高中数学必修四 课时作业20 人教版
2020年高中数学人教A版必修四课时训练章末复习课3 Word版含答案
章末复习课课时目标 1.灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.2.体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力． 知识结构一、选择题1．tan 15°＋1tan 15°等于( )A ．2B ．2＋ 3C ．4 D.4332．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2 3．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π 4．已知θ是第三象限角，若sin 4 θ＋cos 4 θ＝59，那么sin 2θ等于( )A.223 B ．－223 C.23 D ．－235．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)的最小正周期是________．8．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．9．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.10．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝________. 三、解答题11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π6－2cos 2π8x ＋1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值．能力提升13．函数f (x )＝sin xsin x ＋2sinx2是( )A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数14．设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________.本章所学内容是三角恒等变换的重要的工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．章末复习课作业设计 1．C2．A [∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝(－13)2＋11＋2×(－13)＝103.]3．B [f (x )＝sin 4x ＋1－sin 2x ＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x (1－sin 2x )＋1＝1－sin 2x cos 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78∴T ＝2π4＝π2.]4．A [∵sin 4 θ＋cos 4 θ＝(sin 2 θ＋cos 2 θ)2－2sin 2 θcos 2 θ＝1－12sin 2 2θ＝59，∴sin 2 2θ＝89.∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0.∴sin 2θ＝223.]5．C [f (x )＝3sin ωx ＋cos ωt ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6.因为函数y ＝f (x )的图象与y ＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y ＝f (x )的周期为π.所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得2k π－2π3≤2x ≤2k π＋π3，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．]6．C [∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋C ＝1.∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋C ＝12， ∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π6(舍去)， ∴C ＝23π.]7．π解析 f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)＝cos 2(π4－x )－sin 2(x －π4)＝cos 2(x －π4)－sin 2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝sin 2x .∴T ＝π. 8．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)，∴y min ＝1－ 2. 9.4780解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2 ＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β) ＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136. ∴80sin(α＋β)＝47，∴sin(α＋β)＝4780.10．－17解析 由题意，得2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，∴4k π＋2π＜2α＜4k π＋3π.∴sin 2α＞0.∴sin 2α＝1－cos 22α＝45.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan 2α1－tan π4 tan 2α＝1－431＋43＝－17. 11．解 (1)由cos β＝55，β∈(0，π)，得sin β＝255，tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1.(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310，f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x＝－5sin x ，又－1≤sin x ≤1，所以f (x )的最大值为 5.12．解 (1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π3， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))． 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4(2－x )－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π3. 当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32. 13．A [由sin x ＋2sin x 2＝2sin x 2(cos x2＋1)≠0，得x ≠2k π，k ∈Z .∴f (x )定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }关于原点对称．∵f (x )＝sin xsin x ＋2sin x 2＝cosx 21＋cosx2.∴f (－x )＝cos (－x 2)1＋cos (－x 2)＝cosx 21＋cosx2＝f (x )．∴函数f (x )为偶函数．又f (x ＋2π)＝cos x ＋2π21＋cos x ＋2π2＝cos (π＋x 2)1＋cos (π＋x 2)＝－cosx 21－cos x 2≠f (x )．f (x ＋4π)＝cos x ＋4π21＋cos x ＋4π2＝cos (2π＋x 2)1＋cos (2π＋x 2)＝cosx 21＋cos x 2＝f (x )，∴函数f (x )以4π为周期．]14．－34解析 由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135.∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135，∴cos 2α＝45.∵α为第四象限角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π，(k ∈Z )∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π，(k ∈Z ) 故2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝45，∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高一下学期数学必修4全册课时作业-第二章章末综合检测
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于( )A ．3AB → B.AB →C.BA →D.CA →解析：选B.原式＝(AB →＋BA →)＋(AC →－BC →)＝(AB →－AB →)＋(AC →＋CB →)＝0＋AB →＝AB →，故选B .2．已知i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则与2i ＋3j 垂直的向量是( )A ．3i ＋2jB ．－2i ＋3jC ．－3i ＋2jD ．2i －3j解析：选C.2i ＋3j ＝(2，3)，C 中－3i ＋2j ＝(－3，2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．3．下列说法正确的是( )A ．两个单位向量的数量积为1B ．若a·b ＝a·c ，且a ≠0，则b ＝cC.AB →＝OA →－OB →D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a·b解析：选D.A 中，两向量的夹角不确定，故A 错；B 中，若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方向，则不成立，故B 错；C 中，应为AB →＝OB →－OA →，故C 错；D 中，因为b ⊥c ，所以b·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a·b ＋c·b ＝a·b ，故D 正确．4．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选D.因为a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6，4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.5．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析：选B.因为|a ＋b |＝|a －b |⇔(a ＋b )2＝(a －b )2⇔a·b ＝0，所以a ⊥b ，选B.6．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(－3，1)，a 与b 的夹角为θ，则tan θ等于( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选D.由题意，得a·b ＝3×(－3)＋4×1＝－5，|a |＝5，|b |＝10，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－5510＝－110. ∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝1－cos 2θ＝310， ∴tan θ＝sin θcos θ＝－3. 7．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12)C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设D (x ，y )，则BC →＝(4，3)，AD →＝(x ，y －2)．又BC →＝2AD →，故⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2（y －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.8．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 N D.10 N解析：选B.对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 2 N ；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 2 N.9．A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B.∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等腰三角形．10．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3，1)，P 2(－1，3)，且向量OP 3→与向量a ＝(1，1)垂直，则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D.设OP 3→＝(x ，y )，则由OP 3→⊥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )，设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，(x ，－x )＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)，∴λ＝－1.二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知点A (－1，－5)，a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析：设B (x ，y )，(x ＋1，y ＋5)＝3(2，3)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y ＋5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4. 答案：(5，4)12．设e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝e 1－2e 2.若以a ，b 为基底表示向量e 1＋2e 2，即e 1＋2e 2＝λa ＋μb ，则λ＋μ＝________．解析：由a ＝3e 1＋4e 2，b ＝e 1－2e 2，得e 1＝15a ＋25b ，e 2＝110a －310b ， ∴e 1＋2e 2＝25a －15b ，即λ＋μ＝25－15＝15.。
新课标版数学必修4作业本20课时衡水作业本
高考调研 ·新课标 ·数学（必修4）
14．(5 分)如图， O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不
共线的三个点，动点
P
满足O→P＝O→A＋λ(
→ AB →
＋
→ AC →
)，λ∈[0，＋
|AB| |AC|
∞)，则 P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )
A．外心 C．重心
B．内心 D．垂心
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修4）
3．设 e1、e2 是两个不共线的向量，则向量 a＝2e1－e2，与向
量 b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，当且仅当 λ 的值为( )
A．0
B．－1
C．－2
D．－12
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修4）
答案 D 解析 ∵向量 a 与 b 共线，∴存在唯一实数 u，使 b＝ua 成 立．即 e1＋λe2＝u(2e1－e2)＝2ue1－ue2. ∴1λ＝＝2－u，u.解得 λ＝－12.
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修4）
5．点 P 满足向量O→P＝2O→A－O→B，则点 P 与 AB 的位置关系 是( )
A．点 P 在线段 AB 上 B．点 P 在线段 AB 延长线上 C．点 P 在线段 AB 反向延长线上 D．点 P 在直线 AB 外
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修4）
(2)设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝ e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，若 A，B，D 三点共线，求 k 的值．
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修4）
解析 (1)证明：因为B→C＝6e1＋23e2，C→D＝4e1－8e2， 所以B→D＝B→C＋C→D＝10e1＋15e2. 又因为A→B＝2e1＋3e2，得B→D＝5A→B，即B→D∥A→B， 又因为A→B，B→D有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线．
2020高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课时作业(含解析)新人教A版必修4
2020高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课时作业（含解析）新人教A 版必修4一、选择题1．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得线段长为π4，则f (π12)的值是( )A ．0 B.33C ．1D. 3解析：正切函数图象上的相邻两支曲线之间的距离为周期T ，从而πω＝π4，所以ω＝4，从而f (π12)＝tan(4×π12)＝tan π3＝ 3.答案：D2．函数y ＝3tan(12x ＋π3)的一个对称中心是( )A ．(π6，0)B ．(2π3，－33)C ．(－2π3，0)D ．(0,0)解析：由x 2＋π3＝kπ2得x ＝kπ－2π3(k ∈Z)，k ＝0时，x ＝－23π.答案：C3．函数f (x )＝tan2xtan x 的定义域为( )A ．{x |x ∈R 且x ≠kπ4，k ∈Z}B ．{x |x ∈R 且x ≠kπ＋π2，k ∈Z}C ．{x |x ∈R 且x ≠kπ＋π4，k ∈Z}D ．{x |x ∈R 且x ≠kπ－π4，k ∈Z}解析：由tan x ≠0，得x ≠kπ，又x ≠kπ＋π2，2x ≠kπ＋π2，∴x ≠kπ且x ≠kπ＋π2且x ≠kπ2＋π4，∴x ≠kπ4，k ∈Z. 答案：A4．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：方法一：因为函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是单调函数，所以最小正周期T ≥π，即π|ω|≥π，所以0<|ω|≤1. 又函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，所以ω<0. 综上，－1≤ω<0.方法二：分别在各选项给出的区间上取特殊值来进行验证．如取ω＝1时，不符合题意，排除A 、C ；取ω＝－2时，π4∈(－π2，π2)，此时ωx ＝－π2，但－π2的正切值不存在，不符合题意，所以排除D.故选B.答案：B5．与函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象不相交的直线是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8解析：∵y ＝tan x 的图象与x ＝kπ＋π2，k ∈Z 不相交，∴2x ＋π4＝kπ＋π2(k ∈Z)．∴x ＝kπ2＋π8(k ∈Z)．当k ＝0时，x ＝π8.答案：C 二、填空题6．函数y ＝1tan x (x ∈[－π4，π4]且x ≠0)的值域为________．解析：∵x ∈[－π4，π4]且x ≠0，∴－1≤tan x <0或0<tan x ≤1，∴1tan x ≤－1或1tan x≥1，∴y ＝1tan x的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)7．不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小：tan135°________tan138°.(填“<”或“>”)解析：∵90°<135°<138°<270°，又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数， ∴tan135°<tan138°. 答案：<8．已知正切函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象与x 轴相交的两相邻点的坐标为(π6，0)和(5π6，0)，且过(0，－3)点，则它的表达式为________．解析：T ＝5π6－π6＝2π3，∴ω＝πT ＝32.所以⎩⎪⎨⎪⎧32×π6＋φ＝0，－3＝A ·tan 32×0＋φ，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，φ＝－π4.答案：y ＝3tan(32x －π4)三、解答题9．利用函数图象解不等式－1≤tan x ≤33. 解：作出函数y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的图象，如图所示．观察图象可得：在(－π2，π2)内，自变量x 应满足－π4≤x ≤π6，由正切函数的周期性可知，不等式的解集为{x |－π4＋kπ≤x ≤π6＋kπ，k ∈Z}． 10．求函数y ＝tan(3x －π3)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性． 解：令t ＝3x －π3，则y ＝tan t .∵y ＝tan t 的定义域为t ≠kπ＋π2，k ∈Z ，∴3x －π3≠kπ＋π2，k ∈Z ，即x ≠kπ3＋5π18，k ∈Z.∴所求定义域为{x |x ≠kπ3＋5π18，k ∈Z}．∵y ＝tan t 的值域为R ， ∴y ＝tan(3x －π3)的值域为R.y ＝tan(3x －π3)的周期为T ＝π3.∵tan(－3x －π3)≠tan(3x －π3)，也不等于－tan(3x －π3)，∴y ＝tan(3x －π3)是非奇非偶函数．由kπ－π2<3x －π3<kπ＋π2，k ∈Z ，得 kπ3－π18<x <kπ3＋5π18，k ∈Z.∴函数在区间(kπ3－π18，kπ3＋5π18)(k ∈Z)上是增函数．。
高一下学期数学必修4全册课时作业-第一章章末综合检测
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1．下列角中终边与330°相同的角是( )A ．30°B ．－30°C ．630°D ．－630°解析：选B.与330°终边相同的角为{α|α＝330°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－1时，α＝－30°.2．半径为π cm ，圆心角为60°所对的弧长是( )A.π3 cmB.π23cm C.2π3 cm D.2π23cm 解析：选B.l ＝|α|·r ＝π3×π＝π23(cm)，故选B. 3．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35解析：选B.∵角θ的终边过(4，－3)，∴cos θ＝45. ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45. 4．已知tan α＝2，则cos （π＋α）cos （π2＋α）的值为( ) A ．－12B ．－2 C.12D ．2 解析：选C.cos （π＋α）cos （π2＋α）＝－cos α－sin α＝1tan α＝12. 5．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：选A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋π8＝sin 2x ，为奇函数，故选A.6．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin(π2＋A )＝( ) A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B.cos(π＋A )＝－cos A ＝－12， 则cos A ＝12，sin(π2＋A )＝cos A ＝12. 7．函数y ＝sin(3x ＋3π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π12 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝－5π4解析：选A.令3x ＋34π＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝－π12＋13k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π12. 8．函数y ＝tan(π2－x )(x ∈[－π4，π4]且x ≠0)的值域为( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)解析：选B.∵－π4≤x ≤π4，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan(π2－x )的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．9．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：选D.因为y ＝sin(x －π2)＝－cos x ， 所以T ＝2π，A 正确；y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数，y ＝－cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，B 正确；由图象知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确；y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．故选D.10．当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )是( ) A ．奇函数且图象关于点(π2，0)对称 B ．偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D ．偶函数且图象关于点(π2，0)对称 解析：选C.当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A sin(x －3π4)(A ＞0)，所以y ＝f (3π4－x )＝A sin(3π4－x －3π4)＝－A sin x ，所以函数为奇函数且图象关于直线x ＝π2对称，故选C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时函数取得最大值．答案：2k π＋π(k ∈Z )12.cos （－585°）sin 495°＋sin （－570°）的值等于________． 解析：原式＝cos （360°＋225°）sin （360°＋135°）－sin （360°＋210°）。
2020-2021学年数学人教A版必修4课件：课时作业 3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
解：(1)f(x)＝1＋sicno4sπ2＋xx2－sin2cπ4o－s2xx－1
＝
cos22x
sinπ4＋xcos4π＋x
＝si2ncπ2o＋s222xx＝2ccooss222xx＝2cos2x，
所以 f－1112π＝2cos－116π＝2cosπ6＝ 3.
(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝ 2sin2x＋π4. 因为 x∈0，π4，所以 2x＋π4∈4π，34π， 所以当 x＝π8时，g(x)max＝ 2， 当 x＝0 时，g(x)min＝1.
平方得 1＋2sinαcosα＝39＝13，
∴2sinαcosα＝－23.
∴(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝53.
∵α 是第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.
∴cosα－sinα＝－ 315，
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝－
(2)因为－π≤x≤0，所以－34π≤x＋π4≤π4.
当 x＋π4＝－π2，即 x＝－34π时，f(x)取得最小值．
所以 f(x)在区间[－π，0]上的最小值为
f－34π＝－1－
2 2.
——能力提升类——
12．已知 tanθ＝13，则 cos2θ＋12sin2θ 的值为( B )
A．－65
B．65
Hale Waihona Puke ＝2×cosxsi＋nxsinx＝
2×1＋tantaxnx＝
2 4.
11．已知函数 f(x)＝ 2sin2xcos2x－ 2sin22x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
解：(1)因为 f(x)＝ 22sinx－ 22(1－cosx) ＝sinx＋π4－ 22， 所以 f(x)的最小正周期为 2π.
高一下学期数学必修4全册课时作业-第二章223-用于合并
[学业水平训练]1．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( )A ．a 与λa 的方向相同B ．a 与－λa 的方向相反C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|λa |＝λ|a |解析：选C.只有当λ>0时，才有a 与λa 的方向相同，a 与－λa 的方向相反，且|λa |＝λ|a |.因为λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同．2．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3C ．－1或4D ．3或4解析：选A.因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，所以m ＝－32－m，解得m ＝－1或m ＝3.3．(2014·山东青岛期中)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB→＋OC →＝0，则( )A.AO →＝2OD →B.AO →＝OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →解析：选B.∵D 为BC 的中点，∴OB →＋OC →＝2OD →，∴2OA →＋2OD →＝0，∴OA →＝－OD →，∴AO →＝OD →.4．在四边形ABCD 中，若AB →＝3a ，CD →＝－5a ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰梯形解析：选C.由AB →∥DC →且|AB →|≠|DC →|知，四边形ABCD 是梯形．又|AD →|＝|BC →|，知梯形ABCD是等腰梯形．5．已知实数m ，n 和向量a ，b ，有下列说法：①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n .其中，正确的说法是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④解析：选B.当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故③不正确．6．若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )＝________． 解析：(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－113a －b ＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝－11i ＋443j －5i －4j ＝－16i ＋323j . 答案：－16i ＋323j7．设a ，b 是两个不共线的非零向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________． 解析：∵向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，∴k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(∵方向相反，∴λ＜0⇒k ＜0)．答案：－48．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →＝________AB →.解析：BC →＝AC →－AB →＝3AB →－AB →＝2AB →.答案：29．已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线．证明：∵BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，∴BD →＝BC →＋CD →＝(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2)＝10e 1＋15e 2.又∵AB →＝2e 1＋3e 2，∴BD →＝5AB →，∴AB →、BD →共线，且有公共点B .∴A 、B 、D 三点共线．10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，求λ的值． 解：由图知CD →＝CA →＋AD →，①CD →＝CB →＋BD →，②由题知AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23. [高考水平训练]1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝m AM →成立，则m 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C. 如图所示，。
高一下学期数学必修4全册课时作业-第三章312001
[学业水平训练]1．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )A ．－12B.12C.32 D ．－32解析：选A.原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－12. 2．已知a ＝(2sin 35°，2cos 35°)，b ＝(cos 5°，－sin 5°)，则a ·b ＝( ) A.12 B ．1C ．2D ．2sin 40°解析：选B.a ·b ＝2sin 35°cos 5°－2cos 35°sin 5°＝2sin 30°＝1.3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：选B.f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为x ∈R ，所以x －π6∈R ，所以f (x )∈[－3，3]，故选B. 4．已知α，β都是锐角，sin α＝45，cos(α＋β)＝513，则sin β的值为( ) A.1665B.5665C.865D.4765 解析：选A.∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π，∴cos α＝1－sin 2α＝35， sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝1213. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝1213×35－513×45＝1665.5．在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选A.在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，∴2cos B sin A ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B .∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0.即sin(B －A )＝0.又∵0<A <π，0<B <π，∴A ＝B ，故选A.6．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)＝________． 解析：∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45， 则2cos(α＋π4)＝2(cos αcos π4－sin αsin π4) ＝2(45×22－35×22)＝15. 答案：157．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________． 解析：∵cos(α＋π3)＝sin(α－π3)， ∴cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3， 即12cos α－32sin α＝12sin α－32cos α， 两边同除以cos α，得12－32tan α＝12tan α－32， 即1＋32tan α＝1＋32， ∴tan α＝1.答案：18．已知sin α－cos β＝12，cos α－sin β＝13，则sin(α＋β)＝______． 解析：sin α－cos β＝12两边平方与cos α－sin β＝13两边平方相加得2－2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1336， 即2－2sin(α＋β)＝1336，∴sin(α＋β)＝5972.。
高一下学期数学(人教版必修4)第二章2.4.1课时作业
[学业水平训练]1．已知a与b是相反向量，且|a|＝2，则a·b＝()A．2B．－2C．4 D．－4解析：选D.由已知a＝－b，∴a·b＝a·(－a)＝－a2＝－|a|2＝－4.2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a－b|的值为() A．1 B. 3C．2 3 D．3 2解析：选C.|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×2×2×cos 120°＋22＝12.∴|a－b|＝12＝2 3.3．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－332，则a与b的夹角为()A．30°B．45°C．135°D．150°解析：选A.∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－332，∴a·b＝32.设夹角为θ，则cos θ＝a·b|a|·|b|＝32，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.4．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2.5．(2014·石家庄质检)已知平面向量a、b，|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝7，则向量a与向量a＋b的夹角为()A.π2B.π3C.π6D．π解析：选B.∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝3，∴4＋4a·b＋3＝7，a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，∵tan∠COA＝|CA||OA|＝3，∴∠COA＝π3，即a与a＋b的夹角为π3.6．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影为－2，则|a|＝________．解析：∵|a|·c os 120°＝－2，∴|a|·(－12)＝－2，∴|a|＝4.答案：47．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a ＋b)＝________．。
新人教A版高中数学必修四全册同步课时练习(附答案)
新人教A 版高中数学必修四全册课时练习任意角(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C .] 2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( ) A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°C [与1 250°角的终边相同的角为α＝1 250°＋k ·360°，k ∈Z ，因为－360°＜α＜0°，所以－16136＜k ＜－12536，因为k ∈Z ，所以k ＝－4，所以α＝－190°.]3．把－1 485°转化为α＋k ·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是( ) A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°D [∵1 485°÷360°＝4.125，∴－1 485°＝－4×360°－45°或写成－1 485°＝－5×360°＋315°.∵0°≤α＜360°，故－1 485°＝315°－5×360°.] 4．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在象限是( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限A [当k ＝0时，α＝45°为第一象限角，当k ＝1时，α＝225°为第三象限角．] 5．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( ) A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称A [α是第一象限角，β是第四象限角且45°＝0°＋45°与360°＋45°终边相同，315°＝360°－45°.]二、填空题6．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．－960° [40分＝23小时，23×360°＝240°，因为时针按顺时针旋转，故形成负角，－360°×2－240°＝－960°.]7．与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．213°－147°[与2 013°角的终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角．]8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________．k·360°＋60°(k∈Z)[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]三、解答题9．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．[解](1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.[解](1)角α终边所在区域如图①所示．(2)角β终边所在区域如图②所示．图① 图②(3)由(1)(2)知A ∩B ＝{γ|k ·360°＋45°＜γ＜k ·360°＋55°，k ∈Z } .[能力提升练]1．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( ) A ．α＋β＝k ·360°，k ∈Z B ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z C ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈Z D ．α－β＝k ·360°，k ∈ZB [法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .]2．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．270° [由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k ·360°.又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°.]弧度制(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关D [ 无论是角度制度量角还是弧度制度量角，都与圆的半径没有关系．] 2.29π6是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [29π6＝4π＋5π6.∵56π是第二象限角，∴29π6是第二象限角．]3．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π3C [与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3，故选C.]4．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z C ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈ZD ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋2k π，k ∈ZD [对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|}α＝k π，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ， 故合在一起即为{α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确．]5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．1或4C [因为扇形的弧长为4 cm ，面积为2 cm 2， 所以扇形的面积为12×4×r ＝2，解得r ＝1(cm)，则扇形的圆心角的弧度数为41＝4.故选C.]二、填空题6．把角－274π用角度制表示为________．－1 215° [－274π＝－274×180°＝－1 215°.]7．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________． π5，π3，7π15 [因为A ＋B ＋C ＝π， 又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.]8．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的外边，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．2 3 [设圆的半径为r ，外切正三角形边长为a ，则32a ×13＝r ，则r ＝36a ，又弧长为a ，所以圆心角为：ar＝a36a ＝63＝2 3.]三、解答题9．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [解] (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π＜7π6＜3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π.∴在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . [解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎪⎫2π3－3.[能力提升练]1．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )D [∵α＝2k 1π＋x ＋π4，β＝2k 2π＋x －π4(k 1，k 2∈Z )，∴α－β＝2(k 1－k 2)π＋π2，也即α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )．]2．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________________．[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．]任意角的三角函数(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32D [sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝32.] 2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33C [sin 30°＝12，cos 30°＝32，∴P 点坐标为(1，－3)，r ＝12＋（－3）2＝2，∴sin α＝－32.] 3．已知角α的终边在函数y ＝－|x |的图象上，则cos α的值为( ) A ．22B ．－22C ．22或－22D ．12C [由y ＝－|x |的图象知，α的终边落在第三、四象限的角平分线上，当α终边落在第三象限时，cos α＝－22；当α终边落在第四象限时，cos α＝22.] 4．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θC [∵θ是第二象限角，则θ2一定是第一或第三象限角，这时tan θ2一定为正值，故选C.]5．某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 A [点(1，0)在x 轴正半轴，由题意可知，θ一定在α＝2π3的终边上，∵OQ ＝1，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.] 二、填空题6．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin α·tan β＝ ．－1613[由任意角的正弦、正切函数的定义知 sin α＝1213，tan β＝45－35＝－43，所以sin α·tan β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1613.]7．点P (tan 2 018°，cos 2 018°)位于第 象限． 四 [因为2 018°＝5×360°＋218°， 所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角， 所以tan 2 018°＞0，cos 2 018°＜0， 所以点P 位于第四象限．]8．已知角α的终边经过点P (x ，－6)且cos α＝－45，则x ＝ ．－8 [因为|OP |＝x 2＋（－6）2＝x 2＋36， 所以cos α＝xx 2＋36，又cos α＝－45，所以xx 2＋36＝－45，整理得x ＝－8.]三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°. [解] (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解] (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0.由lg cos α有意义，可知cos α>0， ∴角α的终边在第四象限．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.[能力提升练]1．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[]2k π，2k π＋π，k ∈ZB [由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .]2．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．]3．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝ ．35 [因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ＜0，r ＝（－3cos θ）2＋（4cos θ）2＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.]4．函数y ＝|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域为 ．{－2，0，2} [已知函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z ，即角x 的终边不能落在坐标轴上，当x 是第一象限角时，cos x ＞0，tan x ＞0，y ＝cos x cos x ＋tan xtan x ＝1＋1＝2；当x 是第二象限角时，cos x ＜0，tan x ＜0，y ＝－cos x cos x ＋－tan xtan x ＝－1－1＝－2；当x 是第三象限角时，cos x ＜0，tan x ＞0，y ＝－cos x cos x ＋tan xtan x ＝－1＋1＝0；当x 是第四象限角时，cos x ＞0，tan x ＜0，y ＝cos x cos x ＋－tan xtan x ＝1－1＝0.综上知原函数的值域是{－2，0，2}．] 5．已知sin θ＜0，tan θ＞0. (1)求角θ的集合； (2)求θ2的终边所在的象限；(3)试判断sin θ2cos θ2tan θ2的符号．[解] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上， 因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，所以θ为第三象限角，θ角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(1)可得，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4，k ∈Z .当k 是偶数时，θ2终边在第二象限；当k 是奇数时，θ2终边在第四象限．(3)由(2)可得当k 是偶数时，sin θ2＞0，cos θ2＜0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0；当k 是奇数时sin θ2＜0，cos θ2＞0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0.综上知，sin θ2cos θ2tan θ2＞0.三角函数及其应用(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在D [终边在y 轴上的角的正切线不存在，故A ，C 错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B 错，因此选D .]2．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0C [π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.]3．角α(0＜α＜2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( )A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π4D [由已知得角α的终边应落在直线y ＝－x 上， 又0＜α＜2π，所以α＝3π4或7π4.]4．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是( ) A ．cos 1＞cos 2＞cos 3 B ．cos 1＞cos 3＞cos 2 C ．cos 3＞cos 2＞cos 1D ．cos 2＞cos 1＞cos 3A [作出已知三个角的余弦线(如图)，观察图形可知cos 1＞0＞cos 2＞cos 3.] 5．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]A [如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4， sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，由图可得在[－π，π]范围内，－3π4≤x ≤π4.]二、填空题6．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为 ．AT>MP>OM [如图：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .]7．利用三角函数线写出满足tan x ＜3且x ∈(0，2π)的x 的取值范围为 ． ⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3 [由tanx ＜3得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，又∵x ∈(0，2π)， ∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3.]8．函数y ＝2cos x －1的定义域为 ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) [因为2cos x －1≥0，所以cos x ≥12.如图：作出余弦值等于12的角：－π3和π3，在图中所示的阴影区域内的每一个角x ，其余弦值均大于或等于12，因而满足cos x ≥12的角的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．]三、解答题9．已知－12≤sin θ＜32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．[解] 画出三角函数线如图．由图可知角θ的范围是⎩⎨⎧θ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6≤θ＜2k π＋π3或2k π＋2π3＜α≤2k π＋7π6，k ∈Z . 10．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝sin x ·tan x ； (2)f (x )＝lg sin x ＋9－x 2. [解] (1)∵要使函数f (x )有意义，∴sin x ·tan x ≥0，∴sin x 与tan x 同号或sin x ·tan x ＝0， 故x 是第一、四象限的角或终边在x 轴上的角． ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2＜x ＜2k π＋π2或x ＝（2k ＋1）π，k ∈Z .(2)由题意，要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，9－x 2≥0. 由sin x ＞0得2k π＜x ＜2k π＋π(k ∈Z )， ① 由9－x 2≥0得－3≤x ≤3，②由①②得：f (x )的定义域为{x |0＜x ≤3}．[能力提升练]1．在(0，2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2C [|sin x |＞|cos x |可转化为x 的正弦线的长度大于余弦线的长度，观察图形可知：在(0，2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4.]2．点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵56π＜3＜π，作出单位圆如图所示．设MP ，OM 分别为a ，b . sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |， 所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．]同角三角函数的基本关系(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知α是第三象限角，且sin α＝－13，则3cos α＋4tan α＝( )A ．－ 2B ． 2C ．－ 3D ． 3A [因为α是第三象限角，且sin α＝－13，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223， 所以tan α＝sin αcos α＝122＝24，所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.] 2．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．32C [原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.]3．若α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形D [sin α＋cos α＝23得1＋2sin αcos α＝49，所以sin αcos α＝－518＜0，又因α∈(0，π)，所以α为钝角，故三角形为钝角三角形．]4.⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．1tan xD [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.]5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13B [因为sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，所以两边平方可得：1＋2sin θcos θ＝169，即sin θ·cos θ＝718，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，又因为0＜θ＜π4，所以sin θ＜cos θ，所以sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B .]二、填空题 6．化简11＋tan 220°的结果是 ．cos 20° [11＋tan 220°＝11＋sin 220°cos 220°＝1cos 220°＋sin 220°cos 220°＝11cos 220°＝|cos 20°|＝cos 20°.] 7．已知sin αcos α＝12，则sin α－cos α＝ ．0 [(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×12＝0，∴sin α－cos α＝0.]8．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝ ． 1 [4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1 ＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1.]三、解答题 9．化简下列各式： (1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α； (2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)．[解] (1)原式＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α) ＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α＝sin α.10．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π.求：(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α. [解] (1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α ＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2αtan 2α＋1＝1， 即4tan 2α－3tan α－1＝0， 解得tan α＝－14或tan α＝1.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π，∴α为第二象限角， ∴tan α＜0，∴tan α＝－14.(2)原式＝2tan α－34tan α－9＝720.[能力提升练]1.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．sin 10°D ．cos 10°B [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.]2．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝ ．±2 [sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝12，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sinθcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝± 2.]三角函数的诱导公式（1）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限D [sin(π＋θ)＝－sin θ＝45，∴sin θ＝－45＜0，所以θ为第三或第四象限角．]2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．－1 B [原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1 ＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.]3．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33B [由题意得tan 600°＝－3a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°) ＝tan 240°＝tan(180°＋60°) ＝tan 60°＝3，所以－3a＝3，所以a ＝－ 3.]4．已知点(－4，3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)＝( ) A ．35 B ．－35 C ．－45 D ．45A [x ＝－4，y ＝3，∴r ＝（－4）2＋32＝5，∴sin(π－α)＝sin α＝y r ＝35.故选A.]5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32 C [sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.]二、填空题6．若P (－4，3)是角α终边上一点，则cos （α－3π）·tan （α－2π）sin 2（π－α）的值为________． －53 [由条件可知sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34， ∴cos （α－3π）·tan （α－2π）sin 2（π－α）＝－cos α·tan αsin 2α＝－sin αsin 2α＝－1sin α＝－53.] 7．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________．1213[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α) ＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.]8．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，则2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）＝________．－73 [因为sin(α＋π)＝－sin α＝45， 且sin αcos α＜0，所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43，所以2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73.] 三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π；(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．[解] (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫6π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋ cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.10．已知f (α)＝sin （π＋α）cos （2π－α）tan （－α）tan （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝－sin αcos α（－tan α）（－tan α）sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.[能力提升练]1．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞bB [a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x ＜0），f （x －1）－1（x ＞0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________．－2 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝⎛⎭⎪⎫116－1－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎪⎫56－1－2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2＝－52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2.]三角函数的诱导公式（2）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＞0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＞0， ∴θ为第二象限角．]2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－12.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－13 B ．13 C ．223 D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )A ．－2a 3B ．－3a 2C ．2a 3D ．3a2B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．化简：sin （θ－5π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin （－θ－4π）＝( )A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θA [原式＝sin （θ－π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos （－θ）cos θsin （－θ）＝（－sin θ）（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ.]二、填空题6．(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3，4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝________． 35 [∵角α的终边经过点P (3，4)，∴sin α＝45，cos α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝35.]7．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos(π＋α)＝________．－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]8．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝________．－425 [由f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得f ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ.又∵cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝－425.]三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan （α－π）sin （α＋π）cos （3π－α）的值．[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，所以|OP |＝1，sin α＝－35.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αtan （α－π）sin （α＋π）cos （3π－α） ＝cos αtan α－sin α（－cos α）＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.10．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2θ＝tan （9π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1. [证明] 左边＝－2cos θ·sin θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ ＝－（sin θ＋cos θ）2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ） ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan ·（8π＋π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1＝tan （π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ， 所以左边＝右边， 所以等式成立．[能力提升练]1．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C ．892D ．45C [原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]2．已知f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos （－π－α）tan （π－α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3的值为________．－12 [f (α)＝（－sin α）·（－cos α）（－cos α）·（－tan α）＝sin αcos αsin α＝cos α，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π＝cos 263π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π－π3＝－cos π3＝－12.]正弦函数余弦函数的图像(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．用“五点法”作y ＝sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3B [令2x ＝0，π2，π，3π2，2π可得x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.]2．若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 C [当x ＝π2时，y ＝sin π2＝1，故－m ＝1，m ＝－1.]3．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象D [f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ， f (x )图象向右平移π2个单位得到g (x )图象．]4.如图是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]B ．y ＝1＋2sin x ，x ∈[0，2π]C ．y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]D ．y ＝1－2sin x ，x ∈[0，2π]C [根据图象上特殊点进行验证，可知C 正确．]5．将余弦函数y ＝cos x 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数y ＝－sin x 的图象，则m ＝( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．3π4C [根据诱导公式得，y ＝－sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2，故欲得到y ＝－sin x的图象，需将y ＝cos x 的图象向右至少平移3π2个单位长度．]二、填空题6．用“五点法”作函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0) [x 依次取0，π2，π，3π2，2π得五个关键点(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)．]7．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝32的交点个数是________．2 [在同一坐标系内画出y ＝1＋sin x 和y ＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.]8．函数y ＝lg(2－2cos x )的定义域是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z [由2－2cos x ＞0得cos x ＜22，作出y ＝cos x 的图象和直线y ＝22，由图象可知cos x ＜22的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z .] 三、解答题9．用“五点法”画出y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． [解] 列表：10．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．[解] 观察图形可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4. 因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 矩形OABC ＝2×2π＝4π， ∴所求封闭图形的面积为4π.[能力提升练]1．若sin θ＝1－log 2x ，则实数x 的取值范围是( )A ．[1，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1C ．[2，4]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4A [由sin θ∈[－1，1]得－1≤1－log 2x ≤1，解得0≤log 2x ≤2，即1≤x ≤4.]2．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10A [在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根．]3．在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 [在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，2π)与y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4时，sin x >cos x ．]4．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0， 当x ∈[0，2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4.]5．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．[解] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1，3)．正弦余弦函数的周期性与奇偶性(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数A [函数y ＝x 为奇函数且y ＝sin x 也是奇函数，故f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R 是奇函数．] 2．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝cos x2C ．y ＝cos xD ．y ＝cos 2xD [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 3．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 B [由已知得2π|ω|＝π5，又ω＞0，所以2πω＝π5，ω＝10.]4．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )A B C DD [y ＝cos x 为偶函数，y ＝x 为奇函数，∴y ＝－x cos x 为奇函数，排除A 、C ，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时cos x ＞0，x ＞0，∴y ＜0，故排除B ，选D.]5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2B [由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1.]二、填空题6．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数． 其中错误的是________(填序号)．①④ [φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数．]7．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为________．6 [T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.]8．函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，观察正弦曲线的形状，结合正弦函数的周期性可知，正弦曲线的对称中心为________．(k π，0)(k ∈Z ) [∵y ＝sin x 是奇函数，∴(0，0)是其对称中心，又正弦函数的周期为2k π，结合正弦曲线可知，对称中心为(k π，0)(k ∈Z )．]三、解答题9．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． [解] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ），0，x ∈[2k π－π，2k π]（k ∈Z ），图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.[能力提升练]1．函数f (x )＝sin x1＋cos x 的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数A [首先1＋cos x ≠0，即x ≠2k π＋π(k ∈Z )，定义域关于原点对称，又y ＝sin x 是奇函数，y ＝1＋cos x 是偶函数，所以f (x )＝sin x1＋cos x是奇函数．]2．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )A ．32 B ．－32C ．0D ． 3 D [∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018) ＝336⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝336×0＋f (1)＋f (2)＝sin π3＋sin 23π＝ 3.]3．已知f (x )是定义在(－3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 [∵f (x )是(－3，3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cosx 是(－3，3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.]4．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0＜x≤π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于________．22 [因为函数f (x )的周期为3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，又∵3π4∈(0，π]，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝sin 3π4＝22.]5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．[解] 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6. 又因为g (x )的最小正周期为π，所以g (x )＝32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .正弦余弦函数的单调性与最值(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2A [对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函。
最新人教版高中数学必修四课时跟踪测试题(全册 共24课时 附解析 共122页)
最新人教版高中数学必修四课时跟踪测试（全册共24课时附解析共122页）课时跟踪检测（一）任意角层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k ·360°，k ∈Z.层级二 应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ①－15°是第四象限角； ②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角； ④－350°＝－360°＋10°是第一象限角， 所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( ) A ．120°＋k ·360°，k ∈Z B ．120°＋k ·180°，k ∈Z C ．240°＋k ·360°，k ∈Z D ．240°＋k ·180°，k ∈Z解析：选B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，则α＝120°＋k ·180°，k ∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的非负半轴上 B ．x 轴的非正半轴上 C ．y 轴的非负半轴上 D ．y 轴的非正半轴上解析：选A ∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ， ∴其终边在x 轴的非负半轴上．4．设集合M ＝{α|α＝45°＋k ·90°，k ∈Z}，N ＝{α|α＝90°＋k ·45°，k ∈Z}，则集合M 与N 的关系是( )A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．课时跟踪检测（二） 弧 度 制层级一 学业水平达标1．把50°化为弧度为( ) A ．50 B ．5π18 C ．185πD ．9 000π解析：选B 50°＝50×π180＝5π18. 2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16D ．32解析：选C 弧长l ＝2r,4r ＝16，r ＝4，得l ＝8， 即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A ．143πB ．－143π C ．718πD ．－718π解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________． 解析：－135°＝－135×π180＝－34π， 113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z)． 解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角． (2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，是第四象限角．层级二 应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD ．π12化成度是15°解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误． 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C. 3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR ＝ 3.5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π106．已知一扇形的圆心角为π3rad ，半径为R ，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．解析：设扇形内切圆的半径为r ， ∵扇形的圆心角为π3，半径为R ，∴S 扇形＝12×π3R 2＝π6R 2.∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上， ∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴r ＝R3.∵S 内切圆＝πr 2＝π9R 2，∴S 内切圆∶S 扇形＝π9R 2∶π6R 2＝2∶3.答案：2∶37．已知α＝1 690°，(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π. 解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积． 解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝α·r ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点， 于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.所以弓形的面积为S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.课时跟踪检测（三） 三角函数的定义与公式一层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，32 B ．⎝⎛⎭⎫－12，32 C ．⎝⎛⎭⎫－32，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝－12，y ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32， ∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋(－1)2＝2，∴cos α＝x r ＝12＝22.3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角． 4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A.5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5.6．tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________. 解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13. ∴sin α＝－1213，cos α＝513. ∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0. 综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4. 解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3， ∴tan 19π3＝tan ⎝⎛⎭⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3. (3)∵－31π4＝－4×2π＋π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1， 即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝⎛⎭⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y 42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________. 解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋ cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4.解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角．∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.课时跟踪检测（四） 三角函数线层级一 学业水平达标1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．3．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM解析：选D ∵7π8是第二象限角，∴sin7π8>0，cos 7π8<0， ∴MP >0，OM <0， ∴MP >0>OM .4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度 为1.答案：17．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 18．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________． 解析：由图可知sin 3π4＝22，sin3π2＝－1，22>sin θ>－1， 即sin θ∈⎝⎛⎭⎫－1，22. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，22 9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)5π6；(2)－2π3. 解：(1)因为5π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以作出5π6角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，则有向线段MP ＝sin5π6，有向线段OM＝cos5π6，设过A (1,0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan 5π6.综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线． (2)因为－2π3∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，所以在第三象限内作出－2π3角的终边如图(2)所示． 交单位圆于点P ′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M ′P ′，OM ′，A ′T ′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg⎝⎛⎭⎫22－sin x . (2)y ＝3tan x － 3.解：(1)为使y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x 有意义，则22－sin x >0，所以sinx <22，所以角x 终边所在区域如图所示， 所以2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z. 所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)为使y ＝3tan x －3有意义，则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .层级二 应试能力达标1．下列三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等； ③π4与5π4的余弦线相等． 其中正确命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选Bπ6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；π3和4π3两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；π4和5π4的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cosα＝23，∴α必为钝角．3．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A ．⎣⎡⎤－3π4，π4 B ．⎣⎡⎤－π2，π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立， 则由图可得－3π4≤x ≤π4.5．sin2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．解析：由图可知： cos6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π5>0. ∵|MP |<|AT |， ∴sin2π5<tan 2π5. 故cos6π5<sin 2π5<tan 2π5. 答案：cos6π5<sin 2π5<tan 2π56．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π. 答案：⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ<－12；(2)－12≤cos θ<32.解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－5π6 ＋2k π<θ<－π6＋2k π，k ∈Z .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－2π3 ≤θ<2k π－π6 或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z .8．若0<α<π2，证明：sin α<α<tan α.证明：如图所示，连接AP ，设弧AP 的长为l ， ∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT ， ∴12|OA |·|MP |<12l ·|OA |<12|OA |·|AT |， ∴|MP |<l <|AT |，∴sin α<α<tan α.课时跟踪检测（五） 同角三角函数的基本关系层级一 学业水平达标1．(福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角， 所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22.答案：－227．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________.解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13.答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)sin θ－cos θtan θ－1.解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值． 解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53，∴sin α－cos α＝±153. 层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55B ．55C ．255D ．－255解析：选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．34B ．±310C ．310D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ， 即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________.解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cosα－sin α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2×18＝－32.答案：－326．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________． 解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1； 当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1， ∴sin n α＋cos n α＝1. 答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.(1)求tan α的值； (2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值．解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0， 解得tan α＝－13或tan α＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13. (2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.8．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．所以原等式成立．课时跟踪检测（六） 诱导公式（一）层级一 学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A ．12B ．－12C ．－32D ．32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C ．55 D ．255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A ．13B ．－13C ．233D ．－233解析：选B ∵tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α＋3π)＋cos (π＋α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan [4π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ，∴原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______. 解析：(1)cos29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3＝sin 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32.(2)cos 23π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. (3)tan 37π6＝tan ⎝⎛⎭⎫6π＋π6＝tan π6＝33. 10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二 应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β 解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称，∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr .4．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 5．化简：cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52.所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案：－2 7．计算与化简(1)tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ)；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值． 解：由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.课时跟踪检测（七） 诱导公式（二）层级一 学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A ．15B ．－15C ．－265D ．265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．23解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错．∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α.解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223.。
2020年高中数学人教A版必修四课时训练：2.4 平面向量的数量积 2.4.2 Word版含答案
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时目标 1.掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔________________. 3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝________________________. 4．向量的夹角公式 设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.一、选择题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．123．已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16654．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．256．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17 C ．－16 D.16题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________. 8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______． 10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．三、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12变动时，a 的范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角答案知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 相应坐标乘积的和 2．x 1x 2＋y 1y 2＝03．(1)x 21＋y 21 (2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 4.a·b|a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22作业设计1．C [由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0， ∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3. ∴|a |＝1＋n 2＝2.故选C.] 2．B [a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.]3．C [∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.]4．D [设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)，故选D.]5．C [∵|a ＋b |＝52， ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2， ∴|b |＝5.]6．A [由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.]7．1解析 a －2b ＝(1，3)， (a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 8．(－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0， 则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4， ∴b ＝－4a ＝(－4,8)． 9.655解析 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55，故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655.或直接根据a·b|b |计算a 在b 方向上的投影．10.⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) 解析 由题意cos α＝a·b|a||b |＝－2λ－15·λ2＋1，∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0，∴⎩⎨⎧－2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5， 即⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2，∴λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0， a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0， (a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.13．C[已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零，故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)．]14．－2解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)．∴MA →·MB →＝－2......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高一下学期数学必修4全册课时作业-第一章16
[学业水平训练]1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5·sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，电流I 为( ) A ．5 B.52C ．－52D ．－5 解析：选B.当t ＝1200时，I ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝5cos π3＝52. 2. 如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin(2t ＋π2)，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )A.12，1πB ．2，1π C.12，π D ．2，π 解析：选A.当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故单摆频率为1π. 3．与图中曲线对应的函数解析式是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |解析：选C.注意图象所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |＞0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t 2(其中0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则车流量增加的时间段是( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C.由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－π≤t ≤4k π＋π(k ∈Z )，由于0≤t ≤20， 所以0≤t ≤π或3π≤t ≤5π，从而车流量在时间段[10，15]内是增加的．5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上一个最高点为(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是(6，0)，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4B ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4C ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4D ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4解析：选C.由题意，得A ＝3，14T ＝6－2＝4， 有T ＝16＝2πω，所以ω＝π8，得 f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ， 最高点为(2，3)，有3sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝3， 得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1.又0＜φ＜π，所以φ＝π4， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.6. 如图，是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．。
人教版高中数学必修4课时作业20平面向量应用举例
一、选择题1．用力F 推动一物体水平运动s m ，设F 与水平面的夹角为θ，则力F 对物体所做的功为( )A ．|F |·sB ．F ·cos θ·sC ．F ·sin θ·sD ．|F |·cos θ·s【解析】 W ＝F ·s ＝|F |·|s | ·cos θ＝|F |cos θ·s . 【答案】 D2．四边形ABCD 中，DC →＝12AB →，且|AD →|＝|BC →|，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形D ．菱形【解析】 ∵DC →＝12AB →，∴DC ∥AB ，且|DC →|≠|AB →|. ∴四边形ABCD 为梯形，又|AD →|＝|BC →|， ∴四边形为等腰梯形． 【答案】 C3．一船从某河一岸驶向另一岸，航速为υ1、水速为υ2，已知船垂直到达对岸，则( )A ．|υ1|＜|υ2|B ．|υ1|＞|υ2|C ．|υ1|≤|υ2|D ．|υ1|≥|υ2|【解析】 速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量υ1在水流方向上的分量与向量υ2大小相等、方向相反，由此即得|υ1|＞|υ2|.【答案】 B4．(2013·漳州高一检测)若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形【解析】 ∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝DC →，四边形ABCD 是平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0，得BD →·AC →＝0，∴BD →⊥AC →，即此四边形对角线互相垂直，故为菱形．【答案】 C5．过点M (2,3)，且垂直于向量u ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0【解析】 设P (x ，y )是所求直线上任一点，则MP →⊥u ， 又∵MP →＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0. 【答案】 A 二、填空题6．飞机以300 km/h 的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h.【解析】 在水平方向上的速度为v ·cos 30°＝150 3 km/h. 【答案】 150 37．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，则BA →·B C →＝________. 【解析】 由∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，知△ABC 是等腰直角三角形．∴BA ＝42，∠ABC ＝45°，∴BA →·B C →＝42×4×cos 45°＝16. 【答案】 168. 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图所示，已知物体的重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________．图2－5－2【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.【答案】 10 N 三、解答题9. 如图所示，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．图2－5－3【解】 设AD →＝a ，AB →＝b ， 则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b . 而|BD →|＝|a －b | ＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ，∴|BD →|2＝5－2a ·b ＝4，∴2a ·b ＝1.又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2ab ＋b 2＝|a |2＋2ab ＋|b |2 ＝1＋4＋2ab ，∴|AC →|2＝6，∴|AC →|＝6，即AC ＝ 6.10. 如图所示，作用于同一点O 的三个力F 1、F 2、F 3处于平衡状态，已知|F 1|＝1，|F 2|＝2，F 1与F 2的夹角为2π3，求F 3的大小．图2－5－4【解】 ∵F 1、F 2、F 3三个力处于平衡状态， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0， 即F 3＝－(F 1＋F 2)， ∴|F 3|＝|F 1＋F 2| ＝(F 1＋F 2)2 ＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝1＋2×1×2×cos 2π3＋4＝ 3.11．△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线所在的直线的方程．【解】 向量AB →＝(7,5)－(4,1)＝(3,4)，AC →＝(－4，7)－(4,1)＝(－8,6)，从而∠A 的平分线的一个方向向量为AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝(35，45)＋(－45，35)＝(－15，75)，则∠A的平分线方程可设为75x ＋15y ＋m ＝0，将点(4,1)的坐标代入，得m ＝－295，整理得7x ＋y －29＝0，即∠A 的平分线所在直线的方程为7x ＋y －29＝0.【教师备课资源】 1．知识拓展物理问题的向量处理方法 (1)力学问题的向量处理方法①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型．再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象．例如：在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图所示)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．分析：注意到两根绳子的夹角为90°，因此可把问题转化为解直角三角形． 【解】 作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)，|AC →|＝|OC →|·sin 30°＝150(N)，|OB →|＝|AC →|＝150(N)．答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.②向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．例如：如图所示，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重量10 N, 则每根绳子的拉力大小是________．【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10 N.【答案】 10 N(2)速度、位移问题的向量处理方法①解决速度、位移问题常用的合成、分解其实就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成．例如：一艘船以5 km/h 速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实行速度．【解】 如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船向垂直于对岸行驶的速度，OC →表示船实际速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 km/h.∵四边形OACB 为矩形，|OA →|＝|AC →|cot 30°＝|OB →|.cot 30°＝5 3(km/h)≈8.66(km/h)．|OC →|＝|OB →sin 30°|＝10(km/h)．∴水流速度为8.66 km/h ，船实际速度为10 km/h.②速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．a ．向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决向量问题，最后再获得物理结果．b ．用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数量乘法，有时也可借助坐标来求解．(3)向量与功、动量物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．①力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即W ＝|F ||s |·cos 〈F ，s 〉．功是一个实数，它可正，也可负．②在解决问题时要注意数形结合．。
人教A版高中数必修四上篇第1章1.3第2课时课时作业.docx
基础达标1．(山东临沂高一检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于( )．A ．－2 2B ．2 2C ．－24D ．24解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2. 答案 A2．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )． A ．－12 B ．12 C ．－32D ．32解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )．A ．－23mB ．－32mC.23mD ．32m解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案 B4．计算cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值等于________．解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (360°＋210°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝－cos 45°sin (90°＋45°)－sin (180°＋30°) ＝－2222＋12＝2－2.答案2－25．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.解析 ∵cos α＝15，且α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152 ＝－265.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265.答案2656．(2012·菏泽高一检测)化简sin(π＋α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos(π＋α)＝________.解析 原式＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αcos α＝－sin 2α－cos 2α＝－1.答案 －17．(2012·南昌期末)已知sin(π＋α)＝－13. 计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α；(3)tan(5π－α)．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13. (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89.∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223.(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，cos α＝223， ∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24.②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24， ∴tan(5π－α)＝－tan α＝24.能力提升8．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )． A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ， 故A ，B 错；∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B 2，故C 错；∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，故D 正确．答案 D9．(2012·池州高一检测)已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角α的弧度数为________． 解析 ⎩⎨⎧sin α＝－cos 3，cos α＝sin 3，∵3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 3>0，cos 3<0.即α的终边在第一象限． ∴cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π2.又∵3－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝3－π2. 答案 3－π210．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6时，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6， 代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
2020年高中数学人教A版必修四课时训练：2.5 平面向量应用举例 2.5.1 Word版含答案
§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法课时目标 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔________⇔______________________. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____________⇔______________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝______________＝___________________. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝_______ 2．直线的方向向量和法向量(1)直线y ＝kx ＋b 的方向向量为________，法向量为________．(2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为________，法向量为________．一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150°4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12 C ．－3 D ．－136．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为__________________．8．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________________.9．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是__________．10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC→|＝2，则OC →＝__________________.三、解答题11．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线的方程．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF .能力提升13．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB→＝PB ·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心 D ．外心、重心、内心 14．求证：△ABC 的三条高线交于一点．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法答案知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B ) 作业设计1．B [BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心．]3．B [设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22. ∴l 1与l 2的夹角为45°.]4．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．] 5．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC →＝－3CE →.] 6．D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC . 而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D.] 7．2解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∴MO →＝AO →－AM →＝(m 2－1)AM →＋n 2AN →.又∵MN →＝AN →－AM →，MN →∥MO →，∴存在实数λ，使得MO →＝λMN →，即⎩⎨⎧m2－1＝－λ，n2＝λ，化简得m ＋n ＝2. 8．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 9．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形．10.⎝⎛⎭⎫－105，3105 解析已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.11．解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝⎛⎭⎫35，45＋⎝⎛⎭⎫－45，35＝⎝⎛⎭⎫－15，75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得：7x ＋y －29＝0.12．证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ.∴|P A →|＝⎝⎛⎭⎫22λ－12＋⎝⎛⎭⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1， 同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF .∴P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0，∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF . 13．C[如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0， ∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心． ∵P A →·PB →＝PB →·PC →， ∴(P A →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0.同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心． 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心．] 14．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高． 设BE ，CF 交于H 点， 令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ， 则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b . ∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →， ∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0， 即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． AD 、BE 、CF 相交于一点H ......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
2020年高中数学人教A版必修四课时训练 平面向量 章末检测(B) Word版含答案
第二章 平面向量(B) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是( ) A ．－6 B ．6 C ．9 D ．12 2．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1.3．设向量a ＝(m －2，m ＋3)，b ＝(2m ＋1，m －2)，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是( )A ．(－43，2)B ．(－∞，－43)∪(2，＋∞)C ．(－2，43)D ．(－∞，2)∪(43，＋∞)4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →·BD →等于( ) A ．8 B ．6 C ．－8 D ．－6 5．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π26．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 7．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( )A ．－4B ．4C ．－125 D.1258．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM →＝λOB →＋(1－λ)·OA →，且λ∈(1,2)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线9．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )A.32B ．2C ．3D ．6 10．在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n 等于( ) A.23 B.79 C.89D ．1 11．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于( )A ．－45B ．－35C ．0 D.3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( ) A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b ) 2222题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 14．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.15．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．16．已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA →·MB →的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图所示，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →、ON →、MN →.18．(12分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求：(1)(a －2b )·(a ＋b )； (2)|a ＋b |； (3)|3a －4b |.19．(12分)已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求k ＋t2t的最小值．20．(12分)设OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)．在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．(12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．22．(12分)已知线段PQ 过△OAB 的重心G ，且P 、Q 分别在OA 、OB 上，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b .求证：1m ＋1n ＝3.第二章 平面向量(B)答案1．B [∵a ∥b ，∴4×3－2x ＝0，∴x ＝6.] 2．C [∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b |a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b |a ＋b |＝|a －b |.∴a ·b ＝0.] 3．A [∵a 与b 的夹角大于90°，∴a ·b <0，∴(m －2)(2m ＋1)＋(m ＋3)(m －2)<0，即3m 2－2m －8<0，∴－43<m <2.]4．A [∵AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， ∴AD →·BD →＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8.]5．C [∵a (b －a )＝a ·b －|a |2＝2，∴a ·b ＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝31×6＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.] 6．B [由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ，所以③错误；若a ·b ＝a ·c ，则a (b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )，所以④正确，即正确命题序号是①④.]7．A [向量a 在向量b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝|a |·a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝－123＝－4.]8．B [∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →＝OA →＋λ(OB →－OA →)∴AM →＝λAB →，λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上，故选B.]9．C [设△ABC 边BC 的中点为D ，则S △ABC S △ABP ＝2S △ABD S △ABP＝2ADAP .∵AP →＝13(AB →＋AC →)＝23AD →，∴AD →＝32AP →，∴|AD →|＝32|AP →|.∴S △ABC S △ABP＝3.]10．B [AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋23CR →＝AC →＋23(23AB →－AC →)＝49AB →＋13AC →故有m ＋n ＝49＋13＝79.]11．B [由已知得4b ＝－3a －5c ，将等式两边平方得(4b )2＝(－3a －5c )2，化简得a ·c ＝－35.同理由5c ＝－3a －4b 两边平方得a ·b ＝0，∴a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝－35.]12．B [若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确．对于C ，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．对于D ，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．] 13．2解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，∴λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0. ∴λ＝2. 14．7解析 ∵|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×(－12)＝49.∴|5a －b |＝7.15．2x －3y －9＝0解析 设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有AP →·(a ＋2b )＝(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x －3y －9＝0. 16．－8解析 设OM →＝tOP →＝(2t ，t )，故有MA →·MB →＝(1－2t,7－t )·(5－2t,1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8，故当t ＝2时，MA →·MB →取得最小值－8.17．解 BA →＝OA →－OB →＝a －b .∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b .ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b.18．解 a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (1)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－2a ·b ＋a ·b －2b 2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12. (2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a ＋b |＝2 3.(3)|3a －4b |2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19， ∴|3a －4b |＝419.19．解 由题意有|a |＝(3)2＋(－1)2＝2，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. ∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .∵x·y ＝0，∴[a ＋(t 2－3)b ](－k a ＋t b )＝0.化简得k ＝t 3－3t 4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.即t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值为－74.20．解 设OM →＝tOC →，t ∈[0,1]，则OM →＝(6t,3t )，即M (6t,3t ).MA →＝OA →－OM →＝(2－6t,5－3t )， MB →＝OB →－OM →＝(3－6t,1－3t )．若MA ⊥MB ，则MA →·MB →＝(2－6t )(3－6t )＋(5－3t )(1－3t )＝0.即45t 2－48t ＋11＝0，t ＝13或t ＝1115.∴存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225，115. 21．解 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， 得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|<0， 即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.整理得：2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22<0.(*) ∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0.解得：－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)． 对比系数得⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ7＝λt λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. 22.证明 如右图所示， ∵OD →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，∴OG →＝23OD →＝13(a ＋b )．∴PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b .PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a . 又P 、G 、Q 三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG →＝λPQ →. ∴(13－m )a ＋13b ＝λn b －λm a ， ∴(13－m ＋λm )a ＋(13－λn )b ＝0. ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧13－m ＋λm ＝0， ①13－λn ＝0， ②由①②消去λ得：1m ＋1n＝3......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
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课时作业20
平面向量的正交分解及
坐标表示 平面向量的坐标运算
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．已知平面向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，则向量12a －3
2b 等于( ) A ．(－12，－5
2) B ．(12，72) C ．(－12，52)
D ．(－12，7
2)
解析：12a －32b ＝12(2,1)－32(1，－2)＝(1，12)－(32，－3)＝(1－32，12＋3)＝(－12，7
2)．
答案：D
2．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )
A ．(1，8
3) B ．(133，83) C ．(133，43)
D ．(－133，－4
3)
解析：由题意可知c ＝－13a ＋2
3b ＝－13(5，－2)＋2
3(－4，－3) ＝(－53－83，23－2)＝(－133，－43)． 答案：D
3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )
A ．－2,1
B ．1，－2
C ．2，－1
D ．－1,2
解析：∵c ＝λ1a ＋λ2b ，则有(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴⎩⎨
⎧
λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，
解得λ1＝－1，λ2＝2.
答案：D
4．作用在原点的三个力F 1＝(1,2)，F 2＝(－2,3)，F 3＝(－1，－4)，则它们的合力F 的坐标为( )
A ．(1,2)
B ．(－2,1)
C ．(2,3)
D ．(1，－2)
解析：F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(1,2)＋(－2,3)＋(－1，－4)＝(－2,1)． 答案：B
5．在△ABC 中，已知A (2,3)、B (8，－4)，G (2，－1)是中线AD 上的一点，且AG →＝2GD →
，则点C 的坐标为( )
A ．(－4,2)
B ．(－4，－2)
C ．(4，－2)
D ．(4,2)
解析：设C 点坐标为(x ，y )，由题意知G 是△ABC 的重心，所以2＝2＋8＋x 3，－1＝3－4＋y
3，解得x ＝－4，y ＝－2.
答案：B
6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
解析：∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)， ∴4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)， 2(a －c )＝(4，－2)．
又∵表示4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，
∴4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0. 解得d ＝(－2，－6)．∴选D. 答案：D
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．已知AB →＝(5,7)，λAB →
＝(10,14)，则实数λ＝________. 解析：∵λAB →
＝(5λ，7λ)＝(10,14)，
∴⎩⎨
⎧
5λ＝10，7λ＝14，
解得λ＝2.
答案：2
8．已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴的正向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →
的坐
标为__________．
解析：根据题意建立坐标系如图， 则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)． ∴AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →
＝(1,1)． ∴2AB →＋3BC →＋AC →
＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)． 答案：(3,4)
9．若将向量a ＝(3，1)按逆时针方向旋转π
2得到向量b ，则b 的坐标为__________．
解析：如图，由三角函数的定义，可知a 与x 轴正向的夹角为π
6，
按逆时针方向旋转π
2到OP 的位置，易知|OP |＝|a |＝2，∠xOP ＝120°.根据三角函数的定义，OA ＝2cos120°＝－1，AP ＝2sin120°＝3，所以b ＝(－1，3)．
答案：(－1，3) 三、解答题(共计40分)
10．(10分)已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →
，AB →＋AC →，AB →－AC →，2AB →＋12AC →.
解：∵A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)， ∴AB →
＝(7－4,5－6)＝(3，－1)， AC →
＝(1－4,8－6)＝(－3,2)， AB →＋AC →
＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)， AB →－AC →
＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)， 2AB →＋12AC →＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(9
2，－1)．
11．(15分)已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →
，λ∈R ，试求当点P 在第三象限时，λ的取值范围．
解：设点P (x ，y )，则AP →
＝(x －2，y －3)．
∵AP →＝AB →＋λAC →
＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
∴(x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
即⎩⎨
⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ.又点P 在第三象限，
∴⎩⎨
⎧
x ＝5＋5λ<0，y ＝4＋7λ<0，
解得λ<－1.
∴λ的取值范围为(－∞，－1)．
12．(15分)已知四边形OABC 为菱形，菱形的中心为E (5,2)，点A 坐标为(3,7)，求菱形的其余顶点B ，C 的坐标．
解：设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，如下图：
∵AE →＝EC →，且AE →＝(2，－5)，EC →
＝(x 2－5，y 2－2)，
∴⎩⎨
⎧
x 2－5＝2，y 2－2＝－5.
∴⎩⎨
⎧
x 2＝7，y 2＝－3.
又∵OE →＝EB →，且OE →＝(5,2)，EB →
＝(x 1－5，y 1－2)，
∴⎩⎨
⎧
x 1－5＝5，y 1－2＝2.
∴⎩⎨⎧
x 1＝10，y 1＝4.
∴点B 坐标为(10,4)，点C 坐标为(7，－3)．。