高考数学最新真题专题解析—三角函数图像、性质与恒等变形(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—三角函数图像、性质与恒等变形（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】6.若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则()A. tan(α+β)=−1B. tan(α+β)=1C. tan(α−β)=−1D. tan(α−β)=1【答案】C【分析】本题考查三角恒等变换的应用法一：利用特殊值法，排除错误选项即可法二，利用三角恒等变换，求出正确选项【解答】解法一：设β=0则sinα+cosα=0，取α=34π，排除B，D再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=π4，排除A;选C．解法二：由sin(α+β)+cos(α+β)=√2sin(α+β+π4)=√2sin[(α+π4)+β]=√2sin(α+π4)cosβ+√2cos(α+π4)sinβ，故√2sin(α+π4)cosβ=√2cos(α+π4)sinβ故sin(α+π4)cosβ−cos(α+π4)sinβ=0，即sin(α+π4−β)=0，故sin(α−β+π4)=√22sin(α−β)+√22cos(α−β)=0，故sin(α−β)=−cos(α−β)，故tan(α−β)=−1．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π，且y=f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=()A. 1B. 32C. 52D. 3【答案】A【分析】本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题．【解答】解：由题可知：T=2πω∈(2π3,π)，所以ω∈(2,3)．又因为y=f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，所以b=2，且f(3π2)=sin(ω×3π2+π4)+b=2．所以ω=23(k−14)，k∈Z，所以ω=52.所以f(x)=sin(52x+π4)+2.所以f(π2)=1．（多选）已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)对称，则()A. f(x)在(0,5π12)单调递减B. f(x)在(−π12,11π12)有两个极值点C. 直线x=7π6是曲线y=f(x)的一条对称轴D. 直线y=√32−x是曲线y=f(x)的一条切线【答案】AD【解析】【分析】解：由题意得：f(2π3)=sin(4π3+φ)=0，所以4π3+φ=kπ，即φ=−4π3+kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k=2时，φ=2π3，故f(x)=sin(2x+2π3).选项A:x∈(0,5π12)时，2x+2π3∈(2π3,3π2)，由y=sinu图象知f(x)在(0,5π12)单调递减;选项B:x∈(−π12,11π12)时，2x+2π3∈(π2,5π2)，由y=sin u图象知f(x)在(−π12,11π12)有1个极值点;选项C:由于f(7π6)=sin3π=0，故直线x=7π6不是f(x)的对称轴;选项D:令f′(x)=2cos(2x+2π3)=−1，得cos(2x+2π3)=−12，解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ，k∈Z，从而得x=kπ或x=π3+kπ，k∈Z，令 k =0 ，则 (0,√32) 是斜率为 −1 的直线与曲线的切点，从而切线方程为 y −√32=−(x −0) ，即 y =√32−x ．【母题来源】2022年新高考II 卷.若实数x ，y 满足x 2+y 2−xy =1，则( ) A. x +y ≤1 B. x +y ≥−2C. x 2+y 2≥1D. x 2+y 2≤2【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查三角恒等变换与正弦函数的值域利用正余弦函数表示 x ， y ，代入到 x +y ， x 2+y 2 ，再利用三角函数的性质判断选项即可 【解答】解： 由 x 2+y 2−xy =1 得 (x −y 2)2+(√32y)2=1令 {x −y2=cosθ√32y =sinθ⇒{x =√33sinθ+cosθy =2√33sinθ 故 x +y =√3sinθ+cosθ=2sin(θ+π6)∈[−2,2] ，故 A 错， B 对 ; x 2+y 2=(√33sinθ+cosθ)2+(2√33sinθ)2=√33sin2θ−13cos2θ+43=23sin(2θ−φ)+43∈[23,2]( 其中 tanφ=√33) ，故 C 对， D 错． 【命题意图】考察两角和与差的正弦、余弦公式，考察二倍角的正现有、余弦、正切应用。

考察同角基本关系式，考察正余弦的诱导公式及其应用。

考察y=Asin （wx+ϕ）的图像及其性质，考察y=Asin （wx+ϕ）最小正周期及其意义，考察“五点法”应用于正余弦函数。

应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明。

【命题方向】三角函数是历年高考考察的核心点之一也是和其他学科融合度高的知识点之一。

常规考察一个考查方向，是考察两角和与差公式恒等变形化简求值，，诱导公式同角三角函数公式，以及公式对应的辅助角应用，通过这些考察恒等变形能力，繁琐式子化简的能力。

另一个考察方向，是y=Asin（wx+ϕ）的图像及其性质，涉及到周期，对称轴，零点，增减性，图像平移等等。

此类题综合度较高，还涉及到函数图像的应用，甚至会合导数结合。

涉及到方程和数形结合等逻辑推导素养。

同角三角函数的平方关系22+=，是知识交互处的基础应用之一。

往往和向xsin x cos1量，不等式，数列，函数，解析几何等等的知识点结合，考察创新能力。

【得分要点】三角函数图像性质一．对称轴1.正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。

2.一般情况下，)f)Asin x b A（），的最大值或者最小值，必在对称轴处。

((0x=++03.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。

二、对称中心1.一般情况下，)（），两个点关于中心对称，则函数值互为相反Asin x Af x=+)00((数。

2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。

3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。

三、辅助角要让学生学会推导一下过程，并且要学会非特殊角特殊值的推导。

22222222222222222222a sin +cos +[] (1)+sin cos sin cos ++(+2)+sin s + +=1++sin()+cos -cos(in b a b a b a b a b a a b a a a b b b b αααααββαβββααβαβαααββ⎛⎫±⎛⎫±===±=s （），（）正弦形式：cos 其中：：co cos 2222sin )++a ba bβββ=，其中： 四、方程1.一般情况下，正弦余弦有一次二次，要以“一次”为变量2.消元或者换元，要注意旧元与新变量之间的范围限制，包括互相限制。

五．同角关系sin x cos ,sin x cos x x ±•与之间的互化关系1.2sin x cos =12sin x cos x x ±±•（） 2.x ,sin x cos [2,2R x ∈±∈如果则由辅助角可知] 真题汇总及解析1．（2022·辽宁·模拟预测）设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,πβ∈，且cos tan 1sin 2βαα=+，则()sin αβ-=（ ） A ．1 B ．﹣1C 2D ．2【答案】B 【分析】 弦化切得到πtantan 242βα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合角的范围和tan y x =的单调性得到π242βα=+，从而得到π2αβ-=-，()sin 1αβ-=-. 【详解】由题得222sin cos sin cos tan 11sin π22222tan tan 2cos 42cos sin cos sin 1tan 22222αααααβαααααααα⎛⎫+++ ⎪+⎛⎫⎝⎭=====+ ⎪⎝⎭---， 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,πβ∈，所以πππ,4242α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π0,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又函数tan y x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以π242βα=+，即π2αβ-=-，所以()sin 1αβ-=-． 故选：B ．2．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()sin 3f x x x =，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，则12x x +的最小值为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 【答案】C 【分析】根据12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，由12x x ，关于函数的对称中心对称求解. 【详解】()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，令,3x k k Z ππ-=∈,得函数的对称中心为,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又因为12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性， 所以1223k x x ππ=++，当0k =时，12x x +的最小值为23π. 故选：C.3．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+=（ ）A ．5-B ．5C ．15-D ．15【答案】A 【分析】由图中的信息可知tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ，化简1sin 2cos 2θθ+ 即可. 【详解】由图可知，tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ，()()()22222cos sin 1sin 2sin cos 2sin cos cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++===--+- tantan 1tan 4tan 51tan 41tan tan 4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=- ⎪-⎝⎭- ； 故选：A.4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知196tan 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．15-B ．5C ．15D 3【答案】C 【分析】由诱导公式求得πtan()6α+，利用诱导公式、二倍角的余弦公式，同角间的三角函数关系变形求值式为关于πtan()6α+的代数式，代入计算可得．【详解】因为196tan tan 3tan 666πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 2sin 2626πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222222cos sin 1tan 1666cos 265cos sin 1tan 666πππαααπαπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C ．5．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）若将函数()()sin sin cos f x x x x =+的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的函数在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为（ ） A ．8π B ．4π C ．38π D ．2π 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换及三角函数的图象变换，求得函数21242y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而求得增区间3,,Z 88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，进而根据函数在区间(),m m -上无极值点，即可求解. 【详解】因为()()2sin sin cos sin sin cos f x x x x x x x =+=+11cos 2sin 222x x -=+，21242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，可得21212244242y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令222,Z 242k x k k πππππ-+≤+≤+∈，解得3,Z 88k x k k ππππ-+≤≤+∈ 即函数21242y x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的单调递增区间为3,,Z 88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又由函数21242y x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为8π.故选：A.6．（2022·海南中学高三阶段练习）()()()()sin 2cos 20,0f x x a x a φφφπ=+++><<最大值为2，满足()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ）A ．6πB ．23π C ．6π或56π D ．3π或23π 【答案】B 【分析】根据()()()()2sin 2cos 212f x x a x a x φφφϕ=+++=+++最大值为2，求得a ，再根据()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()f x 的图象关于4x π=对称求解.【详解】因为()()()()2sin 2cos 212f x x a x a x φφφϕ=+++=+++最大值为2， 212a +， 解得3a =又因为()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于4x π=对称，所以sin 3422f πππφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，cos 32sin 26πφφφ⎛⎫==-=± ⎪⎝⎭，所以,62k k Z ππφπ-=+∈，即2,3k k Z πφπ=+∈， 因为0φπ<<， 所以23πφ=， 故选：B7．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知α为锐角，且()cos 131α⋅︒=，则α的值为（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40°【答案】D 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出cos αcos40=︒即得解. 【详解】解：由()cos 131α︒=可得3sin10cos10cos 1α︒+︒=，即2sin 40cos 1cos10α︒⋅=︒，所以cos10sin80cos 2sin 402sin 40α︒︒==︒︒2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒，又α为锐角，故40α=︒.故选：D.8．（2022·湖南常德·一模）已知(,)2παπ∈，2cos 24sin sin ααα=+，则tan α=（ ）A ．3B ．2C ．3-D ．22-【答案】B 【分析】由余弦的二倍角公式变形后求得sin α，由平方关系求得cos α，再由商数关系得tan α． 【详解】因为2cos 24sin sin ααα=+，所以2212sin 4sin sin ααα-=+，26sin sin 10αα+-=，(3sin 1)(2sin 1)0αα-+=，(,)2παπ∈，sin 0α>，所以1sin 3α=，2122cos 133α⎛⎫=--- ⎪⎝⎭sin 2tan cos ααα== 故选：B9．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值点，则ω的取值范围是（ ）A ．1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．27,36⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．17,36⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【分析】依据函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可知2ω≤，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知76ππω≥，最后计算可知结果. 【详解】因为()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以T π≥，则2ππω≥，由此可得2ω≤. 因为当32x k ππωπ+=+，即()6k x k Z ππω+=∈时，函数取得极值，欲满足在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值点，因为周期T π≥，故在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值，故第一个极值点64x ππω=<，得23ω>，又第二个极值点776122x πππω=≥>， 要使()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，必须76ππω≥，得76ω≤. 综上可得，ω的取值范围是27,36⎛⎤⎥⎝⎦.故选：C 【点睛】思路点点睛：第一步：先根据函数在所给区间单调判断ω；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区间存在极值点可得46ππω<，76ππω≥即可. 10．（2022·湖北·模拟预测）已知函数()()tan 23f x x =-+，()322x g x x -=-.若()f x 与()g x 的图象在区间1725,22,22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上的交点分别为()()()()()1122667788,,,,,,,,,,x y x y x y x y x y ⋅⋅⋅，则128128x x x y y y ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．20 B ．30 C ．40 D ．42【答案】C 【分析】利用整体对应法可求得()f x 的对称中心为()2,32k k Z π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由()()46g x g x +-=可得()g x 的对称中心()2,3；根据对称性可知若(),a b 为满足题意的交点，则()4,6a b --也为满足题意的交点，由此可将所求式子化为()()11221442x x x x ⎡+-++-+⋅⋅⋅⎣()884x x ++-()()()112288666y y y y y y ⎤++-++-+⋅⋅⋅++-⎦，进而求得结果.【详解】 令()22k x k Z π-=∈，解得：22k x π=+，()f x ∴关于()2,32k k Z π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称；当2x ≠时，()()3210361246222x x x g x g x x x x ---+-=+==---，()g x ∴关于()2,3对称； 1725,22,22x ⎡⎫⎛⎤∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，17254,22,22x ⎡⎫⎛⎤∴-∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， ∴若(),a b 为()f x 与()g x 在1725,22,22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦的交点，则()4,6a b --也为()f x 与()g x 在1725,22,22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦的交点， ()()()()()1281281822144466x x x y y y x x x y y ∴++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-+-+-=+()86y ⋅⋅⋅+-()()()()11228811144462x x x x x x y y ⎡=+-++-+⋅⋅⋅++-++-+⎣()()228866y y y y ⎤+-+⋅⋅⋅++-⎦()14868402=⨯⨯+⨯=.故选：C.11．（2022·湖北·高三阶段练习）若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos22b B A a B a +=，则当tan A 取最大值时，tan2B =（ ）A ．5B 3C ．3-D ．4【答案】B 【分析】根据给定条件，利用弦定理边化角，再借助二倍角公式、同角公式将tan A 用tan B 表示，然后用均值不等式求解作答. 【详解】在ABC 中，由正弦定理及2cos cos cos22b B A a B a +=得：2sin cos cos sin cos22sin B B A A B A +=，即tan (2cos 2)2sin cos A B B B -=，显然，2B π≠，否则tan 0A =，B 不是钝角，否则tan 0A <，A 为钝角，矛盾，则B 为锐角，tan 0B >，222sin cos 2sin cos tan 2cos 23sin cos B B B B A B B B==-+22tan 213tan 13tan tan B B B B==++13tan 2n 3ta B B⋅=，当且仅当13tan tan B B =，即3tan B =，6B π=取“=”，所以当6B π=时，tan A 3tan 2tan 33B π==故选：B12．（2022·山东青岛·一模）已知函数()()sin 2cos2101f x x x ωωω=-+<<，将()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω为（ ）A ．14B ．12C ．23D ．34【答案】A 【分析】化简()f x 解析式，根据三角函数图象变换求得()g x ，由π04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得ω的值.【详解】()π2214f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数()ππ212222π444g x x x ωωω⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故2π21412π2π04π444g ωωω⎛⎛⎫-= -⎫⎛⎫+==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎭⎝⎭⎝， 所以411ππ,,Z 44k k k ωω-==+∈，由于01ω<<，所以14ω=. 故选：A13．（2022·山东济南·三模）已知函数()sin sin 2f x x x =+在()0,a 上有4个零点，则实数a 的最大值为( ) A ．4π3B ．2πC ．8π3D ．3π【答案】C 【分析】化简f (x )解析式，令f (x )=0得sin x =0或cos x =12-，在同一个坐标系作出正弦和余弦函数图象，数形结合即可求解． 【详解】()()sin sin 2sin 2sin cos sin 12cos f x x x x x x x x =+=+=+，令f (x )=0得sin x =0或cos x =12-，作出y =sin x 和y =cos x 的图象：f (x )在()0,a 上有4个零点，则2π8π2π2π33a <≤+=，故a 的最大值为8π3． 故选：C ．14．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数()213cos cos (0,)2f x x x x a x R ωωω=+->∈在[]0,π内有且仅有三条对称轴，则ω的取值范围是（ ）A ．27,36⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．75[,)63C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．138,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】先利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据正弦函数的性质以及题中条件，得到572[,)622πππωπ+∈，进而求得结果. 【详解】()21313cos cos 2cos 2sin 2226f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫+-=+=+ ⎪⎝⎭ 当[]0,x π∈时，2[,2]666x πππωωπ+∈+，函数()f x 在[]0,π内有且仅有三条对称轴，则有572[,)622πππωπ+∈， 解得75[,)63ω∈，故选：B.15．（2022·福建厦门·模拟预测）已知(),0,αβπ∈，且cos21tan 2sin 2βαβ-==，则()cos αβ-=（ ） A ．45-B ．35 C ．35D ．45【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简已知等式可求得tan β，并确定,αβ所在象限；根据同角三角函数关系可求得sin ,cos ,sin ,cos ααββ，利用两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】2cos 212sin tan sin 22sin cos ββββββ--==-，tan 2α∴=，tan 2β=-，(),0,αβπ∈，0,2πα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25sin α∴=，5cos α=，25sin β=5cos β=， ()5525253cos cos cos sin sin 5αβαβαβ⎛∴-=++= ⎝⎭. 故选：C.16．（2022·河北沧州·二模）若sin 2cos 0αα+=，则2sin sin2αα-=（ ） A ．35B ．0C ．1D ．85【答案】D 【分析】2sin sin2αα-利用平方关系和正弦的二倍角公式弦化切，由sin 2cos 0αα+=求出tan α代入可得答案. 【详解】因为sin 2cos 0αα+=，所以tan 2α=-，所以()22222422sin 2sin cos tan 2tan 8sin sin2sin cos 415ααααααααα-⨯----====++. 故选：D.。