商式為2x －5所以8x 3－2x 2－41x －10＝(x ＋2)(4x ＋1)(2x －5)2. 如圖，翊寧做了一個多項式直式除法，發現多項式2x －3是多項式4x 3＋ax 2＋9x ＋b 的因式，其中部分係數以a 、b 、c 、d 、e 、f 表示，則：(1)a ＝ ，b ＝ ， c ＝ ，d ＝ ， e ＝ ，f ＝ 。
(2)4x 3＋ax 2＋9x ＋b 的另一個因式為 。
《答案》(1)－8，－9，－1，－2，3，0 (2)2x 2－x ＋3詳解：(1)由直式除法可知： 2c ＝－2，c ＝－1 e ＝－3c ＝3d ＋2＝0，d ＝－2 f ＝0(整除，餘式為0)b－9＝0，b＝9(2)2x2＋cx＋3＝2x2－x＋3是4x3＋ax2＋9x＋b的因式3.若x2－3x＋m為5x3－9x2＋nx－12的因式，則m＝，n＝。
《答案》－2，－28詳解：用x2－3x＋m除5x3－9x2＋nx－12得：(n－5m)＋18＝0，－12－6m＝0解得：m＝－2，n＝－284.已知x2＋x＋1為x3＋k的因式，則：(1)k＝。
(2)因式分解x3＋k。
《答案》(1)－1 (2)(x2＋x＋1)(x－1)詳解：(1)用x2＋x＋1除x3＋k得：k＋1＝0，故k＝－1(2) 用x2＋x＋1除x3＋k得到的商式為x－1所以x3＋k＝x3－1＝(x－1)( x2＋x＋1)5.若x－1與x－2皆為x3－6x2＋kx－6的因式，則：(1)k＝。
(2)因式分解x3－6x2＋kx－6＝。
《答案》(1)11 (2)(x－1)(x－2)(x－3)詳解：(1)(x－1)(x－2)＝x2－3x＋2用x2－3x＋2除x3－6x2＋kx－6得：(k－2)－9＝0解得：k＝11(2)用x2－3x＋2除x3－6x2＋kx－6得商式為：x－3所以x3－6x2＋kx－6＝(x－1)(x－2)(x－3)6.已知x3－x2＋x－1有因式x2＋1，則因式分解x3－x2＋x－1＝。
《答案》(x2＋1)(x－1)詳解：用x2＋0x＋1(缺項補0)除x3－x2＋x－1得商式為：x－1故x3－x2＋x－1＝(x2＋1)(x－1)7.若x3＋mx2＋nx＋10為x－2與x＋5的倍式，則：(1)(m , n)＝。
(2)x3＋mx2＋nx＋10的因式分解為。
《答案》(1)(2 , －13)(2)(x－2)(x＋5)(x－1)詳解：(1)(x－2)(x＋5)＝x2＋3x－10用x2＋3x－10除x3＋mx2＋nx＋10得：(n＋10)－3(m－3)＝010－10(m－3)＝0解得：m＝2，n＝－13故(m , n)＝(2 , －13)(2) 用x 2＋3x －10除x 3＋2x 2－13x ＋10 得商式為x －1所以x 3＋2x 2－13x ＋10＝(x 2＋3x －10)( x －1) ＝(x －2)(x ＋5)(x －1)8. 已知3x 3－11x 2＋27x －14是x 2－3x ＋7的倍式，則因式分解3x 3－11x 2＋27x －14＝ 。
《答案》(x 2－3x ＋7)(3x －2)詳解：用x 2－3x ＋7除3x 3－11x 2＋27x －14 得商式為：3x －2即3x 3－11x 2＋27x －14＝)( x 2－3x ＋7) (3x －2 9. 設2x ＋1是4x 3＋mx －6的因式，則： (1)m ＝ 。