北京市海淀区2024届高三上学期期中考试数学试卷

2023北京海淀高三（上）期中
数 学
2023.11
本试卷共6页，150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试
结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合=<A x x 2{}
，=B 1,2{}，则A
B =
(A)−∞,2() (B) −∞(2], (C)1{}
(D)1,2{}
(2)若复数z 满足+⋅=
z 1i
i 2
，则z = (A)−−1i
(B) −+1i
(C) −1i
(D) +1i
(3)下列函数中，既是偶函数又在区间+∞0,() 上单调递增的是
(A)=y x ln (B)=y x 3
(C)=y x tan
(D)=y x
2
(4)已知向量a ，b 满足，
=a )1(2 ，，−=−b ()12 ，则⋅=a b (A)-5 (B)0
(C)5
(D)7
(5)设等差数列a n {}的前n 项和为S n ，且=S 155，则a a ·
24的最大值为 (A)
4
9 (B)3
(C)9 (D)36
(6)设=a log 64，=b log 32，=
c 2
3
，则 (A)>>a b c
(B)>>c b a
(C)>>b a c
(D)>>b c a
(7)“+>θθsin tan 0”是“θ为第一或第三象限角”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
(8)在∆ABC 中，=B A sin sin 2，=c a 2，则|
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(A)∠B 为直角 (B) ∠B 为钝角 (C) ∠C 为直角
(D) ∠C 为钝角
(9)古典吉他的示意图如图所示.A 0，B 分别是上弦枕、下弦枕，，，=⋅⋅⋅i A i 121(9)是第i 品丝.记a i 为A i 与−A i 1的距离，L i 为A i 与A 0的距离，且满足=
−−M
a X L i L i 1
，i =1，2，…，19，其中X L 为弦长(A 0与B 的距离)，M 为大于1的常数，并规定=L 00.则
(A)数列⋅⋅⋅a a a ,,,1219是等差数列，且公差为−M
X L
2 (B)数列⋅⋅⋅a a a ,,,1219是等比数列，且公比为
−M M 1
(C)数列⋅⋅⋅L L L ,,,1219是等比数列，且公比为
−M M 21
(D)数列⋅⋅⋅L L L ,,,1219是等差数列，且公差为
−M M X L
(1)2
(10)在等腰直角三角形ABC 中，AB =2，M 为斜边BC 的中点，以M 为圆心，MA 为半径作AC
̂，点P 在线段BC 上，点Q 在AC
̂上，则AP MQ + 的取值范围是
(A)[0
(B)，
+2[0
(C)[2
(D)−+[2
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)函数=++
x
f x x l
g 11
()()的定义域是__________. (12)在平面直角坐标系xOy 中，角a 以Ox 为始边，终边经过点，
−P 2(1)，则αtan 2=_________. (13)已知非零向量=+a x e e 12()，=+b e ye 12，其中e 1，e 2是一组不共线的向量.能使得a 与b 的方向相
反的一组实数x ，y 的值为x =_____，y =_____.
(14)已知函数=+ωϕf x x 2sin ()()的部分图象如图所不.
①函数f x ()的最小正周期为___________；
②将函数f x ()的图象向右平移>t t 0()个单位长度，得到函数g x ()的图象.若
函数g x ()为奇函数，则t 的最小值是____________.
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(15)已知函数⎩
⎪+≥⎨=⎪+<⎧x ax x a f x a x a x 2,.2,,
2
()给出下列四个结论:
①当a =0时，f x ()的最小值为0； ②当≤
a 3
1
时，f x ()存在最小值; ③记f x ()的零点个数为g a ()，则函数g a ()的值域为，
，，}1{203; ④当≥a 1时，对任意∈x x R ,12，+≥+f x f x f x x )2
2()(112
2() 其中所有正确结论的序号是____________.
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题14分)
已知无穷等比数列a n {}的各项均为整数，其前n 项和为S n ，=a 32，+=a a 1013.
(I)求a n {}的通项公式；
(II)证明：对∀∈++k S S S k k k N ,3,2,12*
这三个数成等差数列.
(17)(本小题14分)
已知函数=⋅+<
ϕϕπ
f x x x 2
()2cos cos()()，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已
知，使函数f x ()存在. (I)求ϕ的值； (II)求f x ()在区间［］
−π
2
,0上的最大值和最小值. 条件①:=π
f 3
1()；
条件②：函数f x ()在区间π
4
[0,
]上是增函数；
条件③：∀∈≥πx R f x f 3
,()(
)2 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. (18)(本小题14分)
已知曲线=−C y x :42
与x 轴交于不同的两点A ，B (点A 在点B 的左侧)，点，
P t 0()在线段AB 上(不与端点重合)，过点P 作x 轴的垂线交曲线C 于点Q . (I)若∆APQ 为等腰直角三角形，求∆APQ 的面积； (D)记∆APQ 的面积为S t ()，求S t ()的最大值.
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(19)(本小题14分)
某景区有一人工湖，湖面有A ，B 两点，湖边架有直线型栈道CD ，长为50m ，如图所示.现要测量A ，B 两点之间的距离，工作人员分别在C ，D 两点进行测量，在C 点测得∠=︒ACD 45，∠=︒BCD 30;在D 点测得∠=︒ADB 135，∠=︒BDC 120.(A ，B ，C ，D 在同一平面内) (I)求A ，B 两点之间的距离；
(n)判断直线CD 与直线AB 是否垂直，并说明理由.
(20)(本小题14分)
已知函数+=x b
f x a
2
()，且=f 411()，=f 1942() (I)求a ，b 的值；
(II)求f x ()的单调区间；
(III)设实数m 满足：存在∈k R ，使直线=+y kx m 是曲线=y f x ()的切线，且+≥kx m f x ()对
∈+∞x [0,)恒成立，求m 的最大值.
(21)(本小题15分)
设无穷数列a n {}的前n 项和为S n ，i n {}为单调递增的无穷正整数数列，记，，=−=⋯+A S S n n i i n n 1
2()1，定义Ω=∈−≥=++⋅⋅⋅j S S k j j k j N 0,1,2,*
}
{
.
(I)若，，，===⋅⋅⋅a n i n n n n )1
2(2
，写出，A A 12的值； (II)若，，−==⋯−a n n n 122
()
()11
，求Ω;
(III)设⎩
−<⎪⎨==⎪
⎧>x x x x 1,0.sgn 0,0,1,0,()求证：对任意的无穷数列a n {}，存在数列i n {}，使得A n sgn(){}为常数列.
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